图论-网络流
数学中的图论与网络知识点
数学中的图论与网络知识点图论是数学中一个重要的分支领域，研究图的结构、性质以及与实际问题的应用。
而网络则是现代社会中的重要组成部分，图论在网络上的应用也日益广泛。
本文将介绍数学中的图论基本概念和网络知识点，以及它们在现实中的应用。
一、图论基本概念1. 图的定义与表示图是由节点（顶点）和边组成的一种数学结构。
节点表示对象，边表示节点之间的连接关系。
图可以用邻接矩阵或邻接表等方式进行表示与存储。
2. 图的分类图可以分为有向图和无向图。
有向图中的边有方向，无向图中的边没有方向。
根据边是否具有权重，图又可以分为带权图和无权图。
3. 图的性质图具有很多重要的性质，例如连通性、度、路径等。
连通性表示图中任意两个节点之间存在一条路径，度表示节点的相邻节点个数，路径是连接节点的边的序列。
二、图论中的常见算法1. 最短路径算法最短路径算法用于求解两个节点之间的最短路径，其中最著名的算法是Dijkstra算法和Floyd-Warshall算法。
Dijkstra算法适用于边权重为非负的图，而Floyd-Warshall算法适用于任意带权图。
2. 深度优先搜索与广度优先搜索深度优先搜索（DFS）和广度优先搜索（BFS）是图的遍历算法。
DFS以深度优先的方式探索图中的节点，BFS以广度优先的方式探索。
这两种算法在解决连通性、拓扑排序等问题中有广泛应用。
3. 最小生成树算法最小生成树算法用于在带权图中找到权重和最小的生成树。
其中Prim算法和Kruskal算法是两种常用的最小生成树算法。
三、网络中的图论应用1. 社交网络与关系分析社交网络是图的一种应用，其中节点表示人，边表示人与人之间的社交关系。
基于图论的算法可以分析社交网络中的社区结构、关键人物等信息。
2. 网络流与最大流问题网络流是指在图中模拟流动的过程，最大流问题是求解从源节点到汇节点的最大流量。
网络流算法可以用于优化问题的求解，如分配问题、进程调度等。
3. 路由算法与网络优化路由算法是网络中常用的算法之一，用于确定数据从源节点到目的节点的传输路径。
图论中的匹配理论和网络流问题
时间复杂度：最大匹配算法的时间复杂度 较高，为指数级别，因此在实际应用中受 到限制。
应用场景：最大匹配算法在计算机科学、 运筹学、经济学等领域有广泛的应用， 例如在解决指派问题、工作调度问题等 方面。
匹配的应用场景
计算机科学：匹配算法在计算机科学中广泛应用于图算法、数据结构等领域 物理学：在物理学中，匹配理论用于描述粒子相互作用和量子场论中的现象 经济学：匹配理论在经济学中用于研究市场均衡和劳动力市场匹配等问题 社会学：在社会学中，匹配理论用于研究婚姻匹配、教育匹配和职业匹配等现象
电力网络优化： 在网络中合理 分配电力，降 低能耗并提高 电力系统的稳
定性。
通信网络设计： 优化通信网络 的数据传输， 提高网络的吞 吐量和可靠性。
物流配送：通 过优化物流配 送网络，提高 配送效率并降 低运输成本。
网络流算法的分类
最大流算法：寻找从源点到汇点的最大流量 最小割算法：确定将源点划分为两个子集的最小割点集合 最小费用流算法：在满足容量限制和流量平衡的前提下，寻找最小费用流 最短路径算法：寻找从源点到汇点的最短路径
优化目标：最小化 总流量，使得流量 分配均匀，避免拥 堵和瓶颈
算法实现： Dijkstra算法、 Bellman-Ford算 法等
应用场景：交通网 络、通信网络、电 力网络等
多源多汇问题
定义：多个源点和 多个汇点在网络中 同时进行流量的传 输
优化目标：寻找最 优解，使得总流量 传输成本最低或传 输时间最短
最小割问题的应用：在网络流问题中，最 小割问题被广泛应用于解决流量最大化和 容量限制问题。
最小割问题的求解方法：常见的求解最小 割问题的算法有Kruskal算法和Prim算法。
最小割问题的性质：最小割问题具有NP 难解性质，即目前没有已知的多项式时 间复杂度的算法来求解最小割问题。
图论基础知识的名词解释
图论基础知识的名词解释图论是数学的一个分支，研究图的属性和关系。
图是由节点和节点之间的边组成的抽象模型，被广泛应用于计算机科学、网络分析、医学和社会科学等领域。
下面，我们将解释一些图论中常用的基础概念和术语。
1. 图 (Graph)图是图论研究的基本对象，由一组节点和连接这些节点的边组成。
节点也被称为顶点 (Vertex)，边则是节点之间的连接线。
图可以分为有向图 (Directed Graph) 和无向图 (Undirected Graph) 两种类型。
在有向图中，边有方向，从一个节点指向另一个节点；而在无向图中，边没有方向，节点之间的关系是双向的。
2. 顶点度数 (Degree of a Vertex)顶点度数指的是一个顶点与其他顶点相邻的边的数量。
在无向图中，顶点度数即与该顶点相连的边的数量；在有向图中，则分为入度 (In-degree) 和出度 (Out-degree)。
入度表示指向该节点的边的数量，而出度表示从该节点出发的边的数量。
3. 路径 (Path)路径指的是通过边连接的一系列节点，形成的顺序序列。
路径的长度是指路径上边的数量。
最短路径 (Shortest Path) 是指连接两个节点的最短长度的路径。
最短路径算法被广泛应用于计算机网络中的路由选择和地图导航系统中的路径规划。
