结构动力学(5)-第四章 结构动力学的求解
结构动力学4
4.2 有阻尼体系的简谐振动
通解uc对应于有阻尼自由振动反应：
u c (t ) = e
−ζω n t
( A cos ω D t + B sin ω D t )
特解up可以设为如下形式 :
u p (t ) = C sin ωt + D cos ωt
p0 && & u + 2ζω n u + ω n u = sin ωt m
1 − (ω / ω n ) 2 C = u st [1 − (ω / ω n ) 2 ]2 + [2ζ (ω / ω n )]2 − 2ζω / ω n D = u st [1 − (ω / ω n ) 2 ]2 + [2ζ (ω / ω n )]2
运动方程的全解：u(t)=uc+up ：
u(t ) = e
u (t ) = C sin ωt + D cos ωt = u 0 sin(ωt − ϕ )
u0 —稳态振动的振幅 φ —相角，反映体系振动位移与简谐荷载的相位关系
D 2 2 −1 u 0 = C + D , ϕ = tan (− ) C
u 0 = u st 1 [1 − (ω / ω n ) 2 ] 2 + [ 2ζ (ω / ω n )] 2
uc (t ) = A cos ωn t + B sin ωn t
ωn = k / m
c - complementary
4.1 无阻尼体系的简谐振动
&& mu + ku = p 0 sin ωt
特解—满足运动方程的解，记为up(t) ，是由动 荷载p0sinωt直接引起的振动解。 设特解为：u p (t ) = C sin ωt + D cos ωt
结构动力学
第一章概述1．动力荷载类型：根据何在是否随时间变化，或随时间变化速率的不同，荷载分为静荷载和动荷载根据荷载是否已预先确定，动荷载可以分为两类：确定性（非随机）荷载和非确定性（随机）荷载。
确定性荷载是荷载随时间的变化规律已预先确定，是完全已知的时间过程；非确定性荷载是荷载随时间变化的规律预先不可以确定，是一种随机过程。
根据荷载随时间的变化规律，动荷载可以分为两类：周期荷载和非周期荷载。
根据结构对不同荷载的反应特点或采用的动力分析方法不同，周期荷载分为简谐荷载（机器转动引起的不平衡力）和非简谐周期荷载（螺旋桨产生的推力）；非周期荷载分为冲击荷载（爆炸引起的冲击波）和一般任意荷载（地震引起的地震动）。
2．结构动力学与静力学的主要区别：惯性力的出现或者说考虑惯性力的影响3．结构动力学计算的特点：①动力反应要计算全部时间点上的一系列解，比静力问题复杂且要消耗更多的计算时间②于静力问题相比，由于动力反应中结构的位置随时间迅速变化，从而产生惯性力，惯性力对结构的反应又产生重要的影响4．结构离散化方法：将无限自由度问题转化为有限自由度问题集中质量法：是结构分析中最常用的处理方法，把连续分布的质量集中到质点，采用真实的物理量，具有直接直观的优点。
广义坐标法：广义坐标是形函数的幅值，有时没有明确的物理意义，但是比较方便快捷。
有限元法：综合了集中质量法与广义坐标法的特点，是广义坐标的一种特殊应用，形函数是针对整个结构定义的；有限元采用具有明确物理意义的参数作为广义坐标，形函数是定义在分片区域的。
①与广义坐标法相似，有限元法采用了形函数的概念，但不同于广义坐标法在全部体系(结构)上插值(即定义形函数),而是采用了分片的插值(即定义分片形函数)，因此形函数的公式(形状)可以相对简单。
②与集中质量法相比，有限元法中的广义坐标也采用了真实的物理量，具有直接直观的优点。
5．结构的动力特性：自振频率、振型、阻尼第二章分析动力学基础及运动方程的建立1．广义坐标：能决定质点系几何位置的彼此独立的量；必须是相互独立的参数2．约束：对非自由系各质点的位置和速度所加的几何或运动学的限制；(从几何或运动学方面限制质点运动的设施)3．结构动力自由度，与静力自由度的区别：结构中质量位置、运动的描述动力自由度：结构体系在任意瞬间的一切可能的变形中，决定全部质量位置所需要的独立参数的数目静力自由度：是指确定体系在空间中的位置所需要的独立参数的数目为了数学处理上的简单，人为在建立体系的简化模型时忽略了一些对惯性影响不大的因素确定结构动力自由度的方法：外加约束固定各质点，使体系所有质点均被固定所必需的最少外加约束的数目就等于其自由度4．有势力的概念与性质：有势力（保守力）：每一个力的大小和方向只决定于体系所有各质点的位置，体系从某一位置到另一位置所做的功只决定于质点的始末位置，而与各质点的运动路径无关。
