辽宁省沈阳市东北育才学校2018-2019学年高一下学期期中考试数学试题(解析版)
2018-2019学年度下学期期中考试高一年级数学试卷一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合要求的.）1.已知是锐角，，，且，则为（）A. B. C. D.或【答案】C【解析】【分析】由向量平行构造等式求得，根据角为锐角求得结果.【详解】又为锐角本题正确选项：【点睛】本题考查利用三角函数值求角的问题，关键是能够利用向量共线求得三角函数值.2.化简的结果为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据诱导公式依次化简各个部分，从而可得结果.【详解】本题正确选项：【点睛】本题考查利用诱导公式化简的问题，属于基础题.3.若点是钝角的终边上一点，则角可以表示为（）A. B. C. D. 以上都不对【分析】根据三角函数定义分别求得正弦、余弦和正切值，根据反三角函数的定义求得结果.【详解】由题意可得：，，又本题正确选项：【点睛】本题考查反三角函数表示角的问题，关键是要明确反正弦、反余弦和反正切函数所表示的角的范围.4.已知函数，则（）A.在上单调递增 B. 在上单调递减C.在上单调递增 D. 在上单调递减【答案】C【解析】【分析】根据的范围，求解出所处的范围；对应的单调性可得到结果.【详解】当时，当时，不单调，由此可得在上不单调，可知错误；当时，当时，单调递增，由此可得在上单调递增，可知正确本题正确选项：【点睛】本题考查正弦型函数单调性的问题，解决此类问题通常采用整体对应的方式，通过正弦函数的图象得到结果.5.如果函数的图象关于直线对称，那么等于（）A. B. C. D.【答案】D利用辅助角公式将函数整理为，可知当时，函数取得最大值或最小值，从而可构造关于的方程求得结果.【详解】由题意得：，其中当时，或解得：本题正确选项：【点睛】本题考查根据三角函数对称轴求解参数值的问题，关键是明确在对称轴的位置三角函数取得最值，从而可构造方程.6.已知平面上三点，满足，，，则（ ）A.B.C.D.【答案】B 【解析】 【分析】根据模长关系可知，由此可得；根据向量数量积运算的定义可将所求等式变成模长和夹角的运算，从而得到结果. 【详解】由题意得：，即，本题正确选项：【点睛】本题考查向量数量积的运算，关键是能够通过模长关系得到垂直关系和夹角的余弦值，属于基础题.7.为了得到函数的图象，可以将函数的图象（ ）A. 向右平移个单位B. 向右平移个单位C. 向左平移个单位D. 向左平移个单位【分析】根据辅助角公式可将函数化为，根据图象平移变换可得结果.【详解】由题意得：向右平移个单位即可得到的图象本题正确选项：【点睛】本题考查三角函数的平移变换问题，关键是能够利用辅助角公式将函数化成余弦型函数的形式.8.已知，且，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】将的左边分子中的1看成，可将左边利用两角和的正切公式化成，进而可得，根据角的范围和正切函数的性质可得，化简可得结果。
【详解】因为，所以，因为，所以，所以，所以。
故选C。
【点睛】本题考查两角和正切公式的逆用、正切函数的性质等知识。
三角函数关系式化简时，注意1的运用，如：。
两个角的同名三角函数值相等，可利用两角的范围及三角函数的单调性判断两角的关系。
9.如图，在中，，，若，则的值为（ ）A. B. C. D.【答案】A 【解析】 【分析】根据向量线性运算，可利用和表示出，从而可根据对应关系求得结果.【详解】由题意得：又，可知：本题正确选项：【点睛】本题考查向量的线性运算问题，涉及到向量的数乘运算、加法运算、减法运算，属于常规题型. 10.若，则不能是 （ ）A.B.C.D.【答案】B 【解析】 【分析】 分子分母同时除以可知正确；利用二倍角公式可知正确；根据同角三角函数平方关系可知正确，从而得选项.【详解】选项：，可知正确；选项：由二倍角公式可得：，可知正确；选项：若成立，则需；即需，为恒等式，知正确本题正确选项：【点睛】本题考查利用二倍角公式、同角三角函数关系化简三角函数式的问题，考查学生对公式的掌握程度.11.已知为内一点，且，，若,,三点共线，则的值为（ ）A.B.C.D.【答案】B 【解析】 设线段的中点为，则，因为，所以，则，由三点共线，得，解得；故选B.点睛：利用平面向量判定三点共线往往有以下两种方法：①三点共线；②为平面上任一点，三点共线，且.12.已知函数，其部分图象如图所示，则的值为（ ）A.B.C.D.【答案】A 【解析】 【分析】由最值首先确定；代入可求得的取值；由周期可确定的范围，进而代入确定的最终取值，得到；由的周期性可将所求式子转化为求解：；代入求值即可.由得：，即 或由图象可知：由得：当时，取，则，不合题意，舍去当时，取，则又；；；本题正确选项：【点睛】本题考查已知三角函数部分图象求解函数解析式、利用函数周期性求值的问题.关键是能够通过函数的最值、特殊点和周期确定函数解析式，易错点是忽略了的范围，无法舍掉增根，造成求解错误.二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13.设为锐角，若，则的值为___________．【答案】【解析】 【分析】根据角的范围和同角三角函数关系求出，再利用二倍角公式得到结果.【详解】本题正确结果：【点睛】本题考查同角三角函数值求解、二倍角公式的应用，属于基础题.14.已知向量与的夹角是钝角，则的取值范围是_________．【答案】且【解析】【分析】根据夹角的范围可知且与不共线，由此构造不等式求出范围.【详解】由题意得：又与不共线且【点睛】本题考查利用向量夹角范围求解参数范围问题，易错点是在的情况下忽略夹角为的情况.15.已知，，与的夹角为，，则与的夹角为___________．【答案】【解析】【分析】根据的平方运算求得；再利用的平方运算构造出关于所求夹角余弦值的方程，通过余弦值求出夹角.【详解】由得：即：又即：本题正确结果：【点睛】本题考查向量夹角的求解问题，关键是能够通过平方运算将问题转化为数量积运算的形式，从而变成与夹角和模长有关的式子.16.已知函数，现有如下几个命题：①函数为偶函数；②函数最小正周期为；③函数值域为；④若定义区间的长度为,则函数单调递增区间长度的最大值为. 其中正确命题为___________．【答案】①②④【解析】【分析】首先通过奇偶性的定义和判断方法得到函数为偶函数，则①正确；根据的范围可得分段函数的解析式，由解析式可画出函数的图象，根据图象判断，可知②④正确，③错误，由此得到结果.【详解】定义域为，且，可证得为偶函数，可知①正确；当时，；当时，由解析式可得函数图象如下：由图像可知，最小正周期为：，可知②正确；函数值域为，可知③错误；其中一个单调递增区间为，区间长度为：；根据周期可知此区间即为最长区间，可知④正确.本题正确结果：①②④【点睛】本题考查三角函数图象和性质的综合应用问题，关键是能够得到分段函数的解析式，通过解析式得到图象，进而可判断函数的各个性质.三、解答题：本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知向量，．（1）若与平行，求的值；（2）若与垂直，求的值．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】通过坐标表示出和，根据向量平行和垂直的性质可构造关于的方程，求解得到结果.【详解】由题意得：，（1）（2）【点睛】本题考查利用向量平行和垂直的性质求解参数的问题，主要利用向量的坐标运算来求解，属于基础题.18.已知向量，，设．（1）求函数的最小正周期和对称中心；（2）已知为锐角，，，，求的值．【答案】（1）,；（2）【解析】【分析】（1）整理出解析式，根据解析式得到最小正周期；再利用正弦型函数的对称中心的求法求得对称中心；（2）根据求得，再根据角的范围和同角三角函数关系求得和；利用两角和差的正弦公式求得结果.【详解】由题意得：（1）的最小正周期：令，则又对称中心为：（2），又错点是忽略角的范围造成求解同角三角函数值出现错误.19.设是单位圆和轴正半轴的交点，是圆上两点，为坐标原点，，，（1）当时，求的值；（2）设函数，求的值域．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）首先求解出的值，利用数量积的运算法则求解得到结果；（2）根据已知条件化简，采用换元的方式将函数变为：；根据的范围求解出二次函数的值域，从而得到结果.【详解】（1）由题意得：（2）设，则又，则，当时，当时，的值域为：【点睛】本题考查向量数量积的求解、三角函数值域的求解，关键是能够通过换元的方式将问题转化为二次函数值域的求解问题，易错点是忽略自变量的取值范围造成求解错误.20.如图，已知函数，点分别是的图象与轴、轴的交点，分别是的图象上横坐标为、的两点，且轴，．（1）求，的值；（2）若关于的方程在区间上恰有唯一实根，求实数的取值范围．【答案】（1），；（2）或【解析】 【分析】（1）根据对称性可求解出最值点的横坐标，从而可得最小正周期，从而求得；代入最值点求得；（2）将问题转化为与在区间恰有唯一交点；将通过整理换元到，；根据函数图象求得结果.【详解】（1）如上图所示，由对称性可知：点横坐标为，即则又，又（2）由（1）得：则在区间恰有唯一实根即与在区间恰有唯一交点又设，，则，图象如下图所示：若与仅有一个交点，则或【点睛】本题考查已知三角函数图象求解解析式、根据方程根的个数求解参数取值范围的问题，关键是能将问题转化为直线与曲线的交点问题，通过数形结合的方式，结合函数的图象求解出参数的范围.21.如图，在四边形中，，.（1）若为等边三角形，且，是的中点，求；（2）若，，，求.【答案】（1）11（2）【解析】试题分析：（1）因为为等边三角形得到，因为是中点，根据的平行四边形法则和三角形法则，所以，进而得到的值．（2）因为，得到和，进而求解的值.试题解析：（1）因为为等边，且，所以.又，所以，因为是中点，所以.又，所以.（2）因为，，所以，因为，所以，所以.又.所以.所以.所以. 22.已知函数.（1）求函数图象的对称轴方程；（2）若方程在上的解为、，求的值．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）将整理为，根据求出的取值即为对称轴方程；（2）根据三角函数的对称性可求解出，从而将化为，从而求得结果.【详解】（1）令，可得：对称轴方程为：（2）由题意得：当时，，可知【点睛】本题考查正弦型函数的对称轴求解、利用三角函数的对称性求解函数值的问题，关键是利用两角和差公式、二倍角公式和辅助角公式将函数整理为的形式，再结合函数的对称性来求解问题。
2018-2019学年辽宁省沈阳市高一下学期期中考试数学试题(解析版)
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由已知图象知， 的最小正周期是 所以 解得 .由 得到，单增区间是 或：因为 所以将 的图象向左平移 后，所对应的解析式为 .由图象知， 所以 .由 得到，单增区间是
【点睛】
这个题目考查了向量的点积运算，以及向量垂直的转化；向量的两个作用：①载体作用：关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；②工具作用：利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题.
19．已知函数 ， .
（1）求函数 的最小正周期和单调递减区间；
（2）将函数 的图象向右平移 个单位后，再将所得图象的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，得到的函数 的图象关于 轴对称，求 的最小值.
7．已知函数 的一条对称轴为直线 ，一个对称中心为点 ，则 有（）
A．最小值2B．最大值2C．最小值1D．最大值1
【答案】A
【解析】将 代入余弦函数对称轴方程，可以算出 关于 的一个方程，再将 代入余弦函数的对称中心方程，可求出另一个 关于 的一个方程，综合两个等式可以选出最终答案.
【详解】
由 满足余弦函数对称轴方程可知
2018-2019学年辽宁省沈阳市高一下学期期中考试数学试题
一、单选题
1． （）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】可以把 角化成 ，利用诱导公式化成 以内的特殊角，从而得到结果.
【详解】
由三角函数的诱公式是三角中最基本的运算，可以把任意大小的角化成 到 范围内进行求解.
