整式的乘法基础知识讲解
整式的乘法(基础班)
第2讲 整式的乘法【学习目标】1．掌握单项式乘单项式、单项式乘多项式、多项式乘多项式的运算法则；2．灵活运用法则进行正确计算．【教学重难点】1．重点：单项式乘单项式、单项式乘多项式、多项式乘多项式的法则；2．难点：利用转化思想把复杂问题转化为简单问题．考点1：单项式乘单项式知识点与方法技巧梳理：单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式．在单项式与单项式的乘法中，可以分为三部分：1．系数；2．相同字母；3．其中一项单独有的字母． 乘法步骤：1．系数×系数的积做结果的系数；2．相同字母幂相乘的结果做结果的一个因式；3．单独的一个字母的幂也做结果的一个因式．【例1】计算：（1）()2212m n mn x -⋅- （2）2325516x y xyz ⋅（3）()223233a b ab ⎛⎫-⋅ ⎪⎝⎭（4）()()1243m m a b a b -⎡⎤⎡⎤-⋅--⎣⎦⎣⎦ （5）()()322323a x y a b x y ⎡⎤⎡⎤-+⋅+⎣⎦⎣⎦【变式】计算：（1）22221()(3)2x yz xy -⋅ （2）()()232m x y xy -⋅（3）()()334323aab -⋅ （4）（2015高新区期末）22321(2)(3)2x xy y -⋅-⋅（5）()2231910103⎛⎫⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭（6）（2015高新区期末）()()34233222a b a b ⎡⎤⎡⎤+⋅-+⎣⎦⎣⎦【例2】计算：（1）()()()2232353mn mn m n n -⋅-+⋅- （2）()()()2432251225a b a b ab b ⎛⎫-⋅---⋅- ⎪⎝⎭（3）（2015七中嘉祥月考）()()()()34432225222m m nm n m n m m n 轾-?-+-?臌（4）（2015西川中学月考）()()()()22222322223+5a b x y ab x y a b x y x y 轾+?++?犏臌【变式】计算：（1）()()43324113724518abab a b a b -?? （2）322453237()816(0.25)2x x x x x ???（3）()()()425343224254()()a bca b c a bc a b a b c -+?+-?（4）（201七中育才期中）()()()()2223327x y yxy xy xy x -+-?-?考点2：单项式乘多项式知识点与方法技巧梳理：单项式与多项式相乘，就是根据分配律用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．注意：1．括号里的多项式可以看成省略加号的代数和，在与单项式相乘时注意结果的符号；2．单项式应与多项式中的每一项相乘，不能漏乘常数项；3．对于混合运算，如有同类项应合并，最后结果写成最简形式．【例】计算：（1）()()234a b ab -+⋅- （2）()214682x x x ⎛⎫-+-⋅- ⎪⎝⎭（3）()()()322263221x x y x x y --⋅-+- （4）()()()2232122341x x x x x -+----【变式】计算：（1）()()22255a a a b b a b ---- （2）()()222131a b ab ab ab -++-（3）()222323(2)34a a b a a b a -+-- （4）22116128723n n a b ab a b b -⎛⎫--⎪⎝⎭考点3：多项式乘多项式知识点与方法技巧梳理：多项式乘多项式多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．【例】计算：（1）()()12a b a b ++- （2）()()()()3123454a a a a +----（3）()()()222x x x x -+- （4）(23)(32)(23)(32)a b a b a b a b +---+【变式】计算（1）()()23423a b a b -++ （2）()()()()3532125a a a a +-++-（3）()()()()2331345xy xy xy xy +--+- （4）22(2)(3)(2)(3)a a a a a a +-+-+考点4：整式乘法的综合应用【例1】（2015金牛区期末）先化简，再求值：()()()()154254a a a a ++--+，其中1a =-．【变式】1．先化简，再求值：22222()[(2)2()]3xy xy x xy x xy y -?