蒙特卡罗算法实验报告
第八章蒙特卡罗方法研究报告
(R) (R)dR
(R) | (R) |2
† (R ) (R )dR
(R) 1 H(R) (R )
用MC方法计算上述积分 优化 i 使 E[ i] 最小
简单应用：计算He的电子结构
两种极端情况： f1 (x)
f2 (x)
(a)
x
只需一个点，就可求得积分 的精确值
(b)
x0
x
即使在积分区间上取很多点， Leabharlann 难以求得积分的精确值第八章
蒙特卡罗方法
Monte-Carlo, Monaco
1.1 引 言
什么是Monte Carlo方法
Monte Car1o(MC)方法又称随机模拟 或统计试验方法。
源于：Metropolis提出的美国在第二 次世界大战中研制原子弹的“曼哈顿计 划”；研究与原子弹有关的中子输运过程。
该计划的主持人之一、数学家John von Neumann用驰名世界的赌城—摩纳哥 的Monte Carlo—来命名这种方法。
Metropolis 算法：
一种很普遍的产生具有任意形状的给定概率分布随机变量的方法。
算法的实现： 可以用各种不同的方法落实．其中最简单者： 假想有一个随机行走者在R空间中运动，这个随机行走过程
相继各步的终点产生出一个点的序列：R0，R1， ；随机行走 的路程越长，它连接的点就越接近所要求的分布．
这一随机行走在位形空间中进行的规则如下：
也可以理解为：
f (x)
f (x)
x
x
——重要抽样的MC方法
例：用重要抽样MC方法计算积分
I
1 dx 0 1 x2
解：选择分布函数
(x) 1(42x)
3
高性能计算实验报告
高性能计算实验报告引言高性能计算是计算机科学领域的一个重要研究领域，在许多科学和工程领域有着广泛的应用。
本实验旨在通过使用并行计算技术，在一个实际问题上展示高性能计算的能力和优势。
实验背景在本实验中，我们选择了一个经典的问题：计算圆周率（π）的近似值。
计算圆周率是计算机科学中的一个重要问题，也是高性能计算的一个经典案例。
我们将使用蒙特卡罗方法来近似计算圆周率。
实验步骤1.生成随机点：首先，我们需要生成大量的随机点。
我们选择使用伪随机数生成器来生成这些点。
在本实验中，我们将使用Python的random库来生成均匀分布的随机点。
2.判断点的位置：对于生成的每个随机点，我们需要判断它是否在一个圆内。
为了做到这一点，我们可以计算点到圆心的距离，并检查是否小于等于圆的半径。
如果是，则该点在圆内。
3.统计在圆内的点数：我们需要记录下在圆内的点的数量，以便进行进一步的计算。
在本实验中，我们使用一个计数器来实现这一功能。
4.计算圆周率的近似值：通过统计在圆内的点的数量和总生成的点数，我们可以计算圆周率的近似值。
根据蒙特卡罗方法的原理，圆的面积与正方形的面积的比例等于在圆内的点的数量与总生成的点数的比例。
根据圆的面积公式，我们可以得到一个近似的圆周率值。
5.重复实验：为了提高准确性，我们需要进行多次实验。
每次实验，我们都会使用不同的随机种子来生成随机点。
通过取多次实验的平均值，我们可以得到更接近真实圆周率的近似值。
实验结果与分析我们进行了10次实验，每次实验生成了1000000个随机点。
下表显示了每次实验的圆周率近似值：实验次数圆周率近似值1 3.1418742 3.1424813 3.1416224 3.1417865 3.1420406 3.1420127 3.1413368 3.1418329 3.14184410 3.141643通过计算上述结果的平均值，我们得到圆周率的近似值为3.141772。
结论本实验通过使用蒙特卡罗方法来计算圆周率的近似值，展示了高性能计算的能力。
蒙特卡罗算法实验报告
蒙特卡洛算法
开发者：
开发时间：
版本号：
蒙特卡洛算法可理解为通过大量实验，模拟实际行为，来收集统计数据。本例中，算法随机产生一系列点，模拟这些点落在如下图所示的正方形区域内的情况。其几何解释如下
图1
如图1所示，正方形边长为1，左下顶点与原点重合，两边分别与x，y轴重合。曲线为1/4圆弧，圆心位于原点，与正方形左下定点重合，半径为1。正方形面积S1=1，圆弧内面积S2= 。算法模拟大量点随机落在此正方形区域内，落在圆弧内的点的数量（n2）与点的总数（n1）的比例与面积成正比关系。即
40.696
40.706
40.695
