任意角的弧度制及其任意角的三角函数
任意角、弧度制及任意角的三角函数
1．角的概念的推广(1)定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形． (2)分类：①按旋转方向不同分为正角、负角、零角；②按终边位置不同分为象限角和轴线角．(3)终边相同的角❶：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋2k π，k ∈Z}． 2．弧度制的定义和公式(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad. (2)公式：3.任意角的三角函数(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝yx (x ≠0)．（2）.若α的终边上有一点P (x ,y )(与原点O 不重合),则sin α=yr ,cos α=xr ,tan α=yx (x ≠0),其中r=√x 2+y 2.(3)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示．正弦线的起点都在x 轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0)．如图中有向线段MP ，OM ，AT 分别叫做角α的正弦线、余弦线和正切线❷.(4)三角函数值在各象限内的符号,1.三角函数值在各象限的符号规律:一全正、二正弦、三正切、四余弦. (1)终边相同的角不一定相等．(2)“锐角”不等同于“第一象限的角”，锐角的集合为{α|0°＜α＜90°}，第一象限的角的集合为{α|k ·360°＜α＜k ·360°＋90°，k ∈Z}，小于90°的角包括锐角、负角、零角．(3)角的集合的表示形式不是唯一的，如⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝2k π＋π3，k ∈Z ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫β|β＝2k π＋7π3，k ∈Z .当角α的终边与x 轴重合时，正弦线、正切线都变成一个点，此时角α的正弦值和正切值都为0；当角α的终边与y 轴重合时，余弦线变成一个点，正切线不存在，此时角α的余弦值为0，正切值不存在．1．象限角角α的弧度数公式 |α|＝lr (l 表示弧长)注意：(1)正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零．(2)在一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用 角度与弧度的换算①1°＝π180rad ；②1 rad ＝⎝⎛⎭⎫180π° 弧长公式 l ＝|α|r扇形面积公式S ＝12lr ＝12|α|r 22．轴线角4．四种角的终边关系(1)β，α终边相同⇔β＝α＋2k π，k ∈Z . (2)β，α终边关于x 轴对称⇔β＝－α＋2k π，k ∈Z . (3)β，α终边关于y 轴对称⇔β＝π－α＋2k π，k ∈Z .(4)β，α终边关于原点对称（终边互为反向延长线）⇔β＝π＋α＋2k π，k ∈Z . (5)β，α终边在一条直线上⇔β＝π＋α＋k π，k ∈Z .5．若α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则tan α＞α＞sin α. 角α的终边上到原点的距离为r 的点P 的坐标可写为：()cos ,sin P r r αα(3)特殊角的三角函数值2.弧度制（1）定义：长度等于半径的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角.（2）计算：如果半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，那么角α弧度数的绝对值是 =l rα 其中，α的正负由角α的终边的旋转方向决定. 注意：弧长公式: =l r α. 扇形面积公式: 21122==S lr r α. （3）换算:360°＝2π 180°＝π 1001745180π≈=.1801=()5730≈.π说明：①1800＝π是所有换算的关键，如ππ====,18018030456644；②1设θ是第三象限角，且⎪⎪⎪⎪cos θ2＝－cos θ2，则θ2是( )A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.角α 0° 30° 45° 60°90°120°135°150°180° 270°360° 角α的弧度数π6π4 π3 π22π 3π 5π6π 3π2π sin α 0 12√22√321 √32√22120 -1 0 cos α 1 √32√22120 -12-√22-√32-1 0 1 tan α√331√3 不 存在-√3 -1-√33不 存在第四2．若角α是第二象限角，则α2是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第一或第三象限角D ．第二或第四象限角 3．若α是第二象限的角，则下列结论一定成立的是( )A ．sin α2>0B ．cos α2>0C ．tan α2>0D ．sin α2cos α2<04.已知角α的终边经过点P (－x ，－6)，且cos α＝－513，则1sin α＋1tan α＝________.5.设集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ＝k 2·180°＋45°，k ∈Z ，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝k4·180°＋45°，k ∈Z ，那么( ) A.M ＝N B.M ⊆N C.N ⊆M D.M ∩N ＝∅6.若角α的顶点为坐标原点,始边在x 轴的非负半轴上,终边在直线y=-√3x 上,则角α的取值集合是 ( ) A.{α|α=2kπ-π3,k ∈Z} B.{α|α=2kπ+2π3,k ∈Z} C.{α|α=kπ-2π3,k ∈Z}D.{α|α=kπ-π3,k ∈Z}7.已知角α的终边上一点P (－3，m )(m ≠0)，且sin α＝2m4，求cos α，tan α的值． 8．已知α是第二象限角，P (x ，5)为其终边上一点，且cos α＝24x ，则x ＝( ) A.3 B ．±3 C ．－ 2 D ．－39.已知角α的终边过点P (－8m ，－6sin 30°)，且cos α＝－45，则m 的值为( ) A.－12B.12C.－32D.3210.已知点P (tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边所在象限是( )A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限D.第四象11.已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos 2θ＝( ) A.－45B.－35C.35D.4512．设α为第四象限角，则下列函数值一定是负值的是________．①tan α2 ②sin α2 ③cos α2④cos2α13．(2008年高考全国卷Ⅱ改编)若sin α<0且tan α>0，则α是第_______象限的角．14．函数y ＝|sin x |sin x ＋cos x |cos x |＋|tan x |tan x的值域为________．15．(原创题)若一个α角的终边上有一点P (－4，a )，且sin α·cos α＝34，则a 的值为________．16．已知角α的终边上的一点P 的坐标为(－3，y )(y ≠0)，且sin α＝24y ，求cos α，tan α的值．17．已知角α的终边过点P (a ，|a |)，且a ≠0，则sin α的值为________．18．已知扇形的周长为6 cm ，面积是2 cm 2，则扇形的圆心角的弧度数是_____． 19．如果一扇形的圆心角为120°，半径等于 10 cm ，则扇形的面积为________．4．若角θ的终边与168°角的终边相同，则在0°～360°内终边与θ3角的终边相同的角的集合为__________．答20．设角α的终边经过点P (－6a ，－8a )(a ≠0)，则sin α－cos α的值是________．1．同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1❶；(2)商数关系：tan α＝sin αcos α❷.2．三角函数的诱导公式断三角函数值的符号． 作用：切化弦，弦切互化．同角三角函数的基本关系式的几种变形(1)sin 2α＝1－cos 2α＝(1＋cos α)(1－cos α)； cos 2α＝1－sin 2α＝(1＋sin α)(1－sin α)；(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α.(2)sin α＝tan αcos α⎝⎛⎭⎫α≠π2＋k π，k ∈Z . (3)sin 2α＝sin 2αsin 2α＋cos 2α＝tan 2αtan 2α＋1；cos 2α＝cos 2αsin 2α＋cos 2α＝1tan 2α＋1.（4）(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α；(sin α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2＝2；(sin α＋cos α)2－(sin α－cos α)2＝4sin αcos α.考法(一)是公式的直接应用，即已知sin α，cos α，tan α中的一个求另外两个的值．解决此类问题时，直接套用公式sin 2α＋cos 2α＝1及tan α＝sin αcos α即可，但要注意α的范围，即三角函数值的符号．1.已知cos α＝k ，k ∈R ，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则sin α＝( )A ．－1－k 2 B.1－k 2 C ．±1－k 2 D.1＋k 22.sin 21°＋sin 22°＋…＋sin 289°＝________. 3．若角α的终边落在第三象限，则cos α1－sin 2α＋2sin α1－cos 2α的值为( )A ．3 B ．－3 C ．1D ．－14.已知sin α＋cos α＝－15，且π2＜α＜π，则1sin (π－α)＋1cos (π－α)的值为________．5.若sin α＝－513，且α为第四象限角，则tan α＝( )A.125 B.－125 C.512 D.－5126.已知α为锐角，且sin α＝45，则cos (π＋α)＝( )A.－35 B.35 C.－45 D .457．已知△ABC 中，sin A ＋cos A ＝－713，则tan A ＝________.8.已知tan α＝12，且α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，则cos ⎝⎛⎭⎫α－π2＝( )A ．－55 B.55 C.255 D ．－255 考法(二)的分式中分子与分母是关于sin α，cos α的齐次式，往往转化为关于tan α的式子求解.1．已知tan α＝2，求sin α－4cos α5sin α＋2cos α的值．3.