高中数学直线的方程一般式同步练习 试题
高中数学 必修二 同步练习 专题3.2.3 直线的一般式方程(原卷版)
一、选择题1．已知直线0Ax By C ++=不经过第一象限，且A ，B ，C 均不为零，则有 A ．0C < B ．0C > C ．0BC >D ．0BC <2．经过点A (2,-1),B (-4,5)的直线的一般式方程为 A ．x+y+1=0B ．x-y+1=0C ．x-y-1=0D ．x+y-1=03．已知直线()410a x y -++=与直线2350x y +-=垂直，则a =A ．143 B ．52C ．112D ．34．把直线310x y -+-=绕点()1,3逆时针旋转15°后，所得直线l 的方程是 A ．3y x =-B ．3y x =C ．320x y -+=D ．320x y +-=5．已知直线ax ＋by ＋c =0的图象如图，则下列结论正确的是A ．若c >0，则a >0，b >0B ．若c >0，则a <0，b >0C ．若c <0，则a >0，b <0D ．若c <0，则a >0，b >06．过点P (1,3)，且与x ，y 轴的正半轴围成的三角形的面积等于6的直线l 的一般式方程是A ．3x ＋y −6=0B ．x ＋3y −10=0C ．3x −y =0D ．x −3y ＋8=07．已知直线(2m 2－m ＋3)x ＋(m 2＋2m )y ＝4m ＋1在x 轴上的截距为1，则实数m 的值为A ．2或12B ．2或－12 C ．－2或－12D ．－2或12二、填空题 8．已知直线过定点,且倾斜角为60︒,则直线的一般式方程为________.9．已知直线222()(0)32a x a a y a ++---=在x 轴上的截距为3，则该直线在y 轴上的截距为________． 10．已知直线1:210l ax y --=，直线2:l 320x y +-=，则1l 过定点_________；当a =________时，1l 与2l 平行． 三、解答题11．把直线的一般式方程化成斜截式，求出直线的斜率以及它在轴与轴上的截距，并画出图形.12．根据下列条件求解直线的一般式方程.(1)直线的斜率为2，且经过点A (1，3)； (2)斜率为，且在y 轴上的截距为4；(3)经过两点A (2，－3)，B (－1，－5)； (4)在x ，y 轴上的截距分别为2，－4.13．已知直线l 的方程为34120x y +-=，求：（1）过点()1,3-，且与l 平行的直线方程； （2）过点()1,3-，且与l 垂直的直线方程.14．已知直线l 平行于直线，直线l 与两坐标轴围成的三角形的周长是15，求直线l 的方程.15．已知直线()1:280l m x my -+-=与直线2:30l mx y +-=，其中m 为常数.（1）若12l l ⊥，求m 的值；（2）若点()1,2P m 在2l 上，直线l 过P 点，且在两坐标轴上的截距之和为0，求直线l 的方程.。
高中-数学-通用版-3.2.3 直线的一般式方程
3.2.3 直线的一般式方程一、选择题1、过点（1，0）且与直线x-2y-2＝0平行的直线方程是（）A. x-2y-1＝0B. x-2y＋1＝0C. 2x＋y-2＝0D. x＋2y-1＝02、已知直线Ax＋By＋C＝0的横截距大于纵截距，则A，B，C应满足的条件是（）A. A＞BB. A＜BC. C CA B+＞0 D.C CA B-＜03、如果直线ax＋2y＋2＝0与直线3x-y-2＝0平行，那么系数a等于（）A. -3B. -6C.32- D.324、若直线ax＋by＋c＝0经过第一、二、三象限，则（）A. ab＞0，bc＞0B. ab＞0，bc＞0C. ab＜0，bc＞0D. ab＜0，bc＜05、直线l1：ax-y＋b＝0，l2：bx＋y-a＝0（ab≠0）的图像只可能是下图中的（）A. B.C. D.6、已知直线l1：（k-3）x＋（3-k）y＋1＝0与直线l2：2（k-3）x-2y＋3＝0垂直，则k 的值是（）A. 2B. 3C. 2或3D. 2或-37、直线l的方程为Ax＋By＋C＝0，若l过原点和二、四象限，则（）A. B. C. D.8、直线x-2y＋1＝0关于直线x＝1对称的直线方程是（）A. x＋2y-1＝0B. 2x＋y-1＝0C. 2x＋y-3＝0D. x＋2y-3＝09、若直线ax＋by＋6＝0在x轴、y轴上的截距分别是-2和3，则实数a，b的值分别为（ ）A. 3，2B. -3，-2C. -3，2D. 3，-210、直线l 过点P （1，3），且与x ，y 轴正半轴围成的三角形的面积等于6的直线方程是（ ） A. 3x ＋y -6＝0 B. x ＋3y -10＝0C. 3x -y ＝0D. x -3y ＋8＝0二、填空题11、纵截距为-4，与两坐标轴围成三角形的面积为20的直线的一般式方程为______． 12、经过点P （3，-1），且在x 轴上的截距等于在y 轴上的截距的2倍的直线l 的方程是______． 三、解答题13、直线的截距式方程1x ya b+=化为斜截式方程为y ＝-2x ＋b ，化为一般式方程为bx ＋ay -8＝0．求a ，b 的值．14、求过点A （2，2）且分别满足下列条件的直线方程： （1）与直线2x ＋y -1＝0平行； （2）与2x ＋y -1＝0垂直．15、根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程：（1A （5，3）； （2）过点B （-3，0），且垂直于x 轴； （3）斜率为4，在y 轴上的截距为-2； （4）在y 轴上的截距为3，且平行于x 轴； （5）经过C （-1，5），D （2，-1）两点； （6）在x 轴，y 轴上截距分别为-3，-1．参考答案1、【答案】A【分析】本题考查直线的一般式方程和点斜式方程.【解答】直线x-2y-2＝0的斜率为12，又所求直线过点（1，0），故由点斜式方程可得，所求直线方程为y＝12（x-1），即x-2y-1＝0．2、【答案】D【分析】本题考查直线的一般式方程.【解答】由条件知A·B·C≠0，在方程Ax＋By＋C＝0中，令x＝0得y＝CB-，令y＝0得x＝CA-，由CA-＞CB-得C CA B-＜0．3、【答案】B【分析】本题考查直线的一般式方程与直线的平行关系.【解答】两直线平行，则22312a=≠--，得a＝-6．选B.4、【答案】D【分析】本题考查直线的一般式方程与直线的性质.【解答】直线经过第一、二、三象限，则由y＝a cxb b--可知，0,0,abcb⎧->⎪⎪⎨⎪->⎪⎩⇒0,0,abbc<⎧⎨<⎩选D.5、【答案】B【分析】本题考查直线的一般式方程与直线的性质.【解答】l1：y＝ax＋b，l2：y＝-bx＋a，在A选项中，由l1的图像知a＞0，b＜0，判知l2的图像不符合．在B选项中，由l1的图像知a＞0，b＜0，判知l2的图像符合，在C 选项中，由l1知a＜0，b＞0，∴-b＜0，排除C；在D选项中，由l1知a＜0，b＜0，由l2知a＞0，排除D. ∴应选B.6、【答案】C【分析】本题考查直线的一般式方程与直线的垂直关系.【解答】∵l1⊥l2，∴2（k-3）2-2（3-k）＝0，即k2-5k＋6＝0，得k＝2或k＝3．7、【答案】D【分析】本题考查直线的一般式方程与直线的性质.答案第1页，共3页【解答】∵l 过原点，∴C ＝0，又l 过二、四象限，∴l 的斜率AB-＜0，即AB ＞0． 8、【答案】D【分析】本题考查中点坐标公式和直线的一般式方程.【解答】设P （x ，y ）是所求直线上任一点，它关于直线x ＝1对称点P ′（2-x ，y ）在已知直线x -2y ＋1＝0上，∴2-x -2y ＋1＝0，即x ＋2y -3＝0． 9、【答案】D【分析】本题考查直线的一般式方程. 【解答】当y ＝0时，x ＝6a -＝-2，∴a ＝3，当x ＝0时，y ＝6b-＝3，∴b ＝-2，选D. 10、【答案】A【分析】本题考查直线的截距式方程.【解答】依题意可设直线方程为()10,0x ya b a b+=>>，则解得∴直线方程为126x y+=，即3x ＋y -6＝0． 11、【答案】2x -5y -20＝0或2x ＋5y ＋20＝0 【分析】本题考查直线的截距式方程和一般式方程.