5.第13课时 二次函数的图象与性质

第三章 函数第13课时 二次函数的图象及性质(建议时间： 分钟)能力提升1. (2019衢州)二次函数y ＝(x －1)2＋3图象的顶点坐标是( ) A. (1，3) B. (1，－3) C. (－1，3) D. (－1，－3)2. (2019重庆B 卷)抛物线y ＝－3x 2＋6x ＋2的对称轴是( ) A. 直线x ＝2 B. 直线x ＝－2 C. 直线x ＝1 D. 直线x ＝－13. (2019兰州)已知点A (1，y 1)，B (2，y 2)在抛物线y ＝－(x ＋1)2＋2上，则下列结论正确的是( ) A. 2>y 1>y 2 B. 2>y 2>y 1 C. y 1>y 2>2 D. y 2>y 1>24. (苏科九下P 13练习第1题改编)抛物线y ＝－3x 2，y ＝13x 2，y ＝5x 2，y ＝－34x 2的共同性质是( )A. 开口向上B. 对称轴是y 轴C. 都有最高点D. y 随x 的增大而增大5. (2019济宁)将抛物线y ＝x 2－6x ＋5向上平移两个单位长度，再向右平移一个单位长度后，得到的抛物线解析式是( )A. y ＝(x －4)2－6B. y ＝(x －1)2－3C. y ＝(x －2)2－2D. y ＝(x －4)2－26. (2019荆门)抛物线y ＝－x 2＋4x －4与坐标轴的交点个数为( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 37. (2019呼和浩特)二次函数y ＝ax 2与一次函数y ＝ax ＋a 在同一坐标系中的大致图象可能是( )8. (2019陕西)在同一平面直角坐标系中，若抛物线y ＝x 2＋(2m －1)x ＋2m －4与y ＝x 2－(3m ＋n )x ＋n 关于y 轴对称，则符合条件的m 、n 的值为( )A. m ＝57，n ＝－187B. m ＝5，n ＝－6C. m ＝－1，n ＝6D. m ＝1，n ＝－29. (2019温州)已知二次函数y ＝x 2－4x ＋2，关于该函数在－1≤x ≤3的取值范围内，下列说法正确的是( )A. 有最大值－1，有最小值－2B. 有最大值0，有最小值－1C. 有最大值7，有最小值－1D. 有最大值7，有最小值－210. (2019河南)已知抛物线y ＝－x 2＋bx ＋4经过(－2，n )和(4，n )两点，则n 的值为( ) A. －2 B. －4 C. 2 D. 411. (2019绍兴)在平面直角坐标系中，抛物线y ＝(x ＋5)(x －3)经变换后得到抛物线y ＝(x ＋3)(x －5)，则这个变换可以是( )A. 向左平移2个单位B. 向右平移2个单位C. 向左平移8个单位D. 向右平移8个单位12. (2019遂宁)二次函数y ＝x 2－ax ＋b 的图象如图所示，对称轴为直线x ＝2，下列结论不正确的是( )A. a＝4B. 当b＝－4时，顶点的坐标为(2，－8)C. 当x＝－1时，b＞－5D. 当x＞3时，y随x的增大而增大第12题图13. (2019甘肃省卷)将二次函数y＝x2－4x＋5化成y＝a(x－h)2＋k的形式为.14. (2019天水)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，若M＝4a＋2b，N＝a－b.则M、N的大小关系为M N.(填“>”、“＝”或“<”)第14题图15. (2019凉山州)将抛物线y＝(x－3)2－2向左平移个单位后经过点A(2，2).16. (2019徐州中考说明典型题示例)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象上部分点的坐标满足下表：x…－3 －2 －1 0 1 …y…－6 0 4 6 6 …则该函数图象与x轴的交点坐标为.17. (2018徐州黑白卷)若二次函数y＝x2＋2x－m的图象与x轴有公共点，那么m的取值范围是.18. (2019泰安)若二次函数y＝x2＋bx－5的对称轴为直线x＝2，则关于x的方程x2＋bx－5＝2x－13的解为.能力提升1. (2019天津)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 是常数，a ≠0)的自变量x 与函数值y 的部分对应值如下表：且当x ＝－12时，与其对应的函数值y ＞0，有下列结论：①abc ＞0；②－2和3是关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝t 的两个根；③ 0＜m ＋n ＜203.其中，正确结论的个数是( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 32. (2019济宁)如图，抛物线y ＝ax 2＋c 与直线y ＝mx ＋n 交于A (－1，p )，B (3，q )两点，则不等式ax 2＋mx ＋c >n 的解集是 .第2题图3. (2019镇江)已知抛物线y ＝ax 2＋4ax ＋4a ＋1(a ≠0)过点A (m ，3)，B (n ，3)两点，若线段AB 的长不大于4，则代数式a 2＋a ＋1的最小值是 .4. (2019安徽)在平面直角坐标系中，垂直于x 轴的直线l 分别与函数y ＝x －a ＋1和y ＝x 2－2ax 的图象相交于P ，Q 两点.若平移直线l ，可以使P ，Q 都在x 轴的下方，则实数a 的取值范围是 .5. (2019台州)已知函数y ＝x 2＋bx ＋c (b ，c 为常数)的图象经过点(－2，4). (1)求b ，c 满足的关系式；(2)设该函数图象的顶点坐标是(m ，n )，当b 的值变化时，求n 关于m 的函数解析式；(3)设该函数的图象不经过第三象限，当－5≤x ≤1时，函数的最大值与最小值之差为16，求b 的值.满分冲关1. (2019杭州)在平面直角坐标系中，已知a ≠b ，设函数y ＝(x ＋a )(x ＋b )的图象与x 轴有M 个交点，函数y ＝(ax ＋1)(bx ＋1)的图象与x 轴有N 个交点，则( )A. M ＝N －1或M ＝N ＋1B. M ＝N －1或M ＝N ＋2C. M ＝N 或M ＝N ＋1D. M ＝N 或M ＝N －12. (2019玉林)已知抛物线C ∶y ＝12(x －1)2－1，顶点为D ，将C 沿水平方向向右(或向左)平移m 个单位得到抛物线C 1，顶点为D 1，C 与C 1交于点Q ，若∠DQD 1＝60°，则m 等于( )第2题图A. ±4 3B. ±2 3C. －2或2 3D. －4或4 3参考答案第13课时 二次函数的图象及性质基础过关1. A 【解析】由二次函数y ＝a (x －h )2＋k 的顶点坐标为(h ，k )，可得二次函数y ＝(x －1)2＋3的顶点坐标为(1，3).2. C 【解析】∵抛物线y ＝－3x 2＋6x ＋2＝－3(x －1)2＋5，∴抛物线的对称轴为直线x ＝1.3. A 【解析】把x 1＝1，x 2＝2分别代入y ＝－(x ＋1)2＋2，得y 1＝－2，y 2＝－7，∴y 2<y 1<2.4. B5. D 【解析】∵y ＝x 2－6x ＋5＝(x －3)2－4，∴将抛物线y ＝x 2－6x ＋5向上平移两个单位长度，再向右平移一个单位长度后，得到的抛物线解析式是y ＝(x －3－1)2－4＋2＝(x －4)2－2.6. C 【解析】∵y ＝－x 2＋4x －4＝－(x －2)2≤0，∴抛物线与x 轴只有一个交点；当x ＝0时，y ＝－4，∴抛物线与y 轴只有一个交点.∴抛物线与坐标轴的交点个数为2.7. D 【解析】一次函数y ＝ax ＋a ＝0时，x ＝－1，因此排除A 、B 选项；C 选项中一次函数a >0，二次函数a <0，相互矛盾；D 选项a >0，二次函数开口向上，一次函数过第一，二，三象限且过点(－1，0)，故选D .8. D 【解析】∵抛物线y ＝x 2＋(2m －1)x ＋2m －4与y ＝x 2－(3m ＋n )x ＋n 关于y 轴对称，∴⎩⎪⎨⎪⎧2m －1＝3m ＋n 2m －4＝n ，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1n ＝－2. 9. D 【解析】∵y ＝x 2－4x ＋2＝(x －2)2－2，∴抛物线的对称轴为x ＝2，∵－1＜2＜3，∴当x ＝2时抛物线有最小值为－2，当x ＝－1时，抛物线有最大值，最大值为(－1－2)2－2＝7.10. B 【解析】已知抛物线y ＝－x 2＋bx ＋4经过(－2，n )和(4，n )两点，∵两点的纵坐标相同，∴两点关于抛物线的对称轴对称，显然对称轴是直线x ＝－2＋42＝1，∴－b2×（－1）＝1，解得b ＝2，∴抛物线的解析式是y ＝－x 2＋2x ＋4，当x ＝－2时，y ＝－4，∴n ＝－4.11. B 【解析】∵y ＝(x ＋5)(x －3)＝(x ＋1)2－16，顶点坐标为(－1，－16)，变换后的抛物线为y ＝(x ＋3)(x －5)＝(x －1)2－16，顶点坐标为(1，－16)，∴由点(－1，－16)到点(1，－16)相当于将原抛物线向右平移2个单位，故选B .12. C 【解析】逐项分析如下：13. y ＝(x －2)2＋1 【解析】配方可得y ＝x 2－4x ＋5＝(x －2)2＋1.14. < 【解析】观察图象可知，当x ＝－1时，y ＝a －b ＋c >0，当x ＝2时，y ＝4a ＋2b ＋c <0.∵M ＝4a ＋2b ，N ＝a －b ，∴M ＋c <N ＋c .∴M <N .15. 3 【解析】设抛物线向左平移m 个单位，则平移后的解析式为y ＝(x －3＋m )2－2，代入A (2，2)，得2＝(2－3＋m )2－2，解得m 1＝－1(舍去)，m 2＝3，∴m ＝3.16. (－2，0)，(3，0) 【解析】∵x ＝0，x ＝1时，函数值y ＝6，∴其对称轴为直线x ＝1＋02＝12，∴点(－2，0)关于直线x ＝12对称的点的坐标为(3，0)，∴该函数图象与x 轴的交点坐标为(－2，0)，(3，0).17. m ≥－1 【解析】∵函数y ＝x 2＋2x －m 的图象与x 轴有公共点，∴方程x 2＋2x －m ＝0有实数解，即b 2－4ac ＝22－4×1×(－m )≥0，解得m ≥－1.18. x ＝2或x ＝4 【解析】∵二次函数y ＝x 2＋bx －5的对称轴是x ＝2，∴－b2＝2，即b ＝－4.∴关于x 的方程x 2＋bx －5＝2x －13为x 2 －4x －5＝2x －13，解得x 1＝2，x 2＝4.能力提升1. C 【解析】通过表格得知当x ＝0和x ＝1时，所对应的函数值y 相等，且都为－2，∴抛物线的对称轴为直线x ＝0＋12＝12，设抛物线的解析式为y ＝a (x －12)2＋k ，把点(0，－2)代入解析式得，－2＝a (0－12)2＋k ，解得k ＝－2－14a ，∴抛物线的解析式为y ＝a (x －12)2－2－14a .∵当x ＝－12时，y ＞0，∴a －2－14a ＞0，解得a ＞83＞0，∵对称轴为直线x ＝12＞0，a >0，∴b ＜0，∵c ＝－2＜0，∴abc ＞0，故①正确；当x ＝－2时，y ＝t ，由抛物线的对称性知当x ＝3时，y ＝t ，∴－2和3是关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝t 的两个根，故②正确；当x ＝－1时，y ＝m ，当x ＝2时，y ＝n ，根据抛物线的对称性知m ＝n ，∴把x ＝－1代入y ＝a (x －12)2－2－14a 得，m ＝2a －2，∴m ＋n ＝2m ＝4(a －1)＞4(83－1)＝203，故③错误. 2. x ＜－3或x ＞1 【解析】如解图，∵直线y ＝mx ＋n 过点A (－1，p )，B (3，q )，∴直线y ＝－mx ＋n 过点(1，p )，(－3，q )，∴ax 2＋mx ＋c >n 可以转化为ax 2＋c >－mx ＋n ，∴不等式的解集为x ＜－3或x ＞1.第2题解图3. 74 【解析】∵抛物线y ＝ax 2＋4ax ＋4a ＋1(a ≠0)过点A (m ，3)，B (n ，3)两点，∴m ＋n 2＝－4a 2a ＝－2，∵线段AB 的长不大于4，抛物线对称轴为直线x ＝－2，∴4a ＋1≥3 .∴a ≥12，∴a 2＋a ＋1的最小值为(12)2＋12＋1＝74. 