棱台、圆台体积计算
棱柱、棱锥、棱台和圆柱、圆锥、圆台的体积
习
目 长分别为1和2，高为2，可计算它的面积为3，
课
标
堂
定 位
所以所求几何体的体积为V=Sh=3×1=3.
基 础
达
基 答案：3
标
础
自
知
主
能
学
提
习
升
作
业
6.一个正方体和一个圆柱等高，并且侧面积相等，则正方体
典
例
目 录
与圆柱的体积比是_______.
精 析
学 【解析】设正方体的棱长为a,圆柱的底面半径为r
目
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达
标 基
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悟 学
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达
标 基
体积计算公式
体积计算公式
圆柱体的体积公式：体积=底面积×高，如果用h代表圆柱体的高，则圆柱＝S底×h
长方体的体积公式：体积=长×宽×高
如果用a、b、c分别表示长方体的长、宽、高则
长方体体积公式为：V长=abc
正方体的体积公式：体积＝棱长×棱长×棱长。
如果用a表示正方体的棱长，则
正方体的体积公式为V正＝a·a·a＝a³
锥体的体积=底面面积×高÷3V圆锥＝S底×h÷3
台体体积公式：V=[S上+√（S上S下）+S下]h÷3
圆台体积公式：V=（R²+Rr+r²）hπ÷3
球缺体积公式＝πh²（3R-h）÷3
球体积公式：V＝4πR³/3
棱柱体积公式：V＝S底面×h＝S直截面×l（l为侧棱长，h为高）
棱台体积：V=〔S1＋S2＋开根号（S1xS2）〕/3h
注：V：体积；S1：上表面积；S2：下表面积；h：高。
几何体的表面积体积计算公式
几何体的表面积、体积计算公式圆台体积计算公式是：设上底的半径为r ,下底的半径为R ,高为h 则V＝ (1/3)*π*h*(R^2 + Rr +r^2)正棱台体积公式: 1/3h[S1+S2+(S1*S2) ^0.5]S1和S2为上下面面积任何立体的体积均可以归纳成： V＝1/6×h×(S1+S2+4S)S1指上表面；S2指下表面；S指高线垂直平分面；柱体：V＝1/6×h×(S1+S2+4S)V＝1/6×h×(S1+S1+4S1)V＝1/6×h×6SV＝Sh锥体：V＝1/6×h×(S1+S2+4S)V＝1/6×h×(S2/4×4+S2)V＝1/6×h×2S2V＝1/3×S2h球体：V＝1/6×h×(S1+S2+4S)V＝1/6×2r×(4S)V＝4/3×SrV＝4/3兀r^3棱台：V＝1/6×h×(S1+S2+4S)V＝1/6×h×(2S1+2S2+2sqrt(S1S2))V＝1/3×h×(S1+S2+sqrt(S1S2))圆台、球冠、球缺甚至球台都可以套用这个公式，计算并不复杂，建议各位都要牢牢记住。
（圆柱体: 表面积:2πRr+2πRh 体积:πRRh (R为圆柱体上下底圆半径,h为圆柱体高)圆锥体: 表面积:πRR+πR[(hh+RR)的平方根] 体积: πRRh/3 (r为圆锥体低圆半径,h为其高。
平面图形名称符号周长C和面积S正方形a—边长C＝4a S＝a2长方形a和b－边长C＝2(a+b) S＝ab三角形a,b,c－三边长h－a边上的高s－周长的一半A,B,C－内角其中s＝(a+b+c)/2 S＝ah/2＝ab/2·sinC ＝[s(s-a)(s-b)(s-c)]1/2＝a2sinBsinC/(2sinA)四边形d,D－对角线长α－对角线夹角S＝dD/2·sinα平行四边形a,b－边长h－a边的高α－两边夹角S＝ah＝absin α菱形a－边长α－夹角D－长对角线长d－短对角线长S＝Dd/2＝a2sinα梯形a和b－上、下底长h－高m－中位线长S＝(a+b)h/2＝mh 圆r－半径d－直径C＝πd＝2πr S＝πr2＝πd2/4扇形r—扇形半径a—圆心角度数C＝2r＋2πr×(a/360) S＝πr2×(a/360)弓形l－弧长S＝r2/2·(πα/180-sinα)b－弦长＝r2arccos[(r-h)/r] - (r-h)(2rh-h2)1/2h－矢高＝παr2/360 - b/2·[r2-(b/2)2]1/2r－半径＝r(l-b)/2 + bh/2α－圆心角的度数≈2bh/3圆环R－外圆半径S＝π(R2-r2)r－内圆半径＝π(D2-d2)/4D－外圆直径d－内圆直径椭圆D－长轴S＝πDd/4d－短轴平面图形名称符号周长C和面积S正方形a—边长C＝4aS＝a^2长方形a和b－边长C＝2(a+b)S＝ab三角形a,b,c－三边长h－a边上的高s－周长的一半A,B,C－内角其中s＝(a+b+c)/2 