内江市中考数学试题
(整理)四川省内江市中考数学试卷
（2） ．
加试卷（共50分）
注意事项：
加试卷共4页，请将答案直接填写在试卷上．
一、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请将最简答案直接填在题中横线上．）
1．如图所示，将 沿着DE翻折，若 ，则 ．
2．已知 的周长是 ，斜边上的中线长是2，则 ．
3．已知 ，则 ．
4．把一张纸片剪成4块，再从所得的纸片中任取若干块，每块又剪成4块，像这样依次地进行下去，到剪完某一次为止．那么2007，2008，2009，2010这四个数中可能是剪出的纸片数．
（C） （D）
9．打开某洗衣机开关（洗衣机内无水），在洗涤衣服时，洗衣机经历了进水、清洗、排水、脱水四个连续过程，其中进水、清洗、排水时洗衣机中的水量 （升）与时间 （分钟）之间满足某种函数关系，其函数图象大致为（）
10．如图所示，数轴上表示 的对应点分别为C、B，点C是
AB的中点，则点A表示的数是（）
（2）类比与推理
如果把“等腰三角形”改成“等边三角形”，那么P的位置可以由“在底边上任一点”放宽为“在三角形内任一点”，即：
已知等边 内任意一点P到各边的距离分别为 ，等边 的高为 ，试证明 （定值）．
（3）拓展与延伸
若正 边形 内部任意一点P到各边的距离为 ，请问是 是否为定值，如果是，请合理猜测出这个定值．
6．（10分）我市部分地区近年出现持续干旱现象，为确保生产生活用水，某村决定由村里提供一点，村民捐一点的办法筹集资金维护和新建一批储水池．该村共有243户村民，准备维护和新建的储水池共有20个，费用和可供使用的户数及用地情况如下表：
储水池
费用（万元/个）
可供使用的户数（户/个）
占地面积（m2/个）
2020年四川省内江中考数学试题及答案(word版).doc
2020年四川省内江市中考数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1、下列四个实数中，比1-小的数是（ ）A 、2-B 、0C 、1D 、22、如图，把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，如果∠1=32°，那么∠2的度数是（ ）A 、32°B 、58°C 、68°D 、60°3、某红外线遥控器发出的红外线波长为0.000 000 94m ，用科学记数法表示这个数是（ ）A 、79.410-⨯mB 、79.410⨯mC 、89.410-⨯mD 、89.410⨯m 4、在下列几何图形中，一定是轴对称图形的有（ ）A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个5、为了解某市参加中考的32000名学生的体质情况，抽查了其中1600名学生的体重进行统计分析．下面叙述正确的是（ ）A 、32000名学生是总体B 、1600名学生的体重是总体的一个样本C 、每名学生是总体的一个个体D 、以上调査是普查6、下列多边形中，不能够单独铺满地面的是（ ）A 、正三角形B 、正方形C 、正五边形D 、正六边形 7、某中学数学兴趣小组12名成员的年龄悄况如下：年龄（岁） 12 13 14 15 16人数 1 4 3 2 2则这个小组成员年龄的平均数和中位数分别是（ ）A 、15，16B 、13，15C 、13，14D 、14，148、由一些大小相同的小正方体搭成的几何体的俯视图如右图所示，其正方形中的数字表示该位置上的小正方体的个数，那么该几何体的主视图是（ ）9、如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，∠BAC=60°，若⊙O 的半径0C 为2，则弦BC 的长为（ ）A 、1B 3C 、2D 、 10、小高从家骑自行车去学校上学，先走上坡路到达点A ，再走下坡路到达点B ，最后走平路到达学校，所用的时间与路程的关系如图所示．放学后，如果他沿原路返回，且走平路、上坡路、下坡路的速度分别保持和去上学时一致，那么他从学校到家需要的时间是（ ）A 、14分钟B 、17分钟C 、18分钟D 、20分钟11、如图，在等边△ABC 中，D 为BC 边上一点，E 为AC 边上一点，且∠ADE=60°，BD=4，CE=43，则△ABC 的面积为（ ）A 、B 、15C 、D 、 12、如图．在直角坐标系中，矩形ABC0的边OA 在x 轴上，边0C 在y 轴上，点B 的坐标为（1，3），将矩形沿对角线AC 翻折，B 点落在D 点的位置，且AD 交y 轴于点E ．那么点D 的坐标为（ ） A 、412()55-，B 、213()55-， C 、113()25-， D 、312()55-， 二、填空题{本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将最后答案直接写在题中横线上.）13、“Welcomc to Senior High School ．”（欢迎进入高中），在这段句子的所有英文字母中，字母O 出现的频率是________。
四川省内江市2020年中考数学试题(Word版,含答案与解析)
四川省内江市2020年中考数学试卷一、单选题（共12题；共24分）1.下列四个数中，最小的数是（）A. 0B. −1C. 5D. −12020【答案】 D【考点】有理数大小比较<0<5，【解析】【解答】∵−1<−12020∴最小的数是−1，故答案为：D．【分析】先根据有理数的大小比较法则比较大小，即可得出选项．2.下列图形是我国国产品牌汽车的标识，在这些汽车标识中，是中心对称图形的是（）A. B.C. D.【答案】B【考点】中心对称及中心对称图形【解析】【解答】由中心对称的定义知，绕一个点旋转180°后能与原图重合，只有选项B是中心对称图形．故选：B【分析】根据中心对称图形的定义和图形的特点即可求解．3.如图，已知直线a//b，∠1=50°，则∠2的度数为（）A. 140°B. 130°C. 50°D. 40°【答案】B【考点】平行线的性质【解析】【解答】如图，∵a∥b，∴∠1＝∠3＝50°，∴∠2＝180°−50°＝130°，故答案为：B．【分析】利用平行线的性质即可解决问题．4.小明参加学校举行的“保护环境”主题演讲比赛，五位评委给出的评分分别为：90，85，80，90，95，则这组数据的中位数和众数分别是（）A. 80，90B. 90，90C. 90，85D. 90，95【答案】B【考点】中位数，众数【解析】【解答】把分数从小到大排列为：80,85,90,90,95故中位数为90，众数为90故答案为：B．【分析】根据中位数、众数的定义即可求解．5.将直线y=−2x−1向上平移两个单位，平移后的直线所对应的函数关系式为（）A. y=−2x−5B. y=−2x−3C. y=−2x+1D. y=−2x+3【答案】C【考点】两一次函数图象相交或平行问题，平移的性质，图形的平移【解析】【解答】解：原直线的k=-2，b=-1；向上平移两个单位得到了新直线，那么新直线的k=-2，b=-1+2=1．∴新直线的解析式为y=-2x+1．故答案为：C．【分析】向上平移时，k的值不变，只有b发生变化．6.如图，在ΔABC中，D、E分别是AB和AC的中点，S四边形BCED=15，则SΔABC=（）A. 30B. 25C. 22．5D. 20【答案】 D【考点】相似三角形的判定与性质BC，故可以判【解析】【解答】解：根据题意，点D和点E分别是AB和AC的中点，则DE∥BC且DE= 12断出△ADE∽△ABC,根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可知SΔADE：SΔABC=1：4，则S：SΔABC=3：4，题中已知S四边形BCED=15，故可得SΔADE=5，SΔABC=20四边形BCED故本题选择D【分析】首先判断出△ADE∽△ABC，然后根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求出△ABC的面积．7.如图，点A,B,C,D在⊙O上，∠AOC=120°，点B是AC⌢的中点，则∠D的度数是（）A. 30°B. 40°C. 50°D. 60°【答案】A【考点】圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理【解析】【解答】连接OB，∵点B是AC⌢的中点，∴∠AOB＝12∠AOC＝60°，由圆周角定理得，∠D＝12∠AOB＝30°，故答案为：A．【分析】根据圆心角、弧、弦的关系定理得到∠AOB＝12∠AOC，再根据圆周角定理解答．8.如图，点A是反比例函数y=kx图象上的一点，过点A作AC⊥x轴，垂足为点C，D为AC的中点，若ΔAOD的面积为1，则k的值为（）A. 43B. 83C. 3D. 4【答案】 D【考点】反比例函数系数k的几何意义，三角形的面积【解析】【解答】点A的坐标为（m，2n），∴2mn=k，∵D为AC的中点，∴D（m，n），∵AC⊥x轴，△ADO的面积为1，∴S△ADO =12AD⋅OC=12(2n−n)⋅m=12mn=1，∴mn=2，∴k=2mn=4，故答案为：D．【分析】先设出点A的坐标，进而表示出点D的坐标，利用△ADO的面积建立方程求出mn=2，即可得出结论．9.我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托．折回索子却量竿，却比竿子短一托．”其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．设绳索长x尺．则正确的方程是（）A. 12x=(x−5)−5 B. 12x=(x+5)+5C. 2x=(x−5)−5D. 2x=(x+5)+5【答案】A【考点】一元一次方程的实际应用-古代数学问题【解析】【解答】设索为x尺，杆子为( x−5)尺，根据题意得：12x=( x−5) −5．故答案为：A．【分析】设索为x尺，杆子为( x−5)尺，则根据“将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺”，即可得出关于x一元一次方程．10.如图，矩形ABCD中，BD为对角线，将矩形ABCD沿BE、BF所在直线折叠，使点A落在BD上的点M 处，点C落在BD上的点N处，连结EF．已知AB=3，BC=4，则EF的长为（）A. 3B. 5C. 5√136D. √13【答案】C【考点】勾股定理，矩形的性质，轴对称的性质，翻折变换（折叠问题）【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，AB=3，BC=4，∴BD= √32+42=5，设AE 的长度为x ，由折叠可得：△ABE ≌△MBE ，∴EM=AE=x ，DE=4-x ，BM=AB=3，DM=5-3=2，在Rt △EMD 中，EM 2+DM 2=DE 2 ，∴x 2+22=（4-x ）2 ，解得：x= 32 ，ED=4- 32 = 52 ，设CF 的长度为y ，由折叠可得：△CBF ≌△NBF ，∴NF=CF=y ，DF=3-y ，BN=BC=4，DN=5-4=1，在Rt △DNF 中，DN 2+NF 2=DF 2 ，∴y 2+12=（3-y ）2 ，解得：x= 43 ，DF=3- 43 = 53 ，在Rt △DEF 中，EF= √DE 2+DF 2=√(52)2+(53)2=5√136 ，故答案为：C ．【分析】由矩形的性质和已知求出BD=5，根据折叠的性质得△ABE ≌△MBE ，设AE 的长度为x ，在Rt △EMD 中，由勾股定理求出DE 的长度，同理在Rt △DNF 中求出DF 的长度，在Rt △DEF 中利用勾股定理即可求出EF 的长度．11.在平面直角坐标系中，横坐标和纵坐标都是整数的点叫做整点，已知直线 y =tx +2t +2 （ t >0 ）与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有四个整点，则t 的取值范围是（ ） A. 12≤t <2 B. 12<t ≤1 C. 1<t ≤2 D. 12≤t ≤2 且 t ≠1【答案】 D【考点】一次函数与不等式（组）的综合应用，一次函数图象与坐标轴交点问题，数学思想【解析】【解答】∵ y =tx +2t +2 ，∴当y=0时，x= −2−2t ；当x=0时，y=2t+2，∴直线 y =tx +2t +2 与x 轴的交点坐标为（ −2−2t ，0），与y 轴的交点坐标为（0，2t+2）， ∵t>0，∴2t+2>2，当t= 12 时，2t+2=3，此时 −2−2t =-6，由图象知：直线 y =tx +2t +2 （ t >0 ）与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有四个整点，如图1，当t=2时，2t+2=6，此时 −2−2t =-3，由图象知：直线 y =tx +2t +2 （ t >0 ）与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有四个整点，如图2，当t=1时，2t+2=4， −2−2t =-4，由图象知：直线 y =tx +2t +2 （ t >0 ）与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有三个整点，如图3，∴1≤t≤2且t≠1，2故答案为：D.【分析】画出函数图象，利用图象可得t的取值范围.12.的倒数是（）A. B. C. D.【答案】C【考点】有理数的倒数【解析】【解答】∵，∴的倒数是.故答案为：C【分析】由互为倒数的两数之积为1，即可求解.二、填空题（共8题；共8分）13.函数y=1中，自变量x的取值范围是________ ．2x−4【答案】x≠2【考点】分式有意义的条件【解析】【解答】根据函数可知：2x−4≠0,解得：x≠2．故答案为：x≠2．【分析】分式有意义的条件：分母不为0，据此解答即可.14.2020年6月23日9时43分，我国在西昌卫星发射中心用长征三号乙运载火箭，成功发射北斗系统第五十五颗导航卫星，标志着北斗三号卫星导航定位系统正式建成．根据最新数据，目前兼容北斗的终端产品至少有7亿台，其中7亿用科学记数法表示为________【答案】7×108【考点】科学记数法—表示绝对值较大的数【解析】【解答】7亿=700000000= 7×108，故答案为：7×108．【分析】科学记数法的表示形式为：a×10n，其中1≤∣a∣﹤10，n为整数，确定a值和n值即可解答．15.已知关于x的一元二次方程(m−1)2x2+3mx+3=0有一实数根为−1，则该方程的另一个实数根为________【答案】−13【考点】一元二次方程的根【解析】【解答】解：把x=-1代入(m−1)2x2+3mx+3=0得m2-5m+4=0，解得m1=1,m2=4，∵(m-1)2≠0，∴m ≠1．∴m=4.∴方程为9x2+12x+3=0..设另一个根为a,则-a= 39∴a=- 1.3．故答案为:- 13【分析】根据一元二次方程的解的定义把x=-1代入原方程得到关于m的一元二次方程，解得m的值，然后根据一元二次方程的定义确定m的值．16.如图，在矩形ABCD中，BC=10，∠ABD=30°，若点M、N分别是线段DB、AB上的两个动点，则AM+MN的最小值为________．【答案】15.【考点】含30°角的直角三角形，矩形的性质，轴对称的应用-最短距离问题【解析】【解答】解：如图，过A作AG⊥BD于G，延长AG，使AG=EG，过E作EN⊥AB于N，交BD于M，则AM+MN=EN最短，∵四边形ABCD为矩形，BC=10，∠ABD=30°，∴AD=10,BD=20,AB=BD•cos30°=10√3,∵AG•BD=AD•AB,∴20AG=10×10√3,∴AG=5√3,AE=2AG=10√3,∵AE⊥BD,EN⊥AB,∠EMG=∠BMN,∴∠E=∠ABD=30°,∴EN =AE •cos30°=10√3×√32=15,∴AM +MN =15,即 AM +MN 的最小值为 15.故答案为： 15.【分析】如图，过A 作 AG ⊥BD 于 G ，延长 AG ，使 AG =EG ，过 E 作 EN ⊥AB 于 N ，交 BD 于 M ，则 AM +MN =EN 最短，再利用矩形的性质与锐角三角函数求解 EN 即可得到答案． 17.分解因式： b 4−b 2−12= ________【答案】 (b 2+3)(b +2)(b −2)【考点】因式分解﹣运用公式法，十字相乘法因式分解【解析】【解答】 b 4−b 2−12= (b 2+3)(b 2−4)=(b 2+3)(b +2)(b −2)故答案为： (b 2+3)(b +2)(b −2) ．【分析】先根据十字相乘法，再利用平方差公式即可因式分解．18.若数a 使关于x 的分式方程 x+2x−1+a 1−x =3 的解为非负数，且使关于y 的不等式组 {y−34−y+13≥−13122(y −a)<0的解集为 y ≤0 ，则符合条件的所有整数a 的积为________ 【答案】 40【考点】解分式方程，解一元一次不等式组【解析】【解答】解：分式方程 x+2x−1+a 1−x =3 的解为x=5−a 2 且x≠1， ∵分式方程 x+2x−1+a 1−x =3 的解为非负数，∴ 5−a 2≥0 且 5−a 2 ≠1.∴a ≤ 5且a≠3.{y −34−y +13≥−1312①2(y −a)<0②解不等式①，得 y ≤0 .解不等式②，得y<a.∵关于y 的不等式组 {y−34−y+13≥−13122(y −a)<0 的解集为 y ≤0 ，∴a>0.∴0<a ≤ 5且a≠3.又a为整数，则a的值为1，2，4，5.符合条件的所有整数a的积为1×2×4×5=40.故答案为：40.【分析】根据分式方程的解为正数即可得出a ≤5且a≠3，根据不等式组的解集为y≤0，即可得出a>0，找出0<a ≤5且a≠3中所有的整数，将其相乘即可得出结论．19.如图，在平面直角坐标系中，点A（-2，0），直线l:y=√33x+√33与x轴交于点B，以AB为边作等边ΔABA1，过点A1作A1B1//x轴，交直线l于点B1，以A1B1为边作等边ΔA1B1A2，过点A2作A2B2//x轴，交直线l于点B2，以A2B2为边作等边ΔA2B2A3，以此类推……，则点A2020的纵坐标是________【答案】√32(22020−1)【考点】含30°角的直角三角形，探索数与式的规律，一次函数图象与坐标轴交点问题【解析】【解答】如图，过A1作A1C⊥AB与C，过A2作A2C1⊥A1B1于C1，过A3作A3C2⊥A2B2于C2，先根据直线方程与x轴交于点B（-1，0），与y轴交于点D（0，√33），∴OB=1,OD= √33,∴∠DBO=30º由题意可得：∠A1B1B=∠A2B2B1=30º,∠B1A1B=∠B2A2B1=60º∴∠A1BB1=∠A2B1B2=90º，∴AB=1，A1B1=2A1B=21，A2B2=2A2B1=22，A3B3=2A3B2=23，…A n B n=2n∴A1C= √32AB= √32×1，A1纵坐标为√32×1= √32(21−1)；A2C1= √32A1B1= √32×21，A2的纵坐标为√32×1+ √32×21= √32(20+21)= √32×3= √32(22−1)；A3C2= √32A2B2= √32×22,A3的纵坐标为√32×1+ √32×21+ √32×22= √32(20+21+22)= √32×7= √32(23−1)；…由此规律可得：A n C n-1= √32×2n−1,A n的纵坐标为√32(20+21+22+⋯+2n−1)= √32(2n−1)，∴A2020= √32(22020−1)，故答案为：√32(22020−1)【分析】如图，过A1作A1C⊥AB与C，过A2作A2C1⊥A1B1于C1，过A3作A3C2⊥A2B2于C2，先根据直线方程与x轴交于点B（-1，0），且与x轴夹角为30º，则有AB=1，然后根据平行线的性质、等边三角形的性质、含30º的直角三角形的性质，分别求的A1、A2、A3、的纵坐标，进而得到A n的纵坐标，据此可得A2020的纵坐标，即可解答．20.已知抛物线y1=−x2+4x（如图）和直线y2=2x+b．我们规定：当x取任意一个值时，x对应的函数值分别为y1和y2．若y1≠y2，取y1和y2中较大者为M；若y1=y2，记M=y1=y2．①当x=2时，M的最大值为4；②当b=−3时，使M>y2的x的取值范围是−1<x< 3；③当b=−5时，使M=3的x的值是x1=1，x2=3；④当b≥1时，M随x的增大而增大．上述结论正确的是________（填写所有符合题意结论的序号）【答案】②③④【考点】函数的表示方法，分段函数，二次函数与一次函数的综合应用，二次函数的其他应用【解析】【解答】解：对于①：当x=2时，y1=−22+4×2=4，y2=2×2+b=4+b，显然只要b>0，则M的值为4+b，故①不符合题意；对于②：当b=−3时，在同一直角坐标系内画出y1,y2的图像，如下图所示，其中红色部分即表示M，联立y1,y2的函数表达式，即−x2+4x=2x−3，求得交点横坐标为3和−1，观察图形可知M>y2的x的取值范围是−1<x<3，故②符合题意；对于③：当b=−5时，在同一直角坐标系内画出y1,y2的图像，如下图所示，其中红色部分即表示M，联立y1,y2的函数表达式，即−x2+4x=2x−5，求得其交点的横坐标为1+√6和1−√6，故M=3时分类讨论：当y1=−x2+4x=3时，解得x1=3或x2=1，当y2=2x−5=3时，解得x3=4>1+√6(舍)，故③符合题意；对于④：当b≥1时，函数y2≥y1，此时y2图像一直在y1图像上方，如下图所示，故此时M= y2，故M随x的增大而增大，故④符合题意．故答案为：②③④．【分析】根据题目中的较大者M的定义逐个分析即可．三、解答题（共8题；共92分）)−1−|−2|+4sin60°−√12+(π−3)021.计算：(−12)−1−|−2|+4sin60°−√12+(π−3)0【答案】解：(−12=−2−2+2√3−2√3+1=−3【考点】实数的运算，0指数幂的运算性质，负整数指数幂的运算性质，特殊角的三角函数值【解析】【分析】根据负整数指数幂、绝对值、特殊角的三角函数值、二次根式和零次幂的运算法则分别对每项进行化简，再进行加减计算即可．