LinearSystemTheory_Lec5_1-第五章-系统的运动稳定性解析
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第五章 系统的稳定性1
• 初始状态
– 无输入时的初态， xo (0 ), xo (0 )...xon1(0 ) n – 输入引起的初态 xo (0i ), xo (0i )...xo 1(0i ) – 上面两者之和
2.定常线性系统稳定性条件。
• 微分方程 • 单位脉冲响应
3.系统稳定的充要条件
• 系统的全部特征根都具有负实部；反之，若特征 根中只要有一个或一个以上具有正实部，则系统 必不稳定。 • 若系统传递函数G(s)的全部极点均位于平面的左 半平面，则系统稳定；反之，若有一个或一个以 上的极点位于[s]平面的右半平面，则系统不稳定； 若有部分极点位于虚轴上，而其余的极点均在[s] 平面的左半平面，则系统称为临界稳定，即xo(t) 或w(t)趋于等幅谐波振荡。
三、关于稳定性的一些提法
• 统一考虑了线性与非线性系统稳定性问题 • 2.“小偏差”稳定性又称“小偏差”或“局部稳定性”。由 于实际系统往往存在非线性，因此，系统的动力学往往是 建立在“小偏差”线性化的基础之上的。在偏差较大时， 线性化带来的误差太大。因此，用线性化方程来研究系统 的稳定性时，就只限于讨论初始偏差（初态）不超出某一 微小范围时的稳定性，称之为“小偏差”稳定性。初始偏 差大时，就不能用来讨论系统的稳定性。由于实际系统在 发生等幅振荡时的幅值一般并不大，亦即系统在振荡时偏 离平衡位置的偏差一般不大，因此，这种“小偏差”稳定 性仍有一定的实际意义。 • 如果系统在任意初始条件下都保持渐近稳定，则系统称 为“在大范围内渐近稳定”。在工程控制中，一般是希望 系统在大范围内渐近稳定，如果系统不是这样，则需确定 系统渐近稳定的最大范围，并使扰动产生的初始偏差不超 出此范围。
• 控制理论中所讨论的稳定性其实都是指自由振荡 下的稳定性，也就是说，是讨论输入为零，系统 仅存在有初始状态不为零时的稳定性，即讨论系 统自由振荡是收敛的还是发散的
系统运动的稳定性
对角阵D=diag{d1,…, dn}正定的充要条件是所 有对角元素di > 0。这是因为
f (x) xT Dx d1x12 dn xn2 0
的充要条件是di > 0 。
21
第5章 李雅普诺夫稳定性分析
A > 0的充要条件是
① 存在可逆实方阵C，使A=CTC。
② A的所有特征值全都大于0。
16
第5章 李雅普诺夫稳定性分析
5. 渐近稳定性
若系统的平衡状态xe不仅具有李雅普诺夫意 义下的稳定性，且有
lim
t
||
(t;
x0
,
t0
)
xe
||
0
则称此平衡状态xe是渐近稳定的。
经典控制理论中的稳定性定义与渐近稳定性对应。
若δ与t0无关，且上式的极限过程与t0无关，则称
平衡状态是一致渐近稳定的。
24
第5章 李雅普诺夫稳定性分析
二 李雅普诺夫第二法主要定理 1 大范围一致渐近稳定判别定理(时变)
结论5.10：对于时变系统 x f (x, t )，t t0 ，如果
存在一个对状态x和时间t具有连续一阶偏导数
标量函数V(x,t), V(0,t) = 0，且满足如下条件：
(1) V(x,t)正定且有界；
先利用经验和技巧来构 造李亚普诺夫函数，再利 用李雅普诺夫函数来判断 系统稳定性。直接法不需 解系统微分方程，获得广 泛应用。
