流体力学(热能)第6章 绕流运动
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流体力学 绕流运动
绕流运动绕流运动绕流运动，作用在物体上的力可以分为两个部份：(1)垂直于来流方向的作用力升力L(2) 平行于来流方向的作用力绕流阻力摩擦阻力形状阻力D摩擦阻力→主要发生在紧靠物体表面的一个流速梯度很大区域→边界层形状阻力→由于边界层分离，产生的压差阻力。
——都与边界层有关。
v 0v 0∂=∂xv 0yx K∂≠∂xv 0y1.边界层的形成边界层内:由于粘性影响，沿平板法线方向速度梯度大v ∂≠∂x0y主流区:v ∂≈∂xy ∴沿法线方向既存在剪切流动（边界层），又存在有势流动（主流区）,一般把作为分界。
00.99v v =vv 0∂=∂xv 0yx K∂≠∂xv 0y2.流态边界层从开始，,长度逐渐增大,当，层流→紊流。
=x 0=⇒δ0δ=k x x 虽然出现紊流，但仍有一层紧靠壁面的层流底层（粘性力占主的区域）。
5Re 10k xk v x ==⨯0 3.5 5.0ν~Re 3000k δδν==0v ~35003. 边界层基本特性a.与物体长度相比，边界层厚度很小，δ小。
b.边界层内沿法向（厚度）方向速度变化大，梯度大，边界层内按层流或紊流计算，边界层外按势流理论计算。
c.由于边界层薄，先假设边界层不存在,全部按势流理论计算相应的速度及压强,得到的结果可认为是边界层外边界上的速度及压强。
边界层内边界是物体表面，速度为零；边界层很薄，边界层中各截面上沿Y方向压力不变，并且近似等于边界层边界上压力。
ACB D主流区边界层XV1. 有利压强梯度和不利压强梯度（以流体绕圆柱流动为例）在迎流面，沿流动方向，主流区v 增大，p 减小()0()0v p,x x∂∂⇒><∂∂主p px x∂∂=∂∂主边而（）（）()0px∂∴<∂边在背流面，沿流动方向，()0()0v p,x x ∂∂<>∂∂主主()()p px x ∂∂=∂∂主边由于()0p x∂∴>∂边前者称为有利压强梯度，后者称为不利压强梯度。
工程流体力学课件第6章：流体动力学第二部分
对于理想流体，粘性力为零，因此N-S方程简化为
6.4.2伯努利方程
需要强调指出的是，伯努利方程有以下适用条件限制： (1)质量立只有重力； (2)理想流体； (3)稳定流动； (4)不可压缩流体； (5)沿流线。
6.4.3 无旋流动的伯努利方程
除了无旋流动外，6.4.2节中的其他限制条件照样需要， 即伯努利方程的适用条件为：
。A点的坐标为(x,y,z)，由于
平行六面体是微元的，所以可以认为同一作用面上各
点的应力相同。
在平行六面体的各个面上，任意点的表面力分为法向力 和切向力。假设法向力以外法线方向为正，而过A点的 三个平面上的切向力方向与坐标轴方向相反，其它三 个面上的切向向力的方向与坐标轴的方向相同。
在直角坐标系中，垂直于x轴的作用面AC上任意点的应力 可分解为
6.2 粘性流体的运动微分方程
6.2.1 运动方程的推导
实际流体是有粘性的，它阻碍流体微元形状的改变。粘 性流体中切应力的存在，不仅改变了阻碍流动的摩擦 力，而且也影响了法向力的性质。
下面在流场中取出一微元平行六面体来推导粘性流体
的运动微分方程。如图6-1所示，微元平行六面体ABC
D的边长分别为
为了便于看出N-S方程在什么情况下可以积分
6.4 理想流体流动
在N-S方程中，粘性力项包含二阶偏导数，是求解N-S方 程的主要困难所在。但是对于一些常见流体，比如水 和空气，粘性很小，在某些情况下忽略其粘性是合理 的。忽略了粘性后的N-S方程，求解要容易得多。我们 称忽略了粘性的流体为理想流体(Ideal fluids/Inviscid fl uid/Nonviscous fluid/Frictionless fluid)。
1、均匀流动(Uniform flow) 最简单的平面流动是流线为彼此平行的直线，流速大小
6.4.2伯努利方程
需要强调指出的是，伯努利方程有以下适用条件限制： (1)质量立只有重力； (2)理想流体； (3)稳定流动； (4)不可压缩流体； (5)沿流线。
6.4.3 无旋流动的伯努利方程
除了无旋流动外，6.4.2节中的其他限制条件照样需要， 即伯努利方程的适用条件为：
。A点的坐标为(x,y,z)，由于
平行六面体是微元的，所以可以认为同一作用面上各
点的应力相同。
在平行六面体的各个面上，任意点的表面力分为法向力 和切向力。假设法向力以外法线方向为正，而过A点的 三个平面上的切向力方向与坐标轴方向相反，其它三 个面上的切向向力的方向与坐标轴的方向相同。
在直角坐标系中，垂直于x轴的作用面AC上任意点的应力 可分解为
6.2 粘性流体的运动微分方程
6.2.1 运动方程的推导
实际流体是有粘性的，它阻碍流体微元形状的改变。粘 性流体中切应力的存在，不仅改变了阻碍流动的摩擦 力，而且也影响了法向力的性质。
