2017-2018学年江苏省南京师大附中高一(下)期中数学试卷-教师用卷

2017-2018学年江苏省南京师大附中高一（下）期中数学试卷副标题一、填空题（本大题共14小题，共42.0分）1.不等式(x+3)(x−2)<0的解集为______．【答案】(−3,2)【解析】解：不等式(x+3)(x−2)<0，令(x+3)(x−2)=0，解得方程的实数根为−3和2，所以不等式的解集为(−3,2)．故答案为：(−3,2)．求出不等式对应方程的两个实数根，即可写出不等式的解集．本题考查了解一元二次不等式的应用问题，是基础题．2.已知等差数列{a n}的公差为3，且a2=−2，则a6=______．【答案】10【解析】解：在等差数列{a n}中，∵公差为3，且a2=−2，∴a1+d=−2，即a1=−5．则a6=a1+5d=−5+5×3=10．故答案为：10．由已知条件求解得到a1的值，然后利用等差数列的通项公式化简代值即可得答案．本题考查了等差数列的通项公式，是基础题．3.在△ABC中，若A=60∘，B=45∘，BC=1，则AC=______．【答案】√63【解析】解：∵△ABC中，A=60∘，B=45∘，BC=1，∴BCsin60∘=ACsin45∘，∴AC=BC×sin45∘sin60∘=1×√22√32=√63．故答案为：√63．由正弦定理得BCsin60∘=ACsin45∘，由此能求出AC．本题考查三角形的线段长的求法，考查正弦定理等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．4.已知公差不为0的等差数列的第2，3，6项依次构成一个等比数列，则该等比数列的公比为______．【答案】3【解析】解：设等差数列的首项为a，公差为d(d不为0)，则等差数列的第2，3，6项分别为a+d，a+2d，a+5d，则(a+2d)2=(a+d)(a+5d)，即d2+2ad=0，∵d≠0，∴在等式两边同时除以d得：d=−2a，∴等差数列的第2，3，6项分别为：−a，−3a，−9a，∴公比q=−3a−a=3．故答案为：3．设出等差数列的首项为a，公差为d，根据等差数列的通项公式分别表示出第2，3，6项，根据等比数列的性质列出关于a与d的等式，由d不为0得到d与a的关系式，用a表示出d，代入表示出的第2，3，6项，此三项可以用a表示，然后根据等比数列的性质可用第3项除以第2项即可求出公比q的值．此题考查了等差数列的通项公式，等比数列的性质.熟练掌握等差、等比数列的性质是解本题的关键．5.已知数列{a n}的通项公式为a n=1(2n−1)(2n+1)，则它的前10项的和为______．【答案】1021【解析】解：a n=1(2n−1)(2n+1)=12(12n−1−12n+1)，故它的前10项的和为12(1−13+13−15+⋯+119−121)=12(1−121)=1021，故答案为：1021由a n=1(2n−1)(2n+1)=12(12n−1−12n+1)，根据裂项求和即可求出．本题考查了裂项求和，考查了转化能力，属于基础题．6.若不等式x2+ax+b<0的解集为{x|−3<x<4}，则a+b的值为______．【答案】−13【解析】解：不等式x2+ax+b<0的解集为{x|−3<x<4}，则−3和4是x2+ax+b=0的实数根，由根与系数的关系知，{−3×4=b−3+4=−a，解得a=−1，b=−12，∴a+b=−13．故答案为：−13．根据一元二次不等式与对应方程的关系，利用根与系数的关系求得a、b的值，再求和．本题考查了一元二次不等式与对应方程的关系应用问题，是基础题．7.设等比数列{a n}满足a1+a3=10，a2+a4=5，则a1a2…a n的最大值为______．【答案】64【解析】【分析】求出数列的等比与首项，化简a1a2…a n，然后求解最值.本题考查数列的性质数列与函数相结合的应用，转化思想的应用，考查计算能力． 【解答】解：等比数列{a n }满足a 1+a 3=10，a 2+a 4=5， 可得q(a 1+a 3)=5，解得q =12． a 1+q 2a 1=10，解得a 1=8． 则a 1a 2…a n =a 1n ⋅q1+2+3+⋯+(n−1)=8n⋅(12)n(n−1)2=23n−n 2−n 2=27n−n 22，当n =3或4时，表达式取得最大值：2122=26=64． 