【解答】设直线的方程为y ＝kx -4（k ≠0），由y ＝0得x ＝4k，∵直线与两坐标轴围成的面积为20，∴12×|-4|×|4k |＝20，k ＝±25，∴所求直线的方程为y ＝±25x -4，即2x -5y -20＝0和2x ＋5y ＋20＝0．12、【答案】x ＋3y ＝0或x ＋2y -1＝0【分析】本题考查直线的截距式方程和一般式方程.【解答】当过原点时，其直线方程为y ＝13-x ；当不过原点时，可设直线方程为12x ya a+=，代入P （3，-1），得3112a a -=，解得a ＝12，∴x ＋2y ＝1．∴直线l 的方程为x ＋3y ＝0或x ＋2y -1＝0．13、【答案】a ＝2，b ＝4或a ＝-2，b ＝-4．【分析】本题考查直线的截距式方程，斜截式方程和一般式方程. 【解答】由1x y a b +=，化得y ＝b a-x ＋b ＝-2x ＋b ，又可化得：bx ＋ay -ab ＝bx ＋ay -8＝0，则ba＝2，且ab ＝8．解得a ＝2，b ＝4或a ＝-2，b ＝-4． 14、【答案】（1）2x ＋y -6＝0；（2）x -2y ＋2＝0.答案第3页，共3页【分析】本题考查直线的一般式方程与直线的平行、垂直关系. 【解答】解法一：已知直线l ：2x ＋y -1＝0的斜率k ＝-2．（1）过A （2，2）与l 平行的直线方程为y -2＝-2（x -2）．即2x ＋y -6＝0． （2）过A 与l 垂直的直线的斜率k 1＝112k -=，方程为y -2＝12（x -2）．即x -2y ＋2＝0为所求．解法二：（1）设所求直线方程为2x ＋y ＋c ＝0，由（2，2）点在直线上，∴2×2＋2＋c ＝0，∴c ＝-6．∴所求直线为2x ＋y -6＝0．（2）设所求直线方程为x -2y ＋λ＝0，由（2，2）点在直线上，∴2-2×2＋λ＝0，∴λ＝2．∴所求直线为x -2y ＋2＝0．15、【答案】（1-y ＋3-50；（2）x ＋3＝0；（3）4x -y -2＝0；（4）y -3＝0；（5）2x ＋y -3＝0；（6）x ＋3y ＋3＝0．【分析】本题考查直线的点斜式方程，两点式方程，截距式方程和一般式方程. 【解答】（1）由点斜式方程得y -3x -5）-y ＋3-0． （2）x ＝-3，即x ＋3＝0． （3）y ＝4x -2，即4x -y -2＝0． （4）y ＝3，即y -3＝0．（5）由两点式方程得()()151521x y ---=----，即2x ＋y -3＝0．（6）由截距式方程得131x y +=--，即x ＋3y ＋3＝0．。
人教A版高中数学必修2课时检测(十九)直线的一般式方程
课时跟踪检测（十九） 直线的一般式方程一、题组对点训练对点练一 直线的一般式方程1．直线x －3y ＋1＝0的倾斜角为( ) A ．30° B ．60° C ．120°D ．150°解析：选A 由直线的一般式方程，得它的斜率为33，从而倾斜角为30°. 2．斜率为2，且经过点A (1,3)的直线的一般式方程为________．解析：由直线点斜式方程可得y －3＝2(x －1)，化成一般式为2x －y ＋1＝0. 答案：2x －y ＋1＝03．若方程Ax ＋By ＋C ＝0表示直线，则A 、B 应满足的条件为________． 解析：由二元一次方程表示直线的条件知A 、B 至少有一个不为零即A 2＋B 2≠0. 答案：A 2＋B 2≠04．已知直线l 的倾斜角为60°，在y 轴上的截距为－4，则直线l 的点斜式方程为________；截距式方程为________；斜截式方程为________；一般式方程为________．解析：点斜式方程： y ＋4＝3(x －0)，截距式方程：x 433＋y －4＝1，斜截式方程： y ＝3x －4，一般式方程：3x －y －4＝0.答案：y ＋4＝3(x －0)x 433＋y－4＝1 y ＝3x －4 3x －y －4＝0对点练二 由含参一般式求参数的值或取值范围5．已知过点A (－5，m －2)和B (－2m ，3)的直线与直线x ＋3y －1＝0平行，则m 的值为( )A ．4B ．－4C ．10D ．－10解析：选A ∵k AB ＝m －2－3－5－(－2m )，直线x ＋3y －1＝0的斜率为k ＝－13，∴由题意得m －5－5＋2m＝－13，解得m ＝4.6．直线(m ＋2)x ＋(m 2－2m －3)y ＝2m 在x 轴上的截距为3，则实数m 的值为( ) A.65 B ．－6 C ．－65D ．6解析：选B 令y ＝0，则直线在x 轴上的截距是x ＝2m m ＋2，∴2mm ＋2＝3，∴m ＝－6.7．直线(2m －1)x －(m ＋3)y －(m －11)＝0恒过的定点坐标是________． 解析：原方程可化为m (2x －y －1)－(x ＋3y －11)＝0.∵对任意m ∈R ，方程恒成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －1＝0，x ＋3y －11＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3，∴直线恒过定点(2,3)．答案：(2,3)8．已知直线l 1的斜率为k 1＝34，直线l 2经过点A (3a ，－2)，B (0，a 2＋1)，且l 1⊥l 2，求实数a 的值．解：∵l 1⊥l 2，∴k 1·k 2＝－1，即34×a 2＋1－(－2)0－3a＝－1， 解得a ＝1，或a ＝3，∴a ＝1，或a ＝3时，l 1⊥l 2. 对点练三 一般式形式下的平行与垂直问题的策略9．若直线l 1：ax ＋(1－a )y ＝3与l 2：(a －1)x ＋(2a ＋3)y ＝2互相垂直，则实数a ＝________. 解析：因为两直线垂直，所以a (a －1)＋(1－a )(2a ＋3)＝0，即a 2＋2a －3＝0，解得a ＝1，或a ＝－3.答案：1或－310．求与直线3x ＋4y ＋1＝0平行，且在两坐标轴上的截距之和为73的直线l 的方程．解：法一：由题意，设直线l 的方程为3x ＋4y ＋m ＝0(m ≠1)， 令x ＝0，得y ＝－m 4；令y ＝0，得x ＝－m3，所以－m3＋⎝⎛⎭⎫－m 4＝73， 解得m ＝－4.所以直线l 的方程为3x ＋4y －4＝0.法二：由题意，直线l 不过原点，则在两坐标轴上的截距都不为0.可设l 的方程为x a ＋yb ＝1(a ≠0，b ≠0)，则有⎩⎨⎧－b a ＝－34，a ＋b ＝73，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝43，b ＝1.所以直线l 的方程为3x ＋4y －4＝0.二、综合过关训练1．已知直线l 1：x ＋my ＋6＝0和l 2：mx ＋4y ＋2＝0互相平行，则实数m 的值为( ) A ．－2 B ．2 C ．±2D ．2或4解析：选C 因为直线l 2的斜率存在，故当l 1∥l 2时，直线l 1的斜率也一定存在，所以－1m ＝－m 4，解得m ＝±2. 2．直线cx ＋dy ＋a ＝0与dx －cy ＋b ＝0(c ，d 不同时为0)的位置关系是( ) A ．平行 B ．垂直C ．斜交D ．与a ，b ，c ，d 的值有关解析：选B d 与c 不能同时为0，当两者都不为0时，两条直线斜率的乘积为－c d ·dc ＝－1，故两条直线垂直；当其中之一为0时，两条直线也垂直．故两条直线垂直．3．设A ，B 是x 轴上的两点，点P 的横坐标为2，且|PA |＝|PB |，若直线PA 的方程为x －y ＋1＝0，则直线PB 的方程是( )A ．2y －x －4＝0B ．2x －y －1＝0C ．x ＋y －5＝0D ．2x ＋y －7＝0解析：选C 由x －y ＋1＝0得A (－1，0)，又P 的横坐标为2，且|PA |＝|PB |，∴P 为线段AB 中垂线上的点，且B (5,0)．PB 的倾斜角与PA 的倾斜角互补，则斜率互为相反数，故PB 的斜率k PB ＝－1，则方程为y ＝－(x －5)，即x ＋y－5＝0.4．若方程(2m 2＋m －3)x ＋(m 2－m )y －4m ＋1＝0表示一条直线，则实数m 满足________． 解析：当2m 2＋m －3＝0时，m ＝1或m ＝－32；当m 2－m ＝0时，m ＝0或m ＝1.