3直线和圆中的最值问题

3直线和圆中的最值问题
直线和圆中的最值问题
1、直线与原的焦点问题总是转化成圆心到直线的距离和半径间的比较，或者利用方程有解的问题；
2、圆上一点至直线距离的最值问题总是转化成谋圆心到定直线的距离；
3、有些最值问题必须特别注意向函数问题转变；
4、把握住式子的几何意义。

一、至圆心距离的最值问题
例1：已知p是直线3x+4y+8=0上的动点，pa,pb是圆x2+y2-2x-2y+1=0的两条切线,a,b是切点，c是圆心，求四边形pacb面积的最小值。

二、至圆上一点距离的最值问题
例2：已知p是圆x2+y2=1上一点，q是直线l:x+2y-5=0上一点，求
pq的最小值。

三、与圆上一点的坐标有关的最值问题
基准3：未知定点a(-1,0),b(1,0)和圆(x-3)+(y-4)=4上的动点p，谋并使pa+pb最值时点p的座标。

p,⎪时,x2+y2最大为100⎪55⎪
练1：谋实数x,y满足用户x2+(y-1)2=1,谋以下各式的最值：
（）13x+4y（2）x+y（3x+1
(1)最大值为9，最小值为-1,(2)最大值为4，最小值为0,(3)小值为，并无最大值
四、与圆半径有关的最值问题
基准4：设x，y满足用户⎪y≥x谋(x-1)+(y-3)
25⎪4x+3y≤12
练2：未知圆c：x2+y2+2x-4y+3=0
(1).若圆c的切线在x轴和y轴上截距相等，求切线的方程；
(2).从圆c外一点p(x,y)向圆引切线pm，m为切点，o为座标原点，且pm
求使pm最小的点p的坐标。

y=2±x,x+y+1=0或x+y-3=0，p-,⎪
(练习3：已知∆abc三个顶点坐标a(0,0),b(4,0),c(0,3)，点p是它的内切圆上一点，求以
pa,pb,pc为直径的三个圆面积之和的最大值和最小值。

解：∆abc的三边长分别为3,4,5∴∆abc是以a为直角顶点的rt∆
∴内切圆的圆心(1,1)，半径r=1∴内切圆的方程为(x-1)+(y-1)=1即x+y-2x-2y+1=0
设p点坐标为(x,y)
pa+pb+pc
x+y2+(x-4)+y2+x2+(y-3)⎪=(11-x)
0≤x≤2∴当x=0时，smax=
119π；当x=2时，smin=π22
练4：设圆满足用户：(1)封盖y轴税金弦长为2；(2)被x轴分为两圆弧，其弧长比
为3:1。

数学分析一：设立圆心c(a,b),半径r,则c至x轴,y轴距离分别为|b|,|a|.
由已知应有圆c截x轴所得劣弧的圆心角为
在满足条件(1)(2)的所有圆中，谋圆心至直线l:x-2y=0的距离最轻的圆的方程。

，故|b|=
r即2b2=r2，2
截y轴所得弦长为2，得a2+1=r2，得
a2+1=2b2，
圆心c到直线l:x-2y=0的距离∴d=
5d2=|a-2b|2=a2-4ab+4b2≥a2+4b2-2(a2+b2)=2b2-a2=
“＝”当且仅当a=b时成立，此时dmin=
，⎪a2+1=2b2⎪a=1⎪a=-1
⇒r=⇒或⎪⎪⎪
b=-1⎪a=b
∴所求圆方程：(x+1)+(y+1)=2或(x-1)2+(y-1)2=2
数学分析二：d=
sinθ令=k
k可以看作单位圆x2+y2=1上动点p(cosθ,sinθ)与定点q连线的斜率
θ=或时,pq与单位圆相切，|k|取到最小，下同。

