zlq2.2.1向量加法运算及其几何意义shalom
2.2.1向量加法运算及其几何意义
当向量a , 不是共线向量时, + b 又如何 b a 作出来?
b a
o·
a
A
a+ b
b
对 任 意 两 个 向 量 a，， b 有 | | a | - | b | | | a b | | a | | b |
|a + b |< |a |+ |b |
以 O A ， O B 为 邻 边 做 O A C B
O C O A O B a b.
b
a
连结OC，则
O
b
a a b
A
B
C
平行四边形法则
当向量a , 是共线向量时, + b 又如何 b a 作出来?
(1)同向
a
(2)反向
B
数的加法满足交换律与结合律，即对任 意a，b∈R，有a+b=b+a
(a+b)+c=a+(b+c)
任意向量 足交换律与结合律？
a、 的加法是否也满 b
A
a O b aBiblioteka b B链接 a b
b
a
a+ b
b+ a
b
a
b A a c O
B
C
BC OB (a+b)+c=_____+____=______ OC
解：（ 1） OC OB ; OA
（ 2） BC FE AD ;
E
D
F
O
C
（ 3） OA FE 0 .
A
B
2.A B B C A C 3. A C C A 0 4.AB BC C A 0 5.P B O P O B 2O B
2.2.1_向量加法运算及其几何意义2.2.2_向量减法运算及其几何意义
ba ab a
(a b) c
b
C
a (b c) b c
c
A
a
ab
C
交换律: a b b a
B
b
结合律: (a b) c a (b c)
向量加 法
学以致用
例１.化简
AD (1) AB CD BC ________
: a b b a.
2.2 平面向量线性运算
2.2.2 向量减法运算及其几何意义
探 究
向量是否有减法? 如何理解向量的减法? 我们知道,减去一个数等于加上这个数的相反 数，如:5-1=5+(-1)
向量的减法是否也有类似的法则：
减去一个向量等于加上这个向量的相反向量？
一、相反向量 定义：与 a 长度相等，方向相反的向量， 叫做 a 的相反向量，记作： a
(2) MA BN AC CB ________ MN
(3) AB BD CA DC _____ 0
向量加法
向 向 量 量 加 加 法 法
知识回顾：
a b ab a b
向量加法的物理背景
三角形法则
向量的加法运算
平行四边形法则
向量加法的运算律
a 与 b 的差。a 与 b
的差
三、向量减法的作图方法：
b a
已知a, b,根据减法的定义， 如何作出 a b呢？
已知a, b,根据减法的定义 , 如何作出 a b呢？
a b a (b )
b a
B
b
O
a ( b )
a
课件4：2.2.1 向量加法运算及其几何意义
所以 tan∠ACB＝4123＝ 33， 即∠ACB＝30°，∠CAD＝30°. 所以 AD ＝8 3，∠BAD＝120°.
即船航行的速度为 8 3 km/h，方向与水流方向所成角为 120°.
答பைடு நூலகம்：D
2.设 E 是平行四边形 ABCD 外一点，如图所示，化简下 列各式： (1)D→E＋E→A＝___D_→_A___； (2)B→E＋A→B＋E→A＝___0___； (3)D→E＋C→B＋E→C＝____D→_B___； (4)B→A＋D→B＋E→C＋A→E＝____D→_C___.
3.如图所示，在四边形 ABCD 中，A→C＝A→B＋A→D， 试判断四边形的形状．
跟踪训练 3 某人在静止的水中的游泳速度为 2 3 km/h，如果 他以这个速度径直游向河对岸，已知水流的速度为 2 km/h，那么 他实际沿什么方向前进？速度大小为多少？ 解：设此人在静水中的游泳速度为O→A，水流的速 度为O→B，以 OA、OB 为邻边作平行四边形 OACB， 如图所示，则此人的实际速度为O→C＝O→A＋O→B. 根据勾股定理知|O→C|2＝|O→A|2＋|O→B|2＝12＋4＝16， ∴|O→C|＝4. 又在 Rt△OBC 中，cos∠BOC＝||OO→→CB||＝24＝12. 所以此人沿与河岸夹角为 60°方向前进，速度大小为 4 km/h.
(2)D→B＋C→D＋B→C＝B→C＋C→D＋D→B ＝(B→C＋C→D)＋D→B ＝B→D＋D→B ＝0.
(3)A→B＋D→F＋C→D＋B→C＋F→A ＝A→B＋B→C＋C→D＋D→F＋F→A ＝A→C＋C→D＋D→F＋F→A ＝A→D＋D→F＋F→A＝A→F＋F→A ＝0. 小结 解决该类题目要灵活应用向量加法运算律，注意 各向量的起、终点及向量起、终点字母排列顺序．
课件7：2.2.1 向量加法运算及其几何意义
2．在△ABC 中，必有A→B＋C→A＋B→C等于( )
A．0
B．0
C．任一向量
D．与三角形形状有关
【解析】A→B＋C→A＋B→C＝A→B＋B→C＋C→A＝A→C＋C→A＝0.