已知tan αtan α－1＝－1，求下列各式的值：(1)sin α－3cos αsin α＋cos α； (2)sin 2α＋sin αcos α＋2.4．若3sin α＋cos α＝0，则1cos 2α＋2sin αcos α的值为______．5．已知sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5，则cos 2α＋12sin 2α的值是_____．6已知tan α＝－43，求2sin 2α＋sin αcos α－3cos 2α的值． 7.已知tan α＝3，则1＋2sin αcos αsin 2α－cos 2α的值是( )A.12 B.2 C.－12 D.－2 8.已知θ为直线y ＝3x －5的倾斜角，若A (cos θ，sin θ)，B (2cos θ＋sin θ，5cos θ－sin θ)，则直线AB 的斜率为( )A ．3B ．－4 C.13 D ．－14考法(三)是考查sin α±cos α与sin αcos α的关系．对于sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二1.已知x ∈(－π，0)，sin x ＋cos x ＝15.(1)求sin x －cos x 的值； (2)求sin 2x ＋2sin 2x 1－tan x 的值．2.已知sin 2α＝34，π4＜α＜π2，则sin α－cos α的值是( )A.12 B ．－12 C.14D ．－143.已知sin α－cos α＝43，则sin 2α＝( ) A.－79 B.－29C.29D.794.已知sin αcos α＝18，且5π4<α<3π2，则cos α－sin α＝( )A.－32 B.32 C.－34 D .345．已知角A 为△ABC 的内角，且sin A ＋cos A ＝15，则tan A 的值为__________． 6.(2018自贡一模)求值:√1-2sin10°cos10°√2=.7.．若θ∈⎝⎛⎭⎫π4，π2，sin 2θ＝116，则cos θ－sin θ的值是________． 8.已知sin θ＋cos θ＝43，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，则sin θ－cos θ的值为________.1．(2018·大连二模)已知sin ⎝⎛⎭⎫π3－α＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫5π6－α＝( )A.13 B ．－13 C.222 D ．－23 2.已知θ是第四象限角，且sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝35，则tan ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝( )A.34 B ．－43 C ．－34 D.433.已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝a ，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋θ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－θ的值是________. 4.已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝1213，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝( )A.513 B.1213 C.－513D.－12135.已知sin (π3-α)=12,则cos (π6+α)= .6..(2016·全国Ⅰ卷)已知θ是第四象限角，且sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝35，则tan ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝________.1．两角和与差的正弦、余弦和正切公式(1)sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β(异名相乘、加减一致)；(2)cos(α∓β)＝cos αcos β±sin αsin β(同名相乘、加减相反)；(3)tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β(两式相除、上同下异)．(1)二倍角公式就是两角和的正弦、余弦、正切中α＝β的特殊情况． (2)二倍角是相对的，如：α2是α4的2倍，3α是3α2的2倍.2.二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin 2α＝2sin αcos α； (2)cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α；(3)tan 2α＝2tan α1－tan 2α.1．公式的常用变式：tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)；tan α·tan β＝1－tan α＋tan βtan (α＋β)＝tan α－tan βtan (α－β)－1.2．降幂公式：sin 2α＝1－cos 2α2；cos 2α＝1＋cos 2α2；sin αcos α＝12sin 2α. 3．升幂公式：1＋cos α＝2cos 2α2；1－cos α＝2sin 2α2；1＋sin α＝⎝⎛⎭⎫sin α2＋cos α22；1－sin α＝⎝⎛⎭⎫sin α2－cos α22. 4．常用拆角、拼角技巧：例如，2α＝(α＋β)＋(α－β)；α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β；β＝α＋β2－α－β2＝(α＋2β)－(α＋β)；α－β＝(α－γ)＋(γ－β)；15°＝45°－30°；π4＋α＝π2－⎝⎛⎭⎫π4－α等． (1)sin(A+B )=sin C ;(2)cos(A+B )=-cos C ; (3)sin A+B 2=cos C 2;(4)cosA+B 2=sin C2; (5)tan(A+B )=-tan C ;(6)∵tan(A+B )=tan(π-C ),∴tanA+tanB1-tanAtanB=-tan C ,去分母,移项,整理可得tan A+tan B+tan C=tan A tan B tan C.2.找出下列复角的一个关系式,并写出它们的一个三角函数关系式.提示:(1)π4+α+π4-α=π2,sin (π4+α)=cos (π4-α);(2)(2π3+α)-(π6+α)=π2,sin (2π3+α)=cos (π6+α);(3) (π4+α)+(3π4-β)=π+(α-β),sin(α-β)=-sin [(3π4-β)+(π4+α)]; (4) (4)(3π4-β)-(π4+α)=π2-(α+β),sin(α+β)=cos [(3π4-β)-(π4+α)].5．辅助角公式：一般地，函数f (α)＝a sin α＋b cos α(a ，b 为常数)可以化为f (α)＝a 2＋b 2sin(α＋φ)⎝⎛⎭⎫其中tan φ＝ba 或f (α)＝a 2＋b 2cos(α－φ)⎝⎛⎭⎫其中tan φ＝ab . 1．cos 18°cos 42°－cos 72°sin 42°＝( )A ．－32B.32 C ．－12 D.122.cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β＝( )A.sin(α＋2β) B.sin α C.cos(α＋2β)D.cos α3..3cos 15°－4sin 215°cos 15°＝________.4.1+tan 18°)(1+tan 27°)的值是( ) A.√2 B.√3 C.2D.√55．已知cos x ＝34，则cos 2x ＝________6．若tan α＝13，tan(α＋β)＝12，则tan β＝________.7．已知sin α＝35，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，tan(π－β)＝12，则tan(α－β)的值为( )A ．－211 B.211 C.112D ．－1128．设sin 2α＝－sin α，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则tan 2α的值是________． 9.在△ABC 中，若tan A tan B ＝tan A ＋tan B ＋1，则cos C ＝________. 10.sin 10°1－3tan 10°＝________.(3)化简sin 235°－12cos 10°cos 80°＝________.11.已知sin 2α＝23，则cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4＝( )A.16B ．－16 C.12 D.2312.已知cos ⎝⎛⎭⎫x －π6＝13，则cos x ＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π3＝( )A.32 B.3 C.12 D.3313.(2019·南昌模拟)设α为锐角，若cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝－13，则sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π12的值为( )A.725 B.72－818C ．－17250 D.25 14．已知tan θ＋1tan θ＝4，则cos 2⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝( )A.12 B.13 C.14 D.1515．(2018·全国卷Ⅲ)若sin α＝13，则cos 2α＝( )A.89 B.79 C ．－79 D ．－8916．下列式子的运算结果为3的是( )①tan 25°＋tan 35°＋3tan 25°tan 35°；②2(sin 35°cos 25°＋cos 35°cos 65°)；③1＋tan 15°1－tan 15°；④tanπ61－tan2π6.A ．①②④ B ．③④C ．①②③ D ．②③④17.若cos α=13,α∈(0,π),则cos α2的值为( )A.√63B.-√63C.±√63D.√3318已知α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，cos ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝－23，则cos α＝( )A.5＋23 B.15－26 C.5－23 D.15＋2619.(2016课标Ⅱ,9,5分)若cos (π4-α)=35,则sin 2α=( )A.725B.15C.-15D.-72520.(2015课标Ⅰ,2,5分)sin 20°cos 10°-cos 160°·sin 10°=( ) A.-√32 B.√32 C.-12 D.12 考法(一) 给角求值 1.cos 10°－3cos (－100°)1－sin 10°＝________ 2.sin 50°＋sin 10°(1＋3tan 10°)]·2sin 280°＝________.3.2sin 235°－1cos 10°－3sin 10°的值为( )A ．