线性规划与单纯形法资料
单纯形法与线性规划问题
单纯形法与线性规划问题线性规划是一种优化问题，其基本形式是在给定的约束条件下，使目标函数最大或最小。
这种问题在工业、商业、农业和社会等领域有着广泛的应用。
在解决线性规划问题时，单纯形法是一种经典和常用的算法。
本文将介绍单纯形法和其在线性规划问题中的应用。
一、单纯形法概述单纯形法是一种基于向量空间的方法，其基本思想是沿着可行解空间中的边缘逐步搜索找到最优解。
单纯形法的运算是建立在基向量的概念上，基向量是指满足线性不可约条件的可行解基组成的向量。
单纯形法的步骤如下：1. 构造首行，确定初始基向量。
2. 选择离目标函数最远并且为正的变量，称为入基变量。
3. 选择离约束最近的基变量，称为出基变量。
4. 通过 Gauss-Jordan 消元法计算新的基向量组，确定更新后的基向量。
5. 重复步骤 2-4 直至无法选择入基变量为止。
6. 找到目标函数的最优解。
二、线性规划问题线性规划问题的一般形式如下：$$\max_{x_1,x_2,\dots,x_n\ge0}f(x_1,x_2,\dots,x_n)$$$$\text{s.t.}\begin{cases}\sum_{j=1}^na_{1j}x_j\le b_1\\\sum_{j=1}^na_{2j}x_j\le b_2\\\dots\dots\\\end{cases}$$其中，$f(x_1,x_2,\dots,x_n)$ 为线性目标函数，$a_{ij}$ 和$b_i$ 均为常数。
三、单纯形法解决线性规划问题1. 转化为标准型单纯形法只能用于标准型的线性规划问题，因此需要将原始问题转化为标准型。
标准型的形式如下：$$\max_{x_1,x_2,\dots,x_n\ge0}\sum_{j=1}^nc_jx_j$$$$\text{s.t.}\begin{cases}\sum_{j=1}^na_{1j}x_j\le b_1\\\sum_{j=1}^na_{2j}x_j\le b_2\\\dots\dots\\\end{cases}$$2. 添加松弛变量将约束条件转化为等式形式时需要添加松弛变量，松弛变量是一种关于决策变量的人工变量，其值可以取负数。
第二章线性规划及单纯形法总结
第一章
工厂需要的原棉存放在三个仓库中，现将原棉运往工 厂以满足工厂生产的需求。已知原棉运到各个工厂的单位 运费如表所示。问使总运费最小的运输方案？
仓库\工厂
1 2 3 需求
1
2 2 3 40
2
1 2 4 15
3
3 4 2 35
库存
50 30 10
2．线性规划数学模型
解：设xij为i 仓库运到 j工厂的原棉数量(i =1,2,3
1．线性规划介绍
第一章
线性规划研究的主要问题： 有一定的人力、财力、资源条件下，如何 合理安排使用，效益最高?
某项任务确定后，如何安排人、财、物， 使之最省?
2．线性规划数学模型
第一章
例1 美佳公司计划制造I，II两种家电产品。已知各 制造一件时分别占用的设备A、B的台时、调试时间及A、 B设备和调试工序每天可用于这两种家电的能力、各售出 一件时的获利情况如表I—l所示。问该公司应制造A、B两 种家电各多少件，使获取的利润为最大？
第一章
j =1,2,3)
minZ= 2x11 + x12+3x13+2x21 +2x22 +4x23 +3x31 +4x32 +2x33 x11 +x12+x13 x21+x22+x23 x31+x32+x33 50 30 10 40
st.
