新教材高中数学第六章平面向量及其应用6.2.1向量的加法运算课件新人教A版必修第二册
知识点一 向量加法的定义 求_两__个__向__量__和___的运算，叫作向量的加法．
知识点二 向量加法的运算法则
1．三角形法则 已知非零向量 a，b，在平面内任取一点 A，作A→B＝a，B→C＝b， 再作向量A→C，则向量A→C叫作 a 与 b 的和(或和向量)，记作 a＋b， 即 a＋b＝A→B＋B→C＝A→C. 这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则． 规定：零向量与任一向量 a 的和都有 a＋0＝0＋a＝a.
利用三角形法则或平行四边形法则 →先作出两个向量的和向量 →再作出三个向量的和向量
方法归纳
(1)应用三角形法则求向量和的基本步骤 ①平移向量使之“首尾相接”，即第一个向量的终点与第二个 向量的起点重合． ②以第一个向量的起点为起点，并以第二个向量的终点为终点 的向量，即为两个向量的和． (2)应用平行四边形法则求向量和的基本步骤 ①平移两个不共线的向量使之共起点． ②以这两个已知向量为邻边作平行四边形． ③平行四边形中，与两向量共起点的对角线表示的向量为两个 向量的和．
多个向量的加法运算可按照任意的次序与任意的组合进行. 如 (→a ＋→b )＋(→c ＋→d )＝(→b ＋→d )＋(→a ＋→c )；→a ＋→b ＋→c ＋→d ＋ →e ＝[→d ＋(→a ＋→c )]＋(→b ＋→e )．
题型三 向量加法的实际应用[教材 P9 例 2] 例 3 长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮渡进行运 输．如图所示，一艘船从长江南岸 A 地出发，垂直于对岸航行，航 行速度的大小为 15 km/h，同时江水的速度为向东 6 km/h.
再作O→C＝c，以 OD 与 OC 为邻边作平行四边形 ODEC，则O→E ＝a＋b＋c.
本题是求向量的和问题，方法是使用三角形法则或平行四边形 法则．
题型二 向量的加法运算[经典例题] 例 2 化简： (1)B→C＋A→B； (2)A→O＋B→C＋O→B； (3)A→B＋D→F＋C→D＋B→C＋F→A.
解析：由题意，|A→B|2＋|A→D|2＝|A→C|2，故|A→B|2＋(2 3)2＝42，解 得|A→B|＝2，故水速大小为 2 km/h.
结合例题中的图形，由勾股定理得|A→B|.
解析：(1)D→B＋C→D＋B→C＝B→C＋C→D＋D→B＝B→D＋D→B＝0. (2)方法一 (A→B＋M→B)＋B→O＋O→M＝(A→B＋B→O)＋(O→M＋M→B)＝ A→O＋O→B＝A→B. 方法二 (A→B＋M→B)＋B→O＋O→M＝A→B＋(M→B＋B→O)＋O→M＝A→B＋ M→O＋O→M＝A→B＋0＝A→B. 方法三 (A→B＋M→B)＋B→O＋O→M＝(A→B＋B→O＋O→M)＋M→B＝A→M ＋M→B＝A→B.
的加法运算求解．
方法归纳
向量运算中化简的两种方法 (1)代数法：借助向量加法的交换律和结合律，将向量转化为 “首尾相接”，向量的和即为第一个向量的起点指向最后一个向量 终点的向量． (2)几何法：通过作图，根据“三角形法则”或“平行四边形法 则”化简．
跟踪训练 2 化简： (1)D→B＋C→D＋B→C； (2)(A→B＋M→B)＋B→O＋O→M.
[基础自测]
1．在△ABC 中，A→B＝a，B→C＝b，则 a＋b 等于( ) A.C→A B.B→C C.A→B D.A→C 解析：A→B＋B→C＝A→C. 答案：D
2．在平行四边形 ABCD 中，下列结论中错误的是( )
A.A→B＝D→C B.A→D＋A→B＝A→C C.A→B＝B→D＋A→D D.A→D＋C→B＝0 解析：因为A→B＝A→D＋D→B≠B→D＋A→D，故 C 错误． 答案：C
2．平行四边形法则 如图，以同一点 O 为起点的两个已知向量 a，b 为邻边作▱OACB， 则以 O 为起点的对角线O→C就是 a 与 b 的和，我们把这种作两个向 量和的方法叫作向量加法的平行四边形法则．
知识点三 向量加法的运算律 1．交换律：a＋b＝b＋a. 2．结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．
【解析】 (1)B→C＋A→B＝A→B＋B→C＝A→C. (2)A→O＋B→C＋O→B＝A→O＋O→B＋B→C ＝A→B＋B→C＝A→C. (3)A→B＋D→F＋C→D＋B→C＋F→A＝A→B＋B→C＋C→D＋D→F＋F→A＝A→C＋ C→D＋D→F＋F→A＝A→D＋D→F＋F→A＝A→F＋F→A＝0. 先根据向量加法的交换律变为各向量首尾相连，然后利用向量
状元随笔 1.准确理解向量加法的三角形法则和平行四边形 法则
(1)两个法则的使用条件不同： 三角形法则适用于任意两个非零向量求和，平行四边形法则只 适用于两个不共线的向量求和． (2)当两个向量不共线时，两个法则是一致的．
如图所示：A→C ＝A→B＋A→D(平行四边形法则)， 又∵B→C ＝A→D，∴A→C ＝A→B ＋B→C(三角形法则)．
【解析】 方法一 可先作 a＋c，再作(a＋c)＋b，即 a＋b＋ c.如图①，首先在平面内任取一点 O，作向量O→A＝a，接着作向量A→B ＝c，则得向量O→B＝a＋c，然后作向量B→C＝b，则向量O→C＝a＋b＋ c 为所求．
①
②
方法二 三个向量不共线，用平行四边形法则来作．如图②，
(1)在平面内任取一点 O，作O→A＝a，O→B＝b； (2)作平行四边形 AOBC，则O→C＝a＋b； (3)再作向量O→D＝c； (4)作平行四边形 CODE，则O→E＝O→C＋c＝a＋b＋c.O→E即为所 求.