40.694
表3
图5
如图4图5所示，对同一计算量，串行算法每次运行时间相差较小，而并行算法则相差明显。因此，通过分析源代码可得出以下结论：
程序所用的rand（）函数在同一时间只允许一个处理器调用，当两个处理器都需调用rand（）函数时，后调用的将被挂起，等待另一个处理器运行完毕。两线程在就绪和执行态之间不断变化，浪费了大量CPU时间，因此对同一运算量，并行程序运行时间反而比串行程序慢，而且线程状态转换次数范围为[0，n]，平均为 次，因此，相比于串行程序的无状态转换，并行算法的运行时间才会有如此大的波动。
示例见附件Serial.c
三、
3.1
算法步骤：
1、确定需要产生的点的个数n，参与运行的处理器数m；
2、对每一个处理器，生成两个随机数x，y，范围[0，1]；
3、判断两个随机数x，y是否满足 ；
4、若满足，则变量COUNTi++；
5、重复步骤2-4，直至每个处理器均生成n/m个随机点；
6、收集COUNTi的值，并累加至变量COUNT中，此即为随机点落在圆弧内的数量；
蒙特卡洛实验(一)报告
0 0 0 0
1 0 0 0
2 0 0 0
0 9 0 0 0
s
s
s s
2 计 算 结 果 2 . 1 3 2 0 0 . 0 实 验 误 差 1 5 8 0 . 0 0 5 0 . 1 3 5 2
2 . 1 4 4 4
2 . 1 2 9 2
0 . 0 0 2 2
0 . 0 0 1 4
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三、实验报告编写
1、给出各题的抽样程序并解释语句的含义； 2、给出 2.1 和 2.2 抽样结果误差随抽样次数的关系图，并解释原因； 表 1 实验记录表 序 号 1 1 试 验 次 数 0
3
2 1 × 1 0
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2 2 z x y 2.2、计算 所围体积 2 2 z 1 1 x y
其中 {( x, y, z ) | 1 x 1, 1 y 1,0 z 2} 。 3、对以下已知分布进行随机抽样：
f x 2 x3
3 2 1 x , x 0,1 2
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实验八、蒙特卡洛方法应用
实验八蒙特卡罗方法应用1．实验目的（1）理解随机数的概念及其重要特性。
（2）了解蒙特卡罗（Monte Carlo）方法的广泛应用。
（3）设计Raptor程序，使用蒙特卡罗方法求解问题。
2．实验准备（1）认真阅读第5.7节的内容，了解随机数和蒙特卡罗方法的基本概念。
（2）熟悉可视化计算工具Raptor的使用。
3．热身实验3.1基于蒙特卡罗方法对圆周率π的求解基于蒙特卡罗方法计算圆周率π（图8.1）。
Raptor求解程序如图8.2所示：图8.1蒙特卡罗方法计算π图8.2蒙特卡罗方法求π的程序示例问题1：Raptor程序中的随机数是如何生成的？问题2：在最后求圆周率的值的时候为什么要乘以4？根据上述的Raptor程序描述蒙特卡罗方法求圆周率的具体过程。
3.2基于蒙特卡罗方法对椭圆面积的求解已知一个椭圆的长轴长为12，短轴长为6(如图8.3)，设计Raptor程序求这个椭圆的面积。
Raptor程序如图8.4所示。
图8.3长轴长为12，短轴长为6的椭圆图8.4 蒙特卡罗方法求椭圆的面积的程序示例问题1：Raptor程序中的Random函数产生随机数的范围是多少？如何使用Random函数生成[-5,5)范围内的随机数？问题2：最后求椭圆的面积的依据是什么？对变量A ，Area ，num ，n 之间具有的关系进行解释说明。
问题3：随机点的个数是否会影响计算结果的精确性？4．进阶实验4.1基于蒙特卡罗方法对简单曲线下面积的求解计算0≤x≤π/2区间内曲线y = sinx 下的近似面积(该区间内曲线与x 轴、y 轴所围成的区域的面积)。
4.2基于蒙特卡罗方法对球体在第一卦限体积的求解计算球体x 2 + y 2 + z 2 ≤ 2（图8.5）在第一卦限（x > 0,y > 0 ,z > 0）的体积。
图8.5 球体x 2 + y 2 + z 2 = 25．综合实验5.1基于蒙特卡罗方法对曲线下面积的求解 用蒙特卡罗方法求曲线()2f x x = (12)x ≤≤下的面积。
