江苏如皋中学2018-2019学年上学期高一数学期末调研卷附答案解析
江苏如皋中学2018-2019学年上学期期末调研高一数学试题一、选择题：（本大题共12小题,每小题4分,共48分）1．已知全集{}1,2,3,4U =，集合{}1,4A =,{}2,4B =，则()U A B ð=．A ．{}2B ．{}4C ．{}1D ．{}4,2,12．若幂函数()x f 的图象经过点()3,3，则()4f =．A ．16B ．2-C ．2±D ．23．函数()()x x x f -++=31lg 的定义域为．A ．(]3,∞-B ．(]3,1-C ．[]3,0D ．()3,1-4．已知弧长为πcm 的弧所对的圆心角为4π，则这条弧所在的扇形面积为2cm ．A ．πB ．π4C ．π2D ．π25．已知向量()2,4=a ,()1,3-=b ，则向量a 与b 的夹角为．A ．4πB ．4π3C ．4π或4π3D ．3π6．如图是函数()()ϕϖ+=x A x f sin (0>A ,0>ϖ,2π<ϕ)在一个周期内的图象，则其解析式是．A ．()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=3πsin 3x x fB ．()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=3π2sin 3x x f C ．()⎪⎭⎫ ⎝⎛-=3π2sin 3x x f D ．()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=6π2sin 3x x f 7．若2tan =θ，则=-θθθcos sin 3sin 22．A ．10B ．52±C ．2D ．528．已知向量,a b满足2=+==b a b a ，则b a +2=．A ．72B ．2C ．32D ．529．已知函数()⎪⎩⎪⎨⎧>+≤≤-=，，，，012042πsin x x x x f x 则()3y f f x =-⎡⎤⎣⎦的零点为．A ．0和3B ．2C ．3-D ．1-10．在平面直角坐标系xOy 中,点B A ,在单位圆上，且点A 在第一象限，横坐标是53，将点A绕原点O 顺时针旋转3π到B 点，则点B 的横坐标为．A ．10334-B ．10343+C ．10433-D ．10433+11．已知函数()e e x x f x -=-,则不等式()()0122≤+-x f x f 的解集为．A ．(]1,0B ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1,21C ．⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--22,1D ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡-21,112．已知定义在(,0)(0,)-∞+∞ 上的函数()22010x ax x f x x x ⎧+>=⎨+<⎩，，，，若()()0=-+x f x f 在定义域上有4两个不同的解，则a 的取值范围为.A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-21,B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,23C ．13,,22⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ D ．⎪⎭⎫⎝⎛-23,21二、填空题（本大题共4小题,每小题5分,共20分）13．计算：238lg 2lg 527-⎛⎫--=⎪⎝⎭ ．14．若316πsin =⎪⎭⎫ ⎝⎛+x ，则⎪⎭⎫ ⎝⎛-6π2sin x ．15．三角形ABC 中，已知4=AC ，2=AB ,BP BC 3=,CQ CB 4=,4=⋅AQ AP ，则AC AB ⋅=．16．已知函数()xax x f +=，其中R a ∈，若关于x 的方程()31212+=-a f x 有三个不同的实数解，则实数a 的取值范围是______________．三、解答题（本大题共6小题,共82分）17．(本小题满分10分)设全集U R =，集合{}15x x m A =-<-<，1242x x ⎧⎫B =<<⎨⎬⎩⎭．（1）当1=m 时，求()U A B ð；（2）若A B =∅ ，求实数m 的取值范围．18．(本小题满分12分)已知4cos 5α=，5cos()13αβ+=，,αβ均为锐角.（1）求sin 2α的值；（2）求sin β的值．19．(本小题满分14分)已知向量()x x x a sin 4,sin cos 3+=，()x x x b cos 3,sin cos 3-+=，设()b a x f ⋅=.（1）将()x f 的图像向右平移3π个单位，然后纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍得到()x g 的图像，求()x g 的单调增区间;（2）若⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈3,0πx 时，()2)(+≥+x f m x mf 恒成立，求实数m 的取值范围.20．(本小题满分14分)在三角形ABC 中，2=AB ,1=AC ,2π=∠ACB ，D 是线段BC 上一点，且DC BD 21=，F 为线段AB 上一点.（1）设a AB =，b AC =，设b y a x AD +=，求y x -；.（2）求FA CF ⋅的取值范围；（3）若F 为线段AB 的中点，直线CF 与AD 相交于点M ,求AB CM ⋅.21．(本小题满分16分)如图，某城市拟在矩形区域ABCD 内修建儿童乐园，已知2=AB 百米，4=BC 百米，点N E ,分别在BC AD ,上，梯形DENC 为水上乐园；将梯形EABN 分成三个活动区域，M 在AB 上，且点E B ,关于MN 对称．现需要修建两道栅栏ME ，MN 将三个活动区域隔开．设θ=∠BNM ，两道栅栏的总长度MN ME L +=)(θ．（1）求)(θL 的函数表达式，并求出函数的定义域；（2）求)(θL 的最小值及此时θ的值.22．(本小题满分16分)若函数()2||m m x x x f +-=，R m ∈（1）若函数()x f 为奇函数，求m 的值；（2）若函数()f x 在[]2,1∈x 上是增函数，求实数m 的取值范围；（3）若函数()f x 在[]2,1∈x 上的最小值为7，求实数m 的值.答案一、选择题：（本大题共12小题,每小题4分,共48分）1.C 2.D 3.B 4,C 5.A 6.B 7.D8.C9.C10.B11.D12.A二、填空题（本大题共4小题,每小题5分,共20分）13.4714.97-15.78-16.32≥a 三、解答题（本大题共6小题,共82分）17．(本小题满分10分)（1）.当1=m 时，{}60<<=x x A ，{}21<<-=x x B ∴{}21≥-≤=x x x B C U 或∴(){}62<≤=⋂x x B C A U ……………4分（2）.{}51+<<-=m x m x A ，{}21<<-=x x B A B =∅∴21≥-m 或15-≤+m ∴3≥m 或6-≤m ………10分18.(本小题满分12分)（1）.4cos 5α=由1cos sin 22=+αα得53sin ±=α α为锐角∴0sin >α，则53sin =α∴2524cos sin 22sin ==ααα……………6分（2）.()135cos =+βα由1)(cos )(sin 22=+++βαβα得1312)sin(±=+βα ,αβ均为锐角.∴πβα<+<0∴()0sin >+βα，则1312)sin(=+βα∴()[]()()αβααβααβαβsin cos cos sin sin sin +-+=-+==653353135541312=⨯-⨯……………12分19．(本小题满分14分)（1）.()()()xx x x x x b a x f cos 3,sin cos 3sin 4,sin cos 3-+⋅+=⋅==x x x x x cos sin 32sin cos 322-+=232cos 2+⎪⎭⎫ ⎝⎛+πx ……………2分将()x f 的图像向右平移3π个单位得()232cos 22332cos 21+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=πππx x x f 纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍得()23cos 2+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=πx x g ……………4分ππππk x k 232≤-≤-得32322ππππ+≤≤-k x k ∴()x g 的单调增区间为⎪⎭⎫ ⎝⎛+-32,322ππππk k ，zk ∈……………7分（2）.由()2)(+≥+x f m x mf 得()()()21+≥+x f x f m 恒成立①()=+1x f 332cos 2+⎪⎭⎫ ⎝⎛+πx ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈3,0πx ∴⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+21,132cos πx ∴()[]4,11∈+x f ……………9分∴①可化为()()12++≥x f x f m 恒成立令()t x f =+1，[]4,1∈t ∴tm 11+≥恒成立即求函数()tt h 11+=的最大值 ()t t h 11+=是单调减函数∴()t t h 11+=的最大值为()21=h ∴2≥m ……………14分20.(本小题满分14分)法一：（基底法）（1）. ()b a AC AB AC AB AC CB AC AD 3132********+=+=-+=+=而b y a x AD +=∴32=x ，31=y∴31=-y x ……………4分（2）. 在三角形ABC 中，2=AB ,1=AC ,2π=∠ACB ∴3π=∠CAB ，3=BC ∴()FA AF CA FA CF ⋅+=⋅=FAAF FA CA ⋅+⋅①不妨设x AF =，[]2,0∈x ∴①式=x x x x 213cos 122+-=-⎪⎭⎫⎝⎛⨯⨯π，[]2,0∈x ∴⎥⎦⎤⎢⎣⎡-161,3……………8分（3）. F 为线段AB 的中点∴CB CA AB CA CF 212121+=+=不妨设CF CM λ=∴CB CA CM 22λλ+=∴CBCA CA CM AM 212λλ+⎪⎭⎫⎝⎛-=-=CACB AD -=32D M A 、、三点共线∴AD AM μ=即⎪⎭⎫⎝⎛-=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-CA CB CB CA 32212μλλ∴⎪⎩⎪⎨⎧==μλμλ322-1-2∴54=λ……………11分∴CB CA CM 5252+=∴()545252525222=-=-⎪⎭⎫⎝⎛+=⋅CA CB CA CB CB CA AB CM ……………14分法二：（坐标法）()0,0C ()1,0A (),3B ⎪⎭⎫⎝⎛0,332D （1）⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=1,332AD ()1,3-=a ()1,0-=b ()()1,01,3-+-=+=y x b y a x AD∴⎪⎩⎪⎨⎧--=-=yx x 13332∴⎪⎩⎪⎨⎧==3132y x ∴31=-y x ……………4分（2）AB 直线方程为133+-=x y ∴设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-133,x x F []3,0∈x ∴⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x x FA 33,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=133,x x CF ∴x x FA CF 33342+-=⋅，[]3,0∈x ∴⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈⋅161,3FA CF ……………8分（3） F 为线段AB 的中点∴⎪⎪⎭⎫⎝⎛21,23F 则直线CF ：x y 33=()1,0A ⎪⎭⎫ ⎝⎛0,332D 则直线AD ：123+-=x y ∴⎪⎪⎭⎫⎝⎛52,532M 则⎪⎪⎭⎫⎝⎛=52,532CM ……………12分()1,0A ()0,3B 则()1,3-=AB ∴54=⋅AB CM ……………14分21.(本小题满分16分)（1）.在矩形ABCD 中，∵E B ,关于MN 对称，θ=∠BNM …∴θ2=∠AME ,且EMBM =在AEM RT ∆中，θθ2cos 2cos BM EM AM ==又∵2=+BM AM 百米∴22cos =+BM BM θ∴θθ2cos 12cos 12=+==EM BM …………………………………………............4分∴EMN RT ∆中，θθθsin cos 1sin 2==EM MN θθθθsin cos 1cos 1)(22+=+=MN ME L …………………………………..............6分在BMN RT ∆中，θθθcos sin 1cos ==MN BN ∵40,20<<<<BN BM ,204cos sin 102cos 102⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<<<<<<∴πθθθθ解得412πθπ<<，∴函数的定义域为)4,12(ππ.............8分（2）.θθθθθθθθθsin )sin 1(1sin )sin 1(sin 1sin cos 1cos 1)(222-=-+=+=+=MN ME L .11分令θsin =t ，∵)4,12(ππθ∈，∴)22,426(-∈t 令t t t +-=2)(ϕ，则当)22,426(21-∈=t ，即6πθ=时取最大值，最大值为41百米......15分∴)(θL 的最小值为4百米，此时.6πθ=...............................16分22.(本小题满分16分)（1）∵)(x f 是奇函数，定义域为R∴)()(x f x f -=-，令0=x ，得0)0(=f ，∴0=m .....................2分经检验：0=m 时)()(x f x f -=-，∴0=m .......................3分（2） 1≤m 时，22)(m mx x x f +-=开口向上，对称轴为212≤=m x ，∴)(x f 在]2,1[上单调递增.........................5分②2≥m 时，22)(m mx x x f ++-=开口向下，对称轴为2m x =，∴)(x f 在)2,(m -∞上单调递增，在),2(+∞m上单调递减，∵)(x f 在]2,1[上单调递增∴22≥m，∴4≥m .....................................7分③21<<m 时，⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤++-=mx m mx x mx m mx x x f ,,)(2222函数)(x f 在)2,(m -∞和),(+∞m 上单调递增，则),2(m m上单调递减，∴)(x f 在]2,1[上不单调，不满足题意.∴m 的取值范围是).,4[]1,(+∞-∞ .....................................9分（3）由（2）可知①1≤m 时，22)(m mx x x f +-=，)(x f 在]2,1[上单调递增，∴71)1()(2min =+-==m m f x f 解得2-=m 或3=m ∵1≤m ∴2-=m ..............................11分②2≥m 时，22)(m mx x x f ++-=，)(x f 在)2,(m -∞上单调递增，在),2(+∞m上单调递减，当232≥m 即3≥m 时，71)1()(2min =++-==m m f x f 解得：2331±-=m （舍）......................................12分当232<m 即32<≤m 时，724)2()(2min =++-==m m f x f 解得：321±-=m ，∵32<≤m ，∴132-=m .............................13分③21<<m 时，⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤++-=mx m mx x mx m mx x x f ,,)(2222函数)(x f 在)2,(m -∞和),(+∞m 上单调递增，则),2(m m上单调递减，∴当21<<m 时，7)()(2min ===m m f x f 解得：7±=m （舍）.......................................15分综上：2-=m 或1-32...........................................16分。