[教材解难] 教材 P7 思考
如图，某质点从点 A 经过点 B 到点 C，这个质点的位移如何表 示？
提示：物理知识告诉我们，这个质点两次位移A→B，B→C的结果， 与从点 A 直接到点 C 的位移A→C结果相同．因此，位移A→C可以看成 是位移A→B与B→C合成的．数的加法启发我们，从运算的角度看，A→C可 以看作是A→B与B→C的和．
3．a、b 为非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，则( ) A．a∥b，且 a 与 b 方向相同 B．a、b 是方向相反的向量 C．a＝－b D．a、b 无论什么关系均可
解析：只有 a∥b，且 a 与 b 方向相同时才有|a＋b|＝|a|＋|b|成 立，故 A 项正确．
答案：A
题型一 已知向量作和向量[经典例题] 例 1 如图，已知向量 a，b，c，求作和向量 a＋b＋c.
状元随笔 与向量相关的实际问题的处理策略
(1)力的合成是一类典型的向量求和问题． (2)解题时先要根据题意作出相应的图形，再利用平行四边形或 三角形知识解题． (3)最后将向量问题还原为实际问题作答.
教材反思 利用向量的加法解决实际应用题的三个步骤
跟踪训练 3 本例中若该船从 A 点出发以 2 3 km/h 的速度向 垂直于对岸的方向行驶，船的实际航行速度的大小为 4 km/h，求水 速大小．
(1)用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度； (2)求船实际航行的速度的大小(结果保留小数点后一位)与方向 (用与江水速度间的夹角表示，精确到 1°)．
【解析】 (1)如图所示，A→D表示船速，A→B表示江水速度，以 AD，AB 为邻边作▱ABCD，则A→C表示船实际航行的速度．
(2)在 Rt△ABC 中，|A→B|＝6，|B→C|＝15，于是|A→C|＝ |A→B|2＋|B→C|2 ＝ 62＋152＝ 261≈16.2.
(3)在使用三角形法则时，应注意“首尾连接”；在使用平行四 边形法则时应注意范围的限制及和向量与两向量起点相同．
2．向量→a ＋→b 与非零向量→a ，→b 的模及方向的联系 (1)当向量→a 与→b 不共线时，向量→a ＋→b 的方向与→a ，→b 都不相 同，且|→a ＋→b |<|→a |＋|→b |，几何意义是三角形两边之和大于第三边． (2)当向量→a 与→b 同向时，向量→a ＋→b 与→a (或→b )方向相同，且 |→a ＋→b |＝|→a |＋|→b |. (3)当向量→a 与→b 反向时，且|→a |≤|→b |时，→a ＋→b 与→b 方向相同 (与→a 方向相反)，且|→a ＋→b |＝|→b |－|→a |.
跟踪训练 1 如图，已知向量 a，b，c 不共线，作向量 a＋b＋ c.
解析：方法一 如图(1)，在平面内作O→A＝a，A→B＝b，则图(2)，在平面内作O→A＝a，O→B＝b，以 OA 与 OB 为邻边作平行四边形 OADB，则O→D＝a＋b；
因为 tan∠CAB＝||BA→→CB||＝52，所以利用计算工具可得∠CAB≈68°. 因此，船实际航行速度的大小约为 16.2 km/h，方向与江水速度 间的夹角约为 68°.
A→D表示船向垂直于对岸方向行驶的速度，A→B表示水流速度， 以 AD，AB 为邻边作▱ABCD，则A→C就是船的实际航行速度．
知识点二 向量加法的运算法则
1．三角形法则 已知非零向量 a，b，在平面内任取一点 A，作A→B＝a，B→C＝b， 再作向量A→C，则向量A→C叫作 a 与 b 的和(或和向量)，记作 a＋b， 即 a＋b＝A→B＋B→C＝A→C. 这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则． 规定：零向量与任一向量 a 的和都有 a＋0＝0＋a＝a.
利用三角形法则或平行四边形法则 →先作出两个向量的和向量 →再作出三个向量的和向量
方法归纳
(1)应用三角形法则求向量和的基本步骤 ①平移向量使之“首尾相接”，即第一个向量的终点与第二个 向量的起点重合． ②以第一个向量的起点为起点，并以第二个向量的终点为终点 的向量，即为两个向量的和． (2)应用平行四边形法则求向量和的基本步骤 ①平移两个不共线的向量使之共起点． ②以这两个已知向量为邻边作平行四边形． ③平行四边形中，与两向量共起点的对角线表示的向量为两个 向量的和．
多个向量的加法运算可按照任意的次序与任意的组合进行. 如 (→a ＋→b )＋(→c ＋→d )＝(→b ＋→d )＋(→a ＋→c )；→a ＋→b ＋→c ＋→d ＋ →e ＝[→d ＋(→a ＋→c )]＋(→b ＋→e )．
题型三 向量加法的实际应用[教材 P9 例 2] 例 3 长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮渡进行运 输．如图所示，一艘船从长江南岸 A 地出发，垂直于对岸航行，航 行速度的大小为 15 km/h，同时江水的速度为向东 6 km/h.