实验二-蒙特卡罗方法计算三维体积
(*1冰淇淋锥的体积*)
x=r*Sin[u]*Cos[v];
y=r*Sin[u]*Sin[v];
z=r*Cos[u]+1;
s=Integrate[r^2*Sin[u],{v,0,2Pi},{u,0,Pi/4},{r,0,2Cos[u]}];
N[s]
3.14159
(*2体积*)
s1=ParametricPlot3D[{r*Sin[u],r*Cos[u],r},{u,0,2Pi},{r,0,1},DisplayFunctionIdentity];
AppendTo[p,N[8m/n]],{t,1,10}];
Print[p];
Sum[p[[t]],{t,1,10}]/10
{0.864,0.824,1.072,0.96,0.992,0.896,1.12,1.048,0.928,0.904}
0.9608
(*2体积*)
s=Integrate[x^2+y^2+z^2,{y,-1,1},{x,-Sqrt[1-y^2],Sqrt[1-y^2]},{z,Sqrt[x^2+y^2],1}];
1、画出由锥面 上方与球面 内部区域围成的图形（简称冰淇淋锥），并计算也该冰淇淋锥的体积
2、画出积分区域并计算 ，其中积分区域是由 和 所围成。
3、画出积分区域并计算 ，其中D为y=x –2与y2=x所围，D的边界曲线交点为：(1，-1)，(4，2)。
实
验
结
果
︵
不
够
可
另
附
纸
︶
(*1冰淇淋锥的体积*)
AppendTo[p,N[192*m/n]],{t,1,10}];
Print[p];
概率实验报告_蒙特卡洛积分
本科实验报告实验名称：《概率与统计》随机模拟实验随机模拟实验实验一设随机变量X 的分布律为-i P{X=i}=2,i=1,2,3......试产生该分部的随机数1000个，并作出频率直方图。
一、实验原理采用直接抽样法：定理：设U 是服从[0,1]上的均匀分布的随机变量，则随机变量-1()Y F U =与X 有相同的分布函数-1()Y F U =（为F(x)的逆函数），即-1()Y F U =的分部函数为()F x .二、题目分析易得题中X 的分布函数为1()1- ,1,0,1,2,3, (2i)F x i x i i =≤≤+=若用ceil 表示对小数向正无穷方向取整，则F(x)的反函数为产生服从[0,1]上的均匀分布的随机变量a ，则m=F -1(a)则为题中需要产生的随 机数。
三、MATLAB 实现f=[]; i=1;while i<=1000a=unifrnd(0,1); %产生随机数a ，服从【0,1】上的均匀分布 m=log(1-a)/log(1/2);b=ceil(m); %对m 向正无穷取整 f=[f,b]; i=i+1; enddisplay(f);[n,xout]=hist(f); bar(xout,n/1000,1)产生的随机数（取1000个中的20个）如下：-1ln(1-)()1ln()2a F a ceil ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦频率分布直方图实验二设随机变量X 的密度函数为24,0,()0,0x xe x f x x -⎧>=⎨≤⎩试产生该分布的随机数1000个，并作出频率直方图 一、实验原理取舍抽样方法，当分布函数的逆函数难以求出时，可采用此方法。
取舍抽样算法的流程为：（1） 选取一个参考分布，其选取原则，一是该分布的随机样本容易产生；二是存在常数C ，使得()()f x Cg x ≤。
（2） 产生参考分布()g x 的随机样本0x ； （3） 独立产生[0,1]上的均匀分布随机数0u ；（4） 若000()()u Cg x f x ≤，则保留x 0,作为所需的随机样本；否则舍弃。
清华数学实验实验五蒙特卡罗方法
03 蒙特卡罗方法在清华数学 实验实验五中的应用
模拟随机过程
随机过程模拟
蒙特卡罗方法可以模拟各种随机 过程，如股票价格波动、气象变 化等，通过模拟这些过程，可以 更好地理解和预测实际现象。
概率分布模拟
蒙特卡罗方法可以生成符合特定 概率分布的随机数，用于模拟和 研究各种概率分布的性质和行为 。
求解数学问题
蒙特卡罗方法的优缺点
误差和不确定性
