2012全国各地中考数学解析汇编--第26章二次函数的应用A(已排版)

合集下载

2012年全国各地中考数学压轴题专集答案二次函数

2012年全国各地中考数学压轴题专集答案四、二次函数1．（北京）已知二次函数y＝(t＋1)x2＋2(t＋2)x＋32在x＝0和x＝2时的函数值相等．（1）求二次函数的解析式；（2）若一次函数y＝kx＋6的图象与二次函数的图象都经过点A（－3，m），求m和k的值；（3）设二次函数的图象与x轴交于点B，C（点B在点C的左侧），将二次函数的图象在点B，C间的部分（含点B和点C）向左平移n（n＞0）个单位后得到的图象记为G，同时将（2）中得到的直线y＝kx＋6向上平移n个单位．请结合图象回答：平移后的直线与图象G有公共点时，n的取值范围．解：（1）由题意得(t＋1)·22＋2(t＋2)·2＋32＝32解得t＝－3 2∴二次函数的解析式为y＝－12x2＋x＋32（2）∵A（－3，m）在二次函数y＝－12x2＋x＋32的图象上∴m＝－12×(－3)2＋(－3)＋32＝－6∴点A的坐标为（－3，－6）∵点A在一次函数y＝kx＋6的图象上∴－6＝－3k＋6，∴k＝4（3）由题意，可得点B，C的坐标分别为（－1，0），（3，0）平移后，点B，C的对应点分别为B′（－1－n，0），C′（3－n，0）将直线y＝4x＋6平移后得到直线y＝4x＋6＋n如图1，当直线y＝4x＋6＋n经过点B′（－1－n，0）时，图象G（点B′除外）在该直线右侧由0＝4(－1－n)＋6＋n，得n＝2 3如图2，当直线y＝4x＋6＋n经过点C′（3－n，0）时，图象G（点C′除外）在该直线左侧由0＝4(3－n)＋6＋n，得n＝6∴由图象可知，符合题意的n的取值范围是23≤n≤6图1 图22．（北京模拟）已知抛物线y＝－x2＋(m－2)x＋3(m＋1)．（1）求证：无论m为任何实数，抛物线与x轴总有交点；（2）设抛物线与y轴交于点C，当抛物线与x轴有两个交点A、B（点A在点B的左侧）时，如果∠CAB 或∠CBA这两角中有一个角是钝角，求m的取值范围；（3）在（2）的条件下，P是抛物线的顶点，当△P AO的面积与△ABC的面积相等时，求该抛物线的解析式．（1）证明：∵△＝(m－2)2－4×(－1)×3(m＋1)＝(m＋4)2≥0∴无论m为任何实数，抛物线与x轴总有交点（2）解：由题意，m＋1＜0当m＝－4，图象与x轴只有一个交点∴m＜－1且m≠-4（3）解：令y＝－x2＋(m－2)x＋3(m＋1)解得x1＝m＋1，x2＝－3可求得顶点P（m－22，(m＋4)24）①当A（m＋1，0）、B（－3，0）时∵S△P AO＝S△ABC，∴12(m＋1)×(m＋4)24＝12(－m－4)×3(m＋1)解得m＝－16∴y＝－x2－18x－45②当A（－3，0）、B（m＋1，0）时同理得12×3×(m＋4)24＝12(m＋4)×[－3(m＋1)]解得m＝－8 5∴y＝－x2－85x－953．（上海模拟）如图，在平面直角坐标系xO y中，二次函数y＝－13x2＋bx＋c的图象经过点A（－1，1）和点B（2，2），该函数图象的对称轴与直线OA、OB分别交于点C和点D．（1）求这个二次函数的解析式和它的对称轴；（2）求证：∠ABO＝∠CBO；（3）如果点P在直线AB上，且△POB与△BCD相似，求点P（1）解：由题意，得 ⎩⎨⎧1＝－13＋b ＋c 2＝－ 4 3＋2b ＋c解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2 3c ＝2∴二次函数的解析式为y ＝－13x2＋23x ＋2 对称轴为直线x ＝1（2）证明：易得直线OA 的解析式为y ＝－x ，从而C 的坐标为（1，－1） ∵由A （－1，1），B （2，2），C （1，－1）得AB ＝BC ＝10，OA ＝OC ＝ 2 ∴∠ABO =∠CBO（3）解：由直线OB 的表达式y ＝x ，得点D 的坐标为（1，1）由A （－1，1），B （2，2），得直线AB 的解析式为y ＝13x ＋4 3从而直线AB 与x 轴的交点E 的坐标为（－4，0） ∵△POB ∽△BCD 相似，∠ABO ＝∠CBO ∴∠BOP ＝∠BDC 或∠BOP ＝∠BCD ①当∠BOP ＝∠BDC 时由∠BDC ＝135°，得∠BOP ＝135° 此时点P 与点E 重合∴点P 的坐标为（－4，0） ②当∠BOP ＝∠BCD 时由△POB ∽△BCD ，得BPBO＝BDBC而BO ＝22，BD ＝2，BC ＝10，∴BP ＝2510又∵BE ＝210，∴PE ＝8510作PH ⊥x 轴，垂足为点H ，BF ⊥x 轴，垂足为点F 则PH ∥BF ，∴PHBF＝PEBE＝EHEF．而BF ＝2，EF ＝6，∴PH ＝85，EH ＝24 5，∴OH ＝45∴点P 的坐标为（45，85）综上所述，点P 的坐标为（－4，0）或（45，85）4．（安徽）如图，排球运动员站在点O 处练习发球，将球从O 点正上方2m 的A 处发出，把球看成点，其运行的高度y （m ）与运行的水平距离x （m ）满足关系式y ＝a (x －6)2＋h ．已知球网与O 点的水平距离为9m ，高度为2.43m ，球场的边界距O 点的水平距离为18m ．（1）当h ＝2.6时，求y 与x 的关系式（不要求写出自变量x 的取值范围）；（2）当h ＝2.6时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由；（3）若球一定能越过球网，又不出边界，求h 的取值范围．解：（1）当h＝2.6时，y＝a(x－6)2＋2.6由其图象过点（0，2），得36a＋2.6＝2，解得a＝－1 60∴y＝－160(x－6)2＋2.6（2）当h＝2.6时，由（1）知y＝－160(x－6)2＋2.6由于当x＝9时，y＝－160(9－6)2＋2.6＝2.45＞2.43，∴球能越过球网由－160(x－6)2＋2.6＝0，x＞0，得x＝6＋156＞18或由x＝18时，y＝－160(18－6)2＋2.6＝0.2＞0，∴球落地时会出界（3）根据题设知y＝a(x－6)2＋h由图象经过点（0，2），得36a＋h＝2 ①由球能越过球网，得9a＋h＞2.43 ②由球不出边界，得144a＋h≤0 ③解得h≥83，所以h的取值范围是h≥835．（安徽某校自主招生）已知二次函数y＝x2－2mx＋1．记当x＝c时，相应的函数值为y c，那么，是否存在实数m，使得对于满足0≤x≤1的任意实数a、b，总有y a＋y b≥1．如果存在，求出实数m的取值范围；如果不存在，请说明理由．解：设f(x)在0≤x≤1的最小值为M，原问题等价于2M≥1，即M≥1 2二次函数y＝x2－2mx＋1的图象是一条开口向上的抛物线①当对称轴x＝m≤0时，由图象可知，x＝0时，y最小＝1，此时1≥12成立②当对称轴x＝m在0＜m＜1时，由图象可知x＝m时，y最小且y最小＝1－m2此时有1－m2≥12，即m2≤12，故有0＜m≤22③当对称轴x＝m在m≥1时，由图象可知，x＝1时，y最小且y最小＝2－2m此时有2－2m≥12，即m≤34，与m≥1矛盾，故舍去综上可知，满足条件的m存在，且m的取值范围是m≤2 26．（浙江模拟）已知二次函数y＝x2＋ax＋a－2．（1）证明：不论a取何值，抛物线y＝x2＋ax＋a－2的顶点P总在x轴的下方；（2）设抛物线y＝x2＋ax＋a－2与y轴交于点C，如果过点C且平行于x轴的直线与该抛物线有两个不同的交点，并设另一个交点为点D，问：△QCD能否是等边三角形？若能，请求出相应的二次函数解析式；若不能，请说明理由；（3）在第（2）的条件下，设抛物线与x轴的交点之一为点A，则能使△ACD的面积等于14的抛物线有几条？请证明你的结论．解：（1）∵判别式△＝a2－4(a－2)＝(a－2)2＋4＞0 ∴抛物线与x轴总有两个交点又∵抛物线开口向上，∴抛物线的顶点在x轴下方（或由二次函数解析式得：y＝(x＋a2)2－14a2＋a－2∵抛物线顶点的纵坐标为－14a2＋a－2＝－[14(a－2)2＋1]＜0，当a取任何实数时总成立∴不论a取何值，抛物线的顶点P总在x轴的下方）（2）由条件得：抛物线顶点Q(－a2，－14a2＋a－2)，点C(0，a－2)当a≠0时，过点C存在平行于x轴的直线与抛物线相交于另一点D此时CD＝|－a|，点Q到CD的距离为|(a－2)－(－14a2＋a－2)＝14a2过Q作QP⊥CD于P要使△QCD为等边三角形，则需OP＝32CD，即14a2＝32|－a|由a≠0，解得a＝±23（或由CD＝CQ，或由CP＝12CO等求得a的值）∴△QCD可以是等边三角形此时相应的二次函数解析式为y＝x2＋23x＋23－2或y＝x2－23x－23－2 （3）∵CD＝|－a|，点A到CD的距离为＝|a－2|由S△ACD＝12|a(a－2)|＝14，解得a＝1±22或a＝1±62∴满足条件的抛物线有四条7．（江苏镇江）对于二次函数y＝x2－3x＋2和一次函数y＝－2x＋4，把y＝t(x2－3x＋2)＋(1－t)(－2x＋4)称为这两个函数的“再生二次函数”，其中t是不为零的实数，其图象记作抛物线E．现有点A（2，0）和抛物线E上的点B（－1，n），请完成下列任务：【尝试】（1）当t＝2时，抛物线y＝t(x2－3x＋2)＋(1－t)(－2x＋4)的顶点坐标为____________；（2）判断点A是否在抛物线E上；（3）求n的值；【发现】通过（2）和（3）的演算可知，对于t取任何不为零的实数，抛物线E总过定点，坐标为____________．【应用1】二次函数y＝－3x2＋5x＋2是二次函数y＝x2－3x＋2和一次函数y＝－2x＋4的一个“再生二次函数”吗？如果是，求出t的值；如果不是，说明理由；【应用2】以AB为边作矩形ABCD，使得其中一个顶点落在y轴上，若抛物线E经过A、B、C、D其中的三点，求出所有符合条件的t的值．