再作O→C＝c，以 OD 与 OC 为邻边作平行四边形 ODEC，则O→E ＝a＋b＋c.
本题是求向量的和问题，方法是使用三角形法则或平行四边形 法则．
题型二 向量的加法运算[经典例题] 例 2 化简： (1)B→C＋A→B； (2)A→O＋B→C＋O→B； (3)A→B＋D→F＋C→D＋B→C＋F→A.
解析：由题意，|A→B|2＋|A→D|2＝|A→C|2，故|A→B|2＋(2 3)2＝42，解 得|A→B|＝2，故水速大小为 2 km/h.
结合例题中的图形，由勾股定理得|A→B|.
解析：(1)D→B＋C→D＋B→C＝B→C＋C→D＋D→B＝B→D＋D→B＝0. (2)方法一 (A→B＋M→B)＋B→O＋O→M＝(A→B＋B→O)＋(O→M＋M→B)＝ A→O＋O→B＝A→B. 方法二 (A→B＋M→B)＋B→O＋O→M＝A→B＋(M→B＋B→O)＋O→M＝A→B＋ M→O＋O→M＝A→B＋0＝A→B. 方法三 (A→B＋M→B)＋B→O＋O→M＝(A→B＋B→O＋O→M)＋M→B＝A→M ＋M→B＝A→B.
的加法运算求解．
方法归纳
向量运算中化简的两种方法 (1)代数法：借助向量加法的交换律和结合律，将向量转化为 “首尾相接”，向量的和即为第一个向量的起点指向最后一个向量 终点的向量． (2)几何法：通过作图，根据“三角形法则”或“平行四边形法 则”化简．
跟踪训练 2 化简： (1)D→B＋C→D＋B→C； (2)(A→B＋M→B)＋B→O＋O→M.
[基础自测]
1．在△ABC 中，A→B＝a，B→C＝b，则 a＋b 等于( ) A.C→A B.B→C C.A→B D.A→C 解析：A→B＋B→C＝A→C. 答案：D
2．在平行四边形 ABCD 中，下列结论中错误的是( )
A.A→B＝D→C B.A→D＋A→B＝A→C C.A→B＝B→D＋A→D D.A→D＋C→B＝0 解析：因为A→B＝A→D＋D→B≠B→D＋A→D，故 C 错误． 答案：C
2．平行四边形法则 如图，以同一点 O 为起点的两个已知向量 a，b 为邻边作▱OACB， 则以 O 为起点的对角线O→C就是 a 与 b 的和，我们把这种作两个向 量和的方法叫作向量加法的平行四边形法则．
知识点三 向量加法的运算律 1．交换律：a＋b＝b＋a. 2．结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．
【解析】 (1)B→C＋A→B＝A→B＋B→C＝A→C. (2)A→O＋B→C＋O→B＝A→O＋O→B＋B→C ＝A→B＋B→C＝A→C. (3)A→B＋D→F＋C→D＋B→C＋F→A＝A→B＋B→C＋C→D＋D→F＋F→A＝A→C＋ C→D＋D→F＋F→A＝A→D＋D→F＋F→A＝A→F＋F→A＝0. 先根据向量加法的交换律变为各向量首尾相连，然后利用向量
状元随笔 1.准确理解向量加法的三角形法则和平行四边形 法则
(1)两个法则的使用条件不同： 三角形法则适用于任意两个非零向量求和，平行四边形法则只 适用于两个不共线的向量求和． (2)当两个向量不共线时，两个法则是一致的．
如图所示：A→C ＝A→B＋A→D(平行四边形法则)， 又∵B→C ＝A→D，∴A→C ＝A→B ＋B→C(三角形法则)．
【解析】 方法一 可先作 a＋c，再作(a＋c)＋b，即 a＋b＋ c.如图①，首先在平面内任取一点 O，作向量O→A＝a，接着作向量A→B ＝c，则得向量O→B＝a＋c，然后作向量B→C＝b，则向量O→C＝a＋b＋ c 为所求．
①
②
方法二 三个向量不共线，用平行四边形法则来作．如图②，
(1)在平面内任取一点 O，作O→A＝a，O→B＝b； (2)作平行四边形 AOBC，则O→C＝a＋b； (3)再作向量O→D＝c； (4)作平行四边形 CODE，则O→E＝O→C＋c＝a＋b＋c.O→E即为所 求.
[教材解难] 教材 P7 思考
如图，某质点从点 A 经过点 B 到点 C，这个质点的位移如何表 示？
提示：物理知识告诉我们，这个质点两次位移A→B，B→C的结果， 与从点 A 直接到点 C 的位移A→C结果相同．因此，位移A→C可以看成 是位移A→B与B→C合成的．数的加法启发我们，从运算的角度看，A→C可 以看作是A→B与B→C的和．
3．a、b 为非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，则( ) A．a∥b，且 a 与 b 方向相同 B．a、b 是方向相反的向量 C．a＝－b D．a、b 无论什么关系均可
解析：只有 a∥b，且 a 与 b 方向相同时才有|a＋b|＝|a|＋|b|成 立，故 A 项正确．
答案：A
题型一 已知向量作和向量[经典例题] 例 1 如图，已知向量 a，b，c，求作和向量 a＋b＋c.