要使方程(2m 2＋m －3)x ＋(m 2－m )y －4m ＋1＝0表示一条直线，则2m 2＋m －3，m 2－m 不能同时为0，∴m ≠1.答案：m ≠15．已知直线l 的斜率是直线2x －3y ＋12＝0的斜率的12，l 在y 轴上的截距是直线2x －3y＋12＝0在y 轴上的截距的2倍，则直线l 的方程为________．解析：由2x －3y ＋12＝0知，斜率为23，在y 轴上截距为4.根据题意，直线l 的斜率为13，在y 轴上截距为8，所以直线l 的方程为x －3y ＋24＝0.答案：x －3y ＋24＝06．设直线l 的方程为(m 2－2m －3)x ＋(2m 2＋m －1)y ＝2m －6，根据下列条件分别求m 的值．(1)在x 轴上的截距为1； (2)斜率为1；(3)经过定点P (－1，－1)．解：(1)∵直线过点P ′(1,0)，∴m 2－2m －3＝2m －6. 解得m ＝3或m ＝1.又∵m ＝3时，直线l 的方程为y ＝0，不符合题意， ∴m ＝1.(2)由斜率为1，得⎩⎪⎨⎪⎧－m 2－2m －32m 2＋m －1＝1，2m 2＋m －1≠0，解得m ＝43.(3)直线过定点P (－1，－1)，则－(m 2－2m －3)－(2m 2＋m －1)＝2m －6， 解得m ＝53，或m ＝－2.7．一河流同侧有两个村庄A 、B ，两村庄计划在河上共建一水电站供两村使用，已知A 、B 两村到河边的垂直距离分别为300 m 和700 m ，且两村相距500 m ，问：水电站建于何处送电到两村的电线用料最省？解：如图，以河流所在直线为x 轴，y 轴通过点A ，建立直角坐标系，则点A (0,300)，B (x,700)，设B 点在y 轴上的射影为H ，则x ＝|BH |＝AB 2－AH 2＝300，故点B (300,700)，设点A 关于x 轴的对称点A ′(0，－300)，则直线A ′B 的斜率k ＝103，直线A ′B 的方程为y ＝103x －300.令y ＝0得x ＝90，得点P (90,0)，故水电站建在河边P (90,0)处电线用料最省．。
人教版数学高一-必修二(人教A)练习 直线的一般式方程
3.2.3 直线的一般式方程一、选择题(本大题共7小题，每小题5分，共35分) 1．直线3x ＋3y ＋1＝0的倾斜角是( )A. 30° B ．60° C ．120° D ．135°2．已知两条直线ax －y －2＝0和(a ＋2)x －y ＋1＝0互相垂直，则a 等于( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．23．已知直线l 1：(m －1)x ＋2y －1＝0，直线l 2：mx －y ＋3＝0.若l 1⊥l 2，则m 的值为( ) A ．2 B ．－1 C ．2或－1 D.134．若方程(6a 2－a －2)x ＋(3a 2－5a ＋2)y ＋a －1＝0表示平行于x 轴的直线，则a 的值是( ) A.23 B ．－12 C.23，－12D ．1 5．若一束光线沿直线2x －y ＋2＝0入射到直线x ＋y －5＝0上后反射，则反射光线所在的直线方程为( )A ．2x ＋y －6＝0B ．x －2y ＋7＝0C ．x －y ＋3＝0D ．x ＋2y －9＝06．已知直线l 的方程为Ax ＋By ＋C ＝0，当A >0，B <0，C >0时，直线l 必经过( ) A ．第一、二、三象限 B ．第二、三、四象限 C ．第一、三、四象限 D ．第一、二、四象限7．已知过点M (2，1)的直线与x 轴，y 轴分别交于P ，Q 两点．若M 为线段PQ 的中点，则这条直线的方程为( )A ．2x －y －3＝0B ．2x ＋y －5＝0C ．x ＋2y －4＝0D ．x －2y ＋3＝0二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)8．若直线l 过点(－1，2)且与直线2x －3y ＋4＝0垂直，则直线l 的方程是______________________．9．与直线3x ＋4y ＋12＝0平行，且与两坐标轴围成的三角形的面积是24的直线l 的方程是________________________________________________________________________．10．若直线x＋ay－a＝0与直线ax－(2a－3)y＝0垂直，则a＝________．11．已知坐标平面内两点A(3，0)，B(0，4)，直线AB上一动点P(x，y)，则xy的最大值是________．三、解答题(本大题共2题，共25分)12．(12分)已知在△ABC中，点A的坐标为(1，3)，AB，AC边上的中线所在直线的方程分别为x－2y＋1＝0和y－1＝0，求△ABC各边所在直线的方程．13．(13分)已知直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l的方程．(1)过定点A(－3，4)；(2)与直线6x＋y－3＝0垂直．14．(5分)已知直线l1：(a2－1)x＋ay－1＝0，直线l2：(a－1)·x＋(a2＋a)y＋2＝0.若l1∥l2，则a ＝________．15．(15分)经过点A(1，2)并且在两个坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有几条？请求出这些直线的方程．3．2.3 直线的一般式方程1．C [解析] 因为直线的斜率k ＝－33＝－3，所以倾斜角为120°. 2．A [解析] 因为直线ax －y －2＝0和(a ＋2)x －y ＋1＝0互相垂直，所以a (a ＋2)＝－1，解得a ＝－1.3．C [解析] ∵l 1⊥l 2，∴m －1－2×m ＝－1，解得m ＝2或m ＝－1.4．B [解析] 因为平行于x 轴的直线的斜率为零，所以由直线的一般式方程Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)得k ＝－AB＝0⇒A ＝0，B ≠0，即6a 2－a －2＝0，3a 2－5a ＋2≠0.本题易错在忽视B ≠0这一条件而导致多解．5．B [解析] 取直线2x －y ＋2＝0上一点A (0，2)，设点A (0，2)关于直线x ＋y －5＝0的对称点为B (a ，b )，则有⎩⎨⎧a 2＋b ＋22－5＝0，b －2a＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝5，所以B 点坐标为(3，5)．联立方程，得⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2＝0，x ＋y －5＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝4，所以直线2x －y ＋2＝0与直线x ＋y －5＝0的交点为P (1，4)．所以反射光线在经过点B (3，5)和点P (1，4)的直线上，故其直线方程为y －4＝4－51－3(x －1)，整理得x －2y ＋7＝0.6．A [解析] 把直线l 的一般式方程Ax ＋By ＋C ＝0转化成斜截式方程为y ＝－A B x －CB，因为A >0，B <0，C >0，所以－A B >0，－CB>0，所以直线l 必经过第一、二、三象限．7．C [解析] 设所求直线的方程为y －1＝k (x －2)，令x ＝0得y ＝1－2k ，所以Q 点坐标为(0，1－2k )，又因为M 为线段PQ 的中点，P 点纵坐标为0，所以根据中点坐标公式有0＋（1－2k ）2＝1，解得k ＝－12，故所求直线的方程为x ＋2y －4＝0.8．3x ＋2y －1＝0 [解析] 由题意知，直线l 的斜率为－32，因此由直线的点斜式方程得直线l的方程为y －2＝－32(x ＋1)，即3x ＋2y －1＝0.9．3x ＋4y ＋24＝0或3x ＋4y －24＝0 [解析] 设所求直线的方程为3x ＋4y ＝a (a ≠0)，则直线与两坐标轴的交点分别为⎝⎛⎭⎫a 3，0，⎝⎛⎭⎫0，a 4，∴12×⎪⎪⎪⎪a 3×⎪⎪⎪⎪a 4＝24，解得a ＝±24， ∴直线l 的方程为3x ＋4y ＝±24，即3x ＋4y ±24＝0.10．0或2 [解析] 当a ＝0时，两直线为x ＝0，y ＝0，显然垂直．