拼图与公式

如图，图中四块小长方形完全相同，它 们的外轮廓组成一个大正方形，中间出现一 个小的正方形 “空洞”。这个大正方形的边 长是______，面积为________ ，四块小长 x+y (x+y)2 4xy 方形的总面积是_____，于是可以得到 “空 (x+y)2- 4xy 洞”的面积为 __________ 。同时， “空洞” x-y 的边长可以表示为_____， 面积可以表示为________ (x- y)2 因为表示的是同一个“空洞”x 的面积，于是我们可以得到 (x+y)2- 4xy= (x- y) y 等式________________ 2
a a a b a a b a
由左图得到的等式是
3a· ab b=3· _____________.
由左图得到的等式是 2 2a· (a+b)=2ab+2a __________________.
你能用不同的方法计算下图的面积吗?
a a b
b
b
写出你得到的等式
b a b a
如果要用这些图形若干个拼一个长 为(3a+2b)宽为(a+b)的长方形,各需多 少块?请拼出图形.
D a
b
C
A
B
D
C
b
D
C
a
b
a
b bAΒιβλιοθήκη abBA
a
b
B
等式：(a-b)2=(a+b)2-4ab
你有什么收获？
2
ab b2 a a
2
b
a a
2
ab b
b
2
a
结果: (2a+b) (a+b)= 2a +3ab+b
我是小小设计师
与上题类似，你能自己设计出 一个图形来计算（2a+b）2 吗？
b
a a
a a b
继续攀登
如图所示，现有若干张不同形状的A 型、B型、C型三种卡片。李明同学想利 用它们拼接成一个大的正方形。 （1）若用1 张A型卡片 ， 2 张B型卡片 ， 则需C型卡片______张。 此时正方形的边 1 a+b a2+2ab+b2 长是_______,面积是___________。
如图，是用四个完全相同的小长方形与 一个小正方形镶嵌成的正方形图案，已知 该图案的面积为49，小正方形的面积为25， 若用x,y表示小长方形的两边长 (x>y)，请 观察图案，指出以下关系式中不正确的是 （ D ） (Ａ) x+y=7 (Ｂ) x-y=5 x (Ｃ) 4xy+25=49 (Ｄ) x2+y2=25 y
活动材料 若干块如图所示的长方形和
正方形硬纸片
a b a
b
问题2 任意写一个关于的二次三项式, 试 用拼一个长方形的方法,把这个二次三 项式因式分解。
你能根据上面的方法，利用拼图的方法 2 2 将多项式a +4ab+3b 因式分解吗？
b a b a
利用拼图的方法分解因式： a +3ab+2b a +5ab+6b
问题㈠ 王老先生准备把长为x米，
宽为y米的这块地向外扩建，使得 长再增加a米，则扩建后地的面积 y(a+x)或xy+ya 为:
y x a
发现： y(a+x)＝xy+ya
问题㈡ 王老先生在刚才扩建
的基础上再向外扩建，使得宽 再增加b米，则扩建后地的面积 为: (x+a)(y+b)或xy+ay+bx+ab
2
变形2
：
y
如果王老先生将这块 边 长为x米的正方形 x 地向外扩建后时,长和 宽都增加y米,则扩建 2 2 2 后的面积为: (x+y) 或x +2xy+y 发现：(x+y) =x +2xy+y
2 2 2
x
y
变形3：如果王老先生准备在这块边长为x 的土地上修建一个小正方形的花坛，使其 边长为x-y，其余部分为空地，留作道路 用，则花坛面积为: (x - y)2或 x2 – 2xy + y2
2 2 2 2 2 2 2 2
2a +5ab+2b 2a +5ab+3b
你有什么发现呢？
b a b a
如果任意写一个关于a、b 的二次三 项式，能否用若干块准备好的硬纸片拼 成一个长方形,使这个长方形的面积可 以用这个式子表示？如不能，你认为具 备什么形式的二次三项式可以表示一 个长方形的面积？
你能用上面的方法，计算出 2 2 （a+2b+c） 和（a+b+2c） 吗？
a
A a
aB b
bC b
继续攀登
（4）若用1 张A型卡片 ， 8张B型卡 片 ，则需C型卡片______张。 16 a+4b 此时正方形的边长是_______, a2+8ab+16b2 面积是___________。
a
A
aB b
b C b
a
继续攀登
（5）若用1 张A型卡片 ， 2n张B型 n2 卡片 ，则需C型卡片______张。 a+nb 此时正方形的边长是_______, a2+2nab+n2b2 面积是___________。 a
a
A a
aB
bC b
b
继续攀登 （2）若用1 张A型卡片 ， 4 张B型卡 片 ，则需C型卡片______张。 4 a+2b 此时正方形的边长是_______, 面积是___________。 a2+4ab+4b2 a
bC b
A a
aB b
继续攀登 （3）若用1 张A型卡片 ， 6张B型卡 9 片 ，则需C型卡片______张。 a+3b 此时正方形的边长是_______, 面积是___________。 a2+6ab+9b2
y
x
y x 发现： - y)2= x2 – 2xy + y2 (x
我说一种剪法
a-b
a
a
b a-b
b
我也有一种剪法：
b a
拼成
我还有一种剪法：
a b
学以致用
在前面学习的启发下，小明同学计 算(2a+b) (a+b)时，认为除了运用整式乘 法法则计算外，也可以类似地用下面的 图形求出结果，你同意他的看法吗？如 果同意，结果是什么？ b a ab a a
挑战自我
如图所示，有四个同样大小的直角三 角形，两条直角边分别为a,b (a>b) ，斜 边为c,拼成一个正方形，但中间却出现一 个小正方形，你能利用它们面积之间的 关系，得到关于a,b,c的等式吗？
等式： 2+b2 = c2 a
b
ca
练习：如图四边形ABCD是校园内一边长为 a+b的正方形土地（a>b）示意图。现准备在 这块正方形地的正中间修建一个小正方形的 花坛，使其边长为a-b，其余部分为空地， 留作道路用。请画出示意图①用尺规画出图 形，并用代数式标明图中各部分面积②用等 式表示大、小正方形及空地间的面积关系。
b
y
发现： x (x+a)(y+b)=xy+ay+bx+ab
a
变形1：
如果王老先生这块地是边 x 长为x米的正方形向外扩 建时，使长增加a米,宽增 加b米，则扩建后的面积 2 为：(x+a)(x+b)或x +(a+b)x+ab
b
x
a
发现：(x+a)(x+b)=x +(a+b)x+ab
2
口算:
(x+5)(x+2) = x2 +7x+10 (x-3)(x+1) = x - 2x- 3
b C b
A
aB b
a
活动材料 若干块如图所示的长方形和
正方形硬纸片
a b a
b
活动要求 用若干块这样的长方形和正方形硬 纸片,拼成一个新的长方形,通过不同的 方法计算面积，探求相应的等式。
活动材料 若干块如图所示的长方形和
正方形硬纸片
a b a
b
问题1 任意选取若干块这样的硬纸片,尝试 拼成一个长方形, 计算它的面积，并写 出相应的等式。