22.如图，点C，E，F，B在同一直线上，点A，D在BC异侧，AB∥CD，AE＝DF，∠A ＝∠D．（1）求证：AB=CD；（2）若AB＝CF，∠B＝40°，求∠D的度数．【答案】（1）证明：∵AB∥CD，∴∠B＝∠C，在△ABE和△CDF中，∠B＝∠C，AE=DF ，∠A＝∠D．∴△AEB≌△DFC．∴AB＝CD.（2）解：∵AB＝CD，AB＝CF，∴CD＝CF，∵∠B＝∠C=40°，∴∠D＝(180°－40°)÷2＝70°．【考点】全等三角形的判定与性质【解析】【分析】（1）根据平行线的性质求出∠B=∠C，根据AAS推出△ABE≌△CDF，根据全等三角形的性质得出即可；（2）根据全等得出AB=CD，BE=CF，∠B=∠C，求出CF=CD，推出∠D=∠CFE，即可求出答案．23.我市某中学举行“法制进校园”知识竞赛，赛后将学生的成绩分为A、B、C、D四个等级，并将结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图．请你根据统计图解答下列问题．（1）成绩为“B等级”的学生人数有________名；（2）在扇形统计图中，表示“D等级”的扇形的圆心角度数为________，图中m的值为________；（3）学校决定从本次比赛获得“A等级”的学生中选出2名去参加市中学生知识竞赛．已知“A等级”中有1名女生，请用列表或画树状图的方法求出女生被选中的概率．【答案】（1）5（2）72°；40（3）根据题意画树状图如下：∴P（女生被选中）= 46=23．【考点】总体、个体、样本、样本容量，扇形统计图，列表法与树状图法，概率公式【解析】【解答】（1）学生总人数为3÷15%=20（人）∴成绩为“B等级”的学生人数有20-3-8-4=5（人）故答案为：5；（2）“D等级”的扇形的圆心角度数为420×360°=72°×100=40，m= 820故答案为：72°；40；【分析】（1）先根据“A等级”的人数及占比求出学生总人数，再减去各组人数即可求出成绩为“B等级”的学生人数；（2）根据“D等级”的占比即可求出其圆心角度数，根据“C等级”的人数即可求出m的值；（3）根据题意画树状图，再根据概率公式即可求解．24.为了维护我国海洋权力，海监部门对我国领海实行了常态化巡航管理．如图，正在执行巡航任务的海监船以每小时60海里的速度向正东方向航行，在A处测得灯塔P在北偏东60°方向上，海监船继续向东航行1小时到达B处，此时测得灯塔P在北偏东30°方向上．（1）求B处到灯塔P的距离；（2）已知灯塔P的周围50海里内有暗礁，若海监船继续向正东方向航行是否安全？【答案】（1）过点P作PD⊥AB于点D，由题意得，AB=60（海里），∠PAB=30°，∠PBD=60°，∴∠APB=∠PBD-∠PAB=60°-30°=30°=∠PAB，∴PB=AB=60（海里），答：B处到灯塔P的距离为60海里；（2）由（1）可知∠APB=∠PAB=30°，∴PB=AB=60（海里）在Rt△PBD中，=30√3（海里），PD=BPsin60°=60 ×√32∵30√3>50，∴海监船继续向正东方向航行是安全的．【考点】解直角三角形的应用﹣方向角问题【解析】【分析】（1）作PD⊥AB于D．求出∠PAB、∠PBA、∠P的度数，证得△ABP为等腰三角形，即可解决问题；（2）在Rt△PBD中，解直角三角形求出PD的值即可判定．25.如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC于点D，过点C作⊙O的切线，交OD的延长线于点E，连结BE．（1）求证：BE是⊙O的切线；（2）设OE交⊙O于点F，若DF=2，BC=4√3，求线段EF的长；（3）在（2）的条件下，求阴影部分的面积．【答案】（1）证明：连接OC，如图，∵OD⊥BC，∴CD=BD，∴OE为BC的垂直平分线，∴EB=EC，∴∠EBC=∠ECB，∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB，∴∠OBC+∠EBC=∠OCB+∠ECB，即∠OBE=∠OCE，∵CE为⊙O的切线，∴OC⊥CE，∴∠OCE=90°，∴∠OBE=90°，∴OB⊥BE，∴BE与⊙O相切．（2）设⊙O的半径为R，则OD=R-DF=R-2，OB=R，BC= 2√3在Rt△OBD中，BD= 12∵OD2+BD2=OB2，∴(R−2)2+(2√3)2=R2，解得R=4，∴OD=2，OB=4，∴∠OBD=30°，∴∠BOD=60°，∴在Rt△OBE中，∠BEO=30º，OE=2OB=8，∴EF=OE-OF=8-4=4，即EF=4；（3）由∠OCD=∠OBD=30º和OD⊥BC知：∠COD=∠BOD=60º，∴∠BOC=120º，又BC= 4√3，OE=8，∴S阴影=S四边形OBEC−S扇形OBC= 12×8×4√3−120π·42360=16√3−163π,【考点】含30°角的直角三角形，勾股定理，切线的判定，扇形面积的计算，几何图形的面积计算-割补法【解析】【分析】（1）连接OC，如图，根据垂径定理由OD⊥BC得到CD=BD，则OE为BC的垂直平分线，所以EB=EC，根据等腰三角形的性质得∠EBC=∠ECB，加上∠OBC=∠OCB，则∠OBE=∠OCE；再根据切线的性质得∠OCE=90°，所以∠OBE=90°，然后根据切线的判定定理得BE与⊙O相切；（2）设⊙O的半径为R，则OD=R-DF=R-2，OB=R，在Rt△OBD，利用勾股定理解得R=4，再利用含30º角的直角三角形边角关系可求得OE，利用EF=OE-OF即可解答；（3）利用（2）中可求得∠BOC=120º,然后利用S阴影=S四边形OBEC−S扇形OBC代入数值即可求解．26.我们知道，任意一个正整数x都可以进行这样的分解：x=m×n（m，n是正整数，且m≤n），在x的所有这种分解中，如果m，n两因数之差的绝对值最小，我们就称m×n是x的最佳分解．并规定：f(x)=mn．例如：18可以分解成1×18，2×9或3×6，因为18−1>9−2>6−3，所以3×6是18的最佳分解，所以f(18)=36=12．（1）填空：f(6)=________；f(9)=________ ；（2）一个两位正整数t（t=10a+b，1≤a≤b≤9，a，b为正整数），交换其个位上的数字与十位上的数字得到的新数减去原数所得的差为54，求出所有的两位正整数；并求f(t)的最大值；（3）填空：① f(22×3×5×7)=_____________；② f(23×3×5×7)=_____________；③ f(24×3×5×7)=_____________；④ f(25×3×5×7)=_____________．【答案】（1）23；1（2）由题意可得：交换后的数减去交换前的数的差为：10b＋a−10a−b＝9（b−a）＝54，∴b−a＝6，∵1≤a≤b≤9，∴b＝9，a＝3或b＝8，a＝2或b＝7，a＝1，∴t为39，28，17；∵39＝1×39＝3×13，∴f(39)＝313；28＝1×28＝2×14＝4×7，∴f(28)＝47；17＝1×17，∴f(17)=117；∴f(t)的最大值47．（3）2021,1415,2021,1415【考点】探索数与式的规律，定义新运算【解析】【解答】（1）6＝1×6＝2×3，∵6−1＞3−2，∴f(6)＝23；9=1×9=3×3，∵9−1＞3−3，∴f(9)=1，故答案为：23；1；（3）①∵22×3×5×7=20×21∴f(22×3×5×7)=2021；② 23×3×5×7=28×30∴f(23×3×5×7)=2830=1415；③∵24×3×5×7=40×42∴f(24×3×5×7)=4042=2021；④∵25×3×5×7=56×60∴f(25×3×5×7)=5660=1415，故答案为：2021,1415,2021,1415．【分析】（1）6＝1×6＝2×3，由已知可求f(6)＝23；9=1×9=3×3，由已知可求f(9)=1；（2）由题意可得：交换后的数减去交换前的数的差为：10b＋a−10a−b＝9（b−a）＝54，得到b−a＝6，可求t的值，故可得到f(t)的最大值；（3）根据f(x)=mn的定义即可依次求解．27.如图，正方形ABCD中，P是对角线AC上的一个动点（不与A、C重合），连结BP，将BP绕点B 顺时针旋转90°到BQ，连结QP交BC于点E，QP延长线与边AD交于点F．（1）连结CQ，求证：AP=CQ；（2）若AP=14AC，求CE:BC的值；（3）求证：PF=EQ．【答案】（1）解：∵四边形ABCD为正方形，∴AB=BC，∠ABC=90°，∵BP绕点B顺时针旋转90°到BQ，∴BP=BQ，∠PBQ=90°，∴∠ABC-∠PBC=∠PBQ-∠PBC,∴∠ABP=∠CBQ，在△APB和△CQB中，{AB=BC∠ABP=∠CBQBP=QB，∴△APB≌△CQB(SAS)，∴AP=CQ．（2）设AP=x，则AC=4x，PC=3x，由(1)知CQ=AP=x，△ABC为等腰直角三角形，∴BC= √22AC=2√2x，在Rt△PCQ中，由勾股定理有：PQ=√PC2+CQ2=√9x2+x2=√10x，且△PBQ为等腰直角三角形，∴BQ=√22PQ=√5x，又∠BCQ=∠BAP=45°，∠BQE=45°，∴∠BCQ=∠BQE=45°，且∠CBQ=∠CBQ，∴△BQE∽△BCQ，∴BQBC=BEBQ，代入数据：√5x2√2x√5x，∴BE= 5√24x，∴CE=BC-BE= 3√24x，∴CE:BC3√242√2=38，故答案为：38．（3）在CE上截取CG，并使CG=FA，如图所示：∵∠FAP=∠GCQ=45°，且由(1)知AP=CQ，且截取CG=FA，故有△PFA≌△QGC(SAS)，∴PF=QG，∠PFA=∠CGQ，又∵∠DFP=180°-∠PFA，∠QGE=180°-∠CGQ，∴∠DFP=∠QGE，∵DA //BC，∴∠DFP=∠CEQ，∴∠QGE=∠CEQ，∴△QGE为等腰三角形，∴GQ=QE，故PF=QE．【考点】三角形全等及其性质，三角形全等的判定，正方形的性质，相似三角形的判定与性质，旋转的性质【解析】【分析】(1)由旋转知△PBQ为等腰直角三角形，得到PB=QB，∠PBQ=90°，进而证明△APB≌△CQB 即可；(2)设AP=x，则AC=4x，PC=3x，由(1)知CQ=AP=x，又△ABC为等腰直角三角形，所以BC= √22AC=2√2x，PQ= √10x，再证明△BQE∽△BCQ，由此求出BE，进而求出CE:BC的值；(3)在CE上截取CG，并使CG=FA，证明△PFA≌△QGC，进而得到PF=QG，然后再证明∠QGE=∠QEG即可得到QG=EQ，进而求解．28.如图，抛物线 y =ax 2+bx +c 经过A （-1，0）、B （4，0）、C （0，2）三点，点D （x ， y ）为抛物线上第一象限内的一个动点．（1）求抛物线所对应的函数表达式；（2）当 ΔBCD 的面积为3时，求点D 的坐标；（3）过点D 作 DE ⊥BC ，垂足为点E ， 是否存在点D ， 使得 ΔCDE 中的某个角等于 ∠ABC 的2倍？若存在，求点D 的横坐标；若不存在，请说明理由．【答案】 （1）将A （−1，0）、B （4，0）、C （0，2）代入y ＝ax 2＋bx ＋c 得：{a −b +c =016a +4b +c =0c =2，解得： {a =−12b =32c =2故抛物线的解析式为 y =−12x 2+32x +2 ．（2）如图2，过点D 作DM ∥BC ，交y 轴于点M ，设点M 的坐标为（0，m ），使得△BCM 的面积为3，CM=3×2÷4＝1.5，则m ＝2＋1.5＝ 72 ，M （0， 72 ）∵点B （4，0），C （0，2），∴直线BC 的解析式为y ＝− 12 x ＋2，∴DM 的解析式为y ＝− 12 x ＋ 72 ，联立抛物线解析式 {y =−12x +72y =−12x 2+32x +2 ， 解得 {x 1=3y 2=2 ， {x 2=1y 2=3． ∴点D 的坐标为（3，2）或（1，3）．（3）分两种情况考虑：①当∠DCE ＝2∠ABC 时，取点F （0，−2），连接BF ，如图3所示．∵OC ＝OF ，OB ⊥CF ，∴∠ABC ＝∠ABF ，∴∠CBF ＝2∠ABC ．∵∠DCB ＝2∠ABC ，∴∠DCB ＝∠CBF ，∴CD ∥BF ．∵点B （4，0），F （0，−2），∴直线BF 的解析式为y ＝ 12 x−2，∴直线CD 的解析式为y ＝ 12 x ＋2．联立直线CD 及抛物线的解析式成方程组得： {y =12x +2y =−12x 2+32x +2 ， 解得： {x 1=0y 1=2 （舍去）， {x 2=2y 2=3， ∴点D 的坐标为（2，3）；②当∠CDE ＝2∠ABC 时，过点C 作CN ⊥BF 于点N ，交OB 于H ．作点N 关于BC 的对称点P ，连接NP 交BC 于点Q ，如图4所示．∵∠OCH ＝90°−∠OHC ，∠OBF ＝90°−∠BHN ，∠OHC ＝∠BHN ，∴∠OCH ＝∠OBF ．在△OCH 与△OBF 中{∠COH =∠BOF =90°∠OCH =∠OBF ，∴△OCH ∽△OBF ，∴ OH OF =OC OB ，即 OH 2=24 ， ∴OH ＝1，H （1，0）．设直线CN 的解析式为y ＝kx ＋n （k≠0），∵C （0，2），H （1，0），∴ {n =2k +n =0 ，解得 {k =−2n =2， ∴直线CN 的解析式为y ＝−2x ＋2．连接直线BF 及直线CN 成方程组得：{y =12x −2y =−2x +2， 解得： {x =85y =−65 ， ∴点N 的坐标为（ 85,−65 ）．∵点B （4，0），C （0，2），∴直线BC 的解析式为y ＝− 12 x ＋2．∵NP ⊥BC ，且点N （ 85,−65 ），∴直线NP 的解析式为y ＝2x− 225 ．联立直线BC 及直线NP 成方程组得：{y =−12x +2y =2x −225 ， 解得： {x =6425y =1825 ， ∴点Q 的坐标为（ 6425,1825 ）．∵点N （ 85,−65 ），点N ，P 关于BC 对称，∴点P 的坐标为（ 8825,−6625 ）．∵点C （0，2），P （ 8825,−6625 ），∴直线CP 的解析式为y ＝ 211 x ＋2．将y ＝ 211 x ＋2代入 y =−12x 2+32x +2 整理，得：11x2−29x ＝0，解得：x 1＝0（舍去），x 2＝ 2911 ，∴点D 的横坐标为 2911 ．综上所述：存在点D ，使得△CDE 的某个角恰好等于∠ABC 的2倍，点D 的横坐标为2或 2911 ．【考点】待定系数法求二次函数解析式，二次函数-动态几何问题，二次函数的其他应用【解析】【分析】（1）根据点A 、B 、C 的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；（2）根据三角形面积公式可求与BC 平行的经过点D 的y 轴上点M 的坐标，再根据待定系数法可求DM 的解析式，再联立抛物线可求点D 的坐标；（3）分∠DCE ＝2∠ABC 及∠CDE ＝2∠ABC 两种情况考虑：①当∠DCE ＝2∠ABC 时，取点F （0，−2），连接BF ，则CD ∥BF ，由点B ，F 的坐标，利用待定系数法可求出直线BF ，CD 的解析式，联立直线CD 及抛物线的解析式组成方程组，通过解方程组可求出点D 的坐标；②当∠CDE ＝2∠ABC 时，过点C 作CN ⊥BF 于点N ，交OB 于H ．作点N 关于BC 的对称点P ，连接NP 交BC 于点Q ，由△OCH ∽△OBF 求出H 点坐标，利用待定系数法求出直线CN 的解析式，联立直线BF 及直线CN 成方程组，通过解方程组可求出点N 的坐标，利用对称的性质可求出点P 的坐标，由点C 、P 的坐标，利用待定系数法可求出直线CP 的解析式，将直线CP 的解析式代入抛物线解析式中可得出关于x 的一元二次方程，解之取其非零值可得出点D 的横坐标．依此即可得解．。
2020年四川省内江市中考数学试卷
2020年四川省内江市中考数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（3分）（2020•内江）12的倒数是（ ）A ．2B ．12C ．−12D ．﹣22．（3分）（2020•内江）下列四个数中，最小的数是（ ） A ．0B ．−12020C ．5D ．﹣13．（3分）（2020•内江）下列图形是我国国产品牌汽车的标识，在这些汽车标识中，是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．4．（3分）（2020•内江）如图，已知直线a ∥b ，∠1＝50°，则∠2的度数为（ ）A ．140°B ．130°C ．50°D ．40°5．（3分）（2020•内江）小明参加学校举行的“保护环境”主题演讲比赛，五位评委给出的评分分别为：90，85，80，90，95，则这组数据的中位数和众数分别是（ ） A ．80，90B ．90，90C ．90，85D ．90，956．（3分）（2020•内江）将直线y ＝﹣2x ﹣1向上平移两个单位，平移后的直线所对应的函数关系式为（ ） A ．y ＝﹣2x ﹣5B ．y ＝﹣2x ﹣3C ．y ＝﹣2x +1D ．y ＝﹣2x +37．（3分）（2020•内江）如图，在△ABC 中，D 、E 分别是AB 和AC 的中点，S 四边形BCED ＝15，则S △ABC ＝（ ）A ．30B ．25C ．22.5D ．208．（3分）（2020•内江）如图，点A 、B 、C 、D 在⊙O 上，∠AOC ＝120°，点B 是AC ̂的中点，则∠D 的度数是（ ）A ．30°B ．40°C ．50°D ．60°9．（3分）（2020•内江）如图，点A 是反比例函数y =kx 图象上的一点，过点A 作AC ⊥x 轴，垂足为点C ，D 为AC 的中点，若△AOD 的面积为1，则k 的值为（ ）A ．43B ．83C ．3D ．410．（3分）（2020•内江）我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托．折回索子却量竿，却比竿子短一托．”其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．设绳索长x 尺．则符合题意的方程是（ ） A ．12x ＝（x ﹣5）﹣5B ．12x ＝（x +5）+5C ．2x ＝（x ﹣5）﹣5D ．2x ＝（x +5）+511．（3分）（2020•内江）如图，矩形ABCD 中，BD 为对角线，将矩形ABCD 沿BE 、BF 所在直线折叠，使点A 落在BD 上的点M 处，点C 落在BD 上的点N 处，连结EF ．已知AB ＝3，BC ＝4，则EF 的长为（ ）A ．3B ．5C ．5√136D ．√1312．（3分）（2020•内江）在平面直角坐标系中，横坐标和纵坐标都是整数的点叫做整点，已知直线y ＝tx +2t +2（t ＞0）与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有四个整点，则t 的取值范围是（ ） A ．12≤t ＜2B ．12＜t ≤1C ．1＜t ≤2D ．12≤t ≤2且t ≠1二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．（5分）（2020•内江）在函数y =12x−4中，自变量x 的取值范围是 ． 14．（5分）（2020•内江）2020年6月23日9时43分，我国在西昌卫星发射中心用长征三号乙运载火箭，成功发射北斗系统第五十五颗导航卫星，标志着北斗三号卫星导航定位系统正式建成．根据最新数据，目前兼容北斗的终端产品至少有7亿台，其中7亿用科学记数法表示为 ．15．（5分）（2020•内江）已知关于x 的一元二次方程（m ﹣1）2x 2+3mx +3＝0有一实数根为﹣1，则该方程的另一个实数根为 ．16．（5分）（2020•内江）如图，在矩形ABCD 中，BC ＝10，∠ABD ＝30°，若点M 、N 分别是线段DB 、AB 上的两个动点，则AM +MN 的最小值为 ．三、解答题（本大题共5小题，共44分，解答应写出必要的文字说明或推演步骤） 17．（7分）（2020•内江）计算：（−12）﹣1﹣|﹣2|+4sin60°−√12+（π﹣3）0．18．（9分）（2020•内江）如图，点C 、E 、F 、B 在同一直线上，点A 、D 在BC 异侧，AB∥CD，AE＝DF，∠A＝∠D．（1）求证：AB＝CD；（2）若AB＝CF，∠B＝40°，求∠D的度数．19．（9分）（2020•内江）我市某中学举行“法制进校园”知识竞赛，赛后将学生的成绩分为A、B、C、D四个等级，并将结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图．请你根据统计图解答下列问题．（1）成绩为“B等级”的学生人数有名；（2）在扇形统计图中，表示“D等级”的扇形的圆心角度数为，图中m的值为；（3）学校决定从本次比赛获得“A等级”的学生只能怪，选出2名去参加市中学生知识竞赛．已知“A等级”中有1名女生，请用列表或画树状图的方法求出女生被选中的概率．20．（9分）（2020•内江）为了维护我国海洋权力，海监部门对我国领海实行了常态化巡航管理．如图，正在执行巡航任务的海监船以每小时60海里的速度向正东方向航行，在A 处测得灯塔P在北偏东60°方向上，海监船继续向东航行1小时到达B处，此时测得灯塔P在北偏东30°方向上．（1）求B处到灯塔P的距离；（2）已知灯塔P的周围50海里内有暗礁，若海监船继续向正东方向航行是否安全？21．（10分）（2020•内江）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC于点D，过点C作⊙O的切线，交OD的延长线于点E，连结BE．（1）求证：BE是⊙O的切线；（2）设OE交⊙O于点F，若DF＝2，BC＝4√3，求线段EF的长；（3）在（2）的条件下，求阴影部分的面积．