2 018-2019学年人教版高中数学必修1学案全套
2019年高中数学人教版必修1全套教案
目录第一章 集合与函数 ............................................................................................................................................... 1 第二章 基本初等函数（Ⅰ） ............................................................................................................................. 24 第三章 函数的应用 (59)第一章 集合与函数 §1.1.1集合的含义与表示一. 教学目标： l.知识与技能(1)通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系； (2)知道常用数集及其专用记号；(3)了解集合中元素的确定性.互异性.无序性； (4)会用集合语言表示有关数学对象； (5)培养学生抽象概括的能力.2. 过程与方法(1)让学生经历从集合实例中抽象概括出集合共同特征的过程，感知集合的含义. (2)让学生归纳整理本节所学知识. 3. 情感.态度与价值观使学生感受到学习集合的必要性，增强学习的积极性. 二. 教学重点.难点重点：集合的含义与表示方法. 难点：表示法的恰当选择. 三. 学法与教学用具1. 学法：学生通过阅读教材，自主学习.思考.交流.讨论和概括，从而更好地完成本节课的教学目标.2. 教学用具：投影仪. 四. 教学思路(一)创设情景，揭示课题1．教师首先提出问题：在初中，我们已经接触过一些集合，你能举出一些集合的例子吗? 引导学生回忆.举例和互相交流. 与此同时，教师对学生的活动给予评价.2.接着教师指出：那么，集合的含义是什么呢?这就是我们这一堂课所要学习的内容. （二）研探新知1．教师利用多媒体设备向学生投影出下面9个实例： (1)1—20以内的所有质数； (2)我国古代的四大发明； (3)所有的安理会常任理事国； (4)所有的正方形；(5)海南省在2004年9月之前建成的所有立交桥；(6)到一个角的两边距离相等的所有的点； (7)方程2560x x -+=的所有实数根； (8)不等式30x ->的所有解；(9)国兴中学2004年9月入学的高一学生的全体.2．教师组织学生分组讨论：这9个实例的共同特征是什么? 3.每个小组选出——位同学发表本组的讨论结果，在此基础上，师生共同概括出9个实例的特征，并给出集合的含义.一般地，指定的某些对象的全体称为集合(简称为集).集合中的每个对象叫作这个集合的元素. 4.教师指出：集合常用大写字母A ，B ，C ，D ，…表示，元素常用小写字母,,,a b c d …表示. (三)质疑答辩，排难解惑，发展思维1．教师引导学生阅读教材中的相关内容，思考：集合中元素有什么特点?并注意个别辅导，解答学生疑难.使学生明确集合元素的三大特性，即:确定性.互异性和无序性.只要构成两个集合的元素是一样的,我们就称这两个集合相等. 2．教师组织引导学生思考以下问题：判断以下元素的全体是否组成集合，并说明理由： (1)大于3小于11的偶数； (2)我国的小河流.让学生充分发表自己的建解.3. 让学生自己举出一些能够构成集合的例子以及不能构成集合的例子，并说明理由.教师对学生的学习活动给予及时的评价.4.教师提出问题，让学生思考(1)如果用A 表示高—(3)班全体学生组成的集合，用a 表示高一(3)班的一位同学，b 是高一(4)班的一位同学，那么,a b 与集合A 分别有什么关系?由此引导学生得出元素与集合的关系有两种：属于和不属于.如果a 是集合A 的元素，就说a 属于集合A ，记作a A ∈. 如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于集合A ，记作a A ∉.(2)如果用A 表示“所有的安理会常任理事国”组成的集合，则中国.日本与集合A 的关系分别是什么?请用数学符号分别表示．(3)让学生完成教材第6页练习第1题.5.教师引导学生回忆数集扩充过程，然后阅读教材中的相交内容，写出常用数集的记号.并让学生完成习题1.1A 组第1题.6.教师引导学生阅读教材中的相关内容，并思考.讨论下列问题： (1)要表示一个集合共有几种方式?(2)试比较自然语言.列举法和描述法在表示集合时，各自有什么特点?适用的对象是什么? (3)如何根据问题选择适当的集合表示法?使学生弄清楚三种表示方式的优缺点和体会它们存在的必要性和适用对象。
【精品】2018-2019学年新课标高中数学必修1全册导学案及答案
【精品】2018-2019学年新课标高中数学必修1全册导学案及答案§1.1.1集合的含义及其表示[自学目标]1．认识并理解集合的含义，知道常用数集及其记法;2．了解属于关系和集合相等的意义,初步了解有限集、无限集、空集的意义;3．初步掌握集合的两种表示方法—列举法和描述法,并能正确地表示一些简单的集合. [知识要点] 1． 集合和元素(1)如果a 是集合A 的元素,就说a 属于集合A,记作a A ∈; (2)如果a 不是集合A 的元素,就说a 不属于集合A,记作a A ∉. 2.集合中元素的特性:确定性;无序性;互异性. 3.集合的表示方法:列举法;描述法;Venn 图. 4.集合的分类:有限集;无限集;空集.5.常用数集及其记法:自然数集记作N ,正整数集记作*N 或N +,整数集记作Z ,有理数集记作Q ,实数集记作R . [预习自测]例1.下列的研究对象能否构成一个集合?如果能,采用适当的方式表示它. （1）小于5的自然数;（2）某班所有高个子的同学; （3）不等式217x +>的整数解; （4）所有大于0的负数;（5）平面直角坐标系内,第一、三象限的平分线上的所有点.分析：判断某些对象能否构成集合,主要是根据集合的含义,检查是否满足集合元素的确定性.例2.已知集合{},,M a b c =中的三个元素可构成某一个三角形的三边的长,那么此三角形 一定是 ( )A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形 例3.设()()(){}22,,2,,5,a N b N a b A x y x a y a b ∈∈+==-+-=若()3,2A ∈,求,a b 的值.分析: 某元素属于集合A,必具有集合A 中元素的性质p ,反过来,只要元素具有集合A 中元素的性质p ,就一定属于集合A.例4.已知{}2,,M a b =,{}22,2,N a b =,且M N =,求实数,a b 的值.[课内练习]1．下列说法正确的是（ ）（A ）所有著名的作家可以形成一个集合 （B ）0与 {}0的意义相同 （C ）集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈==+N n n x x A ,1是有限集 （D ）方程0122=++x x 的解集只有一个元素 2．下列四个集合中，是空集的是（ ）A ．}33|{=+x xB },,|),{(22R y x x y y x ∈-= C ．}0|{2≤x x D ．}01|{2=+-x x x3．方程组20{=+=-y x y x 的解构成的集合是 （ ）A ．)}1,1{(B ．}1,1{C ．（1，1）D ．}1{.4．已知}1,0,1,2{--=A ，}|{A x x y y B ∈==，则B ＝5．若}4,3,2,2{-=A ，},|{2A t t x xB ∈==，用列举法表示B= .[归纳反思]1.列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在花括号“{ }”内表示集合的方法．当集合中的元素 较少 时，用列举法表示方便．．例：x 2－3x ＋2＝0的解集可表示为{1,2}．有些集合元素的个数较多，元素又呈现出一定的规律，在不至于发生误解的情况下，亦可用列举法表示，如何用列举法表示从1到100的所有整数组成的集合及自然数集N. 答 分别表示为{1,2,3，…，100}，{1,2,3,4，…，n ，…}．小结 用列举法表示集合时，应把集合中的元素一一列举出来，并且写在大括号内，元素和元素之间要用“，”隔开．花括号“{ }”表示“所有”、“整体”的含义，如实数集R 可以写为{实数}，但如果写成{实数集}、{全体实数}、{R}都是不确切的．1用列举法表示下列集合：(1)小于10的所有自然数组成的集合；(2)方程x2＝x的所有实数根组成的集合；(3)由1～20以内的所有质数组成的集合．2.描述法：一般地，如果在集合I中，属于集合A的任意一个元素x都具有性质p(x)，而不属于集合A的元素都不具有性质p(x)，则性质p(x)叫做集合A的一个特征性质，于是集合A可以用它的特征性质p(x)描述 {x∈I|p(x)} .3.列举法常用于集合中的元素较少时的集合表示，描述法多用于集合中的元素有无限多个的无限集或元素个数较多的有限集.1．本课时的重点内容是集合的含义及其表示方法，难点是元素与集合间的关系以及集合元素的三个重要特性的正确使用；2．根据元素的特征进行分析，运用集合中元素的三个特性解决问题，叫做元素分析法。
2018-2019数学新学案同步人教A版必修一讲义：第一章集合与函数概念1.2 1.2.2 第2课时 Word版含答案
第2课时分段函数及映射学习目标 1.会用解析法及图象法表示分段函数.2.给出分段函数，能研究有关性质.3.了解映射的概念．知识点一分段函数0，1，A中的有理数都对应B中的元素0，无理数都对应B中的元思考集合A＝R，B＝{}素1，这一对应是函数吗？答案是，因为符合函数定义．梳理(1)一般地，分段函数就是在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应关系的函数．(2)分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集；各段函数的定义域的交集是空集．(3)作分段函数图象时，应分别作出每一段的图象．知识点二映射思考设A＝{三角形}，B＝R，对应关系f：每个三角形对应它的周长．这个对应是不是函数？它与函数有何共同点？答案因为A不是非空数集，故该对应不是函数．但仍满足“A中任一元素，在B中有唯一确定的元素与之对应”．梳理映射的概念设A，B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射．函数一定是映射，映射不一定是函数．1．分段函数各段上的自变量的取值范围的并集为R.(×)2．分段函数各段上的函数值集合的交集为∅.(×)3．分段函数的图象一定是不连续的．(×)4．如果把“函数”和“映射”当成两个集合A，B，则A B.(√)类型一 建立分段函数模型例1 如图所示，已知底角为45°的等腰梯形ABCD ，底边BC 长为7，腰长为22，当垂直于底边BC (垂足为F )的直线l 从左至右移动(与梯形ABCD 有公共点)时，直线l 把梯形分成两部分，令BF ＝x ，试写出左边部分的面积y 关于x 的函数解析式，并画出大致图象．考点 分段函数 题点 求分段函数解析式解 过点A ，D 分别作AG ⊥BC ，DH ⊥BC ，垂足分别是G ，H.因为四边形ABCD 是等腰梯形，底角为45°，AB ＝22， 所以BG ＝AG ＝DH ＝HC ＝2， 又BC ＝7，所以AD ＝GH ＝3.(1)当点F 在BG 上，即x ∈[0,2]时，y ＝12x 2；(2)当点F 在GH 上，即x ∈(2,5]时， y ＝x ＋x －22×2＝2x －2；(3)当点F 在HC 上，即x ∈(5,7]时，y ＝S 五边形ABFED ＝S 梯形ABCD －S Rt △CEF ＝12(7＋3)×2－12(7－x )2＝－12×(x －7)2＋10.综合(1)(2)(3)，得函数的解析式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧12x 2，x ∈[0，2]，2x －2，x ∈(2，5]，－12(x －7)2＋10，x ∈(5，7].图象如图所示：反思与感悟 当目标在不同区间有不同的解析表达方式时，往往需要用分段函数模型来表示两变量间的对应关系，而分段函数图象也需要分段画．跟踪训练1 某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定： (1)5公里以内(含5公里)，票价2元；(2)5公里以上，每增加5公里，票价增加1元(不足5公里按照5公里计算)．如果某条线路的总里程为20公里，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象． 考点 分段函数 题点 分段函数应用问题解 设票价为y 元，里程为x 公里，定义域为(0,20]． 由题意得函数的解析式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，0<x ≤5，3，5<x ≤10，4，10<x ≤15，5，15<x ≤20.函数图象如图所示：类型二 研究分段函数的性质 命题角度1 给x 求y例2 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤－2，x 2＋2x ，－2<x <2，2x －1，x ≥2.试求f (－5)，f (－3)，f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫－52的值． 考点 分段函数 题点 分段函数求值解 ∵－5∈(－∞，－2]，∴f (－5)＝－5＋1＝－4. ∵－3∈(－2,2)，∴f (－3)＝(－3)2＋2×(－3)＝3－2 3. ∵－52∈(－∞，－2]，∴f ⎝⎛⎭⎫－52＝－52＋1＝－32∈(－2,2)， ∴f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫－52＝f ⎝⎛⎭⎫－32＝⎝⎛⎭⎫－322＋2×⎝⎛⎭⎫－32 ＝－34.引申探究本例中f (x )的解析式不变，若x ≥－5，求f (x )的取值范围． 解 当－5≤x ≤－2时，f (x )＝x ＋1∈[－4，－1]； 当－2<x <2时，f (x )＝x 2＋2x ＝(x ＋1)2－1∈[－1,8)； 当x ≥2时，f (x )＝2x －1∈[3，＋∞)；∴当x ≥－5时，f (x )∈[－4，－1]∪[－1,8)∪[3，＋∞)＝[－4，＋∞)． 反思与感悟 分段函数求函数值的方法 (1)确定要求值的自变量属于哪一区间；(2)代入该段的解析式求值，直到求出值为止．当出现f (f (x 0))的形式时，应从内到外依次求值． 跟踪训练2 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4，x ≤0，x 2－2x ，0<x ≤4，－x ＋2，x >4.(1)求f (f (f (5)))的值； (2)画出函数f (x )的图象． 考点 分段函数 题点 分段函数求值解 (1)因为5>4，所以f (5)＝－5＋2＝－3. 因为－3<0，所以f (f (5))＝f (－3)＝－3＋4＝1. 因为0<1≤4，所以f (f (f (5)))＝f (1)＝12－2×1＝－1. (2)f (x )的图象如下：命题角度2 给y 求x例3 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≤2，x 2＋2，x >2.(1)若f (x 0)＝8，求x 0的值； (2)解不等式f (x )>8. 考点 分段函数题点 分段函数与不等式结合解 (1)当x 0≤2时，由2x 0＝8，得x 0＝4，不符合题意；当x 0>2时，由x 20＋2＝8，得x 0＝6或x 0＝－6(舍去)，故x 0＝ 6.(2)f (x )>8等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ≤2，2x >8，① 或⎩⎪⎨⎪⎧x >2，x 2＋2>8，②解①得x ∈∅，解②得x >6，综合①②知f (x )>8的解集为{x |x >6}． 反思与感悟 已知函数值求变量x 取值的步骤 (1)先对x 的取值范围分类讨论； (2)然后代入到不同的解析式中； (3)通过解方程求出x 的解；(4)检验所求的值是否在所讨论的区间内；(5)若解不等式，应把所求x 的范围与所讨论区间求交集，再把各区间内的符合要求的x 的值并起来．跟踪训练3 已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，－1≤x ≤1，1，x >1或x <－1.