蒙特卡罗方法的精度取决于抽样次数，抽样次数越多，精 度越高，但计算成本也越高。同时，由于是随机模拟，结 果存在一定的不确定性。
对离散问题处理不佳
对于一些离散或非连续的问题，蒙特卡罗方法的精度可能 会受到影响。
对参数敏感
蒙特卡罗方法的参数选择对结果影响较大，需要谨慎选择。
02 清华数学实验实验五内容
实验目的
掌握蒙特卡罗方法的原理和应用。 学会使用蒙特卡罗方法解决实际问题。 培养数学建模和计算能力。
实验原理
蒙特卡罗方法是一种基于概率统 计的数值计算方法，通过随机抽
样和统计模拟来求解问题。
该方法适用于具有随机性和不确 定性的问题，通过大量模拟实验
来获得近似解。
蒙特卡罗方法的精度取决于模拟 实验的次数和随机抽样的质量。
金融工程
蒙特卡罗方法在金融工程中广泛应用于 风险评估、资产定价和衍生品定价等问
题。
工程设计
蒙特卡罗方法在工程设计中用于优化 设计参数、模拟系统性能和可靠性分
析等。
物理科学
在物理科学中，蒙特卡罗方法被用于 模拟分子运动、材料性质和量子力学 等领域。
社会科学
在社会科学中，蒙特卡罗方法被用于 模拟社会现象、预测人口变化和评估 政策效果等。
蒙特卡罗方法的优缺点
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为了改进并行算法，得到更高的加速比，有两种途径可以尝试：减少线程状态转化次数和使用可并行的随机数产生算法。简介如下：
6.1
此方法具体为：在并行程序中使用互斥锁，当某一线程进入临界区后，一次性产生m个随机点，然后再退出临界区，开始对m个点进行计算；与此同时，若另一线程也要进入临界区，则被挂起，等待该线程退出。如此循环，直至两个线程均计算完所要求的点的个数，则计算输出 值，程序结束。
return (double)Y/(double)(d-1);
}
通过改变种子的值，算法可生成不同的伪随机数列并且可以满足多个处理器同时调用。但调用所需时间略大于调用系统库函数rand（）。(调用myrand()函数的串行算法，见附件Smyrand.c)
示例程序见附件Pmyrand.c
示例程序参见附件Pmutex.c。
6.2
生成随机数最常用的方法为线性同余法，其C语言源代码如下：
//myrand()用的种子
unsigned static Y =568731;
unsigned d=1<<31;
//生成伪随机数算法
double inline myrand()
{
Y=(15625*Y+22221)%d;
算法：
1、确定产生点n的个数和缓冲区m（m<=n）的值，声明互斥锁
2、某一线程进入临界区，上锁
3、该线程一次性生成m个数，其他线程若想进入则挂起等待
4、该线程退出临界区，解锁，开始对刚才生成的随机点进行计算
5、重复2-4步，直至每个线程均完成对所要求点的操作
6、统计COUNTi的值
7、计算 的值
在此算法中，每一线程因为争用rand（）函数而产生的状态转化次数范围为[0， ]，平均次数为 ，调整m的值，使生成m个随机点的时间与对m个随机点进行计算的时间相等时，则算法执行速度可达到最大值，即加速比最大。
多核软件设计——实验指导
蒙特卡洛算法
开发者：
开发时间：
版本号：
蒙特卡洛算法可理解为通过大量实验，模拟实际行为，来收集统计数据。本例中，算法随机产生一系列点，模拟这些点落在如下图所示的正方形区域内的情况。其几何解释如下
图1
如图1所示，正方形边长为1，左下顶点与原点重合，两边分别与x，y轴重合。曲线为1/4圆弧，圆心位于原点，与正方形左下定点重合，半径为1。正方形面积S1=1，圆弧内面积S2= 。算法模拟大量点随机落在此正方形区域内，落在圆弧内的点的数量（n2）与点的总数（n1）的比例与面积成正比关系。即
intrand(void);
此函数产生随机数列，每次调用时均返回0到RAND_MAX之间的一个整数。
voidsrand(unsignedintseed);
此函数为rand（）函数所生成的伪随机数序列设置起始点，使之产生不同的伪随机数。
算法：
产生2n个随机数据，范围[0，1]，对每个数据点计算其坐标是否满足 ，统计满足此关系的点的数量count，则
20
22.033
20.757
20.120
20.647
19.918
20.798
20.160
50
49.725
49.785
51.535
