图论最大流问题
最大流常见算法
最大流常见算法最大流问题是图论中的一个重要问题，其求解方法有多种，本文将介绍最常见的几种算法。
一、最大流问题简介最大流问题是在一个网络中寻找从源点到汇点的最大流量的问题。
网络是由一些节点和连接这些节点的边构成的，每条边都有一个容量，表示该边所能承载的最大流量。
源点是流量的起点，汇点是流量的终点。
在网络中，还可能存在其他节点和边。
二、Ford-Fulkerson算法Ford-Fulkerson算法是最早用于解决最大流问题的算法之一。
该算法基于增广路径来不断增加流量，直到无法再找到增广路径为止。
1. 算法步骤（1）初始化：将所有边上的流量设为0。
（2）寻找增广路径：从源点开始进行深度优先或广度优先搜索，在搜索过程中只选择剩余容量不为0且没有被标记过的边，并记录路径上容量最小值min。
（3）更新路径上各个边上的流量：将路径上各个边上的流量加上min。
（4）返回第二步，直到无法找到增广路径为止。
2. 算法分析Ford-Fulkerson算法可以保证在有限步内求解出最大流，但是其时间复杂度与增广路径的选择有关，最坏情况下可能需要指数级的时间复杂度。
三、Edmonds-Karp算法Edmonds-Karp算法是基于Ford-Fulkerson算法的一种改进算法。
该算法使用BFS来寻找增广路径，可以保证在多项式时间内求解出最大流。
1. 算法步骤（1）初始化：将所有边上的流量设为0。
（2）寻找增广路径：从源点开始进行BFS，在搜索过程中只选择剩余容量不为0且没有被标记过的边，并记录路径上容量最小值min。
（3）更新路径上各个边上的流量：将路径上各个边上的流量加上min。
（4）返回第二步，直到无法找到增广路径为止。
2. 算法分析Edmonds-Karp算法相对于Ford-Fulkerson算法来说，在同样的网络中，其时间复杂度更低，可以保证在O(VE^2)的时间内求解出最大流。
但是在某些特殊情况下仍然可能需要指数级时间复杂度。
道路交通运输网络分析技术-道路运输系统工程
§ 6.1
如图6-2 a和图6-2 b
引言
§ 6.1
在生产实际中，我们要了 解某地区的公路交通状况， 要了解公路分布状况和公 路长度，还有与节点或枝 线（弧）相关的数量指标。
引言
§ 6.1
引言
网络，网络理论，网络分析技术
我们带有某种数量指 标的图称为网络图或 称网络
网络
撇开各种图的具体 内容来讨论这种由 点、线段构成的抽 象形式的图，从中 研究其一般规律。
( vi , v j )A
f ij
( vi ,v j ) A
f
ji
0
对于发点vs，记 对于收点vt，记
( vs ,v j )A
f sj
( v j ,vs )A
f
js
V( f )
( vt , v j )A
f tj
( v j ,vt )A
f
jt
V ( f )
11
• 定义每条边与顶点的顺序无关，边都没有方向的 图称为无向图
在无向图中,有(vi , v j ) (v j , vi ). • 如果边是用顶点的有序对来定义，即令其一个 顶点是始点，另一个顶点是终点，那么称该边 为有向边，全部由有向边构成的图称为有向图。 • 有向图中的边称为弧。 • 从有向图中 D (V , A)去掉所有弧上的箭头,就成为无向 图,称为D的基础图. • 图中既有边又有弧, 称为混合图.
水取暖点相互连通，但总的线路长度最短。试求
最短的管道铺设方案。这类问题在网络分析中称 为最小生成树问题。
1、树的定义 无圈的连通图称为树。我们用了T表示树，树中 的边称为树枝
2、树的性质
数学建模-图论
图论导引
问题3:四色猜想 地图或地球仪上，最多用四种颜色就可把每一 国的版图染好，使得国界线两侧异色。
电子计算机问世以后，由于演算速度迅速提高，加 之人机对话的出现，大大加快了对四色猜想证明的进 程。美国伊利诺大学哈肯在1970年着手改进“放电过 程”，后与阿佩尔合作编制一个很好的程序。就在 1976年6月，他们在美国伊利诺斯大学的两台不同的电 子计算机上，用了1200个小时，作了100亿判断，终于 完成了四色定理的证明，轰动了世界。
有向图：
1, 若vi是ei的始点 aij 1, 若vi是ei的终点 0, 若v 与e 不关联 i i
无向图：
1, 若vi与v j 关联 aij 0, 若vi与v j 不关联
图的矩阵表示
例6：写出右图与其基本图 的关联矩阵 解：分别为：
图论的基本概念
几个基本定理：
1、对图G V，E ，有 d v 2 E .
vV
2、度为奇数的顶点有偶数个。
3、设G V，E 是有向图， 则 d v d v E .
vV vV
子图
定义 设图 G=(V,E, ),G1=(V1,E1, 1 )
(3)设 E1 E,且 E1 ,以 E1 为边集,E1 的端点集为顶点集的图 G 的子图, 称为 G 的由 E1 导出的子图,记为 G[E1].
