天津市和平区高一下期末数学试卷(有答案)
故答案为：51．
10．某中学高一有400人，高二有320人，高三有280人，用简单随机抽样方法抽取一个容量为n的样本，已知每个人被抽取到的可能性大小为0.2，则n=200．
【考点】简单随机抽样．
【分析】根据抽样的性质，每个个体被抽到的概率相等，建立方程即可．
【解答】解：在抽样中，每个个体被抽到的概率相等，
产品B（件）
研制成本、搭载费用之和（万元）
20
30
计划最大资金额300万元
产品重量（千克）
10
5
最大搭载重量110千克
预计收益（万元）
80
60
试问：如何安排这两种产品的件数进行搭载，才能使总预计收益达到最大，最大收益是多少？
天津市和平区高一（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共8个小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
11．已知两个正变量x，y，满足x+y=4，则使不等式 + ≥m恒成立的实数m的取值范围是，当x=，y=时等号成立．
12．如图所示，如果执行如图所示的程序框图，输入n=6，m=4，那么输出的p=．
13．如图，在矩形ABCD中，点A在x轴上，点B的坐标为（2，0）且点C与点D在函数f（x）= 的图象上，若在矩形ABCD内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为．
9．用辗转相除法或更相减损术求459与357的最大公约数是51．
【考点】用辗转相除计算最大公约数．
【分析】根据辗转相除法：用较大的数字除以较小的数字，得到商和余数，然后再用上一式中的除数和得到的余数中较大的除以较小的，以此类推，当整除时，就得到要求的最大公约数．
【解答】解：辗转相除法：∵459=357×1+102，357=102×3+51，102=51×2
5．不等式3x﹣4y+6＜0表示的平面区域在直线3x﹣4y+6=0的（ ）
A．右上方B．右下方C．左上方D．左下方
6．如图给出的是计算 的值的一个程序框图，判断框内应填入的条件是（ ）
A．i＜20B．i＞20C．i＜10D．i＞10
7．目标函数z=x+y，变量x，y满足 ，则（ ）
A．zmin=2，zmax=3B．zmin=2，无最大值
C．至少抽到2件正品D．至多抽到1件次品
3．期中考试过后，高一年级组把参加数学考试的全体高一学生考号末位为5的学生召集起来开座谈会，运用的抽样方法是（ ）
A．简单随机抽样B．系统抽样C．分层抽样D．抽签法
4．若事件A与B是互为对立事件，且P（A）=0.4，则P（B）=（ ）
A．0B．0.4C．0.6D．1
【解答】解：x＞0，y＞0，且x+y=4，可得
+ = （x+y）（ + ）= （5+ + ）≥ （5+2 ）= ，
当且仅当y=2x= ， + 取得最小值 ，
由不等式 + ≥m恒成立，可得m≤ ．
故答案为：（﹣∞， ]， ， ．
12．如图所示，如果执行如图所示的程序框图，输入n=6，m=4，那么输出的p=2520．
【解答】解：由题意，该程序按如下步骤运行
经过第一次循环得到s= ，n=4，i=2；
经过第二次循环得到s= + ，n=6，i=3；
经过第三次循环得到s= + + ，n=8，i=4；
…
看到S中最后一项的分母与i的关系是：分母=2（i﹣1）
∴20=2（i﹣1）解得i=11时需要输出
所以判断框的条件应为i＞10．
（3）若目标函数z=kx+y（k＜0）的最小值为﹣k﹣6，求k的取值范围．
18．已知x＞0，y＞0，且2x+8y﹣xy=0，求：
（1）xy的最小值；
（2）x+y的最小值．
19．某市司法部门为了宣传《宪法》举办法律知识问答活动，随机对该市18～68岁的人群抽取一个容量为n的样本，并将样本数据分成五组：[18，28），[28，38），[38，48），[48，58），[58，68），再将其按从左到右的顺序分别编号为第1组，第2组，…，第5组，绘制了样本的频率分布直方图；并对回答问题情况进行统计后，结果如下表所示．
A．至多抽到2件次品B．至多抽到2件正品
C．至少抽到2件正品D．至多抽到1件次品
【考点】互斥事件与对立事件．
【分析】由于在所有的基本事件中，不能同时发生的两个事件是互斥事件，由此可得结论．
【解答】解：在所有的基本事件中，不能同时发生的两个事件是互斥事件，
事件A：“至少抽到2件次品”，
故“至多抽到1件次品”与A是互斥事件，
组号
分组
回答正确的人数
回答正确的人数占本组的比例
第1组
[18，28）
5
0.5
第2组
[28，38）18a第3组源自[38，48）27
0.9
第4组
[48，58）
x
0.36
第5组
[58，68）
3
0.2
（1）分别求出a，x的值；
（2）从第2，3，4组回答正确的人中用分层抽样方法抽取6人，则第2，3，4组每组应各抽取多少人？
14．设x．y满足约束条件 ，若目标函数z=abx+y（a＞0，b＞0）的最大值为13，则a+b的最小值为．
三.解答题：6题52分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15．一个路口的红绿灯，红灯亮的时间为40秒，黄灯亮的时间为5秒，绿灯亮的时间为50秒（没有两灯同时亮），当你到达路口时，看见下列三种情况的概率各是多少？
由z=x+y得y=﹣x+z，平移直线y=﹣x+z，
由图象可知当直线y=﹣x+z经过点C时，
直线y=﹣x+z的截距最小，此时z最小．
由 ，解得 ，即C（2，0），
代入目标函数z=x+y得z=2+0=2．
即目标函数z=x+y的最小值为2．
无最大值．
故选：B．
8．已知不等式（x+y）（ + ）≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为（ ）
150﹣﹣250
250以上
空气质量等级
1级优
2级良
3级
轻度污染
4级
中度污染
5级
重度污染
6级
严重污染
由某市城市环境监测网获得4月份某5天甲、乙两城市的空气质量指数数据，用茎叶图表示，如图所示．
（Ⅰ）试根据统计数据，分别写出两城区的PM2.5日均值的中位数，并从中位数角度判断哪个城区的空气质量较好？
（Ⅱ）考虑用频率估计概率的方法，试根据统计数据，估计甲城区某一天空气质量等级为3级轻度污染的概率；
天津市和平区高一（下）期末数学试卷
一、选择题：本大题共8个小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．频率分布直方图中，小长方形的面积等于（ ）
A．组距B．频率C．组数D．频数
2．抽查10件产品，设“至少抽到2件次品”为事件A，则事件A的互斥事件为（ ）
A．至多抽到2件次品B．至多抽到2件正品
（3）在（2）的前提下，决定在所抽取的6人中随机抽取2人颁发幸运奖，求：所抽取的人中第2组至少有1人获得幸运奖的概率．
20．某研究所计划利用“神七”宇宙飞船进行新产品搭载实验，计划搭载新产品A、B，要根据该产品的研制成本、产品重量、搭载实验费用和预计产生收益来决定具体安排，通过调查，有关数据如表：
产品A（件）
【分析】根据函数的解析式求出A，C，D的坐标，求出对应的面积，结合几何概型的概率公式进行求解即可．
A．2B．4C．6D．8
【考点】基本不等式在最值问题中的应用．
【分析】求（x+y）（ ）的最小值；展开凑定值
【解答】解：已知不等式（x+y）（ ）≥9对任意正实数x，y恒成立，
只要求（x+y）（ ）的最小值≥9
∵ ≥
∴ ≥9
∴ ≥2或 ≤﹣4（舍去），
所以正实数a的最小值为4，
故选项为B．
二.填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.
C．zmax=3，无最小值D．既无最大值，也无最小值
8．已知不等式（x+y）（ + ）≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为（ ）
A．2B．4C．6D．8
二.填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.
9．用辗转相除法或更相减损术求459与357的最大公约数是．
10．某中学高一有400人，高二有320人，高三有280人，用简单随机抽样方法抽取一个容量为n的样本，已知每个人被抽取到的可能性大小为0.2，则n=．
不满足条件k＞4，执行循环体，k=5，p=2520
满足条件k＞m，退出循环，输出p的值为2520．
故答案为：2520．
13．如图，在矩形ABCD中，点A在x轴上，点B的坐标为（2，0）且点C与点D在函数f（x）= 的图象上，若在矩形ABCD内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为 ．
【考点】几何概型．
故选D．
7．目标函数z=x+y，变量x，y满足 ，则（ ）
A．zmin=2，zmax=3B．zmin=2，无最大值
C．zmax=3，无最小值D．既无最大值，也无最小值
【考点】简单线性规划．
【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，即可求目标函数z=x+y的最值．
【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．
故先C．
5．不等式3x﹣4y+6＜0表示的平面区域在直线3x﹣4y+6=0的（ ）
A．右上方B．右下方C．左上方D．左下方
天津市和平区2018-2019学年高一下学期期末数学试题
天津市和平区2018-2019学年高一下学期期末数学试题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)请点击修改第I 卷的文字说明一、单选题1．要从已编号(1～50)的50枚最新研制的某型导弹中随机抽取5枚来进行发射试验，用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法确定所选取的5枚导弹的编号可能是( )A ．5，10，15，20，25B ．3，13，23，33，43C ．1，2，3，4，5D ．2，4，8，16，322．已知m 个数的平均数为a ，n 个数的平均数为b ，则这m n +个数的平均数为（ ） A ．2a b+ B ．a bm n++ C ．ma nba b++D ．ma nbm n++3．在面积为S 的△ABC 的边AB 上任取一点P ,则△PBC 的面积大于S4的概率是( ) A ．14B ．12C ．34 D ．234．经过(0,2)A ，(3,3)B -两点的直线方程为（ ） A ．35100x y +-= B ．3560x y ++= C ．5360x y +-=D ．5360x y ++=5．过点(3,2)且与直线450x y --=垂直的直线方程是（ ） A ．450x y +-= B ．450x y -+= C ．4100x y --=D ．4140x y +-=6．根据下面茎叶图提供了甲、乙两组数据，可以求出甲、乙的中位数分别为（ ）A ．24和29B ．26和29C ．26和32D ．31和297．已知M 为z 轴上一点，且点M 到点(1,0,1)A -与点(1,3,2)B -的距离相等，则点M 的坐标为（ ） A ．(3,0,0)B ．(0,2,0)-C ．(0,0,6)D ．(0,0,3)-8．已知直线3y kx =+与圆22(1)(2)4x y -++=交于M ，N 两点，若||MN =则k 的值为（ ） A ．512-B ．125C ．125-D ．125±9．袋中共有6个除了颜色外完全相同的球，其中有1个红球，2个白球和3个黑球，从袋中任取两球，两球颜色为一白一黑的概率等于（ ） A ．15B ．25C ．35D ．4510．直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆()2222x y -+=上，则ABP △面积的取值范围是A ．[]26，B ．[]48，C ．D ．⎡⎣第II 卷（非选择题)请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题11．某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200,400,300,100件，为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取________ 件.12．某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，若生产中出现乙级品的概率为0.04，出现丙级品的概率为0.01，则对成品抽查一件抽得正品的概率为________. 13．已知直线134x y+=分别与x 轴、y 轴交于A ，B 两点，则||AB 等于________.14．圆x2＋y2－4＝0与圆x2＋y2－4x ＋4y －12＝0的公共弦的长为___．15．已知三点A (1,0)，B (0，C (2，则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为________．三、解答题16．某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[20，30），[30，40），┄，[80，90]，并整理得到如下频率分布直方图：（Ⅰ）从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率；（Ⅱ）已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间[40，50）内的人数；17．甲、乙二人参加某体育项目训练,近期的五次测试成绩得分情况如图所示.(1)分别求出两人得分的平均数与方差;(2)根据图和上面算得的结果,对两人的训练成绩作出评价.18．在直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为圆心的圆与直线4x -=相切。
2020届天津市和平区高一下期末数学试卷(有答案)(加精)