(1)画出f (x )的图象； (2)若f (x )＝14，求x 的值；(3)若f (x )≥14，求x 的取值范围．考点 分段函数题点 分段函数与不等式结合解 (1)利用描点法，作出f (x )的图象，如图所示．(2)f (x )＝14等价于⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ≤1，x 2＝14，①或⎩⎪⎨⎪⎧x >1或x <－1，1＝14.②解①得x ＝±12，②解集为∅.∴当f (x )＝14时，x ＝±12.(3)由于f ⎝⎛⎭⎫±12＝14，结合此函数图象可知， 使f (x )≥14的x 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，－12∪⎣⎡⎭⎫12，＋∞. 类型三 映射的概念例4 以下给出的对应是不是从集合A 到集合B 的映射？(1)集合A ＝{P |P 是数轴上的点}，集合B ＝R ，对应关系f ：数轴上的点与它所代表的实数对应；(2)集合A ＝{P |P 是平面直角坐标系中的点}，集合B ＝{(x ，y )|x ∈R ，y ∈R }，对应关系f ：平面直角坐标系中的点与它的坐标对应；(3)集合A ＝{x |x 是三角形}，集合B ＝{x |x 是圆}，对应关系f ：每一个三角形都对应它的内切圆；(4)集合A ＝{x |x 是新华中学的班级}，集合B ＝{x |x 是新华中学的学生}，对应关系f ：每一个班级都对应班里的学生． 考点 映射的概念 题点 判断对应是否为映射解 (1)按照建立数轴的方法可知，数轴上的任意一个点，都有唯一的实数与之对应，所以这个对应f ：A →B 是从集合A 到集合B 的一个映射．(2)按照建立平面直角坐标系的方法可知，平面直角坐标系中的任意一个点，都有唯一的一个实数对与之对应，所以这个对应f ：A →B 是从集合A 到集合B 的一个映射．(3)由于每一个三角形只有一个内切圆与之对应，所以这个对应f ：A →B 是从集合A 到集合B 的一个映射．(4)新华中学的每一个班级里的学生都不止一个，即与一个班级对应的学生不止一个，所以这个对应f ：A →B 不是从集合A 到集合B 的一个映射．反思与感悟 映射是一种特殊的对应，它具有：(1)方向性：一般地从A 到B 的映射与从B 到A 的映射是不同的；(2)唯一性：集合A 中的任意一个元素在集合B 中都有唯一的元素与之对应，可以是：一对一，多对一，但不能一对多．跟踪训练4 设集合A ＝{x |1≤x ≤2}，B ＝{y |1≤y ≤4}，则下述对应关系f 中，不能构成从A 到B 的映射的是( )A ．f ：x →y ＝x 2B ．f ：x →y ＝3x －2C ．f ：x →y ＝－x ＋4D ．f ：x →y ＝4－x 2考点 映射的概念 题点 判断对应是否为映射 答案 D解析 对于D ，当x ＝2时，由对应关系y ＝4－x 2得y ＝0，在集合B 中没有元素与之对应，所以D 选项不能构成从A 到B 的映射．1．如图中所示的对应：其中构成映射的个数为( ) A ．3B ．4C ．5D ．6 考点 映射的概念 题点 判断对应是否为映射 答案 A2．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x >0，1，x ＝0，－1，x <0，则f (f (0))等于( )A ．1B ．0C ．2D ．－1 考点 分段函数 题点 分段函数求值 答案 C3．已知函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤0，－2x ，x >0，则使函数值为5的x 的值是( )A ．－2或2B ．2或－52C ．－2D ．2或－2或－52考点 分段函数 题点 分段函数求值 答案 C4．已知函数f (n )＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝0，nf (n －1)，n ∈N *，则f (5)的值是( ) A ．4B ．48C ．240D ．1440 考点 分段函数 题点 分段函数求值 答案 C解析 因为f (n )＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝0，nf (n －1)，n ∈N *， 所以f (5)＝5f (4)＝5×4f (3)＝5×4×3f (2)＝5×4×3×2f (1)＝5×4×3×2×1×f (0)＝5×4×3×2×1×2＝240.故选C. 5．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x 为有理数，0，x 为无理数，则f (g (π))的值为________．考点 分段函数 题点 分段函数求值 答案 01．对分段函数的理解(1)分段函数是一个函数而非几个函数．分段函数的定义域是各段上“定义域”的并集，其值域是各段上“值域”的并集． (2)分段函数的图象应分段来作，特别注意各段的自变量取值区间端点处函数的取值情况，以决定这些点的虚实情况． 2．函数与映射的关系映射f ：A →B ，其中A ，B 是两个非空的集合；而函数y ＝f (x )，x ∈A ，A 为非空的数集，其值域也是数集．于是，函数是数集到数集的映射． 由此可知，映射是函数的推广，函数是一种特殊的映射．一、选择题1．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x >0，π，x ＝0，0，x <0，则f (f (f (－2)))等于( )A ．πB ．0C ．2D ．π＋1 考点 分段函数 题点 分段函数求值 答案 D解析 f (－2)＝0，f (0)＝π，f (π)＝π＋12．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ，x ≤0，x 2，x >0，若f (α)＝4，则实数α等于( )A ．－4或－2B ．－4或2C ．－2或4D ．－2或2考点 分段函数 题点 分段函数求值 答案 B解析 当α≤0时，f (α)＝－α＝4，得α＝－4；当α>0时，f (α)＝α2＝4，得α＝2或α＝－2(舍)．∴α＝－4或α＝2.3．设函数f (x )＝⎩⎨⎧x ，x ≥0，－x ，x <0，若f (a )＋f (－1)＝2，则a 等于( )A ．－3B ．±3C ．－1D ．±1 考点 分段函数 题点 分段函数求值 答案 D解析 f (－1)＝－(－1)＝1. ∴f (a )＋f (－1)＝f (a )＋1＝2. ∴f (a )＝1，即⎩⎨⎧ a ≥0，a ＝1① 或⎩⎨⎧a <0，－a ＝1，② 解①得a ＝1，解②得a ＝－1. ∴a ＝±1.4．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 2，0≤x ≤1，2，1<x <2，3，x ≥2的值域是( )A ．RB ．[0，＋∞)C ．[0,3]D ．{x |0≤x ≤2或x ＝3}考点 分段函数题点 分段函数的定义域、值域 答案 D解析 值域为[0,2]∪{3,2}＝{x |0≤x ≤2或x ＝3}．5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2，－1≤x ≤1，x ，x <－1或x >1，若f (f (x ))＝2，则x 的取值范围是( )A ．∅B ．[－1,1]C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D ．{2}∪[－1,1]考点 分段函数 题点 分段函数求值 答案 D解析 若x ∈[－1,1]，则f (x )＝2，f (f (x ))＝f (2)＝2，符合题意；若x >1，则f (x )＝x ，f (f (x ))＝f (x )＝x ＝2，此时只有x ＝2符合题意；若x <－1，则f (x )＝x ， f (f (x ))＝f (x )＝x ＝2，但因为x <－1，此时没有x 符合题意．故选D.6．某单位为鼓励职工节约用水，作出了如下规定：每位职工每月用水不超过10立方米的，按每立方米m 元收费；用水超过10立方米的，超过部分按每立方米2m 元收费．某职工某月缴水费16m 元，则该职工这个月实际用水为( ) A ．13立方米 B ．14立方米 C ．18立方米 D ．26立方米考点 分段函数 题点 分段函数应用问题 答案 A解析 该单位职工每月应缴水费y 与实际用水量x 满足的关系式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧mx ，0≤x ≤10，2mx －10m ，x >10.由y ＝16m ，可知x >10.令2mx －10m ＝16m ，解得x ＝13(立方米)．7．著名的Dirichlet 函数D (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x 为有理数，0，x 为无理数，则D ()D (x )等于( )A ．0B ．1C.⎩⎪⎨⎪⎧ 1，x 为无理数，0，x 为有理数D.⎩⎪⎨⎪⎧1，x 为有理数，0，x 为无理数 考点 分段函数题点 分段函数求值答案 B解析 ∵D (x )∈{0,1}，∴D (x )为有理数，∴D ()D (x )＝1.8．若集合A ＝{a ，b ，c }，B ＝{d ，e }，则从A 到B 可以建立不同的映射个数为( )A ．5B ．6C ．8D ．9考点 映射的概念题点 映射个数问题答案 C解析 用树状图写出所有的映射为：a →d ⎩⎨⎧b →d ⎩⎪⎨⎪⎧c →d ，c →e ，b →e ⎩⎪⎨⎪⎧ c →d ，c →e ， a →e ⎩⎨⎧ b →d ⎩⎪⎨⎪⎧ c →d ，c →e ，b →e ⎩⎪⎨⎪⎧ c →d ，c →e ，共8个．二、填空题9．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ，0≤x ≤1，2，1<x <2，3，x ≥2的定义域是________． 考点 分段函数题点 分段函数的定义域、值域答案 [0，＋∞)解析 定义域为[0,1]∪(1,2)∪[2，＋∞)＝[0，＋∞)．10．分段函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ，x >0，－x ，x ≤0可以表示为f (x )＝|x |，分段函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ，x ≤3，3，x >3可表示为f (x )＝12(x ＋3－|x －3|)，仿照上述式子，分段函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧6，x <6，x ，x ≥6可表示为f (x )＝________. 考点题点答案 12(x ＋6＋|x －6|) 解析 因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≤3，3，x >3可表示为f (x )＝12(x ＋3－|x －3|)，其分界点为3，从而式子中含有x ＋3与x －3，并通过|x －3|前面的“－”构造出需要的结果的形式．所以，对于分段函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧6，x <6，x ，x ≥6，其分界点为6，故式子中应含有x ＋6与x －6.又x <6时f (x )＝6，故|x －6|的前面应取“＋”．因此f (x )＝12(x ＋6＋|x －6|)． 11．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≥0，0，x <0，则不等式xf (x )＋x ≤2的解集是________． 考点 分段函数题点 分段函数与不等式结合答案 {x |x ≤1}解析 当x ≥0时，f (x )＝1，代入xf (x )＋x ≤2，解得x ≤1，∴0≤x ≤1；当x <0时，f (x )＝0，代入xf (x )＋x ≤2，解得x ≤2，∴x <0.综上可知x ≤1.三、解答题12．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ，x <－1，2，－1≤x ≤1，2x ，x >1.(1)求f ⎝⎛⎭⎫－32，f ⎝⎛⎭⎫12，f ⎝⎛⎭⎫92，f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫12； (2)若f (a )＝6，求a 的值．考点 分段函数题点 分段函数求值解 (1)∵－32∈(－∞，－1)， ∴f ⎝⎛⎭⎫－32＝－2×⎝⎛⎭⎫－32＝3. ∵12∈[－1,1]，∴f ⎝⎛⎭⎫12＝2. 又2∈(1，＋∞)，∴f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫12＝f (2)＝2×2＝4. ∵92∈(1，＋∞)，∴f ⎝⎛⎭⎫92＝2×⎝⎛⎭⎫92＝9. (2)经观察可知a ∉[－1,1]，否则f (a )＝2.若a ∈(－∞，－1)，令－2a ＝6，得a ＝－3，符合题意；若a ∈(1，＋∞)，令2a ＝6，得a ＝3，符合题意．∴a 的值为－3或3.13．如图，动点P 从边长为4的正方形ABCD 的顶点B 开始，顺次经C ，D ，A 绕边界运动，用x 表示点P 的行程，y 表示△APB 的面积，求函数y ＝f (x )的解析式．考点 分段函数题点 分段函数应用问题解 当点P 在BC 上运动，即0≤x ≤4时，y ＝12×4x ＝2x ； 当点P 在CD 上运动，即4<x ≤8时，y ＝12×4×4＝8； 当点P 在DA 上运动，即8<x ≤12时，y ＝12×4×(12－x )＝24－2x . 综上可知，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ，0≤x ≤4，8，4<x ≤8，24－2x ，8<x ≤12.四、探究与拓展14．若定义运算a ⊙b ＝⎩⎪⎨⎪⎧b ，a ≥b ，a ，a <b ，则函数f (x )＝x ⊙(2－x )的值域是________． 考点 分段函数题点 分段函数的定义域、值域答案 (－∞，1]解析 由题意知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2－x ，x ≥1，x ，x <1.画出图象如图所示：由图易得函数f (x )的值域为(－∞，1]．15．已知函数f (x )＝|x －3|－|x ＋1|.(1)求f (x )的值域；(2)解不等式：f (x )>0；(3)若直线y ＝a 与f (x )的图象无交点，求实数a 的取值范围． 考点 分段函数题点 分段函数的综合应用解 若x ≤－1，则x －3<0，x ＋1≤0，f (x )＝－(x －3)＋(x ＋1)＝4；若－1<x ≤3，则x －3≤0，x ＋1>0，f (x )＝－(x －3)－(x ＋1)＝－2x ＋2；若x >3，则x －3>0，x ＋1>0，f (x )＝(x －3)－(x ＋1)＝－4.∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 4，x ≤－1，－2x ＋2，－1<x ≤3，－4，x >3.(1)当－1<x ≤3时，－4≤－2x ＋2<4.∴f (x )的值域为[－4,4)∪{4}∪{－4}＝[－4,4]．(2)f (x )>0，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤－1，4>0① 或⎩⎪⎨⎪⎧ －1<x ≤3，－2x ＋2>0② 或⎩⎪⎨⎪⎧x >3，－4>0，③ 解①得x ≤－1，解②得－1<x <1，解③得x ∈∅.∴f (x )>0的解集为(－∞，－1]∪(－1,1)∪∅＝(－∞，1)．(3)f (x )的图象如下：由图可知，当a ∈(－∞，－4)∪(4，＋∞)时，直线y ＝a 与f (x )的图象无交点．。
高中数学人教A版(2019新教材) 必修(第一册)全册分章节分课时教学案
