应用数学方法求解物理过程中最值问题[论文]
例析数学方法求物理中的最值
例 ５ 如 图 ４所 示 ， 、 Ｍ Ｎ
为两个 等 量 同种 电荷 ， 间 的 其
距离 已知 ， 其 连 线 的 中垂 线 在 上有一 点 Ｐ， Ｍ 与 ＭＮ 的夹 Ｐ 最 大值．
Ｍ
图４
床， 碰到 了墙 后被 弹 回， 终 因重力 而 落到 了地 上． 最 我
Ｎ
想去捡 ， 大势不妙 ， 可 被子 总是 能够 从 我 的指尖 滑 落 ，
图３
０ ｂ ０当＆ ，＞ ； 一ｂ时取 等 号 ， 不 等 式 的左 边 有 最 小 对
零 的匀 加速 运动 ， 加速度 为 ａ 试 求 ａ应 该满 足什 么条 ． 件才能使 两 物体相 遇？
曹 学《 蜀中广记 ・ 上川南道 彭山县》
， 析 设 过 间ｔ 物 相 相 时 物 位 Ｑ 经 时 两 体 遇， 遇 两 体 解
的判别 式 Ａ—ｂ 一 ４ ｃ 确定 各 物理 量之 间 的相互 关 。 ａ来 系进行求 解．
例 ４ 如 图 ３所 示 ，速 度
一
ｑ Ｅ
、 ／＂ ｇ 一— ａ一 ， 广 ￡ 一
丽 ・ ｖ ｏ
，以 ＞
处 于平 直 轨 道 上 的 甲 、 乙
时 ， ＋Ｒ 有 最 小 值 ２ ，这 时 Ｐ 为 最 大 值 Ｐｎ ，即 ｒ 豫 ｘ 中学物理 中经常 涉及 一些 求 最值 的 问题 ， 的 同 有 学对此类 问题 感 到十 分 棘 手． 原 因是 ， 其 此类 问题 的 综合性 强 、 活 性 大． 文对 运 用 数 学 知识 求解 最 值 灵 本 问题 的方法归 纳如下 ， 以供 参考．
设 物体 的运动 时 问 为 ￡ ， 直 向上 的速 度 时 竖 为 ２ 水平匀 加速运 动 的速度 为 。则有 ２ １ ，
巧妙利用数学知识解决物理最值
巧妙利用数学知识解决物理最值作者：薛永强杨金凤来源：《神州·中旬刊》2013年第01期摘要：数学知识是解答物理题的工具，其思想方法和知识始终贯穿于整个物理学习和研究的过程中，中学物理教学大纲对学生应用数学工具解决物理问题的能力作出了明确的要求。
近年来高考对学科间综合能力的考查也越来越多，借用数学方法解物理最值问题能较好的考查学生应用数学工具解答物理问题的能力。
所以学生要对诸如二次函数、三角函数、不等式求极值的应用等知识必须熟练掌握。
关键词：数学物理最值一、运用二次函数求解最值此方法主要根据二次函数■，当■时，有极值■，其中当■时，ym为最大值，当■时，ym为最小值。
例1、平直公路上一汽车A以20m/s的速度行驶，现发现前方200m处有一货车B以6m/s 的速度同向匀速行驶，A车司机立即以最大加速度0.5m/s2刹车，求刹车过程中A、B车间的最小距离。
解析一：设经过时间t，A、B两车间距离的表达式为：△ s=sB+200-sA=6t+200-（20t-0.25t2）=200-14t+0.25t2所以当t=■=28s时，A、B间的最小距离为4m。
例2、在一条笔直的公路上，一个人以v=10m/s的速度骑摩托车匀速前进，当经过一辆小汽车旁边时，小汽车立即启动，并以a=1.0m/s2的加速度做匀加速运动，试求小汽车在追上摩托车之前两者的距离。
解：设小汽车在追上摩托车之前，经历时间t，小汽车与摩托车之间的距离为s，s应为摩托车与小汽车的位移大小之差，即： s =vt—■我们看到s是t的一元二次函数，二次项的系数为负值，所以当t=-■时有最大值sm， sm =50（m）注：与例1同理，小汽车和摩托车的速度相同时两者之间有最大距离，在追及问题中，速度相同是距离有最值的条件。
二、运用三角函数公式■求解此方法主要根据三角函数■时，■有最值■，且■。
例3、如图1所示，用力F拉一物体在水平地面上匀速前进，物体的质量为m，物体与地面间的动摩擦因数为μ，欲使F为最小，则F应与竖直方向成多大的夹角？最小的力为多大？解析：设F与竖直方向的夹角为θ，物体要匀速前进，则有■即■其中■，当■时，F有最小值■三、用数学不等式求物理量的最值1、不等式（1）■；当■时取等号，对不等式的左边有最小值，对右边有最大值。
论文函数的极值问题在实际中的应用.