x11 +x21+x31 =
x12 +x22+x32 =
x13 +x23+x33 = xij 0
15
35
2．线性规划数学模型
第一章
练习4 连续投资10万元 A：从第1年到第4年每年初投资，次年末回收本利1.15； B：第3年初投资，到第5年末回收本利1.25，最大投资4万元； C：第2年初投资，到第5年末回收本利1.40，最大投资3万元； D：每年初投资，每年末回收本利1.11。 求：使5年末总资本最大的投资方案。 分析： A 1 x1A 2 x2A x2C x1D x2D x3D x4D x5D 3 x3A 4 x4A 5
第一章 线性规划及单纯形法
线性规划问题的标准形式： 线性规划问题的标准形式：
max f = ∑ c j x
j =1 j n
n ∑ aij x j = bi , i = 1,2,L , m j =1 x j ≥ 0, j = 1,2,L , n
日产量（ 日产量（吨） 9 5 7 21
11
）（模型 例2（运输问题）（模型） （运输问题）（模型）
minf = 2 x11 + 9 x12 + 10 x13 + 7 x14 + x21 + 3 x22 + 4 x23 + 2 x24 + 8 x31 + 4 x32 + 2 x33 + 5 x34 x11 + x12 + x13 + x14 = 9 x +x +x +x =5 23 24 21 22 x31 + x32 + x33 + x34 = 7 x11 + x21 + x31 = 3 s.t. x12 + x22 + x32 = 8 x13 + x23 + x33 = 4 x14 + x24 + x34 = 6 xij ≥ 0(i = 1,2,3; j = 1,2,3,4)
18
3、（线性规划）数学模型的三要素 、（线性规划） 、（线性规划 变量/决策变量 决策变量； ①变量 决策变量； 目标函数（ ②目标函数（max/min）； ）； 约束条件。 ③约束条件。
19
决策变量： ①变量/决策变量：指决策者为实现规划目标采 变量 决策变量 取的方案、措施，是问题中要确定的未知量； 取的方案、措施，是问题中要确定的未知量；
线性规划与单纯形法
线性规划与单纯形法线性规划（Linear Programming）是一种在资源有限的情况下，通过最优化目标函数来确定最佳解决方案的数学优化方法。
而单纯形法（Simplex Method）则是一种常用的求解线性规划问题的算法。
本文将介绍线性规划与单纯形法的基本概念和运算步骤，以及实际应用中的一些注意事项。
一、线性规划的基本概念线性规划的基本思想是在一组线性不等式约束条件下，通过线性目标函数的最小化（或最大化）来求解最优解。
其中，线性不等式约束条件可表示为：```a1x1 + a2x2 + ... + anxn ≤ b```其中，x1、x2、...、xn为决策变量，a1、a2、...、an为系数，b为常数。
目标函数的最小化（或最大化）可表示为：```min(c1x1 + c2x2 + ... + cnxn)```或```max(c1x1 + c2x2 + ... + cnxn)```其中，c1、c2、...、cn为系数。
二、单纯形法的基本思想单纯形法是由乔治·丹尼尔·丹齐格尔（George Dantzig）于1947年提出的求解线性规划问题的算法。
其基本思想是通过逐步迭代改进当前解，直至达到最优解。
三、单纯形法的运算步骤1. 初等列变换：将线性规划问题转化为标准型，即将所有约束条件转化为等式形式，并引入松弛变量或人工变量。
2. 初始化：确定初始可行解。
通常使用人工变量法来获得一个初始可行解。
3. 检验最优性：计算当前基础解的目标函数值，若目标函数值小于等于零，则该基础解即为最优解。
否则，进入下一步。
4. 基本可行解的变换：选择一个入基变量和一个出基变量，并进行基本变换，得到新的基础解。
5. 迭代求解：根据目标函数值是否小于等于零，判断是否达到最优解。
若达到最优解，则算法终止；若未达到最优解，则返回步骤3进行下一轮迭代。
四、单纯形法的实际应用注意事项1. 线性规划问题的约束条件必须是线性的，且可行解集合必须是有界的。
运筹学线性规划与单纯形法
整理课件
16
Max Z= x1-2x2+3x3' -3x3" + 0x4 +0x5 s.t. x1+x2+ x3' - x3" +x4 =7
x1-x2+ x3' - x3" -x5=2
-3x1+x2+2x3' -2x3" =5 x1, x2,x3',x3", x4,x5 0
第一节小结：建立模型；三个组成要素；四种形式； 化为标准形（4个条件5点）
.