4
第5章 李雅普诺夫稳定性分析
5.1
外部稳定性和内部稳定性
一 外部稳定性
对于一个因果系统，假定系统的初始条件 为零，如果对应于一个有界的p维输入u(t)， 所产生的q维输出y(t)也是有界的，则称此系 统是外部稳定的。也称为有界输入-有界输出 稳定(BIBO稳定)。
线性系统理论第五章 系统运动的稳定性new
|
d
矛盾。因此，反设不成立。
5.1 外部稳定性和内部稳定性
结论2
对零初始条件p维输入和q维输出连续时间线性时不变系 统，令t0=0,则系统BIBO稳定的充分必要条件为：存在一个 有限正常数β，使脉冲响应矩阵H(t)所有元均满足关系式
hij (t) dt i 1,2, q j 1,2, p 0
等价定义为：
（1）由任意初始状态X0∈S(δ)出发的受扰运动φ(t;X0,t0) ，相对 于平衡 状态Xe=0对所有t∈[t0, ∞)均为有界
（2）受扰运动相对于平衡状态Xe=0满足渐近性，即
lim
t
(t;
x0
,
t0
)
0
x0 S( )
称自治系统的孤立平衡状态Xe=0在时刻t0为渐近稳定
5.2 李亚普诺夫意义下运动稳定性的基本概念
不稳定
称自治系统 x& f (x, t) x(t0 ) x0 t [t0 , ) 的孤立平衡状态
Xe=0在时刻t0为不稳定，如果不管取实数ε>0为多么大，都不存在对应
一个实数δ(ε,t0)>0，使得满足不等式‖X0-Xe‖≤δ(ε,t0)的任一初始状态x0出
发的受扰运动Φ(t；x0,t0)满足不等式‖Φ(t；x0,t)-Xe‖≤ε，
‖ Φ(t；x0,t0)-Xe‖≤ε
⑴ 稳定的几何解释 ⑵ 李亚普诺夫意义下一致稳定 ⑶ 时不变系统的稳定属性 ⑷ 李亚普诺夫意义下稳定的实质
t t0
5.2 李亚普诺夫意义下运动稳定性的基本概念
⑴ 稳定的几何解释
几何意义：对任给正实数ε，在状态空间中以原点（即xe）为球心 构造半径为ε的一个超球体，其球域即为S(ε)。则若存在对应地一
线性控制理论-系统运动的稳定性
1. 平衡态 设我们所研究的系统的状态方程为 x’=f(x,t) 其中x为n维状态变量; f(x,t)为n维的关于状态变量向量x和时间t的非线性 向量函数。 对该非线性系统，其平衡态的定义如下。
定义5-1 动态系统 x’=f(x,t) 的平衡态是使 f(x,t)0 的状态，并用xe来表示。 从定义5-1可知，平衡态即指状 态空间中状态变量的导数向量 为零向量的点(状态)。 由于导数表示的状态的运动 变化方向，因此平衡态即指 能够保持平衡、维持现状不 运动的状态，如上图所示。
5.1 内部稳定性与外部稳定性
一个自动控制系统要能正常工作，必须首先是一个稳 定的系统。 例如，电机自动调速系统中保持电机转速为一定 的能力以及火箭飞行中保持航向为一定的能力等。 具有稳定性的系统称为稳定系统。 稳定性的定义为： 当系统受到外界干扰后，显然它的平衡被破坏， 但在外扰去掉以后，它仍有能力自动地在平衡态 下继续工作。 如果一个系统不具有上述特性，则称为不稳定 系统
使得对于任意位于平衡态xe的球 域S(xe,)的初始状态x0，
x(0) x(0)
图5-1
当从此初始状态x0出发的状态方程的解x都位于球 域S(xe,)内，则称系统的平衡态xe是李雅普诺夫意 义下稳定的。
上述定义说明，对应于平衡态xe的 每一个球域S(xe,),
x2