故答案为64．8. 已知p >0，q >0，且p ≠q ，记A =(1+p)(1+q)，B =(1+p+q 2)2，C =2√p +pq ，则A 、B 、C 的大小关系为______.(用“<”．连接．．) 【答案】C <A <B【解析】解：∵p >0，q >0，且p ≠q ，∴A −C =1+p +q +pq −(2√p +pq)=(1−√p)2+q >0.∴A >C ． 又B −A =1+p +q +(p+q 2)2−(1+p +q +pq)=(p−q 2)2>0，∴B >A ．综上可得：C <A <B ． 故答案为：C <A <B ． 作差即可得出大小关系．本题考查了通过作差比较两个数的大小关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．9. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若A =π3，b =2acosB ，c =2，则△ABC 的面积等于______．【答案】√3【解析】解：A =π3，b =2acosB ，c =2， 由正弦定理可得sinB =2sinAcosB ， 可得tanB =sinBcosB =2sin π3=√3， 即有B =π3，即△ABC 为边长为2的等边三角形， 可得△ABC 的面积为√34×4=√3，故答案为：√3．由正弦定理可得B ，进而确定三角形为边长为2的等边三角形，即可得到所求面积． 本题考查三角形的正弦定理和面积公式，考查方程思想和运算能力，属于基础题．10. 已知a ，b ∈R +，若a +b =1，则1a +4b 的最小值为______． 【答案】9【解析】解：∵a+b=1，∴1a +4b=(1a+4b)(a+b)=5+ba+4ab≥5+2√ba⋅4ab=9，当且仅当ba =4ab时取等号，由{ba =4aba+b=1解得a=13，b=23，∴1a +4b的最小值为9，故答案为：9．1 a +4b=(1a+4b)(a+b)，展开后使用基本不等式可求最小值．该题考查利用基本不等式求函数的最值，注意使用基本不等式求最值的条件：一正、二定、三相等．11.函数f(x)=√mx2−2x+1的定义域为R，则实数m的取值范围是______．【答案】m≥1【解析】解：∵函数f(x)的定义域为R，∴mx2−2x+1≥0恒成立．①若m=0，则不等式等价为−2x+1≥0，即x≤12，不满足条件．②若m≠0，要使不等式恒成立，则{△=4−4m≤0m>0，即{m≥1m>0，解得m≥1，综上m≥1，故答案为：m≥1函数的定义域为R，则等价mx2−2x+1≥0恒成立，然后解不等式即可．本题主要考查函数定义域的应用，利用函数定义域为R，得到mx2−2x+1≥0恒成立.是解决本题的关键，利用二次函数和二次不等式之间的关系进行求解是突破点．12.已知x<0，且x−y=1，则x+12y+1的最大值是______．【答案】12−√2【解析】解：x<0，且x−y=1，可得x=y+1(y<−1)，则x+12y+1=y+1+11+2y=y+12+12y+12+12=−[(−y−12)+12−y−12]+12≤−2√12+12=12−√2，当且仅当y =−1+√22时，上式取得最大值，则x +12y+1的最大值是12−√2， 故答案为：12−√2．由题意可得x =y +1(y <−1)，可得x +12y+1=y +1+11+2y =y +12+12y+12+12，运用基本不等式可得最大值．本题考查基本不等式的运用，注意最值取得的条件：一正二定三等，考查运算能力，属于基础题．13. 已知数列{a n }中，a 1=1，a 2=3，若a n+2+2a n+1+a n =0对任意n ∈N ∗都成立，则数列{a n }的前n 项和S n =______． 【答案】{3−2n,n 为奇数2n,n 为偶数【解析】解：a 1=1，a 2=3，a n+2+2a n+1+a n =0对任意n ∈N ∗都成立， 可得：a n+2+a n+1=−(a n+1+a n )，a 2+a 1=4． 则数列{a n+1+a n }是等比数列，首项为4，公比为−1． ∴a n+1+a n =4×(−1)n−1．