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江苏省如皋中学2018 2018学年度第一学期高三期末考试数学试卷18.01第Ⅰ卷一、选择题：（每小题5分，12小题，共60分）1下列命题中：⑴ 函数)(x f y =的图象与)(y f x =的图象关于直线x y =对称；⑵ 若)()(x f x f --=，则函数)(x f 的图象关于原点对称；⑶ 若)()(x f x f -=，则)(x f 的图象关于y 轴对称；⑷ 函数)(x f y =的图象与)(x f y -=的图象关于x 轴对称，其中真命题是A ⑵⑶B ⑵⑶⑷C ⑴⑵⑶D ⑴⑵⑶⑷ 2 设1,0≠>a a ，函数x y a log =的反函数和xy a1log =的反函数的图象关于 A x 轴对称 B y 轴对称 C 直线x y =对称 D 原点对称 3 点P （θθcos ,sin ）在角α的终边上，则角α的值为 A θ B Z k k ∈+,θπ Cθπ-2D ,2k k Z ππθ+-∈4 设θ是三角形的内角，若函数6cos 4sin )(2+-=θθx x x f 对一切实数x 都有0)(>x f ，则θ的取值范围是A )6,0(πB )65,6(ππC )6,0(π∪),65(ππ D )32,3(ππ5 若定义在R 上的偶函数)(x f 满足)()1(x f x f -=+，且在[2,3--]上是减函数，α、β是锐角三角形的两个内角，则A )(cos )(sin βαf f >B )(cos )(sin βαf f <C )(sin )(sin βαf f >D )(cos )(cos βαf f > 6 为得到函数x y 3sin =的图象，只需将函数x y 3cos =的图象A 向左平移3π个单位 B 向右平移2π个单位 C 向左平移6π个单位 D 向右平移6π个单位7 在△ABC 中，=，=，若0>⋅，则三角形ABC 是A 锐角三角形B 直角三角形C 钝角三角形D 等腰直角三角形 8 将函数122+--=x x y 的图象按向量平移，得到函数2x y -=的图象，则的坐标为 A )2,1( B )2,1(- C )2,1(- D )2,1(-- 9 已知数列{}n a （N n ∈*）中，11=a ，nnn a a a 211+=+，则这个数列的第n 项为A 12-nB 12+n C121-n D 121+n 10 设双曲线12222=-by a x （b a <<0）的半焦距为c ，直线l 过（0,a ），（b ,0）两点，已知原点到直线l 的距离为c 43，则双曲线的离心率为 A 2 B 3 C 2 D332 11 若]2,0[πθ∈，则椭圆0sin 4cos 22222=+-+θθy x y x 的中心的轨迹是12 在边长为a 的菱形ABCD 中，∠BAD=3π，将△BAD 绕BD 旋转32π后点A 到达点A /，则三棱锥A /-BCD 的体积为 A 3161a B 3163a C 31633a D 31639a江苏省如皋中学2018 2018学年度第一学期高三期末考试数学试卷第Ⅱ卷二、填空题：（每小题4分，4小题，共16分）13 若存在常数0>p ，使得函数)(x f 满足)2()(ppx f px f -=（R x ∈）恒成立，则)(x f 的一个正周期为________ 14 设A={}1|),(2-=x y y x ，B={}a x y y x +=|),(；⑴ 若A ∩B=φ，则满足条件的a 组成的集合是_____________________⑵ 若A ∩B 为单元素集，则满足条件的a 组成的集合是_________________15 已知F 1，F 2分别是椭圆12222=+by a x （0>>b a ）的两焦点，点P 在椭圆上，△POF 2是面积为3的正三角形，则2b 的值是____________16 某湖中有四个小岛,拟在四个小岛之间建三座桥，使四岛相连，共有________种不同的建桥方案。
江苏省南通市如皋2018-2019学年高一上学期教学质量调研(三)数学试题(解析版)
2018-2019学年度高一年级第一学期教学质量调研（三）数学试题一、选择题：本大题共12个小题,每小题4分,共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.【答案】A 【解析】【分析】利用两个集合的交集所包含的元素，求得a 的值，进而求得A B È. 【详解】由于{}1A B?，故21,3a a -==，所以{}1,2B =，故{}0,1,2A B ?，故选A.【点睛】本小题主要考查两个集合交集元素的特征，考查两个集合的并集的概念，属于基础题. 2.【答案】C 【解析】【分析】直接利用扇形面积公式，计算得出结果. 【详解】由扇形面积公式得22112π612π223S R a =?创=.故选C. 【点睛】本小题主要考查扇形的面积公式，考查运算和求解能力，属于基础题. 3.【答案】A 【解析】【分析】利用偶次方根的被开方数为非负数和对数的真数大于零列不等式组，解不等式组求得函数的定义域.【详解】依题意得2030x x ì+?ïí->ïî，解得23x -?，故选A.【点睛】本小题主要考查函数定义域的求法，考查两个集合的交集的求解.函数的定义域主要由以下方面考虑来求解：一个是分数的分母不能为零，二个是偶次方根的被开方数为非负数，第三是对数的真数要大于零，第四个是零次方的底数不能为零.对于含有多个以上情况的解析式，要求它们的交集来得到最终的结果. 4.【答案】B 【解析】【分析】先求得12a b +与2a kb -，然后利用两个向量平行的坐标表示，列方程，解方程求得k 的值. 【详解】依题意152,22a b 骣琪+=琪桫，()()()22,22,322,23a kb k k k k -=-=--，由于两个向量平行，故()()52232202k k ?-?=，解得1k =-. 【点睛】本小题主要考查向量的线性运算，包括加法和减法的坐标表示，考查两个向量平行的坐标表示，还考查了向量数乘的运算，属于基础题.对于两个向量()()1122,,,a x y b x y ==，()1212,a bx x yy ?北，()12,a x x l l l =，若两个向量平行，则有12210x y x y -=，若两个向量垂直，则有12120x x y y +=.5.【答案】D 【解析】【分析】先排除选项中的奇函数，再根据函数在()0,+?的单调性选出正确选项.【详解】A 选项函数是奇函数，首先排除.当0x >时，cos y x =有递增也有递减区间，C 选项不符合题意. 当0x >时，1222x x x y --===为减函数，B 选项不符合题意. 当0x >时，ln ln y x x ==为增函数，符合题意，故选D.【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性，考查函数的单调性.对于含有绝对值函数的单调性，可先令0x >，去掉绝对值，判断出0x >时的单调性，然后利用奇偶性得到0x <时的单调性. 6.【答案】B 【解析】【分析】直接利用夹角公式计算出两个向量的夹角余弦值，根据这个余弦值求得夹角的大小.【详解】设向量a b +与a b -的夹角为q ，故()()c o s a b a ba b a b q +?=+-22a b a b a b -=+-110a b a b-==+-.故两个向量的夹角为π2，故选B. 【点睛】本小题主要考查两个向量的夹角公式，两个向量,a b 的夹角公式为cos ,a ba b a b×=×，属于基础题.事实上，由于两个向量是单位向量，故以,a b 为邻边的平行四边形为菱形，而a b +和a b -的几何意义是这个菱形的两条对角线，而菱形的对角线相互垂直，所以它们两者的数量积为零.也即题目给定的“夹角为π3”这个条件可以换成其它的值，结果还是一样的. 7.【答案】D 【解析】【分析】根据三角函数的最小正周期，求得w 的值，也即求得函数的解析式，然后根据三角函数的图像与性质，对四个选项进行逐一排除.【详解】依题意得2ππT w==，解得2w =，所以()1πsi n 223f x x 骣琪=+琪桫.由于π1ππ1sin 2sin π032332f 骣骣琪琪=?==琪琪桫桫，故π3x =是函数()f x 的零点，所以A 选项错误.当π12x =时，πππsin 2sin 11232骣琪?==琪桫，故π12x =是函数()f x 的对称轴，所以B 选项错误.由上述分析可知，当π12x =时，函数取得最大值，故C 选项错误. 函数()f x 的图像向右平移512p个单位，为15ππ1π1sin 2sin 2cos 22123222x x x 轾骣骣犏琪琪-+=-=-琪琪犏桫桫臌为偶函数，故D 选项正确. 【点睛】本小题主要考查三角函数的周期性，考查三角函数的零点、对称轴、单调区间以及三角函数图像变换等知识，综合性较强，属于中档题.三角函数的零点或者说对称中心的关键点是对应的函数值为零，三角函数对称轴位置的函数值为最大值或者最小值的位置. 8.【答案】B 【解析】【分析】将22a b +=两边平方，化简后代入已知条件列方程，由此求得b .【详解】将22a b +=两边平方得，22442a a b b +?=，即244c o s 1352bb ++=，22220b b -+=，()220b -=，2b =.故选B.【点睛】本小题主要考查平面向量模的有关运算，考查平面向量数量积模的表示，属于基础题. 9.【答案】A 【解析】【分析】 利用诱导公式化简2πsin 3a 骣琪-琪桫，然后利用同角三角函数关系式求得三角函数的值. 【详解】依题意有2πππππsin sin cos cos 32666a a a a 骣骣骣骣琪琪琪琪-=+-=-=-琪琪琪琪桫桫桫桫，由于π2πa <<，故5ππ11π666a <-<，而π1sin 063a 骣琪-=>琪桫，故5πππ66a <-<，所以πcos 63a 骣琪-=-=-琪桫.故选A. 【点睛】本小题主要考查三角函数诱导公式，考查同角三角函数的基本关系式，属于基础题.在已知角的正弦值求余弦值的题目中，要注意根据角终边所在象限确定三角函数值的符号.10.【答案】C 【解析】【分析】 先求得()f g x 轾臌的表达式，根据函数的定义域以及单调性，求得函数的值域.【详解】依题意可知()()112ln 22f g x f x x x骣骣轾琪琪=-=-?琪琪臌桫桫，当2x ³时，12x-是减函数，故31222x ?<，由于ln y x =是单调递增函数，故13ln 2ln ,ln 22x 骣轹琪?-?ê琪?ê桫滕.属于选C. 【点睛】本小题主要考查复合函数解析式的求法，考查函数的单调性以及值域的求法，属于中档题. 11.【答案】C 【解析】【分析】根据()()11f x f x +=-可知当0x >时，函数是周期为2的周期函数，故将()20192019,2f f 骣琪琪桫通过周期性转化为0x <内的自变量来求得函数值.【详解】根据()()11f x f x +=-可知当0x >时，函数是周期为2的周期函数，故()()201932019210041250422f f f f 骣骣琪琪+=?+?琪琪桫桫()312f f 骣琪=+琪桫，根据()()f x f x -=-以及()()11f x f x +=-，可得()312f f 骣琪+琪桫()1112f f骣琪=--++琪桫()1112f f 骣琪=--+-琪桫()112f f 骣琪=--+-琪桫112==.故选C.【点睛】本小题主要考查函数的周期性，考查函数的奇偶性.对于有关年份的题目，往往可以利用周期性将较大的数，转化为已知解析式的范围来求解，属于中档题. 12.【答案】A 【解析】【分析】 画出函数πsin 6y x 骣琪=+琪桫在7π0,3轾犏犏臌内的图像，同时画出y m =的图像，使得两个图像有三个交点，利用对称性求得三个交点横坐标的关系，由此求得题目所求表达式的值. 【详解】画出函数πsin 6y x 骣琪=+琪桫在7π0,3轾犏犏臌内的图像以及y m =的图像如下图所示，令πsin 16x 骣琪+=琪桫，解得π3x =，令πs i n 16x 骣琪+=-琪桫，解得4π3x =.由图像可知关于直线π3x =对称，23,x x 关于直线4π3x =对称，故122π3x x +=，238π3x x +=，所以1232π8π10π2333x x x ++=+=.【点睛】本小题主要考查函数零点问题，考查三角函数的图像与性质，属于较难的题目.在解决含有参数的零点问题过程中，先将参数分离出来，变为两个函数图像来解决，这样可以避免对参数进行讨论.三角函数图像具有对称性，画出图像后，可以很直观的到三个零点的对称关系，这是解题的突破口.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.【分析】 利用诱导公式，将330-转化为()0,90内的角来求得三角函数值.【详解】依题意得()()3cos 330cos 36030cos30-=-+==. 【点睛】本小题主要考查三角函数的诱导公式，考查特殊角的三角函数值，属于基础题. 14.【答案】32【解析】【分析】 由于BC AC AB =-，结合题目已知AB AC BC +=可知三角形为直角三角形，根据三角形的边长，求得相应的角度，由此求得题目所求的结果. 【详解】由于BC AC AB =-，故A B A CA C AB +=-，根据向量加法和减法的几何意义可知，以,AB AC为邻边的平行四边形的对角线相等，即这个四边形是矩形.故AB AC ^，根据题意1,3AB AC ==，故π6C?，所以π3cos62CA CB CA CB×=?. 【点睛】本小题主要考查向量的线性运算，考查向量加法和减法的几何意义，考查向量数量积的运算，属于基础题. 15.【答案】-63p p或【解析】【分析】 将π3j +代入正切函数的对称中心，利用π2j <求得j 的值. 【详解】由于π,03骣琪琪桫是函数的对称中心，故πππ,π3223k k j j +==-，由于π2j <，故取0,1k =时，π6j =或π3j =-符合题意. 【点睛】本小题主要考查正切函数的对称性，属于基础题.正切函数tan y x =的对称中心是π,02k 骣琪琪桫，值的注意的是π,02骣琪琪桫虽然不在函数的图像像上，但它是正切函数的对称中心.16.【答案】()【解析】【分析】令()4f x x =，将问题转化为函数()f x 与函数4y x =，有三个交点问题来解决.当1x £时，解()4f x x =求得函数有一个零点.当1x >时，化简()4f x x =，利用二次函数有两个零点列不等式组，解不等式组求得a 的取值范围.【详解】令()4f x x =，问题转化为函数()f x 与函数4y x =，有三个交点.当1x £时，由()4f x x =得6514x x -+=，解得35x =.故函数在1x >时，有两个根，由()4f x x =得3294x ax x x -+=，即()250x x ax -+=，由于1x >，故250x ax -+=在区间()1,+?上有两个零点，令()25h x xax =-+，依题意可得()220016002a h a a ìïD=->ïï=->íïï>ïî，解得()a Î.故a的取值范围是(). 【点睛】本小题主要考查函数零点问题，考查化归与转化的数学思想方法，考查二次函数零点分布的解决方法.属于中档题.三、解答题 （本大题共6小题，共82分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.【答案】（1）()2(2)6f x sin x p =-；（2）,33p p 轾-犏犏臌 【解析】【分析】（1）根据函数的最高点求得A 的值，根据图像得到函数的周期，并求得w 的值，代入点,23p骣琪琪桫求得j 的值.由此求得函数的解析式.（2）利用三角函数图像变换的知识求得()g x 的表达式，利用正弦函数的单调区间求得函数()g x 的所有递增区间，然后求得在给定区间5,36p p轾-犏犏臌上的单调增区间. 【详解】（1）依题意，22,4,2312A T p p pp w w 骣琪==-===琪桫，故()()22f x sin x j=+.将点,23p骣琪琪桫的坐标代入函数的解析式可得2sin 13pj 骣琪+=琪桫， 则()26k k Z p j p =-?，πj <又，故=6pj -， 故函数解析式为()226f x sin x p骣琪=-琪桫. （2）()2sin 6g x x p骣琪=+琪桫由22,262k x k k Z p p p p p -+???，得222,33k x k k Z p pp p -+＃+?又5,36x p p 轾?犏犏臌，所以33x pp-＃ 所以函数()g x 在5,36p p轾-犏犏臌上的增区间为,33p p 轾-犏犏臌 【点睛】本小题主要考查利用三角函数的图像求三角函数解析式，考查三角函数单调区间的求法，属于中档题.利用三角函数图像求三角函数的解析式有三个关键点，一个是通过最值点得到A 的值；二个是通过图像上体现出来的函数的周期，求得w 的值，这个条件可能是两个对称轴间的距离，可能是两个零点的距离，也可能是零点和对称轴间的距离；三个是利用特殊点来求得j 的值. 18.【答案】（1）见解析；（2）2；（3）32【解析】【分析】 （1）由于CP 是三角形的中线，根据平行四边形法则，CP 是以,CA CB 为邻边的平行四边形的对角线的一半.（2）将（1）得到的式子两边平方，化简后可求得BC 的值.（3）利用（1）的结论，将所求式子变为()1•2CA CB CB +，展开后可求得相应的数量积. 【详解】(1) 因为P 是AB 的中点，所以()12CP CA CB =+.(2)因为22242?CP CA CA CB CB =++,21816CB CB =-+,所以2BC =.（3）()21113•••2222CP CB CA CB CB CA CB CB =+=+=. 【点睛】本小题主要考查平面向量的线性运算，考查利用数量积求模，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.19.【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】 【分析】（1）利用换元法，求得函数的解析式，再根据对数的真数大于零，列不等式组，解不等式组求得函数的定义域.（2）任取()12,2,2x x ?，且12x x <，通过计算()()120f x f x -<证得函数为增函数.