解：[尝试]（1）（1，－2）（2）将x ＝2代入y ＝t (x2－3x ＋2)＋(1－t )( －2x ＋4)，得y ＝0，所以点A （2，0）在抛物线E 上（3）将x ＝－1代入n ＝t (x2－3x ＋2)＋( 1－t )( －2x ＋4)＝6 [发现]A （2，0），B （－1，6）[应用1]∵x ＝－1代入y ＝－3x2＋5x ＋2，计算得y ＝－6≠6∴抛物线y ＝－3x2＋5x ＋2不经过点B∴二次函数y ＝－3x2＋5x ＋2不是二次函数y ＝x2－3x ＋2和一次函数y ＝－2x ＋4的一个“再生二次函数” [应用2]]如图，作矩形ABC 1D 1和ABC 2D 2，过点B 作BK ⊥y 轴于点K ，过点B 作RM ⊥x 轴于点M 易得AM ＝3，BM ＝6，BK ＝1，△KBC 1∽△MBA则AMBM＝C 1KBK，即36＝C 1K1，求得C 1K ＝1 2，∴点C 1（0，13 2）易知△KBC 1≌△GAD 1，得AG ＝1，D 1G ＝1 2，∴点D 1（3，1 2）易知△OAD 2∽△GAD 1，得D 1GOD 2＝AGOA由AG ＝1，OA ＝2，D 1G ＝12，求得OD 2＝1，∴点D 2（0，－1）易知△TBC 2≌△OD 2A ，得TC 2＝AO ＝2，BT ＝OD 2＝1，∴点C 2（－3，5∵抛物线E 总过定点A （2，0），B （－1，6） ∴符合条件的三点只可能是A 、B 、C 或A 、B 、D当抛物线E 经过A 、B 、C 1时，将C 1（0，13 2 ）代入y ＝t (x2－3x ＋2)＋( 1－t )( －2x ＋4 )，求得t 1＝－5 4当抛物线E 经过A 、B 、D 1，A 、B 、C 2，A 、B 、D 2时，可分别求得t 2＝58，t 3＝－1 2 ，t 4＝52∴满足条件的所有t 的值为：－5 4，5 8，－1 2，528．（江苏模拟）如图，建立平面直角坐标系xO y ，x 轴在地平面上，y 轴垂直于地平面，单位长度为1千米．某炮位于坐标原点，把发射后的炮弹看成点，其飞行的高度y （千米）与飞行的水平距离x （千米）满足关系式y ＝kx －120(1＋k2)x2（k ＞0），其中k 与发射方向有关，炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．（1）求炮的最大射程；（2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a 不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．解：（1）令y ＝0，得kx －120(1＋k2)x2＝0 由实际意义和题设条件知x ＞0，k ＞0 ∴x ＝20k1＋k2＝ 20 1 k＋k≤ 202＝10，当且仅当k ＝1时取等号 ∴炮的最大射程为10千米（2）∵a ＞0，炮弹可以击中目标 ∴存在k ＞0，使ka －120(1＋k2)a2＝3.2成立 ∴关于k 的二次方程a2k2－20ak ＋a2＋64＝0有正根∴△＝(－20a)2－4a2(a2＋64)≥0，解得a ≤6∴当它的横坐标a 不超过6千米时，炮弹可以击中它9．（江苏模拟）已知一次函数y 1＝kx ＋m 与二次函数y 2＝2ax2＋2bx ＋c （b 为整数）的图象交于A （2－22，3－22）、B （2＋22，3＋22）两点，二次函数y 2＝2ax2＋2bx ＋c 和二次函数y 3＝ax2＋bx ＋c －1的最小值的差为l ．（1）求y 1、y 2、y 3的解析式；（2）若y 1与y 3的图象交于C 、D 两点，求CD 的长；（3）P 是y 轴上一点，过点P 任意作一射线分别交y 2、y 3的图象于M 、N ，过点M 作直线y ＝－1的垂线，垂足为G ，过点N 作直线y ＝－3的垂线，垂足为H ．是否存在这样的点P ，使PM ＝MG 、PN ＝NH 恒成立，若存在，求出P 点的坐标，并探究PMPN是否为定值；若不存在，请说明理由．解：（1）将A （2－22，3－22）、B （2＋22，3＋22）代入y 1＝kx ＋m ，得⎩⎨⎧(2－2 2)k ＋m ＝3－22( 2＋2 2)k ＋m ＝3＋22解得：⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1m ＝1 ∴y 1＝x ＋1将A 、B 两点的坐标代入y 2＝2ax2＋2bx ＋c ，整理得：8a ＋2b ＝1易得y 2＝2ax2＋2bx ＋c 的最小值为c －b 22a，y 3＝ax2＋bx ＋c －1的最小值为c －1－b 24a由题意，|c －b 22a－(c －1－b 24a)|＝1，即|1－b24a|＝1又8a ＋2b ＝1，得|1－2b21－2b|＝1∴1－2b21－2b＝1，解得b ＝0或1－2b 21－2b＝－1，整理得b2＋2b －1＝0，此方程无整数解∴b ＝0，代入8a ＋2b ＝1，得a ＝18∴y 2＝14x 2＋c令x ＋1＝14x2＋c ，得x2－4x ＋4c －4＝0 ∴x 1＋x 2＝4，x 1x 2＝4c －4∵(x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2 )2－4x 1x 2＝[2＋2 2－( 2－22)]2＝32∴4 2－4( 4c －4)＝32，∴c ＝0∴y 2＝14x2，y 3＝1 8x2－1 （2）令x ＋1＝18x2－1，得x2－8x －16＝0 ∴x 3＋x 4＝8，x 3x 4＝－16∴(x 3－x 4)2＝(x 3＋x 4 )2－4x 3x 4＝82－4×(－16)＝128 ∴| x 3－x 4|＝82∴| CD |＝2×82＝16 （3）设P （0，t ），M （x ，y ）则PM 2＝x2＋(t －y)2＝x 2＋t 2－2t y ＋y2MG 2＝(y ＋1)2＝y2＋2y ＋1∵y ＝14x2，∴x2＝4y ∴PM 2＝4y ＋t 2－2t y ＋y2＝y2＋2y ＋1∴2y －2t y ＋t2－1＝0，即2y (1－t)＋(t2－1)＝0要使2y (1－t )＋(t2－1)＝0对任意y 恒成立则1－t ＝0且t2－1＝0，∴t ＝1∴当点P 的坐标为（0，1）时，PM ＝MG 恒成立此时PN 2＝x2＋(1－y)2＝x 2＋1－2y ＋y2NH 2＝(y ＋3)2＝y2＋6y ＋9∵y ＝18x2－1，∴x2＝8y ＋8 ∴PN 2＝8y ＋8＋1－2y ＋y2＝y2＋6y ＋9∴PN 2＝NH 2，即PN ＝NH 故存在点P （0，1），使PM ＝MG 、PN ＝NH 恒成立设直线y ＝－1、y ＝－3分别与y 轴交于E 、F ，连接PG 、PH ∵MG 、NH 分别是直线y ＝－1、y ＝－3的垂线 ∴MG ∥NH ，∴∠PMG ＝∠PNH∵PM ＝MG ，PN ＝NH ，∴∠MPG ＝∠MGP ，∠NPH ＝∠NHP ∴∠MPG ＝∠NPH ，∴P 、G 、H 三点在同一直线上∴PMPN＝PGPH＝PEPF，又PE ＝1＋1＝2，PF ＝1＋3＝4 ∴PMPN＝24＝1 2 ，即PMPN 为定值1210．（四川某校自主招生）一开口向上抛物线与x 轴交于A （m －2，0）、B （m ＋2，0）两点，顶点为C ，且AC ⊥BC ．（1）若m 为常数，求抛物线的解析式；（2）点Q 在直线y ＝kx ＋1上移动，O 为原点，当m ＝4时，直线y ＝kx ＋1上只存在一个点Q 使得∠OQB ＝90°，求此时直线y ＝kx ＋1的解析式．解：（1）设抛物线的解析式为y ＝a (x －m ＋2)(x －m －2)＝a (x －m)2－4a1 318x 2－1∵AC ⊥BC ，由抛物线对称性知△ABC 是等腰直角三角形，又抛物线开口向上，AB ＝(m ＋2)－(m －2)＝4∴C （m ，－2），∴－4a ＝－2，∴a ＝12∴抛物线的解析式为y ＝1 2(x －m)2－2（2）当m ＝4时，B （6，0），设直线y ＝kx ＋1与x 轴交于H （t ，0），与y 轴交于E （0，1）并设OB 中点为G ，以OB 为直径作⊙G当直线与⊙G 切于点Q 时，只存在一个点Q 使得∠OQB ＝设HO ＝t ，∵HQ 是⊙G 的切线，∴∠GQH ＝90°＝∠EOH 又∠QHG ＝∠OHE ，∴△QHG ∽△OHE∴QGQH＝OEOH而QG ＝3，OE ＝1，∴QH ＝3OH ＝－3t 在Rt △中，QH 2＋QG 2＝HG 2∴(－3t)2＋32＝(3－t)2，解得t ＝0（舍去）或t ＝－3 4∴H （－34，0），把H （－3 4，0）代入y ＝kx ＋1，得－3 4k ＋1＝0，∴k ＝4 3∴所求直线为y ＝43x ＋111．（湖南娄底）已知二次函数y ＝x2－(m2－2)x －2m 的图象与x 轴交于点A （x 1，0）和点B （x 2，0），x 1＜x 2，与y 轴交于点C ，且满足1x 1＋1 x 2＝12．（1）求这个二次函数的解析式；（2）探究：在直线y ＝x ＋3上是否存在一点P ，使四边形P ACB 为平行四边形？如果有，求出点P 的坐标；如果没有，请说明理由．解：（1）由已知得：x 1＋x 2＝m2－2，x 1x 2＝－2m∵1 x 1 ＋ 1 x2 ＝ 12 ，即 x 1＋x 2 x 1x 2 ＝ 1 2 ，∴ m2－2 －2m ＝1 2解得m ＝1，或m ＝－2当m ＝1时，y ＝x2＋x －2，得A （－2，0），B （1，0）当m ＝－2时，y ＝x2－2x ＋4，与x 轴无交点，舍去∴这个二次函数的解析式为y ＝x2＋x －2 （2）由（1）得A （－2，0），B （1，0），C （0，－2）假设存在一点P ，使四边形P ACB 是平行四边形，则PB ∥AC 且PB ＝AC 根据平移知识可得P （－1，2）经验证P （－1，2）在直线y ＝x ＋3上故在直线y ＝x ＋3上存在一点P （－1，2），使四边形P ACB 为平行四边形12．