3.2立体几何中的向量方法第1课时
人教A版选修2-1第三章第八课时同步练习3.2立体几何中的向量方法(1)
§3.2立体几何中的向量方法（1）一、选择题1．若平面α、β的法向量分别为a ＝⎝⎛⎭⎫12，－1，3，b ＝(－1，2 , 6)，则( )A ．α∥βB ．α与β相交但不垂直C ．α⊥βD ．α∥β或α与β重合2．直线l 1、l 2的方向向量分别为a ＝(1,2，－2)，b ＝(－2，3,2)，则( )A ．l 1∥l 2B ．l 1与l 2相交，但不垂直C ．l 1⊥l 2D ．不能确定3．在如图所示的坐标系中，ABCD －A 1B 1C 1D 1为正方体，给出下列结论：①直线DD 1的一个方向向量为(0,0,1)．②直线BC 1的一个方向向量为(0,1,1)．③平面ABB 1A 1的一个法向量为(0,1,0)．④平面B 1CD 的一个法向量为(1,1,1)．其中正确的个数为( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．已知空间四边形ABCD 中，AC ＝BD ，顺次连结各边中点P 、Q 、R 、S ，如图，所得图形是( )A ．长方形B ．正方形C ．梯形D ．菱形5．若直线l 1、l 2的方向向量分别为a ＝(1,2，－2)，b ＝(－3，－6,6)，则( )A ．l 1∥l 2B ．l 1⊥l 2C ．l 1、l 2相交但不垂直D ．不能确定 6．若a ＝(1,2,3)是平面γ的一个法向量，则下列向量中能作为平面γ的法向量的是( )A ．(0,1,2)B ．(3,6,9)C ．(－1，－2,3)D ．(3,6,8)7．如果一条直线l 与平面α内的两条直线垂直，那么l 与α的位置关系是( )A ．平行B ．垂直C ．l ⊂αD ．不确定8．平面的一条斜线和这个平面所成的角θ的范围是( )A ．0°<θ<180°B ．0°≤θ≤90°C ．0°<θ≤90°D ．0°<θ<90°二、填空题9．如果三点A (1,5，－2)，B (2,4,2)，C (a,3，b ＋2)在同一直线上，那么a ＝______，b ＝_______.10．平面α的法向量u ＝(x,1，－2)，平面β的法向量v ＝⎝⎛⎭⎫－1，y ，12，已知α∥β， 则x ＋y ＝________.11．已知平面α经过三点A (1,2,3)，B (2,0，－1)，C (3，－2，0)，则平面α的一个法向量是________(写出一个即可)．12．已知空间直角坐标系O －xyz 中的点A (1,1,1)，平面α过点A 并且与直线OA 垂直，动点P (x ，y ，z )是平面α内的任一点，则点P 的坐标满足的条件为________．三、解答题13．在底面为正方形的四棱锥P －ABCD 中，E 是PC 中点，求证：P A ∥平面EDB .14．如图， 正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面边长为22，侧棱长为4，E ，F 分别是棱AB 、BC 的中点，EF ∩BD ＝G .求证：平面B 1EF ⊥平面BDD 1B 1.参考答案1．[答案] D[解析] ∵b ＝－2a ，∴b ∥a ，∴α∥β或α与β重合．2．[答案] C[解析] ∵a ·b ＝0，∴a ⊥b ，∴l 1⊥l 2.3．[答案] C[解析] DD 1∥AA 1，AA 1→＝(0,0,1)；BC 1∥AD 1，AD 1→＝(0,1,1)，直线AD ⊥平面ABB 1A 1，AD →＝(0,1,0)；C 1点坐标为(1,1,1)，AC 1→与平面B 1CD 不垂直，∴④错．4．[答案] D[解析] ∵PQ →＝BQ →－BP →＝12BC →－12BA →＝12AC →. 同理SR →＝12AC →，∴PQ →＝SR →， ∴四边形PQRS 为平行四边形，又∵PS →＝AS →－AP →＝12AD →－12AB →＝12BD →， ∴|PS →|＝12|BD →|，即PS ＝12BD ， 又|PQ →|＝12|AC →|，∴PQ ＝12AC ， ∵AC ＝BD ，∴PS ＝PQ ，∴四边形ABCD 为菱形．5．[答案] D[解析] ∵a ＝(1,2，－2)，b ＝(－3，－6,6)，∴b ＝－3a ，∴l 1∥l 2或l 1与l 2重合，故选D.6．[答案] B[解析] 因为(3,6,9)＝3(1,2,3)＝3a ，即向量(3,6,9)与a 平行，故(3,6,9)能作为平面γ的法向量．7．[答案] D[解析] 直线和平面可能的位置关系是平行，垂直，在平面内，故选D.8．[答案] D [解析] 由斜线和平面所成的角定义知选D.二、填空题9． [答案] 3 210． [答案] 154[解析] ∵α∥β，∴u ∥v ，∴x －1＝1y＝－212， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝4y ＝－14，∴x ＋y ＝154. 11． [答案] 形如(2k ，k,0) (k ≠0)的都可以[解析] 因为A (1,2,3)，B (2,0，－1)，C (3，－2,0)，所以AB →＝(1，－2，－4)，AC →＝(2，－4，－3)．设平面α的法向量是n ＝(x ，y ，z )，依题意，应有n ·AB →＝0且n ·AC →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x －2y －4z ＝0，2x －4y －3z ＝0.解得z ＝0且x ＝2y . 令y ＝1，则x ＝2，所以平面α的一个法向量是n ＝(2,1,0)．(答案不唯一)12．[答案] x ＋y ＋z ＝3[解析] 由题意知，OA ⊥α，直线OA 的方向向量OA →＝(1,1,1)，因为P ∈α，∴OA →⊥AP →，∴(1,1,1)·(x －1，y －1，z －1)＝0，∴x ＋y ＋z ＝3.三、解答题13．[证明] 设DA →＝a ，DC →＝b ，DP →＝c ，则DE →＝12(b ＋c )，DB →＝12(a ＋b )，P A →＝a －c ， ∵P A →＝2DB →－2DE →，∴P A →与DB →、DE →共面，∵DB →、DE →不共线，P A ⊄平面BDE .∴P A ∥平面BDE .14．[解析] 以D 为原点，DA 、DC 、DD 1分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，由题意知：D (0,0,0)，B 1(22，22，4)，E (22，2，0)，F (2，22，0)， B 1E →＝(0，－2，－4)，EF →＝(－2，2，0)．设平面B 1EF 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )． 则n ·B 1F →＝－2y －4z ＝0，n ·EF →＝－2x ＋2y ＝0. 解得x ＝y ，z ＝－24y ，令y ＝1得n ＝(1,1，－24)，又平面BDD 1B 1的一个法向量为AC →＝(－22，22，0)而n ·AC →＝1×(－22)＋1×22＋(－24)×0＝0即n ⊥AC →.∴平面B 1EF ⊥平面BDD 1B 1.。
高中数学选修2-1配套(课件+检测)：3.2立体几何中的向量方法3.2 第1课时