当a ≠0时，因为直线x ＋ay －a ＝0与直线ax －(2a －3)y ＝0垂直，所以1·a ＋a (3－2a )＝0，解得a ＝2.所以a ＝0或2.11．3 [解析] 由题可知直线AB 的方程为x 3＋y 4＝1，若P 点坐标为(x ，y )，则x ＝3－34y ，∴xy＝3y －34y 2＝34(－y 2＋4y )＝34[－(y －2)2＋4]≤3，故xy 的最大值为3.12．解：设AB ，AC 边上的中线分别为CD ，BE ， 其中D ，E 分别为AB ，AC 的中点，∵点B 在中线y －1＝0上，∴设B 点坐标为(x ，1)．又∵A 点坐标为(1，3)，D 为AB 的中点，∴由中点坐标公式得D 点坐标为⎝⎛⎭⎫x ＋12，2.又∵点D 在中线x －2y ＋1＝0上，∴x ＋12－2×2＋1＝0⇒x ＝5，∴B 点坐标为(5，1)．同理可求出C 点的坐标是(－3，－1)． 故可求出△ABC 三边AB ，BC ，AC 所在直线的方程分别为 x ＋2y －7＝0，x －4y －1＝0和x －y ＋2＝0.13．解：(1)由条件可知直线l 的斜率一定存在，又∵直线l 过点A (－3，4)，∴可设直线l 的方程为y ＝k (x ＋3)＋4.∴l 在x 轴，y 轴上的截距分别为－4k－3，3k ＋4，∴12－4k－3·|3k ＋4|＝3， 即9k 2＋30k ＋16＝0或9k 2＋18k ＋16＝0，∴k ＝－23或k ＝－83，∴直线l 的方程为2x ＋3y －6＝0或8x ＋3y ＋12＝0.(2)∵直线l 与直线6x ＋y －3＝0垂直，∴k l ＝16，∴可设直线l 的方程为y ＝16x ＋b ，∴直线l 在两坐标轴上的截距分别为－6b ，b ， ∴12·|－6b |·|b |＝3，∴b ＝±1， ∴直线l 的方程为x －6y ＋6＝0或x －6y －6＝0.14．0或1或－2 [解析] 当a ＝0时，l 1：x ＝－1，l 2：x ＝2，此时l 1∥l 2，∴a ＝0满足题意． 当a 2＋a ＝0，即a ＝0(舍去)或a ＝－1时，l 1：y ＝－1，l 2：x ＝1，此时l 1⊥l 2， ∴a ＝－1不满足题意．当a ≠0且a ≠－1时，kl 1＝1－a 2a ，kl 2＝1－a a 2＋a ，∵l 1∥l 2，∴1－a 2a ＝1－aa 2＋a ，即1－a ＝(1－a )(1＋a )2，解得a ＝1或a ＝－2.当a ＝1时，l 1：y ＝1，l 2：y ＝－1，l 1，l 2不重合；当a ＝－2时，l 1：3x －2y －1＝0，l 2：－3x ＋2y ＋2＝0，l 1，l 2不重合． ∴a ＝1或a ＝－2满足题意．综上所述，a ＝0或a ＝1或a ＝－2.15．解：当截距为0时，设直线方程为y ＝kx ， 又直线过点A (1，2)，则得斜率k ＝2，即y ＝2x ；当截距不为0时，设直线方程为x a ＋y a ＝1或x a ＋y－a ＝1，∵直线过点A (1，2)，则得a ＝3或a ＝－1.即x ＋y －3＝0或x －y ＋1＝0.这样的直线有3条；y ＝2x ，x ＋y －3＝0或x －y ＋1＝0.。
高中数学直线的方程(一般式)同步练习
高中数学直线的方程(一般式)同步练习一、选择题：1. 二元一次方程Ax+By+C=0表示为直线方程,下列不正确叙述是（ ）A ．实数A 、B 必须不全为零 B ．A 2+B 2≠0C ．所有的直线均可用Ax+By+C=0 (A 2+B 2≠0)表示D ．确定直线方程Ax+By+C=0须要三个点坐标待定A,B,C 三个变量2. 若p r<0，q r<0，则直线px+qy+r=0不经过（ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3. 下列结论正确的是（ ）A ．Ax+By+C=0有横截距B ．直线Ax+By+C=0有纵截距C ．直线Ax+By+C=0既有横截距又有纵截距D ．以上都不正确4. 若直线ax+by+c=0在第一、二、三象限，则（ ）A.ab>0，bc>0B. ab>0，bc<0C. ab<0，bc>0D. ab<0，bc<05. 和直线3x-4y+5=0关于x 轴对称的直线方程是（ ）A.3x+4y-5=0B. 3x+4y+5=0C. -3x+4y-5=0D. -3x+4y+5=06.过点M （2，1）的直线l 与x 轴，y 轴分别相交于P ，Q 两点，且|MP|=|MQ|,则直线l 的方程是（ ）A ．x-2y+3=0B ．2x-y-3=0C ．2x+y-5=0D ．x+2y-4=07. m ∈R,直线(m-1)x-y+2m+1=0过定点（ ）A ．（1，21） B ．（-2，0） C ．（2，3） D ．（-2，3） 8. 若(m 2-4)x+(m 2-4m+3)y+1=0表示直线，则（ ）A ．m ±≠2且m ≠1, m ≠3B ．m ±≠ 2C ．m ≠1,且m ≠3D ．m 可取任意实数二.填充题 ：9．若方程Ax+By+C=0表示与两条坐标轴都相交的直线，则A,B,C 应满足条件___________.10．若直线ax-y+2=0与直线3x-y+b=0关于直线 y=x 对称，则a= ______________, b=___________.11. 设点P(x 0，y 0)在直线Ax ＋By ＋C ＝0上，则这条直线的方程可以写成___________.12．若直线(2t-3)x+y+6=0，不经过第一象限，则t 的取值范围是 __________ .三.解答题：13. 过P （-2，2）点引一条直线l ，使它与两坐标轴围成的三角形面积等于4（面积单位），求此直线l 的方程。
2022_2023学年高中数学第2章平面解析几何初步-直线的一般式方程同步练习湘教版选择性必修第一册
2.2.3 直线的一般式方程A级必备知识基础练1.若ac<0,bc<0,则直线ax+by+c=0的图象只能是()2.点M(x0,y0)是直线Ax+By+C=0上的点,则直线方程可表示为()A.A(x-x0)+B(y-y0)=0B.A(x-x0)-B(y-y0)=0C.B(x-x0)+A(y-y0)=0D.B(x-x0)-A(y-y0)=03.如果方程Ax+By+C=0表示的直线是x轴,则A,B,C满足()A.A·C=0B.B≠0C.B≠0且A=C=0D.A·C=0且B≠04.(2022江苏阜宁中学高二月考)已知直线l经过点(0,1),其倾斜角与直线x-4y+1=0的倾斜角互补,则直线l的方程为()A.x+4y-4=0B.4x+y-1=0C.x+4y+4=0D.4x+y+1=05.(多选题)(2022山东曲阜一中高二月考)关于直线l:x-y-1=0,下列说法正确的有()A.过点(,-2)B.斜率为C.倾斜角为D.在y轴上的截距为16.(多选题)对于直线l:x-my-1=0,下列说法错误的是()A.直线l恒过定点(1,0)B.直线l斜率必定存在C.m=时,直线l的倾斜角为D.m=2时,直线l与两坐标轴围成的三角形面积为7.已知直线l的斜率是直线2x-3y+12=0的斜率的,直线l在y轴上的截距是直线2x-3y+12=0在y 轴上的截距的2倍,则直线l的方程为.8.在三角形ABC中,已知点A(4,0),B(-3,4),C(1,2).(1)求BC边上中线的方程;(2)若某一直线过B点,且x轴上截距是y轴上截距的2倍,求该直线的一般式方程.B级关键能力提升练9.若点P(a+b,ab)在第二象限内,则直线bx+ay-ab=0不经过的象限是()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限10.(2022四川外国语大学附属学校高二月考)把直线2x-3y+1=0向左平移2个单位长度后,再向下平移3个单位长度,所得的直线方程为()A.2x-3y+4=0B.2x-3y-12=0C.2x-3y-4=0D.2x-3y+6=011.已知直线l1,l2的方程分别为l1:x+ay+b=0,l2:x+cy+d=0,它们在坐标系中的位置如图所示,则()A.b>0,d<0,a<cB.b>0,d<0,a>cC.b<0,d>0,a>cD.b<0,d>0,a<c12.已知直线Ax+By+C=0的斜率为5,且A-2B+3C=0,则该直线方程为()A.15x-3y-7=0B.15x+3y-7=0C.3x-15y-7=0D.3x+15y-7=013.