状元随笔 与向量相关的实际问题的处理策略
(1)力的合成是一类典型的向量求和问题． (2)解题时先要根据题意作出相应的图形，再利用平行四边形或 三角形知识解题． (3)最后将向量问题还原为实际问题作答.
教材反思 利用向量的加法解决实际应用题的三个步骤
跟踪训练 3 本例中若该船从 A 点出发以 2 3 km/h 的速度向 垂直于对岸的方向行驶，船的实际航行速度的大小为 4 km/h，求水 速大小．
(1)用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度； (2)求船实际航行的速度的大小(结果保留小数点后一位)与方向 (用与江水速度间的夹角表示，精确到 1°)．
【解析】 (1)如图所示，A→D表示船速，A→B表示江水速度，以 AD，AB 为邻边作▱ABCD，则A→C表示船实际航行的速度．
(2)在 Rt△ABC 中，|A→B|＝6，|B→C|＝15，于是|A→C|＝ |A→B|2＋|B→C|2 ＝ 62＋152＝ 261≈16.2.
(3)在使用三角形法则时，应注意“首尾连接”；在使用平行四 边形法则时应注意范围的限制及和向量与两向量起点相同．
2．向量→a ＋→b 与非零向量→a ，→b 的模及方向的联系 (1)当向量→a 与→b 不共线时，向量→a ＋→b 的方向与→a ，→b 都不相 同，且|→a ＋→b |<|→a |＋|→b |，几何意义是三角形两边之和大于第三边． (2)当向量→a 与→b 同向时，向量→a ＋→b 与→a (或→b )方向相同，且 |→a ＋→b |＝|→a |＋|→b |. (3)当向量→a 与→b 反向时，且|→a |≤|→b |时，→a ＋→b 与→b 方向相同 (与→a 方向相反)，且|→a ＋→b |＝|→b |－|→a |.
跟踪训练 1 如图，已知向量 a，b，c 不共线，作向量 a＋b＋ c.
解析：方法一 如图(1)，在平面内作O→A＝a，A→B＝b，则图(2)，在平面内作O→A＝a，O→B＝b，以 OA 与 OB 为邻边作平行四边形 OADB，则O→D＝a＋b；
因为 tan∠CAB＝||BA→→CB||＝52，所以利用计算工具可得∠CAB≈68°. 因此，船实际航行速度的大小约为 16.2 km/h，方向与江水速度 间的夹角约为 68°.
A→D表示船向垂直于对岸方向行驶的速度，A→B表示水流速度， 以 AD，AB 为邻边作▱ABCD，则A→C就是船的实际航行速度．
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新教材高中数学第六章平面向量的运算：向量的加法运算pptx课件新人教A版必修第二册
又 = 35∘ , = 55∘ , ∠ = 35∘ + 55∘ = 90∘ .所以
=
2
+
2
= 8002 + 8002 = 800 2 km .
其中 ∠ = 45∘ ,所以方向为北偏东 35∘ + 45∘ = 80∘ .
从而飞机飞行的路程是 1 600 km ,两次飞行的位移和的大小为 800 2 km ,方向为北偏
（2） + + = ___.
知识点3 + 与 ， 之间的关系
对任意两个向量 , ,有 + ≤ + ,当且仅当 , 方向相同时等号成立.
名师点睛
当 与 不共线时, + < + 的几何意义为三角形两边之和大于第三边.
6.2 平面向量的运算
6.2.1 向量的加法运
算
课程
标准
1.借助实例掌握向量加法的概念以及向量加法的几何意义.
2.掌握向量加法的平行四边形法则和三角形法则,会进行向量的加法运算.
3.掌握向量加法的交换律和结合律,会用它们进行计算.
1
基础落实·必备知识全过关
2
重难探究·能力素养全提升
01
基础落实·
,则 = + ;再作 = ,以 与 为邻边作平行四边形 ,则
= + + .
规律方法
变式训练1 如图,已知正方形 , = , = , = ,试作向量 + + .
解 由已知得 + = + = ,又 = ,所以延长
（1）任意两个向量的和仍然是一个向量.
=
2
+
2
= 8002 + 8002 = 800 2 km .
其中 ∠ = 45∘ ,所以方向为北偏东 35∘ + 45∘ = 80∘ .
从而飞机飞行的路程是 1 600 km ,两次飞行的位移和的大小为 800 2 km ,方向为北偏
（2） + + = ___.
知识点3 + 与 ， 之间的关系
对任意两个向量 , ,有 + ≤ + ,当且仅当 , 方向相同时等号成立.
名师点睛
当 与 不共线时, + < + 的几何意义为三角形两边之和大于第三边.
6.2 平面向量的运算
6.2.1 向量的加法运
算
课程
标准
1.借助实例掌握向量加法的概念以及向量加法的几何意义.
2.掌握向量加法的平行四边形法则和三角形法则,会进行向量的加法运算.
3.掌握向量加法的交换律和结合律,会用它们进行计算.
1
基础落实·必备知识全过关
2
重难探究·能力素养全提升
01
基础落实·
,则 = + ;再作 = ,以 与 为邻边作平行四边形 ,则
= + + .