一定存在一个有限的球域 S(xe,)，使得t0时刻从S(xe,) 出发的系统状态轨线总不离 开S(xe,),
( x1 2 x2 ) 2
( x1 2 x2 ) 2 ( x1 2 x2 ) 2
函数的定号性是一个相对概念，与其函数定义域 有关。 2 如，函数 2x2对x1与x2组成的2维空间为非负定 的，但对于1维空间x2则为正定的。
线性系统理论(第五章)系统运动的稳定性
2、平衡状态：状态空间中满足 xe f (xe,t) 0
的一个状态 。
t [t0,)
如果 xe 不在坐标原点，可以通过非奇异线性变换，使 xe 0，
因此，平衡状态的稳定性问题都可以归结为原点的稳定性问题。
对线性定常系统：x Ax 其平衡状态 Axe 0
A 非奇异，只存在一个位于状态空间原点的平衡状态。
主要内容为： •外部稳定性和内部稳定性 李亚普诺夫意义下稳定性的一些基本概念 •李亚普诺夫第一法 •李亚普诺夫第二法 •性连续系统的稳定性 •线性定常离散系统的稳定性
§5.1 外部稳定性和内部稳定性
一、外部稳定性
外部稳定性：称一个因果系统为外部稳定（BIBO）是指对任何
一个有界输入u(t), ‖u(t)‖≤β1<∞ t [t0, ) 的任意输入u(t)，对应的输出y(t)均为有界，即
§5.2 李亚普诺夫意义下运动稳定性的一些基本概念
一、李亚普诺夫第一方法和第二方法 李亚普诺夫第一方法也称李亚普诺夫间接法，属于小范围 稳定性分析方法。是求出线性化以后的常微分方程的解， 从而分析原系统的稳定性。
李亚普诺夫第二方法也称李亚普诺夫直接法，不需要求解 微分方程的解，就能够提供系统稳定性的信息。
x2 x2
fx22
可见，只有在 x2 0 时，d E / dt 0 。在其他各处均有d E / dt 0 ，
这表明系统总能量是衰减的，因此系统是稳定的。
Lyapunov第二法是研究系统平衡状态稳定性的。
二、自治系统、平衡状态和受扰运动
1、自治系统：没有输入作用的一类动态系统
x f (x,t) x(t0) x0 t [t0,)
A 奇异，存在无穷多个平衡状态。
3、受扰运动：动态系统的受扰运动定义为其自治系统由初始 状态扰动 x0 引起的一类动态运动，即系统的状态零输入响 应。
的一个状态 。
t [t0,)
如果 xe 不在坐标原点，可以通过非奇异线性变换，使 xe 0，
因此，平衡状态的稳定性问题都可以归结为原点的稳定性问题。
对线性定常系统：x Ax 其平衡状态 Axe 0
A 非奇异，只存在一个位于状态空间原点的平衡状态。
主要内容为： •外部稳定性和内部稳定性 李亚普诺夫意义下稳定性的一些基本概念 •李亚普诺夫第一法 •李亚普诺夫第二法 •性连续系统的稳定性 •线性定常离散系统的稳定性
§5.1 外部稳定性和内部稳定性
一、外部稳定性
外部稳定性：称一个因果系统为外部稳定（BIBO）是指对任何
一个有界输入u(t), ‖u(t)‖≤β1<∞ t [t0, ) 的任意输入u(t)，对应的输出y(t)均为有界，即
§5.2 李亚普诺夫意义下运动稳定性的一些基本概念
一、李亚普诺夫第一方法和第二方法 李亚普诺夫第一方法也称李亚普诺夫间接法，属于小范围 稳定性分析方法。是求出线性化以后的常微分方程的解， 从而分析原系统的稳定性。
李亚普诺夫第二方法也称李亚普诺夫直接法，不需要求解 微分方程的解，就能够提供系统稳定性的信息。
x2 x2
fx22
可见，只有在 x2 0 时，d E / dt 0 。在其他各处均有d E / dt 0 ，