第一章集合与函数概念1.1集合1．1.1集合的含义与表示第1课时集合的含义[目标] 1.通过实例，能说出集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系；2.记住集合元素的特性以及常用数集；3.会用集合元素的特性解决相关问题．[重点] 用元素与集合的“属于”关系判断元素与集合的关系；用集合元素的特性解答相关问题．[难点] 集合元素特性的应用.知识点一元素与集合的含义[填一填]1．定义(1)元素：一般地，把所研究的对象统称为元素，常用小写的拉丁字母a，b，c，…表示．(2)集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，常用大写拉丁字母A，B，C，…表示．2．集合相等：指构成两个集合的元素是一样的．3．集合中元素的特性：确定性、互异性和无序性．[答一答]1．以下对象的全体能否构成集合？(1)河北《红对勾》书业的员工；(2)平昌冬奥会速滑比赛中滑得很快的选手；(3)一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象上的若干个点；(4)不超过2 019的非负数．提示：(1)能构成集合．河北《红对勾》书业的员工是确定的，因此有一个明确的标准，可以确定出来．所以能构成一个集合．(2)“滑得很快”无明确的标准，对于某位选手是否“滑得很快”无法客观地判断，因此，“平昌冬奥会速滑比赛中滑得很快的选手”不能构成一个集合．(3)“若干个点”是模糊的概念，因此与之对应的对象都是不确定的，自然它们不能构成集合，故“一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象上的若干个点”不能构成一个集合．(4)任给一个实数x，可以明确地判断x是不是“不超过 2 019的非负数”，即“0≤x≤2 019”与“x<0或x>2 019”，两者必居其一，且仅居其一，故“不超过2 019的非负数”能构成一个集合．2．若集合A由0,1与x三个元素组成，则x的取值有限制吗？为什么？提示：有限制，x≠0且x≠1.因为集合中的任意两个元素必须是互异的．知识点二元素与集合的关系[填一填]如果a是集合A中的元素，就说a属于(belong to)集合A，记作a∈A；如果a不是集合A中的元素，就说a不属于(not belong to)集合A，记作a∉A.[答一答]3．若集合A是由元素1,2,3,4所组成的集合，问1与A,5与A有什么关系？提示：1∈A,5∉A.知识点三常用数集及表示[填一填][答一答]4．常用的数集符号N，N*，N＋有什么区别？提示：(1)N为非负整数集(即自然数集)，而N*或N＋表示正整数集，不同之处就是N 包括元素0，而N*或N＋不包括元素0.(2)N*和N＋的含义是一样的，初学者往往误记为N*或N＋，为避免出错，对于N*和N 可形象地记为“星星(*)在天上，十字架(＋)在地下”．＋5．用符号“∈”或“∉”填空． (1)1∈N *；(2)－3∉N ；(3)13∈Q ；； (5)－12∈R.类型一 集合的概念[例1] 下列所给的对象能构成集合的是________． (1)所有的正三角形；(2)高一数学必修1课本上的所有难题； (3)比较接近1的正数全体；(4)某校高一年级的16岁以下的学生；(5)平面直角坐标系内到原点距离等于1的点的集合； (6)参加里约奥运会的年轻运动员． [答案] (1)(4)(5)[解析] (1)能构成集合．其中的元素需满足三条边相等；(2)不能构成集合．因“难题”的标准是模糊的，不确定的，故不能构成集合； (3)不能构成集合．因“比较接近1”的标准不明确，所以元素不确定，故不能构成集合；(4)能构成集合．其中的元素是“16岁以下的学生”；(5)能构成集合．其中的元素是“到坐标原点的距离等于1的点”；(6)不能构成集合．因为“年轻”的标准是模糊的，不确定的，故而不能构成集合．判断元素能否构成集合，关键是集合中元素的确定性，即能否找到一个明确的评判标准来衡量元素是否为集合中的元素，若标准明确则可以构成集合，否则不可以.[变式训练1] 下列对象能组成集合的是( D ) A ．3的所有近似值B ．某个班级中学习好的所有同学C ．2018年全国高考数学试卷中所有难题D．屠呦呦实验室的全体工作人员解析：D中的对象都是确定的，而且是不同的．A中的“近似值”，B中的“学习好”，C中的“难题”标准不明确，不满足确定性，因此A，B，C都不能构成集合．类型二集合中元素的特性命题视角1：集合元素的互异性[例2]已知集合A中含有两个元素a和a2，若1∈A，求实数a的值．[分析]本题中已知集合A中有两个元素且1∈A，根据集合中元素的特点需分a＝1或a2＝1两种情况，另外还要注意集合中元素的互异性．根据集合中元素的确定性，可以解出字母的所有可能值，再根据集合中元素的互异性对集合中的元素进行检验．另外，利用集合中元素的特性解题时，要注意分类讨论思想的应用．[解]若1∈A，则a＝1或a2＝1，即a＝±1.当a＝1时，a＝a2，集合A有一个元素，∴a≠1.当a＝－1时，集合A含有两个元素1，－1，符合互异性．∴a＝－1.当一个集合中的元素含字母时，可根据题意结合集合中元素的确定性求出集合中字母的所有取值，再根据集合中元素的互异性进行检验.[变式训练2](1)若集合M中的三个元素是△ABC的三边长，则△ABC一定不是(D)A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形(2)由a2,2－a,4组成一个集合A，且集合A中含有3个元素，则实数a的取值可以是(C)A．1B．－2C．6D．2解析：(1)集合中任何两个元素不相同．(2)由题意知a2≠4,2－a≠4，a2≠2－a，解得a≠±2，且a≠1.结合选项知C正确．故选C.命题视角2：集合元素的无序性[例3] 集合A 中含有三个元素0，ba ，b ，集合B 中含有三个元素1，a ＋b ，a ，若A ，B 两个集合相等，求a 2 019＋b 2 019的值．[分析] 由两个集合相等，所含元素相同列出a ，b 的关系式，解出a 与b ，再求a 2 019＋b 2 019的值．[解] 由两个集合相等易知a ≠0，a ≠1，故a ＋b ＝0，且b ＝1或ba ＝1.若b ＝1，由a ＋b ＝0得a ＝－1，经验证，符合题意；若ba ＝1，则a ＝b ，结合a ＋b ＝0，可知a ＝b ＝0，不符合题意．综上知a ＝－1，b ＝1. 所以a 2 019＋b 2 019＝(－1)2 019＋12 019＝0.两个集合相等，元素相同，因为集合元素无序，所以要进行讨论.同时还需要对集合求值问题代入验证，注意集合中元素的互异性.[变式训练3] 集合A 由1,3,5,7四个元素组成，已知实数a ，b ∈A ，那么ab 的不同值有( B )A ．12个B ．13个C ．16个D ．17个解析：a ，b 是集合A 的元素，ab 的值会因a ，b 的顺序不同而不同．a ，b 所取的值按顺序分别为：1,1；3,3；5,5；7,7；1,3；3,1；1,5；5,1；1,7；7,1；3,5；5,3；3,7；7,3；5,7；7,5，其对应的ab 有13个不同的值．类型三 元素与集合的关系[例4] (1)给出下列关系：①12∈R ；②2∉Q ；③|－3|∉N ；④|－3|∈Q ；⑤0∉N . 其中正确的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4(2)集合A 中的元素x 满足63－x ∈N ，x ∈N ，则集合A 中的元素为________．[答案] (1)B (2)0,1,2[解析] (1)12是实数；2是无理数；|－3|＝3是自然数；|－3|＝3是无理数；0是自然数．故①②正确，③④⑤不正确．(2)由63－x ∈N ，x ∈N 知x ≥0，63－x≥0，且x ≠3，故0≤x <3.又x ∈N ，故x ＝0,1,2. 当x ＝0时，63－0＝2∈N ，当x ＝1时，63－1＝3∈N ，当x ＝2时，63－2＝6∈N .故集合A 中的元素为0,1,2.判断一个元素是否属于某一集合，就是判断这个元素是否满足该集合元素的条件.若满足，就是“属于”关系；若不满足，就是“不属于”关系.特别注意，符号“∈”与“∉”只表示元素与集合的关系.[变式训练4] 已知不等式3x ＋2>0的解集为M . (1)试判断元素－1,0与集合M 的关系；(2)若a －1是集合M 中的元素，求a 的取值范围． 解：(1)∵3×(－1)＋2＝－1<0， ∴－1不是集合M 中的元素，∴－1∉M . 又3×0＋2＝2>0，∴0是集合M 中的元素，∴0∈M . (2)∵a －1∈M ，∴3(a －1)＋2>0. ∴3a >1，∴a >13.1．下列各组对象不能构成集合的是( B ) A ．某中学所有身高超过1.8米的大个子 B ．约等于0的实数 C ．某市全体中学生D ．北京大学建校以来的所有毕业生解析：由于“约等于0”没有一个明确的标准，因此B 中对象不能构成集合．2．下列命题中，正确命题的个数是( C )①集合N *中最小的数是1；②若－a ∉N *，则a ∈N *；③若a ∈N *，b ∈N *，则a ＋b 的最小值是2；④x 2＋4＝4x 的解集是{2,2}． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3解析：N *是正整数集，最小的正整数是1，故①正确；当a ＝0时，－a ∉N *，a ∉N *，故②错误；若a ∈N *，则a 的最小值是1，同理，b ∈N *，b 的最小值也是1，∴当a 和b 都取最小值时，a ＋b 取最小值2，故③正确；由集合中元素的互异性，知④是错误的．3．已知a ，b 是非零实数，代数式|a |a ＋|b |b ＋|ab |ab 的值组成的集合是M ，则下列判断正确的是( B )A ．0∈MB ．－1∈MC ．3∉MD ．1∈M解析：当a ，b 全为正数时，代数式的值是3；当a ，b 全是负数时，代数式的值是－1；当a ，b 是一正一负时，代数式的值是－1.综上可知B 正确．4．集合A 由元素－1和2构成，集合B 是方程x 2＋ax ＋b ＝0的解，若A ＝B ，则a ＋b ＝－3.解析：∵A ＝B ，∴方程x 2＋ax ＋b ＝0的解是－1或2. ∴a ＝－1，b ＝－2，∴a ＋b ＝－3.5．已知集合A 由a 2－a ＋1，|a ＋1|两个元素构成，若3∈A ，求a 的值． 解：∵3∈A ，∴a 2－a ＋1＝3或|a ＋1|＝3. ①若a 2－a ＋1＝3，则a ＝2或a ＝－1.当a ＝2时，|a ＋1|＝3，此时集合A 中含有两个3，因此应舍去． 当a ＝－1时，|a ＋1|＝0≠3，满足题意． ②若|a ＋1|＝3，则a ＝－4或a ＝2(舍去)． 当a ＝－4时，a 2－a ＋1＝21≠3，满足题意． 综上可知a ＝－1或a ＝－4.——本课须掌握的三大问题1．理解集合的概念，关键是抓住集合中元素的三个特性：确定性、互异性和无序性．特别是处理含有参数的集合问题时，一定要注意集合中元素的互异性，即在求出参数的取值或取值范围后，一定要检验集合中元素的互异性．2．关于特定集合N ，N *(N ＋)，Z ，Q ，R 等的意义是约定俗成的，解题时作为已知使用，不必重述它们的意义．3．对于一个元素a与一个集合A而言，只有“a∈A”与“a∉A”这两种结果，“∈”与“∉”具有方向性，左边是元素，右边是集合．学习至此，请完成课时作业1第2课时集合的表示[目标] 1.掌握集合的两种表示方法(列举法和描述法)；2.能够运用集合的两种表示方法表示一些简单集合．[重点] 集合的两种表示方法及其运用．[难点] 对描述法表示集合的理解.知识点一列举法[填一填]把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{__}”括起来表示集合的方法叫做列举法．{}表示“所有”的含义，不能省略，元素之间用“，”隔开，而不能用“、”；书写时不需要考虑元素的顺序．[答一答]1．实数集也可以写成{实数}，那么能写成{实数集}或{全体实数}吗？提示：不能，因为花括号“{}”表示“所有、全部”的意思．2．列举法能表示元素个数很少的有限集，那么可以用列举法表示无限集吗？提示：对于所含元素有规律的无限集也可以用列举法表示，如正自然数集可以用列举法表示为{1,2,3,4,5，…}．3．集合{(1,2)}与{(2,1)}是否为相等集合？提示：不是．知识点二 描述法[填一填]1．用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法． 2．具体方法在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征．[答一答]4．集合{x |x >3}与集合{t |t >3}表示同一个集合吗？提示：虽然两个集合的代表元素的符号(字母)不同，但实质上它们均表示大于3的所有实数，故表示同一个集合．类型一 用列举法表示集合[例1] (1)若集合A ＝{(1,2)，(3,4)}，则集合A 中元素的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4(2)用列举法表示下列集合．①不大于10的非负偶数组成的集合； ②方程x 2＝x 的所有实数解组成的集合； ③直线y ＝2x ＋1与y 轴的交点所组成的集合；④方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，x －y ＝－1的解．[答案] (1)B (2)见解析[解析] (1)集合A ＝{(1,2)，(3,4)}中有两个元素(1,2)和(3,4)．(2)解：①因为不大于10是指小于或等于10，非负是大于或等于0的意思，所以不大于10的非负偶数集是{0,2,4,6,8,10}．②方程x 2＝x 的解是x ＝0或x ＝1，所以方程的解组成的集合为{0,1}．③将x ＝0代入y ＝2x ＋1，得y ＝1，即交点是(0,1)，故两直线的交点组成的集合是{(0,1)}．④解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝1，x －y ＝－1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1.∴用列举法表示方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，x －y ＝－1的解集为{(0,1)}．用列举法表示集合应注意的三点,(1)应先弄清集合中的元素是什么，是数还是点，还是其他元素；(2)集合中的元素一定要写全，但不能重复；(3)若集合中的元素是点时，则应将有序实数对用小括号括起来表示一个元素.[变式训练1] 用列举法表示下列集合： (1)15的正约数组成的集合； (2)所有正整数组成的集合；(3)直线y ＝x 与y ＝2x －1的交点组成的集合． 解：(1){1,3,5,15}．(2)正整数有1,2,3，…，所求集合用列举法表示为{1,2,3，…}．(3)方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ，y ＝2x －1的解是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，所求集合用列举法表示为{(1,1)}．类型二 用描述法表示集合[例2] 用描述法表示下列集合： (1)不等式2x －7<3的解集A ；(2)二次函数y ＝x 2＋1的函数值组成的集合B ； (3)被3除余2的正整数的集合C ；(4)平面直角坐标系内坐标轴上的点组成的集合D .[分析] 先确定集合元素的符号，再把元素的共同特征通过提炼加工后写在竖线后面． [解] (1)解2x －7<3得x <5， 所以A ＝{x |x <5}．(2)函数值组成的集合就是y 的取值集合，所以B ＝{y |y ＝x 2＋1，x ∈R }．(3)被3除余2的正整数可以表示为3n ＋2(n ∈N )，所以集合C ＝{x |x ＝3n ＋2，n ∈N }． (4)平面直角坐标系中坐标轴上的点的共同特征是至少有一个坐标为0， 所以D ＝{(x ，y )|x ·y ＝0，x ∈R ，y ∈R }．(1)用描述法表示集合，应先弄清集合的属性，是数集、点集还是其他的类型.一般地，数集用一个字母代表其元素，而点集则用一个有序实数对来代表其元素.(2)若描述部分出现元素记号以外的字母时，要对新字母说明其含义或指出其取值范围.[变式训练2] 用描述法表示下列集合： (1)函数y ＝－x 的图象上所有点组成的集合； (2)方程x 2＋22x ＋121＝0的解集；(3)数轴上离原点的距离大于3的点组成的集合；(4)⎩⎨⎧⎭⎬⎫13，12，35，23，57，…. 解：(1){(x ，y )|y ＝－x ，x ∈R ，y ∈R }． (2){x |x ＝－11}．(3)数轴上离原点的距离大于3的点组成的集合等于绝对值大于3的实数组成的集合，则数轴上离原点的距离大于3的点组成的集合可表示为{x ∈R ||x |>3}．(4)先统一形式13，24，35，46，57，…，找出规律，集合表示为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＝n n ＋2，n ∈N *.