即 的最大值为 ；
①当 时， （满足条件）；
②当 时，
辽宁东北育才双语学校2018-2019学度高一下学期年中考试数学试题word版含解析
辽宁东北育才双语学校2018-2019学度高一下学期年中考试数学试题word 版含解析I 卷选择题共60分【一】选择题〔每题只有一个正确选项，5×12=60分〕1.等差数列}{n a 中，前15项的和9015=S ，那么8a 等于A 、245 B 、6 C 、445 D 、12 2.设A=21++x x ，B=43++x x ,那么A 与B 的大小关系是A 、A<BB 、A>BC 、仅有x>0,A<BD 、以上结论都不成立3、在△ABC 中，依照以下条件解三角形，那么其中有两个解的是 A 、a =14，b =16，A=45°B 、a =60，c =48，B=100° C 、a =7，b =5，A=80°D 、b =10，A=45°，B=70°4.某工厂年产量第二年增长率为a ，第三年增长率为b ，那么这两年平均增长率x 满足5.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，以下选项不可能．．．是()n S n ,的图像的是6、假设110a b<<,那么以下结论不正确的选项是 A 、22a b <B 、2ab b <C 、a b a b +>+D 、2a b b a+>7.各项均为正数的等比数列{n a }，123a a a =5，789a a a =10，那么456a a a =A.8、假如点P 在平面区域⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≤+-≥+-02012022y x y x y x 上，点Q 在曲线1)2(22=++y x 上，那么Q P 的最小值为A.122-B.154- C.15- D.12-9、为得到函数)32cos(π+=x y 的图象，只需将函数x y 2sin =的图像A 、向左平移125π个长度单位B 、向右平移π6个长度单位 C 、向左平移π6个长度单位D 、向右平移125π个长度单位 10、当0<x ≤12时，4log xa x <，那么a 的取值范围是 A.(0，22)B.(22，1)C.(1，2)D.(2，2)11.设等差数列｛n a ｝{n b }的前n 项和为n S ，n T ，假设1n n S n T n =+，那么57a b = A.910B.914C.1314D.131112、定义在R 上的函数()22=++f x mx x n 的值域是[)0,+∞，又对满足前面要求的任意实数n m ,都有不等式22112013+≥++n m am n 恒成立，那么实数a 的最大值为 A.2018B.1C.21D.22013II 卷非选择题共90分【二】填空题〔此题包括4个小题共计20分〕 13.假设4sin ,tan 05θθ=->，那么cos θ=、 14、等差数列{}n a 满足32=a ，)3( 513>=--n S S n n ，100=n S ，那么n 的值为 .15.下面有四个命题： ①函数2sin 32y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭是偶函数②函数()2|2cos 1|f x x =-的最小正周期是π； ③函数()sin 4f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数；④函数()sin cos f x a x b x =-的图像的一条对称轴为直线4x π=，那么0a b +=.其中正确命题的序号是。
辽宁省沈阳市2018-2019学年高一下学期第二阶段考试数学试题Word版含答案
辽宁省沈阳市2018-2019学年下学期第二阶段考试高一数学试题答题时间：120分钟 满分：150分第Ⅰ卷 （选择题, 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知a >b ，则下列各式一定成立的是A.2-a >1b -B.1+a >1-bC.2018a <2018bD.2018a ->2018b - 2.为了得到函数sin(2)3y x π=+的图象，只需把函数sin 2y x =的图象A.向左平移6π个单位B.向左平移3π个单位 C.向右平移6π个单位 D.向右平移3π个单位 3.sin 585的值为D.4.在四边形ABCD 中，2AB a b =+，4BC a b =--，53CD a b =--，则四边形ABCD 的形状是 A.矩形 B.邻边不相等的平行四边形 C.菱形 D.梯形5.在ABC ∆中，若2cos sin sin B A C =，则ABC ∆的形状一定是A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等边三角形6.某工厂第一年产量为A ，第二年增长率为a ，第三年的增长率为b ，这两年的平均增长率为x ， 则 A.x =a ＋b 2B.x ≤a ＋b 2C.x >a ＋b 2D.x ≥a ＋b 27.设变量,x y 满足约束条件：34,|3|2y xx y z x y x ≥⎧⎪+≤=-⎨⎪≥-⎩则的最大值为A.10B.8C.6D.48.若A 是三角形ABC ∆中的最小内角，则sin cos A A -的取值范围是A.[B.1(1,)2- C.1[1,]2- D.1(1,]2- 9.对一切实数x ，若不等式x 4+(a -1)x 2+1≥0恒成立，则a 的取值范围是 A.a ≥-1 B.a ≥0 C.a ≤3 D.a ≤1 10.函数sin 2(1tan 2tan )y x x x =+⋅的最小正周期为 A.2π B.π C.23πD.2π11.已知平面内，0AB AC ⋅=，||||1AB AC ⋅= ，且4AB AC AP ABAC=+ ，则PB PC ⋅的最大值等于A.13B.15C.19D.2112.已知函数)(x f 满足下列条件：①定义域为[)+∞,1；②当21≤<x 时)2sin(4)(x x f π=；③)2(2)(x f x f =. 若关于x 的方程0)(=+-k kx x f 恰有3个实数解，则实数k 的取值范围是A.)31,141[B.]31,141(C.]2,31(D.)2,31[第Ⅱ卷 （非选择题, 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡相应的位置上）13.已知||1a =，||2b =，,60a b <>=，则|2|a b += .14.函数tan()42y x ππ=-的部分图象如图，则()OA OB AB +⋅= .15.已知0>x ，0>y ，22x y xy +=，则y x 2+的最小值为 .16.设实数x ，y 满足212xy ≤≤，223x y ≤≤，则47x y的取值范围是 . 三、解答题（本大题共6小题，共70分. 请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分10分）已知α，β为锐角，且1tan 7α=，sin β=.（Ⅰ）求sin()αβ+； （Ⅱ）求2αβ+.18．（本小题满分12分）解关于x 的不等式2(21)20mx m x +-->．19．（本小题满分12分）已知A (2,0)，B (0,2)，C (cos θ，sin θ)，O 为坐标原点． （Ⅰ）AC BC ⋅＝－13，求sin 2θ的值；（Ⅱ）若OA OC +=7，且θ∈(－π,0)，求OB 与OC 的夹角．20．（本小题满分12分）位于A 处的雷达观测站，发现其北偏东45°，与A 相距海里的B 处有一货船正以匀速直 线行驶，20分钟后又测得该船只位于观测站A 北偏东45θ︒+()00450<<θ的C 处，135=AC ．在离观测站A 的正南方某处E ，13132cos -=∠EAC . （Ⅰ）求θcos ；（Ⅱ）求该船的行驶速度v （海里/小时）.21．（本小题满分12分） 如图，在ABC ∆中，4B π=，角A 的平分线AD 交BC 于点D ，设BAD α∠=，sin α=. （Ⅰ）求sin BAC ∠和sin C ； （Ⅱ）若28BA BC ⋅=，求AC 的长.22．（本小题满分12分）在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，M 为平面上任一点，A ，B ，C 三点满足 1233MC MA MB =+uuu r uuu r uuu r ．（Ⅰ）求||||BA BC uu r uu u r 的值； （Ⅱ）已知A (1,sin x )、B (1+sin x ,sin x )，M (1+23sin x ,sin x )，x ∈(0,π)，且函数 2()(2)||3f x OA OM m AB =⋅+-uu r uuu r uu u r 的最小值为12，求实数m 的值．B辽宁省沈阳市2018-2019学年下学期第二阶段考试高一数学试题参考答案BACDC BBDAB AD13.14..615. 416. [2,27]17.（本小题满分10分）已知，为锐角，且，.（Ⅰ）求；（Ⅱ）求.（1）（2）18．（本小题满分12分）解：关于x的不等式mx2+（2m﹣1）x﹣2＞0等价于（x+2）（mx﹣1）＞0；当m=0时，不等式化为x+2＜0，解得解集为（﹣∞，﹣2）；当m＞0时，不等式等价于（x﹣）（x+2）＞0，解得不等式的解集为（﹣∞，﹣2）∪（，+∞）；当m＜0时，不等式等价于（x﹣）（x+2）＜0，若﹣＜m＜0，则＜﹣2，解得不等式的解集为（，﹣2）；若m=﹣，则=﹣2，不等式化为（x+2）2＜0，此时不等式的解集为∅；若m＜﹣，则＞﹣2，解得不等式的解集为（﹣2，）．综上，m=0时，不等式的解集为（﹣∞，﹣2）；m＞0时，不等式的解集为（﹣∞，﹣2）∪（，+∞）；﹣＜m＜0时，不等式的解集为（，﹣2）；m=﹣时，不等式的解集为∅；m＜﹣时，不等式的解集为（﹣2，）．19．（本小题满分12分）已知A(2,0)，B(0,2)，C(cos θ，sin θ)，O为坐标原点．（Ⅰ）＝－31，求sin 2θ的值；（Ⅱ）若=，且θ∈(－π,0)，求与的夹角．解：(1)∵→AC＝(cos θ，sinθ)－(2,0)＝(cos θ－2，sin θ)，→BC＝(cos θ，sin θ)－(0,2)＝(cos θ，sin θ－2)，→AC·→BC＝cos θ(cos θ－2)＋sin θ(si n θ－2)＝cos2θ－2cos θ＋sin2θ－2sin θ＝1－2(sin θ＋cos θ)＝－31∴sin θ＋cos θ＝32，∴1＋2sin θcos θ＝94，∴sin 2θ＝94－1＝－95.(2)∵→OA＝(2,0)，→OC＝(cos θ，sin θ)，∴→OA＋→OC＝(2＋cos θ，sin θ)，∴|→OA＋→OC|＝＝，即4＋4cos θ＋cos2θ＋sin2θ＝7，∴4cos θ＝2，即cos θ＝21.∵－π＜θ＜0，∴θ＝－3π，又∵→OB＝(0,2)，→OC＝3，∴cos〈→OB，→OC〉＝|OC＝23＝－23，∴〈→OB，→OC〉＝65π.20．（本小题满分12分）位于A处的雷达观测站，发现其北偏东45°，与相距20海里的B处有一货船正以匀速直线行驶，20分钟后又测得该船只位于观测站A北偏东的C处，．在离观测站A的正南方某处E，.（Ⅰ）求；（Ⅱ）求该船的行驶速度v（海里/小时）；解：（1）（2）利用余弦定理该船以匀速直线行驶了20分钟的路程为海里，该船的行驶速度（海里/小时21．（本小题满分12分）如图，在中，，角的平分线交于点，设，. （Ⅰ）求和；（Ⅱ）若，求的长.22．（本小题满分12分）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，M为平面上任一点，A，B，C三点满足．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）已知A(1,sin x)、B(1+sin x,sin x)，M(1+sin x,sin x)，x∈(0,π)，且函数的最小值为，求实数m的值．解：（Ⅰ）证明：由=+，得﹣=2（﹣），∴=2，且、有公共点C，∴A，B，C三点共线，如图所示；∴===3；（Ⅱ）A（1，sinx）、B（1+sinx，sinx），M（1+sinx，sinx），x∈（0，π），∴=（1，sinx）=（1+sinxsinx）=（sinx0）∴函数f（x）=•+（2m﹣）•||=（1+sinx）+sin2x+（2m﹣）•sinx=sin2x+2msinx+1；设sinx=t，∵x∈（0，π），∴t∈（0，1），∴y=t2+2mt+1=（t+m）2+1﹣m2；讨论﹣m＜0即m＞0时，此时y没有最小值；=1﹣m2=，当0≤﹣m≤1即﹣1≤m≤0时，当t=﹣m有ymin解得m=﹣；当﹣m＞1即m＜﹣1时，此时y没有最小值；综上，得m=﹣．。
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辽宁省东北育才学校高一下学期期中考试（数学）一、选择题:(本大题共12小题，每题5分，共60分) 1. 下面命题中正确论述的命题个数是（ ）①求解某一类问题的算法是唯一的；②任何一个算法都可能包含顺序结构、条件结构、循环结构； ③在“Scilab ”程序语言中,赋值号与数学中的等号的意义相同。