这表明系统总能量是衰减的，因此系统是稳定的。
Lyapunov第二法是研究系统平衡状态稳定性的。
二、自治系统、平衡状态和受扰运动
1、自治系统：没有输入作用的一类动态系统
x f (x,t) x(t0) x0 t [t0,)
A 奇异，存在无穷多个平衡状态。
3、受扰运动：动态系统的受扰运动定义为其自治系统由初始 状态扰动 x0 引起的一类动态运动，即系统的状态零输入响 应。
第5章现代控制理论之系统运动的稳定性分析
当然，对于线性系统， 从不稳定平衡状态出发的轨 迹，理论上趋于无穷远。
由稳定性定义知，球域S(δ) 限制着初始状态x0的取值，球域
S(ε)规定了系统自由运动响应 xt xt; x0的, t0边 界。
简单地说：1.如果 x t; x0, t0 有界，则称 xe 稳定；
2.如果 x t; x0, t0 不仅有界，而且当t→∞时收敛于原点，则
5.1.1 平衡状态
李雅普诺夫关于稳定性的研究均针对平衡状态而言。
1. 平衡状态的定义
设系统状态方程为： x f x,t , x Rn
若对所有t ，状态 x 满足 x 0 ，则称该状态x为平衡状
态，记为xe。故有下式成立：f xe ,t 0
由平衡状态在状态空间中所确定的点，称为平衡点。
2.平衡状态的求法
由定义，平衡状态将包含在 f x,t 这样0 一个代数方程组
中。
对于线性定常系统 x A，x其平衡状态为 xe 应满足代数
方程 。Ax 0
只有坐标原点处是线性系统的平衡状态点。
对于非线性系统，方程 方程而定。
如：
x1 x2
x1 x1
x2
x
3 2
f x的,t 解 可0 能有多个，视系统
稳定性是系统的重要特性，是系统正常工作的必要条件。
稳定性是指系统在平衡状态下受到扰动后，系统自由运动 的性质。因此，系统的稳定性是相对于系统的平衡状态而 言的。它描述初始条件下系统方程是否具有收敛性，而不 考虑输入作用。
1. 线性系统的稳定性只取决于系统的结构和参数，与系统 初始条件及外作用无关； 2. 非线性系统的稳定性既取决于系统的结构和参数，也与 系统初始条件及外作用有关；
当稳定性与 t0 的选择无关时，称一致全局渐近稳定。
由稳定性定义知，球域S(δ) 限制着初始状态x0的取值，球域
S(ε)规定了系统自由运动响应 xt xt; x0的, t0边 界。
简单地说：1.如果 x t; x0, t0 有界，则称 xe 稳定；
2.如果 x t; x0, t0 不仅有界，而且当t→∞时收敛于原点，则
5.1.1 平衡状态
李雅普诺夫关于稳定性的研究均针对平衡状态而言。
1. 平衡状态的定义
设系统状态方程为： x f x,t , x Rn
若对所有t ，状态 x 满足 x 0 ，则称该状态x为平衡状
态，记为xe。故有下式成立：f xe ,t 0
由平衡状态在状态空间中所确定的点，称为平衡点。
2.平衡状态的求法
由定义，平衡状态将包含在 f x,t 这样0 一个代数方程组
中。
对于线性定常系统 x A，x其平衡状态为 xe 应满足代数
方程 。Ax 0
只有坐标原点处是线性系统的平衡状态点。
对于非线性系统，方程 方程而定。
如：
x1 x2
x1 x1
x2
x
3 2
f x的,t 解 可0 能有多个，视系统
稳定性是系统的重要特性，是系统正常工作的必要条件。