故选 B．
【答案】B
3．化简(A→B＋M→B)＋(B→O＋B→C)＋O→M＝______. 【解析】(A→B＋M→B)＋(B→O＋B→C)＋O→M＝(A→B＋B→C)＋ (B→O＋O→M)＋M→B＝A→C，故答案为A→C. 【答案】A→C
2．运算律 (1)a＋b＝b＋a； (2)(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．
自主演练 1．如下图，在平行四边形 ABCD 中，下列结论错误的 是( )
A．A→B＝D→C C．B→A＋B→C＝A→C
B．A→D＋A→B＝A→C D．A→D＋C→B＝0
【解析】∵B→A＋B→C＝B→D，∴C 中的结论错误．故选 C． 【答案】C
A．F→E
B．ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ→C
C．D→C
D．F→C
【解析】F→A＋A→B＋2B→O＋E→D＝F→E＋E→D＝F→D＝A→C.
【答案】B
3．若 O 是△ABC 内的一点，且O→A＋O→B＋O→C＝0，则
O 是△ABC 的( )
A．垂心
B．重心
C．内心
D．外心
【解析】O→A＋O→B＋O→C＝0，∵O→A＋O→B是以O→A，O→B为 邻边作平行四边形的对角线且过 AB 的中点，设为 D， 则O→A＋O→B＝2O→D，∴2O→D＋O→C＝0.∵D 为 AB 的中点， 同理 E，F 为 AC，BC 中点，∴满足条件的点 O 为△ABC 三边中线交点，故为重心． 【答案】B
(2)课本中对向量加法是釆用三角形法则来定义的，这种 定义，对两个向量共线时同样适用，但是当两向量共线 时，平行四边形法则就不适用了．但在处理某些问题时， 平行四边形法则有它一定的优越性，因此向量加法的三 角形法则和平行四边形法则都应熟练掌握．
2.2.1向量加法运算和几何意义1
作业：
课本P951~2
a
bБайду номын сангаас
a
b
A
B
C
B
CA
AC a b
AC a b
规定： a00aa
当 向 量 a,b不 是 共 线 向 量 时 ,a+b又 如 何
作 出 来 ?
b a
o· a
ab
|a b|<|a| |b|
A
b
B
一 般 地 ， 有 |ab |< |a | |b |
数的加法满足交换律与结合律，即对任意a，b∈R，有 a+b=b+a
2.2.1向量加法运算 及其几何意义
学习目标:
1、向量的加法运算，及其几何意义
2、向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量 的和向量
C
1、位移 A BB CA CA
2、力的合成
B F1
F1 + F2 = F
F2
F
数的加法启发我们，从运算的角度看， AC可以认为 是AB与BC的和，F可以认为是F1与F2的和，即位移、力的 合成可以看作向量的加法。
求两个向量和的运算，叫做向量的加法.
已 知 向 量 a ,b , 求 作 向 量 a b
已 知 向 量 a ,b , 求 作 向 量 a b
b a
o·
作法（1）在平面内任取一点O
( 2 ) 作 O Aa ,A Bb (3 )作 O B a b
A 位移的合成可以看作向量加法 三角形法则的物理模型。
(a+b)+c=a+(b+a)
a 、b 任意向量
的加法是否也满足交换律与结合律？
ab ba (a b) c a (b c)
向量加法运算及其几何意义shalom.ppt
第二十一中学 战彬彬
复习回顾： 1、向量的定义、表示方法 2、平行向量的概念 3、相等向量的概念
2.2.1向量加法运算及其几何意义
第二十一中学 战彬彬
一、向量加法的定义：
求两个向量和的运算，叫做向量的加法
G
它们之 间有什 么关系 G F为F1与 F2的合力 G
向量的加法法则
F1
E
O
C
E
F2
O
F1 A
F
E FC
O
F2 B
例1、如图，已知向量a，b， 求作向量a b
a b
练习一：
向量加法的运算律
交换律 结合律
例2、根据图示填空：
(1) a d _____________
(2) c b _____________
练习2、根据图示填空：
(1) 表示“向东走10km”b 表示”向西走5km”
（1）
a
+
a 表示
（2）
a
+
b
表示
探究：
rr r r
判断 | a + b | 与 | a的| +大|小b |
当堂达标
小结
1.向量加法的三角形法则 (要点：两向量首尾连接)
2.向量加法的平行四边形法则 (要点：两向量起点重合组 成 平行四边形两邻边) 3.向量加法满足交换律及结合律 rr rr a+ b= b+ a rr r r rr (a + b) + c = a + (b + c)
(2) c d ______________
(3) a b d _______________
2.2.1 向量加法运算及其几何意义
A.0
B.3
C.2 2
D. 2
2.如图，D，E，F 分别是△ABC 的边 AB，BC，CA 的中点，则下列等式中
错误的是( )
A.F→D＋D→A＋D→E＝0
B.A→D＋B→E＋C→F＝0
C.F→D＋D→E＋A→D＝A→B
D.A→D＋E→C＋F→D＝B→D
稽山中学 骆永明 9
3.如图所示，在四边形 ABCD 中，A→C＝A→B＋A→D，则四边形为( )
稽山中学 骆永明 2
1.向量加法的定义 求两个向量和的运算，叫做向量的加法. 2.向量求和的法则 （1）三角形法则；（2）平行四边形法则
稽山中学 骆永明 3
知识点二 向量加法的运算律 交换律
a＋b＝b＋a
结合律 (a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
稽山中学 骆永明 4
题型探究
重点难点 个个击破
类型一 向量加法的三角形法则和平行四边形法则 例1 如图(1)(2)，已知向量a，b，c，求作向量a＋b和a＋b＋c.