S＝ah/2 ＝ab/2·sinC ＝[s(s-a)(s-b)(s-c)]1/2 ＝a^2sinBsinC/(2sinA)四边形d,D－对角线长α－对角线夹角S＝dD/2·sinα平行四边形a,b－边长h－a边的高α－两边夹角S＝ah ＝absinα菱形a－边长α－夹角D－长对角线长d－短对角线长S＝Dd/2 ＝a^2sinα梯形：a和b－上、下底长h－高m－中位线长S＝(a+b)h/2 ＝mh 圆：r－半径d－直径C＝πd＝2πrS＝πr^2＝πd^2/4扇形r—扇形半径a—圆心角度数C＝2r＋2πr×(a/360)S＝πr^2×(a/360)弓形l－弧长b－弦长h－矢高r－半径α－圆心角的度数S＝r^2/2·(πα/180-sinα) ＝r^2arccos[(r-h)/r] - (r-h)(2rh-h^2)1/2 ＝παr^2/360 - b/2·[r^2-(b/2)^2]1/2＝r(l-b)/2 + bh/2≈2bh/3圆环R－外圆半径r－内圆半径D－外圆直径d－内圆直径S＝π(R^2-r^2)＝π(D^2-d^2)/4椭圆D－长轴d－短轴S＝πDd/4立方图形名称符号面积S和体积V正方体a－边长S＝6a^2 V＝a^3长方体a－长b－宽c－高S＝2(ab+ac+bc)V＝abc棱柱S－底面积h－高V＝Sh棱锥S－底面积h－高V＝Sh/3棱台S1和S2－上、下底面积h－高V＝h[S1+S2+(S1S2)^1/2]/3拟柱体S1－上底面积S2－下底面积S0－中截面积h－高V＝h(S1+S2+4S0)/6圆柱r－底半径h－高C—底面周长S底—底面积S侧—侧面积S表—表面积C＝2πrS底＝πr^2S侧＝ChS表＝Ch+2S底V＝S底h＝πr^2h空心圆柱R－外圆半径r－内圆半径h－高V＝πh(R^2-r^2)直圆锥r－底半径h－高V＝πr^2h/3圆台r－上底半径R－下底半径h－高V＝πh(R^2＋Rr＋r^2)/3球r－半径d－直径V＝4/3πr^3＝πd^3/6球缺h－球缺高r－球半径a－球缺底半径V＝πh(3a^2+h^2)/6 ＝πh^2(3r-h)/3a2＝h(2r-h)球台r1和r2－球台上、下底半径h－高V＝πh[3(r1^2＋r2^2)+h^2]/6圆环体R－环体半径D－环体直径r－环体截面半径d－环体截面直径V＝2π2Rr^2＝π2Dd^2/4桶状体D－桶腹直径d－桶底直径h－桶高V＝πh(2D^2＋d^2)/12 (母线是圆弧形,圆心是桶的中心) V＝πh(2D^2＋Dd＋3d^2/4)/15 (母线是抛物线形)何图形面积可以归纳成：S=1/6×H×(L1+L2+4L)L1上底L2下底L是位于高线上一半的中截险段。
棱柱、棱锥、棱台和圆柱、圆锥、圆台的体积
思考交流
柱体、锥体、台h
S 0 V 1 (S
3
SS S)h S S
V 1 Sh 3
S为底面面积， S分别为上、下底面
S为底面面积，
h为锥体高
面积，h 为台体高
h为柱体高
例1 埃及胡夫金字塔大约建于公元前2580 年，其形状为正四棱锥，金字塔高146.6m， 底面边长230.4m.问：这座金字塔的侧面积 和体积各是多少？
A
B ﹒C
例2 已知一正四棱台的上底边长为4cm,下底 边长为8cm，高为3cm.求其体积。
O
O′
课后作业 习题1—7 A组 第3、8题
知识小结
柱体、锥体、台体的体积
柱体 V Sh
S S'
台体 V 1 (S SS S)h 3
S' 0
锥体 V 1 Sh 3
1
V锥体
Sh 3
其中，S为锥体的底面积，h为锥体的高.
定理：等底等高锥体的体积相等
三、棱台和圆台
我们知道，用一个平行于底面的平面去 截棱锥，底面和截面之间的部分叫做棱台， 所以，棱台的体积可用两个棱锥的体积的差 来计算。实际上，圆台的体积也可以这样计 算。计算公式如下：
V台体 13（S上+S下+ S上 S下）h.
棱柱、棱锥、棱台和圆柱、 圆锥、圆台的体积
一、棱柱和圆柱
我们知道，长方体的体积等于它的底面 即乘高，类似地，棱柱和远处的体积和等于 它的底面即乘高.即
V柱体=Sh
其中，S为柱体的底面积，h为柱体的高.
等底等高柱体的体积相等吗？
定理：等底等高柱体的体积相等
圆台体积公式是什么？
圆台体积公式是什么？
圆台体积怎么计算，计算公式⼜是怎样的呢？不清楚的考⽣赶紧看过来，下⾯由店铺⼩编为你精⼼准备了“圆台体积公式是什么？”，持续关注本站将可以持续获取更多的考试资讯!