下面在流场中取出一微元平行六面体来推导粘性流体
的运动微分方程。如图6-1所示，微元平行六面体ABC
D的边长分别为
为了便于看出N-S方程在什么情况下可以积分
6.4 理想流体流动
在N-S方程中，粘性力项包含二阶偏导数，是求解N-S方 程的主要困难所在。但是对于一些常见流体，比如水 和空气，粘性很小，在某些情况下忽略其粘性是合理 的。忽略了粘性后的N-S方程，求解要容易得多。我们 称忽略了粘性的流体为理想流体(Ideal fluids/Inviscid fl uid/Nonviscous fluid/Frictionless fluid)。
1、均匀流动(Uniform flow) 最简单的平面流动是流线为彼此平行的直线，流速大小
流体力第6章
8
r0
4
(6 - 14)
平均流速
v Q A
gJ
8
r0
2
(6 - 15)
即
v 1 2 u max
6.4.3 沿程水头损失的计算
以
r0 d 2 ，J hf l
代入
g
v
gJ
8
r0
2
，得
hf d 2 v （ ) 8 l 2 hf 32 l v (6 - 16)
u
w
y
(6 - 28)
或以
u
， v
w
y
代入上式整理得
2
w
y
w
2
v
y
u v
v y
(6 - 29)
6.6 紊流的沿程水头损失
6.6.1 尼古拉兹实验 1. 沿程摩阻系数λ的影响因素
绝对粗糙
Ks/d
相对粗糙
由尼古拉兹试验分析得出，雷诺数和相对粗糙是沿程 摩阻系数的两个影响因素。即
hf
64 l v
2
vd d 2 g
解得
hf
2 gd
2
64 lv
8 . 54 10
3
6
m /s
2
7 . 69 10
Pa s
校核流态
Re vd
2 . 73 0 . 006 8 . 54 10
6
1918 ＜ 2300
6.5 紊流运动
6
0 . 12 m/s
6.3 沿程水头损失与剪应力的关系
6.3.1 均匀流动方程式
r0
4
(6 - 14)
平均流速
v Q A
gJ
8
r0
2
(6 - 15)
即
v 1 2 u max
6.4.3 沿程水头损失的计算
以
r0 d 2 ，J hf l
代入
g
v
gJ
8
r0
2
，得
hf d 2 v （ ) 8 l 2 hf 32 l v (6 - 16)
u
w
y
(6 - 28)
或以
u
， v
w
y
代入上式整理得
2
w
y
w
2
v
y
u v
v y
(6 - 29)
6.6 紊流的沿程水头损失
6.6.1 尼古拉兹实验 1. 沿程摩阻系数λ的影响因素
绝对粗糙
Ks/d
相对粗糙
由尼古拉兹试验分析得出，雷诺数和相对粗糙是沿程 摩阻系数的两个影响因素。即
hf
64 l v
2
vd d 2 g
解得
hf
2 gd
2
64 lv
8 . 54 10
3
6
m /s
2
7 . 69 10
Pa s
校核流态
Re vd
2 . 73 0 . 006 8 . 54 10
6
1918 ＜ 2300
6.5 紊流运动
6
0 . 12 m/s
6.3 沿程水头损失与剪应力的关系
6.3.1 均匀流动方程式
流体力学(热能)第6章 绕流运动
u y uz = z y u y ux = x y u x uz = z x
由此可知，必有：
为某一函数 x，y，z）的全微分的充分且必 （
此关系式是使：（ u x dx + u y dy + u z dz）成
需条件，故必有一函数 （，y，z），此函数 x
即称为速度势或速度势函数。所以无旋流也称 为有势流。 对有势流，只要确定了
2、流函数的性质
（1）流函数等值线—由流函数相等的点连成的曲线。 性质：①同一流线上的流函数值相等。
②流函数线就是流线。
令
d = ux dy u y dx = 0
=c
，一个常数对应一条流线。 n
ψ2 s2 u ψ1 s1
y （2）流函数值沿流线s方向逆时针旋转90°后 的方向n增加。 (证明略）
1、流函数与速度势为共轭函数。即：
ux = uy = x y = = y x
柯西-黎 曼条件
2、流函数与势函数正交（流线与等势线垂直）。
四、流网 —— 由等势线和等流函数线构成的正交的网格，即流网。
1、性质： （1）等势线与等流函数线正交，即流线与等势线正交； （2）相邻两流线的流函数值之差，是此两流线间的单宽流量，即
= 1 + 2 + + k = 1 + 2 + + k
u x = u x1 + u x 2 u y = u y1 + u y 2
且满足拉普拉斯方程。
2、意义： 解决势流问题在数学上就是寻求满足拉普拉斯方程和给定边界条件 的速度势函数φ或流函数ψ 。当流动情况较复杂时（如绕圆柱的流动）直接求 出势函数φ比较困难，但我们前节所讨论的简单势流作适当组合就可得到复杂 的实际流动。将各种简单势函数或流函数叠加起来就得到新的势流的势函数和 流函数。这样利用势流叠加原理可以解决复杂的实际流动。
第6章绕流运动精品PPT课件
试求风作用在电缆线上的力。
解.