第三章 3.2 第1课时A 级 基础巩固一、选择题1．若直线l 的方向向量为a ＝(1,0,2)，平面α的法向量为u ＝(－2,0，－4)，则导学号 21324937( B )A ．l ∥αB ．l ⊥αC ．l ⊂αD ．l 与α斜交[解析] ∵u ＝－2a ，∴u ∥a ，∴l ⊥α.2．在如图所示的坐标系中，ABCD －A 1B 1C 1D 1为正方体，给出下列结论：①直线DD 1的一个方向向量为(0,0,1)；②直线BC 1的一个方向向量为(0,1,1)；③平面ABB 1A 1的一个法向量为(0,1,0)；④平面B 1CD 的一个法向量为(1,1,1)． 其中正确的个数为导学号 21324938( C )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个[解析] DD 1∥AA 1，AA 1→＝(0,0,1)；BC 1∥AD 1，AD 1→＝(0,1,1)，直线AD ⊥平面ABB 1A 1，AD →＝(0,1,0)；C 1点坐标为(1,1,1)，AC 1→与平面B 1CD 不垂直，∴④错．3．(2017·菏泽高二检测)已知A (1，－3,5)，B (－1，－1,4)是直线l 上两点，则下列可作为直线l 的方向向量的是导学号 21324939( B )A ．(1,1,0)B ．(4，－4,2)C ．(－3，－3,0)D ．(4,4,2)4．(2017·福州高二检测)已知向量n ＝(2,3，－1)是平面α的一个法向量，则下列向量中能作为平面α的法向量的是导学号 21324940( D )A ．(0,3，－1)B ．(2,0，－1)C ．(－2,3，－1)D ．(－2，－3,1)5．已知向量a ＝(2,4,5)、b ＝(5，x ，y )分别是直线l 1、l 2的方向向量，若l 1∥l 2，则导学号 21324941( D )A ．x ＝6，y ＝15B ．x ＝3，y ＝152C ．x ＝10，y ＝15D ．x ＝10，y ＝252[解析] ∵l 1∥l 2，∴a ∥b ，∴52＝x 4＝y 5，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝10y ＝252.6．设平面α的法向量为(1,2，－2)，平面β的法向量为(－2，－4，k )，若α∥β，则k ＝导学号 21324942( C )A ．2B ．－4C ．4D ．－2[解析] ∵α∥β，∴1－2＝2－4＝－2k，∴k ＝4，故选C ． 二、填空题7．已知A 、B 、C 三点的坐标分别为A (1,2,3)、B (2，－1,1)、C (3，λ，λ)，若AB →⊥AC →，则λ等于 145.导学号 21324943 [解析] AB →＝(1，－3，－2)、AC →＝(2，λ－2，λ－3)，∵AB →⊥AC →，∴AB →·AC →＝0，∴2－3(λ－2)－2(λ－3)＝0，解得λ＝145. 8．已知直线l 的方向向量为u ＝(2,0，－1)，平面α的一个法向量为v ＝(－2,1，－4)，则l 与α的位置关系为_l ∥α或l ⊂α__.导学号 21324944[解析] u ·v ＝2×(－2)＋0×1＋(－1)×(－4)＝0，∴l ∥α或l ⊂α.三、解答题9.如图，已知P 是正方形ABCD 所在平面外一点，M 、N 分别是P A 、BD 上的点，且PM ︰MA ＝BN ︰ND ＝5︰8.求证：直线MN ∥平面PBC .导学号 21324945[证明] MN →＝MP →＋PB →＋BN →＝－PM →＋PB →＋BN →＝－513P A →＋PB →＋513BD → ＝－513(BA →－BP →)＋PB →＋513(BA →＋BC →) ＝513BP →－BP →＋513BC →＝513BC →－813BP →， ∴MN →与BC →、BP →共面，∴MN →∥平面BCP ，∵MN ⊄平面BCP ，∴MN ∥平面BCP .10.(2017·枣庄高二检测)如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是边长为1的菱形，∠ABC ＝π4，P A ⊥底面ABCD ，P A ＝2，点M 为P A 的中点，点N 为BC 的中点．AF ⊥CD 于F ，如图建立空间直角坐标系．求出平面PCD 的一个法向量并证明MN ∥平面PCD .导学号 21324946[解析] 由题设知：在Rt △AFD 中，AF ＝FD ＝22， A (0,0,0)，B (1,0,0)，F (0，22，0)，D (－22，22，0)， P (0,0,2)，M (0,0,1)，N (1－24，24，0)． MN →＝(1－24，24，－1)，PF →＝(0，22，－2)． PD →＝(－22，22，－2) 设平面PCD 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧ n ·PF →＝0，n ·PD →＝0⇒⎩⎨⎧ 22y －2z ＝0，－22x ＋22y －2z ＝0，令z ＝2，得n ＝(0,4，2)．因为MN →·n ＝(1－24，24，－1)·(0,4，2)＝0， 又MN ⊄平面PCD ，所以MN ∥平面PCD .B 级 素养提升一、选择题1．下面各组向量为直线l 1与l 2方向向量，则l 1与l 2一定不平行的是导学号 21324947( D )A ．a ＝(1,2，－2)、b ＝(－2，－4,4)B ．a ＝(1,0,0)、b ＝(－3,0,0)C ．a ＝(2,3,0)、b ＝(4,6,0)D ．a ＝(－2,3,5)、b ＝(－4,6,8)[解析] l 1与l 2不平行则其方向向量一定不共线．A 中：b ＝－2a ，B 中：b ＝－3a ，C 中：b ＝2a .故选D ．2．(2017·甘肃天水一中高二期末测试)两个不重合平面的法向量分别为v 1＝(1,0，－1)、v 2＝(－2,0,2)，则这两个平面的位置关系是导学号 21324948( A )A ．平行B ．相交不垂直C ．垂直D ．以上都不对[解析] ∵v 1＝(1,0，－1)，v 2＝(－2,0,2)，∴v 2＝－2v 1，∴v 1∥v 2，∴两个平面平行．3．已知点A (4,1,3)、B (2，－5,1)，C 为线段AB 上一点且|AC →||AB →|＝13，则点C 的坐标为导学号 21324949( C )A ．(72，－12，52)B ．(38，－3,2)C ．(103，－1，73)D ．(52，－72，32) [解析] ∵C 在线段AB 上，∴AC →∥AB →，∴设C (x ，y ，z )，则由|AC →||AB →|＝13得，(x －4，y －1，z －3)＝13(2－4，－5－1，1－3)， 即⎩⎨⎧x －4＝－23y －1＝－2z －3＝－23，解得⎩⎨⎧ x ＝103y ＝－1z ＝73. 故选C ． 4．对于任意空间向量a ＝(a 1，a 2，a 3)、b ＝(b 1，b 2，b 3)，给出下列三个命题： ①a ∥b ⇔a 1b 1＝a 2b 2＝a 3b 3； ②若a 1＝a 2＝a 3＝1，则a 为单位向量； ③a ⊥b ⇔a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0. 