类型三 两种方法的灵活应用[例3] 用适当的方法表示下列集合：(1)方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＝14，3x ＋2y ＝8的解组成的集合；(2)1 000以内被3除余2的正整数组成的集合； (3)所有的正方形组成的集合；(4)抛物线y ＝x 2上的所有点组成的集合．[分析] (1)中的元素个数很少，用列举法表示；(2)是有限集，但个数较多，用描述法；(3)(4)是无限集，用描述法表示．[解] (1)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －3y ＝14，3x ＋2y ＝8，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝－2，故该集合用列举法可表示为{(4，－2)}．该集合也可用描述法表示为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫(x ，y )⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －3y ＝14，3x ＋2y ＝8.(2)设集合的代表元素是x ，则该集合用描述法可表示为{x |x ＝3k ＋2，k ∈N ，且k ≤332}．(3)集合用描述法表示为{x |x 是正方形}或{正方形}． (4)集合用描述法表示为{(x ，y )|y ＝x 2}．当集合的元素个数很少(很容易写出全部元素)时，常用列举法表示集合；当集合的元素个数较多(不易写出全部元素)时，常用描述法表示集合.对一些元素有规律的无限集，也可用列举法表示.如正奇数集也可写为{1，3，5，7，9，…}.但值得注意的是，并不是每一个集合都可以用两种方法表示出来.[变式训练3] 用适当的方法表示下列集合： (1)大于2且小于5的有理数组成的集合； (2)24的所有正因数组成的集合；(3)平面直角坐标系内与坐标轴距离相等的点的集合． 解：(1)用描述法表示为{x |2<x <5，且x ∈Q }． (2)用列举法表示为{1,2,3,4,6,8,12,24}．(3)在平面直角坐标系内，点(x ，y )到x 轴的距离为|y |，到y 轴的距离为|x |，所以该集合用描述法表示为{(x ，y )||y |＝|x |}．1．集合{x ∈N |x <5}的另一种表示方法是( A ) A ．{0,1,2,3,4} B ．{1,2,3,4} C ．{0,1,2,3,4,5}D ．{1,2,3,4,5}解析：由题x ∈N ，且x <5，∴x 的值为0,1,2,3,4，用列举法表示为{0,1,2,3,4}．2．方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，x －2y ＝－1的解集是( C )A ．{x ＝1，y ＝1}B ．{1}C ．{(1,1)}D ．{(x ，y )|(1,1)}解析：方程组的解集中元素应是有序数对形式，排除A ，B ，而D 中的条件是点(1,1)，不含x ，y ，排除D.3．集合{x |x ＝a ，a <36，x ∈N }，用列举法表示为{0,1,2,3,4,5}． 解析：由a <36，可得a <6，即x <6，又x ∈N ，故x 只能取0,1,2,3,4,5. 4．能被2整除的正整数的集合，用描述法可表示为{x |x ＝2n ，n ∈N ＋}． 解析：正整数中所有的偶数均能被2整除． 5．用适当的方法表示下列集合：(1)已知集合P ＝{x |x ＝2n,0≤n ≤2，且n ∈N }； (2)能被3整除且大于4小于15的自然数组成的集合； (3)x 2－4的一次因式组成的集合；(4)由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝3，x －y ＝－1的解所组成的集合．解：(1)用列举法表示为P ＝{0,2,4}．(2)可用列举法表示为{6,9,12}；也可用描述法表示为{x |x ＝3n ，4<x <15，且n ∈N }． (3)用列举法表示为{x ＋2，x －2}．(4)可用列举法表示为{(1,2)}，也可用描述法表示为{(x ，y )|x ＝1，y ＝2}．——本课须掌握的两大问题1．表示集合的要求：(1)根据要表示的集合元素的特点，选择适当方法表示集合，一般要符合最简原则． (2)一般情况下，元素个数无限的集合不宜用列举法表示，描述法既可以表示元素个数无限的集合，也可以表示元素个数有限的集合．2．在用描述法表示集合时应注意：(1)弄清元素所具有的形式(即代表元素是什么)，是数、还是有序实数对(点)、还是集合或其他形式．(2)元素具有怎样的属性．当题目中用了其他字母来描述元素所具有的属性时，要去伪存真，而不能被表面的字母形式所迷惑．学习至此，请完成课时作业2 学科素养培优精品微课堂 “形似异质”的集合的表示开讲啦 集合的类型有多种形式，可以是数集、点集、图形集或是其他类型的集合，判断它是哪种类型的集合主要根据代表元素的类型来判断．[典例] 有下面三个集合：①A ＝{x ∈R |y ＝x 2＋1}；②B ＝{y ∈R |y ＝x 2＋1}；③C ＝{(x ，y )|y ＝x 2＋1，x ∈R ，y ∈R }．它们是不是相同集合，为什么？[分析] 分析各集合中代表元素是哪种类型以及对各元素所具有的属性作出判断． [解] 对于集合A ，其代表元素为x ，x 属于实数，因此它表示数集，又元素所满足的条件为y ＝x 2＋1，它表示函数y ＝x 2＋1中自变量x 的取值范围，因为函数y ＝x 2＋1中自变量x 的取值范围是R ，故A ＝R ；对于集合B ，其代表元素为y ，y 属于实数，因此它表示数集，又元素所满足的条件为y ＝x 2＋1，它表示函数y ＝x 2＋1的函数值y ，故B ＝{y |y ≥1}；对于集合C ，其代表元素为(x ，y )，它表示坐标平面中的点的坐标，又元素所满足的条件为y ＝x 2＋1，它表示函数y ＝x 2＋1图象上的点．综上所述，集合A 、B 、C 是不同的集合．[名师点评] 理解描述法表示的集合，关键是对符号语言所表达的含义要正确理解．认识它时，一要看集合的代表元素是什么，它反映了集合元素的类型，以此确定集合的类型；二要看代表元素所具有的属性，即它要满足什么条件，以此确定集合中元素的组成部分．[对应训练] 判断下列说法是否正确，正确的打“√”，错误的打“×”． (1)整数集Z ＝{x |x ＝n ＋1，n ∈Z }．( √ ) (2){y |y ＝x 2}≠{x |y ＝x }．( × )(3)两条直线y ＝2x 与y ＝x －1的交点构成集合M ，集合N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫(x ，y )⎪⎪⎪⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝2xy ＝x －1，则M ＝N .( √ )(4)M ＝{(x ，y )|x ＋y ＝4，x ，y ∈N *}＝{(0,4)，(1,3)，(2,2)}．( × )解析：(1)整数集是个无限集，x ＝n ＋1，n ∈Z 能表示任意一个整数，所有的整数也能写成这种形式，故(1)正确．{y |y ＝x 2}表示通过计算y ＝x 2得到的所有y 值的集合，也可以理解为二次函数y ＝x 2图象上所有点的纵坐标的取值集合，即{y |y ＝x 2}表示非负实数集；{x |y ＝x }表示满足y ＝x 的所有x 的取值集合，因此x 可以取任意非负实数，即{x |y ＝x }表示非负实数集．两者表示的数集完全一样，故(2)错误．集合N 是一个点集，描述集合M 采用的是自然语言，二者含义一样，故(3)正确．集合M 是由满足x ＋y ＝4，且x ，y 均为正整数的x ，y 构成的点集，易知M ＝{(1,3)，(2,2)，(3,1)}，故(4)错误.1.1.2 集合间的基本关系[目标] 1.记住集合间的包含关系，会判断两个简单集合的关系；2.能写出给定集合的子集；3.记住集合相等与空集的含义以及空集与其他集合的关系．[重点] 集合间关系及集合间关系的判断；写出给定集合的子集；空集与其他集合的关系．[难点] 集合间的关系及应用．知识点一子集的有关概念[填一填]1．Venn图通常用平面上封闭曲线的内部代表集合．用Venn图表示集合的优点：形象直观．2．子集(1)自然语言：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A的任何一个元素都是集合B 中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集．(2)符号语言：记作A⊆B(或B⊇A)，读作“A含于B”(或“B包含A”)．(3)图形语言：用Venn图表示．3．真子集如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，我们称集合A是集合B的真子集，记作A B(B A)．4．集合相等如果集合A是集合B的子集(A⊆B)，且集合B是集合A的子集(B⊆A)，此时，集合A 与集合B中的元素是一样的，因此集合A和集合B相等，记作A＝B.[答一答]1．若A⊆B，则A中的元素是B中的元素的一部分，对吗？提示：不对，A中的元素是B的一部分或是B的全部．2．“∈”与“⊆”有什么区别？提示：“∈”表示元素与集合之间的关系，而“⊆”表示集合与集合之间的关系．3．“”与“<”一样吗？提示：不一样，“”表示集合与集合之间的关系；“<”表示两实数间的关系．4．如何判断两个集合是否相等？提示：方法一：根据两个集合中的元素是否完全相同进行判断；方法二：根据集合相等的定义，即是否同时满足A⊆B且B⊆A.知识点二空集[填一填]不含任何元素的集合叫做空集，记为∅，并规定：空集是任何集合的子集．[答一答]5．0，{0}，∅，{∅}有何区别？提示：知识点三子集、真子集的性质[填一填]由子集、真子集和空集的概念可得：(1)空集是任何集合的子集，即∅⊆A；(2)任何一个集合是它自身的子集，即A⊆A；(3)空集只有一个子集，即它自身；(4)对于集合A，B，C，由A⊆B，B⊆C可得A⊆C；(5)对于集合A，B，C，由A B，B C可得A C.[答一答]6．(1)对于集合A、B、C，如果A⊆B，B⊆C，则A⊆C，若A B，B⊆C呢？(2)若∅A，则A≠∅对吗？提示：(1)A C.(2)对．类型一确定集合的子集、真子集[例1](1)已知集合M满足{1,2}M⊆{1,2,3,4,5}，求所有满足条件的集合M.(2)填写下表，并回答问题：12n数及非空真子集的个数呢？[解](1)由题意可以确定集合M必含有元素1,2，且至少含有元素3,4,5中的一个，因此依据集合M的元素个数分类如下：含有3个元素：{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}；含有4个元素：{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}；含有5个元素：{1,2,3,4,5}．故满足条件的集合M为{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}，{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}，{1,2,3,4,5}．(2)}的所有子集的个数是212n是2n－1，非空真子集的个数是2n－2.1.有限集子集的确定问题，求解关键有三点：(1)确定所求集合；(2)合理分类，按照子集所含元素的个数依次写出，一般按元素从少到多的顺序逐个写出满足条件的集合；,(3)注意两个特殊的集合，即空集和集合本身.2.若集合A中有n个元素，则集合A有2n个子集，(2n－1)个真子集，(2n－1)个非空子集，(2n－2)个非空真子集，该结论可在选择题或填空题中直接使用.[变式训练1]试写出满足条件∅M{0,1,2}的所有集合M.解：因为∅M{0,1,2}．所以M为{0,1,2}的非空真子集．所以M中的元素个数为1或2，当M中只有1个元素时，M可以是{0}，{1}，{2}；当M中有2个元素时，M可以是{0,1}，{0,2}，{1,2}；所以M可以是{0}，{1}，{2}，{0,1}，{0,2}，{1,2}．类型二集合间关系的判断及应用命题视角1：利用子集的定义判断集合间的关系[例2](1)已知集合M＝{x|x2－3x＋2＝0}，N＝{0,1,2}，则集合M与N的关系是() A．M＝N B．N MC．M N D．N⊆M(2)已知集合A＝{x|x＝3k，k∈Z}，B＝{x|x＝6k，k∈Z}，则A与B之间最适合的关系是()A．A⊆B B．A⊇BC．A B D．A B[答案](1)C(2)D[解析](1)由已知得集合M＝{1,2}．由真子集的定义可知M N.(2)因为A中元素是3的整数倍，而B中的元素是3的偶数倍，所以集合B是集合A的真子集．判断两集合关系的步骤：(1)先对所给集合进行化简.(2)搞清两集合中元素的组成，也就是弄清楚集合由哪些元素组成，即把集合间关系的判断转化为相应集合元素之间的关系来判断.[变式训练2]指出下列各组集合之间的关系：(1)A＝{－1,1}，B＝{(－1，－1)，(－1,1)，(1，－1)，(1,1)}；(2)A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}；(3)M＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N*}．解：(1)集合A的代表元素是数，集合B的代表元素是有序实数对，故A与B之间无包含关系．(2)等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边相等的三角形，故A B.(3)法1：两个集合都表示正奇数组成的集合，但由于n∈N*，因此集合M含有元素“1”，而集合N不含元素“1”，故N M.法2：由列举法知M＝{1,3,5,7，…}，N＝{3,5,7,9，…}，所以N M.命题视角2：利用Venn图理解集合间的关系[例3]能正确表示集合M＝{x|0≤x≤2}和集合N＝{x|x2－x＝0}关系的Venn图是下图中的()[答案] B[解析]N＝{0,1}M.用封闭的曲线的内部表示集合，这种图形称为Venn图，是描述集合关系的图形语言，它可以是圆、矩形、椭圆等.通过图形可直观看出两个集合是否有公共元素，甚至还可以解决集合内元素的个数问题，在后续课的学习中Venn图的图解功能再进一步体会.[变式训练3] 已知集合A ＝{x |x 2＝x ，x ∈R }，集合A 与非空集合B 的关系如图所示，则满足条件的集合B 的个数为( B )A ．1B ．2C ．3D ．4 解析：∵A ＝{x |x 2＝x ，x ∈R }＝{0,1}，又B A ，且B 为非空集合，∴B 可以为{0}或{1}．故选B.命题视角3：利用数轴理解集合间的关系[例4] 已知A ＝{x |x <－2或x >3}，B ＝{x |4x ＋m <0}，当A ⊇B 时，求实数m 的取值范围．[分析] 解决本题可用数形结合的方法画出数轴来分析． [解] 集合A 在数轴上表示如图．要使A ⊇B ，则集合B 中的元素必须都是A 中的元素， 即B 中元素必须都位于阴影部分内，那么由4x ＋m <0，即x <－m 4知，－m4≤－2，即m ≥8，故实数m 的取值范围是m ≥8.在数轴上表示集合A 与B 时要注意，端点处都是空心点，所以当－m4＝－2时，集合B 为{x |x <－2}，仍满足A ⊇B .这种利用子集关系求参数的问题，借助数轴分析时，要验证参数能否取到端点值.[变式训练4] 已知集合A ＝{x |1≤x ≤2}，B ＝{x |1≤x ≤a ，a ≥1}． (1)若AB ，求a 的取值范围；(2)若B ⊆A ，求a 的取值范围． 解：(1)若A B ，则集合A 中的元素都在集合B 中，且B 中有不在A 中的元素，则a >2.(2)若B ⊆A ，则集合B 中的元素都在集合A 中，则a ≤2.因为a ≥1，所以1≤a ≤2.1．已知集合A ＝{x |x 是平行四边形}，B ＝{x |x 是矩形}，C ＝{x |x 是正方形}，D ＝{x |x 是菱形}，则有( B )A ．A ⊆B B ．C ⊆B C ．D ⊆CD ．A ⊆D解析：正方形是邻边相等的矩形．2．已知集合M ＝{－1,0,1}，N ＝{y |y ＝x 2，x ∈M }，则( B ) A ．MNB ．NMC ．M ＝ND ．M ，N 的关系不确定解析：由题意，得N ＝{0,1}，故N M .3．已知集合A {1,2,3}，且A 中至少含有一个奇数，则这样的集合A 有5个．解析：∵A{1,2,3}，∴A 中至多含有2个元素．∵A 中至少有一个奇数，∴A 可能为{1}，{3}，{1,2}，{1,3}，{2,3}，共5个．4．已知∅{x |x 2－x ＋a ＝0}，则实数a 的取值范围是a ≤14.解析：∵∅{x |x 2－x ＋a ＝0}．∴{x |x 2－x ＋a ＝0}≠∅，即方程x 2－x ＋a ＝0有解，∴Δ＝1－4a ≥0，∴a ≤14.5．已知集合B ＝{－1,0,1}，若A ⊆B ，试写出所有满足条件的集合A . 解：当A ＝∅时，满足条件；当A 是单元素集合时，满足条件的集合A 有{－1}，{0}，{1}；当A 是含两个元素的集合时，满足条件的集合A 有{－1,0}，{－1,1}，{0,1}； 当A 是含三个元素的集合时，满足条件的集合A 为{－1,0,1}．故满足条件的集合A 有∅，{－1}，{0}，{1}，{－1,0}，{－1，1}，{0,1}，{－1,0,1}．——本课须掌握的三大问题1．写出一个集合的所有子集，首先要注意两个特殊子集：∅和自身；其次依次按含有一个元素的子集、含有两个元素的子集、含有三个元素的子集……写出子集．2．空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，在解决形如A ⊆B 类问题时， 需分类讨论A ＝∅与A ≠∅两种情况．3．要证明A ＝B ，只需要证明A ⊆B 且B ⊆A 成立即可．即可设任意x 0∈A ，证明x 0∈B 从而得出A ⊆B .又设任意y 0∈B ，证明y 0∈A ，从而得到B ⊆A ，进而证明得到A ＝B .。