稳定性是指系统在平衡状态下受到扰动后，系统自由运动 的性质。因此，系统的稳定性是相对于系统的平衡状态而 言的。它描述初始条件下系统方程是否具有收敛性，而不 考虑输入作用。
1. 线性系统的稳定性只取决于系统的结构和参数，与系统 初始条件及外作用无关； 2. 非线性系统的稳定性既取决于系统的结构和参数，也与 系统初始条件及外作用有关；
当稳定性与 t0 的选择无关时，称一致全局渐近稳定。
第五章 系统的稳定性PDF
第五章系统的稳定性讲授内容5.1系统稳定的初步概念一、稳定性的定义系统稳定性是指系统在干扰作用下偏离平衡位置，当干扰撤除后，系统自动回到平衡位置的能力。
若系统在初始状态的影响下，由它所引起的系统的时间响应随着时间的推移，逐渐衰减并趋向于零（即回到平衡位置），则称系统为稳定的；反之，由它所引起的系统的时间响应随着时间的推移而发散（即偏离平衡位置越来越远），则称系统为不稳定的。
线性系统的稳定性是系统的固有特性，仅与系统的结构及参数有关；而非线性系统的稳定性不仅与系统的结构及参数有关，而且还与系统的输入有关。
二、系统稳定的充要条件系统稳定的充要条件是的系统所有特征根的实部全都小于零，或系统传递函数的所有极点均分布在s平面的左半平面内。
若系统传递函数的所有极点中，只有一个位于虚轴上，而其它极点均分布在s平面的左半平面内，则系统临界稳定。
而临界稳定的系统极易因为系统的结构或参数的细微变化而变成不稳定的系统。
因此，临界稳定往往也归结为不稳定的一种。
5.2 （劳斯）稳定判据Routh Routh 判据是判别系统特征根分布的一个代数判据。
一、系统稳定的必要条件要使系统稳定，即系统全部特征根均具有负实部，就必须满足以下两个条件：1）特征方程的各项系数都不等于零。
2）特征方程的各项系数的符号都相同。
此即系统稳定的必要条件。
按习惯，一般取最高阶次项的系数为正，上述两个条件可以归结为一个必要条件，即系统特征方程的各项系数全大于零，且不能为零。
二、系统稳定的充要条件系统稳定的充要条件是表的第一列元素全部大于零，且不能等于零。
Routh 运用判据还可以判定一个不稳定系统所包含的具有正实部的特征根的个数为表第一列元素中符号改变的次数。
Routh Routh 运用判据的关键在于建立表。
建立表的方法请参阅相关的例题或教材。
运用判据判定系统的稳定性，需要知道系统闭环传递函数或系统的特征方程。
Routh Routh Routh Routh 在应用判据还应注意以下两种特殊的情况：Routh 1．如果在表中任意一行的第一个元素为0，而其后各元不全为0，则在计算下一行的第一个元时，该元将趋于无穷大。
5系统的稳定性
sn s n 1 s n2 s n3 s n4 s2 s1 s0 an a n 1 A1 B1 C1 D1 E1 F1 an2 a n3 A2 B2 C2 D
2
an4 a n5 A3 B3 C 3
例 已知一调速系统的特征方程式为
S 3 41.5S 2 517 S 2.3 104 0
特殊情况：某一行元素均为0 解决方法：全0行的上一行元素构成辅助方程，求导后方 程系数代替表中系数为全零的行。
D(s) s s 5s 5s 6s 6 0
5 4 3 2
s5 s4 s3 s2 s1 s0
1 1 04 5/ 2 2/5 6
5 5 0 10 6
6 6 0
5.1.1 系统不稳定现象的发生
5.1.2 系统稳定性定义