--，其中 1.5x =-，2y =．2．先化简，再求值：()()()()222312xy x x xy x y +-++-+，其中1x =，2y =-．3．已知092=-x ，求代数式()()225129x x x x x -++--+的值．【例2】解方程：()()()82254625x x x x x +-+-=+．【变式】1．解方程：()()()()()3211124x x x x x x ++-+-=+2．（2015树德实验月考）解不等式：()()()()2324423x x x x +-≤+-【例4】若多项式()()2234x mx nx x ++-+展开后不含3x 项和2x 项，试求,m n 的值．【变式】若425x x px +++与23x x q +-的积中不含3x 与x 项，求p 、q 的值．【例5】已知2230x x +-=，求422182017x x x -+-的值．【变式】（2014锦江区期末）已知2230x x ++=，求43223972000x x x x ++++的值．【能力提升】【例1】已知8,14,7==++=++xyz zx yz xy z y x ，求222222()()()x y y z z x x y y z z x ++-+++的值．【例2】已知7=+by ax ，4922=+by ax ，13333=+by ax ，40644=+by ax ，求a b x y xy+++的值．。
整式乘除知识点
整式乘除知识点在数学的学习中，整式乘除是一个重要的部分，它不仅是后续学习代数运算的基础，也在解决实际问题中有着广泛的应用。
下面就让我们一起来深入了解整式乘除的相关知识点。
一、整式的乘法（一）单项式乘以单项式法则：把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。
例如：3x²y × 5xy³＝ 15x³y⁴（二）单项式乘以多项式法则：用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。
例如：2x(3x² 5x ＋ 1) ＝ 6x³ 10x²＋ 2x（三）多项式乘以多项式法则：先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
例如：（x ＋ 2)（x 3) ＝ x² 3x ＋ 2x 6 ＝ x² x 6二、整式的除法（一）单项式除以单项式法则：把系数、同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式。
例如：18x⁴y³z² ÷ 3x²y²z ＝ 6x²yz（二）多项式除以单项式法则：先把这个多项式的每一项分别除以这个单项式，然后把所得的商相加。
例如：（9x³y 18x²y²＋ 3xy³) ÷ 3xy ＝ 3x² 6xy ＋ y²三、乘法公式（一）平方差公式（a ＋ b)（a b) ＝ a² b²例如：（3x ＋ 2)（3x 2) ＝ 9x² 4（二）完全平方公式（a ＋ b)²＝ a²＋ 2ab ＋ b²（a b)²＝ a² 2ab ＋ b²例如：（x ＋ 5)²＝ x²＋ 10x ＋ 25四、整式乘除的应用（一）几何图形中的应用在求解长方形、正方形等图形的面积和周长时，经常会用到整式的乘除。
整式的运算知识点总结
整式的运算知识点总结整式是由字母、数字和运算符号组成的多项式，是代数学中常见的基本表达形式。
整式的运算是代数学中较为基础的内容之一，掌握整式的运算方法对于解决代数问题至关重要。
本文将对整式的运算知识点进行总结，包括整式的加减乘除以及相关的运算性质。
一、整式的加法和减法运算整式的加法和减法是最基础的运算，需要注意以下几点：1. 相同项的加减：对于相同的字母和指数的项，可以直接按照系数相加减的原则进行合并。
例如：3x^2 + 4x^2 = 7x^2；5y - 2y = 3y。
2. 不同项的加减：对于不同的项，无法进行合并。
可以将它们按照字母和指数的大小进行排列。
例如：2x^2 + 3x - 5x^2 - 2x = 2x^2 - 5x^2 + 3x - 2x = -3x^2 + x。
二、整式的乘法运算整式的乘法是将两个整式相乘得到一个新的整式，需要注意以下几点：1. 乘法的分配律：对于整式乘以一个数，可以将这个数分别乘以每一项，并将结果相加。
例如：3(2x^2 + 3x) = 6x^2 + 9x。
2. 乘法的合并同类项：乘法运算时，需要合并同类项，即将相同的字母和指数的项合并。
例如：(2x + 3)(4x - 2) = 8x^2 + 4x - 12x - 6 = 8x^2 - 8x - 6。
三、整式的除法运算整式的除法是将一个整式除以另一个整式得到商式和余式的运算，需要注意以下几点：1. 整式的除法并不总是能够完全除尽，有可能存在余数。