四、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分．）22．（6分）（2020•内江）分解因式：b4﹣b2﹣12＝．23．（6分）（2020•内江）若数a使关于x的分式方程x+2x−1+a1−x=3的解为非负数，且使关于y的不等式组{y−34−y+13≥−13122(y−a)＜0的解集为y≤0，则符合条件的所有整数a的积为．24．（6分）（2020•内江）如图，在平面直角坐标系中，点A（﹣2，0），直线l：y=√33x+√33与x轴交于点B，以AB为边作等边△ABA1，过点A1作A1B1∥x轴，交直线l于点B1，以A1B1为边作等边△A1B1A2，过点A2作A2B2∥x轴，交直线l于点B2，以A2B2为边作等边△A2B2A3，以此类推……，则点A2020的纵坐标是．25．（6分）（2020•内江）已知抛物线y1＝﹣x2+4x（如图）和直线y2＝2x+b．我们规定：当x取任意一个值时，x对应的函数值分别为y1和y2．若y1≠y2，取y1和y2中较大者为M；若y1＝y2，记M＝y1＝y2．①当x＝2时，M的最大值为4；②当b＝﹣3时，使M＞y2的x的取值范围是﹣1＜x＜3；③当b＝﹣5时，使M＝3的x的值是x1＝1，x2＝3；④当b≥1时，M随x的增大而增大．上述结论正确的是．（填写所有正确结论的序号）五、解答题（本大题共3小题，每小题12分，共36分）26．（12分）（2020•内江）我们知道，任意一个正整数x都可以进行这样的分解：x＝m×n （m，n是正整数，且m≤n），在x的所有这种分解中，如果m，n两因数之差的绝对值最小，我们就称m×n是x的最佳分解．并规定：f（x）=m n．例如：18可以分解成1×18，2×9或3×6，因为18﹣1＞9﹣2＞6﹣3，所以3×6是18的最佳分解，所以f（18）=36=12．（1）填空：f（6）＝；f（9）＝；（2）一个两位正整数t（t＝10a+b，1≤a≤b≤9，a，b为正整数），交换其个位上的数字与十位上的数字得到的新数减去原数所得的差为54，求出所有的两位正整数；并求f（t）的最大值；（3）填空：①f（22×3×5×7）＝；②f（23×3×5×7）＝；③f（24×3×5×7）＝；④f（25×3×5×7）＝．27．（12分）（2020•内江）如图，正方形ABCD中，P是对角线AC上的一个动点（不与A、C重合），连结BP，将BP绕点B顺时针旋转90°到BQ，连结QP交BC于点E，QP延长线与边AD交于点F．（1）连结CQ，求证：AP＝CQ；（2）若AP=14AC，求CE：BC的值；（3）求证：PF＝EQ．28．（12分）（2020•内江）如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（4，0）、C（0，2）三点，点D（x，y）为抛物线上第一象限内的一个动点．（1）求抛物线所对应的函数表达式；（2）当△BCD的面积为3时，求点D的坐标；（3）过点D作DE⊥BC，垂足为点E，是否存在点D，使得△CDE中的某个角等于∠ABC的2倍？若存在，求点D的横坐标；若不存在，请说明理由．2020年四川省内江市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（3分）（2020•内江）12的倒数是（ ）A ．2B ．12C ．−12D ．﹣2【解答】解：∵12×2＝1， ∴12的倒数是2，故选：A ．2．（3分）（2020•内江）下列四个数中，最小的数是（ ） A ．0B ．−12020C ．5D ．﹣1【解答】解：∵|−12020|＜|﹣1|， ∴−12020＞−1， ∴5＞0＞−12020＞−1， 因此最小的是﹣1， 故选：D ．3．（3分）（2020•内江）下列图形是我国国产品牌汽车的标识，在这些汽车标识中，是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．【解答】解：A 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意； B 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意； C 、是中心对称图形，故本选项符合题意；D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意．故选：C．4．（3分）（2020•内江）如图，已知直线a∥b，∠1＝50°，则∠2的度数为（）A．140°B．130°C．50°D．40°【解答】解：∵直线a∥b，∴∠3＝∠1＝50°．又∵∠2+∠3＝180°，∴∠2＝130°．故选：B．5．（3分）（2020•内江）小明参加学校举行的“保护环境”主题演讲比赛，五位评委给出的评分分别为：90，85，80，90，95，则这组数据的中位数和众数分别是（）A．80，90B．90，90C．90，85D．90，95【解答】解：将数据重新排列为80，85，90，90，95，所以这组数据的中位数是90，众数为90，故选：B．6．（3分）（2020•内江）将直线y＝﹣2x﹣1向上平移两个单位，平移后的直线所对应的函数关系式为（）A．y＝﹣2x﹣5B．y＝﹣2x﹣3C．y＝﹣2x+1D．y＝﹣2x+3【解答】解：直线y＝﹣2x﹣1向上平移两个单位，所得的直线是y＝﹣2x+1，故选：C．7．（3分）（2020•内江）如图，在△ABC中，D、E分别是AB和AC的中点，S四边形BCED＝15，则S△ABC＝（）A ．30B ．25C ．22.5D ．20【解答】解：∵D 、E 分别是AB 、AC 边上的中点， ∴DE ∥BC ，DE =12BC ， ∴△ADE ∽△ABC ， ∴S △ADE S △ABC=（DE BC）2=14，∴S △ADE ：S 四边形BCED ＝1：3， 即S △ADE ：15＝1：3， ∴S △ADE ＝5， ∴S △ABC ＝5+15＝20． 故选：D ．8．（3分）（2020•内江）如图，点A 、B 、C 、D 在⊙O 上，∠AOC ＝120°，点B 是AC ̂的中点，则∠D 的度数是（ ）A ．30°B ．40°C ．50°D ．60°【解答】解：连接OB ，如图， ∵点B 是AĈ的中点，∴∠AOB ＝∠COB =12∠AOC =12×120°＝60°， ∴∠D =12∠AOB ＝30°． 故选：A ．9．（3分）（2020•内江）如图，点A 是反比例函数y =kx图象上的一点，过点A 作AC ⊥x 轴，垂足为点C ，D 为AC 的中点，若△AOD 的面积为1，则k 的值为（ ）A ．43B ．83C ．3D ．4【解答】解：∵AC ⊥x 轴，垂足为点C ，D 为AC 的中点，若△AOD 的面积为1， ∴△AOC 的面积为2，∵S △AOC =12|k |＝2，且反比例函数y =k x图象在第一象限， ∴k ＝4， 故选：D ．10．（3分）（2020•内江）我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托．折回索子却量竿，却比竿子短一托．”其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．设绳索长x 尺．则符合题意的方程是（ ） A ．12x ＝（x ﹣5）﹣5B ．12x ＝（x +5）+5C ．2x ＝（x ﹣5）﹣5D ．2x ＝（x +5）+5【解答】解：设绳索长x 尺，则竿长（x ﹣5）尺，依题意，得：12x ＝（x ﹣5）﹣5．故选：A ．11．（3分）（2020•内江）如图，矩形ABCD 中，BD 为对角线，将矩形ABCD 沿BE 、BF 所在直线折叠，使点A 落在BD 上的点M 处，点C 落在BD 上的点N 处，连结EF ．已知AB ＝3，BC ＝4，则EF 的长为（ ）A ．3B ．5C ．5√136D ．√13【解答】解：∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ＝CD ＝3，AD ＝BC ＝4，∠A ＝∠C ＝∠EDF ＝90°， ∴BD =√AB 2+AD 2=√32+42=5，∵将矩形ABCD 沿BE 所在直线折叠，使点A 落在BD 上的点M 处， ∴AE ＝EM ，∠A ＝∠BME ＝90°， ∴∠EMD ＝90°， ∵∠EDM ＝∠ADB ， ∴△EDM ∽△BDA ， ∴ED BD=EM AB，设DE ＝x ，则AE ＝EM ＝4﹣x ， ∴x5=4−x 3，解得x =52， ∴DE =52，同理△DNF ∽△DCB ， ∴DF BD=NF BC，设DF ＝y ，则CF ＝NF ＝3﹣y ，∴y 5=3−y 4，解得y =53． ∴DF =53．∴EF =√DE 2+DF 2=√(52)2+(53)2=5√136． 故选：C ．12．（3分）（2020•内江）在平面直角坐标系中，横坐标和纵坐标都是整数的点叫做整点，已知直线y ＝tx +2t +2（t ＞0）与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有四个整点，则t 的取值范围是（ ） A ．12≤t ＜2B ．12＜t ≤1C ．1＜t ≤2D ．12≤t ≤2且t ≠1【解答】解：∵y ＝tx +2t +2＝t （x +2）+2（t ＞0）， ∴直线y ＝tx +2t +2（t ＞0）经过点（﹣2，2），如图，当直线经过（0，3）时，直线y ＝tx +2t +2（t ＞0）与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有四个整点， 则3＝2t +2，解得t =12；当直线经过（0，6）时，直线y ＝tx +2t +2（t ＞0）与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有四个整点， 则6＝2t +2，解得t ＝2；当直线经过（0，4）时，直线y ＝tx +2t +2（t ＞0）与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有三个整点， 则4＝2t +2，解得t ＝1；∴直线y ＝tx +2t +2（t ＞0）与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有四个整点，则t 的取值范围是12≤t ≤2且t ≠1，故选：D ．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）（2020•内江）在函数y=12x−4中，自变量x的取值范围是x≠2．【解答】解：根据题意得2x﹣4≠0，解得x≠2；∴自变量x的取值范围是x≠2．14．（5分）（2020•内江）2020年6月23日9时43分，我国在西昌卫星发射中心用长征三号乙运载火箭，成功发射北斗系统第五十五颗导航卫星，标志着北斗三号卫星导航定位系统正式建成．根据最新数据，目前兼容北斗的终端产品至少有7亿台，其中7亿用科学记数法表示为7×108．【解答】解：7亿＝700000000＝7×108，故答案为：7×108．15．（5分）（2020•内江）已知关于x的一元二次方程（m﹣1）2x2+3mx+3＝0有一实数根为﹣1，则该方程的另一个实数根为−13．【解答】解：把x＝﹣1代入原方程得，（m﹣1）2﹣3m+3＝0，即：m2﹣5m+4＝0，解得，m＝4，m＝1（不合题意舍去），当m＝4时，原方程变为：9x2+12x+3＝0，即，3x2+4x+1＝0，由根与系数的关系得：x1•x2=13，又x1＝﹣1，∴x2=−1 3故答案为：−1 3．16．（5分）（2020•内江）如图，在矩形ABCD中，BC＝10，∠ABD＝30°，若点M、N分别是线段DB、AB上的两个动点，则AM+MN的最小值为15．【解答】解：作点A关于BD的对称点A′，连接MA′，BA′，过点A′H⊥AB于H．∵BA＝BA′，∠ABD＝∠DBA′＝30°，∴∠ABA′＝60°，∴△ABA′是等边三角形，∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝10，在Rt△ABD中，AB=ADtan30°=10√3，∵A′H⊥AB，∴AH＝HB＝5√3，∴A′H=√3AH＝15，∵AM+MN＝A′M+MN≥A′H，∴AM+MN≥15，∴AM+MN的最小值为15．故答案为15．三、解答题（本大题共5小题，共44分，解答应写出必要的文字说明或推演步骤）17．（7分）（2020•内江）计算：（−12）﹣1﹣|﹣2|+4sin60°−√12+（π﹣3）0．【解答】解：原式＝﹣2﹣2+4×√32−2√3+1＝﹣2﹣2+2√3−2√3+1 ＝﹣3．18．（9分）（2020•内江）如图，点C 、E 、F 、B 在同一直线上，点A 、D 在BC 异侧，AB ∥CD ，AE ＝DF ，∠A ＝∠D ． （1）求证：AB ＝CD ；（2）若AB ＝CF ，∠B ＝40°，求∠D 的度数．【解答】（1）证明：∵AB ∥CD ， ∴∠B ＝∠C ，在△ABE 和△DCF 中， {∠A =∠D∠B =∠C AE =DF，∴△ABE ≌△DCF （AAS ）， ∴AB ＝CD ；（2）解：∵△ABE ≌△DCF ， ∴AB ＝CD ，BE ＝CF ，∠B ＝∠C ， ∵∠B ＝40°， ∴∠C ＝40° ∵AB ＝CF ， ∴CF ＝CD ， ∴∠D ＝∠CFD =12×（180°﹣40°）＝70°． 19．（9分）（2020•内江）我市某中学举行“法制进校园”知识竞赛，赛后将学生的成绩分为A 、B 、C 、D 四个等级，并将结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图．请你根据统计图解答下列问题．（1）成绩为“B等级”的学生人数有5名；（2）在扇形统计图中，表示“D等级”的扇形的圆心角度数为72°，图中m的值为40；（3）学校决定从本次比赛获得“A等级”的学生只能怪，选出2名去参加市中学生知识竞赛．已知“A等级”中有1名女生，请用列表或画树状图的方法求出女生被选中的概率．【解答】解：（1）3÷15%＝20（名），20﹣3﹣8﹣4＝5（名），故答案为：5；（2）360°×420=72°，8÷20＝40%，即m＝40，故答案为：72°，40；（3）“A等级”2男1女，从中选取2人，所有可能出现的结果如下：共有6种可能出现的结果，其中女生被选中的有4种，∴P（女生被选中）=46=23．20．（9分）（2020•内江）为了维护我国海洋权力，海监部门对我国领海实行了常态化巡航管理．如图，正在执行巡航任务的海监船以每小时60海里的速度向正东方向航行，在A 处测得灯塔P在北偏东60°方向上，海监船继续向东航行1小时到达B处，此时测得灯塔P在北偏东30°方向上．（1）求B处到灯塔P的距离；（2）已知灯塔P的周围50海里内有暗礁，若海监船继续向正东方向航行是否安全？【解答】解：（1）∵∠P AB＝30°，∠ABP＝120°，∴∠APB＝180°﹣∠P AB﹣∠ABP＝30°，∴PB＝AB＝60海里；（2）作PH⊥AB于H．∵∠BAP＝∠BP A＝30°，∴BA＝BP＝60，在Rt△PBH中，PH＝PB•sin60°＝60×√32=30√3，∵30√3＞50，∴海监船继续向正东方向航行是安全的．21．（10分）（2020•内江）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC于点D，过点C作⊙O的切线，交OD的延长线于点E，连结BE．（1）求证：BE是⊙O的切线；（2）设OE交⊙O于点F，若DF＝2，BC＝4√3，求线段EF的长；（3）在（2）的条件下，求阴影部分的面积．【解答】（1）证明：连接OC ，如图，∵CE 为切线， ∴OC ⊥CE ， ∴∠OCE ＝90°， ∵OD ⊥BC ， ∴CD ＝BD ， 即OD 垂直平分BC ， ∴EC ＝EB ， 在△OCE 和△OBE 中 {OC =OB OE =OE EC =EB， ∴△OCE ≌△OBE （SSS ）， ∴∠OBE ＝∠OCE ＝90°， ∴OB ⊥BE ， ∴BE 与⊙O 相切；（2）解：设⊙O 的半径为x ，则OD ＝OF ﹣DF ＝x ﹣2，OB ＝x ， 在Rt △OBD 中，BD =12BC ＝2√3，∵OD 2+BD 2＝OB 2，∴（x ﹣2）2+（2√3）2＝x 2，解得x ＝4， ∴OD ＝2，OB ＝4， ∴∠OBD ＝30°， ∴∠BOD ＝60°， ∴OE ＝2OB ＝8，∴EF ＝OE ﹣OF ＝8﹣4＝4．（3）∵∠BOE ＝60°，∠OBE ＝90°， ∴在Rt △OBE 中，BE =√3OB ＝4√3， ∴S 阴影＝S 四边形OBEC ﹣S 扇形OBC＝2×12×4×4√3−120⋅π×42360，＝16√3−16π3． 四、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分．）22．（6分）（2020•内江）分解因式：b 4﹣b 2﹣12＝ （b +2）（b ﹣2）（b 2+3） ． 【解答】解：b 4﹣b 2﹣12＝（b 2﹣4）（b 2+3）＝（b +2）（b ﹣2）（b 2+3）， 故答案为：（b +2）（b ﹣2）（b 2+3）．23．（6分）（2020•内江）若数a 使关于x 的分式方程x+2x−1+a 1−x=3的解为非负数，且使关于y 的不等式组{y−34−y+13≥−13122(y −a)＜0的解集为y ≤0，则符合条件的所有整数a 的积为 40 ．【解答】解：去分母，得：x +2﹣a ＝3（x ﹣1）， 解得：x =5−a2，∵分式方程的解为非负数， ∴5−a 2≥0，且5−a 2≠1，解得a ≤5且a ≠3， 解不等式y−34−y+13≥−1312，得：y ≤0，解不等式2（y ﹣a ）＜0，得：y ＜a ， ∵不等式组的解集为y ≤0，∴a ＞0， ∴0＜a ≤5，则整数a 的值为1、2、4、5，∴符合条件的所有整数a 的积为1×2×4×5＝40， 故答案为：40．24．（6分）（2020•内江）如图，在平面直角坐标系中，点A （﹣2，0），直线l ：y =√33x +√33与x轴交于点B ，以AB 为边作等边△ABA 1，过点A 1作A 1B 1∥x 轴，交直线l 于点B 1，以A 1B 1为边作等边△A 1B 1A 2，过点A 2作A 2B 2∥x 轴，交直线l 于点B 2，以A 2B 2为边作等边△A 2B 2A 3，以此类推……，则点A 2020的纵坐标是22020−12√3．【解答】解：∵直线l ：y =√33x +√33与x 轴交于点B ，∴B （﹣1，0）， ∴OB ＝1， ∵A （﹣2，0）， ∴OA ＝2， ∴AB ＝1，∵△ABA 1是等边三角形， ∴A 1（−32，√32）， 把y =√32代入y =√33x +√33，求得x =12， ∴B 1（12，√32）， ∴A 1B 1＝2，∴A 2（−12，√32+√32×2），即A 2（−12，3√32）， 把y =3√32代入y =√33x +√33，求得x =72， ∴B 2（72，3√32）， ∴A 2B 2＝4，∴A 3（3，3√32+√32×4），即A 3（3，7√32），……， A n 的纵坐标为2n −12√3，∴点A 2020的纵坐标是22020−12√3，故答案为22020−12√3．25．（6分）（2020•内江）已知抛物线y 1＝﹣x 2+4x （如图）和直线y 2＝2x +b ．我们规定：当x 取任意一个值时，x 对应的函数值分别为y 1和y 2．若y 1≠y 2，取y 1和y 2中较大者为M ；若y 1＝y 2，记M ＝y 1＝y 2．①当x ＝2时，M 的最大值为4；②当b ＝﹣3时，使M ＞y 2的x 的取值范围是﹣1＜x ＜3；③当b ＝﹣5时，使M ＝3的x 的值是x 1＝1，x 2＝3；④当b ≥1时，M 随x 的增大而增大．上述结论正确的是 ②③④ ．（填写所有正确结论的序号）【解答】解：①当x ＝2时，y 1＝4，y 2＝4+b ，无法判断4与4+b 的大小，故①错误． ②如图1中，b ＝﹣3时，由{y =−x 2+4xy =2x −3，解得{x =−1y =−5或{x =3y =3，∴两个函数图象的交点坐标为（﹣1，﹣5）和（3，3），观察图象可知，使M ＞y 2的x 的取值范围是﹣1＜x ＜3，故②正确， ③如图2中，b ＝﹣5时，图象如图所示，M ＝3时，y 1＝3， ∴﹣x 2+4x ＝3，解得x ＝1或3，故③正确，④当b ＝1时，由{y =2x +1y =−x 2+4x ，消去y 得到，x 2﹣2x +1＝0， ∵△＝0，∴此时直线y ＝2x +1与抛物线只有一个交点，∴b ＞1时，直线y ＝2x +b 与抛物线没有交点， ∴M 随x 的增大而增大，故④正确．五、解答题（本大题共3小题，每小题12分，共36分）26．（12分）（2020•内江）我们知道，任意一个正整数x 都可以进行这样的分解：x ＝m ×n （m ，n 是正整数，且m ≤n ），在x 的所有这种分解中，如果m ，n 两因数之差的绝对值最小，我们就称m ×n 是x 的最佳分解．并规定：f （x ）=mn． 例如：18可以分解成1×18，2×9或3×6，因为18﹣1＞9﹣2＞6﹣3，所以3×6是18的最佳分解，所以f （18）=36=12． （1）填空：f （6）＝23；f （9）＝ 1 ；（2）一个两位正整数t （t ＝10a +b ，1≤a ≤b ≤9，a ，b 为正整数），交换其个位上的数字与十位上的数字得到的新数减去原数所得的差为54，求出所有的两位正整数；并求f （t ）的最大值； （3）填空：①f （22×3×5×7）＝2021；②f （23×3×5×7）＝2435；③f （24×3×5×7）＝3548；④f （25×3×5×7）＝2435．