天津市和平区高一（下）期末数学试卷一、选择题：本大题共8个小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．频率分布直方图中，小长方形的面积等于（）A．组距 B．频率 C．组数 D．频数2．抽查10件产品，设“至少抽到2件次品”为事件A，则事件A的互斥事件为（）A．至多抽到2件次品 B．至多抽到2件正品C．至少抽到2件正品 D．至多抽到1件次品3．期中考试过后，高一年级组把参加数学考试的全体高一学生考号末位为5的学生召集起来开座谈会，运用的抽样方法是（）A．简单随机抽样 B．系统抽样 C．分层抽样 D．抽签法4．若事件A与B是互为对立事件，且P（A）=0.4，则P（B）=（）A．0 B．0.4 C．0.6 D．15．不等式3x﹣4y+6＜0表示的平面区域在直线3x﹣4y+6=0的（）A．右上方B．右下方C．左上方D．左下方6．如图给出的是计算的值的一个程序框图，判断框内应填入的条件是（）A．i＜20 B．i＞20 C．i＜10 D．i＞107．目标函数z=x+y，变量x，y满足，则（）A．z min=2，z max=3 B．z min=2，无最大值C．z max=3，无最小值D．既无最大值，也无最小值8．已知不等式（x+y）（+）≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为（）A．2 B．4 C．6 D．8二.填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.9．用辗转相除法或更相减损术求459与357的最大公约数是．10．某中学高一有400人，高二有320人，高三有280人，用简单随机抽样方法抽取一个容量为n的样本，已知每个人被抽取到的可能性大小为0.2，则n=．11．已知两个正变量x，y，满足x+y=4，则使不等式+≥m恒成立的实数m的取值范围是，当x=，y=时等号成立．12．如图所示，如果执行如图所示的程序框图，输入n=6，m=4，那么输出的p=．13．如图，在矩形ABCD中，点A在x轴上，点B的坐标为（2，0）且点C与点D在函数f（x）=的图象上，若在矩形ABCD内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为．14．设x．y满足约束条件，若目标函数z=abx+y（a＞0，b＞0）的最大值为13，则a+b的最小值为．三.解答题：6题52分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．一个路口的红绿灯，红灯亮的时间为40秒，黄灯亮的时间为5秒，绿灯亮的时间为50秒（没有两灯同时亮），当你到达路口时，看见下列三种情况的概率各是多少？（1）红灯；（2）黄灯；（3）不是红灯．16．雾霾天气是一种大气污染状态，PM2.5被认为是造成雾霾天气的“元凶”，PM2.5日均值越小，空气质量越好．国家环境标准设定的PM2.5日均值（微克/立方米）与空气质量等级对应关系如表：PM2.5日均值（微克/立方米）0﹣﹣3535﹣﹣7575﹣﹣115115﹣﹣150150﹣﹣250250以上空气质量等级1级优2级良3级轻度污染4级中度污染5级重度污染6级严重污染由某市城市环境监测网获得4月份某5天甲、乙两城市的空气质量指数数据，用茎叶图表示，如图所示．（Ⅰ）试根据统计数据，分别写出两城区的PM2.5日均值的中位数，并从中位数角度判断哪个城区的空气质量较好？（Ⅱ）考虑用频率估计概率的方法，试根据统计数据，估计甲城区某一天空气质量等级为3级轻度污染的概率；（Ⅲ）分别从甲、乙两个城区的统计数据中任取一个，试求这两城区空气质量等级相同的概率．17．已知D是以点A（4，1），B（﹣1，﹣6），C（﹣2，3）为顶点的三角形区域（包括边界及内部）．（1）写出表示区域D的不等式组；（2）设点B（﹣1，﹣6）、C（﹣2，3）在直线4x﹣3y﹣a=0的异侧，求a的取值范围；（3）若目标函数z=kx+y（k＜0）的最小值为﹣k﹣6，求k的取值范围．18．已知x＞0，y＞0，且2x+8y﹣xy=0，求：（1）xy的最小值；（2）x+y的最小值．19．某市司法部门为了宣传《宪法》举办法律知识问答活动，随机对该市18～68岁的人群抽取一个容量为n的样本，并将样本数据分成五组：[18，28），[28，38），[38，48），[48，58），[58，68），再将其按从左到右的顺序分别编号为第1组，第2组，…，第5组，绘制了样本的频率分布直方图；并对回答问题情况进行统计后，结果如下表所示．组号分组回答正确的人数回答正确的人数占本组的比例第1组[18，28） 5 0.5 第2组[28，38）18 a第3组[38，48）27 0.9 第4组[48，58）x 0.36 第5组[58，68） 3 0.2（1）分别求出a，x的值；（2）从第2，3，4组回答正确的人中用分层抽样方法抽取6人，则第2，3，4组每组应各抽取多少人？（3）在（2）的前提下，决定在所抽取的6人中随机抽取2人颁发幸运奖，求：所抽取的人中第2组至少有1人获得幸运奖的概率．20．某研究所计划利用“神七”宇宙飞船进行新产品搭载实验，计划搭载新产品A、B，要根据该产品的研制成本、产品重量、搭载实验费用和预计产生收益来决定具体安排，通过调查，有关数据如表：产品A（件）产品B（件）研制成本、搭载费用之和（万元）20 30 计划最大资金额300万元产品重量（千克）10 5 最大搭载重量110千克预计收益（万元）80 60试问：如何安排这两种产品的件数进行搭载，才能使总预计收益达到最大，最大收益是多少？天津市和平区高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8个小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．频率分布直方图中，小长方形的面积等于（）A．组距 B．频率 C．组数 D．频数【考点】频率分布直方图．【分析】由频率分布直方图的做法，可得正确答案【解答】解：小长方形的长为组距，高为，所以小长方形的面积为：组距×=频率故选B2．抽查10件产品，设“至少抽到2件次品”为事件A，则事件A的互斥事件为（）A．至多抽到2件次品 B．至多抽到2件正品C．至少抽到2件正品 D．至多抽到1件次品【考点】互斥事件与对立事件．【分析】由于在所有的基本事件中，不能同时发生的两个事件是互斥事件，由此可得结论．【解答】解：在所有的基本事件中，不能同时发生的两个事件是互斥事件，事件A：“至少抽到2件次品”，故“至多抽到1件次品”与A是互斥事件，故选：D．3．期中考试过后，高一年级组把参加数学考试的全体高一学生考号末位为5的学生召集起来开座谈会，运用的抽样方法是（）A．简单随机抽样 B．系统抽样 C．分层抽样 D．抽签法【考点】系统抽样方法．【分析】根据末位为5的学生的学生号码之间的关系进行判断即可．【解答】解：∵末位为5的学生的学生号码间距相同都为10，∴高一年级组运用的抽样方法是系统抽样，故选：B．4．若事件A与B是互为对立事件，且P（A）=0.4，则P（B）=（）A．0 B．0.4 C．0.6 D．1【考点】互斥事件与对立事件．【分析】根据对立事件的概率公式p（）=1﹣P（A），解得即可．【解答】解：因为对立事件的概率公式p（）=1﹣P（A）=0.6，故先C．5．不等式3x﹣4y+6＜0表示的平面区域在直线3x﹣4y+6=0的（）A．右上方B．右下方C．左上方D．左下方【考点】二元一次不等式（组）与平面区域．【分析】根据二元一次不等式表示平面区域的性质确定不等式对应的平面区域即可．【解答】解：∵当x=0，y=0时，3x﹣4y+6=6＞0，∴原点位于不等式3x﹣4y+6＞0表示的平面区域内，∴不等式3x﹣4y+6＜0表示的平面区域位于直线3x﹣4y+6=0的左上方．故选：C．6．如图给出的是计算的值的一个程序框图，判断框内应填入的条件是（）A．i＜20 B．i＞20 C．i＜10 D．i＞10【考点】循环结构．【分析】由程序中的变量、各语句的作用，结合流程图所给的顺序，可知当条件满足时，用+s的值代替s 得到新的s，并用n+2代替n、用i+1代替i，直到条件满足时，输出最后算出的s值．由此结合题意即可得到本题答案．【解答】解：由题意，该程序按如下步骤运行经过第一次循环得到s=，n=4，i=2；经过第二次循环得到s=+，n=6，i=3；经过第三次循环得到s=++，n=8，i=4；…看到S中最后一项的分母与i的关系是：分母=2（i﹣1）∴20=2（i﹣1）解得i=11时需要输出所以判断框的条件应为i＞10．故选D．7．目标函数z=x+y，变量x，y满足，则（）A．z min=2，z max=3 B．z min=2，无最大值C．z max=3，无最小值D．既无最大值，也无最小值【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，即可求目标函数z=x+y的最值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=x+y得y=﹣x+z，平移直线y=﹣x+z，由图象可知当直线y=﹣x+z经过点C时，直线y=﹣x+z的截距最小，此时z最小．由，解得，即C（2，0），代入目标函数z=x+y得z=2+0=2．即目标函数z=x+y的最小值为2．无最大值．故选：B．8．已知不等式（x+y）（+）≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为（）A．2 B．4 C．6 D．8【考点】基本不等式在最值问题中的应用．【分析】求（x+y）（）的最小值；展开凑定值【解答】解：已知不等式（x+y）（）≥9对任意正实数x，y恒成立，只要求（x+y ）（）的最小值≥9∵≥∴≥9∴≥2或≤﹣4（舍去），所以正实数a的最小值为4，故选项为B．二.填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.9．用辗转相除法或更相减损术求459与357的最大公约数是51．【考点】用辗转相除计算最大公约数．【分析】根据辗转相除法：用较大的数字除以较小的数字，得到商和余数，然后再用上一式中的除数和得到的余数中较大的除以较小的，以此类推，当整除时，就得到要求的最大公约数．【解答】解：辗转相除法：∵459=357×1+102，357=102×3+51，102=51×2故459和357的最大公约数是51，故答案为：51．10．某中学高一有400人，高二有320人，高三有280人，用简单随机抽样方法抽取一个容量为n的样本，已知每个人被抽取到的可能性大小为0.2，则n=200．【考点】简单随机抽样．【分析】根据抽样的性质，每个个体被抽到的概率相等，建立方程即可．【解答】解：在抽样中，每个个体被抽到的概率相等，则n=×0.2=1000×0.2=200，故答案为：20011．已知两个正变量x，y，满足x+y=4，则使不等式+≥m恒成立的实数m的取值范围是（﹣∞，]，当x=，y=时等号成立．【考点】基本不等式．【分析】运用乘1法，可得+=（x+y）（+）=（5++），由基本不等式可得最小值，进而得到m的范围和相应x，y的值．【解答】解：x＞0，y＞0，且x+y=4，可得+=（x+y）（+）=（5++）≥（5+2）=，当且仅当y=2x=， +取得最小值，由不等式+≥m恒成立，可得m≤．故答案为：（﹣∞，]，，．12．如图所示，如果执行如图所示的程序框图，输入n=6，m=4，那么输出的p=2520．【考点】程序框图．【分析】通过程序框图，按照框图中的要求将几次的循环结果写出，得到输出的结果．【解答】解：模拟执行程序，可得n=6，m=4，k=1，p=1p=3不满足条件k＞4，执行循环体，k=2，p=12不满足条件k＞4，执行循环体，k=3，p=60不满足条件k＞4，执行循环体，k=4，p=360不满足条件k＞4，执行循环体，k=5，p=2520满足条件k＞m，退出循环，输出p的值为2520．故答案为：2520．13．如图，在矩形ABCD中，点A在x轴上，点B的坐标为（2，0）且点C与点D在函数f（x）=的图象上，若在矩形ABCD内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率为．【考点】几何概型．【分析】根据函数的解析式求出A，C，D的坐标，求出对应的面积，结合几何概型的概率公式进行求解即可．【解答】解：∵B的坐标为（2，0），∴当当x=2时，f（2）=2+1=3，即C（2，3），由f（x）=﹣x+1=3，得x=﹣4，即D（﹣4.3），A（﹣4，0），则矩形ABCD的面积S=6×3=18，阴影部分的面积S=，则对应的面积S==，故答案为：14．设x．y满足约束条件，若目标函数z=abx+y（a＞0，b＞0）的最大值为13，则a+b的最小值为6．【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识先求出a，b的关系，然后利用基本不等式求a+b 的最小值．【解答】解：由z=abx+y（a＞0，b＞0）得y=﹣abx+z，作出可行域如图：∵a＞0，b＞0，∴直线y=﹣abx+z的斜率为负，且截距最大时，z也最大．平移直线y=﹣abx+z，由图象可知当y=﹣abx+z经过点A时，直线的截距最大，此时z也最大．由，解得，即A（1，4）．此时z=ab+4=13，即ab=9，则a+b=2=2×3=6，当且仅当a=b=3时取=号，故最小值为6，故答案为：6．三.解答题：6题52分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．一个路口的红绿灯，红灯亮的时间为40秒，黄灯亮的时间为5秒，绿灯亮的时间为50秒（没有两灯同时亮），当你到达路口时，看见下列三种情况的概率各是多少？（1）红灯；（2）黄灯；（3）不是红灯．【考点】几何概型．【分析】根据几何概型的概率公式分别进行求解即可．【解答】解：全部时间为40+5+50=95秒，每一时刻到达路口是等可能的，属于几何概型，记“看见红灯”为事件A，“看见黄灯”为事件B，“看见绿灯”为事件C，“看见的不是红灯”为事件D，则（1）P（A）=．（2）P（B）=．（3）P（D）=P（B）+P（C）=．16．雾霾天气是一种大气污染状态，PM2.5被认为是造成雾霾天气的“元凶”，PM2.5日均值越小，空气质量越好．国家环境标准设定的PM2.5日均值（微克/立方米）与空气质量等级对应关系如表：PM2.5日均值（微克/立方米）0﹣﹣3535﹣﹣7575﹣﹣115115﹣﹣150150﹣﹣250250以上空气质量等级1级优2级良3级轻度污染4级中度污染5级重度污染6级严重污染由某市城市环境监测网获得4月份某5天甲、乙两城市的空气质量指数数据，用茎叶图表示，如图所示．（Ⅰ）试根据统计数据，分别写出两城区的PM2.5日均值的中位数，并从中位数角度判断哪个城区的空气质量较好？（Ⅱ）考虑用频率估计概率的方法，试根据统计数据，估计甲城区某一天空气质量等级为3级轻度污染的概率；（Ⅲ）分别从甲、乙两个城区的统计数据中任取一个，试求这两城区空气质量等级相同的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；茎叶图．【分析】（I）由茎叶图可知甲乙两个城市5天数据由小到大排列，求出中位数，比较两个中位数的大小可得哪个城市的空气质量较好；（II）由茎叶图可知在抽取的五天中，甲城市空气质量等级为3级轻度污染的频数为3，进而得到频率，进而估算出概率；（Ⅲ）从甲城市和乙城市的统计数据中任取一个，共有25种不同情况，统计这两个城市空气质量等级相同的情况个数，代入古典概型概率计算公式可得答案．【解答】解：（Ⅰ）甲城市5天数据由小到大排列：59，83，87，95，116，乙城市5天数据由小到大排列：66，68，85，88，98，∴甲的中位数是87，乙的中位数是85，∴乙城市的空气质量较好．（Ⅱ）根据上面的统计数据，可得在这五天中甲城市空气质量等级为3级轻度污染的频率为，则估计甲城市某一天的空气质量等级为3级轻度污染的概率为．（Ⅲ）设事件A：从甲城市和乙城市的上述数据中分别任取一个，这两个城市的空气质量等级相同，由题意可知，从甲城市和乙城市的监测数据中分别任取一个，共有25个结果，分别记为：（59，66），（59，68），（59，85），（59，88）（59，98）（83，66），（83，68），（83，85），（83，88）（83，98）（87，66），（87，68），（87，85），（87，88）（87，98）（95，66），（95，68），（95，85），（95，88）（95，98），，，，其数据表示两城市空气质量等级相同的包括同为2级良的为甲59，乙66，乙68；同为3级轻度污染的为甲83，甲87，甲95；乙85，乙88，乙98；则空气质量等级相同的为：（59，66），（59，68），（83，85），（83，88），（83，98），（87，85），（87，88），（87，98），（95，85），（95，88），（95，98），共11个结果．所以这两个城市空气质量等级相同的概率为．17．已知D是以点A（4，1），B（﹣1，﹣6），C（﹣2，3）为顶点的三角形区域（包括边界及内部）．（1）写出表示区域D的不等式组；（2）设点B（﹣1，﹣6）、C（﹣2，3）在直线4x﹣3y﹣a=0的异侧，求a的取值范围；（3）若目标函数z=kx+y（k＜0）的最小值为﹣k﹣6，求k的取值范围．【考点】简单线性规划．【分析】（1）先分别求出AB，BC，AB的方程，结合二元一次不等式组表示平面区域进行表示，（2）根据点与直线的位置关系转化为二元一次不等式关系进行求解即可．（3）根据线性规划的知识建立直线斜率关系进行求解即可．【解答】解：（1）A（4，1），B（﹣1，﹣6），C（﹣2，3）为顶点，则直线方程AB：得7x﹣5y﹣23=0，AC：，即x+3y﹣7=0，BC：，即9x+y+15=0，则对应的不等式组为．（2）∵点B（﹣1，﹣6）、C（﹣2，3）在直线4x﹣3y﹣a=0的异侧，∴将点的坐标分别代入得（14﹣a）（﹣17﹣a）＜0，即（a﹣14）（a+17）＜0，得﹣17＜a＜14．（3）∵z=kx+y（k＜0）的最小值为﹣k﹣6，这也是将点B（﹣1，﹣6）的坐标代入的结果，∴B是目标函数的最优解，∵y=﹣kx+z，∴0＜﹣k＜k AB或k BC＜﹣k＜0，（∵k＜0，∴这种情况不存在）∵k AB=，∴0＜﹣k＜，即﹣＜k＜0．18．已知x＞0，y＞0，且2x+8y﹣xy=0，求：（1）xy的最小值；（2）x+y的最小值．【考点】基本不等式．【分析】（1）利用基本不等式构建不等式即可得出；（2）由2x+8y=xy，变形得+=1，利用“乘1法”和基本不等式即可得出．