规律方法
变式训练1 如图,已知正方形 , = , = , = ,试作向量 + + .
解 由已知得 + = + = ,又 = ,所以延长
（1）任意两个向量的和仍然是一个向量.
2021新教材高中数学第6章6.2.1向量的加法运算课件新人教A版必修第二册
[归纳提升] 应用向量解决平面几何问题的基本步骤
【对点练习】❸ 如图，用两根绳子把重10 N的物体W吊在水平杆 子AB上，∠ACW＝150°，∠BCW＝120°，求A和B处所受力的大小(绳 子的重量忽略不计).
[解析] 如图，设C→E、C→F分别表示 A，B 所受的力，10 N 的重力用C→G 表示，则C→E＋C→F＝C→G.
[归纳提升] 向量运算中化简的两种方法： (1)代数法：借助向量加法的交换律和结合律，将向量转化为“首尾 相接”，向量的和即为第一个向量的起点指向最后一个向量终点的向量. 有时也需将一个向量拆分成两个或多个向量. (2)几何法：通过作图，根据三角BC 中，D，E 分别是 AB，AC 上的点， F 为线段 DE 延长线上一点，DE∥BC，AB∥CF，连接 CD，那么(在横线 上只填上一个向量)：
则飞机飞行的路程指的是|A→B|＋|B→C|；两次飞行的位移的和指的是A→B ＋B→C＝A→C.
依题意，有|A→B|＋|B→C|＝800＋800＝1 600(km). 又 α＝35°，β＝55°，∠ABC＝35°＋55°＝90°. 所以|A→C|＝ |A→B|2＋|B→C|2＝ 8002＋8002＝800 2(km). 其中∠BAC＝45°，所以方向为北偏东 35°＋45°＝80°. 从而飞机飞行的路程是 1 600 km，两次飞行的位移和的大小为 800 2 km，方向为北偏东 80°.
运算律
结合律 交换律
a＋b＝_b_＋__a___ (a＋b)＋c＝__a_＋__(_b_＋__c_) __
关键能力·攻重难
题型探究 题型一 向量的加法及几何意义
典例 1 (1)如图，已知a、b，求作a＋b.
(2)如图所示，已知向量a、b、c，试作出向量a＋b＋c. [分析] 用三角形法则或平行四边形法则画图.
【课件】向量的加法运算 向量的减法运算课件高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
第六章 平面向量及其应用
6.2.1 向量的加法运算 6.2.2 向量的减法运算
教学目标
借助实例和平面向量的几何意义，掌握平面向量
1
的加法、减法运算及其运算规律.
2 理解平面向量的加法、减法运算的几何意义.
（1）向量的加法：求两个向量和的运算， 叫做向量的加法.
对于零向量与任意向量a ，规定a+0 0 a a .
本节课学习了平面向量的加法、减 法运算.
解析：由题意和图形可知 BAC 90 ，因为| AB | 300 ，| BC | 300 2 ，
所以| AC | 300 ，因为 ABC 45 ，A 地在 B 地南偏东 30°的方向处. 所以 C 地在 B 地南偏东 75°的方向处. 故飞机从 B 地向 C 地飞行的方向为南偏东 75°.
9.化简下列各式： （1） ( AB MB) (OB MO) . （2） AB AD DC .
B a-b
b Oa A
例 1 长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮渡进行运 输.如图，一艘船从长江南岸 A 地出发，垂直于对岸航行， 航行速度的大小为 15 km/h，同时江水的速度为向东 6 km/h. （1）用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度； （2）求船实际航行的速度的大小（结果保留小数点后一位）与方向（用与江水速度 间的夹角表示，精确到 1°）.
（2）向量加法的三角形法则：已知非零向量a，b ，在平面内
任取一点 A ，作 AB a ， BC b ，则向量 AC 叫做a 与b 的和，
记作 a b ，即 a b AB BC AC .如图.
C
b a+b
Aa
B
（3）向量加法的平行四边形法则：已知两个不共线向量a，b ， 作 AB a ， AD b ，以 AB ， AD 为邻边作 ABCD ，则对角线 上的向量 AC a b .如图.
6.2.1 向量的加法运算 6.2.2 向量的减法运算
教学目标
借助实例和平面向量的几何意义，掌握平面向量
1
的加法、减法运算及其运算规律.
2 理解平面向量的加法、减法运算的几何意义.
（1）向量的加法：求两个向量和的运算， 叫做向量的加法.
对于零向量与任意向量a ，规定a+0 0 a a .
本节课学习了平面向量的加法、减 法运算.
解析：由题意和图形可知 BAC 90 ，因为| AB | 300 ，| BC | 300 2 ，
所以| AC | 300 ，因为 ABC 45 ，A 地在 B 地南偏东 30°的方向处. 所以 C 地在 B 地南偏东 75°的方向处. 故飞机从 B 地向 C 地飞行的方向为南偏东 75°.
9.化简下列各式： （1） ( AB MB) (OB MO) . （2） AB AD DC .
B a-b
b Oa A
例 1 长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮渡进行运 输.如图，一艘船从长江南岸 A 地出发，垂直于对岸航行， 航行速度的大小为 15 km/h，同时江水的速度为向东 6 km/h. （1）用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度； （2）求船实际航行的速度的大小（结果保留小数点后一位）与方向（用与江水速度 间的夹角表示，精确到 1°）.