F
Cd
U
2 0
2
1.3 2.52 A 1.2
2
0.012 60
351N
4. 物体阻力的减小办法
❖ 减小摩擦阻力：
可以使层流边界层尽可能的长，即层紊流转变点尽可能 向后推移，计算合理的最小压力点的位置。在航空工 业上采用一种“层流型”的翼型 ，便是将最小压力点 向后移动来减阻，并要求翼型表面的光滑程度。
Re=10~103时，可近似地
Cd
13 Re
Re=103 ~ 2×105时，
Cd 0.48
计算步骤及要点
❖先假设雷诺数的范围，计算出相应阻力系数Cd，然后求得 流速；
注:该流速是指悬浮速度，而非实际流速v0 ❖利用上述流速（悬浮速度）验算雷诺数，判断是否与假设 一致。 ❖如果不一致，则重新假定后计算，直到与假定的相一致。
❖出现涡街时，流体对物体会产生一个周期性的交变横向作 用力。如果力的频率与物体的固有频率相接近,就会引起共 振,甚至使物体损坏。这种涡街曾使潜水艇的潜望镜失去观 察能力,海峡大桥受到毁坏,锅炉的空气预热器管箱发生振动 和破裂。
❖但是利用卡门涡街的这种周期的、交替变化的性质，可制 成卡门涡街流量计，通过测量涡流的脱落频率来确定流体的 速度或流量。
④ 在边界层内粘滞力和惯性力是同一数量级的；
⑤ 边界层内流体的流动与管内流动一样，也可以有 层流和湍流两种流动状态。
一、边界层的形成及其性质
在平板的前部边界层随流程的增加，厚度也在 增加，层流变为不稳定状态，流体的质点运动 变得不规则，最终发展为紊流
边界层的厚度取决于惯性和粘性作用之间的关系，即取决于雷诺数的大小。 雷诺数越大，边界层就越薄；反之，随着粘性作用的增长，边界层就变厚。 沿着流动方向由绕流物体的前缘点开始，边界层逐渐变厚。
解.
F
Cd
U
2 0
2
1.3 2.52 A 1.2
2
0.012 60
351N
4. 物体阻力的减小办法
❖ 减小摩擦阻力：
可以使层流边界层尽可能的长，即层紊流转变点尽可能 向后推移，计算合理的最小压力点的位置。在航空工 业上采用一种“层流型”的翼型 ，便是将最小压力点 向后移动来减阻，并要求翼型表面的光滑程度。
Re=10~103时，可近似地
Cd
13 Re
Re=103 ~ 2×105时，
Cd 0.48
计算步骤及要点
❖先假设雷诺数的范围，计算出相应阻力系数Cd，然后求得 流速；
注:该流速是指悬浮速度，而非实际流速v0 ❖利用上述流速（悬浮速度）验算雷诺数，判断是否与假设 一致。 ❖如果不一致，则重新假定后计算，直到与假定的相一致。
❖出现涡街时，流体对物体会产生一个周期性的交变横向作 用力。如果力的频率与物体的固有频率相接近,就会引起共 振,甚至使物体损坏。这种涡街曾使潜水艇的潜望镜失去观 察能力,海峡大桥受到毁坏,锅炉的空气预热器管箱发生振动 和破裂。
❖但是利用卡门涡街的这种周期的、交替变化的性质，可制 成卡门涡街流量计，通过测量涡流的脱落频率来确定流体的 速度或流量。
④ 在边界层内粘滞力和惯性力是同一数量级的；
⑤ 边界层内流体的流动与管内流动一样，也可以有 层流和湍流两种流动状态。
一、边界层的形成及其性质
在平板的前部边界层随流程的增加，厚度也在 增加，层流变为不稳定状态，流体的质点运动 变得不规则，最终发展为紊流
边界层的厚度取决于惯性和粘性作用之间的关系，即取决于雷诺数的大小。 雷诺数越大，边界层就越薄；反之，随着粘性作用的增长，边界层就变厚。 沿着流动方向由绕流物体的前缘点开始，边界层逐渐变厚。
流体力学之外部绕流
3.边界层旳概念Boundary Layer
①边界层，又称附面层。当粘性流体以 大雷诺数绕流静止物体时，在壁面附近 将出现一种流速由壁面上旳零值迅速增 至与来流速度相同数量级旳薄层，称为 边界层。
德国流体力学家普朗特（L.Prandtle）创建旳边 界层理论：
EXIT
u0
边界层(Boundary Layer) y
过
层
渡
流
段
0.99u0 势流区
附 u0
面
边界层旳形成层 δk
紊流附面层 粘性底层
附面层又称为边界层，是指紧靠物体表面x流速梯 度很大旳流xx动kk 薄层。
以平面绕流为例，若来流流速 u0是均匀分布旳， 方向与平板平行，平板固定不动。因为粘性作用 使紧靠平板表面旳流体质点流速为零，平板附近 旳流体质点因为内摩擦作用也不同程度地受到平 板旳阻滞作用，当Re数很大时，这种作用只反 应在平板附近旳附面层里。这么，在流场中就出 现了两个性质不同旳流动区域。
曲面附面层旳分离现象与卡门涡街