函数的极值问题在实际中的应用一、函数求极值方法的介绍利用函数求极值问题，是微积分学中基本且重要的内容之一，函数求极值的方法很多，但主要可分为初等方法和微积分中的导数方法等。
用初等方法求最值问题，主要是利用二次函数的最值性质，二次函数非负的性质，算术平均数不小于几何平均数。
正弦，余弦函数的最值性质讨论问题。
一般而言，他需要较强技巧，在解决某些问题时，其解法让人赏心悦目，但这些方法通用性较差，利用高等数学的导数等工具求解极值问题，通用性较强，应用也较强，应用也较广泛，下面给出用导数求极值最值得一些定理和方法。
1、一元函数极值的判定及求法定理1（必要条件）设函数在点处可导，且在处取得极值，那么。
使导数为零的点，即为函数的驻点，可导函数的极值点必定是它的驻点，但反过来，函数的驻点却不一定是极值点。
当求出驻点后，还需进一步判定求得驻点是不是极值点，下面给出判断极值点的两个充分性条件。
定理2（极值的第一充分条件）设在连续，在某领域内可导。
（1）若当时，当时，则在点取得最小值。
（2）若当时，当时，则在点取得最大值。
定理3（极值的第二充分条件）设在连续，在某领域内可导，在处二阶可导，在处二阶可导，且，。
（1）若，则在取得极大值。
（2）若，则在取得极小值。
由连续函数在上的性质，若函数在上一定有最大、最小值。
这就为我们求连续函数的最大、最小值提供了理论保证，本段将讨论怎样求出最大（小）值。
在一个区间上，一个函数的最值可能在不可导点取得，也可能在区间的端点取得，除去这两种情况之外，必然在区间内部的可导点取得，根据上面的必要条件，在这些点的导数为0，即为驻点。
因此，我们如果要求一个函数在一个区间的最值，只要列举出不可导的点，区间端点以及驻点，然后比较函数在这些点的最值，即可求出最值。
下面我们给出用导数方法求函数最大、最小值的方法，步骤：（1）求函数的导数；（2）令，求出在内的驻点和导数不存在的点；（3）计算函数值；（4）比较上述函数值的大小，最大者就是在区间上的最大值，最小者就是在闭区间上的最小值。
物理极值求解方法
物理极值求解方法袁培耀【期刊名称】《高中数理化》【年(卷),期】2016(000)005【总页数】4页(P30-33)【作者】袁培耀【作者单位】中国石油天然气管道局中学河北廊坊【正文语种】中文物理极值问题是物理知识和数学知识的有机结合,是高考能力要求中应用数学知识解决物理问题能力的体现.复习中,若能从方法、题型、解题思路等方面进行整理与探究,将达到事半功倍的复习效果．大部分物理规律展示的都是一个物理量与另一个物理量间的函数关系,若二者满足如y=ax2+bx+c的形式,由二次函数的性质可知,当时,y有极值为，当a>0时,y有最小值;当a<0时,y有最大值．例1 如图1所示,R0为定值电阻,变阻器全值电阻值为R,电流表内阻不计,电池的电动势为E,内阻为r,在滑动触头P从a到b的过程中,以下说法中正确的是( ).A 电流表示数先减小后增大;B 电流表示数先增大后减小;C 电流表示数一直增大;D 电流表示数一直减小滑动触头将变阻器分为2部分,设滑动触头P左侧部分电阻为RPa,由并联分流原理可知I总.因为,联立并整理得,关系式的分母为一关于RPa的二次函数式,配方得当RPa=0时,电流有最大值;当时,电流有最小值分析可知,选项A正确,选项B、C、D错误.当物理问题涉及角度,建立的物理表达式中含有如y=asin θ+bcos θ、y=Asinθcos θ等因子时,就可充分利用三角函数的极值性质求解物理极值．