【详解】（1）令1t x =+，则1x t =-，所以()()()log 2log 2a a f t t t =+-- 即()()()log 2log 2a a f x x x =+--，由2020x x ì+>ïí->ïî，解得22x -<< 所以()()()log 2log 2a a f x x x =+--，其定义域为()2,2-. （2）当1a >时，函数()f x 在()2,2-上是单调增函数. 证明如下：当1a >时，()()()2log 2log 2log 2a a a xf x x x x+=+--=- 设任意的()12,2,2x x ?，且12x x <，则()()()()()()12121212122222log log log 2222a a ax x x x f x f x x x x x +-++-=-=---+ ()()()1221122112124422log log 142222a x x x x x x x x x x x x 骣--+-琪==+琪+---+桫 因为1222x x -<<<，所以120x x -<，120x ->，220x +> 即()()()121241122x x x x -+<-+又因为1a >时，log a y x =在()0,+?上是增函数，所以()()()12124log 1022x x x x骣-琪+<琪-+桫，即()()12f x f x < 所以当1a >时，函数()f x 在()2,2-上是单调增函数.【点睛】本小题主要考查利用换元法求函数的解析式，考查函数定义域的求法，考查利用定义法证明函数的单调性.属于中档题. 20.【答案】（1）24sin 2156h t p p骣琪=-+琪桫，0t ³；（2）见解析 【解析】【分析】（1）以圆心为原点建立平面直角坐标系.根据O 距离水面的高度得到0P 点的坐标.利用三角函数来表示P 点的坐标，将角速度代入P 点的纵坐标，在加上2，可求得h 的表达式.（2）令0h >，通过解三角不等式可求得离开水面的时间.【详解】（1）以圆心o为原点，建立如图所示的直角坐标系，()02P -则06P Oxp ?，所以以Ox 为始边，为OP 终边的角为6pq -, 故4cos ,4sin 66P p pq q 骣骣骣琪琪琪--琪琪琪桫桫桫点P 在t 秒内所转过的角q =215t p，所以24sin 2156h t p p 骣琪=-+琪桫，0t ³（2）令0h >，得21sin 1562t p p 骣琪->-琪桫，所以2722,61566k t k k Z p p p pp p -+<-<+? 即151015,k t k k Z <<+? 又015t＃，所以010t <<即在水轮旋转一圈内，有10秒时间P 点离开水面.【点睛】本小题主要考查利用三角函数表示旋转高度的问题，考查三角不等式的解法，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题. 21.【答案】（1）2,6x k k Z p p =+?或52,6x k k Z pp =+?；（2）()6,9- 【解析】【分析】（1）当9a =-，利用平方关系化简()f x 表达式后，利用十字相乘法求得函数的零点.（2）利用平方关系化简()f x 为只含sin x 的表达式，利用换元法，将函数变为二次函数，用分类讨论的方法讨论函数的最小值，根据最小值为正数，求得a 的取值范围.【详解】（1）当9a =-时，令()0f x =得22cos 9sin 60x x --+=因为22cos 1sin x x =-，所以22sin 9sin 40x x -+=即()()2sin 1sin 40x x --= 因为1sin 1x -＃，所以1sin 2x =因为x R Î，所以2,6x k k Z p p =+?或52,6x k k Z p p =+?. （2）令sin t x =，则1,12t 轾?犏犏臌，函数()224h x t at =++，对称轴4a t =- 讨论①当142a -?即2a ³，()min 102g t g 骣琪=->琪桫得9a <，所以29a ?②当1124a -<-<即42a -<<，令()min 04a g t g 骣琪=->琪桫得a -＃42a -<< ③当14a -?即4a ?，令()()min 10g t g =>得6a >-，所以64a -<? 综上：为实数a 的取值范围为()6,9-.【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式中的平方关系，考查一元二次方程十字相乘法求零点，还考查了化归与转化的数学思想方法以及分类讨论的思想.在第二问中，现将余弦转化为正弦，然后利用换元法转化为二次函数，在根据二次函数的对称轴进行分类讨论，难度较大.22.【答案】（1）见解析；（2）344b -<?（3）见解析 【解析】【分析】（1）当1a b =-时，对函数因式分解后，对b 分类讨论，从而得出不等式的解集.（2）当21a b =-时，利用二次函数的对称轴、判别式，以及区间端点的函数值分类讨论，列不等式组，解不等式组求得b 的取值范围.（3）当1a b =-时，构造函数设()()()()12123g x f x f x f x 轾=-+臌，通过计算()()120g x g x ?，利用零点的存在性定理可证得方程在区间()12,x x 内有一个实根.【详解】（1）()()()2111f x x bx b x b x =-+-=-+- 当2b =时，x R Î；当2b >时，(][),11,x b ?ト-+?； 当2b <时，(][),11,x b ????.(2) ()221f x x bx b =-+-01因为()()21202010b f f ì-<<ïïïD?íï->ïï>î所以04b <? 02因为()()210f f -?，所以304b -<< 03当34b =-时，235042x x +-=解得125,24x x ==-符合题意 04当0b =时，210x -=解得121,1x x ==-符合题意综上，实数b的取值范围为344b -<? （3）设()()()()12123g x f x f x f x 轾=-+臌，则 ()()()()()()11121212233g x f x f x f x f x f x 轾轾=-+=-臌臌， ()()()()()()22121211233g x f x f x f x f x f x 轾轾=-+=--臌臌， ()()()()2121229g x g x f x f x 轾?--臌 因为()()12f x f x ¹，所以()()120g x g x ?，又函数()g x 在区间[]12,x x 上的图象是连续不断的一条曲线，由零点的的判定定理可得：()0g x =在()12,x x 内有一个实数根. 【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查二次函数在给定区间上的零点分布问题，考查利用零点存在性定理证明存在零点的方法.属于中档题.。
2018-2019学年江苏省南通市如皋高一上学期教学质量调研(三)数学试题(解析版)
2018-2019学年江苏省南通市如皋高一上学期教学质量调研（三）数学试题（解析版）一、选择题：本大题共12个小题,每小题4分,共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}0,1A =，{}2,2B a =-，若{}1A B?，则A B?（ ）A. {}0,1,2B. {}1C. {}0,1,2,3D. {}1,2 【答案】A 【解析】 【分析】利用两个集合的交集所包含的元素，求得a 的值，进而求得A B È. 【详解】由于{}1A B?，故21,3a a -==，所以{}1,2B =，故{}0,1,2A B ?，故选A.【点睛】本小题主要考查两个集合交集元素的特征，考查两个集合的并集的概念，属于基础题. 2.已知扇形的圆心角为23p，半径为6，则扇形的面积为（ ） A. 24p B. 2p C. 12p D. 4p 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用扇形面积公式，计算得出结果. 【详解】由扇形面积公式得22112π612π223S R a =?创=.故选C. 【点睛】本小题主要考查扇形的面积公式，考查运算和求解能力，属于基础题.3.函数lg(3)y x -的定义域为（ ） A. [2,3)- B. (3,)+? C. [2,3]- D. (,2]-? 【答案】A 【解析】 【分析】利用偶次方根的被开方数为非负数和对数的真数大于零列不等式组，解不等式组求得函数的定义域.【详解】依题意得2030x x ì+?ïí->ïî，解得23x -?，故选A.【点睛】本小题主要考查函数定义域的求法，考查两个集合的交集的求解.函数的定义域主要由以下方面考虑来求解：一个是分数的分母不能为零，二个是偶次方根的被开方数为非负数，第三是对数的真数要大于零，第四个是零次方的底数不能为零.对于含有多个以上情况的解析式，要求它们的交集来得到最终的结果. 4.已知向量(1,1)a =，(2,3)b =，若向量12a b +与2a kb -平行，则实数k 的值为（ ） A. 2 B. -1 C. -2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】先求得12a b + 与2a kb -，然后利用两个向量平行的坐标表示，列方程，解方程求得k 的值.【详解】依题意152,22a b 骣琪+=琪桫 ，()()()22,22,322,23a kb k k k k -=-=-- ，由于两个向量平行，故()()52232202k k ?-?=，解得1k =-. 【点睛】本小题主要考查向量的线性运算，包括加法和减法的坐标表示，考查两个向量平行的坐标表示，还考查了向量数乘的运算，属于基础题.对于两个向量()()1122,,,a x y b x y == ，()1212,a bx x yy ?北 ，()12,a x x l l l =，若两个向量平行，则有12210x y x y -=，若两个向量垂直，则有12120x x y y +=.5.下列函数中，既是偶函数，又在区间(0,)+?上单调递增的函数是（ ） A. 3y x =- B. 2x y -= C. cos y x = D. ln y x = 【答案】D 【解析】 【分析】先排除选项中的奇函数，再根据函数在()0,+?的单调性选出正确选项.【详解】A 选项函数是奇函数，首先排除.当0x >时，cos y x =有递增也有递减区间，C 选项不符合题意. 当0x >时，1222x x x y --===为减函数，B 选项不符合题意. 当0x >时，ln ln y x x ==为增函数，符合题意，故选D.【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性，考查函数的单调性.对于含有绝对值函数的单调性，可先令0x >，去掉绝对值，判断出0x >时的单调性，然后利用奇偶性得到0x <时的单调性.6.已知1a b == ，且a 与b 夹角为3p ，则向量a b + 与a b - 的夹角为（ ）A. 4pB. 2pC. pD. 0【答案】B 【解析】 【分析】直接利用夹角公式计算出两个向量的夹角余弦值，根据这个余弦值求得夹角的大小.【详解】设向量a b + 与a b -的夹角为q ，故()()c o s a b a b a b a b q +?=+-22a b a b a b -=+- 110a b a b -==+- .故两个向量的夹角为π2，故选B. 【点睛】本小题主要考查两个向量的夹角公式，两个向量,a b 的夹角公式为cos ,a b a b a b×=× ，属于基础题.事实上，由于两个向量是单位向量，故以,a b 为邻边的平行四边形为菱形，而a b +和a b -的几何意义是这个菱形的两条对角线，而菱形的对角线相互垂直，所以它们两者的数量积为零.也即题目给定的“夹角为π3”这个条件可以换成其它的值，结果还是一样的. 7.设函数1()sin()(0)23f x x pw w =+>的最小正周期为p ，则下列说法正确的是（ ）A. 函数()f x 的图像关于直线3x p=对称B. 函数()f x 的图像关于点(,0)12p对称C. 函数()f x 在5(,)1212p p-上单调递减 D. 将函数()f x 的图像向右平移512p个单位，得到的新函数是偶函数【答案】D 【解析】 【分析】根据三角函数的最小正周期，求得w 的值，也即求得函数的解析式，然后根据三角函数的图像与性质，对四个选项进行逐一排除.【详解】依题意得2ππT w ==，解得2w =，所以()1πs i n 223f x x 骣琪=+琪桫.由于π1ππ1s i n 2s i n π032332f 骣骣琪琪=?==琪琪桫桫，故π3x =是函数()f x 的零点，所以A 选项错误.当π12x =时，πππsin 2sin 11232骣琪?==琪桫，故π12x =是函数()f x 的对称轴，所以B 选项错误.由上述分析可知，当π12x =时，函数取得最大值，故C 选项错误. 函数()f x 的图像向右平移512p个单位，为15ππ1π1sin 2sin 2cos 22123222x x x 轾骣骣犏琪琪-+=-=-琪琪犏桫桫臌为偶函数，故D 选项正确. 【点睛】本小题主要考查三角函数的周期性，考查三角函数的零点、对称轴、单调区间以及三角函数图像变换等知识，综合性较强，属于中档题.三角函数的零点或者说对称中心的关键点是对应的函数值为零，三角函数对称轴位置的函数值为最大值或者最小值的位置.8.已知向量,a b夹角为0135，1a =，2a b +，则b为（ ）A. 1B.C.D. 3【答案】B 【解析】 【分析】将2a b +=两边平方，化简后代入已知条件列方程，由此求得b .【详解】将2a b +两边平方得，22442a a b b +?=，即244c o s 1352bb ++=，220b -+=，(20b -= ，b故选B.【点睛】本小题主要考查平面向量模的有关运算，考查平面向量数量积模的表示，属于基础题. 9.若1sin()63p a -=，其中(,2)a p p Î，则2sin()3pa -的值为（ ）A. 3-B. 3C. 13-D. 13【答案】A 【解析】利用诱导公式化简2πsin 3a 骣琪-琪桫，然后利用同角三角函数关系式求得三角函数的值. 【详解】依题意有2πππππsin sin cos cos 32666a a a a 骣骣骣骣琪琪琪琪-=+-=-=-琪琪琪琪桫桫桫桫，由于π2πa <<，故5ππ11π666a <-<，而π1sin 063a 骣琪-=>琪桫，故5πππ66a <-<，所以πcos 63a 骣琪-=-=-琪桫.故选A. 【点睛】本小题主要考查三角函数诱导公式，考查同角三角函数的基本关系式，属于基础题.在已知角的正弦值求余弦值的题目中，要注意根据角终边所在象限确定三角函数值的符号.10.已知函数()ln f x x =，1()2g x x=-，则函数[()]y f g x =，[2,)x ??的值域为（ ） A. (,ln 2)-? B. 3[ln ,)2+? C. 3[ln ,ln 2)2 D. 3(0,ln ]2【答案】C 【解析】 【分析】 先求得()f g x 轾臌的表达式，根据函数的定义域以及单调性，求得函数的值域.【详解】依题意可知()()112ln 22f g x f x x x骣骣轾琪琪=-=-?琪琪臌桫桫，当2x ³时，12x-是减函数，故31222x ?<，由于ln y x =是单调递增函数，故13ln 2ln ,ln 22x 骣轹琪?-?ê琪?ê桫滕.属于选C. 【点睛】本小题主要考查复合函数解析式的求法，考查函数的单调性以及值域的求法，属于中档题. 11.已知函数()f x 的定义域为R ，当0x <时，()21x f x =-；当11x -＃时，()()f x f x -=-；当0x >时，(1)(1)f x f x +=-，则2019(2019)()2f f +的值为（ ）A.12 B. 12 C.12D. 1 【答案】C【分析】根据()()11f x f x +=-可知当0x >时，函数是周期为2的周期函数，故将()20192019,2f f 骣琪琪桫通过周期性转化为0x <内的自变量来求得函数值.【详解】根据()()11f x f x +=-可知当0x >时，函数是周期为2的周期函数，故()()201932019210041250422f f f f 骣骣琪琪+=?+?琪琪桫桫()312f f 骣琪=+琪桫，根据()()f x f x -=-以及()()11f x f x +=-，可得()312f f 骣琪+琪桫()1112f f骣琪=--++琪桫()1112f f 骣琪=--+-琪桫()112f f 骣琪=--+-琪桫112=-=.故选C.【点睛】本小题主要考查函数的周期性，考查函数的奇偶性.对于有关年份的题目，往往可以利用周期性将较大的数，转化为已知解析式的范围来求解，属于中档题. 12.已知函数()sin()6f x x m p=+-，7[0,]3x pÎ有三个不同的零点123,,x x x ，且123x x x <<，则1232x x x ++的值为（ ）A.103p B. 4p C. 113pD. 不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】画出函数πsin 6y x 骣琪=+琪桫在7π0,3轾犏犏臌内的图像，同时画出y m =的图像，使得两个图像有三个交点，利用对称性求得三个交点横坐标的关系，由此求得题目所求表达式的值. 【详解】画出函数πsin 6y x 骣琪=+琪桫在7π0,3轾犏犏臌内的图像以及y m =的图像如下图所示，令πsin 16x 骣琪+=琪桫，解得π3x =，令πs i n 16x 骣琪+=-琪桫，解得4π3x =.由图像可知关于直线π3x =对称，23,x x 关于直线4π3x =对称，故122π3x x +=，238π3x x +=，所以1232π8π10π2333x x x ++=+=. 【点睛】本小题主要考查函数零点问题，考查三角函数的图像与性质，属于较难的题目.在解决含有参数的零点问题过程中，先将参数分离出来，变为两个函数图像来解决，这样可以避免对参数进行讨论.三角函数图像具有对称性，画出图像后，可以很直观的到三个零点的对称关系，这是解题的突破口.