结构的动力学方程
结构的动力学方程()g MX CX KX MIx t ++=-clear; clc; n=4;II=sqrt(-1);%主结构质量、阻尼、刚度矩阵123400000000000m mM m m ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦M=eye(n)*1.0e+4; K=eye(n)*1.6*1.0e+7; %主结构刚度矩阵聚合 zk=zeros(n);122223333444400000k k k kk k k K k k k k k k +-⎡⎤⎢⎥-+-⎢⎥=⎢⎥-+-⎢⎥-⎣⎦for j=1:(n-1)zk(j,j)=K(j,j)+K(j+1,j+1); zk(j,j+1)=-K(j+1,j+1); zk(j+1,j)=-K(j+1,j+1); endzk(n,n)=K(n,n); k=zk; m=M;%求解各阶模态频率 [tzxl,tzz]=eig(k,m); d=diag(sqrt(tzz)); %振型规一化 for i=1:n[tzz1(i),j]=min(d); tzxl1(:,i)=tzxl(:,j); d(j)=max(d)+1; end%振型归一化取第一层振型为1 for j=1:ntzxl1(:,j)=tzxl1(:,j)/tzxl1(1,j); endw0=tzz1;w=tzz1/(2*pi); zhx=tzxl1;广义阻尼矩阵1112220333444200002000020002M M C M M ζωζωζωζω⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦各阶模态阻尼比都取0.05i ζ= %阻尼比ks0=0.05;ks=ones(n,1)*ks0;第n 阶广义质量：Tn n n M M φφ=%求广义质量 Mn=zhx'*m*zhx; 阻尼矩阵为：()()110TC C φφ--=%求阻尼矩阵 C=zeros(n); for i=1:nC(i,i)=2*ks(i)*w0(i)*Mn(i,i); endc=(zhx')\C/zhx;()()4222022222244g g g g x g g gS S ωζωωωωωζωω+=-+参数eg 即g ζ%过滤白噪声参数 eg=0.6; wg=15.708; S0=0.001574;%按照书上的要求，取频率和时间的最大值和步长 %频率间隔 dw=0.3;%最大频率范围 maxw=45; %最大时间值 maxt=40; %时间间隔 dt=0.2;%各层各时间点频率点的功率谱密度,循环变量：层数，时间点，频率点 Pwt=zeros(n,maxt/dt,maxw/dw); %频率点数循环变量wn wn=1;%对频率进行循环，求解各频率点的时间历程 for w=0:dw:maxwx1=1+4*eg^2*(w/wg)^2;x2=(1-(w/wg)^2)^2+4*eg^2*(w/wg)^2; Sgw=x1*S0/x2; s=sqrt(Sgw);%采用精细积分法进行求解时间历程，得到位移和速度时程 [disp,velp]=JINGXI67(M,zk,c,dt,maxt,w,s,n); Ywt=disp;for kkk=1:maxt/dt%求确定频率下各时间点的功率谱 Yw=Ywt(:,kkk);()()()()()1234t t t t t y y y y y