（湖北荆州、荆门）已知：y 关于x 的函数y ＝(k －1)x2－2kx ＋k ＋2的图象与x 轴有交点．O xy（1）求k的取值范围；（2）若x1，x2是函数图象与x轴两个交点的横坐标，且满足(k－1)x12＋2kx2＋k＋2＝4x1x2．①求k的值；②当k≤x≤k＋2时，请结合函数图象确定y的最大值与最小值．解：（1）当k＝1时，函数为一次函数y＝－2x＋3，其图象与x轴有一个交点当k≠1时，函数为二次函数，其图象与x轴有一个或两个交点令y＝0，得(k－1)x2－2kx＋k＋2＝0△＝(－2k)2－4(k－1)(k＋2)≥0，解得k≤2，即k≤2且k≠1综上所述：k的取值范围为k≤2（2）①∵x1≠x2，由（1）知k＜2且k≠1由题意得(k－1)x12＋(k＋2)＝2kx1（*）将（*）代入(k－1)x12＋2kx2＋(k＋2)＝4x1x2中得：2k(x1＋x2)＝4x1x2又∵x1＋x2＝2kk－1，x1x2＝k＋2k－1∴2k·2kk－1＝4·k＋2k－1，解得：k1＝－1，k2＝2（不合题意，舍去）∴所求k值为－1②∵k＝－1，∴y＝－2x2＋2x＋1＝－2(x－12)2＋32且－1≤x≤1由图象知：当x＝－1时，y最小＝－3；当x＝12时，y最大＝32∴y的最大值为3，最小值为－313．（湖北随州）在－次数学活动课上，老师出了－道题：（1）解方程x2－2x－3＝0．巡视后，老师发现同学们解此题的方法有公式法、配方法和十字相乘法（分解因式法）．接着，老师请大家用自己熟悉的方法解第二道题：（2）解关于x的方程mx2＋(m－3)x－3＝0（m为常数，且m≠0）．老师继续巡视，及时观察、点拨大家．再接着，老师将第二道题变式为第三道题：（3）已知关于x的函数y＝mx2＋(m－3)x－3（m为常数）．①求证：不论m为何值，此函数的图象恒过x轴、y轴上的两个定点（设x轴上的定点为A，y轴上的定点为C）；②若m≠0时，设此函数的图象与x轴的另一个交点为B，当△ABC为锐角三角形时，求m的取值范围；当△ABC为钝角三角形时，观察图象，直接写出m请你也用自己熟悉的方法解上述三道题.．解：（1）由x2－2x －3＝0，得(x ＋1)(x －3)＝0，∴x 1＝－1，x 2＝3（2）方法一：由mx 2＋(m －3)x －3＝0得( x ＋1)(mx －3)＝0∵m ≠0，∴x 1＝－1，x 2＝3m方法2：由公式法：x 1,2＝3－m ±(m －3)2＋12m2m ＝ 3－m ±(m ＋3)22m ＝3－m ±|m ＋3|2m∴x 1＝－1，x 2＝3m（3）①1° 当m ＝0时，函数y ＝mx2＋(m －3)x －3为y ＝－3x －3令y ＝0，得x ＝－1，令x ＝0，得y ＝－3 ∴直线y ＝－3x －3过定点A （－1，0），C （0，－3）2° 当m ≠0时，函数y ＝mx2＋(m －3)x －3为y ＝(x ＋1)(mx －3)∴抛物线y ＝(x ＋1)(mx －3)恒过两定点A （－1，0），C （0，－3）和B （3m，0）②当m ＞0时，由①可知抛物线开口向上，且过点A （－1，0），C （0，－3）和B （3m，0）观察图象可知，当△ABC 为直角三角形时，有△AOC ∽△COB ∴AOCO＝COBO，∴|OC |2＝|OA |·|OB | ∴32＝1×|OB |，∴OB ＝9，即B （9，0）∴当0＜3m＜9，即m ＞13时，△ABC 为锐角三角形观察图象可知，当0＜m ＜13时，B 点在（9，0）的右侧，∠ACB ＞当m ＜0且m ≠－3时，点B 在x 轴的负半轴上，B 与A 不重合 ∴△ABC 中∠ABC ＞90º或∠BAC ＞90º，∴△ABC 为钝角三角形 ∴当0＜m ＜13或m ＜0且m ≠－3时，△ABC 为钝角三角形14．（广东肇庆）已知二次函数y ＝mx2＋nx ＋p 图象的顶点横坐标是2，与x 轴交于A （x 1，0）、B （x 2，0），x 1＜0＜x 2，与y 轴交于点C ，O 为坐标原点，tan ∠CAO －tan ∠CBO ＝1．（1）求证：n ＋4m ＝0；（2）求m 、n 的值；（3）当p ＞0且二次函数图象与直线y ＝x ＋3仅有一个交点时，求二次函数的最大值．解：（1）将2代入顶点横坐标得：－n2m＝2，∴n ＋4m ＝0 （2）∵已知二次函数图象与x 轴交于A （x 1，0）、B （x 2，0），且由（1）知n ＝－4m ∴x 1＋x 2＝－nm＝－－4mm＝4，x 1x 2＝pm∵x 1＜0＜x 2，∴在Rt △ACO 中，tan ∠CAO ＝OCOA＝OC－x 1在Rt △CBO 中，tan ∠CBO ＝OCOB＝OCx 2∵tan ∠CAO －tan ∠CBO ＝1，∴OC－x 1－OCx 2＝1 ∵x 1＜0＜x 2，∴OC ＝|p |≠0∴1x 1＋1 x 2＝－1 OC ＝－ 1 |p | ，即 x 1＋x 2 x 1x 2 ＝－1|p |∴4pm＝－1 |p |，∴p ＝－4m |p | ①当p ＞0时，m ＝－14，此时n ＝1 ②当p ＜0时，m ＝14，此时n ＝－1 （3）当p ＞0时，二次函数的表达式为：y ＝－14x 2＋x ＋p ∵二次函数图象与直线y ＝x ＋3仅有一个交点，∴方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－14x2＋x ＋py ＝x ＋3仅有一个解∴一元二次方程x ＋3＝－14x2＋x ＋p 即－1 4x2＋p －3＝0有两个相等根 ∴△＝02－4×(－14)×(p －3)＝0，解得：p ＝3 此时二次函数的表达式为：y ＝－14x2＋x ＋3＝－1 4(x －2)2＋4 ∵a ＝－14＜0，∴y 有最大值415．（福建模拟）在平面直角坐标系中，已知函数y 1＝2x 和函数y 2＝－x ＋6，不论x 取何值，y 0都取y 1与y 2二者之中的较小值．（1）求y 0关于x 的函数关系式；（2）现有二次函数y ＝x2－8x ＋c ，若函数y 0和y 都随着x 的增大而减小，求自变量x 的取值范围；（3）在（2）的结论下，若函数y 0和y 的图象有且只有一个公共点，求c 的取值范围．解：（1）y 0＝⎩⎪⎨⎪⎧2x （x＜2）－x ＋6（x≥2）（说明：两个自变量取值范围都含有等号或其中一个含等号均不扣分，都没等号扣1分）（2）∵对于函数y 0，y 0随x 的增大而减小，∴y 0＝－x ＋6（x≥2）又∵函数y ＝x2－8x ＋c 的对称轴为直线x ＝4，且a ＝1＞0 ∴当x ＜4时，y 随x 的增大而减小 ∴2＜x＜4（3）①若函数y ＝x2－8x ＋c 与y 0＝－x ＋6只有一个交点，且交点在2＜x＜4范围内则x2－8x ＋c ＝－x ＋6，即x2－7x ＋(c －6)＝0∴△＝(－7)2－4(c －6)＝73－4c ＝0，得c ＝734此时x 1＝x 2＝72，符合2＜x＜4∴c ＝734②若函数y ＝x2－8x ＋c 与y 0＝－x ＋6有两个交点，其中一个在2＜x＜4范围内，另一个在2＜x＜4范围外则△＝73－4c ＞0，得c＜734方法一：∵对于函数y 0，当x ＝2时，y 0＝4；当x ＝4时y 0＝2 又∵当2＜x＜4时，y 随x 的增大而减小若y ＝x2－8x ＋c 与y 0＝－x ＋6在2＜x＜4内有一个交点则当x ＝2时y ＞y 0；当x ＝4时y ＜y 0 即当x ＝2时y ≥4；当x ＝4时y ≤2也即⎩⎪⎨⎪⎧4－16＋c ＞416－32＋c ＜2 解得16＜c＜18又c＜734，∴16＜c＜18 综上所述，c 的取值范围是：c ＝734或16＜c＜18 方法二：由函数y ＝x2－8x ＋c 与y 0＝－x ＋6的一个交点在2＜x＜4范围内，另一个交点在2＜x＜4范围外可得：⎩⎪⎨⎪⎧2＜ 7＋73－4c 2 ＜47－ 73－4c 2 ＜2 或⎩⎪⎨⎪⎧2＜ 7－73－4c 2＜47＋73－4c2＞4解第一个不等式组，可得⎩⎪⎨⎪⎧c ＜16c ＞18 即无解解第二个不等式组，可得⎩⎪⎨⎪⎧c ＞16c ＜18即16＜c＜18又c＜734，∴16＜c＜1816．（甘肃兰州）若x 1、x 2是关于x 的一元二次方程y ＝ax2＋bx ＋c （a ≠0）的两个根，则方程的两个根x 1、x 2和系数a 、b 、c 有如下关系：x 1＋x 2＝－ba，x 1·x 2＝ca．把它们称为一元二次方程根与系数关系定理．如果设二次函数y ＝ax2＋bx ＋c （a ≠0）的图象与x 轴的两个交点为A （x 1，0），B （x 2，0）．利用根与系数关系定理可以得到A 、B 两个交点间的距离为： AB ＝|x 1－x 2|＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝(－b a )2－4c a＝b2－4aca2＝b2－4ac|a |．参考以上定理和结论，解答下列问题：设二次函数y ＝ax2＋bx ＋c （a＞0）的图象与x 轴的两个交点A （x 1，0），B （x 2，0），抛物线的顶点为C ，显然△ABC 为等腰三角形．（1）当△ABC 为等腰直角三角形时，求b2－4ac 的值；（2）当△ABC为等边三角形时，求b2－4ac 的值；（3）当a ＝c ＝1，且∠ACB ＝90°时，试问如何平移此抛物线，才能使∠ACB ＝60°？解：（1）当△ABC 为等腰直角三角形时，过C 作CD ⊥AB 于D ，则AB ＝2CD∵抛物线与x 轴有两个交点，△＝b2－4ac＞0，则|b2－4ac|＝b2－4ac∵a＞0，∴AB ＝b2－4ac|a |＝b2－4aca又∵CD ＝|4ac －b2|＝b2－4ac，∴b2－4ac＝2×b2－4ac－即(±22)2－4(1＋m)＝12，∴m ＝－2∴抛物线y ＝x2＋bx ＋1向下平移2个单位后，向左或向右平移任意个单位都能使∠ACB 的度数由90°变为60°。