④在“Scilab ”程序语言中,赋值号左右能对换； ⑤循环结构中一定包含条件结构A.1个B.2个C.3个D.4个2. 若向量(1,)a x =和(23,)b x x =+-互相平行，其中x R ∈，则a b -=( ) A. 2-或0B. 2或2或103. 如图是一次考试成绩的样本频率分布直方图（样本容量n=，若成绩不低于60分为及格，则样本中的及格人数是（ ） A.B.36C. 60D.14. )sin()(ϕω+=x A x f （A ＞0，ω＞0）在1=x 处取最大值，则 （ ）A ．)1(-x f 一定是奇函数B ． )1(-x f 一定是偶函数C ．)1(+x f 一定是奇函数D ．)1(+x f 一定是偶函数5. 给出命题：（1）某彩票的中奖概率为11000，意味着买1000张彩票一定能中奖 （2）对立事件一定是互斥事件（3）若事件A 、B 满足P(A)+P(B)=1，则A 、B 为对立事件（4）从装有2个红球和2个白球的口袋中任取2个球，记事件A 为“恰有1个白球”, 记事件B 为“恰有2个白球”，则A 与B 为互斥而不对立的两个事件 其中正确命题的个数是 （ ）A.3B. 2C. 1D. 0 6. 若sin cos tan ,0,,cos sin 2ααπβαββααα+⎡⎫=∈-⎪⎢-⎣⎭，则等于（ ）A ．12π B ．6π C ．4π D ．3π 7.在△ABC 中，给出下列四个命题：①若B A 2sin 2sin =，则△ABC 必是等腰三角形； ②若B A cos sin =，则△ABC 必是直角三角形；③若0cos cos cos <⋅⋅C B A ，则△ABC 必是钝角三角形；204060 80 100④若1)cos()cos()cos(=-⋅-⋅-A C C B B A ，则△ABC 必是等边三角形.以上命题中正确的命题的个数是 （ ）A ．1B ．2C ．3D ．48. 用秦九韶算法计算多项式2456()187543f x x x x x x =+++++在x=5时所对应的4V 的值为（ ） A ．1829 B. 1805 C. 2507 D. 25439. 某初级中学有学生270人，其中一年级108人，二、三年级各81人，现要利用抽样方法取10人参加某项调查，考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案，使用简单随机抽样和分层抽样时，将学生按一、二、三年级依次统一编号为1,2,...,270；使用系统抽样时，将学生统一随机编号1,2,...,270，并将整个编号依次分为10段.如果抽得号码有下列四种情况： ①7，34，61，88，115，142，169，196，223，250； ②5，9，100，107，111，121，180，195，265； ③11，38，65，92，119，146，173，227，254；④30，57，84，111，138，165，192，219，246，270； 关于上述样本的下列结论中，正确的是（ ） A ．②、③都不能为系统抽样 B ．②、④都不能为分层抽样C ．①、④都可能为系统抽样D ．①、③都可能为分层抽样10. 有五条线段，长度分别为2，4，6，8，10，从这五条线段中任取三条，则所取三条线段能构成一个三角形的概率为（ ）A. 35 B. 25 C. 310 D. 1211. 如图给出的是计算0101614121+⋅⋅⋅+++的 值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是（ ）A ．i<＝100B ．i >100C ．i>50D ．i<＝5012．若点P 是ABC ∆的外心，且0PA PB PC λ++=，120C ∠=︒，则实数λ的值为（ ）A ．1B ．1-C ．12 D ．12- 二、填空题：(本大题共4小题，每题5分，共 13. 在△ABC 中，已知AB =4，AC =7，BC 边的中线72AD =，那么BC = . 14. 设对变量x,y 有如下观察数据:则y 对x 的回归直线ˆybx a =+必过定点________. 15. 已知ΔAOB 中，点P 在直线AB 上，且满足：2()OP tPA tOB t R =+∈，则||||PA PB = 16. 给出下列命题：①(sin ,1),(cos ,1),a b a b ααα==-⊥则存在实数，使得 ②1(2,2),(sin 1,cos ),//2a b a b ααα==--若则存在实数，使得 ③函数3sin()2y x π=+是偶函数 ④5sin(2)84x y x ππ==+是函数的一条对称抽方程⑤sin sin αβαβαβ>>若，是第一象限的角且，，则⑥13tan ,2tan 2ππαβπαπαββ⎛⎫∈<<+< ⎪⎝⎭若，，且则 其中所有正确命题的序号为_________________三、解答题：(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本题满分10分)(m/s)的数据如下表:(1)画出茎叶图；(2)分别求出甲、乙两名自行车赛手最大速度数据的平均数、标准差（精确到0.01）,并判断选谁参加比赛更合适.18.(本题满分12分)阅读以上流程图，若记y=f （x ）(1) 写出y=f(x)的解析式，并求函数的值域， （2） 若x 0满足f(x 0)＜0 且f(f(x 0))=1,求x 0.19.(本题满分12分)已知直线a x y +-=与圆422=+y x 交于B A ,两点，O 为原点，求 （1）与的数量积；（2）a 为何值时，与两向量夹角为3π。
2018-2019学年辽宁省高一(下)期中数学试卷
2018-2019学年辽宁省高一（下）期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合m={x∈Z|-x2+6x＞0}，N={x|x2-5＜0}，则M∩N等于（）A. {1，2，3}B. {1，2}C. {2，3}D. {3，4}2.sin600°的值是（）A. B. C. D.3.已知点P（tanα，sinα）在第三象限，则角α在（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限4.设函数，则（）A. 3B. 6C. 9D. 125.在下列向量组中，可以把向量＝（3，2）表示出来的是( )A. ＝（0，0），＝（1，2）B. ＝（－1，2），＝（5，－2）C. ＝（3，5），＝（6，10）D. ＝（2，－3），＝（－2，3）6.已知直线l过圆x2＋(y－3)2＝4的圆心，且与直线x＋y＋1＝0垂直，则l的方程是( )A. x＋y－2＝0B. x－y＋2＝0C. x＋y－3＝0D. x－y＋3＝07.下列命题正确的是（）A. 单位向量都相等B. 若与是共线向量，与是共线向量，则与是共线向量C. 若||=||，则=0D. 若与是单位向量，则=18.设a=cos2°-sin2°，b=，c=，则有（）A. a＜c＜bB. a＜b＜cC. b＜c＜aD. c＜a＜b9.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于（）A. 12B. 24C. 36D. 810.已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期是π，若将其图象向右平移个单位后得到的图象关于原点对称，则函数f（x）的图象（）A. 关于直线x=对称B. 关于直线x=对称C. 关于点（，0）对称D. 关于点（，0）对称11.已知向量，的模分别为，2，且，的夹角为45°．在△ABC中，=2，=2，=2，则||=（）A. 2B. 2C. 4D. 812.函数y=的图象与函数y=2sinπx（-2≤x≤4）的图象所有交点的横坐标之和等于（）A. 2B. 4C. 6D. 8二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若sin（）=，则的值为______．14.，是两个向量，||=1，||=2，且（+）⊥，则，的夹角为______．15.已知与是单位向量，=0．若向量满足||=2，则||的取值范围是______．16.函数f（x）=x2-tan（）•x+1在[）上单调递增，则α的取值范围是______三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知=（1，0），=（2，1）（1）当k为何值时，k与共线；（2）若=2，=且A、B、C三点共线，求m的值.18.已知=（1，2sinθ），=（cosθ，-2），且．（1）求tanθ的值；（2）求的值．19.已知函数的部分图象如图所示．（1）求f（x）的解析式；（2）方程在上的两解分别为x1，x2，求sin（x1+x2），cos（x1-x2）的值．20.如图,在四棱锥P-ABCD中,∠ABC=∠BAD=90°,BC=2AD,△PAB与△PAD都是边长为2的等边三角形,E是BC的中点.（1）求证:AE∥平面PCD;（2）求四棱锥P-ABCD的体积.21.已知向量=（3sin x，cos x），=（-cos x，，f（x）=．（1）求函数f（x）的对称轴及对称中心；（2）若方程f（x）=a在区间[0，]上有两个不同的实数根，求实数a的取值范围．22.平面内有两个定点A（1，0），B（1，-2），设点P到A、B的距离分别为d1，d2，且=（I）求点P的轨迹C的方程；（II）是否存在过点A的直线l与轨迹C相交于E、F两点，满足（O 为坐标原点）．若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．-------- 答案及其解析 --------1.答案：B解析：解：由M中不等式变形得：x（x-6）＜0，解得：0＜x＜6，即M={1，2，3，4，5}；由N中不等式解得：-＜x＜，即N=（-，），则M∩N={1，2}．故选：B．求出M中不等式的整数解确定出M，求出N中不等式的解集确定出N，找出M与N的交集即可．此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2.答案：C解析：解：sin600°=sin（360°+240°）=sin240°=sin（180°+60°）=-sin60°=故选：C．利用诱导公式，我们可得sin600°=sin240°=-sin60°，再由特殊角的三角函数值，即可得到答案．本题考查的知识点是运用诱导公式化简求值，诱导公式是三角函数中最常用的公式之一，正确理解“奇变偶不变，符号看象限”是使用诱导公式求解的关键．3.答案：D解析：解：∵点P（tanα，sinα）在第三象限，∴，∴α在第四象限．故选：D．由于点P（tanα，sinα）在第三象限，可得，即可得出．本题考查了三角函数值的符号与角的关系，属于基础题．4.答案：C解析：【分析】本题考查分段函数的求值，主要考查对数的运算性质，属于基础题．先求f（-2）=1+log2（2+2）=1+2=3，再由对数恒等式，求得f（log212）=6，进而得到所求和．【解答】解：函数f（x）=，即有f（-2）=1+log2（2+2）=1+2=3，f（log212）==×=12×=6，则有f（-2）+f（log212）=3+6=9．故选C．5.答案：B解析：【分析】本题主要考查了向量的坐标运算，根据列出方程解方程是关键，属于基础题．根据向量的坐标运算及，计算判断即可．【解答】解：根据，选项A：（3，2）=λ（0，0）+μ（1，2），则3=μ，2=2μ，无解，故选项A不能；选项B：（3，2）=λ（-1，2）+μ（5，-2），则3=-λ+5μ，2=2λ-2μ，解得，λ=2，μ=1，故选项B能；选项C：（3，2）=λ（3，5）+μ（6，10），则3=3λ+6μ，2=5λ+10μ，无解，故选项C 不能；选项D：（3，2）=λ（2，-3）+μ（-2，3），则3=2λ-2μ，2=-3λ+3μ，无解，故选项D 不能．故选B．6.答案：D解析：【分析】本题主要考查用点斜式求直线的方程，两条直线垂直的性质，属于基础题．由题意可得所求直线l经过点（0，3），斜率为1，再利用点斜式求直线l的方程．【解答】解：由题意可得所求直线l经过点（0，3），斜率为1，故l的方程是y -3=x-0，即x-y+3=0，故选D．7.答案：C解析：解：根据题意，依次分析选项：对于A，向量既有大小，又由方向，单位向量的模相等，但方向不相同，则A错误；对于B，若=，满足与是共线向量，与是共线向量，但与不一定是共线向量，则B错误；对于C，若||=||，则有2+2•+2=2-2•+2，即•=0，C正确；对于D，与是单位向量，只有当与方向相同时，才有=1，D错误；故选：C．根据题意，结合向量的定义以及数量积的计算公式，依次分析选项，综合即可得答案．本题考查向量定义以及数量积的计算，关键是掌握向量的定义，属于基础题．8.答案：D解析：解：∵a=cos2°-sin2°=sin（30°-2°）=sin28°，b==tan（14°+14°）=tan28°，c===sin25°，∵正弦函数在（0°，90°）是单调递增的，∴c＜a．又∵在（0°，90°）内，正切线大于正弦线，∴a＜b．故选：D．由两角差的正弦公式求a，由二倍角的正切公式求b，由二倍角的正弦公式求c，即可根据正弦函数的单调性和三角函数线的知识比较大小．本题主要考查了两角差的正弦公式，二倍角的正切公式，二倍角的正弦公式，正弦函数的单调性和三角函数线的知识应用，属于基础题．9.答案：A解析：解：由已知中的三视图，几何体是一个四棱锥，四棱锥的底面是一个直角边长为4和2，高为4的直角梯形，四棱锥高为3，SA=3，CD=2．BC=AB=4，是长方体的一部分．故该几何体的体积：V==12．故选：A．由已知中的三视图，可该几何体是一个四棱锥，四棱锥的底面是一个直角边长为4和2，高为4的直角梯形，四棱锥高为3，求出棱锥的体积，即可得出结论．由已知中的三视图，判断该几何体的形状是解题的关键，是基本知识的考查．10.答案：B解析：解：∵函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期是π，∴T==π，解得ω=2，即f（x）=sin（2x+φ），将其图象向右平移个单位后得到y=sin[2（x-）+φ]=sin（2x+φ-），若此时函数关于原点对称，则φ-=kπ，即φ=+kπ，k∈Z，∵|φ|＜，∴当k=-1时，φ=．即f（x）=sin（2x）．由2x=，解得x=+，k∈Z，故当k=0时，函数的对称轴为x=，故选：B根据三角函数的性质求出函数的解析式进行求解即可．本题主要考查三角函数解析式的求解以及三角函数的性质的应用，根据条件求出函数的解析式是解决本题的关键．11.答案：B解析：解：根据题意，向量，的模分别为，2，且，的夹角为45°，则•=2×cos45°=2，在△ABC中，=+=+=（+）=2-2，则||2=42+42-8•=8，则||=2，故选：B．根据题意，由数量积的计算公式可得•的值，又由向量的三角形法则可得=+=+=（+）=2-2，进而由数量积的计算公式计算可得答案．本题考查向量数量积的运算及向量的模长，关键是分析与、的关系．12.答案：B解析：解：如图所示，两个图象在点（1，0）对称，然后-2到4一共有4个交点，对称的两交点横坐标和为1的2倍，4个点就是两对对称点，所以和为4．故选：B．作出函数的图象，利用对称性，即可得出结论．本题考查函数的零点，考查数形结合的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．13.答案：-解析：解：sin（）=，则=cos（α++）=-sin（α+）=-．故答案为：-．根据三角函数的诱导公式，即可求出对应函数值．本题考查了三角函数诱导公式的应用问题，是基础题．14.答案：解析：解：∵；∴=；∴；又；∴的夹角为．故答案为：．根据即可得出，进行数量积的运算即可求出，从而便可得出的夹角．考查向量垂直的充要条件，向量数量积的运算及计算公式，以及向量夹角的范围．15.答案：[2-，2+]解析：【分析】本题考查了向量的垂直与数量积的关系、数量积的运算性质、点与圆上的点的距离大小关系，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．设=（1，0），=（0，1），=（x，y）．由向量满足||=2，可得（x-1）2+（y-1）2=4，其圆心C（1，1），半径r=2．利用r-|OC|≤||=≤|OC|+r即可得出．【解答】解：∵与是单位向量，=0．向量满足||=2∴都是单位向量，且⊥，设=（1，0），=（0，1），=（x，y）．