(1)
(2)
稽山中学 骆永明 5
跟踪训练 1 如图所示，O 为正六边形 ABCDEF 的中心，化简下列向量. (1)O→A＋O→C＝________；(2)B→C＋F→E＝________；(3)O→A＋F→E＝________.
稽山中学 骆永明 6
类型二 向量加法运算律的应用 例 2 (1)设 a＝(A→B＋C→D)＋(B→C＋D→A)，b 是一个非零向量，则下列结论正 确的有______.(将正确答案的序号填在横线上) ①a∥b；②a＋b＝a；③a＋b＝b；④|a＋b|＜|a|＋|b|. (2)在边长为 1 的等边三角形 ABC 中，|A→B＋B→C|＝______，|A→B＋A→C|＝ ________.
2.2.1向量加法运算及其几何意义
数的加法满足交换律与结合律，即对任 意a，b∈R，有a+b=b+a
(a+b)+c=a+(b+a) 任意向量 a 、 b的加法是否也满足
交换律与结合律？
a+ b = b+ a (a + b) + c = a + (b + c )
（a b） c a （b c ）
E
O
E
O
F
F
F是以F1与F2为邻边所形成的 平行四边形的对角线
向量的加法运算
• 运动的合成 AB + BC = AC
• 力的合成 F1 + F2 = F
F2 A F1 B
Hale Waihona Puke CF数的加法启发我们，从运算的角度看， AC可以认为 是AB与BC的和，F可以认为是F1与F2的和，即位移、力的 合成可以看作向量的加法。
• 向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法 • 向量的加法法则：三角形法则、平行四边形法则
已知向量a , b , 求作向量a b
向量加法法则
a
a
b
首尾相接，首尾连
A·
作法： 1.在平面内任取一点A 2.作 AB a, BC b 则向量 AC a b
位移的合成可以看作向量 加法三角形法则的物理模型 B
B. BD DA AC
C. AB BD DC D. DC BA AD
已知 | a | 8, | b | 6, 则 | a b | 的最大值和 最小值各是什么
例2：在长江某岸某处，江水以12 .5k m / h 的速度东流，渡船的速度为25 k m / h, 渡船 要垂直度过长江，请确 定船的航向。
2.2.1向量加法运算及其几何意义shalom
(6)共线的向量，若起点不同，则终点一定不同。
研究的背景：
两个实数可以相加，从而给数赋予了新的内涵.如果 向量仅停留在概念的层面上，那是没有多大意义的.我 们希望两个向量也能运算，拓展向量的数学意义，提 升向量的理论价值，这就需要建立相关的原理和法则.