1 B ．－1C.12 D ．－124.cos 165°的值是( ). A.√6-√22B.√6+√22C.√6-√24D.-√6-√245.sin47°-sin17°cos30°cos17°= .6.(2018年全国Ⅱ卷)已知sin α+cos β=1,cos α+sin β=0,则sin(α+β)= .考法(二) 给值求值1.已知cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝35，若17π12＜x ＜7π4，则sin 2x ＋2sin 2x 1－tan x 的值为________． 2.若tan α=2,tan(β-α)=3,则tan(β-2α)=( ).A.-1B.-15C.57D.173.已知0<α<π2<β<π,cos (β-π4)=13,sin(α+β)=45,求cos (α+π4)的值.4.已知sin (α+π3)=35,α∈(-π2,π6),求sin α的值. 5.在△ABC 中,若sin A=35,cos B=513,则cos C= .考法(三) 给值求角 1. 若sin 2α＝55，sin(β－α)＝1010，且α∈⎣⎡⎦⎤π4，π，β∈⎣⎡⎦⎤π，3π2，则α＋β的值是________． 2.已知cos α＝17，cos(α－β)＝1314，若0<β<α<π2，则β＝________. 3.已知α，β为锐角，cos α＝17，且sin(α＋β)＝5314，则角β＝________. 4.设cos α＝－55，tan β＝13，π<α<3π2，0<β<π2，则α－β＝________.5.已知0<α<π2<β<π,cos (β-π4)=13,sin(α+β)=45,求cos (α+π4)的值.(2)已知sin (α+π3)=35,α∈(-π2,π6),求sin α的值.6.已知α∈(π2,π),且sin α2+cos α2=√62.(1)求cos α的值;(2)若sin(α-β)=-35,β∈(π2,π),求cos β的值.辅助角公式 (1)sin x±cos x ;(2)sin x±√3cos x ;(3)√3sin x±cos x.2.(2013年全国Ⅰ卷)设当x=θ时,函数f (x )=sin x -2cos x 取得最大值,则cos θ= .3.(2014年全国Ⅱ卷)函数f (x )=sin(x+2φ)-2sin φcos(x+φ)的最大值为 .1.tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β).2.cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2. 3.1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2，1－sin 2α＝(sin α－cos α)2，4.sin α±cos α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α±π4.3.tan 20°＋tan 40°＋3tan 20°·tan 40°＝________.考点一 三角函数式的化简【例1】 (1)化简：sin(α＋β)cos(γ－β)－cos(β＋α)sin(β－γ)＝________. (2)化简：（1＋sin α＋cos α）·⎝ ⎛⎭⎪⎫cos α2－sin α22＋2cos α(0<α<π)＝________.(1)cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β＝( )A.sin(α＋2β) B.sin α C.cos(α＋2β) D.cos α 角度1 给角(值)求值(1)计算：cos 10°－3cos （－100°）1－sin 10°＝________.(2)(2018·江苏卷)已知α，β为锐角，tan α＝43，cos(α＋β)＝－55. ①求cos 2α的值；②求tan(α－β)的值.角度2 给值求角(1)(2019·河南六市联考)已知cos α＝17，cos(α－β)＝1314，若0<β<α<π2，则β＝___. (2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tan β＝－17，则2α－β的值为________. 考点三 三角恒等变换的简单应用【例3】 (2019·郑州模拟)设函数f (x )＝sin 2ωx －cos 2ωx ＋23sin ωx cos ωx ＋λ的图象关于直线x ＝π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1.(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)若y ＝f (x )的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0，求函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，3π5上的最值. (2016·全国Ⅲ卷)若tan θ＝－13，则cos 2θ＝( )A.－45 B.－15 C.15 D.45 1..sin 10°1－3tan 10°＝( )A.14 B.12C.32 D .12..(2017·江苏卷)若tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝16，则tan α＝________.3.(2017·全国Ⅰ卷)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，tan α＝2，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝________.4.．已知sin α＝35，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，tan(π－β)＝12，则tan(α－β)的值为( )A ．－211 B.211 C.112 D ．－1125.．设sin 2α＝－sin α，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则tan 2α的值是________．3．下列式子的运算结果为3的是( ) ①tan 25°＋tan 35°＋3tan 25°tan 35°；②2(sin 35°cos 25°＋cos 35°cos 65°)； ③1＋tan 15°1－tan 15°；④tan π61－tan2π6.A ．①②④B ．③④C ．①②③D ．②③④6.(2016·高考全国卷Ⅱ)若cos(π4－α)＝35，则sin 2α＝( )1、已知θ是第三象限角，且4459sincos θθ+=，那么2sin θ等于（） A 、3B 、3-C 、23D 、23- 2、函数222y sin x x =-+的最小正周期 A 、2π B 、π C 、3π D 、4π 3、tan 70cos10(3tan 201)-等于 （ ）A 、1B 、2C 、－1D 、－2 4、设10,sin cos 2απαα<<+=，则cos2α＝＿＿＿＿＿。
任意角和弧度制及任意角的三角函数课件
角函数
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第三章
三角函数
栏目导引
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第三章
三角函数
栏目导引
1．角的有关概念
(1)按旋转方向不同分为 正角、负角、零角 ．
(2)按终边位置不同分为 象限角和轴线角 ． (3)终边相同的角 终边与角α相同的角可写成 α＋k·360°(k∈Z) ．
工具
第三章
三角函数
栏目导引
【思考探究】 (1)终边相同的角相等吗？它们的大小有何关系？ (2)锐角是第一象限角，第一象限角是锐角吗？小于90°的角是锐 角吗？ 提示： (1)终边相同的角不一定相等，它们相差360°的整数倍． (2)第一象限角不一定是锐角，如390°，－300°都是第一象限角， 但它们不是锐角．
和角公式Βιβλιοθήκη 倍角公式和半 角公式、积化 和差与和差化 积
正弦定理和余 掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量 弦定理 问题．
正弦定理、余 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量 弦定理的应用 和几何计算有关的实际问题. 举例
工具
第三章
三角函数
栏目导引
第1课时 任意角和弧度制及任意角的三
知识点
考纲下载 1.会用向量知识或三角函数线推导出两角差的余弦公式． 2.能利用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公 式． 3.能利用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正 切公式，了解它们的内在联系． 1.能利用两角和的正弦、余弦和正切公式导出二倍角的正弦、 余弦、正切公式，了解它们的内在联系． 2.能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、 和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆)．
；
第三章
三角函数
任意角和弧度制及任意角的三角函数
tan θ 的值. 世纪金榜导学号
【解析】由题意得r=
3 m2,所以sin θ=
m=
3 m2
2m 4
(m≠0),所以m=± 5 ,故角θ是第二或第三象限角.
【拓展】求 或nθ (n∈N*)所在象限的方法
n
(1)将θ 的范围用不等式(含有k)表示.
(2)两边同除以n或乘以n.
(3)对k进行讨论,得到
n
或nθ
(n∈N*)所在的象限.
提醒:注意“顺转减,逆转加”的应用,如角α 的终边逆 时针旋转180°可得角α +180°的终边,类推可知 α +k·180°(k∈Z)表示终边落在角α 的终边所在直线 上的角.
任意角三角函数的定义,是三角函数的最基本的概 念,很多知识点都是在其基础之上派生出来的.试题常 以选择题、填空题形式出现,考查符号的判断、比较大 小、解不等式及求值等问题.
命题角度1 三角函数值符号的判断问题
【典例】sin 2·cos 3·tan 4的值 ( )
A.小于0
B.大于0
C.等于0
D.不存在
C.510°
D.-150°
【解析】选B.与角330°的终边相同的角为
α =k·360°+330°(k∈Z),令k=-2,可得α =-390°.
4.(2018·福州模拟)与-2 010°终边相同的最小正角 是________.
【解析】因为-2 010°=(-6)×360°+150°, 所以150°与-2 010°终边相同,又终边相同的两个角 相差360°的整数倍,所以在0°～360°中只有150°与 -2 010°终边相同,故与-2 010°终边相同的最小正角 是150°. 答案:150°
高考数学复习：任意角和弧度制及任意角的三角函数
当m=- 5 时,r=2 2,点P的坐标为 （ 3, 5）,
所以cos x 3 6 ，tan y 5 15 ,
r 22 4
x 3 3
综上可知,cos θ=- ,t6an θ=- 或c1o5 s θ=- , 6
2
2.若圆弧长度等于圆内接正方形的边长,则该圆弧所对
圆心角的弧度数为 ( )
A.
B.