∵向量满足||=2，∴（x-1）2+（y-1）2=4，因为r-|OC|=≤||=≤|OC|+r，∴|OC|=．∴2-≤||=≤2+．∴||的取值范围是[2-，2+]．故答案为[2-，2+]．16.答案：[，kπ+），k∈Z解析：解：∵f（x）=x2-tan（）•x+1在[）上单调递增，∴f′（x）=2x-tan（）在[）大于等于0恒成立，由y=2x-tan（）在[）上为增函数，可得-tan（）≥0，即tan（）≤．则＜≤，k∈Z．∴≤x＜kπ+，k∈Z．∴α的取值范围是[，kπ+），k∈Z．故答案为：[，kπ+），k∈Z．由函数f（x）在[）上单调递增，可得f′（x）≥0在[）上恒成立，即f′（x）在[）上的最小值大于等于0恒成立，然后求解三角不等式得答案．本题考查利用导数研究函数的单调性，考查三角不等式的解法，是中档题．17.答案：解：（1）∵=（1，0），=（2，1），∴k=（k-2，-1），=（5，2），又k与共线，∴2（k-2）+5=0，即k=-；（2）=2=（8，3），==（2m+1，m），∵A、B、C三点共线，∴8m-3（2m+1）=0，即m=．解析：（1）由已知求得k与的坐标，再由向量共线的坐标运算列式求解；（2）由已知求得的坐标，再由两向量共线的坐标运算求解．本题考查平面向量的坐标加减运算，考查向量共线的坐标表示，是基础题．18.答案：解：（1）∵=（1，2sinθ），=（cosθ，-2），且，∴cosθ-4sinθ=0，又∵cosθ≠0，∴tan；（2）=．解析：（1）由向量垂直的坐标运算可得cosθ-4sinθ=0，进一步得到tanθ的值；（2）化弦为切，结合（1）求解．本题考查三角函数的恒等变换及化简求值，考查倍角公式及同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．19.答案：（本小题满分12分）解：（1）由图象可知A=2，，又∵，∴ω=2，又∵f（x）的图象过点，即，（k∈Z），即（k∈Z），又∵，∴，∴f（x）=；（2）∵f（x）的图象在y轴右侧的第一个波峰的横坐标为，图象在的两解x1，x2关于直线对称，可得：，sin（x1+x2）=sin=，方程在上的两解分别为x1，x2，x1-x2∈（-，）可得：sin（2x1+）=，sin（2x2+）=，由图象可知2x1+∈（，），2x2+∈（，），cos（2x1+）=，cos（2x2+）=-，cos2（x1-x2）=cos[（2x1+）-（2x2+）]=-+=，∴2cos2（x1-x2）-1=．∴cos（x1-x2）=．解析：（（1）由图象可知A，利用周期求解ω，通过f（x）的图象过点，求解φ，然后求解函数的解析式．（2）∵f（x）的图象在y轴右侧的第一个波峰的横坐标为，图象在的两解x1，x2关于直线对称，求出，利用两角和与差的三角函数以及二倍角公式求解即可．本题考查三角函数的图象的应用，函数的解析式的求法，考查转化思想以及计算能力．20.答案：证明：（1）∵∠ABC=∠BAD=90°，∴AD∥BC，∵BC=2AD，E是BC的中点，∴AD=CE，∴四边形ADCE是平行四边形，∴AE∥CD，又AE⊄平面PCD，CD⊂平面PCD，∴AE∥平面PCD．解：（2）连接DE，BD，设AE∩BD=O，则四边形ABED是正方形，∴O为BD的中点，∵△PAB与△PAD都是边长为2的等边三角形，∴BD=2，OB=，OA=，PA=PB=PD=2，∴OP⊥OB，OP=，∴OP2+OA2=PA2，即OP⊥OA，又OA⊂平面ABCD，BD⊂平面ABCD，OA∩BD=O，∴OP⊥平面ABCD．∴V P-ABCD===2．解析：本题考查线面平行的判定，线面垂直的判定，棱锥的体积计算，属于中档题．（1）证明四边形AECD是平行四边形，得出AE∥CD，从而有AE∥平面PCD；（2）连接DE，BD，设AE∩BD=O，由三线合一证明OP⊥BD，根据勾股定理逆定理证明OP⊥OA，故而OP⊥平面ABCD，于是V P-ABCD=．21.答案：（本题满分为12分）解：（1）∵=（3sin x，cos x），=（-cos x，，∴f（x）==-3sin x cosx+cos2x-=-sin2x+（1+cos2x）-=-sin2x+cos2x=sin（2x+），当2x+=kπ+，∴对称轴为x=-，（k∈Z），2x+=kπ，x=-，∴对称中心（-，0）（k∈Z），（2）由于x∈[0，]时，2x+∈[，]，而函数g（x）=sin x在区间[，]上单调递减，在区间[，]上单调递增．又g（）=-，g（）=-，g（）=，所以方程f（x）=a在区间x∈[0，]上有两个不同的实数根时，a∈（-，-]．解析：（1）根据向量的数量积运算及三角函数恒等变换的应用化简得到f（x）解析式，根据三角函数的性质即可得解．（2）求出函数f（x）的单调区间，根据正弦函数的图象和性质可得到答案．本题考查了向量的运算和三角函数的化简，考查了正弦函数的图象和性质以及参数的取值范围，属于中档题．22.答案：（本小题12分）（Ⅰ）设P（x，y），则，d2=，∵，∴，----（2分）整理得：（x-1）2+（y+4）2=8，∴点P的轨迹C的方程为（x-1）2+（y+4）2=8．----（4分）（II）存在过点A的直线l，l与轨迹C相交于E，F两点，且使三角形S△OEF=．理由如下：①当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=1，直线过圆心，，点O到直线l的距离为1，此时，，所以成立．----（6分）②当直线l斜率存在时，设l方程为：y=k（x-1）．点C到l的距离，利用勾股定理，得：．----（8分）点O到l的距离，∴，----（10分）整理得3k2=-1，无解．所以直线斜率存在时满足题意的直线不存在．综上，存在过点A的直线l：x=1，满足题意．----（12分）（其它做法相应给分）解析：（1）设P（x，y），利用两点间距离公式能求出点P的轨迹C的方程．（2）求出N（1，0），当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=1，不成立；当直线l的斜率成立时，设直线l的方程为y=k（x-1），联立直线与轨迹C方程，得（1+k2）x2-（2k2-8k+2）x+k2-8k+9=0，由此利用根的判别式、点到直线的距离公式、弦长公式能求出不存在过点N的直线l，l与轨迹C相交于E、F两点，且使三角形OEF 满足．本题考查两点距离公式的求法，考查满足条件的直线是否存在的判断与求法，是中档题，解题时要认真审题，注意根的判别式、点到直线的距离公式、弦长公式的合理运用．。
推荐-东北育才2018学年度下学期期中考试高一数学卷1-人教版[全套] 精品
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东北育才学校高中部2018——2018学年度下学期期中教学诊断高一数学试题命题人：李牧江 考试时间：2018年5月9日 满分：150分 答题时间：120分钟 一、选择题（每题5分，共60分）1．若θθθ则角且,02sin ,0cos <>的终边所在象限是 （ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知函数1)2sin()(--=ππx x f ，则下列命题正确的是 （ ）A ．)(x f 是周期为1的奇函数B ．)(x f 是周期为2的偶函数C ．)(x f 是周期为1的非奇非偶函数D ．)(x f 是周期为2的非奇非偶函数3．若)23(53sin ππ<<-=x x ，则x 的值等于（ ） A ．)53arcsin(- B ．54arccos +π C ．53arcsin 2-π D ．53arcsin 23-π（ ）5．已知|a |=2，|b |=1，a 与b 的夹角为60°，又c =m a ＋3b ，d =2a －m b ，且c ⊥d ，则m 的值是（ ）A ．0B ．1或－6C ．－1或6D ．6或－6 6．将函数x y 2sin =的图象向左平移125π个单位，得到函数)(x f y =的图象，则函数)(x f 的单调区间是（ ） A ．()Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡--6,32ππππ B ．()Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++432,42ππππ C ．()Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++32,6ππππ D ．⎪⎭⎫⎝⎛⋃⎪⎭⎫ ⎝⎛ππππ,432,4 7．设c b a,,为平面向量，则下列命题①222)(b a b a ⋅=⋅ ②a b ab a =⋅2 ③)()(c b a c b a ⋅=⋅④若)(c b a-⊥，则c a b a⋅=⋅ ⑤若0=⋅b a，则||||b a b a-=+其中正确命题的个数为（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个 8．已知非零向量a ＝(cos α，sin α)，b=(cos β，sin β)，则（ ）A ．a∥bB ．a⊥bC ．a 与b 的夹角为|α－β|D ．(a ＋b)⊥(a －b) 9．若函数)sin()(ϕω+=x x f 的图象（部分）如图所示，则ϕω和的取值是 （ ）A ．3,1πϕω==B ．3,1πϕω-==C ．6,21πϕω==D ．6,21πϕω-== 10．已知三角形的三条边成公差为2的等差数列，且它的最大角的正（ ）11.已知)(x f y =是定义在R 上的单调函数，实数21x x ≠，,1,121λλλ++=-≠x x a λλβ++=112x x ，若|)()(||)()(|21βαf f x f x f -<-，则（ ）A ．0<λB ．0=λC ．10<<λD ．1≥λ12、方程||log 21sin4x x π=的解的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 二、填空题：（每题4分，共16分）13．在△ABC 中，若(b ＋c)∶(c＋a)∶(a＋b)=4∶5∶6，则sinA∶sinB∶sinC＝________．则a 的坐标是_____．16、若j i a +=6，j i b 22+-=，单位向量c 与b a32+共线，则向量c 坐标为_______.三、解答题：17．（本小题满分12分）已知a ＝(1，2)，b =(x ，1)．(1)若(a ＋2b)∥(2a－b)，求x 的值； (2)若(a ＋2b)⊥(2a－b )，求x 的值．18．（本小题满分12分）在三角形ABC 中，a=22, b=32,角A 为45度，求角B, 角C 和边c.19．（本小题满分12分）已知向量)23sin ,23(cos x x a =，)2sin ,2(cos x x b -= ，且]2,0[π∈x ，（1） 求b a ⋅及||b a+；（2） （2）若=)(x f b a ⋅λ2-||b a+的最小值为23-，求λ的值。
辽宁省沈阳市东北育才学校2018-2019学年高一数学下学期期中试题(含解析)
辽宁省沈阳市东北育才学校2018-2019学年高一数学下学期期中试题（含解析）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合要求的.）1.已知是锐角，，，且，则为（）A. B. C. D. 或【答案】C【解析】【分析】由向量平行构造等式求得，根据角为锐角求得结果.【详解】又为锐角本题正确选项：【点睛】本题考查利用三角函数值求角的问题，关键是能够利用向量共线求得三角函数值.2.化简的结果为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据诱导公式依次化简各个部分，从而可得结果.【详解】本题正确选项：【点睛】本题考查利用诱导公式化简的问题，属于基础题.3.若点是钝角的终边上一点，则角可以表示为（）A. B. C. D. 以上都不对【答案】B【解析】【分析】根据三角函数定义分别求得正弦、余弦和正切值，根据反三角函数的定义求得结果.【详解】由题意可得：，，又本题正确选项：【点睛】本题考查反三角函数表示角的问题，关键是要明确反正弦、反余弦和反正切函数所表示的角的范围.4.已知函数，则（）A. 在上单调递增B. 在上单调递减C. 在上单调递增D. 在上单调递减【答案】C【解析】【分析】根据的范围，求解出所处的范围；对应的单调性可得到结果.【详解】当时，当时，不单调，由此可得在上不单调，可知错误；当时，当时，单调递增，由此可得在上单调递增，可知正确本题正确选项：【点睛】本题考查正弦型函数单调性的问题，解决此类问题通常采用整体对应的方式，通过正弦函数的图象得到结果.5.如果函数的图象关于直线对称，那么等于（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用辅助角公式将函数整理为，可知当时，函数取得最大值或最小值，从而可构造关于的方程求得结果.【详解】由题意得：，其中当时，或解得：本题正确选项：【点睛】本题考查根据三角函数对称轴求解参数值的问题，关键是明确在对称轴的位置三角函数取得最值，从而可构造方程.6.已知平面上三点，满足，，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据模长关系可知，由此可得；根据向量数量积运算的定义可将所求等式变成模长和夹角的运算，从而得到结果.【详解】由题意得：，即，本题正确选项：【点睛】本题考查向量数量积的运算，关键是能够通过模长关系得到垂直关系和夹角的余弦值，属于基础题.7.为了得到函数的图象，可以将函数的图象（ ）A. 向右平移个单位B. 向右平移个单位C. 向左平移个单位D. 向左平移个单位 【答案】A 【解析】 【分析】根据辅助角公式可将函数化，根据图象平移变换可得结果.【详解】由题意得：向右平移个单位即可得到的图象本题正确选项：【点睛】本题考查三角函数的平移变换问题，关键是能够利用辅助角公式将函数化成余弦型函数的形式.8.已知，且，则（ ）A.B.C.D.【答案】C 【解析】 【分析】将的左边分子中的1看成，可将左边利用两角和的正切公式化成，进而可得，根据角的范围和正切函数的性质可得，化简可得结果。
2018-2019学年辽宁省沈阳市高一第二学期期中数学试卷 解析版