9x1+4x2 ≤ 360
90 80 60 40 20
4x1+5x2 ≤200
B C
HI G
Z=70x1+120x2 3x1+10x2 ≤300
0
20 D40 E 60
80 1F00 x1
整理课件
30
二、解的几种可能情况
1．唯一最优解。目标函数直线与凸多边形只有 一个切点； 2．无穷多最优解，目标函数图形与某个约束条 件平行。 3．无界解（无最优解）----可行域无界。一般是 漏了一些约束条件。 4．无可行解----可行域为空。
Ⅰ
Ⅱ 计划期可用能力
2
2
12
1
2
8
4
0
16
0
4
12
2
3
问：应如何安排生产计划，才能使总利润最大？
整理课件
3
解：用数学的语言进行描述:
1.决策变量：设产品I、II的产量分别为 x1、x2 2.目标函数：问题要求获取利润最大，该公司获取
利润为2 x1 + 3 x2，令z = 2 x1 + 3 x2，则max z = 2 x1 + 3 x2， max z 是该公司获取利润的目标 值，它是变量x1、 x2的函数，称为目标函数。
第7讲线性规划与单纯形法
1x12x2 4 4x10x2 8 0x14x2 6
(原料钢的限制)； (原料铁的限制)； (原料橡胶的限制)；
• 另外，根据实际问题的需要和计算方面的考虑，还 对决策变量x1 , x2 加上非负限制，即
x10,x20
综上所述，我们将例2.1的实际问题用数学模型描述 成：求 x1 , x2使得
MaxZ2x13x2;
同时，为了营养需要，变量x1 , x2 必须满足 下列约束条件：
0.10 x1 0.15x2 1.00;
s.t.
1.70 1.10
x1 x1
0.75 x2 1.30 x2
7.50; 10.00;
x1, x2 0.
• 设决策变量 xj (j=1 ,2 , … , n)分别表示此人对这n种 食物的食用量，则问题的线性规划模型表示为：
• 解：这里所说的生产计划问题是指要制定出两 种产品的产量．显然，可行的生产计划是很多 的，比如可以只生产A型产品，也可只生产B型 产品，也可两种产品都生产．通常一个企业的 生产中有多种不同的产品组合，而每一种产品 组合又有大量的不同的数量组合．每个这样的 组合都是一个生产计划．要从这许许多多个（ 有时甚至是无穷多个）生产计划中确定出哪个 是最优的（既是企业获利最多的），这是个非 常困难的问题，传统的经济分析方法在此无能 为力．
第7讲线性规划与单纯形法
本章要求：
◎ 掌握线性规划的数学模型及其建模步骤． ◎ 掌握线性规划的图解法． ◎ 认识线性规划的标准型，掌握转化为标准
型的方法． ◎ 掌握单纯形法与单纯形表；掌握人工变量
方法的使用．
• 线性规划（Linear Programming．简记为LP）是管 理科学研究方法的一个重要部分，是管理科学研 究方法中研究较早，发展较快，理论上比较成熟 和应用上极为广泛的一个部分，它已成为帮助各 级管理人员进行决策的一种十分重要的工具．
第一章线性规划及单纯形法
第一章线性规划及单纯形法6.6单纯形法小结Drawingontheexampl,thetwoaxisinterceptsareplotted.2、求初始基可行解并进行最优性检验Cj比值CBXBb 检验数?jx1x2x3x4x53500081010012020103634001x3x4x5000035000令非基变量x1=0，x2=0，找到一个初始基可行解：x1=0，x2=0，x3=8，x4=12，x5=36，σj＞0，此解不是最优（因为z=3x1+5x2+0x3+0x4+0x5)即X0=(0,0,8,12,36)T，此时利润Z=03、寻找另一基可行解Cj比值CBXBb检验数?jx1x2x3x4x53500081010012020103634001x3x4x5000035000-12/2=636/4=9主元首先确定入基变量再确定出基变量检验数?j81010060101/2012300-21x3x2x5050-30300-5/20Cj比值CBXBb检验数?jx1x2x3x4x53500081010012020103634001x3x4x5000035000-12/2=636/4=9令x1=0，x4=0，得x2=6，x3=8，x5=12，即得基可行解X1=(0,6,8,0,12)T此时Z＝30σ1=3＞0，此解不是最优迭代4、寻找下一基可行解Cj比值CBXBb检验数?jx1x2x3x4x53500081010060101/2012300-21x3x2x5050-30300-5/208-4检验数?j40012/3-1/360101/204100-2/31/3x3x2x1053-42000-1/2-1令x4=0，x5=0，得x1=4，x2=6，x3=4，即X0=(4,6,4,0,0)T?j＜0最优解:X=(4,6,4,0,0)T最优值:Z=42小结：单纯形表格法的计算步骤①将线性规划问题化成标准型。
