高中数学 第三章 统计案例章末归纳总结课件 北师大版选修2-3
即时训练
一、选择题 1．一位母亲记录了儿子 3～9 岁的身高，数据(略)，由此 建立的身高与年龄的回归模型为^y＝7.19x＋73.93，用这个模型 预测这个孩子 10 岁时的身高，则正确的叙述是( ) A．身高一定是 145.83cm B．身高在 145.83cm 以上 C．身高在 145.83 左右 D．身高在 145.83cm 以下
(2) 没 有 充 分 的 证 据 显 示 是 否 喜 欢 韩 剧 和 性 别 有 关 ， 则 χ2≤2.706，
由 χ2＝32x56x×x3x－x 6x×6x2＝38x≤2.706，解得 x≤7.216， x·2·2·x
∵2x、6x为整数，∴若没有充分的证据显示是否喜欢韩剧和 性别有关，则男生至多有 6 人．
[解析] (1)列出下表，并用科学计算器进行有关计算：
i1 2 3
4
5
6
78
xi 70 74 80 78 85 92 90 95 yi 5.1 6.0 6.8 7.8 9.0 10.2 10.0 12.0 xiyi 357 444 544 608.4 765 938.4 900 1 140 i 9 10 11 12 13 14 15
4．通过对典型案例的探究，了解独立性检验(只要求2×2 列联表)的基本思想、方法及初步应用.
知识结构
专题研究
回归分析
蔬菜之乡山东寿光的某块菜地每单位面积菜地 年平均使用氮肥量 x kg 与每单位面积蔬菜 年平均产量 y t 之间 的关系有如下数据：
年份 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 x(kg) 70 74 80 78 85 92 90 95 y(t) 5.1 6.0 6.8 7.8 9.0 10.2 10.0 12.0 年份 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 x(kg) 92 108 115 123 130 138 145 y(t) 11.5 11.0 11.8 12.2 12.5 12.8 13.0
15
125，y2i ＝
i＝1
i＝1
15
1 628.55，xyi＝16 076.8.
i＝1
故蔬菜产量与施用氮肥量的相关关系数 r＝ 161 1251－6 01756×.81－01125×1 160218×.551－0.1115×10.112≈0.8643. 由此可以有把握认为蔬菜产量与氮肥量之间存在线性相关 关系．
2．了解两种统计方法(回归分析和独立性检验)的基本思想 及其初步应用，对于其理论依据不作要求，避免单纯记忆和机 械套用公式进行计算．
3．线性回归分析是在数学必修3的基础上，进一步认识线 性回归的方法及其可靠性，通过实例，从感性到理性逐层深入 地探求对线性相关程度进行检验的统计量(相关系数)，从而建 立线性回归分析的基本算法步骤．
[答案] 90% 0.1 [解析] 因为3.365>2.706，所以有90%以上的把握判定 “变量A，B有关联”，犯错误的概率不超过1－90%＝10%＝ 0.1.
三、解答题
6．对一作直线运动的质点的运动过程观测了 8 次，得到数
据如下表：
时刻 x/s 1 2 3
4
5
6
7
8
位置观测 5.54 7.52 10.02 11.73 15.69 16.12 16.98 21.06
成才之路 ·数学
北师大版 ·选修2-3
路漫漫其修远兮总结 第三章
1 知 识 梳理 2 知 识 结构 3 专题研究 4 即时训练
知识梳理
1．在统计案例的学习中，要经历较为系统的数据处理的 全过程，培养自己对数据的直观感觉，认识到统计方法的特点 (如统计推断可能犯错误、估计结果有随机性等)，体会统计方 法应用的广泛性，了解统计学对社会生活和科学研究的重要 性．
(2)设所求的回归直线方程为
y＝bx＋a，则
15 xiyi－15－x －y
i＝1
b＝
15 x2i －15－x 2
i＝1
＝16 017661.81－251－5×151×011×01120.11≈0.093 7，
a＝－y －b－x ＝10.11－0.093 7×101 ≈0.646 3， 所以回归直线方程为 y＝0.093 7x＋0.646 3. 当 x＝150 时，y＝0.093 7×150＋0.646 3＝14.701 3.
独立性检验
针对时下的“韩剧热”，某校团委对“学生性 别和是否喜欢韩剧是否有关”作了一次调查，其中女生人数是 男生人数的21，男生喜欢韩剧的人数占男生人数的61，女生喜欢 韩剧人数占女生人数的23.