2018-2019学年高一第二学期期中数学试卷一、选择题（共12小题）. 1．cos225°的值等于（ ）A ．−√22B ．√22C ．﹣1D ．12．已知向量m →=(3，2)，n →=(1，λ)，且m →∥n →，则λ＝（ ） A ．13B ．23C ．1D ．−323．已知向量m →=(1，tanθ)，n →=(−1，cosθ)，θ∈(π2，π)，若m →⋅n →=−12，则角θ＝（ ） A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π64．函数f(x)=tan(x +π6)的图象的一个对称中心是（ ） A ．(π3，0)B ．(π4，0)C ．(π2，0)D ．(π6，0)5．若cosα+2sinα=−√5，则tan α＝（ ） A ．12B ．2C ．−12D ．﹣26．已知a ＝sin 3π7，b ＝cos4π7，c ＝tan （−3π7），则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a ＜b ＜c B ．b ＜c ＜aC ．c ＜b ＜aD ．c ＜a ＜b7．已知ω＞0，函数f （x ）＝cos （ωx +π3）的一条对称轴为x =π3一个对称中心为(π12，0)，则ω有（ ） A ．最小值2B ．最大值2C ．最小值1D ．最大值18．如图，在△ABC 中，AD →=34AC →，BP →=13BD →，若AP →=λBA →+μBC →，则λ+μ＝（ ）A ．89B ．−29C ．76D ．−239．设函数y ＝sin ωx （ω＞0）的最小正周期是T ，将其图象向左平移14T 后，得到的图象如图所示，则函数y ＝sin ωx （ω＞0）的单增区间是（ ）A ．[7kπ6−7π24，7kπ6+7π24]（k ∈Z ）B ．[7kπ3−7π24，7kπ3+7π24]（k ∈Z ） C ．[7kπ3−7π12，7kπ3+7π12]（k ∈Z ） D ．[7kπ6+7π24，7kπ6+21π24]（k ∈Z ）10．在△ABC 中，∠A ＝120°，AB ＝3，AC ＝4，若CM →=2MB →，AN →=λAC →+AB →（λ∈R ），且AN →•AM →=43，则λ的值为（ ）A ．1B ．﹣1C ．﹣2D ．﹣311．已知函数f(x)=sin(ωx+φ)aπ|x|(ω＞0，0＜φ＜π，a ∈R)，在[﹣3，3]的大致图象如图所示，则ωa可取（ ）A ．π2B ．πC ．2πD ．4π12．△ABC 的外接圆的圆心为O ，垂心为H ，OH →=m （OA →+OB →+OC →），则m 的取值为（ ） A ．﹣1B ．1C ．﹣2D ．2二、填空题：（共4小题，每小题5分，共20分）13．已知向量a →，b →的夹角为120°，|a →|=1，|b →|=12，则|a →−2b →|= ．14．已知向量a →=(3，4)，b →=(8，6)，c →=(2，k)，其中k 为常数，如果向量a →，b →分别与向量c→所成的角相等，则k＝．15．4sin2x+1cos2x的最小值为．16．已知函数f(x)={sin(π2x)−1，x＜0log a x(a＞0，a≠1)，x＞0的图象上关于y轴对称的点恰有9对，则实数a的取值范围是．三、解答题：（共6小题，满分70分，写出必要文字说明和演算步骤）17．（1）已知f（α）=sin(2π−α)cos(π2+α)cos(−π2+α)tan(π+α)，求f（π3）．（2）若tanα＝2，求4sin2α﹣3sinαcosα﹣5cos2α的值．18．已知向量a→，b→满足|a→|=1，|b→|=4，且a→，b→的夹角为60°．（1）求(2a→−b→)(a→+b→)；（2）若(a→+b→)∥(λa→−2b→)，求λ的值．19．已知函数f（x）＝2cos（2x+π4），x∈R．（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递减区间；（2）将函数f（x）＝2cos （2x+π4）的图象向右平移m（m＞0）个单位后，再将所得图象的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，得到函数g（x）的图象关于y轴对称，求m的最小值．20．已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(ω＞0，|φ|＜π2)的图象的一部分如图所示．（1）求f（x）的解析式；（2）当x∈(π3，5π6)时，求函数f（x）的值域．21．在平面直角坐标系中，已知△ABO的顶点A（1，1），B（﹣3，4），O（0，0）．（1）求AB边上的高；（2）设点E是∠ABO平分线所在直线上的一点，若|OE|＝2，求点E的坐标．22．已知a→=（1，sin x），b→=（1，cos x），e→=(0，1)，且(cosx−sinx)∈[1，√2]．（1）若(a→+e→)∥b→，求sin x cos x的值；（2）设f(x)=a→⋅b→+me→⋅(a→−b→)，m∈R，若f（x）的最大值为−12，求实数m的值．参考答案一、选择题：（共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．cos225°的值等于（）A．−√22B．√22C．﹣1D．1【分析】由条件利用诱导公式化简所给式子的值，可得结果．解：cos225°＝cos（180°+45°）＝﹣cos45°=−√22，故选：A．【点评】本题主要考查应用诱导公式化简三角函数式，要特别注意符号的选取，这是解题的易错点，属于基础题．2．已知向量m→=(3，2)，n→=(1，λ)，且m→∥n→，则λ＝（）A．13B．23C．1D．−32【分析】利用向量共线定理即可得出．解：∵m→∥n→，∴3λ﹣2＝0，解得λ=2 3．故选：B．【点评】本题考查了向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．已知向量m→=(1，tanθ)，n→=(−1，cosθ)，θ∈(π2，π)，若m→⋅n→=−12，则角θ＝（）A．π6B．π3C．2π3D．5π6【分析】由向量坐标数量积的运算得﹣1+sinθ=−12，再由θ范围可求角．解：∵m→⋅n→=（1，tanθ）•（﹣1，cosθ）＝﹣1+sinθ，又m→⋅n→=−12，∴﹣1+sinθ=−12，即sinθ=12，又θ∈(π2，π)，∴θ=5π6，故选：D．【点评】本题考查向量数量积的运算，三角函数求值，属于基础题．4．函数f(x)=tan(x +π6)的图象的一个对称中心是（ ） A ．(π3，0)B ．(π4，0)C ．(π2，0)D ．(π6，0)【分析】根据正切函数的对称中心列方程求出x 的值，从而求得f （x ）图象的对称中心． 解：由正切函数的对称中心为(kπ2，0)(k ∈Z)， 所以函数f （x ）对称中心的横坐标满足x +π6=kπ2，k ∈Z ； 解得x =−π6+kπ2，k ∈Z ；当k ＝1时，x =π3，所以(π3，0)是f （x ）图象的一个对称中心． 故选：A ．【点评】本题考查了正切函数的图象与性质的应用问题，是基础题． 5．若cosα+2sinα=−√5，则tan α＝（ ） A ．12B ．2C ．−12D ．﹣2【分析】本小题主要考查三角函数的求值问题，需要把正弦和余弦化为正切和正割，两边平方，根据切割的关系进行切割互化，得到关于正切的方程，解方程得结果． 解：∵cos α+2sin α=−√5， ∴cos α≠0，两边同时除以cos α得1+2tan α=−√5secα， ∴（1+2tan α）2＝5sec 2α＝5（1+tan 2α）， ∴tan 2α﹣4tan α+4＝0， ∴tan α＝2． 故选：B ．【点评】同角三角函数之间的关系，其主要应用于同角三角函数的求值和同角三角函数之间的化简和证明．在应用这些关系式子的时候就要注意公式成立的前提是角对应的三角函数要有意义． 6．已知a ＝sin3π7，b ＝cos4π7，c ＝tan （−3π7），则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a ＜b ＜c B ．b ＜c ＜a C ．c ＜b ＜a D ．c ＜a ＜b【分析】注意到3π7，4π7互补，将a ＝sin3π7利用诱导公式化为 a ＝sin4π7，且a ＞b 且均小于1，而c ＜﹣1．大小关系即可确定． 解：a ＝sin3π7＞0；∵π2＜4π7＜π，∴cos π＜cos4π7＜cos π2，即﹣1＜b ＜0．又正切函数在（0，π2）上单调递增， ∵π4＜3π7；∴tan3π7＞tan π4=1；∴c ＝tan （−3π7）＝﹣tan 3π7＜−1， ∴a ＞0＞b ＞﹣1＞c ， 故选：C ．【点评】本题考查非特殊角三角函数值大小比较，可化为同角或同名函数再进行比较，用到的知识有同角三角函数基本关系式，三角函数的单调性．7．已知ω＞0，函数f （x ）＝cos （ωx +π3）的一条对称轴为x =π3一个对称中心为(π12，0)，则ω有（ ） A ．最小值2B ．最大值2C ．最小值1D ．最大值1【分析】由函数f （x ）＝cos （ωx +π3）的﹣条对称轴为x =π3，求得φ＝3k ﹣1 ①．再由﹣个对称中心为(π12，0)，求得ω＝12n +2 ②．综合①②可得，ω 的最小值为2． 解：由已知ω＞0，函数f （x ）＝cos （ωx +π3）的﹣条对称轴为x =π3，可得ω×π3+π3=k π，k ∈z ，求得φ＝3k ﹣1 ①．再由﹣个对称中心为(π12，0)，可得ω×π12+π3=n π+π2，n ∈z ，解得ω＝12n +2 ②． 综合①②可得，ω 的最小值为2， 故选：A ．【点评】本题主要考查函数y ＝A cos （ωx +φ）的对称性的应用，属于中档题．8．如图，在△ABC 中，AD →=34AC →，BP →=13BD →，若AP →=λBA →+μBC →，则λ+μ＝（ ）A ．89B ．−29C ．76D ．−23【分析】结合图形，利用BA →、BC →表示向量AP →，求出λ、μ的值即可． 解：△ABC 中，AD →=34AC →，BP →=13BD →， ∴AP →=AB →+BP →=AB →+13BD →=AB →+13（AD →−AB →）=23AB →+13•34AC → =23AB →+14（BC →−BA →）=−1112BA →+14BC →；又AP →=λBA →+μBC →， ∴λ=−1112，μ=14， ∴λ+μ=−1112+14=−23． 故选：D ．【点评】本题考查了平面向量的线性表示应用问题，是基础题．9．设函数y ＝sin ωx （ω＞0）的最小正周期是T ，将其图象向左平移14T 后，得到的图象如图所示，则函数y ＝sin ωx （ω＞0）的单增区间是（ ）A ．[7kπ6−7π24，7kπ6+7π24]（k ∈Z ）B ．[7kπ3−7π24，7kπ3+7π24]（k ∈Z ） C ．[7kπ3−7π12，7kπ3+7π12]（k ∈Z ） D ．[7kπ6+7π24，7kπ6+21π24]（k ∈Z ）【分析】由题意和图象求出函数的周期，由周期公式求出ω的值，由整体思想和正弦函数的单调性求出递增区间． 解：由图象得，12T =7π12，则T =7π6， 由T =2πω=7π6得，ω=127， 所以y ＝sin127x ，由−π2+2kπ≤127x ≤π2+2kπ(k ∈Z)得，−7π24+76kπ≤x ≤7π24+76kπ(k ∈Z)，所以函数的递增区间是[−7π24+76kπ，7π24+76kπ](k ∈Z)，故选：A ．【点评】本题考查由图象求形如y ＝A sin （ωx +φ）的解析式，正弦函数的单调性，以及整体思想，属于中档题．10．在△ABC 中，∠A ＝120°，AB ＝3，AC ＝4，若CM →=2MB →，AN →=λAC →+AB →（λ∈R ），且AN →•AM →=43，则λ的值为（ ） A ．1B ．﹣1C ．﹣2D ．﹣3【分析】结合已知，用AB →，AC →表示AM →，然后结合向量数量积的运算性质即可求解． 解：∵CM →=2MB →，AN →=λAC →+AB →（λ∈R ），∴AM →=AB →+BM →=AB →+13(AC →−AB →)=13AC →+23AB →，∵，∠A ＝120°，AB ＝3，AC ＝4， ∴AC →⋅AB →=3×4×(−12)=−6， ∵AN →•AM →=43，∴（13AC →+23AB →）•（λAC →+AB →）=13λAC →2+(13+2λ3)AC →⋅AB →+23AB →2=λ3×16+(13+2λ3)×(−6)+23×9=43， 则λ＝﹣2， 故选：C ．【点评】本题主要考查了向量的基本定理及向量数量积的运算性质的简单应用，属于基础试题． 11．已知函数f(x)=sin(ωx+φ)aπ|x|(ω＞0，0＜φ＜π，a ∈R)，在[﹣3，3]的大致图象如图所示，则ωa可取（ ）A ．π2B ．πC ．2πD ．4π【分析】结合图象得f （0）=sinφa =2，sin φ＝2a ，f （1）=sin(ω+φ)aπ=0，f （﹣1）=sin(−ω+φ)aπ=0，f （3）=sin(3ω+φ)aπ3=0，f （﹣3）=sin(−3ω+φ)aπ3=0，由此可取ω＝φ=12π，a =12，由此能求出ωa的可能取值．解：函数f(x)=sin(ωx+φ)aπ|x|(ω＞0，0＜φ＜π，a ∈R)，在[﹣3，3]的大致图象如图所示，结合图象得f （0）=sinφa=2，∴sin φ＝2a ， f （1）=sin(ω+φ)aπ=0， f （﹣1）=sin(−ω+φ)aπ=0，f （3）=sin(3ω+φ)aπ3=0，f （﹣3）=sin(−3ω+φ)aπ3=0，由此可取ω＝φ=12π，a =12， ∴ωa 可取π．故选：B ．【点评】本题考查两数比值的可能取值的求法，考查函数的图象及性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、函数与方程思想，是基础题．12．△ABC 的外接圆的圆心为O ，垂心为H ，OH →=m （OA →+OB →+OC →），则m 的取值为（ ） A ．﹣1B ．1C ．﹣2D ．2【分析】根据△ABC 的外心和垂心的性质，给OH →=m （OA →+OB →+OC →）两边同乘AB →，化简该式即可求得m 的值． 解：∵OH →=m （OA →+OB →+OC →），∴OH →⋅AB →=m （OA →+OB →+OC →）⋅AB →=m(OA →+OB →)⋅AB →+mOC →⋅AB →． ∵O 是△ABC 的外接圆的圆心，∴(OA →+OB →)⋅AB →=0， ∴OH →⋅AB →=mOC →⋅AB →， ∴(OC →+CH →)⋅AB →=mOC →⋅AB →， ∴OC →⋅AB →+CH →⋅AB →=mOC →⋅AB →， ∵H 为△ABC 的垂心，∴CH →⋅AB →=0， OC →⋅AB →=mOC →⋅AB →， ∴m ＝1． 故选：B ．【点评】本题主要考查平面向量的基本定理和数量积的应用，解题时要有转化的思想，注意认真审题，属中档题．二、填空题：（共4小题，每小题5分，共20分）13．已知向量a →，b →的夹角为120°，|a →|=1，|b →|=12，则|a →−2b →|= √3 ．