G
G[{v1,v4,v5}]
G[{e1,e2,e3}]
基 本 概 念
定义１ 在无向图 G=(V,E)中： （１） 顶点与边相互交错的有限非空序列 w (v0 e1v1e2 vk 1ek vk ) 称为一条从 v 0 到 v k 的通路，记为 Wv0vk （２）边不重复但顶点可重复的通路称为道路，记为 Tv0vk （３）边与顶点均不重复的通路称为路径，记为 Pv 0 v k 始点和终点相同的路称为圈或回路.
图论基础知识的名词解释
图论基础知识的名词解释图论是数学的一个分支，研究图的属性和关系。
图是由节点和节点之间的边组成的抽象模型，被广泛应用于计算机科学、网络分析、医学和社会科学等领域。
下面，我们将解释一些图论中常用的基础概念和术语。
1. 图 (Graph)图是图论研究的基本对象，由一组节点和连接这些节点的边组成。
节点也被称为顶点 (Vertex)，边则是节点之间的连接线。
图可以分为有向图 (Directed Graph) 和无向图 (Undirected Graph) 两种类型。
在有向图中，边有方向，从一个节点指向另一个节点；而在无向图中，边没有方向，节点之间的关系是双向的。
2. 顶点度数 (Degree of a Vertex)顶点度数指的是一个顶点与其他顶点相邻的边的数量。
在无向图中，顶点度数即与该顶点相连的边的数量；在有向图中，则分为入度 (In-degree) 和出度 (Out-degree)。
入度表示指向该节点的边的数量，而出度表示从该节点出发的边的数量。
3. 路径 (Path)路径指的是通过边连接的一系列节点，形成的顺序序列。
路径的长度是指路径上边的数量。
最短路径 (Shortest Path) 是指连接两个节点的最短长度的路径。
最短路径算法被广泛应用于计算机网络中的路由选择和地图导航系统中的路径规划。
4. 连通图 (Connected Graph)连通图是指图中的任意两个节点之间都存在路径的图。
如果一个图不是连通图，那么它可以被分割为多个连通分量 (Connected Component)。
连通图在社交网络分析和传感器网络等领域中具有重要的应用。
5. 完全图 (Complete Graph)完全图是指任意两个节点之间都存在边的图。
在完全图中，每对节点之间都有一条边相连。
n个节点的完全图有n(n-1)/2条边。
完全图经常用于描述需要互相交流的问题，如计算机网络中的通信。
6. 树 (Tree)树是一种无环连通图，其中任意两个节点之间有且仅有一条路径相连。
图论中的网络与流问题
图论中的网络与流问题在图论中，网络与流问题是一类重要且广泛应用的问题。
网络与流问题主要研究在图中如何有效地传递信息或者资源，其中最常见的问题是最大流问题和最小割问题。
一、最大流问题最大流问题是指在一个网络中找到从源点到汇点的最大流量。
在一个有向图中，每条边都有一个容量限制表示该边能够传输的最大流量。
通过网络中的流，我们可以将信息或者资源从源点流向汇点。
最大流问题的目标就是找到一种流量分配方案使得从源点到汇点的流量最大。
解决最大流问题的常用算法是Ford-Fulkerson算法和Edmonds-Karp算法。
这些算法通过不断寻找增广路径来更新流量，直到无法再找到增广路径为止，得到最大流量。
二、最小割问题最小割问题是指在一个网络中找到切割最小的边集。
切割是将网络分为两个不相交的部分，源点在一个部分中，汇点在另一个部分中。
割边是指源点部分和汇点部分之间的边。
最小割问题的目标是找到一种切割方式，使得切割的边集的容量之和最小。
解决最小割问题的常用算法是Ford-Fulkerson算法和边缘检测算法。
这些算法通过不断寻找割边来更新割集，直到无法再找到割边为止，得到最小割集。
三、应用领域网络与流问题具有广泛的应用领域，包括：1. 交通流量优化：通过建立网络模型，可以优化城市交通流量分配，提高交通效率；2. 电力传输优化：通过建立电力输电网络模型，可以实现电力资源的高效分配；3. 通信网络设计：通过建立通信网络模型，可以设计出高效的通信网络架构，提高网络传输速度和稳定性；4. 社交网络分析：通过建立社交网络模型，可以深入了解社交网络结构和信息传播规律。
总结：网络与流问题是图论中的重要问题，解决这类问题可以优化资源分配、提高效率，并在实际应用中发挥重要作用。
最大流问题和最小割问题是其中两个经典问题，通过不断寻找增广路径或割边来更新流量或割集，得到最大流量或最小割集。