圆台体积公式是什么？
圆台体积公式：V=[S+S′+√(SS′)]h÷3=πh(R^2+Rr+r^2)/3。
⽤⼀个平⾏于圆锥底⾯的平⾯去截圆锥，底⾯与截⾯之间的部分叫做圆台。
⼀、圆台体积公式
公式中r为上底半径、R为下底半径、h为⾼。
圆台的表⾯积公式：S=πr²+πR²+πRl+πrl=π(r²+R²+Rl+rl)
r-上底半径、R-下底半径、h-⾼、l—母线=根号下[(R-r)²+h²]
⼆、圆台的性质
1、平⾏于底⾯的截⾯是圆。
2、过轴的截⾯是等腰梯形。
3、同别的棱台⼀样，若它是⼀个圆锥体在½处截断，则上底半径也应为下底的1/2，截下⾯积是整个圆锥⾯积的1/7。
过圆台侧⾯⼀点有且只有⼀条母线。
4、如果沿⼀个直⾓梯形垂直于底边的腰旋转⼀周，将得到⼀个圆台。
5、圆台任意两条母线延长后交于⼀点。
棱、柱、台的体积
2.
A
S
AD 6
OO ' 3 R
O' D 3
O
OD R
R2
S球 4R
2
A B
D
O'
C
3.如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的体
积是 (
B
)
A.27 C.33
B.30 D.36
5.已知一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面 相切，若这个球的体积是 32 , 则这个三棱柱的体 3 积是( D ) A. C.
x
h h
s'
s
s
V台体
1 ( s s ' ss ' )h 3
球的体积
球的表面积
S球 4R
2
R
4 3 V球 R 3
1.大正方体内切一球,球又内接一个小正 方体,则三个几何体的体积之比为_____
2:
2 3
3 : 9
求棱长为a的正四面体的体积？
2 3 V a 12
例：已知三棱锥 S ABC中三条侧棱两两垂直， SA 3, SB 4, SC 5, 求三棱锥S ABC的体积
A
S
A
B
O
B
S
VS ABC VASBC C
C
等体积转化
1 1 4 5 3 3 2
例：如图，多面体 ABCDEF中，已知面ABCD 是边长为3的正方形，EF // AB, 平面FBC 平面ABCD, 3 FBC中BC边上的高FH 2, EF , 2 求该多面体的体积
96 3
24 3
B. D.
16 3
48 3
柱、锥、台、球的表面积和体积
考基联动
考向导析
规范解答
限时规范训练
迁移发散 3．已知一个凸多面体共有 9 个面，所有棱长均为 1，其平面展开 图如图所示，则该凸多面体的体积 V ＝________. 解析：该几何体形状如图所示，是一个正方体与正四棱锥的组 合体，正方体的体积是 1，正四棱柱的体积是 2 . 6 2 ，故该凸多面 6
2 2
R 3R R－ ＝ ， 4 2
2
2
1 R2 3R 3πR 3 ∴圆锥的体积 V ＝ ×π× × ＝ . 3 4 2 24 答案：A
考基联动
考向导析
规范解答
限时规范训练
2．长方体三个面的面积分别为 2、6 和 9，则长方体的体积是 A．6 3 B．3 6 C．11 D．12
(
)
解析：设长方体的三边长为 a、b、c
答案：C
考基联动 考向导析 规范解答 限时规范训练
考向三 几何的展开与折叠
【例3】 有一根长为3π cm，底面半径为1 cm的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠 绕2圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，则铁丝的最短长度为多 少？
解：把圆柱侧面及缠绕其上的铁丝展开，在平面上得到矩 形 ABCD(如图所示)，由题意知 BC＝3π cm，AB ＝4π cm， 点 A 与点 C 分别是铁丝的起、止位置，故线段 AC 的长度 即为铁丝的最短长度．AC＝ AB2 ＋BC2 ＝5π(cm)，故铁丝的最短长度为 5π cm. 反思感悟：善于总结，养成习惯 求立体图形表面上两点的最短距离问题，是立体几何中的一个重要题型．这类题目的 特点是：立体图形的性质和数量关系分散在立体图形的几个平面上或旋转体的侧面上． 为了便于发现它们图形间性质与数量上的相互关系，必须将图中的某些平面旋转到同 一平面上，或者将曲面展开为平面，使问题得到解决．
圆台棱台公式
圆台棱台公式
圆台和棱台是一类常见的几何体，它们的体积计算公式被称为圆台棱台公式。
下面是圆台棱台公式的详细解释。
圆台是一个由一个圆和一个平行于其底面的直截了当的截面组成的三维图形。
它的体积可以用以下公式来计算：
V = 1/3 * π* r^2 * h
其中，V表示圆台的体积，π是一个常数，约等于3.14159，r是圆的半径，h 是圆台的高度。