（2）向量加法的三角形法则：已知非零向量a，b ，在平面内
任取一点 A ，作 AB a ， BC b ，则向量 AC 叫做a 与b 的和，
记作 a b ，即 a b AB BC AC .如图.
C
b a+b
Aa
B
（3）向量加法的平行四边形法则：已知两个不共线向量a，b ， 作 AB a ， AD b ，以 AB ， AD 为邻边作 ABCD ，则对角线 上的向量 AC a b .如图.
新教材人教A版高中数学必修第二册 第六章 平面向量及其应用 教学课件
1.向量的定义： 2. 想一想：实数能进行加减乘除运算，位移、力可以合成，向量 能进行运算吗？
一起来探究吧！
1. 如图，某质点从点A经过点B到点C，这个质点的位移如何表示？
C
A B
求两个向量和的运算，叫做向量的加法.这种求向量和的方法， 称为向量加法的三角形法则.
B
C
F
O
A
B O
C A
O
O B
A B
A C
O
A
B
O
B
A
O
A
B
数的加法满足交换律、结合律，向量的加法是否也满足交换律和 结合律呢？
D A
C B
D
A
C
B
综上所述，向量的加法满足交换律和结合律.
例2 长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮渡进行运输.如图， 一艘船从长江南岸A地出发，垂直于对岸航行，航行速度的大小为15 km/h，同时江水的速度为向东6 km/h.
问题2 在物理课中，如果一个物体在力F的作用下产生位移s，如何计 算力F所做的功？
问题3 能否把“功”看成是两个向量相乘的结果呢？
观察力做功的计算公式，发现公式中涉及力与位移的夹角，所以 先来定义向量的夹角概念.
规定：零向量与任一向量的数量积为0.
向量线性运算的结果是一个向量，而两个向量的数量积是一个数 量，这个数量的大小与两个向量的长度及其夹角有关.
2.如图，EF是△ABC的中位线，AD是BC边上的中线，在以A、B、 C、D、E、F为端点的有向线段表示的向量中请分别写出：
7
5
2
1.向量的定义； 2.有向线段的三要素及向量的几何表示； 3.向量的模、零向量、单位向量的定义及表示； 4.平行向量、相等向量、共线向量.
第6章 6.2 6.2.1 向量的加法运算-【新教材】人教A版(2019)高中数学必修第二册课件
业
返 首 页
·
17
·
情
课
境
堂
导
小
学
2．设 A1，A2，A3，…，An(n∈N，且 n≥3)是平面内的点，则一 结
·
探
提
新 知
般情况下，A→1A2＋A→2A3＋A→3A4＋…＋An－1An 的运算结果是什么？
素 养
合
作 探 究
课
[提示]
将三角形法则进行推广可知A→1A2＋A→2A3＋A→3A4＋…＋An
层 作
疑
业
难
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13
·
情
课
境 导 学
3．如图，在平行四边形 ABCD 中，D→A＋D→C＝________.
堂 小 结
·
探
提
新
素
知Leabharlann 养合作课
探
时
究 释
D→B [由平行四边形法则可知D→A＋D→C＝D→B.]
分 层 作
疑
业
难
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·
情
课
境
堂
导
小
学
结
探
4．小船以 10 3 km/h 的速度按垂直于对岸的方向行驶，同时河 提
情
课
境 导
重力用C→G表示，则C→E＋C→F＝C→G.
堂 小
学
结
·
探
易得∠ECG＝180°－150°＝30°，
提
新
素
知
∠FCG＝180°－120°＝60°.
养
合
作 探 究
∴|C→E|＝|C→G|·cos 30°＝10× 23＝5 3，
数学人教版(2019)必修第二册6.2.1向量的加法运算(共22张ppt)
新知生成
知识点一 向量的加法
(2)平行四边形法则
以同一点O为起点的两个已知向量a ， b为邻边作▱OACB，则以O为起点的向量
OC 就是向量a与b的和.把这种作两个向量和的方法叫作向量加法的平行四边形法
则.
注意：位移的合成可以看作向量加法的三角形法则的物理模型，力的合成可以看
作向量加法的平行四边形法则的物理模型.
二、向量加法的实际应用
例题2 河水自西向东流动的速度为 10km/h ，小船自南岸沿正北方向航行，
小船在静水中的速度为 10 3 km/h ，求小船的实际航行速度.
【解析】 设a，b分别表示水流的速度和小船在静水中的速度，过
平面内一点O 作OA = a，OB = b ，以OA，OB 为邻边作矩形
OACB，连接OC， 则OC = a + b，并且 OC即为小船的实际航行
大值为13.
探究三：向量的运算律
情境设置
速度.∴ OC =
tan∠AOC =
10 3
10
a+b
2
=
a
2
+ b
2
= 20 km/h
，
= 3 ， ∴ ∠AOC = 60∘ ，
∴ 小船的实际航行速度为 20 km/h ，沿北偏东30∘ 的方向航行.
反思感悟
方法总结
应用向量解决实际问题的基本步骤
(1)表示：用向量表示有关量，将所要解答的问题转化为向量问题.
1.向量加法的定义
求两个向量和的运算，叫做向量的加法.
2.向量求和的法则
(1)三角形法则
已知非零向量a，b，在平面内取任意一点A ，作AB = a，BC = b，则向量 AC
【新教材课件】2021学年高中数学人教A版必修第二册：6.2.1 向量的加法运算
解析：对于 C，∵A→B与B→A方向相反，∴A→B＋B→A＝0.