如函数y=asin θ+bcos θ,可有sin(θ+φ),其中,当θ+φ=90°时,y有最大值为当θ+φ=0时,y有最小值为0．例2 如图2所示,一质量m=0.4 kg的小物块,以v0=2 m·s-1的初速度,在与斜面成某一夹角的拉力F作用下,沿斜面向上做匀加速运动,经t=2 s的时间物块由A点运动到B点,A、B之间的距离L=10 m．已知斜面倾角θ=30°,物块与斜面之间的动摩擦因数，g取10 m·s-2.则拉力F与斜面的夹角α多大时,拉力F最小?拉力F 的最小值是多少?设物体受支持力为FN, 所受摩擦力为Ff, 拉力与斜面的夹角为α, 由受力分析及牛顿第二定律得Fcos α-mgsin θ-Ff=ma, Fsin α-mgcos θ+FN=0,因Ff=μFN,联立得.由数学知识可知，表达式的分母,当α=30°时,F有最小值,即物理解题中根据题目要求建立的物理关系式,是2个及2个以上物理量间的函数关系,当物理量分布于a、b 2项因子中,且2项因子表现为和或积的关系时,由不等式均值定理:如果a、b为正,则,当且仅当a=b时取“=”，即如果a+b=k,当时,a和b的积有最大值;如果ab=p,当时,a和 b的和有最小值．总结为“和一定,积最大” “积一定,和最小”．例3 我国“嫦娥三号”探测器成功实现“月面软着陆”,着陆阶段可简化为3个过程: ① 探测器从月球表面附近高为H处匀减速竖直下降至静止; ② 悬停(即处于静止状态); ③ 自由下落至月球表面.为了保证探测器的安全,要求探测器到达月球表面的速度不能超过vmax,月球表面附近的重力加速度为g0,探测器在减速过程中每秒消耗的燃料为Δm=pa+q (a为探测器匀减速下降的加速度大小,p、q为大于0的常数).忽略探测器因消耗燃料而引起的质量变化.(1) 求探测器悬停位置距月球表面的最大高度hmax;(2) 在悬停最大高度hmax不变的情况下,为使探测器减速下降过程中消耗的燃料质量最少,则该过程中探测器的加速度为多大,最低消耗燃料的质量为多少?(1) 在探测器自由下落到月球表面的过程中,由=2g0hmax,解得．(2) 探测器从高为H处匀减速竖直下降到高为hmax悬停位置的过程中,由运动学公式有H-hmax=at2/2,在该过程中消耗燃料的质量整理得.对于m的函数表达式,因=pq,所以当时,即时,所消耗的质量最少为例4 一个质量为m的小球拴在长为L的轻绳上,轻绳一端固定,现用手将小球拉至水平位置,从静止释放,在小球运动到竖直位置的过程中,不计空气阻力．以下说法正确的是( ).A 小球重力的功率先减小后增大;B 小球重力的功率先增大后减小;C 小球重力的功率最大值为;D 小球重力的功率的最大值为画出小球运动过程的情景图,如图3所示,设小球运动到B位置时重力的功率最大,且与竖直方向的夹角为θ．从A到B,根据动能定理有其中h=Lcos θ,解得重力的功率.设y=cos θsin2θ.因为又因2cos2θ+sin2 θ+sin2 θ=2(sin2 θ+cos2 θ)=2，由不等式性质可知,当且仅当2cos2θ=sin2θ=sin2θ时,y有最大值.由2cos2 θ=1-cos2 θ可知，当时,y有最大值为，此时功率P有最大值为，所以小球重力的功率先增大后减小,最大值为,选项B、C正确．