这个公式的推导可以通过将圆台视为一个由无数个平行于底面的圆锥堆积而成的体积来得到。
棱台是一个由一个多边形和一个与其平行的直截了当的截面组成的三维图形。
它的体积可以用以下公式来计算：
V = 1/3 * 底面积* h
其中，V表示棱台的体积，底面积是棱台底面的面积，h是棱台的高度。
这个公式的推导可以通过将棱台视为一个由无数个平行于底面的三角形堆积而成的体积来得到。
需要注意的是，圆台和棱台的体积计算公式都包含了1/3这个系数，这是因为它们本质上都是由无数个平行于底面的三角形或圆锥堆积而成的，所以需要用1/3来对这种堆积进行处理。
同时，圆台的体积计算公式中还包含了π这个常数，因为它的底面是一个圆形。
原著的体积计算公式
原著的体积计算公式圆柱体的体积公式：体积=底面积×高，如果用h代表圆柱体的高，则圆柱＝s底×h长方体的体积公式：体积=长×宽×高如果用a、b、c分别表示长方体的长、宽、高则长方体体积公式为：v长=abc正方体的体积公式：体积＝棱长×棱长×棱长．如果用a表示正方体的棱长，则正方体的体积公式为v正＝a·a·a＝a³锥体的体积=底面面积×高÷3v圆锥＝s底×h÷3台体体积公式:v=[s上+√(s上s下)+s下]h÷3圆台体积公式:v=(r²+rr+r²)hπ÷3球缺体积公式＝πh²(3r-h)÷3球体积公式：v＝4πr³/3棱柱体积公式：v＝s底面×h＝s直截面×l（l为侧棱长,h为高)棱台体积：v=〔s1＋s2＋开根号（s1*s2）〕／3*h注：v：体积；s1：上表面积；s2：下表面积；h：高。
------几何体的表面积计算公式圆柱体:表面积:2πrr+2πrh体积:πrrh(r为圆柱体上下底圆半径,h为圆柱体高)圆锥体:表面积:πrr+πr[(hh+rr)的平方根]体积:πrrh/3(r为圆锥体低圆半径,h为其高,平面图形名称符号周长c和面积s正方形a—边长c＝4as＝a2长方形a和b－边长c＝2(a+b)s＝ab三角形a,b,c－三边长h－a边上的高s－周长的一半a,b,c－内角其中s＝(a+b+c)/2s＝ah/2＝ab/2·sinc＝[s(s-a)(s-b)(s-c)]1/2＝a2sinbsinc/(2sina)四边形d,d－对角线长α－对角线夹角s＝dd/2·sinα平行四边形a,b－边长h－a边的高α－两边夹角s＝ah＝absinα菱形a－边长α－夹角d－长对角线长d－短对角线长s＝dd/2＝a2sinα梯形a和b－上、下底长h－高m－中位线长s＝(a+b)h/2＝mh圆r－半径d－直径c＝πd＝2πrs＝πr2＝πd2/4扇形r—扇形半径a—圆心角度数c＝2r＋2πr×(a/360)s＝πr2×(a/360)弓形l－弧长s＝r2/2·(πα/180-sinα)b－弦长＝r2arccos[(r-h)/r]-(r-h)(2rh-h2)1/2h－矢高＝παr2/360-b/2·[r2-(b/2)2]1/2r－半径＝r(l-b)/2+bh/2α－圆心角的度数≈2bh/3圆环r－外圆半径s＝π(r2-r2)r－内圆半径＝π(d2-d2)/4d－外圆直径d－内圆直径椭圆d－长轴s＝πdd/4d－短轴。
各形状物体体积计算公式
常用体积及表面积计算公式一些数学的体积和表面积计算公式3 立方图形名称符号面积S和体积V正方体 a－边长 S＝6a2 V＝a3长方体 a－长 b－宽 c－高 S＝2ab+ac+bcV＝abc棱柱 S－底面积 h－高 V＝Sh棱锥 S－底面积 h－高 V＝Sh/3棱台 S1和S2－上、下底面积h－高 V＝hS1+S2+S1S21/2/3正棱台拟柱体 S1－上底面积 S2－下底面积 S0－中截面积 h－高V＝hS1+S2+4S0/6圆柱 r－底半径 h－高 C—底面周长 S底—底面积 S侧—侧面积S表—表面积 C＝S底＝πr2 S侧＝Ch S表＝Ch+2S底V＝S底h＝πr2h空心圆柱 R－外圆半径 r－内圆半径 h －高V＝πhR2-r2直圆锥 r－底半径 h－高V＝πr2h/3圆台 r－上底半径 R－下底半径 h－高V＝πhR2＋Rr＋r2/3球 r－半径 d－直径V＝4/3πr3＝πd2/6球缺 h－球缺高 r－球半径 a－球缺底半径V＝πh3a2+h2/6 ＝πh23r-h/3a2＝h2r-h球台 r1和r2－球台上、下底半径 h－高V＝πh3r12＋r22+h2/6圆环体 R－环体半径 D－环体直径 r－环体截面半径 d－环体截面直径V＝2π2Rr2＝π2Dd2/4桶状体 D－桶腹直径 d－桶底直径 h－V＝πh2D2＋d2/12 母线是圆弧形,圆心是桶的中心V＝πh2D2＋Dd＋3d2/4/15 