中考中的直线和圆的最值问题
1、已知圆o的半径为1，pa、pb为该圆的两条切线，a、b为两切点，那么pa∙pb的最小值为
(c)-4+
2、（湖南卷）若圆x2+y2-4x-4y-10=0上至少有三个不同点到直线l:ax+by=0的距
母母则直线l的倾斜角的值域范围就是()a.[
,]c.[,]d.[0,]1212263
2+y2-4x-4y-10=0整理为(x-2)2+(y-2)2=2，∴圆心座标为(2，2)，半径为32，建议圆上至少存有三个相同的的边直线l:ax+by=0的距离为22，则圆心至直线的距离应当大于等同于2，∴
(2+4()+1≤0，
值域范围就是[，挑选b.
-2-()≤-2+k=-()，∴
22l的倾斜角的
3、已知m={(x,y)|y=2a-x,a>0},n={(x,y)|(x-1)2+(y-)2=a2,a>0}.mn≠∅，a的最大值与最小值的和是__________.
4、例如图，a，b就是直线l上的两点，且ab=2a，b点，c就是这两个圆的公共点，则圆弧ac，cb与
线段ab围成图形面积s的最大值是．2-
5、设立子集a={(x,y)|
≤(x-2)2+y2≤m2,x,y∈r},2
b={(x,y)|2m≤x+y≤2m+1,x,y∈r},若a⋂b≠φ,则实数m的值域范围就是____.
≤m≤2.2
解析：当m≤0时，子集a就是以（2，0）为圆心，以m为半径的圆，子集b就是在两条平行
线之间，（2，0
）在直线的上方+m=(1m+>0d>r，又因为
2a⋂b≠φ,此时无解；
当m>0时，子集a就是以（2，0
m为半径的圆环，集合b是在两条平行线之间，必有当2m+1≤2,m≤
11时,只要
≤m⇒1-≤m≤.222当2m≥2,m≥1时,只要
,≤m⇒1≤m≤2+1
≤m≤1时,一定符合a⋂b≠φ,2
φ,≤m,∴≤m≤2.
当2m≤2,2m+1≥2⇒
本题主要考查子集概念,子集及其子集运算、线性规划,直线的斜率,两直线平行关系,点至直线的距离,圆的方程,直线与圆的边线关系、不含弁分类探讨、求解不等式，及其综合能力.6、未知定点p（6，4）与定直线l1：y=4x，过p点的直线与l1处设第一象限q 点，与x轴正半轴处设点m，谋并使△oqm面积最轻的直线l方程。

直线是过点p的旋转直线，因此是选其斜率k作为参数，还是选择点q（还是m）作为参数是本题关键。

通过比较可以辨认出，挑选k做为参数，运算量稍小，因此采用点参数。

设q（x0，4x0），m（m，0）∵q，p，m共线∴kpq=kpm∴
4-4x05x04=m=解之得：∵x0>0，m>0∴x0-1>0
6-x06-mx0-1
∴s∆omq
10x021
=|om|4x0=2mx0=2x0-1
10(t+1)21
=10(t++2)≥40令x0-1=t，则t>0s=
当且仅当t=1，x0=11时，等号设立此时q（11，44），直线：
x+y-10=0
7、未知三条直线l1:mx-y+m=0,l2:x+my-m(m+1)=0,l3:(m+1)x-y+m+1=0围起δabc，谋m为何值时，δabc的面积存有最大值、最小值。

[求解]记l1,l2,l3的方程分别为①，
②，③。

在①，③中挑x=-1,y=0，言等式设立，所以a(-1,0)为l1与l3的交点；在②，
③中挑x=0,y=m+1，等式也设立，所以b(0,m+1)为l2与l3的交点。

设l1,l2斜率分别为k1,k2,若m≠0，则k1•k2=m-
由点⎪=-1,sδab c=|ac|⨯|bc|，
至直线距离公式|ac|=
|-1-m2-m|
|m2+m+1|
|-m-1+m|+m
1m2+m+11⎪m⎪32
所以sδabc=⨯。

因为2m≤m+1，所以s≤。

又因为=1+⎪δabc22
422⎪m+1⎪m+1
≤2，所以sδabc≥.2m+14
当m=1时，（sδabc）max=；当m=-1时，（sδabc）min=.
-m2-1≤2m，所以-
8、未知⊙o就是单位圆，正方形abcd的一边ab就是⊙o的弦，先行确认|od|的最大值、最轻
[解]以单位圆的圆心为原点，ab的中垂线为x轴建立直角坐标系，设点a，b的坐标分别为a(cosα,sinα),b(cosα,-sinα)，由题设|ad|=|ab|=2sinα，这里不妨设a在x 轴上方，则α∈(0,π).由对称性可设点d在点a的右侧（否则将整个图形关于y轴作对称即可），从而点d坐标为(cosα+2sinα,sinα)，
所以|od|=(cosα+2sinα)+sinα=
4sin2α+4sinαcosα+1
=2(sin2α-cos2α)+3=
3+22sin2α-⎪.
因为-22≤22sin2α-当α=
⎪≤22，所以2-1≤|od|≤2+1.4⎪
π时，|od|max=2+1；当α=π时，|od|min=2-1.88
9、已知函数s=x+y，变量x,y满足条件y2-2x≤0和2x+y≤2，试求s的最大值和最小值。

10、a，b就是x轴正半轴上两点，oa=a，ob=b(a。