49.420
50.992
52.379
47.015
表2
图4
而对同样的运算量多次运行串行算法得到如下表3所示结果。（图5）
规模
1
2
3
4
5
6
7
1
0.814
0.814
0.814
0.813
0.8488
2.5
1.618
2.673
0.6053
5
4.024
5.716
0.7039
7.5
6.069
7.376
0.8228
10
8.089
10.001
0.8088
12.5
10.105
12.227
0.8264
15
12.115
14.842
0.8162
17.5
14.119
19.522
0.7232
20
16.121
对同一运算量多次运行并行算法得到如下表2所示结果。（图4）
规模
1
2
3
4
5
6
7
1
0.959
1.205
0.963
1.043
1.002
1.053
1.011
5
5.716
4.877
5.094
4.761
5.212
4.875
5.296
10
10.001
9.892
9.990
10.151
9.941
10.168
10.169
22.033
0.7316
30
24.183
32.592
0.7419
40
32.259
41.542
0.7765
50
40.726
49.725
0.8109
表1
[注]：N：算法生成随机点的个数
算法运行时间为某一次运行时间，非多次运行之平均时间
4.2并行、串行算法Fra bibliotek算量时间比、加速比如下图所示
图2
图3
五、
如表1、图3所示，加速比在（0.6,0.9）区间，与理论上的值2相去甚远。
7、通过（2）式计算 的值。
3.2
在这个实验中，采用Linux操作系统pthread接口来实现程序的并行化。这些接口函数和数据类型都在头文件<pthread.h>中声明。因为pthread并没有包含在C的标准库中，编译的时候需要加上-lpthread选项，使程序链接到libpthread，才能编译成功。
40.696
40.706
40.695
40.694
表3
图5
如图4图5所示，对同一计算量，串行算法每次运行时间相差较小，而并行算法则相差明显。因此，通过分析源代码可得出以下结论：
程序所用的rand（）函数在同一时间只允许一个处理器调用，当两个处理器都需调用rand（）函数时，后调用的将被挂起，等待另一个处理器运行完毕。两线程在就绪和执行态之间不断变化，浪费了大量CPU时间，因此对同一运算量，并行程序运行时间反而比串行程序慢，而且线程状态转换次数范围为[0，n]，平均为 次，因此，相比于串行程序的无状态转换，并行算法的运行时间才会有如此大的波动。
示例见附件Serial.c
三、
3.1
算法步骤：
1、确定需要产生的点的个数n，参与运行的处理器数m；
2、对每一个处理器，生成两个随机数x，y，范围[0，1]；
3、判断两个随机数x，y是否满足 ；
4、若满足，则变量COUNTi++；
5、重复步骤2-4，直至每个处理器均生成n/m个随机点；
6、收集COUNTi的值，并累加至变量COUNT中，此即为随机点落在圆弧内的数量；
例子程序参见附件Parallel.c。
3.3
本并行算法只是简单的把独立的任务进行分派，经多次试验测试，结果正确。
四、
硬件平台：惠普刀片集群
编译器：gcc&g++
操作系统：Linux
测试数据集合：由随机数函数产生的数据集合
4.1
N（千万）
串行算法运行时间（秒）
并行算法运行时间（秒）
加速比
1
0.814
0.959
0.810
0.815
0.813
5
4.024
4.053
4.062
4.057
4.044
4.090
4.053
10
8.089
8.152
8.153
8.134
8.160
8.095
8.108
20
16.121
16.289
16.290
16.318
16.288
16.245
16.292
50
40.726
40.721
40.701
（1）
由此可得
（2）
因此，只要计算出落在圆弧内的点的数量在点总数中所占的比例，就能求出 的值。
由图1可知，所有点均落在正方形范围内，因此点的x坐标满足 。又，当点落在圆弧范围内，则点的二维坐标关系满足 。检验每一个点是否满足此关系即可判定改点是否落在圆弧内。
二、
本项目中使用了标准C语言库中的产生随机数函数。该函数原型为：