2. 设被除式为A(x)，除式为B(x)，商式为Q(x)，余式为R(x)，则A(x) = B(x)Q(x) + R(x)。
3. 除法的过程涉及到带余除法的计算步骤，可以利用这个过程来进行整数和多项式的除法。
四、整式的运算性质整式的运算有以下几个基本性质：1. 交换律：加法和乘法都满足交换律，即a + b = b + a，ab = ba。
2. 结合律：加法和乘法都满足结合律，即a + (b + c) = (a + b) + c，a(bc) = (ab)c。
初中数学整式的乘除与分解因式知识点
初中数学整式的乘除与分解因式知识点
整式的乘法与除法是初中数学中的重点内容之一。
下面是一些相关的知识点：
1. 整式的乘法：整式的乘法要注意项的乘法和系数的乘法。
将每一项的系数分别相乘，并将指数分别相加，得到乘积的系数和指数。
例如：(3x+2)(4x-1)
首先扩展，得到12x^2 + 5x - 2。
2. 整式的除法：整式的除法是通过“乘除消数”的方法来完成的。
将除数乘以一个适
当的式子，使得结果与被除式的某个部分相等或尽量接近。
然后将乘积减去被除式，
重复之前的步骤，直到无法再减少为止。
例如：(2x^2 + 5x + 3) ÷ (x + 1)
首先将被除式分解为(x + 1)(2x + 3)，然后进行乘法，得到2x^2 + 5x + 3。
然后将乘积减去被除式，得到0。
所以结果为2x + 3。
3. 因式的分解：整式的因式分解是将一个整式写成几个因式的乘积的形式。
例如：6x^2 + 11x + 3的因式分解为(2x + 1)(3x + 3)。
这些知识点在初中数学中是比较基础的内容，掌握了整式的乘除与分解因式的方法，
将有助于解决更复杂的数学问题。
整式的乘法(基础)知识讲解
整式的乘法（基础）【学习目标】1. 会进行单项式的乘法,单项式与多项式的乘法,多项式的乘法计算．2. 掌握整式的加、减、乘、乘方的较简单的混合运算，并能灵活地运用运算律简化运算.【要点梳理】要点一、单项式的乘法法则单项式与单项式相乘，把它们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它们的指数作为积的一个因式.要点诠释：（1）单项式的乘法法则的实质是乘法的交换律和同底数幂的乘法法则的综合应用.（2）单项式的乘法方法步骤：积的系数等于各系数的积，是把各单项式的系数交换到一起进行有理数的乘法计算，先确定符号，再计算绝对值；相同字母相乘，是同底数幂的乘法，按照“底数不变，指数相加”进行计算；只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数写在积里作为积的一个因式.（3）运算的结果仍为单项式，也是由系数、字母、字母的指数这三部分组成.（4）三个或三个以上的单项式相乘同样适用以上法则.要点二、单项式与多项式相乘的运算法则单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.即()m a b c ma mb mc ++=++.要点诠释：（1）单项式与多项式相乘的计算方法，实质是利用乘法的分配律将其转化为多个单项式乘单项式的问题.（2）单项式与多项式的乘积仍是一个多项式，项数与原多项式的项数相同.（3）计算的过程中要注意符号问题，多项式中的每一项包括它前面的符号，同时还要注意单项式的符号.（4）对混合运算，应注意运算顺序，最后有同类项时，必须合并，从而得到最简的结果.要点三、多项式与多项式相乘的运算法则多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即()()a b m n am an bm bn ++=+++.要点诠释：多项式与多项式相乘，仍得多项式.在合并同类项之前，积的项数应该等于两个多项式的项数之积.多项式与多项式相乘的最后结果需化简，有同类项的要合并.特殊的二项式相乘：()()()2x a x b x a b x ab ++=+++. 【典型例题】类型一、单项式与单项式相乘1、计算：（1）221323ab a b abc ⎛⎫⋅-⋅ ⎪⎝⎭； （2）121(2)(3)2n n x y xy x z +⎛⎫-⋅-⋅- ⎪⎝⎭； （3）232216()()3m n x y mn y x -⋅-⋅⋅-．【思路点拨】前两个题只要按单项式乘法法则运算即可，第（3）题应把x y -与y x -分别看作一个整体，那么此题也属于单项式乘法，可以按单项式乘法法则计算．【答案与解析】解： （1）221323ab a b abc ⎛⎫⋅-⋅ ⎪⎝⎭22132()()3a a a b b b c ⎡⎤⎛⎫=⨯-⨯⋅⋅⋅⋅ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦442a b c =-．