卡门涡街（Karman Vortex Street）
定常流绕过某些物体时，在一定条件下，物体
两侧周期性旳脱落出旋涡，使物体背面形成旋转 方向相反、有规则交错排列旳漩涡组合，称为卡 门涡街 。
例如圆柱绕流，在圆柱体后半部分，流动处于减 速增压区，附面层将要发生分离，圆柱体背面旳 流动图形取决于
6.2边界层分离SEPARATION
1.曲面边界层旳分离现象
是指流体从曲面某一位置开始脱离物面，并在下游 出现回流现象，这种现象又称为边界层脱体现象。
曲面边界层旳分离现象
当流体绕着一种曲面物体流动时，沿边界层外边界 上旳速度和压强都不是常数。如图所示，在曲面体 MM′断面此前，因为过流断面收缩，流速沿程增 长，压强沿程减小
流体运动中的绕流现象
流体运动中的绕流现象概述流体运动指的是液体或气体在外力驱动下发生的运动现象。
在流体运动中，经常会出现一些特殊的现象，例如绕流现象。
绕流现象指的是流体在遇到障碍物时，形成绕过障碍物的流动路径。
这种现象在自然界和工程实践中都非常常见，对于了解流体的运动规律以及优化流体的工程应用具有重要意义。
本文将从绕流现象的原理、影响因素及应用等方面进行探讨，通过分析相关实验研究和工程案例，深入了解绕流现象在流体运动中的重要性和发展现状。
绕流现象的原理绕流现象的产生主要是由于流体与障碍物之间的相互作用引起的。
当流体遇到障碍物时，会形成流体分层和速度分布的变化，从而导致流体绕过障碍物流动形成绕流。
绕流现象的原理可归纳为以下几个方面：1. 动量传递流体运动中的绕流现象是由于流体中质点的力相互作用引起的。
当流体流过障碍物时，由于障碍物表面与流体之间的摩擦力，会导致流体分子传递动量给障碍物表面。
这种动量传递会产生反作用力，使流体开始绕过障碍物流动。
这个过程中，障碍物表面的形状和材质对动量传递起着重要的影响。
2. 惯性效应在流体运动中，流体的惯性也是产生绕流现象的重要原因之一。
当流体流动的速度较大时，流体分子具有较大的惯性，因此在遇到障碍物时会产生绕流现象。
这种绕流现象在高速流动的情况下尤为显著，流体分子会在障碍物周围形成旋涡，并绕过障碍物流动。
3. 障碍物形状和大小障碍物的形状和大小也对绕流现象起着重要的影响。
当障碍物的形状和大小与流体流动的特性相匹配时，绕流现象会更加明显。
例如，当流体遇到一个圆柱体时，会形成一个稳定的绕流区域；而当流体遇到一个尖锐的障碍物时，会形成一个不稳定的绕流区域。
因此，通过调整障碍物的形状和大小，可以控制绕流现象的发生和发展。
绕流现象的影响因素绕流现象被广泛应用于工程实践中，因此了解绕流现象受到的影响因素对于合理设计和优化工程具有重要意义。
以下是常见的影响因素：1. 流体性质流体的性质对绕流现象的发生和发展具有重要影响。
绕流运动知识讲解
离心泵与风机蜗壳内的流 动可看作源环流动；
旋风燃烧室、离心除尘设 备等均可看作汇环流动。
汇环流
2. 均匀流与偶极流叠加——绕圆柱体流动
u (1 u (1
M
2u
M
2u
1 r2
)r
cos
1 r2
)r
sin
ur u
u(1
M
2u
1 r2
)cos
u(1
M
2u
1 r2
)s
in
绕圆柱体流动
寻找其边界条件。令ur=u=0，可以得到两个驻点坐标
Fluid Mechanics
流体力学
河北工程大学机电学院
8 绕流运动 Flow about a Body
8 绕流运动
Flow about a Body
本章要求
❖ 掌握速度势函数和流函数概念； ❖ 掌握简单势流表达式和一般势流迭加的分析计算
方法； ❖ 了解流网的绘制与应用； ❖ 理解附面层的形成、发展过程和曲面附面层分离
现象； ❖ 了解附面层动量方程的分析推导方法； ❖ 掌握绕流阻力、升力及悬浮速度计算公式。
本章重点与难点
重点：
1. 速度势函数和流函数概念； 2. 附面层的形成、发展过程和曲面附面层分离现象； 3. 绕流阻力、升力及悬浮速度计算公式。
难点：
1. 平面势流迭加； 2. 附面层的有关概念及分析方法。
主要内容
M
2u,
0;
M
2u,
，且满足＝0，即
u12M ur12rsin0
该零流线方程的解为 0, , r M 2u
零流线是由半径 r M 与x轴构成的图形。 2 u
令 R M ，则 2 u
旋风燃烧室、离心除尘设 备等均可看作汇环流动。
汇环流
2. 均匀流与偶极流叠加——绕圆柱体流动
u (1 u (1
M
2u
M
2u
1 r2
)r
cos