4. 连通图 (Connected Graph)连通图是指图中的任意两个节点之间都存在路径的图。
如果一个图不是连通图，那么它可以被分割为多个连通分量 (Connected Component)。
连通图在社交网络分析和传感器网络等领域中具有重要的应用。
5. 完全图 (Complete Graph)完全图是指任意两个节点之间都存在边的图。
在完全图中，每对节点之间都有一条边相连。
n个节点的完全图有n(n-1)/2条边。
完全图经常用于描述需要互相交流的问题，如计算机网络中的通信。
6. 树 (Tree)树是一种无环连通图，其中任意两个节点之间有且仅有一条路径相连。
图论
• •
解题思路
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• •
但是这个方法点数是平方级别的，本题明显不足。
想法2： 把边变成点，点变成边，从一条边走向另一条边的代价是这 两条边的权值的较大值。
v1 v2
•
点数变为O(n)级别，但是对于菊花图， 边数仍是n^2级别的。
max(v1,v2)
解题思路
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•
想法3：
对想法2进行优化，利用边权差来节省边数。具体的是对于连 接某一个点的所有边按边权排序，每条边在新图对应的点向 相邻的较大的边对应的点连一条权值为两条边的权值差的边， 向相邻的较小的边连一条权值为0的边，并且把这条边对应的 点拆成两个点，经过代价为这条边的权值。 这样就把max操作通过差分把边数优化成了O(m)级。
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Tax
• 给出一个N个点M条边的无向图，经过一个点的代价
是进入和离开这个点的两条边的边权的较大值，求从 起点1到点N的最小代价。起点的代价是离开起点的 边的边权，终点的代价是进入终点的边的边权
• N<=100000 • M<=200000
解题思路
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如果n<=100
可以用分层图的思想，把每个点i拆成n个点，dist[i, j] 表示： 从起点出发，最终到达点i，且到达i的前一个点是j的最短距 离。(j的代价不算在内) [i1,j1]->[i2,i1]的边权为max(v[j1,i1], v[i1, i2]) 最后枚举i取min(dist[final, i] + v[i, final])作为答案
• •
解题思路
•
最开始的想法：
之间把每个点抽象成图中的节点，四联通连边，跑最短路？
不能考虑到起始的速度。
图论讲义第9章-网络流理论
注：网络 N 的一个割 K 称为最小割，如果网络 N 中不存在割 K′使得 CapK ′ < CapK 。 推论 9.1.1 设 f * 是网络 N 的一个最大流，K*是 N 的一个最小割，则 Val f * ≤ CapK * . 证明显然。 推论 9.1.2 设 f 是 N 的一个可行流，K 是 N 的一个割，若 Val f = CapK ，则 f 是最大流而
a∈K
−
(S ) =
a∈( S , S )
∑
f (a ) ≥ 0 。
由引理 9.1.1, Val f = f + ( S ) − f − ( S ) ≤ CapK , 可见第 一个结论成立。另外注意到 f + ( S ) = CapK 当且仅当
S K
S
( S , S ) 中每条弧都是 f 饱和的；而 f − ( S ) = 0 当且仅当 ( S , S ) 中每条弧都是 f 零的，故定理的第二个结论也成立。证毕。
v2 v1 x P Q v3 y v6 v4 v5
定义 9.2.2 设 f 是网络 N = (V , x, y , A, C ) 中的一可行流，P 是 N 中一条 x-y 路。如果对于 P 上任一条弧
a ，都有
(1) 若弧 a 是 P 的正向弧，则 Δf ( a ) (2) 若弧 a 是 P 的反向弧，则 Δf ( a )
Байду номын сангаас
§9.1 网络与网络流的基本概念
定义 9.1.1 一个网络 N=(V,A)是指一个连通无环弧且满足下列条件的有向图： (1) 有一个顶点子集 X，其每个顶点的入度都为 0； (2) 有一个与 X 不相交的顶点子集 Y，其每个顶点的出度都为 0； (3) 每条弧都有一个非负的权，称为弧的容量。 注： 上述网络 N 可写作 N=(V, X, Y, A, C)，X 称为网络的发点集或源点集，Y 称为网络的 收点集或汇点集，C 称为网络的容量函数。 例：
算法学习：图论之网络流问题算法小结
USACO 4.2.1 Ditch 网络最大流问题算法小结通过 USACO 4.2.1 Ditch 学习一下最大流算法。
可惜它给的测试数据几乎没有任何杀伤力，后面测试时我们采用 DD_engi 写的程序生成的加强版数据。
总体上来说，最大流算法分为两大类：增广路 (Augmenting Path) 和预流推进重标号 (Push Relabel) 。
也有算法同时借鉴了两者的长处，如 Improved SAP 。
本篇主要介绍增广路类算法，思想、复杂度及实际运行效率比较，并试图从中选择一种兼顾代码复杂度和运行效率的较好方案。
