弧度制 三角函数的简单应用
三角函数的弧度制与三角函数的关系
三角函数的弧度制与三角函数的关系三角函数是数学中的重要概念，可以描述角度与直角三角形之间的关系。
在数学中，角度通常有两种表示方式，一种是度量制，另一种是弧度制。
本文将探讨三角函数的弧度制表示方式以及弧度制与三角函数之间的关系。
一、三角函数的弧度制表示方式在弧度制中，角度的度量单位为弧度（rad）。
一个圆的周长为2π弧度，这是因为圆的周长与半径有关，而不是与圆心角的大小有关。
因此，我们可以定义一个标准弧度，即一个圆周上所对应的角度为2π弧度。
根据弧度制的定义，我们可以将任意角度A转换为弧度制表示。
通过下式可以实现弧度制与度量制之间的转换：弧度制表示：A (rad) = A (度) × π/180度量制表示：A (度) = A (rad) × 180/π二、三角函数的关系三角函数包括正弦函数（sin）、余弦函数（cos）以及正切函数（tan），它们是弧度制与三角函数之间的桥梁。
下面将具体介绍它们之间的关系。
1. 正弦函数的关系：正弦函数是一个周期函数，其周期为2π弧度。
正弦函数的定义如下：sin(A) = 对边/斜边其中，A表示角度。
我们可以通过将角度转换为弧度制来计算正弦函数的值。
2. 余弦函数的关系：余弦函数也是一个周期函数，其周期为2π弧度。
余弦函数的定义如下：cos(A) = 邻边/斜边同样地，我们可以通过将角度转换为弧度制来计算余弦函数的值。
3. 正切函数的关系：正切函数也是一个周期函数，其周期为π弧度。
正切函数的定义如下：tan(A) = 对边/邻边与上述两个函数类似，我们也可以通过将角度转换为弧度制来计算正切函数的值。
通过上述三个三角函数的定义，我们可以得知它们之间的关系：sin(A) = cos(A - π/2)cos(A) = sin(A + π/2)tan(A) = sin(A) / cos(A)这些关系式可以帮助我们快速计算三角函数的值，同时也揭示了三角函数之间的密切联系。
《弧度制》三角函数PPT课件
边在相互垂直的两直线上的角的集合可以合并为 = +
π
· ,∈Z
2
,在进行区间的合并时,一定要做到准确无误.
课堂篇
探究学习
探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析
随堂演练
变式训练3以弧度为单位,写出终边落在直线y=-x上的角的集合.
1
1
故扇形的面积 S=2rl=2 ×2×4=4(cm2).
(2)设圆心角弧度数为 α(0<α<2π),弧长为 l,半径为 r,则有
+ 2 = 10,
= 1,
= 4,
解得
或
1
= 4,
= 2.
=8
2
= 1,
当
时,α==8>2π,不符合题意,舍去;
=8
1
= 4,
当
解:在 0 到 2π 范围内,终边落在直线
3π
4
7π
3π
y=-x 上的角有两个,即 4 和 4 .
所有与 终边相同的角构成的集合为
3π
S1= = 4 + 2π,∈Z ,
7π
所有与 终边相同的角构成的集合为
4
7π
S2= = 4 + 2π,∈Z
3π
= = + (2 + 1)π,∈Z ,
三角函数
5.1.2
弧度制
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课标阐释
思维脉络
1.理解 1 弧度角的定义,了解
弧度制的概念.
2.能进行角度与弧度之间的
(原创)北师大版数学第一章三角函数3弧度制
探究点1 弧度概念
在几何的度量中,首先,引入一个单位线段以它为单位来度量其他线段
或曲线的长度.在面积的度量中，引入一个以单位线段为边长的单位正方形
作为面积的度量单位.在体积的度量中，以单位线段为棱长的单位立方体作
思考： 能否用线段的单位长度来建立角的度量单位,从而把几何度量都 建立在一个共同的基础长度的度量上呢？
提示：以角的顶点为圆心画单位圆（半径为单位长度1的圆），用这个 角在此圆上所对应的弧的长度来度量这个角.
在单位圆中,把长度等于1的弧所对的圆心角称为1弧度的角.其单位 用符号rad表示.读作弧度（通常“弧度”或“rad”省略不写）.在单位圆中, 每一段弧的长度就是它所对圆心角的弧度数，这种以弧度作为单位来度 量角的方法称作是弧度制.角的正负由角的终边的旋转方向决定.
