单指数模型课件讲课教案
最新MBA精品课件6、单指数模型和多指数模型
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指数模型和分散化模型
RP P P Rm eP
N
P 1 N i i 1 P 1 N i i 1
Prepared by Professor Charles Cao
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单指数模型
• 市场风险的例子
– 利率发生变化 – 政府的货币政策发生变化 – 通货膨胀率发生变化
• 公司特有风险的例子
– 更换CEO – 开发了一种新产品
Prepared by Professor Charles Cao
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单指数模型
. . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 市场指数的 . . . . . . . 超额收益 . . . . . . . . . . . . . . . .. Ri = i + ß iRm + ei
Prepared by Professor Charles Cao
• 市场风险或系统风险：与宏观经济因素或市 场指数相关的风险 • 非系统风险：公司特有风险 • 总风险=系统风险+非系统风险
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风险分解
i2 = i2 m2 + 2(ei)
这里：
i2 = 总风险 i2 m2 = 系统风险 2(ei) = 非系统风险
风险溢价（超额收益）
令: Ri = (ri - rf)
Rm = (rm - rf)
风险溢价 的格式
Ri = i + ß iRm + ei
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有价证券特征线（ Security Characteristic Line ）
单一指数模型
图10—3中的直线截距为α i,斜率为βi。如果所有的点Ri都恰好落在这条线 上,那么所有的偏离度ei都为零。然而,一般地,某些点会落在直线上方,某些点 又会落在直线下方,因此,偏离度既可能为正值,也可能为负值。
图10—3 单一指数模型的应用
单一指数模型中的β值是利用收益率的历史数据估算出来的,由于β值常 常被人们用来作为投资决策的依据,因此,一个很重要的问题便是,用历史的β 值来预测未来的可靠性有多大。
二、资产组合的收益和风险的确定
1.资产组合的期望收益 计算资产组合期望收益就是将资产期望收益的计算公式代入计算资产组 合期望收益的标准公式后进行展开推导。公式为:
如果定义 xiαi=Ap, xiβi=βp,就可以把资产组合的期望收益表示为: E(rp)=Ap+βpE(rm)
2.资产组合的方差 在单一指数模型中,资产组合方差的计算公式和单个资产方差的计算公式类 似:
假设资产组合中各资产权数相同,即x1=x2=…=xn= ,则
这样,当N→∞时,
将趋于0。这时,资产组合的方差就主要依市场收益
率的波动而定,两者联动性的大小取决于资产组合的β值,即
也就是说,当投资种类非常多的时候,资产组合的风险将主要来自市场,非系 统风险将会非常低。换句话说,单一指数模型表明,多样化可以有效降低非系统 风险,但无法规避系统风险。这一结论与马柯维茨模型的推论是一致的,只是更 具体而已(见图10—2)。
微观因素被假定只对个别企业有影响,对其他企业一般没有影响,是个别企 业特有的风险,或称为非系统风险。由企业微观因素造成的使企业资产价格高 于或低于市场价格水平的价格波动,在方程式中是用收益误差项表示的,在rA与 rm坐标图上反映为资产收益率的实际值与特征线之间的差距εA。
单指数模型课件
现代投资组合理论与投资风险管理――单指数模型一、模型概述单指数模型假设股票之间的相关移动是因为单一的共同影响或指数。
随意观察股票价格，可以看出：当股市上涨的时候，大多数股价也会上涨，当股市下跌的时候，大多数股价也会下跌。
这说明证券收益之间可能相关的原因之一是由于对市场变动的共同反应，代表这种相关性的一个有用指标也许可以通过把股票收益与股市收益联系起来而得到。
股票收益：R代表股票收益。
R m代表市场指数的收益率一一随机变量。
a代表股票i的收益中独立于市场表现的部分一一随机变量。
[i度量一只股票的收益对市场收益的敏感程度。
a i项代表收益中独立于市场收益的部分，将其分解成两部分：用「表示ai的期望值，e表示q中的随机变量，E（e）= o。