二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.0cos(330)-的值为__________．【答案】2【解析】 【分析】利用诱导公式，将330- 转化为()0,90 内的角来求得三角函数值.【详解】依题意得()()cos 330cos 36030cos30-=-+= . 【点睛】本小题主要考查三角函数的诱导公式，考查特殊角的三角函数值，属于基础题.14.在ABC D 中，若1AB =，AC ，AB AC BC += ，则·CACB CB=__________．【答案】32【解析】 【分析】由于BC AC AB =- ，结合题目已知AB AC BC +=可知三角形为直角三角形，根据三角形的边长，求得相应的角度，由此求得题目所求的结果. 【详解】由于BC AC AB =- ，故A B A CA C AB +=-，根据向量加法和减法的几何意义可知，以,AB AC为邻边的平行四边形的对角线相等，即这个四边形是矩形.故AB AC ^，根据题意1,AB AC =π6C?，所以π3cos 62CA CB CA CB×=?. 【点睛】本小题主要考查向量的线性运算，考查向量加法和减法的几何意义，考查向量数量积的运算，属于基础题.15.已知函数()tan()f x x j =+，2p j <的图像的一个对称中心为(,0)3p，则j 的值为__________． 【答案】-63p p或 【解析】 【分析】 将π3j +代入正切函数的对称中心，利用π2j <求得j 的值. 【详解】由于π,03骣琪琪桫是函数的对称中心，故πππ,π3223k k j j +==-，由于π2j <，故取0,1k =时，π6j =或π3j =-符合题意. 【点睛】本小题主要考查正切函数的对称性，属于基础题.正切函数tan y x =的对称中心是π,02k 骣琪琪桫，值的注意的是π,02骣琪琪桫虽然不在函数的图像像上，但它是正切函数的对称中心.16.设函数2651,1()(9),1x x f x x x ax x ì-+?ï=í-+>ïî，若存在互不相等的3个实数123,,x x x ，使得312123()()()4f x f x f x x x x ===，则实数a 的取值范围为__________．【答案】()【解析】 【分析】令()4f x x =，将问题转化为函数()f x 与函数4y x =，有三个交点问题来解决.当1x £时，解()4f x x =求得函数有一个零点.当1x >时，化简()4f x x =，利用二次函数有两个零点列不等式组，解不等式组求得a 的取值范围.【详解】令()4f x x =，问题转化为函数()f x 与函数4y x =，有三个交点.当1x £时，由()4f x x =得6514x x -+=，解得35x =.故函数在1x >时，有两个根，由()4f x x =得3294x ax x x -+=，即()250x x ax -+=，由于1x >，故250x ax -+=在区间()1,+?上有两个零点，令()25h x x ax =-+，依题意可得()220016002a h a a ìïD=->ïï=->íïï>ïî，解得()a Î.故a的取值范围是(). 【点睛】本小题主要考查函数零点问题，考查化归与转化的数学思想方法，考查二次函数零点分布的解决方法.属于中档题.三、解答题 （本大题共6小题，共82分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知函数()sin()f x A x w j =+(0,0,)A w f p >><，它的部分图像如图所示.（1）求函数()f x 的解析式；（2）将函数()y f x =图像上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图像向左平移3p个单位，得到函数()y g x =的图像，求函数()y g x =，5[,]36x p p?的单调递增区间. 【答案】（1）()2(2)6f x sin x p=-；（2）,33p p 轾-犏犏臌【解析】 【分析】（1）根据函数的最高点求得A 的值，根据图像得到函数的周期，并求得w 的值，代入点,23p骣琪琪桫求得j 的值.由此求得函数的解析式.（2）利用三角函数图像变换的知识求得()g x 的表达式，利用正弦函数的单调区间求得函数()g x 的所有递增区间，然后求得在给定区间5,36p p轾-犏犏臌上的单调增区间. 【详解】（1）依题意，22,4,2312A T p p pp w w 骣琪==-===琪桫，故()()22f x sin x j=+.将点,23p骣琪琪桫的坐标代入函数的解析式可得2sin 13pj 骣琪+=琪桫， 则()26k k Z p j p =-?，πj <又，故=6pj -， 故函数解析式为()226f x sin x p 骣琪=-琪桫.（2）()2sin 6g x x p骣琪=+琪桫由22,262k x k k Z p p p p p -+???，得222,33k x k k Z p pp p -+＃+? 又5,36x p p 轾?犏犏臌，所以33x pp-＃ 所以函数()g x 在5,36p p轾-犏犏臌上的增区间为,33p p 轾-犏犏臌【点睛】本小题主要考查利用三角函数的图像求三角函数解析式，考查三角函数单调区间的求法，属于中档题.利用三角函数图像求三角函数的解析式有三个关键点，一个是通过最值点得到A 的值；二个是通过图像上体现出来的函数的周期，求得w 的值，这个条件可能是两个对称轴间的距离，可能是两个零点的距离，也可能是零点和对称轴间的距离；三个是利用特殊点来求得j 的值.18.在ABC D 中，P 是线段AB 的中点，已知2CP =，4CA = ，1cos 8ACB ?-. （1）用向量,CA CB表示向量CP ；（2）求BC； （3）求·CP CB.【答案】（1）见解析；（2）2；（3）32【解析】 【分析】（1）由于CP 是三角形的中线，根据平行四边形法则，CP 是以,CA CB为邻边的平行四边形的对角线的一半.（2）将（1）得到的式子两边平方，化简后可求得BC的值.（3）利用（1）的结论，将所求式子变为()1•2CA CB CB +，展开后可求得相应的数量积. 【详解】(1) 因为P 是AB 的中点，所以()12CP CA CB =+.(2)因为22242?CP CA CA CB CB =++ ,21816CB CB =-+ ,所以2BC =.（3）()21113•••2222CP CB CA CB CB CA CB CB =+=+= .【点睛】本小题主要考查平面向量的线性运算，考查利用数量积求模，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.19.已知函数()f x 满足(1)log (3)log (1)a a f x x x +=+--，0a >且1a ¹. （1）求函数()f x 的解析式及定义域；（2）当1a >时，判断函数()f x 的单调性并给予证明.【答案】（1）见解析；（2）见解析. 【解析】 【分析】（1）利用换元法，求得函数的解析式，再根据对数的真数大于零，列不等式组，解不等式组求得函数的定义域.（2）任取()12,2,2x x ?，且12x x <，通过计算()()120f x f x -<证得函数为增函数.【详解】（1）令1t x =+，则1x t =-，所以()()()log 2log 2a a f t t t =+-- 即()()()log 2log 2a a f x x x =+--， 由2020x x ì+>ïí->ïî，解得22x -<<所以()()()log 2log 2a a f x x x =+--，其定义域为()2,2-. （2）当1a >时，函数()f x 在()2,2-上是单调增函数. 证明如下：当1a >时，()()()2log 2log 2log 2a a a xf x x x x+=+--=- 设任意的()12,2,2x x ?，且12x x <，则()()()()()()12121212122222log log log 2222aa a x x x x f x f x x x x x +-++-=-=---+ ()()()1221122112124422log log 142222a x x x x x x x x x x x x 骣--+-琪==+琪+---+桫 因为1222x x -<<<，所以120x x -<，120x ->，220x +> 即()()()121241122x x x x -+<-+又因为1a >时，log a y x =在()0,+?上是增函数，所以()()()12124log 1022x x x x骣-琪+<琪-+桫，即()()12f x f x < 所以当1a >时，函数()f x 在()2,2-上是单调增函数.【点睛】本小题主要考查利用换元法求函数的解析式，考查函数定义域的求法，考查利用定义法证明函数的单调性.属于中档题.20.如图，一个水轮的半径为4米，水轮圆心O 距离水面2米，已知水轮每分钟逆时针转动4圈，如果当水轮上点P 从水中浮现（图中点0P ）开始计算时间.（1）将点P 距离水面的高度h （米）表示为时间t （秒）的函数； （2）在水轮旋转一圈内，有多长时间点P 离开水面？ 【答案】（1）24sin 2156h t p p骣琪=-+琪桫，0t ³；（2）见解析 【解析】 【分析】（1）以圆心为原点建立平面直角坐标系.根据O 距离水面的高度得到0P 点的坐标.利用三角函数来表示P 点的坐标，将角速度代入P 点的纵坐标，在加上2，可求得h 的表达式.（2）令0h >，通过解三角不等式可求得离开水面的时间.【详解】（1）以圆心o 为原点，建立如图所示的直角坐标系，()02P - 则06P Oxp ?，所以以Ox 为始边，为OP 终边的角为6pq -, 故4cos ,4sin 66P p pq q 骣骣骣琪琪琪--琪琪琪桫桫桫点P 在t 秒内所转过的角q =215t p ，所以24sin 2156h t p p骣琪=-+琪桫，0t ³（2）令0h >，得21sin 1562t pp 骣琪->-琪桫， 所以2722,61566k t k k Z p p p pp p -+<-<+? 即151015,k t k k Z <<+? 又015t＃，所以010t <<即在水轮旋转一圈内，有10秒时间P 点离开水面.【点睛】本小题主要考查利用三角函数表示旋转高度的问题，考查三角不等式的解法，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.21.已知函数2()2cos sin 6f x x a x =-++，a 为常数. （1）当9a =-时，求函数()y f x =的零点；（2）当[,]62x p p?，恒有()0f x >，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）2,6x k k Z p p =+?或52,6x k k Z pp =+?；（2）()6,9- 【解析】 【分析】（1）当9a =-，利用平方关系化简()f x 表达式后，利用十字相乘法求得函数的零点.（2）利用平方关系化简()f x 为只含sin x 的表达式，利用换元法，将函数变为二次函数，用分类讨论的方法讨论函数的最小值，根据最小值为正数，求得a 的取值范围.【详解】（1）当9a =-时，令()0f x =得22cos 9sin 60x x --+=因为22cos 1sin x x =-，所以22sin 9sin 40x x -+=即()()2sin 1sin 40x x --= 因为1sin 1x-＃，所以1sin 2x =因为x R Î，所以2,6x k k Z p p =+?或52,6x k k Z p p =+?. （2）令sin t x =，则1,12t 轾?犏犏臌，函数()224h x t at =++，对称轴4at =-讨论①当142a -?即2a ³，()min 102g t g 骣琪=->琪桫得9a <，所以29a ?②当1124a-<-<即42a -<<，令()min 04a g t g 骣琪=->琪桫得a -42a -<<③当14a-?即4a ?，令()()min 10g t g =>得6a >-，所以64a -<? 综上：为实数a 的取值范围为()6,9-.【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式中的平方关系，考查一元二次方程十字相乘法求零点，还考查了化归与转化的数学思想方法以及分类讨论的思想.在第二问中，现将余弦转化为正弦，然后利用换元法转化为二次函数，在根据二次函数的对称轴进行分类讨论，难度较大. 22.已知,a b 为常数，函数2()f x x bx a =-+.（1）当1a b =-时，求关于x 的不等式()0f x ³的解集；（2）当21a b =-时，若函数()f x 在(2,1)-上存在零点，求实数b 的取值范围； （3）当1a b =-时，对于给定的12,x x R Î，且12x x <，12()()f x f x ¹，证明：关于x 的方程121()[()2()]3f x f x f x =+在区间12(,)x x 内有一个实根.【答案】（1）见解析；（2）344b -<?（3）见解析【解析】 【分析】（1）当1a b =-时，对函数因式分解后，对b 分类讨论，从而得出不等式的解集.（2）当21a b =-时，利用二次函数的对称轴、判别式，以及区间端点的函数值分类讨论，列不等式组，解不等式组求得b 的取值范围.（3）当1a b =-时，构造函数设()()()()12123g x f x f x f x 轾=-+臌，通过计算()()120g x g x ?，利用零点的存在性定理可证得方程在区间()12,x x 内有一个实根. 【详解】（1）()()()2111f x x bx b x b x =-+-=-+-当2b =时，x R Î；当2b >时，(][),11,x b ?ト-+?；当2b <时，(][),11,x b ????.(2) ()221f x x bx b =-+-01因为()()21202010b f f ì-<<ïïïD?íï->ïï>î所以04b <?02因为()()210f f -?，所以304b -<< 03当34b =-时，235042x x +-=解得125,24x x ==-符合题意04当0b =时，210x -=解得121,1x x ==-符合题意综上，实数b的取值范围为344b -<? （3）设()()()()12123g x f x f x f x 轾=-+臌，则 ()()()()()()11121212233g x f x f x f x f x f x 轾轾=-+=-臌臌， ()()()()()()22121211233g x f x f x f x f x f x 轾轾=-+=--臌臌， ()()()()2121229g x g x f x f x 轾?--臌 因为()()12f x f x ¹，所以()()120g x g x ?，又函数()g x 在区间[]12,x x 上的图象是连续不断的一条曲线，由零点的的判定定理可得：()0g x =在()12,x x 内有一个实数根.【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查二次函数在给定区间上的零点分布问题，考查利用零点存在性定理证明存在零点的方法.属于中档题.。
南通市如皋市高一上期末数学检测试卷((含答案))