由物理情景建立的物理关系式是所求物理量与自变量间的函数关系式,根据函数极值定理(如果函数f(x)在点x0的一个邻域内有定义,在点x0可导,那么, x0是 f(x)极值点的必要条件是f ′(x)=0),可求物理极值．例5 在真空中的M、N两处分别放置电荷量相等的正点电荷,M、N相距2L,作两电荷连线的中垂线,从连线中点沿中垂线到无限远的区域,两正电荷产生的电场,以下说法正确的是( ).A 电势先降低后升高;B 场强先增大后减小;C 场强最大值为;D 电势最低为0两正电荷产生的电场中,从连线中点沿中垂线到无限远的区域,电势一直降低,选项A 错误. 无限远处电势最低为0,选项D正确.根据题意,画出情景示意图,如图4所示．在两电荷连线的中垂线上选一场点A,设∠AMO=θ,电荷M、N在A点的场强大小为,故A点场强为因为为定值,可令y=cos2θsin θ,求导得当y′=0时,y最大,由题意可知cos θ≠0,故有1-3sin2θ=0,解得因此当时EA最大,且选项B、C、D正确．总结上述求解极值方法,都是先用物理规律建立物理量间的函数关系,再由函数关系的结构特点,灵活选用数学方法求得物理极值．若用代数解法,先构建出符合代数极值解法的函数模式,再由代数极值规则求解;用求导方法,不用刻意构建函数,也无繁难的极值规则,只要对函数求导,就能快捷求出极值．物理知识学习和应用中,有许多用物理基本规律推出的结论,可称之为二级结论,其中一些二级结论就含有最值因素,如自由弦运动的等时性结论——在弦光滑的前提下,从竖直圆环上沿不同的弦运动到圆环最低点或从竖直圆环最高点沿不同的弦运动到圆周上的时间相同,等于从竖直圆环最高点到圆环最低点做自由落体运动的时间;再如物体在做加速度逐渐减小的变加速直线运动时,当加速度减小到a=0时,速度v有最大值;又如对于闭合电路,当外电阻等于内阻时,电源有最大输出功率Pmax=E2/4r．例6 如图5所示,一个质点自倾角为α的斜面上方定点A沿光滑斜槽从静止开始下滑,为了使质点在最短时间内到达斜面,斜槽与竖直方向的夹角β 等于( ).A α;B α/2;C 45°;D 90°以A点为最高点,以AO线为半径作一个与斜面相切的圆,如图6所示(作图相关的辅助线略去)．由自由弦运动的等时性可知质点沿AB、AB1、AB23条光滑斜槽从A点滑到圆周上的时间是相等的,同时也说明只有沿AB滑槽才能使质点在最短时间内到达斜面．由几何知识可知斜槽与竖直方向的夹角β=α/2．例7 如图7所示,平行金属导轨相距l=0.2 m,E=6 V,内阻不计,电阻R=10 Ω,均匀磁场方向垂直纸面．金属棒在安培力作用下由静止开始向左滑行,摩擦力Ff=0.1 N．为使金属棒有最大速度vmax,以下说法正确的是( ).A 当磁感应强度B为 T时,金属棒的最大速度为9 m·s-1B 当磁感应强度B为 T时,金属棒的最大速度为9 m·s-1C 当磁感应强度B为 T时,金属棒的最大速度为18 m·s-1D 当磁感应强度B为 T时,金属棒的最大速度为18 m·s-1将R等效为电源内阻,当外电阻等于内阻时,电源输出功率有最大值,即,当金属棒速度达到最大值时,输出功率Pmax全部用来克服摩擦力做功，即有=Ff·vmax,解得=9 m·s-1．在此电路中,等效电源的路端电压即为感应电动势,当外电阻(金属棒)等于内阻时,等效路端电压等于电源电动势的一半,即有,解得 T．选项A正确．物理图象反映的是2个物理量间存在的函数关系,通过研究物理图象就能明确物理量间遵循的物理规律,有些物理图象隐藏有极值特征,如匀变速直线运动的位移-时间图象,电源输出功率与外电阻的图象,一对等量电荷连线及中垂线上的场强、电势随距离变化的图象等,如图8所示.