即: a^ :i e一只股票的收益方程现在可以写为：R…i…匚肘ee和R m都是随机变量，分别以 6和b m表示它们的标准差单指数模型的基本方程：R …i …i R m+ e其中E(e)=O,对所有股票i/,|",N二、模型的假设条件1. 指数与特有收益不相关：E[e(R m-R m)] = o i7lll,N2. 证券仅通过对市场的共同反应相互关联：E(eej)= 0 i = N及j = N且H j三、单指数模型条件下投资组合的期望收益率与方差的计算在单指数模型的假设条件下，我们可以推倒出期望收益、标准差和协方差。
结果是：(1)收益均值：R"i+0j R m(2)证券收益的方差：2 = -1 m v(3)证券i和j收益之间的协方差：j二▼产m 这样在单指数模型成立的情况下我们可以转向计算任何投资组合的期望收益率和方差的计算任何组合的期望收益是：_ N _ N N _R p 八X i R 八X i i 、X i ‘龙in in i=N另X i i，i =1R八Rp p p m我们知道一个股票组合的方差的公式是：N N N二：八X i2]2：二X i X jjji丄i丄jVi=j代入前面G2和；「ij的结果，我们得到：N N N N「2 %2：2「2 、\ X X | | 2a x2「2p i i m i j i j m i eiim id j i=1i=j进一步还可简化为：N N N二2二二X i X - 2 ' X2二 2p i j i j m i eiiT jH iHN N Ny x「）c x「j）「m」x i冷i =1 j =1 i =1NR 2 2 丄丁、/ 2 2X i 二ei二-p" m 'iT四、单因素模型的估计和应用1、估计:i与e首先举例说明:i与e的值的得来。
第10章 单一指数模型
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已知βp= xiβi,根据马柯维茨模型中方差的计算公式,资产组合误差项的
方差可计算如下:
xixjcov(εi,εj)
由于在单一指数模型中假设任何资产的误差值变动互不相关,即 cov(εA,εB)=0,因此,资产组合误差项的方差便是各资产误差项的加权平均值,即
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图10—2 多样化降低风险的再考虑
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三、关于β值的预测能力问题
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根据单一指数模型,某种给定股票的收益率与两个因素有关:指数的百分比 变动和与公司特定事件有关的变动。指数可以使用任一与证券收益率相联系 的变量,如通货膨胀率或标准普尔500指数。单一指数假定某种资产i的收益率 由下式给出:
准公式推导出来的。公式为:
E(rA)=E[rA-E(rA)]2=E{(αA+βArm+εA)-[αA+βAE(rm)]}2
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经展开推导,结果为:
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这一计算公式表明,资产A的风险是由两部分组成的: 是市场风险,或称系统 风险; 是企业特有的风险,或称非系统风险。系统风险对所有资产都会产生 影响,无法靠多样化投资来回避;非系统风险则是企业特有的,与其他企业无关, 可以靠多样化投资来分散。
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3.对误差项εA的假设
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(1)E(εA)=0。从特征线所在的坐标图上不难看出,εA是随机变量rA与rm的实 际值与预期值之间的离差,随机变量离差的数学期望是零。
(2)cov(εA,rA)=0,即假设误差项与市场收益率无关。由于εA与rm分别受宏观 因素和微观因素的影响,两者互不相关,无论市场收益率发生多大的变动,都不会 对εA产生影响。
《投资学》第11讲 指数模型
令最大值
M
max
2 ei
则有 进一步
2 ep
1 n2
n i 1
2 ei
1 n2
n
M
i 1
M n
0
2 ep
M n
指数模型对风险分散化的分析
当n变得足够大时，
2 p
2 ep
小到可以忽略不计。
2 ep
p2
2 m
可分散风险 系统风险
n
随着投资组合中加入的证券数量的增加，非系统性风险越来越来分散，投
2 ei
2 m
E (m2 ) [ E (m)]2
2 ei
E (ei2 ) [ E (ei )]2
Cov(m, ei ) 0, E (m) 0, E (ei ) 0
总风险 = 系统性风险 + 公司特有风险
随堂练习：计算以下协方差:
Cov(im ei , jm e j )