九年级数学下册第26章二次函数 26.2 二次函数的图象与性质 26.2.2.4 二次函数yax

26．2 二次函数的图象与性质2．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与性质第4课时二次函数y ＝ax2＋bx ＋c 的图象与性质知|识|目|标1．类比一元二次方程的配方法，会将二次函数的一般式化为顶点式．2．通过画二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象，应用观察、类比、归纳的方法得出二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的性质．目标一能化二次函数的一般式为顶点式例1 教材补充例题已知二次函数y ＝－12x 2＋6x －10.(1)用配方法将它改写成y ＝a (x －h )2＋k 的形式； (2)用顶点的坐标公式法将它化成顶点式．【归纳总结】化一般式为顶点式的方法：(1)配方法：y ＝ax 2＋bx ＋c ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋b a x ＋c a ＝a ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 2＋2·b 2a x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2a 2＋c a ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋b 2a 2＋4ac －b24a. (2)顶点坐标公式法：二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的顶点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a ，4ac －b 24a .目标二掌握二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的性质例2 高频考题对于二次函数y ＝－14x 2＋x －4，下列说法正确的是()A．当x＞0时，y随x的增大而增大B．当x＝2时，y有最大值－3C．图象的顶点坐标为(－2，－7)D．图象与x轴有两个交点【归纳总结】求二次函数最大(小)值的方法：(1)直接观察函数图象得最大(小)值；(2)配方法；(3)用顶点的坐标公式求最大(小)值．()例3 高频考题如果二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图26－2－3所示，那么A．a＜0，b＞0，c＞0B．a＞0，b＜0，c＞0C．a＞0，b＞0，c＜0D．a＜0，b＜0，c＜0【归纳总结】二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与a，b，c的符号之间的关系：特别地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，当横坐标x＝1时，图象上的对应点的纵坐标为a＋b＋c ；当横坐标x ＝－1时，图象上的对应点的纵坐标为a －b ＋c .知识点一把二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 化为顶点式若把二次函数y ＝a(x －h)2＋k 展开，将发现y ＝a(x －h)2＋k ＝ax 2－2ahx ＋(ah 2＋k)，也就是说，二次函数y ＝a(x －h)2＋k 可以化为二次函数的一般式y ＝ax 2＋bx ＋c 的形式．反过来，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 也可以通过配方法转化为y ＝a(x －h)2＋k 的形式．具体过程如下： y ＝ax 2＋bx ＋c＝a ⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋b a x ＋c a＝a ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 2＋2·b 2a x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2a 2＋c a ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋b 2a 2＋4ac －b 24a＝a ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a 2＋4ac －b 24a .因此，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的对称轴为直线x ＝________，顶点坐标为________________．知识点二二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与性质函数二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c图象a>0a<0性质(1)抛物线开口向上，并向上无限延伸． (2)对称轴是直线x ＝－b2a，顶点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a，4ac －b 24a . (3)在对称轴的左侧，即当x________时，y 随x 的增大而减小；在对称轴的右侧，(1)抛物线开口向下，并向下无限延伸． (2)对称轴是直线x ＝－b2a，顶点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a ，4ac －b 24a .(3)在对称轴的左侧，即当x________时，y 随x 的增大而增大；在对称轴的即当x________时，y 随x 的增大而增大． (4)抛物线有最低点，当x ＝________时，y 有最小值，y 最小值＝________右侧，即当x________时，y 随x 的增大而减小． (4)抛物线有最高点，当x ＝________时，y 有最大值，y 最大值＝________已知二次函数y ＝x 2＋(m －1)x ＋1，当x ＞1时，y 随x 的增大而增大，试确定m 的取值X 围．解：这里a ＝1＞0，∴抛物线的开口向上，对称轴是直线x ＝－m －12.∵当x ＞1时，y 随x 的增大而增大， ∴－m －12＝1，解得m ＝－1.以上解答过程正确吗？若不正确，请写出正确的解答过程．教师详解详析【目标突破】例1 解：(1) y ＝－12x 2＋6x －10＝－12(x 2－12x ＋20)＝－12(x 2－12x ＋36－36＋20)＝－12[(x －6)2－16]＝－12(x －6)2＋8.(2) ∵a ＝－12，b ＝6，c ＝－10,∴顶点横坐标x ＝－b 2a ＝6, 顶点纵坐标y ＝4ac －b24a ＝8，∴y ＝－1 2(x －6)2＋8.例2[解析] B ∵二次函数y ＝－14x 2＋x －4 可化为y ＝－14(x －2)2－3，得出对称轴是直线x ＝2，当x ＞2时，y 随x 的增大而减小，所以选项A 错误；当x ＝2时，y 有最大值－3，所以选项B 正确；图象的顶点坐标是(2，－3)，所以选项C 错误；图象的顶点在横轴下方，抛物线的开口向下，与横轴没有交点，所以选项D 错误．例3[解析] A 根据图象开口向下，得a<0；根据图象的对称轴在y 轴右侧，得－b2a >0，故b>0；根据图象与y 轴的交点在y 轴正半轴，得c>0.故选A . 【总结反思】[小结] 知识点一－b 2a ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a ，4ac －b 24a知识点二 <－b 2a >－b 2a －b 2a 4ac －b24a<－b 2a >－b 2a －b 2a 4ac －b24a [反思] 不正确．正确：这里a ＝1>0，∴抛物线的开口向上，对称轴是直线x ＝－m －12.∵当m>1时，y 随x 的增大而增大， ∴－m －12≤1，解得m ≥－1.。

中考数学模拟试题分类汇编二次函数的应用

2012年全国各地市中考数学模拟试题分类汇编19二次函数的应用一、选择题3、(2012苏州市吴中区教学质量调研)生产季节性产品的企业，当它的产品无利润时就会及时停产，现有一生产季节性产品的企业，一年中获得利润y与月份n之间的函数关系式是y ＝－n2＋15n－36，那么该企业一年中应停产的月份是( ▲)(A)1月，2月(B)1月，2月，3月(C)3月，12月(D)1月，2月，3月，12月答案：D4、（2012年浙江省杭州市一模）如图所示，P是菱形ABCD的对角线AC上一动点，过P垂直于AC的直线交菱形ABCD的边于M、N两点，设AC=2，BD=1，AP=x，则△AMN的面积为y，则y关于x的函数图象的大致形状是（）A、 B、C 、D 、第1题答案：C二、填空题1、（2012江苏无锡前洲中学模拟）已知22(1)3(4)8y x y x =-+−−−−−−−−−−→=++向左平移5个单位,向上平移5个单位， 1155y y x x =−−−−−−−−−−→=++向左平移5个单位,向上平移5个单位，().11x y 515x y 1x y 55+=+++=−−−−−−−−−→−+=，即个单位个单位，向上平移向左平移那么当点(,)P x y 是以坐标原点O 为圆心，5为半径的圆周上的点，则由图可得如下关系式2225x y +=，现将圆心平移至(5,5)，其它不变，则可得关系式为____ ___。

答案：()()255-y 5-x 22=+三、解答题(3) 若点D 是第二象限内点，以D 为圆心的圆分别与x 轴、y 轴、直线AB 相切于点E 、F 、H ，问在抛物线的对称轴上是否存在一点一点P ，使得|PH －P A |的值最大？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由。

答案：解：(1) 由题意得：⎩⎪⎨⎪⎧c ＝443×9＋3b ＋c ＝0，解得：⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－163c ＝4． ∴ 抛物线解析式为y ＝43x 2－163x ＋4． ······················································· 3分(2) 令y ＝0，得：43x 2－163x ＋4＝0．ABCO xy第22(2)题图ABCO xyDE FH第22(3)题图OXY第1题解得：x 1＝1，x 2＝3．∴ C 点坐标为(1，0)． ····································4分作CQ ⊥AB ，垂足为Q ，延长CQ ，使CQ ＝ C'Q ，则点C'就是点C 关于直线AB 的对称点．由△ABC 的面积得： 12CQ ·AB ＝12CA ·OB ，∵ AB ＝OA 2＋OB 2＝5，CA ＝2，∴ CQ ＝85，CC'＝165． ······································································· 6分作C'T ⊥x 轴，垂足为T ，则△CTC'∽△BOA ． ∴ C'T OA ＝CC'AB ＝CT OB ， ∴ C'T ＝4825，CT ＝6425．∴ OT ＝1＋6425＝8925 ∴C'点的坐标为(8925，4825) ··········································· 8分(3) 设⊙D 的半径为r ，∴ AE ＝r ＋3，BF ＝4－r ，HB ＝BF ＝4－r ． ∵ AB ＝5，且AE ＝AH ， ∴ r ＋3＝5＋4－r ，∴ r ＝3． ··································· 10分 HB ＝4－3＝1．作HN ⊥y 轴，垂足为N ，则HN OA ＝HB AB ，BN OB ＝HB AB， ∴ HN ＝35，BN ＝45，∴ H 点坐标为(－35，245)． ··················· 12分根据抛物线的对称性，得P A ＝PC ， ∵ |PH －P A |＝|PH －PC |≤HC ，∴ 当H 、C 、P 三点共线时，|PH －PC |最大． ∵ HC ＝(1＋35)2＋(245)2＝8510，∴ |PH －P A |的最大值为8510． ··········· 14分2、（2012年上海青浦二模）如图，直线1y x =+分别与 x 轴、y 轴分别相交于点A 、B ．抛物线)0(2≠++=a c bx ax y 与 y 轴的正半轴相交于点C ，与这个一次函数的图像相交于A 、D ，且1010sin ACB ∠=．（1）求点A 、B 、C 的坐标；（2）如果CDB ACB ∠=∠，求抛物线c bx ax y ++=2的解析式．答案：解：（1）A （1-，0），OA =1，在Rt △AOC 中，∵1010sin ==∠AC AO ACB ，AC =10， ∴OC =311022=-=-AO AC∴点C 的坐标（0，3）．（2）当点D 在AB 延长线上时，∵B （0，1）， ∴BO =1，∴222=+=BO AO AB ，∵∠CDB =∠ACB ，∠BAC =∠CAD ，∴△ABC ∽△ACD ． ∴AB AC AC AD =，∴21010=AD ， ∴25=AD ．过点D 作DE ⊥y 轴，垂足为E ， ∵DE //BO ，∴ABADAO AE OB DE ==， ∴5225===AE DE ．∴OE =4， ∴点D 的坐标为（4，5）．设二次函数的解析式为32++=bx ax y ，∴⎩⎨⎧++=+-=,34165,30b a b a∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=.25,21b a ∴二次函数解析式为325212++-=x x y ．当点D 在射线BA 上时，同理可求得点D （–2，–1），二次函数解析式为342++=x x y ．评分说明：过点C 作CG ⊥AB 于G ，当点D 在BG 延长线上或点D 在射线GB 上时，可用锐角三角比等方法得CG =2（1分），DG =32（1分），另外分类有1分其余同上．3、（2012年江西南昌十五校联考）如图：在平面直角坐标系中，将长方形纸片ABCD 的顶点B 与原点O 重合，BC 边放在x 轴的正半轴上，AB=3，AD=6，将纸片沿过点M 的直线折叠（点M 在边AB 上），使点B 落在边AD 上的E 处（若折痕MN 与x 轴相交时，其交点即为N ），过点E 作EQ ⊥BC 于Q ，交折痕于点P 。

课标版数学中考第二轮专题复习-26二次函数(含答案)(813K)