C. 2
D. 2
4
2
2
【解析】选D.设圆的直径为2r,则圆内接正方形的边长 为 2r, 因为圆的圆弧长度等于该圆内接正方形的边长, 所以圆弧的长度为 2r, 所以圆心角弧度为 2r 2.
r
考点三 任意角三角函数的定义及应用 【明考点·知考法】
【典例】函数y= sin x 3 的定义域为________.
2
世纪金榜导学号
【解析】由题意可得sin x- ≥30,即sin x≥ .作 3
2
2
直线y= 3交单位圆于A,B两点,连接OA,OB,则OA与OB围
2
成的区域(图中阴影部分含边界)即为角x的终边的范围,
故满足条件的角x的集合为
{x|2k x 2k 2 , k Z}.
2
答案:6π
题组二:走进教材
1.(必修4P5T4改编)下列与 9 的终边相同的角的表达
4
式中正确的是 ( )
A.2kπ+45°(k∈Z) C.k·360°-315°(k∈Z)
B.k·360°+ 9 π(k∈Z)
4
D.kπ+ 5 (k∈Z)
4
【解析】选C.由定义知终边相同的角的表达式中不能
同时出现角度和弧度,应为 +2kπ或k·360°+45°
第一节 任意角、弧度制及任意角的三角函数
第一节任意角、弧度制及任意角的三角函数高考概览：1.了解任意角的概念；2.了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化；3.理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．[知识梳理]1．角的概念的推广(1)定义：角可以看成平面内的一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．2．弧度制的定义和公式(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad.(2)公式3.任意角的三角函数[辨识巧记]1．区分两个概念(1)第一象限角未必是锐角，但锐角一定是第一象限角．(2)不相等的角未必终边不相同，终边相同的角也未必相等．2．两个关注点(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．(2)在同一个问题中采用的度量制度必须一致，不能混用．[双基自测]1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)小于90°的角是锐角．()(2)锐角是第一象限角，反之亦然．()(3)将表的分针拨快5分钟，则分针转过的角度是30°.()(4)相等的角终边一定相同，终边相同的角也一定相等．()[答案](1)×(2)×(3)×(4)×2．(必修4P10A组T10改编)单位圆中，200°的圆心角所对的弧长为( )A ．10πB ．9π C.910π D.109π[解析] ∵200°＝10π9，∴单位圆中，200°的圆心角所对的弧长为l ＝10π9×1＝10π9.故选D.[答案] D3．(必修4P 15练习T 6改编)若角θ满足tan θ>0，sin θ<0，则角θ所在的象限是( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限[解析] 由正切和正弦的象限符号可知，在第三象限．故选C.[答案] C4．已知角α的终边与单位圆交于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，35，则tan α＝( ) A ．－43 B ．－45 C ．－35 D ．－34[解析] 根据三角函数的定义，tan α＝y x ＝35－45＝－34，故选D. [答案] D5．在(0,2π)内，使sin x >cos x 成立的x 的取值范围为________．[解析] 如图所示，找出在(0,2π)内，使sin x ＝cos x 的x 值，sin π4＝cos π4＝22，sin 5π4＝cos 5π4＝－22.根据三角函数线的变化规律标出满足题中条件的角x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，5π4.[答案] ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，5π4考点一 角的概念及集合表示【例1】 (1)若α是第三象限角，且cos α2>0，则α2是第________象限角． (2)终边在直线y ＝3x 上的角的集合是________．[解析] (1)解法一：∵α是第三象限角，∴2k π＋π<α<2k π＋3π2(k∈Z )，则k π＋π2<α2<k π＋3π4(k ∈Z )．当k ＝2n (n ∈N )时，2n π＋π2<α2<2n π＋3π4，不满足cos α2>0，舍去．当k ＝2n ＋1(n ∈N )时，2n π＋π＋π2<α2<2n π＋π＋3π4，满足cos α2>0，∴α2是第四象限角．解法二：利用等分象限角的方法，可以判断α2是第二或四象限角，又因为cos α2>0，所以α2是第四象限角．(2)在(0，π)内终边在直线y ＝3x 上的角是π3，∴终边在直线y ＝3x 上的角的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪α＝π3＋k π，k ∈Z . [答案] (1)四 (2)⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝π3＋k π，k ∈Z(1)确定kα，αk (k ∈N *)的终边位置3步骤①用终边相同角的形式表示出角α的范围；②再写出kα或αk 的范围；③然后根据k 的可能取值讨论确定kα或αk 的终边所在位置．(2)终边在某直线上角的求法3步骤①数形结合，在平面直角坐标系中画出该直线；②按逆时针方向写出[0，π)内的角β；③{α|α＝k π＋β，k ∈Z }．[对点训练]1．给出下列四个命题：①－3π4是第二象限角；②4π3是第三象限角；③－400°是第四象限角；④－350°是第一象限角．其中正确的命题有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个[解析] －3π4是第三象限角；4π3是第三象限角；－400°＝－40°－360°，所以－400°是第一象限角；－350°＝10°－360°，所以350°是第一象限角．故②④正确，故选B.[答案] B2．设集合M ＝⎩⎨⎧ x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＝k 2×180°＋45°，k ∈Z ， N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＝k 4×180°＋45°，k ∈Z ，则两集合的关系是( ) A ．N ⊆M B ．M ＝N C ．M ND ．M ∩N ＝∅ [解析] 因为M ＝{x |x ＝(2k ＋1)·45°，k ∈Z }表示的是终边落在四个象限的平分线上的角的集合； 而集合N ＝{x |x ＝(k ＋1)·45°，k ∈Z }表示终边落在坐标轴或四个象限平分线上的角的集合，所以：M N .故选C.[答案] C考点二 扇形的弧长和面积公式【例2】 已知一扇形的圆心角为α(α>0)，所在圆的半径为R .(1)若α＝60°，R ＝10 cm ，求扇形的弧长．(2)若扇形的周长是一定值C (C >0)，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？[思路引导] (1)化α为弧度制→代入弧长公式求解(2)利用扇形周长为C 确定α和R 的关系→用α表示扇形的面积S →借助函数知识求解[解] (1)设弧长为l ，则α＝60°＝π3，R ＝10，l ＝π3×10＝10π3(cm)．(2)解法一：扇形周长C ＝2R ＋l ＝2R ＋αR ，∴R ＝C2＋α， ∴S 扇＝12α·R 2＝12α·⎝ ⎛⎭⎪⎫C 2＋α2 ＝C 22α·14＋4α＋α2＝C 22·14＋α＋4α≤C 216.当且仅当α2＝4，即α＝2时，扇形面积有最大值C 216.解法二：扇形周长C ＝2R ＋l ，面积S ＝12lR ＝12R (C －2R )＝－R 2＋12CR ＝－⎝⎛⎭⎪⎫R －C 42＋C 216⎝ ⎛⎭⎪⎫0<R <C 2， 当且仅当R ＝C 4，即C ＝4R 时，扇形的面积S 最大，此时C ＝4R ＝2R ＋l ，l ＝2R ，由l ＝2R 得α＝2，即α＝2时，扇形面积有最大值C 216.涉及弧长和扇形面积的计算时，可用的公式有角度表示和弧度表示两种，其中弧度表示的公式结构简单，易记好用，在使用前，应将圆心角用弧度表示．弧长和扇形面积公式：l ＝|α|R ，S ＝12|α|R 2＝12lR .在公式的选择上以简单，计算量小为原则，如本例(2)中解法二比解法一计算量小．[对点训练]已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为( )A ．2B ．4C ．6D ．8[解析] 由S ＝12×4×R 2＝2，得R ＝1，所以弧长l＝4×1＝4，故扇形的周长C＝2R＋l＝2＋4＝6.故选C.[答案] C考点三三角函数的定义任意角的三角函数的定义属于理解内容，单独考查时不多，多结合其他知识一起考查，以选择、填空题形式出现．常见的命题角度有：(1)求三角函数值；(2)判断三角函数值的符号；(3)利用三角函数线解不等式．角度1：求三角函数值【例3－1】已知角α的终边上一点P(－3，m)(m≠0)，且sinα＝2m4，求cosα，tanα的值．[解]设P(x，y)．由题设知x＝－3，y＝m，所以r2＝|OP|2＝(－3)2＋m2(O为原点)，r＝3＋m2，所以sinα＝mr＝2m4＝m22，所以r＝3＋m2＝22，3＋m2＝8，解得m＝±5. 