3．已知 P 为△ABC 所在平面内一点，当P→A＋P→B＝P→C成立 时，点 P 位于( D )
A．△ABC 的 AB 边上 B．△ABC 的 BC 边上 C．△ABC 的内部 D．△ABC 的外部
解析：如图，P→A＋P→B＝P→C，则 P 在△C 的外部．
第六章
平面向量及其应用
6.2 平面向量的运算
6．2.1 向量的加法运算
[目标] 1.理解向量加法的概念及向量加法的几何意义；2.理 解向量的加法交换律和结合律，并能熟练地运用它们进行向量计 算．
[重点] 向量加法的三角形法则及平行四边形法则． [难点] 向量加法的几何意义．
要点整合夯基础 课堂达标练经典
类型二 向量的加法运算
[例 2] (1)化简：①B→C＋A→B；②A→B＋D→F＋C→D＋B→C＋F→A. (2)如图，已知 O 为正六边形 ABCDEF 的中心，求下列向量： ①O→A＋O→E； ②A→O＋A→B； ③A→E＋A→B. [分析] 根据加法的交换律使各向量首尾相接，再运用向量 的结合律，调整向量顺序相加．
典例讲练破题型 课时作业
要点整合夯基础
知识点一 向量的加法
[填一填] 1．定义：求两个向量和 的运算，叫做向量的加法．
2．三角形法则 前提：已知非零向量 a，b.
作法与图示：
(1)在平面内任取任意一点 A.
(2)作A→B＝a，B→C＝b，再作向量A→C.
→ (3)则向量 AC
叫做
a
与
b
的和，记作
解：连接 CN，∵N 是 AB 的中点，AB＝2CD，∴AN 綉 DC，
∴四边形 ANCD 是平行四边形，C→N＝－A→D＝－b. 又C→N＋N→B＋B→C＝0， ∴B→C＝－N→B－C→N＝－12a＋b. M→N＝C→N－C→M＝C→N＋12A→N＝14a－b.
3．已知 P 为△ABC 所在平面内一点，当P→A＋P→B＝P→C成立 时，点 P 位于( D )
A．△ABC 的 AB 边上 B．△ABC 的 BC 边上 C．△ABC 的内部 D．△ABC 的外部
解析：如图，P→A＋P→B＝P→C，则 P 在△C 的外部．
第六章
平面向量及其应用
6.2 平面向量的运算
6．2.1 向量的加法运算
[目标] 1.理解向量加法的概念及向量加法的几何意义；2.理 解向量的加法交换律和结合律，并能熟练地运用它们进行向量计 算．
[重点] 向量加法的三角形法则及平行四边形法则． [难点] 向量加法的几何意义．
要点整合夯基础 课堂达标练经典
类型二 向量的加法运算
[例 2] (1)化简：①B→C＋A→B；②A→B＋D→F＋C→D＋B→C＋F→A. (2)如图，已知 O 为正六边形 ABCDEF 的中心，求下列向量： ①O→A＋O→E； ②A→O＋A→B； ③A→E＋A→B. [分析] 根据加法的交换律使各向量首尾相接，再运用向量 的结合律，调整向量顺序相加．
典例讲练破题型 课时作业
要点整合夯基础
知识点一 向量的加法
[填一填] 1．定义：求两个向量和 的运算，叫做向量的加法．
2．三角形法则 前提：已知非零向量 a，b.
作法与图示：
(1)在平面内任取任意一点 A.
(2)作A→B＝a，B→C＝b，再作向量A→C.
→ (3)则向量 AC
叫做
a
与
b
的和，记作
解：连接 CN，∵N 是 AB 的中点，AB＝2CD，∴AN 綉 DC，
∴四边形 ANCD 是平行四边形，C→N＝－A→D＝－b. 又C→N＋N→B＋B→C＝0， ∴B→C＝－N→B－C→N＝－12a＋b. M→N＝C→N－C→M＝C→N＋12A→N＝14a－b.
人教高中数学A版必修二 《平面向量的运算》平面向量及其应用教育教学课件(向量的加法运算)
人教高中数学A版必修二 《平面向量的运算》平面向量及其应用教育教学 课件(向量的加法运算)
科 目：数学
适用版本：人教高中数学A版
适用范围：【教师教学】
6．2 平面向量的运算
6．2.1 向量的加法运算
第一页，共四十一页。
内容标准
学科素养
1.借助实例和平面向量的几何意义，掌握平面向量加法运算 及运算规则． 2.理解平面向量加法运算的几何意义． 3.会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量 的和向量.
第五页，共四十一页。
(2)上述实例中位移的和运算、力的和运算分别用什么法则？ [提示] 三角形法则和平行四边形法则．
第六页，共四十一页。
知识梳理 (1)向量加法的定义：求两个向量 和 的运算，叫做向量的加法，两个向 量的和仍然是一个 向量 ．
(2)向量求和的法则：
向量求 和法则
定义
图形表示
已知非零向量 a，b，在平面上任取一点 A，作A→B＝a，B→C＝
答案：C
第十四页，共四十一页。
3．设正六边形 ABCDEF，A→B＝m，A→E＝n，则A→D＝________. 解析：如图，
E→D＝A→B＝m，所以A→D＝A→E＋E→D＝n＋m.