ωωωωω⎧⎫⎪⎪⎪⎪=⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎩⎭每一时刻和频率点的位移向量，对其进行求共轭和装置得到协方差矩阵，对角上的元素即是每一时刻的各层的功率谱y1=conj(Yw);y2=transpose(Yw);()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()11121314212223243132333441424344t t t t t t t t t t t t t t t t yy t t t t t t t t t t t t t t t t y y y y y y y y y y y y y y y y S y y y y y y y y y y y y y y y y ωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωωω****************⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ %确定时间点确定频率下的功率谱Yw,取对角线元素Syyw=y1*y2; for kk=1:nPwt(kk,kkk,wn)=Syyw(kk,kk); end endwn=wn+1; end()()()()()()()()()()()()()()2012311231212222yyy yy yy yy n yy yy yy n yy yy n yy yy yy n S d S d S S S S S d S S S S S d σωωωωωωωωωωωωωωωω+∞+∞-∞--==⎡⎤ =⨯++++⋯+⎣⎦⎡⎤ =++++⋯+⎣⎦⎰⎰ %求解完成后实际上wn 为maxw/dw+2，实际频率点个数为maxw/dw+1%各层的时变方差，循环变量为：层数，时间点 Fangcha=zeros(n,maxt/dt); for tn=1:maxt/dt%求解各层的时变方差 for kk=1:nxx1=zeros(wn-1,1);%每一个时刻的方差对各频率点进行积分，频率点数取maxw/dw+1，即wn-1 for wn0=1:wn-1xx1(wn0)=Pwt(kk,tn,wn0); end%采用复合梯形求积公式对功率谱进行积分得到方差Fangcha(kk,tn)=(xx1(1)+xx1(wn-1)+2*sum(xx1(2:wn-1-1)))*dw; end end%画图c1=(1:maxt/dt)*dt; d1=Fangcha(1,:)/S0; d2=Fangcha(2,:)/S0; d3=Fangcha(3,:)/S0; d4=Fangcha(4,:)/S0; figure(3)plot(c1,d1,'k',c1,d2,'r',c1,d3,'m',c1,d4,'r-')精细积分的程序function [disp,velp]=JINGXI67(m,k,c,dt,maxt,w,s,n) %虚数单位 II=sqrt(-1); % i teω中的i ωIIW=II*w; I=eye(n); Z=zeros(n);离散化n 自由度结构受均匀调制演变随机激励(){}f t 时的运动微分方程可表示为：()()()My Cy Ky f t MIg t x t ++==-其中()x t 为平稳高斯白噪声随机过程向量，()g t 为调制函数。
结构动力学课件PPT
地震作用
200 0 -200
t(sec)
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
结构在确定性荷载作用下的响应分析通 常称为结构振动分析。 结构在随机荷载作用下的响应分析， 被称为结构的随机振动分析。 本课程主要学习确定性荷载作用下的结 构振动分析。
§1-3 动力问题的基本特性
§2-5 广义单自由度体系：刚体集合
刚体的集合（弹性变形局限于局部弹性
元件中） 分布弹性（弹性变形在整个结构或某些 元件上连续形成） 只要可假定只有单一形式的位移，使得 结构按照单自由度体系运动，就可以按 照单自由度体系进行分析。
E2-1
A
x