（2）121(2)(3)2n n x y xy x z +⎛⎫-⋅-⋅- ⎪⎝⎭121(2)(3)()()2n n x x x y y z +⎡⎤⎛⎫=-⨯-⨯-⋅⋅⋅ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ 413n n x y z ++=-．（3）232216()()3m n x y mn y x -⋅-⋅⋅-232216()()3m n x y mn x y =-⋅-⋅⋅- 22321(6)()()[()()]3m m n n x y x y ⎡⎤=-⨯⋅⋅-⋅-⎢⎥⎣⎦ 3352()m n x y =--．【总结升华】凡是在单项式里出现过的字母，在其结果里也应全都有，不能漏掉． 举一反三：【变式】（2014•甘肃模拟）计算：2m 2•（﹣2mn ）•（﹣m 2n 3）．【答案】解：2m 2•（﹣2mn ）•（﹣m 2n 3）=[2×（﹣2）×（﹣）]（m 2×mn×m 2n 3）=2m 5n 4．类型二、单项式与多项式相乘2、 计算：（1）21242233ab ab ab b ⎛⎫⎛⎫--+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭； （2）22213(6)32xy y x xy ⎛⎫-+-- ⎪⎝⎭； （3）2222340.623a ab b a b ⎛⎫⎛⎫+--⎪⎪⎝⎭⎝⎭； 【答案与解析】解：（1）21242233ab ab ab b ⎛⎫⎛⎫--+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 212114(2)23223ab ab ab ab ab b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⋅+--+-⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 232221233a b a b ab =-+-． （2）22213(6)32xy y x xy ⎛⎫-+-- ⎪⎝⎭ 2222213(6)(6)()(6)32xy xy y xy x xy ⎛⎫=--+-+-- ⎪⎝⎭23432296x y xy x y =-+．（3）2222340.623a ab b a b ⎛⎫⎛⎫+-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭2222334253a ab b a b ⎛⎫⎛⎫=+-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 222222223443423353a a b ab a b b a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅-+⋅-+-- ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 42332444235a b a b a b =--+． 【总结升华】计算时，符号的确定是关键，可把单项式前和多项式前的“＋”或“－”号看作性质符号，把单项式乘以多项式的结果用“＋”号连结，最后写成省略加号的代数和．举一反三：【变式1】224312(6)2m n m n m n ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭． 【答案】解：原式2224232211222m n m n m n +⨯⎛⎫=-+-⋅ ⎪⎝⎭ 26262262171221244m n m n m n m n m n =-+=-．【变式2】若n 为自然数，试说明整式()()2121n n n n +--的值一定是3的倍数．【答案】解：()()2121n n n n +--＝222223n n n n n +-+= 因为3n 能被3整除，所以整式()()2121n n n n +--的值一定是3的倍数．类型三、多项式与多项式相乘3、计算：（1）(32)(45)a b a b +-；（2）2(1)(1)(1)x x x -++；（3）()(2)(2)()a b a b a b a b +--+-；（4）25(21)(23)(5)x x x x x ++-+-．【答案与解析】解：（1）(32)(45)a b a b +-221215810a ab ab b =-+-2212710a ab b =--． （2）2(1)(1)(1)x x x -++22(1)(1)x x x x =+--+41x =-． （3）()(2)(2)()a b a b a b a b +--+-2222(2)(2)a ab b a ab b =---+- 222222a ab b a ab b =----+2ab =-．