二次函数知识点总结及相关典型题目第一部分基础知识1.定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数. 2.二次函数2ax y =的性质（1）抛物线2ax y =的顶点是坐标原点，对称轴是y 轴. （2）函数2ax y =的图像与a 的符号关系.①当0>a 时⇔抛物线开口向上⇔顶点为其最低点；②当0<a 时⇔抛物线开口向下⇔顶点为其最高点.（3）顶点是坐标原点，对称轴是y 轴的抛物线的解析式形式为2ax y =）（0≠a . 3.二次函数 c bx ax y ++=2的图像是对称轴平行于（包括重合）y 轴的抛物线.4.二次函数c bx ax y ++=2用配方法可化成：()k h x a y +-=2的形式，其中ab ac k a b h 4422-=-=，.5.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①2ax y =；②k ax y +=2；③()2h x a y -=；④()k h x a y +-=2；⑤c bx ax y ++=2.6.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.①a 的符号决定抛物线的开口方向：当0>a 时，开口向上；当0<a 时，开口向下；a 相等，抛物线的开口大小、形状相同.②平行于y 轴（或重合）的直线记作h x =.特别地，y 轴记作直线0=x .7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a 相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同. 8.求抛物线的顶点、对称轴的方法（1）公式法：a b ac a b x a c bx ax y 442222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=，∴顶点是），（a b ac a b 4422--，对称轴是直线abx 2-=.（2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为()k h x a y +-=2的形式，得到顶点为(h ,k )，对称轴是直线h x =.（3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点. 用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失. 9.抛物线c bx ax y ++=2中，c b a ,,的作用（1）a 决定开口方向及开口大小，这与2ax y =中的a 完全一样.（2）b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线c bx ax y ++=2的对称轴是直线a b x 2-=，故：①0=b 时，对称轴为y 轴；②0>ab（即a 、b 同号）时，对称轴在y 轴左侧；③0<a b（即a 、b 异号）时，对称轴在y 轴右侧.（3）c 的大小决定抛物线c bx ax y ++=2与y 轴交点的位置.当0=x 时，c y =，∴抛物线c bx ax y ++=2与y 轴有且只有一个交点（0，c ）： ①0=c ，抛物线经过原点; ②0>c ,与y 轴交于正半轴；③0<c ,与y 轴交于负半轴.以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y 轴右侧，则0<ab. 10.几种特殊的二次函数的图像特征如下：函数解析式开口方向对称轴顶点坐标2ax y =当0>a 时开口向上当0<a 时开口向下0=x （y 轴）（0,0） k ax y +=20=x （y 轴） (0, k ) ()2h x a y -=h x =(h ,0) ()k h x a y +-=2h x = (h ,k )c bx ax y ++=2ab x 2-= (ab ac a b 4422--，) 11.用待定系数法求二次函数的解析式（1）一般式：c bx ax y ++=2.已知图像上三点或三对x 、y 的值，通常选择一般式.（2）顶点式：()k h x a y +-=2.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.（3）交点式：已知图像与x 轴的交点坐标1x 、2x ，通常选用交点式：()()21x x x x a y --=. 12.直线与抛物线的交点（1）y 轴与抛物线c bx ax y ++=2得交点为(0, c ).（2）与y 轴平行的直线h x =与抛物线c bx ax y ++=2有且只有一个交点(h ,c bh ah++2).（3）抛物线与x 轴的交点二次函数c bx ax y ++=2的图像与x 轴的两个交点的横坐标1x 、2x ，是对应一元二次方程02=++c bx ax 的两个实数根.抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：①有两个交点⇔0>∆⇔抛物线与x 轴相交；②有一个交点（顶点在x 轴上）⇔0=∆⇔抛物线与x 轴相切； ③没有交点⇔0<∆⇔抛物线与x 轴相离. （4）平行于x 轴的直线与抛物线的交点同（3）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k ，则横坐标是k c bx ax =++2的两个实数根.（5）一次函数()0≠+=k n kx y 的图像l 与二次函数()02≠++=a c bx ax y 的图像G 的交点，由方程组cbx ax y n kx y ++=+=2的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时⇔l 与G 有两个交点; ②方程组只有一组解时⇔l 与G 只有一个交点；③方程组无解时⇔l 与G 没有交点.（6）抛物线与x 轴两交点之间的距离：若抛物线c bx ax y ++=2与x 轴两交点为()()0021，，，x B x A ，由于1x 、2x 是方程02=++c bx ax 的两个根，故acx x a b x x =⋅-=+2121,()()a a acb ac a b x x x x x x x x AB ∆=-=-⎪⎭⎫⎝⎛-=--=-=-=444222122122121第二部分典型习题１.抛物线y ＝x 2＋2x －2的顶点坐标是（ D ）A.（2，－2）B.（1，－2）C.（1，－3）D.（－1，－3）２.已知二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，则下列结论正确的是（ C ）Ａ．ab ＞0，c ＞0 Ｂ．ab ＞0，c ＜0 Ｃ．ab ＜0，c ＞0 Ｄ．ab ＜0，c ＜0CA EF BD第２,３题图第4题图３.二次函数c bx ax y ＋＋＝2的图象如图所示，则下列结论正确的是（Ｄ） A ．a ＞0，b ＜0，c ＞0 B ．a ＜0，b ＜0，c ＞0 C ．a ＜0，b ＞0，c ＜0 D ．a ＜0，b ＞0，c ＞0４.如图，已知∆ABC 中，BC=8，BC 上的高h =4，D 为BC 上一点，EF BC //，交AB 于点E ，交AC 于点F （EF 不过A 、B ），设E 到BC 的距离为x ，则∆DEF 的面积y 关于x 的函数的图象大致为（Ｄ）DO 424O424O 424O 424yx2482,484EF xEF x y x x -=⇒=-∴=-+ ５.抛物线322--=x x y 与x 轴分别交于A 、B 两点，则AB 的长为 4 ．6.已知二次函数11)(2k 2－－＋＝x kx y 与x 轴交点的横坐标为1x 、2x （21x x ＜），则对于下列结论：①当x ＝－2时，y ＝1；②当2x x ＞时，y ＞0；③方程011)(22＝－＋-x k kx 有两个不相等的实数根1x 、2x ；④11-＜x ，12＞－x ；⑤22114k x x ＋－，其中所有正确的结论是 ①③④ （只需填写序号）．7.已知直线()02≠+-=b b x y 与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ；一抛物线的解析式为()c x b x y ++-=102.（1）若该抛物线过点B ，且它的顶点P 在直线b x y +-=2上，试确定这条抛物线的解析式；（2）过点B 作直线BC ⊥AB 交x 轴交于点C ，若抛物线的对称轴恰好过C 点，试确定直线b x y +-=2的解析式.解：（1）102-=x y 或642--=x x y将0)b （，代入，得c b =.顶点坐标为21016100(,)24b b b +++-，由题意得21016100224b b b b +++-⨯+=-，解得1210,6b b =-=-.（2）22--=x y8.有一个运算装置，当输入值为x 时，其输出值为y ，且y 是x 的二次函数，已知输入值为2-,0,1时, 相应的输出值分别为5,3-,4-．（1）求此二次函数的解析式；（2）在所给的坐标系中画出这个二次函数的图象,并根据图象写出当输出值y 为正数时输入值x 的取值范围.解：（1）设所求二次函数的解析式为c bx ax y ++=2,则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=++-=+⋅+⋅=+-+-43005)2()2(22c b a c b a c b a ,即⎪⎩⎪⎨⎧-=+=--=1423b a b a c ,解得⎪⎩⎪⎨⎧-=-==321c b a 故所求的解析式为:322--=x x y . （2)函数图象如图所示.由图象可得，当输出值y 为正数时，输入值x 的取值范围是1-<x 或3>x ．9.某生物兴趣小组在四天的实验研究中发现：骆驼的体温会随外部环境温度的变化而变化，而且在这四天中每昼夜的体温变化情况相同．他们将一头骆驼前两昼夜的体温变化情况绘制成下图．请根据图象回答： ⑴第一天中，在什么时间范围内这头骆驼的体温是上升的?它的体温从最低上升到最高需要多少时间? ⑵第三天12时这头骆驼的体温是多少? ⑶兴趣小组又在研究中发现，图中10时到 22时的曲线是抛物线，求该抛物线的解析式．解：⑴第一天中，从4时到16时这头骆驼的体温是上升的它的体温从最低上升到最高需要12小时 ⑵第三天12时这头骆驼的体温是39℃⑶()22102421612≤≤++-=x x x y 10.已知抛物线4)334(2+++=x a ax y 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ．是否存在实数a ，使得 △ABC 为直角三角形．若存在，请求出a 的值；若不存在，请说明理由．解：依题意，得点C 的坐标为（0，4）．设点A 、B 的坐标分别为（1x ，0），（2x ，0），由04)334(2=+++x a ax ，解得 31-=x ，ax 342-=． ∴ 点A 、B 的坐标分别为（-3，0），（a34-，0）． ∴ |334|+-=aAB ，522=+=OC AO AC ， =+=22OC BO BC 224|34|+-a． ∴ 9891693432916|334|2222+-=+⨯⨯-=+-=aa a a a AB ， 252=AC ，1691622+=a BC ．〈ⅰ〉当222BC AC AB +=时，∠ACB ＝90°．由222BC AC AB +=，得)16916(259891622++=+-a a a ．解得 41-=a ．∴ 当41-=a 时，点B 的坐标为（316，0），96252=AB ，252=AC ，94002=BC ．于是222BC AC AB +=． ∴ 当41-=a 时，△ABC 为直角三角形．〈ⅱ〉当222BC AB AC +=时，∠ABC ＝90°．由222BC AB AC +=，得)16916()98916(2522+++-=aa a ．解得 94=a ．当94=a 时，3943434-=⨯=-a ，点B （-3，0）与点A 重合，不合题意．〈ⅲ〉当222AB AC BC +=时，∠BAC ＝90°．由222AB AC BC +=，得)98916(251691622+-+=+aa a ．解得 94=a ．不合题意．综合〈ⅰ〉、〈ⅱ〉、〈ⅲ〉，当41-=a 时，△ABC 为直角三角形． 11.已知抛物线y ＝－x 2＋mx －m ＋2.（1）若抛物线与x 轴的两个交点A 、B 分别在原点的两侧，并且AB 5m 的值；（2）设C 为抛物线与y 轴的交点，若抛物线上存在关于原点对称的两点M 、N ，并且 △MNC 的面积等于27，试求m 的值.解: (1)Ａ（x 1，0）,B(x 2，0) . 则x 1 ，x 2是方程 x 2－mx ＋m －2＝0的两根. ∵x 1 ＋ x 2 ＝m , x 1·x 2 =m －2 ＜0 即m ＜2 ;又AB ＝∣x 1 — x 2121245x x x x -=2（+）∴m 2－4m ＋3=0 .