线性代数技巧分析

v1.0 可编辑可修改行列式主要有以下3种： 具体行列式的计算 抽象型行列式的的计算 行列式值的判定1）一般的行列式常用变换技巧 把每一行（列）都加到第一行（列）347534453542333322212223212)(---------------=x x x xx x x x x x x x x x x x x f把第一行（列）的k 倍加到其他行（列）上xxx x x x a a a x a ---+000004321把第一行（列）的k 倍加到第二行（列）上，再将新的第二行（列）加到第三行（列）上，依次进行此项操作......xa x a x a a 010010014321---2）爪形行列式通过将中间的那个爪子上的数字乘以相应的倍数然后加到某一边的爪子上以实现到上下三角行列式的变化40010301002111113)直接展开型（公式法）如何判断是按行展开还是按列展开呢 答：按两头不为零中间都是零的格式展开。

110000010000100001121nn a a a a4）三对角线行列式 数学归纳法(主要就是降阶)4100341003410034 =41034100341300034 = 41031340000341300034 =40121031340000341300034 =1214012113404134=⨯⨯⨯如果上面各步反过来就可以将分数约去 5）证明⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=a a a a a a a a a A 2121212122222 ，证n a n A )1(+=行列式的值：nn a n D )1(+=证明方法：数学归纳法 第一归纳法： 1>验证n=1时命题正确 2>设n=k 时命题正确 3>证明n=k+1时命题也正确第二归纳法：1>验证n=1和n=2时命题都正确 2>设n<k 时命题正确3>证明n=k 时命题正确321-=-n n f f这个n 阶命题只和一个低阶命题有关，那么只需要一个归纳假设，此时选择归纳法175321++=--n n n f f f对于这种情况，通过观察我们可以发现fn 不仅与其n-1阶命题有关，还与n-2阶命题有关，那么在这里我们则要使用归纳法26）特征值的求解311151113-----λλλ = 0，则λ=解：311151113-----λλλ =311151202-----λλλλ =411251002----λλλ然后按行展开即可得λ。

首先通过观察（主对角线上的数不看）可以发现，剩下的几个数可以通过变换变成0，关于如何去变换，这个需要自己去验证，一般试个几次就出来了，目的很简单：通过变换让一行（列）出现两个0即可。

111111--+----λλλaaa= 0,则λ= 111111--+----λλλaaa = 1111101--+-----λλλλaaa a =1121001-+-+---a aaa λλλ =112)1(-++--a aa λλλ在这里，我们可以发现，最后的式子比较复杂，直接计算有可能会出现错误，那么我们不妨将λ+a 进行变量代换，这样，既保证了计算的正确性，又节省了时间，当然，别忘了换回去。

7）求抽象行列式的值关键：记住并会灵活的运用各种公式 下面是两个比较重要的公式：332211321a a a ++=++λλλ 321λλλ=A“主对角线元素之和等于特征值之和” “特征值之积等于行列式的值”v1.0 可编辑可修改8）抽象型行列式的计算B A +没有运算法则；E 的恒等变形意思就是通过增添E （可以是一个矩阵与这个矩阵的逆矩阵的乘积）使得里面的形式发生变化（进行结合之类的），使得计算可以进行下去 举几个例子：A-3阶，|A|=4，则*12)51(A A -- =由11115)51(1)(----=⇒=A A A k kA 由1**-=⇒=A A A E A AA427)3(852)51(1311*1-=-=-=-----A A A A A A ，B 为3阶，|A|=3，|B|=2，21=+-B A ，则=+-1B A=+-1B A )()(1111A A B A B B E B EA ----+=+A A B B A A B B 1111)(----+=+=最后代数，结束。