其中真命题的个数为导学号 21324950( B ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3[解析] 由a 1b 1＝a 2b 2＝a 3b 3⇒a ∥b ，反之不一定成立，故①不正确；②显然错误；③是正确的，故选B ．二、填空题5．过点A (1,0,0)、B (0,1,0)、C (0,0,1)的平面的一个法向量为_(1,1,1)__.导学号 21324951[解析] 设法向量n ＝(x ，y,1)，由⎩⎪⎨⎪⎧ n ·AB →＝0n ·AC →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ －x ＋y ＝0－x ＋1＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝1.∴n ＝(1,1,1)． 6．在空间直角坐标系O －xyz 中，已知A (1，－2,3)、B (2,1，－1)，若直线AB 交平面xOz 于点C ，则点C 的坐标为___(53，0，13)___.导学号 21324952 [解析] 设点C 的坐标为(x,0，z )，则AC →＝(x －1,2，z －3)，AB →＝(1,3，－4)，因为AC →与AB→共线，所以x －11＝23＝z －3－4，解得⎩⎨⎧ x ＝53z ＝13，所以点C 的坐标为(53，0，13)． 三、解答题 7．设a 、b 分别是不重合的直线l 1、l 2的方向向量，根据下列条件判断l 1，l 2的位置关系：导学号 21324953(1)a ＝(4,6，－2)、b ＝(－2，－3,1)；(2)a ＝(5,0,2)、b ＝(0,1,0)；(3)a ＝(－2，－1，－1)、b ＝(4，－2，－8)．[解析] (1)∵a ＝(4,6，－2)、b ＝(－2，－3,1)，∴a ＝－2b ，∴a ∥b ，∴l 1∥l 2.(2)∵a ＝(5,0,2)、b ＝(0,1,0)，∴a ·b ＝0，a ⊥b ，∴l 1⊥l 2.(3)∵a ＝(－2，－1，－1)，b ＝(4，－2，－8)，∴a 与b 不共线也不垂直．∴l 1与l 2相交或异面．8．已知三棱锥P －ABC ，D 、E 、F 分别为棱P A 、PB 、PC 的中点，求证：平面DEF ∥平面ABC .导学号 21324954[证明] 证法一：如图．设PD →＝a ，PE →＝b ，PF →＝c ，则由条件知，P A →＝2a ，PB →＝2b ，PC →＝2c ，设平面DEF 的法向量为n ，则n ·DE →＝0，n ·DF →＝0，∴n ·(b －a )＝0，n ·(c －a )＝0，∴n ·AB →＝n ·(PB →－P A →)＝n ·(2b －2a )＝0，n ·AC →＝n ·(PC →－P A →)＝n ·(2c －2a )＝0，∴n ⊥AB →，n ⊥AC →，∴n 是平面ABC 的法向量，∴平面DEF ∥平面ABC .证法二：设PD →＝a ，PE →＝b ，PF →＝c ，则P A →＝2a ，PB →＝2b ，PC →＝2c ，∴DE →＝b －a ，DF →＝c －a ，AB →＝2b －2a ，AC →＝2c －2a ，对于平面ABC 内任一直线l ，设其方向向量为e ，由平面向量基本定理知，存在唯一实数对(x ，y )，使e ＝xAB →＋yAC →＝x (2b －2a )＋y (2c －2a )＝2x (b －a )＋2y (c －a )＝2xDE →＋2yDF →，∴e 与DE →、DF →共面，即e ∥平面DEF ，∴l ⊄平面DEF ，∴l ∥平面DEF .由l 的任意性知，平面ABC ∥平面DEF .C 级 能力拔高在正四棱锥P －ABCD 中，底面正方形边长为32，棱锥的侧棱长为5，E 、F 、G 分别为BC 、CD 、PC 的中点，用向量方法证明下列问题.导学号 21324955(1)EF ⊥P A ；(2)EF ∥平面PBD ；(3)直线P A 与平面EFG 不平行．[解析] 设AC 与BD 的交点为O ，∵P －ABCD 为正四棱锥，∴PO ⊥平面ABCD ，且AC ⊥BD ，以O 为原点，OB ，OC 、OP 分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，∵正方形ABCD 边长为32，∴OB ＝OC ＝3，又PC ＝5，∴OP ＝4，∴A (0，－3,0)、B (3,0,0)、C (0,3,0)、D (－3,0,0)、P (0，0,4)．(1)∵E 、F 分别为BC 、CD 的中点，∴E (32，32，0)、F (－32，32，0)，∴EF →＝(－3,0,0)、P A →＝(0，－3，－4)，EF →·P A →＝0，∴EF ⊥P A .(2)显然OC →＝(0,3,0)为平面PBD 的一个法向量，∵EF →·OC →＝0，∴EF ∥平面PBD .(3)∵G 为PC 中点，∴G (0，32，2)，设平面EFG 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则n ·EF →＝0，n ·EG →＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －3x ＝0－32x ＋2z ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0z ＝0. 取n ＝(0,1,0)，∵n ·P A →＝－3≠0，∴P A 与平面EFG 不平行．。
3.2立体几何中的向量方法(位置关系)
一、直线的方向向量
把直线 l 上的向量 e 以及与 e 共线的 向量叫做直线 l 的方向向量
二、平面的法向量：
如果表示向量 n 的线段所在直线垂直于平面 则称这个向量垂直于平面
，记作 n
，
.
如果 n ，那么向量 n 叫平面 的法向量. 一个平面有无数个法向量，它们都是共线向量
练习：如图 ABCD是直角梯形 ABC 90, 1 SA AB BC 1，AD . 2 求平面 SCD与平面 ABA的法向量.
z
S
y
1 B 则D（ ， 0， 0）C（ 1， 1， 0）， S（ 0， 0， 1） 21 CD （ ， 1， 0）， SC （ 1， 1， 1） 2 A
1. 已知正三棱柱 ABC A1 B1C 1 D1的各棱长都为 1，M 是底面上 1 BC 边的中点， N 是侧棱 CC 1 上的点，且 CN CC 1 . 4 求证： AB1 MN .
A1 B1 A B M C1
N C
2. 如图，已知正方体 ABCD A1 B1C 1 D1中， P 为底面 对角线 BD 上一点，且 BP 3 PD ，Q 为棱 DD1 的中点， 求证： PQ 平面 A1QC 1 .
练习：如图 ABCD是直角梯形 ABC 90, 1 SA AB BC 1，AD . 2 求平面 SCD与平面 ABA的法向量.
解： AD、AB、AS是三条两两垂直的线段 以A为原点， AD、 AB、 AS的方向为 x、y、z轴的正方向建立坐标系 A xyz. 设平面 SCD的法向量为 n （x，y，z）
三、法向量的求法
例. 已知平面 经过三点A（ 1， 2， 3），B（ 2， 0， 1） ， C（ 3， 2， 0） ，求平面 的一个法向量.
高中数学第三章空间向量与立体几何3.2空间向量在立体几何中的应用课件1新人教B版选修2_1
各抒己见 百家争鸣
链接高考202X
强化作业： 在直三棱柱ABC－
A1B1C1中，∠ACB＝90°，2AC＝AA1＝ BC＝2，D为AA1上一点．
(1)若D为AA1的中点，求证：平面B1CD⊥平面B1C1D； (2)若二面角B1－DC－C1的大小为60°，求AD的长
前置作业反馈
立体几何中的向 量方法
如果a⊥，那么向量a叫做平面的法向量.
l a
二、怎样求平面法向量？
利用空间向量求空间角
题型一：线线角
异面直线所成角的范围：
0,
2
C
D
A D1
B
结论： cos | cos CD, AB |
题题型型二二：：线线面面角角
直线与平面所成角的范围： [0, ]
1、用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”。
（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间 向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几 何问题转化为向量问题； （化为向量问题）
（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的 位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；
（进行向量运算） （3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。
数乘 减法:三角形法则
运算 数乘:ka,k为正数,负数,零
具有大小和方向的量 数乘:ka,k为正数,负数,零
运 加法交换律 a b b a 算 加法结合律 律 (a b) c a (b c)
数乘分配律
k(a b) ka＋kb
加法交换律 a b b a 加法结合律
(a b) c a (b c) 数乘分配律 k(a b) ka＋kb
2
An
直线AB与平面α所成
B O
的角θ可看成是向量与 平面α的法向量所成的 锐角的余角，所以有
高中数学§3.2立体几何中的向量方法(一)——空间向量与平行关系
§3.2立体几何中的向量方法(一)——空间向量与平行关系课时目标 1.理解直线的方向向量与平面的法向量，并能运用它们证明平行问题.2.能用向量语言表述线线，线面，面面的平行关系．1．直线的方向向量直线的方向向量是指和这条直线________或______的向量，一条直线的方向向量有________个．2．平面的法向量直线l⊥α，取直线l的____________a，则向量a叫做平面α的__________．3．空间中平行关系的向量表示(1)线线平行设直线l，m的方向向量分别为a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)，且a2b2c2≠0，则l∥m ⇔______________⇔__________⇔________________________.(2)线面平行设直线l的方向向量为a＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量为u＝(a2，b2，c2)，则l∥α⇔________⇔__________⇔________________________.(3)面面平行设平面α，β的法向量分别为u＝(a1，b1，c1)，v＝(a2，b2，c2)，则α∥β⇔__________⇔__________⇔________________________.一、选择题1．若n＝(2，－3,1)是平面α的一个法向量，则下列向量能作为平面α的一个法向量的是()A．(0，－3,1) B．(2,0,1)C．(－2，－3,1) D．(－2,3，－1)2．若A(－1,0,1)，B(1,4,7)在直线l上，则直线l的一个方向向量为()A．(1,2,3) B．(1,3,2)C．(2,1,3) D．(3,2,1)3．已知平面α上的两个向量a＝(2,3,1)，b＝(5,6,4)，则平面α的一个法向量为() A．(1，－1,1) B．(2，－1,1)C．(－2,1,1) D．(－1,1，－1)4．从点A(2，－1,7)沿向量a＝(8,9，－12)的方向取线段长AB＝34，则B点的坐标为() A．(－9，－7,7) B．(18,17，－17)C．(9,7，－7) D．(－14，－19,31)5.在正方体ABCD—A1B1C1D1中，棱长为a，M、N分别为A1B、AC的中点，则MN与平面BB1C1C的位置关系是()A．相交B．平行C．垂直D．不能确定6．已知线段AB的两端点的坐标为A(9，－3,4)，B(9,2,1)，则与线段AB平行的坐标平面是()A ．xOyB ．xOzC ．yOzD ．xOy 或yOz二、填空题7．已知A (1,0,0)，B (0,1,0)，C (0,0,1)，则平面ABC 的单位法向量坐标为________________________．8．已知直线l 的方向向量为(2，m,1)，平面α的法向量为⎝⎛⎭⎫1，12，2，且l ∥α，则m ＝________. 9.如图，在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 、P 、Q 分别为棱AB 、CD 、BC 的中点，若平行六面体的各棱长均相等，则 ①A 1M ∥D 1P ； ②A 1M ∥B 1Q ；③A 1M ∥面DCC 1D 1； ④A 1M ∥面D 1PQB 1.以上结论中正确的是________．(填写正确的序号) 三、解答题10．已知平面α经过三点A (1,2,3)，B (2,0，－1)，C (3，－2，0)，试求平面α的一个法向量． 11.如图所示，在空间图形P —ABCD 中，PC ⊥平面ABCD ，PC ＝2，在四边形ABCD 中，CD ∥AB ，∠ABC ＝∠BCD ＝90°，AB ＝4，CD ＝1，点M 在PB 上，且PB ＝4PM ，∠PBC ＝30°，求证：CM ∥平面P AD .【能力提升】12．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，O是B1D1的中点，求证：B1C∥平面ODC1.13.如图，在底面是菱形的四棱锥P—ABCD中，∠ABC＝60°，P A⊥平面ABCD，P A＝AC＝a，点E在PD上，且PE∶ED＝2∶1.在棱PC上是否存在一点F，使BF∥平面AEC？证明你的结论．平行关系的常用证法（1）证明线线平行只需要证明表示两条直线的向量满足实数倍数关系，如证明AB ∥CD只需证AB →＝λCD →.证明线面平行可转化为证直线的方向向量和平面的法向量垂直，然后说明直线在平面外．证面面平行可转化证两面的法向量平行．(2)证明线面平行问题或面面平行问题时也可利用立体几何中的定理转化为线线平行问题，再利用向量进行证明．§3.2 立体几何中的向量方法(一)——空间向量与平行关系知识梳理1．平行 重合 无数 2．方向向量 法向量3．(1)a∥b a ＝λb a 1a 2＝b 1b 2＝c 1c 2(a 2b 2c 2≠0)(2)a∥u a·u ＝0 a 1a 2＋b 1b 2＋c 1c 2＝0(3)u∥v u ＝k v a 1a 2＝b 1b 2＝c 1c 2(a 2b 2c 2≠0)作业设计1．D [只要是与向量n 共线且非零的向量都可以作为平面α的法向量．故选D.]2．A [∵AB →＝(2,4,6)，而与AB →共线的非零向量都可以作为直线l 的方向向量，故选A.]3．C [显然a 与b 不平行，设平面α的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧a·n ＝0，b·n ＝0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＋z ＝0，5x ＋6y ＋4z ＝0. 