以下我们将会看到，有时理论分析的时间复杂度并不能很好的反映一种算法的实际效率。
1. Ford - Fulkerson 方法所有增广路算法的基础都是 Ford - Fulkerson 方法。
称之为方法而不是算法是因为 Ford - Fulkerson 只提供了一类思想，在此之上的具体操作可有不同的实现方案。
给定一个有向网络 G(V,E) 以及源点 s 终点 t ，FF 方法描述如下：Ford-Fulkerson 方法(G,s,t)1将各边上流量 f 初始化为02while存在一条增广路径 p3do沿路径 p 增广流量 f4return f假设有向网络 G 中边 (i,j) 的容量为 c(i,j) ，当前流量为 f(i,j) ，则此边的剩余流量即为 r(i,j) = c(i,j) - f(i,j) ，其反向边的剩余流量为 r(j,i) = f(i,j) 。
有向网中所有剩余流量 r(i,j) > 0 ，增广路径p即是残量网络中从源点 s 到终点 t 的路径。
的边构成残量网络 Gf沿路径 p 增广流量 f 的操作基本都是相同的，各算法的区别就在于寻找增广路径 p 的方法不同。
例如可以寻找从 s 到 t 的最短路径，或者流量最大的路径。
2. Edmonds - Karp 算法Shortest Augmenting Path (SAP) 是每次寻找最短增广路的一类算法，Edmonds - Karp 算法以及后来著名的 Dinic 算法都属于此。
网络流ppt
最小割容量=最大流
3 网络流的几个主要研究分支
3.1最大流 3.2最小费用最大流
最大流问题:
在网络上寻求一个使流量 υ(ƒ)达到最大的流ƒ， 称之为网络最大流问题。它是网络流理论中的一 个主要研究课题,已获得一些重要结果： ① 若各弧上的容量都是正整数，则必存在各弧上 的流量都是整数的最大流。 ② 流ƒ是最大流的充分必要条件是,不存在关于ƒ的 增广链。从而将寻求最大流问题化为判断有无增 广链问题。易见，图1中的b不是最大流。福特和 富尔克森提出了一种标号法，即对网络上的点给 以标号，从υs出发沿网络上的弧向υt探寻增广链 的方法。
(0,3)
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(6,6)
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vn
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网络流（最大流-Dinic算法）
⽹络流（最⼤流-Dinic算法）⽹络流定义 在图论中，⽹络流（Network flow）是指在⼀个每条边都有容量（Capacity）的有向图分配流，使⼀条边的流量不会超过它的容量。
通常在运筹学中，有向图称为⽹络。
顶点称为节点（Node）⽽边称为弧（Arc）。
⼀道流必须匹配⼀个结点的进出的流量相同的限制，除⾮这是⼀个源点（Source）──有较多向外的流，或是⼀个汇点（Sink）──有较多向内的流。
⼀个⽹络可以⽤来模拟道路系统的交通量、管中的液体、电路中的电流或类似⼀些东西在⼀个结点的⽹络中游动的任何事物。
————维基百科 最⼤流 正如可以通过将道路交通图模型化为有向图来找到从⼀个城市到另⼀个城市之间的最短路径，我们也可以将⼀个有向图看做是⼀个“流⽹络”并使⽤它来回答关于物料流动⽅⾯的问题。
设想⼀种物料从产⽣它的源结点经过⼀个系统，流向消耗该物料的汇点这样⼀个过程。
源结点以某种稳定的速率⽣成物料，汇点则以同样的速率消耗物料。
从直观上看，物料在系统中任何⼀个点上的“流量”就是物料移动的速率。
这种流⽹络可以⽤来建模很多实际问题，包括液体在管道中的流动、装配线上部件的流动、电⽹中电流的流动和通信⽹络中信息的流动。
我们可以把流⽹络中每条有向边看做是物料的⼀个流通通道。
每条通道有限定的容量，是物料流经该通道时的最⼤速率，如⼀条管道每⼩时可以流过200加仑的液体。
流⽹络中的结点则是通道的连接点。
除了源结点和终结点外，物料在其他结点上只是流过，并不积累或聚集。
换句话说，物料进⼊⼀个结点速率必须与其离开该结点的速率相等。
这个性质称为“流量守恒”，这⾥的流量守恒与Kirchhoff电流定律等价。
在最⼤流问题中，我们希望在不违反任何容量限制的情况下，计算出从源结点运送物料到汇点的最⼤速率。
这是与流⽹络有关的所有问题中最简单的问题之⼀().，这个问题可以由⾼效的算法解决。
⽽且，最⼤流算法中的⼀些基本技巧可以⽤来解决其他⽹络流问题。