②找出或构造一个m阶单位矩阵作为初始可行基，建立初始单纯形表。
第二章 线性规划及单纯形法
标准形式
目标函数： 目标函数： 约束条件： 约束条件： Max z = c1 x1 + c2 x2 + … + cn xn s.t. a11 x1 + a12 x2 + … + a1n xn = b1 a21 x1 + a22 x2 + … + a2n xn = b2 …… …… am1 x1 + am2 x2 + … + amn xn = bm x1 ，x2 ，… ，xn ≥ 0，bi ≥0 ，
（一）一般式
Max(min)Z=C1X1+ C2X2+…+CnXn a11X1+ a12X2+…+ a1nXn ≥(=, ≤)b1 a21X1+ a22X2+…+ a2nXn ≥(=, ≤)b2 … … … am1X1+ am2X2+…+ amnXn ≥(=, ≤)bm Xj ≥0(j=1,…,n) 0( )
三、线性规划问题的标准形式 线性规划问题的标准形式
2、约束条件不是等式的问题： 约束条件不是等式的问题： 设约束条件为
ai1 x1+ai2 x2+ … +ain xn ≤ bi
可以引进一个新的变量s ，使它等于约束右边与左 边之差
s=bi–(ai1 x1 + ai2 x2 + … + ain xn ) (
一、问题提出
Ⅰ 设备A 设备 设备B 设备 调试工序 利润 0 6 1 2
例1生产计划问题
Ⅱ 5 2 1 1 每天可用能力 15 24 5
两种家电各生产多少, 可获最大利润? 两种家电各生产多少, 可获最大利润
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
•
五边形OABCD内(含边界)的任意一点 约束条件的一个解，称之可行解 。
(x1，x2)
都是满足所有
最优解的确定
• 目标函数 Z= 3x1 +5 x2 代表以Z为参数的一族平行线。
x2
9
x1 =8
6D
C(4,6)
2x2 =12
3
Z=30
Z=15
B Z=42
0
4
A
8
12
x1
3x1 +4 x2 =36
满足以上条件的数学模型称为
线性规划模型。线性规划模型 的一般形式如下：
⑵存在一定的约束条件，可以用 线性等式或线性不等式来表示。 ⑶都有一个要达到的目标，可以 用决策变量的线性函数来表示。
其中： cj为价值系数；aij为技术系数； bi为限额系数；xj为非负变量
max(min)z c1x1 c2 x2 cn xn a11x1 a12 x2 a1n xn (, )b1 a21x1 a22 x2 a2n xn (, )b2
• 等值线：位于同一直线上的点的目标函数值相同。
• 最优解：可行解中使目标函数最优(极大或极小)的解
几点说明
• 由线性不等式组成的可行域是凸集(凸集的定 义是：集合内部任意两点连线上的点都属于这 个集合)。
• 可行域有有限个顶点。设规划问题有n个变量， m个约束，则顶点的个数不多于Cnm个。
• 目标函数最优值一定在可行域的边界达到，而 不可能在其内部。
第一化工厂的河流流量为每天500万m3， 两工厂之间有一条流量为每天200万m3的 支流（见图）。
第一化工厂每天排放污水2万m3，第二 化工厂每天排放污水 1.4万m3。污水从 工厂1流到工厂2前会有20%自然净化。 根据环保要求，河水中污水的含量应不 大于0.2%。而工厂1和工厂2处理污水的 成本分别为1000元/万m3和800元/万m3。 问两工厂各应处理多少污水才能使处理 污水的总费用最低？
解的可能性
• 唯一最优解：只有一个最优点。 • 多重最优解：无穷多个最优解。若在两个顶点同时
得到最优解，则它们连线上的每一点都是最优解。
上例的数学模型变为
maxZ= 3x1 +4 x2
x1
≤8
S.t.