x p( x,t ) = p a ( t )
1
令：
5l FE (t ) q(t ) 8
y FE (t )
FE(t) 定义为体系的等效动荷载或等效干扰力。其通用表达式
P FE (t )
含义：等效动荷载直接作用在质量自由度上产生的动位移与
实际动荷载产生的位移相等！
已经知道柔度和刚度k 之间的关系为： k 表达式成为：
简支梁： 比较： 刚架： 基本质量弹簧体系：
大型桥梁结构 的有限元模型
§1-5 运动方程的建立
定义
在结构动力分析中，描述体系质量运动规律的数学 方程，称为体系的运动微分方程，简称运动方程。 运动方程的解揭示了体系在各自由度方向的位移 随时间变化的规律。 建立运动方程是求解结构振动问题的重要基础。 常用方法：直接平衡法、虚功法、变分法。
（2-3）
刚度法: 取每一运动质量为隔离体，通过分析所受 的全部外力，建立质量各自由度的瞬时力平衡方 程，得到体系的运动方程。
结构动力学(5)-第四章 结构动力学的求解
H ( ) Z 1 ( ) ( K 2 M )1 , r
def
u H ( ) f
其中 H ( ) 正是系统的位移频响函数矩阵，它的元素 H ij ( ) 具有柔度系数的量纲， 反映了在系统第j个自由度上施加单位正弦激励后第i个自由度的稳态位移响应幅值。
（2）频响函数矩阵的模态展开式 利用固有振型关于质量矩阵和刚度矩阵的加权正交性，对式动刚度矩阵左乘 和右乘
4．1 无阻尼自由振动
Mu(t ) Ku(t ) 0 u(0) u0 , u(0) u0
特性： 质量矩阵 1）反映系统的动能
T
1 T u Mu 0 2
1 T u Mu 0 2
2）正定 但也有例外：存在纯静态模态
u ，使
（针对两种情况：当采用集中质量矩阵时和当离散系统中设有无质量点的自由度时）
根据前面的分析，线性系统的响应可分为零初始状态下激励引起的响应及零 激励条件下初始条件引起的响应，即零状态响应及零输入响应。系统的响应可以 是其中某一种或两种之线性组合。研究下述微分方程的求解问题
Mu(t ) Ku(t ) f (t ) u(0) 0 u(0) 0,
Φ{diag [cos r t ]a diag [sin
1 r N
1 r N
r
t ]b}
其中
a [a1 aN ] ,
T def
b [b1 bN ]T
def
对于给定的初始条件
u0
和
u0
，可得到
u0 Φa ,
解出参数向量
u0 Φ diag[ r ]b
0 0
t
t
当考虑进系统初始状态对响应的贡献时，系统的响应为
结构动力学第四章结构动力学的求解演示文稿
Mu(t) Ku(t) 0
u(0) u0
u(0) u0
u Φq
得到：
Mqq(t) Kqq(t) 0
M rqr (t) Krqr (t) 0, r 1, , N
解为：
qr (t) ar cosrt br sinrt, r 1, , N
其中
a1 cos1t b1 sin1t
0
可知 j2, φ j 都是实数，取 2 2
u φeit 化为
(2M K)φ 0
（广义特征值问题）
（1）当质量矩阵式正定、刚度矩阵半正定时，可以找到非零的 φ0 ，满足：
于是有：
Kφ0 0 0 0 φ0
（2）当质量矩阵半正定时，则可以改写为
(M 2K)φ 0
由
Mφ 0
解出得到纯静态模态, 有：
t
t
u(t) 0 h(t ) f ( )d 0 h( ) f (t )d
当考虑进系统初始状态对响应的贡献时，系统的响应为
)
Φ
diag
1r N
sin r t M rr
ΦT
Φ
diag
1r N
sin r r
t
Φ
1Φ
diag
1r N
1 Mr
ΦT
V (t)M 1
其中 V (t) 是各自由度有单位初速度引起的自由振动。这里可以在各自由度上
依次作用单位脉冲引起的初速度列向量排成的矩阵恰好就是 M 1 ．
（2）任意激励下的响应 有了单位脉冲响应矩阵，系统受任意激励后的零状态响应为
取特解
u(t) usint
得到
Z()u (K 2M )u f
式中
def
Z() (K 2M)
结构动力学方程常用数值解法
