初中数学最新版《平方差公式 2》精品导学案(2022年版)

平方差公式一、新课导入1.导入课题:某同学在计算98×102时将其变成〔100-2〕〔100+2〕并很快得出结果，你知道他运用了什么知识吗？这节课我们一起来探讨上述计算的规律.2.学习目标:〔1〕掌握平方差公式的推导及应用.〔2〕了解平方差公式的几何意义，体会数形结合的思想方法.3.学习重、难点:重点：平方差公式及应用.难点：理解平方差公式的结构特征，灵活应用平方差公式.二、分层学习1.自学指导:〔1〕自学内容：探究平方差公式.〔2〕自学时间：5分钟.〔3〕自学方法：通过计算多项式乘以多项式，观察等式两边的结构特点进行总结规律.〔4〕探究提纲：①用多项式相乘的方法计算〔x+1〕(x-1)=x2-1.(m+2)(m-2)=m2-4.(2x+1)(2x-1)=4x2-1.②再来计算(a+b)(a-b)=a2-ab+ab-b2=a2-b2.③观察上面的结果，你发现了什么规律？把你发现的规律写出来.两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.④用你发现的规律直接写出结果.(a+1)(a-1)=a2-1;(x+3)(x-3)=x2-9;⑤你能根据图1中图形的面积说明平方差公式吗？方法一：设矩形EBNM的面积+矩形ADFE的面积=S.S=(a-b)b+(a-b)a=a2-b2.方法二：如果剪下矩形EBNM拼到FBND的位置，如图2，那么S=S四边形AEBN=(a+b)(a-b).2.自学：学生结合探究提纲进行自主探究.3.助学：〔1〕师助生:①明了学情:了解学生能否从计算中发现规律并用数学式子表达规律.②差异指导:引导学困生理解公式中a、b表示的意义及思考图中面积S的计算方法.〔2〕生助生:互讲推导过程与方法，有异议的地方可合作交流探讨.4.强化：〔1〕平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.即(a+b)(a-b)=a2-b2.〔2〕直接利用公式计算〔3x+y〕(3x-y)=9x2-y2.1.自学指导:〔1〕自学内容：教材第108页例1、例2.〔2〕自学时间：6分钟.〔3〕自学方法：注意运用平方差公式时如何确定公式中a、b分别表示什么？〔4〕自学参考提纲：①例1中，式子(-x+2y)(-x-2y)可以将-x看成公式中的a,2y看成公式中的b,结果是x2-4y2.②例2中，〔y-1〕(y+5)为什么没有用平方差公式进行运算？不符合平方差公式的条件，不能写成一个式子的平方与另一个式子的平方差的形式.③例2中，102×98=(100+2)(100-2)=1002-22=10000-4=9996，这是数字计算中的一种巧算，试想想怎样的两个数能用平方差公式进行简便运算？2.自学：学生可结合自学指导进行自学.3.助学：(1)师助生：①明了学情:了解学生是否看懂例题是如何运用公式的，公式中的a,b各代表什么？②差异指导:强化不同层次学生对平方差公式适用的条件的理解及公式中a,b代表的式子确实定.(2)生助生：学生之间相互交流探讨解决问题.4.强化：〔1〕无论是“两数和乘以两数差〞还是“两项式乘以两项式，一项相同，另一项互为相反数〞，都应该符合平方差公式的要求，都能运用公式进行计算.〔2〕认真分析式子的特点，特别注意符号变化.〔3〕以下式子能用平方差公式计算吗？①〔3x+2〕(3x-2); ②(b+2a)(2a-b); ③〔-x+2y〕(-x-2y);2-4 2-b2 2-4y2④102×983；⑤〔-x+y〕(x-y).不能. 不能.三、评价1.学生的自我评价〔围绕三维目标〕：学生代表交流自己的学习收获和学后体会.2.教师对学生的评价：〔1〕表现性评价：对学生的学习态度、方法、收效及缺乏进行点评.〔2〕纸笔评价：课堂评价检测.3.教师的自我评价〔教学反思〕：平方差公式表达了特殊多项式相乘的结果，教师可引导学生由多项式乘法法那么推出，然后引导学生观察公式的结构特征，从本质上认识符合公式特征的多项式相乘，以便于灵活解决实际问题.一、根底稳固〔每题10分，共70分〕1.以下多项式中，可以用平方差公式计算的是〔B〕A.(2a-3b)(-2a+3b)B.(-3a+4b)(-4b-3a)C.(a-b)(b-a)D.(a-b-c)(-a+b+c)2.以下各式中，运算结果为x2-36y2的是〔D〕A.(x+4y)(x-9y)B.(-6y+x)(-6y-x)C.(-6y+x)(6y-x)D.(-6y-x)(6y-x)3.以下计算结果正确的选项是〔C〕A.(x+2)(x-2)=x2-2B.