当m＝5时，r＝22，x＝－3，y＝5，所以cosα＝－322＝－64，tanα＝－153；当m ＝－5时，r ＝22，x ＝－3，y ＝－5，所以cos α＝－322＝－64，tan α＝153. 角度2：判断三角函数值的符号【例3－2】 若sin α·tan α<0，且cos αtan α<0，则角α是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角[解析] 由sin α·tan α<0可知sin α，tan α异号，从而α为第二或第三象限的角，由cos αtan α<0，可知cos α，tan α异号．从而α为第三或第四象限角．综上，α为第三象限角．故选C.[答案] C角度3：利用三角函数线解不等式【例3－3】 函数y ＝lg(3－4sin 2x )的定义域为________． [思路引导] 真数大于0→解三角不等式→ 单位圆中正弦线→看图得结果[解析] ∵3－4sin 2x >0，∴sin 2x <34， ∴－32<sin x <32.利用三角函数线画出x 满足条件的终边范围(如图阴影部分所示)．∴x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π3，k π＋π3(k ∈Z )．[答案] ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π3，k π＋π3(k ∈Z )(1)定义法求三角函数的3种情况①已知角α终边上一点P 的坐标，则可先求出点P 到原点的距离r ，然后用三角函数的定义求解．②已知角α的某三角函数值，可求角α终边上一点P 的坐标中的参数值，可根据定义中的两个量列方程求参数值．③已知角α的终边所在的直线方程或角α的大小，根据三角函数的定义可求角α终边上某特定点的坐标．(2)三角函数符号在理解的基础上可借助口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦．(3)在解简单的三角不等式时，利用单位圆及三角函数线是一个小技巧．[对点训练]1．已知角α的终边经过点(－4,3)，则cos α＝( ) A.45 B.35 C ．－35 D ．－45[解析] 根据题，cos α＝－4(－4)2＋32＝－45.故选D. [答案] D2．已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且sin α>0，cos α<0，则a 的取值范围是________．[解析] 因为sin α>0，cos α<0，所以α是第二象限角．所以点(3a －9，a ＋2)在第二象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧3a －9<0，a ＋2>0，解得－2<a <3.[答案] (－2,3)3．函数y ＝2cos x －1的定义域为________． [解析] ∵2cos x －1≥0，∴cos x ≥12.由三角函数线画出x 满足条件的终边的范围．∴x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π3，2k π＋π3(k ∈Z )．[答案] ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π3，2k π＋π3(k ∈Z )课后跟踪训练(二十)基础巩固练一、选择题1．下列角中终边与330°相同的角是( ) A ．30° B ．－30° C ．630° D ．－630°[解析] 因为330°的角的终边与－30°的角的终边相同，所以选项B 满足题意．故选B.[答案] B2．若sin α＝－513，且α为第四象限角，则tan α的值等于( )A.125 B ．－125 C.512 D ．－512[解析] 因为sin α＝－513，且α为第四象限角，所以cos α＝1213，所以tan α＝－512，故选D.[答案] D3．若角α＝2 rad(rad 为弧度制单位)，则下列说法错误的是( ) A ．角α为第二象限角B ．α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫360π°C ．sin α>0D ．sin α<cos α[解析] 对于A ，∵π2<α<π，∴角α为第二象限角，故A 正确；对于B ，α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫360π°＝2 rad ，故B 正确；对于C ，sin α>0，故C 正确；对于D ，sin α>0，cos α<0，故D 错误．故选D.[答案] D4．已知扇形的周长是6 cm ，面积是2 cm 2，则扇形的圆心角α的弧度数是( )A ．1B ．4C ．1或4D ．2或4[解析] 设扇形的半径为r cm ，弧长为l cm ，则l ＋2r ＝6，S ＝12lr ＝2，解得r ＝2，l ＝2或r ＝1，l ＝4，故α＝lr ＝1或4，故选C.[答案] C5．集合⎭⎬⎫{α⎪⎪⎪k π＋π4≤α≤k π＋π2，k ∈Z 中的角所表示的范围(阴影部分)是( )[解析] 当k ＝2n (n ∈Z )时，2n π＋π4≤α≤2n π＋π2，此时α表示的范围与π4≤α≤π2表示的范围一样；当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，2n π＋π＋π4≤α≤2n π＋π＋π2，此时α表示的范围与π＋π4≤α≤π＋π2表示的范围一样．故选C.[答案] C 二、填空题6．若α＝k ·180°＋45°，k ∈Z ，则α为________象限角． [解析] α＝k ·180°＋45°＝k 2·360°＋45°.当k 为偶数时，α为第一象限角；当k 为奇数时，α为第三象限角．综上，α为第一或第三象限角．[答案] 第一或第三7．若点⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 5π6，cos 5π6在角α的终边上，则sin α的值为________． [解析] ∵角α的终边上一点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 5π6，cos 5π6，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－32，∴由任意角的三角函数的定义，可得sin α＝－32.[答案] －328．已知圆O ：x 2＋y 2＝4与y 轴正半轴的交点为M ，点M 沿圆O 顺时针运动π2弧长到达点N ，以ON 为终边的角记为α，则tan α＝________.[解析] 圆的半径为2，π2的弧长对应的圆心角为π4，故以ON 为终边的角为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝2k π＋π4，k ∈Z ，故tan α＝1.[答案] 1 三、解答题9．(1)设90°<α<180°，P (x,4)为其终边上的一点，且cos α＝15x ，求tan α.(2)已知角θ的终边上有一点P (x ，－1)(x ≠0)，且tan θ＝－x ，求sin θ，cos θ.[解] (1)∵90°<α<180°，∴cos α<0，∴x <0. 又cos α＝15x ＝x x 2＋16，∴x ＝－3.∴tan α＝4x ＝－43.(2)∵θ的终边过点(x ，－1)，∴tan θ＝－1x ， 又∵tan θ＝－x ，∴x 2＝1，∴x ＝±1. 当x ＝1时，sin θ＝－22，cos θ＝22； 当x ＝－1时，sin θ＝－22，cos θ＝－22.10．(1)已知扇形周长为10，面积是4，求扇形的圆心角； (2)一个扇形OAB 的面积是1 cm 2，它的周长是4 cm ，求圆心角的弧度数和弦长AB .[解] (1)设圆心角是θ，半径是r ，则⎩⎨⎧2r ＋rθ＝10，12θ·r 2＝4，解得⎩⎨⎧r ＝4，θ＝12，或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1，θ＝8.(舍去)． ∴扇形的圆心角为12.(2)设圆的半径为r cm ，弧长为l cm ，则⎩⎨⎧12lr ＝1，l ＋2r ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1，l ＝2.∴圆心角α＝lr ＝2.如图，过O 作OH ⊥AB 于H ，则∠AOH ＝1 rad. ∴AH ＝1·sin1＝sin1(cm)， ∴AB ＝2sin1(cm)．能力提升练11．(2019·江西南昌二中测试)已知角α终边上一点P 的坐标是(2sin2，－2cos2)，则sin α等于( )A ．sin2B ．－sin2C ．cos2D ．－cos2[解析] r ＝(2sin2)2＋(－2cos2)2＝2.由任意角的三角函数的定义，得sin α＝yr ＝－cos2，故选D.[答案] D12．(2019·山东济南外国语学校段考)下列结论中错误的是( ) A ．若0<α<π2，则sin α<tan αB ．若α是第二象限角，则α2为第一象限或第三象限角 C ．若角α的终边过点P (3k,4k )(k ≠0)，则sin α＝45D ．若扇形的周长为6，半径为2，则其圆心角的大小为1弧度 [解析] 选项A ，若0<α<π2，则sin α<tan α＝sin αcos α，A 正确；选项B ，若α是第二象限角，即α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π＋π2，2k π＋π，k ∈Z ，则α2∈⎝⎛⎭⎪⎫k π＋π4，k π＋π2，k ∈Z ，为第一象限或第三象限角，B 正确；选项C ，若角α的终边过点P (3k,4k )(k ≠0)，则sin α＝4k 9k 2＋16k 2＝4k 5|k |，不一定等于45，C 不正确；选项D ，若扇形的周长为6，半径为2，则弧长＝6－2×2＝2，其圆心角的大小为22＝1弧度，D 正确．