大学物理学_第二版_第1-3章习题解答

大学物理学习题答案习题一答案习题一1.1 简要回答下列问题：(1)位移和路程有何区别？在什么情况下二者的量值相等？在什么情况下二者的量值不相等？(2) 平均速度和平均速率有何区别？在什么情况下二者的量值相等？(3) 瞬时速度和平均速度的关系和区别是什么？瞬时速率和平均速率的关系和区别又是什么？(4)质点的位矢方向不变，它是否一定做直线运动？质点做直线运动，其位矢的方向是否一定保持不变？ (5)r ∆v 和r ∆v 有区别吗？v ∆v 和v ∆v 有区别吗？0dv dt =v 和0d v dt=v 各代表什么运动？(6)设质点的运动方程为：()x x t =，()y y t =，在计算质点的速度和加速度时，有人先求出r =，然后根据dr v dt= 及 22d r a dt = 而求得结果；又有人先计算速度和加速度的分量，再合成求得结果，即v = 及 a = 你认为两种方法哪一种正确？两者区别何在？(7) 如果一质点的加速度与时间的关系是线性的，那么，该质点的速度和位矢与时间的关系是否也是线性的？(8)“物体做曲线运动时，速度方向一定在运动轨道的切线方向，法向分速度恒为零，因此其法向加速度也一定为零.”这种说法正确吗？(9) 任意平面曲线运动的加速度的方向总指向曲线凹进那一侧，为什么？(10) 质点沿圆周运动，且速率随时间均匀增大，n a 、t a 、a 三者的大小是否随时间改变？(11) 一个人在以恒定速度运动的火车上竖直向上抛出一石子，此石子能否落回他的手中？如果石子抛出后，火车以恒定加速度前进，结果又如何？ 一质点沿x 轴运动，坐标与时间的变化关系为224t t x -=，式中t x ,分别以m 、s 为单位，试计算：(1)在最初s 2内的位移、平均速度和s 2末的瞬时速度；(2)s 1末到s 3末的平均加速度；(3)s 3末的瞬时加速度。

解：(1)最初s 2内的位移为为： (2)(0)000(/)x x x m s ∆=-=-=最初s 2内的平均速度为： 00(/)2ave x v m s t ∆===∆ t 时刻的瞬时速度为：()44dx v t t dt==- s 2末的瞬时速度为：(2)4424/v m s =-⨯=-(2) s 1末到s 3末的平均加速度为：2(3)(1)804/22ave v v v a m s t ∆---====-∆ (3) s 3末的瞬时加速度为：2(44)4(/)dv d t a m s dt dt -===-。

质点作直线运动，初速度为零，初始加速度为0a ，质点出发后，每经过τ时间，加速度均匀增加b 。

求经过t 时间后，质点的速度和位移。

解: 由题意知，加速度和时间的关系为利用dv adt =，并取积分得000v tb dv a t dv τ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭⎰⎰，202b v a t t τ=+ 再利用dx vdt =，并取积分[设0t =时00x =]得00x tx dx vdt =⎰⎰，230126b x a t t τ∆=+ 一质点从位矢为(0)4r j =r r 的位置以初速度(0)4v i =r r 开始运动，其加速度与时间的关系为(3)2a t i j =-r r r .所有的长度以米计，时间以秒计.求：（1）经过多长时间质点到达x 轴；（2）到达x 轴时的位置。

解： 203()(0)()4(2)2t v t v a t dt t i t j ⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭⎰r r r r r （1） 当240t -=，即2t s =时，到达x 轴。

（2） 2t s =时到达x 轴的位矢为 ：(2)12r i =r r即质点到达x 轴时的位置为12,0x m y ==。

一质点沿x 轴运动，其加速度与坐标的关系为2a x ω=-，式中ω为常数，设0=t 时刻的质点坐标为0x 、速度为0v ，求质点的速度与坐标的关系。

解：按题意 222d x x dtω=- 由此有 dx dv v dt dx dx dv dt dv dt x d x ====-222ω， 即 xdx vdv 2ω-=，两边取积分 ⎰⎰-=xx v v xdx vdv 002ω， 得 2022122212021221x x v v ωω+-=- 由此给出v =±，20202x v A +⎪⎭⎫ ⎝⎛=ω 一质点的运动方程为k t j t i t r ϖϖϖϖ++=24)(，式中r ，t 分别以m 、s 为单位。

试求：(1) 质点的速度与加速度；(2) 质点的轨迹方程。

解：(1) 速度和加速度分别为： (8)dr v t j k dt ==+v v v v ， j dtv d a ϖϖ8== (2) 令k z j y i x t r ϖϖϖϖ++=)(，与所给条件比较可知 1=x ，24t y =，t z =所以轨迹方程为：21,4x y z ==。

已知质点作直线运动，其速度为213()v t t ms -=-，求质点在0~4s 时间内的路程。

解: 在求解本题中要注意：在0~4s 时间内，速度有时大于零，有时小于零，因而运动出现往返。

如果计算积分40vdt ⎰，则求出的是位移而不是路程。

求路程应当计算积分4v dt ⎰。

令230v t t =-=，解得3t s =。

由此可知：3t <s 时，0v >，v v =； 3t =s 时，0v =；而3t >s 时，0v <，v v =-。

因而质点在0~4s 时间内的路程为34232303313116()23233t t t t m ⎡⎤⎡⎤=---=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦。