令z ＝1，得x ＝－2，y ＝1，∴n ＝(－2,1,1)．]4．B [设B (x ，y ，z )，AB →＝(x －2，y ＋1，z －7) ＝λ(8,9，－12)，λ>0.故x －2＝8λ，y ＋1＝9λ，z －7＝－12λ， 又(x －2)2＋(y ＋1)2＋(z －7)2＝342， 得(17λ)2＝342，∵λ>0，∴λ＝2.∴x ＝18，y ＝17，z ＝－17，即B (18,17，－17)．]5．B [可以建立空间直角坐标系，通过平面的法向量AB →和MN →的关系判断．]6．C [AB →＝(0,5，－3)，AB 与平面yOz 平行．]7.⎝⎛⎭⎫33，33，33或⎝⎛⎭⎫－33，－33，－338．－8解析 ∵l ∥α，∴l 的方向向量与α的法向量垂直．∴(2，m,1)·⎝⎛⎭⎫1，12，2＝2＋12m ＋2＝0，∴m ＝－8. 9．①③④解析 ∵A 1M →＝AM →－AA 1→＝D P →－DD 1→＝D 1P →， ∴A 1M ∥D 1P .∵D 1P ⊂面D 1PQB 1，∴A 1M ∥面D 1PQB 1. 又D 1P ⊂面DCC 1D 1，∴A 1M ∥面DCC 1D 1. ∵B 1Q 为平面DCC 1D 1的斜线，∴B 1Q 与D 1P 不平行，∴A 1M 与B 1Q 不平行． 10．解 ∵A (1,2,3)，B (2,0，－1)，C (3，－2,0)，∴AB →＝(1，－2，－4)，AC →＝(2，－4，－3)， 设平面α的法向量为n ＝(x ，y ，z )．依题意，应有n ·AB →＝0，n ·AC →＝0. 即⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y －4z ＝02x －4y －3z ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y z ＝0. 令y ＝1，则x ＝2.∴平面α的一个法向量为n ＝(2,1,0)．11．证明 建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz . 方法一∵∠PBC ＝30°，PC ＝2， ∴BC ＝23，PB ＝4.于是D (1,0,0)，C (0,0,0)，A (4,23，0)，P (0,0,2)． ∵PB ＝4PM ，∴PM ＝1，M ⎝⎛⎭⎫0，32，32.∴CM →＝⎝⎛⎭⎫0，32，32，DP →＝(－1,0,2)，DA →＝(3，23，0)．设CM →＝x DP →＋y DA →，其中x ，y ∈R .则⎝⎛⎭⎫0，32，32＝x (－1,0,2)＋y (3,23，0)．∴⎩⎨⎧－x ＋3y ＝023y ＝322x ＝32，解得x ＝34，y ＝14.∴CM →＝34DP →＋14DA →，∴CM →，DP →，DA →共面．∵CM ⊄平面P AD ，∴CM ∥平面P AD .方法二 由方法一可得CM →＝⎝⎛⎭⎫0，32，32，DP →＝(－1,0,2)，DA →＝(3,23，0)．设平面P AD的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则有，即⎩⎨⎧－x ＋2z ＝03x ＋23y ＝0.令x ＝1，解得z ＝12，y ＝－32.故n ＝⎝⎛⎭⎫1，－32，12.又∵CM →·n ＝⎝⎛⎭⎫0，32，32·⎝⎛⎭⎫1，－32，12＝0.∴CM →⊥n ，又CM ⊄平面P AD . ∴CM ∥平面P AD .12．证明 方法一 ∵B 1C →＝A 1D →，B 1∉A 1D ，∴B 1C ∥A 1D ，又A 1D ⊂平面ODC 1， ∴B 1C ∥平面ODC 1.方法二 ∵B 1C →＝B 1C 1→＋B 1B →＝B 1O →＋OC 1→＋D 1O →＋OD →＝OC 1→＋OD →. ∴B 1C →，OC 1→，OD →共面．又B 1C ⊄平面ODC 1，∴B 1C ∥平面ODC 1. 方法三建系如图，设正方体的棱长为1，则可得 B 1(1,1,1)，C (0,1,0)， O ⎝⎛⎭⎫12，12，1，C 1(0,1,1)， B 1C →＝(－1,0，－1)，OD →＝⎝⎛⎭⎫－12，－12，－1，OC 1→＝⎝⎛⎭⎫－12，12，0. 设平面ODC 1的法向量为n ＝(x 0，y 0，z 0)，则得⎩⎨⎧－12x 0－12y 0－z 0＝0， ①－12x 0＋12y 0＝0， ②令x 0＝1，得y 0＝1，z 0＝－1，∴n ＝(1,1，－1)． 又B 1C →·n ＝－1×1＋0×1＋(－1)×(－1)＝0， ∴B 1C →⊥n ，且B 1C ⊄平面ODC 1， ∴B 1C ∥平面ODC 1.13．解 方法一 当F 是棱PC 的中点时，BF ∥平面AEC . ∵BF →＝BC →＋12CP →＝AD →＋12(CD →＋DP →)＝AD →＋12(AD →－AC →)＋32(AE →－AD →)＝32AE →－12AC →. ∴BF →、AE →、AC →共面． 又BF ⊄平面AEC ， ∴BF ∥平面AEC . 方法二如图，以A 为坐标原点，直线AD 、AP 分别为y 轴、z 轴，过A 点垂直于平面P AD 的直线为x 轴，建立空间直角坐标系．由题意，知相关各点的坐标分别为A (0,0,0)，B ⎝⎛⎭⎫32a ，－12a ，0，C ⎝⎛⎭⎫32a ，12a ，0，D (0，a,0)，P (0,0，a )，E ⎝⎛⎭⎫0，23a ，13a . 所以AE →＝⎝⎛⎭⎫0，23a ，13a ，AC →＝⎝⎛⎭⎫32a ，12a ，0， AP →＝(0,0，a )，PC →＝⎝⎛⎭⎫32a ，12a ，－a ，BP →＝⎝⎛⎭⎫－32a ，12a ，a .设点F 是棱PC 上的点，PF →＝λPC →＝⎝⎛⎭⎫32aλ，12aλ，－aλ，其中0<λ<1， 则BF →＝BP →＋PF →＝⎝⎛⎭⎫32a λ－1，12a 1＋λ，a 1－λ，令BF →＝λ1AC →＋λ2AE →即⎩⎪⎨⎪⎧λ－1＝λ1，1＋λ＝λ1＋43λ2，1－λ＝13λ2.解得λ＝12，λ1＝－12，λ2＝32，即λ＝12时，BF →＝－12AC →＋32AE →，即F 是PC 的中点时，BF →、AC →、AE →共面．又BF ⊄平面AEC ，所以当F 是棱PC 的中点时，BF∥平面AEC.。
高中数学第三章空间向量与立体几何3.2.1空间向量与平行关系课件人教A版选修2_1.ppt
知识点二 空间平行关系的向量表示
[填一填] 1．线线平行 设直线 l，m 的方向向量分别为 a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2， c2)，则 l∥m⇔a∥b⇔ a＝λb ⇔a1＝λa2，b1＝λb2，c1＝λc2(λ∈ R)．
2．线面平行
设直线 l 的方向向量为 a＝(a1，b1，c1)，平面 α 的法向量为
要点整合夯基础 课堂达标练经典
典例讲练破题型 课时作业
知识点一 平面的法向量 [填一填]
1．直线的方向向量 直线的方向向量是指和这条直线平行或共线 的向量． 2．平面的法向量 直线 l⊥α，取直线 l 的 方向向量 a ，则向量 a 叫做平面 α 的法向量．
[答一答] 1．如何确定直线的方向向量？
解：∵AD、AB、AS 是两两垂直的线段， ∴以 A 为原点，以射线 AD、AB、AS 所在直线为 x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立坐标系， 则 A(0,0,0)、D(12，0,0)、C(1,1,0)，S(0,0,1)， ∵AS⊥AD，AB⊥AD，∴AD⊥平面 SAB，即 A→D＝(12，0,0)是平面 SAB 的法向量， 设平面 SCD 的一个法向量为 n＝(1，λ，u)， 则 n·D→C＝(1，λ，u)·(12，1,0)＝12＋λ＝0，
提示：a∥u 时，l⊥α；a⊥u 时，l∥α 或 l⊂α.