（4）25(21)(23)(5)x x x x x ++-+-322(5105)(2715)x x x x x =++---32251052715x x x x x =++-++32581215x x x =+++．【总结升华】多项式乘以多项式时须把一个多项式中的每一项乘以另一个多项式的每一项，刚开始时要严格按法则写出全部过程，以熟悉解题步骤，计算时要注意的是：（1）每一项的符号不能弄错；（2）不能漏乘任何一项．4、（2014秋•花垣县期末）解方程：（x+7）（x+5）﹣（x+1）（x+5）=42．【思路点拨】先算乘法，再合并同类项，移项，系数化成1即可．【答案与解析】解：（x+7）（x+5）﹣（x+1）（x+5）=42，x 2+12x+35﹣（x 2+6x+5）=42，6x+30=42，6x=12，x=2．【总结升华】本题考查了解一元一次方程，多项式乘以多项式的应用，主要考查学生的计算能力，难度适中．举一反三：【变式】求出使(32)(34)9(2)(3)x x x x +->-+成立的非负整数解．【答案】不等式两边分别相乘后，再移项、合并、求解．解：22912689(6)x x x x x -+->+-， 229689954x x x x -->+-，229699854x x x x --->-，1546x ->-，4615x <． ∴ x 取非负整数为0，1，2，3．本文档部分内容来源于网络，如有内容侵权请告知删除，感谢您的配合！。
七年级整式乘除知识点
七年级整式乘除知识点整式乘除是中学数学中的基础知识，在初中数学学习中占据重要地位。
在学习整式乘除时，我们需要掌握以下几个知识点。
一、多项式和整式1、定义多项式是由数和字母的有限次幂及它们的积和常数所组成的代数式，例如：6x^2+3x-5。
整式是由整数和字母的有限次幂及它们的积所组成的代数式，例如：6x^2+3x-5和2xy-3。
2、多项式的拆分分解一个多项式可以帮助我们进行整式的乘除。
将一个多项式分解成乘积形式可以帮助我们更好地进行因式分解。
例如：6x^2+3x-5可以拆分成(2x+5)(3x-1)的形式。
二、整式乘法1、整式相乘的基本法则在实际计算中，整式的乘法可以通过分配律和交换律来进行简化。
例如：(2x+3)(3x-1)，可以先用分配律将式子展开，得到6x^2+7x-3的结果。
2、含有平方项的整式乘法含有平方项的整式乘法可以使用公式(a+b)^2=a^2+2ab+b^2进行简化。
例如：(x+2)^2，使用公式可以得到x^2+4x+4的结果。
三、整式除法1、整式除法的定义整式除法是指用一个整式除以另一个整式，得到商式和余式的过程。
例如：将3x^3+4x^2+2x-1除以x+1。
2、整式除法的步骤（1）将被除式按照降幂排列，并补齐无次数项，使它们与除式次数相同。
（2）将除式的第一项和被除式的最高次数项相比较，得到商式的第一项，将商式的第一项与除式相乘，并将结果放在一个较高的位置。
（3）将乘积所得的结果减去被除式第一项与商式第一项的乘积。
（4）将新得到的差式按照降幂排列，并重复执行（2）和（3）步骤，直到余式的次数不超过除式的次数。
例如：将3x^3+4x^2+2x-1除以x+1，经过计算可得商式为3x^2+x+1，余式为0。
以上就是七年级整式乘除知识点的相关内容。
在学习整式乘除时，我们需要多加练习，通过不断的练习和思考，才能更好的掌握这些知识点，并在以后的数学学习中有更好的发挥。
初中数学整式的乘除与因式分解知识点归纳
初中数学整式的乘除与因式分解知识点归纳一、整式的乘法：1.普通整式相乘：将每一项的系数相乘，同时将每一项的指数相加。
2.平方整式相乘：先将每一项平方，再将每一项相乘得到结果。
3.完全平方的平方差公式：(a-b)(a+b)=a²-b²。
4. 公式展开：通过公式展开可求两个或多个整式的乘积，例如(a+b)²=a²+2ab+b²。
二、整式的除法：1.整式相除的概念：整式A除以整式B，若存在整式C，使得B×C=A，那么C称为A除以B的商式。
2.用辗转相除法进行整式的除法计算。
三、因式分解：1.抽象公因式法：将多项式中的每一项提取出公因式，然后将剩下的部分合并。
2.公式法：运用一些常用的公式，如平方差公式、完全平方公式等进行因式分解。
3.分组法：将多项式中的项进行分组，使每一组都有一个公因式，然后进行合并。
4. 二次三项式的因式分解：对于二次三项式a²+2ab+b²或a²-2ab+b²，可以因式分解为(a±b)²。
5.因式定理和余式定理：若(x-a)是多项式P(x)的因式，则P(a)=0。