解得：m=1或m=3(舍去) , ∴m 的值为1 . （2）M(a ，b)，则N(－a ，－b) . ∵M 、N 是抛物线上的两点,∴222,2.a ma m b a ma m b ⎧-+-+=⎪⎨---+=-⎪⎩①②①＋②得：－2a 2－2m ＋4＝0 . ∴a 2＝－m ＋2 . ∴当m ＜2时，才存在满足条件中的两点M 、N.NMCx yO∴2a m =- .这时M 、N 到y 2m -又点C 坐标为（0，2－m ）,而S △M N C = 27 , ∴2×12×（2－m 2m -∴解得m=－7 .12.已知：抛物线t ax ax y ＋＋＝42与x 轴的一个交点为A （－1，0）．（1）求抛物线与x 轴的另一个交点B 的坐标；（2）D 是抛物线与y 轴的交点，C 是抛物线上的一点，且以AB 为一底的梯形ABCD 的面积为9，求此抛物线的解析式；（3）E 是第二象限内到x 轴、y 轴的距离的比为5∶2的点，如果点E 在（2）中的抛物线上，且它与点A 在此抛物线对称轴的同侧，问：在抛物线的对称轴上是否存在点P ，使△APE 的周长最小?若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．解法一：（1）依题意，抛物线的对称轴为x ＝－2． ∵ 抛物线与x 轴的一个交点为A （－1，0），∴ 由抛物线的对称性，可得抛物线与x 轴的另一个交点B 的坐标为（－3，0）．（2）∵ 抛物线t ax ax y ＋＋＝42与x 轴的一个交点为A （－1， 0），∴ 0)1(4)1(2＝＋－＋－t a a ．∴ t ＝3a ．∴ a ax ax y 342＋＋＝． ∴ D （0，3a ）．∴ 梯形ABCD 中，AB ∥CD ，且点C 在抛物线a ax ax y 342＋＋＝上， ∵ C （－4，3a ）．∴ AB ＝2，CD ＝4． ∵ 梯形ABCD 的面积为9，∴ 9)(21＝OD CD AB ⋅+．∴ 93)42(21＝＋a ．∴ a ±1．∴ 所求抛物线的解析式为342＋＋＝x x y 或342---ax x y ＝．（3）设点E 坐标为（0x ，0y ）.依题意，00＜x ，00＜y ，且2500＝x y ．∴ 0025x y ＝－．①设点E 在抛物线342＋＋＝x x y 上，∴340200＋＋＝x x y ．解方程组⎪⎩⎪⎨⎧34,25020000＋＋＝＝－x x y x y 得⎩⎨⎧-；＝，＝15600y x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧'-'．＝，＝452100y x ∵ 点E 与点A 在对称轴x ＝－2的同侧，∴ 点E 坐标为（21-，45）．设在抛物线的对称轴x ＝－2上存在一点P ，使△APE 的周长最小． ∵ AE 长为定值，∴ 要使△APE 的周长最小，只须PA ＋PE 最小． ∴ 点A 关于对称轴x ＝－2的对称点是B （－3，0）， ∴ 由几何知识可知，P 是直线BE 与对称轴x ＝－2的交点．设过点E 、B 的直线的解析式为n mx y ＋＝，∴ ⎪⎩⎪⎨⎧-.03,4521＝＋－＝＋n m n m 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧.23,21＝＝n m ∴ 直线BE 的解析式为2321＋＝x y ．∴ 把x ＝－2代入上式，得21＝y ． ∴ 点P 坐标为（－2，21）． ②设点E 在抛物线342---x x y ＝上，∴ 340200---x x y ＝．解方程组⎪⎩⎪⎨⎧---.34,25020000x x y x y ＝＝－消去0y ，得03x 23x 020＝＋+． ∴ △＜0 . ∴ 此方程无实数根．综上，在抛物线的对称轴上存在点P （－2，21），使△APE 的周长最小．解法二：（1）∵ 抛物线t ax ax y ＋＋＝42与x 轴的一个交点为A （－1，0），∴ 0)1(4)1(2＝＋－＋－t a a ．∴ t ＝3a ．∴ a ax ax y 342＋＋＝．令 y ＝0，即0342＝＋＋a ax ax ．解得 11＝－x ，32＝－x ． ∴ 抛物线与x 轴的另一个交点B 的坐标为（－3，0）．（2）由a ax ax y 342＋＋＝，得D （0，3a ）． ∵ 梯形ABCD 中，AB ∥CD ，且点C 在抛物线a ax ax y 342＋＋＝上，∴ C （－4，3a ）．∴ AB ＝2，CD ＝4． ∵ 梯形ABCD 的面积为9，∴ 9)(21＝＋OD CD AB ⋅．解得OD ＝3． ∴ 33＝a ．∴ a ±1．∴ 所求抛物线的解析式为342＋＋＝x x y 或342－－＝－x x y ．（3）同解法一得，P 是直线BE 与对称轴x ＝－2的交点． ∴ 如图，过点E 作EQ ⊥x 轴于点Q ．设对称轴与x 轴的交点为F ．由PF ∥EQ ，可得EQ PF BQ BF ＝．∴ 45251PF ＝．∴ 21＝PF ．∴ 点P 坐标为（－2，21）．以下同解法一．13.已知二次函数的图象如图所示．（1）求二次函数的解析式及抛物线顶点M 的坐标．（2）若点N 为线段BM 上的一点，过点N 作x 轴的垂线，垂足为点Q ．当点N 在线段BM 上运动时（点N 不与点B ，点M 重合），设NQ 的长为l ，四边形NQAC 的面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式及自变量t 的取值范围；（3）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P ，使△PAC 为直角三角形?若存在，求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（4）将△OAC 补成矩形，使△OAC 的两个顶点成为矩形一边的两个顶点，第三个顶点落在矩形这一边的对边上，试直接写出矩形的未知的顶点坐标（不需要计算过程）．解：（1）设抛物线的解析式)2)(1(-+=x x a y ，∴ )2(12-⨯⨯=-a ．∴ 1=a ．∴ 22--=x x y ．其顶点M 的坐标是⎪⎭⎫ ⎝⎛-4921，．（2）设线段BM 所在的直线的解析式为b kx y +=，点N 的坐标为N （t ，h ），∴ ⎪⎩⎪⎨⎧+=-+=.214920b k b k ，．解得23=k ，3-=b ． ∴ 线段BM 所在的直线的解析式为323-=x y ． ∴ 323-=t h ，其中221<<t ．∴ t t s )3322(212121-++⨯⨯=121432+-=t t ． ∴ s 与t 间的函数关系式是121432+-=t t S ，自变量t 的取值范围是221<<t ．（3）存在符合条件的点P ，且坐标是1P ⎪⎭⎫ ⎝⎛4725，，⎪⎭⎫ ⎝⎛-45232，P ．设点P 的坐标为P )(n m ，，则22--=m m n ． 222)1(n m PA ++=，5)2(2222=++=AC n m PC ，．分以下几种情况讨论：i ）若∠PAC ＝90°，则222AC PA PC +=．∴ ⎪⎩⎪⎨⎧+++=++--=.5)1()2(222222n m n m m m n ，解得：251=m ，12-=m （舍去）． ∴ 点⎪⎭⎫ ⎝⎛47251，P ． ii ）若∠PCA ＝90°，则222AC PC PA +=．∴ ⎪⎩⎪⎨⎧+++=++--=.5)2()1(222222n m n m m m n ，解得：02343==m m ，（舍去）．∴ 点⎪⎭⎫ ⎝⎛45232，－P ． iii ）由图象观察得，当点P 在对称轴右侧时，AC PA >，所以边AC 的对角∠APC 不可能是直角．（4）以点O ，点A （或点O ，点C ）为矩形的两个顶点，第三个顶点落在矩形这边OA （或边OC ）的对边上，如图a ，此时未知顶点坐标是点D （－1，－2），以点A ，点C 为矩形的两个顶点，第三个顶点落在矩形这一边AC 的对边上，如图b ，此时未知顶点坐标是E ⎪⎭⎫ ⎝⎛-5251，，F ⎪⎭⎫ ⎝⎛-5854，．图a 图b14.已知二次函数22－＝ax y 的图象经过点（1，－1）．求这个二次函数的解析式，并判断该函数图象与x 轴的交点的个数．解：根据题意，得a －2＝－1.∴ a ＝1． ∴ 这个二次函数解析式是22-x y ＝．因为这个二次函数图象的开口向上，顶点坐标是（0，－2），所以该函数图象与x 轴有两个交点．15.卢浦大桥拱形可以近似看作抛物线的一部分．在大桥截面1∶11000的比例图上，跨度AB ＝5 cm ，拱高OC ＝0.9 cm ，线段DE 表示大桥拱内桥长，DE ∥AB ，如图（1）．在比例图上，以直线AB 为x 轴，抛物线的对称轴为y 轴，以1 cm 作为数轴的单位长度，建立平面直角坐标系，如图（2）．（1）求出图（2）上以这一部分抛物线为图象的函数解析式，写出函数定义域；（2）如果DE 与AB 的距离OM ＝0.45 cm ，求卢浦大桥拱内实际桥长（备用数据：4.12≈，计算结果精确到1米）．解：（1）由于顶点C 在y 轴上，所以设以这部分抛物线为图象的函数解析式为1092＋＝ax y ．因为点A （25-，0）（或B （25，0））在抛物线上，所以109)25(02＋＝-⋅a ，得12518＝－a ．因此所求函数解析式为)2525(109125182≤≤-x x y ＋＝－．（2）因为点D 、E 的纵坐标为209，所以109125182092＋－x =，得245±＝x ．所以点D 的坐标为（245－，209），点E 的坐标为（245，209）．所以225)245(245＝－＝-DE ．因此卢浦大桥拱内实际桥长为385227501.011000225≈⨯⨯＝（米）． 16.已知在平面直角坐标系内，O 为坐标原点，A 、B 是x 轴正半轴上的两点，点A 在点B 的左侧，如图．二次函数c bx ax y ＋＋＝2（a ≠0）的图象经过点A 、B ，与y 轴相交于点C ．（1）a 、c 的符号之间有何关系?（2）如果线段OC 的长度是线段OA 、OB 长度的比例中项，试证a 、c 互为倒数；（3）在（2）的条件下，如果b ＝－4，34＝AB ，求a 、c 的值．解:（1）a 、c 同号．或当a ＞0时，c ＞0；当a ＜0时，c ＜0．（2）证明：设点A 的坐标为（1x ，0），点B 的坐标为（2x ，0），则210x x ＜＜． ∴ 1x OA =，2x OB =，c OC =．据题意，1x 、2x 是方程)0(02≠=a c bx ax ＋＋的两个根． ∴ a c x x =⋅21．由题意，得2OC OB OA ＝⋅，即22c c a c＝＝．所以当线段OC 长是线段OA 、OB 长的比例中项时，a 、c 互为倒数．（3）当4-=b 时，由（2）知，0421＞＝＝－＋a a b x x ，∴ a ＞0．解法一：AB ＝OB －OA ＝21221124)(x x x x x x -＋＝－，∴ aa ac a c a AB 32416)(4)4(22=-==－． ∵ 34=AB ， ∴ 3432＝a ．得21=a ．∴ c ＝2.解法二：由求根公式，a a a ac x 322416424164±-±-±＝＝＝， ∴ a x 321-＝，ax 322+＝． ∴ a a a x x OA OB AB 32323212＝－－＝－＝－＝+． ∵ 34＝AB ，∴ 3432＝a ，得21＝a ．∴ c ＝2． 17.如图，直线333+-=x y 分别与x 轴、y 轴交于点A 、B ，⊙E 经过原点O 及A 、B 两点．（1）C 是⊙E 上一点，连结BC 交OA 于点D ，若∠COD ＝∠CBO ，求点A 、B 、C 的坐标；（2）求经过O 、C 、A 三点的抛物线的解析式：（3）若延长BC 到P ，使DP ＝2，连结AP ，试判断直线PA 与⊙E 的位置关系，并说明理由．解：（1）连结EC 交x 轴于点N （如图）．∵ A 、B 是直线333+-=x y 分别与x 轴、y 轴的交点．∴ A （3，0），B )3,0(．又∠COD ＝∠CBO ． ∴ ∠CBO ＝∠ABC ．∴ C 是的中点． ∴ EC ⊥OA ．∴ 232,2321====OB EN OA ON ．连结OE ．∴ 3==OE EC ． ∴ 23=-=EN EC NC ．∴ C 点的坐标为（23,23-）．（2）设经过O 、C 、A 三点的抛物线的解析式为()3-=x ax y ．∵ C （23,23-）． ∴)323(2323-⋅=-a ．∴ 392=a ． ∴ x x y 8329322-=为所求．（3）∵ 33tan =∠BAO ， ∴ ∠BAO ＝30°，∠ABO ＝50°．由（1）知∠OBD ＝∠ABD ．∴ ︒=︒⨯-∠=∠30602121ABO OBD ． ∴ OD ＝OB ·tan30°－1．∴ DA ＝2．∵∠ADC＝∠BDO＝60°，PD＝AD＝2．∴△ADP是等边三角形．∴∠DAP＝60°．∴∠BAP＝∠BAO＋∠DAP＝30°＋60°＝90°．即PA⊥AB．即直线PA是⊙E的切线．。

