函数的表示方法

函数的表示方法★知识梳理一、函数的三种表示法：图象法、列表法、解析法1．图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系； 2．列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系； 3．解析法：就是把两个变量的函数关系，用等式来表示。

二、分段函数在自变量的不同变化范围中，对应法则用不同式子来表示的函数称为分段函数。

★重、难点突破重点：掌握函数的三种表示法-----图象法、列表法、解析法，分段函数的概念 难点：分段函数的概念，求函数的解析式重难点：掌握求函数的解析式的一般常用方法： （1）若已知函数的类型（如一次函数、二次函数），则用待定系数法； （2）若已知复合函数)]([x g f 的解析式，则可用换元法或配凑法； 问题1．已知二次函数)(x f 满足564)12(2+-=+x x x f ，求)(x f 方法一：换元法令)(12R t t x ∈=+，则21-=t x ，从而)(955216)21(4)(22R t t t t t t f ∈+-=+-⋅--= 所以)(95)(2R x x x x f ∈+-= 方法二：配凑法因为9)12(5)12(410)12(564)12(222++-+=+-+==+-=+x x x x x x x f 所以)(95)(2R x x x x f ∈+-= 方法三：待定系数法因为)(x f 是二次函数，故可设c bx ax x f ++=2)(，从而由564)12(2+-=+x x x f 可求出951=-==c b a 、、，所以)(95)(2R x x x x f ∈+-=（3）若已知抽象函数的表达式，则常用解方程组消参的方法求出)(x f 问题2：已知函数)(x f 满足x xf x f 3)1(2)(=+，求)(x f 因为 x xf x f 3)1(2)(=+① 以x 1代x 得 xx f x f 13)(2)1(⋅=+②由①②联立消去)1(x f 得)0(2)(≠-=x x xx f ★热点考点题型探析考点1：用图像法表示函数[例1] （09年广东南海中学）一水池有2个进水口, 1个出水口,一个口的进、出水的速度如图甲、乙所示.某天0点到6点,该水池的蓄水量如图丙所示．给出以下3个论断：进水量 出水量 蓄水量（1）0点到3点只进水不出水；（2）3点到4点不进水只出水；（3）4点到6点不进水不出水．则一定不正确．．．的论断是 (把你认为是符合题意的论断序号都填上) . [解题思路]根据题意和所给出的图象，对三个论断进行确认即可。

[解析]由图甲知，每个进水口进水速度为每小时1个单位，两个进水口1个小时共进水2个单位，3个小时共进水6个单位，由图丙知①正确；而由图丙知，3点到4点应该是有一个进水口进水，出水口出水，故②错误；由图丙知，4点到6点可能是不进水不出水，也可能是两个进水口都进水，同时出水口也出水，故③不一定正确。

从而一定不正确．．．的论断是（2） 【名师指引】象这类给出函数图象让考生从图象获取信息的问题是目前高考的一个热点，它要求考生熟悉基本的函数图象特征，善于从图象中发现其性质。

高考中的热点题型是“知式选图”和“知图选式”。

[新题导练]1．(05辽宁改)一给定函数)(x f y =的图象在下列图中，并且对任意)1,0(1∈a ，由关系式0)(1=-+n n a f a 得到的数列}{n a 满足)(0*1N n a a n n ∈>-+，则该函数的图象是（ ）A B C D[解析] A.；令1n n a xa y+=⎧⎨=⎩，则()y f x =等价于)(1n n a f a =+，()y f x =是由点1(,)n n a a +组成，而又知道1n n a a +<，所以每各点都在y=x 的上方。

2．(2005·湖北)函数|1|||ln --=x e y x 的图象大致是( )[解析] D ；当1≥x 时，1)1(=--=x x y ，可以排除A 和C ；又当21=x 时，23=y ，可以排除B考点2：用列表法表示函数[例2] （07年北京）已知函数()f x ，()g x 分别由下表给出则[(1)]f g 的值为；满足[()][()]f g x g f x >的x 的值是[解题思路]这是用列表的方法给出函数，就依照表中的对应关系解决问题。