(多选题)(2022山东巨野实验中学高二月考)已知直线l的方程为ax+by-2=0,则下列判断正确的是()A.若ab>0,则直线l的斜率小于0B.若b=0,a≠0,则直线l的倾斜角为90°C.直线l可能经过坐标原点D.若a=0,b≠0,则直线l的倾斜角为0°14.已知△ABC的三个顶点都在第一象限内,A(1,1),B(5,1),∠A=,∠B=,则直线AC的一般式方程为,BC的一般式方程为.15.设直线l的方程为(a+1)x+y+2-a=0(a∈R).(1)若直线l在两坐标轴上的截距相等,求直线l的方程;(2)若直线l不经过第二象限,求实数a的取值范围.C级学科素养创新练16.(2022江西九江高二期中)已知直线a1x+b1y+1=0和直线a2x+b2y+1=0都过点A(3,2),则过点P1(a1,b1)和点P2(a2,b2)的直线方程是()A.3x+2y-1=0B.2x+3y+1=0C.3x-2y+1=0D.3x+2y+1=017.若kxy-x+6y-3=0表示两条直线,则实数k的值为()A.3B.2C.1D.0参考答案2.2.3直线的一般式方程1.C由ac<0,bc<0,得abc2>0,所以ab>0,则该直线的斜率k=-<0,故排除B,D;又与y轴的截距为->0,故排除A.故选C.2.A由点M(x0,y0)在直线上得Ax0+By0+C=0,得C=-Ax0-By0,将C代入直线方程Ax+By+C=0,得A(x-x0)+B(y-y0)=0.故选A.3.C Ax+By+C=0表示的直线是x轴,直线可化为y=0,则系数A,B,C满足的条件是B≠0且A=C=0.故选C.4.A因为直线l的倾斜角与直线x-4y+1=0的倾斜角互补,且直线x-4y+1=0的斜率为,所以直线l的斜率为-.又直线l过点(0,1),所以直线l的方程为y-1=-x,即x+4y-4=0.故选A.5.BC当x=时,-y-1=0,解得y=2,所以直线l不经过点(,-2),故选项A错误;由题得y=x-1,所以直线l的斜率为,故选项B正确;由B知直线l的斜率为,又倾斜角的取值范围是0≤α<π,所以直线l的倾斜角为,故选项C正确;当x=0时,得y=-1,所以直线l在y轴上的截距为-1,故选项D错误.故选BC.6.BC由直线方程可化为x-1=my,因此直线l恒过定点(1,0),故A正确;当m=0时,直线l斜率不存在,故B错误;m=时,有y=(x-1),即直线l的斜率为,则直线l的倾斜角为θ=,故C错误;m=2时,直线l:x=2y+1,则直线l与x轴,y轴的交点坐标分别为(1,0),0,-,所以直线l与两坐标轴围成的三角形面积为,故D正确.故选B C.7.x-3y+24=0由2x-3y+12=0知,该直线斜率为,在y轴上截距为4,则直线l的斜率为,在y轴上截距为8,所以直线l的方程为y=x+8,整理得x-3y+24=0.8.解(1)线段BC中点为M(-1,3),所以直线AM的方程为,整理得3x+5y-12=0.故BC边上中线的方程为3x+5y-12=0.(2)当直线过坐标原点时,设所求直线方程为y=kx,将点B的坐标代入直线方程可得-3k=4,解得k=-,故所求直线方程为y=-x,即4x+3y=0;当直线不过坐标原点,设直线方程为=1(b≠0),将点B代入直线方程得-=1,即=1,解得b=.此时,所求直线方程为=1,即x+2y-5=0.综上所述,所求直线方程为4x+3y=0或x+2y-5=0.9.A由题意可得a+b<0,ab>0,因此,a,b均为负数.由直线的方程bx+ay-ab=0可得直线的斜率k=-<0,在y轴上的截距为-=b<0,故直线不经过第一象限.故选A.10.C将直线向左平移2个单位长度,可得2(x+2)-3y+1=2x-3y+5=0,再向下平移3个单位长度,可得2x-3(y+3)+5=2x-3y-4=0,因此所求直线方程为2x-3y-4=0.故选C.11.C由题图,可知直线l1的斜率大于0,其在y轴上的截距小于0,所以解得直线l2的斜率大于0,其在y轴上的截距大于0,所以解得又直线l1的斜率大于直线l2的斜率,即->->0,所以a>c.故选C.12.A∵直线Ax+By+C=0的斜率为5,∴-=5,即A=-5B.又A-2B+3C=0,∴-5B-2B+3C=0,∴C=,则直线Ax+By+C=0可化为-5Bx+By+=0,即5x-y-=0,整理得15x-3y-7=0.故选A.13.ABD对于A选项,若ab>0,则直线l的斜率-<0,故A正确;对于B选项,若b=0,a≠0,则直线l的方程为x=,其倾斜角为90°,故B正确;对于C选项,将(0,0)代入ax+by-2=0中,显然不成立,故C错误;对于D选项,若a=0,b≠0,则直线l的方程为y=,其倾斜角为0°,故D正确.故选ABD.14.x-y=0x+y-6=0由题意知,直线AC的倾斜角为∠A=,所以k AC=tan=1.又直线AC过点A(1,1),所以直线AC的方程为y-1=1×(x-1),整理得x-y=0.同理可知,直线BC的倾斜角为π-∠B=,所以k BC=tan=-1.又直线BC过点B(5,1),所以直线BC的方程为y-1=-1×(x-5),整理得x+y-6=0.15.解(1)若直线与两坐标轴的截距为零,则2-a=0,解得a=2,因此直线l的方程为3x+y=0.若a+1=0,解得a=-1,整理得y+3=0,不符合题意,舍去.若a≠-1且a≠2,原方程化为=1,令=a-2,即为a+1=1,解得a=0,可得直线l的方程为x+y+2=0.综上所述,直线l的方程为x+y+2=0或3x+y=0.(2)将直线的一般式方程化为斜截式,得y=-(a+1)x+a-2.∵直线l不经过第二象限,∴解得a≤-1.∴实数a的取值范围是(-∞,-1]. 16.D(方法1)∵直线a1x+b1y+1=0和直线a2x+b2y+1=0都过点A(3,2),∴3a1+2b1+1=0,且3a2+2b2+1=0.∴过点P1(a1,b1)和点P2(a2,b2)的直线方程是3x+2y+1=0,故选D.(方法2)3a1+2b1+1=0,且3a2+2b2+1=0两式相减可得3(a1-a2)+2(b1-b2)=0,由题意a1≠a2,因此k==-,所以直线的方程为y-b1=-(x-a1),即2y+3x-(3a1+2b1)=0,结合3a1+2b1+1=0可知过点P1(a1,b1)和点P2(a2,b2)的直线方程是3x+2y+1=0.故选D.17.B∵kxy-x+6y-3=0表示两条直线,则令kxy-x+6y-3=(ax+b)(cy+d)=acxy+adx+bcy+bd,其中,abcd≠0,∴k=ac,ad=-1,bc=6,bd=-3,∴b=,c==-2d,a=-,∴k=ac=×(-2d)=2.故选B.。
223 直线的一般式方程(同步练习)(含解析)2022高二数学(选择性必修第一册)
2.2.3 直线的一般式方程一、单选题 1．直线2360x y --=在y 轴上的截距为（ ）A ．2B ．2-C ．3D ．3-2．过点(1,3)-且与直线230x y -+=平行的直线方程是（ ）A ．250x y --=B ．270x y -+= C ．210x y +-= D ．250x y +-= 3．若直线0Ax By C ++=（220A B +≠）经过第一、二、三象限，则系数A B C ，，满足的条件为（ ）A ．ABC ，，同号 B ．00AB BC <<， C ．00AC BC <>，D ．00AB AC ><， 4．直线210x y -+=和直线4210x y --=的位置关系是（ ）A ．垂直B ．平行C ．重合D ．相交但不垂直5．直线()110ax a y a +++-=过定点（ ） A ．()2,1 B ．()2,3- C ．()2,1- D ．()2,3-6．“1a =”是“直线10x ay +-=与直线10ax y -+=相互垂直”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件二、多选题BC>，那么直线7．如果0AB<，0 ++=经过（）Ax By CA ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限8．对于直线:l 1x my =+，下列说法正确的是（ ）A．直线l恒过定点(1,0)B．直线l斜率必定存在C．