(x+2)(3x-2)=3x2-4C.(ab-c)(ab+c)=a2b2-c2D.(-x-y)(x+y)=x2-y24.(x n+4)(x n-4)=x2n-16,(-a+2b)(-a-2b)=a2-4b25.计算：(12+14x) (12-14x=14-116x2.6.计算：〔a+3〕(-a+3)=9-a2.7.用简便方法计算:〔1〕2013×1923解：原式=〔20+13〕〔20-13〕=202-〔13〕2=400-19=39989〔2〕20212-2021×2021解：原式=20212-〔2021-1〕〔2021+1〕=20212-［20212-1］=1二、综合应用〔每题10分，共20分〕8.计算(x-3)(x2+9)(x+3)解：原式=(x2-9)(x2+9)=x4-81(a+12b)(a-12b)-(3a-2b)(3a+2b)解：原式=a2-14b2-(9a2-4b2)=154b2-8a2三、拓展延伸〔共10分〕2-y2=34,x-y=2,求3y-x的值.解：∵x2-y2=(x+y)(x-y)=342(x+y)=34x+y=173y-x=(x+y)-2(x-y)=17-2×2=13第2课时教学目标1．使学生了解多边形的内角、外角等概念．2．能通过不同方法探索多边形的内角和与外角和公式，并会应用它们进行有关计算．重点难点1．重点：〔1〕多边形的内角和公式．〔2〕多边形的外角和公式．2．难点：多边形的内角和定理的推导．教学过程一、探究1．我们知道三角形的内角和为180°．2．我们还知道，正方形的四个角都等于90°，那么它的内角和为360°，同样长方形的内角和也是360°．3．正方形和长方形都是特殊的四边形，其内角和为360°，那么一般的四边形的内角和为多少呢？画一个任意的四边形，用量角器量出它的四个内角，计算它们的和，与同伴交流你的结果．从中你得到什么结论？同学们进行量一量，算一算及交流后老师加以归纳得到四边形的内角和为360°的感性认识，是否成为定理要进行推导．二、思考几个问题1．从四边形的一个顶点出发可以引几条对角线？它们将四边形分成几个三角形？那么四边形的内角和等于多少度？2．从五边形一个顶点出发可以引几条对角线？它们将五边形分成几个三角形？那么这五边形的内角和为多少度？3．从n边形的一个顶点出发，可以引几条对角线？它们将n边形分成几个三角形？n 边形的内角和等于多少度？综上所述，你能得到多边形内角和公式吗？设多边形的边数为n，那么n边形的内角和等于〔n一2〕·180°．想一想：要得到多边形的内角和必需通过“三角形的内角和定理〞来完成，就是把一个多边形分成几个三角形．除利用对角线把多边形分成几个三角形外，还有其他的分法吗？你会用新的分法得到n边形的内角和公式吗？由同学动手并推导在与同伴交流后，老师归纳：〔以五边形为例〕分法一：在五边形ABCDE内任取一点O，连结OA、OB、OC、OD、OE，那么得五个三角形．其五个三角形内角和为5×180°，而∠1，∠2，∠3，∠4，∠5不是五边形的内角应减去，∴五边形的内角和为5×180°一2×180°＝〔5—2〕×180°=540°．如果五边形变成n边形，用同样方法也可以得到n个三角形的内角和减去一个周角，即可得：n边形内角和＝n×l80°一2×180°=〔n一2〕×180°．分法二：在边AB上取一点O，连OE、OD、OC，那么可以〔5－1〕个三角形，而∠1、∠2、∠3、∠4不是五边形的内角，应舍去．∴五边形的内角和为〔5—1〕×180°一180°＝〔5—2〕×180°用同样的方法，也可以把n边形分成〔n一1〕个三角形，把不是n边形内角的∠AOB 舍去，即可得n边形的内角和为〔n一2〕×180°．三、例题例1如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角有什么关系？：四边形ABCD的∠A＋∠C＝180°．求：∠B与∠D的关系．分析：此题要求∠B与∠D的关系，由于∠A＋∠C＝180°，所以可以从四边形的内角和入手，就可得到完满的答案．解：如图，四边形ABCD中，∠A＋∠C＝180°。