一般地，弧度数与实数一一对应，正角的弧度数是一个正数，负角 的弧度数是一个负数，零角的弧度数是零.
探究点2 弧度与角度的换算
思考：角可以分别用角度和弧度度量，角度和弧度之间有什么关系呢？ 提示：根据弧度的定义可知
1o = 2π rad π rad 0.01745rad;
360
180
1rad 360o 180o 57o18. 2π π
解析
－23π－23 12 12
×180°＝－345°.
π 3．把 22°30′化为弧度的结果是_____8___．
解析 22°30′＝22.5°＝2128.05π＝π8.
3 4．已知扇形的半径为 12，弧长为 18，则扇形圆心角为__2____．
解析 由弧长公式 l＝αR，得α＝Rl ＝1182＝32.
数学弧度制
数学弧度制弧度是一个重要的角度度量单位，它在数学和物理学中被广泛应用。
弧度制是一种用弧长比来度量角度的方法，相对于传统的角度度量制度，弧度制更加精确和方便。
本文将介绍弧度的定义、性质、应用以及与角度的转换关系。
一、弧度的定义和性质弧度的定义是通过弧长比来度量角度。
当一个圆的半径为r时，一条弧长等于半径长度的弧对应的角度就是1弧度。
换句话说，若弧长为l，半径为r，则弧度数为l/r。
弧度的优点在于它可以精确地度量角度大小，并且不受圆的尺寸的限制。
因为弧度是通过弧长比来度量的，所以它与圆的半径无关，只与弧长有关。
这使得弧度制度量角度更加精确和一致。
弧度的取值范围是连续的实数集，可以表示从0到无穷大的任意角度。
而传统的角度制度量角度的范围是0到360度之间。
所以，在某些数学和物理问题中，弧度制更加方便和自然。
二、弧度与角度的转换关系弧度和角度之间存在着一个简单的转换关系。
由于一个圆的周长等于2πr，其中r是圆的半径，根据弧度的定义，整个圆对应的弧度数是2π。
这意味着1度等于π/180弧度。
通过这个转换关系，我们可以方便地将角度转换为弧度，或者将弧度转换为角度。
例如，如果要将45度转换为弧度，可以使用以下公式：45度× π/180 = π/4弧度。
同样地，如果要将π/3弧度转换为角度，可以使用以下公式：π/3 × 180/π = 60度。
三、弧度的应用弧度制在数学和物理学中有广泛的应用。
它在解析几何、微积分、三角函数以及力学等领域中扮演着重要的角色。
在解析几何中，弧度制可以用来度量两条曲线之间的夹角。
通过计算两条曲线的弧长，可以得到它们之间的弧度数，从而确定夹角的大小。
在微积分中，弧度制可以简化很多计算。
例如，当使用极坐标系描述曲线时，弧度制可以使得极坐标下的导数和积分运算更加简洁和方便。
在三角函数中，弧度制也被广泛使用。
三角函数的定义中涉及到圆的弧长，因此弧度制可以使得三角函数的计算更加直观和准确。
弧度制的定义和公式
弧度制的定义和公式弧度制是一种角度的度量方式，它是通过弧长与半径之比来表示的。
在数学和物理学中，使用弧度制来度量角度可以更加准确和方便。
本文将介绍弧度制的定义和公式，并探讨其在数学和物理学中的应用。
一、弧度制的定义在弧度制中，一个完整的圆周对应的角度为360度，而对应的弧度为2π。
根据这个关系，可以得到弧度制的定义：一个角度的弧度数等于这个角度所对应的弧长与半径之比。
具体来说，假设一个角度θ所对应的弧长为s，半径为r，那么弧度制中这个角度θ所对应的弧度数可以表示为θ = s/r。
这个比值通常用希腊字母π来表示，即θ = πs/r。
二、弧度制的公式在弧度制中，角度和弧度之间的转换可以通过一个简单的公式来实现。
假设一个角度α所对应的弧度数为θ，那么可以用以下公式来计算：θ = α × π/180其中，π/180是将角度转换为弧度的比例因子。
这个公式可以用来将角度转换为弧度，也可以将弧度转换为角度。
三、弧度制的应用弧度制在数学和物理学中有广泛的应用。
首先，在三角学中，弧度制可以用来描述三角函数的周期性。
例如，正弦函数和余弦函数的周期均为2π弧度，而不是360度。
在微积分中，弧度制是计算圆的面积和弧长的重要工具。
通过使用弧度制，可以简化对圆的相关计算，使得结果更加准确和方便。
在物理学中，弧度制被广泛应用于描述角速度和角加速度。
角速度是一个物体单位时间内绕某个轴旋转的角度，通常用弧度制表示。
角加速度则是角速度的变化率，也常用弧度制表示。
总结：弧度制是一种通过弧长与半径之比来度量角度的方式。
它的定义和公式简单明了，可以准确地描述角度和弧度之间的关系。
弧度制在数学和物理学中有广泛的应用，可以用来描述三角函数的周期性、计算圆的面积和弧长，以及描述角速度和角加速度等。
掌握弧度制的概念和应用，可以帮助我们更好地理解和解决与角度相关的问题。
角与弧度制、三角函数的概念知识点讲解+例题讲解(含解析)