【解答】解：（1）∵x＞0，y＞0，2x+8y﹣xy=0，∴xy=2x+8y≥2，∴≥8，∴xy≥64．当且仅当x=4y=16时取等号．故xy的最小值为64．（2）由2x+8y=xy，得： +=1，又x＞0，y＞0，∴x+y=（x+y）•=10++≥10+=18．当且仅当x=2y=12时取等号．故x+y的最小值为18．19．某市司法部门为了宣传《宪法》举办法律知识问答活动，随机对该市18～68岁的人群抽取一个容量为n的样本，并将样本数据分成五组：[18，28），[28，38），[38，48），[48，58），[58，68），再将其按从左到右的顺序分别编号为第1组，第2组，…，第5组，绘制了样本的频率分布直方图；并对回答问题情况进行统计后，结果如下表所示．组号分组回答正确的人数回答正确的人数占本组的比例第1组[18，28） 5 0.5第2组[28，38）18 a第3组[38，48）27 0.9第4组[48，58）x 0.36第5组[58，68） 3 0.2（1）分别求出a，x的值；（2）从第2，3，4组回答正确的人中用分层抽样方法抽取6人，则第2，3，4组每组应各抽取多少人？（3）在（2）的前提下，决定在所抽取的6人中随机抽取2人颁发幸运奖，求：所抽取的人中第2组至少有1人获得幸运奖的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图．【分析】（1）由回答对的人数：每组的人数=回答正确的概率，分别可求得要求的值；（2）由分层抽样按比例抽取的特点可得各组的人数；（3）记抽取的6人中，第2组的记为a1，a2，第3组的记为b1，b2，b3，第4组的记为c，列举可得从6名学生中任取2名的所有可能的情况，以及其中第2组至少有1人的情况种数，由古典概型可得概率．【解答】解：（1）第1组人数5÷0.5=10，所以n=10÷0.1=100，…第2组频率为：0.2，人数为：100×0.2=20，所以a=18÷20=0.9，…第4组人数100×0.25=25，所以x=25×0.36=9，…（2）第2，3，4组回答正确的人的比为18：27：9=2：3：1，所以第2，3，4组每组应各依次抽取2人，3人，1人．…（3）记“所抽取的人中第2组至少有1人获得幸运奖”为事件A，抽取的6人中，第2组的设为a1，a2，第3组的设为b1，b2，b3，第4组的设为c，则从6名幸运者中任取2名的所有可能的情况有15种，它们是：（a1，a2），（a1，b1），（a1，b2），（a1，b3），（a1，c），（a2，b1），（a2，b2），（a2，b3），（a2，c），（b1，b2），（b1，b3），（b1，c），（b2，b3），（b2，c），（b3，c）．…其中第2组至少有1人的情况有9种，他们是：（a1，a2），（a1，b1），（a1，b2），（a1，b3），（a1，c），（a2，b1），（a2，b2），（a2，b3），（a2，c）．…∴P（A）=．…答：所抽取的人中第2组至少有1人获得幸运奖的概率为．…20．某研究所计划利用“神七”宇宙飞船进行新产品搭载实验，计划搭载新产品A、B，要根据该产品的研制成本、产品重量、搭载实验费用和预计产生收益来决定具体安排，通过调查，有关数据如表：产品A（件）产品B（件）研制成本、搭载费用之和（万元）20 30 计划最大资金额300万元产品重量（千克）10 5 最大搭载重量110千克预计收益（万元）80 60试问：如何安排这两种产品的件数进行搭载，才能使总预计收益达到最大，最大收益是多少？【考点】简单线性规划的应用．【分析】我们可以设搭载的产品中A有x件，产品B有y件，我们不难得到关于x，y的不等式组，即约束条件和目标函数，然后根据线行规划的方法不难得到结论．【解答】解：设搭载产品Ax件，产品By件，预计总收益z=80x+60y．则，作出可行域，如图．作出直线l0：4x+3y=0并平移，由图象得，当直线经过M点时z能取得最大值，，解得，即M（9，4）．所以z max=80×9+60×4=960（万元）．答：搭载产品A9件，产品B4件，可使得总预计收益最大，为960万元．。
天津市和平区2019-2020学年高一下期末综合测试数学试题含解析
天津市和平区2019-2020学年高一下期末综合测试数学试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．将数列{}n a 中的所有项排成如下数阵:其中每一行项数是上一行项数的2倍，且从第二行起每-行均构成公比为2的等比数列，1a 23,a a 4567,,,a a a a89101112131415,,,,,,,a a a a a a a a⋅⋅⋅⋅⋅⋅记数阵中的第1列数124,,a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅，构成的数列为{}n b ，T 为数列{}n b 的前n 项和，若253n T n n =+，则1025a 等于( )A ．176B ．196C ．216D ．236【答案】C 【解析】 【分析】先确定1025a 为第11行第2个数，由253n T n n =+可得102n b n =-，最后根据从第二行起每一行均构成公比为2的等比数列即可得出结论． 【详解】∵其中每一行项数是上一行项数的2倍，第一行有一个数， 前10行共计()10112102312-=-个数，即1025a 为第11行第2个数，又∵第1列数124,,a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅，构成的数列为{}n b ，253n T n n =+， ∴当2n ≥时，()()221535131102n n n b T T n n n n n -=-=+----=-，∴第11行第1个数为108， ∴10251082216a =⨯=， 故选：C. 【点睛】本题主要考查数列的性质和应用，本题解题的关键是1025a 为第11行第2个数，属于中档题． 2．2sin y x =是( )A ．最小正周期为π的偶函数B ．最小正周期为π的奇函数C ．最小正周期为2π的偶函数D ．最小正周期为2π的奇函数【答案】A 【解析】 【分析】将函数2sin y x =化为()11cos22y x =-的形式后再进行判断便可得到结论． 【详解】由题意得()()21sin 1cos22y f x x x ===-， ∵()()f x f x -=， 且函数()()11cos22f x x =-的最小正周期为2π2π=， ∴函数2sin y x =时最小正周期为π的偶函数． 故选A ． 【点睛】判断函数最小正周期时，需要把函数的解析式化为()y Asin x ωϕ=+或()(0)y Acos x ωϕω=+>的形式，然后利用公式2πT ω=求解即可得到周期．3．若等差数列{}n a 的前10项之和大于其前21项之和，则16a 的值（） A ．大于0 B ．等于0C ．小于0D ．不能确定【答案】C 【解析】 【分析】根据条件得到不等式，化简后可判断16a 的情况. 【详解】据题意：1021S S >，则1104521210a d a d +>+，所以1111650a d +<，即111(15)0a d +<，则：160a <， 故选C. 【点睛】本题考查等差数列前n 项和的应用，难度较易.等差数列前n 项和之间的关系可以转化为1a 与d 的关系. 4．在直角ABC ∆中，三条边恰好为三个连续的自然数，以三个顶点为圆心的扇形的半径为1，若在ABC ∆中随机地选取m 个点，其中有n 个点正好在扇形里面，则用随机模拟的方法得到的圆周率的近似值为（ ）A ．16nmB．12nmC．8nmD．6nm【答案】B【解析】由题直角ABC∆中，三条边恰好为三个连续的自然数，设三边为()()222,1,2,12,n n n n n n++∴++=+解得13,:346,2n S=∴=⨯⨯=以三个顶点为圆心的扇形的面积和为211,22ππ⨯⨯=由题122,.6m mn nππ=∴=故选B.5．在△ABC中，N是AC边上一点，且AN＝12NC，P是BN上的一点，若AP＝m AB＋29AC，则实数m的值为()A．19B．13C．1 D．3【答案】B【解析】【分析】根据向量的线性表示逐步代换掉不需要的向量求解.【详解】设NP NBλ=，AP AN NP=+13AC NBλ=+=1()3AC NA ABλ++11()33AC ABλλ=-+所以112,339λ-=所以1.3λ=故选B.【点睛】本题考查向量的线性运算，属于基础题.6．下图是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图，这个圆的圆拱跨度40AB=米，拱高10OP=米，建造时每隔8米需要用一根支柱支撑，则支柱22A P的高度大约是（）A．9.7米B．9.1米C．8.7米D．8.1米【答案】A【解析】【分析】以O 为原点、以AB 为x 轴，以OP 为y 轴建立平面直角坐标系，设出圆心坐标与半径，可得圆拱所在圆的方程，将4x =-代入圆的方程，可求出支柱22A P 的高度 【详解】由图以O 为原点、以AB 为x 轴，以OP 为y 轴建立平面直角坐标系，设圆心坐标为()0,a ，()0,10P ，()20,0A -， 则圆拱所在圆的方程为()222x y a r +-=，()222210400a r a r⎧-=⎪∴⎨+=⎪⎩ ，解得15a =-，25r =， ∴圆的方程为()2215625x y ++=，将4x =-代入圆的方程，得229.7y A P =≈()m .故选：A 【点睛】本题考查了圆的标准方程在生活中的应用，需熟记圆的标准方程的形式，属于基础题. 7．已知一个扇形的圆心角为56π，半径为1．则它的弧长为（ ） A ．53πB ．23πC ．52πD ．2π【答案】C 【解析】 【分析】直接利用扇形弧长公式求解即可得到结果. 【详解】由扇形弧长公式得：55362L r ππα==⨯= 本题正确选项：C 【点睛】本题考查扇形弧长公式的应用，属于基础题.8．已知变量x 与y 正相关，且由观测数据算得样本平均数3x =， 3.5y =，则由该观测的数据算得的线性回归方程可能是( ) A ．0.4 2.3y x =+ B ．2 2.4y x =- C ．29.5y x =-+ D ．0.3 4.4y x =-+【答案】A 【解析】试题分析：因为与正相关，排除选项C 、D ，又因为线性回归方程恒过样本点的中心，故排除选项B ；故选A ． 考点：线性回归直线.9．已知函数2()2cos 32f x x x =，在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，内角A 满足()1f A =-，若6a =ABC 的面积的最大值为（ ）A ．33B 33C 3D ．3【答案】B 【解析】 【分析】通过将2()2cos 32f x x x =利用合一公式变为2cos 213x π⎛⎫++ ⎪⎝⎭，代入A 求得A 角，从而利用余弦定理得到b,c,的关系，从而利用均值不等式即可得到面积最大值. 【详解】2()2cos 32f x x x ==cos 23212cos 213x x x π⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭()2cos 211cos 2133f A A A ππ⎛⎫⎛⎫=++=-⇒+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，A 为三角形内角，则3A π=6a =222222cos 2a b c bc A b c bc bc bc bc =+-=+-≥-=，当且仅当b c =时取等号11333sin 622ABCSbc A =≤⨯=【点睛】本题主要考查三角函数恒等变换，余弦定理，面积公式及均值不等式，综合性较强，意在考查学生的转化能力，对学生的基础知识掌握要求较高.10．我国古代数学巨著《九章算术》中，有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”这个问题用今天的白话叙述为：有一位善于织布的女子，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这位女子每天分别织布多少？根据上述问题的已知条件，若该女子共织布3531尺，则这位女子织布的天数是（）A．2 B．3 C．4 D．1【答案】B【解析】【分析】将问题转化为等比数列问题，最终变为求解等比数列基本量的问题.【详解】根据实际问题可以转化为等比数列问题，在等比数列{}n a中，公比2q，前n项和为nS，55S=，3531mS=，求m的值．因为()51512512aS-==-，解得1531a=，()51235311231mmS-==-，解得3m=．故选B．【点睛】本题考查等比数列的实际应用，难度较易.熟悉等比数列中基本量的计算，对于解决实际问题很有帮助. 11．如图所示，在ABC中，30BC=，点D 在BC边上，点E在线段AD上，若1162CE CA CB=+,则BD=（）A．10B．12C．15D．18【答案】B【解析】【分析】本题首先可根据点D在BC边上设()01CD CBλλ=<≤，然后将1162CE CA CB=+化简为1162CE CA CD，再然后根据点E在线段AD上解得35λ=，最后通过计算即可得出结果．【详解】因为点D在BC边上，所以可设()01CD CBλλ=<≤，所以11116262CE CA CB CA CDλ=+=+，因为点E在线段AD上，所以,,A E D三点共线，所以11162λ+=，解得35λ=， 所以330185CD =⨯=，301812BD =-=，故选B ．【点睛】本题考查向量共线的相关性质以及向量的运算，若向量a 与向量b 共线，则λa b ，考查计算能力，是中档题．12．已知圆心在x 轴上的圆C 经过()3,1A ，()1,5B 两点，则C 的方程为（ ）A ．()22450x y ++= B ．()22425x y ++= C ．()22450x y -+= D ．()22425x y -+=【答案】A 【解析】 【分析】由圆心在x 轴上设出圆心坐标,设出圆的方程,将()3,1A ,()1,5B 两点坐标代入,即可求得圆心坐标和半径,进而得圆的方程. 【详解】因为圆心在x 轴上,设圆心坐标为(),0C m ,半径为r 设圆的方程为()222x m y r -+= 因为圆C 经过()3,1A ,()1,5B两点代入可得()()222231125m r m r⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩ 解方程求得2450m r =-⎧⎨=⎩ 所以圆C 的方程为()22450x y ++= 故选:A 【点睛】本题考查了圆的方程求法,关键是求出圆心和半径,属于基础题. 二、填空题：本题共4小题13．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若53a =,392S =,则5S =______. 【答案】10 【解析】 【分析】将5a 和3S 用首项和公差表示，解方程组，求出首项和公式，利用公式求解5S . 【详解】设该数列的公差为d ，由题可知：()1143932a d a d +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得1112a d =⎧⎪⎨=⎪⎩， 故5151010S a d =+=. 故答案为：10. 【点睛】本题考查由基本量计算等差数列的通项公式以及前n 项和，属基础题. 14．已知斜率为的直线l 的倾斜角为α，则cos α=________．【答案】【解析】 【分析】由直线的斜率公式可得tan α＝sin cos αα=cos 0α<，由同角三角函数的基本关系式计算可得答案． 【详解】根据题意，直线l 的倾斜角为()0ααπ<<，其斜率为， 则有tan α＝sin cos αα=2παπ<<，必有cos 0α<，即sin αα=，平方有：22sin 2cos αα=，得221cos 2cos αα-=，故21cos 3α=，解得cos α=或cos α=（舍）．【点睛】本题考查直线的倾斜角，涉及同角三角函数的基本关系式，属于基础题． 15．直线1:3210l x y --=与2:3210l x y -+=间的距离为________ ．【答案】13【解析】【分析】根据两平行线间的距离，d =.【详解】因为直线1:3210l x y --=与2:3210l x y -+=互相平行，所以根据平行线间的距离公式d =可以得到它们之间的距离，13d ===. 【点睛】本题考查两平行线间的距离公式，属于简单题.16．中国古代数学著作《算法统宗》有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其大意为：“有一个人要走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后达到目的地.”则该人最后一天走的路程为__________里． 【答案】3 【解析】分析：每天走的路形成等比数列{a n }，q=12，S 3=1．利用求和公式即可得出． 详解：每天走的路形成等比数列{a n }，q=12，S 3=1．∴S 3=1=611[1)2112a ⎛⎤- ⎥⎝⎦-，解得a 1=2． ∴该人最后一天走的路程=a 1q 5=51192()2⨯=3． 故答案为：3．点睛：本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