母线是抛物我用拟柱体公式来解决一下,至于公式本身证明需要用到积分知识需要同时推广牛顿－莱布尼茨公式,不详谈：任何立体的体积均可以归纳成：V＝1/6×h×S1+S2+4SS1指上表面S2指下表面S指高线垂直平分面柱体：V＝1/6×h×S1+S2+4SV＝1/6×h×S1+S1+4S1V＝1/6×h×6SV＝Sh锥体：V＝1/6×h×S1+S2+4SV＝1/6×h×S2/4×4+S2V＝1/6×h×2S2、、长方形的周长=长+宽×2正方形的周长=边长×4长方形的面积=长×宽正方形的面积=边长×边长三角形的面积=底×高÷2平行四边形的面积=底×高梯形的面积=上底+下底×高÷2 直径=半径×2 半径=直径÷2圆的周长=圆周率×直径=圆周率×半径×2圆的面积=圆周率×半径×半径长方体的表面积=长×宽+长×高＋宽×高×2长方体的体积 =长×宽×高正方体的表面积=棱长×棱长×6正方体的体积=棱长×棱长×棱长圆柱的侧面积=底面圆的周长×高圆柱的表面积=上下底面面积+侧面积圆柱的体积=底面积×高圆锥的体积=底面积×高÷3长方体正方体、圆柱体的体积=底面积×高平面图形名称符号周长C和面积S正方形 a—边长 C＝4aS＝a2长方形 a和b－边长 C＝2a+bS＝ab三角形 a,b,c－三边长h－a边上的高s－周长的一半A,B,C－内角其中s＝a+b+c/2 S＝ah/2＝ab/2·sinC＝ss-as-bs-c1/2＝a2sinBsinC/2sinA四边形 d,D－对角线长α－对角线夹角 S＝dD/2·sinα 平行四边形 a,b－边长h－a边的高α－两边夹角 S＝ah＝absinα菱形 a－边长α－夹角D－长对角线长d－短对角线长 S＝Dd/2＝a2sinα梯形 a和b－上、下底长h－高m－中位线长 S＝a+bh/2＝mh圆 r－半径d－直径 C＝πd＝2πrS＝πr2＝πd2/4扇形 r—扇形半径a—圆心角度数C＝2r＋2πr×a/360S＝πr2×a/360弓形 l－弧长b－弦长h－矢高r－半径α－圆心角的度数 S＝r2/2·πα/180-sinα ＝r2arccosr-h/r - r-h2rh-h21/2＝παr2/360 - b/2·r2-b/221/2＝rl-b/2 + bh/2≈2bh/3圆环 R－外圆半径r－内圆半径D－外圆直径d－内圆直径 S＝πR2-r2＝πD2-d2/4椭圆 D－长轴d－短轴 S＝πDd/4立方图形名称符号面积S和体积V正方体 a－边长 S＝6a2V＝a3长方体 a－长b－宽c－高 S＝2ab+ac+bcV＝abc棱柱 S－底面积h－高 V＝Sh棱锥 S－底面积h－高 V＝Sh/3棱台 S1和S2－上、下底面积h－高 V＝hS1+S2+S1S11/2/3拟柱体 S1－上底面积S2－下底面积S0－中截面积h－高 V＝hS1+S2+4S0/6圆柱 r－底半径h－高C—底面周长S底—底面积S侧—侧面积S表—表面积 C＝2πrS底＝πr2S侧＝ChS表＝Ch+2S底V＝S底h＝πr2h空心圆柱 R－外圆半径r－内圆半径h－高 V＝πhR2-r2直圆锥 r－底半径h－高 V＝πr2h/3圆台 r－上底半径R－下底半径h－高 V＝πhR2＋Rr＋r2/3球 r－半径d－直径 V＝4/3πr3＝πd2/6球缺 h－球缺高r－球半径a－球缺底半径 V＝πh3a2+h2/6＝πh23r-h/3a2＝h2r-h 球台 r1和r2－球台上、下底半径 h－高 V＝πh3r12＋r22+h2/6 圆环体 R－环体半径 D－环体直径 r－环体截面半径 d－环体截面直径 V＝2π2Rr2 ＝π2Dd2/4 桶状体 D－桶腹直径 d－桶底直径 h－桶高 V＝πh2D2＋d2/12 母线是圆弧形,圆心是桶的中心V＝πh2D2＋Dd＋3d2/4/15 母线是抛物线形棱台体体积计算公式： V=1/3HS上＋S下＋√S上×S下 H是高,S上和S下分别是上下底面的面积;棱台体积V=上底面积+下底面积+4×中截面面积÷6×高V＝上口边长-0.025上口边宽-0.025杯深＝下口边长＋0.025下口边宽+0.025杯深V=h/3a2+ab+b2﹝其中a,b,h分别为正四棱台的上、下底边及高的大小棱台体积：V=〔S1＋S2＋开根号S1S2〕／3h注：V：体积；S1：上表面积；S2：下表面积；h：高;关于不等边长的四梭台的与手工计算偏差的原因关于不等边长的四梭台的与手工计算偏差的原因鲁班算量2006在计算独立基础时,发现所有的正四棱台计算正确,而计算有长边与短边的四棱台时,就不对了,量都偏大的原因：独立基础体积正确的计算公式为：四棱台计算公式为s1+s2+sqrs1s2h/3,sqrx对x求根或ABH+h/6AB+ab+A+aB+b其中A、B、H分别为独立基础下部长方体的长、宽、高；a、b、h分别为四棱台的长、宽、高,当然,A与a、B与b相对应;用ABH+h/6AB+ab+A+aB+b是偏小实际工作中,这两种公式都有人用,结果有时是不一样.