控制理论讨论的稳定性是讨论输入为零，系统近存在初始状态 不为零时的稳定性，即讨论自由振荡下的稳定性（系统的自由 振荡是收敛还是发散的）。 若系统在初始状态的影响下，由它所引起的系统的时间响应随 时间的推移，逐渐衰减并趋向于零（即回到平衡位置），则称 该系统是稳定的； 反之，若在初始条件下，由它所引起的系统的时间响应随时间 的推移而发散（即偏离平衡位置越来越远），则称该系统为不 稳定的。 线性系统的稳定性取决于系统本身的结构和参数，与输入无关。
二、Nyquist 稳定判据
设系统的开环 GK (s) G(s) H (s) K (s z1 )(s z2 )(s zm ) m≤n (s p1 )(s p2 )(s pn ) 传递函数为
G ( s) 则系统的闭环 GB ( s ) 传递函数为 1 G ( s) H (s)
5.2.1 系统稳定的必要条件
2
an4 a n5 A3 B3 C 3
例 已知一调速系统的特征方程式为
S 3 41.5S 2 517 S 2.3 104 0
特殊情况：某一行元素均为0 解决方法：全0行的上一行元素构成辅助方程，求导后方 程系数代替表中系数为全零的行。
D(s) s s 5s 5s 6s 6 0
5 4 3 2
s5 s4 s3 s2 s1 s0
1 1 04 5/ 2 2/5 6
5 5 0 10 6
6 6 0
5.1.1 系统不稳定现象的发生
5.1.2 系统稳定性定义
控制理论讨论的稳定性是讨论输入为零，系统近存在初始状态 不为零时的稳定性，即讨论自由振荡下的稳定性（系统的自由 振荡是收敛还是发散的）。 若系统在初始状态的影响下，由它所引起的系统的时间响应随 时间的推移，逐渐衰减并趋向于零（即回到平衡位置），则称 该系统是稳定的； 反之，若在初始条件下，由它所引起的系统的时间响应随时间 的推移而发散（即偏离平衡位置越来越远），则称该系统为不 稳定的。 线性系统的稳定性取决于系统本身的结构和参数，与输入无关。
二、Nyquist 稳定判据
设系统的开环 GK (s) G(s) H (s) K (s z1 )(s z2 )(s zm ) m≤n (s p1 )(s p2 )(s pn ) 传递函数为
G ( s) 则系统的闭环 GB ( s ) 传递函数为 1 G ( s) H (s)
5.2.1 系统稳定的必要条件
第5章系统的稳定性
二.劳斯判据
①若第一列各数为正数，系统稳定； ②若第一列各数有负数，系统不稳定，第一 列中数值符号的改变次数即等于系统特征 方程含有正实部根的数目。
若劳斯表中某一行第一个数为0，其余不全 为0，这时可用一个很小的正数ε来代替这 个0。
例：系统特征方程： D( s ) s 4 s3 19 s 2 11s 30，判断稳定性。
2 a3 a4 a1 a2 a3a2 a4a1 1 3 2 5 0
由于 2 0 ，不满足胡尔维茨行列式全部为正的条 件，系统不稳定， 3, 4可不必再行计算。 ※特征方程阶次低（n≼4）时，条件如下： （1）n=2: a2 0, a1 0, a0 0 （2）n=3: a3 0, a2 0, a1 0, a0 0, a2a1 a3a0 0 2 2 a 0, a a a a a a a （3）n＝4： i 3 2 1 3 0 4 2 0
s1 s0
c1 1 a n1 b1 b1
...... ......
a n3 b2 c2 1 a n 1 b1 b1
b3 a n 5 b3
1
an
a n 6 a n 7
a n1 a n1
…...