1 r2
)r
sin
ur u
u(1
M
2u
1 r2
)cos
u(1
M
2u
1 r2
)s
in
绕圆柱体流动
寻找其边界条件。令ur=u=0，可以得到两个驻点坐标
Fluid Mechanics
流体力学
河北工程大学机电学院
8 绕流运动 Flow about a Body
8 绕流运动
Flow about a Body
本章要求
❖ 掌握速度势函数和流函数概念； ❖ 掌握简单势流表达式和一般势流迭加的分析计算
方法； ❖ 了解流网的绘制与应用； ❖ 理解附面层的形成、发展过程和曲面附面层分离
现象； ❖ 了解附面层动量方程的分析推导方法； ❖ 掌握绕流阻力、升力及悬浮速度计算公式。
本章重点与难点
重点：
1. 速度势函数和流函数概念； 2. 附面层的形成、发展过程和曲面附面层分离现象； 3. 绕流阻力、升力及悬浮速度计算公式。
难点：
1. 平面势流迭加； 2. 附面层的有关概念及分析方法。
主要内容
M
2u,
0;
M
2u,
，且满足＝0，即
u12M ur12rsin0
该零流线方程的解为 0, , r M 2u
零流线是由半径 r M 与x轴构成的图形。 2 u
令 R M ，则 2 u
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R2 ur= = v0 ( r 2 ) cos r r R2 u = = v0 ( r + 2 ) sin r r
= u cos(u , s ) = us s
（可由方向导数的定义证之，s代表任意方向）
（2）速度势值的大小沿流线方向增加
d = us ds = uds
（ds沿流线方向的位移为正。则若知道流线方 向，即可确定速度势的增值方向）
（3）等势线（面）：速度势相等的点连成的线（面）
d ( x, y, z ) = 0 d ( x, y ) = 0
定义函数
ux = y ( x, y ) : u = y x
函数 ( x, y ) 称为流函数。
不可压缩连续流体的平面流动必存在流函数 ( x, y ) 。
不管是无旋、有旋，理想、实际流体，都存在流函数，所以 流函数更具普遍性，是研究平面流的一个重要工具。
x （3）平面势流的 是调和函数，满足拉普拉斯方程。 即：
2 2 + 2 =0 2 x y
3、注：①只要 u x +
x
②只要
u y y
= 0 ，即存在流函数。（流体连续，动是平面流动）
，即存在速度势函数。（无旋流）
u x u y = y x
三、流函数与速度势的关系
r2
2
源点
1
a
汇点
2、圆柱绕流
偶极流与匀速直线流可组合成有实际意义的圆柱绕流。
= v0 r sin
M sin 2r
物体轮廓线： r=R的零流线
v0 R sin M sin =0 2R
M = 2v0 R 2
（1）流函数
R2 = v0 (r ) sin r
第八章 绕流运动
绕流运动：流体绕物体的运动。在实际中大量存在这种运动。 如飞机在空中飞行、水流经桥墩、船在水中航行、水中悬浮物的升降和粉尘在 空中的沉降、烟囱周围空气流动都是绕流问题。 解决绕流问题的方法之一是将流场划分两个区： （1）紧靠固体的边界层，粘性起主要作用。粘性流体边界层理论。解决 绕流阻力问题。
(4)流网可以显示流速的分布情况
u1 dm2 = u2 dm1
∵任两相邻流线间的d 相同，也即单宽流量 dq 是一常数 ∴任何网格中的流速
u= dq dm
dm 在流网里可直接量得 ∴ ∴已知一点流速，可由上式算出各点流速值，还可以看出流线愈密集，流速 愈大，反之亦然。 （5）流体中压强分布可以通过流网和理想流体能量方程求得，若一点的压强 为已知，根据下式：
Q = ln r 2 = Q 2 Q = ln x 2 + y 2 2 = Q arctan y 2 x
三、环流
1、流速
c （c为常数） u = r ur = 0
2、流、势函数
= ln r 2 = 2
= v0 (
Q Q Q ) sin + = 2v0 2 2
轮廓线方程：
= v0 r sin +
Q Q = 2 2
( = 0, r = , v0 y = Q 2v0
Q Q , y = ) 2 2v0
物体的轮廓以 y =
为渐近线。
此绕流物体为半无限体（有头无尾）。
二、匀速直线绕流中的等强源汇流（了解）
u y uz = z y u y ux = x y u x uz = z x
由此可知，必有：
为某一函数 x，y，z）的全微分的充分且必 （