【高一数学试题精选】2018年天津市和平区高一数学下期末试卷(含答案和解释)
2018年天津市和平区高一数学下期末试卷(含答案和解释)
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2018学年天津市和平区高一（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题本大题共8个小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．频率分布直方图中，小长方形的面积等于（）
A．组距B．频率c．组数D．频数
【考点】频率分布直方图．
【分析】由频率分布直方图的做法，可得正确答案
【解答】解小长方形的长为组距，高为，所以小长方形的面积为组距× =频率
故选B
2．抽查10产品，设“至少抽到2次品”为事A，则事A的互斥事为（）
A．至多抽到2次品B．至多抽到2正品
c．至少抽到2正品D．至多抽到1次品
【考点】互斥事与对立事．
【分析】由于在所有的基本事中，不能同时发生的两个事是互斥事，由此可得结论．
【解答】解在所有的基本事中，不能同时发生的两个事是互斥事，事A“至少抽到2次品”，
故“至多抽到1次品”与A是互斥事，
故选D．。
2018-2019学年天津市和平区高一下学期期末数学试题(解析版)
2018-2019学年天津市和平区高一下学期期末数学试题一、单选题1．要从已编号(1～50)的50枚最新研制的某型导弹中随机抽取5枚来进行发射试验，用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法确定所选取的5枚导弹的编号可能是( )A ．5，10，15，20，25B ．3，13，23，33，43C ．1，2，3，4，5D ．2，4，8，16，32【答案】B【解析】对导弹进行平均分组，根据系统抽样的基本原则可得结果. 【详解】将枚导弹平均分为组，可知每组枚导弹 即分组为：，，，，按照系统抽样原则可知每组抽取枚，且编号成公差为的等差数列由此可确定正确 本题正确选项： 【点睛】本题考查抽样方法中的系统抽样，属于基础题.2．已知m 个数的平均数为a ，n 个数的平均数为b ，则这m n +个数的平均数为（ ） A ．2a b+ B ．a bm n++ C ．ma nba b++D ．ma nbm n++【答案】D【解析】根据平均数的定义求解. 【详解】两组数的总数为：ma nb + 则这m n +个数的平均数为：ma nbm n++故选：D 【点睛】本题主要考查了平均数的定义，还考查了运算求解能力，属于基础题. 3．在面积为S 的△ABC 的边AB 上任取一点P ,则△PBC 的面积大于4S的概率是( ) A ．14B ．12C ．34D ．23【解析】解：记事件A={△PBC 的面积大于 S 4 }， 基本事件空间是线段AB 的长度，（如图）因为 S △PBC ＞S /4 ，则有 1/ 2 BC•PE ＞1/ 4 ×1 /2 BC•AD ； 化简记得到：PE /AD ＞1/ 4 ，因为PE 平行AD 则由三角形的相似性 PE/ AD ＞1 /4 ； 所以，事件A 的几何度量为线段AP 的长度， 因为AP="3/" 4 AB ，所以△PBC 的面积大于 S/ 4 的概率="AP" /AB ="3" /4 ． 故选C4．经过(0,2)A ，(3,3)B -两点的直线方程为（ ） A ．35100x y +-= B ．3560x y ++= C ．5360x y +-=D ．5360x y ++=【答案】C【解析】根据题目条件，选择两点式来求直线方程. 【详解】由两点式直线方程可得：2(3)03y y x x ---=-- 化简得：5360x y +-= 故选：C 【点睛】本题主要考查了直线方程的求法，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 5．过点(3,2)且与直线450x y --=垂直的直线方程是（ ） A ．450x y +-= B ．450x y -+= C ．4100x y --=D ．4140x y +-=【答案】D【解析】由已知直线方程450x y --=求得直线的斜率，再根据两直线垂直，得到所求直线的斜率，最后用点斜式写出所求直线的方程.已知直线450x y --=的斜率为：14因为两直线垂直所以所求直线的斜率为4- 又所求直线过点(3,2)所以所求直线方程为：24(3)-=--y x 即：4140x y +-= 故选：D 【点睛】本题主要考查了直线与直线的位置关系及直线方程的求法，还考查了运算求解的能力，属于基础题.6．根据下面茎叶图提供了甲、乙两组数据，可以求出甲、乙的中位数分别为（ ）A ．24和29B ．26和29C ．26和32D ．31和29【答案】B【解析】根据茎叶图，将两组数据按大小顺序排列，因为是12个数，所以中位数即为中间两数的平均数. 【详解】从茎叶图知都有12个数，所以中位数为中间两个数的平均数 甲中间两个数为25，27，所以中位数是26 乙中间两个数为28，30，所以中位数是29 故选：B 【点睛】本题主要考查了茎叶图和中位数，平均数，还考查了数据处理的能力，属于基础题. 7．已知M 为z 轴上一点，且点M 到点(1,0,1)A -与点(1,3,2)B -的距离相等，则点M 的坐标为（ ）【解析】根据题意先设(0,0,)M z ，再根据空间两点间的距离公式，得到==MA MB M 到点(1,0,1)A -与点(1,3,2)B -的距离相等建立方程求解.【详解】 设(0,0,)M z根据空间两点间的距离公式得==MA MB 因为点M 到点(1,0,1)A -与点(1,3,2)B -的距离相等= 解得6z = 所以(0,0,6)M 故选：C 【点睛】本题主要考查了空间两点间的距离公式，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 8．已知直线3y kx =+与圆22(1)(2)4x y -++=交于M ，N 两点，若||MN =则k 的值为（ ） A ．512-B ．125C ．125-D ．125±【答案】C【解析】先求得圆心到直线的距离，再根据圆的弦长公式求解. 【详解】圆心到直线的距离为：d ==由圆的弦长公式：MN =得MN ==12【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 9．袋中共有6个除了颜色外完全相同的球，其中有1个红球，2个白球和3个黑球，从袋中任取两球，两球颜色为一白一黑的概率等于（ ） A ．15B ．25C ．35D ．45【答案】B【解析】【详解】试题分析：由题意11232625C C P C ==． 故选B ．10．直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆()2222x y -+=上，则ABP △面积的取值范围是 A ．[]26， B ．[]48，C．D．⎡⎣【答案】A【解析】分析：先求出A ，B 两点坐标得到AB ，再计算圆心到直线距离，得到点P 到直线距离范围，由面积公式计算即可详解： 直线x y 20++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点()()A 2,0,B 0,2∴--,则AB =点P 在圆22x 22y -+=（）上 ∴圆心为（2，0），则圆心到直线距离1d ==故点P 到直线x y 20++=的距离2d的范围为则[]2212,62ABPSAB d ==∈ 故答案选A.点睛：本题主要考查直线与圆，考查了点到直线的距离公式，三角形的面积公式，属于中档题．11．某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200,400,300,100件，为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取________ 件. 【答案】18【解析】应从丙种型号的产品中抽取30060181000⨯=件，故答案为18． 点睛:在分层抽样的过程中，为了保证每个个体被抽到的可能性是相同的，这就要求各层所抽取的个体数与该层所包含的个体数之比等于样本容量与总体的个体数之比，即n i ∶N i ＝n ∶N ．12．某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，若生产中出现乙级品的概率为0.04，出现丙级品的概率为0.01，则对成品抽查一件抽得正品的概率为________. 【答案】0.95【解析】根据抽查一件产品是甲级品、乙级品、丙级品是互为互斥事件，且三个事件对立，再根据抽得正品即为抽得甲级品的概率求解. 【详解】记事件A ={甲级品}，B ={乙级品}， C ={丙级品} 因为事件A ，B ，C 互为互斥事件，且三个事件对立， 所以抽得正品即为抽得甲级品的概率为()1()()0.95P A P B P C =--=故答案为：0.95 【点睛】本题主要考查了互斥事件和对立事件概率的求法，还考查了运算求解的能力，属于基础题.13．已知直线134x y+=分别与x 轴、y 轴交于A ，B 两点，则||AB 等于________. 【答案】5【解析】分别求得A ，B 的坐标，再用两点间的距离公式求解. 【详解】 根据题意令0x =得4y =所以(0,4)B 令0y =得3x =所以(3,0)A故答案为：5 【点睛】本题主要考查点坐标的求法和两点间的距离公式，还考查了运算求解的能力，属于基础题.14．圆x2＋y2－4＝0与圆x2＋y2－4x ＋4y －12＝0的公共弦的长为___．【答案】【解析】两圆方程相减求出公共弦所在直线的解析式，求出第一个圆心到直线的距离，再由第一个圆的半径，利用勾股定理及垂径定理即可求出公共弦长． 【详解】圆2240x y +-=与圆2244120x y x y +-+-=的方程相减得：20x y -+=， 由圆2240x y +-=的圆心()0,0，半径r 为2，且圆心()0,0到直线20x y -+=的距离d ==则公共弦长为==．故答案为 【点睛】此题考查了直线与圆相交的性质，求出公共弦所在的直线方程是解本题的关键．15．已知三点A (1,0)，B (0，C (2)，则△ABC 外接圆的圆心到原点的距离为________．【答案】3【解析】求出,BC AB 的垂直平分线方程，两垂直平分线交点为外接圆圆心．再由两点间距离公式计算． 【详解】由点B (0，C (2)，得线段BC 的垂直平分线方程为x ＝1，①由点A (1,0)，B (0)，得线段AB 的垂直平分线方程为1)2y x -=- ②其到原点的距离为2223211()33+= .故答案为：213【点睛】本题考查三角形外接圆圆心坐标，外心是三角形三条边的中垂线的交点，到三顶点距离相等．三、解答题16．某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[20，30），[30，40），┄，[80，90]，并整理得到如下频率分布直方图：（Ⅰ）从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率；（Ⅱ）已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间[40，50）内的人数；【答案】（Ⅰ）0.4；（Ⅱ）20.【解析】（1）首先可以根据频率分布直方图得出样本中分数不小于70的频率，然后算出样本中分数小于70的频率，最后计算出分数小于70的概率；（2）首先计算出样本中分数不小于50的频率，然后计算出分数在区间[)4050，内的人数，最后计算出总体中分数在区间[)4050，内的人数。
2022-2023学年天津市部分区高一(下)期末数学试卷【答案版】
2022-2023学年天津市部分区高一（下）期末数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．某校举行演讲比赛，9位评委分别给出一名选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉一个最低分和一个最高分，得到7个有效评分，则这7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是（ ） A ．平均数B ．众数C ．中位数D ．方差2．用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，下列结论正确的是（ ） A ．正方形的直观图是正方形 B ．矩形的直观图是矩形C ．菱形的直观图是菱形D ．平行四边形的直观图是平行四边形3．已知向量a →=(−1，1)，b →=(1，−2)，则a →⋅b →=（ ） A ．﹣3B ．﹣1C ．2D ．（﹣1，﹣2）4．若i 为虚数单位，则1−i 1+i=（ ）A ．iB ．﹣iC ．1D ．﹣15．抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A ＝“第一枚硬币正面朝上”，事件B ＝“第二枚硬币反面朝上”，则下列说法正确的是（ ） A ．A 与B 互为对立事件 B ．P （A ）＝P （B ）C ．A 与B 相等D ．A 与B 互斥6．将一个棱长为1cm 的正方体铁块磨成一个球体零件，则能制作的最大零件的体积为（ ） 注：球的体积V =43πR 3，其中R 为球的半径． A ．π6cm 3B ．√2π3cm 3 C ．√3π2cm 3 D ．π3cm 37．在△ABC 中，角A ，BC ，的对边分别为a ，b ，c ．若b ＝2，A ＝45°，C ＝75°，则a 的值为（ ） A ．2√2B ．23√6C ．√6D ．43√38．甲、乙两人参加“社会主义价值观”知识竞赛，甲、乙两人的能荣获一等奖的概率分别为23和34，甲、乙两人是否获得一等奖相互独立，则这两个人中恰有一人获得一等奖的概率为（ ） A ．34B ．23C ．57D ．5129．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的为（ ） A ．若n ⊥α，n ⊥β，则α⊥βB ．若m ∥n ，m ∥β，则n ∥βC ．若m ∥α，m ∥β，则α∥βD ．若m ∥n ，n ⊥β，则m ⊥β10．在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝3，∠A ＝60°．若P ，Q 分别为边AB ，AC 上的点，且满足AP →=λAB →，AQ →=(1−λ5)AC →，则BQ →⋅CP →的最大值为（ ） A ．−8615B ．−295C ．−234D ．﹣6二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.11．若事件A 与B 互斥，且P （A ）＝0.5，P （B ）＝0.3，则P （A ∪B ）＝ ．12．已知向量a →=(4，2)，b →=(m ，3)，若存在实数λ，满足a →=λb →，则实数m 的值为 ． 13．某工厂对一批产品的长度（单位：mm ）进行检验，将抽查的产品所得数据分为五组，整理后得到的频率分布直方图如图所示，若长度在20mm 以下的产品有30个，则长度在区间[20，30）内的产品个数为 ．