【解答】解：（1）6可分解成1×6，2×3， ∵6﹣1＞3﹣2，∴2×3是6的最佳分解， ∴f （6）=23，9可分解成1×9，3×3， ∵9﹣1＞3﹣3，∴3×3是9的最佳分解， ∴f （9）=33=1， 故答案为：23；1；（2）设交换t 的个位上数与十位上的数得到的新数为t ′，则t ′＝10b +a ， 根据题意得，t ′﹣t ＝（10b +a ）﹣（10a +b ）＝9（b ﹣a ）＝54， ∴b ＝a +6，∵1≤a ≤b ≤9，a ，b 为正整数， ∴满足条件的t 为：17，28，39；∵F （17）=117，F （28）=47，F （39）=139， ∵47＞117＞139，∴F （t ）的最大值为47；（3）①∵22×3×5×7的是最佳分解为20×21， ∴f （22×3×5×7）=2021， 故答案为：2021；②∵23×3×5×7的最佳分解为24×35， ∴f （23×3×5×7）=2435， 故答案为2435；③∵24×3×5×7的最佳分解是35×48， ∴f （24×3×5×7）=3548， 故答案为：3548；④∵25×3×5×7的最佳分解是48×70， ∴f （25×3×5×7）=4870=2435， 故答案为：2435．27．（12分）（2020•内江）如图，正方形ABCD 中，P 是对角线AC 上的一个动点（不与A 、C 重合），连结BP ，将BP 绕点B 顺时针旋转90°到BQ ，连结QP 交BC 于点E ，QP 延长线与边AD 交于点F ．（1）连结CQ ，求证：AP ＝CQ ； （2）若AP =14AC ，求CE ：BC 的值； （3）求证：PF ＝EQ ．【解答】（1）证明：如图1，∵线段BP绕点B顺时针旋转90°得到线段BQ，∴BP＝BQ，∠PBQ＝90°．∵四边形ABCD是正方形，∴BA＝BC，∠ABC＝90°．∴∠ABC＝∠PBQ．∴∠ABC﹣∠PBC＝∠PBQ﹣∠PBC，即∠ABP＝∠CBQ．在△BAP和△BCQ中，∵{BA=BC∠ABP=∠CBQ BP=BQ，∴△BAP≌△BCQ（SAS）．∴CQ＝AP．（2）解：过点C作CH⊥PQ于H，过点B作BT⊥PQ于T．∵AP=14AC，∴可以假设AP＝CQ＝a，则PC＝3a，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAC＝∠ACB＝45°，∵△ABP≌△CBQ，∴∠BCQ＝∠BAP＝45°，∴∠PCQ＝90°，∴PQ=√PC2+CQ2=√(3a)2+a2=√10a，∵CH⊥PQ，∴CH=PC⋅CQPQ=3√1010a，∵BP＝BQ，BT⊥PQ，∴PT＝TQ，∵∠PBQ＝90°，∴BT=12PQ=√102a，∵CH∥BT，∴CEEB =CHBT=3√1010a√102a=35，∴CECB =38．（3）解：结论：PF＝EQ，理由是：如图2，当F在边AD上时，过P作PG⊥FQ，交AB于G，则∠GPF＝90°，∵∠BPQ＝45°，∴∠GPB＝45°，∴∠GPB＝∠PQB＝45°，∵PB＝BQ，∠ABP＝∠CBQ，∴△PGB≌△QEB，∴EQ＝PG，∵∠BAD＝90°，∴F、A、G、P四点共圆，连接FG，∴∠FGP＝∠F AP＝45°，∴△FPG是等腰直角三角形，∴PF＝PG，∴PF＝EQ．28．（12分）（2020•内江）如图，抛物线y ＝ax 2+bx +c 经过A （﹣1，0）、B （4，0）、C （0，2）三点，点D （x ，y ）为抛物线上第一象限内的一个动点． （1）求抛物线所对应的函数表达式；（2）当△BCD 的面积为3时，求点D 的坐标；（3）过点D 作DE ⊥BC ，垂足为点E ，是否存在点D ，使得△CDE 中的某个角等于∠ABC 的2倍？若存在，求点D 的横坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）将A （﹣1，0）、B （4，0）、C （0，2）代入y ＝ax 2+bx +c 得：{a −b +c =016a +4b +c =0c =2，解得：{ a =−12b =32c =2．故抛物线的解析式为y =−12x 2+32x +2．（2）如图2，设点M 的坐标为（0，m ），使得△BCM 的面积为3， 3×2÷4＝1.5， 则m ＝2+1.5=72， M （0，72）∵点B （4，0），C （0，2）， ∴直线BC 的解析式为y =−12x +2， ∴DM 的解析式为y =−12x +72，联立抛物线解析式{y =−12x +72y =−12x 2+32x +2， 解得{x 1=3y 1=2，{x 2=1y 2=3．∴点D 的坐标为（3，2）或（1，3）． （3）分两种情况考虑：①当∠DCE ＝2∠ABC 时，取点F （0，﹣2），连接BF ，如图3所示． ∵OC ＝OF ，OB ⊥CF ， ∴∠ABC ＝∠ABF ， ∴∠CBF ＝2∠ABC ． ∵∠DCB ＝2∠ABC ， ∴∠DCB ＝∠CBF ， ∴CD ∥BF ．∵点B （4，0），F （0，﹣2）， ∴直线BF 的解析式为y =12x ﹣2， ∴直线CD 的解析式为y =12x +2．联立直线CD 及抛物线的解析式成方程组得：{y =12x +2y =−12x 2+32x +2， 解得：{x 1=0y 1=2（舍去），{x 2=2y 2=3，∴点D 的坐标为（2，3）；②当∠CDE ＝2∠ABC 时，过点C 作CN ⊥BF 于点N ，交OB 于H ．作点N 关于BC 的对称点P ，连接NP 交BC 于点Q ，如图4所示． ∵∠OCH ＝90°﹣∠OHC ，∠OBF ＝90°﹣∠BHN ， ∠OHC ＝∠BHN ， ∴∠OCH ＝∠OBF ． 在△OCH 与△OBF 中 {∠COH =∠BOF =90°∠OCH =∠OBF ， ∴△OCH ∽△OBF ， ∴OH OF=OC OB，即OH 2=24，∴OH ＝1，H （1，0）．设直线CN 的解析式为y ＝kx +n （k ≠0）， ∵C （0，2），H （1，0）， ∴{n =2k +n =0，解得{k =−2n =2， ∴直线CN 的解析式为y ＝﹣2x +2．连接直线BF 及直线CN 成方程组得：{y =12x −2y =−2x +2，解得：{x =85y =−65， ∴点N 的坐标为（85，−65）．∵点B （4，0），C （0，2）， ∴直线BC 的解析式为y =−12x +2． ∵NP ⊥BC ，且点N （85，−65），∴直线NP 的解析式为y ＝2x −225． 联立直线BC 及直线NP 成方程组得：{y =−12x +2y =2x −225， 解得：{x =6425y =1825，∴点Q 的坐标为（6425，1825）．31 ∵点N （85，−65），点N ，P 关于BC 对称， ∴点P 的坐标为（8825，6625）．∵点C （0，2），P （8825，6625）， ∴直线CP 的解析式为y =211x +2． 将y =211x +2代入y =−12x 2+32x +2整理，得：11x 2﹣29x ＝0，解得：x 1＝0（舍去），x 2=2911， ∴点D 的横坐标为2911．综上所述：存在点D ，使得△CDE 的某个角恰好等于∠ABC 的2倍，点D 的横坐标为2或2911．。
内江市中考数学试题解析版
四川省内江市2020年中考数学试卷（解析版）A卷(共100分)一、选择题(每小题3分，共36分)1．－2020的倒数是( )A．－2020 B．－12016 C．12016D．2020[答案]B[考点]实数的运算。
[解析]非零整数n的倒数是1n ，故－2020的倒数是12016=－12016，故选B．2．2020年“五一”假期期间，某市接待旅游总人数达到了9180 000人次，将9180 000用科学记数法表示应为( )A．918×104 B．9.18×105 C．9.18×106 D．9.18×107[答案]C[考点]科学记数法。
[解析] 把一个大于10的数表示成a×10n(1≤a＜10，n是正整数)的形式，这种记数的方法叫科学记数法．科学记数法中，a是由原数的各位数字组成且只有一位整数的数，n比原数的整数位数少1．故选C．3．将一副直角三角板如图1放置，使含30°角的三角板的直角边和含45°角的三角板一条直角边在同一条直线上，则∠1的度数为( )A．75° B．65° C．45° D．30°[答案]A[考点]三角形的内角和、外角定理。
[解析]方法一：∠1的对顶角所在的三角形中另两个角的度数分别为60°，45°，∴∠1＝180°－(60°＋45°)＝75°．方法二：∠1可看作是某个三角形的外角，根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和计算． 故选A ．4．下列标志既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )[答案]A[考点]中心对称与轴对称图形。
[解析]选项B 中的图形是轴对称图形，选项C 中的图形是中心对称图形，选项D 中的图形既不是轴对称图形也不是中心对称图形．只有选项A 中的图形符合题意． 故选A ．5．下列几何体中，主视图和俯视图都为矩形的是( )图130°45°1A ．B ．C ．D ．[答案]B [考点]三视图。
2020年四川内江中考数学试卷(解析版)
，
∴
，
，
，
，
在
中，
，
∴
，
解得：
，
，
在
中，
，
故选 ．
12. D
解析:
∵
，
∴当
时，
；当
时，
，
∴直线
与 轴的交点坐标为
，与 轴的交点坐标为
，
∵，
∴
，
当
时，
，此时
，
11
由图象知：直线 如图 ，
与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有四个整点，
当 时， 由图象知：直线 如图 ，
图 ，此时
， 与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有四个整点，
11. 如图，矩形
中， 为对角线，将矩形
沿
上的点 处，点 落在 上的点 处，连结 ，已知
、 所在直线折叠，使点 落在
，
，则 的长为（ ）．
A. B. C. D.
12. 在平面直角坐标系中，横坐标和纵坐标都是整数的点叫做整点，已知直线
与
两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有四个整点，则 的取值范围是（ ）．
，
的解为非负数，
，
①
17
解不等式①，得
，
解不等式②，得
，
∵关于 的不等式组
∴
，
∴
且
又 为整数，则 的值为 ， ， ， .
符合条件的所有整数 的积为
故答案为： ．
的解集为
，
．
24. 解析: 如图，过 作 与 轴交于点
y
于 ，过 作 ，与 轴交于点
于 ，过 作 ，
于 ，先根据直线方程
四川省内江市2022年中考[数学]考试真题与答案解析
四川省内江市2022年中考[数学]考试真题与答案解析一、选择题1. ﹣6的相反数是（ ）A. ﹣6B. ﹣C. 6D. 1616答案：C答案解析：−6的相反数是：6，故选C.2. 某4S 店今年1～5月新能源汽车的销量（辆数）分别如下：25，33，36，31，40，这组数据的平均数是（ ）A. 34B. 33C. 32.5D. 31答案：B 答案解析：解：这组数据的平均数为：＝33（辆），故选：B ．25333631405++++3. 下列运算正确的是（ ）A. a 2+a 3＝a 5B. （a 3）2＝a 6C. （a ﹣b ）2＝a 2﹣b 2D. x 6÷x 3＝x 2答案：B答案解析：A.a 2和a 3不是同类项，不能合并，故A 不符合题意；B.（a 3）2＝a 6，故B 符合题意；C.（a ﹣b ）2＝a 2﹣2ab +b 2，故C 不符合题意；D.x 6÷x 3＝x 6﹣3＝x 3，故D 不符合题意．故选：B ．4. 2022年2月第24届冬季奥林匹克运动会在我国北京成功举办，以下是参选的冬奥会会徽设计的部分图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A. B.C. D.答案：C答案解析：A.不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故A错误；B.不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故B错误；C.既是轴对称图形，也是中心对称图形，故C正确；D.不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故D错误．故选：C．5. 下列说法错误的是（ ）A. 打开电视机，中央台正在播放发射神舟十四号载人飞船的新闻，这是随机事件B. 要了解小王一家三口的身体健康状况，适合采用抽样调查C. 一组数据的方差越小，它的波动越小D. 样本中个体的数目称为样本容量答案：B答案解析：解：A．打开电视机，中央台正在播放发射神舟十四号载人飞船的新闻，这是随机事件，故A选项不符合题意；B．要了解小王一家三口的身体健康状况，适合采用全面调查调查，故B选项符合题意；C．一组数据的方差越小，它的波动越小，故C选项不符合题意；D．样本中个体的数目称为样本容量，故D选项不符合题意．故选：B．6. 如图是正方体的表面展开图，则与“话”字相对的字是（ ）A. 跟B. 党C. 走D. 听答案：C答案解析：解：由正方体表面展开图的“相间、Z端是对面”可知，“话”与“走”是对面，故答案为：C．7. 如图，在▱ABCD 中，已知AB ＝12，AD ＝8，∠ABC 的平分线BM 交CD 边于点M ，则DM 的长为（ ）A. 2B. 4C. 6D. 8答案：B 答案解析：解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴CD ＝AB ＝12，BC ＝AD ＝8，AB ∥CD ，∴∠ABM ＝∠CMB ，∵BM 是∠ABC 的平分线，∴∠ABM ＝∠CBM ，∴∠CBM ＝∠CMB ，∴MC ＝BC ＝8，∴DM ＝CD ﹣MC ＝12﹣8＝4，故选：B ．8. 如图，数轴上的两点A 、B 对应的实数分别是a 、b ，则下列式子中成立的是（ ）A. 1﹣2a ＞1﹣2bB. ﹣a ＜﹣bC. a +b ＜0D. |a |﹣|b |＞0答案：A 答案解析：解：由题意得：a ＜b ，∴﹣2a ＞﹣2b ，∴1﹣2a ＞1﹣2b ，∴A 选项的结论成立；∵a ＜b ，∴﹣a ＞﹣b ，∴B 选项的结论不成立；∵﹣2＜a ＜﹣1，2＜b ＜3，∴，∴，∴a +b ＞0，12a <<23b <<a b <∴C 选项的结论不成立；∵，∴，a b <0a b -<∴D 选项的结论不成立．故选：A ．9. 如图，在平面直角坐标系中，点B 、C 、E 在y 轴上，点C 的坐标为（0，1），AC ＝2，Rt △ODE 是Rt △ABC 经过某些变换得到的，则正确的变换是（ ）A. △ABC 绕点C 逆时针旋转90°，再向下平移1个单位B. △ABC 绕点C 顺时针旋转90°，再向下平移1个单位C. △ABC 绕点C 逆时针旋转90°，再向下平移3个单位D. △ABC 绕点C 顺时针旋转90°，再向下平移3个单位答案：D答案解析：解：根据图形可以看出，△ABC 绕点C 顺时针旋转90°，再向下平移3个单位可以得到△ODE ．故选：D ．10. 如图，在平面直角坐标系中，点M 为x 轴正半轴上一点，过点M 的直线l ∥y 轴，且直线l 分别与反比例函数和的图象交于P 、Q 两点．若S △POQ ＝15，则k 的值为（ ）8y x =k y x =A. 38B. 22C. ﹣7D. ﹣22答案：D 答案解析：解：设点P （a ，b ），Q （a ，），则OM ＝a ，PM ＝b ，MQ ＝，k a k a-∴PQ ＝PM +MQ ＝．k b a-∵点P 在反比例函数y ＝的图象上，8x ∴ab ＝8．∵S △POQ ＝15，∴PQ •OM ＝15，∴a （b ﹣）＝15．1212k a∴ab ﹣k ＝30．∴8﹣k ＝30，解得：k ＝﹣22．故选：D ．11. 如图，正六边形ABCDEF 内接于⊙O ，半径为6，则这个正六边形的边心距OM 和的 BC长分别为（ ）A. 4，，π，2π3π43π答案：D答案解析：解：连接、，OC OB六边形为正六边形，， ABCDEF 360606BOC ︒∴∠==︒，为等边三角形，，OB OC = BOC ∴∆6BC OB ∴==，，OM BC ⊥ 132BM BC ∴==的长为．故选：D ．OM ∴=== BC6062180ππ⨯==12. 如图，抛物线y ＝ax 2+bx +c 与x 轴交于两点（x 1，0）、（2，0），其中0＜x 1＜1．下列四个结论：①abc ＜0；②a +b +c ＞0；③2a ﹣c ＞0；④不等式ax 2+bx +c ＞﹣x +c 的解集为01c x ＜x ＜x 1．其中正确结论的个数是（ ）A. 4B. 3C. 2D. 1答案：C 答案解析：解：∵抛物线开口向上，对称轴在y 轴右边，与y 轴交于正半轴，∴a ＞0，b ＜0，c ＞0，∴abc ＜0，∴①正确．∵当x ＝1时，y ＜0，∴a +b +c ＜0，∴②错误．∵抛物线y ＝ax 2+bx +c 与x 轴交于两点（x 1，0）、（2，0），其中0＜x 1＜1，∴，2021222b a ++<-<∴，3122b a <-<当时，，322b a -<3b a >-当时，，2x =420y a b c =++=，122b ac ∴=--，1232a c a ∴-->-∴2a ﹣c ＞0，∴③正确；如图：设y 1＝ax 2+bx +c ，，21c y x c x =-+由图值，y 1＞y 2时，x ＜0或x ＞x 1，故④错误．故选：C ．二、填空题13. 函数中，自变量的取值范围是.y =x 答案：．3x ≥答案解析：依题意，得x -3≥0，解得：x ≥3．14. 如图，在⊙O 中，∠ABC=50°，则∠AOC 等于_____答案：100°答案解析：试题分析：在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角等于圆周角度数的2倍.根据题意可得：∠AOC=2∠ABC=2×50°=100°.15. 对于非零实数a ，b ，规定a ⊕b ＝，若（2x ﹣1）⊕2＝1，则x 的值为 _____．11a b-答案：56答案解析：解：由题意得：＝1，11212x --等式两边同时乘以得，，2(21)x -2212(21)x x -+=-解得：，56x ＝经检验，x ＝是原方程的根，∴x ＝，故答案为：．56565616. 勾股定理被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中，汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图①所示的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”．图②由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成．记图中正方形ABCD 、正方形EFGH 、正方形MNKT 的面积分别为S 1、S 2、S 3．若正方形EFGH 的边长为4，则S 1+S 2+S 3＝_____．答案：48答案解析：解：设八个全等的直角三角形的长直角边为a ，短直角边是b ，则：S 1＝（a +b ）2，S 2＝42＝16，S 3＝（a ﹣b ）2，且：a 2+b 2＝EF 2＝16，∴S 1+S 2+S 3＝（a +b ）2+16+（a ﹣b ）2＝2（a 2+b 2）+16＝2×16+16＝48．故答案为：48．三、解答题17. （1；11|(|2cos 452-︒--（2）先化简，再求值：（）÷，其中ab．221a b a b a +-+b b a-答案：（1）2；（2），1b a +14答案解析：解：（1）原式＝ ＝+2＝2；1222⨯+-（2）原式＝[]• ＝＝．()()()()a b a b a b ab a b a -++-+-b a b -()()b b a b a b a b -⋅+-1b a +当a ，b 时，．14=18. 如图，中，E 、F 是对角线BD 上两个点，且满足BE =DF ．ABCD （1）求证：△ABE ≌△CDF ；（2）求证：四边形AECF 是平行四边形．答案：证明见解析答案解析：证明：（1） 四边形ABCD 是平行四边形， AB //CD ，AB =CD ，， ∴ABF CDE ∴∠=∠在和中ABE ∆CDF ∆，． AB CD ABF CDE BE DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ABE CDF ∴∆∆≌（2）由（1）可知，，ABE CDF ∆∆≌， AE //CF ，四边形AECF 是平行四边形．,A E C F A E B D FC ∴=∠=∠∴∴19. 为让同学们了解新冠病毒的危害及预防措施，某中学举行了“新冠病毒预防”知识竞赛．数学课外活动小组将八（1）班参加本校知识竞赛的40名同学的成绩（满分为100分，得分为正整数且无满分，最低为75分）分成五组进行统计，并绘制了下列不完整的统计图表：分数段频数频率74.5﹣79.520.0579.5﹣84.58n84.5﹣89.5120.389.5﹣94.5m0.3594.5﹣99.540.1（1）表中m＝ ，n＝ ；（2）请补全频数分布直方图；（3）本次知识竞赛中，成绩在94.5分以上的选手，男生和女生各占一半，从中随机确定2名学生参加颁奖，请用列表法或树状图法求恰好是一名男生和一名女生的概率．答案：（1）14；0.2 （2）见解析（3）2 3【小问1详解】解：m ＝40×35%＝14，n ＝8÷40＝0.2．故答案为：14，0.2．【小问2详解】补全频数分布直方图如下：【小问3详解】∵成绩在94.5分以上的选手有4人，男生和女生各占一半，∴2名是男生，2名是女生，画树状图如下：共有12种等可能的结果，其中确定的2名学生恰好是一名男生和一名女生的结果有8种，∴确定的2名学生恰好是一名男生和一名女生的概率为．82123 20. 如图所示，九（1）班数学兴趣小组为了测量河对岸的古树A 、B 之间的距离，他们在河边与AB 平行的直线l 上取相距60m 的C 、D 两点，测得∠ACB ＝15°，∠BCD ＝120°，∠ADC ＝30°．（1）求河的宽度；（2）求古树A 、B 之间的距离．