此关系式是使：（ u x dx + u y dy + u z dz）成
需条件，故必有一函数 （，y，z），此函数 x
即称为速度势或速度势函数。所以无旋流也称 为有势流。 对有势流，只要确定了
= v0 y +
Q y y (arctg arctg ) 2 x+a xa
1 驻点： y = 0, x = 处， = 0 2 全物体轮廓线。 三、偶极流，圆柱绕流（偶极流与匀速直线流的组合） 1、偶极流
流函数：
=
M sin 2r
p(r , )
r1 r
流线：
x2 + ( y 1 2 1 ) = 2 2c 4c
ux = a, u y = b
d = u x dx + u y dy = adx + bdy
= adx + bdy = ax + by
流函数根据：
d = u x dy u y dx = ady bdx
= ay bx
当流动平行于y轴，u x = 0 ，则
= by
= bx
θ
汇流：流体沿径向直线均匀地向某一点o 流入，称汇流，点o称汇点。如：地下水 向井中的流动可作为汇流。
源流
Q = ln r 2 = Q 2
Q = ln x 2 + y 2 2 = Q arctan y 2 x
极坐标系中，流速分量与流函数、势函数的关 系为： = u , = ur r r = ur , = u r r 汇流
P217[例8-4]自学
= ar2 cos 2 = ar2 sin2
= ar cos 推广至一般角度， = ar sin
§8-4 势流叠加
一、势流的叠加性
1、含义：势流的一个很重要的特性。 几个简单势流叠加组合成较为复杂的复合势流（φ， ψ），即
(8 2 5)
二、流函数
是研究流体平面运动的一个很重要的概念， 是为了用流网法求解平面势流所引入的一个概念。
平面流动：在流场中某一方向（取z轴）流速为零，而另两方向流速ux、uy与 上述轴向坐标z无关的流动。
1、流函数（不可压缩、均质流体的平面流动）
不可压缩流体平面流动连续性方程：
u x u y + =0 x y
( x, y ) = c
c值不同得不同的等势线。
（4）速度势满足拉普拉斯方程（不可压缩流体无旋流动的连续性方程）， 是调和函数
2 2 2 + 2 + 2 = 0 = 2 x 2 y z
2
— 拉普拉斯算子
P208-29 例题自学 3、速度势的极坐标形式
(r , ) ur = u = r r 2 2 1 + 2 + =0 2 2 r r r r
1
1 +
1 +
1
则 = ux dx + u y dy = udn(cos2 + sin2 ) = udn d
dx = dmsin 设dm为两流线间的网格边长，则 dy = dmcos
由于 d = u x dy u y dx
dm
dn
x
d = udm(cos2 + sin2 ) = udm d dn = 则 d dm 若： = d ，则为正方形网格。 d
= ux x
；
= uy y
；
= uz z
速度势 ，即可确定出
u
x
、u
y
、u z 的值，
x
而不必求出 u
、u
y
、u
z
d = uxdx+uydy+uzdz
的三个函数表达式，从而简 化有势流分导数等于速度在该方向上的分量，即
= 1 + 2 + + k = 1 + 2 + + k
u x = u x1 + u x 2 u y = u y1 + u y 2
且满足拉普拉斯方程。
2、意义： 解决势流问题在数学上就是寻求满足拉普拉斯方程和给定边界条件 的速度势函数φ或流函数ψ 。当流动情况较复杂时（如绕圆柱的流动）直接求 出势函数φ比较困难，但我们前节所讨论的简单势流作适当组合就可得到复杂 的实际流动。将各种简单势函数或流函数叠加起来就得到新的势流的势函数和 流函数。这样利用势流叠加原理可以解决复杂的实际流动。
当流动平行于x轴，u y = 0 ，则
= ax
= ay
变为极坐标方程，x = r cos ,
y = r sin
= ar cos = ar sin
二、源流和汇流 Q ur = u = 0 2r
r
源流：设在水平的无限平面内，流体从 某一点o沿径向直线均匀地向各方流出， 如图，这种流动称源流，点o称源点。如 泉眼向外流出，就是源流的近似。
1、流函数与速度势为共轭函数。即：
ux = uy = x y = = y x
柯西-黎 曼条件
2、流函数与势函数正交（流线与等势线垂直）。
四、流网 —— 由等势线和等流函数线构成的正交的网格，即流网。