思考1：如图，某人从点A到点B，再从点B按原方向到点C，
2.2.1向量加法运算 及其几何意义
复习回顾：
1.向量、平行向量、相等向量的含义分别是什么？
向量：既有方向又有大小的量。
平行向量：方向相同或相反的向量。 相等向量：方向相同并且长度相等的向量 2.用有向线段表示向量，向量的大小和方向是如何反
映的？什么叫零向量和单位向量？ 向量的大小：有向线段的长度。 向量的方向：有向线段的方向。 零向量：长度为零的向量叫零向量；单位向量： 长度等于1个单位长度的向量叫单位向量。
则两次位移的和可用哪个向量表示？由此可得什么结论？
A
B
C
AB BC AC
思考2：如图，某人从点A到点B，再从点B按反方向到点C，则
两次位移的和可用哪个向量表示？由此可得什么结论？
C
A
B
AB BC AC
点C，则两次位移的和可用哪个向量表示？由此可得什么 结论？ C
思考3：如图，某人从点A到点B，再从点B改变方向到
AB BC AC
A
B
上述分析表明，位移的合成可看作 是向量的加法。
F1 G
E
O
C
它们之 间有什 么关系
F为F1与 F2的合力
G
E
O F1
A
F2 F
G
E
O
F F2
B
C
2.2.1 向量加法运算及其几何意义
2．2平面向量的线性运算2．2.1向量加法运算及其几何意义考点学习目标核心素养平面向量加法的几何意义理解向量加法的概念以及向量加法的几何意义数学抽象、直观想象平面向量加法的运算律掌握向量加法的交换律和结合律，会用它们进行计算数学抽象、数学运算平行四边形法则和三角形法则掌握向量加法的平行四边形法则和三角形法则，会用它们解决实际问题数学抽象、直观想象问题导学预习教材P80－P83，并思考下列问题：1．在求两向量和的运算时，通常使用哪两个法则？2．向量加法的运算律有哪两条？1．向量加法的定义及运算法则定义求两个向量和的运算，叫做向量的加法法则三角形法则前提已知非零向量a，b作法在平面内任取一点A，作AB→＝a，BC→＝b，再作向量AC→结论向量AC→叫做a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝AB→＋BC→＝AC→图形平行四边形法则前提已知不共线的两个向量a，b作法在平面内任取一点O，以同一点O为起点的两个已知向量a，b为邻边作▱OACB结论对角线OC →就是a 与b 的和图形规定零向量与任一向量a 的和都有a ＋0＝0＋a ＝a■名师点拨(1)两个法则的使用条件不同．三角形法则适用于任意两个非零向量求和，平行四边形法则只适用于两个不共线的向量求和．(2)在使用三角形法则时，应注意“首尾连接”；在使用平行四边形法则时应注意范围的限制及和向量与两向量起点相同．2．向量加法的运算律交换律 a ＋b ＝b ＋a 结合律(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)任意两个向量的和仍然是一个向量．( ) (2)两个向量相加实际上就是两个向量的模相加．( ) (3)任意两个向量的和向量不可能与这两个向量共线．( ) 答案：(1)√ (2)× (3)×已知非零向量a ，b ，c ，则向量(a ＋c )＋b ，b ＋(a ＋c )，b ＋(c ＋a )，c ＋(b ＋a )，c ＋(a ＋b )中，与向量a ＋b ＋c 相等的个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5答案：D如图所示，在平行四边形ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，则AC →＋BA →＝( )A ．aB ．bC ．0D ．a ＋b答案：B在正方形ABCD 中，|AB →|＝1，则|AB →＋AD →|＝________． 答案： 2平面向量加法及其几何意义如图，已知向量a ，b ，c ，求作和向量a ＋b ＋c .【解】 法一：可先作a ＋c ，再作(a ＋c )＋b ，即a ＋b ＋c .如图，首先在平面内任取一点O ，作向量OA →＝a ，接着作向量AB →＝c ，则得向量OB →＝a ＋c ，然后作向量BC →＝b ， 则向量OC →＝a ＋b ＋c 为所求．法二：三个向量不共线，用平行四边形法则来作．如图，(1)在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ；(2)作平行四边形AOBC ，则OC →＝a ＋b ； (3)再作向量OD →＝c ； (4)作平行四边形CODE ，则OE →＝OC →＋c ＝a ＋b ＋c .OE →即为所求．(1)应用三角形法则求向量和的基本步骤①平移向量使之“首尾相接”，即第一个向量的终点与第二个向量的起点重合； ②以第一个向量的起点为起点，并以第二个向量的终点为终点的向量，即为两个向量的和．(2)应用平行四边形法则求向量和的基本步骤 ①平移两个不共线的向量使之共起点； ②以这两个已知向量为邻边作平行四边形；③平行四边形中，与两向量共起点的对角线表示的向量为两个向量的和．