只要全面观察、正确分析,就能通过图象解决物理极值．例8 列车由静止开始从A站出发,沿直线以加速度a1做匀加速运动,至速度v后,匀速前进一段时间,再以加速度为a2做匀减速运动,到达B站刚好停止,全程长为L,以下说法正确的是( ).A 若火车匀加速至v后,接着就做匀减速运动,到达B站的时间将最短;B 若火车到达B站的过程中有匀速运动阶段,匀速运动的速度等于;C 若,火车到达B站的时间最短;D 只有,火车到达B站可能有最短时间画出火车先加速、匀速、再减速运动的v-t图象,如图9所示,图中梯形OBCt2的面积即为A、B站间的距离,为一定值．将Ct2向左平移,保证面积不变的前提下,只能使梯形OBCt2变为△OAt1,可实现减小运动时间的目的．由此可知物体以加速度a1做匀加速直线运动通过一段位移后,接着以加速度a2做减速运动通过下一段位移就可使运动时间最短, 选项A正确．由图示可知,又v2t1,综合分析可知,当时,最短时间为, 选项C正确,选项D错误．由图9可知,若火车到达B站的过程中有匀速运动阶段,匀速运动的速度小于,选项B错误．。
浅谈高中数学中最值问题的常用解题方法(数学本科毕业论文)
福建师范大学现代远程教育毕业论文题 目： 浅谈高中数学中最值问题的常用解题方法学习中心： 灌 云 奥 鹏 专 业： 数学及应用数学 年 级（入学批次）： 201103 学 号： ************ 学生姓名： * * 导师姓名： 严 晓 明2013 年 3月 15 日装 订 线浅谈高中数学中最值问题的常用解题方法201103896627 刘明 指导老师：严晓明摘要： 最值问题是中学数学的重要题型之一。
以最值问题为载体，可以考查中学数学的几乎所有知识点，可以考查分类讨论、数形结合、转化与化归等诸多数学思想和方法，还可以考查学生的思维能力、实践和创新能力。
解决最值问题，从方法上来说，它常用到函数的单调性、二次函数的性质、数形结合法、均值不等式法、导数法、换元法等等。
本文就高中数学的要求，结合一些典型试题进行分析和探讨，说明其解题的思考方法和一般的技能与技巧。
关键词：高中数学 最值 解题方法1、引言在日常生活及科学实验中,常常遇到“最好”、“最省”、“最大”、“最小”、“最低”等问题。
例如质量最好,用料最省,效益最高,成本最低,利润最大,投入最小等等,这类问题在数学上常常归结为求函数的最大值或最小值问题，也就是最值问题.最值问题是一类综合性较强的问题，其题型多样，解法灵活，在高中数学中，最值问题涉及面广，像函数（三角函数，二次函数，指对函数，幂函数），不等式，向量，解析几何，立体几何，圆锥曲线中都能找到最值问题，在高考中，常以一些基础题，小综合的中档题或一些难题的形式出现，是历年高考重点考查的知识点之一，几乎每年的高考试题中都有出现。
2、最大（小）值及其几何意义一般地，设)(x f y =的定义域为A ，如果存在A x ∈0,使得对于任意的A x ∈，都有)()(0x f x f ≤，那么称)(0x f 为)(x f y =的最大值，记为)(0max x f y =；如果存在A x ∈0,使得对于任意的A x ∈，都有)()(0x f x f ≥，那么称)(0x f 为)(x f y =的最小值，记为)(0min x f y =.其几何意义是：函数图象上最高（低）点的纵坐标。