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网络流网络流1532Drainage DitchesTime Limit: 2000/1000 MS (Java/Others) Memory Limit: 65536/32768 K (Java/Others)Total Submission(s): 9885 Accepted Submission(s): 4695Problem DescriptionEvery time it rains on Farmer John's fields, a pond forms over Bessie's favorite clover patch. This means that the clover is covered by water for awhile and takes quite a long time to regrow. Thus, Farmer John has built a set of drainage ditches so that Bessie's clover patch is never covered in water. Instead, the water is drained to a nearby stream. Being an ace engineer, Farmer John has also installed regulators at the beginning of each ditch, so he can control at what rate water flows into that ditch.Farmer John knows not only how many gallons of water each ditch can transport per minute but also the exact layout of the ditches, which feed out of the pond and into each other and stream in a potentially complex network.Given all this information, determine the maximum rate at which water can be transported out of the pond and into the stream. For any given ditch, water flows in only one direction, but there might be a way that water can flow in a circle.InputThe input includes several cases. For each case, the first line contains two space-separated integers, N (0 <= N <= 200) and M (2 <= M <= 200). N is the number of ditches that Farmer John has dug. M is the number of intersections points for those ditches. Intersection 1 is the pond. Intersection point M is the stream. Each of the following N lines contains three integers, Si, Ei, and Ci. Si and Ei (1 <= Si, Ei <= M) designate the intersections between which this ditch flows. Water will flow through this ditch from Si to Ei. Ci (0 <= Ci <= 10,000,000) is the maximum rate at which water will flow through the ditch.OutputFor each case, output a single integer, the maximum rate at which water may emptied from the pond.Sample Input 5 41 2 401 4 202 4 202 3 303 4 10 Sample Output 50Time Limit: 10000/5000 MS (Java/Others) Memory Limit: 32768/32768 K (Java/Others) Total Submission(s): 5849 Accepted Submission(s): 2225Problem Description给你一个n*n的格子的棋盘，每个格子里面有一个非负数。
从中取出若干个数，使得任意的两个数所在的格子没有公共边，就是说所取的数所在的2个格子不能相邻，并且取出的数的和最大。
Input包括多个测试实例，每个测试实例包括一个整数n 和n*n个非负数(n<=20)Output对于每个测试实例，输出可能取得的最大的和Sample Input375 15 2175 15 2834 70 5Sample Output188Time Limit: 10000/5000 MS (Java/Others) Memory Limit: 65536/32768 K (Java/Others) Total Submission(s): 4786 Accepted Submission(s): 1505Problem Description给你一个m*n的格子的棋盘，每个格子里面有一个非负数。
从中取出若干个数，使得任意的两个数所在的格子没有公共边，就是说所取数所在的2个格子不能相邻，并且取出的数的和最大。