【分析】根据题意，由数量积的计算公式可得a →•b →的值，又由|a →−2b →|=√(a →−2b →)2=√a →2+4b →2−4a →⋅b →，代入数据计算可得答案．解：根据题意，向量a →，b →的夹角为120°，|a →|=1，|b →|=12，则a →•b →=1×12×（−12）=−14， 则|a →−2b →|=√(a →−2b →)2=√a →2+4b →2−4a →⋅b →=√3；故答案为：√3．【点评】本题考查向量数量积的计算，涉及向量模的计算，属于基础题．14．已知向量a →=(3，4)，b →=(8，6)，c →=(2，k)，其中k 为常数，如果向量a →，b →分别与向量c →所成的角相等，则k ＝ 2 ．【分析】根据题意，设向量a →、c →的夹角为α，向量b →、c →的夹角为β，由数量积计算公式可得cos α、coa β的表达式，进而可得有6+4k 5×|c →|=16+6k10×|c →|，变形解可得k 的值，即可得答案．解：根据题意，设向量a →、c →的夹角为α，向量b →、c →的夹角为β，向量a →=(3，4)，c →=(2，k)，则a →•c →=6+4k ，|a →|=√9+16=5，则cos α=6+4k5×|c →|，向量b →=(8，6)，c →=(2，k)，则b →•c →=16+6k ，|b →|=√64+36=10，则cos β=16+6k10×|c →|，则有6+4k5×|c →|=16+6k10×|c →|，变形可得：6+4k ＝8+3k ，解可得k ＝2； 故答案为：2【点评】本题考查向量数量积的坐标计算，涉及向量的夹角，属于基础题． 15．4sin x+1cos x的最小值为 9 ．【分析】令t ＝sin 2x ，则4sin x+1cos x=4t+11−t，然后利用乘1法即可求解．解：令t ＝sin 2x ，则4sin 2x+1cos 2x=4t+11−t，＝（4t +11−t ）[t +（1﹣t ）]＝5+t 1−t +4(1−t)t≥9， 当且仅当t1−t=4(1−t)t时取等号，故答案为：9．【点评】本题主要考查利用乘1法求解最值，属于中档试题． 16．已知函数f(x)={sin(π2x)−1，x ＜0log a x(a ＞0，a ≠1)，x ＞0的图象上关于y 轴对称的点恰有9对，则实数a 的取值范围是 (√2121，√1717) ．【分析】求出函数f （x ）＝sin （π2x ）﹣1，（x ＜0）关于y 轴对称的解析式，利用数形结合即可得到结论． 解：若x ＞0，则﹣x ＜0，∵x ＜0时，f （x ）＝sin （π2x ）﹣1，∴f （﹣x ）＝sin （−π2x ）﹣1＝﹣sin （π2x ）﹣1，则若f （x ）＝sin （π2x ）﹣1，（x ＜0）关于y 轴对称，则f （﹣x ）＝﹣sin （π2x ）﹣1＝f （x ），即y ＝﹣sin （π2x ）﹣1，x ＞0，设g （x ）＝﹣sin （π2x ）﹣1，x ＞0作出函数g （x ）的图象，要使y ＝﹣sin （π2x ）﹣1，x ＞0与f （x ）＝log a x ，x ＞0的图象恰有9个交点，则0＜a ＜1且满足f （17）＞g （17）＝﹣2，f （21）＜g （21）＝﹣2， 即﹣2＜log a 17，log a 21＜﹣2， 即log a 17＞log a a ﹣2，log a 21＜log a a ﹣2， 则17＜12，21＞12， 解得√2121＜a ＜√1717， 故答案为：(√2121，√1717)【点评】本题主要考查分段函数的应用，作出函数关于y 轴对称的图象，利用数形结合的思想是解决本题的关键，综合性较强，有一定的难度．三、解答题：（共6小题，满分70分，写出必要文字说明和演算步骤）17．（1）已知f （α）=sin(2π−α)cos(π2+α)cos(−π2+α)tan(π+α)，求f （π3）． （2）若tan α＝2，求4sin 2α﹣3sin αcos α﹣5cos 2α的值．【分析】（1）由题意利用诱导公式化简f （α）的解析式，可得f （π3）的值．（2）由题意利用同角三角函数的基本关系，求得要求式子的值．解：（1）∵已知f （α）=sin(2π−α)cos(π2+α)cos(−π2+α)tan(π+α)=−sinα⋅(−sinα)sinα⋅tanα=cos α， 故有 f （π3）＝cosπ3=12．（2）若tan α＝2，求4sin 2α﹣3sin αcos α﹣5cos 2α=4sin 2α−3sinαcosα−5cos 2αsin 2α+cos 2α=4tan 2α−3tanα−5tan 2α+1=16−6−54+1=1．【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系、诱导公式的应用，属于中档题． 18．已知向量a →，b →满足|a →|=1，|b →|=4，且a →，b →的夹角为60°．（1）求(2a →−b →)(a →+b →)；（2）若(a →+b →)∥(λa →−2b →)，求λ的值．【分析】根据题意，（1）利用平面向量的乘法法则直接进行数量积运算即可．（2）由向量共线的条件得λa →−2b →=μ（a →+b →），进而找出λ，μ关系，可求出λ． 解：（1）(2a →−b →)(a →+b →)=2a →2+a →•b →−b →2＝2×1+1×4cos60°﹣16＝﹣12， （2）∵(a →+b →)∥(λa →−2b →)，∴λa →−2b →=μ（a →+b →），则{λ=μ−2=μ故λ＝﹣2．【点评】本题考查了平面向量的线性运算以及数量积的运算问题，向量共线问题，是基础题目．19．已知函数f（x）＝2cos（2x+π4），x∈R．（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递减区间；（2）将函数f（x）＝2cos （2x+π4）的图象向右平移m（m＞0）个单位后，再将所得图象的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，得到函数g（x）的图象关于y轴对称，求m的最小值．【分析】（1）由已知利用余弦函数的周期性，单调性即可得出结论．（2）由函数图象变换可得g（x）的解析式，根据余弦函数的图象和性质即可求解．解：（1）对于函数f（x）＝2cos（2x+π4），函数f（x）的最小正周期T=2π2=π．令2kπ≤2x+π4≤2kπ+π，求得kπ−π8≤x≤kπ+3π8，可得函数的单调增区间为[kπ−π8，kπ+3π8]，k∈Z．（2）依题意得g（x）＝2cos（x﹣2m+π4），∵g（x）的图象关于y轴对称，∴﹣2m+π4=kπ，k∈Z，∴m=π8−12kπ，k∈Z，又m＞0，∴当k＝0时，m取最小值为π8．【点评】本题主要考查余弦函数的单调性，余弦函数的图象，函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，属于中档题．20．已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(ω＞0，|φ|＜π2)的图象的一部分如图所示．（1）求f（x）的解析式；（2）当x∈(π3，5π6)时，求函数f（x）的值域．【分析】（1）由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式．（2）由题意利用正弦函数的定义域和值域，得出结论．解：（1）根据函数f(x)=Asin(ωx +φ)(ω＞0，|φ|＜π2)的图象的一部分，可得A ＝2， 再根据34•2πω=5π12−（−π3），∴ω＝2．结合五点法作图可得2×5π12+φ=π2，∴φ=−π3， 故f （x ）＝2sin （2x −π3）． （2）当x ∈(π3，5π6)时，2x −π3∈（π3，4π3），sin （2x −π3）∈（−√32，1]，f （x ）＝2sin （2x −π3）∈（−√3，2]， 即f （x ）的值域为（−√3，2]．【点评】本题主要考查由函数y ＝A sin （ωx +φ）的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，正弦函数的定义域和值域，属于基础题．21．在平面直角坐标系中，已知△ABO 的顶点A （1，1），B （﹣3，4），O （0，0）． （1）求AB 边上的高；（2）设点E 是∠ABO 平分线所在直线上的一点，若|OE |＝2，求点E 的坐标． 【分析】（1）直接利用点的坐标求出直线的方程，进一步利用点到直线的距离公式的应用求出结果．（2）利用到角公式的应用和两点间的距离公式的应用求出结果． 解：（1）已知△ABO 的顶点A （1，1），B （﹣3，4），O （0，0）． 所以直线AB 的斜率k =1−41+3=−34， 所以直线AB 的方程为y −1=−34(x −1)，整理得3x +4y ﹣7＝0，所以AB 边上的高为d =|0+0−7|√3+4=75． （2）由于E 是∠ABO 平分线所在直线上的一点，设直线BE 的斜率为k ，由于直线OB 的斜率k =−43，直线AB 的斜率为k =−34，利用到角公式：−34−k 1−34k=k+431−43k ，解得k ＝﹣1，所以直线AE 的直线方程为x +y ﹣1＝0．设点E （x ，y ），由于点E 在直线AE 上，所以E （x ，1﹣x ），利用|OE |＝2，故√x 2+(x −1)2=2，解得x =1±√72，①当x =1+√72时，y =1−√72，即：E （1+√72，1−√72）． ②当x =1−√72时，y =1+√72，即：E （1−√72，1+√72）． 所以点E 的坐标为：E （1+√72，1−√72）或（1−√72，1+√72）． 【点评】本题考查的知识要点：直线的方程的应用，到角公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．22．已知a →=（1，sin x ），b →=（1，cos x ），e →=(0，1)，且(cosx −sinx)∈[1，√2]．（1）若(a →+e →)∥b →，求sin x cos x 的值；（2）设f(x)=a →⋅b →+me →⋅(a →−b →)，m ∈一、选择题，若f （x ）的最大值为−12，求实数m 的值．【分析】（1）由平面向量共线的坐标运算可得解，（2）由平面向量数量积的运算及含参二次函数的最值问题，分类讨论对称轴与区间的位置关系即可得解．解：（1）a →=（1，sin x ），b →=（1，cos x ），e →=(0，1)， 所以a →+e →=（1，sin x +1）， 又（a →+e →）∥b →，所以1×cos x ＝1×（sin x +1）， 即cos x ﹣sin x ＝1，两边平方得（cos x ﹣sin x ）2＝1，即1﹣2sin x cos x ＝1， 解得sin x cos x ＝0．（2）因为f （x ）＝1+sin x cos x +m （sin x ﹣cos x ）， 设t ＝cos x ﹣sin x ，t ∈[1，√2]，又因为sin x cos x =1−(cosx−sinx)22=1−t 22，即g （t ）＝1+1−t 22−mt =−12t 2﹣mt +32，t ∈[1，√2]， ①当﹣m ≤1，即m ≥﹣1时，g （t ）max ＝g （1）=−12−m +32=−12，解得m =32，满足条件；②当1＜﹣m ＜√2即−√2＜m ＜﹣1时，g （x ）max ＝g （﹣m ）=12m 2+32=−12，无解；③当﹣m ＞√2即m ＜−√2时，g （x ）max ＝g （√2）=−√2m +12=−12，解得m =√22，不合条件，故舍去； 综上知，实数m 的值为32．【点评】本题考查了平面向量数量积的运算及二次函数的最值问题，属中档题。
2018-2019学年辽宁省东北育才、实验中学、大连八中、鞍山一中等高一下学期期末联考数学试题(解析版)
2018-2019学年辽宁省东北育才、实验中学、大连八中、鞍山一中等高一下学期期末联考数学试题一、单选题1．下列事件中，是必然事件的是（ ）A ．任意买一张电影票，座位号是2的倍数B ．13个人中至少有两个人生肖相同C ．车辆随机到达一个路口，遇到红灯D ．明天一定会下雨【答案】B【解析】根据必然事件的定义，逐项判断，即可得到本题答案. 【详解】买一张电影票，座位号可以是2的倍数，也可以不是2的倍数，故A 不正确； 13个人中至少有两个人生肖相同，这是必然事件，故B 正确；车辆随机到达一个路口，可以遇到红灯，也可以遇到绿灯或者黄灯，故C 不正确； 明天可能下雨也可能不下雨，故D 不正确. 故选：B 【点睛】本题主要考查必然事件的定义，属基础题.2．记复数z 的虚部为Im()z ，已知z 满足12iz i =+，则Im()z 为（ ） A ．1- B ．i - C ．2D ．2i【答案】A【解析】根据复数除法运算求得z ，从而可得虚部. 【详解】由12iz i =+得：()212122i ii z i i i++===- ()Im 1z ∴=- 本题正确选项：A 【点睛】本题考查复数虚部的求解问题，关键是通过复数除法运算得到z a bi =+的形式. 3．已知角α的顶点在原点，始边与x 轴的正半轴重合，终边落在射线()200x y x +=>上，则sin α=（ ）A B ．5-C D ．【答案】D【解析】在α的终边上取点(1,2)P -,然后根据三角函数的定义可求得答案. 【详解】在α的终边上取点(1,2)P -,则r ==根据三角形函数的定义得sin 5y r α===-. 故选:D 【点睛】本题考查了利用角的终边上的点的坐标求三角函数值,属于基础题.4．已知ABC ∆中，(2,8)AB =u u u v ，(3,4)AC =-u u u v ，若BM MC =u u u u v u u u u v ，则AM u u u u v的坐标为 （ ）A ．1(,6)2- B ．5(,2)2C ．(1,12)-D ．(5,4)【答案】A【解析】根据(2,8)AB =u u u r ，(3,4)AC =-u u u r ，可得BC uuu r；由BM MC =u u u u r u u u u r 可得M 为BC 中点，即可求得BM u u u u r 的坐标，进而利用AM AB BM =+u u u u r u u u r u u u u r即可求解．【详解】因为(2,8)AB =u u u r ，(3,4)AC =-u u u r所以(5,4)BC AC AB =-=--uuu r uuu r uuu r因为BM MC =u u u u r u u u u r，即M 为BC 中点所以15,222BM BC ⎛⎫==-- ⎪⎝⎭u u u u r u u u r所以()512,8,2,622AM AB BM ⎛⎫⎛⎫=+=+--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u u r u u u r u u u u r所以选A 【点睛】本题考查了向量的减法运算和线性运算，向量的坐标运算，属于基础题．