用不等式法解力学中的极值问题
用不等式法解力学中的极值问题首先，我们要了解力学中极值问题是什么，然后看看如何以不等式法解决它。
力学中的极值问题是指研究物理学上的极端条件，即极大极小值。
例如在建筑中，我们可能要求寻找极大强度或极小的重量等。
在力学中，极值问题也是一类问题，就是有关于力学中物体运行轨迹的最值分析。
物体的位置、力学能量和质量都会影响运动的最值。
以不等式法解决极值问题，是学者们在力学中设计极值问题的一种重要方法。
这种方法的原理是，对一个给定的函数，从它的几个因素中挑选出一个最优值，其他因素变量可以以一组不等式的形式来定义。
通过解不等式系统，可以实现问题的解决。
比如，在弹性力学中，当在持续的应用力的情况下，物体的形状发生变化时，我们可以使用不等式法来求解，因为它可以提供一种方法，它可以将所有的变量放在一起，同时考虑应变能量和弹性能量，最终找到极值解。
然而，在实际应用中，一般情况下极值问题往往很复杂，而不等式法也不是一种非常容易解决它们的方法，因为它涉及到大量的数学运算，而且它本身也可能存在着困难，比如无解的情况，极限的情况等。
因此，为了实现极值问题的最优解，一般要求用分析法和数值法相结合，在分析法的基础上使用数值运算方法，从而找到最优解。
总而言之，不等式法是一种非常有用的方法，可以有效解决力学中极值问题，尽管在实际应用中可能存在着困难，但如果能正确应用它，我们也可以轻易地解决极值问题。
此外，在解决极值问题时，我们还可以使用其他的方法，比如微分法、泰勒展开等，来得到更准确的解决方案，并且在不同情况下选择相应的方法来解决极值问题。
另外，解决极值问题时，正确且谨慎的应用数学方法，对于解决极值问题至关重要。
数学的核心思想是将复杂的问题简化为更容易解决的问题，然后逐步分析，最终得出结果，这是解决极值问题的基本思路。
因此，以不等式法解决力学中的极值问题，是一个非常有意义的研究，它可以帮助我们更好地理解力学中的极值问题，从而有助于掌握有效的解决力学问题的方法，最终实现物理学上的极值分析。
极限求解方法及应用论文
极限求解方法及应用论文极限求解方法是数学分析中的重要概念，用于研究一个函数在某一点或无穷远处的行为。
它在物理学、工程学以及经济学等领域中有广泛的应用。
首先，我们来讨论一下极限定义及其求解方法。
极限可以分为左极限和右极限。
设函数f(x)在a点的定义域中不存在函数值，当x无限接近于a时，如果f(x)的取值无限接近于一个确定的实数L，则称L为函数f(x)在x=a处的左极限，记作lim(x→a-) f(x) = L。
同理，如果当x无限接近于a时f(x)的取值无限接近于一个确定的实数L，则称L为函数f(x)在x=a处的右极限，记作lim(x→a+) f(x) = L。
当且仅当左极限等于右极限并且都存在时，函数f(x)在x=a处的极限存在，即lim(x→a) f(x) = L。
极限求解方法主要包括极限的基本四则运算法则、极限的夹逼定理、函数的连续性等。
极限的四则运算法则指出，对于两个函数f(x)和g(x)以及常数a和b，当lim(x→a) f(x)存在，lim(x→a) g(x)存在，那么：1. lim(x→a) [f(x) + g(x)] = lim(x→a) f(x) + lim(x→a) g(x)2. lim(x→a) [f(x) - g(x)] = lim(x→a) f(x) - lim(x→a) g(x)3. lim(x→a) [af(x)] = a * lim(x→a) f(x)4. lim(x→a) [f(x)g(x)] = lim(x→a) f(x) * lim(x→a) g(x)5. lim(x→a) [f(x)/g(x)] = lim(x→a) f(x) / lim(x→a) g(x)（前提是lim(x→a) g(x) 不为零）极限的夹逼定理是极限求解中常用的方法之一。