3m=时直线l的倾斜角为60D．2m=时直线l与两坐标轴围成的三角形面积为1 4三、填空题9．直线31y kx k =++经过的定点为_______ 10．过点(3,2)A 且垂直于直线4580x y +-=的直线方程为__________．四、解答题11．已知直线l 经过点(2,3)P(1)若()1,1A 在直线l 上，求l 的方程；(2)若直线l 与直线2310x y -+=垂直，求l 的方程．12．设直线l的方程为()()++-+=∈.130a x y a a R（1）若l在两坐标轴上的截距相等，求a的值；（2）若l不经过第三象限，求a的取值范围.13．求直线0Ax By C ++=（A ，B 不同时为0）的系数A ，B ，C 分别满足什么关系时，这条直线有以下性质：（1）与两条坐标轴都相交；（2）只与x轴相交；（3）只与y轴相交；（4）是x轴所在的直线；（5）是y轴所在的直线．14．已知直线()()1:212430l m x m y m ++-+-=． （1）求证：无论m 为何实数，直线1l 恒过一定点M ； （2）若直线2l 过点M ，且与x 轴负半轴、y轴负半轴围成三角形面积最小，求直线2l的方程．参考答案1．B【分析】直接令0x =，求出y 即可.【详解】直线2360x y --=，令0x =，得2y =-. ∴直线2360x y --=在y 轴上的截距为2-.故选：B.2．B【分析】 设直线方程为20x y c -+=，(3)c ≠，将点(1,3)-代入即可求解.【详解】 设直线方程为20x y c -+=，(3)c ≠，直线过点(1,3)-，∴代入直线方程的1230c --⨯+=，得7c =， 则所求直线方程为270x y -+=， 故选：B ．3．B【分析】将直线方程转化为斜截式，再利用直线斜率与截距的意义即可得出.【详解】 由题意得，直线0Ax By C ++=，即ACy x B B =--，直线经过第一、二、三象限，所以0A B ->,0C B ->，即0AB <，0BC <， 故选：B. 4．B【分析】将直线方程化为斜截式方程，再根据斜率与截距判断即可；【详解】解：直线210x y -+=化为斜截式方程为21y x =+，故斜率为112,1k b ==；直线4210x y --=化为斜截式方程为122y x =-，故斜率为2212,2k b ==-，因为1221,k k b b =≠，所以直线210x y -+=和直线4210x y --=的位置关系是平行.故选：B5．C【分析】将直线方程变形，可得出关于x、y的方程组，即可解得定点坐标.【详解】直线方程可化为()110a x y y +++-=，由1010x y y ++=⎧⎨-=⎩，解得21x y =-⎧⎨=⎩，因此，直线()110ax a y a +++-=过定点()2,1-.故选：C.6．A【分析】 直线10x ay +-=与直线10ax y -+=相互垂直得到a R ∈，再利用充分必要条件的定义判断得解.【详解】因为直线10x ay +-=与直线10ax y -+=相互垂直，所以1()(1)0a a ⨯+⨯-=，所以a R ∈.所以1a =时，直线10x ay +-=与直线10ax y -+=相互垂直，所以“1a =”是“直线10x ay +-=与直线10ax y -+=相互垂直”的充分条件；当直线10x ay +-=与直线10ax y -+=相互垂直时，1a =不一定成立，所以“1a =”是“直线10x ay +-=与直线10ax y -+=相互垂直”的非必要条件.所以“1a =”是“直线10x ay +-=与直线10ax y -+=相互垂直”的充分非必要条件. 故选：A【点睛】方法点睛：充分必要条件的判定，常用的方法有：（1）定义法；（2）集合法；（3）转化法. 要根据已知条件灵活选择方法求解.7．ACD【分析】把直线方程的一般式化为斜截式，从而可判断直线经过的象限.【详解】因为0AB <，故0B ≠，故直线的斜截式方程为：A C y x B B=--， 因为0AB <，0BC >，故0,0A C B B ->-<， 故直线经过第一象限、第三象限、第四象限， 故选：ACD.8．AD【分析】由直线方程，直接判断是否过定点判断A的正误，由斜率、倾斜角的定义判断B、C的正误，根据直线在坐标轴上的截距，求三角形面积判断D的正误.【详解】A：由直线方程知：恒过定点(1,0)，正确；B ：当0m =时，直线斜率不存在，错误；C ：3m =时有3(1)3y x =-，即3tan 3θ=则倾斜角为6πθ=，错误；D ：2m =时，直线:l 21x y =+，则x 、y 轴交点分别为1(1,0),(0,)2-，所以直线l与两坐标轴围成的三角形面积为14，正确；故选：AD. 9．(3,1)-【分析】把直线31y kx k =++化为1(3)y k x -=+，结合方程组3010x y +=⎧⎨-=⎩，即可 求解. 【详解】由题意，直线31y kx k =++可化为1(3)y k x -=+，又由3010x y +=⎧⎨-=⎩，解得3,1x y =-=，即直线过定点(3,1)-.故答案为：(3,1)-. 10．5470x y --=【分析】。
高中数学直线的五种方程同步练习题
直线的方程同步练习题一、单选题（本大题共6小题，共30.0分）1.如果平面直角坐标系内的两点A(a−1,a+1)，B(a,a)关于直线l对称，那么直线l的方程为()A. x−y+1=0B. x+y+1=0C. x−y−1=0D. x+y−1=02.过点M(−3,2)且与直线x+2y−9=0平行的直线方程是()A. 2x−y+8=0B. x−2y+7=0C. x+2y+4=0D. x+2y−1=03.已知圆C：x2+y2−4x−5=0，则过点P(1,2)的最短弦所在直线l的方程是()A. 3x+2y−7=0B. 2x+y−4=0C. x−2y−3=0D. x−2y+3=04.过点P(1,2)且与原点O距离最大的直线方程为()A. x+2y−5=0B. 2x+y−4=0C. x+3y−7=0D. 3x+y−5=05.下列说法的正确的是()A. 经过定点P0(x0,y0)的直线都可以用方程y−y0=k(x−x0)表示B. 经过定点A(0,b)的直线都可以用方程y=kx+b表示C. 不经过原点的直线都可以用方程xa +yb=1表示D. 方程(y−y1)(x2−x1)=(x−x1)(y2−y1)表示经过两个不同的点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的任意直线6.已知过点A(−2,m)和点B(m,4)的直线为l1，l2:2x+y−1=0，l3:x+ny+1=0.若l1//l2，l2⊥l3，则m+n的值为()A. −10B. −2C. 0D. 8二、多选题（本大题共1小题，共5.0分）7.下列说法正确的是()A. 截距相等的直线都可以用方程xa +ya=1表示B. 方程x+my−2=0(m∈R)能表示平行y轴的直线C. 经过点P(1,1)，倾斜角为θ的直线方程为y−1=tanθ(x−1)D. 经过两点P1(x1,y1)，P2(x2,y2)的直线方程(y2−y1)(x−x1)−(x2−x1)(y−y1)=0第II卷（非选择题）三、单空题（本大题共2小题，共10.0分）8.经过点(3,0)且与直线x+y−5=0垂直的直线方程为．9.过且与和距离相等的直线方程为___________．四、解答题（本大题共7小题，共84.0分）10.根据下列各条件写出直线的方程，并且化成一般式：(1)斜率是−1，经过点A(8,−2);2(2)经过点B(4,2)，平行于x轴;(3)在x轴和y轴上的截距分别是3，−3;2(4)经过两点P1(3,−2)、P2(5,−4)．11.已知直线l1:ax+3y+1=0,l2:x+(a−2)y−1=0．(1)若l1⊥l2，求实数a的值；(2)当l1//l2时，求直线l1与l2之间的距离．12.已知点A(2,2)和直线l：3x+4y−20=0．(1)求过点A，且和直线l平行的直线方程；(2)求过点A，且和直线l垂直的直线方程．13.求满足下列条件的直线l的一般式方程：(1)与坐标轴的交点为(5,0)，(0,−2)；(2)经过点(−1,3)，且倾斜角是直线√3x+y−2=0倾斜角的一半．14.