2018-2019学年江苏省南通市如皋市高一（上）期末检测数学试卷一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．（5分）设全集U={﹣1，2，4}，集合A={﹣1，4}，则∁U A=．2．（5分）已知函数y=2sin（ωx+）（ω＞0）的最小正周期为，则ω=．3．（5分）已知幂函数的图象过点（2，4），则它的单调递减区间是．4．（5分）设函数f（x）=，则f[f（﹣）]的值为．5．（5分）在△ABC中，向量=（1，cosB），=（sinB，1），且⊥，则角B的大小为．6．（5分）（log23+log227）×（log44+log4）的值为．7．（5分）将函数f（x）=sin（2x+φ）（0＜φ＜π）的图象向左平移个单位后得到函数y=g（x）的图象，若y=g（x）是偶函数，则φ=．8．（5分）已知函数f（x）=mx2﹣2x+m的值域为[0，+∞），则实数m的值为．9．（5分）已知sin（α﹣）=，则sin（2α+）的值为．10．（5分）已知sin（α+β）=，sin（α﹣β）=，则的值为．11．（5分）在平面直角坐标系xOy中，点P（1，4）是角α终边上一点，将射线OP绕坐标原点O逆时针方向旋转θ（0＜θ＜π）角后到达角π的终边，则tanθ=．12．（5分）已知函数f（x）=，若关于x的方程f（x）﹣a2+2a=0有三个不同的实数根，则实数a的取值范围是．13．（5分）已知函数f（x）=cosx（x∈[0，2π]）与函数g（x）=tanx的图象交于M，N两点，则|+|=．14．（5分）如图，在△ABC中，已知AB=2，AC=3，∠BAC=60°，点D，E分别在边AB，AC上，且=2，=3，点F位线段DE上的动点，则•的取值范围是．（）二、解答题（共6小题，满分90分.解答时写出文字说明，证明过程或演算步骤）15．（14分）已知集合A={x|f（x）=lg（x﹣1）+}，集合B={y|y=2x+a，x≤0}．（1）若a=，求A∪B；（2）若A∩B=∅，求实数a的取值范围．16．（14分）已知函数f（x）=Asin（ωx﹣）（其中A，ω为常数，且A＞0，ω＞0）的部分图象如图所示．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若f（α+）=，f（β+）=，且α，β∈（0，），求α+β的值．17．（14分）若||=1，||=m，|+|=2．（1）若|+2|=3，求实数m的值；（2）若+与﹣的夹角为，求实数m的值．18．（16分）如图，经过村庄A有两条互相垂直的笔直公路AB和AC，根据规划拟在两条公路围成的直角区域内建一工厂P，为了仓库存储和运输方便，在两条公路上分别建两个仓库M，N（异于村庄A，将工厂P及仓库M，N近似看成点，且M，N分别在射线AB，AC上），要求MN=2，PN=1（单位：km），PN⊥MN．（1）设∠AMN=θ，将工厂与村庄的距离PA表示为θ的函数，记为l（θ），并写出函数l（θ）的定义域；（2）当θ为何值时，l（θ）有最大值？并求出该最大值．19．（16分）已知函数f（x）=m（sinx+cosx）﹣4sinxcosx，x∈[0，]，m∈R．（1）设t=sinx+cosx，x∈[0，]，将f（x）表示为关于t的函数关系式g（t），并求出t的取值范围；（2）若关于x的不等式f（x）≥0对所有的x∈[0，]恒成立，求实数m的取值范围；（3）若关于x的方程f（x）﹣2m+4=0在[0，]上有实数根，求实数m的取值范围．20．（16分）（1）已知函数f（x）=2x+（x＞0），证明函数f（x）在（0，）上单调递减，并写出函数f（x）的单调递增区间；（2）记函数g（x）=a|x|+2a x（a＞1）①若a=4，解关于x的方程g（x）=3；②若x∈[﹣1，+∞），求函数g（x）的值域．2018-2019学年江苏省南通市如皋市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．（5分）设全集U={﹣1，2，4}，集合A={﹣1，4}，则∁U A={2} ．【解答】解：全集U={﹣1，2，4}，集合A={﹣1，4}，则∁U A={2}．故答案为：{2}．2．（5分）已知函数y=2sin（ωx+）（ω＞0）的最小正周期为，则ω=3．【解答】解：由题意可得：最小正周期T==，解得：ω=3．故答案为：3．3．（5分）已知幂函数的图象过点（2，4），则它的单调递减区间是（﹣∞，0）．【解答】解：设幂函数的解析式为y=xα，其函数图象过点（2，4），则4=2α，解得α=2，所以y=x2，所以函数y的单调递减区间是（﹣∞，0）．故答案为：（﹣∞，0）．4．（5分）设函数f（x）=，则f[f（﹣）]的值为4．【解答】解：∵f（x）=，∴f（﹣）=2=2=2，f[f（﹣）]=f（2）=22=4．故答案为：4．5．（5分）在△ABC中，向量=（1，cosB），=（sinB，1），且⊥，则角B的大小为．【解答】解：∵⊥，∴•=sinB+cosB=0⇒tanB=﹣1，∵B∈（0，π），∴B=．故答案为：．6．（5分）（log23+log227）×（log44+log4）的值为0．【解答】解：原式=log281×log41=0，故答案为：07．（5分）将函数f（x）=sin（2x+φ）（0＜φ＜π）的图象向左平移个单位后得到函数y=g（x）的图象，若y=g（x）是偶函数，则φ=．【解答】解：图象向左平移得到f（x+）=2sin（2x++φ），∴g（x）=2sin（2x++φ），∵g（x）为偶函数，因此+φ=kπ+，又0＜φ＜π，故φ=．故答案为：．8．（5分）已知函数f（x）=mx2﹣2x+m的值域为[0，+∞），则实数m的值为1．【解答】解：f（x）=mx2﹣2x+m的值域为[0，+∞），∴，解得m=1故答案为：19．（5分）已知sin（α﹣）=，则sin（2α+）的值为．【解答】解：∵sin（α﹣）=，∴sin（2α+）=cos[﹣（2α+）]=cos（2α）=cos[2（α﹣）]=1﹣2sin2（α﹣）=1﹣2×（）2=．故答案为：．10．（5分）已知sin（α+β）=，sin（α﹣β）=，则的值为3．【解答】解：∵sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ=，sin（α﹣β）=sinαcosβ﹣cosαsinβ=，∴sinαcosβ=，cosαsinβ=，则===3，故答案为：3．11．（5分）在平面直角坐标系xOy中，点P（1，4）是角α终边上一点，将射线OP绕坐标原点O逆时针方向旋转θ（0＜θ＜π）角后到达角π的终边，则tanθ=．【解答】解：由题意可得，α+θ=，tanα=4，∴tan（α+θ）=﹣1，即=﹣1，即=﹣1，求得tanθ=，故答案为：．12．（5分）已知函数f（x）=，若关于x的方程f（x）﹣a2+2a=0有三个不同的实数根，则实数a的取值范围是0＜a＜1或1＜a＜2．【解答】解：由题意，关于x的方程f（x）﹣a2+2a=0有三个不同的实数根，则f（x）=a2﹣2a有三个不同的交点，∵f（x）=，∴﹣1＜a2﹣2a＜0，∴0＜a＜1或1＜a＜2，故答案为0＜a＜1或1＜a＜2．13．（5分）已知函数f（x）=cosx（x∈[0，2π]）与函数g（x）=tanx的图象交于M，N两点，则|+|=π．【解答】解：由题意，M，N关于点（，0）对称，∴|+|=2×=π，故答案为π．14．（5分）如图，在△ABC中，已知AB=2，AC=3，∠BAC=60°，点D，E分别在边AB，AC上，且=2，=3，点F位线段DE上的动点，则•的取值范围是[﹣，] ．（）【解答】解：设=，，∴，；则•=+=，当λ=0时，f（λ）=最大为，当时，f（λ）=最小为﹣；则•的取值范围是[﹣，]，故答案为：[﹣，]，二、解答题（共6小题，满分90分.解答时写出文字说明，证明过程或演算步骤）15．（14分）已知集合A={x|f（x）=lg（x﹣1）+}，集合B={y|y=2x+a，x≤0}．（1）若a=，求A∪B；（2）若A∩B=∅，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）由f（x）=lg（x﹣1）+可得，x﹣1＞0且2﹣x≥0，解得1＜x≤2，故A={x|1＜x≤2}；…（2分）若a=，则y=2x+，当x≤0时，0＜2x≤1，＜2x+≤，故B={y|＜y≤}；…（5分）所以A∪B={x|1＜x≤}．…（7分）（2）当x≤0时，0＜2x≤1，a＜2x+a≤a+1，故B={y|a＜y≤a+1}，…（9分）因为A∩B=∅，A={x|1＜x≤2}，所以a≥2或a+1≤1，…（12分）即a≥2或a≤0，所以实数a的取值范围为a≥2或a≤0．…（14分）16．（14分）已知函数f（x）=Asin（ωx﹣）（其中A，ω为常数，且A＞0，ω＞0）的部分图象如图所示．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若f（α+）=，f（β+）=，且α，β∈（0，），求α+β的值．【解答】（本题满分为14分）解：（1）据函数y=f（x）的解析式及其图象可知A=2，…（2分）且T=﹣（﹣）=π，其中T为函数y=f（x）的最小正周期，故T=2π，…（4分）所以=2π，解得ω=1，所以f（x）=2sin（x﹣）．…（6分）（2）由f（α+）=，可知2sin（﹣）=，即sinα=，因为α∈（0，），所以cos==．…（8分）由f（β+）=，可知2sin（﹣）=，即sin（x+）=，故cosβ=，因为β∈（0，），所以sin=，…（10分）于是cos（α+β）=cosαcosβ﹣sinαsinβ=×﹣×=．…（12分）因为α，β∈（0，），所以α+β∈（0，π），所以α+β=．…（14分）17．（14分）若||=1，||=m，|+|=2．（1）若|+2|=3，求实数m的值；（2）若+与﹣的夹角为，求实数m的值．【解答】解：（1）因为|+|=2，所以|+|2=4．即以2+2+2•=4．，…（2分）又||=1，||=m，所以．…（3分）由|+2|=3，所以所以|+2|2=9．即以2+42+4•=9，所以1+4×+4m2=9，解得m=±1，…（6分）又||≥0，所以m=1．…（7分）（2）因为，||=1，||=m，所以|﹣|2=2+2﹣2•=1﹣2×+m2=2m2﹣2，|﹣|=．…（9分）又因为+与﹣的夹角为，所以（+）•（﹣）=以2﹣2=|+|×|﹣|cos 即，所以1﹣m2=2×，解得m=±，…（13分）又||≥0，所以m=．…（14分）18．（16分）如图，经过村庄A有两条互相垂直的笔直公路AB和AC，根据规划拟在两条公路围成的直角区域内建一工厂P，为了仓库存储和运输方便，在两条公路上分别建两个仓库M，N（异于村庄A，将工厂P及仓库M，N近似看成点，且M，N分别在射线AB，AC上），要求MN=2，PN=1（单位：km），PN⊥MN．（1）设∠AMN=θ，将工厂与村庄的距离PA表示为θ的函数，记为l（θ），并写出函数l（θ）的定义域；（2）当θ为何值时，l（θ）有最大值？并求出该最大值．【解答】解：（1）过点P作PD⊥AC，垂足为D，连结PA．在Rt△MAN中，sinθ==，故NA=2sinθ，在Rt△PND中，∠PND=θ，sinθ==，cosθ==，故PD=sinθ，ND=cosθ．在Rt△PDA中，PA===，所以l（θ）=，函数l（θ）的定义域为（0，）．（2）由（1）可知，l（θ）=，即l（θ）=====，又θ∈（0，），故2θ﹣∈（﹣，），所以当2θ﹣=，即θ=时，sin（2θ﹣）取最大值1，l（θ）max==1+．答：当θ=时，l（θ）有最大值，最大值为1+．19．（16分）已知函数f（x）=m（sinx+cosx）﹣4sinxcosx，x∈[0，]，m∈R．（1）设t=sinx+cosx，x∈[0，]，将f（x）表示为关于t的函数关系式g（t），并求出t的取值范围；（2）若关于x的不等式f（x）≥0对所有的x∈[0，]恒成立，求实数m的取值范围；（3）若关于x的方程f（x）﹣2m+4=0在[0，]上有实数根，求实数m的取值范围．（1）因为t=sinx+cosx=，x∈[0，]，所以t∈[1，]，sinxcosx=．…【解答】解：（2分）所以g（t）=mt﹣4•=﹣2t2+mt+2．…（5分）（2）因为关于x的不等式f（x）≥0对所有的x∈[0，]恒成立，据（1）可知g（t）=﹣2t2+mt+2≥0对所有的t∈[1，]恒成立，…（6分）所以，得m≥．所以实数m的取值范围是[，+∞）．…（10分）（3）因为关于x的方程f（x）﹣2m+4=0在[0，]上有实数解，据（1）可知关于t的方程﹣2t2+mt+2﹣2m+4=0在t∈[1，]上有实数解，即关于t的方程2t2﹣mt+2m﹣6=0在t∈[1，]上有实数解，…（11分）所以△=m2﹣16（m﹣3）≥0，即m≤4或m≥12．令h（t）=2t2﹣mt+2m﹣6，开口向上，对称轴t=，①当m≥12时，对称轴t≥3，函数h（t）在t∈[1，]上单调递减，故，解得m不存在．…（13分）②当m≤4时，对称轴t≤1，函数h（t）在t∈[1，]上单调递增，故，解得2+≤m≤4．…（15分）综上所述，实数m的取值范围是[2+，4]．…（16分）20．（16分）（1）已知函数f（x）=2x+（x＞0），证明函数f（x）在（0，）上单调递减，并写出函数f（x）的单调递增区间；（2）记函数g（x）=a|x|+2a x（a＞1）①若a=4，解关于x的方程g（x）=3；②若x∈[﹣1，+∞），求函数g（x）的值域．【解答】（1）证明：设x1，x2是区间（0，）上的任意两个实数，且x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）=2（x1﹣x2）+（﹣）=，因为0＜x1＜x2＜，所以x1﹣x2＜0，0＜x1x2＜，故2x1x2﹣1＜0，所以f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），所以函数f（x）在（0，）上单调递减，函数f（x）的单调递增区间为（，+∞）．（2）解：①当a=4时，4|x|+2•4x=3，（ⅰ）当x≥0时，4x+2•4x=3，即4x=1，所以x=0；（ⅱ）当x＜0时，4﹣x+2•4x=3，即2•（4x）2﹣3•4x+1=0，解得：4x=1或4x=，所以x=﹣或0；综上所述，方程g（x）=3的解为x=0或x=﹣；②（ⅰ）当x≥0时，g（x）=3a x，其中a＞1，所以g（x）在[0，+∞）上单调递增，g（x）min=g（0）=3，所以g（x）在[0，+∞）上的值域为[3，+∞）；（ⅱ）当x∈[﹣1，0）时，g（x）=a﹣x+2a x，其中a＞1，令t=a x，则t∈[，1），g（x）=2t+=f（t），（ⅰ）若1＜a≤，则≥，据（1）可知，f（t）=2t+在[，1）上单调递增，所以f（）≤f（t）＜f（1），且f（）=a+，f（1）=3，此时，g（x）在[﹣1，0）上的值域为[a+，3）；（ⅱ）若a＞，则＜，据（1）可知，f（t）=2t+在[，）上单调递减，在（，1）上单调递增，所以f（t）min=f（）=2，又f（）=a+，f（1）=3，当f（）≥f（1）时，g（x）在[﹣1，0）上的值域为[2，a+]，当f（）＜f（1）时，g（x）在[﹣1，0）上的值域为[2，3）；综上所述，当1＜a≤时，函数g（x）在[﹣1，+∞）上的值域为[a+，+∞；当a＞时，函数g（x）在[﹣1，+∞）上的值域为[2，+∞）．。
如皋中学2018-2019高一上期末数学试题
1,
1 2
12.已知定义在 , 0 0,
上的函数
f
x
x2
2ax,
x
0,
若
f
x
f
x
0
在定义域上有
x 1, x 0,
4 两个不同的解，则 a 的取值范围为（ ）.
A.
,
1 2
B.
3 2
,
C.
,
1 2
3 2
,
D.
1 2
,
3 2
二．填空题
13.计算：
8 27
2 3
lg
2 lg
2
秋叶学堂 QQ 群 383044018
16.已知函数 f x x a ，其中 a R ，若关于 x 的方程 f 2x 1 2a 1 有三个不同的实数解，则实数
x
3
a 的取值范围是______．
三．解答题
17.设全集 U R ，集合
x 1 x m 5
，
x
1
2x
4
5 ______．
14.若 sin
x
π 6
1 3
，则
sin
2x
π 6
______．
15.三角形 ABC 中，已知 AC 4 ，AB 2 ，BC 3BP ，CB 4CQ ，AP AQ 4 ，则 AB AC ______．
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21.如图，某城市拟在矩形区域 ABCD 内修建儿童乐园，已知 AB 2 百米， BC 4 百米，点 E，N 分别在 AD，BC 上，梯形 DENC 为水上乐园；将梯形 EABN 分成三个活动区域， M 在 AB 上，且点 B，E 关于 MN 对称．现需要修建两道栅栏 ME，MN 将三个活动区域隔开．设 BNM ，两道栅栏的总长度 L( ) ME MN ．
江苏省南通市如皋2018-2019学年高一上学期教学质量调研(三)数学试题(原卷版)
2018-2019学年度高一年级第一学期教学质量调研（三）数学试题一、选择题：本大题共12个小题,每小题4分,共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}0,1A =，{}2,2B a =-，若{}1A B ?，则A B ?（ ）A. {}0,1,2B. {}1C. {}0,1,2,3D. {}1,22.已知扇形的圆心角为23p，半径为6，则扇形的面积为（ ）A. 24pB. 2pC. 12pD. 4p3.函数lg(3)y x =-的定义域为（ ）A. [2,3)-B. (3,)+?C. [2,3]-D. (,2]-?4.已知向量(1,1)a =，(2,3)b =，若向量12a b +与2a kb -平行，则实数k 的值为（） A. 2 B. -1 C. -2 D. 15.下列函数中，既是偶函数，又在区间(0,)+?上单调递增的函数是（ ）A. 3y x =-B. 2x y -=C. cos y x =D. ln y x =6.已知1a b ==，且a 与b 夹角为3p，则向量a b +与a b -的夹角为（ ）A. 4pB. 2pC. pD. 07.设函数1()sin()(0)23f x x pw w =+>的最小正周期为p ，则下列说法正确的是（ ）A. 函数()f x 的图像关于直线3x p=对称 B. 函数()f x 的图像关于点(,0)12p对称 C. 函数()f x 在5(,)1212p p-上单调递减 D. 将函数()f x 的图像向右平移512p 个单位，得到的新函数是偶函数8.已知向量,a b 夹角为0135，1a =，22a b +=，则b 为（ ）A. 1D. 39.若1sin()63p a -=，其中(,2)a p p Î，则2sin()3p a -的值为（ ）A. 3-B. 3C. 13-D. 1310.已知函数()ln f x x =，1()2g x x=-，则函数[()]y f g x =，[2,)x ??的值域为（ ） A. (,ln 2)-? B. 3[ln ,)2+? C. 3[ln ,ln 2)2 D. 3(0,ln ]2 11.已知函数()f x 的定义域为R ，当0x <时，()21x f x =-；当11x -＃时，()()f x f x -=-；当0x >时，(1)(1)f x f x +=-，则2019(2019)()2f f +的值为（ ）A. 12B. 12C. 12D. 112.已知函数()sin()6f x x m p=+-，7[0,]3x p Î有三个不同的零点123,,x x x ，且123x x x <<，则1232x x x ++的值为（ ） A. 103p B. 4p C. 113p D. 不能确定 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.0cos(330)-的值为__________．14.在ABC D 中，若1AB =，AC =AB AC BC +=，则·CA CBCB =__________．15.已知函数()tan()f x x j =+，2p j <的图像的一个对称中心为(,0)3p ，则j 的值为__________． 16.设函数2651,1()(9),1x x f x x x ax x ì-+?ï=í-+>ïî，若存在互不相等的3个实数123,,x x x ，使得312123()()()4f x f x f x x x x ===，则实数a 的取值范围为__________． 三、解答题 （本大题共6小题，共82分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.已知函数()sin()f x A x w j =+(0,0,)A w f p >><，它的部分图像如图所示.（1）求函数()f x 的解析式；（2）将函数()y f x =图像上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图像向左平移3p 个单位，得到函数()y g x =的图像，求函数()y g x =，5[,]36x p p ?的单调递增区间.18.在ABC D 中，P 是线段AB 的中点，已知32CP =4CA =，1cos 8ACB ?-. （1）用向量,CA CB 表示向量CP ；（2）求BC ；（3）求·CP CB .19.已知函数()f x 满足(1)log (3)log (1)a a f x x x +=+--，0a >且1a ¹.（1）求函数()f x 的解析式及定义域；（2）当1a >时，判断函数()f x 的单调性并给予证明.20.如图，一个水轮的半径为4米，水轮圆心O 距离水面2米，已知水轮每分钟逆时针转动4圈，如果当水轮上点P 从水中浮现（图中点0P ）开始计算时间.（1）将点P 距离水面的高度h （米）表示为时间t （秒）的函数；（2）在水轮旋转一圈内，有多长时间点P 离开水面？21.已知函数2()2cos sin 6f x x a x =-++，a 为常数. （1）当9a =-时，求函数()y f x =的零点；（2）当[,]62x p p ?，恒有()0f x >，求实数a 的取值范围.22.已知,a b 为常数，函数2()f x x bx a =-+. （1）当1a b =-时，求关于x 的不等式()0f x ³的解集；（2）当21a b =-时，若函数()f x 在(2,1)-上存在零点，求实数b 的取值范围；（3）当1a b =-时，对于给定的12,x x R Î，且12x x <，12()()f x f x ¹，证明：关于x 的方程121()[()2()]3f x f x f x =+在区间12(,)x x 内有一个实根.。