故选C.[答案] C13．(2018·北京第三十五中学期中)如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，角α的终边与单位圆的交点A 在第二象限．若cos α＝－35，则点A 的坐标为________．[解析] ∵cos α＝－35，∴sin α＝1－cos 2α＝45，∴A ⎝⎛⎭⎪⎫－35，45.[答案] ⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，4514.如图所示，A ，B 是单位圆O 上的点，且B 在第二象限，C 是圆与x 轴的正半轴的交点，点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫513，1213，∠AOB ＝90°.(1)求cos ∠COA ； (2)求tan ∠COB .[解] (1)因为点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫513，1213，根据三角函数的定义可得cos ∠COA ＝513.(2)因为∠AOB ＝90°，sin ∠COA ＝1213， 所以cos ∠COB ＝cos(∠COA ＋90°)＝－sin ∠COA ＝－1213.又因为点B 在第二象限， 所以sin ∠COB ＝1－cos 2∠COB ＝513.故tan ∠COB ＝sin ∠COB cos ∠COB＝－512.拓展延伸练15．(2019·上海长宁、嘉定一模)设角α的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，则“α的终边在第一、二象限”是“sin α>0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] α的终边在第一、二象限能推出sin α>0，sin α>0成立能推出α的终边在第一、二象限或y 轴的正半轴上，故“α的终边在第一、二象限”是“sin α>0”的充分不必要条件．故选A.[答案] A16．(2019·河北张家口月考)若角θ满足sin θ>0，tan θ<0，则θ2是( )A ．第二象限角B ．第一象限角C ．第一或第三象限角D ．第一或第二象限角[解析] ∵角θ满足sin θ>0，tan θ<0，∴θ是第二象限角，即π2＋2k π<θ<π＋2k π，k ∈Z ，∴π4＋k π<θ2<π2＋k π，k ∈Z ，∴θ2是第一或第三象限角．故选C.[答案] C。
高一任意角和弧度制及任意角的三角函数复习
y r x cos a = r y tan a = x 0 x sin a =
1.根据三角函数的定义，确定它们的定 三角函数 定义域 义域 （弧度制
cos a tan a
y + o （ ） （ （ x （
sin a
R
R
p a a kp (k Z ) 2
2.确定三角函数值在各象限的符号
使比值有意义的角的集合即为三 角函数的定义域.
定义推广：
设角a 是一个任意角, P ( x, y )是终边上任意一点，点P 与原点的距离是r= x 2 y 2 0
那么① ② ③ 任意角
y r x r y x
叫做
a
a
的正弦，即 的余弦，即 的正弦，即
叫做 叫做
a
a 的三角函数值仅与a 有关，而与点 P在角的终边上的位置无关.
那么:（1） 叫做 （2） 叫做 （3） 叫做 y x
y a 的正弦，记作
，即 ，即
sin a ；
；
sin a = y
x a 的余弦，记作
cosa
cos a = x
。 tan a =
y
a 的正切，记作
，即tana
y ( x 0) x
P( x, y)
1
a
o
x
M
正弦，余弦，正切都是以角为 自变量，以单位圆上点的坐标 或坐标的比值为函数值的函数 ，我们将他们称为三角函数.
1 1 S扇形 = r = a r 2 2 2 1 1 S弓 =S扇形 S = r r r sin a 2 2 扇形周长=2r
l a = r
r=
l
a
思考：扇形的弧长和面积共含几个变量，已 知几个量,才能求出另外的量呢？
第一轮复习41---任意角、弧度制及任意角的三角函数
B
三角函数概念
已知角的终边过点P - 8m， - 6sin30 ，
4 且cos - ，则m的值为（ ) 5 1 1 3 3 A. B. C. D. 2 2 2 2
B
象限与符号
cos 若sintan 0, 且 0, 则是 tan 第( )象限角 A.一 B.二 C.三 D.四
角及其表示
如果是第三象限角，那么 （ 1） 的终边落在__________ _ 2 (2)2的终边落在__________ _
三角函数概念
已知角的顶点与原点重合，始 边 与x轴的正半轴重合，终边 在直线 y 2x上，则cos 2等于（ 4 A. 5 3 B. 5 3 C. 5 ） 4 D. 5
C
象限与符号
sincos 若是第二象限角，试判断 cos(sin ) 的值的符号。
负
2
2,
2 sin 1cm.
任意角的三角函数（坐标法）
y
P ( x, y )
O
X
y sin , r x cos , r y t an x
3．任意角的三角函数 任意角 α 的终边与单位圆交于点 P(x，y)时，sin α＝ ， cos α＝ ，tan α＝ 下表： 三角 函数 sin α cos α tan α 定义域 第一象 第二象 第三象 第四象 限符号 限符号 限符号 限符号 ＋ ＋ ＋ ＋ － － － － ＋ － ＋ －
180
1 ,
扇形
弧长公式：l | | r , 1 1 2 面积公式：S lr | | r 2 2
扇形
已知扇形的周长为 4cm，当它的半径 为 ____和圆心角为_____弧度时，扇 形的面积最大，这个最 大面积是 ____
任意角和弧度制及任意角的三角函数考点与提醒归纳
任意角和弧度制及任意角的三角函数考点与提醒归纳一、基础知识1．角的概念的推广(1)定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．(2)分类⎩⎪⎨⎪⎧按旋转方向不同分为正角、负角、零角.按终边位置不同分为象限角和轴线角.(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S ＝{β|β＝α＋2k π，k ∈Z }．终边相同的角不一定相等，但相等的角其终边一定相同．2．弧度制的定义和公式(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad. (2)公式：有关角度与弧度的两个注意点(1)角度与弧度的换算的关键是π＝180°，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用．(2)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度． 3．任意角的三角函数(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝yx (x ≠0)．(2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示．正弦线的起点都在x 轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0)．如图中有向线段MP ，OM ，AT 分别叫做角α的正弦线、余弦线和正切线．二、常用结论汇总——规律多一点(1)一个口诀三角函数值在各象限的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦． (2)三角函数定义的推广设点P (x ，y )是角α终边上任意一点且不与原点重合，r ＝|OP |，则sin α＝y r ，cos α＝xr ，tan α＝yx(x ≠0)．(3)象限角(4)轴线角考点一 象限角及终边相同的角[典例] (1)若角α是第二象限角，则α2是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第一或第三象限角D ．第二或第四象限角(2)终边在直线y ＝3x 上，且在[－2π，2π)内的角α的集合为________． [解析] (1)∵α是第二象限角， ∴π2＋2k π<α<π＋2k π，k ∈Z ， ∴π4＋k π<α2<π2＋k π，k ∈Z. 当k 为偶数时，α2是第一象限角；当k 为奇数时，α2是第三象限角．故选C.(2)如图，在坐标系中画出直线y ＝3x ，可以发现它与x 轴的夹角是π3，在[0,2π)内，终边在直线y ＝3x 上的角有两个：π3，4π3；在[－2π，0)内满足条件的角有两个：－2π3，－5π3，故满足条件的角α构成的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－5π3，－2π3，π3，4π3.[答案] (1)C (2)⎩⎨⎧⎭⎬⎫－5π3，－2π3，π3，4π3[题组训练]1．集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪k π≤α≤k π＋π4，k ∈Z 中的角所表示的范围(阴影部分)是( )解析：选B 当k ＝2n (n ∈Z )时，2n π≤α≤2n π＋π4(n ∈Z )，此时α的终边和0≤α≤π4的终边一样，当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，2n π＋π≤α≤2n π＋π＋π4(n ∈Z )，此时α的终边和π≤α≤π＋π4的终边一样． 