2018-2019学年人教A版必修一集合学案
第一章 集合与函数概念1.1 集合一、集合的概念 1．集合与元素一般地，我们把___________统称为元素，用小写拉丁字母a,b,c,⋅⋅⋅表示．把___________组成的总体叫做集合，用大写拉丁字母A,B,C,⋅⋅⋅表示．说明：组成集合的元素可以是数、点、图形、多项式，也可以是人或物等． 2．元素与集合的关系如果a 是集合A 的元素，就说a 属于集合A ，记作___________；如果a 不是集合A 中的元素，就说a 不属于集合A ，记作___________．学注意：a A ∈与a A ∉取决于元素a 是否是集合A 中的元素．根据集合中元素的确定性可知，对任何元素a 与集合A ，a A ∈与a A ∉这两种情况中必有一种且只有一种成立． 3．集合中元素的特征（1）___________：集合中的元素是否属于这个集合是确定的，即任何对象都能明确它是或不是某个集合的元素，两者必居其一．这是判断一组对象是否构成集合的标准．（2）___________：给定集合的元素是互不相同的．即对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的．（3）___________：集合中各元素间无先后排列的要求，没有一定的顺序关系． 4．集合相等只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的． 二、常用的数集及其记法1．全体___________组成的集合称为非负整数集（或自然数集），记作N ； 2．所有___________组成的集合称为正整数集，记作*N 或+N ； 3．全体___________组成的集合称为整数集，记作 ； 4．全体___________组成的集合称为有理数集，记作Q ；5．全体___________组成的集合称为实数集，记作R ．易错点：N 为非负整数集（即自然数集），包括0，而*N 表示正整数集，不包括0，注意区分． 三、集合的表示方法 1．列举法把集合的元素___________出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法．注意：（1）用列举法表示的集合，集合中的元素之间用“，”隔开，另外，集合中的元素必须满足确定性、互异性、无序性．（2）“{}”含有“所有”的含义，因此用{}R 表示所有实数是错误的，应是R ． 2．描述法用集合所含元素的___________表示集合的方法称为描述法．具体方法是：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的___________．说明：用描述法表示集合应写清楚该集合中的代表元素，即代表元素是数、有序实数对、集合，还是其他形式． 四、Venn 图，子集 1．Venn 图的概念我们经常用平面上___________的内部代表集合，这种图称为Venn 图．说明：（1）表示集合的Venn 图的边界是封闭曲线，它可以是圆、矩形、椭圆，也可以是其他封闭曲线． （2）Venn 图表示集合时，能够直观地表示集合间的关系，但集合元素的公共特征不明显． 2．子集（1）子集的概念一般地，对于两个集合A ，B ，如果集合A 中___________都是集合B 中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A 为集合B 的子集，记作A B ⊆（或B A ⊇），读作“A 含于B ”（或“B 包含A ”）． 用Venn 图表示A ⊆B 如图所示：（2）子集的性质①任何一个集合是它自身的子集，即A A ⊆．②传递性，对于集合A ，B ，C ，如果A B ⊆，且B C ⊆，那么A C ⊆． 五、从子集的角度看集合的相等如果集合A 是集合B 的___________（A B ⊆），且集合B 是集合A 的___________（B A ⊆），此时，集合A 与集合B 中的元素是一样的，因此，集合A 与集合B 相等，记作A B =．用Venn 图表示A B =如图所示．六、真子集 1．真子集的概念如果集合A B ⊆，但存在元素___________，我们称集合A 是集合B 的真子集，记作A B ⊂≠（或B A ⊃≠）． 如果集合A 是集合B 的真子集，在Venn 图中，就把表示A 的区域画在表示B 的区域的内部．如图所示：2．真子集的性质对于集合A ，B ，C ，如果A B ⊂≠，B C ⊂≠，那么A C ⊂≠．辨析：子集与真子集的区别：若A B ⊆，则A B ⊂≠或A B =；若A B ⊂≠，则A B ⊆．七、空集 1．空集的概念我们把___________任何元素的集合叫做空集，记作∅，并规定：空集是任何集合的子集． 2．空集的性质（1）空集是任何集合的___________，即A ∅⊆； （2）空集是任何非空集合的___________，即A ⊂∅≠．注意：空集不含任何元素，在解题过程中容易被忽略，特别是在隐含有空集参与的集合问题中，往往容易因忽略空集的特殊性而导致漏解．八、并集 1．并集的概念一般地，由___________属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合，称为集合A 与B 的并集，记作：___________（读作“A 并B ”），即{},AB x x A x B =∈∈或．用Venn 图表示如图所示：（1） （2） （3） 由上述图形可知，无论集合A ，B 是何种关系，AB 恒有意义，图中阴影部分表示并集．注意：并集概念中的“或”指的是只需满足其中一个条件即可，这与生活中的“或”字含义不同．生活中的“或”字是或此或彼，必居其一，而并集中的“或”字可以是兼有的． 2．并集的性质对于任意两个集合A ，B ，根据并集的概念可得： （1）()A A B ⊆，()B A B ⊆； （2）A A A =；（3）A A ∅=； （4）A B BA =．九、交集 1．交集的概念一般地，由___________的所有元素组成的集合，称为A 与B 的交集，记作：___________（读作“A 交B ”），即{|},AB x x A x B =∈∈且．用Venn 图表示如图所示：（1）A 与B 相交（有公共元素） （2）A B ⊂≠，则AB A = （3）A 与B 相离（A B =∅）注意：（1）交集概念中的“且”即“同时”的意思，两个集合的交集中的元素必须同时是两个集合的元素．（2）定义中的“所有”是指集合A 和集合B 中全部的公共元素，不能是一部分公共元素．2．交集的性质 （1）(),()AB A A B B ⊆⊆； （2）A A A =；（3）A ∅=∅； （4）A B B A =．十、全集与补集 1．全集的概念一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U ，是相对于所研究问题而言的一个相对概念．学+说明：“全集”是一个相对的概念，并不是固定不变的，它是依据具体的问题来加以选择的．例如：我们常把实数集R 看作全集，而当我们在整数范围内研究问题时，就把整数集Z 看作全集． 2．补集的概念对于一个集合A ，由全集U 中___________集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集，简称为集合A 的补集，记作U A ð，即{},U A x x U x A =∈∉且ð．用Venn 图表示如图所示：说明：（1）补集既是集合之间的一种关系，同时也是集合之间的一种运算．求集合A 的补集的前提是A 是全集U 的子集，随着所选全集的不同，得到的补集也是不同的，因此，它们是互相依存、不可分割的两个概念．（2）若x U ∈，则x A ∈或U x A ∈ð，二者必居其一． 3．全集与补集的性质设全集为U ，集合A 是全集U 的一个子集，根据补集的定义可得： （1）U U =∅ð； （2）U U ∅=ð； （3）()U UA A =痧；（4）()UAA U =ð； （5）()UA A =∅ð．知识参考答案：一、1．研究对象 一些元素 2．a A ∈ a A ∉ 3．确定性 互异性 无序性 二、1．非负整数 2．正整数 3．整数 4．有理数 5．实数 三、1．一一列举 2．共同特征 共同特征 四、1．封闭曲线 2．（1）任意一个元素五、子集 子集六、1．x B ∈，且x A ∉七、1．不含 2．（1）子集 （2）真子集 八、1．所有 A ∪B九、1．属于集合A 且属于集合B A ∩B 十、2．不属于—重点1．并集与交集的概念，补集的有关运算及数轴的应用，数形结合的思想；2．运用集合的两种常用表示方法——列举法与描述法正确表示一些简单的集合；—难点1．能利用Venn 图表达集合间的关系； 2．集合中元素的三个特性；—易错1．在分析有关集合问题时，要注意空集的地位； 2．判断集合之间的关系时，要从元素入手．1．集合的概念判断指定的对象的全体能否构成集合，关键在于能否找到一个明确的标准，使得对于任何一个对象，都能确定它是否是给定集合中的元素．注意：构成集合的元素除常见的数、式、点等数学对象外，还可以是其他任意确定的对象．【例1】下列各组对象中不能构成集合的是A ．正三角形的全体B ．所有的无理数C ．高一数学第一章的所有难题D ．不等式2x ＋3>1的解【答案】C【解析】C 中的难题并没有确定的标准，因此不满足集合中元素的确定性，不能构成集合．A ，B ，D 中的对象满足集合中元素的确定性、互异性和无序性，能够构成集合．【名师点睛】集合中元素的三个特性：（1）确定性：集合中的元素是确定的，即任何一个对象都必须明确它是或不是某个集合的元素，两者必居其一．（2）互异性：集合中的元素必须是互异的，就是说，对于一个给定的集合，它的任意两个元素都是不同的．（3）无序性：集合中元素的排列无先后顺序，任意调换集合中元素的位置，集合不变．判断指定的对象能不能组成集合，关键是看作为集合的元素是否具有确定性，也就是能否找到一个明确的标准．2．元素与集合之间的关系元素与集合之间有且仅有“属于（∈）”和“不属于（∉）”两种关系，且两者必居其一．判断一个对象是否为集合中的元素，关键是看这个对象是否具有集合中元素的特征．若集合是用描述法表示的，则集合中的元素一定满足集合中元素的共同特征，可据此列方程（组）或不等式（组）求解参数；若a A ∈，且集合A 是用列举法表示的，则a 一定等于集合A 的其中一个元素，由此可列方程（组）求解．【例2】已知{21}M x |x a ,a ==+∈Z ，则有A ．1M ∉B ．0M ∈C ．2M ∈D ．1M -∈【答案】D【解析】设121a =+，则0a =∈Z ，即1M ∈，同理可得0M ∉，2M ∉，1M -∈．【名师点睛】解决本题的关键是根据集合M 中元素的一般形式分别判断1，0，2，1-是否为该集合中的元素，即分别判断方程21a +=1，0，2，1-是否有整数解． 3．集合的表示方法对于元素较少的集合宜采用列举法表示，用列举法表示集合时，要求元素不重复、不遗漏、不计次序；对于元素较多的集合宜采用描述法表示．但是对于有些元素较多的集合，如果其中的元素具有规律性，那么也可以用列举法表示，常用省略号表示多个元素．但要注意不要忽略集合中元素的代表形式． 【例3】选择适当的方法表示下列集合： （1）1和70组成的集合；（2）大于1且小于70的自然数组成的集合．（3）大于1且小于70的实数组成的集合．（4）平面直角坐标系中函数2y x =-+图象上的所有点组成的集合． 【答案】答案详见解析．（4）设平面直角坐标系中函数2y x =-+图象上的所有点组成的集合为E ，函数2y x =-+图象上的点可以用坐标(,)x y 表示，则有{(,)|2}x y y x =-+．【名师点睛】由于本题（2）中的集合B 中的元素是大于1且小于70的自然数，具有规律性，所以还可以表示为B ＝{2，3，…，69}．注意：由于用以表示集合的大括号已有概括“全体元素”之意，因此在大括号内不应再出现“全体”、“所有”、“集”等词．例如，Q ={全体有理数集}，R ={实数集}都是错误的． 4．集合相等从集合相等的概念入手，寻找两个集合中元素之间的关系，看一个集合中的元素与另一集合中的哪个元素相等，一般需要分类讨论，在求出参数值后，要注意检验是否满足集合中元素的互异性及是否使有关的代数式有意义．【例4】已知集合M 中含有三个元素2，a ，b ，集合N 中含有三个元素2a ，2，2b ，且两集合相等，求a ，b 的值．【答案】01a b =⎧⎨=⎩或1412a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩．【名师点睛】（1）对于列举法给出的集合，若两个集合相等，则它们所含元素完全相同，与元素的排列顺序无关，由此可列出方程或方程组．因为集合中的元素具有无序性，所以在建立方程（组）的时候，要注意分类讨论，同时要对最后结果进行检验，以免与集合中元素的互异性相矛盾．（2）对于描述法给出的集合，要判断两集合是否相等，要判断两个集合的代表元素是否一致，及代表元素所满足的条件是否一致，若都一致，则两集合相等． 5．判断两个集合之间的关系（1）从集合关系的定义入手，对两个集合进行分析，首先，判断一个集合A 中的任意元素是否属于另一集合B ，若是，则A ⊆B ，否则A 不是B 的子集； 其次，判断另一个集合B 中的任意元素是否属于第一个集合A ，若是，则B ⊆A ，否则B 不是A 的子集；若既有A ⊆B ，又有B ⊆A ，则A ＝B ．（2）确定集合是用列举法还是描述法表示的，对于用列举法表示的集合，可以直接比较它们的元素； 对于用描述法表示的集合，可以对元素性质的表达式进行比较，若表达式不统一，要先将表达式统一，然后再进行判断．也可以利用数轴或Venn 图进行快速判断． 【例5】指出下列各组中两个集合的包含关系： （1）{1,2,4}A =，{|8}B x x =是的约数；（2）{|3,}A x x k k ==∈N ，{|6,}B x x z z ==∈N ；（3）{|}A x x =是平行四边形，{|}B x x =是菱形，{|}C x x =是四边形，{|}D x x =是正方形．【答案】（1）A B ⊂≠；（2）B A ⊂≠；（3）C A B D ⊃⊃⊃≠≠≠．【解析】（1）8的约数有1，2，4，8，所以{1,2,4,8}B =，从而有A B ⊂≠． （2）A 中的元素都是3的倍数，B 中的元素都是6的倍数，对任意的z ∈N ，6=3(2)z z ⨯．因为z ∈N ，所以2z ∈N ，从而可得6z A ∈，从而有B A ⊆， 设63z =，则12z =∉N ，故3B ∉，但3A ∈，所以B A ⊂≠． （3）画出Venn 图如图所示，由图可知C A B D ⊃⊃⊃≠≠≠．【名师点睛】（1）当A B ⊆和A B ⊂≠均成立时，A B ⊂≠最准确反映集合,A B 的关系．当A B ⊆和A B =均成立时，A B =最准确反映集合,A B 的关系．（2）包含、真包含关系是集合与集合之间的关系，属于关系是元素与集合之间的关系，注意区分． 6．