答案：n＋m
第十五页，共四十一页。
4．若向量 a，b 不共线，且|a|＝4，|b|＝7，则|a＋b|的取值范围是________．
第十七页，共四十一页。
解析：(1)由题图知，四边形 OAFE 为平行四边形， ∴O→A＋O→E＝O→F. (2)由图知，四边形 OABC 为平行四边形， ∴A→O＋A→B＝A→C. (3)由图知，四边形 AEDB 为平行四边形， ∴A→E＋A→B＝A→D.
第十八页，共四十一页。
科 目：数学
适用版本：人教高中数学A版
适用范围：【教师教学】
6．2 平面向量的运算
6．2.1 向量的加法运算
第一页，共四十一页。
内容标准
学科素养
1.借助实例和平面向量的几何意义，掌握平面向量加法运算 及运算规则． 2.理解平面向量加法运算的几何意义． 3.会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量 的和向量.
第五页，共四十一页。
(2)上述实例中位移的和运算、力的和运算分别用什么法则？ [提示] 三角形法则和平行四边形法则．
第六页，共四十一页。
知识梳理 (1)向量加法的定义：求两个向量 和 的运算，叫做向量的加法，两个向 量的和仍然是一个 向量 ．
(2)向量求和的法则：
向量求 和法则
定义
图形表示
已知非零向量 a，b，在平面上任取一点 A，作A→B＝a，B→C＝
答案：C
第十四页，共四十一页。
3．设正六边形 ABCDEF，A→B＝m，A→E＝n，则A→D＝________. 解析：如图，
E→D＝A→B＝m，所以A→D＝A→E＋E→D＝n＋m.
答案：n＋m
第十五页，共四十一页。
4．若向量 a，b 不共线，且|a|＝4，|b|＝7，则|a＋b|的取值范围是________．
第十七页，共四十一页。
解析：(1)由题图知，四边形 OAFE 为平行四边形， ∴O→A＋O→E＝O→F. (2)由图知，四边形 OABC 为平行四边形， ∴A→O＋A→B＝A→C. (3)由图知，四边形 AEDB 为平行四边形， ∴A→E＋A→B＝A→D.
第十八页，共四十一页。
向量的加法运算 高中数学(人教A版2019必修第二册课件)
课堂练习 变式2. 有一条东西向的小河，一艘小船从河南岸的渡口出发渡河. 小船航
行速度的大小为15 km/h，方向为北偏西30°，河水的速度为向东7.5 km/h，
求小船实际航行速度的大小与方向.
D
C
解：如图示，AB表示水流的速度，AD表示小船的速度.
由已知得 | AB | 7.5,| AD | 15,BAD 120.
一质点两次位移AB，BC 的结果，与从点A直接
到点C的位移 AC 结果相同.因此，位移AC 可以看成是位移AB 与BC 合成的.
数的加法启发我们，从运算的角度看，AC 可以看作是AB 与BC 的和，即位
移的合成可以看作向量的加法.
探究1.向量加法的三角形法则
1、向量的加法： (1)、定义：求两个向量和的运算叫向量的加法。
从向量的物理背景和数的运算中得到启发，引进 了向量的运算。
我们知道，位移、力是向量，它们可以合成.能 否从位移、力的合成中得到启发，引进向量的加法 呢？
引入
问题1 如图，某质点从点A经过点B到点C，这个质点 B
C
的位移如何表示？ 位移: AB BC AC
上述分析表明，两个向量可以相加，并且两个向量的和还是
探究2：向量加法的平行四边形法则 D
a a a a a a a a a a a+b
bb
b
A
b
b
bC
a
B
作法:(1)在平面取一点A
(2)以点A为起点以向量a、b为邻边作平行
四边形ABCD.即AD＝BC＝a,AB=DC=b
（3）则以点A为起点的对角线AC＝a+b
练习2.如图,已知
边形法则作出
（1）
用向量加法的平行四
2020_2021学年新教材高中数学第六章平面向量及其应用6.2.1向量的加法运算同步课件新人教A版
【补偿训练】
在平行四边形ABCD中(如图),对角线AC,BD交于点O,则
① A DA B=
.
② C D A C D O =
.
③ A B A D C D =
.
④ A C B A D A =
.
类型三 向量加法的应用(逻辑推理、直观想象) 角度1 与平面几何知识综合应用 【典例】已知四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,且 A O O C ， D O O B . 求证:四边形ABCD是平行四边形. 【思路导引】利用向量加法结合题目条件推证 A BD C .
【补偿训练】
1.在矩形ABCD中,| A B |=4,| B C |=2,则向量 A B A D A C 的长度等于 ( )
A.2 5
B.4 5
C.12
D.6
【解析】选B.因为 A B A D A C ， 所以 A B A D A C 的长度为 A C 的模的2倍,
即为4 5 .
2.如图,已知▱ABCD,O是两条对角线的交点,E是CD的一个三等分点,求作:
A . O H B . O G C . F O D . E O
3.如图,已知向量a,b.
(1)用平行四边形法则作出向量a+b; (2)用三角形法则作出向量a+b.
【解题策略】 1.应用三角形法则应注意的问题 使用三角形法则求两个向量的和时,应注意“首尾相连,起点指终点”,即首尾 相连的两个向量的和对应的向量是第一个向量的起点指向第二个向量的终点. 2.应用平行四边形法则应注意的问题 (1)平行四边形法则只适用于求不共线的两个向量的和. (2)基本步骤可简述为:共起点,两向量所在线段为邻边作平行四边形,找共起点 的对角线对应的向量.