4．若 u，v 分别是平面 α，β 的法向量，则 u∥v，u⊥v 时， α，β 是什么位置关系？
提示：u∥v 时，α∥β；u⊥v 时，α⊥β.
1．对平面的法向量的理解 所谓平面的法向量，就是指与平面垂直的直线的方向向量， 显然一个平面的法向量也有无数个，它们是共线向量．在实际应 用中，根据题意可以选取单位向量或各坐标为整数的向量作为法 向量． 在空间中，给定一个点 A 和一个向量 a，那么以向量 a 为法 向量且经过点 A 的平面是唯一确定的．
3.2立体几何中的向量方法1
AB=AC=1, 则AC1与截面 1CC1所成 与截面BB
3 1 0 角的余弦值为_________ 角的余弦值为 1 0
.
0
3正方体中 正方体中ABCD-A1B1C1D1中E为A1D1的 正方体中 为
45 中点, 则二面角E-BC-A的大小是 的大小是__________ 中点 则二面角 的大小是
θ = π m, n
m
n
θ
L
注意法向量的方向: 注意法向量的方向:同进 同出, 同出,二面角等于法向量 夹角的补角;一进一出, 夹角的补角;一进一出, 二面角等于法向量夹角
) 若二面角α l β 的大小为 θ (0 ≤ θ ≤ π , 则 cos θ =
uv u v
.
3. 线面角
设n为平面 α的法向量,直线 与平面α所 为平面 的法向量,直线AB与平面 成的角为 θ 1 ,向量 AB 与n所成的角为θ 2 , 所成的角为 则
cosθ = cos AB, CD =
B A C L D
AB AB CD AB CD
2,二面角 ,
将二面角转化为二面角的两个面的法向量的夹角. ②法向量法 将二面角转化为二面角的两个面的法向量的夹角 . 如图, 如图,向量 n ⊥α,m ⊥ β , 则二面角α l β 的大小 θ =〈m, n 〉
z P
A B E D x C y
为原点, 解:以A为原点,AD,AB,AP所在的直线分 为原点 所在的直线分 别为X轴 别为 轴,Y轴,Z轴,建立空间直角坐标系, 轴 轴 建立空间直角坐标系, 设BE=m,则 A(0, 0, 0), P (0, 0,1), D ( 3, 0, 0), E (m,1, 0), , ∴ AP = (0, 0,1), DP = ( 3, 0,1), DE = (m 3,1, 0)
( 人教A版)2-1：3.2立体几何中的向量方法第1课时空间向量与平行关系课件 (共31张PPT)
解析：(1)∵a＝(1，－3，－1)，b＝(8,2,2) ∴a·b＝8－6－2＝0，∴a⊥b，∴l1⊥l2. (2)∵u＝(1,3,0)，v＝(－3，－9,0)， ∴v＝－3u，∴u∥v，∴α∥β. (3)∵a＝(1，－4，－3)，u＝(2,0,3)， ∴a与u既不共线，也不垂直， ∴l与平面α斜交．
[证明] 如图所示建立空间直角坐标系D-xyz，则有D(0,0,0)， A(2,0,0)，C(0,2,0)，C1(0,2,2)，E(2,2,1)，F(0,0,1)， B1(2,2,2)， 所以F→C1＝(0,2,1)，D→A＝(2,0,0)，A→E＝(0,2,1)．
(1)设n1＝(x1，y1，z1)是平面ADE的法向量， 则n1⊥D→A，n1⊥A→E， 即nn11··DA→→EA＝＝22yx11＋＝z01，＝0，
设平面SCD的法向量为n＝(1，y，z)， 则n·D→C＝(1，y，z)·(1,2,0)＝1＋2y＝0， ∴y＝－12. 又n·D→S＝(1，y，z)·(－1,0,2)＝－1＋2z＝0， ∴z＝12. ∴n＝1，－12，12即为平面SCD的一个法向量．
探究三 利用空间向量证明平行关系 [典例3] 已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别是BB1，DD1的中 点，求证： (1)FC1∥平面ADE； (2)平面ADE∥平面B1C1F.
G→En＝(x，y，z)是平面EFG的法向量，
n·G→E＝0， 则n·G→F＝0.
∴－－2xx－＋y＋y＋2zz＝＝00，.
