棱台、圆台体积计算
棱柱、棱锥、棱台和圆柱、圆锥、圆台的体积
习
目 长分别为1和2，高为2，可计算它的面积为3，
课
标
堂
定 位
所以所求几何体的体积为V=Sh=3×1=3.
基 础
达
基 答案：3
标
础
自
知
主
能
学
提
习
升
作
业
6.一个正方体和一个圆柱等高，并且侧面积相等，则正方体
典
例
目 录
与圆柱的体积比是_______.
精 析
学 【解析】设正方体的棱长为a,圆柱的底面半径为r
目
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达
标 基
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达
标 基
体积计算公式
体积计算公式
圆柱体的体积公式：体积=底面积×高，如果用h代表圆柱体的高，则圆柱＝S底×h
长方体的体积公式：体积=长×宽×高
如果用a、b、c分别表示长方体的长、宽、高则
长方体体积公式为：V长=abc
正方体的体积公式：体积＝棱长×棱长×棱长。
如果用a表示正方体的棱长，则
正方体的体积公式为V正＝a·a·a＝a³
锥体的体积=底面面积×高÷3V圆锥＝S底×h÷3
台体体积公式：V=[S上+√（S上S下）+S下]h÷3
圆台体积公式：V=（R²+Rr+r²）hπ÷3
球缺体积公式＝πh²（3R-h）÷3
球体积公式：V＝4πR³/3
棱柱体积公式：V＝S底面×h＝S直截面×l（l为侧棱长，h为高）
棱台体积：V=〔S1＋S2＋开根号（S1xS2）〕/3h
注：V：体积；S1：上表面积；S2：下表面积；h：高。
几何体的表面积体积计算公式
几何体的表面积、体积计算公式圆台体积计算公式是：设上底的半径为r ,下底的半径为R ,高为h 则V＝ (1/3)*π*h*(R^2 + Rr +r^2)正棱台体积公式: 1/3h[S1+S2+(S1*S2) ^0.5]S1和S2为上下面面积任何立体的体积均可以归纳成： V＝1/6×h×(S1+S2+4S)S1指上表面；S2指下表面；S指高线垂直平分面；柱体：V＝1/6×h×(S1+S2+4S)V＝1/6×h×(S1+S1+4S1)V＝1/6×h×6SV＝Sh锥体：V＝1/6×h×(S1+S2+4S)V＝1/6×h×(S2/4×4+S2)V＝1/6×h×2S2V＝1/3×S2h球体：V＝1/6×h×(S1+S2+4S)V＝1/6×2r×(4S)V＝4/3×SrV＝4/3兀r^3棱台：V＝1/6×h×(S1+S2+4S)V＝1/6×h×(2S1+2S2+2sqrt(S1S2))V＝1/3×h×(S1+S2+sqrt(S1S2))圆台、球冠、球缺甚至球台都可以套用这个公式，计算并不复杂，建议各位都要牢牢记住。
（圆柱体: 表面积:2πRr+2πRh 体积:πRRh (R为圆柱体上下底圆半径,h为圆柱体高)圆锥体: 表面积:πRR+πR[(hh+RR)的平方根] 体积: πRRh/3 (r为圆锥体低圆半径,h为其高。
平面图形名称符号周长C和面积S正方形a—边长C＝4a S＝a2长方形a和b－边长C＝2(a+b) S＝ab三角形a,b,c－三边长h－a边上的高s－周长的一半A,B,C－内角其中s＝(a+b+c)/2 S＝ah/2＝ab/2·sinC ＝[s(s-a)(s-b)(s-c)]1/2＝a2sinBsinC/(2sinA)四边形d,D－对角线长α－对角线夹角S＝dD/2·sinα平行四边形a,b－边长h－a边的高α－两边夹角S＝ah＝absin α菱形a－边长α－夹角D－长对角线长d－短对角线长S＝Dd/2＝a2sinα梯形a和b－上、下底长h－高m－中位线长S＝(a+b)h/2＝mh 圆r－半径d－直径C＝πd＝2πr S＝πr2＝πd2/4扇形r—扇形半径a—圆心角度数C＝2r＋2πr×(a/360) S＝πr2×(a/360)弓形l－弧长S＝r2/2·(πα/180-sinα)b－弦长＝r2arccos[(r-h)/r] - (r-h)(2rh-h2)1/2h－矢高＝παr2/360 - b/2·[r2-(b/2)2]1/2r－半径＝r(l-b)/2 + bh/2α－圆心角的度数≈2bh/3圆环R－外圆半径S＝π(R2-r2)r－内圆半径＝π(D2-d2)/4D－外圆直径d－内圆直径椭圆D－长轴S＝πDd/4d－短轴平面图形名称符号周长C和面积S正方形a—边长C＝4aS＝a^2长方形a和b－边长C＝2(a+b)S＝ab三角形a,b,c－三边长h－a边上的高s－周长的一半A,B,C－内角其中s＝(a+b+c)/2 S＝ah/2 ＝ab/2·sinC ＝[s(s-a)(s-b)(s-c)]1/2 ＝a^2sinBsinC/(2sinA)四边形d,D－对角线长α－对角线夹角S＝dD/2·sinα平行四边形a,b－边长h－a边的高α－两边夹角S＝ah ＝absinα菱形a－边长α－夹角D－长对角线长d－短对角线长S＝Dd/2 ＝a^2sinα梯形：a和b－上、下底长h－高m－中位线长S＝(a+b)h/2 ＝mh 圆：r－半径d－直径C＝πd＝2πrS＝πr^2＝πd^2/4扇形r—扇形半径a—圆心角度数C＝2r＋2πr×(a/360)S＝πr^2×(a/360)弓形l－弧长b－弦长h－矢高r－半径α－圆心角的度数S＝r^2/2·(πα/180-sinα) ＝r^2arccos[(r-h)/r] - (r-h)(2rh-h^2)1/2 ＝παr^2/360 - b/2·[r^2-(b/2)^2]1/2＝r(l-b)/2 + bh/2≈2bh/3圆环R－外圆半径r－内圆半径D－外圆直径d－内圆直径S＝π(R^2-r^2)＝π(D^2-d^2)/4椭圆D－长轴d－短轴S＝πDd/4立方图形名称符号面积S和体积V正方体a－边长S＝6a^2 V＝a^3长方体a－长b－宽c－高S＝2(ab+ac+bc)V＝abc棱柱S－底面积h－高V＝Sh棱锥S－底面积h－高V＝Sh/3棱台S1和S2－上、下底面积h－高V＝h[S1+S2+(S1S2)^1/2]/3拟柱体S1－上底面积S2－下底面积S0－中截面积h－高V＝h(S1+S2+4S0)/6圆柱r－底半径h－高C—底面周长S底—底面积S侧—侧面积S表—表面积C＝2πrS底＝πr^2S侧＝ChS表＝Ch+2S底V＝S底h＝πr^2h空心圆柱R－外圆半径r－内圆半径h－高V＝πh(R^2-r^2)直圆锥r－底半径h－高V＝πr^2h/3圆台r－上底半径R－下底半径h－高V＝πh(R^2＋Rr＋r^2)/3球r－半径d－直径V＝4/3πr^3＝πd^3/6球缺h－球缺高r－球半径a－球缺底半径V＝πh(3a^2+h^2)/6 ＝πh^2(3r-h)/3a2＝h(2r-h)球台r1和r2－球台上、下底半径h－高V＝πh[3(r1^2＋r2^2)+h^2]/6圆环体R－环体半径D－环体直径r－环体截面半径d－环体截面直径V＝2π2Rr^2＝π2Dd^2/4桶状体D－桶腹直径d－桶底直径h－桶高V＝πh(2D^2＋d^2)/12 (母线是圆弧形,圆心是桶的中心) V＝πh(2D^2＋Dd＋3d^2/4)/15 (母线是抛物线形)何图形面积可以归纳成：S=1/6×H×(L1+L2+4L)L1上底L2下底L是位于高线上一半的中截险段。
棱柱、棱锥、棱台和圆柱、圆锥、圆台的体积
思考交流
柱体、锥体、台h
S 0 V 1 (S
3
SS S)h S S
V 1 Sh 3
S为底面面积， S分别为上、下底面
S为底面面积，
h为锥体高
面积，h 为台体高
h为柱体高
例1 埃及胡夫金字塔大约建于公元前2580 年，其形状为正四棱锥，金字塔高146.6m， 底面边长230.4m.问：这座金字塔的侧面积 和体积各是多少？
A
B ﹒C
例2 已知一正四棱台的上底边长为4cm,下底 边长为8cm，高为3cm.求其体积。
O
O′
课后作业 习题1—7 A组 第3、8题
知识小结
柱体、锥体、台体的体积
柱体 V Sh
S S'
台体 V 1 (S SS S)h 3
S' 0
锥体 V 1 Sh 3
1
V锥体
Sh 3
其中，S为锥体的底面积，h为锥体的高.