14．在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，若AB =AD =12AA 1，E 是棱DD 1的中点，则直线A 1C 1与AE 所成的角的大小为 ．15．在△ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝3，AC =√3．若CM →=2MB →，AN →=λAC →+AB →(λ∈R)，且AN →⋅AM →=8，则λ的值为 ．三、解答题：本大题共5小题，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（12分）已知i 是虚数单位，复数z ＝（m 2﹣3m ）+（m 2﹣5m +6）i ，m ∈R ． （1）当m ＝1时，求|z |； （2）若z 是纯虚数，求m 的值；（3）若z 在复平面内对应的点位于第二象限，求m 的取值范围．17．（12分）甲、乙两位射击运动员在一次射击测试中各射靶10次，每次命中的成绩（环数）如下： 甲 7 8 7 9 5 4 9 10 7 4 乙 9 5 7 8 7 6 8 6 7 7（1）求甲运动员的样本数据的众数和第85百分位数； （2）分别计算这两位运动员射击成绩的方差；（3）如果选一位成绩稳定的运动员参加比赛，选谁较好？说明理由．注：一组数据x1，x2，…，x n的平均数为x，它的方差为s2=1n[(x1−x)2+(x2−x)2+⋯+(x n−x)2] 18．（12分）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2asinB=√3b．（1）求A；（2）若a=√7，c＝2，求△ABC的面积．19．（12分）一个袋子中装有标号分别为1，2的2个黑球和标号分别为3，4，5的3个白球，这5个球除标号和颜色外，没有其他差异．（1）若有放回的从中随机摸两次，每次摸出一个球，求第一次摸出黑球且第二次摸出白球的概率；（2）若不放回的从中随机摸出两个球，已知黑球的标号用x表示，白球的标号用y表示．求满足条件y﹣x＞2的概率．20．（12分）如图，在多面体ABCDEF中，平面ADEF⊥平面ABCD，四边形ADEF为正方形，四边形ABCD为梯形，且AD∥BC，∠BAD＝90°，AB=AD=12 BC．（1）求证：AD∥平面BCEF；（2）求证：平面DCE⊥平面ABCD；（3）求直线BE与平面DCE所成的角的正切值．2022-2023学年天津市部分区高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．某校举行演讲比赛，9位评委分别给出一名选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉一个最低分和一个最高分，得到7个有效评分，则这7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是（ ） A ．平均数B ．众数C ．中位数D ．方差解：根据题意，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分， 7个有效评分与9个原始评分相比，最中间的一个数不变，即中位数不变， 故选：C ．2．用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，下列结论正确的是（ ） A ．正方形的直观图是正方形 B ．矩形的直观图是矩形C ．菱形的直观图是菱形D ．平行四边形的直观图是平行四边形解：根据题意，依次分析选项：对于A ，正方形的直观图可以是平行四边形，A 错误； 对于B ，矩形的直观图可以是平行四边形，B 错误；对于C ，正方形是特殊的菱形，其直观图不是菱形，C 错误； 对于D ，平行四边形的直观图是平行四边形，D 正确． 故选：D ．3．已知向量a →=(−1，1)，b →=(1，−2)，则a →⋅b →=（ ） A ．﹣3B ．﹣1C ．2D ．（﹣1，﹣2）解：由a →=(−1，1)，b →=(1，−2)，可得：a →⋅b →=−1×1+1×（﹣2）＝﹣3． 故选：A ．4．若i 为虚数单位，则1−i 1+i=（ ）A ．iB ．﹣iC ．1D ．﹣1解：1−i 1+i=(1−i)2(1+i)(1−i)=−2i 2=−i ．故选：B ．5．抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A ＝“第一枚硬币正面朝上”，事件B ＝“第二枚硬币反面朝上”，则下列说法正确的是（ ） A ．A 与B 互为对立事件 B ．P （A ）＝P （B ）C ．A 与B 相等D ．A 与B 互斥解：抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A ＝“第一枚硬币正面朝上”，事件B ＝“第二枚硬币反面朝上”， 事件A 与B 能同时发生，不是互斥事件，不是对立事件，故AD 均错误； P （A ）＝P （B ）=12，故B 正确；事件A 与事件B 不是同一个事件，故C 错误． 故选：B ．6．将一个棱长为1cm 的正方体铁块磨成一个球体零件，则能制作的最大零件的体积为（ ） 注：球的体积V =43πR 3，其中R 为球的半径． A ．π6cm 3B ．√2π3cm 3C ．√3π2cm 3D ．π3cm 3解：正方体的棱长为1，要使制作成球体零件的体积最大，则球内切于正方体， 则球的直径为1cm ，半径为12cm ，∴可能制作的最大零件的体积为43π×(12)3=16πcm 3．故选：A ．7．在△ABC 中，角A ，BC ，的对边分别为a ，b ，c ．若b ＝2，A ＝45°，C ＝75°，则a 的值为（ ） A ．2√2B ．23√6C ．√6D ．43√3解：因为b ＝2，A ＝45°，C ＝75°， 所以B ＝180°﹣A ﹣C ＝60°，由正弦定理a sinA =bsinB，可得a =b⋅sinA sinB =2×√22√32=2√63．故选：B ．8．甲、乙两人参加“社会主义价值观”知识竞赛，甲、乙两人的能荣获一等奖的概率分别为23和34，甲、乙两人是否获得一等奖相互独立，则这两个人中恰有一人获得一等奖的概率为（ ） A ．34B ．23C ．57D ．512解：根据题意，恰有一人获得一等奖就是甲获得乙没有获得或甲没有获得乙获得， 则所求概率是23（1−34）+34（1−23）=512，故选：D ．9．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的为（ ） A ．若n ⊥α，n ⊥β，则α⊥β B ．若m ∥n ，m ∥β，则n ∥β C ．若m ∥α，m ∥β，则α∥βD ．若m ∥n ，n ⊥β，则m ⊥β解：对于A ，若n ⊥α，n ⊥β，则α∥β，故A 错误． 对于B ，若m ∥n ，m ∥β，则n ∥β或n ⊂β，故B 错误； 对于C ，若m ∥α，m ∥β，则α∥β或α与β相交，故C 错误；对于D ，若m ∥n ，n ⊥β，由直线与平面垂直的性质可得m ⊥β，故D 正确． 故选：D ．10．在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝3，∠A ＝60°．若P ，Q 分别为边AB ，AC 上的点，且满足AP →=λAB →，AQ →=(1−λ5)AC →，则BQ →⋅CP →的最大值为（ ） A ．−8615B ．−295C ．−234D ．﹣6解：∵BQ →=BA →+AQ →=(1−λ5)AC →−AB →，CP →=AP →−AC →=λAB →−AC →，AB →⋅AC →=|AB →||AC →|cosA =2×3×12=3，∴BQ →⋅CP →=[(1−λ5)AC →−AB →]⋅(λAB →−AC →)=λ(1−λ5)AC →⋅AB →−(1−λ5)AC →2−λAB →2+AB →⋅AC → =3λ(1−λ5)−9(1−λ5)−4λ+3 =−35λ2+45λ−6 =−35(λ−23)2−8615，∵P ，Q 分别为边AB ，AC 上的点，且满足AP →=λAB →，AQ →=(1−λ5)AC →， ∴{0≤λ≤10≤1−λ5≤1，∴0≤λ≤1，∴当λ=23时，BQ →⋅CP →有最大值为−8615．故选：A ．二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.11．若事件A 与B 互斥，且P （A ）＝0.5，P （B ）＝0.3，则P （A ∪B ）＝ 0.8 ．解：∵事件A 与B 互斥，∴P （A ∪B ）＝P （A ）+P （B ）＝0.5+0.3＝0.8． 故答案为：0.8．12．已知向量a →=(4，2)，b →=(m ，3)，若存在实数λ，满足a →=λb →，则实数m 的值为 6 ． 解：∵a →=λb →，∴（4，2）＝（m λ，3λ），∴{mλ=43λ=2，解得{m =6λ=23． 故答案为：6．13．某工厂对一批产品的长度（单位：mm ）进行检验，将抽查的产品所得数据分为五组，整理后得到的频率分布直方图如图所示，若长度在20mm 以下的产品有30个，则长度在区间[20，30）内的产品个数为 55 ．解：长度在20mm 以下的频率为5×（0.02+0.04）＝0.3， 所以抽查的产品总数为300.3=100，所以长度在区间[20，30）内的产品个数为5×（0.08+0.03）×100＝55． 故答案为：55．14．在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，若AB =AD =12AA 1，E 是棱DD 1的中点，则直线A 1C 1与AE 所成的角的大小为π3．解：连接AC ，则A 1C 1∥AC ，连接AE 、EC ，则异面直线A 1C 1与AE 所成的角的平面角为∠EAC ， 设AB ＝t ，又AB =AD =12AA 1，E 是棱DD 1的中点， 则AE ＝AC ＝EC =√2t ， 则△AEC 为等边三角形， 即∠EAC =π3，即直线A 1C 1与AE 所成的角的大小为π3．故答案为：π3．15．在△ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝3，AC =√3．若CM →=2MB →，AN →=λAC →+AB →(λ∈R)，且AN →⋅AM →=8，则λ的值为 2 ．解：根据题设，建立如图所示坐标系， 则A （0，0），B （0，3），C （√3，0）， 由CM →=2MB →，可得M （√33，2）， ∴AN →=λAC →+AB →=（√3λ，3）， 又AN →⋅AM →=8， 则（√3λ，3）•（√33，2）＝λ+6＝8， 解得λ＝2． 故答案为：2．三、解答题：本大题共5小题，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（12分）已知i 是虚数单位，复数z ＝（m 2﹣3m ）+（m 2﹣5m +6）i ，m ∈R ． （1）当m ＝1时，求|z |；（2）若z 是纯虚数，求m 的值；（3）若z 在复平面内对应的点位于第二象限，求m 的取值范围． 解：（1）当m ＝1时，z ＝﹣2+2i ， 所以|z|=√(−2)2+22=2√2；（2）若复数是纯虚数，则{m 2−3m =0m 2−5m +6≠0，解得{m =0或m =3m ≠2且m ≠3，所以m ＝0；（3）复数z 在复平面内对应的点位于第二象限 则{m 2−3m ＜0m 2−5m +6＞0；即{0＜m ＜3m ＜2或m ＞3，所以实数m 的取值范围是（0，2）．17．（12分）甲、乙两位射击运动员在一次射击测试中各射靶10次，每次命中的成绩（环数）如下： 甲 7 8 7 9 5 4 9 10 7 4 乙 9 5 7 8 7 6 8 6 7 7（1）求甲运动员的样本数据的众数和第85百分位数； （2）分别计算这两位运动员射击成绩的方差；（3）如果选一位成绩稳定的运动员参加比赛，选谁较好？说明理由．注：一组数据x 1，x 2，…，x n 的平均数为x ，它的方差为s 2=1n[(x 1−x)2+(x 2−x)2+⋯+(x n −x)2] 解：（1）根据题意，把甲的数据按从小到大排列如下：4 4 5 7 7 7 8 9 9 10， 则甲的数据里的众数是7，因为85%×10＝8.5，所以第9个数据是第85百分位数，即第85百分位数为9； （2）x 甲=110(7+8+7+9+5+4+9+10+7+4)=7， 则S 2甲=110[（7﹣7）2+…+（4﹣7）2]＝4；x 乙=110(5+6+6+7+7+7+7+8+8+9)=7， 则S 2乙=110[（9﹣7）2+…+（7﹣7）2]＝1.2； （3）由（2）结论：x 甲=x 乙＝7，但有S 2甲＞S 2乙，即甲的成绩离散程度大，乙的成绩离散程度小故乙的成绩较稳定，所以选乙参加比赛．18．（12分）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2asinB=√3b．（1）求A；（2）若a=√7，c＝2，求△ABC的面积．解：（1）因为2a sin B=√3b，由正弦定理可得2sin A sin B=√3sin B，因为sin B≠0，所以sin A=√32，因为△ABC是锐角三角形，所以A=π3；（2）因为a=√7，c＝2，由余弦定理a2＝b2+c2﹣2ac cos A，整理可得：b2﹣2b﹣3＝0，解得b＝3，所以S△ABC=12bc sin A=12×3×2×√32=3√32．19．（12分）一个袋子中装有标号分别为1，2的2个黑球和标号分别为3，4，5的3个白球，这5个球除标号和颜色外，没有其他差异．（1）若有放回的从中随机摸两次，每次摸出一个球，求第一次摸出黑球且第二次摸出白球的概率；（2）若不放回的从中随机摸出两个球，已知黑球的标号用x表示，白球的标号用y表示．求满足条件y﹣x＞2的概率．解：（1）记摸一次得到黑球的事件为A，得到白球的事件为B，则P(A)=25，P(B)=35，又事件A与B相互独立，所以P（AB）＝P（A）P（B）=25×35=625；（2）从中摸两个球，所得样本空间为Ω＝{（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，3），（2，4），（2，5），（3，4），（3，5），（4，5）}，共包含10个样本点，满足条件y﹣x＞2的样本点有（1，4），（1，5），（2，5）共3个，满足条件y﹣x＞2的事件的概率为310．20．（12分）如图，在多面体ABCDEF中，平面ADEF⊥平面ABCD，四边形ADEF为正方形，四边形ABCD为梯形，且AD∥BC，∠BAD＝90°，AB=AD=12 BC．（1）求证：AD∥平面BCEF；（2）求证：平面DCE⊥平面ABCD；第11页（共11页） （3）求直线BE 与平面DCE 所成的角的正切值．（1）证明：因为AD ∥BC ，AD ⊄平面BCEF ，BC ⊂平面BCEF ，所以AD ∥平面BCEF ．（2）证明：因为四边形ADEF 为正方形，所以ED ⊥AD ，又平面ADEF ⊥平面ABCD ，ED ⊂平面ADEF ，平面ADEF ∩平面ABCD ＝AD ， 所以ED ⊥平面ABCD ，因为ED ⊂平面DEC ，所以平面DCE ⊥平面ABCD ．（3）解：连接BD ，设AB ＝1，因为∠BAD =90°，AB =AD =12BC ，所以BD =√2，∠ADB ＝45°，BC ＝2， 因为AD ∥BC ，所以∠DBC ＝45°，在△BCD 中，由余弦定理得，DC 2＝BD 2+BC 2﹣2BD ×BC ×cos45°＝2+4﹣2×√2×2×√22=2， 所以DC =√2，所以DC 2+BD 2＝BC 2，即BD ⊥DC ，由（2）知ED ⊥平面ABCD ，则BD ⊥ED ，而DE ∩DC ＝D ，所以BD ⊥平面DCE ，所以∠BED 就是直线BE 与平面DCE 所成的角，在Rt △BDE 中，tan ∠BED =BD DE =√2，所以直线BE 与平面DCE 所成的角的正切值为√2．。
2022-2023学年天津市高一(下)期末数学试卷【答案版】