江苏省如皋中学2018-2019高一上数学练习四(有答案)
高一上数学练习2一、填空题1、下列函数中哪一个与函数x y =是同一个函数⑴2)(x y = ⑵x x y 2= ⑶33x y = ⑷2x y =2. 已知集合2{210}A x R ax x =∈++=中有两个元素，则实数a 的取值范围3．已知),(y x 在映射f 的作用下的象是),(y x y x -+，则在f 的作用下)2,1(的原象是 4．已知集合A B A mx x B A ==+=-= 若}01|{},2,1{，则实数m 的取值所成的集合是 5.设二次函数32)(2+-=x x x f 在区间[]m ,0上的值域是[]3,2，则实数m 的取值范围是6已知)0(1)]([,131)(22≠-=+=x x x x g f x x g ，求)2(f 的值 。
函数212x y x⎧+=⎨⎩ )0()0(>≤x x 则使函数值为10的x 的集合为 。
8．函数12)(2++-=mx x x f ，当),2(+∞-∈x 时是减函数，则m 的取值范围是 。
9.设3()1f x ax bx =++，且0)2(=f ，求)2(-f 的值 。
10.若32)1()(2++-=mx x m x f 为偶函数，则m= 。
11.设奇函数)(x f 在区间[]7,3上是增函数，且5)3(=f ，求)(x f 在区间[]3,7--上 的最大值 。
12.设{}20|≤≤=x x M ，{}20|≤≤=y y N ，给出下列六个图形，其中表示从M 到N 的映射共有 个。
（1） （2） （3） （4） （5） （6） 13．若函数()2f x a x b =-+在[)0,+∞上是增函数，则实数,a b 的取值范围是__________. 14．下列说法中：①若2()(2)2f x ax a b x =+++（其中[21,4]x a a ∈-+）是偶函数，则实数2b =；②()f x ()f x 是定义在R 上的奇函数，若当[0,)x ∈+∞时，()(1)f x x x =+,则当x R ∈时，()(1)f x x x =+；④已知()f x 是定义在R 上的不恒为零的函数，且对任意的,x y R ∈都满足()()()f x y x f y y f x ⋅=⋅+⋅，则()f x 是奇函数；其中正确说法的序号是 （注：把你认为是正确的序号都填上）.三.解答题：15．（本小题满分12分）已知集合2{60}A x x x =--<，2{280}B x x x =+->，{}|3C x a x a =<<，若C B A ⊆ ，试确定实数a 的取值范围．16、求下列函数的定义域 （1）43523--+=x x x y =（2）xx x y 3121112--++=17.（1）设)(x f 是定义在R 上的函数，且1)32(2-+=-x x x f 。
江苏省如皋市高一上学期期末考试数学试题(解析版)
江苏省如皋市2018-2019学年高一上学期期末考试数学试题（解析版）一、选择题（本大题共12小题，共48.0分）1.已知全集U={1,2，3，4}，集合A={1,4}，B={2,4}，则A∩(∁U B)=()A. {2}B. {4}C. {1}D. {1,2，4}【答案】C【解析】解：∵全集U={1,2，3，4}，B={2,4}，∴∁U B={1,3}，∵A={1,4}，∴A∩(∁U B)={1,4}∩{1,3}={1}．故选：C．先求出∁U B，再求出A∩(∁U B)本题考查集合的基本的混合运算，属于简单题．2.若幂函数f(x)的图象经过点(3,√3)，则f(4)=()A. 16B. −2C. ±2D. 2【答案】D【解析】解：设幂函数y=f(x)=x a，x∈R，函数图象过点(3,√3)，，则3a=√3，a=12∴幂函数f(x)=x12，∴f(4)=412=2．故选：D．根据幂函数的定义利用待定系数法求出f(x)的解析式，再计算f(4)的值．本题考查了幂函数的定义与应用问题，是基础题．3.函数f(x)=lg(x+1)+√3−x的定义域为()A. (−∞,3]B. (−1,3]C. [0,3]D. (−1,3)【答案】B【解析】解：由题意得：x+1>0，解得：−1<x≤3，{3−x≥0故函数的定义域是(−1,3]，第1页，共13页故选：B．根据对数函数的性质以及二次根式的性质求出函数的定义域即可．本题考查了求函数的定义域问题，考查对数函数的性质以及二次根式的性质，是一道基础题．4.已知弧长为πcm的弧所对的圆心角为π4，则这条弧所在的扇形面积为()cm2．A. πB. 4πC. 2πD. √2π【答案】C【解析】解：∵弧长为πcm的弧所对的圆心角为π4，∴半径r=ππ4=4，∴这条弧所在的扇形面积为S=12×π×4=2πcm2．故选：C．根据弧长公式求出对应的半径，然后根据扇形的面积公式求面积即可．本题主要考查扇形的面积公式和弧长公式，要求熟练掌握相应的公式，比较基础．5.已知向量a⃗=(4,2)，b⃗ =(3,−1)，则向量a⃗与b⃗ 的夹角为()A. π4B. 3π4C. π4或3π4D. π3【答案】A【解析】解：根据题意得，a⃗⋅b⃗ =12−2=10∴cos<a⃗，b⃗ >=√16+4×√9+1=√22∴向量a⃗与b⃗ 的夹角为π4．故选：A．运用向量的夹角公式可解决此问题．本题考查向量的夹角公式的应用．6.如图是函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)在一个周期内的图象，则其解析式是()第3页，共13页A. f(x)=3sin(x +π3) B. f(x)=3sin(2x +π3) C. f(x)=3sin(2x −π3)D. f(x)=3sin(2x +π6)【答案】B【解析】解：由图象知A =3，函数的周期T =5π6−(−π6)=π，即2πω=π，即ω=2， 则f(x)=3sin(2x +φ)，由五点对应法得2×(−π6)+φ=0， 即φ=π3，则f(x)=3sin(2x +π3)， 故选：B ．根据图象求出周期和振幅，利用五点对应法求出φ的值即可得到结论．本题主要考查三角函数解析式的求解，根据条件确定A ，ω和φ的值是解决本题的关键．7. 若tanθ=2，则2sin 2θ−3sinθcosθ=( )A. 10B. ±25C. 2D. 25【答案】D【解析】解：∵sin 2θ+cos 2θ=1，∴2sin 2θ−3sinθcosθ =2sin 2θ−3sinθcosθsin 2θ+cos 2θ =2tan 2θ−3tanθ1+tan 2θ =2×22−3×21+22=25， 故选：D ．题目已知条件是正切值，而要求的三角函数式是包含正弦和余弦的，因此要弦化切，给要求的式子加上一个为1的分母，把1变为正弦和余弦的平方和，这样式子就变为分子和分母同次的因式，分子和分母同除以余弦的平方，得到结果．已知一个角的某一个三角函数值，便可运用基本关系式求出其它三角函数值.在求值中，确定角的终边位置是关键和必要的.有时，由于角的终边位置的不确定，因此解的情况不止一种．8. 已知向量a ⃗ ，b ⃗ 满足|a ⃗ |=|b ⃗ |=|a ⃗ +b ⃗ |=2，则|2a ⃗ +b ⃗ |=( )A. 2√7B. 2C. 2√3D. 2√5【答案】C【解析】解：∵|a ⃗ |=|b ⃗ |=|a ⃗ +b ⃗ |=2；∴(a ⃗ +b ⃗ )2=a ⃗ 2+2a ⃗ ⋅b ⃗ +b ⃗ 2=4+2a ⃗ ⋅b ⃗ +4=4；∴a ⃗ ⋅b ⃗ =−2；∴(2a ⃗ +b ⃗ )2=4a ⃗ 2+4a ⃗ ⋅b ⃗ +b ⃗ 2=16−8+4=12；∴|2a ⃗ +b ⃗ |=2√3． 故选：C ．根据条件，对|a ⃗ +b ⃗ |=2两边平方即可求出a ⃗ ⋅b ⃗ =−2，从而可求出(2a ⃗ +b ⃗ )2的值，进而得出|2a ⃗ +b ⃗ |的值． 考查向量数量积的运算，求向量长度的方法．9. 已知函数f(x)={sin π2x,−4≤x ≤02x +1,x >0，则y =f[f(x)]−3的零点为( )A. 0和3B. 2C. −3D. −1 【答案】C【解析】解：设t =f(x)， 解方程f(t)−3=0得： {−4≤t ≤0sin π2t −3=0或{2t +1−3=0t>0，解得：t =1，即f(x)=1， 即{−4≤x ≤0sin π2x =1或{2x +1−1=0x>0，解得：x =−3， 故选：C ．由复合方程的解法及分段函数的有关问题分段讨论有：设t =f(x)，解方程f(t)−3=0得：{−4≤t ≤0sin π2t −3=0或{2t +1−3=0t>0，得：t =1，再分段解方程{−4≤x ≤0sin π2x =1或{2x +1−1=0x>0，得解．本题考查了复合方程的解法及分段函数的有关问题，属中档题．10.在平面直角坐标系xOy中，点A，B在单位圆上，且点A在第一象限，横坐标是35，将点A绕原点O顺时针旋转π3到B点，则点B的横坐标为()A. 4−3√310B. 3+4√310C. 3√3−410D. 3√3+410【答案】B【解析】解：点A，B在单位圆上，且点A在第一象限，设射线OA对应的角为θ，横坐标是cosθ=35，故点A的纵坐标为sinθ=45，将点A绕原点O顺时针旋转π3到B点，则OB射线对应的终边对应的角为θ−π3，则点B的横坐标为cos(θ−π3)=cosθcosπ3+sinθsinπ3=12cosθ+√32sinθ=3+4√310，故选：B．设射线OA对应的角为θ，利用任意角的三角函数的定义求得cosθ、sinθ，再利用两角差的余弦公式求得点B的横坐标为cos(θ−π3)的值．本题主要考查任意角的三角函数的定义，两角差的余弦公式的应用，属于基础题．11.已知函数f(x)=e x−e−x，则不等式f(2x2−1)+f(x)≤0的解集为()A. (0,1]B. [−12,1] C. [−1,−√22] D. [−1,12]【答案】D【解析】解：∵f(x)=e x−e−x，∴f(−x)=e−x−e x=−(e x−e−x)=−f(x)，则函数f(x)是奇函数，∵y=e x是增函数，y=e−x，是减函数，则f(x)=e x−e−x，是增函数，则不等式f(2x2−1)+f(x)≤0得不等式f(2x2−1)≤−f(x)=f(−x)，则2x2−1≤−x，即2x2+x−1≤0，得(x+1)(2x−1)≤0，得−1≤x≤12，即不等式的解集为[−1,12]，故选：D．根据条件判断函数f(x)的奇偶性和单调性，利用函数奇偶性和单调性的性质将不等式进行转化求解即可．本题主要考查不等式的求解，结合条件判断函数的奇偶性和单调性的性质是解决本题的关键．第5页，共13页12. 已知定义在(−∞,0)∪(0,+∞)上的函数f(x)={x +1,x <0x 2+2ax,x>0，若f(x)+f(−x)=0在定义域上有两个不同的解，则a 的取值范围为( )A. (−∞,−12)B. (32,+∞) C. (−∞,−12)∪(32,+∞)D. (−12,32)【答案】A【解析】解：已知定义在(−∞,0)∪(0,+∞)上的函数f(x)={x +1,x <0x 2+2ax,x>0， 若f(x)+f(−x)=0在定义域上有两个不同的解，等价于直线y =x +1关于原点对称的直线y =x −1与函数f(x)=x 2+2ax(x >0)的图象有两个交点，联立{y =x 2+2ax y=x−1，消y 得：x 2+(2a −1)x +1=0， 由题意有：此方程有两不等正实数根， 即{−(2a −1)>0(2a−1)2−4>0， 解得：a <−12， 故选：A ．由函数的性质及函数的零点与方程的根的关系可得：f(x)+f(−x)=0在定义域上有两个不同的解，等价于直线y =x +1关于原点对称的直线y =x −1与函数f(x)=x 2+2ax(x >0)的图象有两个交点，联立{y =x 2+2ax y=x−1，消y 得：x 2+(2a −1)x +1=0，由题意有：此方程有两不等正实数根，由根与系数的关系可得：{−(2a −1)>0(2a−1)2−4>0，得解，本题考查了函数的性质及函数的零点与方程的根的关系，属中档题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 计算：(827) −23−lg √2−lg √5=______．【答案】74【解析】解：(827) −23−lg √2−lg √5=94−12(lg2+lg5)=94−12=74．故答案为：74．直接利用有理指数幂以及对数运算法则化简求解即可． 本题考查对数运算法则以及有理指数幂的计算，考查计算能力．14. 已知sin(α+π6)=13，则sin(2α−π6)=______．【答案】−79【解析】解：sin(2α−π6)=sin[2(a+π6)−π2]=−cos2(a+π6)=−[1−2sin2(a+π6)]=−(1−2×19)=−79，故答案为：−79根据三角函数的诱导公式结合二倍角公式进行化简即可．本题主要考查三角函数值的计算，利用三角函数的诱导公式进行化简是解决本题的关键．15.三角形ABC中，已知AC=4，AB=2，BC⃗⃗⃗⃗⃗ =3BP⃗⃗⃗⃗⃗ ，CB⃗⃗⃗⃗⃗ =4CQ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AP⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AQ⃗⃗⃗⃗⃗ =4，则AB⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ =______．【答案】−87【解析】解：∵BC⃗⃗⃗⃗⃗ =3BP⃗⃗⃗⃗⃗ ，CB⃗⃗⃗⃗⃗ =4CQ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AP⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AQ⃗⃗⃗⃗⃗ =4，∴AC⃗⃗⃗⃗⃗ −AB⃗⃗⃗⃗⃗ =3(AP⃗⃗⃗⃗⃗ −AB⃗⃗⃗⃗⃗ )⇒3AP⃗⃗⃗⃗⃗ =AC⃗⃗⃗⃗⃗ +2AB⃗⃗⃗⃗⃗ ；AB⃗⃗⃗⃗⃗ −AC⃗⃗⃗⃗⃗ =4(AQ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC⃗⃗⃗⃗⃗ )⇒4AQ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB⃗⃗⃗⃗⃗ +3AC⃗⃗⃗⃗⃗ ；∴12AP⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AQ⃗⃗⃗⃗⃗ =(AC⃗⃗⃗⃗⃗ +2AB⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(AB⃗⃗⃗⃗⃗ +3AC⃗⃗⃗⃗⃗ )=2AB⃗⃗⃗⃗⃗ 2+3AC⃗⃗⃗⃗⃗ 2+7AB⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ )∴12×4=2×4+3×16+7AB⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴AB⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ =−87故答案为：−87由BC⃗⃗⃗⃗⃗ =3BP⃗⃗⃗⃗⃗ ，CB⃗⃗⃗⃗⃗ =4CQ⃗⃗⃗⃗⃗ ，得3AP⃗⃗⃗⃗⃗ =AC⃗⃗⃗⃗⃗ +2AB⃗⃗⃗⃗⃗ ，4AQ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB⃗⃗⃗⃗⃗ +3AC⃗⃗⃗⃗⃗ ，然后两式相乘可得．本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属基础题．16.已知函数f(x)=x+ax，其中a∈R，若关于x的方程f(|2x−1|)=2a+13有三个不同的实数解，则实数a的取值范围是______．