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单因素模型
注意 ：m 和 ei 相互独立， ei 和e j 之间也相互
独立，且 ei 的期望为0。
Cov(m, ei ) 0 Cov(ei , e j ) 0 E(ei ) 0, E(e j ) 0
思考：宏观经济冲击对每个公司收益率的 不确定性的影响是否可能一样？
单因素模型收益
E[(im ei )( jm e j )] E(im ei )E( jm e j )
E(i jm2 imej j mei eie j )
E(i jm2)
i
j
2 m
投资学第五章指数模型16页PPT
▪ ●边取因期此望，，C有APM模型是单指数模型的一个特例，对Ri=αi+iRM+ei两
▪
E(Ri)=αi+iE(RM)
所以，CAPM实际上是当阿尔法为0的单指数模型。
一个证券是否有吸引力要看α：
α大于0，说明预期有超市场因素收益，所以股价低估；
α小于0，说明股价低估；
八、单指数模型的局限性
▪ ●这一模型将股票收益的不确定性简单地分为系 统风险与非系统风险两部分，这与真实世界的不 确定性来源是有距离的。
▪ ●第一简单；第二，选择最重要的因素。
每一个成功者都有一个开始。勇于开始，才能找到成功
•
1、
的路 。24.7.3024.7.30Tuesday, July 30, 2024
成功源于不懈的努力，人生最大的敌人是自己怯懦
•
2、
。03:59:0903:59:0903:597/30/2024 3:59:09 AM
●由于P=1/n∑i；αP=1/n∑αi，是一个常数；
eP =1/n∑ei，因此资产组合的方差为
▪ σ2P=2Pσ2M +σ2(eP)
六、等权重资产组合方差的分解
▪ ●定义2Pσ2M为系统风险部分，其大小取决于资产组合的贝 塔值和市场风险水平，不会随资产组合中的股票数量的增 加而变化。
▪ ●定义σ2(eP)为非系统风险部分，由于这些ei是独立的，都具
▪ ●譬如，它没有考虑行业事件，而行业事件是影 响行业内许多公司，但又不会影响整个宏观经济 的一些事件。
九 、多因素模型
▪ （1）多因素模型的提出
▪ ●系统风险包括多种因素 ▪ ●不同的因素对不同的股票的影响力是不同的
▪ （2）例如：假定经济中有两个公司，一个是由政府定价 的天燃气供应公司，一个是五星级酒店。前者对GDP较不 敏感，但是对利率很敏感；后者对GDP很敏感，对利率较 不敏感。这时只有两因素模型才可能较好地作出恰当的 分析，单指数模型会显得较无力。
投资学第八章单指数与因素模型
一、单指数模型的提出
●在估算中计算量最大的部分是协方差的计算。 ●经验表明，股票收益之间的协方差一般为正，于是
可将公司外部的因素看成是一个。 ●公司内部特有因素对股价影响的期望值是零，即随
着投资的分散化，这类因素的影响将逐渐减少。 ●就此，夏普提出单因素模型：ri=E(ri)+mi+ei ●可将宏观因素的非预测成分定义为F，将股票i对宏
☞这样，随着投资分散化程度的加强，资产组合 的方差将接近于系统方差。
等权重资产组合方差的分解(2)
五、单指数模型与CAPM模型
☞按单指数模型，股票i的收益与市场指数收益之间的 协方差公式为
☞ Cov(Ri，RM)=Cov(iRM+ei，RM) =iCov(RM，RM)+ Cov(ei，RM) =iσ2M
☞单指数模型可证明：随着资产组合中股票 数量的增加，非系统风险逐步下降，而系统 风险并不变化。
☞假定一个等权重的资产组合有n只股票，每 只股票的超额收益为：Ri =αi+iRM +ei
☞整个资产组合的超额收益为：
RP=αP+PRM+eP
RP a P P RM eP
N
P
☞由于P=1/n∑i；αP=1/n∑αi，是一个常数； eP =1/n∑ei ，因此资产组合的方差为
σ2P=2Pσ2M +σ2(eP)
等权重资产组合方差的分解(1)
☞定义2Pσ2M为系统风险部分，其大小取决于资 产组合的贝塔值和市场风险水平，不会随资产 组合中的股票数量的增加而变化。
☞定义σ2(eP)为非系统风险部分，由于这些ei是 独立的，都具有零期望值，所以随着资产组合 中的股票数量越来越多，非系统风险越来越小。
单指数模型
一、多个证券的组合：利用两种证券的收益风险计算模型AB B A B A BB A A P B B A A P x x x x r E x r E x r E ρσσσσσ.2)()()(22222++=+=可得多个证券组合的收益率与风险计算模型。
设有证券N 种，记作A 1、A 2、……A N ，证券组合),,,(21N x x x P =表示将资金以权数N x x x ,,21投资到相应证券A 1，A 2……A N 上。