它描述了当一个函数夹在两个函数之间时，这个函数的极限等于这两个函数的共同极限，即：如果对于任意的x都有g(x) ≤f(x) ≤h(x)，同时lim(x→a) g(x) = lim(x→a) h(x) = L，则lim(x→a) f(x) = L。
介绍两种求物理量最值的方法
介绍两种求物理量最值的方法求物理量的最值可以用求导数，均值不等式，辅助角公式等方法，今天我再介绍两种求解最值的方法。
一、判别式法例1：如图一所示，在广阔的水平面上固定有一个边长为L 22的正方形光滑薄板，薄板中心0点钉有一钉子，长为L 的不可伸长的轻绳一端通过极小绳套套在钉子上，另一端与质量为m 的物块P 连接，物块以大小为v 0的速度绕0点做圆周运动，不计绳套与钉子间的摩擦。
某时刻剪断轻绳，求从剪断轻绳到物块P 离开薄板的最短时间t 。
解：如图二所示，由几何关系可得：()θθsin cos 2-=L x 令()θθsin cos 2a -=两边平方后，整理得：()02cos 22cos 1222=-+-+a a θθ R ∈θcos≥∆∴ ()()0214-822≥-+a a 即： 化简得：()0122≥-a a 0>a 1,012≥≥-∴a a 得所以，a min =1代入得X min =Lt min =L/V 0二、齐次法一个多项式中各个单项式的次数都相同的式子，我们称之为齐次式。
‘齐次’从词面上解释是“次数相等”的意思。
例如：x+y+z 次数都是1，x 2+2x*y+y 2 次数都是2,或者x 3+x*y*z+y 3+z 3 次数都是3,所以这3个都是齐次式.例2：如图3所示，在水平地面上方固定一足够长水平直杆，质量M ＝3m 的滑块套在直杆上，长为H 的轻绳一端固定在滑块底部O 点，另一端连接质量为m 的小球。
现将小球拉至与O 点等高处，轻绳伸直后由静止释放。
不计小球与滑块所受到的空气阻力，重力加速度大小为g 。
若滑块不固定，小球运动的过程中，滑块始终静止，求滑块与杆之间的动摩擦因数的最小值μ。
解：如图4，设轻绳转过θ时，小球的速度为v 0，轻绳中拉力为F ，则由动能定理：mgH sin θ＝12mv 20 由牛顿第二定律，有F －mg sin θ＝m v 20 H要使滑块不动，应满足：F cos θ≤μ(Mg ＋F sin θ)，联立解得θθθμ2sin 1cos sin +≥ 观察知，可以把分子分母变为2次。
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应用数学方法求解物理过程中最值问题
摘要：物理学是一门重要的基础性学科，课程内关于物理过程中的最值问题实际应用性强，而又具一定难度。
本文通过对物理过程中的最值问题进行举例分析，归纳和总结了解决这一问题的思维、方法，有助于提高学生综合运用知识的能力，促进物理教学。
关键词：物理学中最值问题数学思维解题方法
物理学家杨振宁指出：“可以用两片生长在同一根管茎上的叶子，来形象化说明数学与物理之间的关系。