（结果保留根号）答案：（1）（）米；（2）【小问1详解】解：过点A 作AE ⊥l ，垂足为E ，设CE ＝x 米，∵CD ＝60米，∴DE ＝CE +CD ＝（x +60）米，∵∠ACB ＝15°，∠BCD ＝120°，∴∠ACE ＝180°﹣∠ACB ﹣∠BCD ＝45°，在Rt △AEC 中，AE ＝CE •tan 45°＝x （米），在Rt △ADE 中，∠ADE ＝30°，∴tan 30°＝＝AE ED 60x x∴x ＝，经检验：x ＝是原方程的根，∴AE ＝（）米，∴河的宽度为（）米；【小问2详解】过点B 作BF ⊥l ，垂足为F ，则CE ＝AE ＝BF ＝（）米，AB ＝EF ，∵∠BCD ＝120°，∴∠BCF ＝180°﹣∠BCD ＝60°，在Rt △BCF 中，CF ＝tan 60BF ︒∴AB ＝EF ＝CE ﹣CF ＝﹣（（米），∴古树A 、B 之间的距离为21. 如图，△ABC 内接于⊙O ，AB 是⊙O 的直径，⊙O 的切线PC 交BA 的延长线于点P ，OF ∥BC 交AC 于点E ，交PC 于点F ，连接AF ．（1）判断直线AF 与⊙O 的位置关系并说明理由；（2）若⊙O 的半径为6，AF ＝AC 的长；（3）在（2）的条件下，求阴影部分的面积．答案：（1）直线AF 与⊙O 相切．理由见解析（2）6 （3）6π．【小问1详解】直线AF 与⊙O 相切．理由如下：连接OC，∵PC 为圆O 切线，∴CP ⊥OC ，∴∠OCP ＝90°，∵OF ∥BC ，∴∠AOF ＝∠B ，∠COF ＝∠OCB ，∵OC ＝OB ，∴∠OCB ＝∠B ，∴∠AOF ＝∠COF ，∵在△AOF 和△COF 中，，OA OC AOF COF OF OF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AOF ≌△COF （SAS ）， ∴∠OAF ＝∠OCF ＝90°，∴AF ⊥OA ，又∵OA 为圆O 的半径，∴AF 为圆O 的切线；【小问2详解】∵△AOF ≌△COF ，∴∠AOF ＝∠COF ，∵OA ＝OC ，∴E 为AC 中点，即，1,2AE CE AC OE AC ==⊥∵∠，∴，90,6,OAF OA AF ︒===tan AF AOF OA ∠===∴∠AOF ＝30°， ∴，∴；132AE OA ==26AC AE ==【小问3详解】∵AC ＝OA ＝6，OC ＝OA ，∴△AOC 是等边三角形，∴∠AOC ＝60°，OC ＝6，∵∠OCP ＝90°，∴，CP ==∴S △OCP ＝，2116066622360AOC OC CP S ππ⋅⨯⋅=⨯⨯===扇形∴阴影部分的面积=S △OCP ﹣S 扇形AOC ＝．6π四、填空题22. 分解因式：a 4﹣3a 2﹣4＝_____．答案：（a 2+1）（a +2）（a ﹣2）答案解析：解：a 4﹣3a 2﹣4＝（a 2+1）（a 2﹣4）＝（a 2+1）（a +2）（a ﹣2），故答案为：（a 2+1）（a +2）（a ﹣2）．23. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点且与函数y kx b =+()2,3,P ()20=>y x x的图象交于点.若一次函数随的增大而增大，则的取值范围是____．(,)Q m n y xm 答案：223m <<答案解析：当PQ 平行于x 轴时，点Q 的坐标为，代入中，可得；(),3m 2y x =23m =当PQ 平行于y 轴时，点Q 的坐标为，可得；()2,n 2m =∵一次函数随的增大而增大，∴的取值范围是，故答案为：．y x m 223m <<223m <<24. 已知x 1、x 2是关于x 的方程x 2﹣2x +k ﹣1＝0的两实数根，且＝x 12+2x 2﹣1，则k 2112x x x x +的值为 _____．答案：2答案解析：解：∵x 1、x 2是关于x 的方程x 2﹣2x +k ﹣1＝0的两实数根，∴x 1+x 2＝2，x 1•x 2＝k ﹣1，x 12﹣2x 1+k ﹣1＝0，∴x 12＝2x 1﹣k +1，∵＝x 12+2x 2﹣1，∴＝2（x 1+x 2）﹣k ，∴＝4﹣k ，2112x x x x +2121212()2x x x x x x +-222(1)1k k ---解得k ＝2或k ＝5，当k ＝2时，关于x 的方程为x 2﹣2x +1＝0，Δ≥0，符合题意；当k ＝5时，关于x 的方程为x 2﹣2x +4＝0，Δ＜0，方程无实数解，不符合题意；∴k＝2，故答案为：2．25. 如图，矩形ABCD 中，AB ＝6，AD＝4，点E 、F 分别是AB 、DC 上的动点，EF ∥BC ，则AF +CE 的最小值是 _____．答案：10答案解析：解：延长BC 到G ，使CG ＝EF ，连接FG ，∵，EF ＝CG ，EF CG ∥∴四边形EFGC 是平行四边形，∴CE ＝FG ，∴AF +CE ＝AF+FG ，∴当点A 、F 、G 三点共线时，AF +CE 的值最小为AG ，由勾股定理得，AG ＝10，∴AF +CE 的最小值为10，故答案为：10．五、解答题26. 为贯彻执行“德、智、体、美、劳”五育并举的教育方针，内江市某中学组织全体学生前往某劳动实践基地开展劳动实践活动．在此次活动中，若每位老师带队30名学生，则还剩7名学生没老师带；若每位老师带队31名学生，就有一位老师少带1名学生．现有甲、乙两型客车，它们的载客量和租金如表所示：甲型客车乙型客车载客量（人/辆）3530租金（元/辆）400320学校计划此次劳动实践活动的租金总费用不超过3000元．（1）参加此次劳动实践活动的老师和学生各有多少人？（2）每位老师负责一辆车的组织工作，请问有哪几种租车方案？（3）学校租车总费用最少是多少元？答案：（1）参加此次劳动实践活动的老师有8人，参加此次劳动实践活动的学生有247人（2）一共有3种租车方案：租甲型客车3辆，租乙型客车5辆或租甲型客车4辆，租乙型客车4辆或租甲型客车5辆，租乙型客车3辆（3）学校租车总费用最少是2800元．【小问1详解】设参加此次劳动实践活动的老师有x人，参加此次劳动实践活动的学生有（30x+7）人，根据题意得：30x+7＝31x﹣1，解得x＝8，∴30x+7＝30×8+7＝247，答：参加此次劳动实践活动的老师有8人，参加此次劳动实践活动的学生有247人；【小问2详解】师生总数为247+8＝255（人），∵每位老师负责一辆车的组织工作，∴一共租8辆车，设租甲型客车m 辆，则租乙型客车（8﹣m ）辆，根据题意得：，解得3≤m ≤5.5，3530(8)255400320(8)3000m m m m +-≥⎧⎨+-≤⎩∵m 为整数，∴m 可取3、4、5，∴一共有3种租车方案：租甲型客车3辆，租乙型客车5辆或租甲型客车4辆，租乙型客车4辆或租甲型客车5辆，租乙型客车3辆；【小问3详解】设租甲型客车m 辆，则租乙型客车（8﹣m ）辆，由（2）知：3≤m ≤5.5，设学校租车总费用是w 元，w ＝400m +320（8﹣m ）＝80m +2560，∵80＞0，∴w 随m 的增大而增大，∴m ＝3时，w 取最小值，最小值为80×3+2560＝2800（元），答：学校租车总费用最少是2800元．27. 如图，在矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝4，点M 、N 分别在AB 、AD 上，且MN ⊥MC ，点E 为CD 的中点，连接BE 交MC 于点F ．（1）当F 为BE 的中点时，求证：AM ＝CE ；（2）若＝2，求的值；EF BF AN ND（3）若MN ∥BE ，求的值．AN ND 答案：（1）见解析 （2） （3）273727【小问1详解】证明：∵F 为BE 的中点，∴BF ＝EF ，∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ∥CD ，AB ＝CD∴∠BMF ＝∠ECF ，∵∠BFM ＝∠EFC ，∴△BMF ≌△ECF （AAS ），∴BM ＝CE ，∵点E 为CD 的中点，∴CE ＝CD ，12∵AB ＝CD ，∴，12BM CE AB ==∴，AM BM =∴AM ＝CE ；【小问2详解】∵∠BMF ＝∠ECF ，∠BFM ＝∠EFC ，∴△BMF ∽△ECF ，∴，12BM B EF CE F ==∵CE ＝3，∴BM ＝，32∴AM ＝，92∵CM ⊥MN ，∴∠CMN ＝90°，∴∠AMN +∠BMC ＝90°，∵∠AMN +∠ANM ＝90°，∴∠ANM ＝∠BMC ，∵∠A ＝∠MBC ，∴△ANM ∽△BMC ，∴，AN AM BM BC=∴，92342AN =∴，7162AN =∴DN ＝AD ﹣AN ＝4﹣＝，27163716∴；272716373716AN DN ==【小问3详解】∵MN ∥BE ，∴∠BFC ＝∠CMN ，∴∠FBC +∠BCM ＝90°，∵∠BCM +∠BMC ＝90°，∴∠CBF ＝∠CMB ，∴tan ∠CBF ＝tan ∠CMB ，∴，CE BC BC BM=∴，344BM=∴，163BM =∴，162633AM AB BM =-=-=由（2）同理得，，AN AM BM BC=∴，231643AN =解得：AN ＝，89∴DN ＝AD ﹣AN ＝4﹣＝，89289∴．8292879AN ND ==【点睛】本题是相似形综合题，主要考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，三角函数等知识，求出BM 的长是解决（2）和（3）的关键．28. 如图，抛物线y ＝ax 2+bx +c 与x 轴交于A （﹣4，0），B （2，0），与y 轴交于点C （0，2）．（1）求这条抛物线所对应的函数的表达式；（2）若点D 为该抛物线上的一个动点，且在直线AC 上方，求点D 到直线AC 的距离的最大值及此时点D 的坐标；（3）点P 为抛物线上一点，连接CP ，直线CP 把四边形CBPA 的面积分为1：5两部分，求点P 的坐标．答案：（1） 211242y x x =--+（2，点D 的坐标为（﹣2，2）； （3）点P 的坐标为（6，﹣10）或（﹣，﹣）．143109【小问1详解】∵抛物线y ＝ax 2+bx +c 与x 轴交于A （﹣4，0），B （2，0），与y 轴交于点C （0，2）．∴，解得：，16404202a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=⎩14122a b c ⎧=-⎪⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎪⎩∴抛物线的解析式为；211242y x x =--+【小问2详解】（2）过点D 作DH ⊥AB于H ，交直线AC 于点G ，过点D 作DE ⊥AC 于E ，如图．设直线AC 的解析式为y ＝kx +t ，则，402k t t -+=⎧⎨=⎩解得：，122k t ⎧=⎪⎨⎪=⎩∴直线AC 的解析式为．122y x =+设点D 的横坐标为m ，则点G 的横坐标也为m ，∴21112,2422DH m m GH m =--+=+∴，221111224224DG m m m m m =--+--=--∵DE ⊥AC ，DH ⊥AB ，∴∠EDG +∠DGE ＝∠AGH +∠CAO ＝90°，∵∠DGE ＝∠AGH ，∴∠EDG ＝∠CAO ，∴＝，cos cos EDG CAO ∠∠＝OA AC =∴，DE DG =∴，2221)4)2)4DE DG m m m m m ==--=+=++∴当m ＝﹣2时，点D 到直线AC ．此时，()()211222242D y =-⨯--⨯-+=即点D 的坐标为（﹣2，2）；【小问3详解】如图，设直线CP 交x 轴于点E ，直线CP 把四边形CBPA 的面积分为1：5两部分，又∵S △PCB ：S △PCA ＝，()()11::22C P C P EB y y AE y y EB AE ⨯-⨯-=则EB ：AE ＝1：5或5：1则AE ＝5或1，即点E 的坐标为（1，0）或（﹣3，0），将点E 的坐标代入直线CP 的表达式：y ＝nx +2，解得：n ＝﹣2或，23故直线CP 的表达式为：y ＝﹣2x +2或y ＝x +2，23联立方程组或，22211242y x y x x =-+⎧⎪⎨=--+⎪⎩222311242y x y x x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=--+⎪⎩解得：x ＝6或﹣（不合题意值已舍去），143故点P 的坐标为（6，﹣10）或（﹣，﹣）．143109。
四川省内江市中考数学试卷含解析版.docx
2018年四川省内江市中考数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）1．（3分）（2018•内江）﹣3的绝对值是（ ）A ．﹣3B ．3C ．−13D ．132．（3分）（2018•内江）小时候我们用肥皂水吹泡泡，其泡沫的厚度约0.000326毫米，用科学记数法表示为（ ）A ．3.26×10﹣4毫米B ．0.326×10﹣4毫米C ．3.26×10﹣4厘米D ．32.6×10﹣4厘米3．（3分）（2018•内江）如图是正方体的表面展开图，则与“前”字相对的字是（ ）A ．认B ．真C ．复D ．习4．（3分）（2018•内江）下列计算正确的是（ ）A ．a +a=a 2B ．（2a ）3=6a 3C ．（a ﹣1）2=a 2﹣1D ．a 3÷a=a 25．（3分）（2018•内江）已知函数y=√x+1x−1，则自变量x 的取值范围是（ ） A ．﹣1＜x ＜1 B ．x ≥﹣1且x ≠1 C ．x ≥﹣1 D ．x ≠1 6．（3分）（2018•内江）已知：1a ﹣1b =13，则ab b−a 的值是（ ） A ．13 B ．﹣13C ．3D ．﹣3 7．（3分）（2018•内江）已知⊙O 1的半径为3cm ，⊙O 2的半径为2cm ，圆心距O 1O 2=4cm ，则⊙O 1与⊙O 2的位置关系是（ ）A ．外高B ．外切C ．相交D ．内切8．（3分）（2018•内江）已知△ABC 与△A 1B 1C 1相似，且相似比为1：3，则△ABC 与△A 1B 1C 1的面积比为（ ）A ．1：1B ．1：3C ．1：6D ．1：99．（3分）（2018•内江）为了了解内江市2018年中考数学学科各分数段成绩分布情况，从中抽取400名考生的中考数学成绩进行统计分析，在这个问题中，样本是指（）A．400B．被抽取的400名考生C．被抽取的400名考生的中考数学成绩D．内江市2018年中考数学成绩10．（3分）（2018•内江）如图，在物理课上，小明用弹簧秤将铁块A悬于盛有水的水槽中，然后匀速向上提起，直至铁块完全露出水面一定高度，则如图能反映弹簧秤的读数y（单位：N）与铁块被提起的高度x（单位：cm）之间的函数关系的大致图是（）A．B．C．D．11．（3分）（2018•内江）如图，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，点C落在点E 处，BE交AD于点F，已知∠BDC=62°，则∠DFE的度数为（）A．31°B．28°C．62°D．56°12．（3分）（2018•内江）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A在第一象限，点B，C的坐标分别为（2，1），（6，1），∠BAC=90°，AB=AC，直线AB交y轴于点P，若△ABC与△A′B′C′关于点P成中心对称，则点A′的坐标为（）A．（﹣4，﹣5）B．（﹣5，﹣4）C．（﹣3，﹣4）D．（﹣4，﹣3）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）（2018•内江）分解因式：a3b﹣ab3=．14．（5分）（2018•内江）有五张卡片（形状、大小、质地都相同），上面分别画有下列图形：①线段；②正三角形；③平行四边形；④等腰梯形；⑤圆．将卡片背面朝上洗匀，从中抽取一张，正面图形一定满足既是轴对称图形，又是中心对称图形的概率是．15．（5分）（2018•内江）关于x的一元二次方程x2+4x﹣k=0有实数根，则k的取值范围是．16．（5分）（2018•内江）已知，A、B、C、D是反比例函数y=8x（x＞0）图象上四个整数点（横、纵坐标均为整数），分别过这些点向横轴或纵轴作垂线段，以垂线段所在的正方形（如图）的边长为半径作四分之一圆周的两条弧，组成四个橄榄形（阴影部分），则这四个橄榄形的面积总和是（用含π的代数式表示）．三、解答题（本大题共5小题，共44分）17．（7分）（2018•内江）计算：√8﹣|﹣√2|+（﹣2√3）2﹣（π﹣3.14）0×（12）﹣2．18．（9分）（2018•内江）如图，已知四边形ABCD 是平行四边形，点E ，F 分别是AB ，BC 上的点，AE=CF ，并且∠AED=∠CFD ．求证：（1）△AED ≌△CFD ；（2）四边形ABCD 是菱形．19．（9分）（2018•内江）为了掌握八年级数学考试卷的命题质量与难度系数，命题组教师赴外地选取一个水平相当的八年级班级进行预测，将考试成绩分布情况进行处理分析，制成频数分布表如下（成绩得分均为整数）：组别成绩分组 频数 频率 147.5～59.5 2 0.05 259.5～71.5 4 0.10 371.5～83.5 a 0.2 483.5～95.5 10 0.25 595.5～107.5 b c 6107.5～120 6 0.15 合计 40 1.00根据表中提供的信息解答下列问题：（1）频数分布表中的a= ，b= ，c= ；（2）已知全区八年级共有200个班（平均每班40人），用这份试卷检测，108分及以上为优秀，预计优秀的人数约为 ，72分及以上为及格，预计及格的人数约为 ，及格的百分比约为 ；（3）补充完整频数分布直方图．20．（9分）（2018•内江）如图是某路灯在铅垂面内的示意图，灯柱AC 的高为11米，灯杆AB 与灯柱AC 的夹角∠A=120°，路灯采用锥形灯罩，在地面上的照射区域DE 长为18米，从D ，E 两处测得路灯B 的仰角分别为α和β，且tanα=6，tanβ=34，求灯杆AB 的长度．21．（10分）（2018•内江）某商场计划购进A，B两种型号的手机，已知每部A 型号手机的进价比每部B型号手机进价多500元，每部A型号手机的售价是2500元，每部B型号手机的售价是2100元．（1）若商场用50000元共购进A型号手机10部，B型号手机20部，求A、B 两种型号的手机每部进价各是多少元？（2）为了满足市场需求，商场决定用不超过7.5万元采购A、B两种型号的手机共40部，且A型号手机的数量不少于B型号手机数量的2倍．①该商场有哪几种进货方式？②该商场选择哪种进货方式，获得的利润最大？四、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）22．（6分）（2018•内江）已知关于x的方程ax2+bx+1=0的两根为x1=1，x2=2，则方程a（x+1）2+b（x+1）+1=0的两根之和为．23．（6分）（2018•内江）如图，以AB为直径的⊙O的圆心O到直线l的距离OE=3，⊙O的半径r=2，直线AB不垂直于直线l，过点A，B分别作直线l的垂线，垂足分别为点D，C，则四边形ABCD的面积的最大值为．24．（6分）（2018•内江）已知△ABC的三边a，b，c，满足a+b2+|c﹣6|+28=4√a−1+10b，则△ABC的外接圆半径=．25．（6分）（2018•内江）如图，直线y=﹣x+1与两坐标轴分别交于A，B两点，将线段OA分成n等份，分点分别为P1，P2，P3，…，P n﹣1，过每个分点作x轴的垂线分别交直线AB于点T1，T2，T3，…，T n﹣1，用S1，S2，S3，…，S n﹣1分别表示Rt△T1OP1，Rt△T2P1P2，…，Rt△T n﹣1P n﹣2P n﹣1的面积，则S1+S2+S3+…+S n﹣1=．五、解答题（本大题共3小题，每小题12分，共36分）26．（12分）（2018•内江）如图，以Rt△ABC的直角边AB为直径作⊙O交斜边AC于点D，过圆心O作OE∥AC，交BC于点E，连接DE．（1）判断DE与⊙O的位置关系并说明理由；（2）求证：2DE2=CD•OE；（3）若tanC=43，DE=52，求AD的长．27．（12分）（2018•内江）对于三个数a，b，c，用M{a，b，c}表示这三个数的中位数，用max{a，b，c}表示这三个数中最大数，例如：M{﹣2，﹣1，0}=﹣1，max{﹣2，﹣1，0}=0，max{﹣2，﹣1，a}={a(a≥−1)−1(a＜−1)解决问题：（1）填空：M{sin45°，cos60°，tan60°}=，如果max{3，5﹣3x，2x﹣6}=3，则x的取值范围为；（2）如果2•M{2，x+2，x+4}=max{2，x+2，x+4}，求x的值；（3）如果M{9，x2，3x﹣2}=max{9，x2，3x﹣2}，求x的值．28．（12分）（2018•内江）如图，已知抛物线y=ax2+bx﹣3与x轴交于点A（﹣3，0）和点B（1，0），交y轴于点C，过点C作CD∥x轴，交抛物线于点D．（1）求抛物线的解析式；（2）若直线y=m（﹣3＜m＜0）与线段AD、BD分别交于G、H两点，过G点作EG⊥x轴于点E，过点H作HF⊥x轴于点F，求矩形GEFH的最大面积；（3）若直线y=kx+1将四边形ABCD分成左、右两个部分，面积分别为S1，S2，且S1：S2=4：5，求k的值．2018年四川省内江市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）1．（3分）（2018•内江）﹣3的绝对值是（）A．﹣3 B．3 C．−13D．13【考点】15：绝对值．【专题】11 ：计算题．【分析】计算绝对值要根据绝对值的定义求解．第一步列出绝对值的表达式；第二步根据绝对值定义去掉这个绝对值的符号．【解答】解：|﹣3|=3．故﹣3的绝对值是3．故选：B．【点评】考查了绝对值的定义，绝对值规律总结：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．2．（3分）（2018•内江）小时候我们用肥皂水吹泡泡，其泡沫的厚度约0.000326毫米，用科学记数法表示为（）A．