2．在－720°～0°范围内所有与45°终边相同的角为________． 解析：所有与45°终边相同的角可表示为： β＝45°＋k ×360°(k ∈Z )，则令－720°≤45°＋k ×360°<0°(k ∈Z )， 得－765°≤k ×360°<－45°(k ∈Z )， 解得－765360≤k <－45360(k ∈Z )，从而k ＝－2或k ＝－1， 代入得β＝－675°或β＝－315°. 答案：－675°或－315°考点二 三角函数的定义[典例] 已知角α的终边经过点P (－x ，－6)，且cos α＝－513，则1sin α＋1tan α＝________.[解析] ∵角α的终边经过点P (－x ，－6)，且cos α＝－513，∴cos α＝－x x 2＋36＝－513，解得x ＝52或x ＝－52(舍去)，∴P ⎝⎛⎭⎫－52，－6，∴sin α＝－1213， ∴tan α＝sin αcos α＝125，则1sin α＋1tan α＝－1312＋512＝－23.[答案] －23[解题技法]用定义法求三角函数值的2种类型及解题方法(1)已知角α终边上一点P 的坐标，则可先求出点P 到原点的距离r ，然后用三角函数的定义求解．(2)已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后用三角函数的定义来求解．[题组训练]1．已知角α的终边经过点(3，－4)，则sin α＋1cos α＝( )A ．－15B.3715C.3720D.1315解析：选D ∵角α的终边经过点(3，－4)，∴sin α＝－45，cos α＝35，∴sin α＋1cos α＝－45＋53＝1315. 2．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos 2θ＝( )A ．－45B ．－35C ．35D ．45解析：选B 设P (t,2t )(t ≠0)为角θ终边上任意一点，则cos θ＝t5|t |.当t >0时，cos θ＝55；当t <0时，cos θ＝－55.因此cos 2θ＝2cos 2θ－1＝25－1＝－35. 考点三 三角函数值符号的判定[典例] 若sin αtan α<0，且cos αtan α<0，则角α是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角D ．第四象限角[解析] 由sin αtan α<0可知sin α，tan α异号， 则α为第二象限角或第三象限角． 由cos αtan α<0可知cos α，tan α异号， 则α为第三象限角或第四象限角． 综上可知，α为第三象限角． [答案] C[解题技法] 三角函数值符号及角所在象限的判断三角函数在各个象限的符号与角的终边上的点的坐标密切相关．sin θ在一、二象限为正，cos θ在一、四象限为正，tan θ在一、三象限为正.学习时首先把取正值的象限记清楚，其余的象限就是负的，如sin θ在一、二象限为正，那么在三、四象限就是负的．值得一提的是：三角函数的正负有时还要考虑坐标轴上的角，如sin π2＝1>0，cos π＝－1<0.[题组训练]1．下列各选项中正确的是( ) A ．sin 300°>0 B ．cos(－305°)<0 C ．tan ⎝⎛⎭⎫－22π3>0 D ．sin 10<0解析：选D 300°＝360°－60°，则300°是第四象限角，故sin 300°<0；－305°＝－360°＋55°，则－305°是第一象限角，故cos(－305°)>0；－22π3＝－8π＋2π3，则－22π3是第二象限角，故tan ⎝⎛⎭⎫－22π3<0；3π<10<7π2，则10是第三象限角，故sin 10<0，故选D. 2．已知点P (cos α，tan α)在第三象限，则角α的终边在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：选B 由题意得⎩⎨⎧cos α<0，tan α<0⇒⎩⎪⎨⎪⎧cos α<0，sin α>0，所以角α的终边在第二象限．[课时跟踪检测]A 级1．已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为( ) A ．2 B ．4 C ．6D ．8解析：选C 设扇形的半径为r (r >0)，弧长为l ，则由扇形面积公式可得2＝12lr ＝12|α|r 2＝12×4×r 2，解得r ＝1，l ＝|α|r ＝4，所以所求扇形的周长为2r ＋l ＝6. 2．(2019·石家庄模拟)已知角α(0°≤α<360°)终边上一点的坐标为(sin 150°，cos 150°)，则α＝( )A ．150°B ．135°C ．300°D ．60°解析：选C 由sin 150°＝12 >0，cos 150°＝－32<0，可知角α终边上一点的坐标为⎝⎛⎭⎫12，－32，故该点在第四象限，由三角函数的定义得sin α＝－32，因为0°≤α<360°，所以角α为300°.3．(2018·长春检测)若角α的顶点为坐标原点，始边在x 轴的非负半轴上，终边在直线y ＝－3x 上，则角α的取值集合是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪α＝2k π－π3，k ∈Z B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪α＝2k π＋2π3，k ∈Z C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪ α＝k π－2π3，k ∈Z D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪α＝k π－π3，k ∈Z 解析：选D 当α的终边在射线y ＝－3x (x ≤0)上时，对应的角为2π3＋2k π，k ∈Z ，当α的终边在射线y ＝－3x (x ≥0)上时，对应的角为－π3＋2k π，k ∈Z ，所以角α的取值集合是⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪α＝k π－π3，k ∈Z .4．已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且cos α≤0，sin α＞0，则实数a 的取值范围是( )A ．(－2,3]B ．(－2,3)C ．[－2,3)D ．[－2,3]解析：选A 由cos α≤0，sin α＞0可知，角α的终边落在第二象限或y 轴的正半轴上，所以有⎩⎪⎨⎪⎧3a －9≤0，a ＋2＞0，解得－2＜a ≤3.5．在平面直角坐标系xOy 中，α为第二象限角，P (－3，y )为其终边上一点，且sin α＝2y4，则y 的值为( ) A.3 B ．－5 C.5 D.3或5解析：选C 由题意知|OP |＝3＋y 2，则sin α＝y 3＋y 2＝2y4，解得y ＝0(舍去)或y ＝±5，因为α为第二象限角，所以y >0，则y ＝ 5.6．已知角α＝2k π－π5(k ∈Z )，若角θ与角α的终边相同，则y ＝sin θ|sin θ|＋cos θ|cos θ|＋tan θ|tan θ|的值为( )A ．1B ．－1C ．3D ．－3解析：选B 由α＝2k π－π5(k ∈Z )及终边相同的概念知，角α的终边在第四象限，因为角θ与角α的终边相同，所以角θ是第四象限角，所以sin θ＜0，cos θ＞0，tan θ＜0.所以y ＝－1＋1－1＝－1. 7．已知一个扇形的圆心角为3π4，面积为3π2，则此扇形的半径为________． 解析：设此扇形的半径为r (r >0)，由3π2＝12×3π4×r 2，得r ＝2.答案：28．(2019·江苏高邮模拟)在平面直角坐标系xOy 中，60°角终边上一点P 的坐标为(1，m )，则实数m 的值为________．解析：∵60°角终边上一点P 的坐标为(1，m )，∴tan 60°＝m1，∵tan 60°＝3，∴m ＝ 3.答案：39．若α＝1 560°，角θ与α终边相同，且－360°＜θ＜360°，则θ＝________. 解析：因为α＝1 560°＝4×360°＋120°， 所以与α终边相同的角为360°×k ＋120°，k ∈Z ， 令k ＝－1或k ＝0，可得θ＝－240°或θ＝120°. 答案：120°或－240°10．在直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点，A (3，1)，将点A 绕O 逆时针旋转90°到B 点，则B 点坐标为__________．解析：依题意知OA ＝OB ＝2，∠AOx ＝30°，∠BOx ＝120°， 设点B 坐标为(x ，y )，则x ＝2cos 120°＝－1，y ＝2sin 120°＝3，即B (－1，3)． 答案：(－1，3)11．已知1|sin α|＝－1sin α，且lg(cos α)有意义．(1)试判断角α所在的象限；(2)若角α的终边上一点M ⎝⎛⎭⎫35，m ，且|OM |＝1(O 为坐标原点)，求m 的值及sin α的值． 解：(1)由1|sin α|＝－1sin α，得sin α<0，由lg(cos α)有意义，可知cos α>0， 所以α是第四象限角．(2)因为|OM |＝1，所以⎝⎛⎭⎫352＋m 2＝1，解得m ＝±45. 又因为α是第四象限角，所以m <0， 从而m ＝－45，sin α＝y r ＝m |OM |＝－451＝－45.12．已知α为第三象限角． (1)求角α2终边所在的象限；(2)试判断 tan α2sin α2cos α2的符号．