∵∠A+∠B+∠C+∠D=〔4－2〕×360°=180°，∴∠B＋∠D= 360°－〔∠A＋∠C〕=180°这就是说：如果四边形一组对角互补，那么另一组对角也互补．例2如图，在六边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做六边形的外角和．六边形的外角和等于多少？：∠1，∠2，∠3，∠4，∠5，∠6分别为六边形ABCDEF的外角．求：∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6的值．分析：关于外角问题我们马上就会联想到平角，这样我们就得到六边形的6个外角加上它相邻的内角的总和为6×180°．由于六边形的内角和为〔6—2〕×180°=720°．这样就可求得∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=360°．解：∵六边形的任何一个外角加上它相邻的内角和为180°．∴六边形的六个外角加上各自相邻内角的总和为6×180°．由于六边形的内角和为〔6—2〕×180°=720°∴它的外角和为6×180°一720°=360°如果把六边形横成n边形．〔n为不小于3的正整数〕同样也可以得到其外角和等于360°．即多边形的外角和等于360°．所以我们说多边形的外角和与它的边数无关．对此，我们也可以象以下这种，理解为什么多边形的外角和等于360°．如以以下图，从多边形的一个顶点A出发，沿多边形各边走过各顶点，再回到A点，然后转向出发时的方向，在行程中所转的各个角的和就是多边形的外角和，由于走了一周，所得的各个角的和等于一个周角，所以多边形的外角和等于360°．四、课堂练习课本P24练习1、2、3题．2、3题五、课堂小结引导学生总结本节课主要内容．六、课后作业课本P24习题第4、5、6题．备选题：一、判断题．1．当多边形边数增加时，它的内角和也随着增加．〔〕2．当多边形边数增加时．它的外角和也随着增加．〔〕3．三角形的外角和与一多边形的外角和相等．〔〕4．从n边形一个顶点出发，可以引出〔n一2〕条对角线，得到〔n一2〕个三角形．〔〕5．四边形的四个内角至少有一个角不小于直角．〔〕二、填空题．1．一个多边形的每一个外角都等于30°，那么这个多边形为边形．2．一个多边形的每个内角都等于135°，那么这个多边形为边形．3．内角和等于外角和的多边形是边形．4．内角和为1440°的多边形是．5．一个多边形的内角的度数从小到大排列时，恰好依次增加相同的度数，其中最小角为100°，最大的是140°，那么这个多边形是边形．6．假设多边形内角和等于外角和的3倍，那么这个多边形是边形．7．五边形的对角线有条，它们内角和为．8．一个多边形的内角和为4320°，那么它的边数为．9．多边形每个内角都相等，内角和为720°，那么它的每一个外角为．10．四边形的∠A、∠B、∠C、∠D的外角之比为1：2：3：4，那么∠A：∠B：∠C：∠D=．11．四边形的四个内角中，直角最多有个，钝角最多有个，锐角最多有个．12．如果一个多边形的边数增加一条，那么这个多边形的内角和增加，外角和增加．三、选择题．1．多边形的每个外角与它相邻内角的关系是〔〕A．互为余角B．互为邻补角C．两个角相等D．外角大于内角2．假设n边形每个内角都等于150°，那么这个n边形是〔〕A．九边形B．十边形C．十一边形D．十二边形3．一个多边形的内角和为720°，那么这个多边形的对角线条数为〔〕A．6条B．7条C．8条D．9条4．随着多边形的边数n的增加，它的外角和〔〕A．增加B．减小C．不变D．不定5．假设多边形的外角和等于内角和的号，它的边数是〔〕A．3 B．4 C．5 D．76．一个多边形的内角和是1800°，那么这个多边形是〔〕A．五边形B．八边形C．十边形D．十二边形7．一个多边形每个内角为108°，那么这个多边形〔〕A．四边形B，五边形C．六边形D．七边形8，一个多边形每个外角都是60°，这个多边形的外角和为〔〕A．180°B．360°C．720°D．1080°9．n边形的n个内角中锐角最多有〔〕个．A．1个B．2个C．3个D．4个10．多边形的内角和为它的外角和的4倍，这个多边形是〔〕A．八边形B．九边形C．十边形D，十一边形四、解答题．1．一个多边形少一个内角的度数和为2300°．〔1〕求它的边数；〔2〕求少的那个内角的度数．2．一个八边形每一个顶点可以引几条对角线？它共有多少条对角线？n边形呢？3．多边形的内角和为其外角和的5倍，求这个多边形的边数．4．假设一个多边形每个外角都等于它相邻的内角的，求这个多边形的边数．5．多边形的一个内角的外角与其余内角的和为600°，求这个多边形的边数．6．n边形的内角和与外角和互比为13：2，求n．7．五边形ABCDE的各内角都相等，且AE＝DE，AD∥CB吗？8．将五边形砍去一个角，得到的是怎样的图形？9．四边形ABCD中，∠A+∠B=210°，∠C＝4∠D．求：∠C或∠D的度数．10．在四边形ABCD中，AB＝AC＝AD，∠DAC＝2∠BAC．求证：∠DBC＝2∠BDC．。