(1)若有 95%的把握认为是否喜欢韩剧和性别有关，则男生 至少有多少人；
(2)若没有充分的证据显示是否喜欢韩剧和性别有关，则男 生至多有多少人．
xi 92 108 115 123 130 138 145 yi 11.5 11.0 11.8 12.2 12.5 12.8 13.0 xiyi 1 058 1 188 1 357 1 500.6 1 625 1 766.4 1 885
－x ＝1
15515＝101，－y ＝15115.7≈10.11，15 x2i ＝161
值 y/cm
(1)画出散点图；
(2)求位置 y 和时刻 x 的线性相关系数；
(3)试估计当 x＝9s 时的位置 y 的值．
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[分析] 有 95%的把握认为是否喜欢韩剧和性别有关，说 明 χ2>3.841，没有充分的证明显示是否喜欢韩剧和性别有关， 说明 χ2≤2.706.设出男生人数，并用它分别表示各类别人数，代 入 χ2 的计算公式，建立不等式求解即可．
[解析] 设男生人数为 x，依题意可得列表如下：
喜欢韩剧 不喜欢韩剧 总计
(1)求 x 与 y 之间的相关系数，并检验是否线性相关； (2)若线性相关，求蔬菜产量 y 与使用氮肥量之间的回归直 线方程，并估计每单位面积施肥 150 kg 时，每单位面积蔬菜年 平均产量． [分析] 使用样本相关系数计算公式来完成，然后判断线 性相关，再计算出 a、b，利用回归方程预测产量．
[答案] C [解析] 将 x 的值代入回归方程y^＝7.19x＋73.93 时，得到 的y^值是年龄为 x 时，身高的估计值，故选 C.
2．对于独立性检验，下列说法中错误的是( ) A．χ2值越大，说明两事件相关程度越大 B．χ2值越小，说明两事件相关程度越小 C．χ2≤3.841时，有95%的把握说事件A与B无关 D．χ2＞6.635时，有99%的把握说事件A与B有关 [答案] C [解析] χ2＞3.841时，有95%的把握说事件A与B有关．
男生
x
6
5x 6
x
女生
x
3
x
x
6
2
总计
x
2
x
3 2x
(1)若有 95%的把握认为是否喜欢韩剧和性别有关，则 χ2>3.841，
由 χ2＝32x56x×x3x－x 6x×6x2＝38x>3.841，解得 x>10.24. x·2·2·x
∵2x、6x为整数，∴若有 95%的把握认为是否喜欢韩剧和性 别有关，则男生至少有 12 人．
二、填空题 4．对于两个分类变量X与Y： (1)如果χ2＞6.635，就约有____________的把握认为“X与 Y有关系”； (2)如果χ2＞3.841，就约有____________的把握认为“X与 Y有关系”． [答案] (1)99% (2)95%
5．根据假设检验的思想，对于要推断的论述“变量A，B 有关联”，如果计算出χ2＝3.365，则有________以上的把握判 定“变量A、B有关联”，犯错误的概率不超过________．
3．对于回归分析，下列说法错误的是( ) A．在回归分析中，变量间的关系若是非确定关系，那么 因变量不能自由变量唯一确定 B．线性相关系数可以是正的，也可以是负的 C．回归分析中，如果r2＝1，说明x与y之间完全线性相关 D．相本相关系数r2∈(0,1) [答案] D [解析] 应当为闭区间[0,1]．
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2015-2016学年高中数学 第三章 统计案例整合课件 北师大版选修2-3
≈1.22,
a=������-b������≈72.3-1.22×71=-14.32, 所以 y 关于 x 的回归直线方程为 y=1.22x-14.32.
专题一
专题二
【例 2】在试验中得到变量 y 与 x 的数据如下表: x 19 23 27 31 35 y 4 11 24 109 325 试求 y 与 x 之间的回归方程,当 x=40 时,预测 y 的值.
作散点图,如图所示.
从图中可以看出 x 与 z 有很强的线性相关性. 由上表中的数据得到线性回归方程 z=0.277x-3.998. 所以,变量 y 关于 x 的非线性回归方程为 y=e0.277x-3.998.