第7页，共13页【答案】[23,+∞)【解析】解：设t =g(x)=|2x −1|， 其图象如图所示，设t 1，t 2为方程t +at =2a +13的两根则f(|2x −1|)=2a +13有三个不同的实数解等价于：t =g(x)的图象与直线t =t 1，t =t 2的交点和为3，由图可知：t 1∈(0,1)，t 2∈[1,+∞)，设ℎ(x)=t 2−(2a +13)t +a ，则此函数有两个零点t 1∈(0,1)，t 2∈[1,+∞)， ①当t 2=1时，解得：a =23，由a =23，解得t 1=23∈(0,1)，满足题意， ②当t 2>1时，由二次方程区间根问题可得： {ℎ(1)<0ℎ(0)>0，解得：a >23， 综合①②得：实数a 的取值范围是a ≥23， 故答案为：[23,+∞)．由方程的根与函数的零点问题设t =g(x)=|2x −1|，设t 1，t 2为方程t +at =2a +13的两根则f(|2x −1|)=2a +13有三个不同的实数解等价于：t =g(x)的图象与直线t =t 1，t =t 2的交点和为3，由数形结合的数学思想方法、二次方程的区间根问题可得：t 1∈(0,1)，t 2∈[1,+∞)，设ℎ(x)=t 2−(2a +13)t +a ，则此函数有两个零点t 1∈(0,1)，t 2∈[1,+∞)，运算可得解本题考查了方程的根与函数的零点问题及数形结合的数学思想方法、二次方程的区间根问题，属难度较大的题型．三、解答题（本大题共6小题，共82.0分）17. 设全集U =R ，集合A ={x|−1<x −m <5}，B ={x|12<2x <4}．(1)当m =1时，求A ∩(∁U B)；(2)若A ∩B =⌀，求实数m 的取值范围．【答案】解：A ={x|m −1<x <m +5}，B ={x|−1<x <2}； (1)m =1时，A ={x|0<x <6}，且∁U B ={x|x ≤−1，或x ≥2}；第9页，共13页∴A ∩(∁U B)={x|2≤x <6}； (2)∵A ∩B =⌀；∴m −1≥2，或m +5≤−1； ∴m ≥3，或m ≤−6；∴实数m 的取值范围为{m|m ≤−6，或m ≥3}．【解析】(1)可求出A ={x|m −1<x <m +5}，B ={x|−1<x <2}，m =1时，求出集合A ，然后进行补集、交集的运算即可；(2)根据A ∩B =⌀即可得出m −1≥2，或m +5≤−1，解出m 的范围即可．考查描述法的定义，指数函数的单调性，以及交集、补集的运算，交集、空集的定义．18. 已知cosα=45，cos(α+β)=513，α，β均为锐角．(1)求sin2α的值； (2)求sinβ的值．【答案】解：(1)∵cosα=45，α为锐角，∴sinα=√1−cos 2α=√1−(45)2=35，∴sin2α=2sinαcosα=2×35×45=2425．(2)∵α，β均为锐角，cos(α+β)=513，∴α+β∈(0,π)， ∴sin(α+β)=√1−cos 2(α+β)=√1−(513)2=1213， ∴sinβ=sin[(α+β)−α]=sin(α+β)cosα−cos(α+β)sinα=1213×45−513×35=3365．【解析】(1)由条件利用同角三角函数的基本关系求得sinα的值，再利用二倍角的正弦公式求得sin2α的值．(2)由条件利用同角三角函数的基本关系求得sin(α+β)的值，再利用两角和差的正弦公式求得sinβ的值．本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式，两角和差的正弦公式的应用，属于基础题．19. 已知向量a ⃗ =(√3cosx +sinx,4sinx)，b ⃗ =(√3cosx +sinx,−√3cosx)，设f(x)=a ⃗ ⋅b ⃗ ．(1)将f(x)的图象向右平移π3个单位，然后纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍得到g{x)的图象，求g(x)的单调增区间；(2)若x ∈[0,π3]时，mf(x)+m ≥f(x)+2恒成立，求实数m 的取值范围． 【答案】解：(1)由题意得f(x)=(√3cosx +sinx)2−4√3sinxcosx=3cos 2x +sin 2x −2√3sinxcosx =1+2cos 2x −√3sin2x =1+1+cos2x −√3sin2x=2+2cos(2x +π3)，∴g(x)=2+2cos(x −π3)，由2kπ−π≤x −π3≤2kπ，k ∈Z ， 得2kπ−2π3≤x ≤2kπ+π3，k ∈Z ，即g(x)的增区间为[2kπ−2π3,2kπ+π3]，k ∈Z ．(2)当x ∈[0,π3]时， 可得f(x)+1∈[1,4]，∴mf(x)+m ≥f(x)+2⇔m ≥f(x)+2f(x)+1=1+1f(x)+1， 易得1+1f(x)+1的最大值为2，∴使原不等式恒成立的m 的范围为[2,+∞)， 故实数m 的取值范围为[2,+∞)．【解析】(1)首先利用数量积把f(x)化为三角函数，再利用坐标变换得到g(x)，结合余弦函数单调性可得增区间；(2)利用所给范围确定f(x)+1为正，把所给不等式参变分离，只需求得右边的最大值即可．此题考查了数量积，三角公式，三角函数单调性，不等式恒成立等，难度适中．20. 在三角形ABC 中，AB =2，AC =1，∠ACB =π2，D 是线段BC 上一点，且BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，F 为线段AB 上一点．(1)设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，设AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x a ⃗ +y b⃗ ，求x −y ； (2)求CF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FA⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围； (3)若F 为线段AB 的中点，直线CF 与AD 相交于点M ，求CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ．【答案】解：(1)∵AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +23CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +23(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=13AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =13b ⃗ +23a ⃗ ，第11页，共13页∴x =23，y =13，∴x −y =13 (2)设AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，(0≤λ≤1)因为在三角形ABC 中，4B =2，AC =1，∠ACB =π2，∴∠CAB =30∘，∴CF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(AF ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅(−AF ⃗⃗⃗⃗⃗ )=(λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )(−λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=−4λ2+λ⋅1×2×√32=−4λ2+√3λ=−4(λ−√38)2+316∈[−4+√3,316] (3)∵A ，M ，D 三点共线，∴可设CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1−x)CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =x CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1−x)⋅23CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∵F 为AB 的中点，∴CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =12CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +12CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 又C ，M ，F 三点共线，∴存在t ∈R 使得CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =t CF ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴x CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +23(1−x)CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =12t CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +12t CB⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴{x =12t23(1−x)=12t ，解得{x =25t =45，CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(25CA⃗⃗⃗⃗⃗ +25CB ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(25CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +25CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +25AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =45CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +25AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=45×1×2×(−√32)+25×4=85−4√35【解析】(1)将AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 化成AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 和AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 后，与已知比较得x =23，y =13，可得x −y =13； (2)设AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，(0≤λ≤1)，将CF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，FA ⃗⃗⃗⃗⃗ 化成AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 后，再相乘可得； (3)先根据向量共线和三点共线得到CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =25CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +25CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，再与AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 相乘可得． 本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属中档题．21. 如图，某城市拟在矩形区域ABCD 内修建儿童乐园，已知AB =2百米，BC =4百米，点E ，N 分别在AD ，BC 上，梯形DENC 为水上乐园；将梯形EABN 分成三个活动区域，M 在AB 上，且点B ，E 关于MN 对称，现需要修建两道栅栏ME ，MN 将三个活动区域隔开.设∠BNM =θ，两道栅栏的总长度L(θ)=ME +MN ．(1)求L(θ)的函数表达式，并求出函数的定义域； (2)求L(θ)的最小值及此时θ的值．【答案】解：(1)∵点B ，E 关于MN 对称，∴Rt △BMN≌RtEMN ，∴BM =EM ，∠BMN =∠EMN =π2−θ， ∴∠AME =π−2(π2−θ)=2θ，设AM =x ，则BM =EM =2−x ，∴cos2θ=AMEM =x2−x ， ∴x =2cos2θcos2θ+1=2cos 2θ−1cos 2θ=2−1cos 2θ，由sinθ=BM MN =2−xMN可得MN =2−xsinθ=1sinθcos 2θ， ∴ME +MN =1cos 2θ+1sinθcos 2θ=sinθ+1sinθcos 2θ=1sinθ(1−sinθ)．由∠AME =2θ<π2可知0<θ<π4．∴L(θ)=1sinθ(1−sinθ)(0<θ<π4).(2)∵0<θ<π4，∴0<sinθ<√22，∴sinθ(1−sinθ)≤(sinθ+1−sinθ2)2=14，当且仅当sinθ=1−sinθ即sinθ=12时取等号．∴当θ=π6时，L(θ)取得最小值4．【解析】(1)设AM =x ，得出x 与θ的关系，求出EM ，MN ，即可求用θ表示的l 函数表达式；(2)根据基本不等式和θ的范围得出L(θ)的最小值．本题考查利用数学知识解决实际问题，考查三角函数模型的运用，属于中档题．22. 若函数f(x)=x|x −m|+m 2，m ∈R ．(1)若函数f(x)为奇函数，求m 的值；(2)若函数f(x)在x ∈[1,2]上是增函数，求实数m 的取值范围； (3)若函数f(x)在x ∈[1,2]上的最小值为7，求实数m 的值． 【答案】解：(1)函数f(x)为奇函数， ∴f(0)=m 2=0，解得m =0； (2)∵f(x)={−x 2+mx +m 2,x <m x 2−mx+m 2,x≥m， ∵函数f(x)在x ∈[1,2]上是增函数，当m ≤0时，f(x)=x 2−mx +m 2的对称轴为x =m2， 由m2≤1，即f(x)在[1,2]递增；当0<m ≤1时，f(x)=x 2−mx +m 2的对称轴为x =m2，由m2≤1，即f(x)在[1,2]递增；当1<m<2时，f(x)在(1,m)递减，(m,2)递增；当m≥2时，f(x)=−x2+mx+m2的对称轴为x=m2，若2≤m<4，可得f(x)在(1,m2)递增；在(m2,2)递减；若m≥4，可得f(x)在(1,2)递增，综上可得，m的范围是(−∞,1]∪[4,+∞)；(3)由(2)可得m≤1时，f(x)在[1,2]递增，可得f(1)=1−m+m2=7，解得m=−2(3舍去)，当1<m<2时，f(x)在(1,m)递减，(m,2)递增，可得f(m)=m2=7，解得m=√7，不符合条件，舍去；当2≤m<4，可得f(x)在(1,m2)递增；在(m2,2)递减，若f(1)=m−1+m2，f(2)=2(m−2)+m2，f(1)−f(2)=3−m，当2≤m≤3，令f(2)=7，解得m=2√3−1，成立；若3<m<4，可令f(1)=7，解得m=−1+√332，不符合条件，舍去；当m≥4，可得f(x)在(1,2)递增，令f(1)=7，即m−1+m2=7，解得m=−1+√332，不符合条件，舍去．综上可得m的值为−2或2√3−1．【解析】(1)由奇函数的性质可得f(0)=0，解方程可得m；(2)讨论m<0，m=0，0<m<1，m=1，1<m<2，2≤m<4，m≥4时，去掉绝对值，结合二次函数的单调性，可得结论；(3)由(2)的结论，由单调性，可得最小值，解方程即可得到所求m的值．本题考查含绝对值函数的单调性和最值求法，注意运用绝对值的意义和分类讨论思想方法，结合二次函数的图象和性质是解题的关键，属于综合题．第13页，共13页。
江苏省如皋市2019届高三第一学期期末教学质量调研数学试题(原卷版)