1、性质： （1）等势线与等流函数线正交，即流线与等势线正交； （2）相邻两流线的流函数值之差，是此两流线间的单宽流量，即
（2）不受固体阻力影响，粘性不起作用的区间。理想流体势流理论，尤 其是平面无旋势流理论更有实用意义。解决流场的速度和压强分布问题。
本章任务：
（1）平面无旋势流理论
（2）附面层的基本概念
实际中无旋流动：
如吸风装置形成的气流，飞机飞过时的气流
一、速度势
§8-1 无旋流动
1、速度势的定义： 如果流体的运动为无旋流， 则有：
u1 dm2 = u2 dm1
可求得其他各点的压强，因此，可通过流网求解恒定平面势流问题。
p1 p2
2 2 u2 u1 = = z2 z1 + 2g
= u cos(u , s ) = us s
（可由方向导数的定义证之，s代表任意方向）
（2）速度势值的大小沿流线方向增加
d = us ds = uds
（ds沿流线方向的位移为正。则若知道流线方 向，即可确定速度势的增值方向）
（3）等势线（面）：速度势相等的点连成的线（面）
d ( x, y, z ) = 0 d ( x, y ) = 0
定义函数
ux = y ( x, y ) : u = y x
函数 ( x, y ) 称为流函数。
不可压缩连续流体的平面流动必存在流函数 ( x, y ) 。
不管是无旋、有旋，理想、实际流体，都存在流函数，所以 流函数更具普遍性，是研究平面流的一个重要工具。
x （3）平面势流的 是调和函数，满足拉普拉斯方程。 即：
2 2 + 2 =0 2 x y
3、注：①只要 u x +
x
②只要
u y y
= 0 ，即存在流函数。（流体连续，动是平面流动）
，即存在速度势函数。（无旋流）
u x u y = y x
三、流函数与速度势的关系
r2
2
源点
1
a
汇点
2、圆柱绕流
偶极流与匀速直线流可组合成有实际意义的圆柱绕流。
= v0 r sin
M sin 2r
物体轮廓线： r=R的零流线
v0 R sin M sin =0 2R
M = 2v0 R 2
（1）流函数
R2 = v0 (r ) sin r
第八章 绕流运动
绕流运动：流体绕物体的运动。在实际中大量存在这种运动。 如飞机在空中飞行、水流经桥墩、船在水中航行、水中悬浮物的升降和粉尘在 空中的沉降、烟囱周围空气流动都是绕流问题。 解决绕流问题的方法之一是将流场划分两个区： （1）紧靠固体的边界层，粘性起主要作用。粘性流体边界层理论。解决 绕流阻力问题。
(4)流网可以显示流速的分布情况
u1 dm2 = u2 dm1
∵任两相邻流线间的d 相同，也即单宽流量 dq 是一常数 ∴任何网格中的流速
u= dq dm
dm 在流网里可直接量得 ∴ ∴已知一点流速，可由上式算出各点流速值，还可以看出流线愈密集，流速 愈大，反之亦然。 （5）流体中压强分布可以通过流网和理想流体能量方程求得，若一点的压强 为已知，根据下式：
Q = ln r 2 = Q 2 Q = ln x 2 + y 2 2 = Q arctan y 2 x
三、环流
1、流速
c （c为常数） u = r ur = 0
2、流、势函数
= ln r 2 = 2
= v0 (
Q Q Q ) sin + = 2v0 2 2
轮廓线方程：
= v0 r sin +
Q Q = 2 2
( = 0, r = , v0 y = Q 2v0
Q Q , y = ) 2 2v0
物体的轮廓以 y =
为渐近线。
此绕流物体为半无限体（有头无尾）。
二、匀速直线绕流中的等强源汇流（了解）
u y uz = z y u y ux = x y u x uz = z x
由此可知，必有：
为某一函数 x，y，z）的全微分的充分且必 （
此关系式是使：（ u x dx + u y dy + u z dz）成
需条件，故必有一函数 （，y，z），此函数 x
即称为速度势或速度势函数。所以无旋流也称 为有势流。 对有势流，只要确定了
= v0 y +
Q y y (arctg arctg ) 2 x+a xa
1 驻点： y = 0, x = 处， = 0 2 全物体轮廓线。 三、偶极流，圆柱绕流（偶极流与匀速直线流的组合） 1、偶极流
流函数：
=
M sin 2r
p(r , )
r1 r
流线：
x2 + ( y 1 2 1 ) = 2 2c 4c
ux = a, u y = b
d = u x dx + u y dy = adx + bdy
