【人教版】2020高中物理 第2章 研究圆周运动 习题课 圆周运动学案 沪科版必修2

习题课 圆周运动[学习目标] 1.熟练掌握圆周运动各物理量的关系以及向心力、向心加速度的公式.2.会分析圆周运动所需向心力来源.3.会分析圆锥摆在水平面内的圆周运动.4.会分析汽车过拱(凹)形桥问题．一、描述圆周运动的各物理量间的关系例1 如图1所示，光滑的水平面上固定着一个半径逐渐减小的螺旋形光滑水平轨道，一个小球以一定速度沿轨道切线方向进入轨道，下列物理量中数值将减小的是( )图1A ．周期B ．线速度C ．角速度D ．向心加速度答案 A解析 轨道对小球的支持力与速度方向垂直，轨道的支持力只改变速度的方向不改变速度的大小，即小球的线速度大小不变，故B 错误；根据v ＝ωR ，线速度大小不变，转动半径减小，故角速度变大，故C 错误；根据T ＝2πω，角速度增大，故周期减小，故A 正确；根据a ＝v 2R，转动半径减小，故向心加速度增大，故D 错误．1．线速度v 、角速度ω以及周期T 之间的关系：v ＝2πRT＝ωR .2．角速度ω与转速n 的关系：ω＝2πn (注：n 的单位为r/s)．这些关系不仅在物体做匀速圆周运动中适用，在变速圆周运动中也适用，此时关系中各量是瞬时对应的． 二、分析圆周运动问题的基本方法例2 如图2所示，两根长度相同的轻绳(图中未画出)，连接着相同的两个小球，让它们穿过光滑的杆在水平面内做匀速圆周运动，其中O 为圆心，两段细绳在同一直线上，此时，两段绳子受到的拉力之比为多少？图2答案 3∶2解析 对两小球受力分析如图所示，设每段绳子长为l ，对球2有F 2＝2ml ω2对球1有：F 1－F 2＝ml ω2由以上两式得：F 1＝3ml ω2 由牛顿第三定律得，F 1′F 2′＝32.分析圆周运动问题的基本方法：(1)首先要明确物体做圆周运动的轨道平面、圆心和半径．(2)其次，准确受力分析，弄清向心力的来源，不能漏力或添力(向心力)．(3)然后，由牛顿第二定律F ＝ma 列方程，其中F 是指向圆心方向的合外力，a 是向心加速度．针对训练1 (多选)如图3所示，在粗糙水平板上放一个物块，使水平板和物块一起在竖直平面内沿逆时针方向做匀速圆周运动，ab 为水平直径，cd 为竖直直径，在运动中木板始终保持水平，物块相对于木板始终静止，则( )图3A ．物块始终受到三个力作用B ．物块受到的合外力始终指向圆心C ．在c 、d 两个位置，支持力N 有最大值，摩擦力f 为零D ．在a 、b 两个位置摩擦力提供向心力，支持力N ＝mg 答案 BD解析 物块在竖直平面内做匀速圆周运动，受到的重力与支持力在竖直方向上，c 、d 两点的向心力可以由重力和支持力的合力提供，其他时候要受到摩擦力的作用，故A 错误；物块在竖直平面内做匀速圆周运动，匀速圆周运动的向心力指向圆心，故B 正确．设物块做匀速圆周运动的线速度为v ，物块在c 、d 两位置摩擦力f 为零，在c 点有N c ＝mg －mv 2R ，在d 点有N d ＝mg＋mv 2R，故在d 位置N 有最大值，C 错误． 在b 位置受力如图，因物块做匀速圆周运动，故只有向心加速度，所以有N ＝mg ，f ＝mv 2R.同理a 位置也如此，故D正确．三、水平面内的常见圆周运动模型例3如图4所示，已知绳长为L＝20 cm，水平杆长为L′＝0.1 m，小球质量m＝0.3 kg，整个装置可绕竖直轴转动．(g取10 m/s2)问：(结果均保留三位有效数字)图4(1)要使绳子与竖直方向成45°角，试求该装置必须以多大的角速度转动才行？(2)此时绳子的张力多大？答案(1)6.44 rad/s (2)4.24 N解析小球绕竖直轴做圆周运动，其轨道平面在水平面内，轨道半径r＝L′＋L sin 45°.对小球受力分析，设绳对小球拉力为T，小球重力为mg，则绳的拉力与重力的合力提供小球做圆周运动的向心力．