2x2 ≤12
3x1 +4 x2 ≤36
x1 ≥0, x2 ≥0
x2
9
x1 =8
D
C(4,6)
6
2x2 =12
设工厂1和工厂2 每天分别处理污水x1 和x2万m3，则有：
Min z=1000x1+800x2 (2-x1)/500 ≤0.002 [0.8(2-x1)+1.4-x2]/700
≤0.002 x1≤2, x2≤1.4
x1, x2≥0
以上两例都有一些共同的特征： ⑴用一组变量表示某个方案，一 般这些变量取值是非负的。
– 目标函数是决策变量的线性函数。 – 有的目标要实现极大，有的则要求极小。
1线性规划问题及其数学模型
1.1问题的提出
例 某工厂在计划期内要安排生产Ⅰ、Ⅱ两种产品，
已知生产单位产品所需的设备台时和原料A、B的消
耗量如下表。 该工厂每生产一件产品Ⅰ可获利2元，
每生产一件产品Ⅱ可获利3元，问应如何安排生产计
线性规划与单纯形法
• 线性规划 （LP： Linear Programming）
• 规划论中的静态规划 • 解决有限资源的最佳分配问题 • 求解方法：
– 图解法 – 单纯形解法
线性规划简介
• 1939年苏联的康托洛维奇（H.B.Kahtopob ）和美国的希奇 柯克（F.L.Hitchcock）等人就在生产组织管理和制定交通 运输方案方面首先研究和应用一线性规划方法。
可行域的确定
• 满足所有约束条件的解的集合，称之为可行域。即所有约束 条件共同围城的区域。
x2
• 例:数学模型为
maxZ= 3x1 +5 x2
x1
≤8
9
x1 =8
D
C(4,6)
6
2x2 =12
S.t.
2x2 ≤12
3
B
3x1 +4 x2 ≤36
x1 ≥0, x2 ≥0
0
4
A
8
12
x1
3x1 +4 x2 =36
3
Z=24
Z=12
B Z=36
0
4
A
8
12
x1
3x1 +4 x2 =36
• 无界解：线性规划问题的可行域无界，使目标函 数无限增大而无界。（缺乏必要的约束条件）
例如
maxZ= 3x1 +2 x2 -2x1 + x2 ≤2
S.t. x1 -3 x2 ≤3 x1 ≥0, x2 ≥0
-1
x2
-2x1 + x2 =2
划能使该厂获利最多？
ⅠⅡ
这个问题可以用下面的数学模型
来描述，设计划期内产品Ⅰ、Ⅱ 的产量分别为x1，x2，可获利润 用z表示，则有：
设备 1 原料 A 4 原料 B 0
2 8 台时 0 16kg 4 12kg
Max Z=2x1+3x2 x1+2x2≤8 4x1 ≤16
4x2≤12 x1, x2≥0
又例 靠近某河流有两个化工厂，流经
线性规划问题的三个要素
•
– 决策问题待定的量值称为决策变量。 – 决策变量的取值要求非负。
• 约束条件
– 任何问题都是限定在一定的条件下求解，把各种限制条 件表示为一组等式或不等式，称之为约束条件。
– 约束条件是决策方案可行的保障。 – LP的约束条件，都是决策变量的线性函数。
• 目标函数
– 衡量决策方案优劣的准则，如时间最省、利润最大、成 本最低。
3
2
Z=12
1
Z=6
x1 -3 x2
1
2
3
=3x1
-1
• 无可行解：若约束条件相互矛盾，则可行域为空集
x2
-2x1 + x2 =2
3
例如
maxZ= 3x1 +2 x2
2
ห้องสมุดไป่ตู้
-2x1 + x2 ≥2
1
S.t. x1 -3 x2 ≥3
• 1947年旦茨格等人提出了求解线性规划问题的单纯形法， 为线性规划的理论与计算奠定了基础。
• 随着电子计算机的出现和日益完善，规划论得到迅速的发 展，可用电子计算机来处理成千上万个约束条件和变量的 大规模线性规划问题，从解决技术问题的最优化，到工业、 农业、商业、交通运输业以及决策分析部门都可以发挥作 用。
am1x1 am2 x2 amnxn (, )bm x1, x2 , xn 0
1.2线性规划的图解法 • 图解法即是用图示的方法来求解线性规划问
题。
• 一个二维的线性规划问题，可以在平面图上 求解，三维的线性规划则要在立体图上求解， 这就比较麻烦，而维数再高以后就不能图示 了。