角度制与弧度制、三角函数的概念一、知识梳理1.角的概念的推广(1)定义：角可以看成平面内的一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.(2)分类⎩⎨⎧按旋转方向不同分为正角、负角、零角.按终边位置不同分为象限角和轴线角.(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S ＝{β|β＝α＋k ·360°，k ∈Z }. 2.弧度制的定义和公式(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad. (2)公式3.任意角的三角函数(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝yx (x ≠0).(2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示，正弦线的起点都在x 轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1，0).如图中有向线段MP ，OM ，AT 分别叫做角α的正弦线、余弦线和正切线.结论：1.若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则tan α>α>sin α.2.角度制与弧度制可利用180°＝π rad 进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用. 3.象限角的集合4.轴线角的集合二、例题精讲 + 随堂练习1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)小于90°的角是锐角.( )(2)锐角是第一象限角，反之亦然.( )(3)将表的分针拨快5分钟，则分针转过的角度是30°.( ) (4)相等的角终边一定相同，终边相同的角也一定相等.( ) 解析 (1)锐角的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2.(2)第一象限角不一定是锐角. (3)顺时针旋转得到的角是负角. (4)终边相同的角不一定相等. 答案 (1)× (2)× (3)× (4)×2.已知角α的终边过点P (8m ，3)，且cos α＝－45，则m 的值为( ) A.－12B.12C.－32D.32解析 由题意得m <0且8m (8m )2＋32＝－45，解得m ＝－12. 答案 A3.在－720°～0°范围内，所有与角α＝45°终边相同的角β构成的集合为________.解析所有与角α终边相同的角可表示为：β＝45°＋k×360°(k∈Z)，则令－720°≤45°＋k×360°<0°(k∈Z)，得－765°≤k×360°<－45°(k∈Z).解得k＝－2或k＝－1，∴β＝－675°或β＝－315°.答案{－675°，－315°}4.(2019·衡水模拟)若sin θ·cos θ<0，tan θsin θ>0，则角θ是()A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角解析由tan θsin θ>0，得1cos θ>0，故cos θ>0.又sin θ·cos θ<0，所以sin θ<0，所以θ为第四象限角.答案D5.(2019·日照一中质检)若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角α∈(0，π)的弧度数为________.解析设圆半径为r，则其内接正三角形的边长为3r，所以3r＝α·r，所以α＝3.答案36.(2019·石家庄模拟)已知角α的终边在直线y＝－x上，且cos α<0，则tan α＝________.解析如图，由题意知，角α的终边在第二象限，在其上任取一点P(x，y)，则y＝－x，由三角函数的定义得tan α＝yx＝－xx＝－1.答案－1考点一 角的概念及其集合表示【例1】 (1)若角α是第二象限角，则α2是( ) A.第一象限角B.第二象限角C.第一或第三象限角D.第二或第四象限角(2)终边在直线y ＝3x 上，且在[－2π，2π)内的角α的集合为________. 解析 (1)∵α是第二象限角，∴π2＋2k π＜α＜π＋2k π，k ∈Z ， ∴π4＋k π＜α2＜π2＋k π，k ∈Z .当k 为偶数时，α2是第一象限角；当k 为奇数时，α2是第三象限角.(2)如图，在坐标系中画出直线y ＝3x ，可以发现它与x 轴的夹角是π3，在[0，2π)内，终边在直线y ＝3x 上的角有两个：π3，43π；在[－2π，0)内满足条件的角有两个：－23π，－53π，故满足条件的角α构成的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－53π，－23π，π3，43π.答案 (1)C (2)⎩⎨⎧⎭⎬⎫－53π，－23π，π3，43π【训练1】 (1)设集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k2·180°＋45°，k ∈Z ， N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k4·180°＋45°，k ∈Z ，那么( )A.M ＝NB.M ⊆NC.N ⊆MD.M ∩N ＝∅(2)已知角α的终边在如图所示阴影表示的范围内(不包括边界)，则角α用集合可表示为________.