∴xy＝＝zz.， ∴n＝(z，z，z)，令z＝1，此时n＝(1,1,1)， 所以平面EFG的一个法向量为(1,1,1)．
播下一个行动，收获一种习惯；播下一种习惯，收获一种性格；播下一种性格，收获一种命运。思想会变成语言，语言会变成行动，行动会变成习惯，习惯会变成性格。性格会影响人生！习惯不加以抑 制，会变成生活的必需品，不良的习惯随时改变人生走向。人往往难以改变习惯，因为造习惯的就是自己，结果人又成为习惯的奴隶！人生重要的不是你从哪里来，而是你到哪里去。当你在埋头工作的 时侯，一定要抬头看看你去的方向。方向不对，努力白费！你来自何处并不重要，重要的是你要去往何方，人生最重要的不是所站的位置，而是所去的方向。人只要不失去方向，就永远不会失去自己！ 这个世界唯一不变的真理就是变化，任何优势都是暂时的。当你在占有这个优势时，必须争取主动，再占据下一个优势，这需要前瞻的决断力，需要的是智慧！世上本无移山之术，惟一能移山的方法就 是：山不过来，我就过去。人生最聪明的态度就是：改变可以改变的一切，适应不能改变的一切！亿万财富不是存在银行里，而是产生在人的思想里。你没找到路，不等于没有路，你想知道将来要得到 什么，你必须知道现在应该先放弃什么！命运把人抛入最低谷时，往往是人生转折的最佳期。谁能积累能量，谁就能获得回报；谁若自怨自艾，必会坐失良机人人都有两个门：一个是家门，成长的地方； 一个是心门，成功的地方。能赶走门中的小人，就会唤醒心中的巨人！要想事情改变，首先自己改变，只有自己改变，才可改变世界。人最大的敌人不是别人，而是自己，只有战胜自己，才能战胜困难！ 1、烦恼的时候，想一想到底为什么烦恼，你会发现其实都不是很大的事，计较了，就烦恼。我们要知道，所有发生的一切都是该发生的，都是因缘。顺利的就感恩，不顺利的就忏悔，然后放下。“雁 渡寒潭，雁过而潭不留影；风吹疏竹，风过而竹不留声。”修行者的心境，就是“过而不留”。忍得住孤独；耐得住寂寞；挺得住痛苦；顶得住压力；挡得住诱惑；经得起折腾；受得起打击；丢得起面 子；担得起责任；1提得起精神。闲时多读书，博览凝才气；众前慎言行，低调养清气；交友重情义，慷慨有人气；困中善负重，忍辱蓄志气；处事宜平易，不争添和气；对已讲原则，坚持守底气；淡 泊且致远，修身立正气；居低少卑怯，坦然见骨气；卓而能合群，品高养浩气淡然于心，自在于世间。云淡得悠闲，水淡育万物。世间之事，纷纷扰扰，对错得失，难求完美。若一心想要事事求顺意， 反而深陷于计较的泥潭，不能自拔。若凡事但求无愧于心，得失荣辱不介怀，自然落得清闲自在。人活一世，心态比什么都重要。财富名利毕竟如云烟，心情快乐才是人生的至宝。我们的梦想在哪里？ 在路上，在脚踏实地的道路上；我们的期待在哪里？在路上，在勤劳勇敢的心路上；我们的快乐在哪里？在路上，在健康阳光的大道上；我们的朋友在哪里？在心里，在真诚友谊的宽道上！珍惜每一分 钟，对自己负责；善于发现看问题的角度；不满足于现状，别自我设限；勇于承认错误；不断反省自己，向周围的成功者学习；不轻言放弃。做事要有恒心；珍惜你所拥有的，不要感叹你失去或未得到； 学会赞美；不找任何借口。与贤人相近，则可重用；与小人为伍，则要当心；只满足私欲，贪图享乐者，则不可用；处显赫之位，任人唯贤，秉公办事者，是有为之人；身处困境之人，不做苟且之事， 则可重任；贫困潦倒时，不取不义之财者，品行高洁；见钱眼开者，则不可用。人最大的魅力，是有一颗阳光的心态。韶华易逝，容颜易老，浮华终是云烟。拥抱一颗阳光的心态，得失了无忧，来去都 随缘。心无所求，便不受万象牵绊；心无牵绊，坐也从容，行也从容，故生优雅。一个优雅的人，养眼又养心，才是魅力十足的人。容貌乃天成，浮华在身外，心里满是阳光，才是永恒的美。意逐白云 飞，心随流水宁。心无牵挂起，开阔空净明。幸福并不复杂，饿时，饭是幸福，够饱即可；渴时，水是幸福，够饮即可；裸时，衣是幸福，够穿即可；穷时，钱是幸福，够用即可；累时，闲是幸福，够 畅即可；困时，眠是幸福，够时即可。爱时，牵挂是幸福，离时，回忆是幸福。人生，由我不由天，幸福，由心不由境。心是一个人的翅膀，心有多大，世界就有多大。很多时候限制我们的，不是周遭 的环境，也不是他人的言行，而是我们自己。人心如江河，窄处水花四溅，宽时水波不兴。世间太大，一颗心承载不起。生活的最高境界，一是痛而不言，二是笑而不语。无论有多少委屈，一笑而泯之。 人生的幸福在于祥和，生命的祥和在于宁静，宁静的心境在于少欲。无意于得，就无所谓失去，无所谓失去，得失皆安谧。闹市间虽见繁华，却有名利争抢；田园间无争，却有柴米之忧烦；世外桃源祥 和升平，最终不过梦一场。心静，则万象皆静。知足者常在静中邂逅幸福。顺利人生，善于处理关系；普通人生，只会使用关系；不顺人生，只会弄僵关系。为人要心底坦荡，不为虚名所累；做事要头 脑清醒，不为假象所惑。智者，以别人惨痛的教训警示自己；愚者，用自己沉重的代价唤醒别人。对人多一份宽容，多一份爱心；对事多一份认真，多一份责任；对己多一点要求，多一点警醒。傲不可 长，志不可满，乐不可极，警醒自己。静能生慧。让心静下来，你才能看淡一切。静中，你才会反观自己，知道哪些行为还需要修正，哪些地方还需要精进，在静中让生命得到升华洗礼，在自观中走向 觉悟。让心静下来，你才能学会放下。你放下了，你的心也就静了。心不静，是你没有放下。静，通一切境界。人与人的差距，表面上看是财富的差距，实际上是福报的差距；表面上看是人脉的差距， 实际上是人品的差距；表面上看是气质的差距，实际上是涵养的差距；表面上看是容貌的差距，实际上是心地的差距；表面上看是人与人都差不多，内心境界却大不相同，心态决定命运。知恩感恩，是 很重要的一件事。因为当一个人具有感恩的心，心会常常欢喜，总是觉得很满足，一个不感恩不满足的人，总是会觉得欠缺、饥渴。一个常感恩的人，会觉得自己很幸运，有时候其实没什么道理，但他 这样一想、一感恩，就变得很快乐。这种感恩的心，对自己其实是有很大利益。压力最大的时候，效率可能最高；最忙碌的时候，学的东西可能最多；最惬意的时候，往往是失败的开始；寒冷到了极致， 太阳就要光临。成长不是靠时间，而是靠勤奋；时间不是靠虚度，而是靠利用；感情不是靠缘分，而是靠珍惜；金钱不是靠积攒，而是靠投资；事业不是靠满足，而是靠踏实。知恩感恩，是很重要的一 件事。因为当一个人具有感恩的心，心会常常欢喜，总是觉得很满足，一个不感恩不满足的人，总是会觉得欠缺、饥渴。一个常感恩的人，会觉得自己很幸运，有时候其实没什么道理，但他这样一想、 一感恩，就变得很快乐。这种感恩的心，对自己其实是有很大利益。压力最大的时候，效率可能最高；最忙碌的时候，学的东西可能最多；最惬意的时候，往往是失败的开始；寒冷到了极致，太阳就要 光临。成长不是靠时间，而是靠勤奋；时间不是靠虚度，而是靠利用；感情不是靠缘分，而是靠珍惜；金钱不是靠积攒，而是靠投资；事业不是靠满足，而是靠踏实。以平常心观不平常事，则事事平常。 在危险面前，平常心就是勇敢；在利诱面前，平常心就是纯洁；在复杂的环境面前，平常心就是保持清醒智慧。平常心不是消极遁世，而是一种境界，一种积极的人生。不仅要为成功而努力，更要为做 一个有价值的人而努力。命运不是机遇，而是选择；命运不靠等待，全靠争取。成熟就是学会在逆境中保持坚强，在顺境时保持清醒。时间告诉你什么叫衰老，回忆告诉你什么叫幼稚。只有在我们不需 要外来的赞许时，心灵才会真的自由。你没那么多观众，别那么累。温和对人对事。不要随意发脾气，谁都不欠你的。现在很痛苦，等过阵子回头看看，会发现其实那都不算事。和对自己有恶意的人绝 交。人有绝交，才有至交学会宽容伤害自己的人，因为他们很可怜，各人都有自己的难处，大家都不容易。学会放弃，拽的越紧，痛苦的是自己。低调，取舍间，必有得失。不要试图给自己找任何借口， 错误面前没人爱听那些借口。慎言，独立，学会妥协的同时，也要坚持自己最基本的原则。付出并不一定有结果。坚持可能会导致失去更多过去的事情可以不忘记，但一定要放下。活得轻松，任何事都 作一个最好的打算和最坏的打算。做一个简单的人，踏实而务实。不沉溺幻想。不庸人自扰。不说谎话，因为总有被拆穿的一天。别人光鲜的背后或者有�
立体几何中的向量方法(一)——方向向量与法向量
(1)直线OA的一个方向向量坐标为___(_1_,0__,0_)___
(2)平面OABC 的一个法向量坐标为__(_0_,0__,1_)____ (3)平面AB1C 的一个法向量坐标为__(_-_1_,-_1_,_1_)__
z
O1
C1
A1
B1
o
A
x
C
y
B
例2：已知A(3, 0, 0), B(0, 4, 0), C(0,0,2) 求平面ABC的法向量.