专题一
专题二
点评非线性回归问题有时并不给出经验公式,这时我们可以画出
已知数据的散点图,把它与前面学过的幂函数、 指数函数、 对数函数等函数 的图像作比较,挑选一种跟这些散点拟合得最好的函数图像,然后采用适当 的变量置换,把问题转化为线性回归分析问题,使其得到解决.
2
������(������������-������������)2 = 应该很小. (������+������)(������+������)(������ +������)(������ +������)
专题一
专题二
【例 3】气管炎是一种常见的呼吸道疾病,医药研究人员对两种中草药 治疗慢性气管炎的疗效进行对比,所得数据如下表. 药效情况 有效 无效 总计 草药情况 复方江剪刀草 184 61 245 胆黄片 91 9 100 总计 275 70 345 问:它们的疗效有无差异. 思路分析:根据 2×2 列联表计算出 χ2 的值,再结合临界值即可作出合理 的判断. 解:根据列联表的数据可以求得 χ
高中数学第三章统计案例本章整合课件北师大版选修23
线性回归方程 y=a+bx 经过样本的中心点(������, ������),(������, ������)称为样本 点的中心,回归直线一定经过此点.
专题1 专题2 专题3
应用1观察两个相关变量的如下数据:
x -1 -2 -3 -4 -5 5 4 3 2 1 y -0.9 -2 -3.1 -3.9 -5.1 5 4.1 2.9 2.1 0.9
关系越强,在线性相关关系较强,即|r|>0.75时,求线性回归方程.
专题1 专题2 专题3
解:(1)列出下表,并用科学计算器进行计算.
i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ∑
xi 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 550
yi 62 68 75 81 89 95 102 108 115 122 917
=
���1���(x1+x2+x3+…+xn),������ = ���1���(y1+y2+y3+…+yn).
再由 a=������-b������求出 a 的值,最后写出线性回归方程.
(2)线性回归直线在y轴上的截距a和斜率b都是通过样本估计而 来,存在着误差,这种误差可能导致预报结果的偏差.
(3)线性回归方程y=a+bx中的b表示x每增加1个单位时y的变化量, 而a表示y不随x的变化而变化的量.
(1)求
b
时利用公式
b=������=∑1∑n(x(i-������x������)-(���y���)i2-y) i=1
=
������=∑������=∑1���������1���������������������2������ ���-���-������������������������2������,先求出������
专题1 专题2 专题3
应用1观察两个相关变量的如下数据:
x -1 -2 -3 -4 -5 5 4 3 2 1 y -0.9 -2 -3.1 -3.9 -5.1 5 4.1 2.9 2.1 0.9
关系越强,在线性相关关系较强,即|r|>0.75时,求线性回归方程.
专题1 专题2 专题3
解:(1)列出下表,并用科学计算器进行计算.
i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ∑
xi 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 550
yi 62 68 75 81 89 95 102 108 115 122 917
=
���1���(x1+x2+x3+…+xn),������ = ���1���(y1+y2+y3+…+yn).
再由 a=������-b������求出 a 的值,最后写出线性回归方程.
(2)线性回归直线在y轴上的截距a和斜率b都是通过样本估计而 来,存在着误差,这种误差可能导致预报结果的偏差.
(3)线性回归方程y=a+bx中的b表示x每增加1个单位时y的变化量, 而a表示y不随x的变化而变化的量.
(1)求
b
时利用公式
b=������=∑1∑n(x(i-������x������)-(���y���)i2-y) i=1
=
������=∑������=∑1���������1���������������������2������ ���-���-������������������������2������,先求出������
高中数学 第三章 统计案例章末归纳提升课件 北师大版选修2-3
【 思 路点 拨】 ∑xiyi－n x · y
i＝1 n n
对变量 进 行相 关性 检 验，可 用 公 式
2 2 2 ∑x2 － n x ∑ y － n y i i i＝1 i＝1
n
计算 r 的值，当|r|越接近于 1 时，
ห้องสมุดไป่ตู้
说明两个变量具有越强的线性相关关系．
【规范解答】 ∑y2 i ＝4 i＝1 842.4，
一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费 的时间，为此进行了 10 次试验，测得的数据如下： 零件数 x(个) 加工时间 y(分 钟) 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
62 68 75 81 89 95 102 108 115 122
(1)y 与 x 是否具有线性相关关系？ (2)如果 y 与 x 具有线性相关关系，求出线性回归方程．
可线性化的回归分析
曲线的线性化是曲线拟合的重要手段之一，对于某些非 线性的资料可以通过简单的变量替换使之线性化，这样就可 以按最小二乘法原理求出变换和变量的线性回归方程，同时 根据需要可将此线性回归方程还原成曲线回归方程，实现对 曲线的拟合．
常用的非线性函数曲线有：(1)幂函数曲线 y＝axb，作变 换 u＝ln y，v＝ln x，c＝ln a，得线性函数 u＝c＋bv；(2)指数 曲线 y＝aebx， 作变换 u＝ln y， c＝ln a， 得线性函数 u＝c＋bx； b 1 (3)倒指数曲线 y＝aex ，作变换 u＝ln y，c＝ln a，v＝ x，得线 性函数 u＝c＋bv；(4)对数曲线 y＝a＋bln x，作变换 v＝ln x， 得线性函数 y＝a＋bv.