①n =2k −1时，a 2k +a 2k−1=4×(−1)2k−2=4． S n =S 2k =4k =2n ．②n =2k 时，a 2k+1+a 2k =−4．S n =a 1+(a 2+a 3)+⋯…+(a 2k−2+a 2k−1) =1−4×(k −1)=5−4k =5−4×n+12=3−2n ．∴S n ={2n,n 为偶数3−2n,n 为奇数．故答案为：{2n,n 为偶数3−2n,n 为奇数．a 1=1，a 2=3，a n+2+2a n+1+a n =0对任意n ∈N ∗都成立，可得a n+2+a n+1=−(a n+1+a n )，a 2+a 1=4.利用等比数列的通项公式可得：a n+1+a n =4×(−1)n−1.分类讨论可得：①n =2k −1时，a 2k−1+a 2k =4×(−1)2k−2=4.可得S n =S 2k .②n =2k 时，a 2k +a 2k+1=−4.可得S n =a 1+(a 2+a 3)+⋯…+(a 2k−2+a 2k−1)即可得出．本题考查了数列递推关系、等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、分组求和、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．14. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若3a 2−b 2+3abcosC =0，则c(cosA a+cosB b)的最小值为______．【答案】2【解析】解：∵3a 2−b 2+3abcosC =0， ∴3a 2−b 2+3ab ⋅a 2+b 2−c 22ab=0，整理可得：c 2=3a 2+b 23，∴c(cosA a +cosB b )=c(b 2+c 2−a 22bca +a 2+c 2−b 22acb)=c 2ab=3a b+b 3a≥2√3a b⋅b 3a=2，当且仅当3a b =b3a 时等号成立．即c(cosAa+cosB b)的最小值为2．故答案为：2．利用余弦定理化简已知可得：c 2=3a 2+b 23，根据余弦定理化简所求可得c(cosA a+cosB b)=3a b+b3a ，利用基本不等式即可得解．本题主要考查了余弦定理，基本不等式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．二、解答题（本大题共6小题，共58.0分）15. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c 且a 2=b 2+c 2+bc ，a =√6b.(1)求sinA 的值； (2)求cosC 的值．【答案】解：(1)根据题意，a 2=b 2+c 2+bc ， 又由余弦定理，得a 2=b 2+c 2−2bc ⋅cosA ， 则∴cosA =b 2+c 2−a 22bc=−12．又∵A ∈(0,π)，则sinA =√1−cos 2A =√32． (2)由正弦定理，得sinB =bsinA a =b⋅√32√6b =√24，由(1)cosA <0，∴A ∈(π2,π)，又A +B +C =π，∴B ∈(0,π2)． ∴cosB =√1−sin 2B =√144， ∴cosC =cos[π−(A +B)]=−cos(A +B)=−cosAcosB +sinAsinB =−(−12)⋅√144+√32⋅√24=√14+√68． 【解析】(1)根据题意，由余弦定理，可得cosA =b 2+c 2−a 22bc=−12，结合A 的范围，分析可得答案；(2)正弦定理，得sinB =bsinA a=b⋅√32√6b=√24，由同角三角函数的基本关系式计算可得cosB 的值，又由cosC =cos[π−(A +B)]=−cos(A +B)，由和角公式计算可得答案． 本题考查三角形中的几何计算，关键是掌握正弦定理和余弦定理的形式．16. 解下列关于x 的不等式：(1)1−2x x+3≥1；(2)(|x|−2)(x +3)≥0． 