如图，已知向量a ，b ，求作向量a ＋b .解：(1)作OA →＝a ，AB →＝b ，则OB →＝a ＋b ，如图(1)． (2)作OA →＝a ，AB →＝b ，则OB →＝a ＋b ，如图(2)． (3)作OA →＝a ，AB →＝b ，则OB →＝a ＋b ，如图(3)．平面向量的加法运算化简： (1)BC →＋AB →； (2)DB →＋CD →＋BC →； (3)AB →＋DF →＋CD →＋BC →＋F A →. 【解】 (1)BC →＋AB →＝AB →＋BC →＝AC →. (2)DB →＋CD →＋BC → ＝BC →＋CD →＋DB → ＝(BC →＋CD →)＋DB → ＝BD →＋DB →＝0.(3)AB →＋DF →＋CD →＋BC →＋F A → ＝AB →＋BC →＋CD →＋DF →＋F A → ＝AC →＋CD →＋DF →＋F A → ＝AD →＋DF →＋F A →＝AF →＋F A →＝0.向量运算中化简的两种方法(1)代数法：借助向量加法的交换律和结合律，将向量转化为“首尾相接”，向量的和即为第一个向量的起点指向最后一个向量终点的向量．(2)几何法：通过作图，根据三角形法则或平行四边形法则化简．1．下列等式不正确的是( ) ①a ＋(b ＋c )＝(a ＋c )＋b ； ②AB →＋BA →＝0； ③AC →＝DC →＋AB →＋BD →.A ．②③B ．②C ．①D ．③解析：选B .由向量的加法运算律知①正确；因为AB →＋BA →＝0，故②不正确；DC →＋AB →＋BD →＝AB →＋BD →＋DC →＝AC →成立，故③正确．2.如图，E ，F ，G ，H 分别是梯形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 的中点，化简下列各式：(1)DG →＋EA →＋CB →； (2)EG →＋CG →＋DA →＋EB →.解：(1)DG →＋EA →＋CB →＝GC →＋BE →＋CB →＝GC →＋CB →＋BE →＝GB →＋BE →＝GE →. (2)EG →＋CG →＋DA →＋EB →＝EG →＋GD →＋DA →＋AE →＝ED →＋DA →＋AE →＝EA →＋AE →＝0.向量加法的实际应用某人在静水中游泳，速度为43千米/小时，他在水流速度为4千米/小时的河中游泳．若他垂直游向河对岸，则他实际沿什么方向前进？实际前进的速度大小为多少？→，水流的速度为OA→，以OA→，OB→【解】如图，设此人游泳的速度为OB为邻边作▱OACB，则此人的实际速度为OA→＋OB→＝OC→.由勾股定理知|OC→|＝8，且在Rt△ACO中，∠COA＝60°，故此人沿与河岸成60°的夹角顺着水流的方向前进，速度大小为8千米/小时．应用向量解决平面几何和物理学问题的基本步骤(1)表示：用向量表示有关量，将所要解答的问题转化为向量问题．(2)运算：应用向量加法的平行四边形法则和三角形法则，将相关向量进行运算，解答向量问题．(3)还原：根据向量的运算结果，结合向量共线、相等等概念回答原问题．如图所示，在某次抗震救灾中，一架飞机从A地按北偏东35°的方向飞行800 km到达B地接到受伤人员，然后又从B地按南偏东55°的方向飞行800 km送往C地医院，求这架飞机飞行的路程及两次位移的和．→，BC→分别表示飞机从A地按北偏东35°的方向飞行800 km，从B地按南偏东解：设AB55°的方向飞行800 km，则飞机飞行的路程指的是|AB→|＋|BC→|；两次飞行的位移的和指的是AB→＋BC→＝AC→.依题意有|AB→|＋|BC→|＝800＋800＝1 600(km)，又α＝35°，β＝55°，∠ABC＝35°＋55°＝90°，所以|AC→|＝|AB→|2＋|BC→|2＝8002＋8002＝8002(km)，其中∠BAC＝45°，所以方向为北偏东35°＋45°＝80°，从而飞机飞行的路程是1 600 km，两次飞行的位移和的大小为800 2 km，方向为北偏东80°.1．化简OP →＋PQ →＋PS →＋SP →的结果等于( ) A.QP →B.OQ →C.SP →D.SQ →解析：选B .OP →＋PQ →＋PS →＋SP →＝OQ →＋0＝OQ →.2．在四边形ABCD 中，AC →＝AB →＋AD →，则一定有( ) A ．四边形ABCD 是矩形 B ．四边形ABCD 是菱形 C ．四边形ABCD 是正方形 D ．四边形ABCD 是平行四边形解析：选D .由AC →＝AB →＋AD →得AD →＝BC →，即AD ＝BC ，且AD ∥BC ，所以四边形ABCD 一组对边平行且相等，故为平行四边形．3.已知▱ABCD ，O 是两条对角线的交点，E 是CD 的一个三等分点(靠近D 点)，求作：(1)AO →＋AC →； (2)DE →＋BA →.解：(1)延长AC ，在延长线上截取CF ＝AO ，则向量AF →即为所求．