结构动力学方程常用数值解法对于一个实际结构，由有限元法离散化处理后，动力学方程可写为：...++=()M x C x Kx F t从数学角度看，这是一个常系数的二阶线性常微分方程组，计算数学领域，常微分数值算法常用的有两大类：－、针对一阶微分方程数值积分法发展的欧拉法，中点法，Rugge-kutta（龙格—库塔）方法。
二、直接基于二阶动力学方程发展的方法。
对结构动力学问题的数值求解，常用的有两大类：一是坐标变换法，它是对结构动力方程式，在求解之前，进行模态坐标变换，实际上就是一种Rize变换，即把原物理空间的动力方程变换到模态空间中去求解。
现在，普遍使用的方法是模态（振型）迭加法。
二是直接积分法，它是对结构动力方程式在求解之前不进行坐标变换，直接进行数值积分计算。
这种方法的特点是对时域进行离散，然后将该时刻的加速度和速度用相邻时刻的各位移线性组合而成。
通常又称为逐步积分法。
模态迭加方法，比较常用，但如下情况通常使用直接积分方法（即求解之前不进行模态分析）一、非比例阻尼，非线性情况。
二、有冲击作用，激起高频模态，力作用持续时间较短，模态迭加计算量太大。
一振型迭加法与Duhamel积分数值解按照有限单元法的一般规则, 经过边界条件的约束处理, 结构在强迫振动时多自由度体系的运动平衡方程可以表示为:++= (1)MU CU KU R其中, M是体系的质量矩阵, C 是体系的阻尼矩阵, 而K 则是刚度矩阵. R 为外荷载向量. U、U和U则分别是体系单元节点的位移、速度和加速度向量. 上述动力平衡方程实质上是与加速度有关的惯性力MU和与速度有关的阻尼力CU及与位移有关的弹性力KU在时刻t与荷载的静力平衡。
振型叠加法是把多自由度体系的结构的整体振动分解为与振型次数相对应的单自由度体系, 求得各个单自由度体系的动力响应后, 再进行叠加得出结构整体响应. 振型叠加法原理是利用结构无阻尼自由振动的振型矩阵作为变换矩阵, 将结构动力方程式(1)式变换成一组非耦合的微分方程. 逐个地求解这些方程后, 将解叠加即可得到动力方程的解。
5-结构动力学(有限元计算)解读
结构分析模型
结构分析模型是结构模型的一种，是反 映真实结构几何与物理特性、供结构分析使 用的简化抽象计算图形。建立结构分析模型 是是实施结构动力反应分析的关键环节之一， 直接影响分析结果的可靠性。确定分析模型 的基本原则是反映真实结构的质量分布和抗 力体系，能描述结构在外界荷载作用下的变 形性质、且便于使用。模型的简化程度取决 于结构特征和计算目标，并与计算方法密切 相关；电子计算机的普及应用极大推动了分 析模型的发展。
f I f D fS p(t )
3.2.1.1-3 3.2.1.1-4
即
mu cu ku p(t )
公式 3.2.1.1-4 即为单自由度体系运动方程。
虚位移原理
虚位移原理可表述为：如果一组力作用下的平衡体系 承受一个虚位移（即体系约束所允许的任何微小位移）， 则这些力所作的总功（虚功）等于零，虚功为零和体系平 衡是等价的。因此，只要明了作用于体系质量上的全部力 （包括按照达兰贝尔原理所定义的惯性力），然后引入对 应每个自由度的虚位移，并使全部力作的功等于零，则可 导出运动方程。虚功为标量，故可依代数方法相加，这是 此法的主要优点。 当结构体系相当复杂，且包含许多彼此联系的质量点 或有限尺寸的质量块时，直接写出作用于体系上的所有力 的平衡方程可能是困难的；尽管作用于体系的力可以容易 地用位移自由度来表示，但它们的平衡关系则可能十分复 杂。此时，利用虚位移原理建立运动方程更为方便。
大，且积分方程求解困难，故一般不采用式（3.2.4）进行实际振动分析。
频域运动方程
时域运动方程经傅立叶变换可得频域运动方程。多自由 度弹性体系在地震作用下的频域运动方程为：
U () Hdd ()Ug ()
3.2.5
式中： U ( ) 为频域的地震反应矢量； H dd ( ) 为系统传递函 数矩阵； Ug () 为频域中的地震动输入矢量。运动方程（5） 为复数代数方程组，体系的频域反应经傅立叶反变换可得时 域反应。