解析 (1)由于M 中，x ＝k2·180°＋45°＝k ·90°＋45°＝(2k ＋1)·45°，2k ＋1是奇数；而N 中，x ＝k 4·180°＋45°＝k ·45°＋45°＝(k ＋1)·45°，k ＋1是整数，因此必有M ⊆N . (2)在[0，2π)内，终边落在阴影部分角的集合为⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，56π，所以，所求角的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|2k π＋π4<α<2k π＋56π，k ∈Z .答案 (1)B (2)⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|2k π＋π4<α<2k π＋56π，k ∈Z考点二 弧度制及其应用【例2】 (经典母题)已知一扇形的圆心角为α，半径为R ，弧长为l .若α＝π3，R ＝10 cm ，求扇形的面积. 解 由已知得α＝π3，R ＝10， ∴S 扇形＝12α·R 2＝12·π3·102＝50π3(cm 2).【迁移探究1】 若例题条件不变，求扇形的弧长及该弧所在弓形的面积. 解 l ＝α·R ＝π3×10＝10π3(cm)， S 弓形＝S 扇形－S 三角形 ＝12·l ·R －12·R 2·sin π3 ＝12·10π3·10－12·102·32 ＝50π－7533(cm 2).【迁移探究2】 若例题条件改为：“若扇形周长为20 cm ”，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？解 由已知得，l ＋2R ＝20，即l ＝20－2R (0<R <10). 所以S ＝12lR ＝12(20－2R )R ＝10R －R 2＝－(R －5)2＋25，所以当R ＝5 cm 时，S 取得最大值25 cm 2，此时l ＝10 cm ，α＝2 rad.【训练2】(2019·青岛质检)《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积＝12(弦×矢＋矢2)，弧田(如图)由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.现有圆心角为2π3，半径等于4米的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是( )A.6平方米B.9平方米C.12平方米D.15平方米解析 法一 如图，由题意可得∠AOB ＝2π3，OA ＝4，在Rt △AOD 中，可得∠AOD ＝π3，∠DAO ＝π6，OD ＝12AO ＝12×4＝2，于是矢＝4－2＝2.由AD ＝AO ·sin π3＝4×32＝23，得弦AB ＝2AD ＝4 3.所以弧田面积＝12(弦×矢＋矢2)＝12×(43×2＋22)＝43＋2≈9(平方米).法二 由已知，可得扇形的面积S 1＝12r 2θ＝12×42×2π3＝16π3，△AOB 的面积S 2＝12×OA ×OB ×sin ∠AOB ＝12×4×4×sin 2π3＝4 3.故弧田的面积S ＝S 1－S 2＝16π3－43≈9(平方米). 答案 B考点三 三角函数的概念【例3】 (1)在平面直角坐标系中，若角α的终边经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π3，cos π3，则sin(π＋α)＝( ) A.－32B.－12C.12D.32(2)若sin αtan α<0，且cos αtan α<0，则角α是( ) A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角D.第四象限角解析 (1)易知sin π3＝32，cos π3＝12，则P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12.由三角函数的定义可得sin α＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝12，则sin(π＋α)＝－sin α＝－12.(2)由sin αtan α<0可知sin α，tan α异号，则α为第二或第三象限角；由cos αtan α<0可知cos α，tan α异号，则α为第三或第四象限角.综上可知，α为第三象限角. 答案 (1)B (2)C【训练3】 (1)(2019·西安一中月考)如图，在平面直角坐标系xOy 中，角α，β的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它们的终边分别与单位圆相交于A ，B 两点，若点A ，B 的坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫35，45和⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，35，则cos(α＋β)的值为( )A.