(2)在AB 上取点G ，使AG ＝13AB ，则向量BG →即为所求．[A 基础达标]1．点O 是平行四边形ABCD 的两条对角线的交点，则AO →＋OC →＋CB →等于( ) A.AB →B.BC →C.CD →D.DA →解析：选A .因为点O 是平行四边形ABCD 的两条对角线的交点，则AO →＋OC →＋CB →＝AC→＋CB →＝AB →.故选A .2．如图，四边形ABCD 是梯形，AD ∥BC ，对角线AC 与BD 相交于点O ，则OA →＋BC →＋AB →＋DO →＝( )A.CD →B.DC →C.DA →D.DO →解析：选B.OA →＋BC →＋AB →＋DO →＝DO →＋OA →＋AB →＋BC →＝DA →＋AB →＋BC →＝DB →＋BC →＝DC →. 3．若向量a 表示“向东航行1 km ”，向量b 表示“向北航行 3 km ”，则向量a ＋b 表示( )A ．向东北方向航行2 kmB ．向北偏东30°方向航行2 kmC ．向北偏东60°方向航行2 kmD ．向东北方向航行(1＋3)km 解析：选B.如图，易知tan α＝13，所以α＝30°.故a ＋b 的方向是北偏东30°.又|a ＋b |＝2 km ，故选B.4.如图所示，在正六边形ABCDEF 中，若AB ＝1，则|AB →＋FE →＋CD →|等于( )A ．1B ．2C ．3D ．2 3解析：选B.由正六边形知FE →＝BC →， 所以AB →＋FE →＋CD →＝AB →＋BC →＋CD →＝AD →， 所以|AB →＋FE →＋CD →|＝|AD →|＝2.故选B.5．(2019·云南曲靖一中检测)向量a ，b 皆为非零向量，下列说法不正确的是( )A ．若a 与b 反向，且|a |>|b |，则a ＋b 与a 同向B ．若a 与b 反向，且|a |>|b |，则a ＋b 与b 同向C ．若a 与b 同向，则a ＋b 与a 同向D ．若a 与b 同向，则a ＋b 与b 同向解析：选B.a 与b 反向，且|a |>|b |，则a ＋b 与a 同向，所以B 错；a 与b 同向，则a ＋b 与a 同向，也与b 同向．6．化简(AB →＋MB →)＋(BO →＋BC →)＋OM →＝________．解析：原式＝(AB →＋BO →)＋(OM →＋MB →)＋BC →＝AO →＋OB →＋BC →＝AB →＋BC →＝AC →. 答案：AC →7．在菱形ABCD 中，∠DAB ＝60°，|AB →|＝1，则|BC →＋CD →|＝________． 解析：在菱形ABCD 中，连接BD ，因为∠DAB ＝60°，所以△BAD 为等边三角形， 又因为|AB →|＝1，所以|BD →|＝1， 所以|BC →＋CD →|＝|BD →|＝1. 答案：18．已知平行四边形ABCD ，设AB →＋CD →＋BC →＋DA →＝a ，且b 是一非零向量，给出下列结论：①a ∥b ；②a ＋b ＝a ；③a ＋b ＝b ；④|a ＋b |<|a |＋|b |. 其中正确的是________．解析：因为在平行四边形ABCD 中，AB →＋CD →＝0，BC →＋DA →＝0，所以a 为零向量，因为零向量和任意向量都平行，零向量和任意向量的和等于这个向量本身，所以①③正确，②④错误．答案：①③9．根据下列条件，分别判断四边形ABCD 的形状： (1)AD →＝BC →；(2)AB →＝DC →且|AB →|＝|AD →|.解：(1)因为AD →＝BC →，所以AD ∥BC ，AD ＝BC ， 所以四边ABCD 是平行四边形．(2)因为AB →＝DC →且|AB →|＝|AD →|，所以四边形ABCD 是有一组邻边相等的平行四边形，即四边形ABCD 是菱形．10．已知|OA →|＝|a |＝3，|OB →|＝|b |＝3，∠AOB ＝60°，求|a ＋b |. 解：如图，因为|OA →|＝|OB →|＝3，所以四边形OACB 为菱形，连接OC ，AB ，则OC ⊥AB ，设垂足为D . 因为∠AOB ＝60°，所以AB ＝|OA →|＝3. 所以在Rt △BDC 中，CD ＝332.所以|OC →|＝|a ＋b |＝332×2＝3 3.[B 能力提升]11．已知有向线段AB →，CD →不平行，则( ) A ．|AB →＋CD →|>|AB →| B ．|AB →＋CD →|≥|CD →| C ．|AB →＋CD →|≥|AB →|＋|CD →| D ．|AB →＋CD →|<|AB →|＋|CD →|解析：选D.由向量加法的几何意义得||a |－|b ||≤|a ＋b |≤|a |＋|b |，等号当且仅当a ，b 共线的时候取到，所以本题中，|AB →＋CD →|<|AB →|＋|CD →|.12．如图，已知△ABC 是直角三角形且∠A ＝90°，则下列结论中正确的是________．①|AB →＋AC →|＝|BC →|； ②|AB →＋CA →|＝|BC →|； ③|AB →|2＋|AC →|2＝|BC →|2.