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引入坐标变换
u(t ) Φq(t )
得到
M q q (t ) C q q (t ) K q q (t ) ΦT f (t ) 1 q(0) Φ 1u0 q(0) Φ u0 ,
其中
Mq Φ MΦ,
T
def
K q Φ KΦ,
T
def
H ( ) Z 1 ( ) ( K 2 M )1 , r
def
u H ( ) f
其中 H ( ) 正是系统的位移频响函数矩阵，它的元素 H ij ( ) 具有柔度系数的量纲， 反映了在系统第j个自由度上施加单位正弦激励后第i个自由度的稳态位移响应幅值。
（2）频响函数矩阵的模态展开式 利用固有振型关于质量矩阵和刚度矩阵的加权正交性，对式动刚度矩阵左乘 和右乘
系统第j个自由度受单位脉冲后第r阶模态坐标的响应为
M r qr (t ) K r qr (t ) jr (t ), r 1, , N qr (0) 0, qr (0) 0
解出
q r (t )
得系统响应为
jr
M r r
sin r t
u(t ) φr qr
r
def
def Kr Cr , r , r 1,, N Mr 2 M r Kr
写作矩阵形式
q (t ) diag [U r (t )]q0 diag [Vr (t )]q0
ΦT
Φ得
1 r N
Φ T Z ( )Φ Φ T ( K 2 M )Φ diag [ K r M r 2 ]
从而有
Z ( ) Φ T diag [ K r M r 2 ]Φ 1
1 r N
求逆，得到频响函数矩阵的模态展开式
T N φr φr 1 T H ( ) Φ diag[ ]Φ , r 2 K r M r 2 1 r N K r M r r 1
0 0
t
t
当考虑进系统初始状态对响应的贡献时，系统的响应为
u(t ) U (t )u0 V (t )u0 h(t ) f ( )d
0
t
上述过程中对无阻尼系统用模态坐标解耦、分析、再线性组合的方法来分 析了系统的振动问题。该方法一般称作振型叠加法（或模态叠加法），是处 理线性振动问题的通用工具。
H ij ( )
r 1
N
ir jr
K r M r
2
, r
圆板的第７阶模态
圆顶的第５阶模态
方盒的第１８阶模态
4．3 比例阻尼系统的振动
Mu(t ) Cu(t ) Ku(t ) f (t ) u(0) u0 u(0) u0 ,
u(t ) r φr sin(r t r ) φr (ar cos r t br sin r t )
r 1 r 1 N N
自由振动时： 模态坐标变换 得到：
Mu(t ) Ku(t ) 0 u(0) u0 u(0) u0
u Φq
其中 V ( t ) 是各自由度有单位初速度引起的自由振动。这里可以在各自由度上 依次作用单位脉冲引起的初速度列向量排成的矩阵恰好就是
M 1 ．
（2）任意激励下的响应
有了单位脉冲响应矩阵，系统受任意激励后的零状态响应为
u(t ) h(t ) f ( )d h( ) f (t )d
4．1 无阻尼自由振动
Mu(t ) Ku(t ) 0 u(0) u0 , u(0) u0
特性： 质量矩阵 1）反映系统的动能
T
1 T u Mu 0 2
1 T u Mu 0 2
2）正定 但也有例外：存在纯静态模态
u ，使
（针对两种情况：当采用集中质量矩阵时和当离散系统中设有无质量点的自由度时）
r 1 r 1
N
N
φr jr M r r
sin r t
注意这是单位脉冲响应矩阵的第j列，故单位脉冲响应矩阵为
T φr φr h(t ) sin r t M r r r 1 N
这正是单位脉冲响应矩阵的模态展开式。 此外也可推出
sin r t T sin r t 1 1 T h(t ) Φ diag Φ Φ diag Φ Φ diag Φ 1 r N M r r 1 r N r 1 r N M r 1 V (t ) M
H 2
（前乘特征向量的共轭转置）
j
2
φ j Kφ j φ j Mφ j
H
H
0
u φei t