【答案】解：(1)1−2x x+3−1≥0⇒−3x−2x+3≥0⇒3x+2x+3≤0⇒(3x +2)(x +3)≤0且x +3≠0，解可得：−3<x ≤−23，则原不等式的解集为(−3,−23]；(2)(|x|−2)(x +3)≥0⇔{x +3≥0|x|−2≥0或{x +3≤0|x|−2≤0， ①{x +3≥0|x|−2≥0，解得−3≤x ≤−2或x ≥2； ②{x +3≤0|x|−2≤0，x 无解；∴原不等式的解集为[−3,−2]∪[2,+∞)，【解析】(1)根据题意，原不等式等价于(3x +2)(x +3)≤0且x +3≠0，解可得x 的取值范围，即可得答案；(2)根据题意，原不等式等价于{x +3≥0|x|−2≥0或{x +3≤0|x|−2≤0，分别解出x 的范围，综合即可得答案．本题考查其他不等式的解法，关键是将原不等式等价转化．17. 记数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n =3n −1．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{na n }的前n 项和T n ． 【答案】解：(1)S n =3n −1． 当n =1时，a 1=S 1=2，当n ≥2且n ∈N ∗时，a n =S n −S n−1=3n −3n−1=2⋅3n−1， 对n =1时也适合，∴a n =2⋅3n−1，n ∈N ∗． (2)na n =2n ⋅3n−1．T n =2⋅30+4⋅31+6⋅32+⋯+2n ⋅3n−1，①3T n =2⋅31+4⋅32+⋯+(2n −2)⋅3n−1+2n ⋅3n .②由①−②得：−2T n =2+2(31+32+⋯+3n−1)−2n ⋅3n =(1−2n)3n −1， 所以T n =(n −12)3n +12．【解析】(1)由数列的递推式：当n =1时，a 1=S 1，当n ≥2且n ∈N ∗时，a n =S n −S n−1，计算可得所求通项；(2)求得na n =2n ⋅3n−1.运用数列的求和方法：错位相减法，结合等比数列的求和公式可得所求和．本题考查数列的递推式，等比数列的求和公式，以及数列的求和方法：错位相减法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．18. 如图，在海岸A 处，发现南偏东45∘方向距A 为(2√3−2)海里的B 处有一艘走私船，在A 处正北方向，距A 为2√2海里的C 处的缉私船立即奉命以10√3海里/时的速度追截走私船．(1)刚发现走私船时，求两船的距离；(2)若走私船正以10√2海里/时的速度从B 处向南偏东75∘方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？并求出所需要的时间(精确到分钟，参考数据：√2≈1.4，√6≈2.5)．【答案】解：(1)在△ABC中∵AB=(2√3−2)海里，AC=2√2海里，∠BAC=135∘，由余弦定理，得两船的距离BC=√(2√3−2)2+(2√2)2−2×2√2×(2√3−2)×(−√22)= 4(海里)；(2)根据正弦定理，可得sin∠ABC=ACsin135∘BC =12，∴∠ABC=30∘，易知∠ACB=15∘，设缉私船应沿CD方向行驶t小时，才能最快截获(在D点)走私船，则有CD=10√3t(海里)，BD=10√2t(海里)．而∠CBD=120∘，在△BCD中，根据正弦定理，可得sin∠BCD=BDsin∠CBDCD =10√2t⋅sin120∘10√3t=√22，∴∠BCD=45∘，∠BDC=15∘，∴根据正弦定理，得4√6−√24=10√3t√32，解得t=√6+√25≈0.78小时≈47分钟．故缉私船沿南偏东60∘方向，需47分钟才能追上走私船．【解析】(1)在△ABC中，运用余弦定理，计算可得所求BC的长；(2)在△ABC中运用正弦定理求得∠ABC和∠ACB，设缉私船应沿CD方向行驶t小时，才能最快截获(在D点)走私船，在△BCD中运用正弦定理可得∠BCD=45∘，∠BDC=15∘，再由正弦定理解方程可得t．本题考查解三角形的实际应用问题，考查正弦定理和余弦定理，以及化简整理的运算能力，属于中档题．19.设关于x的不等式(ax−a2−9)(x−b)≥0的解集为A，其中a，b∈R．