经过调查得到 8 个厂家同种类型的产品年新增 加投资额和年利润额的数据资料，如下表所示： 八个厂家年新增投资额与年利润额数据资料 1 2 3 4 5 6 7 8 厂家 年新增投资 4 6 10 11 15 17 18 20 额 x(万元) 年利润 6 7 9 10 17 24 23 26 额 Y(万元) ln Y 1.79 1.95 2.20 2.30 2.83 3.18 3.14 3.26 求 Y 对 x 的回归方程．
北师大版高中数学选修2-3课件：第三章 统计案例 §1
数学D 选修2-3
第三章 统计案例
课前预习学案 课堂互动讲义 课后演练提升
xiyi－n x y
i＝1
5
∴r＝
5 2 2 2 xi －n x y2 － n y i i＝ 1 i＝1
5
＝
25 054－5×73.2×67.8 27 174－5×73.2223 167－5×67.82
A．r2<r1<0
C．r2<0<r1
B．0<r2<r1
D．r2Байду номын сангаасr1
数学D 选修2-3
第三章 统计案例
课前预习学案 课堂互动讲义 课后演练提升
解析：
对于变量Y与X而言，Y随X的增大而增大，故Y与
X正相关，即r1>0；对于变量V与U而言，V随U的增大而减小，
故V与U负相关，即r2<0，所以有r2<0<r1.故选C． 答案： C
i＝ 1
10
∴r＝
73 796－10×107.8×68 116 584－10×107.8247 384－10×682
≈0.750 6. ∵0.750 6 接近于 1，∴两次数学考试成绩有显著性线性相 关关系．
数学D 选修2-3
第三章 统计案例
课前预习学案 课堂互动讲义 课后演练提升
课堂互动讲义
怎样确定回归的模型
1．确定研究对象，明确要考虑哪两个变量之间的相关关 系． 2．画出确定好的两个变量的散点图，观察它们之间的关 系(如是否存在线性关系等)．
3 ．由经验确定回归方程的类型 ( 如观察到数据呈线性关
系，则选用线性回归方程＝bx＋a)． 4．按一定规则估计回归方程中的参数(如最小二乘法)．得 出回归方程．
高中数学第三章统计案例模块复习课课件北师大版选修2_3
专题归纳
高考体验
专题一
专题二
解(1)列出下表,并用科学计算器进行有关计算:
i xi yi 1 70 5. 1 2 74 6. 0 444 10 108 11. 0 3 80 6. 8 544 11 115 11. 8 4 78 7. 8 608. 4 12 123 12. 2 5 85 9. 0 765 13 130 12. 5 6 92 10. 2 938. 4 14 138 12. 8 7 90 10. 0 900 15 145 13. 0 8 95 12. 0 1 140
������ = ������-����������������� , ������)称为样本点的中心. ������ ������ =1
知识网络
要点梳理
(3)相关系数 当r>0时,表明两个变量正相关; 当r<0时,表明两个变量负相关. r的绝对值越接近于1,表明两个变量的线性相关性越强. r的绝对值越接近于0,表明两个变量之间几乎不存在线性相关关 系.通常|r|大于0.75时,认为两个变量有很强的线性相关性. 3.独立性检验 (1)分类变量:变量的不同“值”表示个体所属的不同类别,像这类 变量称为分类变量. (2)列联表:列出两个分类变量的频数表,称为列联表.假设有两个 分类变量X和Y,它们的可能取值分别为{x1,x2}和{y1,y2},其样本频数 列联表(称为2×2列联表)为
xi2 =161 125,
15
i=1
∑ ������������2 =1
628. 55, ∑ xi yi =16 076. 8.