而使用鲁班算量计算结果偏大,计算不等边长的四梭台与计算公式算出结果不一样是因为我们预算中的四梭台计算公式是近似的计算方法,而鲁班用的是微积分算法,结果相差很小另外鲁班的带马牙槎的构造柱计算结果也与实际算法有差别,其实我们算构造柱时是按如果有两边有马牙槎的为边长上加6cm计算,鲁班算量考虑了层高的不同与马牙槎的高度位也考虑了马牙槎在板底时正好为退时鲁班的计算结果就会小,但其实鲁班算的是实际的量;公式分类公式分类公式表达式乘法与因式分解 a2-b2=a+ba-b a3+b3=a+ba2-ab+b2 a3-b3=a-ba2+ab+b2三角不等式|a+b|≤|a|+|b| |a-b|≤|a|+|b||a|≤b<=>-b≤a≤b|a-b|≥|a|-|b| -|a|≤a≤|a|一元二次方程的解 -b+√b2-4ac/2a -b-b+√b2-4ac/2a根与系数的关系 X1+X2=-b/a X1X2=c/a 注：韦达定理判别式 b2-4a=0 注：方程有相等的两实根b2-4ac>0 注：方程有一个实根b2-4ac<0 注：方程有共轭复数根三角函数公式两角和公式 sinA+B=sinAcosB+cosAsinB sinA-B=sinAcosB-sinBcosAcosA+B=cosAcosB-sinAsinB cosA-B=cosAcosB+sinAsinBtanA+B=tanA+tanB/1-tanAtanB tanA-B=tanA-tanB/1+tanAtanBctgA+B=ctgActgB-1/ctgB+ctgA ctgA-B=ctgActgB+1/ctgB-ctgA倍角公式 tan2A=2tanA/1-tan2A ctg2A=ctg2A-1/2ctga cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a半角公式sinA/2=√1-cosA/2 sinA/2=-√1-cosA/2cosA/2=√1+cosA/2 cosA/2=-√1+cosA/2tanA/2=√1-cosA/1+cosA tanA/2=-√1-cosA/1+cosActgA/2=√1+cosA/1-cosA ctgA/2=-√1+cosA/1-cosA和差化积 2sinAcosB=sinA+B+sinA-B 2cosAsinB=sinA+B-sinA-B 2cosAcosB=cosA+B-sinA-B -2sinAsinB=cosA+B-cosA-BsinA+sinB=2sinA+B/2cosA-B/2 cosA+cosB=2cosA+B/2sinA-B/2tanA+tanB=sinA+B/cosAcosB tanA-tanB=sinA-B/cosAcosBctgA+ctgBsinA+B/sinAsinB -ctgA+ctgBsinA+B/sinAsinB某些数列前n项和1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=nn+1/2 1+3+5+7+9+11+13 +15+…+2n-1=n22+4+6+8+10+12+14+…+2n=nn+112+22+32+42+52+62+72+82+…+n2=nn +12n+1/613+23+33+43+53+63+…n3=n2n+12/4 12+23+34+45+56+67+…+nn+1=nn正弦定理 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 注：其中 R 表示三角形的外接圆半径余弦定理 b2=a2+c2-2accosB 注：角B是边a和边c的夹角圆的标准方程 x-a2+y-b2=r2 注：a,b是圆心坐标圆的一般方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 注：D2+E2-4F>0抛物线标准方程 y2=2px y2=-2px x2=2py x2=-2py直棱柱侧面积 S=ch 斜棱柱侧面积 S=c'h正棱锥侧面积 S=1/2ch' 正棱台侧面积 S=1/2c+c'h'圆台侧面积S=1/2c+c'l=πR+rl球的表面积S=4πr2圆柱侧面积S=ch=2πh圆锥侧面积S=1/2cl=πrl弧长公式 l=ar a是圆心角的弧度数r >0 扇形面积公式s=1/2lr锥体体积公式 V=1/3SH 圆锥体体积公式V=1/3πr2h斜棱柱体积 V=S'L 注：其中,S'是直截面面积, L是侧棱长柱体体积公式 V=sh 圆柱体V=πr2h声明：本资料由大家论坛公务员考试专区收集整理,转载请注明出自更多公务员考试信息,考试真题,模拟题：大家论坛,学习的天堂数列问题1．