在离船的高度为h 的岸边，一人以恒定的速率0v 收绳，求当船头与岸的水平距离为x 时，船的速度和加速度。

解: 建立坐标系如题图所示，船沿X 轴方向作直线运动，欲求速度，应先建立运动方程，由图题，可得出习题图两边求微分，则有船速为 按题意0dr v dt=-(负号表示绳随时间t 缩短)，所以船速为 负号表明船速与x 轴正向反向，船速与x 有关，说明船作变速运动。

将上式对时间求导，可得船的加速度为负号表明船的加速度与x 轴正方向相反，与船速方向相同，加速度与x 有关，说明船作变加速运动。

一质点沿半径为10cm 的圆周运动，其角坐标θ(以弧度rad 计)可用下式表示 其中t 的单位是秒(s )试问：(1)在2t s =时，它的法向加速度和切向加速度各是多少？(2)当θ等于多少时其总加速度与半径成45o 角 ？解：(1) 利用 324t θ=+，2/12d dt t ωθ==，/24d dt t αω==，得到法向加速度和切向加速度的表达式24144n a r rt ω==，24t a r rt α==在2t s =时，法向加速度和切向加速度为：4421441440.12230.4()n a rt m s -==⨯⨯=⋅，(2) 要使总加速度与半径成45o 角，必须有n t a a =，即414424rt rt =解得 31/6t =，此时 67.2423=+=t θrad甲乙两船，甲以10/km h 的速度向东行驶，乙以15/km h 的速度向南行驶。

问坐在乙船上的人看来，甲船的速度如何？坐在甲船上的人看来乙船的速度又如何？ 解：以地球为参照系，设i ϖ、j ϖ分别代表正东和正北方向，则甲乙两船速度分别为 h km i v /101ϖϖ=，h km j v /152ϖϖ-=根据伽利略变换，当以乙船为参照物时，甲船速度为h km v /1.18151022=+=ϖ，ο31.561015==arctg θ 即在乙船上看，甲船速度为18.1/km h ，方向为东偏北ο31.56同理，在甲船上看，乙船速度为18.1/km h ，方向为西偏南ο31.56。

有一水平飞行的飞机，速率为0v ，在飞机上安置一门大炮，炮弹以水平速度v 向前射击。

略去空气阻力，(1) 以地球为参照系，求炮弹的轨迹方程；(2) 以飞机为参照系，求炮弹的轨迹方程；(3) 以炮弹为参照系，飞机的轨迹如何？解：(1) 以地球为参照系时，炮弹的初速度为01v v v +=，而t v x 1=，25.0gt y -= 消去时间参数t ，得到轨迹方程为：202)(2v v gx y +-=（若以竖直向下为y 轴正方向，则负号去掉，下同） (2) 以飞机为参照系时，炮弹的初速度为v ，同上可得轨迹方程为222vgx y -= (3) 以炮弹为参照系，只需在(2)的求解过程中用x -代替x ，y -代替y ，可得222vgx y =. 如题图，一条船平行于平直的海岸线航行，离岸的距离为D ，速率为v ，一艘速率为u v <的海上警卫快艇从一港口出去拦截这条船。

试证明：如果快艇在尽可能最迟的时刻出发，那么快艇出发时这条船到海岸线的垂线与港口的距离为x u =；快艇截住这条船所需的时间为t=。

港口 习题图证明：在如图所示的坐标系中，船与快艇的运动方程分别为11x vt y D =⎧⎨=⎩ 和 22cos sin x x u t y u tθθ=+⋅⎧⎨=⋅⎩ 拦截条件为：⎩⎨⎧==2121y y x x 即 cos sin vt x u t D u t θθ=+⋅⎧⎨=⋅⎩ 所以()cos sin D v u x u θθ-=， x 取最大值的条件为：0/=θd dx ，由此得到cos /u v θ=，相应地sin θ=因此x 的最大值为x 取最大值时对应的出发时间最迟。

快艇截住这条船所需的时间为sin D t u θ== 习题二答案x习题二简要回答下列问题：(1) 有人说：牛顿第一定律只是牛顿第二定律在合外力等于零情况下的一个特例，因而它是多余的.你的看法如何？(2) 物体的运动方向与合外力方向是否一定相同？(3) 物体受到了几个力的作用，是否一定产生加速度？(4) 物体运动的速率不变，所受合外力是否一定为零？(5) 物体速度很大，所受到的合外力是否也很大？(6) 为什么重力势能有正负，弹性势能只有正值，而引力势能只有负值？(7) 合外力对物体所做的功等于物体动能的增量，而其中某一分力做的功，能否大于物体动能的增量？(8)质点的动量和动能是否与惯性系的选取有关？功是否与惯性系有关？质点的动量定理与动能定理是否与惯性系有关？请举例说明.(9)判断下列说法是否正确，并说明理由：(a)不受外力作用的系统，它的动量和机械能都守恒.(b)内力都是保守力的系统，当它所受的合外力为零时，其机械能守恒. (c)只有保守内力作用而没有外力作用的系统，它的动量和机械能都守恒.(10) 在弹性碰撞中，有哪些量保持不变，在非弹性碰撞中，又有哪些量保持不变？(11) 放焰火时，一朵五彩缤纷的焰火质心运动轨迹如何？为什么在空中焰火总是以球形逐渐扩大？(忽略空气阻力)质量为m 质点在流体中作直线运动，受与速度成正比的阻力F kv =-（k 为常数）作用，0t =时质点的速度为，证明：（1）t 时刻的速度为0kt v v e -=；（2）由0到t 的时间内经过的距离为0()[1]kt m x mv k e -=⋅-；（3）停止运动前经过的距离为0mv k 。