9)下面这种情况，有两种套路 一：行列式的性质 二：相似首先是行列式的性质：例：A-3阶，3321-ααα维无关，3112ααα+=A ，3222ααα+=A ，321322αααα-+=A ，则=A)22,2,2(),,(3213231321αααααααααα-+++=A32133231332313213231321,,9,2,299,2,222,2,2,,ααααααααααααααααααααααα-=++-=-++=-+++=A这是利用相似来做（此方法很重要！）)22,2,2(),,(3213231321αααααααααα-+++=A()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=122210201,,321ααα==P PB AP ,()321,,ααα可逆B AP P =⇒-1所以=-==1222121B A 9- 另外，由于此题的特殊性，还可以用特征值的方法来做：)(3)(321321αααααα++=++A2121)(αααα-=-A)2(3633)2(321321321ααααααααα-+-=+--=-+A 因为321,,ααα无关，所以321ααα++02,0,032121≠-+≠-≠ααααα 再利用特征值之积为行列式的值即可算出A α=λα（特征值定义）对比上式，可得|A|=3×1×（-3）=-910）A-3阶，E-3阶单位矩阵，如A ，A-2E ，3A+2E 均不可逆，则|A+E|= 分析：由上面已知三个矩阵均不可逆可得对应的三个行列式都为0. 特征值法：1313131,3,1:32,2,0:032)3()32(3230023,02,03=⋅⋅=+∴+-=---=---=+⇒=-=+=-=E A E A A AE A E E A A E E A E A A λλ剩下两个同理11）证|A|=0AX=0有非0解反证法 （由1-A 找矛盾） r(A)<n0是特征值（∏=iA λ）|A| = -|A|第一条：克拉默法则的运用第二条：假设|A|不等于0，那么A 是可逆的，用A1-去找与已知条件的矛盾之处第三条：A 是n 阶的，如果A 的秩小于n ，说明A 里面存在元素全为0的行（列），也即行列式的值为0第四条：因为行列式的值为特征值的乘积，所以只要证明|A|存在特征值为0即得证 第五条：行列式表示的是一个数，若这个数等于其相反数，那么这个数为0，也得证12)矩阵A 的秩⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=c b a A 115031，遮住A 的第二列第三行，得⎥⎦⎤⎢⎣⎡5031，可以快速的推断：A 的秩大于等于2.相关知识：矩阵A 中非0子式的最高阶数A=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-000062001321，r （A ）=2；r （A ）=r ：A 中有r 阶子式不为0；每r+1阶（若还有）子式全为0. r （A ）=3⇔A 中有3阶子式不为0，且每四阶子式全为0. r （A ）<4⇔A 中4阶子全为0. r （A ）≥2⇔A 中有2阶子式不为0. A ≠0⇔r （A ）≥1A-n 阶，r （A ）=n ⇔|A|≠0⇔A 可逆r （A ）<n ⇔|A|=0⇔A 不可逆例子：0,2=⇒≠=A E A A A1）反证法若E A A A A A A ,0-12-1===≠可逆，则A2）（Ax=0有非0解）00A 0E -A 0AX 0)(2==∴≠=-=-⇒=A X E A E A A A A 解，故有非又的解的列向量是3）（用秩）A ,)(1)(0)()(0)(=<∴≥-⇒≠-≤⋅+∴=-故n A r E A r E A nE A r A r E A A（4）特征值法此题易错点：先矩阵乘法再两边取行列式之后，直接由矩阵关系得到行列式的关系。

比如：A ≠E ⇒|A-E|≠0；A ≠E ⇒|A|≠1nB r A r 20AX B 10AB s n ),(≤+==⨯⨯）（）（）的解的列向量是）若阶）（阶B n m A13）证明：AB n m m n B )(=⇒>⨯⨯阶），（，阶n m A1)(用秩)AB 为m 阶 m n B r AB r <≤≤)()(所需知识：v1.0 可编辑可修改)()()()(A .2))(),(min()(.1B r BA r B r AB r B r A r AB r ==>≤>可逆如2）（用齐次方程组有非0解）ABX=0BX=0{}的解必是则的解如果0ABX 0A0AB 0B 0BX ===⇒==∈αααα（此处证明方式数三出现过）3)(方程数小于未知数个数，必有非0解)AB 00ABX 00=∴=∴=⇒<解有非解有非BX mn用到的定理：解必有非，阶00AX n m )(=⇒<⨯n m A矩阵包括：运算，伴随，可逆，初等，正交，秩。

一.矩阵的乘法一般的，有C B 0A AC AB 30B 0A 0)2)1=⇒≠===⇒=≠不能，）或不能AB BAAB二．证明nB r A r 20AX B 10AB )s n ()n m (≤+==⨯⨯）（）（）的解的列向量是），若，B A 解：⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⨯⨯m n mn m m n n m n mn m m n n a a a a a a a a a a a a a a a C AB s n B n m A αβββαβββαααβββ 2211112121112121212222111211),(),( C 的行向量可以由B 的行向量线性表出（C 的列向量可以由A 的列向量线性表出）下面介绍一个重要的性质：[][][][]Ax A A a x xA A 1A r A8-A A 8-A -8A A A A -8A3-21412-83-214123-21412A 3-21412A A 12-843-216-42A 1A r 1A 1-n n ii 21-n n 2232n n =⇒====⇒=⋅=⋅==⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⇒⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡==⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡==∑的迹）（，）（如果综上，得：）（）（，则）（）矩阵2）型⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡000000c b a 例：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡0060000000310020000310020000310020002在这里，左下角的6=2×3；另外00310020003=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡， ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0000000000002400000006000540032103， 规律同上，右上角24=1×4×6；另外，000006000540032104=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡。