反例在中学数学教学中的作用

毕业论文题目反例在中学数学教学中的作用学生姓名张栓学号1109014150 所在院(系) 数学与计算机科学学院专业班级数学与应用数学专业(师范类)11级2班指导教师张琳2015 年 5 月15 日陕西理工学院毕业论文反例在中学数学教学中的作用张栓（陕西理工学院数学与计算机科学学院数学与应用数学专业（师范类）11级02班，陕西汉中 723000）指导老师：张琳[摘要]主要阐述反例在中学数学教学中的几点功能，应用反例进行教学时应注意的几个问题及反例的背景类型等方面的内容。

在数学教学中利用反例可以有效的激发学生的求知欲，通过反例能使学生加深对基础知识的理解，反例不仅有助于学生全面正确的理解，掌握数学的基本概念和基本定理，而且是纠正错误，发现问题的重要途径。

[关键词]：反例中学数学教学作用1 引言在社会实践和学习过程中，人们都有这样一个经验，当你对某一问题苦思冥想而不得其解时，从反面去想一想，常能茅塞顿开，获得意外的成功。

用逆向思维方法从问题的反面出发，可以解决用直接方法很难或无法解决的问题。

它不仅是解决问题的有力手段，而且推动了数学的发展，开辟了数学领域的新天地。

当一个数学问题被提出来后，它面临着两种抉择：一是根据已知的公理、定义、定理等经过一系列的正确推理，推证命题成立；一是从一些迹象判断该命题不成立，然后寻求一个满足命题的条件，但使结论不成立的例证，从而否定这个命题。

后者即为通常所说的反例，重要的反例往往会成为数学殿堂的基石。

2 数学反例在中学教学中的应用背景《数学新课程标准》的基本理念的核心内容有这样一条：学生的数学学习内容应当是现实的、有意义的、富有挑战性的，这些内容要有利于学生主动地观察、实验、猜测、验证、推理和交流等数学活动。

内容的呈现应采取不同的表达方式以满足多样化的学习要求。

有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆，动手实践、主动探索与合作交流是学生学习数学的重要方式。

由于学生所处的文化环境、家庭背景和自身思维方式的不同，数学学习活动应当是一个生动的、主动的和富有个性的过程。

本条理念说明了要赋予数学学习活动以生命的活力，要发展学生的实践能力和创新精神。

数学教育不能再单纯地依赖模仿与记忆，要转变过去封闭、被动、接受性的学习方式，倡导动手实践、自主探索与合作交流学习数学的重要方式。

那么教师在教学过程中要凸显学习过程的探究性，应注重创设问题情境，引发矛盾冲突，激发学习兴趣，激活探究欲望，提供探究材料，构建探究性活动过程，让学生在活动中探究，在探究中体验，在体验中发现，合作探究，自主构建。

数学反例在中学教学中的应用恰好迎合此理念，它是激发学生学习兴趣，培养学生创新能力，开发学生创造性思维的一种必不可少的教学方法。

3 反例的来源与构造证明一个猜想是真实可靠的，必须经过严格的推理证明才能得出结论;而要证明一个猜想是假的,就只需要找到这个猜想命题的反例.在数学学习中,有这样一种现象：教师为了说明一个命题是假命题, 就举出一个例子, 说出这个例子虽然满足命题的条件, 但是不能满足命题的结论,这就是常用的反例证明。

但是反例是怎样获得的呢?与获得证明的方法一样,反例的获得也需要经过一系列深层次的思维活动,其方法包括:观察与实验,归纳,分析与综合,概括与抽象等,反例决不是凭空得到的。

从概念的定义入手分析获得反例是最常用的一种方法，概念是反映事物本质属性的思维形式。

在数学问题中,若首先给出一个概念的定义,然后判断一个猜想是否正确,则反例的获得就常常需要从定义入手分析。

数学中的反例作为简明而又有力的否定方法,它不仅在培养逆向思维能力中占有重要地位，而且在纠正错误结论、澄清概念、开拓数学新领域中也起到了非常重要的作用，正如美国数学家盖尔鲍姆所说：“数学是由两大类－证明和反例组成，而数学的发展也是朝着这两个目标的即提出证明和构造反例。

”4 数学反例的概念与类型数学中的反例，是指符合某个命题的条件而又不符合该命题结论的例子。

也就是说反例是一种指出某命题不成立的具体例子。

从某种意义上来说，所有的例子都可以称为反例，因为它总可以指出某命题不成立。

但是我们所说的数学反例，应该注意这样几点：①是相对于数学命题而言；②是具体的实例；③是反驳与纠正错误数学命题的一种方法；④是它建立在数学上已经证实了的理论与逻辑推理的基础上。

一般来说，一个假命题的反例有多个，我们在举反例时，只选其中一个有代表性的就可以了。

反例是相对于命题而言，它的产生与分类和数学命题的结构密切相关，因此在数学上的反例可以分为以下几种类型：4.1 基本形式的反例数学命题有以下4种基本形式：全称肯定判断，全称否定判断，特称肯定判断，特称否定判断。