解析：①正确．以AB ，AC 为邻边作▱ABDC ，又∠A ＝90°，所以▱ABDC 为矩形，所以AD ＝BC ，所以|AB →＋AC →|＝|AD →|＝|BC →|.②正确．|AB →＋CA →|＝|CB →|＝|BC →|.③正确．由勾股定理知|AB →|2＋|AC →|2＝|BC →|2.答案：①②③13．如图，在重300 N 的物体上拴两根绳子，这两根绳子在铅垂线的两侧，与铅垂线的夹角分别为30°，60°，当整个系统处于平衡状态时，求两根绳子的拉力．解：如图，作▱OACB ，使∠AOC ＝30°，∠BOC ＝60°，则∠ACO ＝∠BOC ＝60°，∠OAC ＝90°.设向量OA →，OB →分别表示两根绳子的拉力，则CO →表示物体所受的重力，且|OC →|＝300 N. 所以|OA →|＝|OC →|cos 30°＝150 3(N)，|OB →|＝|OC →|cos 60°＝150(N)．所以与铅垂线成30°角的绳子的拉力是150 3 N ，与铅垂线成60°角的绳子的拉力是150 N.14．(选做题)如图，已知向量a ，b ，c ，d .(1)求作a ＋b ＋c ＋d ；(2)设|a|＝2，e 为单位向量，求|a ＋e|的最大值．解：(1)在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，AB →＝b ，BC →＝c ，CD →＝d ，则OD →＝a ＋b ＋c ＋d .(2)在平面内任取一点O ，作OA →＝a ，AB →＝e ，则a ＋e ＝OA →＋AB →＝OB →，因为e 为单位向量，所以点B 在以A 为圆心的单位圆上(如图所示)，由图可知当点B 在点B 1时，O ，A ，B 1三点共线， |OB →|即|a ＋e |最大，最大值是3.。
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c
C b
a b b a ( a b) c a (b c )
是否成立？
根据图示填空: DA (1)a+d=____________ CB (2)c+b=____________
D
C
d c O b
a
A
B
根据图示填空:
则两次位移的和可用哪个向量表示？由此可得什么结论？
A
B
C
AB BC AC
思考2：如图，某人从点A到点B，再从点B按反方向到点C，则
两次位移的和可用哪个向量表示？由此可得什么结论？
C
A
B
AB BC AC
思考3：如图，某人从点A到点B，再从点B 改变方向到点C，则两次位移的和可用哪个向 量表示？由此可得什么结论？
o
.
课堂小结：
向量加法的定义
三角形法则
平行四边形法则
向量加法的运算律 向量加法的运算
小结 1.向量加法的三角形法则
(要点：两向量首尾连接) 2.向量加法的平行四边形法则 (要点：两向量起点重合组成 平行四边形两邻边) 3.向量加法满足交换律及结合律 a+ b = b+ a ( a + b) + c = a + (b + c )
以AC,AB为邻边作平行四边形,则 实际行驶的速度
AD
就是船
在Rt△ABD中, AB = 2, BD = 2 3
∵AD = AB+BD ∴ AD = 4
C
D
∴tan∠DAB = 3
A
B
∴∠DAB = 60
o
答:船实际行驶速度的大小为4km/h, 方向与水流速度间的夹角 60
(1)试用向量表示江水速度、船速以及 船实际航行的速度(保留两个有效数字) 解:(1)
D
船实际航行速度
C
船速 A
水速
B
(2)求船实际航行的速度的大小不方向(用 不江水速度间的夹角表示,精确到度).
在Rt△ABC中, AB =2, BC =5 D 2 2 AC AB BC
2 2
C
2 5 = 29 5.4 29 因为 tanCAB , 2 CAB 70 B A 船实际航行速度大小约为5.4km/h,方向 与水的流速间的夹角为70°
补充练习
例1：已知O为正六边形ABCDEF的中心，作出下列向量 （） OC (2) BC FE (3) OA FE 1 OA
解 :∵ AB+DF +CD+BC+FA
∴AB+DF+CD+BC+FA = 0
巩固练习:
AD １.化简 (1) AB CD BC ________
(2) MA BN AC CB ________ MN
作法（1）在平面内任取一点O (2)作 OA = a , AB = b (3)作OB = a + b
A
o
B
位移的合成可以看 这种作法叫做向量 作向量加法三角形 加法的三角形法则 法则的物理模型
还有没有其他的做法？
向量加法的平行四边形法则
b a
(6)共线的向量，若起点丌同，则终点一定丌同。
两个实数可以相加，从而给数赋予 了新的内涵.如果向量仅停留在概念的 层面上，那是没有多大意义的.我们希 望两个向量也能相加，拓展向量的数 学意义，提升向量的理论价值，这就 需要建立相关的原理和法则.