l
a
b
m
设直线 l,m 的方向向量分别为 a, b ，
平面, 的法向量分别为 u, v ，则
(2) l a // u a u
l
a
A
u
C B
设直线 l,m 的方向向量分别为 a, b ，
平面, 的法向量分别为 u, v ，则 （3） u v u v 0
β
uv
α
例1. 如图所示, 正方体的棱长为1
设直线 l,m 的方向向量分别为 a, b ，
平面, 的法向量分别为 u, v ，则
（一）. 平行关系：
(1) l / /m a / /b a b ；
a
l
b
m
设直线 l,m 的方向向量分别为 a, b ，
平面, 的法向量分别为 u, v ，则
(2) l / / a u a u 0 ；
叫做平面 的法向量.
l
n
A
给定一点A和一个向量 n,那么
过点A,以向量 n 为法向量的平面是
完全确定的.
平面的法向量：
l
注意：
1.法向量一定是非零向量;
2.一个平面的所有法向量都
n
互相平行;
高中数学《立体几何中的向量方法(一)》课件
抓住3个考点
突破3个考向
⇔_v_∥__u_.
③设平面 α 和 β 的法向量分别为 u1 和 u2，则 α⊥β⇔_u_1⊥__u__2
⇔u__1·_u_2＝__0__＝0.
抓住3个考点
突破3个考向
揭秘3年高考
3．点面距的求法
如图，设 AB 为平面 α 的一条斜线段，
n
为平面
α
的法向量，则 →
B
到平面
α
|AB·n|
的距离 d＝___|n_|___.
→→ 故 cos〈B→E，C→D〉＝|BB→EE|·|CC→DD|＝
3 2 12＋h2× 5
＝ 10＋3 20h2，
所以
10＋3 20h2＝cos
30°＝
3， 2
解得
h＝
1100，即
AE＝
10 10 .
抓住3个考点
突破3个考向
揭秘3年高考
用向量法解答这类题要做到以下几点： ①建系要恰当，建系前必须证明图形中有从同一点出发 的三条两两垂直的直线，如果图中没有现成的，就需进 行垂直转化；②求点的坐标及有关计算要准确无误，这 就需要在平时加强训练；③步骤书写要规范有序．
抓住3个考点
突破3个考向
揭秘3年高考
解 取 AC 的中点 O，连接 OS、OB. ∵SA＝SC，AB＝BC， ∴AC⊥SO，AC⊥BO. ∵平面 SAC⊥平面 ABC，平面 SAC∩平面 ABC＝AC， ∴SO⊥平面 ABC， 又∵BO⊂平面 ABC，∴SO⊥BO.
如图所示，建立空间直角坐标系 O－xyz，则 B(0,2 3，0)，C(－ 2，0,0)，S(0,0,2 2)，M(1， 3，0)，N(0， 3， 2)． ∴C→M＝(3， 3，0)，M→N＝(－1,0， 2)，M→B＝(－1， 3，0)．
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§3.2.1 直线的方向向量与平面的法向量
【学情分析】：
教学对象是高二的学生，学生已经具备空间向量与立方体几何的相关知识,所以本节课是通过这些知识理解空间的几个元素点、直线、平面的位置的向量表示，并且用向量及其运算表示线线、线面、面面间的位置关系,可以比较顺利地进行教学. 在教学中，师生共同探索发现用向量及其运算表示线线、线面、面面间的位置关系并予于应用,在起点高的班级中是可行的.
【教学目标】：
（1）知识与技能：理解直线的方向向量和平面的法向量；会用向量及其运算表示线线、线面、面面间的位置关系.
（2）过程与方法：在解决问题中，通过数形结合的思想方法，加深对相关知识的理解。
（3）情感态度与价值观：开始体会把立方体几何几何转化为向量问题优势。
【教学重点】：平面的法向量.
【教学难点】：用向量及其运算表示线线、线面、面面间的位置关系.
【课前准备】：Powerpoint课件
（1）求证：AP是平面的法向量；
-⋅
,2,1)(4,2,0)
=
AD A
2）||(2)
AB=24
=
AB AD
⋅=，
cos(,)
AB AD=
1
BAD
∠=-
ABCD
=
点、直线、平面的位置的向量表示
练习与测试：
（基础题）
1，与两点和所成向量同方向的单位向量是。
解：向量，它的模
则所求单位向量为。
2，从点沿向量的方向取长为6的线段，求点坐标。
解：设点坐标为，由题设有；
由可得。
则
，于是所求坐标为 。
3，设直线l ，m 的方向向量分别为)1,0,3(),3,2,1(-==，判断l ，m 的位置关系。
解：因为（1，2，3）（-3，0，1）=0，所以两直线垂直。
4，设平面βα,的法向量分别为)12,6,2(),6,3,1(-=--=，判断平面βα,的位置关系。
解：易知所给二法向量平行，故平面βα,平行。
（中等题）
5，已知空间四点坐标分别为A （1，0，0）、B （1，1，0）、E （1，1/2，1）、F （0，1/2，0），求平面AEF 的单位法向量。
解：
设平面AEF 的法向量为则有
为平面AEF 的单位法向量。
6，如图所示建立坐标系，有
分别求平面SAB 与平面SDC 的法向量，并求出它们夹角的余弦。
解：因为y轴平面SAB，所以平面SAB的法向量为
设平面SDC的法向量为，
由。