3.26×10﹣4毫米B．0.326×10﹣4毫米C．3.26×10﹣4厘米D．32.6×10﹣4厘米【考点】1J：科学记数法—表示较小的数．【专题】1 ：常规题型．【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【解答】解：0.000326毫米，用科学记数法表示为3.26×10﹣4毫米．故选：A．【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．3．（3分）（2018•内江）如图是正方体的表面展开图，则与“前”字相对的字是（）A．认B．真C．复D．习【考点】I8：专题：正方体相对两个面上的文字．【专题】55：几何图形．【分析】由平面图形的折叠及正方体的展开图解题．对于正方体的平面展开图中相对的面一定相隔一个小正方形．【解答】解：由图形可知，与“前”字相对的字是“真”．故选：B．【点评】本题考查了正方体的平面展开图，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．4．（3分）（2018•内江）下列计算正确的是（）A．a+a=a2B．（2a）3=6a3C．（a﹣1）2=a2﹣1 D．a3÷a=a2【考点】4C：完全平方公式；35：合并同类项；47：幂的乘方与积的乘方；48：同底数幂的除法．【分析】根据合并同类项运算法则和积的乘方法则、完全平方公式以及同底数幂的除法法则逐项计算即可．【解答】解：A，a+a=2a≠a2，故该选项错误；B，（2a）3=8a3≠6a3，故该选项错误C，（a﹣1）2=a2﹣2a+1≠a2﹣1，故该选项错误；D，a3÷a=a2，故该选项正确，故选：D．【点评】本题考查了并同类项运算法则和积的乘方法则、完全平方公式以及同底数幂的除法法则，解题的关键是熟记以上各种运算法则．5．（3分）（2018•内江）已知函数y=√x+1x−1，则自变量x 的取值范围是（ ） A ．﹣1＜x ＜1 B ．x ≥﹣1且x ≠1 C ．x ≥﹣1 D ．x ≠1【考点】E4：函数自变量的取值范围．【专题】33 ：函数思想．【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，就可以求解．【解答】解：根据题意得：{x +1≥0x −1≠0， 解得：x ≥﹣1且x ≠1．故选：B ．【点评】考查了函数自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．6．（3分）（2018•内江）已知：1a ﹣1b =13，则ab b−a 的值是（ ） A ．13 B ．﹣13C ．3D ．﹣3 【考点】6B ：分式的加减法；64：分式的值．【专题】11 ：计算题；513：分式．【分析】由1a ﹣1b =13知b−a ab =13，据此可得答案． 【解答】解：∵1a ﹣1b =13， ∴b−a ab =13， 则ab b−a=3， 故选：C ．【点评】本题主要考查分式的加减法，解题的关键是掌握分式加减运算法则与分式的性质．7．（3分）（2018•内江）已知⊙O 1的半径为3cm ，⊙O 2的半径为2cm ，圆心距O1O2=4cm，则⊙O1与⊙O2的位置关系是（）A．外高B．外切C．相交D．内切【考点】MJ：圆与圆的位置关系．【专题】55：几何图形．【分析】由⊙O1的半径为3cm，⊙O2的半径为2cm，圆心距O1O2为4cm，根据两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系即可得出两圆位置关系．【解答】解：∵⊙O1的半径为3cm，⊙O2的半径为2cm，圆心距O1O2为4cm，又∵2+3=5，3﹣2=1，1＜4＜5，∴⊙O1与⊙O2的位置关系是相交．故选：C．【点评】此题考查了圆与圆的位置关系．注意掌握两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系是解此题的关键．8．（3分）（2018•内江）已知△ABC与△A1B1C1相似，且相似比为1：3，则△ABC 与△A1B1C1的面积比为（）A．1：1 B．1：3 C．1：6 D．1：9【考点】S7：相似三角形的性质．【专题】55D：图形的相似．【分析】利用相似三角形面积之比等于相似比的平方，求出即可．【解答】解：已知△ABC与△A1B1C1相似，且相似比为1：3，则△ABC与△A1B1C1的面积比为1：9，故选：D．【点评】此题考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解本题的关键．9．（3分）（2018•内江）为了了解内江市2018年中考数学学科各分数段成绩分布情况，从中抽取400名考生的中考数学成绩进行统计分析，在这个问题中，样本是指（）B．被抽取的400名考生C．被抽取的400名考生的中考数学成绩D．内江市2018年中考数学成绩【考点】V3：总体、个体、样本、样本容量．【专题】54：统计与概率．【分析】直接利用样本的定义，从总体中取出的一部分个体叫做这个总体的一个样本，进而分析得出答案．【解答】解：为了了解内江市2018年中考数学学科各分数段成绩分布情况，从中抽取400名考生的中考数学成绩进行统计分析，在这个问题中，样本是指被抽取的400名考生的中考数学成绩．故选：C．【点评】此题主要考查了样本的定义，正确把握定义是解题关键．10．（3分）（2018•内江）如图，在物理课上，小明用弹簧秤将铁块A悬于盛有水的水槽中，然后匀速向上提起，直至铁块完全露出水面一定高度，则如图能反映弹簧秤的读数y（单位：N）与铁块被提起的高度x（单位：cm）之间的函数关系的大致图是（）A．B．C．D．【考点】E6：函数的图象．【分析】根据在铁块开始露出水面到完全露出水面时，排开水的体积逐渐变小，根据阿基米德原理和称重法可知y的变化，注意铁块露出水面前读数y不变，离开水面后y不变，即可得出答案．【解答】解：露出水面前排开水的体积不变，受到的浮力不变，根据称重法可知铁块开始露出水面到完全露出水面时，排开水的体积逐渐变小，根据阿基米德原理可知受到的浮力变小，根据称重法可知y变大；铁块完全露出水面后一定高度，不再受浮力的作用，弹簧秤的读数为铁块的重力，故y不变．故选：C．【点评】本题考查了函数的图象，用到的知识点是函数值随时间的变化，注意分析y随x的变化而变化的趋势，而不一定要通过求解析式来解决．11．（3分）（2018•内江）如图，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，点C落在点E 处，BE交AD于点F，已知∠BDC=62°，则∠DFE的度数为（）A．31°B．28°C．62°D．56°【考点】JA：平行线的性质．【专题】11 ：计算题．【分析】先利用互余计算出∠FDB=28°，再根据平行线的性质得∠CBD=∠FDB=28°，接着根据折叠的性质得∠FBD=∠CBD=28°，然后利用三角形外角性质计算∠DFE 的度数．【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，∴AD∥BC，∠ADC=90°，∵∠FDB=90°﹣∠BDC=90°﹣62°=28°，∵AD∥BC，∴∠CBD=∠FDB=28°，∵矩形ABCD沿对角线BD折叠，∴∠FBD=∠CBD=28°，∴∠DFE=∠FBD+∠FDB=28°+28°=56°．【点评】本题考查了平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．12．（3分）（2018•内江）如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的顶点A 在第一象限，点B ，C 的坐标分别为（2，1），（6，1），∠BAC=90°，AB=AC ，直线AB 交y 轴于点P ，若△ABC 与△A′B′C′关于点P 成中心对称，则点A′的坐标为（ ）A ．（﹣4，﹣5）B ．（﹣5，﹣4）C ．（﹣3，﹣4）D ．（﹣4，﹣3）【考点】R4：中心对称；KW ：等腰直角三角形；R7：坐标与图形变化﹣旋转．【专题】531：平面直角坐标系．【分析】先求得直线AB 解析式为y=x ﹣1，即可得出P （0，﹣1），再根据点A 与点A'关于点P 成中心对称，利用中点公式，即可得到点A′的坐标．【解答】解：∵点B ，C 的坐标分别为（2，1），（6，1），∠BAC=90°，AB=AC ， ∴△ABC 是等腰直角三角形，∴A （4，3），设直线AB 解析式为y=kx +b ，则{3=4k +b 1=2k +b， 解得{k =1b =−1， ∴直线AB 解析式为y=x ﹣1，令x=0，则y=﹣1，∴P （0，﹣1），又∵点A 与点A'关于点P 成中心对称，∴点P 为AA'的中点，设A'（m ，n ），则m+42=0，3+n 2=﹣1， ∴m=﹣4，n=﹣5，∴A'（﹣4，﹣5），故选：A ．【点评】本题考查了中心对称，等腰直角三角形的运用，利用待定系数法得出直线AB 的解析式是解题的关键．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）（2018•内江）分解因式：a 3b ﹣ab 3= ab （a +b ）（a ﹣b ） ．【考点】55：提公因式法与公式法的综合运用．【分析】0【解答】解：a 3b ﹣ab 3，=ab （a 2﹣b 2），=ab （a +b ）（a ﹣b ）．【点评】014．（5分）（2018•内江）有五张卡片（形状、大小、质地都相同），上面分别画有下列图形：①线段；②正三角形；③平行四边形；④等腰梯形；⑤圆．将卡片背面朝上洗匀，从中抽取一张，正面图形一定满足既是轴对称图形，又是中心对称图形的概率是 25． 【考点】X4：概率公式；P3：轴对称图形；R5：中心对称图形．【分析】由五张卡片①线段；②正三角形；③平行四边形；④等腰梯形；⑤圆中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的①⑤，直接利用概率公式求解即可求得答案．【解答】解：∵五张卡片①线段；②正三角形；③平行四边形；④等腰梯形；⑤圆中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的①⑤，∴从中抽取一张，正面图形一定满足既是轴对称图形，又是中心对称图形的概率是：25． 故答案为：25． 【点评】此题考查了概率公式的应用．注意用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．15．（5分）（2018•内江）关于x 的一元二次方程x 2+4x ﹣k=0有实数根，则k 的取值范围是 k ≥﹣4 ．【考点】AA ：根的判别式．【专题】45 ：判别式法．【分析】根据方程的系数结合根的判别式△≥0，即可得出关于k 的一元一次不等式，解之即可得出结论．【解答】解：∵关于x 的一元二次方程x 2+4x ﹣k=0有实数根，∴△=42﹣4×1×（﹣k ）=16+4k ≥0，解得：k ≥﹣4．故答案为：k ≥﹣4．【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当△≥0时，方程有实数根”是解题的关键．16．（5分）（2018•内江）已知，A 、B 、C 、D 是反比例函数y=8x（x ＞0）图象上四个整数点（横、纵坐标均为整数），分别过这些点向横轴或纵轴作垂线段，以垂线段所在的正方形（如图）的边长为半径作四分之一圆周的两条弧，组成四个橄榄形（阴影部分），则这四个橄榄形的面积总和是 5π﹣10 （用含π的代数式表示）．【考点】G5：反比例函数系数k 的几何意义；G6：反比例函数图象上点的坐标特征．【专题】11 ：计算题．【分析】通过观察可知每个橄榄形的阴影面积都是一个圆的面积的四分之一减去一个直角三角形的面积再乘以2，分别计算这5个阴影部分的面积相加即可表示．【解答】解：∵A 、B 、C 、D 、E 是反比例函数y=8x（x ＞0）图象上五个整数点， ∴x=1，y=8；x=2，y=4；x=4，y=2；x=8，y=1；∴一个顶点是A 、D 的正方形的边长为1，橄榄形的面积为：2(πr 24−r 22)=2(π−24)r 2=π−22； 一个顶点是B 、C 的正方形的边长为2，橄榄形的面积为：π−22r 2=2（π﹣2）；∴这四个橄榄形的面积总和是：（π﹣2）+2×2（π﹣2）=5π﹣10．故答案为：5π﹣10．【点评】本题主要通过考查橄榄形的面积的计算来考查反比例函数图象的应用，关键是要分析出其图象特点，再结合性质作答．三、解答题（本大题共5小题，共44分）17．（7分）（2018•内江）计算：√8﹣|﹣√2|+（﹣2√3）2﹣（π﹣3.14）0×（12）﹣2．【考点】2C：实数的运算；6E：零指数幂；6F：负整数指数幂．【专题】1 ：常规题型．【分析】直接利用零指数幂的性质以及负整数指数幂的性质、绝对值的性质、二次根式的性质分别化简得出答案．【解答】解：原式=2√2﹣√2+12﹣1×4=√2+8．【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．18．（9分）（2018•内江）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，点E，F分别是AB，BC上的点，AE=CF，并且∠AED=∠CFD．求证：（1）△AED≌△CFD；（2）四边形ABCD是菱形．【考点】L9：菱形的判定；KD：全等三角形的判定与性质；L5：平行四边形的性质．【专题】14 ：证明题．【分析】（1）由全等三角形的判定定理ASA证得结论；（2）由“邻边相等的平行四边形为菱形”证得结论．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A=∠C．在△AED与△CFD中，{∠A=∠CAE=CF∠AED=∠CFD∴△AED≌△CFD（ASA）；（2）由（1）知，△AED≌△CFD，则AD=CD．又∵四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是菱形．【点评】考查了菱形的判定，全等三角形的判定与性质以及平行四边形的性质，解题的关键是掌握相关的性质与定理．19．（9分）（2018•内江）为了掌握八年级数学考试卷的命题质量与难度系数，命题组教师赴外地选取一个水平相当的八年级班级进行预测，将考试成绩分布情况进行处理分析，制成频数分布表如下（成绩得分均为整数）：组别成绩分组频数频率147.5～59.520.5259.5～71.40.15371.5～83.5a0.2483.5～95.51.25595.5～17.5b c617.5～12060.15合计41.根据表中提供的信息解答下列问题：（1）频数分布表中的a=8，b=10，c=0.25；（2）已知全区八年级共有200个班（平均每班40人），用这份试卷检测，108分及以上为优秀，预计优秀的人数约为1200人，72分及以上为及格，预计及格的人数约为6800人，及格的百分比约为85%；（3）补充完整频数分布直方图．【考点】V8：频数（率）分布直方图；V5：用样本估计总体；V7：频数（率）分布表．【专题】1 ：常规题型；542：统计的应用．【分析】（1）根据第一组的频数和频率结合频率=频数总数，可求出总数，继而可分别得出a、b、c的值．（2）根据频率=频数总数的关系可分别求出各空的答案．（3）根据（1）中a、b的值即可补全图形．【解答】解：（1）∵被调查的总人数为2÷0.05=40人，∴a=40×0.2=8，b=40﹣（2+4+8+10+6）=10，c=10÷40=0.25，故答案为：8、10、0.25；（2）∵全区八年级学生总人数为200×40=8000人，∴预计优秀的人数约为8000×0.15=1200人，预计及格的人数约为8000×（0.2+0.25+0.25+0.15）=6800人，及格的百分比约为170200×100%=85%，故答案为：1200人、6800人、85%；（3）补全频数分布直方图如下：【点评】本题主要考查频数分布直方图及频率分布表的知识，难度不大，解答本题的关键是掌握频率=频数总数．20．（9分）（2018•内江）如图是某路灯在铅垂面内的示意图，灯柱AC的高为11米，灯杆AB与灯柱AC的夹角∠A=120°，路灯采用锥形灯罩，在地面上的照射区域DE 长为18米，从D ，E 两处测得路灯B 的仰角分别为α和β，且tanα=6，tanβ=34，求灯杆AB 的长度．【考点】TA ：解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．【专题】552：三角形．【分析】过点B 作BF ⊥CE ，交CE 于点F ，过点A 作AG ⊥AF ，交BF 于点G ，则FG=AC=11．设BF=3x 知EF=4x 、DF=BF tan∠BDF，由DE=18求得x=4，据此知BG=BF ﹣GF=1，再求得∠BAG=∠BAC ﹣∠CAG=30°可得AB=2BG=2．【解答】解：过点B 作BF ⊥CE ，交CE 于点F ，过点A 作AG ⊥AF ，交BF 于点G ，则FG=AC=11．由题意得∠BDE=α，tan ∠β=34． 设BF=3x ，则EF=4x在Rt △BDF 中，∵tan ∠BDF=BF DF ，∴DF=BF tan∠BDF =3x 6=12x ， ∵DE=18，∴12x +4x=18． ∴x=4．∴BF=12，∴BG=BF﹣GF=12﹣11=1，∵∠BAC=120°，∴∠BAG=∠BAC﹣∠CAG=120°﹣90°=30°．∴AB=2BG=2，答：灯杆AB的长度为2米．【点评】本题主要考查解直角三角形﹣仰角俯角问题，解题的关键是结合题意构建直角三角形并熟练掌握三角函数的定义及其应用能力．21．（10分）（2018•内江）某商场计划购进A，B两种型号的手机，已知每部A 型号手机的进价比每部B型号手机进价多500元，每部A型号手机的售价是2500元，每部B型号手机的售价是2100元．（1）若商场用50000元共购进A型号手机10部，B型号手机20部，求A、B 两种型号的手机每部进价各是多少元？（2）为了满足市场需求，商场决定用不超过7.5万元采购A、B两种型号的手机共40部，且A型号手机的数量不少于B型号手机数量的2倍．①该商场有哪几种进货方式？②该商场选择哪种进货方式，获得的利润最大？【考点】FH：一次函数的应用；9A：二元一次方程组的应用；CE：一元一次不等式组的应用．【专题】1 ：常规题型．【分析】（1）设A、B两种型号的手机每部进价各是x元、y元，根据每部A型号手机的进价比每部B型号手机进价多500元以及商场用50000元共购进A型号手机10部，B型号手机20部列出方程组，求出方程组的解即可得到结果；（2）①设A种型号的手机购进a部，则B种型号的手机购进（40﹣a）部，根据花费的钱数不超过7.5万元以及A型号手机的数量不少于B型号手机数量的2倍列出不等式组，求出不等式组的解集的正整数解，即可确定出购机方案；②设A种型号的手机购进a部时，获得的利润为w元．列出w关于a的函数解析式，根据一次函数的性质即可求解．【解答】解：（1）设A、B两种型号的手机每部进价各是x元、y元，根据题意得：{x =y +50010x +20y =50000， 解得：{x =2000y =1500，答：A 、B 两种型号的手机每部进价各是2000元、1500元；（2）①设A 种型号的手机购进a 部，则B 种型号的手机购进（40﹣a ）部， 根据题意得：{2000a +1500(40−a)≤75000a ≥2(40−a)， 解得：803≤a ≤30， ∵a 为解集内的正整数，∴a=27，28，29，30，∴有4种购机方案：方案一：A 种型号的手机购进27部，则B 种型号的手机购进13部；方案二：A 种型号的手机购进28部，则B 种型号的手机购进12部；方案三：A 种型号的手机购进29部，则B 种型号的手机购进11部；方案四：A 种型号的手机购进30部，则B 种型号的手机购进10部；②设A 种型号的手机购进a 部时，获得的利润为w 元．根据题意，得w=500a +600（40﹣a ）=﹣100a +24000，∵﹣10＜0，∴w 随a 的增大而减小，∴当a=27时，能获得最大利润．此时w=﹣100×27+24000=21300（元）． 因此，购进A 种型号的手机27部，购进B 种型号的手机13部时，获利最大． 答：购进A 种型号的手机27部，购进B 种型号的手机13部时获利最大．【点评】此题考查了一次函数的应用，二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，找出满足题意的等量关系与不等关系是解本题的关键．四、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）22．（6分）（2018•内江）已知关于x 的方程ax 2+bx +1=0的两根为x 1=1，x 2=2，则方程a （x +1）2+b （x +1）+1=0的两根之和为 1 ．【考点】AB ：根与系数的关系；A9：换元法解一元二次方程．【专题】11 ：计算题．【分析】利用整体的思想以及根与系数的关系即可求出答案．【解答】解：设x +1=t ，方程a （x +1）2+b （x +1）+1=0的两根分别是x 3，x 4， ∴at 2+bt +1=0，由题意可知：t 1=1，t 2=2，∴t 1+t 2=3，∴x 3+x 4+2=3故答案为：1【点评】本题考查根与系数的关系，解题的关键是熟练运用根与系数的关系，本题属于基础题型．23．（6分）（2018•内江）如图，以AB 为直径的⊙O 的圆心O 到直线l 的距离OE=3，⊙O 的半径r=2，直线AB 不垂直于直线l ，过点A ，B 分别作直线l 的垂线，垂足分别为点D ，C ，则四边形ABCD 的面积的最大值为 12 ．【考点】LL ：梯形中位线定理．【专题】11 ：计算题．【分析】先判断OE 为直角梯形ADCB 的中位线，则OE=12（AD +BC ），所以S 四边形ABCD =OE•CD=3CD ，只有当CD=AB=4时，CD 最大，从而得到S 四边形ABCD 最大值．