由于大陆和台湾没有直航，因此2006年 春节探亲，乘飞机要先从台北到香港，再从 香港到上海，则飞机的位移是多少?
C
AB BC AC
A B
上述分析表明，位移的合成可看作 是向量的加法。
2、力的合成
F1 + F2 = F
F2
F1
F
数的加法启发我们,从运算的角度看,AC可
以认为是AB不BC的和,F可以认为是F1不
F2的和,即位移,
力的合成可看作向量的加法.
向量加法的三角形法则
b a
已知向量a , b, 求作向量a + b
o
B
A
作法（1）在平面内任取一点O (2)作 OA = a ,OB = b (3)作 OC = a + b
C
力的合成可以看作向 这种作法叫做向量加 量加法的平行四边形 法的平行四边形法则 法则的物理模型
还有没有其他的做法？
已知向量a,b,分别用向量加法的三角形 法则与向量加法的平行四边形法则作 出a+b
2.2.1向量加法运算 及其几何意义
shalom
1.向量、平行向量、相等向量的含义分别是什么？
向量：既有方向又有大小的量。
复习回顾：
平行向量：方向相同或相反的向量。 相等向量：方向相同并且长度相等的向量 2.用有向线段表示向量，向量的大小和方向是如何反
映的？什么叫零向量和单位向量？ 向量的大小：有向线段的长度。 向量的方向：有向线段的方向。 零向量：长度为零的向量叫零向量；单位向量： 长度等于1个单位长度的向量叫单位向量。
小
1、不共线
a
b
o·
a
A
a+ b
b
B
| a+ b|< | a|+ |b|
判断 | a + b | 与 | a | + | b | 的大小
2、 共线
(1)向同
a
a+ b
b
(2)反向
a
b
a+ b
| a + b |= | a | + | b |
c (1)a+b=________ f (2)c+d=________ g (4)c+d+e=______
E
e
D
d c b
B
f (3)a+b+d=______ g
A
f a
C
例2 长江两岸乊间没有大桥的地方,常常通过轮 渡迚行运输.如图所示,一艘船从长江南岸A点出 发,以5km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶, 同时江水的速度为向东2km/h. (1)试用向量表示江水速度、船速以及船实际 航行的速度(保留两个有效数字) (2)求船实际航行的速度的大小不方向(用不江 水速度间的夹角表示,精确到度).
a b
当向量a, b 是共线向量时, a b 又如何 作出来? (1) 同向
a
(2)反向
a
b
A B C B C
b
A
AC = a + b
AC = a + b
规定：a + 0 = 0 + a = a
判断 | a + b | 与 | a | + | b | 的大
(3) AB BD CA DC ________ 0
２.根据图示填空 E e D
g
(1)a b (2)c d
f
d
c f
f g
Aac(3)a b d bC
(4)c d e
B
例3:如图，一艘船从 A点出发以 2 3km/h 的速 度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水以2km/h 的速度向东流求船实际行驶速度的大小与方向 C 解:如图,设用向量 AC D 表示船向垂直于对岸的速 度,用向量 AB 表示水流 B A 的速度
| a + b |< | a | - | a | = b + b
数的加法满足交换律不结合律,即对仸意 a,b∈R,有a+b=b+a,(a+b)+c=a+(b+c) 仸意向量a,b的加法是否也满足交换律不 结合律?
D
D
b A a a+b
a b B
C
a+b+c A
a B b+c a+b
课本84页 习题（做书上） 作业 课本91页 2、3作业本2.2.1
上海
b
c
上海
台北
香港
香港
a
台北
C
1、位移 AB BC AC
A
B
F1 G
E
O
C
它们乊 间有什 么关系
F为F1与 F2的合力
G
E
O F1
A
F2 F
G
E
O
F F2
B
C
探究一：向量加法的几何运算法则
思考1：如图，某人从点A到点B，再从点B按原方向到点C，
(1)两个有共同起点且相等的向量,其终点可能丌同.
(2) 若m = n, = k, m = k n 则 ;
(3)若非零向量 a与b 共线,则 a = b
(4)四边形ABCD是平行四边形,则必有 AB = DC
(5)向量 a与b 平行,则 a与b 的方向相同戒相反
解：（1） OC OB ; OA
（2） FE AD; BC
（3） FE 0. OA
E
D
F A
O
B
C
例2: 求向量
AB+DF+CD+BC+FA 之和.
= AB+BC+CD+DF+FA = AC+CD+DF+FA AD+DF +FA = = AF +FA 0 =