根据这一定理可以找到多项式的因式。
四、常见整式的因式分解：1.平方差公式：a²-b²=(a+b)(a-b)。
2. 完全平方公式：a²+2ab+b²=(a+b)²，a²-2ab+b²=(a-b)²。
3. 符号"相反"公式：a²-2ab+b²=(b-a)²。
4. 三项平方公式：a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²)，a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²)。
5. 公因式公式：a²+ab=a(a+b)。
《整式的乘法复习》课件
学习建议与展望
深入理解概念
建议学生深入理解整式乘法的 概念和性质，掌握其本质，以
便更好地应用所学知识。
提高运算能力
强调学生应通过多做练习题提 高整式乘法的运算能力，掌握 常用的运算技巧。
拓展应用领域
建议学生将整式乘法的应用拓 展到其他学科领域，如物理、 化学等，以增强跨学科应用能 力。
展望未来发展
$(x+y)(x^2+y^2) = (x^2+y^2)(x+y)$，可用于交换多项式相乘的顺序。
整式乘法的综合练
04
习
基础练习题
总结词
掌握基本概念和规则
详细描述
包括单项式与单项式相乘、单项式与多项式相乘、多项式与 多项式相乘等基础题型，旨在帮助学生掌握整式乘法的基本 概念和规则。
提高练习题
总结词
学习方法总结
主动参与
强调在学习整式乘法过程中，学 生应积极参与课堂讨论，主动思
考问题，提高自主学习能力。
实践应用
建议学生在课后多做练习题，通过 实践应用加深对整式乘法的理解， 提高运算能力和解决问题的能力。
归纳总结
鼓励学生对所学知识进行归纳总结 ，形成知识体系，以便更好地掌握 整式乘法的核心概念和运算规则。
小。
整式乘法的技巧与
03
注意事项
乘法公式的运用
01
02
03
平方差公式
$(a+b)(a-b) = a^2 b^2$，可用于简化整式 乘法。
完全平方公式
$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$，可用于展开整 式和简化整式乘法。
平方差公式
$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$，可用于展开整式 和简化整式乘法。
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整式的乘法（基础）
【学习目标】
1.会进行单项式的乘法,单项式与多项式的乘法,多项式的乘法计算．
2.掌握整式的加、减、乘、乘方的较简单的混合运算，并能灵活地运用运算律简化运算.
【要点梳理】
要点一、单项式的乘法法则
单项式与单项式相乘，把它们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它们的指数作为积的一个因式.
要点诠释：（1）单项式的乘法法则的实质是乘法的交换律和同底数幂的乘法法则的综
合应用.
（2）单项式的乘法方法步骤：积的系数等于各系数的积，是把各单项式的系数交换到
一起进行有理数的乘法计算，先确定符号，再计算绝对值；相同字母
相乘，是同底数幂的乘法，按照“底数不变，指数相加”进行计算；
只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数写在积里作为积的一
个因式.
（3）运算的结果仍为单项式，也是由系数、字母、字母的指数这三部分组成.
（4）三个或三个以上的单项式相乘同样适用以上法则.
要点二、单项式与多项式相乘的运算法则
单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加. 即()m a b c ma mb mc ++=++.
要点诠释：（1）单项式与多项式相乘的计算方法，实质是利用乘法的分配律将其转化
为多个单项式乘单项式的问题.
（2）单项式与多项式的乘积仍是一个多项式，项数与原多项式的项数相同.
（3）计算的过程中要注意符号问题，多项式中的每一项包括它前面的符号，同时还要
注意单项式的符号.
（4）对混合运算，应注意运算顺序，最后有同类项时，必须合并，从而得到最简的结
果.
要点三、多项式与多项式相乘的运算法则
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即()()a b m n am an bm bn ++=+++.
要点诠释：多项式与多项式相乘，仍得多项式.在合并同类项之前，积的项数应该等于两个多项式的项数之积.多项式与多项式相乘的最后结果需化简，有同类项的要合并.特殊的二项式相乘：()()()2x a x b x a b x ab ++=+++.