确定集合的子集的个数有限集子集的确定问题，求解关键有三点： （1）确定所求集合；（2）注意两个特殊的子集：∅和自身；（3）依次按含有一个元素的子集，含有两个元素的子集，含有三个元素的子集……写出子集．就可避免重复和遗漏现象的发生．【例6】集合{14}A=x x ∈-<<N 的真子集个数为A ．7B ．8C ．15D ．16【答案】C【解析】方法一：{}3210，，，=A 中有4个元素，按真子集中所含元素的个数分类写出真子集． ∅是任何非空集合的真子集；由一个元素构成的真子集：{0}{1}{2}{3}，，，； 由两个元素构成的真子集：{0,1}{0,2}{0,3}{1,2}{1,3}{2,3}，，，，，； 由三个元素构成的真子集：{0,1,2}{0,2,3}{1,2,3}{0,1,3}，，，．故集合{14}A=x x ∈-<<N 的真子集个数为15．故选C ．方法二：{}3210，，，=A 中有4个元素，则真子集个数为15124=-．故选C ．【名师点睛】如果有限非空集合A 中有n 个元素，则： （1）集合A 的子集个数为2n ； （2）集合A 的真子集个数为21n -； （3）集合A 的非空子集个数为21n -； （4）集合A 的非空真子集个数为22n-． 7．集合的交、并、补运算 （1）“AB ”是指所有属于集合A 或属于集合B 的元素并在一起所构成的集合．注意对概念中 “所有”的理解：不能认为“AB ”是由A 中的所有元素和B 中的所有元素组成的集合，即简单拼凑，要满足集合中元素的互异性，A 与B 的公共元素只能作并集中的一个元素． （2）“A B ”是指属于集合A 且属于集合B 的所有元素组成的集合．注意对概念中“且”的理解：不能仅认为AB 中的任意元素都是A 和B 的公共元素，它同时还表示集合A 与B 的公共元素都属于AB ，而且并不是任何两个集合都有公共元素，当集合A 和集合B 没有公共元素时，=A B ∅．（3）{|,}U A x x U x A =∈∉且ð．全集与补集的性质：①一个集合与其补集的并集是全集，即()=U A A U ð；②一个集合与其补集的交集是空集，即()=U A A ∅ð；③一个集合的补集的补集是其本身，即()=U U A A 痧；④空集的补集是全集，即=U U ∅ð；⑤全集的补集是空集，即=U U ∅ð．⑥若A B ⊆，则()()U U A B ⊇痧；反之，若()()U U A B ⊆痧，则B A ⊆；⑦若=A B ，则=U U A B 痧；反之，若=U U A B 痧，则=A B ；⑧德▪摩根定律：并集的补集等于补集的交集，即()=()()U UU AB A B 痧?；交集的补集等于补集的并集，即()=()()U UU AB A B 痧?．（4）解决集合的混合运算时，一般先运算括号内的部分，如求()U A B ð时，先求出U A ð，再求交集；求()U AB ð时，先求出A B ，再求补集．【例7】设集合{0,2,4,6,8,10},{4,8}A B ==，则A B ð＝A ．{4,8}B ．{0,2,6}C ．{0,2,6,10}D ．{0,2,4,6,8,10}（2）已知集合2{|20},{0,1,2}M x x x N =-==，则MN =A ．{0}B ．{0,1}C ．{0,2}D ．{0,1,2}（3）已知全集{}{},|0,|1U A x x B x x ==≤=≥R ，则集合()U AB =ðA ．{}|0x x ≥B ．{}|1x x ≤C ．{}|01x x ≤≤D ．{}|01x x <<【答案】（1）C ；（2）C ；（3）D【名师点睛】（1）集合{|()0}x f x =表示关于x 的方程()0f x =的解集． （2）解决与不等式有关的集合问题时，常借用数轴求解，要注意端点值能否取到．1．下列选项正确的是A ．0∈NB ．π∉RC ．1∉QD ．0∈2．在下列命题中，不正确的是A ．{1}∈{0，1，2}B ．Φ⊆{0，1，2}C ．{0，1，2}⊆{0，1，2}D ．{0，1，2}={2，0，1}3．下列哪组对象不能构成集合A ．所有的平行四边形B ．高一年级所有高于170厘米的同学C ．数学必修一中的所有难题D ．方程x 2–4=0在实数范围内的解 4．已知集合A ={2，3}，下列说法正确的是A ．2∉AB ．2∈AC ．5∈AD ．3∉A5．集合{3，x ，x 2–2x }中，x 应满足的条件是A．x≠–1 B．x≠0C．x≠–1且x≠0且x≠3D．x≠–1或x≠0或x≠36．已知集合A={2，–1}，B={m2–m，–1}，则A=B，则实数m=A．2 B．–1 C．2或–1 D．47．集合A={x|–2≤x≤2}，B={0，2，4}，则A∩B=A．{0} B．{0，2} C．[0，2] D．{0，1，2}8．已知集合A={1，2，3}，B={x|x2–x–2<0，x∈}，则A∪B=A．{1} B．{1，2}C．{0，1，2，3} D．{–1，0，1，2，3}9．已知集合A={1，2}，B={0，2，5}，则A∪B中元素的个数为A．2 B．3 C．4 D．510．设全集U={3，1，a2–2a+1}，集合A={1，3}，∁U A={0}，则a的值为A．0 B．1 C．–2 D．–111．已知全集U={0，1，2，3，4}，A={2，4}，B={1，3，4}，则（∁U A）∩B=A．ΦB．{0} C．{1，3} D．{0，1，3，4}12．如果集合U={1，2，3，4，5，6，7，8}，A={2，4，8}，B={1，3，4，7}，那么（∁U A）∩B等于A．{4} B．{1，3，4，5，7，8}C．{1，3，7} D．{2，8}13．已知集合M={x∈||x|≤3}，则下列结论中正确的个数是①2.5∈M②0⊆M③{0}∩M={0}④Φ∈M⑤集合M是无限集．A．0 B．1 C．2 D．3．14．设集合A={x∈|x>–1}，则A．Φ∉A B．2∉AD．{2}⊆AC．2A15．设A∪{–1，1}={0，–1，1}，则满足条件的集合A共有个．A．1 B．2 C．3 D．416．设A={x|2≤x≤6}，B={x|2a≤x≤a+3}，若B⊆A，则实数a的取值范围是A．[1，3] B．[3，+∞）C．[1，+∞）D．（1，3）17．如图所示的韦恩图中，若A={x|0≤x<2}，B={x|x>1}，则阴影部分表示的集合为A．{x|0<x<2} B．{x|1<x≤2}C．{x|0≤x≤1或x≥2} D．{x|0≤x≤1或x>2}18．若全集U={–1，0，1，2}，P={x∈|x2–x–2<0}，则∁U P=A．{0，1} B．{0，–1}C．{–1，2} D．{–1，0，2}19．已知集合1{|12}{|22}8xM x x x P x x=-≤∈=<<∈Z R，，，，则图中阴影部分表示的集合为A．{1} B．{–1，0}C．{0，1} D．{–1，0，1}20．设全集U={x∈N|x≤9}，集合A={2，5，8，9}，B={1，4，6，7，9}，则图中阴影部分表示的集合为A．{1，4，6} B．{1，4，7}C．{1，4，9} D．{1，4，6，7}21．已知集合A是由0，m，m2–3m+2三个元素构成的集合，且2∈A，则实数m为__________．22．由实数t，|t|，t2，–t，t3所构成的集合M中最多含有__________个元素．23．设A={x|1<x<4}，B={x|x–a<0}，若A⊆B，则a的取值范围是__________．24．已知集合A={0，1}，B={–1，0，a+3}，且A⊆B，则a等于__________．25．已知{1}⊆A⊆{1，2，3}，则这样的集合A有__________个．学+26．已知a∈R，b∈R，若{a，ba，1}={a2，a+b，0}，则a2019+b2019=__________．27．已知集合A={a，b，2}，B={2，b2，2a}，且A=B，则a=__________．28．已知集合A={x|–2≤x≤5}，B={x|m+1≤x≤2m–1}．若A∪B=A，求实数m的取值范围．29．已知集合A={x|x<–1或x>4}，B={x|2a≤x≤a+3}，若B⊆A，求实数a的取值范围．30．（2018•新课标Ⅱ）已知集合A={1，3，5，7}，B={2，3，4，5}，则A∩B=A．{3} B．{5}C．{3，5} D．{1，2，3，4，5，7}31．（2018•天津）设集合A={1，2，3，4}，B={–1，0，2，3}，C={x∈R|–1≤x<2}，则（A∪B）∩C= A．{–1，1} B．{0，1}C．{–1，0，1} D．{2，3，4}32．（2018•新课标Ⅰ）已知集合A={x|x2–x–2>0}，则∁R A=A．{x|–1<x<2} B．{x|–1≤x≤2}C．{x|x<–1}∪{x|x>2} D．{x|x≤–1}∪{x|x≥2}33．（2018•新课标Ⅰ）已知集合A={0，2}，B={–2，–1，0，1，2}，则A∩B=A．{0，2} B．{1，2}C．{0} D．{–2，–1，0，1，2}34．（2018•浙江）已知全集U={1，2，3，4，5}，A={1，3}，则∁U A=A．∅B．{1，3} C．{2，4，5} D．{1，2，3，4，5} 35．（2018•北京）已知集合A={x||x|<2}，B={–2，0，1，2}，则A∩B=A．{0，1} B．{–1，0，1}C．{–2，0，1，2} D．{–1，0，1，2}36．（2018•新课标Ⅲ）已知集合A={x|x–1≥0}，B={0，1，2}，则A∩B=A．{0} B．{1} C．{1，2} D．{0，1，2} 37．（2018•新课标Ⅱ）已知集合A={（x，y）|x2+y2≤3，x∈，y∈），则A中元素的个数为A．9 B．8 C．5 D．438．（2018•北京）已知集合A={x||x|<2}，B={–2，0，1，2}，则A∩B=A．{0，1} B．{–1，0，1}C．{–2，0，1，2} D．{–1，0，1，2}39．（2018•天津）设全集为R，集合A={x|0<x<2}，B={x|x≥1}，则A∩（∁R B）=A．{x|0<x≤1} B．{x|0<x<1} C．{x|1≤x<2} D．{x|0<x<2}40．（2018•江苏）已知集合A={0，1，2，8}，B={–1，1，6，8}，那么A∩B=__________．1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15D A C B C C B C C B C C B B D16 17 18 19 20 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39C C C BD C C B A C A C A A B 1．【答案】D【解析】在A中，0∉N，故A错误；在B中，π∈R，故B错误；在C中，1∈Q，故C错误；在D中，0∈，故D正确．故选D．2．【答案】A【解析】在A中，{1} {0，1，2}，故A错误；在B中，Φ是{0，1，2}的子集，故B正确；在C中，{0，1，2}是{0，1，2}的子集，故C正确；在D中，{0，1，2}={0，1，2}，故D正确．故选A．3．【答案】C【解析】所有的平行四边形满足集合元素的确定性，互异性，可以构成集合，高一年级所有高于170厘米的同学，满足集合元素的确定性，互异性，可以构成集合，数学必修一中的所有难题，不满足集合元素的确定性，不能构成集合，方程x2–4=0在实数范围内的解，满足集合元素的确定性，互异性，可以构成集合，故选C．4．【答案】B【解析】∵集合A={2，3}，∴2∈A，3∈A，5∉A，故选B．5．【答案】C【解析】集合{3，x，x2–2x}中，x2–2x≠3，且x2–2x≠x，且x≠3，解得x≠3且x≠–1且x≠0，故选C．6．【答案】C【解析】∵集合A={2，–1}，B={m2–m，–1}，A=B，∴m2–m=2，解得m=–1或m=2．故选C．7．【答案】B【解析】∵A={x|–2≤x≤2}，B={0，2，4}，∴A∩B={0，2}．故选B．8．【答案】C【解析】∵集合A={1，2，3}，B={x|x2–x–2<0，x∈}={x|–1<x<2，x∈}={0，1}，∴A∪B={0，1，2，3}．故选C．11．【答案】C【解析】全集U={0，1，2，3，4}，A={2，4}，B={1，3，4}，则∁U A={0，1，3}，（∁U A）∩B={1，3}．故选C．12．【答案】C【解析】集合U={1，2，3，4，5，6，7，8}，A={2，4，8}，B={1，3，4，7}，∴∁U A={1，3，5，6，7}，（∁U A）∩B={1，3，7}．故选C．13．【答案】B【解析】∵集合M={x∈||x|≤3}，∴①2.5∉M，故错误；②0∈M，故错误；③{0}∩M={0}，故正确；④Φ⊆M，故错误；⑤集合M是有限集，故错误．故选B．16．【答案】C【解析】∵A ={x |2≤x ≤6}，B ={x |2a ≤x ≤a +3}，且B ⊆A ；当B =Φ时，2a >a +3，解得a >3；当B ≠Φ时，362223a a a a +≤⎧⎪≥⎨⎪≤+⎩，解得1≤a ≤3；∴a 的取值范围是{a |1≤a ≤3，或x >3}={a |a ≥1}，故选C ． 17．【答案】C【解析】∵A ={x |0≤x <2}，B ={x |x >1}，设全集U =A ∪B ={x |x ≥0}，∵A ∩B ={x |1<x <2}，则阴影部分为 ∁U （A ∩B ）={x |0≤x ≤1或x ≥2}．故选C ． 18．【答案】C【解析】全集U ={–1，0，1，2}，P ={x ∈ |x 2–x –2<0}={x ∈ |–1<x <2}={0，1}，则∁U P ={–1，2}．故选C ． 19．【答案】B【解析】由Venn 图知阴影部分对应的集合为A ∩B ，由|x –1|≤2得–2≤x –1≤2，得–1≤x ≤3，即M ={–1，0，1，2，3}，由18<2x<2，得–3<x <1，即P =（–3，1），则M ∩P ={–1，0}，故选B ． 20．【答案】D【解析】∵全集U ={x ∈N |x ≤9}={0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}，集合A ={2，5，8，9}，B ={1，4，6，7，9}，∴图中阴影部分表示的集合为：B ∩（C U A ）={1，4，6，7，9}∩{0，1，3，4，6，7}={1，4，6，7}．故选D ．21．【答案】3【解析】由题意知，m =2或m 2–3m +2=2，解得m =2或m =0或m =3，经验证，当m =0或m =2时，不满足集合中元素的互异性，当m =3时，满足题意．故答案为：3． 22．【答案】4【解析】由实数t ，|t |，t 2，–t ，t 3所构成的集合M 中，由于|t |至少与t 和–t 中的一个相等，故集合M 中至多有4个元素．故答案为：4． 23．【答案】[4，+∞）【解析】∵A ={x |1<x <4}，B ={x |x –a <0}={x |x <a }，A ⊆B ，∴a ≥4，故答案为：[4，+∞）． 24．【答案】–2【解析】∵集合A ={0，1}，B ={–1，0，a +3}，且A ⊆B ，∴a +3=1，解得a =–2．故答案为：–2．27．【答案】0或14【解析】∵集合A ={a ，b ，2}，B ={2，b 2，2a }，且A =B ，又根据集合元素的互异性，所以有22a a b b a b =⎧⎪=⎨⎪≠⎩或22b a a b a b=⎧⎪=⎨⎪≠⎩，解得01a b =⎧⎨=⎩或1412a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故a =0或14．故答案为：0或14． 28．【答案】（–∞，3]【解析】若A ∪B =A ，则B ⊆A ，分两种情况考虑： （1）若B 不为空集，可得m +1≤2m –1，解得：m ≥2， ∵B ⊆A ，∵A ={x |–2≤x ≤5}，B ={x |m +1<x <2m –1}， ∴m +1≥–2，且2m –1≤5，解得：–3≤m ≤3， 此时m 的范围为2≤m ≤3；（2）若B 为空集，符合题意，可得m +1>2m –1，解得：m <2， 综上，实数m 的范围为（–∞，3]． 29．【答案】{x |a <–4或2<a <3或a >3}【解析】∵集合A ={x |x <–1或x >4}，B ={x |2a ≤x ≤a +3}，B ⊆A ， ∴当B =Φ时，2a >a +3，解得a >3，成立；当B≠Φ时，a+3<–1或2a>4，且2a<a+3，解得a<–4或2<a<3．∴实数a的取值范围是{x|a<–4或2<a<3或a>3}．30．【答案】C【解析】∵集合A={1，3，5，7}，B={2，3，4，5}，∴A∩B={3，5}．故选C．33．【答案】A【解析】集合A={0，2}，B={–2，–1，0，1，2}，则A∩B={0，2}．故选A．34．【答案】C【解析】根据补集的定义，∁U A是由所有属于集合U但不属于A的元素构成的集合，由已知，有且仅有2，4，5符合元素的条件．∁U A={2，4，5}，故选C．35．【答案】A【解析】∵集合A={x||x|<2}={x|–2<x<2}，B={–2，0，1，2}，∴A∩B={0，1}，故选A．36．【答案】C【解析】∵A={x|x–1≥0}={x|x≥1}，B={0，1，2}，∴A∩B={x|x≥1}∩{0，1，2}={1，2}．故选C．37．【答案】A【解析】当x=–1时，y2≤2，得y=–1，0，1，当x=0时，y2≤3，得y=–1，0，1，当x=1时，y2≤2，得y=–1，0，1，即集合A中元素有9个，故选A．38．【答案】A【解析】A={x||x|<2}={x|–2<x<2}，B={–2，0，1，2}，则A∩B={0，1}，故选A．39．【答案】B【解析】∵A={x|0<x<2}，B={x|x≥1}，∴∁R B={x|x<1}，∴A∩（∁R B）={x|0<x<1}．故选B．40．【答案】{1，8}【解析】∵A={0，1，2，8}，B={–1，1，6，8}，∴A∩B={0，1，2，8}∩{–1，1，6，8}={1，8}，故答案为：{1，8}．。