对小球利用牛顿第二定律可得：mg tan 45°＝mω2r①r＝L′＋L sin 45°②联立①②两式，将数值代入可得ω≈6.44 rad/sT＝mgcos 45°≈4.24 N.1．模型特点：(1)运动平面是水平面．(2)合外力提供向心力，且沿水平方向指向圆心．2．常见装置：四、汽车过桥问题例4 如图5所示，质量m ＝2.0×104kg 的汽车以不变的速率先后驶过凹形桥面和凸形桥面，两桥面的圆弧半径均为20 m ．如果桥面承受的压力不得超过3.0×105N ，g 取10 m/s 2，则：图5(1)汽车允许的最大速度是多少？(2)若以(1)中所求速度行驶，汽车对桥面的最小压力是多少？ 答案 (1)10 m/s (2)1.0×105N解析 (1)汽车在凹形桥最低点时存在最大允许速度，由牛顿第二定律得：N －mg ＝m v 2R，由题意知N ＝3.0×105N ，代入数据解得v ＝10 m/s.(2)汽车在凸形桥最高点时对桥面有最小压力，由牛顿第二定律得：mg －N 1＝mv 2R，代入数据解得N 1＝1.0×105N.由牛顿第三定律知，汽车对桥面的最小压力等于1.0×105N.1.汽车过拱形桥(如图6)图6汽车在最高点满足关系：mg －N ＝m v 2R ，即N ＝mg －m v 2R.(1)当v ＝gR 时，N ＝0. (2)当0≤v <gR 时，0<N ≤mg .(3)当v >gR 时，汽车将脱离桥面做平抛运动，发生危险．2.汽车过凹形桥(如图7)图7汽车在最低点满足关系：N －mg ＝mv 2R ，即N ＝mg ＋mv 2R.由此可知，汽车对桥面的压力大于其自身重力，故凹形桥易被压垮，因而实际中拱形桥多于凹形桥．针对训练2 在较大的平直木板上相隔一定距离钉几个钉子，将三合板弯曲成拱桥形卡入钉子内形成拱形桥，三合板上表面事先铺上一层牛仔布以增大摩擦，这样玩具惯性车就可以在桥面上跑起来了．把这套系统放在电子秤上做实验，如图8所示，关于实验中电子秤的示数下列说法正确的是( )图8A ．玩具车静止在拱形桥顶端时的示数小一些B ．玩具车运动通过拱形桥顶端时的示数大一些C ．玩具车运动通过拱形桥顶端时处于超重状态D ．玩具车运动通过拱形桥顶端时速度越大(未离开拱桥)，示数越小 答案 D解析 玩具车运动到最高点时，受向下的重力和向上的支持力作用，根据牛顿第二定律有mg －N ＝m v 2R ，即N ＝mg －m v 2R<mg ，根据牛顿第三定律可知玩具车对桥面的压力大小与N 相等，所以玩具车通过拱形桥顶端时速度越大(未离开拱桥)，示数越小，选项D 正确.1.(圆周运动各物理量之间的关系)(多选)如图9所示，一小物块以大小为a ＝4 m/s 2的向心加速度做匀速圆周运动，半径R ＝1 m ，则下列说法正确的是( )图9A ．小物块运动的角速度为2 rad/sB ．小物块做圆周运动的周期为π sC ．小物块在t ＝π4 s 内通过的位移大小为π20 mD ．小物块在π s 内通过的路程为零 答案 AB解析 因为a ＝ω2R ，所以小物块运动的角速度为ω＝a R ＝2 rad/s ，周期T ＝2πω＝π s ，选项A 、B 正确；小物块在π4 s 内转过π2，通过的位移大小为 2 m ，在π s 内转过一周，通过的路程为2π m ，选项C 、D 错误．2．(水平面内的圆周运动)两个质量相同的小球，在同一水平面内做匀速圆周运动，悬点相同，如图10所示，A 运动的半径比B 的大，则( )图10A ．A 所需的向心力比B 的大 B ．B 所需的向心力比A 的大C ．A 的角速度比B 的大D ．B 的角速度比A 的大 答案 A解析 小球的重力和悬线的拉力的合力充当向心力，设悬线与竖直方向夹角为θ，则F ＝mg tan θ＝m ω2l sin θ，θ越大，向心力F 越大，所以A 对，B 错；而ω2＝gl cos θ＝g h，故两者的角速度相同，C 、D 错．3．(汽车过桥问题)城市中为了解决交通问题，修建了许多立交桥．