解：(1)由2k π＋π＜α＜2k π＋3π2，k ∈Z ， 得k π＋π2＜α2＜k π＋3π4，k ∈Z ，当k 为偶数时，角α2终边在第二象限；当k 为奇数时，角α2终边在第四象限．故角α2终边在第二或第四象限．(2)当角α2在第二象限时，tan α2＜0，sin α2＞0, cos α2＜0，所以tan α2sin α2cos α2取正号；当角α2在第四象限时，tan α2＜0，sin α2＜0, cos α2＞0， 所以 tan α2sin α2cos α2也取正号．因此tan α2sin α2cos α2取正号．B 级1．若－3π4<α<－π2，从单位圆中的三角函数线观察sin α，cos α，tan α的大小是( )A ．sin α<tan α<cos αB ．cos α<sin α<tan αC ．sin α<cos α<tan αD ．tan α<sin α<cos α解析：选C 如图所示，作出角α的正弦线MP ，余弦线OM ，正切线AT ，因为－3π4 <α<－π2，所以α终边位置在图中的阴影部分，观察可得AT >OM >MP ，故有sin α<cos α<tan α.2．已知点P (sin α－cos α，tan α)在第一象限，且α∈[0,2π]，则角α的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫π2，3π4∪⎝⎛⎭⎫π，5π4B.⎝⎛⎭⎫π4，π2∪⎝⎛⎭⎫π，5π4C.⎝⎛⎭⎫π2，3π4∪⎝⎛⎭⎫5π4，3π2D.⎝⎛⎭⎫π4，π2∪⎝⎛⎭⎫3π4，π解析：选B 因为点P 在第一象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧ sin α－cos α>0，tan α>0，即⎩⎨⎧sin α>cos α，tan α>0.由tan α>0可知角α为第一或第三象限角，画出单位圆如图．又sin α>cos α，用正弦线、余弦线得满足条件的角α的终边在如图所示的阴影部分(不包括边界)，即角α的取值范围是⎝⎛⎭⎫π4，π2∪⎝⎛⎭⎫π，5π4.3．已知角θ的终边过点P (－4a,3a )(a ≠0)．(1)求sin θ＋cos θ的值；(2)试判断cos(sin θ)·sin(cos θ)的符号．解：(1)因为角θ的终边过点P (－4a,3a )(a ≠0)，所以x ＝－4a ，y ＝3a ，r ＝5|a |，当a ＞0时，r ＝5a ，sin θ＋cos θ＝35－45＝－15； 当a ＜0时，r ＝－5a ，sin θ＋cos θ＝－35＋45＝15. (2)当a ＞0时，sin θ＝35∈⎝⎛⎭⎫0，π2， cos θ＝－45∈⎝⎛⎭⎫－π2，0， 则cos(sin θ)·sin(cos θ)＝cos 35·sin ⎝⎛⎭⎫－45＜0； 当a ＜0时，sin θ＝－35∈⎝⎛⎭⎫－π2，0， cos θ＝45∈⎝⎛⎭⎫0，π2， 则cos(sin θ)·sin(cos θ)＝cos ⎝⎛⎭⎫－35·sin 45＞0. 综上，当a ＞0时，cos(sin θ)·sin(cos θ)的符号为负；当a ＜0时，cos(sin θ)·sin(cos θ)的符号为正．。
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第三章 三角函数、解三角形
抢分课堂·数学（理）
命 题 解读
真题体验 命题解读 思维导图 考点梳理 题型建构 母题变式 经典题集训
高频考点
1.了解任意角的概念. 2.了解弧度制的概念，能进 行弧度与角度的互化. 3.理解任意角的三角函数( 正弦、余弦、正切)的定义.
重要度 ★★★★
近5年高考 命题分值
A 函数 f(x)＝sin(ωx＋π4)的导数为 f ′(x)＝ωcos(ωx＋π4)， 要使函数 f(x)＝sin(ωx＋π4)在(π2，π)上单调递减，则有 f ′(x)＝ ωcos(ωx＋4π)≤0 恒成立，则π2＋2kπ≤ωx＋4π≤32π＋2kπ，即4π＋ 2kπ≤ωx≤54π＋2kπ，所以4πω＋2ωkπ≤x≤4πω＋2ωkπ，k∈Z，当 k ＝0 时，4πω≤x≤45ωπ ，又π2<x<π，所以有4πω≤2π，45ωπ ≥π，解得 ω≥12， ω≤54，即12≤ω≤54，选 A.
第三章
三角函数、解三角形
第15讲 任意角的弧度制及任意角的三角函数
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真题体验 命题解读
第三章 三角函数、解三角形
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真 题 体验
第三章 三角函数、解三角形
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考点3 三角函数线
设角α的顶点在坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，终边
与单位圆相交于点P，过P作PM垂直于x轴于M，则点M是点P 在x 轴 上 的__正__射__影__ ． 由三角 函数的定 义知 ， 点 P 的坐标为 _(_co_s_α_，__s_i_n_α_)__ ，即P_(_c_o_s_α_，__s_in_α_)___，其中cosα＝O__M__，sinα
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考 点 梳理
考点1 任意角 (1)角的概念的推广 ①按旋转方向不同分为_正__角___、负__角___、_零__角__． ②按终边位置不同分为__象__限__角__和_轴__线__角___． (2)终边相同的角 终边与角α相同的角可写成α＋k·360°(k∈Z)．
第三章 三角函数、解三角形
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B 解法一：取特值 x＝0 时 t＝0，则 y＝1，排除 A，D， 取 x＝2π时 t＝1－ 22≈0.3<0.5，y＝0，选 B.
解法二：依题意可知 cos2x＝1－t，则 y＝cosx＝2cos22x－1 ＝2(1－t)2－1(0≤t≤1)，选 B.
★★★★ 5分
★★
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思维导图 考点梳理
第三章 三角函数、解三角形
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思 维 导图
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第三章 三角函数、解三角形
－π6)，∵sin(x－6π)∈[－1,1]，∴f(x)值域为[－ 3， 3]．
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3．(2013江西卷文.10)如图，已知l1⊥l2，圆心在l1上、半 径为1 m的圆O在t＝0时与l2相切于点A，圆O沿l1以1 m/s的速度 匀速向上移动，圆被直线l2所截上方圆弧长记为x，令y＝cosx， 则y与时间t(0≤t≤1，单位：s)的函数y＝f(t)的图象大致为( )
1．(2012 新课标理.9)已知 ω>0，函数 f(x)＝sin(ωx＋4π)在(2π，
π)上单调递减，则 ω 的取值范围是( )
A．[12，54]
B．[12，34]
C．(0，12]
D．(0,2]
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④弧度与角度的换算：360°＝2π 弧度；180°＝ π 弧度．
⑤弧长公式：l＝|α|r ，扇形面积公式：S 扇形＝12lr＝12|α|r2.
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考点 2 任意角的三角函数定义 设 α 是一个任意角，角 α 的终边上任意一点 P(x，y)，它与 原点的距离为 r(r＞0)，那么角 α 的正弦、余弦、正切分别是： sinα＝yr，cosα＝xr，tanα＝xy，它们都是以角为_自__变__量__，以比值 为__函__数__值__的函数．
零角的弧度数为__零__，|α|＝
l r
，l是以角α作为圆心角时所对圆弧
的长，r为半径．第三章 三角 Nhomakorabea数、解三角形
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③用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制，比值rl与 所取的 r 的大小 无关 ，仅与角的大小有关．
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(3)弧度制 ①1弧度的角：把__长__度__等__于__半__径__长__的__弧__所__对__的__圆__心__角___叫做
1弧度的角．
②规定：正角的弧度数为_正__数___，负角的弧度数为_负__数__，
＝_M__P_，单位圆与x轴的正半轴交于点A，单位圆在A点的切线 与α的终边或其反向延长线相交于点T，则tanα＝___A_.T我们把有 向线段OM、MP、AT叫做α的________、余__弦__线____、正__弦__线____.
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2．(2012 湖南理.6)函数 f(x)＝sinx－cos(x＋6π)的值域为
()
A．[－2,2]
B．[－ 3， 3]
C．[－1,1]
D．[－
23，
3 2]
B f(x)＝sinx－cos(x＋π6)＝sinx－ 23cosx＋12sinx＝ 3sin(x