没学过极限 学生能学会导数吗——新课程导数概念教学的实验研究

讨论 （ ） 用平均速度近似表示瞬时速度的方 １ 法是在教师的启发下学生自己想出的， 从而使得用 平均速度近似表示瞬时速度成为学生认可的、 自 然 的方法． 课程采用学生熟悉的平均速度、 瞬时速度 引出平均变化率、 瞬时变化率的思路是可行的， 课 程的叙述中给学生以解决问题时如何探索途径的 启迪， 渗透了 数学思想方法， 是非常好的 切人方式． （ ） 由于百米跑的过程比较复杂， ２ 学生容易把 问题想复杂了， 所以教材选用这个例子有些难， 建 议选择简单又熟悉的 物理学上的 运动情景， （ ） 用平均速度近似表示瞬时速度的方法是学 ３
２ ０ １ 年版《 ０ 数学》 第三册（ 选修２ ） ） ， 为了防止遗忘的 干扰， 高二实验班先用一节课的时间阅读了华东师 大版新课标教材“ 导数及其应用” 一章中的前四节 （ 平均速度和瞬时速度： 求一般变速运动的瞬时速
度； 平均 变 化率； 瞬 时 变 化率— 导数） ． 第二节 课师
生讨论２ ０ 分钟后， 进行问卷调查， 时间为２ ０ 分钟． 高一实验班用三节课的时间教学， 第四节进行
过微积分的知识， 又用一节课的时间进行了复习， 从表 ２ 来看， 高二有 ７ ２． ８％的同学理解正确， 应该 说高一如果是正常的学习的话， 效果肯定会更好
些．
涉及到 微积分的 本质， 就说不清楚， 道不明白， 学生
不理解， 作题只好模仿． 近似计算和误差估计是应 用数学的核心， 也是微积分的支柱， 微积分讨论的 就是局部的近似， 传统课程囿于计算工具的原因涉 及较少． 新课程中突如其来的应用问题， 令教师难 以适应， 教师研习与培训成为当务之急．
测试．
２ ． ４ 两个关键的教学片段
我们观察了 课堂教学的 全过程， 选取其中 两个
关键的数学片段， 进行逐字记录， 感觉其能凸现学 生的学习情况、 师生交流与反馈的情况以及教师对
课程的认识和理解．
万方数据
２ ０ ０ ７ 年 第４ ６ 卷 第９ 期
数 学通报
２ ． ４ ． １ 平均速度和瞬时速度（ 高一） 新课程的例１ 创设了 适合每位同学学习的情景 — 百米跑． Ａ老师： 小王的 １ ０ 米成绩是 １ ２ 秒， 很不错． 在 他撞线时肯定有速度， 一般说来还应该比平均速度 大， 我们能否知道他撞线的速度？ Ａ老师刚说完， 生１ 提出问 题： 不知 道加速度． 有同学反问： 是匀加速吗？ 生２ 认为： 假如是匀加速， 可求． 同 学们议论纷纷． Ａ老师明确百米的一般跑法： 百米赛刚起跑加
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没学过极限
房元 霞
（ 山东聊城大学数学科学学院
学生能学会导数吗
宋宝和
２ ５ ２ ０ ５ ） ９
一 止 ‘ 新课程“ 导数” 概念教学的实验研究
２ ５ ２ ０ ５ ９ 山东聊城大学教育科学学院
１ 问题的提出
的实施提供可参考的数据和意见．
２ 研究方法
微积分的创立是数学发展中的里程碑， 它的发 展和广泛应用开创了向近代数学过渡的新时期， 为 研究变量和函数提供了重要的方法和手段［ ｊ． １ 微积 分引进和使用了与以前的工作根本不同的概念和 方法， 从而改变了整个科学世界的面貌． 微积分蕴 涵着丰富的科学价值、 文化价值、 教育价值和哲学 思想． 遗憾的是， 微积分的教学方法有时流于机械 不能体现出这门学科乃是震撼人心灵的智力奋斗