－2425B.－725C.0D.2425(2)满足cos α≤－12的角α的集合为________.解析 (1)由三角函数的定义可得cos α＝35，sin α＝45，cos β＝－45，sin β＝35.所以cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsinβ＝－2425.(2)作直线x ＝－12交单位圆于C ，D 两点，连接OC ，OD ，则OC 与OD 围成的区域(图中阴影部分)即为角α终边的范围， 故满足条件的角α的集合为⎩⎨⎧α⎪⎪⎪⎭⎬⎫2k π＋23π≤α≤2k π＋43π，k ∈Z .答案 (1)A(2)⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|2k π＋23π≤α≤2k π＋43π，k ∈Z三、课后练习1.给出下列四个命题：①－3π4是第二象限角；②4π3是第三象限角；③－400°是第四象限角；④－315°是第一象限角.其中正确的命题有( ) A.1个B.2个C.3个D.4个解析 －3π4是第三象限角，故①错误.4π3＝π＋π3，从而4π3是第三象限角，②正确.－400°＝－360°－40°，从而③正确.－315°＝－360°＋45°，从而④正确. 答案 C2.下列与9π4的终边相同的角的表达式中正确的是( ) A.2k π＋45°(k ∈Z ) B.k ·360°＋94π(k ∈Z ) C.k ·360°－315°(k ∈Z )D.k π＋5π4(k ∈Z ) 解析 与9π4的终边相同的角可以写成2k π＋9π4(k ∈Z )，但是角度制与弧度制不能混用，排除A ，B ，易知D 错误，C 正确. 答案 C3.(2019·北京朝阳区模拟)已知角α的终边经过点(m ，3m )，若α＝7π3，则m 的值为( ) A.27B.127C.9D.19解析 ∵tan 7π3＝3m m ＝m －16＝3，∴m －1＝33＝27， ∴m ＝127，故选B.4.已知点M 在角θ终边的反向延长线上，且|OM |＝2，则点M 的坐标为( ) A.(2cos θ，2sin θ) B.(－2cos θ，2sin θ) C.(－2cos θ，－2sin θ)D.(2cos θ，－2sin θ)解析 由题意知，M 的坐标为(2cos(π＋θ)，2sin(π＋θ))，即(－2cos θ，－2sin θ). 答案 C5.设θ是第三象限角，且⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos θ2＝－cos θ2，则θ2是( ) A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角D.第四象限角解析 由θ是第三象限角，知θ2为第二或第四象限角，∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos θ2＝－cos θ2，∴cos θ2<0，综上知θ2为第二象限角. 答案 B6.已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos 2θ＝( ) A.－45B.－35C.35D.45解析 由题意知，tan θ＝2，即sin θ＝2cos θ. 将其代入sin 2θ＋cos 2θ＝1中可得cos 2θ＝15， 故cos 2θ＝2cos 2θ－1＝－35. 答案 B7.(2019·潍坊一模)若角α的终边过点A (2，1)，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π－α＝( )A.－255B.－55C.55D.255解析 由三角函数定义，cos α＝25＝255， 则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π－α＝－cos α＝－255. 答案 A8.已知角α的终边上一点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π3，cos 2π3，则角α的最小正值为( )A.5π6B.2π3C.5π3D.11π6解析 由题意知点P 在第四象限，根据三角函数的定义得cos α＝sin 2π3＝32，故α＝2k π－π6(k ∈Z )，所以α的最小正值为11π6. 答案 D9.(2019·上海徐汇区调研)已知角θ的终边经过点P (4，m )，且sin θ＝35，则m 等于________.解析 由题意知m >0且sin θ＝m 16＋m 2＝35，解得m ＝3.答案 310.已知扇形的圆心角为π6，面积为π3，则扇形的弧长等于________. 解析 设扇形半径为r ，弧长为l ， 则⎩⎪⎨⎪⎧l r ＝π6，12lr ＝π3，解得⎩⎪⎨⎪⎧l ＝π3，r ＝2.答案 π311.(2019·许昌调研)设α是第二象限角，P (x ，4)为其终边上的一点，且cos α＝15x ，则tan α＝________. 解析 因为α是第二象限角， 所以cos α＝15x <0，即x <0.又cos α＝15x ＝x x 2＋16， 解得x ＝－3，所以tan α＝4x ＝－43. 答案 －43 12.已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且cos α≤0，sin α>0，则实数a 的取值范围是________.解析 ∵cos α≤0，sin α>0，∴角α的终边落在第二象限或y 轴的正半轴上.∴⎩⎨⎧3a －9≤0，a ＋2>0，∴－2<a ≤3. 答案 (－2，3]。