如图11所示，桥面是半径为R 的圆弧形的立交桥AB 横跨在水平路面上，一辆质量为m 的小汽车，从A 端冲上该立交桥，小汽车到达桥顶时的速度大小为v 1，若小汽车在上桥过程中保持速率不变，则( )图11A ．小汽车通过桥顶时处于失重状态B ．小汽车通过桥顶时处于超重状态C ．小汽车在上桥过程中受到桥面的支持力大小为N ＝mg －m v 12RD ．小汽车到达桥顶时的速度必须大于gR 答案 A解析 由圆周运动知识知，小汽车通过桥顶时，其加速度方向竖直向下，由牛顿第二定律得mg －N ＝m v 12R ，解得N＝mg －m v 12R ＜mg ，故其处于失重状态，A 正确，B 错误；N ＝mg －m v 12R 只在小汽车通过桥顶时成立，而其上桥过程中的受力情况较为复杂，C 错误；由mg －N ＝m v 12R，N ≥0解得v 1≤gR ，D 错误．4．(圆周运动中的受力分析)质量为25 kg 的小孩坐在质量为5 kg 的秋千板上，秋千板离拴绳子的横梁2.5 m ．如果秋千板摆动经过最低点的速度为3 m/s ，这时秋千板所受的压力是多大？每根绳子对秋千板的拉力是多大？(g 取10 m/s 2)答案 340 N 204 N解析 把小孩作为研究对象对其进行受力分析知，小孩受重力G 和秋千板对他的的支持力N 两个力，故在最低点有：N －G ＝m v2L所以N ＝mg ＋m v 2L＝250 N ＋90 N ＝340 N由牛顿第三定律可知，秋千板所受压力大小为340 N.设每根绳子对秋千板的拉力为T ，将秋千板和小孩看作一个整体，则在最低点有：2T －(M ＋m )g ＝(M ＋m )v 2L解得T ＝204 N.一、选择题考点一 圆周运动各物理量之间的关系1．关于匀速圆周运动，下列说法正确的是( )A ．由a ＝v 2R可知，a 与R 成反比B ．由a ＝ω2R 可知，a 与R 成正比 C ．由v ＝ωR 可知，ω与R 成反比 D ．由ω＝2πn 可知，ω与n 成正比 答案 D解析 物体做匀速圆周运动的向心加速度与物体的线速度、角速度、半径有关．但向心加速度与半径的关系要在一定前提条件下才能成立．当线速度一定时，向心加速度与半径成反比；当角速度一定时，向心加速度与半径成正比．对线速度和角速度与半径的关系也可以同样进行讨论．正确选项为D.2．如图1所示，A 、B 是两个摩擦传动轮(不打滑)，两轮半径大小关系为R A ＝2R B ，则两轮边缘上的( )图1A ．角速度之比ωA ∶ωB ＝2∶1 B ．周期之比T A ∶T B ＝1∶2C ．转速之比n A ∶n B ＝1∶2D ．向心加速度之比a A ∶a B ＝2∶1 答案 C解析 两轮边缘上的线速度相等，由ω＝v R 知，ωA ∶ωB ＝R B ∶R A ＝1∶2，A 错．由T ＝2πω知，T A ∶T B ＝ωB ∶ωA ＝2∶1，B 错．由ω＝2πn 知，n A ∶n B ＝ωA ∶ωB ＝1∶2，C 对．由a ＝v 2R知，a A ∶a B ＝R B ∶R A ＝1∶2，D 错．【考点】与向心加速度有关的传动问题分析 【题点】与向心加速度有关的皮带(或齿轮)传动问题3．如图2所示，自行车的大齿轮、小齿轮、后轮的半径之比为4∶1∶16，在用力蹬脚踏板前进的过程中，下列说法正确的是( )图2A ．小齿轮和后轮的角速度大小之比为16∶1B ．大齿轮和小齿轮的角速度大小之比为1∶4C ．大齿轮边缘和后轮边缘的线速度大小之比为1∶4D ．大齿轮和小齿轮边缘的向心加速度大小之比为4∶1 答案 B解析 小齿轮和后轮共轴，角速度相同，故A 错误；大齿轮和小齿轮边缘上的点线速度大小相等，根据ω＝v R可知，大齿轮和小齿轮的角速度大小之比为1∶4，故B 正确；小齿轮和后轮共轴，根据v ＝ωR 可知，小齿轮边缘和后轮边缘的线速度之比为1∶16，则大齿轮边缘和后轮边缘的线速度大小之比为1∶16，故C 错误；大齿轮和小齿轮边缘的线速度大小相等，根据a ＝v 2R可知，大齿轮和小齿轮的向心加速度大小之比为1∶4，故D 错误．