【解答】解：∵OE ⊥l ，AD ⊥l ，BC ⊥l ，而OA=OB ，∴OE 为直角梯形ADCB 的中位线，∴OE=12（AD +BC ）， ∴S 四边形ABCD =12（AD +BC ）•CD=OE•CD=3CD ，当CD=AB=4时，CD 最大，S 四边形ABCD 最大，最大值为12．【点评】本题考查了梯形中位线：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半．24．（6分）（2018•内江）已知△ABC 的三边a ，b ，c ，满足a +b 2+|c ﹣6|+28=4√a −1+10b ，则△ABC 的外接圆半径= 258． 【考点】MA ：三角形的外接圆与外心；16：非负数的性质：绝对值；1F ：非负数的性质：偶次方；23：非负数的性质：算术平方根；KQ ：勾股定理．【专题】17 ：推理填空题．【分析】根据题目中的式子可以求得a 、b 、c 的值，从而可以求得△ABC 的外接圆半径的长．【解答】解：∵a +b 2+|c ﹣6|+28=4√a −1+10b ，∴（a ﹣1﹣4√a −1+4）+（b 2﹣10b +25）+|c ﹣6|=0，∴（√a −1﹣2）2+（b ﹣5）2+|c ﹣6|=0，∴√a −1−2=0，b ﹣5=0，c ﹣6=0，解得，a=5，b=5，c=6，∴AC=BC=5，AB=6，作CD ⊥AB 于点D ，则AD=3，CD=4，设△ABC 的外接圆的半径为r ，则OC=r ，OD=4﹣r ，OA=r ，∴32+（4﹣r ）2=r 2，解得，r=258， 故答案为：258．【点评】本题考查三角形的外接圆与外心、非负数的性质、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．25．（6分）（2018•内江）如图，直线y=﹣x +1与两坐标轴分别交于A ，B 两点，将线段OA 分成n 等份，分点分别为P 1，P 2，P 3，…，P n ﹣1，过每个分点作x 轴的垂线分别交直线AB 于点T 1，T 2，T 3，…，T n ﹣1，用S 1，S 2，S 3，…，S n ﹣1分别表示Rt △T 1OP 1，Rt △T 2P 1P 2，…，Rt △T n ﹣1P n ﹣2P n ﹣1的面积，则S 1+S 2+S 3+…+S n ﹣1= 14﹣14n．【考点】F8：一次函数图象上点的坐标特征；D2：规律型：点的坐标．【专题】2A ：规律型；531：平面直角坐标系．【分析】如图，作T 1M ⊥OB 于M ，T 2N ⊥P 1T 1．由题意可知：△BT 1M ≌△T 1T 2N≌△T n ﹣1A ，四边形OMT 1P 1是矩形，四边形P 1NT 2P 2是矩形，推出S △BT 1M =12×1n×1n =12n ，S 1=12S 矩形OMT 1P 1，S 2=12S 矩形P 1NT 2P 2， 可得S 1+S 2+S 3+…+S n ﹣1=12（S △AOB ﹣n ⋅S △NBT 1）． 【解答】解：如图，作T 1M ⊥OB 于M ，T 2N ⊥P 1T 1．由题意可知：△BT 1M ≌△T 1T 2N ≌△T n ﹣1A ，四边形OMT 1P 1是矩形，四边形P 1NT 2P 2是矩形，∴S △BT 1M =12×1n ×1n =12n 2，S 1=12S 矩形OMT 1P 1，S 2=12S 矩形P 1NT 2P 2， ∴S 1+S 2+S 3+…+S n ﹣1=12（S △AOB ﹣n ⋅S △NBT 1）=12×（12﹣n ×12n 2）=14﹣14n． 故答案为14﹣14n． 【点评】本题考查一次函数的应用，规律型﹣点的坐标、三角形的面积、矩形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分割法求阴影部分面积．五、解答题（本大题共3小题，每小题12分，共36分）26．（12分）（2018•内江）如图，以Rt △ABC 的直角边AB 为直径作⊙O 交斜边AC 于点D ，过圆心O 作OE ∥AC ，交BC 于点E ，连接DE ．（1）判断DE 与⊙O 的位置关系并说明理由；（2）求证：2DE 2=CD•OE ；（3）若tanC=43，DE=52，求AD 的长．。
四川省内江市中考数学试卷
数学试题一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．在函数中，自变量的取值范围是(A)(B)(C)(D)2．下列几个图形是国际通用的交通标志，其中不是中心对称图形的是（）！A．Ｂ．Ｃ．D．3．抛物线的顶点坐标是（）A．B．D．D．4．如图是由5个大小相同的正方体摆成的立体图形，它的正视图是（）5．今年我国发现的首例甲型H1N1流感确诊病例在成都某医院隔离观察，要掌握他在一周内的体温是否稳定，则医生需了解这位病人7天体温的（）A．众数B．方差C．平均数D．频数6．如图，小陈从O点出发，前进5米后向右转20°，再前进5米后又向右转20°，……，这样一直走下去，他第一次回到出发点O时一共走了（）A．60米B．100米C．90米D．120米△7.如图，ABC中，D、E分别是BC、AC的中点，BF平分∠ABC，交DE于点F，若BC=6，则DF的长是（A）2（B）3（C）（D）48．如图，双曲线经过矩形QABC的边BC的中点E，交AB于点D。
若梯形ODBC的面积为3，则双曲线的解析式为（A）（B）（C）（D）9．打开某洗衣机开关（洗衣机内无水），在洗涤衣服时，洗衣机经历了进水、清洗、排水、脱水四个连续过程，其中进水、清洗、排水时洗衣机中的水量（升）与时间（分钟）之间满足某种函数关系，其函数图象大致为（）y y y yO x O x O x O xA．B．C．D．10．如图所示，数轴上表示的对应点分别为C、B，点C是AB的中点，则点A表示的数是（）A．B．C．D．11．若关于的方程组的解是，则为（）A CB 25A．1B．3C．5D．212．在校运动会上，三位同学用绳子将四根同样大小的接力棒分别按横截面如图（1）、（2）、（3）所示的方式进行捆绑，三个图中的四个圆心的连线（虚线）分别构成菱形、正方形、菱形，如果把三种方式所用绳子的长度分别用来表示，则（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请将最后答案直接填在题中横线上．）13．如图，点A、B、C在O0上，切线CD与OB的延长线交于点D．若∠A=30°，CD=，则⊙O的半径长为__________．14．分解因式：．15．某人为了了解他所在地区的旅游情况，收集了该地区2005年至2008年每年旅游收入的有关数据，整理并绘成图．根据图中信息，可知该地区2005年至2008年四年的年旅游平均收入是亿元．△16．如图所示，A’B’C’是由△ABC向右平移5个单位，然后绕B点逆时针旋转90°得到的（其中A’、B’、C’的对应点分别是A、B、C），点A’的坐标是（4，4）点B’的坐标是（1，1），则点A的坐标是。
2023年四川省内江市中考数学试卷(含答案)200312
2023年四川省内江市中考数学试卷试卷考试总分：156 分 考试时间： 120 分钟学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________一、 选择题 （本题共计 12 小题 ，每题 3 分 ，共计36分 ）1. −3的绝对值是( )A.−13B.−3C.13D.32. 中国月球探测器嫦娥五号所带回来的月球样本“月壤”，重量达1731克，数据1731用科学记数法表示为（ ）A.17.31×102B.1.731×103C.173.1×10D.0.1731×1043. 如图，已知几何体由5个相同的小正方体组成，那么它的俯视图是( )A.B.C.D.4. 下列各运算中，计算正确的是( )A.a 2+2a 2=3a 4B.b 10÷b 2=b 5C.(m+n)2=m 2+n 2−3()−13−31331731173117.31×1021.731×103173.1×100.1731×1045+2=3a 2a 2a 4÷=b 10b 2b 5=+(m+n)2m 2n 236D.(−2x 2)3=−8x 65. 下列图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )A.①③B.②④C.①④D.②③6. 函数y =√2x +4中，自变量x 的取值范围在数轴上表示正确的是（ ） A. B.C.D.7. 为了解某班学生每天使用零花钱的情况，小敏随机调查了15名同学，结果如表：每天用零花钱（单位：元）12345人数24531则这15名同学每天使用零花钱的众数和中位数分别是( )A.3，3B.5，2C.3，2D.3，58. 如图，⊙O 是正六边形ABCDEF 的外接圆，点P 在⊙O 上（P 不与A ，B重合），则∠APB 的度数为（ ）A.60∘=−8(−2)x 23x 6y =2x+4−−−−−√x15123452453115( )33523235⊙O ABCDEF P ⊙O P A B ∠APB 60∘∘∘B.60∘或120∘C.30∘D.30∘或150∘9. 施工队要铺设一段全长2000米的管道，因在中考期间需停工两天，实际每天施工需比原计划多50米，才能按时完成任务，求原计划每天施工多少米．设原计划每天施工x 米，则根据题意所列方程正确的是()A.2000x −2000x +50=2B.2000x +50−2000x =2C.2000x −2000x −50=2D.2000x −50−2000x =2 10. 如图，△ABC 中，D 是AB 边上一点，过点D 作DE//BC 交AC 边于点E ，N 是BC 边上一点，连接AN 交DE 于点M ，则下列结论错误的是( )A.AMAN =MECN B.ADBD =AECE C.DMBN =EMCN D. BDAB =DMBN 11. 已知⊙O 的半径为1，点P 到圆心O 的距离为d ，若关于x 的方程x 2−2x +d =0有实根，则点P( )A.在⊙O 的内部B.在⊙O 的外部C.在⊙O 上D.在⊙O 上或⊙O 的内部12. 当x =1和x =−1时，代数式x 4−5x 2+1的值( )A.互为相反数B.相等C.符号相反D.互为倒数二、 填空题 （本题共计 8 小题 ，共计44分 ）60∘120∘30∘30∘150∘200050x ()−=22000x 2000x+50−=22000x+502000x −=22000x 2000x−50−=22000x−502000x△ABC D AB D DE//BC A C E N BC AN DE M ( )=AM AN ME CN =AD BD AE CE =DM BN EM CN =BD AB DM BN⊙O 1P O d x −2x+d =0x 2P()⊙O⊙O⊙O⊙O ⊙O x =1x =−1−5+1x 4x 2213. （5分） 分解因式：2x 2−8=________.14. （5分） √2−3的绝对值是________；−125的立方根是________；14的平方根是________.15. （5分） 如图，从一块半径是cm 的圆形铁皮上剪出一个圆心角为60∘的扇形，将剪下的扇形围成一个圆锥，若OA ＝2cm ，则圆锥的高是________．16. （5分） 如图，在矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，已知∠AOD =120∘，AB =2.5，则AC 的长为________．17. （6分） 若方程x 2−4x −5=0的两根分别是x 1和x 2，且1x 1+1x 2=________.18. （6分） 请写出一个分式，无论x 取什么值，使分式总有意义________.19. （6分） 如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的高，cosC =12，AB =6√3，AC =6，则BC 的长为________.20. （6分） 在△ABC 中，∠B =60∘，点D 在边BC 上，AD =AC ，点E 在边AD 上，∠BAC =∠DEC ，若AB =4,DE =2AE ，则AC 的长为________．三、 解答题 （本题共计 8 小题 ，共计76分 ）21. （8分） 计算： (−1)2021+|−2|+4sin30∘−(3√8−π)62x 2−8=−32–√−12514cm 60∘OA 2cmABCD AC BD O ∠AOD =120∘AB =2.5AC−4x−5=0x 2x 1x 2+=1x 11x 2x △ABC AD BC cosC =12AB =63–√AC =6BC △ABC ∠B =60∘D BC AD =AC E AD ∠BAC =∠DEC AB =4,DE =2AEAC +|−2|+4sin −(−1)202130∘(−π)8–√36∘∘22.(8分) 如图，在△ABC 中，∠ACB =90∘，∠A =30∘，AB 的垂直平分线分别交AB 和AC 于点D ，E ．(1)求证：AE =2CE ；(2)连接CD ，请判断△BCD 的形状，并说明理由． 23.(8分) 某校为了解全校学生对新闻、体育、动画、娱乐、戏曲五类电视节目的喜爱情况，随机选取该校部分学生进行调查，要求每名学生从中只选出一类最喜爱的电视节目，以下是根据调查结果绘制的统计图表的一部分．根据以上的信息，回答下列问题：(1)被调查学生的总数为________人，统计表中m 的值为________，统计图中n 的值为________；(2)在统计图中，E 类所对应扇形的圆心角的度数为________.(3)喜爱体育电视节目的学生中有4人甲、乙、丙、丁在学校参加体育训练，现要从4个人中选拔两人参加市运动会，求出甲丙同时被选中的概率是多少？类别A B C D E 节目类型新闻体育动画娱乐戏曲人数2460m 10818 24.(8分) 如图，某大楼的顶部竖有一块广告牌CD ，小李在山坡的坡脚A 处测得广告牌底部D 的仰角为60∘，沿坡面AB 向上走到B 处测得广告牌顶部C 的仰角为45∘，已知山坡AB 的坡度i =1：√3，AB =8米，广告牌CD 的高度为4米．(1)求点B 距水平面AE 的高度BH ；(2)求楼房DE 的高度.（测角器的高度忽略不计，结果保留根号） 25.(8分) 如图，一次函数y =k 1x +b 的图象与x 轴，y 轴分别交于A ，B 两点，与反比例函数y =k 2x 的图象分别交于C ，D 两点，点C(2,4)，点B 是线段AC 的中点．△ABC ∠ACB =90∘∠A =30∘AB AB AC D E(1)AE =2CE(2)CD △BCD (1)m n(2)E(3)44A B C D E 2460m 10818CD A D 60∘AB B C 45∘AB i=1：3–√AB =8CD 4(1)B AE BH(2)DE y =x+b k 1x y A B y =k 2x C D C(2,4)B AC(1)求一次函数y =k 1x +b 与反比例函数y =k 2x 的解析式；(2)求△COD 的面积；(3)直接写出当x 取什么值时，k 1x +b <k 2x ． 26. （12分） 请阅读下列材料，并完成相应的任务．布拉美古塔定理婆罗摩笈多是古印度著名的数学家、天文学家，他编著了《婆罗摩修正体系》．他曾经提出了“婆罗摩笈多定理”，即“布拉美古塔定理”．定理的内容如下：若圆内接四边形的对角线互相垂直，则垂直于一边且过对角线交点的直线将平分对边．符号语言：已知：如图（1），四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，对角线AC ⊥BD ，垂足为点M ，过点M 的直线垂直AB 于点F ，交CD 于点E ，则DE =CE ．任务：如图（2），在⊙O 中，弦AB ⊥弦CD ，垂足为点M ，连结AC ，CB ，BD ，DA ，点E ，F 分别是AC ，BC 上一点，直线EM ⊥BD 于点G ，直线FM ⊥AD 于点H ．当点M 是AB 的中点时，四边形EMFC 是怎样的特殊四边形？并说明理由． 27.(12分) 为加快复工复产，某企业需运输一批物资．据调查得知，2辆大货车与3辆小货车一次可以运输600箱；5辆大货车与6辆小货车一次可以运输1350箱．(1)1辆大货车和1辆小货车一次可以分别运输多少箱物资？(2)该企业计划用两种货车共12辆运输这批物资，每辆大货车一次需费用5000元，每辆小货车一次需费用3000元．若运输物资不少于1500箱，且总费用小于54000元，请你列出所有运输方案，并指出哪种方案所需费用最少，最少费用是多少？ 28.(12分) 如图，直角三角形ABC 在平面直角坐标系中，直角边BC 在x 轴上；AB ，BC 的长分别是一元二次方程x 2−7x +12=0的两个根，AB <BC ，BC =2OB ，动点P 以每秒1个单位长度的速度，从点B 出发沿折线段BA −AC 运动，运动时间为t 秒．设△POB 的面积为S ．(1)求点A 的坐标；(2)求S 关于t 的函数关系式，并写出自变量的取值范围；(1)y =x+b k 1y =k 2x (2)△COD(3)x x+b <k 1k 2xABCD ⊙O AC ⊥BD M M AB F CD E DE =CE⊙O AB ⊥CD M AC CB BD DA E F AC BC EM ⊥BD G FM ⊥AD H M AB EMFC23600561350(1)11(2)1250003000150054000ABC BCx AB BC −7x+12=0x 2AB <BC BC =2OB P 1B BA−AC t △POB S(1)A(2)S t(3)在点P 的运动过程中，是否存在点P ，使以P ，O ，B 为顶点的三角形与△ABC 相似？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．(2)S t (3)P P P O B △ABC P参考答案与试题解析2023年四川省内江市中考数学试卷试卷一、 选择题 （本题共计 12 小题 ，每题 3 分 ，共计36分 ）1.【答案】D【考点】绝对值【解析】当a 是负有理数时，a 的绝对值是它的相反数−a ，据此求出−3的绝对值是多少即可．【解答】解：|−3|=3．故选D ．2.【答案】B【考点】科学记数法--表示较大的数【解析】科学计数法的表示形式为a ×10n 的形式，其中1≤|a|=10，为整数，确定口的值时，要看把原数变成④时，小数点移动的多少位，Р的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值≥10时，是正数；当原数的绝对值z1时，几是负数．【解答】解：1731=1.731×103.故选B.3.【答案】B【考点】简单组合体的三视图【解析】此题暂无解析【解答】解：观察几何体可知，俯视图由三列小正方形组成，从左往右每一列个数分别为：2,1,1.故选B.4.D【考点】幂的乘方与积的乘方完全平方公式合并同类项同底数幂的除法【解析】根据合并同类项，同底数幂除法的运算法则，完全平方公式，积的乘方和幂的乘方的运算法则来求解.【解答】解：A ，a 2+2a 2=3a 2，此项计算错误，不符合题意；B ，b 10÷b 2=b 10−2=b 8，此项计算错误，不符合题意；C ，(m+n)2=m 2+2mn +n 2，此项计算错误，不符合题意；D ，(−2x 2)3=−8x 6，此项计算正确，符合题意.故选D.5.【答案】B【考点】中心对称图形轴对称图形【解析】此题暂无解析【解答】解：①不是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意；②是轴对称图形，是中心对称图形，符合题意；③不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；④是轴对称图形，是中心对称图形，符合题意．故选B.6.【答案】B【考点】在数轴上表示不等式的解集函数自变量的取值范围根据负数没有算术平方根求出x的范围，表示在数轴上即可．【解答】由y=√2x+4，得到2x+4≥0，解得：x≥−2，表示在数轴上，如图所示：，故选：B．7.【答案】A【考点】中位数众数【解析】此题暂无解析【解答】解：这15名同学中有5人每天使用3元零花钱，故众数为3元，中位数为每天使用的零花钱从小到大排列后的第8名同学，故中位数为3元.故选A．8.【答案】D【考点】正多边形和圆圆周角定理【解析】构造圆心角，分两种情况，利用同弧所对的圆周角是圆心角的一半求得答案即可．【解答】连接OA，OB∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠AOB＝＝60∘，当点P不在上时，∠APB＝∠AOB＝30∘，当点P在上时，∠APB＝180∘−∠AOB＝180∘−30∘＝150∘，9.【答案】A【考点】由实际问题抽象为分式方程【解析】设原计划每天铺设x 米，则实际施工时每天铺设(x +50)米，根据：原计划所用时间-实际所用时间=2，列出方程即可．【解答】解：设原计划每天施工x 米，则实际每天施工(x +50)米，根据题意，可列方程：2000x −2000x +50=2.故选A.10.【答案】D【考点】相似三角形的判定与性质平行线分线段成比例【解析】由平行线分线段成比例和相似三角形的性质得ADBD =AEEC ，AMAN =MENC ，DMBN =EMCN ，可得解.【解答】解：由DE//BC ，所以ADBD =AEEC ，△ADM ∼△ABN ，△AME ∼△ANC ，得AMAN =MENC ，所以DMBN =AMAN =ADAB ，所以DMBN =EMCN .故选D.11.【答案】D【考点】点与圆的位置关系根的判别式【解析】首先根据关于x 的方程有实数根求得d 的取值范围，然后利用d 与半径的大小关系判断点与圆的位置关系．【解答】解：∵关于x 的方程x 2−2x +d =0有实根，∴根的判别式Δ=(−2)2−4×d ≥0，解得d ≤1，∴点在圆内或在圆上，故选D ．12.【答案】B【考点】函数中代数式求值【解析】分别把1和-1代入计算出其值进行判断即可．【解答】解：当x =1时，x 4−5x 2+1=1−5+1=−3，当x =−1时，x 4−5x 2+1=1−5+1=−3，∴这两个值相等．