关键提示：一般而言,公务员考试中的数列问题仅限于数列的简单求和及其变化形式,一般难度不大;考生只要很好的掌握基本公式,尤其是要学会运用等差中项的相关知识解题;2．核心公式：1等差数列通项公式＝＝2等差数列求和公式＝＋＝3等差数列中项公式,当n为奇数时,等差中项为1项即 , ＝；当n为偶数时,等差中项为2项即和 ,而＋＝；4等比数列通项公式＝＝例题1：一张考试卷共有10道题,后面的每-道题的分值都比其前面一道题多2分;如果这张考卷的满分为100分,那么第八道题的分值应为多少A．9 B．14 C．15 D．16解析：显然可将此题转化为一个等差数列的问题;每道题的分值组成了一个公差d= 2的等差数列 ,显然 =100,可利用等差数列的求和公式 = ＋求出 ,显然代入后可求 =1,然后根据等差数列的通项公式 = 求出 =15;注：此题亦可通过求等差中项的方法解,即等差数列 ,当n=10时其等差中项的和为＋=100÷5=20,公差d=2,所以 =9, =11,所以 =15;例题2：一种挥发性药水,原来有一整瓶,第二天挥发后变为原来的1／2；第三天变为第二天的2／3；第四天变为第三天的3／4,请问第几天时药水还剩下1／30瓶A．5天 B．12天 C．30天 D．100天解析：依据题意,显然可将此题变为一个有规律的数列,即第1天剩下1,第2天剩下1/2,第3天剩下1/3,依此下去,第30天就剩下1/30;所以,答案为C;例题3：2004年江苏A类真题如果某一年的7月份有5个星期四,它们的日期之和为80,那么这个月的3日是星期几A．一 B．三C．五 D．日解析：设这5天分别为 , , , , ,显然这是一个公差为7的等差数列;等差中项＝＝16;所以,则＝2即第一个星期四为2号,则3号为星期五;所以,答案为C;平面图形名称符号周长C和面积S正方形 a—边长 C＝4aS＝a2长方形 a和b－边长 C＝2a+bS＝ab三角形 a,b,c－三边长h－a边上的高s－周长的一半A,B,C－内角其中s＝a+b+c/2 S＝ah/2＝ss-as-bs-c1/2＝a2sinBsinC/2sinA四边形 d,D－对角线长α－对角线夹角 S＝dD/2•sinα平行四边形 a,b－边长h－a边的高α－两边夹角 S＝ah＝absinα菱形 a－边长α－夹角D－长对角线长d－短对角线长 S＝Dd/2＝a2sinα梯形 a和b－上、下底长h－高m－中位线长 S＝a+bh/2＝mh圆 r－半径d－直径 C＝πd＝2πrS＝πr2＝πd2/4扇形 r—扇形半径S＝πr2×a/360弓形 l－弧长b－弦长h－矢高r－半径α－圆心角的度数 S＝r2/2•πα/180-sinα＝r2arccosr-h/r - r-h2rh-h21/2＝παr2/360 - b/2•r2-b/221/2＝rl-b/2 + bh/2≈2bh/3圆环 R－外圆半径r－内圆半径D－外圆直径d－内圆直径 S＝πR2-r2＝πD2-d2/4椭圆 D－长轴d－短轴 S＝πDd/4立方图形名称符号面积S和体积V正方体 a－边长 S＝6a2V＝a3长方体 a－长c－高 S＝2ab+ac+bcV＝abc棱柱 S－底面积h－高 V＝Sh棱锥 S－底面积h－高 V＝Sh/3棱台 S1和S2－上、下底面积h－高 V＝hS1+S2+S1S11/2/3 拟柱体 S1－上底面积S2－下底面积S0－中截面积h－高 V＝hS1+S2+4S0/6圆柱 r－底半径h－高C—底面周长S底—底面积S侧—侧面积S表—表面积 C＝2πrS底＝πr2S侧＝ChS表＝Ch+2S底V＝S底h空心圆柱 R－外圆半径r－内圆半径h－高 V＝πhR2-r2直圆锥 r－底半径h－高 V＝πr2h/3圆台 r－上底半径R－下底半径h－高 V＝πhR2＋Rr＋r2/3球 r－半径d－直径 V＝4/3πr3＝πd2/6球缺 h－球缺高r－球半径a－球缺底半径 V＝πh3a2+h2/6＝πh23r-h/3a2＝h2r-h球台 r1和r2－球台上、下底半径h－高 V＝πh3r12＋r22+h2/6圆环体 R－环体半径D－环体直径r－环体截面半径d－环体截面直径 V＝2π2Rr2＝π2Dd2/4d－桶底直径h－桶高 V＝πh2D2＋d2/12母线是圆弧形,圆心是桶的中心V＝πh2D2＋Dd＋3d2/4/15母线是抛物线形计算人体表面积的公式较多,但大多数可写成1或2的形式;SA=cHα1Wα21这里SA为人体表面积m2；H为身高cm；W为体重kg；c、α1、α2为常数项;等式两边取自然对数,可将1式线性化为：lnSA=α0+α1lnH+α2lnW2 