2022-2023学年天津市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.本大题共8小题，每小题4分，共32分.1．为帮助乡村学校的学生增加阅读、开阔视野、营造更浓厚的校园读书氛围，南开中学发起了“把书种下，让梦发芽”主题捐书活动，现拟采用按年级比例分层抽样的方式随机招募12名志愿者，已知我校高中部共2040名学生，其中高一年级680名，高二年级850名，高三年级510名，那么应在高三年级招募的志愿者数目为（）A．3B．4C．5D．6解：该校高中部共2040名学生，其中高一年级680名，高二年级850名，高三年级510名，采用按年级比例分层抽样的方式随机招募12名志愿者，则应在高三年级招募的志愿者数目为12×5102040=3．故选：A．2．一组数据：16，21，23，26，33，33，37，37的第85百分位数为（）A．34B．35C．36D．37解：0.85×8＝6.8，则一组数据：16，21，23，26，33，33，37，37的第85百分位数为：37．故选：D．3．已知三个不同的平面α，β，γ和两条不重合的直线m，n，则下列四个命题中正确的是（）A．若m∥α，α∩β＝n，则m∥nB．若α∩β＝n，m⊂α，m⊥n，则α⊥βC．若α⊥β，γ⊥β，则α∥γD．若α∩β＝m，m⊥γ，则α⊥γ解：对于A，m∥α，α∩β＝n，则m∥n，错误，原因是β不一定是经过直线m的平面；故A错误；对于B，若α∩β＝n，m⊂α，m⊥n，则α⊥β错误，如下图所示，原因是由题设条件无法推出一个平面经过另一个平面的垂线，故无法判定是否α与β一定垂直，故B错误；对于C ，若α⊥β，γ⊥β，则α∥γ，错误，例如教室的墙角，不妨设α为东墙面，γ为北墙面，β 为地面，满足α⊥β，γ⊥β，但α与γ相交，故C 错误；对于D ，因为α∩β＝m ，m ⊥γ，由面面垂直的判定定理得：α⊥γ，故D 正确． 故选：D ．4．从装有4个白球和3个红球的盒子里摸出3个球，则以下哪个选项中的事件A 与事件B 互斥却不互为对立（ ）A ．事件A ：3个球中至少有1个红球；事件B ：3个球中至少有1个白球 B ．事件A ：3个球中恰有1个红球；事件B ：3个球中恰有1个白球C ．事件A ：3个球中至多有2个红球；事件B ：3个球中至少有2个白球D ．事件A ：3个球中至多有1个红球；事件B ：3个球中至多有1个白球解：对于A ，事件A 与事件B 可能同时发生，例如摸出2个白球和1个红球，所以事件A 与事件B 不是互斥事件，故A 错误；对于B ，事件A 与事件B 不可能同时发生，但不是一定有一个发生，还有可能是3个白球或3个红球，所以事件A 与事件B 互斥却不互为对立，故B 正确；对于C ，事件A 与事件B 可能同时发生，例如摸出2个白球和1个红球，所以事件A 与事件B 不是互斥事件，故C 错误；对于D ，事件A 与事件B 不可能同时发生，但必有一个发生，所以事件A 与事件B 是互斥事件也是对立事件，故D 错误． 故选：B ．5．为弘扬民族精神、继承传统文化，某校高二年级举办了以“浓情端午，粽叶飘香”为主题的粽子包制大赛．已知甲、乙、丙三位同学在比赛中成功包制一个粽子的概率分别为12，34，25，且三人成功与否互不影响，那么在比赛中至少一人成功的概率为（ ） A ．1720B ．3140C ．3740D ．1920解：由题意，甲、乙、丙三位同学在比赛中成功包制一个粽子的概率分别为12，34，25， 则甲、乙、丙三位同学在比赛中不能成功包制一个粽子的概率分别为12，14，35．则没有一人成功的概率为12×14×35=340，∴至少一人成功的概率为1−340=3740． 故选：C ．6．如图，A ，B 是以CD 为直径的半圆圆周上的两个三等分点，AN →=23AB →，点M 为线段AC 中点，则DM →=（ ）A ．13DC →+12DN →B ．12DC →+23DN →C ．12DC →+13DN →D ．23DC →+12DN →解：由圆的几何性质知，2AB ＝CD 且AB ∥CD ，因为AN →=23AB →，点M 为线段AC 中点，所以DM →=12(DC →+DA →)=12DC →+12(DN →+NA →)=12DC →+12DN →+12×23BA →=12DC →+12DN →+13BA →=12DC →+12DN →+13×12DC →=23DC →+12DN →． 故选：D ．7．如图，已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为1，点E 在棱A 1B 1（不含端点）上运动，现有如下命题： ①平面AA 1D 1D 内不存在直线与DE 垂直； ②平面A 1DE 与平面ABCD 所成的锐二面角为π4；③当点E 运动到棱A 1B 1的中点时，线段A 1C 上存在点P ，使得BC ∥平面AEP ； ④设点P 为线段A 1C 的中点，则三棱锥E ﹣PBC 1的体积为定值． 其中真命题的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4解：对①，如图，易知DE 在平面AA 1D 1D 内的射影为A 1D ，而AD1⊥A1D，∴根据三垂线定理可知AD1⊥DE，∴①错误；对②，如图，由正方体的性质易知：平面A1DE即为对角面A1DCB1，又易知DC⊥平面B1CB，∴平面A1DE与平面ABCD所成的锐二面角即为∠B1CB=π4，∴②正确；对③，如图，当点E运动到棱A1B1的中点时，设AE∩A1B＝F，则易知F为线段A1B上靠近A1的三等分点，∴在A1C上取靠近A1的三等分点P，连接FP，则FP∥BC，连接PE，P A，又BC⊄平面AEP，FP⊂平面AEP，∴BC∥平面AEP，∴③正确；对④，如图，当点P为线段A1C的中点时，由正方体的性质易知：平面PBC 1即为对角面ABC 1D 1， 又易知A 1B 1∥对角面ABC 1D 1，∴E 到平面ABC 1D 1的距离为定值，又三角形PBC 1的面积也为定值， ∴三棱锥E ﹣PBC 1的体积为定值，∴④正确． 故②③④为真命题，共计3个． 故选：C ．8．月明天是我校一位登山爱好者，某天傍晚，她登上一座山尖（图中点A 处），刚好望到另一座远山，瞬间想起《送别》中“夕阳山外山”的歌词，在这诗意的时刻，她正眺望到远山上一座凉亭（位于点B 处），于是她想测算出凉亭到那座山顶（点C 处）的距离，她在点A 处利用测角仪器测得点B 的俯角为5°，点C 的仰角为40°，此后，她沿山坡下行100米至点D 处，测得点A ，B ，C 的仰角分别为80°，25°，55°，根据这些数据，明天同学计算得到了凉亭到山顶的距离BC ＝（ ）A ．50(√3+1)米B ．50(√3−1)米C ．50(√6+√2)米D ．50(√6−√2)米解：由题意知，AD ＝100，∠BAC ＝45°，∠BAD ＝75°，∠ADC ＝45°，∠BDC ＝30°， 在△ABD 中，∠ADB ＝∠ADC +∠BDC ＝75°，∠ABD ＝180°﹣（∠BAD +∠ADB ）＝30°， 由正弦定理知，AB sin∠ADB=AD sin∠ABD，所以AB =100⋅sin75°sin30°=100sin(45°+30°)sin30°=100⋅√22⋅(√32+12)12=50√2（√3+1），在△ACD 中，∠ACD ＝180°﹣（∠BAC +∠BAD +∠ADC ）＝15°， 由正弦定理知，AC sin∠ADC=AD sin∠ACD，所以AC =100sin45°sin15°=100sin45°sin(45°−30°)=100⋅√22√22(√32−12)=100（√3+1），在△ABC 中，由余弦定理知，BC 2＝AB 2+AC 2﹣2AB •AC cos ∠BAC ＝5000（√3+1）2， 所以BC ＝50√2（√3+1）＝50（√6+√2）米． 故选：C ．二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.试题中包含两个空的，答对1个的给2分，全部答对的给4分.9．i 为虚数单位，若复数z =2i+1i−2，则|z |＝ 1 ． 解：z =2i+1i−2， 则|z |=|1+2i −2+i |=|1+2i||−2+i|=√22√(−2)+1=1．故答案为：1．10．已知正四面体ABCD 的棱长为1，则直线AB 与平面BCD 所成角的余弦值为 √33．解：如图所示：在正四面体ABCD 中，点A 在等边△BCD 的投影为△BCD 的中心O ， 则AB 与平面BCD 所成角为∠ABO ， 因为正四面体ABCD 的棱长为1， 所以BE =√32，BO =23⋅BE =√33， 所以cos ∠ABO =BOAB =√33．故答案为：√33．11．已知向量a →=（4，3），向量a →在向量b →上的投影向量c →=（2，4），则|a →−b →|的最小值为 √5 ．解：向量a →在向量b →上的投影向量c →=（2，4）， 则b →∥c →，可设b →=λc →=（2λ，4λ），a →=（4，3），则a →−b →=(4−2λ，3−4λ)，故|a →−b →|2=（4﹣2λ）2+（3﹣4λ）2＝20（λ﹣1）2+5， 当λ＝1时，|a →−b →|的最小值为√5． 故答案为：√5．12．在5袋牛奶中，有2袋已经过了保质期，从中任取2袋，则取到的全是未过保质期的牛奶的概率为310．解：记2袋已经过了保质期的牛奶为A ，B ，3袋未过保质期的牛奶为a ，b ，c ，从5袋牛奶中任取2袋，所有情况为：AB ，Aa ，Ab ，Ac ，Ba ，Bb ，Bc ，ab ，ac ，bc ，共10种情况， 其中全是未过保质期的牛奶的情况为：ab ，ac ，bc ，共3种情况， 所以所求概率为310．故答案为：310．13．设三角形ABC 是等边三角形，它所在平面内一点M 满足AM →=13AB →+23AC →，则向量AM →与BC →夹角的余弦值为 √714．解：设△ABC 边长为1，AM →=13AB →+23AC →，则|AM →|2＝（13AB →+23AC →）2=19AB →2+49AB →⋅AC →+49AC →2=19+49×1×1×cos60°+49=79， 所以|AM →|=√73，因为AM →⋅BC →=(13AB →+23AC →)(AC →−AB →)=−13AB →2+23AC →2−13AB →⋅AC →=−13+23−13×1×1×cos60°=16，设向量AM →与BC →夹角为θ， 则cos θ=AM →⋅BC →|AM →||BC →|=16√73=√714．故答案为：√714． 14．为迎接我校建校120周年校庆，数学学科在八角形校徽中生发灵感，设计了一枚“立体八角形”水晶雕塑，寓意南开在新时代中国“保持真纯初心，骏骏汲汲前行”，以下为该雕塑的设计图及俯视图，它由两个中心重合的正四棱柱组合而成，其中一个正四棱柱可看作由另一个正四棱柱旋转45°而成，已知正四棱柱的底面边长为1，侧棱长为2，设该雕塑的表面积为S 1，该雕塑内可容纳最大球的表面积为S 2，该雕塑外接球表面积为S 3，则S 1＝1189，S 2：S 3＝ 1：6 ．解：由题意，该雕塑的表面积是16个矩形及两个正方形与8个等腰直角三角形的面积的和，所以S 1=13×2×16+2×1×1+8×12×13×13=1189； 该雕塑内可容纳最大球的半径为12，表面积为S 2=4π×(12)2=π，该雕塑外接球的半径为√12+(22)2=√62，表面积为S 3=4π×(√62)2=6π，所以S 2：S 3＝1：6． 故答案为：1189，1：6．三、解答题：本大题共3小题，共44分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．（14分）某校从高一年级学生中随机抽取40名，将他们的期中考试数学成绩（满分100分，所有成绩均为不低于40分的整数）分为6组：[40，50），[50，60），…，[90，100]，绘制出如图所示的频率分布直方图．（Ⅰ）求出图中实数a 的值；（Ⅱ）若该校高一年级共有学生640名，试估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于60分的人数； （Ⅲ）若从成绩来自[40，50）和[90，100]两组的学生中随机选取两名学生： （i ）写出该试验的样本空间：（ii ）求这两名学生数学成绩之差的绝对值不大于10的概率．解：（Ⅰ）因为图中所有小矩形的面积之和等于1， 所以10×（0.005+0.01+0.02+a +0.025+0.01）＝1， 解得a ＝0.03；（Ⅱ）根据频率分布直方图，成绩不低于60分的频率为1﹣10×（0.005+0.01）＝0.85， 由于该校高一年级共有学生640名，利用样本估计总体的思想，可估计该校高一年级期中考试数学成绩不低于60分的人数约为640×0.85＝544；（Ⅲ）成绩在[40，50）分数段内的人数为40×0.05＝2，成绩在[90，100]分数段内的人数为40×0.1＝4，则记在[40，50）分数段的两名同学为A 1，A 2，在[90，100]分数段内的同学为B 1，B 2，B 3，B 4， （i ）从这6名学生中随机抽取2人样本空间Ω＝{（A 1，A 2），（A 1，B 1），（A 1，B 2），（A 1，B 3），（A 1，B 4），（A 2，B 1），（A 2，B 2），（A 2，B 3），（A 2，B 4），（B 1，B 2），（B 1，B 3），（B 1，B 4），（B 2，B 3），（B 2，B 4），（B 3，B 4）}；（ii ）如果2名学生的数学成绩都在[40，50）分数段内或都在[90，100]分数段内，那么这2名学生的数学成绩之差的绝对值一定不大于10；如果一个成绩在[40，50）分数段内，另一个成绩在[90，100]分数段内，那么这2名学生的数学成绩之差的绝对值一定大于10，则所取2名学生的数学成绩之差的绝对值不大10的取法有（A 1，A 2），（B 1，B 2），（B 1，B 3），（B 1，B 4），（B 2，B 3），（B 2，B 4），（B 3，B 4），共7种取法， 所以所求概率为P =715． 16．（15分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a cosA=b+c cosB+cosc．（Ⅰ）求A ； （Ⅱ）已知a ＝3， （i ）若△ABC 的面积为√32，求△ABC 的周长： （ii ）求△ABC 周长的取值范围．解：（Ⅰ）由题意及正弦定理可得：sinAcosA =sinB+sinCcosB+cosC，整理可得：sin A cos B﹣cos A sin B＝sin C cos A﹣cos C sin A，即sin（A﹣B）＝sin（C﹣A），在三角形中，可得A﹣B＝C﹣A，即2A＝B+C＝π﹣A，解得A=π3；（Ⅱ）（i）因为S△ABC=12bc sin A=12bc•√32=√32，可得bc＝2，由余弦定理可得a2＝b2+c2﹣2bc cos A＝（b+c）2﹣3bc，而a＝3，即（b+c）2＝15，解得b+c=√15，所以三角形的周长为a+b+c＝3+√15；（ii）a2＝b2+c2﹣2bc cos A＝（b+c）2﹣3bc，而a＝3，所以（b+c）2＝a2+3bc≤9+3•（b+c2）2，当且仅当b＝c时取等号，解得b+c≤6，而b+c＞a＝3，所以b+c∈（3，6]．所以三角形的周长为a+b+c∈（6，9]．17．（15分）如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB＝60°，AB＝AD＝AA1，过A1作底面的垂线，垂足在线段AC上，点M，N分别为棱AB和C1D1的中点．（Ⅰ）证明D，M，B1，N四点共面，且AD1∥平面DMB1N；（Ⅱ）证明直线A1C与平面DMB1N不垂直；（Ⅲ）若AC1⊥平面A1BD，求∠BAA1的大小．（Ⅰ）证明：取A1B1的中点E，连接EM，ED1，因为点M，N分别为棱AB和C1D1的中点，所以D1N∥B1E，D1N＝B1E，DD1∥EM，DD1＝EM，所以四边形B1ED1N和四边形DD1EM是平行四边形，第11页（共11页） 所以B 1N ∥D 1E ∥DM ，所以D ，M ，B 1，N 四点共面，因为D 1N ∥AM ，D 1N ＝AM ，所以四边形D 1AMN 是平行四边形，所以AD 1∥MN ，又AD 1⊄平面DMB 1N ，MN ⊂平面DMB 1N ，所以AD 1∥平面DMB 1N ．（Ⅱ）证明：因为过A 1作底面的垂线，垂足在线段AC 上，且垂线在平面ACC 1A 1上， 所以平面ACC 1A 1⊥平面ABCD ，所以A 1C 在底面ABCD 上的投影为AC ，假设直线A 1C 与平面DMB 1N 垂直，因为DM ⊂平面DMB 1N ，所以A 1C ⊥DM ，所以AC ⊥DM ，因为底面ABCD 为平行四边形，∠DAB ＝60°，AB ＝AD ，所以四边形ABCD 是菱形，所以AC ⊥BD ，所以点M 与点B 重合，这与题意相矛盾，故假设不成立，即直线A 1C 与平面DMB 1N 不垂直．（Ⅲ）解：若AC 1⊥平面A 1BD ，因为A 1D ⊂平面A 1BD ，所以AC 1⊥A 1D ，因为AC 1→=AB →+AD →+AA 1→，A 1D →=AD →−AA 1→，所以AC 1→•A 1D →=（AB →+AD →+AA 1→）•（AD →−AA 1→）=AB →⋅AD →−AB →⋅AA 1→+AD →2−AD →⋅AA 1→+AD →⋅AA 1→−AA 1→2=AB →⋅AD →−AB →⋅AA 1→=|AB →|2cos60°−|AB →|2cos ∠BAA 1＝0，所以cos ∠BAA 1=12，又∠BAA 1∈（0°，90°），所以∠BAA 1＝60°．。