数学与物理是同命相连的，它们的生命线交接在一起。
”因此，我们从物理现象出发，经过分析，把物理问题转化为数学问题，灵活运用数学知识对解决物理问题起到十分关键的作用。
以下，通过例举阐述应用数学思维求解物理过程中最值问题的方法。
一、利用几何知识解物理中最值问题
此方法主要通过作图，利用平面几何知识将物理最值问题求解
例1、如图1：倾角θ=30斜面上放一重量为g的光滑小球，斜面上立一块挡板，使小球静止。
问挡板如何放置，挡板所受压力最小，最小值为多少？
解：根据重力g的实际效果分解为：f1垂直于斜面的压力，f2
垂直于挡板。
重力g大小、方向一定；f1方向一定。
合力g构成一个三角形，重力g的末端到直线oa的最短距离表
示f2
最小值，即过g末端作oa的垂线（如图2）
由几何关系得：
此时挡板位置垂直于斜面。
例2、如图4，要使圆柱绕a点滚上台阶，试作图说明作用于圆上的力f作
用在哪点沿什么方向最省力？
解：设圆柱重力为g，台阶上a点到重力g作用线的
距离为l（g、l不变），作用力为f，台阶上a点到作用力f作用线的
距离为x，由力矩平衡，gl=fx，要使f最小则x必须最大，由几何知识，过a点，作直径交圆于b点，若f作用于b点，沿切线方向
（如图4）此时x最大，f最小。
二、运用二次函数的极值解物理中最值问题
此方法主要根据二次函数，进行求解
例3、用直流电动机提升重物，重物质量m为50kg，电源电压为120v。
当
电动机以速度v=0.9m/s匀速向上提升重物时，电流i=5a（g取10m/s2），求（1）电机线圈电阻r，（2）电动机对重物最大提升速度是多少？
解：（1）电动机工作时的机械功率
电动机消耗的电功率
由能量转化守恒
（2）当电机提升速度变化电动机输出的机械功率
三、运用三角函数极值求解物理中最值问题
根据三角函数sin（x+α）=±1时，asinx+bcosx有最值且tan α= 的性质解题是
一种重要方法。
例4如图5质量为m的物体受拉力f作用在水平地面匀速直线运动，物体与地面动摩擦因数为?，当f与水平方向夹角θ为多少时f 最小？
解：物体受力分析如图6 ，由牛顿定律
fcosθ-?fn=0
f sinθ+ fn= mg
fcosθ=?（mg- f sinθ）
四、应用不等式性质求解物理中最值问题
根据不等式性质，当a>0，b>0，c>0时不等式，当仅当a=b=c 时，不等式取等号；在解题中常发挥奇效。
例5、质量为m的小球与长度l的绳一端相连，绳的另一端固定在o点。
将球拉至与o点在同一水平面上由静止释放，球沿圆弧下摆过程中，在何处其竖直方向分速度最大？
解：从动力学上看，球在a点竖直分速度为0，
而最低点b只有水平速度，竖直分速度为0，
所以其下摆过竖直分速度经历了一个
加速和减速过程，中间会有最大值。
设此位置在c点，此时摆绳与oa夹角为α，
与ob夹角为β（如图7）
根据不等式仅当时，不等式取等值
五、应用导数求解物理中最值问题
导数应用价值极高，在解决函数极值，及最值问题要自觉应用导数。
例5也可应用导数知识进行解答
解：由前面分析小球下摆过竖直分速度经历了一个加速和减速过程，中间会有最大值。
该点即竖直分速度—时间函数的极值点。
在此，我们归纳例举了应用几何关系、函数关系、三角公式、不等式、导数方法求解物理中最值问题。
当然，解决物理最值问题还有许多方法，只要在学习中善于总结，勤于思考，不断提高使用数学工具的能力，就一定能熟练解决物理过程中的最值问题。