5．高铁、扫码支付、共享单车、网购被称为中国的“新四大发明”，为评估共享单车的使用情况，选了n 座城市作实验基地，这n 座城市共享单车的使用量（单位：人次/天）分别为1x ，2x ，…，n x ，下面给出的指标中可以用来评估共享单车使用量的稳定程度的是（ ）A ．1x ，2x ，…，n x 的标准差B ．1x ，2x ，…，n x 的平均数C ．1x ，2x ，…，n x 的最大值D ．1x ，2x ，…，n x 的中位数【答案】A【解析】利用方差或标准差表示一组数据的稳定程度可得出选项. 【详解】表示一组数据的稳定程度是方差或标准差，标准差越小，数据越稳定 故选：A 【点睛】本题考查了用样本估计总体，需掌握住数据的稳定程度是用方差或标准差估计的，属于基础题.6．已知向量||||1a b ==r r ，a r 与b r的夹角为60︒，则|2|a b -=r r（ ）A ．3B ．2C D ．1【答案】C【解析】由向量的模公式以及数量积公式，即可得到本题答案. 【详解】因为向量||||1a b ==r r ，a r 与b r的夹角为60︒，所以|2|a b -====r r 故选：C 【点睛】本题主要考查平面向量的模的公式以及数量积公式. 7．已知α为第一象限角，5sin cos 4αα+=，则4041cos 22πα⎛⎫-=⎪⎝⎭（ ）A ．916-B ．916C ．D 【答案】B【解析】由5sin cos 4αα+=式子两边平方可算得9sin 216α=，又由4041cos 2sin 22παα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即可得到本题答案.【详解】因为5sin cos 4αα+=，225(sin cos )16αα+=，2512sin cos 16αα+=，9sin 216α=，所以40419cos 2sin 2216παα⎛⎫-== ⎪⎝⎭.故选：B 【点睛】本题主要考查利用同角三角函数的基本关系及诱导公式化简求值.8．某市举行“精英杯”数学挑战赛，分初赛和复赛两个阶段进行，规定：初赛成绩大于90分的具有复赛资格，某校所有学生的成绩均在区间(30,150]内，其频率分布直方图如图所示，该校有130名学生获得了复赛资格，则该校参加初赛的人数约为（ ）A ．200B ．400C ．2000D ．4000【答案】A【解析】由频率和为1，可算得成绩大于90分对应的频率，然后由频数÷总数=频率，即可得到本题答案. 【详解】由图，得成绩大于90分对应的频率=1(0.00250.00752)200.65-+⨯⨯=， 设该校参加初赛的人数为x ，则1300.65x=，得200x =， 所以该校参加初赛的人数约为200. 故选：A 【点睛】本题主要考查频率直方图的相关计算，涉及到频率和为1以及频数÷总数=频率的应用. 9．已知,A B 为锐角，且满足tan tan 33tan A B A B ++=，则cos()A B +=（ ） A ．3B ．12C ．3D ．12-【答案】D【解析】由tan tan 33tan A B A B ++=，得tan()3A B +=-23A B π+=，即可得到本题答案. 【详解】由tan tan tan A B A B ++=，得tan tan tan tan )A B A B +=-，所以tan tan 1ta t n a an ()n t A B A B A B +=-+=23A B π+=，所以21cos()cos 32A B π+==-.故选：D 【点睛】本题主要考查两角和的正切公式的应用以及特殊角的三角函数值.10．某学校美术室收藏有6幅国画，分别为人物、山水、花鸟各2幅，现从中随机抽取2幅进行展览，则恰好抽到2幅不同种类的概率为（ ） A ．56B ．45C ．34D ．23【答案】B【解析】算出基本事件的总数和随机事件中基本事件的个数，利用古典概型的概率的计算公式可求概率. 【详解】设A 为“恰好抽到2幅不同种类”某学校美术室收藏有6幅国画，分别为人物、山水、花鸟各2幅，现从中随机抽取2幅进行展览，基本事件总数2615n C ==， 恰好抽到2幅不同种类包含的基本事件个数21132212m C C C ==，则恰好抽到2幅不同种类的概率为()124155m P A n ===． 故选B ． 【点睛】计算出所有的基本事件的总数及随机事件中含有的基本事件的个数，利用古典概型的概率计算即可.计数时应该利用排列组合的方法.11．已知函数1()sin 123f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，那么下列式子：①(2)(2)f x f x ππ+=-；②10()3f x f x π⎛⎫-=⎪⎝⎭；③(2)(2)f x f x ππ+=-；④2()3f x f x π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭；其中恒成立的是（ ）A ．①②B ．②③C ．①②④D ．②③④【答案】A【解析】根据正弦函数的周期性及对称性，逐项判断，即可得到本题答案. 【详解】由1()sin 123f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，得2412T ππ==，所以()f x 的最小正周期为4π，即(2)(2)f x f x ππ+=-，故①正确；由1()sin 123f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，令1,232x k k Z πππ-=+∈，得()f x 的对称轴为52,3x k k Z ππ=+∈，所以53x π=是()f x 的对称轴，2x π=不是()f x 的对称轴，故②正确，③不正确；由1()sin 123f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，令1,23x k k Z ππ-=∈，得()f x 的对称中心为22,0,3k k Z ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以,03π⎛⎫⎪⎝⎭不是()f x 的对称中心，故④不正确. 故选：A 【点睛】本题主要考查正弦函数的周期性以及对称性.12．设P 是△ABC 所在平面上的一点，若22AP BP CP --=u u u v u u u v u u u v ，则PA PB PA PC⋅+⋅u u u v u u u v u u u v u u u v 的最小值为 A ．12B ．1C ．12-D ．1-【答案】C【解析】分析：利用向量的加法运算，设BC 的中点为D ，可得1AD =u u u v，利用数量积的运算性质可将原式化简为2122PO -u u u v ，O 为AD 中点，从而得解.详解：由22AP BP CP --=u u u v u u u v u u u v ，可得2AP PB AP PC AB AC +++=+=u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v.设BC 的中点为D ，即1AD =u u u v.点P 是△ABC 所在平面上的任意一点，O 为AD 中点.∴()2PA PB PA PC PA PB PC PA PD ⋅+⋅=+=u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u n v n u u u v()()()()()22211222222PO OA PO OD PO OA PO OA PO OA PO =++=+-=-=-≥-u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v n n .当且仅当0PO =u u u v ，即点P 与点O 重合时，PA PB PA PC ⋅+⋅u u u v u u u v u u u v u u u v 有最小值12-.故选C.点睛：(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．二、填空题13．袋子中有四个小球，分别写有“五、校、联、考”四个字，从中任取一个小球，有放回抽取，直到取到“五”“校”二字就停止，用随机模拟的方法估计恰好在第三次停止的概率：利用电脑随机产生0到3之间取整数值的随机数，分别用0，1，2，3代表“五、校、联、考”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果，经随机模拟产生了以下16组随机数，由此可以估计，恰好第三次就停止的概率为______ 232 321 230 023 123 021 132 220 231 130 133 231 331 320 120 233 【答案】316【解析】由古典概型的概率()P A =A 包含的基本事件的个数÷基本事件的总数，即可得到本题答案. 【详解】因为满足恰好第三次就停止的基本事件有3种：021，130，120，基本事件的总数有16种，所以恰好第三次就停止的概率为316. 故答案为：316【点睛】本题主要考查古典概型与随机数表.14．如图，在ABC V 中，23AN NC =u u u v u u u v ，P 是BN 上一点，若13AP t AB AC =+u u u v u u u v u u u v，则实数t 的值为________．【答案】16. 【解析】根据条件化简得56AP t AB AN =+u u u r u u u r u u u r ，再根据B,P ，N 三点共线，得516t +=,求出t 值 【详解】因为23AN NC =u u u r u u u r ，所以 52AC AN =u u u r u u u r则11553326AP t AB AC t AB AN t AB AN =+=+•=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r根据B,P ，N 三点共线，516t +=,则t=16故答案为 16． 【点睛】在平面中，若P,A,B,C 四点不共线，且 P A P P C B λυ=+u u u r u u u u u r u u u r,若A,B,C 三点共线，则1λυ+=本题考查学生对向量中点共线问题的考察15．在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，外接圆半径为R ，若2b a =，且ABC ∆的面积为22sin (1cos2)R B A -，则cos B =_______.【答案】34【解析】由21sin 2sin (1cos 2)2ac B R B A =-，化简可得2c a =，再利用余弦定理，即可得到本题答案.【详解】由2cos 212sin ,2sin aA A R A=-=， 得22222sin (1cos 2)2sin 2sin sin R B A R B A a B -==， 由ABC ∆的面积为22sin (1cos2)R B A -，得21sin sin 2ac B a B =，即2c a =， 所以222222423cos 2224a cb a a a B ac a a +-+-===⋅.故答案为：34【点睛】本题主要考查正余弦定理的综合应用. 16．若函数cos ()2||xf x x x=++，则11(lg 2)lg (lg 5)lg 25f f f f ⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭______.【答案】10【解析】由cos ()2||xf x x x=++，得()()42||f x f x x +-=+，由此即可得到本题答案. 【详解】由cos ()2||xf x x x =++，得cos()cos ()2||2||x x f x x x x x--=+-+=+--，所以()()42||f x f x x +-=+，则(lg 2)(lg 2)42|lg 2|42lg 2f f +-=+=+，(lg5)(lg5)42|lg5|42lg5f f +-=+=+，所以，11(lg 2)lg (lg 5)lg 42lg 242lg 51025f f f f ⎛⎫⎛⎫+++=+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故答案为：10 【点睛】本题主要考查利用函数的奇偶性化简求值.三、解答题17．已知z 是复数，2z i +与2z i-均为实数，且复数2()z ai +在复平面上对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围．【答案】【解析】试题分析：解：设()z x yi x y =+∈R ，，2(2)z i x y i +=++为实数，2y ∴=-．211(22)(4)2255z x i x x i i i -==++---为实数， 4x ∴=，则42z i =-．22()(124)8(2)z ai a a a i Q +=+-+-在第一象限，21240{8(2)0a a a +->∴->，，解得26a <<． 【考点】本题主要考查复数相等的充要条件，复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的运算，不等式组解法．点评：主要运用复数的基础知识，具有一定综合性，中档题．18．已知向量5cos ,5a θ⎛= ⎝⎭r ，25sin ,5b θ⎛= ⎝⎭r （1）若//a b r r ，求sin cos sin cos θθθθ+-；（2）若a b ⊥r r，求tan θ. 【答案】（1）3；（2）2-或12-【解析】（1）由//a b r r，得tan 2θ=，又由sin cos tan 1sin cos tan 1θθθθθθ++=--，即可得到本题答案；（2）由a b ⊥r r，得2sin cos 5θθ=-，即222sin cos tan 2sin cos tan 15θθθθθθ==-++，由此即可得到本题答案. 【详解】解：（1）由//a b r r，得2cos sin θθ=，即tan 2θ=，sin cos tan 13sin cos tan 1θθθθθθ++∴==--（2）由a b ⊥r r ，得2sin cos 05θθ+=，即2sin cos 5θθ=-，又222sin cos tan 2sin cos tan 15θθθθθθ==-++，解得tan 2θ=-或1tan 2θ=-. 【点睛】本题主要考查平面向量与三角函数求值的综合问题，齐次式法求值是解决此类问题的常用方法.19．某城市的华为手机专卖店对该市市民使用华为手机的情况进行调查.