【典型例题】
类型一、单项式与单项式相乘
1、计算：
（1）221323ab a b abc ⎛⎫⋅-⋅ ⎪⎝⎭
；
（2）121(2)(3)2n n x y xy x z +⎛⎫-⋅-⋅- ⎪⎝⎭
； （3）232216()()3
m n x y mn y x -⋅-⋅⋅-． 【思路点拨】前两个题只要按单项式乘法法则运算即可，第（3）题应把x y -与y x -分别看作一个整体，那么此题也属于单项式乘法，可以按单项式乘法法则计算．
【答案与解析】
解：（1）221323ab a b abc ⎛⎫⋅-⋅ ⎪⎝⎭
442a b c =-．
（2）121(2)(3)2n n x y xy x z +⎛⎫-⋅-⋅- ⎪⎝⎭
413n n x y z ++=-．
（3）232216()()3
m n x y mn y x -⋅-⋅⋅- 3352()m n x y =--．
【总结升华】凡是在单项式里出现过的字母，在其结果里也应全都有，不能漏掉． 举一反三：
【变式】（2014?甘肃模拟）计算：2m 2?（﹣2mn ）?（﹣m 2n 3
）．
【答案】解：2m 2?（﹣2mn ）?（﹣m 2n 3）
=[2×（﹣2）×（﹣）]（m 2×mn×m 2n 3） =2m 5n 4．
类型二、单项式与多项式相乘
2、计算：
（1）2124223
3ab ab ab b ⎛⎫⎛⎫--+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭； （2）22213(6)32xy y x xy ⎛⎫-+-- ⎪⎝⎭
； （3）2222340.623a ab b a b ⎛⎫⎛⎫+-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭
；
【答案与解析】
解：（1）21242233ab ab ab b ⎛⎫⎛⎫--+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 232221233
a b a b ab =-+-． （2）22213(6)32xy y x xy ⎛⎫-+-- ⎪⎝⎭
23432296x y xy x y =-+．
（3）2222340.623a ab b a b ⎛⎫⎛⎫+-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭2222334253a ab b a b ⎛⎫⎛⎫=+-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭
42332444235
a b a b a b =--+． 【总结升华】计算时，符号的确定是关键，可把单项式前和多项式前的“＋”或“－”号看作性质符号，把单项式乘以多项式的结果用“＋”号连结，最后写成省略加号的代数和．
举一反三：
【变式1】2
24312(6)2m n m n m n ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭． 【答案】
解：原式2
224232211222m n m n m n +⨯⎛⎫=-+-⋅ ⎪⎝⎭
26262262171221244
m n m n m n m n m n =-+=-． 【变式2】若n 为自然数，试说明整式()()2121n n n n +--的值一定是3的倍数．
【答案】
解：()()2121n n n n +--＝222223n n n n n +-+=
因为3n 能被3整除，所以整式()()2121n n n n +--的值一定是3的倍数．
类型三、多项式与多项式相乘 3、计算：
（1）(32)(45)a b a b +-；
（2）2(1)(1)(1)x x x -++；
（3）()(2)(2)()a b a b a b a b +--+-；
（4）25(21)(23)(5)x x x x x ++-+-．
【答案与解析】
解：（1）(32)(45)a b a b +-221215810a ab ab b =-+-2212710a ab b =--．
（2）2(1)(1)(1)x x x -++22(1)(1)x x x x =+--+41x =-．
（3）()(2)(2)()a b a b a b a b +--+-2222(2)(2)a ab b a ab b =---+-
222222a ab b a ab b =----+2ab =-．
（4）25(21)(23)(5)x x x x x ++-+-
32581215x x x =+++．
【总结升华】多项式乘以多项式时须把一个多项式中的每一项乘以另一个多项式的每一项，刚开始时要严格按法则写出全部过程，以熟悉解题步骤，计算时要注意的是：（1）每一项的符号不能弄错；（2）不能漏乘任何一项．
4、（2014秋?花垣县期末）解方程：（x+7）（x+5）﹣（x+1）（x+5）=42．
【思路点拨】先算乘法，再合并同类项，移项，系数化成1即可．
【答案与解析】
解：（x+7）（x+5）﹣（x+1）（x+5）=42，
x 2+12x+35﹣（x 2
+6x+5）=42，
6x+30=42，
6x=12， x=2．
【总结升华】本题考查了解一元一次方程，多项式乘以多项式的应用，主要考查学生的计算能力，难度适中．
举一反三：
【变式】求出使(32)(34)9(2)(3)x x x x +->-+成立的非负整数解．
【答案】不等式两边分别相乘后，再移项、合并、求解．
解：22912689(6)x x x x x -+->+-，
229689954x x x x -->+-，
229699854x x x x --->-，
1546x ->-，
4615
x <．
∴x取非负整数为0，1，2，3．。