已知直线l经过直线3x+4y−2=0与2x+y+2=0的交点P，且垂直于直线x−3y+1=0．(Ⅰ)求直线l方程；(Ⅱ)求直线l与两坐标轴围成的三角形的面积S．15.已知直线l过点P(2,3)，根据下列条件分别求直线l的方程：(1)直线l的倾斜角为135°；(2)直线l在x轴、y轴上的截距之和为0．16.根据下列条件分别写出直线的方程：(1)斜率是√3，且经过点A(5,3)；(2)斜率为4，在y上的截距为−2；(3)在y轴上的截距为3，且平行于x轴；(4)在x，y轴上的截距分别是−3，−1．答案和解析1.【答案】A【解析】【分析】本题考查了垂直平分线的性质、中点坐标公式、相互垂直的直线斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．利用垂直平分线的性质即可得出．【解答】解：∵k AB=a+1−aa−1−a =−1，线段AB的中点为(2a−12,2a+12)，两点A(a−1,a+1)，B(a,a)关于直线l对称，∴k l=1，其直线方程为：y−2a+12=x−2a−12，化为：x−y+1=0．故选：A．2.【答案】D【解析】【分析】本题考查了直线的一般式方程与直线平行的关系，考查了点斜式和一般式的互化，是基础题．由已知的直线方程求出要求直线的斜率，代入直线方程的点斜式，化为一般式得答案．【解答】解：由直线方程x+2y−9=0可得该直线的斜率为−12，则与直线x+2y−9=0平行的直线的斜率为−12，又直线过M(−3,2)，由直线方程的点斜式得直线方程为y−2=−12(x+3)，化为一般式得：x+2y−1=0．故选：D．3.【答案】D【解析】 【分析】本题主要考查直线与圆的位置关系和两条直线垂直时斜率的关系，属于基础题． 先分析出当直线l 与圆心和点P 的连线垂直时弦最短，然后求出直线l 的方程即可． 【解答】解：由已知，圆心为(2,0)，则圆心和点P 所在的直线的斜率为2−01−2=−2， 而当直线l 与圆心和点P 的连线垂直时弦最短， 所以直线l 的斜率为12，所以方程为y −2=12(x −1)， 即x −2y +3=0， 故选D ．4.【答案】A【解析】 【分析】本题考查用点斜式求直线方程的方法，数形结合判断什么时候距离最大是解题的关键，属基础题．先根据垂直关系求出所求直线的斜率，由点斜式求直线方程，并化为一般式． 【解答】解：要使过点P(1,2)的直线与原点距离最大，结合图形可知该直线与直线PO 垂直， 由k OP =2−01−0=2，则所求直线l 的斜率为−12， ∴直线l 的方程为y −2=−12(x −1)， 即x +2y −5=0． 故选A ．5.【答案】D【解析】解：A项错误，直线y−y0=k(x−x0)只能表示过点P0(x0,y0)且斜率存在的直线；B项错误，直线y=kx+b只能表示过点A(0,b)斜率存在的直线；C项错误，直线xa +yb=1只能表示在两轴上截距都存在且不为零的直线；D项正确，经过任意两个不同的点P1(x1,y1)、P2(x2,y2)的直线都可以用方程(y−y1)(x2−x1)=(x−x1)(y2−y1)表示．故选：D．逐一分析研究各个选项，通过举反例等手段，排除不正确选项．本题考查直线方程的适用范围，注意斜率不存在或者截距等于0的情况．6.【答案】A【解析】【分析】本题考查了直线平行、垂直与斜率的关系，考查了计算能力，属于基础题．利用直线平行、垂直与斜率的关系即可得出．【解答】解：∵l1//l2，∴k AB=4−mm+2=−2，解得m=−8．又∵l2⊥l3，∴(−1n)×(−2)=−1，解得n=−2．∴m+n=−10．故选A．7.【答案】BD【解析】【分析】本题考查了直线方程的截距式、点斜式、两点式，一般式．A，截距相等为0的直线都不可以用方程xa +ya=1表示；B，当m=0时，方程x+my−2=0(m∈R)表示平行y轴的直线；C，倾斜角为θ=900的直线方程不能写成点斜式；D，x1≠x2，直线的斜率存在，可以用点斜式表示．【解答】解：对于A，截距相等为0的直线都不可以用方程xa +ya=1表示，故错误；对于B，当m=0时，方程x+my−2=0(m∈R)能表示平行y轴的直线x=2，故正确；对于C，经过点P(1,1)，倾斜角为θ=90°的直线方程不能写成y−1=tanθ(x−1)，故错；对于D，∵x1≠x2,∴直线的斜率存在，可写成(y2−y1)(x−x1)−(x2−x1)(y−y1)=0，故正确．故选：BD．8.【答案】x−y−3=0【解析】【分析】本题考查直线方程的求法，两直线垂直的斜率关系等基础知识，解题的关键是由直线x+y−5=0的斜率为−1，得出与直线x+y−5=0垂直的直线斜率为k=1，根据点斜式写出所求直线方程即可．【解答】解：因为直线x+y−5=0的斜率为−1，∴与直线x+y−5=0垂直的直线斜率为k=1，∴经过点(3,0)且与直线x+y−5=0垂直的直线的点斜式方程为y−0=x−3，∴化为一般式方程为x−y−3=0，故答案为：x−y−3=0．9.【答案】4x+y−6=0或3x+2y−7=0【解析】【分析】本题考查直线的方程的求法和直线平行的关系，属于基础题．根据题意到A，B距离相等的直线有两条，与AB平行或过AB的中点，从而求出方程即可．【解答】解：直线AB的斜率为k AB=3+52−4=−4，线段AB的中点坐标为(3,−1)．①若所求直线与直线AB平行时，则所求直线的方程为y−2=−4(x−1)，即4x+y−6=0；②若所求直线过AB的中点时，则所求直线的斜率为2+11−3=−32，故所求直线方程为y−2=−32(x−1)，即3x+2y−7=0．综上所述，所求直线方程为4x+y−6=0或3x+2y−7=0．故答案为：4x+y−6=0或3x+2y−7=0．10.【答案】解：(1)由点斜式得y−(−2)=−12(x−8)，化成一般式得x+2y−4=0．(2)由题意得y=2，化成一般式得y−2=0．(3)由截距式得x32+y−3=1，化成一般式得2x−y−3=0．(4)由两点式得y+2−4−(−2)=x−35−3，化成一般式得x+y−1=0．【解析】本题考查直线方程的求法，解题时要认真审题，是基础题．(1)利用点斜式方程求解直线方程．(2)利用直线方程的特殊情况求解．(3)利用截距式方程求解直线方程．(4)利用两点式方程求解直线方程．11.【答案】解：(1)∵l 1:ax +3y +1=0，l 2:x +(a −2)y −1=0，且l 1⊥l 2，∴a ×1+3×(a −2)=0，解得a =32．(2)∵l 1:ax +3y +1=0，l 2:x +(a −2)y −1=0，且l 1//l 2， ∴a(a −2)=3×1且−a ≠1，解得a =3，∴l 1:3x +3y +1=0，l 2:x +y −1=0，即l 1:3x +3y +1=0，l 2:3x +3y −3=0 ∴直线l 1，l 2间的距离为d =√32+32=2√23．【解析】本题考查平面直角坐标系中两直线平行与垂直的充要条件，是基础题． (1)由两直线垂直的充要条件A 1A 2+B 1B 2=0可以列关于a 的方程求解．(2)由两直线平行的充要条件{A 1B 2=A 2B 1A 1C 2≠A 2C 1可求a 的值，然后利用两平行直线的距离公式求解．12.【答案】解：(1)由l ：3x +4y −20=0，得k l =−34．设过点A 且平行于l 的直线为l 1，则k l 1 =k l =−34， 所以l 1的方程为y −2=−34(x −2)， 即3x +4y −14=0．(2)设过点A 与l 垂直的直线为l 2． 因为k l k l 2=−1，所以k l 2=43， 故直线l 2的方程为y −2=43(x −2)， 即4x −3y −2=0．【解析】本题考查了求直线方程的点斜式方程，求直线的斜率问题，属基础题． (1)求出直线l 的斜率，根据点斜式方程求出直线方程即可．(2)求出所求直线的斜率，再根据点斜式方程求出直线方程即可．13.【答案】解：(1)由题意，得直线过点(5,0)和(0,−2)，故斜率k =0−(−2)5−0=25， 由斜截式方程y =kx +b ，得直线方程y =25x −2，故所求直线的一般式方程为：2x −5y −2=0．(2)设直线√3x +y −2=0的倾斜角为α，将直线方程√3x +y −2=0化为斜截式方程：y =−√3x +2，则其斜率为−√3， ∵α∈[0,π)∴α=2π3．