人教版高中数学必修一教案全套
人教版高中数学必修一教案全套第一单元函数与方程
课时1 了解函数
教学目标：通过本节课的研究，学生将了解到函数的定义，掌
握函数的分类和表示方法。
教学内容：
1. 函数的定义和特点
2. 函数的分类：一次函数、二次函数、三次函数等
3. 函数的表示方法：函数图像、函数表达式
教学步骤：
1. 引入函数的概念，让学生了解函数的定义和特点。
2. 介绍不同类型的函数，如一次函数、二次函数等，并让学生
掌握其特点和表示方法。
3. 通过实例演示函数的表示方法，包括函数图像和函数表达式。
4. 练题，巩固学生对函数的理解。
课时2 解一次方程
教学目标：通过本节课的研究，学生将学会解一次方程的方法，并应用于实际问题中。
教学内容：
1. 一次方程的定义和特点
2. 解一次方程的基本方法
3. 实际问题中的一次方程应用
教学步骤：
1. 引入一次方程的概念和例子，让学生理解一次方程的定义和
特点。
2. 介绍解一次方程的基本方法，包括化简、移项等步骤。
3. 通过实例演示解一次方程的步骤和思路。
4. 练题，巩固学生对解一次方程的掌握。
...... （按照教案的顺序继续添加后续课时的内容）
总结
通过本套教案的研究，学生将全面了解函数与方程的相关知识，并能够应用这些知识解决实际问题。
教师可以根据教案的内容和步
骤进行教学，逐步引导学生掌握数学知识。
以上为人教版高中数学必修一教案全套的简要内容，详细内容
请参考教材或教案原文。
新人教高中数学必修一全套学案
集合学案 §1.1集合（1）一、知识归纳：1、 集合：某些 的对象集在一起就形成一个集合，简称集。
元素：集合中的每个 叫做这个集合的元素。
2、集合的表示方法⎩⎨⎧描述法：列举法：3、集合的分类⎪⎩⎪⎨⎧空集：无限集：有限集：二、例题选讲：例1、观察下列实例：① 小于11的全体非负偶数； ②整数12的正因数；③抛物线12+=x y 图象上所有的点； ④所有的直角三角形；⑤高一（1）班的全体同学； ⑥班上的高个子同学； 回答下列问题： ⑴哪些对象能组成一个集合.⑵用适当的方法表示它.⑶指出以上集合哪些集合是有限集. 例2、用适当的方法表示以下集合：⑴平方后与原数相等的数的集合；⑵设b a ,为非零实数，bb aa +可能表示的数的取值集合；⑶不等式62<x 的解集； ⑷坐标轴上的点组成的集合； ⑸第二象限内的点组成的集合； ⑹方程组⎩⎨⎧=-=+15y x y x 的解集。
三、针对训练：1．课本P5第1题： 2．课本P6第1、2题 3．已知集合{}012|2=++=x ax x A⑴若A 中只有一个元素，求a 及A ；⑵若,Φ=A 求a 的取值范围。
§1.1集合(2)一、知识归纳：4、集合的符号表示：⑴集合用 表示，元素用 表示。
⑵如果a 是集合A 的元素，就说a 属于集合A ，记作： 如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于集合A ，记作： ⑶常用数集符号：非负整数集（或自然数集）： 正整数集： 整数集： 有理数集： 实数集： 5、 元素的性质：（1） （2） （3） 二、例题选讲：例3 用符号∉∈与填空：⑴0 *NZ ；0 N ；0)1(- *N ；23+ Q ；34Q 。
⑵3{}3,2；3(){}3,2；()3,2 (){}3,2； ()2,3 (){}3,2例4 （1）已知{}52<<=x x A ，判断b a 、是否属于A ？7=a ，︒+︒=31tan 42sin b（2）已知{}{},.,1,,2B A b B a a A ===求b a ,三、针对训练： 1．课本P5第2题2．习题1.13.已知：}{Nx x y y A ∈+==且1|2{}22|),(2+-==x x y y x B ，用符号∉∈与填空⑴0 A ； 5.3 A ； 10 A ； （1，2） A 。
高中数学必修1教案 最新人教版高一数学必修一教案(大全(优秀11篇)
高中数学必修1教案最新人教版高一数学必修一教案(大全（优秀11篇）高中数学必修一教案全套篇一本节课力的合成，是在学生了解力的基本性质和常见几种力的基础上，通过等效替代思想，研究多个力的合成方法，是对前几节内容的深化。
本节重点介绍力的合成法则——平行四边形定则，但实际这是所有矢量运算的共同工具，为学习其他矢量的运算奠定了基础。
更重要的是，力的合成是解决力学问题的基础，对今后牛顿运动定律、平衡问题、动量与能量问题的理解和应用都会产生重要影响。
因此，这节课承前启后，在整个高中物理学习中占据着非常重要的地位。
二、教学目标定位为了让学生充分进行实验探究，体验获取知识的过程，本节内容分两课时来完成，今天我说课的内容为本节内容的第一课时。
根据上述教材分析，考虑到学生的实际情况，在本节课的教学过程中，我制定了如下教学目标：一、知识与技能.理解合力、分力、力的合成的概念。
理解力的合成本质上是从等效的角度进行力的替代。
.探究求合力的方法——力的平行四边形定则，会用平行四边形定则求合力。
二、过程与方法.通过学习合力和分力的概念，了解物理学常用的方法——等效替代法。
.通过实验探究方案的设计与实施，体验科学探究的过程。
三、情感态度与价值观.培养学生的合作精神，激发学生学习兴趣，形成良好的学习方法和习惯。
.培养认真细致、实事求是的实验态度。
根据以上分析确定本节课的重点与难点如下：一、重点.合力和分力的概念以及它们的关系。
.实验探究力的合成所遵循的法则。
二、难点平行四边形定则的理解和运用。
三、重、难点突破方法——教法简介本堂课的重、难点为实验探究力的合成所遵循的法则——平行四边形定则，为了实现重难点的突破，让学生真正理解平行四边形定则，就要让学生亲自体验规律获得的过程。
因此，本堂课在学法上采用学生自主探究的实验归纳法——通过重现获取知识和方法的思维过程，让学生亲自去体验、探究、归纳总结。
体现学生主体性。
实验归纳法的步骤如下。
教育最新K122018-2019学年高中数学人教版A版必修一学案：第一单元 1.1.3 第1课时 并集、交集
1.1.3集合的基本运算第1课时并集、交集学习目标 1.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集和交集(重点).2.能使用Venn图表示集合的并集、交集运算结果(难点).3.掌握有关的术语和符号，并会用它们正确进行集合的并集与交集运算(重点)．预习教材P8－P9，完成下面问题：知识点1并集(1)文字语言：由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集．(2)符号语言：A∪B＝{x|x∈A或x∈B}．(3)图形语言：如图所示．【预习评价】(1)已知集合A＝{x|x>0}，B＝{x|－1≤x≤2}，则A∪B等于()A．{x|x≥－1}B．{x|x≤2}C．{x|0<x≤2}D．{x|－1≤x≤2}(2)已知集合A＝{1,2,3}，B＝{2,4,5}，则集合A∪B中元素的个数为________．解析(1)A∪B＝{x|x>0}∪{x|－1≤x≤2}＝{x|x≥－1}．(2)A∪B＝{1,2,3}∪{2,4,5}＝{1,2,3,4,5}，共5个元素．答案(1)A(2)5知识点2交集(1)文字语言：由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集．(2)符号语言：A∩B＝{x|x∈A且x∈B}．(3)图形语言：如图所示．【预习评价】(1)若集合M＝{－1,1}，N＝{－2,1,0}，则M∩N＝()A．{0，－1}B．{1} C．{0}D．{－1,1}(2)若P＝{x|x≥1}，Q＝{x|－1<x<4}，则P∩Q＝________.解析(1)M∩N＝{－1,1}∩{－2,1,0}＝{1}，故选B．(2)如图所示，P∩Q＝{x|1≤x<4}．答案(1)B(2){x|1≤x<4}题型一并集的概念及简单应用【例1】(1)设集合M＝{4,5,6,8}，集合N＝{3,5,7,8}，那么M∪N等于()A．{3,4,5,6,7,8}B．{5,8} C．{3,5,7,8}D．{4,5,6,8}(2)已知集合P＝{x|x＜3}，Q＝{x|－1≤x≤4}，那么P∪Q等于()A．{x|－1≤x＜3}B．{x|－1≤x≤4}C．{x|x≤4}D．{x|x≥－1}解析(1)由定义知M∪N＝{3,4,5,6,7,8}．(2)在数轴上表示两个集合，如图，可得P∪Q＝{x|x≤4}．答案(1)A(2)C规律方法求集合并集的两种方法(1)定义法：若集合是用列举法表示的，可以直接利用并集的定义求解；(2)数形结合法：若集合是用描述法表示的由实数组成的数集，则可以借助数轴分析法求解，此时要注意集合的端点能否取到．【训练1】已知集合M＝{0,1,3}，N＝{x|x＝3a，a∈M}，则M∪N＝()A．{0}B．{0,3}C．{1,3,9}D．{0,1,3,9}解析易知N＝{0,3,9}，故M∪N＝{0,1,3,9}．答案 D题型二交集的概念及简单应用【例2】(1)A＝{x∈N|1≤x≤10}，B＝{x∈R|x2＋x－6＝0}，则图中阴影部分表示的集合为()A ．{2}B ．{3}C ．{－3,2}D ．{－2,3}(2)设集合A ＝{x |－1≤x ≤2}，B ＝{x |0≤x ≤4}，则A ∩B ＝( ) A ．{x |0≤x ≤2} B ．{x |1≤x ≤2} C ．{x |0≤x ≤4}D ．{x |1≤x ≤4}解析 (1)易知A ＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，B ＝{－3,2}，图中阴影部分表示的集合为A ∩B ＝{2}，故选A ．(2)在数轴上表示出集合A 与B ，如图所示．则由交集的定义知，A ∩B ＝{x |0≤x ≤2}． 答案 (1)A (2)A规律方法 求集合A ∩B 的常见类型(1)若A ，B 的代表元素是方程的根，则应先解方程求出方程的根后，再求两集合的交集． (2)若集合的代表元素是有序数对，则A ∩B 是指两个方程组成的方程组的解集，解集是点集．(3)若A ，B 是无限数集，可以利用数轴来求解，但要注意利用数轴表示不等式时，含有端点的值用实心点表示，不含有端点的值用空心圈表示．【训练2】 (1)已知集合A ＝{x |x ＝3n ＋2，n ∈N}，B ＝{6,8,10,12,14}，则集合A ∩B 中元素的个数为( )A ．5B ．4C ．3D ．2(2)已知M ＝{(x ，y )|x ＋y ＝2}，N ＝{(x ，y )|x －y ＝4}，则M ∩N ＝( ) A ．x ＝3，y ＝－1 B ．(3，－1) C ．{3，－1}D ．{(3，－1)}解析 (1)8＝3×2＋2,14＝3×4＋2，故A ∩B ＝{8,14}，故选D ．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝2，x －y ＝4，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－1，故M ∩N ＝{(3，－1)}． 答案 (1)D (2)D【探究1】 设A ，B 是两个集合，若已知A ∩B ＝A ，A ∪B ＝B ，由此可分别得到集合A 与B 具有怎样的关系？解 A ∩B ＝A ⇔A ∪B ＝B ⇔A ⊆B ，即A ∩B ＝A ，A ∪B ＝B ，A ⊆B 三者为等价关系． 【探究2】 若集合＝{x |x 2＋2x －a ＝0}＝∅，求a 的取值范围． 解 由题意知方程x 2＋2x －a ＝0无实根，故Δ＝4＋4a <0，解得a <－1. 【探究3】 设集合A ＝{1,2}，若B ⊆A ，求B . 解 B ＝∅或{1}或{2}或{1,2}．【探究4】 设集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x |x 2＋2(a －1)x ＋(a 2－5)＝0}． (1)若A ∩B ＝{2}，求实数a 的值； (2)若A ∪B ＝A ，求实数a 的取值范围．解 (1)由题可知：A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}＝{1,2}，∵A ∩B ＝{2}，∴2∈B ，将2带入集合B 中得：4＋4(a －1)＋(a 2－5)＝0，解得：a ＝－5或a ＝1.当a ＝－5时，集合B ＝{2,10}符合题意； 当a ＝1时，集合B ＝{2，－2}，符合题意． 综上所述：a ＝－5或a ＝1.(2)若A ∪B ＝A ，则B ⊆A ，∵A ＝{1,2}，∴B ＝∅或B ＝{1}或{2}或{1,2}． 若B ＝∅，则Δ＝4(a －1)2－4(a 2－5)＝24－8a <0，解得a >3； 若B ＝{1}，则⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＝24－8a ＝0，x ＝－2(a －1)2＝1－a ＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，a ＝0，不成立； 若B ＝{2}，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝24－8a ＝0，x ＝－2(a －1)2＝1－a ＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，a ＝－1，不成立； 若B ＝{1,2}，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝24－8a >0，1＋2＝－2(a －1)，1×2＝a 2－5，即⎩⎪⎨⎪⎧a <3，a ＝－12，a ＝±7，此时不成立，综上a >3.规律方法 利用集合交集、并集的性质解题的依据及关注点 (1)依据：A ∩B ＝A ⇔A ⊆B ，A ∪B ＝A ⇔B ⊆A .(2)关注点：当集合A ⊆B 时，若集合A 不确定，运算时要考虑A ＝∅的情况，否则易漏解．【训练3】 已知集合A ＝{x |2a ≤x ≤a ＋3}，B ＝{x |x ＜－1或x ＞5}，若A ∩B ＝∅，求实数a 的取值范围．解 由A ∩B ＝∅，(1)若A ＝∅，有2a ＞a ＋3，∴a ＞3. (2)若A ≠∅，如下图：∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ≥－1，a ＋3≤5，2a ≤a ＋3，解得－12≤a ≤2.综上所述，a 的取值范围是{a |－12≤a ≤2或a ＞3}．课堂达标1．设集合A ＝{0,1,2,3}，集合B ＝{2,3,4}，则A ∩B ＝( ) A ．{2,3} B ．{0,1}C ．{0,1,4}D ．{0,1,2,3,4}解析 因为集合A ＝{0,1,2,3}，集合B ＝{2,3,4}，所以A ∩B ＝{2,3}，故选A ． 答案 A2．已知集合A ＝{x |－1≤x <3}，B ＝{x |2<x ≤5}，则A ∪B ＝( ) A ．{x |2<x <3} B ．{x |－1≤x ≤5} C ．{x |－1<x <5}D ．{x |－1<x ≤5}解析 ∵集合A ＝{x |－1≤x <3}，B ＝{x |2<x ≤5}，∴A ∪B ＝{x |－1≤x ≤5}，故选B ． 答案 B3．已知集合M ＝{－1,0}，则满足M ∪N ＝{－1,0,1}的集合N 的个数是( ) A ．2B ．3C ．4D ．8解析 由M ∪N ＝{－1,0,1}，得到集合M ⊆M ∪N ，且集合N ⊆M ∪N ，又M ＝{0，－1}，所以元素1∈N ，则集合N 可以为{1}或{0,1}或{－1,1}或{0，－1,1}，共4个．故选C ．答案 C4．设集合A ＝{(x ，y )|y ＝ax ＋1}，B ＝{(x ，y )|y ＝x ＋b }，且A ∩B ＝{(2,5)}，则( ) A ．a ＝3，b ＝2 B ．a ＝2，b ＝3 C ．a ＝－3，b ＝－2D ．a ＝－2，b ＝－3解析 ∵A ∩B ＝{(2,5)}，∴⎩⎪⎨⎪⎧5＝2a ＋1，5＝2＋b ，解得a ＝2，b ＝3，故选B ．答案 B5．已知集合A ＝{x |3≤x <7}，B ＝{x |2<x <10}，C ＝{x |x <3或x ≥7}，求： (1)A ∪B ；(2)C ∩B .解 (1)由集合A ＝{x |3≤x <7}，B ＝{x |2<x <10}，把两集合表示在数轴上如图所示：得到A ∪B ＝{x |2<x <10}；(2)由集合B ＝{x |2<x <10}，C ＝{x |x <3或x ≥7}，把两集合表示在数轴上如图所示：则C ∩B ＝{x |2<x <3或7≤x <10}．课堂小结1．对并集、交集概念的理解(1)对于并集，要注意其中“或”的意义，“或”与通常所说的“非此即彼”有原则性的区别，它们是“相容”的．“x ∈A ，或x ∈B ”这一条件，包括下列三种情况：x ∈A 但x ∉B ；x ∈B 但x ∉A ；x ∈A 且x ∈B .因此，A ∪B 是由所有至少属于A ，B 两者之一的元素组成的集合．(2)A ∩B 中的元素是“所有”属于集合A 且属于集合B 的元素，而不是部分，特别地，当集合A 和集合B 没有公共元素时，不能说A 与B 没有交集，而是A ∩B ＝∅.2．集合的交、并运算中的注意事项(1)对于元素个数有限的集合，可直接根据集合的“交”、“并”定义求解，但要注意集合元素的互异性．(2)对于元素个数无限的集合，进行交、并运算时，可借助数轴，利用数轴分析法求解，但要注意端点值取到与否．。