单位是秒． ｖ （ ｔ ） ＝厂（ ｔ ） ＝Ｚ ｔ ， 厂（ １ ０ ） ＝２ ０ （ 米／ 秒） ，
是说 １ ０ 秒时， 时间再增加 １ 秒位移约增加 ２ ０ 米， 也 就是第 ｎ秒里走了约 ２ ０ 米的路程． 就像英语中套 句型一样， 可以模仿教材中的话叙述． 看到学生议论纷纷． Ｂ老师再解释：
３ 实验结果
３ ． １ 对导数概念的理解
“ 学生调查问卷 Ａ ” 第１ 题的５ 个小题是判断 题， 是用来直接检测高一学生对导数概念理解的． 学生作答的情况： 正确的有 ２ １ 人次， ０ 占总人次的 ３． ６ １％： ８ 错误的有 １ ３ 人次， ０ 占３ ２． ０％， ７ ｎ人次未 答， 占３ ． ９％． ４
分类 序
号
函 数在某点的瞬时变化率 自 变量的改变量无限趋于。 时， 函
内容
人次
百分 比 （ 占６ ３ 人）
百分 比
（ 占７ ７ 人次）
数的改变量与自变量改变ｔ的比
值的根限
１
１
瞬时变 化率、 导数、 边际成本
与
ｌ ０ １ ５ 。 ８ ７ 极限
自 变量的改变量趋于。 时， 函数的
改变量与自 变量改变量的比 值
第３ 题询问导数的实质是什么？ 学生的认识见
需要说明的是“ 学生调查问卷Ａ ’‘ 的第４ 题是有 关导数应用的边际成本的问题， 尽管答对率较高， 达到８ ５％， 但是从我们观课看到的实际情况和与学 生的交谈来看， 学生在教师的引导下， 模仿了教材 中例题的句型， 这个结果不宜采信． 事实上， 犹如教 学片段” 边际成本“ 所描述的一样， 由于教师认识的 不到位， 也影响到了学生的理解， 学生对与导数概 念的应用存在疑问， 对导数的理解还需要进一步深
学生仍有议论． Ｂ老师： 我的意思是再多开采 １
吨约增加的费用‘
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２ ０ ０ ７ 年
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课下， 不少同学还在讨论这个问题。 学生的疑 问可以归结为： （ 导数） 瞬时速度描述的是物体某一 时刻的运动速度， 是ｔ ，０ 时的极限， １ 秒时间太长， 不能用瞬时速度作为此后 １ 秒里的速度． 讨论 传统意义上， 教师习惯用导数来研究函 数的单调性、 极值问题一 旦遇到具体的实际问题，
学生调查问卷Ａ 我们编制了“ ” （ 高一） 和“ 学生 调查问卷 Ｂ （高二） ’ ， ， 问卷各由８ 个问题组成， 除了 问卷Ａ的第一题为是非判断题外， 其余题目 全为开 放题， 主要涉及导数概念的理解、 导数概念易（ 难） 学的原因、 影响导数学习的障碍、 新旧课程处理导 数方法的差异等方面． 征求教研人员、 数学教师的 意见并进行了修改．
２ ． ３ 实验的情况 实验于 ２ ０ ０ ４ 年４ 月进行．
高二是在上学期学习的“ 导数与微分， （人教社 ’
教材． ２ ０ ０ ３ 年教育 部颁布的《 普通高中 数学课程标
准（ 实验） ） 把微积分初步规划于选修系列１ 、 ２ ， 与以
往不同的是， 新课程中的微积分知识不是按照传统
