高考数学 必考热点分类集中营6

高考数学必考热点分类集中营63.【2010⋅新课标全国理】若4cos5α=-，α是第三象限的角，则1tan21tan2αα+=-(A)12-(B)12(C) 2 (D) -24.【2010⋅新课标全国文】若4sin5a=-，a是第三象限的角，则sin()4aπ+=（A）72（B72（C）2（D2【命题意图猜想】1.三角函数的化简、求值及最值问题，主要考查同角三角函数的基本关系式，三角函数的诱导公式，和、差、倍、半、和积互化公式在求三角函数值时的应用，考查利用三角公式进行恒等变形的技能，以及基本运算的能力，特别突出算理方法的考查．2.2011年的试题主要考查三角函数的概念、二倍角的余弦公式．2010年试题主要考查三角恒等变换中的倍角公式的灵活运用、同角的三角函数关系等知识以及相应的运算能力.通过这两年试题来看，二倍角公式是必考的内容，是一个核心.2012年因为考查了一道三角函数的解答题，故小题中没有涉及三角化简求值，而是命制了一道三角函数的性质的题目，预测2013年高考题会考查三角函数的化简与求值，但是题目难度为中低档，且很有可能与三角函数的定义联系到一起.3.从近几年的高考试题来看，利用同角三角函数的关系改变三角函数的名称，利用诱导公式、和差角公式及二倍角公式改变角的恒等变换是高考的热点，常与三角函数式的求值、三角函数的图象与性质、向量等知识综合考查，既有选择题、填空题，又有解答题，属中低档题．【最新考纲解读】1．任意角的概念、弧度制(1)了解任意角的概念．(2)了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化．2．和与差的三角函数公式(1)会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式．(2)能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式．(3)能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系．3．简单的三角恒等变换能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆)．【回归课本整合】一．三角函数诱导公式1.对于形如2,,()k a a a k Z ππ±-±∈即满足2n πα+中n 取偶数时：等于角α的同名三角函数，前面加上一个把α看成是锐角时，该角所在象限的符号；2.对于形如3,()22a a k Z ππ±±∈即满足2n πα+中n 取奇数时：等于角α的余名三角函数，前面加上一个把α看成是锐角时，该角所在象限的符号.3.口诀：奇变偶不变，符号看象限（看原函数，同时可把α看成是锐角）.4.运用诱导公式转化角的一般步骤： (1)负化正：当已知角为负角时，先利用负角的诱导公式把这个角的三角函数化为正角的三角函数值；(2)正化负：当已知角是大于360的角时，可用360k α⋅+的诱导公式把这个角的三角函数值化为主区间0360→内的三角函数值；(3)主化锐：当已知角是90到360内的角时，可利用180,270,360ααα---的诱导公式把这个角的三角函数值化为0到90内的角.二． 两角和与差的三角函数公式1. 两角和与差的正弦公式：()sin αβ±=sin cos cos sin αβαβ±.变形式： ()()sin sin αβαβ++-=2sin cos αβ()();sin sin αβαβ+--=2cos sin αβ；2.两角和与差的余弦公式：()cos αβ±=cos cos sin sin αβαβ变形式：()()cos cos αβαβ++-=2cos cos αβ； ()()cos cos αβαβ+--=2sin sin αβ；3．两角和与差的正切公式：()tan αβ±=tan tan 1tan tan αβαβ±())2k k Z παβαβπ+≠+∈（、、. 变形式：tan tan αβ±=()()tan 1tan tan αβαβ±.注意：运用两角和与差的三角函数公式的关键是熟记公式，我们不仅要记住公式，更重要的是抓住公式的特征，如角的关系，次数关系，三角函数名等抓住公式的结构特征对提高记忆公式的效率起到至关重要的作用，而且抓住了公式的结构特征，有利于在解题时观察分析题设和结论等三角函数式中所具有的相似性的结构特征，联想到相应的公式，从而找到解题的切入点.三．二倍角公式的正弦、余弦、正切1.二倍角的正弦公式:sin 2α=2sin cos αα；二倍角的余弦公式:cos 2α=22cos sin αα-=22cos 1α-=212sin α-；二倍角的正切公式:tan 2α=　22tan 1tan αα- . 2. 降幂公式：sin cos αα=1sin 22α；2sin α=1cos 22α-；2cos α=1cos 22α+. 3.升幂公式：1sin 2α+=2(sin cos )αα+;1cos 2α+=22cos α;1cos 2α-=22sin α.注意：在二倍角公式中，两个角的倍数关系，不仅限于2α是α的二倍，要熟悉多种形式的两个角的倍数关系，同时还要注意απαπα-+442，，三个角的内在联系的作用，⎪⎭⎫ ⎝⎛±⎪⎭⎫ ⎝⎛±=⎪⎭⎫ ⎝⎛±=απαπαπα4cos 4sin 222sin 2cos 是常用的三角变换. 【方法技巧提炼】1.正、余弦三兄妹“sin cos x x ±、sin cos x x ⋅”的应用sin cos x x ±与sin cos x x ⋅通过平方关系联系到一起，即2(sin cos )12sin cos x x x x ±=±，2(sin cos )1sin cos ,2x x x x +-=21(sin cos )sin cos .2x x x x --=因此在解题中若发现题设条件有三者之一，就可以利用上述关系求出或转化为另外两个.2.如何利用“切弦互化”技巧（1）弦化切：把正弦、余弦化成切得结构形式，这样减少了变量，统一为“切”得表达式，进行求值.