全称肯定判断（所有，都有，）与特称否定判断（有，不是，）可以互为反例。

例如对任何自然数n都有nn的值为1，这是全称肯定判断，但当0n时，1，这是特称否定判断，这就是反例。

4．2充分条件假言判断与必要条件假言判断的反例充分条件的假言判断是断定某事物情况是另一事物情况充分条件的假言判断，可以表述为因为某某所以某某。

即“有前者，必有后者”。

但是“没有前者，不一定没有后者”。

必要条件的假言判断，可表述为因为某某不存在，故某某也不存在，即“没有后者，就没有前者”。

但是“有了前者，不一定有后者”。

可举反例“有了前者，没有后者”说明之。

这种反例称为关于必要条件假言判断的反例。

4．3 条件变化型反例数学命题的条件改变时，结论不一定正确，为了说明这一点所举出的反例称为条件变化型反例。

条件变化有多种，有减少条件，有增加条件，有变化条件，考查这几种情况下结论的变化，对数学科学的研究与教学是很有益的。

5 反例在数学教学中的作用反例的寻找为新兴学科的发展提供了源泉，被誉为大自然的几何学的分形(Fractal)理论,是现代数学的一个新分支,但其本质却是一种新的世界观和方法论.它与动力系统的混沌理论交叉结合,相辅相成.它承认世界的局部可能在一定条件下.过程中,在某一方面(形态,结构,信息,功能, 时间,能量等)表现出与整体的相似性,它承认空间维数的变化既可以是离散的也可以 是连续的,因而拓展了视野. 虽然分形几何的概念是美籍法国数学家曼德尔布罗特1975 年首 先提出的, 但最早的工作可追朔到 1875 年, 德国数学家维尔斯特拉斯构造了处处连续但处处不可微的函数,集合论创始人康托德国数学家)构 造了有许多奇异性质的三分康托集.1890 年,意大利数学家皮亚诺构造了 填充空间的曲线.1904 年,瑞典数学家科赫设计出类似雪花和岛屿边缘 的一类曲线.1915 年,波兰数学家谢尔宾斯基设计了象地毯和海绵一 样的几何图形.这些都是为解决分析与拓朴学中的问题而提出的反例,但它们正是分形几何思想的源泉.以后,这一领域的研究工作没有引起更多人的注意,先驱们的工作只是作为分析与拓扑学教科书中的反例而流传开来.5.1运用反例进行教学，能够帮助学生正确全面地理解数学概念数学概念的教学，不仅要运用正面的例子加以深刻阐明，而且要通过合适的反例，从另一个侧面抓住概念的本质，使学生对所学概念进一步反思，从而达到深刻理解和掌握该概念的目的。

例1：关于函数的概念，不少学生片面地认为：一个变量随着另一个变量的变化而变化，它们之间的关系就是函数关系，为了帮助学生澄清、纠正这一错误认识，可向学生提出这样的两个问题：(1)人的身高与年龄成函数关系吗？(2)若tan cot y x x ， 则y 是x 的函数吗？结果不少学生都认为(1)人的身高与年龄有关系，因而人的身高与年龄构成函数关系。

而(2)中由于tan cot y x x =1，因变量y 不随x 的变化(1y )，故y 不是x 的函数。

老师学生一起参与讨论。

发现问题(1)里，尽管人的身高与年龄有关系，但年龄并不能确定人的身高，即当自变量(人的年龄)发生变化时，因变量(身高)没有完全确定的值和它对应，因此不符合函数的定义。

而在问题(2)里，对每一个给定的x 值(在x 的定义域内)，y 随x 总有唯一确定的值(1y )和它对应，只不过当x 变化时，y 的值始终不变罢了。

由此使学生认识到y 是x 的函数，并非一定要求y 随x 的变化而变化。

通过所举两个反例的学习，学生便自觉地体会到：对变量x 的每一个确定的值，变量y有唯一确定的值和它对应，这才是构成函数关系的本质。

教学中，概念、定理、公式一般采用正面阐述的形式，学生往往对一些关键性词语认识不够，对所给条件理解不透彻，不能抓住它的本质属性，只是机械地记忆概念、定理的名称和公式的结构。

如果遇到概念、定理、公式的名称相近或结构类似，就容易造成理解上的混淆。

比如“36的平方根是多少？”有的同学会不假思索回答：“6”。

说明他们没有把“一个正数有两个平方根，它们互为相反数”这个概念搞清楚。

此时只要举出反例“(6)(6)36”，就加深了理解，很有说服力。

再如：“定理：对角线相等且互相平分的四边形是矩形”与“定理：对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形”内容很相近，公式22a b 与2()a b 结构形式相近，学生搞不清楚。

因此在教学中，诸如此类的问题，讲述时多举反例，（也可鼓励学生举反例），达到强化理解的作用。

5.2引入反例进行教学，能够增强学生发现问题、纠正错误的观念。

学生在解题中经常出现差错且不易发现、纠正。

对此，可以引入反例，让学生学习、讨论，帮助他们发现问题，分析错误原因，找出正确的解题方法。

例2：学生在判断两个相关联的量是否成反比例的量时，往往不是很清楚，如下面的一个实例：小美总共要做10道数学题，已经做了的题和没有做的题是否是成反比例的。

错解：已经做了的题和没有做的题是成反比例的。

有大多数的学生认为这是对的，他们没有充分理解成反比例的三个条件，这个题只满足了前面的两个而没有满足第三个：两个量的乘积一定。

这个题是两个量的和一定，此刻学生便清楚地意识到上面错解的原因，从而更加深刻的理解成反比例的三个条件。

例3：学生解有关分式方程去分母时，往往会出现漏乘现象，如下面的一个实例：解方程：2111x错解:方程两边同乘以(1)x ，得： 2(1)1x , 即0x经检验知0x 是原方程的解。

学生们看完后竟有一半人认为这个解答正确，理由是由把0x代入方程两边相等。

于是，我又举了一个简单的分式方程412x 如何去分母？此刻学生便清楚地意识到上面错解的原因是去分母时漏乘(方程右边未乘以(1)x )，于是学生便迅速地得出正确解法。

通过上面两个例子的教学，例2:使学生能更好的理解成反比例的三个条件是缺一不可的，要同时满足三个条件才是成反比例的量。

例3:加深了学生对解分式方程去分母不要漏乘的印象。

同时，也使学生认识到，解答结果对并不能保证解题过程的正确。