弧度制与三角函数的计算
弧度制与三角函数的计算在数学中，弧度制和三角函数是两个非常重要的概念。
它们在几何学、物理学、工程学等领域中都有广泛的应用。
本文将探讨弧度制和三角函数的计算方法，并讨论它们的实际用途。
一、弧度制的定义与计算弧度制是一种用弧长来度量角度的方法。
在弧度制中，角度的度量单位是弧度（rad）。
一个圆的周长是2πr，其中r是半径。
如果一个角所对应的弧长等于半径的长度，那么这个角的度数就是1弧度。
要将角度转换为弧度，可以使用以下公式：弧度 = 角度× π / 180例如，将30度转换为弧度：弧度 = 30 × π / 180 = π / 6。
同样地，要将弧度转换为角度，可以使用以下公式：角度 = 弧度× 180 / π例如，将π / 4弧度转换为角度：角度= π / 4 × 180 / π = 45度。
弧度制的优势在于它能够更方便地进行角度的计算和推导。
在三角函数的计算中，弧度制也更为常用。
二、三角函数的计算三角函数是用来描述角度与三角形边长之间的关系的函数。
常见的三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数。
正弦函数（sin）表示一个角的对边与斜边之比。
在弧度制中，正弦函数的计算公式为：s in(θ) = 对边 / 斜边余弦函数（cos）表示一个角的邻边与斜边之比。
在弧度制中，余弦函数的计算公式为：cos(θ) = 邻边 / 斜边正切函数（tan）表示一个角的对边与邻边之比。
在弧度制中，正切函数的计算公式为：tan(θ) = 对边 / 邻边三角函数的计算可以通过查表、使用计算器或计算机软件来进行。
在实际应用中，三角函数常用于解决各种几何问题，例如计算三角形的边长、角度和面积等。
三、弧度制与三角函数的实际应用弧度制和三角函数在物理学、工程学和计算机图形学等领域中有广泛的应用。
在物理学中，弧度制和三角函数常用于描述物体的运动和力学性质。
例如，角速度的单位是弧度每秒（rad/s），它描述了物体每秒钟绕某个轴旋转的角度。
弧度制知识点
弧度制知识点弧度制是数学中一种角度计算的单位制，也是一种非常重要的数学工具。
在解决圆的相关问题时，使用弧度制可以使计算更加简单明了。
弧度制的原理其实很简单，就是把弧长和半径之间的比值作为角度的度量单位。
在本文中，我们将介绍弧度制的基本定义、应用、转换以及相关数学问题。
基本定义弧度，是用来衡量圆周的长度和弧之间的关系的单位。
弧度制的基本定义是，一弧度是圆周长度和圆的半径之比。
简单地说，一弧度等于圆周的长度为半径的倍数，因此，圆周总共有360度，也就是2π弧度的长度。
应用及优势弧度制是一种非常重要的数学工具，它的应用涵盖了很多领域。
在三角函数的学习中，弧度制的应用可以帮助我们更加便捷地计算正弦、余弦等函数的值。
此外，弧度制在计算圆的周长、面积、相对位置等方面也发挥了重要的作用。
与角度制相比，弧度制更加优越的原因在于，它的定义更加简单明了，而且计算过程中更为直接简单。
在圆上每增加一个角度，对应的弧长和半径的比值就要增加一个弧度单位。
相比之下，角度制需要考虑360度转化、计算过程繁琐等问题，因此在实际运用中弧度制更为实用。
弧度制转角度制在实际运用中，有可能需要将弧度制转化为角度制。
这时我们可以使用弧度转角度公式：角度=弧度×180/π。
例如：1弧度=180/π度，而1度=π/180弧度。
如果给定一个角的弧度值，我们可以将其乘以180，然后除以π，即可得到对应的角度值。
同理，如果给定一个角的角度值，我们也可以将其乘以π，然后除以180，即可得到对应的弧度值。
数学问题弧度制与三角函数的应用密切相关，因此，其中涉及的数学问题也比较典型。
在本文中，我们将介绍弧度制下的基本三角函数及其相关性质。
正弦函数正弦函数（Sine Function）是一种基本的三角函数。
在数学上，正弦函数f(x)=sin x被定义为一个函数，它的输出值（y值）等于对应的输入值（x值）的弧度值的正弦值。
也就是说，对于任意实数x，f(x)=sin x= y/r,其中，y是一个以x为圆心角的圆的弧度。
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弧度制三角函数的简单应用
金台高级中学编写人：徐春妮
§9 三角函数的简单应用
学习目标
1.掌握三角函数模型应用基本步骤
2.利用收集到的数据作出散点图，并根据散点图进行函数拟合，从而得到函数模型.