定理：等底等高锥体的体积相等
三、棱台和圆台
我们知道，用一个平行于底面的平面去 截棱锥，底面和截面之间的部分叫做棱台， 所以，棱台的体积可用两个棱锥的体积的差 来计算。实际上，圆台的体积也可以这样计 算。计算公式如下：
V台体 13（S上+S下+ S上 S下）h.
棱柱、棱锥、棱台和圆柱、 圆锥、圆台的体积
一、棱柱和圆柱
我们知道，长方体的体积等于它的底面 即乘高，类似地，棱柱和远处的体积和等于 它的底面即乘高.即
V柱体=Sh
其中，S为柱体的底面积，h为柱体的高.
等底等高柱体的体积相等吗？
定理：等底等高柱体的体积相等
圆台体积公式是什么？
圆台体积公式是什么？
圆台体积怎么计算，计算公式⼜是怎样的呢？不清楚的考⽣赶紧看过来，下⾯由店铺⼩编为你精⼼准备了“圆台体积公式是什么？”，持续关注本站将可以持续获取更多的考试资讯!
圆台体积公式是什么？
圆台体积公式：V=[S+S′+√(SS′)]h÷3=πh(R^2+Rr+r^2)/3。
⽤⼀个平⾏于圆锥底⾯的平⾯去截圆锥，底⾯与截⾯之间的部分叫做圆台。
⼀、圆台体积公式
公式中r为上底半径、R为下底半径、h为⾼。
圆台的表⾯积公式：S=πr²+πR²+πRl+πrl=π(r²+R²+Rl+rl)
r-上底半径、R-下底半径、h-⾼、l—母线=根号下[(R-r)²+h²]
⼆、圆台的性质
1、平⾏于底⾯的截⾯是圆。
2、过轴的截⾯是等腰梯形。
3、同别的棱台⼀样，若它是⼀个圆锥体在½处截断，则上底半径也应为下底的1/2，截下⾯积是整个圆锥⾯积的1/7。
过圆台侧⾯⼀点有且只有⼀条母线。
4、如果沿⼀个直⾓梯形垂直于底边的腰旋转⼀周，将得到⼀个圆台。
5、圆台任意两条母线延长后交于⼀点。
棱、柱、台的体积
2.
A
S
AD 6
OO ' 3 R
O' D 3
O
OD R
R2
S球 4R
2
A B
D
O'
C
3.如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的体
积是 (
B
)
A.27 C.33
B.30 D.36
5.已知一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面 相切，若这个球的体积是 32 , 则这个三棱柱的体 3 积是( D ) A. C.
x
h h
s'
s
s
V台体
1 ( s s ' ss ' )h 3
球的体积
球的表面积
S球 4R
2
R
4 3 V球 R 3
1.大正方体内切一球,球又内接一个小正 方体,则三个几何体的体积之比为_____
2:
2 3
3 : 9
求棱长为a的正四面体的体积？
2 3 V a 12
例：已知三棱锥 S ABC中三条侧棱两两垂直， SA 3, SB 4, SC 5, 求三棱锥S ABC的体积
A
S
A
B
O
B
S
VS ABC VASBC C
C
等体积转化
1 1 4 5 3 3 2
例：如图，多面体 ABCDEF中，已知面ABCD 是边长为3的正方形，EF // AB, 平面FBC 平面ABCD, 3 FBC中BC边上的高FH 2, EF , 2 求该多面体的体积