天津市和平区第一中学2021-2022高一数学下学期期末考试试题(含解析).doc
天津市和平区第一中学2021-2022高一数学下学期期末考试试题（含解析）一、选择题：1.已知l ，m 表示两条不同的直线，α表示平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若l α⊥，m α⊂，则l m ⊥ B. 若l m ⊥，m α⊂，则l α⊥ C. 若//l m ，m α⊂，则//l α D. 若//l α，m α⊂，则//l m【答案】A 【解析】 【分析】根据线面垂直的判定与性质、线面平行的判定与性质依次判断各个选项可得结果. 【详解】A 选项：由线面垂直的性质定理可知A 正确；B 选项：由线面垂直判定定理知，l 需垂直于α内两条相交直线才能说明l α⊥，B 错误；C 选项：若l α⊂，则平行关系不成立，C 错误；D 选项：,l m 的位置关系可能是平行或异面，D 错误.故选：A【点睛】本题考查空间中线面平行与垂直相关命题的辨析，关键是能够熟练掌握空间中直线与平面位置关系的判定与性质定理.2.圆22240x y x y +-+=与直线()2220tx y t t R ---=∈的位置关系为( )A. 相离B. 相切C. 相交D. 以上都有可能【答案】C 【解析】 【分析】由直线方程可确定其恒过定点，由点与圆的位置关系的判定方法知该定点在圆内，则可知直线与圆相交.【详解】由()2220tx y t t R ---=∈得：()()2220x t y --+=∴直线()2220tx y t t R ---=∈恒过点()1,2-142850+--=-< ()1,2∴-在圆22240x y x y +-+=内部∴直线()2220tx y t t R ---=∈与圆22240x y x y +-+=相交故选：C【点睛】本题考查直线与圆位置关系的判定，涉及到直线恒过定点的求解、点与圆的位置关系的判定，属于常考题型.3.若3,2θππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，直线:tan 1l y x θ=⋅+的倾斜角等于（ ） A. θπ- B. θC. 2πθ-D. πθ+【答案】A 【解析】 【分析】 根据0,2πθπ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭以及()tan tan θθπ=-可求出直线l 的倾斜角. 【详解】3,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，0,2πθπ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，且直线l 的斜率为()tan tan θθπ=-， 因此，直线l 的倾斜角为θπ-. 故选：A.【点睛】本题考查直线倾斜角的计算，要熟悉斜率与倾斜角之间的关系，还要根据倾斜角的取值范围来求解，考查计算能力，属于基础题.4.已知点A (－1,1)和圆C ：（x ﹣5）2+（y ﹣7）2=4,一束光线从A 经x 轴反射到圆C 上的最短路程是－2 B. 8D. 10【答案】B 【解析】 【分析】点A （﹣1，1）关于x 轴的对称点B （﹣1，﹣1）在反射光线上，当反射光线过圆心时，光线从点A 经x 轴反射到圆周C 的路程最短，最短为|BC|﹣R ．【详解】由反射定律得 点A （﹣1，1）关于x 轴的对称点B （﹣1，﹣1）在反射光线上，当反射光线过圆心时，最短距离为|BC|﹣R=()()225171+++﹣2=10﹣2=8，故光线从点A 经x 轴反射到圆周C 的最短路程为 8． 故选B ．【点睛】本题考查光线的反射定律的应用，以及两点间的距离公式的应用．5.过点P (－2,4)作圆O ：(x －2)2＋(y －1)2＝25的切线l ，直线m ：ax －3y ＝0与直线l 平行，则直线l 与m 间的距离为( ) A. 4 B. 2C.85D.125【答案】A 【解析】设:30212032120l ax y m a m ax y a -+=∴--+=∴-++=因此22543a a =∴=+，因此直线l 与m 间的距离为22443=+，选A.6.(202X 新课标全国I 理科)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有A. 14斛B. 22斛C. 36斛D. 66斛【答案】B 【解析】试题分析：设圆锥底面半径为r ，则12384r ⨯⨯=，所以163r =，所以米堆的体积为211163()5433⨯⨯⨯⨯=3209，故堆放的米约为3209÷1.62≈22，故选B. 考点：圆锥的性质与圆锥的体积公式7.已知三棱柱1116.34ABC A B C O AB AC -==的个顶点都在球的球面上若，，,AB AC ⊥112AA O =，则球的半径为( )B. C.132D. 【答案】C 【解析】因为直三棱柱中，AB ＝3，AC ＝4，AA 1＝12，AB ⊥AC ，所以BC ＝5，且BC 为过底面ABC 的截面圆的直径．取BC 中点D ，则OD ⊥底面ABC ，则O 在侧面BCC 1B 1内，矩形BCC 1B 1的对角线长即为球直径，所以2R ＝13，即R ＝1328.已知点(),P x y 是直线()400kx y k ++=>上一动点PA 、PB 是圆22:20C x y y +-=的两条切线，A 、B 是切点，若四边形PACB 的最小面积是2，则k 的值为（ ）A. 3B.2C. D. 2【答案】D 【解析】 【分析】作出图形，可知Rt PAC Rt PBC ∆≅∆，由四边形PACB 的最小面积是2，可知此时PA PB=取最小值2，由勾股定理可知PC的最小值为5，即圆心C 到直线()400kx y k ++=>的距离为5，结合点到直线的距离公式可求出k 的值.【详解】如下图所示，由切线长定理可得PA PB =，又AC BC =，PC PC =，且90PAC PBC ∠=∠=，Rt PAC Rt PBC ∴∆≅∆，所以，四边形PACB 的面积为PAC ∆面积的两倍，圆C 的标准方程为()2211x y +-=，圆心为()0,1C ，半径为1r =，四边形PACB 的最小面积是2，所以，PAC ∆面积的最小值为1， 又11122PAC S PA AC PA ∆=⋅=≥，min 2PA ∴=， 由勾股定理22215PC PA r PA =+=+≥当直线PC 与直线()400kx y k ++=>垂直时，PC 5 即min 21451PC k +==+，整理得24k =，0k >，解得2k =.故选：D.【点睛】本题考查由四边形面积的最值求参数的值，涉及直线与圆的位置关系的应用，解题的关键就是确定动点P 的位置，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 9.若直线:10l ax by ++=始终平分圆22:4210M x y x y ++++=周长，则()()2222a b -+-的最小值为（ ） 5 B. 55 D. 10【答案】B 【解析】试题分析：把圆的方程化为标准方程得()()22214x y +++=，所以圆心M 坐标为()2,1--半径2r，因为直线l 始终平分圆M 的周长，所以直线l 过圆M 的圆心M ，把()2,1M --代入直线:10l ax by ++=得；210,a b --+=即210a b +-=，(),a b 在直线210x y +-=上，()()2222a b -+-是点()2,2与点(),a b 的距离的平方，因为()2,2到直线210a b +-=的距离d ==()()2222a b -+-的最小值为5，故选B.考点：1、圆的方程及几何性质；2、点到直线的距离公式及最值问题的应用.【方法点晴】本题主要考查圆方程及几何性质、点到直线的距离公式及最值问题的应用，属于难题.解决解析几何的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将解析几何中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法，本题就是利用几何意义，将()()2222a b -+-的最小值转化为点到直线的距离解答的.10.若圆()2229x y -+=上至少有三个不同的点到直线:0l ax by +=的距离为2，则直线l 的斜率的取值范围是（ ）A. ,⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎦⎣⎭B. (),-∞⋃+∞ C. ⎡⎢⎣⎦D. ⎢⎣【答案】C 【解析】 【分析】作出图形，设圆心到直线l 的距离为d ，利用数形结合思想可知1d ≤，并设直线l 的方程为0kx y ，利用点到直线的距离公式可得出关于k 的不等式，解出即可.【详解】如下图所示：设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程可表示为y kx =，即0kx y ，圆心为()2,0C ，半径为3r =，由于圆C 上至少有三个不同的点到直线l 的距离为2， 所以32d -≥，即1d ≤，即()22211k d k =≤+-，整理得231k ≤，解得3333k -≤≤，因此，直线l 的斜率的取值范围是33⎡⎢⎣⎦. 故选：C.【点睛】本题考查直线与圆的综合问题，解题的关键就是确定圆心到直线距离所满足的不等式，并结合点到直线的距离公式来求解，考查数形结合思想的应用，属于中等题. 二、填空题：11.在直三棱柱111ABC A B C -中，90ACB ∠=，12AA =，1AC BC ==，则异面直线1A B 与1AC 所成角的余弦值是_____________．30【解析】 【分析】先找出线面角，运用余弦定理进行求解【详解】连接1AB 交1A B 于点D ，取11B C 中点E ，连接DE ，则1DE AC ，连接1A E1A DE ∴∠为异面直线1A B 与1AC 所成角在111RtAC B 中，111AC =，1111122C E C B == 15A E ∴=同理可得16A D =5DE = 222165530cos 10652A DE +-⎝⎭⎝⎭⎝⎭∠==⨯⨯,∴异面直线1A B 与1AC 30故答案为3010【点睛】本题主要考查了异面直线所成的角，考查了空间想象能力，运算能力和推理论证能力，属于基础题．12.已知直线1:420l mx y +-=与2:250l x y n -+=相互垂直，且垂足为()1,p ，则m n p -+的值为______.【答案】20 【解析】 【分析】先由两直线垂直，可求出m值，将垂足点代入直线1l 的方程可求出p 的点，再将垂足点代入直线2l 的方程可求出n 的值，由此可计算出m n p -+的值. 【详解】12l l ⊥，()2450m ∴+⨯-=，解得10m =，直线1l 的方程为10420x y +-=，即5210x y +-=， 由于点()1,p 在直线1l 上，51210p ∴⨯+-=，解得2p =-，将点()1,2-的坐标代入直线2l 的方程得()21520n ⨯-⨯-+=，解得12n =-， 因此，1012220m n p -+=+-=. 故答案为：20.【点睛】本题考查了由两直线垂直求参数，以及由两直线的公共点求参数，考查推理能力与计算能力，属于基础题. 13.已知点()2,5A 和点()4,7B ，点P 在y 轴上，若PA PB +的值最小，则点P 的坐标为______. 【答案】170,3⎛⎫⎪⎝⎭【解析】 【分析】作出图形，作点A 关于y 轴的对称点()2,5A '-，由对称性可知PA PA '=，结合图形可知，当A '、P 、B 三点共线时，PA PB PA PB '+=+取最小值，并求出直线A B '的方程，与y 轴方程联立，即可求出点P 的坐标.【详解】如下图所示，作点A 关于y 轴的对称点()2,5A '-，由对称性可知PA PA '=，则PA PB PA PB A B ''+=+≥，当且仅当A '、P 、B 三点共线时，PA PB +的值最小， 直线A B '的斜率为751423-=+，直线A B '的方程为()1743y x -=-，即3170x y -+=， 联立31700x y x -+=⎧⎨=⎩，解得0173x y =⎧⎪⎨=⎪⎩，因此，点P 的坐标为170,3⎛⎫ ⎪⎝⎭.故答案为：170,3⎛⎫⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查利用折线段长的最小值求点的坐标，涉及两点关于直线对称性的应用，考查数形结合思想的应用，属于中等题.14.三棱锥P ABC -中，,E D 分别为,PB PC 的中点，记三棱锥D ABE -的体积为1V ，P ABC -的体积为2V ，则12V V =____________【答案】14【解析】【详解】由已知1.2EAB PAB S S ∆∆=设点C 到平面PAB 距离为h ，则点D 到平面PAB 距离为12h ， 所以，1211132.143EAB PAB S h V V S h ∆∆⋅==考点：几何体的体积.15.设直线2y x a =+与圆C ：x 2+y 2-2ay -2=0相交于A ，B 两点，若23AB =，则圆C 的面积为________ 【答案】4π 【解析】因为圆心坐标与半径分别为2(0,),2C a r a =+所以圆心到直线的距离222a a a d -==则22(322a a +=+，解之得22a =，所以圆的面积2(22)4S r πππ==+=，应填答案4π．16.若直线y ＝x ＋m 与曲线x 21y -m 的取值范围是______. 【答案】{m |－1＜m ≤1或m 2} 【解析】【分析】由x=2-，化简得x2+y2=1，注意到x≥0，所以这个曲线应该是半径为1，圆心是（0，0）1y的半圆，且其图象只在一、四象限．画出图象，这样因为直线与其只有一个交点，由此能求出实数m的取值范围．【详解】由x=2-，化简得x2+y2=1，注意到x≥0，1y所以这个曲线应该是半径为1，圆心是（0，0）的半圆，且其图象只在一、四象限．画出图象，这样因为直线与其只有一个交点，从图上看出其三个极端情况分别是：①直线在第四象限与曲线相切，②交曲线于（0，﹣1）和另一个点，③与曲线交于点（0，1）．直线在第四象限与曲线相切时解得m=﹣2，当直线y=x+m经过点（0，1）时，m=1．当直线y=x+m经过点（0，﹣1）时，m=﹣1，所以此时﹣1＜m≤1．综上满足只有一个公共点的实数m的取值范围是：﹣1＜m≤1或m=﹣2．故答案为：{m|－1＜m≤1或m2．【点睛】本题考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意数形结合思想的合理运用．三、解答题：17.在ABC ∆中，角A ，,B C ，的对边分别是a ，b ，c ，()()sin sin a b A B -+()sin sin c A C =-， 4c =．（1）若6b =，求sin A ．（2）若D E 、在线段BC 上，且BD DE EC ==，23AE BD =，求AD 的长．【答案】（1323+（213【解析】 【分析】（1）根据正弦定理化简边角关系式，可整理出余弦定理形式，得到1cos 2B =；再根据正弦定理求得sin C ，根据同角三角函数得到cos C ；根据两角和差公式求得sin A ；（2）设BD x =，在AEB ∆中利用余弦定理构造方程求得1x =，从而可证得2AEB π=∠，利用勾股定理求得结果. 