同学点头称对一 生５ 忽地站起来： 瞬时速度就是平均速度的 极限， 时间越 来越小趋于。 时， 那个极限就直接是精确值． 同学们好象大彻大悟一般， 喜形于 色， 议论开了 ， Ａ老师： 那平均速度与瞬 ０电 ８
１米， ０ 那么第１ ２秒里的平均速度就是 １ ０米／ 秒， 我 们可以用 １ ０米 ／ 秒来近似地描述他撞线的速度． 如 果在最后的０ ． ５ 秒里， 小王跑了５ ． ５ 米， 那么他在最 后半秒里的速度是 ｎ米 ／ 秒， 我们也可以 用这个速 度近似描述他撞线的速度， 距１ ２ 秒这一时刻， 取一 段较短的时间， 用这段时间里的平均速度近似描述 撞线的速度， 怎样描述才会更精确一些呢？ 老师话音刚落， 生４ 抢着回 答： 时间取得越短越
２ ． １ 实验对象 我们选取了聊城市某中学高一年级一个普通 班（ ３ 名同学） ６ 作为实验班， 其数学老师Ａ ： 本科， 中 学一级教师， ８ 年教龄． 高二年级的一个普通班（ ５９ 名同 学） 作为对照班， 数学任课老师 Ｂ ： 本科， 中学 高级教师， ６ 年教龄． １ ２ ． ２ 材料
精确．
生２ ： 应该是开采第 ２ ０ １ 吨时， ０ 花费 ８ ０ 元．
Ｂ 老 师追问 生２ ： 厂（ ２ ０ ０ ）是 ０ 什么意 思？
生 ２ 犹豫： 再开采 １ 吨时花费 ８ ０ 元， 我不明白 是什么意思？ 因为其他同学也表示不太明白 ． 所以Ｂ老师选 用位移函数解释： ： ＝ｆ ｔ （ ） ＝产 ， ： 的单位是米， ｔ 的
为了不影响正常教与学， 高一是在下午自 习时 间突击学习， 课下没有作业， 学生对导数概念的学 习仅限 于课堂上， 能有６ ３． １％的同学正确作答测 ８
试题， ３ ６ ． ９％ 的同学正确认识到导数的实质， ４ ０． ６ ２写的同学用自 ３ 己的 语言描述的对导数的理解 正确， 取这三者的 平均值得６ ２． ４％ ５ ． 高二曾系统学
化．
表１ ． （ 各表格中的百分号均略去） 表 １ 高一对导数的实质理解的情况
观点 人数
３ ９ ４ ０
占 总 人 数 的 百 分 州
６ ３ ． ４ ９
３ ． ２ 影响导数概念理解的障碍 高一 ６ ３ 位同学中， 有３ 人未答， ２ 人回答无障 碍， ８ 位同学的回 ５ 答按人次的多少排列如表 ３ ． 】表 ３ 高一学习导数概念的障碍统计
将ｈ 换成 １ 就是
平均速度与瞬时速度不是一回事， Ａ老师总结： 瞬时速度存在， 但不可测， 只能用可测的平均速度 来近似描述， 如果取的时间间隔越短， 就越精确， 正 如刚才生 ５ 所说， 时间无限地趋于。 时， 平均速度的 根限， 就是瞬时速度．
也共净鲤“０ 。 ’
ｆ （ ａ ＋１ ） ”ｆ （ａ ） ＋８ ０ ０ ， ８ ０ ０ 是多开采 １ 吨的费用，
我们对新课改充满了信心．
受到启发 后， 随即 有同学举手， Ａ老师没有等
待， 指名生３ 回答二
２ ・ ．２ 边际 ４ 成本（ 高 二）
Ｂ教师提出了两个问题， 之二是边际成本．
生３ ： 用 最后１ 秒里跑的 路程除以 时间， 或者是 Ｂ 老 师： 检查一下例９ 的 解答， 有没有错误？ 找出 最 后一段时间 里的 路程除以 时间 二 ‘ 不到２ 分钟， 学生 看完 了 ． 不少同 学 认可二 生１ ： 单位没 错； 在 开采了２ ０ ０ 吨铜矿 后， 每吨 Ａ 老师 边板 书 边 解 释： 假 设 第１ ２秒里 小王 跑了 开采的 费 用 为８ ０元 好 像不 对 ．