4. a ＞1或a ＜－1 【解析】由题可知要使P 、Q 都在x 轴下方，即两函数图象左侧交点纵坐标小于0，分情况讨论如下：①当a ＝0时，函数y ＝x ＋1和y ＝x 2的图象如解图①所示，两交点纵坐标都大于0，舍去；②当a ＞0时，如解图②所示，函数y ＝x －a ＋1与y 轴交于N (0，－a ＋1)，函数y ＝x 2－2ax 与x 轴交于O 、M 两点，且点M 在点O 右侧，当0＜x ＜2a 时，y ＜0，∴只需点N 在x 轴下方即可，∴－a ＋1＜0，解得a ＞1；③当a ＜0时，如解图③所示，函数y ＝x －a ＋1与y 轴交于N (0，－a ＋1)，函数y ＝x 2－2ax 与x 轴交于O 、M 两点，且点M 在点O 左侧，当2a ＜x ＜0时，y ＜0，∴只需当x ＝2a 时，y ＝x －a ＋1＜0即可，∴a ＋1＜0，解得a ＜－1，综上所述，a ＞1或a ＜－1.图①图②图③ 第4题解图5. 解：(1)将点(－2，4)代入y ＝x 2＋bx ＋c 中得， 4＝(－2)2－2b ＋c . ∴c ＝2b .∴b ，c 满足的关系式是c ＝2b ；(2)把c ＝2b 代入y ＝x 2＋bx ＋c ，得y ＝x 2＋bx ＋2b . ∵顶点坐标是(m ，n )， ∴n ＝m 2＋bm ＋2b ， 且m ＝－b2，即b ＝－2m .∴n ＝m 2＋(－2m )m ＋2×(－2m )＝－m 2－4m . ∴n 关于m 的函数解析式为n ＝－m 2－4m .(3)由(2)的结论，画出函数y ＝x 2＋bx ＋c 和函数y ＝－x 2－4x 的图象如解图. ∵函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图象不经过第三象限，∴b 2－4ac ＝b 2－4×1×2b ＝b 2－8b ≤0，解得0≤b ≤8， ∴－4≤－b2≤0.①当－4≤－b2≤－2，即4≤b ≤8时，如解图①所示，当x ＝1时，函数取到最大值y ＝1＋3b ； 当x ＝－b2时，函数取到最小值y ＝8b －b 24，∴(1＋3b )－8b －b 24＝16，即b 2＋4b －60＝0.∴b 1＝6，b 2＝－10(舍去).②当－2＜－b2≤0，即0≤b <4时，如解图②所示，当x ＝－5时，函数取到最大值y ＝25－3b ； 当x ＝－b2时，函数取到最小值y ＝8b －b 24，∴(25－3b )－8b －b 24＝16，即b 2－20b ＋36＝0.∴b 1＝2，b 2＝18(舍去). 综上所述，b 的值为2或6.第5题解图满分冲关1. C 【解析】∵y ＝(x ＋a )(x ＋b )，a ≠b ，∴函数y ＝(x ＋a )(x ＋b )的图象与x 轴有2个交点，∴M ＝2；∵函数y ＝(ax ＋1)(bx ＋1)＝abx 2＋(a ＋b )x ＋1，a ≠b ，∴当ab ≠0时，由(a ＋b )2－4ab ＝(a －b )2>0可得函数y ＝(ax ＋1)(bx ＋1)的图象与x 轴有2个交点，即N ＝2，此时M ＝N ；当ab ＝0时，设a ＝0，∵a ≠b ，∴b ≠0，函数y ＝(ax ＋1)(bx ＋1)＝bx ＋1为一次函数，与x 轴有1个交点，即N ＝1，此时M ＝N ＋1.综上可知，M ＝N 或M ＝N ＋1.2. A 【解析】当向右平移m 个单位时，如解图①，∵抛物线C 中顶点D 的坐标为(1，－1)，∴抛物线C 1的顶点坐标为(1＋m ，－1)，过点Q 作QP ⊥DD 1于点P ，则由抛物线对称性可知，QD ＝QD 1，DP ＝D 1P ，∵∠DQD 1＝60°，∴△DQD 1是等边三角形，∴DP ＝m 2，QP ＝32m ，∴点Q 的坐标为(1＋m 2，32m －1)，∵点Q 在抛物线C 上，∴12(1＋m 2－1)2－1＝32m －1，解得m ＝43或m ＝0(舍去)；同理可得，当抛物11 线C 向左平移m 个单位时，如解图②，点Q 的坐标为(1－m 2，32m －1)，∴12(1－m 2－1)2－1＝32m －1，解得m ＝43或m ＝0(舍去)，∴m 的值为±43(向左平移m 为负).第2题解图。