考点二 水平面内的圆周运动4．如图3所示，一只质量为m 的老鹰，以速率v 在水平面内做半径为R 的匀速圆周运动，则空气对老鹰的作用力的大小等于(重力加速度为g )( )图3A ．mg 2＋(v 2R)2B ．m (v 2R)2－g 2 C ．m v 2RD ．mg答案 A解析 对老鹰进行受力分析，其受力情况如图所示，老鹰受到重力mg 、空气对老鹰的作用力F .由题意可知，力F沿水平方向的分力提供老鹰做圆周运动的向心力，且其沿竖直方向的分力与重力平衡，故F 1＝mv 2R ，F 2＝mg ，则F ＝F 22＋F 12＝(mg )2＋(m v 2R)2＝mg 2＋(v 2R)2，A 正确．【考点】向心力公式的简单应用【题点】水平面内圆周运动中的动力学问题5．质量不计的轻质弹性杆P插在桌面上，杆端套有一个质量为m的小球，今使小球沿水平方向做半径为R的匀速圆周运动，角速度为ω，如图4所示，则杆的上端受到的作用力大小为( )图4A．mω2R B．m g2－ω4R2C．m g2＋ω4R2D．不能确定答案 C解析小球在重力和杆的作用力下做匀速圆周运动．这两个力的合力充当向心力必指向圆心，如图所示．用力的合成法可得杆对球的作用力：N＝(mg)2＋F向心2＝m g2＋ω4R2，根据牛顿第三定律，小球对杆的上端的作用力N′＝N，C正确．6．如图5所示，质量相等的A、B两物体紧贴在匀速转动的圆筒的竖直内壁上，随圆筒一起做匀速圆周运动，则下列说法正确的是( )图5A．线速度v A>v BB．周期T A<T BC．圆筒对物体的支持力F A<F BD．物体所受摩擦力f A>f B答案 A解析由题意可知，A、B两物体的角速度相同，由v＝ωR知，线速度与半径成正比，A的半径大，则其线速度大，故选项A 正确；由T ＝2πω可知周期相同，故选项B 错误；圆筒对物体的支持力提供物体随筒一起匀速转动的向心力，因此支持力N ＝F ＝m ω2R ，由于角速度相同，A 的半径大，则其所受支持力大，故选项C 错误；由于物体所受摩擦力为静摩擦力，大小等于物体自身重力，故选项D 错误．7．在光滑的圆锥漏斗的内壁，两个质量相同的小球A 和B ，分别紧贴着漏斗在水平面内做匀速圆周运动，其中小球A 的位置在小球B 的上方，如图6所示．下列判断正确的是( )图6A ．A 球的速率小于B 球的速率 B ．A 球的角速度大于B 球的角速度C ．A 球对漏斗壁的压力大于B 球对漏斗壁的压力D ．A 球的转动周期大于B 球的转动周期 答案 D解析 先对A 、B 两球进行受力分析，两球均只受重力和漏斗给的支持力．如图所示，对A 球据牛顿第二定律：N A sin α＝mg ①N A cos α＝m v A 2r A＝m ωA 2r A ②对B 球据牛顿第二定律：N B sin α＝mg ③N B cos α＝m v B 2r B＝m ωB 2r B ④由两球质量相等可得N A ＝N B ，C 项错误． 由②④可知，两球所受向心力相等，m v A 2r A ＝m v B 2r B，因为r A >r B ，所以v A >v B ，A 项错误． m ωA 2r A ＝m ωB 2r B ，因为r A >r B ，所以ωA <ωB ，B 项错误．又因为ω＝2πT，所以T A >T B ，D 项正确．考点三 汽车过桥的问题8．如图7所示，汽车厢顶部悬挂一个轻质弹簧，弹簧下端拴一个质量为m 的小球．当汽车以某一速率在水平地面上匀速行驶时，弹簧长度为L 1，当汽车以相同的速率匀速通过一个桥面为圆弧形的凸形桥的最高点时，弹簧长度为L 2，下列选项中正确的是( )图7A ．L 1＝L 2B ．L 1>L 2C ．L 1<L 2D ．前三种情况均有可能 答案 B【考点】竖直面内的圆周运动分析 【题点】汽车过桥问题9．