Routh判据：第一列各元素an,an-1,b1,c1,….符号改变次数等 于具有正实部的特征根数目。若第一列各元素符号不同， 则系统不稳定。
二. 劳斯判据
系统阶次越高，利用胡尔维茨判据时，计算 行列式的工作量越大。高阶的系统，可采用劳斯 判据判别系统的稳定性。 步骤如下： (1)列出系统的特征方程：
an sn an1sn1
a1s a0 0
其中 an 0，各项系数均为实数。 (2)按系统的特征方程式列写劳斯表
线性系统理论精简版 ——5.系统的稳定性
内部稳定性和外部稳定性在满足一定条件下是等 价的（后面讨论）。
经典理论判稳方法及局限性 间接判定：方程求解－(对非线性和时变通常很难)
直接判定：单入单出中，基于特征方程的根是否都
分布在复平面虚轴的左半部分；以及采用劳斯判据、 奈魁斯特频率判据等。局限性是仅适用于线性定常， 不适用于非线性和时变系统。
0 1
xe , 3
0 1
5.2.2 李雅普诺夫稳定 定义：若状态方程
f ( x, t ) x 所描述的系统，对于任意的>0和任意初始
x2
时刻t0，都对应存在一个实数(,t0)>0，
使得对于任意位于平衡态xe的球域S(xe,) 的初始状态x0，当从此初始状态x0出发的 状态方程的解x都位于球域S(xe,)内，则 称系统的平衡态xe是李雅普诺夫意义下稳
现代控制理论判稳方法： 李雅普诺夫稳定性理论是稳定性判定的通用方法，适用于 各种系统。 李亚普诺夫第一法：先求解系统微分方程，根据解的性质
判定稳定性－－间接法。
李亚普诺夫第二法：直接判定稳定性。思路：构造一个李
亚普诺夫函数V(x)，根据V(x)的性质判稳。－－对任何复
杂系统都适用。
5.2
V ( X ) 0 X 0 V ( X ) 0 X 0
例5-2
2 2 V ( X ) x1 2x2
当 x1 0, x2 0 时，V ( X ) 0； 当 x1 0, x2 0 时， V ( X ) 0。所以，V(X)是正定的。
(2) 正半定性(准正定) 如果对任意非零向量 X ( X 0) ，恒有 V ( X )≥0， 且当 X 0时V ( X ) 0 ，则称 V ( X ) 为正半定的。即
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1 0 0
x
0
0
0 x
0 0 0
容易求得其平衡点集为
0
Xe
xe
xe
x2
,
x2
,
x3
R
x3
北京交通大学先进控制系统研究所
从定义可知,平衡态即 指状态空间中状态变量 的导数向量为零向量的 点(状态)。
北京交通大学先进控制系统研究所
5.1 Lyapunov稳定性的定义
系统稳定性是系统的一种本质特征，不随系统变换而改变, 可通过系统反馈和综合加以控制。
在经典控制理论中,讨论的是在有界输入下,是否产生有界输 出的输入输出稳定性问题。
从经典控制理论知道,线性系统的输入输出稳定性取决于其 特征方程的根,与初始条件和扰动都无关,而非线性系统则不 然。
北京交通大学先进控制系统研究所
非线性系统的稳定性是相对系统的平衡态而言,我们很难笼统 地讨论非线性系统在整个状态空间的稳定性。 对于非线性系统,其不同的平衡态有着不同的稳定性,故只 能分别讨论各平衡态附近的稳定性。 对于稳定的线性系统,由于只存在唯一的孤立平衡态,所以 只有对线性系统才能笼统提系统的稳定性问题。
系统也可有非零动坐标系而将其 转换为空间的原点，所以在许多情形下常可以假定平 衡状态 为原点。
由于非线性系统的Lyapunov稳定性具有局部性特点, 因此在讨论稳定性时,通常还要确定平衡态的稳定邻 域(区域)。
北京交通大学先进控制系统研究所
例1 定常线性系统
没有外输入作用时的系统通常称这类系统为自治系统。
自治系统的状态方程描述：
x f (x, t), xt0 x0 , t t0
其中，x为 维状态向量；f(…)为n维向量函数。
系统为线性
x A(t)x, xt0 x0 , t t0
由初始状态x0所引起的运动为
x(t) t; x0 , t0 ,
北京交通大学先进控制系统研究所