中考数学专题复习之二次函数的应用课件

中考数学专题复习
二次函数的应用
考点精讲·导析探究
B
（ 1 ）设 y ＝ kx ＋ b ，
把( 22 ， 36 )与( 24 ， 32 )代入得：
则 y ＝－ 2x ＋ 80 ；
（ 2 ）设当文具店每周销售这种纪念册获得 150元的利润时，每本纪念册的销售单价是
x 元，根据题意得：( x － 20 ) y ＝ 150 ，
润是 192 元．
（1）∵ B （ 4 ， m ）在直线 y ＝ x ＋ 2 上
∴ m ＝ 4 ＋ 2 ＝ ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ ，∴ B （ 4 ， 6 ）
∵抛物线 y ＝
ax2＋
1 5
bx＋ 6经过 A （，），B （ 4 ， 6 ）
2 2
∴抛物线的解析式为 y ＝ 2x2 － 8x ＋ 6 ．
（ 2 ）设 P （ m ， m ＋ 2 ），则 D （ m ， 2m2－ 8m ＋ 6 ）．
整理得 w ＝－( x － 25 ) 2 ＋ 225
∵－ 1 ＜ 0
∴当 x ＝ 25 时， w 取得最大值，最大值为 225 元．
1
（ 1 ）根据题意得， y ＝－ x ＋ 50 ；
2
1
（ 2 ）根据题意得，( 40 ＋ x )(－ x ＋ 50 )＝ 2 250 ，
2
解得： x 1 ＝ 50 ， x 2＝ 10 ，
＝－ 2 ( x － 30 ) 2 ＋ 200 ，
此时当 x ＝ 30 时， w 最大，
又∵售价不低于 20 元且不高于 28 元，
∴ x ＜ 30 时， y 随 x 的增大而增大，即当 x ＝ 28时， w 最大＝－ 2 ( 28 － 30 ) 2 ＋ 200 ＝

九年级数学下册第26章二次函数 26.1 二次函数教学课件

是二次函数？
解:由题意，得 m2-2m-1=2， m+1 ≠0 ， ∴m=3。
12/11/2021
12/11/2021
对比一次函数归纳二次函数的定义。
形如y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的函数叫做二次函数。
12/11/2021
提问：
1．上述概念中的a为什么不能是0？ 2. 对于二次函数y=ax2+bx+c中的b和c可否为0？若 b和c各自为0或均为0，上述函数的式子可以改写成怎样？你认为它们还是不是二次函数？
AB的长 x（ｍ） 1 2 3 4 5 6 7
BC的长（ｍ） 18 16 14 12 10 8 6 面积 y（ｍ２） 18 32 42 48 50 48 42
89
42 32 18
12/11/2021
问题2
某商店将每件进价为8元的商品按每件10元出售，一天可售出100件。该店想通过降低售价、增加销售量的办法来提高利润。经市场调查，发现这种商品单价每降低0.1元，其销售量可增加约10件。将这种商品的售价降低多少时，能使销售利润最大？
图片欣赏
12/11/2021
12/11/2021
12/11/2021
12/11/2021
12/11/2021
12/11/2021
问题1
用总长为20 m 的铁栏杆，一面靠墙，围成一个矩形的花圃。怎样围，才能使花圃的面积最大？
A
D
x
x
B 20-2x C
1.设矩形靠墙的一边AB的长为xｍ，矩形的面积为 yｍ2．能用含x的代数式来表示y吗？ 2.试填下面的表。 3.x的值可以任意取？有限定范围吗？
10-8 10-x-8

[推荐学习]九年级数学下册第26章二次函数26.2二次函数的图象与性质26.2.2.3二次函数y=a

26．2 二次函数的图象与性质2．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与性质第3课时二次函数y ＝a(x －h)2＋k 的图象与性质知|识|目|标1．通过阅读、操作、观察，能用描点法画二次函数y ＝a (x －h )2＋k 的图象.2．通过比较、思考、讨论，能归纳出二次函数y ＝a (x －h )2＋k 图象的平移规律，并能确定平移后对应的函数关系式．3．在准确画出二次函数y ＝a (x －h )2＋k 的图象的基础上，通过观察、探究、合作交流，能总结出二次函数y ＝a (x －h )2＋k 的性质并会熟练应用．目标一会画二次函数y ＝a(x －h)2＋k 的图象例1 教材补充例题在同一平面直角坐标系中画出下列函数的图象，并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标．y ＝12x 2，y ＝12(x －1)2，y ＝12(x －1)2－2.【归纳总结】画二次函数y ＝a (x －h )2＋k 的图象的技巧： (1)找到对称轴直线x ＝h (即顶点的横坐标h )； (2)列表时选取的x 值中把h 放在中间，比h 小和比h 大的数各取若干个(一般取整数)，并求出对应的y 的值；(3)在平面直角坐标系里描出表中以(x ，y )为坐标的点，并用光滑的曲线顺次连结．目标二掌握二次函数图象的平移规律例2 教材补充例题 (1)把抛物线y ＝x 2先向右平移2个单位，再向上平移3个单位，平移后抛物线的关系式是____________；(2)将抛物线y ＝3(x －4)2＋2先向右平移1个单位，再向下平移3个单位，平移后的抛物线的关系式是____________．【归纳总结】求平移后的抛物线对应的函数关系式的方法：首先要将二次函数的关系式化为顶点式，然后按照“左加右减，上加下减”的平移规律，确定平移后的抛物线对应的函数关系式．目标三理解二次函数y ＝a(x －h)2＋k 的性质例3 高频考题已知函数y ＝3()x －22＋9.(1)确定此函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；(2)当x ＝________时，函数有最________值，是________；(3)当x ________时，y 随x 的增大而增大；当x ________时，y 随x 的增大而减小； (4)求出该函数图象与y 轴的交点坐标．【归纳总结】二次函数y ＝a (x －h )2＋k 的性质：二次函数y ＝a (x －h )2＋k 的图象是一条抛物线，它的开口方向、对称轴和顶点坐标与a ，h ，k 的值有关．(1)当a ＞0时，开口向上；当a ＜0时，开口向下． (2)对称轴是直线x ＝h . (3)顶点坐标是(h ，k )．(4)当x ＝h 时，函数有最大(或最小)值k .(5)若a >0，则当x ＜h 时，y 随x 的增大而减小，当x >h 时，y 随x 的增大而增大；若a <0，则当x ＜h 时，y 随x 的增大而增大，当x >h 时，y 随x 的增大而减小．知识点一二次函数y ＝a(x －h)2＋k 的图象与二次函数y ＝ax 2的图象的关系(1)形如y ＝a(x －h)2＋k(a ≠0)的关系式叫做二次函数的顶点式．二次函数y ＝a(x －h)2＋k的图象与二次函数y ＝ax 2的图象形状完全________，但位置不同，其顶点坐标为________，对称轴为直线________．(2)二次函数y ＝a(x －h)2＋k 的图象可由二次函数y ＝ax 2的图象向右平移h(h>0)个单位[或向左平移|h|(h ＜0)个单位]，再向上平移k(k>0)个单位[或向下平移|k|(k<0)个单位]得到．知识点二二次函数y ＝a(x －h)2＋k 的图象与性质二次函数y ＝13(x ＋3)2－4的图象是由y ＝13x 2的图象先向右平移3个单位，再向下平移4个单位得到的．上面的说法正确吗？如果不正确，错在哪里？请你改正．教师详解详析【目标突破】例1 解：(1)列表：(2)描点、连线，画出这三个函数的图象，如图所示．二次函数y ＝12x 2，y ＝12(x －1)2，y ＝12(x －1)2－2的图象的开口均向上；对称轴分别为y 轴，直线x ＝1，直线x ＝1；顶点坐标分别为(0，0)，(1，0)，(1，－2)．例2 [答案] (1) y ＝(x －2)2＋3(2)y ＝3(x －5)2－1[解析] (1)抛物线y ＝x 2先向右平移2个单位，得抛物线y ＝(x －2)2，再将抛物线y ＝(x －2)2向上平移3个单位，得抛物线y ＝(x －2)2＋3.故答案为y ＝(x －2)2＋3.(2)抛物线y ＝3(x －4)2＋2的顶点坐标为(4，2)，将该抛物线先向右平移1个单位，再向下平移3个单位，则平移后顶点的横坐标增加了1，顶点的纵坐标减少了3，所以顶点坐标变为(4＋1，2－3)，即(5，－1)．由于平移时，抛物线的形状和开口方向都不变，所以平移后的抛物线的关系式的二次项系数仍为3，所以平移后的抛物线的关系式为y ＝3(x －5)2－1. 例3 [解析] 从关系式中可以看出图象的顶点坐标是(2，9)，对称轴是直线x ＝2，画出草图，根据图象求出增减的范围．解：(1)此函数图象的开口向上，对称轴是直线x ＝2，顶点坐标是(2，9)． (2)2 小 9 (3)>2 <2(4)该函数图象与y 轴的交点坐标为(0，21)．[备选例题] 把抛物线y ＝－12x 2向左平移3个单位，再向上平移4个单位，得到一条新抛物线．(1)求所得到的新抛物线对应的函数关系式；(2)求所得到的新抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标； (3)当x 取何值时，新抛物线对应的函数值y 随着x 的增大而增大？当x 取何值时，新抛物线对应的函数值y 随着x 的增大而减小？(4)求出新抛物线对应的函数的最大值和最小值．解：(1)y ＝－12(x ＋3)2＋4.(2)因为a ＝－12<0，所以新抛物线的开口向下，对称轴是直线x ＝－3，顶点坐标是(－3，4)．(3)当x<－3时，y 随着x 的增大而增大；当x>－3时，y 随着x 的增大而减小．(4)因为a ＝－12<0，所以y 有最大值，当x ＝－3时，y 有最大值4，无最小值．【总结反思】[小结] 知识点一 (1)相同 (h ，k) x ＝h知识点二向上 h k 增大减小低 k 向下 h k 减小增大高 k [反思] 不正确，混淆了左右平移．改正：二次函数y ＝13(x ＋3)2－4的图象是由y ＝13x 2的图象先向左平移3个单位，再向下平移4个单位得到的．。