(多选)一个质量为m 的物体(体积可忽略)，在半径为R 的光滑半球顶点处以水平速度v 0运动，如图8所示，则下列说法正确的是( )图8A ．若v 0＝gR ，则物体对半球顶点无压力B ．若v 0＝12gR ，则物体对半球顶点的压力为12mgC ．若v 0＝0，则物体对半球顶点的压力为mgD ．若v 0＝0，则物体对半球顶点的压力为零 答案 AC解析 设物体受到的支持力为N ，若v 0＝gR ，则mg －N ＝m v 02R，得N ＝0，则由牛顿第三定律知物体对半球顶点无压力，A 正确．若v 0＝12gR ，则mg －N ＝m v 02R ，得N ＝34mg ，则物体对半球顶点的压力为34mg ，B 错误．若v 0＝0，根据牛顿第二定律mg －N ＝m v 02R＝0，得N ＝mg ，由牛顿第三定律知物体对半球顶点的压力为mg ，C 正确，D 错误．【考点】向心力公式的简单应用【题点】竖直面内圆周运动中的动力学问题10.一辆卡车在丘陵地带匀速率行驶，地形如图9所示，由于轮胎太旧，途中爆胎，爆胎可能性最大的地段应是( )图9A ．a 处B ．b 处C ．c 处D ．d 处答案 D解析 卡车在a 、c 处有竖直向下的向心加速度，处于失重状态，轮胎受到的压力比车重小，卡车在b 、d 处有竖直向上的向心加速度，处于超重状态，轮胎受到的压力比车重大，选项A 、C 错误；卡车在b 、d 处有N －mg ＝m v 2R ，得N ＝mg ＋m v 2R，由于在d 处做圆周运动的半径R 较小，所以在d 处受到的支持力N 较大，爆胎的可能性最大，选项D正确，B 错误． 二、非选择题11．(汽车过桥问题)如图10所示，一辆质量为4 t 的汽车匀速经过一半径为50 m 的凸形桥．(g ＝10 m/s 2)图10(1)汽车若能安全驶过此桥，它的速度范围为多少？(2)若汽车经最高点时对桥的压力等于它重力的一半，求此时汽车的速度多大？ 答案 (1)v <22.4 m/s (2)15.8 m/s解析 (1)汽车经最高点时受到桥面对它的支持力N ，设汽车的行驶速度为v .则mg －N ＝m v 2R当N ＝0时，v ＝gR此时汽车从最高点开始离开桥面做平抛运动，汽车不再安全，故汽车过桥的安全速度v <gR ＝10×50 m/s≈22.4 m/s.(2)设汽车对桥的压力为12mg 时汽车的速度为v ′，由牛顿第三定律知桥对汽车的支持力为12mg ，则mg －12mg ＝m v ′2Rv ′＝gR2≈15.8 m/s.12．(水平面内的圆周运动)如图11所示，半径为R 的半球形陶罐，固定在可以绕竖直轴旋转的水平转台上，转台转轴与过陶罐球心O 的对称轴OO ′重合．转台以一定角速度ω匀速旋转，一质量为m 的小物块落入陶罐内，经过一段时间，小物块随陶罐一起转动且相对罐壁静止，它和O 点的连线与OO ′之间的夹角θ为60°.重力加速度大小为g .图11(1)若ω＝ω0，小物块受到的静摩擦力恰好为零，求ω0；(2)若ω＝(1±k)ω0，且0<k≤1，求小物块受到的摩擦力的大小和方向．答案(1)2gR(2)见解析解析(1)小物块在水平面内做匀速圆周运动，当小物块受到的摩擦力恰好等于零时，小物块所受的重力和陶罐的支持力的合力提供其做圆周运动的向心力，有mg tan θ＝mω02·R sin θ代入数据得ω0＝2g R(2)当ω＝(1＋k)ω0时，小物块受到的摩擦力沿陶罐壁切线向下，设摩擦力的大小为f，陶罐壁对小物块的支持力为N，沿水平方向和竖直方向建立坐标系，则水平方向N sin θ＋f cos θ＝mω2·R sin θ竖直方向N cos θ－f sin θ－mg＝0代入数据解得f＝3k(2＋k)2mg，方向沿陶罐切线向下．同理，当ω＝(1－k)ω0时，小物块受到的摩擦力沿陶罐壁切线向上，则水平方向：N sin θ－f cos θ＝mω2·R sin θ竖直方向：N cos θ＋f sin θ－mg＝0代入数据解得f＝3k(2－k)2mg，方向沿陶罐壁切线向上．。