分析控制系统的稳定性,一直是控制理论中所关注的最重要 问题。 在经典控制理论中,借助于常微分方程稳定性理论,产生 了许多稳定性判据,如劳斯-赫尔维茨(Routh-Hurwitz)判 据和奈奎斯特判据等，都给出了既实用又方便的判别 系统稳定性的方法。 但这些稳定性判别方法仅限于讨论SISO线性定常系统 输入输出间动态关系,讨论的是线性定常系统的有界输 入有界输出(BIBO)稳定性,未研究系统的内部状态变化 的稳定性。也不能推广到时变系统和非线性系统等复 杂系统。 对于非线性或时变系统,虽然通过一些系统转化方法,上 述稳定判据尚能在某些特定系统和范围内应用,但是难 以胜任一般系统。
北京交通大学先进控制系统研究所
概述
一个自动控制系统要能正常工作,必须首先是一个稳定的 系统。 电机自动调速系统中保持电机转速为一定的能力以及火 箭飞行中保持航向为一定的能力等。 具有稳定性的系统称为稳定系统。
稳定性的定义为： 当系统受到外界干扰后,显然它的平衡被破坏,但在外 扰去掉以后,它仍有能力自动地在平衡态下继续工作 。 如果一个系统不具有上述特性，则称为不稳定系统。
北京交通大学先进控制系统研究所
1892年,俄国学者Lyapunov发表题为“运动稳定性一般问 题”的著名文献,建立了关于运动稳定性研究的一般理论。
Lyapunov理论得到极大发展,在 数学、力学、控制理论、机械工程 等领域得到广泛应用。 Lyapunov把分析一阶常微分方 程组稳定性的所有方法归纳为两类。
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第一类方法是将非线性系统在平衡态附近线性化,然后通过 讨论线性化系统的特征值(或极点)分布及稳定性来讨论原非线 性系统的稳定性问题。 这是一种较简捷的方法,与经典控制理论中判别稳定性方法 的思路是一致的。 该方法称为间接法,亦称为Lyapunov第一法。 第二类方法不是通过解方程或求系统特征值来判别稳定性, 而是通过定义一个叫做Lyapunov函数的标量函数来分析判别 稳定性。 由于不用解方程就能直接判别系统稳定性,所以第二种方法 称为直接法,亦称为Lyapunov第二法。
称其为系统的受扰运动。
t t0
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系统 x f (x, t), xt0 x0 , t t0 ,如果存在 某个状
态 xe ，满足
xe f xe,t 0,t t0
则称为系统的一个平衡点或平衡状态。
平衡状态即是系统方程的常数解，或系统的一种静止
的运动。 Xe xe xe f xe,t 0, t t0
Lyapunov稳定性定理
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控制系统的稳定性,通常有两种定义方式： 外部稳定性：是指系统在零初始条件下通过其外部状 态,即由系统的输入和输出两者关系所定义的外部稳定 性。 经典控制理论讨论的确有界输入有界输出稳定即 为外部稳定性 。 内部稳定性：是关于动力学系统的内部状态变化所呈 现稳定性,即系统的内部状态稳定性。 本节讨论的Lyapunov稳定性即为内部稳定性。 外部稳定性只适用于线性系统,内部稳定性不但适用于 线性系统,而且也适用于非线性系统。 对于同一个线性系统,只有在满足一定的条件下两 种定义才具有等价性。
Lyapunov稳定性理论讨论的是动态系统各平衡态附近的局部 稳定性问题。 它是一种具有普遍性的稳定性理论, 不仅适用于线性定常 系统,而且也适用于非线性系统、时变系统、分布参数系 统。 首先讨论Lyapunov稳定性理论的基础--Lyapunov稳定性 定义。
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5.1.1系统的运动与平衡点
Linear System Theory Lecture 6
北京交通大学先进控制系统研究所 张严心讲授 电话：51683974 办公室：9号楼西503 xxxtll2015zyx@ 密码：xxxtll2015
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第五章 系统的运动稳定性 Lyapunov意义下的运动稳定性（针对一般非线性系统） 线性时变系统的稳定性判定 线性定常系统的稳定性 线性系统外部稳定性与内部稳定性之间的关系 为什么要研究平衡点的稳定性问题