故选B ．二、 填空题 （本题共计 8 小题 ，共计44分 ）13.【答案】2(x +2)(x −2)【考点】因式分解-运用公式法因式分解-提公因式法【解析】此题暂无解析【解答】解：2x 2−8=2(x 2−4)=2(x +2)(x −2).故答案为：2(x +2)(x −2).14.【答案】3−√2,−5,±12【考点】平方根绝对值立方根【解析】分别根据立方根的定义，平方根的定义、绝对值的定义即可求解．【解答】解：∵√2−3＜0，∴|√2−3|=3−√2；∵(−5)3=−125，∴−125的立方根为−5．∵(±12)2=14，∴14的平方根是±12.故答案为：3−√2；−5；±12.15.【答案】【考点】圆锥的计算展开图折叠成几何体【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答16.【答案】5【考点】矩形的性质【解析】依题意，已知∠AOD=120∘，AB=2.5，根据矩形的对角线互相平分以及直角三角形的性质可求出AC的长.【解答】解：∵∠AOD=120∘，∴∠AOB=60∘.又∵AC，BD相等且互相平分，∴△ABO为等边三角形，∴AC=2AO=2AB=2×2.5=5．故答案为：5.17.【答案】−45【考点】根与系数的关系【解析】本题考查了一元二次方程的根与系数关系，解题关键是掌握根与系数关系并能熟练运用，根据根与系数的关系来解答即可.【解答】解：∵方程x 2−4x −5=0的两根分别是x 1和x 2，∴x 1+x 2=4，x 1⋅x 2=−5，∴1x 1+1x 2=x 1+x 2x 1⋅x 2=−45.故答案为：−45.18.【答案】1x 2+1【考点】非负数的性质：偶次方列代数式求值方法的优势【解析】【解答】解：要是分式有意义，则分母不能为0，根号下的数不为负数；本题答案不唯一.19.【答案】12【考点】勾股定理锐角三角函数的定义【解析】此题暂无解析【解答】解：∵AD 是BC 边上的高，∴∠ADC =∠ADB =90∘.∵cosC =12，AC =6，∴CD =ACcosC =6×12=3，AD =√AC 2−CD 2=3√3.∵AB =6√3，∴BD =√AB 2−AD 2=√(6√3)2−(3√3)2=9，∴BC =CD +BD =3+9=12.故答案为：12．20.【答案】√13【考点】相似三角形的性质与判定【解析】此题暂无解析【解答】解：过点A作AG⊥BC ，垂足为点G，过点D作DF//AC，交AB于点F，∵DF//AC，∴∠ADF=∠CAE，∠BDF=∠BCA，∠BFD=∠BAC，∵∠BAC=∠DEC∴∠DAF+∠CAD=∠CAD+∠ACE，∴∠DAF=∠ACE，∵AD=AC，∴△ADF≅△CAE，∴DF=AE，∵DE=2AE，∴DF=AE=13AD=13AC，∵∠BDF=∠BCA，∠BFD=∠BAC，∴△BDF∽△BCA，∴BDBC=DFAC=13，∵AD=AC， AG⊥BC，∴DG=GC，∵BD=DG=GC，∵∠B=60∘,AB=4，√42−22=2√3，∴BG=2,AG=√(2√3)2+12=√13．∴AC=故答案为:√13．三、解答题（本题共计 8 小题，共计76分）21.【答案】2021+|−2|+4sin30∘−(3√8−π)0解：(−1)=−1+2+4×12−1=−1+2+2−1=2．【考点】特殊角的三角函数值负整数指数幂零指数幂实数的运算【解析】此题暂无解析【解答】2021+|−2|+4sin30∘−(3√8−π)0解：(−1)=−1+2+4×12−1=−1+2+2−1=2．22.【答案】(1)证明：连接BE，∵DE是AB的垂直平分线，∴AE=BE，∴∠ABE=∠A=30∘，∴∠CBE=∠ABC−∠ABE=30∘，在Rt△BCE中，BE=2CE，∴AE=2CE．(2)解：△BCD是等边三角形．理由如下：由(1)可得∠DBE=∠CBE，∠BDE=∠BCE=90∘，∵BE=BE，∴△BDE≅△BCE(AAS)，∴BD=BC，∵∠ABC=60∘，∴△BCD是等边三角形．【考点】含30度角的直角三角形线段垂直平分线的性质全等三角形的性质与判定等边三角形的判定【解析】无无【解答】(1)证明：连接BE，∵DE是AB的垂直平分线，∴AE=BE，∴∠ABE=∠A=30∘，∴∠CBE=∠ABC−∠ABE=30∘，在Rt△BCE中，BE=2CE，∴AE=2CE．(2)解：△BCD是等边三角形．理由如下：由(1)可得∠DBE=∠CBE，∠BDE=∠BCE=90∘，∵BE=BE，∴△BDE≅△BCE(AAS)，∴BD=BC，∵∠ABC=60∘，∴△BCD是等边三角形．23.【答案】300,90,3621.6∘(3)画树状图如下：可得共有12种等可能的情况，其中甲丙被同时选上的有2种可能，∴甲丙被同时选中的概率=212=16 .【考点】扇形统计图条形统计图列表法与树状图法【解析】（1）根据B的人数除以体育所占的百分比，可得答案；再由总人数减去A，B，D，E人数可得m；根据娱乐的人数除以抽测的人数，可得n；（2）根据圆周角乘戏曲E所占的百分比，可得答案；（3）根据树状图得出总的情况数和符合条件的情况数，可得答案．【解答】解:（1）B的人数为60，占比20%，则总人数=60÷20%=300人，m=300−24−60−108−18=90，n%=108300×100%=36%，即n=36，故答案为：300；90；36.(2)E类所对应扇形的圆心角的度数=360∘×18300=21.6∘，故答案为：21.6∘.(3)画树状图如下：可得共有12种等可能的情况，其中甲丙被同时选上的有2种可能，∴甲丙被同时选中的概率=212=16 .24.【答案】解：(1)在Rt△ABH中，i=tan∠BAH=1√3=√33，∴∠BAH=30∘，∴BH=12AB=4米.(2)如图，过B作BG⊥DE于G，设AE=x米，∵BH⊥HE，GE⊥HE，BG⊥DE，∴四边形BHEG是矩形．∵由(1)得：BH=4米，则AH=4√3米，∴BG=AH+AE=(4√3+x)米，EG=BH=4米，Rt△BGC中，∠CBG=45∘，∴CG=BG=(4√3+x)米，∴CE=CG+EG=(4√3+x+4)米，(4√3+x)米， Rt△ADE中，∠DAE=60∘．∴DE=CE−CD=4√3+x+4−4=∴tan60∘=DEAE=√3，∴4√3+x=√3x，∴x=6+2√3，(6+6√3)米.∴DE=√3x=答：楼房DE的高度为(6+6√3)米．【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题解直角三角形的应用-仰角俯角问题【解析】(1)在RtΔABH中，通过解直角三角形求出∠BAH=30∘，由直角三角形的性质即可得出BH的长；(2)过B作BG⊥DE于G，则四边形BHEG是矩形，得GE=BH=4米， BG=HE，由直角三角形的性质得DE=√3AE，(4+√3x)米，，再由(1)得： AH=√3BH=4√3（米），设AE=x米，则DE=√3x米，得CE=CD+DE=则BG=HE=AH+AE=(4√3+x)米，然后证CG=BG，即√3x=4√3+x，进而求得答案．【解答】解：(1)在Rt △ABH 中，i =tan ∠BAH =1√3=√33，∴∠BAH =30∘，∴BH =12AB =4米.(2)如图，过B 作BG ⊥DE 于G ，设AE =x米，∵BH ⊥HE ，GE ⊥HE ，BG ⊥DE ，∴四边形BHEG 是矩形．∵由(1)得：BH =4米，则AH =4√3米，∴BG =AH +AE =(4√3+x )米，EG =BH =4米，Rt △BGC 中，∠CBG =45∘，∴CG =BG =(4√3+x )米，∴CE =CG +EG =(4√3+x +4)米，∴DE =CE −CD =4√3+x +4−4=(4√3+x )米， Rt △ADE 中，∠DAE =60∘．∴tan60∘=DEAE =√3，∴4√3+x =√3x ，∴x =6+2√3，∴DE =√3x =(6+6√3)米.答：楼房DE 的高度为(6+6√3)米．25.【答案】解：(1)∵点C(2,4)在反比例函数y =k 2x 的图象上，∴k 2=2×4=8，∴y =8x .如图，作CE ⊥x 轴于点E，∵C(2,4)，点B 是线段AC 的中点，∴B(0,2)，∵B ，C 在y 1=k 1x +b 的图象上，∴{2k 1+b =4，b =2，解得k 1=1，b =2，∴一次函数为y 1=x +2；(2)由{y =x +2，y =8x ，解得{x =2，y =4 或{x =−4，y =−2，∴D(−4,−2)，∴S △COD =S △BOC +S △BOD =12×2×2+12×2×4=6；(3)由图可得，当0<x <2或x <−4时，k 1x +b <k 2x ．【考点】反比例函数与一次函数的综合【解析】（1）把点C 的坐标代入反比例函数，利用待定系数法即可求得反比例函数的解析式，作CE ⊥x 轴于E ，根据题意求得B 的坐标，然后利用待定系数法求得一次函数的解析式；（2）联立方程求得D 的坐标，然后根据S △COD ＝S △BOC +S △BOD 即可求得△COD 的面积；（3）根据图象即可求得k 1x +b <k 2x 时，自变量x 的取值范围．【解答】解：(1)∵点C(2,4)在反比例函数y =k 2x 的图象上，∴k 2=2×4=8，∴y =8x .如图，作CE ⊥x 轴于点E，∵C(2,4)，点B 是线段AC 的中点，∴B(0,2)，∵B ，C 在y 1=k 1x +b 的图象上，∴{2k 1+b =4，b =2，解得k 1=1，b =2，∴一次函数为y 1=x +2；(2)由{y =x +2，y =8x ， 解得{x =2，y =4 或{x =−4，y =−2，∴D(−4,−2)，∴S △COD =S △BOC +S △BOD =12×2×2+12×2×4=6；(3)由图可得，当0<x<2或x<−4时，k1x+b<k2x．26.【答案】解：四边形EMFC是菱形．理由：由布拉美古塔定理可知，点E，F分别是AC，BC的中点，∴CE=12AC，CF=12CB．∵AB⊥CD，∴ME=12AC，MF=12CB．∵AB⊥CD，点M是AB的中点，∴AC=BC，∴ME=CE=MF=CF，∴四边形EMFC是菱形．【考点】圆的综合题【解析】此题暂无解析【解答】解：四边形EMFC是菱形．理由：由布拉美古塔定理可知，点E，F分别是AC，BC的中点，∴CE=12AC，CF=12CB．∵AB⊥CD，∴ME=12AC，MF=12CB．∵AB⊥CD，点M是AB的中点，∴AC=BC，∴ME=CE=MF=CF，∴四边形EMFC是菱形．27.【答案】解：(1)设1辆大货车和1辆小货车一次可以分别运输x箱，y箱物资，根据题意，得：{2x+3y=600,5x+6y=1350,解得：{x=150,y=100.答：1辆大货车和1辆小货车一次可以分别运输150箱，100箱物资.(2)设安排m辆大货车，则小货车(12−m)辆，总费用为W，则150m+(12−m)×100≥1500，解得：m≥6，而W=5000m+3000×(12−m)=2000m+36000<54000，解得：m<9，则6≤m<9，则运输方案有3种：6辆大货车和6辆小货车；7辆大货车和5辆小货车；8辆大货车和4辆小货车；对于W=2000m+36000，∵2000>0，6≤m<9，∴当m=6时，总费用最少，且为2000×6+36000=48000元．答：共有3种方案，当安排6辆大货车和6辆小货车时，总费用最少，为48000元．【考点】二元一次方程组的应用——其他问题一次函数的应用一元一次不等式组的应用【解析】(1)设1辆大货车和1辆小货车一次可以分别运输x 箱，y 箱物资，根据题意列出二元一次方程组，求解即可；(2)设安排m 辆大货车，则小货车(12−m)辆，总费用为W ，根据运输物资不少于1500箱，且总费用小于54000元分别得出不等式，求解即可得出结果【解答】解：(1)设1辆大货车和1辆小货车一次可以分别运输x 箱，y 箱物资，根据题意，得：{2x +3y =600,5x +6y =1350,解得：{x =150,y =100.答：1辆大货车和1辆小货车一次可以分别运输150箱，100箱物资.(2)设安排m 辆大货车，则小货车(12−m)辆，总费用为W ，则150m+(12−m)×100≥1500，解得：m ≥6，而W =5000m+3000×(12−m)=2000m+36000<54000，解得：m <9，则6≤m <9，则运输方案有3种：6辆大货车和6辆小货车；7辆大货车和5辆小货车；8辆大货车和4辆小货车；对于W =2000m+36000，∵2000>0，6≤m <9，∴当m =6时，总费用最少，且为2000×6+36000=48000元．答：共有3种方案，当安排6辆大货车和6辆小货车时，总费用最少，为48000元．28.【答案】解：（1）解方程 x 2−7x +12=0，得x 1=3,x 2=4．∵AB <BC ，∴AB =3,BC =4．∵BC =2OB ，∴OB =OC =2，∴A(−2,3)．(2)如图①，当点P 在AB 上时，0≤t ≤3，PB =t,S =12PB ⋅OB =t ；当点P 在AC 上时，在Rt △ABC 中，由勾股定理，得AC =√AB 2+BC 2=5，∴3<t ≤8，如图②，过点P 作PQ ⊥x 轴于点Q ，PA =t −3，则PC =8−t ，易得△CPQ ∼△CAB ，∴PCAC =PQBA .即PQ =24−3t5，S =12PQ ⋅OB =24−3t5.综上， S ={t ，0≤t ≤3，24−3t5,3<t ≤8（3）存在．P 1(−2,32),P 2(−2,83)，P 3(0,32)，P 3(0,32)．【考点】二次函数综合题【解析】此题暂无解析【解答】解：（1）解方程 x 2−7x +12=0，得x 1=3,x 2=4．∵AB <BC ，∴AB =3,BC =4．∵BC =2OB ，∴OB =OC =2，∴A(−2,3)．(2)如图①，当点P 在AB 上时，0≤t ≤3，PB =t,S =12PB ⋅OB =t ；当点P 在AC 上时，在Rt △ABC 中，由勾股定理，得AC =√AB 2+BC 2=5，∴3<t ≤8，如图②，过点P 作PQ ⊥x 轴于点Q ，PA =t −3，则PC =8−t ，易得△CPQ ∼△CAB ，∴PCAC =PQBA .即PQ =24−3t5，S =12PQ ⋅OB =24−3t5.综上， S ={t ，0≤t ≤3，24−3t5,3<t ≤8（3）存在．P 1(−2,32),P 2(−2,83)，P 3(0,32)，P 3(0,32)．。
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内江市中考数学试题
A 卷（共100分）
一、选择题（每小题3分.36分）
1.-6的相反数为（ ） 内江市中考数学试题61 C.6
1- D.- 6 （2）下列计算正确的是（ ） A.642a a a =+ B.ab b a 532=+ C.()632a a = D.236a a a =÷
（3）已知反比例函数x
k y =的图像经过点（1.-2）.则K 的值为（ ） A.2 B.2
1- C.1 D.- 2 （4）下列图形中.既是轴对称图形又是中心对称图形的有（ ）
A. 4个
B. 3个
C. 2个
D. 1个
（5）如图1.=∠=∠=∠3,1402,651,//00则b a （ ）
A.0100
B.0105
C.0110
D.0
115
6.一组数据4.3.6.9.6.5的中位数和众数分别是（ ）
A. 5和5.5
B. 5.5和6
C. 5和6
D. 6和6 7.函数x x y +=1的图像在（ ）
A.第一象限
B.第一、三象限
C.第二象限
D.第二、四象限
8.如图2.AB 是o 的直径.弦0,30,23CD AB CDB CD ⊥∠==,则
阴影部分图形的面积为（ ） A.4π B.2π C.π D.
43π 9.甲车行驶30千米与乙车行驶40千米所用时间相同.已知乙车每小时比甲车多行驶15千米.
设甲车的速度为x 千米/小时.依据题意列方程正确的是（ ）
A.304015x x =-
B.304015x x =-
C.304015x x =+
D.304015x x
=+ 10.如图3.在矩形ABCD 中.10,5,AB BC ==点E F 、分别在AB CD 、上.将矩形ABCD
沿EF 折叠.使点A D 、分别落在矩形ABCD 外部的
点11A D 、处.则阴影部分图形的周长为（ ）
A.15
B.20
C.25
D.30
11.如图4所示.ABC ∆的顶点是正方形网格的格点.则sin A 的值为（ ） A.12 B.55 C.1010 D.255 12.如图5.正ABC ∆的边长为3cm,动点P 从点A 出发.以每秒1cm 的速度.沿A B C →→的
方向运动.到达点C 时停止.设运动时间为x （秒）.2
y PC =,则y 关于x 的函数的图像大致为
（ ）
二、填空题（每小题5分.共20分）
13.分解因式：34ab ab -=
14.由一些大小相同的小正方形组成的一个几何体的主视图和俯视图
如图所示.那么组成该几何体所需的小正方形的个数最少为
15.如图7所示.A 、B 是边长为1的小正方形组成的网格的两个格点.
在格点中任意放置点C,恰好能使ABC 的面积为1的概率是
16.如图8.四边形ABCD 是梯形.,BD AC BD AC =⊥且若2,4,AB CD ==则ABCD S =梯形
三、解答题（共44分）
17.（7分）计算：01201231112(1)86483π-⎛⎫⎛⎫-+-+--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
18.（9分）水利部门为加强防汛工作.决定对某水库大坝进行加固.大坝的横截面是梯形
ABCD .如图9所示.已知迎水坡面AB 的长为16米.060,B ∠=背水坡面CD 的长为163米.
加固后大坝的横截面积为梯形,ABED CE 的长为8米。
（1）已知需加固的大坝长为150米.求需要填土石方多少立方米？
（2）求加固后的大坝背水坡面DE 的坡度。
19.(9分）某市为创建省卫生城市.有关部门决定利用现有的4200盆甲种花卉和3090盆乙种
花卉.搭配A 、B 两种园艺造型共60个.摆放于入城大道的两侧.搭配每个造型所需花卉数量
的情况下表所示.结合上述信息.解答下列问题：
（1）符合题意的搭配方案有几种？
（2）如果搭配一个A 种造型的成本为1000元.搭配一个B 种造型的成本为1500元.试说明
选用那种方案成本最低？最低成本为多少元？
20.（10分）某校八年级为了解学生课堂发言情况.随机抽取该年级部分学生.对他们某天在
课堂上发言的次数进行了统计.其结果如下表.并绘制了如图10所示的两幅不完整的统计图.
已知B 、E 两组发言人数的比为5:2,请结合图中相关数据回答下列问题：
（1）求出样本容量.并补全直方图；
（2）该年级共有学生500人.请估计全年级在这天里发言次数不少于12的次数；
（3）已知A 、E 组发言的学生中都恰有1位女生.现从A 组与E 组中分别抽一位学生写报告.
请用列表法或画树状图的方法.求所抽的两位学生恰好是一男一女的概率。
21.（9分）如图11.矩形ABCD 中.E 是BD 上的一点.,,BAE BCE AED CED ∠=∠∠=∠
点G 是BC AE 、延长线的交点.AG 与CD 相交于点F 。
（1）求证：四边形ABCD 是正方形；
（2）当2AE EF =时.判断FG 与EF 有何数量关系？并证明你的结论。
B 卷（共60分）
四、填空题（每小题6分.共24分）
22.已知三个数x, y, z,满足442,,,33xy yz zx x y y z z x =-==-+++则=++yz
xz xy xyz 23.已知反比例函数x
y 1=的图像.当x 取1.2.3. .n 时.对应在反比例图像上的点分别为n M M M M ,,,321 , 则：n n n M M P M M P M M P S S S 113222
11--∆∆∆+++ = 24.已知i a 0≠（i =1,2,
,2012)满足19682012201220112011332211=+++++a a a a a a a a a a . 使直线i x a y i +=（i =1,2,,2012)的图像经过一、二、四象限的i a 概率是
25.已知()()1,5,3,1A B -两点.在X 轴上取一点M,使BM AM -取得最大值时.则M 的坐标为
一、 解答题（每小题12分.共36分）
26.已知ABC ∆为等边三角形.点D 为直线BC 上的一动点（点D 不与B C 、重合）.以AD
为边作菱形ADEF (A D E F 、、、按逆时针排列）.使0
60DAF ∠=,连接CF.
(1) 如图13-1.当点D 在边BC 上时.求证：①BD CF = ②AC CF CD =+
（2）如图13-2.当点D 在边BC 的延长线上且其他条件不变时.结论AC CF CD =+是否成
立？若不成立.请写出AC 、CF 、CD 之间存在的数量关系.并说明理由；
（3）如图13-3.当点D 在边CB 的延长线上且其他条件不变时.补全图形.并直接写出AC 、
CF 、CD 之间存在的数量关系。
27.如果方程20x px q ++=的两个根是12,x x .那么1212,.,x x p x x q +=-=（1）已知关于x 的方程2
0,(0),x mx n n ++=≠求出一个一元二次方程.使它的两个根分别是已知方程两根
的倒数；（2）已知a 、b 满足22-15a-50,-15-50a b b ==,求a b b a +的值；（3）已知a 、b 、c 满足0,16,a b c abc c ++==求正数的最小值。
28.如图14.已知点(1,0),(4,0),A B -点C 在y 轴的正半轴上.且090,ACB ∠=抛物线2y ax bx c =++经过A B C 、、三点.其顶点为M .
(1)求抛物线2y ax bx c =++的解析式；
(2)试判断直线CM 与以AB 为直径的圆的位置关系.并加以证明；
(3)在抛物线上是否存在点N.使得4BCN S =?如果存在.
(4)那么这样的点有几个？如果不存在.请说明理由。