网络与流问题在交通、电力、通信等领域有广泛的应用，帮助优化资源的利用和提高系统的性能。
图论最大流问题.ppt
若 ( x, y)是向前边，fx y cxy; ( y, x) 是后前边，
f yx 0 由定理1， max w min c(S, S )
c(S, S) c(e)
e( S ,S )
网络N中容量最小的割 (S* , S* ) 称为N的最小割。
不难证明，任何一个可行流的流量w都不会超过 任一割的容量，即
w c(S, S)
例如，图2中，若 S {s},(S, S ) {(s, v3 ),(s, v2 )} c(S, S ) 4 3 7.
二、可行流与最大流
1. 定义
在实际问题中，对于流有两个显然的要求：一是 每个弧上的流量不能超过该弧的最大通过能力(即弧 的容量)；二是中间点的流量为0，源点的净流出量 和汇点的净流入量必相等。因此有定义如下。
定义2 网络N中每条边都给定一个非负实数fij满足 下列条件
(1)容量约束：0≤fij≤cij，(vi,vj)∈E， (2)守恒条件
过修改，使得整个网络的流值增大。 定义3 设f是一个可行流，P是从源点s到汇点t的一
条路，若P满足下列条件： (1)在P上的所有前向弧(vi→vj)都是非饱和弧，即
0≤fij<cij； (2)在P上的所有后向弧(vi←vj)都是非零弧，即
0<fij≤cij。则称P为(关于可行流f的)一条可增广路 径。
a
第1条可增路s,c,b,t, =2
(1,0) s (2,0)
(1,0)
第2条可增路s,a,b,c,d,t,
(2,0)
t
c (2,0) b
(1,0)
(1,0)
运筹学上机试题5-图论
四、图论1、求下图中从v1到v3最短路。
v 1v 3v 546从节点 1到节点3的最短路 *************************起点 终点 距离 ---- ---- ---- 1 2 1 2 3 6此问题的解为:7 2、最小生成树电信公司要在15个城市之间铺设光缆，这些城市的位置及相互之间的铺设光缆的费用如下图所示。
试求出一个连接在15个城市的铺设方案，使得总费用最小。
v 1v 2v 3v 4v 5v 6v 7v 8v 9v 10v 11v 12v 13v 14v 152241131456422323135134此问题的最小生成树如下：*************************起点终点距离---- ---- ----1 4 11 2 22 5 25 8 15 6 26 3 18 7 28 9 39 12 212 11 411 10 110 13 313 14 114 15 3此问题的解为:283、最短路问题例. 求下图中从v1到各点的最短路，并指出有哪些点是不可达到的。
vv7v8v4从节点 1到节点2的最短路*************************起点终点距离---- ---- ---- 1 2 4此问题的解为:41到3没有路1到4没有路从节点 1到节点5的最短路*************************起点终点距离 ---- ---- ---- 1 5 1此问题的解为:1从节点 1到节点6的最短路*************************起点终点距离 ---- ---- ---- 1 5 1 5 6 6此问题的解为:7从节点 1到节点7的最短路*************************起点终点距离 ---- ---- ---- 1 7 3此问题的解为:3从节点 1到节点8的最短路*************************起点终点距离 ---- ---- ---- 1 5 1 5 6 66 8 3此问题的解为:104、最短路问题有6个村庄，各村庄的距离如下图所示。
图论
例：有甲、乙、丙、丁、戊五个球队，各队之间比赛 有甲、 戊五个球队， 情况如表： 情况如表： 甲
乙 胜 × 负
丙 负 胜 × 负
丁 胜
戊 胜
甲 乙 丙 丁 戊
× 负 胜 负 负
胜 × 胜 负 ×
点：球队； 球队； 连线：两个球队之间比赛过，如甲胜乙， 连线：两个球队之间比赛过，如甲胜乙，用 v1 v2表示。 表示。
三 、一些特殊图类
1.平凡图 1.平凡图 2.零图 2.零图 3. 连通图 给定图G=（V，E），任何两点间至少有一条链，则 称G是连通图，否则为不连通图。 若G是不连通的，它的每个连通部分称为G的连通分 图。 节点数n=1,边数m=0的图。