在使用华为手机的用户中，随机抽取100名，按年龄(单位:岁）进行统计的频率分布直方图如图：（1）根据频率分布直方图，分别求出样本的平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表)和中位数的估计值(均精确到个位）；（2）在抽取的这100名市民中，按年龄进行分层抽样，抽取20人参加华为手机宣传活动，再从这20人中年龄在[)30,35和[]45,50的人群里，随机选取2人各赠送一部华为手机，求这2名市民年龄都在[)30,35内的概率. 【答案】（1）见解析（2）25【解析】分析：（1）直接利用频率分布直方图的平均值和中位数公式求解.(2)利用古典概型求这2名市民年龄都在[)30,35内的概率. 详解：(Ⅰ) 平均值的估计值:27.50.0132.50.0437.50.0742.50.0647.50.025x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯（） 38.539=≈中位数的估计值：因为50.0150.040.250.5⨯+⨯=<，50.0650.020.40.5⨯+⨯=< 所以中位数位于区间[)35,40年龄段中，设中位数为x ， 所以()0.250.07350.5x +⨯-=，39x ≈.(Ⅱ) 用分层抽样的方法，抽取的20人，应有4人位于[)30,35年龄段内，记为1234,,,a a a a ，2人位于[]45,50年龄段内，记为12,b b .现从这6人中随机抽取2人，设基本事件空间为Ω，则()()()()()()()()()()()()()()()121314111223242122343132414212,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,a a a a a a a b a b a a a a a b a b a a a b a b a b a b b b ⎧⎫⎪⎪Ω=⎨⎬⎪⎪⎩⎭设2名市民年龄都在[)30,35为事件A ，则()()()()()(){}121314232434,,,,,,,,,,A a a a a a a a a a a a a =，,所以()62155P A ==. 点睛：（1）本题主要考查频率分布直方图，考查平均值和中位数的计算和古典概型，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和基本的运算能力.(2) 先计算出每个小矩形的面积，通过解方程找到左边面积为0.5的点P ，点P 对应的数就是中位数. 一般利用平均数的公式1122···n n x x p x p x p =+++计算.其中n x 代表第n 个矩形的横边的中点对应的数，n p 代表第n 个矩形的面积. 20．将函数()y f x =的图象向右平移3π个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，可以得到函数2sin y x =的图象. （1）求函数()f x 的单调递增区间； （2）若()065f x =，00,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求05cos 212x π⎛⎫+⎪⎝⎭值. 【答案】（1）7,()1212k k k Z ππππ⎡⎤--∈⎢⎥⎣⎦；（2）【解析】（1）由2sin y x =的横坐标缩小为原来的12，向左平移3π个单位长度，可得函数()y f x =，令121222232k x k πππππ-≤+≤+，解不等式即可求得本题答案；（2）由023sin 235x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，可得024cos 235x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，又由00005222cos 2cos 2cos 2cos sin 2sin12343434x x x x πππππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，即可得到本题答案. 【详解】解：（1）由题意，得2()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭令121222232k x k πππππ-≤+≤+，解得711212k x k ππππ-≤≤- 所以，函数()f x 的单调递增区间为：7,()1212k k k Z ππππ⎡⎤--∈⎢⎥⎣⎦（2）()00262sin 235f x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，023sin 235x π⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭， 又00,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，得02252,333x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，由023sin 2035x π⎛⎫+=> ⎪⎝⎭，得024cos 235x π⎛⎫+==- ⎪⎝⎭，005243cos 2cos 21234525210x x πππ⎛⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+=+-=-⨯+⨯=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎝⎭. 【点睛】本题主要考查三角函数的伸缩平移，三角函数的图象与性质以及利用和差公式求值. 21．已知ABC ∆的三个内角、、A B C 的对边分别为a b c 、、，且22b c ac =+， （1）求证：2B C =；（2）若ABC ∆是锐角三角形，求ac的取值范围. 【答案】（1）证明见解析；（2）(1,2)【解析】（1）由22b c ac =+，联立2222cos b a c ac B =+-⋅，得2cos a c c B =+⋅，然后边角转化，利用和差公式化简，即可得到本题答案； （2）利用正弦定理和2B C =，得2cos 21aC c=+，再确定角C 的范围，即可得到本题答案. 【详解】解：（1）锐角ABC ∆中，22b c ac =+Q ，故由余弦定理可得：2222cos b a c ac B =+-⋅， 2222cos c ac a c ac B ∴+=+-⋅，22cos a ac ac B ∴=+⋅，即2cos a c c B =+⋅，∴利用正弦定理可得：sin sin 2sin cos A C C B =+，即sin()sin cos sin cos sin 2sin cos B C B C C B C C B +=+=+，sin cos sin sin cos B C C C B ∴=+，可得：sin()sin B C C -=，∴可得：B C C -=，或B C C π-+=（舍去）， 2B C ∴=.（2）2sin sin()sin(2)2cos cos22cos21sin sin sin a A B C C C C C C c C C C++====+=+QA B C π++=Q ，,,A B C 均为锐角，由于：3C A π+=，022C π∴<<，04C π<<.再根据32C π<，可得6C π<，64C ππ∴<<，(1,2)ac∴∈ 【点睛】本题主要考查正余弦定理的综合应用，其中涉及到利用三角函数求取值范围的问题. 22．如图，甲、乙两个企业的用电负荷量y 关于投产持续时间t （单位：小时）的关系()y f t =均近似地满足函数()sin()(0,0,0)f t A t b A ωϕωϕπ=++>><<.（1）根据图象，求函数()f t 的解析式；（2）为使任意时刻两企业用电负荷量之和不超过9，现采用错峰用电的方式，让企业乙比企业甲推迟(0)m m >小时投产，求m 的最小值. 【答案】（1）()sin 462f t t ππ⎛⎫=++⎪⎝⎭；（2）4 【解析】（1）由212T πω==，得ω，由53A b b A +=⎧⎨-=⎩，得A ，b ，代入(0,5)，求得ϕ，从而即可得到本题答案；（2）由题，得()()cos ()cos 8966f t m f t t m t ππ⎡⎤⎛⎫++=+++≤ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭恒成立，等价于cos ()cos 166t m t ππ⎡⎤⎛⎫++≤ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭恒成立，然后利用和差公式展开，结合辅助角公式，逐步转化，即可得到本题答案. 【详解】（1）解：由图知212T πω==，6πω∴=又53A b b A +=⎧⎨-=⎩，可得41b A =⎧⎨=⎩ ()sin 46f t t πϕ⎛⎫∴=++ ⎪⎝⎭，代入(0,5)，得22k πϕπ=+，又0ϕπ<<，2πϕ∴= 所求为()sin 462f t t ππ⎛⎫=++⎪⎝⎭（2）设乙投产持续时间为t 小时，则甲的投产持续时间为()t m +小时，由诱导公式，企业乙用电负荷量随持续时间t 变化的关系式为：()sin 4cos 4626f t t t πππ⎛⎫=++=+ ⎪⎝⎭同理，企业甲用电负荷量变化关系式为：()cos ()46f t m t m π⎡⎤+=++⎢⎥⎣⎦两企业用电负荷量之和()()cos ()cos 866f t m f t t m t ππ⎡⎤⎛⎫++=+++ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，0t ≥依题意，有()()cos ()cos 8966f t m f t t m t ππ⎡⎤⎛⎫++=+++≤ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭恒成立 即cos ()cos 166t m t ππ⎡⎤⎛⎫++≤ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭恒成立 展开有cos 1cos sin sin 16666m t m t ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-≤⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦恒成立cos 1cos sin sin cos 66666m t m t A t πππππϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦其中，A =cos 16cos m Aπϕ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=，sin 6sin m A πϕ=1A ∴=≤整理得：1cos 62m π⎛⎫≤- ⎪⎝⎭解得2422363k m k πππππ⎛⎫+≤≤+ ⎪⎝⎭ 即124128k m +≤≤+ 取0k =得：48m ≤≤m ∴的最小值为4.【点睛】本题主要考查根据三角函数的图象求出其解析式，以及三角函数的实际应用，主要考查学生的分析问题和解决问题的能力，以及计算能力，难度较大.。
专题3.2.1 重难点之导数与函数单调性(重难点突破)(解析版)
专题3.2.1 重难点之导数与函数单调性重难点突破一、考情分析1、结合实例，借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系；2、能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间．二、经验分享三、考点梳理知识点1. 利用导数研究函数的单调性在某个区间(a，b)内，如果f′(x)≥0且在(a，b)的任意子区间上不恒为0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果f′(x)≤0且在(a，b)的任意子区间上不恒为0，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减．知识点2. 判定函数单调性的一般步骤(1)确定函数y＝f(x)的定义域；(2)求导数f′(x)；(3)在函数f(x)的定义域内解不等式f′(x)>0或f′(x)<0；(4)根据(3)的结果确定函数的单调区间．知识点3. 已知函数单调性求参数的值或参数的范围(1)函数y＝f(x)在区间(a，b)上单调递增，可转化为f′(x)≥0在(a，b)上恒成立，且在(a，b)的任意子区间上不恒为_0；也可转化为(a，b)⊆增区间．函数y＝f(x)在区间(a，b)上单调递减，可转化为f′(x)≤0在(a，b)上恒成立，且在(a，b)的任意子区间上不恒为_0；也可转化为(a，b)⊆减区间．(2)函数y＝f(x)的增区间是(a，b)，可转化为(a，b)＝增区间，也可转化为f′(x)＞0的解集是(a，b)；函数y＝f(x)的减区间是(a，b)，可转化为(a，b)＝减区间，也可转化为a，b是f′(x)＝0的两根．四、题型分析重难点题型突破1 求函数的单调区间 例1、求下列函数的单调区间： (1)f(x)＝x 3－12x 2－2x ＋3；(2)g(x)＝x 2－2ln x.(3)f (x )＝x 3－6x 2的单调递减区间．【解析】 (1)∵f′(x)＝3x 2－x －2＝(3x ＋2)(x －1)，定义域为R ， ∴当f ′(x )>0时，x ∈⎝⎛⎭⎫－∞，－23∪(1，＋∞)；当f ′(x )＜0时，x ∈⎝⎛⎭⎫－23，1. ∴函数的单调增区间为⎝⎛⎭⎫－∞，－23和(1，＋∞)，单调减区间为⎝⎛⎭⎫－23，1. (2)g ′(x )＝2x －2x ＝2（x ＋1）（x －1）x，定义域为(0，＋∞)，令g ′(x )＝0，解得：x ＝1或x ＝－1(舍去)，列表：∴函数的单调增区间是(1，＋∞)，单调减区间是(0，1)． (3)f ′(x )＝3x 2－12x ＝3x (x －4)，由f ′(x )<0，得0<x <4， ∴函数f (x )的单调递减区间为(0,4)．【变式训练1】．（黑龙江省哈尔滨市第六中学2018-2019学年期中）已知函数23()4ln 2f x x x x =-+，则函数()f x 的单调递减区间是（ ）A ．1(0,)3，(1,)+∞ B ．(0,1)，(3,)+∞ C ．1(0,)3，(3,)+∞ D ．1(1)3， 【答案】D【解析】函数()f x 的定义域为(0,)+∞，()()()()2311314ln 342x x f x x x x f x x x x--=-+⇒-'=+=， 当()0f x '<时，函数单调递减，即()()3110x x x--<而0x >，解不等式得：113x <<，故本题选D 。