【详解】（1）()()()sin sin sin sin a b A B c A C -+=-由正弦定理得：()()()a b a b c a c -+=-整理得：222a cb ac +-= 2221cos 22a cb B ac +-∴==0B π<< 3B π∴=由正弦定理sin sin b c B C =得：64sin sin 3C π= 3sin C ⇒=b c > B C ∴> 6cos C ∴=()3613323sin sin sin cos cos sin 2A B C B C B C +∴=+=+=+=（2）设BD x =，则：2BE x =，23AE x =在ABE ∆中，利用余弦定理2222cos AE AB BE AB BE B =+-⋅得：221121642422x x x =+-⨯⨯⨯，解得：2x =-（舍）或1x =2BE ∴=，AE 23=，又4AB =，即222BE AE AB += 2AEB π∴∠=2212113AD AE DE ∴=+=+=【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理解三角形的问题，涉及到正弦定理化简边角关系式、同角三角函数求解、两角和差公式的运算，考查对于定理和公式的应用，属于常规题型. 18.在四棱锥P ABCD -中，23BC BD DC ===，2AD AB PD PB ====． （1）若点E 为PC 的中点，求证：//BE 平面PAD ；（2）当平面PBD ⊥平面ABCD 时，求二面角C PD B --的余弦值．【答案】（1）见解析； （2）1313. 【解析】 【分析】(I)结合平面与平面平行判定,得到平面BEM 平行平面PAD,结合平面与平面性质,证明结论.(II)建立空间坐标系,分别计算平面PCD 和平面PDB 的法向量,结合向量数量积公式,计算余弦值,即可.【详解】(Ⅰ)取CD 的中点为M ，连结EM ，BM . 由已知得，BCD ∆为等边三角形，BM CD ⊥. ∵2AD AB ==，23BD = ∴30ADB ABD ∠=∠=，∴90ADC ∠=，∴//BM AD .又∵BM ⊄平面PAD ，AD ⊂平面PAD ， ∴BM ∥平面PAD .∵E 为PC 的中点，M 为CD 的中点，∴EM ∥PD . 又∵EM ⊄平面PAD ，PD ⊂平面PAD ， ∴EM ∥平面PAD .∵EM BM M ⋂=，∴平面BEM ∥平面PAD ∵BE ⊂平面BEM ，∴BE ∥平面PAD.(Ⅱ)连结AC ，交BD 于点O ，连结PO ，由对称性知，O 为BD 的中点，且AC BD ⊥，PO BD ⊥.∵平面PBD ⊥平面ABCD ，PO BD ⊥， ∴PO ⊥平面ABCD ，1PO AO ==，3CO =.以O 为坐标原点，OC 的方向为x 轴正方向，建立空间直角坐标系O xyz -. 则D (0，3-0)，C (3，0，0)，P (0，0，1).易知平面PBD 的一个法向量为()1100n =，，. 设平面PCD 的法向量为()2n x y z =，，，则2n DC ⊥，2n DP ⊥，∴220n DC n DP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，∵()33DC =，，，()031DP =，，，∴33030x z ⎧=⎪⎨+=⎪⎩.令3y =13x z =-=-，，∴()233n ，，=--， ∴12121213cos 1313n n n n n n ⋅===⋅，设二面角C PD B --的大小为θ，则13cos 13θ=. 【点睛】本道题考查了平面与平面平行判定和性质,考查了空间向量数量积公式,关键建立空间坐标系,难度偏难.19.如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，侧棱1A A ⊥底面ABCD ，AB AC ⊥，1AB =，12AC AA ==，5AD CD ==，且点M 和N 分别为1B C 和1D D 的中点.（1）求证：//MN 平面ABCD ； （2）求二面角11D AC B --的正弦值；（3）设E 为棱11A B 上的点，若直线NE 和平面ABCD 所成角的正弦值为13，求线段1A E 的长.【答案】（1）证明见解析；（2310（372 【解析】【详解】如图，以A 为原点建立空间直角坐标系，依题意可得(0,0,0),(0,1,0),(2,0,0),(1,2,0)A B C D -，又因为,M N 分别为1B C 和1D D 的中点，得11,,1,(1,2,1)2M N ⎛⎫- ⎪⎝⎭. （Ⅰ）证明：依题意，可得(0,0,1)n =为平面ABCD 的一个法向量，50,,02MN ⎛⎫=-⎪⎝⎭， 由此可得，0MN n ⋅=，又因为直线MN ⊄平面ABCD ，所以//MN 平面ABCD （Ⅱ），设1(,,)n x y z =为平面1ACD 的法向量，则1110{0n AD n AC ⋅=⋅=，即220{20x y z x -+==，不妨设1z =，可得1(0,1,1)n =， 设2(,,)n x y z =为平面1ACB 的一个法向量，则2120{n AB n AC ⋅=⋅=，又1(0,1,2)AB =，得20{20y z x +==，不妨设1z =，可得2(0,2,1)n =- 因此有12121210cos ,10n n n n n n ⋅〈〉==-⋅，于是12310,10sin n n 〈〉= 所以二面角11D AC B --310. （Ⅲ）依题意，可设111A E A B λ=，其中[0,1]λ∈，则(0,,2)E λ，从而(1,2,1)NE λ=-+，又(0,0,1)n =为平面ABCD 的一个法向量，由已知得2221cos ,3(1)(2)1NE n NE n NE nλ⋅〈〉===⋅-+++，整理得2430λλ+-=， 又因为[0,1]λ∈，解得72λ=-，所以线段1A E 72.考点：直线和平面平行和垂直的判定与性质，二面角、直线与平面所成的角，空间向量的应用.20.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆M 过坐标原点O 且圆心在曲线y x=上. （1）若圆M 分别与x 轴、y 轴交于点A 、B （不同于原点O ），求证：AOB ∆的面积为定值；（2）设直线:43l y x =-+与圆M 交于不同的两点C 、D ，且OC OD =，求圆M 的方程；（3）设直线y =（2）中所求圆M 交于点E 、F ，P 为直线5x =上的动点，直线PE 、PF 与圆M 的另一个交点分别为G 、H ，求证：直线GH 过定点.【答案】（1）证明见解析；（2）()(2214x y -+=；（3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）由题意设圆心坐标为t ⎛ ⎝⎭，可得半径为r =求出圆的方程，分别令0x =、0y =，可得出点B 、A 的坐标，利用三角形的面积公式即可证明出结论成立；（2）由OC OD =，知OM l ⊥，利用两直线垂直的等价条件：斜率之积为1-，解方程可得t ，讨论t 的取值，求得圆心到直线的距离，即可得到所求圆的方程；（3）设()05,P y ，()11,G x y 、()22,H x y ，求得E 、F 的坐标，以及直线PE 、PF 的方程，联立圆的方程，利用韦达定理，结合3PE PF k k =，得出()121227200x x x x -++=，设直线GH 的方程为y kx b =+，代入圆的方程，利用韦达定理，可得b 、k 之间的关系，即可得出所求的定点.【详解】（1）由题意可设圆心为,M t t ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，则圆的半径为r =则圆M 的方程为()22223x t y t t t ⎛⎫-+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭，即2220x y tx y t +--=.令0x =，得y =0,B t ⎛ ⎝⎭；令0y =，得2x t =，得()2,0A t. 11222AOB S OA OB t ∆∴=⋅==（定值）； （2）由OC OD =，知OM l ⊥，所以2OM k t==1t =±.当1t =时，圆心(M到直线:43l y x =-+的距离)21d =-小于半径，符合题意；当1t =-时，圆心(1,M -到直线:4l y x =+的距离)21d =大于半径，不符合题意.所以，所求圆M 的方程为()(2214x y -+-=；（3）设()05,P y ，()11,G x y ，()22,H x y，又知(E -，(F ，所以1PE GE k k ===，2PF FH k k ===. 因为3PE PF k k =，所以(()(()22122212913y y x x ⨯=+-.将(()221141y x -=--，(()222241y x =--代入上式，整理得()121227200x x x x -++=.①设直线GH 的方程为y kx b =+，代入()(2214x y -+-=，整理得()()2221220kx kb x b ++--+-=.所以12x x +=，12x x ⋅=代入①式，并整理得(2271030b k b k +-+-+=，即(250b k b k ++=，解得2b k =或5b k =.当2b k =时，直线GH 的方程为()2y k x =-(；当5b k =时，直线GH 的方程为()5y k x =-，过定点(检验定点(和E 、F 共线，不合题意，舍去.故GH 过定点(.【点睛】本题考查圆的方程的求法和运用，注意运用联立直线方程和圆的方程，消去一个未知数，运用韦达定理，考查直线恒过定点的求法，考查运算能力，属于难题．。
天津市和平区2022-2023学年高一下学期期末数学试题(教师版)
除草和锄草的区别(作文)300英文回答：Weed control and hoeing are both important aspects of gardening and farming, but they serve different purposesand require different tools and techniques.Weed control involves the use of herbicides or other methods to eliminate unwanted plants from a garden or field. This can be done using chemical sprays, mulching, or hand weeding. The goal of weed control is to prevent unwanted plants from competing with crops for nutrients, water, and sunlight.Hoeing, on the other hand, is a physical method of removing weeds from the soil using a hoe or other hand tools. This process involves loosening the soil around the base of the weeds and then pulling them out by hand or with the help of a hoe. Hoeing is often done in between rows of crops to prevent the growth of weeds and to aerate the soil.In summary, weed control is the broader term that encompasses all methods of managing unwanted plants, while hoeing specifically refers to the physical act of removing weeds from the soil using a hoe or similar tool.中文回答：除草和锄草都是园艺和农业中重要的工作，但它们有不同的目的，需要不同的工具和技巧。
天津市和平区2023-2024学年高一下学期期末质量调查数学试卷(含答案)
天津市和平区2023-2024学年高一下学期期末质量调查数学试题本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共100分，考试时间100分钟。
祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷（选择题 共27分）注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填涂在答题卡上。
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
答在试卷上无效。
3．本卷共9小题，每小题3分，共27分。
参考公式：·球的表面积公式，其中R 是球的半径·圆台的侧面积公式，其中，r 分别是上、下底面半径，l 是母线长．·如果事件A 、B 相互独立，那么．一、单选题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）（1）已知i 为虚数单位，复数的虚部为（A ）（B ）（C ）i （D ）1（2）已知一组样本数据10，10，9，12，10，9，12，则这组样本数据的上四分位数为（A ）9（B ）10（C ）11（D ）12（3）若采用斜二测画法画水平放置的的直观图，，则的面积为（A ）2（B ）（C ）4（D ）（4）已知a ，b ，c 是三条不同的直线，，，是三个不同的平面，以下说法中正确的个数为①若，，则；②若，，则；③若，，，则．（A ）0个（B ）1个（C ）2个（D ）3个（5）已知向量，满足，，且，则（A （B ）4（C ）5（D ）（6）连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记录每次的点数，设事件“第一次出现2点”，“第二次的点数小于5点”，“两次点数之和为9”，“两次点数之和为奇数”，则下列说法不正确的是24S R π=()S r l rl π'=+r '()()()P AB P A P B =11iz i-=+i -1-ABC △111A B C △111A B C △ABC △αβγa α∥b α∥a b ∥αβ⊥βγ⊥αγ⊥αβ⊥l αβ= m l ⊥m β⊥a b (1,2)a =(2,)b y =- a b ∥ a b +=A =B =C =D =（A ）B 与A 不互斥且相互独立（B ）B 与C 互斥且不相互独立（C ）C 与A 互斥且不相互独立（D ）D 与A 不互斥且相互独立（7）用平面截一个球，所得到的截面面积为，则该球的表面积为（A ）4（B ）8（C ）16（D ）28（8）某市为了减少水资源浪费，计划对居民生活用水实施阶梯水价制度，为确定一个比较合理的标准，从该市随机调查了100位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图，则以下四个说法正确的个数为①估计居民月均用水量低于1.5的概率为0.25；②估计居民月均用水量的中位数约为2.1③该市有40万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3的人数为6万；④根据这100位居民的用水量，采用样本量按比例分配的分层随机抽样的方法，抽取了容量为20人的样本，则在用水量区间中应抽取3人（A ）1个（B ）2个（C ）3个（D ）4个（9）已知圆台的上、下底面半径分别为2，12，侧面积等于280，若存在一个在圆台内部可以任意转动的正方体，那么该正方体的体积取最大值时，正方体的边长为（A ）16（B ）（C ）（D ）8第Ⅱ卷（非选择题 共73分）注意事项：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。