其中α0=lnc,ln为自然对数符号; 1916年由DuBois等直接测得9名观察者的身高、体重和体表面积,采用最小变异系数法,建立了第1个公认的人体表面积计算公式1,目前仍被广泛应用;1975年Gehan和George利用Boyd等直接测量的401例身高、体重和体表面积,应用最小二乘法拟合了2式〔1〕;1987年Mosteller按1式给出了容易记忆的简单公式c=1/60〔2〕;1973年Stevenson根据10例实测数据,提出了由身高与体重推算表面积的二元一次线性公式〔3〕,80年代赵松山等〔4,5〕分别报道了中国成年男女的计算公式;国内大多数教科书介绍的计算公式是：SA= 0.035W+0.1 W≤30 1.05+W-30×0.02 W>30几何体的表面积体积计算公式圆柱体:表面积:2πRr+2πRh 体积:πRRh R为圆柱体上下底圆半径,h为圆柱体高圆锥体:表面积:πRR+πRhh+RR的平方根体积: πRRh/3 r为圆锥体低圆半径,h为其高,平面图形名称符号周长C和面积S正方形a—边长C＝4a S＝a2长方形a和b－边长C＝2a+b S＝ab三角形a,b,c－三边长h－a边上的高s－周长的一半A,B,C－内角其中s＝a+b+c/2 S＝ah/2＝ab/2·sinC ＝ss-as-bs-c1/2＝a2sinBsinC/2sinA四边形d,D－对角线长α－对角线夹角S＝dD/2·sinα平行四边形a,b－边长h－a边的高α－两边夹角S＝ah＝absinα菱形a－边长α－夹角D－长对角线长d－短对角线长S＝Dd/2＝a2sinα梯形a和b－上、下底长h－高m－中位线长S＝a+bh/2＝mh圆r－半径d－直径C＝πd＝2πr S＝πr2＝πd2/4扇形r—扇形半径a—圆心角度数C＝2r＋2πr×a/360 S＝πr2×a/360 弓形l－弧长S＝r2/2·πα/180-sinαb－弦长＝r2arccosr-h/r - r-h2rh-h21/2h－矢高＝παr2/360 - b/2·r2-b/221/2r－半径＝rl-b/2 + bh/2α－圆心角的度数≈2bh/3圆环R－外圆半径S＝πR2-r2r－内圆半径＝πD2-d2/4D－外圆直径d－内圆直径椭圆D－长轴S＝πDd/4d－短轴。
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一、素质教育目标 （一）知识教学点 棱台、圆台的体积公式． （二）能力训练点 1．理解并掌握棱台、圆台的体积公式并会应用它解有关的问题． 2．了解柱体（棱柱和圆柱）、锥体（棱锥和圆锥）、台体（棱台和圆台） 有区别又有联系，可以转化． （三）德育渗透点 通过柱体、锥体、台体间的区别、联系及转化关系的教学，提高学生从事 物间的联系和变化中来认识事物的能力． 二、教学重点、难点 1．教学重点：棱台、圆台的体积公式及其应用．
（二）总结 这节课我们学习了棱台、圆台的体积公式及柱体、锥体、台体的体积公式之间 的关系． 五、作业 P．107中习题十四2、3、4、7、8、9． 复习一下P．79中习题4． 六、板书设计
棱台、圆台的体积
二、
这样，柱体、锥体、台体的体积之间可表示为下图： 例1、有一个正四棱台形油槽，可以装煤油190升，假如它的两底面边长
分别等于60cm和40cm，求它的深度．
解：∵上底面面积 S′=402=1600， 下底面面积 S=602=3600，
由已知 V=190 升=190000cm3，
答：油槽深度是 75cm．
若已知台体的上、下底面的面积分别是S′、S，高是h，那么这个台体的体 积是多少？
设截得台体时去掉的锥体的高是x，去掉的锥体和原来的锥体的体积分别是 V′、V（如图2表达式还含未知数 x，能否进一步用 S、S′、h 来表示 x 呢？注意原 锥体与去掉的锥体有什么关系？
生：相似关系． 师：相似形有什么性质？
生：对应面积比等于相似比的平方比．
代入上式，得
因此我们得到下面的定理：
定理 如果台体（棱台、圆台）的上、下底面的面积分别是 推论 如果圆台的上下底面半径分别是 r ′、r ，高是 h ，那么它的体积是 最后，我们注意到，在台体的体积公式中若设 S′=S，就得到柱体
2．教学难点：用S、S′、h表示截去锥体的高．
三、课时安排
1课时．
四、教学过程的设计
（一）引入新课
师：什么叫做棱台、圆台？
生：用平行于棱锥（圆锥）、底面的平面去截棱锥（圆锥），底面和截面之 间的部分叫做棱台（圆台）．
师：此定义可理解为棱台、圆台分别是棱锥、圆锥用平行于底面的平面截去 一个锥体得到的．而锥体的体积我们已经会计算，因此台体的体积可以用两 个锥体的体积差来计算．