(1)当b=6时，①若A=(−∞,+∞)，求a的值；②记L=d−c为闭区间[c,d]的长度.当a<0时，求区间A的长度L的最小值；(2)当b=2a−8，且a<9时，求A．【答案】解：(1)①a=0时，不等式为−9(x−6)≥0，求得解集为A=(−∞,6]，不符题意舍去；当a≠0时，令{a>0a2+9a=6，解得a=3，此时不等式的解集为A=(−∞,+∞)；…………(3分)②a<0时，不等式化为(x−a2+9a)(x−6)≤0，解得不等式的解集为A=[a2+9a,6]，所以L=6−a 2+9a=6+[(−a)+9(−a)]≥6+6=12，当且仅当a=−3时，取等号，因此区间A 的长度L 的最小值为12； …………(3分) (2)①当a >0时，因为2a −8−a 2+9a=(a+1)(a−9)a，所以，当0<a <9时，不等式的解集为{x|x ≥a 2+9a或x ≤2a −8}；…………(2分)②当a =0时，不等式的解集为{x|x ≤0}； …………(1分) ③10当−1<a <0时，不等式的解集为{x|a 2+9a≤x ≤2a −8}；20当a =−1时，不等式的解集为{−10}； 30当a <−1时，不等式的解集为{x|2a −8≤x ≤a 2+9a}. …………(3分)【解析】(1)①讨论a =0和a ≠0时，求出不等式的解集为(−∞,+∞)时a 的值； ②求出a <0时不等式的解集，计算L 的最小值以及对应a 的值； (2)讨论a >0、a =0以及a <0时，求出对应不等式的解集．本题考查了含有字母系数的一元二次不等式的解法与应用问题，是难题．20. 设数列{a n }满足a 1=12，a n =2a n−1+1a n−1+2(n ≥2,n ∈N ∗)．(1)证明：数列{a n −1an +1}为等比数列，并求数列{a n }的通项公式；(2)设c n =(3n +1)a n ，证明：数列{c n }中任意三项不可能构成等差数列． 【答案】解：(1)证明：由条件，a n −1=2a n−1+1a n−1+2−1=a n−1−1a n−1+2(n ≥2,n ∈N ∗)，①a n +1=2a n−1+1a n−1+2+1=3(a n−1+1)a n−1+2(n ≥2,n ∈N ∗)，②由a 1=12知a n >0，∴a n +1>0． ① ②得，a n −1a n+1=13⋅a n−1−1(a n−1+1)(n ≥2,n ∈N ∗)且a 1−1a1+1=12−112+1=−13≠0，∴{a n −1a n+1}是首项为−13，公比为13的等比数列．因此，a n −1an+1=−13⋅(13)n−1=−(13)n ，∴a n =3n−13n +1．(2)证明：由(1)得，c n =(3n +1)a n =3n −1，(反证法)假设存在正整数l ，m ，n 且1≤l <m <n ，使得c l ，c m ，c n 成等差数列． 则2(3m −1)=3l +3n −2，即2⋅3m =3l +3n ， 则有2⋅3m−l =1+3n−l ，即2⋅3m−l −3n−l =1，则有3m−l ⋅[2−3n−l−(m−l)]=1，即3m−l ⋅(2−3n−m )=1． ∵l ，m ，n ∈N ∗且1≤l <m <n ，∴3m−l ∈N ∗．∴{3m−l =12−3n−m =1，∴{m −l =0n−m=0，∴l =m =n 与l <m <n 矛盾， 故假设不成立，所以数列{c n }中任意三项不可能构成等差数列． 【解析】(1)根据题意，由a n =2a n−1+1a n−1+2(n ≥2,n ∈N ∗)构造a n +1=2a n−1+1a n−1+2+1=3(a n−1+1)a n−1+2(n ≥2,n ∈N ∗)，两式相除即可得a n −1a n+1=13⋅a n−1−1(a n−1+1)(n ≥2,n ∈N ∗)，由等比数列的定义分析可得答案；(2)用反证法分析：假设存在正整数l ，m ，n 且1≤l <m <n ，使得c l ，c m ，c n 成等差数列，由等差数列的定义可得2(3m−1)=3l+3n−2，即2⋅3m=3l+3n，变形可得3m−l⋅(2−3n−m)=1，分析可得矛盾，即可得证明．本题考查等比数列、等差数列的性质以及应用，涉及反证法的运用，(2)注意用反证法分析．。