因为需求直线的倾斜角是2π3的一半，故倾斜角为π3，其斜率为√3，又经过点(−1,3)，由点斜式得直线方程y +1=√3(x +1)，故所求直线的一般式方程为：√3x −y +√3−1=0．【解析】本题考查求直线方程，属于基础题．(1)求出斜率，利用斜截式方程即可求解；(2)求出倾斜角，得斜率，由点斜式方程即可求解．14.【答案】解：(Ⅰ)由{3x +4y −2=02x +y +2=0，解得{x =−2y =2，∴点P 的坐标是(−2,2)．设直线l 的方程为3x +y +c =0．代入点P 坐标得3×(−2)+2+c =0，得c =4，∴所求直线l 的方程为3x +y +4=0；(Ⅱ)由直线l 的方程3x +y +4=0，得x−43+y −4=1，知它在x 轴、y 轴上的截距分别是−43,−4，∴直线l 与两坐标轴围成三角形的面积S =12×4×43=83．【解析】(Ⅰ)联立方程组求得已知两直线的交点坐标，设出与x−3y+1=0垂直的直线方程3x+y+c=0，代入交点坐标求得c，则直线l方程可求；(Ⅱ)化直线l的方程为截距式，代入三角形面积公式得答案．本题考查直线的一般式方程，考查了一般式和截距式的互化，是基础题．15.【答案】解：(1)设直线l的斜率为k，则k=tan135°=−1，又直线过点P(2,3)，所以直线的点斜式方程为y−3=−(x−2)，化为一般形式为x+y−5=0；(2)设直线l在x轴、y轴上的截距分别为a、b，由题意知，a+b=0，即b=−a；①若b=−a=0时，则直线l又过点(0,0)，可得直线l的方程为：3x−2y=0；②若b=−a≠0时，则直线l的方程为xa +y−a=1，将点P(2,3)代入得2a +3−a=1，解得a=−1，可得直线l的方程为x−y+1=0；故直线l的方程为3x−2y=0或x−y+1=0．【解析】本题考查直线的倾斜角与斜率应用问题，考查直线的截距应用问题，属于基础题．(1)利用倾斜角求出直线l的斜率，再利用点斜式写出方程，化为一般式方程；(2)设直线l在x轴、y轴上的截距分别为a、b，讨论①b=−a=0和②b=−a≠0时，分别求出直线l的方程．16.【答案】解：(1)斜率是√3，且经过点A(5,3)的直线方程为y−3=√3(x−5)，即√3x−y+3−5√3=0．(2)斜率为4，在y上的截距为−2的直线方程为y=4x−2，即4x−y−2=0．(3)在y轴上的截距为3，且平行于x轴的直线方程为y−3=0．(4)在x，y轴上的截距分别是−3，−1的直线，用截距式写出方程为x−3+y−1=1，即x+3y+3=0．【解析】本题主要考查用点斜式、斜截式、截距式求直线的方程，属于基础题．(1)用点斜式求出直线方程，并化为一般式．(2)用斜截式求出直线的方程，并化为一般式．(3)由题意直接写出直线的方程．(4)用截距式写出直线方程，并化为一般式．。
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直线的方程（一般式）同步练习
一、选择题：
1. 二元一次方程Ax+By+C=0表示为直线方程,下列不正确叙述是（ ）
A ．实数A 、
B 必须不全为零 B ．A 2+B 2≠0
C ．所有的直线均可用Ax+By+C=0 (A 2+B 2≠0)表示
D ．确定直线方程Ax+By+C=0须要三个点坐标待定A,B,C 三个变量
2. 若pr<0，qr<0，则直线px+qy+r=0不经过（）
D.第四象限
3. 下列结论正确的是（ ）
A ．Ax+By+C=0有横截距
B ．直线Ax+By+C=0有纵截距
C ．直线Ax+By+C=0既有横截距又有纵截距
D ．以上都不正确
4. 若直线ax+by+c=0在第一、二、三象限，则（）
A.ab>0，bc>0
B. ab>0，bc<0
C. ab<0，bc>0
D. ab<0，bc<0
5. 和直线3x-4y+5=0关于x 轴对称的直线方程是（ ）
A.3x+4y-5=0
B. 3x+4y+5=0
C. -3x+4y-5=0
D. -3x+4y+5=0
6.过点M （2，1）的直线l 与x 轴，y 轴分别相交于P ，Q 两点，且|MP|=|MQ|,则直线l 的方程是（
）
A ．x-2y+3=0
B ．2x-y-3=0
C ．2x+y-5=0
D ．x+2y-4=0
7. m ∈R,直线(m-1)x-y+2m+1=0过定点（ ）
A ．（1，21
） B ．（-2，0） C ．（2，3） D ．（-2，3）
8. 若(m 2-4)x+(m 2-4m+3)y+1=0表示直线，则（ ）
A ．m ±≠2且m ≠1, m ≠3
B ．m ±≠ 2
C．m≠1,且m≠3 D．m可取任意实数
二.填充题：
9．若方程Ax+By+C=0表示与两条坐标轴都相交的直线，则A,B,C应满足条件___________. 10．若直线ax-y+2=0与直线3x-y+b=0关于直线y=x对称，则a= ______________, b=___________.
11. 设点P(x
0，y
)在直线Ax＋By＋C＝0上，则这条直线的方程可以写成___________.
12．若直线(2t-3)x+y+6=0，不经过第一象限，则t的取值X围是__________ .
三.解答题：
13. 过P（-2，2）点引一条直线l，使它与两坐标轴围成的三角形面积等于4（面积单位），求此直线l的方程。
14.若一直线被直线4x+y+6=0和3x-5y-6=0截得的线段的中点恰好在坐标原点，求这条直线方程。
15. 直线l与x轴、y轴的正向分别交于A、B，S ABC
∆
=2，且|AO|-|BO|=3, 求直线l的方程。
l1：y=4x与点P（6，4），在l1上求一点Q，使直线PQ与直线l1，以及x轴在第一象限围成的三角形面积最小。
一．选择题：
1.D(实数A,B,C 不是三个独立变量,两点可以确定一条直线)
2.C(两个截距均大于0,即直线不经过第三象限)
3.D(直线一般式表示所有的直线,包括无横截距和纵截距)
4.D(x 轴小于0, y 轴上的截距均大于0)
5.B(所求直线过点(-3
5,0),斜率是原直线斜率的相反数) 6.D(作图后由平几知识得P(4,0),Q(0,2),用截距式得方程后整理得一般式) 7.D(将方程整理成以m 为元素的方程:(x+2)m+1-x-y =0要使方程恒成立,必须x+2=,1-x-y=0) 8.D(x,y 前面的系数不同时为零)
二．填空题：
0≠且B 0≠,C ∈R(直线与两条坐标轴都相交必须A 0≠且B 0≠) 10.3
1,-6(第一条直线对应的一次函数的反函数的图象是第二条直线) 11. A(x －x 0)＋B(y －y 0)＝0 (用x 0、y 0表示C 后，再代入直线一般式方程) 12.[
),23+∞(y 轴上截距为-6,x 轴上截距t
236-<0) 三．解答题：
13.解：设直线l 的方程y-2=k(x+2)(k ≠0),令x=0得y=2k+2, 令y=0得x=-2-k 2, 4|22||22|21=--⋅+⋅∴k
k , ∴(k+1)2=2|k| , 则当k>0时，k 2+1=0无解；当k<0时，k 2+4k+1=0,32±-=∴k ,∴所求直线的方程为y-2=(-23±)(x+2).
14. 解：设已知两直线与所求直线分别交于M （x 0, y 0）,N （-x 0, -y 0），则有⎩
⎨⎧=-+-=++06530640000y x y x , 得x 0+6 y 0=0，所求直线过点（0，0）及（x 0, y 0），故所求直线为x+6y=0.
15.解：设直线l ：b y a x +=1(a>0，b>0)，则⎪⎩⎪⎨⎧=-=3
221b a ab ，即b 2+3b-4=0, b>0,∴b=1, ∴a=4, 故直线l 的方程为4
x +y=1. 16.解：设Q(x 1,4x 1), x 1>1, 过两点P 、Q 的直线方程为
6644411--=--x x x y , 若QP 交x 轴于点M （x 2,0）,得x 2=1511-x x , M(1511-x x ,0). 11041521||21121111-=⋅-⋅=⋅=∴∆x x x x x y OM S Q OMQ ,由S=1
1012
1-x x ,得10x 12-Sx 1+S=0,据≥∆0，得S ≥40，当S=40时，x 1=2, ∴点Q(2,8).。