i x 可以小于0，组1=∑i x ，设A i 的收益率为),2,1(N i r i =，则组合P 的收益率为：)1(...2211NN P r x r x r x r +++=由马可维茨投资组合理论定义，N 个证券的组合P 的预期收益率和方差，分别由下式计算：∑∑∑=≤<≤=+==Ni Nj i jijii i P i Ni i P xx x x x r E x r E 112221),cov(.2.)2()()(σσ∑∑=≤<≤+=Ni Nj i ijjijii i x x x 1122)3(.2.ρσσσ二、单指数模型由（3）式知，若要计算一个有较多种证券构成的组合投资P 的方差或标准差，并由此比较风险，则需计算证券两两间的相关系数。
计算工作量随着N 的增大而快速增加。
比如沪深两地共有股票1600种左右，则需要估算的预期收益率、方差和协方差个数将达130(2)3(+n n )万个之多。
此时用（3）式衡量组合投资的风险就来得困难了。
人们总希望用一些相对简洁、明了的方式来揭示证券市场中收益与风险的关系。
考虑可以有一个指数作为基准参照指标，将证券两两之间关联性的计算转为证券与指数的关联性，最后仍可作出比较。
这样，关联性数据只需计算与证券个数一样多的即可。
如果一个指数说明不了问题，可考虑2个或2个以上（多个），这样就有了单指数模型与多指数模型。
单个证券的单指数模型为：)4(iM i i i r r εβα++=这是一个回归方程，对于随机误差变量i ε,有假设①0)(=i E ε，②j i Cov j i ≠∀=,0),(εε,③0),(,=i M r Cov ε,M r 为市场整体的收益率水平。
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现代投资组合理论与投资风险管理
——单指数模型
一、模型概述
单指数模型假设股票之间的相关移动是因为单一的共同影响或指数。
随意观察股票价格，可以看出：当股市上涨的时候，大多数股价也会上涨，当股市下跌的时候，大多数股价也会下跌。
这说明证券收益之间可能相关的原因之一是由于对市场变动的共同反应，代表这种相关性的一个有用指标也许可以通过把股票收益与股市收益联系起来而得到。
股票收益：
i i i m R a R β=+
i R 代表股票收益。
m R 代表市场指数的收益率——随机变量。
i a 代表股票i 的收益中独立于市场表现的部分——随机变
量。
i β度量一只股票的收益对市场收益的敏感程度。
i a 项代表收益中独立于市场收益的部分，将其分解成两部
分：用i α表示i a 的期望值，i e 表示i a 中的随机变量，()0i E e =。
即：i i i a e α=+
一只股票的收益方程现在可以写为：
i i i m i R R e αβ=++
i e 和m R 都是随机变量，分别以ei σ和m σ表示它们的标准差。
单指数模型的基本方程：
i i i m i R R e αβ=++
其中()0i E e =，对所有股票1,,i N =L 二、模型的假设条件 1. 指数与特有收益不相关：
[()]0i m m E e R R -= 1,,i N =L
2. 证券仅通过对市场的共同反应相互关联：
()0i j E e e = 1,,1,,i N j N i j ==≠L L 及且
三、单指数模型条件下投资组合的期望收益率与方差的计算 在单指数模型的假设条件下，我们可以推倒出期望收益、标准差和协方差。
结果是： （1） 收益均值：i m i i R R αβ=+
（2） 证券收益的方差：2222i i m ei σβσσ=+
（3） 证券i 和j 收益之间的协方差：2
ij i j m ββσσ=
这样在单指数模型成立的情况下我们可以转向计算任何投资组合的期望收益率和方差的计算。
任何组合的期望收益是：
1
1
1
N N N
p i i i i i i m i i i R X R X X R αβ=====+∑∑∑
另1
N i i i p X ββ==∑，1
N
p i i i X αα==∑，则：
p p m p R R αβ=+
我们知道一个股票组合的方差的公式是：
2221
11
N
N
N
p
i
i
i j ij i i j i j
X X X σσσ===≠=+∑∑∑
代入前面2i σ和ij σ的结果，我们得到：
2222222
1
11
1
N
N
N
N
p
i
i
m
i j i j m
i ei
i i j i i j
X X X X βσββσσσ====≠=++∑∑∑∑ 进一步还可简化为：
2222
11
1
222
1
22221
11()()N
N
N
p
i j i j m
i ei i j i N
m i ei
i N
p m i ei
i N N
i i j j i j X X X X X X X ββσσσσβσσσββ========+=+=+∑∑∑∑∑∑∑
四、 单因素模型的估计和应用 1、估计i α与i e
首先举例说明i α与i e 的值的得来。