2012年中考数学专题复习《二次函数》

中考复习专题——二次函数知识点总结二次函数知识点：1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。

这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2．⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质：o o结论：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。

总结：2. 2y ax c =+的性质：结论：上加下减。

总结：3. ()2y a x h =-的性质：结论：左加右减。

总结：4. ()2y a x h k =-+的性质：a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质0a >向上()0c ， y 轴0x >时，y 随x 的增大而增大；0x <时，y 随x的增大而减小；0x =时，y 有最小值c ． 0a < 向下()0c ，y 轴0x >时，y 随x 的增大而减小；0x <时，y 随x的增大而增大；0x =时，y 有最大值c ．a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质0a >向上()0h ，X=hx h >时，y 随x 的增大而增大；x h <时，y 随x 的增大而减小；x h =时，y 有最小值0．0a < 向下()0h ，X=hx h >时，y 随x 的增大而减小；x h <时，y 随x 的增大而增大；x h =时，y 有最大值0．a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质0a >向上()00， y 轴0x >时，y 随x 的增大而增大；0x <时，y 随x 的增大而减小；0x =时，y 有最小值0．0a < 向下()00，y 轴0x >时，y 随x 的增大而减小；0x <时，y 随x 的增大而增大；0x =时，y 有最大值0．总结：二次函数图象的平移1. 平移步骤：⑴将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k=-+，确定其顶点坐标()h k，；⑵保持抛物线2y ax=的形状不变，将其顶点平移到()h k，处，具体平移方法如下：向右(h>0)【或左(h<0)】平移 |k|个单位向上(k>0)【或下(k<0)】平移|k|个单位向右(h>0)【或左(h<0)】平移|k|个单位向右(h>0)【或左(h<0)】平移|k|个单位向上(k>0)【或下(k<0)】平移|k|个单位向上(k>0)【或向下(k<0)】平移|k|个单位y=a(x-h)2+ky=a(x-h)2y=ax2+ky=ax22. 平移规律在原有函数的基础上“h值正右移，负左移；k值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．三、二次函数()2y a x h k=-+与2y ax bx c=++的比较请将2245y x x=++利用配方的形式配成顶点式。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

（最新最全）2012年全国各地中考数学解析汇编（按章节考点整理）第二十六章二次函数的应用A 26.1 二次函数的应用——最大利润问题 26.2 二次函数的应用——最大面积问题 26.3 二次函数的应用——抛物线型桥梁、涵洞问题 26.4 二次函数的应用——体育活动中的抛物线型问题（2012北海,7，3分）已知二次函数y＝x2－4x＋5的顶点坐标为：（） A．（－2，－1） B．（2，1） C．（2，－1） D．（－2，1）

【解析】二次函数的顶点坐标公式为（abacab44,22），分别把a，b，c的值代入即可。【答案】B 【点评】本题考查的是二次函数顶点公式，做题时要灵活把握，求纵坐标时，也可以把横坐标的值代入到函数中，求y值即可，属于简单题型。

（2012山东省滨州，1，3分）抛物线234yxx 与坐标轴的交点个数是（） A．3 B．2 C．1 D．0 【解析】抛物线解析式234xx，令x=0，解得：y=4，∴抛物线与y轴的交点为（0，4），令y=0，得到2340xx，即2340xx，分解因式得：(34)(1)0xx ，

解得：143x , 21x，

∴抛物线与x轴的交点分别为（43，0），（1，0），综上，抛物线与坐标轴的交点个数为3．【答案】选A 【点评】本题考查抛物线的性质，需要数形结合，解出交点，即可求出交点的个数．此题也可用一元二次方程根的判别式判定与x轴的交点个数，与y轴的交点就是抛物线中C的取值．

( 2012年四川省巴中市,8,3)对于二次函数y=2(x+1)（x-3）下列说法正确的是（） A.图象开口向下 B.当x＞1时,y随x的增大而减小 C.x＜1时，y随x的增大而减小 D.图象的对称轴是直线x= - 1 【解析】y=2(x+1)（x-3）可化为y=(x－1)2-8,此抛物线开口向上,可排除A,对称轴是直线x=1可排除D,根据图象对称轴右侧部分, y随x的增大而减小,即x＜1时,故选C. 【答案】C 【点评】本题考查将二次函数关系式化成顶点式的方法及图象性质. 12．（2012湖南衡阳市，12，3）如图为二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象，则下列说法： ①a＞0 ②2a+b=0 ③a+b+c＞0 ④当﹣1＜x＜3时，y＞0 其中正确的个数为（）

A．1B．2C．3D．4 解析：由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由x=1时的函数值判断a+b+c＞0，然后根据对称轴推出2a+b与0的关系，根据图象判断﹣1＜x＜3时，y的符号．答案：解：①图象开口向下，能得到a＜0；

②对称轴在y轴右侧，x==1，则有﹣=1，即2a+b=0； ③当x=1时，y＞0，则a+b+c＞0； ④由图可知，当﹣1＜x＜3时，y＞0．故选C．点评：本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．

（2012呼和浩特，9，3分）已知:M、N两点关于y轴对称，且点M在双曲线12yx上，点N在直线y=x+3上，设点M的坐标为（a,b），则二次函数y= –abx2+(a+b)x A. 有最大值，最大值为 –92 B. 有最大值，最大值为92

C. 有最小值，最小值为92 D. 有最小值，最小值为 –92

【解析】M(a,b)，则N(–a,b)，∵M在双曲线上，∴ab=12；∵N在直线上，∴b=–a+3,即a+b=3；

∴二次函数y= –abx2+(a+b)x= –12x2+3x= –12(x–3)2+92，∴有最大值，最大值为92 【答案】B 【点评】本题考查了轴对称的性质，利用点在函数图象上，把点代入的解析式中求得ab和a+b的值。

此题解题时没有必要解出a、b的值，而是利用整体代入法求解。

（2012陕西10，3分）在平面直角坐标系中，将抛物线62xxy向上（下）或向左（右）平移了m个单位，使平移后的抛物线恰好经过原点，则m的最小值为（） A．1 B．2 C．3 D．6 【解析】因为是左或右平移，所以由)2)(3(62xxxxy求出抛物线与x轴有两个交点分别为30-20，，，，将抛物线向右平移2个单位，恰好使得抛物线经过原点，且移动距离最小．选B．【答案】B 【点评】本题考查了抛物线的图像性质，关注它和x轴交点坐标是解决问题的关键.难度稍大. （2012四川泸州，12，3分）抛物线3)2(2xy的顶点坐标是（） A.（2，3） B.（-2，3） C.（2，3） D.（-2，-3）解析：求抛物线的顶点坐标可以运用顶点坐标公式，也可以运用配方法.由抛物线3)2(2xy的顶点坐标为（2，3）.故选C.

答案：C. 点评：本题考查了二次函数图象顶点坐标，由配方法得到的顶点坐标中，横坐标符号容易被弄错，需要注意.

（2012，黔东南州，5）抛物线243yxx的图象向右平移2个单位长度后所得新的抛物线的顶点坐标为（） A 、（4，-1） B、（0，-3） C、（-2，-3） D、（-2，-1）解析：123422xxxy，所以顶点坐标为（2，-1），右平移2个单位长度后所得新的抛物线的顶点坐标为（4，-1）. 答案：A 点评：本题考查了抛物线的平移，难度较小.

（2012河南，5，3分）在平面直角坐标系中，将抛物线24yx先向右平移2个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线解析式为 A．2(2)2yx B．2(2)2yx C．2(2)2yx D．2(2)2yx 解析：根据点的坐标是平面直角坐标系中的平移规律：“左加右减，上加下减.”故选B. 解答：B．点评：根据平移概念，图形平移变换，图形上每一点移动规律都是一样的，也可用抛物线顶点移动.即（0，－4）—→（2，－2）.

(2012山东日照，11，3分)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，给出下列结论：① b2－4ac>0；② 2a+b<0；③ 4a－2b+c=0；④ a︰b︰c= －1︰2︰3.其中正确的是（） A. ①② B.②③ C. ③④ D.①④ 解析：由图可知，对称轴为x=1，图象与x轴有两个交点（-1，0）和（3，0），故b2－4ac>0；a-b+c=0,2a+b=0,所以b=-2a,c=-3a,所以a︰b︰c= -1︰2︰3. 解答：选D．点评：本题主要考查二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴的交点坐标、对称轴等，解题的关键是运用数形结合思想，充分利用图象进行分析，排除错误答案.

(2012贵州黔西南州，10，4分)如图4，抛物线y=12x2＋bx－2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且A(－1，0)，点M(m，0)是x轴上的一个动点，当MC＋MD的值最小时，m的值是( )．

A．2540 B．2441 C．2340 D．2541

【解析】解把A(―1，0)代入y=12x2＋bx―2，求得b=―32．所以，y=12x2―32x―2=12(x―32)2―258，所以抛物线顶点D(32，―258)．又求得C(0，―2)．要x轴上的动点M(m，0)使MC＋MD最小，作C点关于x轴的对称点C/(0，2)，连接C/D与x轴的交点即为M点．

利用相似三角形的知识求得OM=2441；或先求直线C/D的解析式，再求这条直线与抛物线的交点坐标为(2441，0)．所以，n=2441．【答案】B．【点评】本题考查二次函数的图象与性质，一般在图形中解决“折线段最小值”的问题，要利用轴对称把“折线段”化为“直线段”进行计算．

C. 有最小值，最小值为92 D. 有最小值，最小值为 –92

【解析】M(a,b)，则N(–a,b)，∵M在双曲线上，∴ab=12；∵N在直线上，∴b=–a+3,即a+b=3；

此题解题时没有必要解出a、b的值，而是利用整体代入法求解。

（2012南京市，12，2）已知下列函数：①y=x2;②y= -x2;③y=(x-1)2+2.其中，图像通过平移可以得到函数y= -x2+2x-3的图像有 . 解析：只要二次项的系数相同，这类二次函数图像均可以通过平移得到. 答案：②. 点评：二次项的系数a决定二次函数的形状、开口大小等，所有a相等的二次函数都可以由y=ax2经过平移得到.

（2012甘肃兰州，11，4分）已知二次函数)0()1(2abxay有最小值1，则a、b的大小关系为（） A.a>b B. a解析：二次函数)0()1(2abxay有最小值，则a＞0;又因为此函数均有最小值是1，所以-b=1,b=-1,因此a>b,故选A．答案：A

第14题图

2012全国各地中考数学解析汇编--第26章 二次函数的应用A(已排版)

2012年全国各地中考数学压轴题专集答案二次函数

九年级数学下册 第26章 二次函数 26.2 二次函数的图象与性质 26.2.2.4 二次函数yax