大学物理学_第二版_第1-3章习题解答

大学物理学习题答案

习题一答案

习题一

1.1 简要回答下列问题：

(1)位移和路程有何区别？在什么情况下二者的量值相等？在什么情况下二者的量值不相等？

(2) 平均速度和平均速率有何区别？在什么情况下二者的量值相等？

(3) 瞬时速度和平均速度的关系和区别是什么？瞬时速率和平均速率的关系和区别又是什么？

(4)质点的位矢方向不变，它是否一定做直线运动？质点做直线运动，其位矢的方向是否一定保持不变？ (5)r ∆v 和r ∆v 有区别吗？v ∆v 和v ∆v 有区别吗？0dv dt =v 和0d v dt

=v 各代表什么运动？

(6)设质点的运动方程为：()x x t =，()y y t =，在计算质点的速度和加速度时，

有人先求出r =，然后根据

dr v dt

= 及 22d r a dt = 而求得结果；又有人先计算速度和加速度的分量，再合成求得结果，即

v = 及 a = 你认为两种方法哪一种正确？两者区别何在？

(7) 如果一质点的加速度与时间的关系是线性的，那么，该质点的速度和位矢与时间的关系是否也是线性的？

(8)“物体做曲线运动时，速度方向一定在运动轨道的切线方向，法向分速度恒为零，因此其法向加速度也一定为零.”这种说法正确吗？

(9) 任意平面曲线运动的加速度的方向总指向曲线凹进那一侧，为什么？

(10) 质点沿圆周运动，且速率随时间均匀增大，n a 、t a 、a 三者的大小是否随时间改变？

(11) 一个人在以恒定速度运动的火车上竖直向上抛出一石子，此石子能否落回他的手中？如果石子抛出后，火车以恒定加速度前进，结果又如何？ 一质点沿x 轴运动，坐标与时间的变化关系为224t t x -=，式中t x ,分别以m 、s 为单位，试计算：(1)在最初s 2内的位移、平均速度和s 2末的瞬时速度；(2)s 1末到s 3末的平均加速度；(3)s 3末的瞬时加速度。

解：

(1)最初s 2内的位移为为： (2)(0)000(/)x x x m s ∆=-=-=

最初s 2内的平均速度为： 00(/)2ave x v m s t ∆=

==∆ t 时刻的瞬时速度为：()44dx v t t dt

==- s 2末的瞬时速度为：(2)4424/v m s =-⨯=-

(2) s 1末到s 3末的平均加速度为：2(3)(1)804/22

ave v v v a m s t ∆---=

===-∆ (3) s 3末的瞬时加速度为：2(44)4(/)dv d t a m s dt dt -===-。 质点作直线运动，初速度为零，初始加速度为0a ，质点出发后，每经过τ时间，加速度均匀增加b 。求经过t 时间后，质点的速度和位移。

解: 由题意知，加速度和时间的关系为

利用dv adt =，并取积分得

000v t

b dv a t dv τ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭⎰⎰，202b v a t t τ=+ 再利用dx vdt =，并取积分[设0t =时00x =]得

00x t

x dx vdt =⎰⎰，230126b x a t t τ

∆=+ 一质点从位矢为(0)4r j =r r 的位置以初速度(0)4v i =r r 开始运动，其加速度与时间

的关系为(3)2a t i j =-r r r .所有的长度以米计，时间以秒计.求：

（1）经过多长时间质点到达x 轴；

（2）到达x 轴时的位置。

解： 203()(0)()4(2)2t v t v a t dt t i t j ⎛⎫=+=+- ⎪⎝

⎭⎰r r r r r （1） 当240t -=，即2t s =时，到达x 轴。

（2） 2t s =时到达x 轴的位矢为 ：(2)12r i =r r

即质点到达x 轴时的位置为12,0x m y ==。

一质点沿x 轴运动，其加速度与坐标的关系为2a x ω=-，式中ω为常数，设0=t 时刻的质点坐标为0x 、速度为0v ，求质点的速度与坐标的关系。

解：按题意 222d x x dt

ω=- 由此有 dx dv v dt dx dx dv dt dv dt x d x ====-222

ω， 即 xdx vdv 2ω-=，

两边取积分 ⎰⎰-=x

x v v xdx vdv 0

02ω， 得 2022122212021221

x x v v ωω+-=- 由此给出

v =±，202

02x v A +⎪⎭

⎫ ⎝⎛=ω 一质点的运动方程为k t j t i t r ϖϖϖϖ++=24)(，式中r ，t 分别以m 、s 为单位。试求：

(1) 质点的速度与加速度；(2) 质点的轨迹方程。 解：(1) 速度和加速度分别为： (8)dr v t j k dt ==+v v v v ， j dt

v d a ϖϖ8== (2) 令k z j y i x t r ϖϖϖϖ++=)(，与所给条件比较可知 1=x ，24t y =，t z =

所以轨迹方程为：21,4x y z ==。

已知质点作直线运动，其速度为213()v t t ms -=-，求质点在0~4s 时间内的路程。 解: 在求解本题中要注意：在0~4s 时间内，速度有时大于零，有时小于零，因

而运动出现往返。如果计算积分40

vdt ⎰，则求出的是位移而不是路程。求路程应当计算积分4

v dt ⎰。令230v t t =-=，解得3t s =。由此可知：3t ，

v v =； 3t =s 时，0v =；而3t >s 时，0v <，v v =-。因而质点在0~4s 时间内的路程为

34

232303313116()2

3233t t t t m ⎡⎤⎡⎤=---=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦。 在离船的高度为h 的岸边，一人以恒定的速率0v 收绳，求当船头与岸的水平距离为x 时，船的速度和加速度。

解: 建立坐标系如题图所示，船沿X 轴方向作直线运动，欲求速度，应先建立运动方程，由图题，可得出

习题图