96 3
24 3
B. D.
16 3
48 3
柱、锥、台、球的表面积和体积
考基联动
考向导析
规范解答
限时规范训练
迁移发散 3．已知一个凸多面体共有 9 个面，所有棱长均为 1，其平面展开 图如图所示，则该凸多面体的体积 V ＝________. 解析：该几何体形状如图所示，是一个正方体与正四棱锥的组 合体，正方体的体积是 1，正四棱柱的体积是 2 . 6 2 ，故该凸多面 6
2 2
R 3R R－ ＝ ， 4 2
2
2
1 R2 3R 3πR 3 ∴圆锥的体积 V ＝ ×π× × ＝ . 3 4 2 24 答案：A
考基联动
考向导析
规范解答
限时规范训练
2．长方体三个面的面积分别为 2、6 和 9，则长方体的体积是 A．6 3 B．3 6 C．11 D．12
(
)
解析：设长方体的三边长为 a、b、c
答案：C
考基联动 考向导析 规范解答 限时规范训练
考向三 几何的展开与折叠
【例3】 有一根长为3π cm，底面半径为1 cm的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠 绕2圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，则铁丝的最短长度为多 少？
解：把圆柱侧面及缠绕其上的铁丝展开，在平面上得到矩 形 ABCD(如图所示)，由题意知 BC＝3π cm，AB ＝4π cm， 点 A 与点 C 分别是铁丝的起、止位置，故线段 AC 的长度 即为铁丝的最短长度．AC＝ AB2 ＋BC2 ＝5π(cm)，故铁丝的最短长度为 5π cm. 反思感悟：善于总结，养成习惯 求立体图形表面上两点的最短距离问题，是立体几何中的一个重要题型．这类题目的 特点是：立体图形的性质和数量关系分散在立体图形的几个平面上或旋转体的侧面上． 为了便于发现它们图形间性质与数量上的相互关系，必须将图中的某些平面旋转到同 一平面上，或者将曲面展开为平面，使问题得到解决．
圆台棱台公式
圆台棱台公式
圆台和棱台是一类常见的几何体，它们的体积计算公式被称为圆台棱台公式。
下面是圆台棱台公式的详细解释。
圆台是一个由一个圆和一个平行于其底面的直截了当的截面组成的三维图形。
它的体积可以用以下公式来计算：
V = 1/3 * π* r^2 * h
其中，V表示圆台的体积，π是一个常数，约等于3.14159，r是圆的半径，h 是圆台的高度。
这个公式的推导可以通过将圆台视为一个由无数个平行于底面的圆锥堆积而成的体积来得到。
棱台是一个由一个多边形和一个与其平行的直截了当的截面组成的三维图形。
它的体积可以用以下公式来计算：
V = 1/3 * 底面积* h
其中，V表示棱台的体积，底面积是棱台底面的面积，h是棱台的高度。
这个公式的推导可以通过将棱台视为一个由无数个平行于底面的三角形堆积而成的体积来得到。
需要注意的是，圆台和棱台的体积计算公式都包含了1/3这个系数，这是因为它们本质上都是由无数个平行于底面的三角形或圆锥堆积而成的，所以需要用1/3来对这种堆积进行处理。
同时，圆台的体积计算公式中还包含了π这个常数，因为它的底面是一个圆形。
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一、素质教育目标 （一）知识教学点 棱台、圆台的体积公式． （二）能力训练点 1．理解并掌握棱台、圆台的体积公式并会应用它解有关的问题． 2．了解柱体（棱柱和圆柱）、锥体（棱锥和圆锥）、台体（棱台和圆台） 有区别又有联系，可以转化． （三）德育渗透点 通过柱体、锥体、台体间的区别、联系及转化关系的教学，提高学生从事 物间的联系和变化中来认识事物的能力． 二、教学重点、难点 1．教学重点：棱台、圆台的体积公式及其应用．
（二）总结 这节课我们学习了棱台、圆台的体积公式及柱体、锥体、台体的体积公式之间 的关系． 五、作业 P．107中习题十四2、3、4、7、8、9． 复习一下P．79中习题4． 六、板书设计
棱台、圆台的体积
二、
这样，柱体、锥体、台体的体积之间可表示为下图： 例1、有一个正四棱台形油槽，可以装煤油190升，假如它的两底面边长
分别等于60cm和40cm，求它的深度．
解：∵上底面面积 S′=402=1600， 下底面面积 S=602=3600，
由已知 V=190 升=190000cm3，
答：油槽深度是 75cm．
若已知台体的上、下底面的面积分别是S′、S，高是h，那么这个台体的体 积是多少？
设截得台体时去掉的锥体的高是x，去掉的锥体和原来的锥体的体积分别是 V′、V（如图2表达式还含未知数 x，能否进一步用 S、S′、h 来表示 x 呢？注意原 锥体与去掉的锥体有什么关系？
生：相似关系． 师：相似形有什么性质？
生：对应面积比等于相似比的平方比．
代入上式，得
因此我们得到下面的定理：
定理 如果台体（棱台、圆台）的上、下底面的面积分别是 推论 如果圆台的上下底面半径分别是 r ′、r ，高是 h ，那么它的体积是 最后，我们注意到，在台体的体积公式中若设 S′=S，就得到柱体
2．教学难点：用S、S′、h表示截去锥体的高．
三、课时安排
1课时．
四、教学过程的设计
（一）引入新课
师：什么叫做棱台、圆台？
生：用平行于棱锥（圆锥）、底面的平面去截棱锥（圆锥），底面和截面之 间的部分叫做棱台（圆台）．
师：此定义可理解为棱台、圆台分别是棱锥、圆锥用平行于底面的平面截去 一个锥体得到的．而锥体的体积我们已经会计算，因此台体的体积可以用两 个锥体的体积差来计算．