学法指导
三角形应用的步骤是：
1．分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图： 2．建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与未知量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解三角形的
数学模型。
3．求解：利用三角形，求得数学模型的解。
4．检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解。
即解三角应用题的基本思路要点导读
课后测评
一、选择题
1.。
已知A ,B ,C是△ABC的三个内角, 且sinAsinBsinC,则 ( )
(A) ABC (B) ABC (C) A+B (D) B+C
2．.在平面直角坐标系中，已知两点
A(cos800,sin800),B(cos200,sin200)，则|AB|的值是( )
(A) (B) (C) (D)。
02年北京国际数学家大会会标
是由四个相同的直角三角形与中间的小
正方形拼成的一个大正方形,若直角三角形中较小的
锐角为θ,大正方形的
面积为1,小正方形的面积是 ,则sin2θ-cos2θ的
值是 ( )
(A) 1 (B) (C) (D) -
4．.D、C、B三点在地面同一直线上,DC=a,从C、D
两点测得A点的仰角
分别是α、β（αβ）,则A点离地面的高度等于 ( ) (A) (B) (C) (D)
5．.甲、乙两人从直径为2r的圆形水池的一条直径
的两端同时按逆时针方向沿池做圆周运动,已知甲速是乙
速的两倍,乙绕池一周为止,若以θ表示乙在某时刻旋转
角的弧度数, l表示甲、乙两人的直线距离，则l=f(θ)
的图象大致是。
电流强度I (安培)随时间t(秒)变化的函
数I=Asin(ωt+φ)的图象如图
所示，则当t= 秒时的电流强度 ( )
(A)0 (B)10 (C)-10 (D)5
二.填空题
7．.三角形的内角x满足2cos2x+1=0则角x= ; 8．. 一个扇形的弧长和面积的数值都是5，则这个扇形中心角的度数是 ;
9．设y=f(t)是某港口水的深度y(米)关于时间
t(小时)的函数，其中0≤t≤24.下表是该港口某一天从0时至24时记录的时间t与水深y的关系：
t0369121518212215.1122.1
经长期观察，函数y=f(t)的图象可以近似地看成函数y=k+Asin(ωt+φ)的图象.则一个能近似表示表中数据间对应关系的函数是0 。
直径为10cm的轮子有一长为6cm的弦，P是该弦的中点，轮子以5弧度/秒的角速度旋转，则经过5秒钟后点P经过的弧长是 .
三.解答题
11． .以一年为一个周期调查某商品出厂价格及该商品在商店销售价格时发现：该商品的出厂价格是在6元基础上按月份随正弦曲线波动的,已知3月份出厂价格最高为8 元,7月份出厂价格最低为4元;而该商品在商店的销售价格是在8元基础上按月份也是随正弦曲线波动的.并已知5月份销售价最高为10元.9月份销售价最低为6元.假设某商店每月购进这种商品m件，且当月能售
完，请估计哪个月盈利最大？并说明理由2．.一个大风车的半径为8米，12分钟旋转一周，它的最低点离地面2米，求风车翼片的一个端点离地面距离
h(米)与时间
t(分钟)之间的函数关系式.
13．.一铁棒欲通过如图所示的直角走廊，试回答下列问题：
（1）证明棒长L (θ)= ；
（2）当θ∈(0, )时,作出上述函数的图象（可用计算器或计算机）；
（3）由(2)中的图象求L (θ)的最小值；
（4）解释(3)中所求得的L是能够通过这个直角走廊的铁棒的长度的最大值.