边数m=0的图。
4.树 4.树 无圈连通图。 5. 完备图 无向图的完备图：任何两点之间有一条边； 有向图的完备图：任何两点u与v之间有两条有向 边（u，v）及（v，u）。 基本图：把有向图的每条边除去方向得到的无 向图。 6.二分图 6.二分图 若V(G)=X ∪ Y,X ∩ Y= Ф，X 、Y中的任两顶 点不相邻，则G称为二分图，记为（S,X,Y）。
无向图： 无向图：由点及边构成 ，边[vi，vj]
有向图：由点及弧构成， 有向图：由点及弧构成，弧（ vi，vj）
中点集V的顶点个数 图G中点集 的顶点个数，记为 (G) ，边数记为 中点集 的顶点个数，记为p q(G),简记 ，q。 简记p， 。 简记
运筹学-图论
圈：若 v0 ≠ vn 则称该链为开链，否则称为闭链或 回路或圈；
简单圈：如果在一个圈中所含的边均不相同 初等圈：除起点和终点外链中所含的点均不相
同的圈；
初等链: (v1 , v2 , v3 , v6 , v7 , v5 )
v1
初等圈： (v1 , v2 , v3 , v5 , v4 , v1 )
图的基本概念
图论中的图是由点、点与点之间的线所组成的。通常， 我们把点与点之间不带箭头的线叫做边，带箭头的线叫 做弧。
如果一个图是由点和边所构成的，那么称为无向图，
记作G=(V，E)，其中V表示图G 的点集合，E表示图G的
边集合。连接点vi , vj V 的边记作[vi , vj]，或者[vj , vi]。 如果一个图是由点和弧所构成的，那么称为它为有向
v2 （3） v3 （3）
（2）
v5
（4）
v1
v4（6）
多重图
以点v为端点的边的个数称为点v的度（次），记 作 d(v), 如 图 5.4 中 d(v1)=3 ， d(v2 )=4 ， d(v3 )=4 ， d(v4 )=3。
度为零的点称为弧立点，度为1的点称为悬挂点。 悬挂点的边称为悬挂边。度为奇数的点称为奇点， 度为偶数的点称为偶点。
郑州
济南 徐州
青岛 连云港
重庆
武汉 南京
上海
图5.3
例5.2 有六支球队进行足球比赛，我们分别用
点v1 ，…，v6表示这六支球队，它们之间的比赛情 况，也可以用图反映出来，已知v1队战胜v2 队，v2 队战胜v3 队，v3 队战胜v5队，如此等等。这个胜负
情况，可以用图5.3所示的有向图反映出来
第8章图论方法
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【例题·计算题】某城市东到西的交通道路如下图所示，线 上标注的数字为两点间距离(单位：千米)。某公司现需从市 东紧急运送一批货物到市西。假设各条线路的交通状况相同， 请为该公司寻求一条最佳路线。
2 东3
4
3 1
7
2
5
7
3
3
4
4
7 5
6
4 6
7 3
7
西
8
【答案】
1-4-7-西 10 3
9
2
3
5
7
3.5
4
6
10
1
6
4
3
8
2
5
【答案】
2 5
4
6
1
3
5
3 3.5 4
2
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【解析】按照克鲁斯喀尔的算法很轻松得出答案。
1.（11年7月）已知连接5个城镇的公路交通图如图。为了沿公路架设5个城镇的
光缆线，并要求光缆线架设的总长度为最小，试以最小枝杈树方法求出Pa最ge优9 方 案并计算光缆线的总长度。
8.2 树和树的逐步生成法
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1、树：连通且不含圈（回路）的图称为树。 2、树的边数=结点数-1。
【选择题】以下叙述中，正确的是（ ） A．树的点数为线数加1 B．图的点数小于线数 C．图的点数大于线数 D．树可能含有圈 【答案】A 【解析】树的点数和边数差1，普通图的点数和边数谁多谁少不 确定。 【知识点】图和树的基本概念
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5.（09年7月）某网络如图，线上标注的数字是单位时间通过两节点的流量。
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试求单位时间由网络始点到网络终点的最大流量（单位：吨）。