常见的结构有:①sin ,cos αα的二次齐次式（如22sin sin cos cos a b c αααα++）的问题常采用“1”代换法求解；②sin ,cos αα的齐次分式（如sin cos sin cos a b c d αααα++）的问题常采用分式的基本性质进行变形． （2）切化弦：利用公式tan α=sin cos αα，把式子中的切化成弦.一般单独出现正切、余切的时候，采用此技巧.3.三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路基本思路是：一角二名三结构.即首先观察角与角之间的关系，注意角的一些常用变式，角的变换是三角函数变换的核心.第二看函数名称之间的关系，通常“切化弦”；第三观察代数式的结构特点.基本的技巧有:（1）巧变角：已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换.如()()ααββαββ=+-=-+，2()()ααβαβ=++-，2()()αβαβα=+--，22αβαβ++=⋅，()()222αββααβ+=---等. (2)三角函数名互化：切割化弦，弦的齐次结构化成切.(3)公式变形使用：如 ()()()()()()()()cos cos sin sin cos tan 1tan tan tan tan tan tan tan tan tan tan tan tan tan tan tan tan .αββαββααβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ+++=+-=++=+--+++=+，，，(4)三角函数次数的降升：降幂公式与升幂公式.(5)式子结构的转化.(6)常值变换主要指“1”的变换：221sin cos x x =+22sec tan tan cot x x x x =-=⋅tan sin 42ππ===等. （7）辅助角公式：()sin cos a x b x x θ+=+(其中θ角所在的象限由a b 、的符号确定，θ的值由 tan b aθ=确定.在求最值、化简时起着重要作用,这里只要掌握辅助角θ为特殊角的情况即可.如sin cos ),sin 2sin(),cos 2sin()436x x x x x x x x x πππ±=±±=±±=±等.【考场经验分享】1．在利用三角函数定义时，点P 可取终边上任一点，如有可能则取终边与单位圆的交点．|OP |＝r 一定是正值．2．同角三角函数关系及诱导公式要注意象限角对三角函数符号的影响，尤其是利用平方关系在求三角函数值时，进行开方时要根据角的象限或范围判断符号，正确取舍．3．使用诱导公式时一定要注意三角函数值在各象限的符号，特别是在具体题目中出现类似kπ±α(k ∈Z)的形式时，需要对k 的取值进行分类讨论，从而确定三角函数值的正负．4.重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变角、变名、变式”；变角为：对角的拆分要尽可能化为同名、同角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等．在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角度、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异，再选择适当的三角公式恒等变形． 5.本热点一般难度不大，属于得全分的题目，一般放在选择题的中间位置.但是因题目解法的灵活性造成在紧张的考试氛围里面，容易一时的思路堵塞，需冷静处理.如果一时想不到化简的方向，可暂且放一放，不要钻牛角尖，否则可能造成心理负担，情绪受到影响.因新课标高考对这个热点考查难度已经降低，同学们应有必胜的信心.【新题预测演练】1.【2013河北省名校名师俱乐部高三3月模拟考试】已知(0,)2πα∈，cos α=cos()6πα+=（ ） A ．1626- B ．616- C ．1626-+ D ．616-+4. [2012-2013学年云南省昆明市高三（上）摸底调研测试]已知，则sin2x 的值为（ ）A ．B ．C ．D ．5.【四川省成都市2013届高中毕业班第一次诊断性检测】已知=3，则tanx 的值是 (A)3(B)—3(C)2 (D)-2 6.【山东省烟台市2012-2013学年度第一学期模块检测】已知25242sin -=α，⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈04，πα，则ααcos sin +等于A ．51-B ．51C ．57-D ．579.【山东省实验中学2013届高三第二次诊断性测试】已知21)4tan(-=+πα，且παπ<<2，则)4sin(cos 22sin 2πααα--等于 A.552 B.1053- C.552- D.10103- 10.【重庆市部分重点中学2012—2013年高三上学期第一次联考】当0＜x ＜2π时,函数x x x x f 2sin sin 82cos 1)(2++=的最小值为 A ．2 B ．32C ．4 D ．3412.【2013届河北省重点中学联合考试】已知3sin 25α=(2)2παπ<<，1tan()2αβ-=，则tan()αβ+=（ ）A ．-2B ．-1C ．211-D ．21113.【山东省泰安市2013届高三上学期期中考试数学】已知()sin cos 2,0,αααπ-=∈，则tan α等于A.1-B.22-C.22D.114.【2012-2013学年江西省南昌二中高三（上）第四次月考】若，则的值是（ ）A ．B ．C ．D ．18.【安徽省皖南八校013届高三第二次联考】已知角a 的终边经过点P(x,- 6),且tan a= 35-,则x 的值为____.19.【江苏省南通市2013届高三第二次调研测试】设()αβ∈0π，，，且5sin()13αβ+=, 1tan 22α=．则cos β的值为． 20.【2013届贵州天柱民中、锦屏中学、黎平一中、黄平民中四校联考】已知(,2),tan 2,αππαα∈=-=则cos 。