Input包括多个测试实例，每个测试实例包括2整数m,n和m*n个非负数(m<=50,n<=50) Output对于每个测试实例，输出可能取得的最大的和Sample Input3 375 15 2175 15 2834 70 5Sample Output1881733EscapeTime Limit: 1000/1000 MS (Java/Others) Memory Limit: 32768/32768 K (Java/Others)Total Submission(s): 1175 Accepted Submission(s): 328Problem DescriptionLoneknight hates attending class very much. Every time he is attending class, when he feel tiresome with the class, he start planning the shortest path he can escape from the classroom. Therefore, he can escape from classroom so quickly that he is always the first one escape from the classroom after the class finishes. He is very proud of this fact.One day, loneknight is day dreaming in class, and planning the shortest path for escaping. Suddently, an issue come into his mind, if everyone in the classroom want to escape as soon as possible just as loneknight, what will happend? As a kind man, loneknight want to plan a strategy that will let everyone escape from the classroom with minimum time consume. But after dozens of minutes of consideration, loneknight find this problem so difficult for him.Now, as the best friend of him, please design a algorithm to solve this problem for him. Note that, at every time unit, everyone can move seperately up, down, left, right one unit, or stay in the old position. In addtion, no one can move to a wall or out of the room, the only way to escape is go through a gate. Moreover, at every time unit, a position can only contain a person, including gates. That means if in time t, a person escape thourgh gate g, no one can go into g in time t, but can go into g in t + 1. Now, it's your job to calculate the minimum time required to escape for everyone.InputThe input consists of several test cases. Each test case start with a line containing two number, n, m (1 < n, m <= 16), the rows and the columns of the room. Then n lines follow, each contain exact m characters, representing th type of unitin it. (. for empty place, X for human, # for wall, @ for gate). Input is end with EOF.OutputYou have to print the shortest time needed for everyone escape from the roomin a single line for each case. (-1 if impossible)Sample Input4 4.@...X..........4 4.@...XX..XX...@.4 4.@...#..#X#..#..Sample Output 12-1。