专题归纳
高考体验
专题一
专题二
专题一 回归分析 【例1】 蔬菜之乡山东寿光的某块菜地每单位面积菜地年平均 使用氮肥量x kg与每单位面积蔬菜年平均产量y t之间的关系有如 下数据:
高中数学第3章统计案例章末高效整合课件北师大版选修2_3
10
10
10
x ＝55，y ＝91.7，x2i ＝38 500，y2i ＝87 777，xiyi＝55 950
i＝1
i＝1
i＝1
10
xiyi－10 x y
i＝1
r＝
10
10
x2i －10 x 2y2i －10 y 2
i＝1
i＝1
＝ 38 5005－5 1905×0－55120×87557×779－1.170×91.72≈0.999 8， 0．999 8>0.75，故 y 与 x 具有线性相关关系．
解析： (1)列出下表，并用科学计算器进行计算. i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 xi 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 yi 62 68 75 81 89 95 102 108 115 122
1 2 3 4 5 7 8 10 12 xiyi 620 360 250 240 450 700 140 640 350 200
∧
附：若(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)为样本点，y＝bx＋a
为回归直线，则 x ＝
1 n
n
xi，
y
＝
1 n
n
yi，
i＝1
i＝1
n
n
xi－ x yi－ y xiyi－n x y
i＝1
i＝1
b＝
＝
，a＝ y －b x .
n
xi－ x 2
n
x2i －n x 2
④可以利用线性回归方程 y＝a＋bx 预报在 x 取某一个值时 y 的估计值．
(3)先判定相关性，再求线性回归方程 利用样本相关系数 r 来判断两个变量之间是否有线性相关 关系时，可以依据若|r|>0.75，我们认为有很强的线性相关关系， 可以求线性回归方程，并可用求得的线性回归方程来预报变量 的取值；若|r|<0.75，则认为两个变量之间的线性相关关系并不 强，这时求线性回归方程没有太大的实际价值．
高二数学2013北师大版高中数学选修2-3第三章 统计案例复习课件
ln Y 1.79 1.95 2.20 2.30 2.83 3.18 3.14 3.26
求 Y 对 x 的回归方程．
【思路点拨】 先确定拟合函数模型，再利用公式求出
回归方程．
可线性化的回归分析
BS ·数学 选修2－3
曲线的线性化是曲线拟合的重要手段之一，对于某些非 线性的资料可以通过简单的变量替换使之线性化，这样就可 以按最小二乘法原理求出变换和变量的线性回归方程，同时 根据需要可将此线性回归方程还原成曲线回归方程，实现对 曲线的拟合．
BS ·数学 选修2－3
常用的非线性函数曲线有：(1)幂函数曲线 y＝axb，作变 换 u＝ln y，v＝ln x，c＝ln a，得线性函数 u＝c＋bv；(2)指数 曲线 y＝aebx，作变换 u＝ln y，c＝ln a，得线性函数 u＝c＋bx； (3)倒指数曲线 y＝aebx，作变换 u＝ln y，c＝ln a，v＝1x，得线 性函数 u＝c＋bv；(4)对数曲线 y＝a＋bln x，作变换 v＝ln x， 得线性函数 y＝a＋bv.
(2)设所求的线性回归方程为 y＝bx＋a，那么，由上表可
10
∑xiyi－10 得：b＝i＝110
∑x2i －10
x x
y
2
＝55
398505－001－0×105×5×55921.7≈0.668，
i＝1
a＝ y －b x ＝91.7－0.668×55＝54.96.
所以所求的线性回归方程为 y＝0.668x＋54.96.
BS ·数学 选修2－3
掌握这几种曲线模型，有利于我们研究更多的曲线拟合 与回归分析的问题．
利用线性回归拟合曲线的一般步骤 (1)绘制散点图． 绘制散点图，根据散点的分布，选择接近的、合适的曲 线类型． (2)进行变量替换 y′＝f(y)，x′＝g(x)． 使变换后的两个变量呈线性相关关系． (3)按最小二乘法原理求线性回归方程． (4)将线性化方程转换为关于原始变量 x，y 的回归方程．