= adx + bdy = ax + by
流函数根据：
d = u x dy u y dx = ady bdx
= ay bx
当流动平行于y轴，u x = 0 ，则
= by
= bx
θ
汇流：流体沿径向直线均匀地向某一点o 流入，称汇流，点o称汇点。如：地下水 向井中的流动可作为汇流。
源流
Q = ln r 2 = Q 2
Q = ln x 2 + y 2 2 = Q arctan y 2 x
极坐标系中，流速分量与流函数、势函数的关 系为： = u , = ur r r = ur , = u r r 汇流
P217[例8-4]自学
= ar2 cos 2 = ar2 sin2
= ar cos 推广至一般角度， = ar sin
§8-4 势流叠加
一、势流的叠加性
1、含义：势流的一个很重要的特性。 几个简单势流叠加组合成较为复杂的复合势流（φ， ψ），即
(8 2 5)
二、流函数
是研究流体平面运动的一个很重要的概念， 是为了用流网法求解平面势流所引入的一个概念。
平面流动：在流场中某一方向（取z轴）流速为零，而另两方向流速ux、uy与 上述轴向坐标z无关的流动。
1、流函数（不可压缩、均质流体的平面流动）
不可压缩流体平面流动连续性方程：
u x u y + =0 x y
( x, y ) = c
c值不同得不同的等势线。
（4）速度势满足拉普拉斯方程（不可压缩流体无旋流动的连续性方程）， 是调和函数
2 2 2 + 2 + 2 = 0 = 2 x 2 y z
2
— 拉普拉斯算子
P208-29 例题自学 3、速度势的极坐标形式
(r , ) ur = u = r r 2 2 1 + 2 + =0 2 2 r r r r
1
1 +
1 +
1
则 = ux dx + u y dy = udn(cos2 + sin2 ) = udn d
dx = dmsin 设dm为两流线间的网格边长，则 dy = dmcos
由于 d = u x dy u y dx
dm
dn
x
d = udm(cos2 + sin2 ) = udm d dn = 则 d dm 若： = d ，则为正方形网格。 d
= ux x
；
= uy y
；
= uz z
速度势 ，即可确定出
u
x
、u
y
、u z 的值，
x
而不必求出 u
、u
y
、u
z
d = uxdx+uydy+uzdz
的三个函数表达式，从而简 化有势流分导数等于速度在该方向上的分量，即
= 1 + 2 + + k = 1 + 2 + + k
u x = u x1 + u x 2 u y = u y1 + u y 2
且满足拉普拉斯方程。
2、意义： 解决势流问题在数学上就是寻求满足拉普拉斯方程和给定边界条件 的速度势函数φ或流函数ψ 。当流动情况较复杂时（如绕圆柱的流动）直接求 出势函数φ比较困难，但我们前节所讨论的简单势流作适当组合就可得到复杂 的实际流动。将各种简单势函数或流函数叠加起来就得到新的势流的势函数和 流函数。这样利用势流叠加原理可以解决复杂的实际流动。
当流动平行于x轴，u y = 0 ，则
= ax
= ay
变为极坐标方程，x = r cos ,
y = r sin
= ar cos = ar sin
二、源流和汇流 Q ur = u = 0 2r
r
源流：设在水平的无限平面内，流体从 某一点o沿径向直线均匀地向各方流出， 如图，这种流动称源流，点o称源点。如 泉眼向外流出，就是源流的近似。
1、流函数与速度势为共轭函数。即：
ux = uy = x y = = y x
柯西-黎 曼条件
2、流函数与势函数正交（流线与等势线垂直）。
四、流网 —— 由等势线和等流函数线构成的正交的网格，即流网。
1、性质： （1）等势线与等流函数线正交，即流线与等势线正交； （2）相邻两流线的流函数值之差，是此两流线间的单宽流量，即
（2）不受固体阻力影响，粘性不起作用的区间。理想流体势流理论，尤 其是平面无旋势流理论更有实用意义。解决流场的速度和压强分布问题。
本章任务：
（1）平面无旋势流理论
（2）附面层的基本概念
实际中无旋流动：
如吸风装置形成的气流，飞机飞过时的气流
一、速度势
§8-1 无旋流动
1、速度势的定义： 如果流体的运动为无旋流， 则有：
u1 dm2 = u2 dm1
可求得其他各点的压强，因此，可通过流网求解恒定平面势流问题。
p1 p2
2 2 u2 u1 = = z2 z1 + 2g