【人教版】2019年秋高中数学必修1全套精品教学案
【人教版】高中数学必修1 全套精品教学案第一章集合与函数第1课时集合的含义与表示【教学目标】要求学生初步了解集合的含义，体会元素与集合间的关系，掌握集合的表示法，知道常用数集及其记法.【重点难点】重点:集合的含义与表示法.难点：表示法的恰当选择.【教学过程】一、情景设置实例引入：(1) 1～20以内的所有素数.(2) 我国从1991～2003的13年内所发射的所有人造卫星.(3) 金星汽车厂2003年生产的所有汽车.(4) 2004年1月1日之前与我国建立外交关系的所有国家.(5) 所有的正方形.(6) 忻州一中2008年8月15日入学的高一全体学生.(7) 方程的x2+3x-3=0所有实数解.(8) 到直线l的距离等于定长d的所有的点结论：一般地，我们把研究对象统称为元素；把一些元素组成的总体叫做集合，也简称集.二、探索研究问题1：元素与集合的关系如何描述？若a是集合A中的元素,记做_______.若a不是集合A中的元素,记做_______.问题2：1～20以内的所有素数如何表示？答____________(列举法)问题3：你能用列举法表示不等式x-7<3的解集吗？答___________(不能)问题4：集合元素有什么特征？①对于集合A={1,3,5},3、7是否是A中的元素？答___________________②{忻州一中年龄较小的学生}是否表示一个集合？答__________________由此得集合中的元素具有__________性.③A={2，2，4}表示是否准确?答__________________由此得集合元素具有__________性.④A={太平洋,大西洋},B={大西洋,太平洋}是否表示同一个集合?答_______由此得集合元素具有__________性.同时得出：如果两个集合的元素是一样的，就称两个集合相等.问题5：常用数集如何表示？自然数集——______;正整数集——____(_____);整数集——_______;有理数集——______;实数集——_______.三、教学精讲用列举法、描述法表示集合，应注意些什么?例：试分别用列举法、描述法表示下列集合：①小于10的所有自然数组成的集合;②方程x2=x的所有实数根组成的集合;③由1～20以内的所有素数组成的集合;④由大于10小于20的所有整数组成的集合四、课堂练习课本P5练习五、本节小结集合的概念、表示；集合元素与集合间的关系；常用数集的记法.注意：(1)描述法表示集合应注意集合的代表元素(2)只要不引起误解集合的代表元素也可省略【教学后记】第2课时集合间的基本关系【教学目标】让学生初步了解子集的概念及其表示方法,同时了解相等集合、真子集和空集的有关概念，以及集合的Venn图.【重点难点】重点:子集、真子集概念及它们的联系与区别；空集概念以及与一般集合间的关系.难点：空集的概念以及与一般集合间的关系.【教学过程】一、情景设置复习引入1、元素与集合的关系2、常用数集3、集合表示实例：观察下面实例:你能发现两个集合间的关系吗？1、A={1,2,3} B={1,2,3,4,5}；2、设A为新华中学高一(2)班全体女生组成的集合，B为这个班全体学生组成的集合3、设C={x|x是两条边相等的三角形}，D={x|x是等腰三角形}二、探索研究1．由实例中的(1),(2) 观察两个集合的关系子集定义:记作：读作：真子集定义:记作：读作：2．由实例中的(3)，发现两个集合的相等关系集合相等定义：3．简述Venn图：4．方程x2＋1＝0的所有实数根组成的集合如何表示？空集的定义：记作：规定：空集是的子集，空集是的真子集。
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第一章 集 合1 、1、1集合的含义第一部分 走进预习【预习】教材第3-5页1、查阅大数学家康托尔（Contor ）的材料。
2、初步掌握：①集合、元素的概念；集合如何按元素个数分类？②集合、元素的记法③元素与集合的关系④集合的性质。
第二部分 走进课堂【探索新知】在小学、初中我们就接触过“集合”一词。
例子：（1）自然数集合、正整数集合、实数集合等。
（2）不等式0722>--x x 解的集合（简称解集）。
（3）方程0232=+-x x 解的集合。
（4）到角两边距离相等的点的集合。
（5）二次函数2x y = 图像上点的集合。
（6）锐角三角形的集合（7）二元一次方程12=+y x 解的集合。
（8）某班所有桌子的集合。
现在，我们要进一步明确集合的概念。
问题1、从字面上看，怎样解释“集合”一词？2、如果上面例子中的数、点、图形、数对和物体等称为“研究对象”，那么集合又是什么呢？ 知识点一：1、集合、元素的概念再看例子（9）质数的集合。
（10）反比例函数x y 1=图像上所有点。
（11）2x 、2y xy +、22y - （12）所有周长为20厘米的三角形。
问题3、从集合中元素个数看，上面例子（1）（2）（4）（5）（6）（7）（9）（10）（12）与例子（3）（8）（11）有什么不同？知识点一 2、有限集和无限集指出：集合论是德国数学家Cantor （1845～1918）在十九世纪创立的，集合知识是现代数学的基本语言，为进一步研究数学提供了极大的便利。
知识点二 集合、元素的记法问题4、（1）集合、元素各用什么样的字母表示？（2）N 、)(+*N N 、Z 、Q 、R 等各表示什么集合？知识点三 元素与集合的关系阅读教材填空:如果a 是集合A 的元素 ， 就记作_________，读作“____________”；如果a 不是集合A 的元素，就记作__ ____，读作“______ _____”.再用∈或∉填空：1、6______N ，23-______Q ， 31_______Z ，14.3_______Q π_______Q ， 2、设不等式012>-x 的解集为A ，则 5_______A , 3-_______A3、012=+-y x 的解集为B ，则)4,1(-_______B , )3,1(_______B , 2-_______B问题5、元素a 与集合A 有几种可能的关系？知识点四 集合的性质确定性：例子1、下列整体是集合吗？①个子高的人的全体。
②某本数学资料中难题的全体。
③中国境内的海拔高的山峰的全体。
2、集合A 中的元素由∈Z,b ∈Z)组成，判断下列元素与集合A 的关系？（1）0 （2（3（活动形式：组内合作 组间交流）②互异性：例子、集合M 中的元素为1，x ，x2-x ，求x 的范围？（活动形式：独立完成 小组内讨论 小组间交流展示）③无序性：反思总结:【课堂检测】1、实数x,－x,｜x ｜,332,x x -是集合P 中的元素，则P 最多含（ ）A 2个元素B 3个元素C 4个元素D 5个元素2、设a 、b 都是非零实数，y=||a a +||b b +||ab ab可能的取值为（ ）A.3B. 3,2,1C. 3，1，-1D. 3，-1反思总结:【拓展提升】--活动与探究数集A 满足条件：若a ∈A ，则a -11∈A （a ≠1）.（1）若2∈A ，试求出A 中其他所有元素.（2）设a ∈A ，写出A 中所有元素.第三部分 走向课外【课后作业】1、设一边长为1且有一内角为40°的等腰三角形组成集合P ，试问P 中有多少个元素?3. 已知集合A 有三个元素2+a ，2)1(+a ，332++a a （1）若1A ∈，则集合A 中还有哪些元素？（2）若1A ∉，则a 应满足什么条件?【质疑与收获】1、1、2集合的表示法第一部分 走进预习【预习】教材第5-7页回答下列问题：1、什么是列举法？举例说明如何用列举法表示集合？2、什么是描述法？举例说明如何用描述法表示集合？第二部分 走进课堂【复习检测】 一、集合、元素的概念；集合如何按元素个数分类？二、集合、元素的记法三、元素与集合的关系四、集合的性质。
问题：1、在初中我们曾用 表示*N , 但是象抛物线2x y =上的点的集合、实数集等又怎样表示呢？2、在初中人们常说不等式013<+-x 的解集为31>x ，但在高中这样的说法就是不恰当的，究竟应该这样表示这些集合呢？【探索新知】集合的表示法知识点一 列举法1、从字面上看“列举法”的含义。
2、从教材中获取列举法的定义。
例1、用列举法表示下列集合（1）方程0232=+-x x 解的集合。
（2）24与18的公约数的集合。
（3）大于5且小于30的质数的集合。
（4）二元一次方程102=+y x 的正整数解的集合。
又如：下列集合也可以用列举法表示（1）自然数集（2）正整数的倒数集合（3）小于50的且被3除余1的正整数的集合。
问题1、下列集合可以用列举法表示吗？（1）直角三角形的集合。
（2）不等式2321->-+x x 的解集。
（3）某农场的拖拉机的集合。
知识点二 描述法1、从字面上看“描述法”的含义。
2、从教材中获取描述法的定义。
3、用描述法表示集合的具体操作方法。
例2、用描述法表示下列集合（1）直角三角形的集合。
（2）不等式2321->-+xx 的解集。
（3）不等式21324x x x >+-+的解集。
（4）方程0232=+-x x 解的集合。
方程012=+x 解的集合。
问题2、设方程012=+x 解的集合为φ，φ中有元素吗?你能再举一些这方面的例子吗？（5）二元一次方程12=-y x 的解的集合。
（6）二元一次方程组⎩⎨⎧=-=+422y x y x 的解集。
（7）抛物线12+=x y 上点的集合。
二次函数12+=x y 的函数值y 的集合。
二次函数12+=x y 的自变量x 的取值范围。
（8）被3除余1的整数的集合。
指出：有些集合还可以用Venn 图表示。
例如、下列集合可以用Venn 图表示① {}9,7,4,1 ② {} 9,7,4,1反思总结:【课堂检测】1、下列集合中哪些具有相同的元素？{}1|2-==x y x A {}1|),(2-==x y y x B {}1|2-==x y y C {}12-==x y D {}1|-≥=x x E {}R t t y y F ∈-==,1|2， {}R y y x x G ∈-==,1|2；2.关于方程组⎩⎨⎧=-=+31y x y x 的解集,下面表达正确的是________. ①{(x,y)|⎩⎨⎧x=2y=-1} ； ②{(2,-1)} ； ③{(x,y)| (2,-1)}； ④{2,-1}【拓展提升】：试用列举法表示下列集合(1)A={x N ∈ |126N x ∈-} (2)已知B={126N x ∈-｜x N ∈}第三部分 走向课外【课后作业】1．用列举法表示下列集合（1） A={x|x=2n n ∈Z }； B={x|x=2n-4 n ∈Z }；C={x|x=4n n ∈NZ}； D={x|x=4n+2 n ∈NZ}；(2) A={x|x=2n-1 n ∈Z }； B={x|x=2n+1 n ∈Z}；C={x|x=4n ±1 n ∈Z}； D={x|x=2n+1 n ∈N }；2．用列举法表示下列集合(1)由||||(,)a b a b R a b +∈所确定的实数集合.(2) {(x,y)|3x+2y=16，x∈N，y∈N }.3．设A={x∈R|ax2+2x+1=0,a∈R}①若A= ,求a的值；②若A中只有一个元素,求a的值；③若A中至多有一个元素,求a的取值集合.【质疑与收获】1、2集合之间的关系1、2、1 子集与真子集第一部分走进预习【预习】阅读教材第10-14页，试回答下列问题1、子集的概念及记法2、集合相等的定义集具备____________3、真子集的概念及记法4、子集、真子集的图形表示5．子集、真子集的性质①空集∅与集合A的关系②子集、真子集的传递性【质疑】本节内容我有哪些疑问？第二部分走进课堂1、2、1 子集与真子集【复习检测】1、⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧集合的性质元素与集合的关系集合、元素的记法集合、元素的概念集合的含义2、⎪⎩⎪⎨⎧图法描述法列举法集合的表示法ennV问题：1、实数之间存在着相等或不等关系，那么集合间又有怎样的相等或不等关系呢？2、元素与集合间是“属于”或“不属于”的关系，那么集合间还是这样的关系吗？【探索新知】知识点一子集的定义阅读下列一段话：已知{}3,2,1=A，{}5,4,3,2,1=BA中任意一个元素都在B中，就说A包含于B，记作BA⊆（或B 包含A）；也说A 是B 的子集。
在下列个题中指出哪个集合是哪个集合的子集：1、N ,*N (或+N ),Z ,Q ,R2、①{}1|->=x x A ，{}2|>=x x B②{}3|->=x x A ，{}21|<<-=x x B③{}53|<<-=x x A ，{}21|<<-=x x B④{}3x 1|>-<=或x x A ，{}21|><=x x x B 或3、{}是三角形x |x U =，{}是锐角三角形x |x A =，{}是钝角三角形x |x B = {}是直角三角形x |x C =，{}是斜三角形x |x D = 问题：集合A 是集合A 的子集吗？指出：对任意的N n ∈,n ≤0，类比可以规定：φ是任何集合A 的子集，即A ⊆φ。
知识点二集合相等的定义例子、{}01|2=-=x x A ，{}1,1-=B 问题：集合A 是集合B 的子集吗? 集合B 又是集合A 的子集吗?结论：集合A 是集合B 的子集，同时集合B 又是集合A 的子集，即集合A 和集合B 有相同的元素，就说集合A 与集合B 相等。
B A A B B A =⇔⎭⎬⎫⊆⊆下列两个集合相等吗？1、{}023|2=+-=x x x A ,{}30|<<∈=x Z x B 2、{}30|<<=x x A ,{}30|<<∈=x Z x B3、{}51-3|>=x x A ,{}2|>=x x B知识点 三真子集的定义阅读下列一段话：已知{}3,2,1=A ，{}5,4,3,2,1=BB A ⊆且B A ≠（或者说B A ⊆且B 中至少有一个元素不在A 中），则说A 是B 的真子集，记作B A ⊂。
在下列个题中指出哪个集合是哪个集合的真子集：1、N ,*N (或+N ),Z ,Q ,R2、①{}1|->=x x A ，{}2|>=x x B②{}3|->=x x A ，{}21|<<-=x x B③{}53|<<-=x x A ，{}21|<<-=x x B④{}3x 1|>-<=或x x A ，{}21|><=x x x B 或3、{}是三角形x |x U =，{}是锐角三角形x |x A =，{}是钝角三角形x |x B = {}是直角三角形x |x C =，{}是斜三角形x |x D =应该指出：1、子集、集合相等和真子集可以用Venn 图表示。