学生反思：
§3 弧度制．
课前指导
学习目标
理解弧度的意义；了解角的集合与实数集R之间的可建立起一一对应的关系；熟记特殊角的弧度数．“角度制”与“弧度制”的区别与联系
能正确地进行弧度与角度之间的换算，能推导弧度制下的弧长公式及扇形的面积公式，并能运用公式解决
一些实际问题
学法指导
角度与弧度之间的转换：
①将角度化为弧度：
；；；．
②将弧度化为角度：
；；；．
要点导读
1.规定把周角的作为1度的角,用叫做角度制．2．叫做1弧度的角；叫做弧度制．在弧度制下, 1弧度记做1rad．在实际运算中，常常将rad单位省略．
3.弧度制的性质：
①半圆所对的圆心角为②整圆所对的圆心角为
③正角的弧度数是．④负角的弧度数是．
⑤零角的弧度数是．⑥角α的弧度数的绝对值
4．特殊角的弧度
角度
0°30°45°60°90°120°135°150°180°270°360° 弧度
5．弧长公式
_____________.
课堂导学
例1．将下列各角化成2kπ + α(k∈Z,0≤α＜2π)的形式,并确定其所在的象限．
；．
课后测评
一．选择题（每小题5分）
1、下列各角中与240°角终边相同的角为（）
A．２π３B．－５π６C．－２π３D．７π６
2、若角α终边在第二象限，则π－α所在的象限是（）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3、把－1125°化成α＋2kπ （0≤α＜2π,k∈Z ＝）的形式是（）
A．－π4 －6π Ｂ．7π4 －6π Ｃ．－π4 －
8π Ｄ．7π4 －8π
4、已知集合M =｛x∣x = , ∈Z｝，N =｛x∣x = , k∈Z｝，则（）
A．集合M是集合N的真子集 B．集合N是集合M的真子集
C．M = N D．集合M与集合N之间没有包含关系
5、若2弧度的圆心角所对的弧长为4cm,则这个圆心
角所夹的扇形的面积是（）
Ａ．4 cm2 Ｂ．2 cm2 Ｃ．4πcm2 Ｄ．2πcm2
6、集合｛α∣α = －,k∈Z｝∩｛α∣－παπ｝为（）
A．｛－π5 ,3π10 ｝B．｛－7π10 ,4π5 ｝C．｛－π5 , 3π10 ,－7π10 ,4π5 ｝D．｛3π10 ,7π10 ｝二．填空题（每小题5分）
1、若角α，关于y轴对称，则α，的关系是；
2、若角α，满足，则的范围；
3、将分针拨快10分钟，则分针转过的弧度数是．
4、已知是第二象限角，且则的集合是．
三．解答题（每小题10分）
已知 =1690o，
(1)把表示成的形式，其中k∈Z，∈ ．
（2）求，使与的终边相同，且．
课后测评B
一、选择题（每题5分共60分）
(1）在半径不等的两个圆内，1弧度的圆心角（） A.所对的弧长相等 B.所对的弦长相等
C.所对的弧长等于各自的半径
D.以上都不对
(2).把化为的形式是（）
A. B. C. D.
(3).把表示成的形式，使最小的的值是（）
A. B. C. D.
(4).若是第二象限角，那么和都不是（）
A.第一象限角
B.第二象限角
C.第三象限角
D.第四象限角
(5).将分针拨慢十分钟，则分针所转过的弧度数是（）
A、 B、 C、 D、
(6)圆弧长度等于其内接正三角形的边长，其圆心角的弧度数是（）
A、 B、 C、 D、2
(7)已知集合，
则等于（）
A、 B、{ } C、
D、或 }
(8).设且17 的终边与的终边相同,则等于 ( )
A. B. C. D.1
(9).集合
则A、B的关系为 ( )
A. B. C.A=B D,A
(10)已知扇形的半径为12cm,弧长为18cm,则扇形圆心角的弧度数为( )
A. B. C. D.
(11).终边在第一、四象限的角的集合可表示为 ( )
A. BD.
（12）若是第四象限的角，则在（）
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
二、填空题（每题5分共10分）
(13)已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对弧的弧长是
(14)用弧度制表示x轴上方的角的集合
(15)扇形的半径是5cm，弧长是 cm那么扇形的面积是(16)
三、解答题（每题10分共20分）已知扇形的周长为40cm,当它的半径和圆心角取什么值时,才能使扇形的面
积最大？最大面积是多少？如图,一条弦AB的长等于它
所在的圆的半径R,求弦AB和劣弧AB所组成的弓形的面积.
A B
R
R
学生反思：。