表1是投资者在过去5个月可能观察到的某只股票的股票收益及市场收益，暂且假定
1.5i β=，如何求i α与i e 的值。
表1 单指数模型收益分解
月 股票收益 市场收益 i R = i α + i m R β + i e
2、估计贝塔 （1）估计历史贝塔
一只股票的收益方程可以写为：
i i i m i R R e αβ=++
如果假设i α、i β和2
ei σ是固定的，不随时间而变化，那么同样
的方程在任何时点都成立。
这样完全可以最小二乘法来估计
i β以及i α。
（2）度量贝塔向1回归的趋势——布卢姆技术
研究发现预测期的贝塔比根据历史数据得到的估计值更接近于1，下一步要修正历史贝塔，以体现出这一趋势。
布卢姆通过直接度量向1进行的这种调整，并假设在一个时期进行的调整是对下一时期调整的良好估计来修正历史贝塔。
具体操作举例说明如下：计算出1948~1954年所有股票的贝塔，然后对同样的股票计算出1955~1961年的贝塔。
再将后一期的贝塔对之前的贝塔进行回归，得到估计方程：
210.3430.677i i ββ=+
它度量了预测的贝塔比根据历史数据更接近于1的趋势。
优点在于这一方程式降低了较高的贝塔值，而提高了较低的贝塔值。
（3）度量贝塔向1回归的趋势——瓦希切克技术
预测期的实际贝塔一般比根据历史数据得到的估计值更接近于平均贝塔。
调整这一趋势的一种直接办法就是将每一个贝塔向平均贝塔调整。
理想的情况是向平均值进行调整的量对所有的股票不是相等的，而是按照贝塔不确定性（抽样误差）的大小来调整。
抽样误差越大，与平均值相差悬殊的可能性就越大，出于抽样误差所需的调整就越大。
1β表示历史时期所有样本股票的平均贝塔，将1β和证券
i 的历
史贝塔进行加权平均。
权重如下：
11
1
2
22i βββ
σσσ+，对1i β
1
1
1
2
22i i β
ββ
σσσ+，对1β
这些权重之和为1，并且贝塔估计的不确定性越多，它的权重就越低。
证券i 的预测贝塔是：
1
11
1
1
1
22
2112222
i i i i i β
β
ββ
ββ
σσβββσσσσ=
+++
这样的加权方法将标准误差高的观察值向均值调整的幅度要大于标准误差低的观察值。
（4） 基本面贝塔
贝塔是源自股票收益与市场收益之间关系的风险指标。
但是我们知道一个公司的风险是由某些公司的基本面和公司股票的市场特性共同决定的。
首先确定公司基本面变量，然后将相关的基本面变量同时纳入分析中。
通常的做法是通过多元回归分析将贝塔与几个基本面变量联系起来。
估计以下形式的方程式：
01122i N N i X X X e βαααα=+++++L
五、单指数模型条件下最有投资组合的估计和求解 在接受单指数模型的标准形式作为描述证券之间共同波动的模型的条件下，可以用一个单一数字来度量是否将一个股票纳入最优组合，大大便利了最优组合的计算。
由于超额收益与贝塔的比率度量的是一个证券每单位不可分散风险的超额收益，因此任何股票的可取性直接与它的超额收益与贝塔的比率相关。
一只股票是否被包括在最优组合中只取决于它的超额收益
对贝塔的比率大小。
选择多少只股票取决于一个特定的截止率。
决定最优组合中应该包括哪些股票的规则如下：
（1） 求出每只备选股票的“超额收益与贝塔的比率”，并
按照从高到低的顺序排列。
（2） 最优组合是由所有的“超额收益与贝塔的比率”高于
一个特定的截止率*C 的股票构成。
1、 计算截止率
按照超额收益与风险的比率从高到低对股票进行了排列。
对一个包含i 个股票的组合来说，i C 由下式给出：
2
21
2221()1i
j F j
m
j ej i i
j m
j ej
R R C β
σ
σ
β
σσ
==-=
+∑
∑
2、确定截止率
*
C的值是根据属于最优组合的所有证券的特性计算出来的。
为了确定*C，有必要在假设最优组合包含不同数目的证券情况下计算截止率的值。
令
C为*C的一个可能。
假设i个证券
i
属于最优组合时计算
C的值。
i
因为证券已按照超额收益与贝塔的比率从高到低进行了排列，我们知道如果某一证券属于最优组合，所有排位更高的股票也将属于最优组合。
我们这样计算变量
C的值（程序如
i
下）：假设排位第一的证券是在最优组合中（i=1），然后再假设排位第一和第二的证券是在最优组合中（i=2），接下来再假设排位第一、第二和第三的证券是在最优组合中（i=3），以此类推。
这些
C都是*C可能值。
当用于计算i C的证券的超
i
额收益与贝塔的比率大于i C ，而所有没有用于计算i C 的证券的超额收益与贝塔的比率小于i C 时，我们知道此时找到了最优解i C （也就是*C ）。
3、 构建最优组合
确定了哪些证券应该包括在最优组合中，然后就是计算投资于每个证券的比例。
投资于每个证券的比例是
i
i j Z Z
X =
∑被包括
其中，*
2
=()i i ei
i i R R C Z βσβ--。