2018～2019学年度如皋高三年级第一学期期末教学质量调研数学Ⅰ一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上．．1.已知集合 A＝{2＋a2，a}，B＝{0，1，3}，且A⊆B，则实数 a 的值是___．2.已知复数z＝（i为虚数单位），则复数z的模为___．3.为了解某地区的中小学视力情况，从该地区的中小学中用分层抽样的方法抽取了300位学生进行调查，该地区小学、初中、高中三个学段学生人数分别为1200、1000、800，则从高中抽取的学生人数为_________.4.执行下边的伪代码，输出的结果是_______．5.在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线的左准线与抛物线的准线重合，则a的值为______．6.在一个袋子中装有分别标注数字1,2,3,4,5的5个小球,这些小球除标注数字外完全相同,现从中随机取2个小球,则取出的小球标注数字之和为3的倍数的概率是________.7.设实数x，y满足约束条件则的最大值是________．8.已知是等比数列的前n项和，若成等差数列，且则正整数k的值是_________.9.如图，在正三棱柱中，若,点D是棱的中点，点E在棱上，则三棱锥的体积为___________.10.在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：与x轴交于A，B两点，若动直线l与圆C相交于M，N两点，且△CMN的面积为4，若P为MN的中点，则△PAB的面积最大值为_______．11.已知正实数x，y满足，则的最小值是_______．12.如图，在四边形ABCD中，已知AB＝2，CD与以AB为直径的半圆O相切于点D，且BC∥AD，若＝－1，则＝________．13.已知函数，，若函数有3个不同的零点x1，x2，x3(x1＜x2＜x3)，则的取值范围是_________．14.在△锐角ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，则的最小值是_______．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.如图，在四棱锥P－ABCD中，DC∥AB，DC＝2AB，平面PCD 平面PAD，△PAD是正三角形，E是PD的中点．（1）求证：AE⊥PC；（2）求证：AE∥平面PBC．16.已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)，其中A＞0，ω＞0，，x∈R，其部分图象如图所示．（1）求函数y＝f(x)的解析式；（2）若，，求cos2α的值．17.一件铁艺品由边长为1（米）的正方形及两段圆弧组成，如图所示，弧BD，弧AC分别是以A，B为圆心半径为1（米）的四分之一圆弧．若要在铁艺中焊装一个矩形PQRS，使S，R分别在圆弧AC，BD上，P，Q 在边AB上，设矩形PQRS的面积为y．（1）设AP＝t，∠PAR＝θ，将y表示成t的函数或将y表示成θ的函数（只需选择一个变量求解），并写出函数的定义域；（2）求面积y取最大值时对应自变量的值（若选θ作为自变量，求cosθ的值）．18.如图，已知椭圆C：的离心率为，右准线方程为，A，B分别是椭圆C的左，右顶点，过右焦点F且斜率为k(k＞0)的直线l与椭圆C相交于M，N两点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）记△AFM，△BFN的面积分别为S1，S2，若，求k的值；（3）设线段MN的中点为D，直线OD与右准线相交于点E，记直线AM，BN，FE的斜率分别为k1，k2，，求k2·(k1－) 的值．19.已知函数，其中．（1）若函数的图象在处的切线与直线垂直，求实数a的值；（2）设函数．①求函数的单调区间；②若不等式对任意的实数恒成立，求实数a的取值范围．20.已知等差数列的前n项和为S n，若为等差数列，且．（1）求数列的通项公式；（2）是否存在正整数，使成等比数列？若存在，请求出这个等比数列；若不存在，请说明理由；（3）若数列满足，，且对任意的，都有，求正整数k的最小值．。
2018-2019学度南通如皋高一上年末数学试卷(含解析解析).doc.doc
2018-2019学度南通如皋高一上年末数学试卷（含解析解析）注意事项：认真阅读理解，结合历年的真题，总结经验，查找不足！重在审题，多思考，多理解！无论是单选、多选还是论述题，最重要的就是看清题意。
在论述题中，问题大多具有委婉性，尤其是历年真题部分，在给考生较大发挥空间的同时也大大增加了考试难度。
考生要认真阅读题目中提供的有限材料，明确考察要点，最大限度的挖掘材料中的有效信息，建议考生答题时用笔将重点勾画出来，方便反复细读。
只有经过仔细推敲，揣摩命题老师的意图，积极联想知识点，分析答题角度，才能够将考点锁定，明确题意。
【一】填空题〔共14小题，每题5分，总分值70分〕1、〔5分〕设全集U＝｛﹣1，2，4｝，集合A＝｛﹣1，4｝，那么∁UA＝、2、〔5分〕函数y＝2sin〔ωx＋〕〔ω》0〕的最小正周期为，那么ω＝、3、〔5分〕幂函数的图象过点〔2，4〕，那么它的单调递减区间是、4、〔5分〕设函数f〔x〕＝，那么f【f〔﹣〕】的值为、5、〔5分〕在△ABC中，向量＝〔1，cosB〕，＝〔sinB，1〕，且⊥，那么角B的大小为、6、〔5分〕〔log23＋log227〕×〔log44＋log4〕的值为、7、〔5分〕将函数f〔x〕＝sin〔2x＋φ〕〔0《φ《π〕的图象向左平移个单位后得到函数y＝g〔x〕的图象，假设y＝g〔x〕是偶函数，那么φ＝、8、〔5分〕函数f〔x〕＝mx2﹣2x＋m的值域为【0，＋∞〕，那么实数m的值为、9、〔5分〕sin〔α﹣〕＝，那么sin〔2α＋〕的值为、10、〔5分〕sin〔α＋β〕＝，sin〔α﹣β〕＝，那么的值为、11、〔5分〕在平面直角坐标系xOy中，点P〔1，4〕是角α终边上一点，将射线OP绕坐标原点O逆时针方向旋转θ〔0《θ《π〕角后到达角π的终边，那么tanθ＝、12、〔5分〕函数f〔x〕＝，假设关于x的方程f〔x〕﹣a2＋2a＝0有三个不同的实数根，那么实数a的取值范围是、13、〔5分〕函数f〔x〕＝cosx〔x∈【0，2π】〕与函数g〔x〕＝tanx的图象交于M，N两点，那么｜＋｜＝、14、〔5分〕如图，在△ABC中，AB＝2，AC＝3，∠BAC＝60°，点D，E分别在边AB，AC上，且＝2，＝3，点F位线段DE上的动点，那么•的取值范围是、〔〕【二】解答题〔共6小题，总分值90分.解答时写出文字说明，证明过程或演算步骤〕15、〔14分〕集合A＝｛x｜f〔x〕＝lg〔x﹣1〕＋｝，集合B＝｛y｜y＝2x ＋a，x≤0｝、〔1〕假设a＝，求A∪B；〔2〕假设A∩B＝∅，求实数a的取值范围、16、〔14分〕函数f〔x〕＝Asin〔ωx﹣〕〔其中A，ω为常数，且A》0，ω》0〕的部分图象如下图、〔1〕求函数f〔x〕的解析式；〔2〕假设f〔α＋〕＝，f〔β＋〕＝，且α，β∈〔0，〕，求α＋β的值、17、〔14分〕假设｜｜＝1，｜｜＝m，｜＋｜＝2、〔1〕假设｜＋2｜＝3，求实数m的值；〔2〕假设＋与﹣的夹角为，求实数m的值、18、〔16分〕如图，经过村庄A有两条互相垂直的笔直公路AB和AC，根据规划拟在两条公路围成的直角区域内建一工厂P，为了仓库存储和运输方便，在两条公路上分别建两个仓库M，N〔异于村庄A，将工厂P及仓库M，N近似看成点，且M，N分别在射线AB，AC上〕，要求MN＝2，PN＝1〔单位：km〕，PN⊥MN、〔1〕设∠AMN＝θ，将工厂与村庄的距离PA表示为θ的函数，记为l〔θ〕，并写出函数l〔θ〕的定义域；〔2〕当θ为何值时，l〔θ〕有最大值？并求出该最大值、19、〔16分〕函数f〔x〕＝m〔sinx＋cosx〕﹣4sinxcosx，x∈【0，】，m∈R、〔1〕设t＝sinx＋cosx，x∈【0，】，将f〔x〕表示为关于t的函数关系式g〔t〕，并求出t的取值范围；〔2〕假设关于x的不等式f〔x〕≥0对所有的x∈【0，】恒成立，求实数m 的取值范围；〔3〕假设关于x的方程f〔x〕﹣2m＋4＝0在【0，】上有实数根，求实数m 的取值范围、20、〔16分〕〔1〕函数f〔x〕＝2x＋〔x》0〕，证明函数f〔x〕在〔0，〕上单调递减，并写出函数f〔x〕的单调递增区间；〔2〕记函数g〔x〕＝a｜x｜＋2a x〔a》1〕①假设a＝4，解关于x的方程g〔x〕＝3；②假设x∈【﹣1，＋∞〕，求函数g〔x〕的值域、2016－2017学年江苏省南通市如皋市高一〔上〕期末数学试卷参考答案与试题解析【一】填空题〔共14小题，每题5分，总分值70分〕1、〔5分〕设全集U＝｛﹣1，2，4｝，集合A＝｛﹣1，4｝，那么∁A＝｛2｝、U【解答】解：全集U＝｛﹣1，2，4｝，集合A＝｛﹣1，4｝，A＝｛2｝、那么∁U故答案为：｛2｝、2、〔5分〕函数y＝2sin〔ωx＋〕〔ω》0〕的最小正周期为，那么ω＝3、【解答】解：由题意可得：最小正周期T＝＝，解得：ω＝3、故答案为：3、3、〔5分〕幂函数的图象过点〔2，4〕，那么它的单调递减区间是〔﹣∞，0〕、【解答】解：设幂函数的解析式为y＝xα，其函数图象过点〔2，4〕，那么4＝2α，解得α＝2，所以y＝x2，所以函数y的单调递减区间是〔﹣∞，0〕、故答案为：〔﹣∞，0〕、4、〔5分〕设函数f〔x〕＝，那么f【f〔﹣〕】的值为4、【解答】解：∵f〔x〕＝，∴f〔﹣〕＝2＝2＝2，f【f〔﹣〕】＝f〔2〕＝22＝4、故答案为：4、5、〔5分〕在△ABC中，向量＝〔1，cosB〕，＝〔sinB，1〕，且⊥，那么角B的大小为、【解答】解：∵⊥，∴•＝sinB＋cosB＝0⇒tanB＝﹣1，∵B∈〔0，π〕，∴B＝、故答案为：、6、〔5分〕〔log23＋log227〕×〔log44＋log4〕的值为0、【解答】解：原式＝log281×log41＝0，故答案为：07、〔5分〕将函数f〔x〕＝sin〔2x＋φ〕〔0《φ《π〕的图象向左平移个单位后得到函数y＝g〔x〕的图象，假设y＝g〔x〕是偶函数，那么φ＝、【解答】解：图象向左平移得到f〔x＋〕＝2sin〔2x＋＋φ〕，∴g〔x〕＝2sin〔2x＋＋φ〕，∵g〔x〕为偶函数，因此＋φ＝kπ＋，又0《φ《π，故φ＝、故答案为：、8、〔5分〕函数f〔x〕＝mx2﹣2x＋m的值域为【0，＋∞〕，那么实数m的值为1、【解答】解：f〔x〕＝mx2﹣2x＋m的值域为【0，＋∞〕，∴，解得m＝1故答案为：19、〔5分〕sin〔α﹣〕＝，那么sin〔2α＋〕的值为、【解答】解：∵sin〔α﹣〕＝，∴sin〔2α＋〕＝cos【﹣〔2α＋〕】＝cos〔2α〕＝cos【2〔α﹣〕】＝1﹣2sin2〔α﹣〕＝1﹣2×〔〕2＝、故答案为：、10、〔5分〕sin〔α＋β〕＝，sin〔α﹣β〕＝，那么的值为3、【解答】解：∵sin〔α＋β〕＝sinαcosβ＋cosαsinβ＝，sin〔α﹣β〕＝sinαcosβ﹣cosαsinβ＝，∴sinαcosβ＝，cosαsinβ＝，那么＝＝＝3，故答案为：3、11、〔5分〕在平面直角坐标系xOy中，点P〔1，4〕是角α终边上一点，将射线OP绕坐标原点O逆时针方向旋转θ〔0《θ《π〕角后到达角π的终边，那么tanθ＝、【解答】解：由题意可得，α＋θ＝，tanα＝4，∴tan〔α＋θ〕＝﹣1，即＝﹣1，即＝﹣1，求得tanθ＝，故答案为：、12、〔5分〕函数f〔x〕＝，假设关于x的方程f〔x〕﹣a2＋2a＝0有三个不同的实数根，那么实数a的取值范围是0《a《1或1《a《2、【解答】解：由题意，关于x的方程f〔x〕﹣a2＋2a＝0有三个不同的实数根，那么f〔x〕＝a2﹣2a有三个不同的交点，∵f〔x〕＝，∴﹣1《a2﹣2a《0，∴0《a《1或1《a《2，故答案为0《a《1或1《a《2、13、〔5分〕函数f〔x〕＝cosx〔x∈【0，2π】〕与函数g〔x〕＝tanx的图象交于M，N两点，那么｜＋｜＝π、【解答】解：由题意，M，N关于点〔，0〕对称，∴｜＋｜＝2×＝π，故答案为π、14、〔5分〕如图，在△ABC中，AB＝2，AC＝3，∠BAC＝60°，点D，E分别在边AB，AC上，且＝2，＝3，点F位线段DE上的动点，那么•的取值范围是【﹣，】、〔〕【解答】解：设＝，，∴，；那么•＝＋＝，当λ＝0时，f〔λ〕＝最大为，当时，f〔λ〕＝最小为﹣；那么•的取值范围是【﹣，】，故答案为：【﹣，】，【二】解答题〔共6小题，总分值90分.解答时写出文字说明，证明过程或演算步骤〕15、〔14分〕集合A＝｛x｜f〔x〕＝lg〔x﹣1〕＋｝，集合B＝｛y｜y＝2x ＋a，x≤0｝、〔1〕假设a＝，求A∪B；〔2〕假设A∩B＝∅，求实数a的取值范围、【解答】解：〔1〕由f〔x〕＝lg〔x﹣1〕＋可得，x﹣1》0且2﹣x≥0，解得1《x≤2，故A＝｛x｜1《x≤2｝；…〔2分〕假设a＝，那么y＝2x＋，当x≤0时，0《2x≤1，《2x＋≤，故B＝｛y｜《y≤｝；…〔5分〕所以A∪B＝｛x｜1《x≤｝、…〔7分〕〔2〕当x≤0时，0《2x≤1，a《2x＋a≤a＋1，故B＝｛y｜a《y≤a＋1｝，…〔9分〕因为A∩B＝∅，A＝｛x｜1《x≤2｝，所以a≥2或a＋1≤1，…〔12分〕即a≥2或a≤0，所以实数a的取值范围为a≥2或a≤0、…〔14分〕16、〔14分〕函数f〔x〕＝Asin〔ωx﹣〕〔其中A，ω为常数，且A》0，ω》0〕的部分图象如下图、〔1〕求函数f〔x〕的解析式；〔2〕假设f〔α＋〕＝，f〔β＋〕＝，且α，β∈〔0，〕，求α＋β的值、【解答】〔此题总分值为14分〕解：〔1〕据函数y＝f〔x〕的解析式及其图象可知A＝2，…〔2分〕且T＝﹣〔﹣〕＝π，其中T为函数y＝f〔x〕的最小正周期，故T＝2π，…〔4分〕所以＝2π，解得ω＝1，所以f〔x〕＝2sin〔x﹣〕、…〔6分〕〔2〕由f〔α＋〕＝，可知2sin〔﹣〕＝，即sinα＝，因为α∈〔0，〕，所以cos＝＝、…〔8分〕由f〔β＋〕＝，可知2sin〔﹣〕＝，即sin〔x＋〕＝，故cosβ＝，因为β∈〔0，〕，所以sin＝，…〔10分〕于是cos〔α＋β〕＝cosαcosβ﹣sinαsinβ＝×﹣×＝、…〔12分〕因为α，β∈〔0，〕，所以α＋β∈〔0，π〕，所以α＋β＝、…〔14分〕17、〔14分〕假设｜｜＝1，｜｜＝m，｜＋｜＝2、〔1〕假设｜＋2｜＝3，求实数m的值；〔2〕假设＋与﹣的夹角为，求实数m的值、【解答】解：〔1〕因为｜＋｜＝2，所以｜＋｜2＝4、即以2＋2＋2•＝4、，…〔2分〕又｜｜＝1，｜｜＝m，所以、…〔3分〕由｜＋2｜＝3，所以所以｜＋2｜2＝9、即以2＋42＋4•＝9，所以1＋4×＋4m2＝9，解得m＝±1，…〔6分〕又｜｜≥0，所以m＝1、…〔7分〕〔2〕因为，｜｜＝1，｜｜＝m，所以｜﹣｜2＝2＋2﹣2•＝1﹣2×＋m2＝2m2﹣2，｜﹣｜＝、…〔9分〕又因为＋与﹣的夹角为，所以〔＋〕•〔﹣〕＝以2﹣2＝｜＋｜×｜﹣｜cos即，所以1﹣m2＝2×，解得m＝±，…〔13分〕又｜｜≥0，所以m＝、…〔14分〕18、〔16分〕如图，经过村庄A有两条互相垂直的笔直公路AB和AC，根据规划拟在两条公路围成的直角区域内建一工厂P，为了仓库存储和运输方便，在两条公路上分别建两个仓库M，N〔异于村庄A，将工厂P及仓库M，N近似看成点，且M，N分别在射线AB，AC上〕，要求MN＝2，PN＝1〔单位：km〕，PN⊥MN、〔1〕设∠AMN＝θ，将工厂与村庄的距离PA表示为θ的函数，记为l〔θ〕，并写出函数l〔θ〕的定义域；〔2〕当θ为何值时，l〔θ〕有最大值？并求出该最大值、【解答】解：〔1〕过点P作PD⊥AC，垂足为D，连结PA、在Rt△MAN中，sinθ＝＝，故NA＝2sinθ，在Rt△PND中，∠PND＝θ，sinθ＝＝，cosθ＝＝，故PD＝sinθ，ND＝cosθ、在Rt△PDA中，PA＝＝＝，所以l〔θ〕＝，函数l〔θ〕的定义域为〔0，〕、〔2〕由〔1〕可知，l〔θ〕＝，即l〔θ〕＝＝＝＝＝，又θ∈〔0，〕，故2θ﹣∈〔﹣，〕，所以当2θ﹣＝，即θ＝时，sin〔2θ﹣〕取最大值1，＝＝1＋、l〔θ〕max答：当θ＝时，l〔θ〕有最大值，最大值为1＋、19、〔16分〕函数f〔x〕＝m〔sinx＋cosx〕﹣4sinxcosx，x∈【0，】，m∈R、〔1〕设t＝sinx＋cosx，x∈【0，】，将f〔x〕表示为关于t的函数关系式g 〔t〕，并求出t的取值范围；〔2〕假设关于x的不等式f〔x〕≥0对所有的x∈【0，】恒成立，求实数m 的取值范围；〔3〕假设关于x的方程f〔x〕﹣2m＋4＝0在【0，】上有实数根，求实数m 的取值范围、【解答】解：〔1〕因为t＝sinx＋cosx＝，x∈【0，】，所以t ∈【1，】，sinxcosx＝、…〔2分〕所以g〔t〕＝mt﹣4•＝﹣2t2＋mt＋2、…〔5分〕〔2〕因为关于x的不等式f〔x〕≥0对所有的x∈【0，】恒成立，据〔1〕可知g〔t〕＝﹣2t2＋mt＋2≥0对所有的t∈【1，】恒成立，…〔6分〕所以，得m≥、所以实数m的取值范围是【，＋∞〕、…〔10分〕〔3〕因为关于x的方程f〔x〕﹣2m＋4＝0在【0，】上有实数解，据〔1〕可知关于t的方程﹣2t2＋mt＋2﹣2m＋4＝0在t∈【1，】上有实数解，即关于t的方程2t2﹣mt＋2m﹣6＝0在t∈【1，】上有实数解，…〔11分〕所以△＝m2﹣16〔m﹣3〕≥0，即m≤4或m≥12、令h〔t〕＝2t2﹣mt＋2m﹣6，开口向上，对称轴t＝，①当m≥12时，对称轴t≥3，函数h〔t〕在t∈【1，】上单调递减，故，解得m不存在、…〔13分〕②当m≤4时，对称轴t≤1，函数h〔t〕在t∈【1，】上单调递增，故，解得2＋≤m≤4、…〔15分〕综上所述，实数m的取值范围是【2＋，4】、…〔16分〕20、〔16分〕〔1〕函数f〔x〕＝2x＋〔x》0〕，证明函数f〔x〕在〔0，〕上单调递减，并写出函数f〔x〕的单调递增区间；〔2〕记函数g〔x〕＝a｜x｜＋2a x〔a》1〕①假设a＝4，解关于x的方程g〔x〕＝3；②假设x∈【﹣1，＋∞〕，求函数g〔x〕的值域、【解答】〔1〕证明：设x1，x2是区间〔0，〕上的任意两个实数，且x1《x2，那么f〔x1〕﹣f〔x2〕＝2〔x1﹣x2〕＋〔﹣〕＝，因为0《x1《x2《，所以x1﹣x2《0，0《x1x2《，故2x1x2﹣1《0，所以f〔x1〕﹣f〔x2〕》0，即f〔x1〕》f〔x2〕，所以函数f〔x〕在〔0，〕上单调递减，函数f〔x〕的单调递增区间为〔，＋∞〕、〔2〕解：①当a＝4时，4｜x｜＋2•4x＝3，〔ⅰ〕当x≥0时，4x＋2•4x＝3，即4x＝1，所以x＝0；〔ⅱ〕当x《0时，4﹣x＋2•4x＝3，即2•〔4x〕2﹣3•4x＋1＝0，解得：4x＝1或4x＝，所以x＝﹣或0；综上所述，方程g〔x〕＝3的解为x＝0或x＝﹣；②〔ⅰ〕当x≥0时，g〔x〕＝3a x，其中a》1，＝g〔0〕＝3，所以g〔x〕在【0，＋∞〕上单调递增，g〔x〕min所以g〔x〕在【0，＋∞〕上的值域为【3，＋∞〕；〔ⅱ〕当x∈【﹣1，0〕时，g〔x〕＝a﹣x＋2a x，其中a》1，令t＝a x，那么t∈【，1〕，g〔x〕＝2t＋＝f〔t〕，〔ⅰ〕假设1《a≤，那么≥，据〔1〕可知，f〔t〕＝2t＋在【，1〕上单调递增，所以f〔〕≤f〔t〕《f〔1〕，且f〔〕＝a＋，f〔1〕＝3，此时，g〔x〕在【﹣1，0〕上的值域为【a＋，3〕；〔ⅱ〕假设a》，那么《，据〔1〕可知，f〔t〕＝2t＋在【，〕上单调递减，在〔，1〕上单调递增，＝f〔〕＝2，又f〔〕＝a＋，f〔1〕＝3，所以f〔t〕min当f〔〕≥f〔1〕时，g〔x〕在【﹣1，0〕上的值域为【2，a＋】，当f〔〕《f〔1〕时，g〔x〕在【﹣1，0〕上的值域为【2，3〕；综上所述，当1《a≤时，函数g〔x〕在【﹣1，＋∞〕上的值域为【a＋，＋∞；当a》时，函数g〔x〕在【﹣1，＋∞〕上的值域为【2，＋∞〕、。