化为
可知 2 , j
2 2 φ j 都是实数，取
( 2 M K)φ 0
（广义特征值问题）
（1）当质量矩阵式正定、刚度矩阵半正定时，可以找到非零的 φ0 ，满足：
频域分析
（1）动刚度矩阵和频响函数矩阵 取特解 得到 考察受正弦激励的系统
Mu(t ) Ku(t ) f sin t
u(t ) u sin t
Z ( )u ( K 2 M )u f
式中
Z ( ) ( K 2 M )
def
称作系统的动刚度矩阵 从而
Cq ΦT CΦ
def
阻尼矩阵可以对角化时，称为比例阻尼矩阵．
阻尼模型 Rayleigh 阻尼 Cauchy阻尼
C M K
C M r (M 1K ) r
r 0
n
可使阻尼阵对角化的充分条件是正定矩阵 M , K 和 C
满足下述三式之一
MK 1C CK 1 M CM 1 K KM 1C
3）对称 刚度矩阵 1）反映系统的势能
U
1 T u Ku 0 2
2）半正定 存在刚体模态，此时弹性势能为零 3）对称
齐次方程的解：令
u φe t
得到
(2 M K)φ 0
φj
讨论特征值和特征向量的性质： j , 1.满足 则
ห้องสมุดไป่ตู้
( j M K)φ j 0
2
φ j ( j M K)φ j 0
Φ{diag [cos r t ]a diag [sin
1 r N
1 r N
r
t ]b}
其中
a [a1 aN ] ,
T def
b [b1 bN ]T
def
对于给定的初始条件
u0
和
u0
，可得到
u0 Φa ,
解出参数向量
u0 Φ diag[ r ]b
qr (t ) U r (t )q0 r Vr (t )q0 r , r 1,, N
其中
def r U r (t ) e rr t (cos 1 r2 r t sin 1 r2 r t ) 2 1 r r r t def V (t ) e sin 1 r2 r t , r 1,, N r r 1 r2
MC 1 K KC 1 M
自由振动
T M r qr (t ) Cr qr (t ) K r qr (t ) φr f (t ), r 1, , N qr (0) q0 r , qr (0) q0 r
解耦后得到： M r qr (t ) Cr qr (t ) K r qr (t ) 0, r 1, , N qr (0) q0 r , qr (0) q0 r 得到 N 个独立模态坐标下的运动
其中
U (t ) Φ diag [cos r t ]Φ , V (t ) Φ diag
1
def
def
1 r N
1 r N
[sin r t / r ]Φ 1
代表各自由度分别具有单位初始位移和单位初始速度引起的系统自由振动。
4．2 无阻尼系统的受迫振动
Mu(t ) Ku(t ) f (t ) u(0) u0 u(0) u0
1 r N
a Φ 1u0 ,
系统的自由振动可以写为
b diag[1/ ]Φ 1u 0 r
1 r N
u(t ) Φ diag [cos r t ]Φ 1u0 Φ diag [sin r t / r ]Φ1u0
1 r N
1 r N
U (t )u0 V (t )u0
频响函数矩阵的元素为
H ij ( )
r 1
N
ir jr
K r M r 2
, r
模态展开式直观地揭示了系统频率特性与模态参数间的下述关系：
T φr φr H ( ) , K r M r 2
r
系统在该频带内呈现单自由度系统的振动性态。
时域分析
M q q(t ) K q q(t ) 0
M r qr (t ) Kr qr (t ) 0, r 1,, N
解为：
qr (t ) ar cos r t br sin r t , r 1,, N
a1 cos 1t b1 sin 1t u(t ) Φq (t ) Φ aN cos N t bN sin N t
T
φ j (l M K)φl 0 φl Kφ j K j jl
T
T
（模态质量和模态刚度）
归一化
φ j φ j / φ j Mφ j
得到
Φ MΦ I
T
Φ KΦ Ω
T