[解析]由表中对应值知[(1)]f g =(3)1f =；当1=x 时，[(1)]1,[(1)](1)3f g g f g ===，不满足条件当2=x 时，[(2)](2)3,[(2)](3)1f g f g f g ====，满足条件， 当3=x 时，[(3)](1)1,[(3)](1)3f g f g f g ====，不满足条件， ∴满足[()][()]f g x g f x >的x 的值是2=x【名师指引】用列表法表示函数具有明显的对应关系，解决问题的关键是从表格发现对应关系，用好对应关系即可。

[新题导练] 3．（09年山东梁山）设f 、g 都是由A 到A 的映射，其对应法则如下表（从上到下）： 映射f映射g则与)]1([g f 相同的是（ ）A ．)]1([f g ；B ．)]2([f g ；C ．)]3([f g ；D ．)]4([f g[解析] A ；根据表中的对应关系得，1)4()]1([==f g f ，1)3()]1([==g f g 4．（04年江苏改编）二次函数c bx ax y ++=2（x ∈R ）的部分对应值如下表：则不等式02<++c bx ax 的解集是[解析] )3,2(-；由表中的二次函数对应值可得，二次方程02=++c bx ax 的两根为－2和3，又根据)2()0(-<f f 且)3()0(f f <可知0>a ，所以不等式02<++c bx ax 的解集是)3,2(-考点3：用解析法表示函数题型1：由复合函数的解析式求原来函数的解析式[例3] （04湖北改编）已知)11(x x f -+=2211x x +-，则)(x f 的解析式可取为 [解题思路]这是复合函数的解析式求原来函数的解析式，应该首选换元法 [解析] 令t x x =-+11，则11+-=t t x ，∴ 12)(2+=t t t f .∴12)(2+=x xx f . 故应填212x x + 【名师指引】求函数解析式的常用方法有：① 换元法（ 注意新元的取值范围）；② 待定系数法（已知函数类型如：一次、二次函数、反比例函数等）；③整体代换（配凑法）；④构造方程组（如自变量互为倒数、已知)(x f 为奇函数且)(x g 为偶函数等）。

题型2：求二次函数的解析式[例4] （普宁市城东中学09届高三第二次月考）二次函数)(x f 满足x x f x f 2)()1(=-+，且1)0(=f 。

⑴求)(x f 的解析式；⑵在区间]1,1[-上，)(x f y =的图象恒在m x y +=2的图象上方，试确定实数m 的范围。

[解题思路]（1）由于已知)(x f 是二次函数，故可应用待定系数法求解；（2）用数表示形，可得求)(2x f m x <+对于]1,1[-∈x 恒成立，从而通过分离参数，求函数的最值即可。

[解析]⑴设2()(0)f x ax bx c a =++≠，则22(1)()[(1)(1)]()2f x f x a x b x c ax bx c ax a b+-=+++-++=++与已知条件比较得：22,0a a b =⎧⎨+=⎩解之得，1,1a b =⎧⎨=-⎩又(0)1f c ==，2()1f x x x ∴=-+⑵由题意得：212x x x m -+>+即231m x x ≤-+对[]1,1x ∈-恒成立，易得2min (31)1m x x <-+=-【名师指引】如果已知函数的类型，则可利用待定系数法求解；通过分离参数求函数的最值来获得参数的取值范围是一种常用方法。

[新题导练]5．（06全国卷二改编）若x x f 2cos 3)(sin -=，则=-)]2[sin(x f π[解析] x 2cos 3+；=-)]2[sin(x f π22(sin )3cos23(12sin )2sin 2f x x x x =-=--=+所以2()22f x x =+,因此22(cos )2cos 2(2cos 1)33cos2f x x x x =+=-+=+ 6．（09年潮州金山中学）设()y f x =是一次函数，若()01f =且()()()1,4,13f f f 成 等比数列，则()()()242f f f n +++= ；[解析])32(+n n ；设b kx x f +=)(，由1)0(=f 得1=b ，从而1)(+=kx x f又由()()()1,4,13f f f 成等比数列得2)14()113)(1(+=++k k k ，解得2=k所以12)(+=x x f ，()()()242f f f n +++= )32(]12[]142[]122[+=+⨯+++⨯++⨯n n n7．（华侨中学09届第3次月考（09年中山））设 ()11xf x x+=-，又记 ()()()()()11,,1,2,,k k f x f x f x f f x k +=== 则()2008f x = （ ）A ．11x x +-；B ．11x x -+；C ．x ；D ．1x-；[解析] C ；由已知条件得到x xx x xx f x f x f f x f 1111111)(1)(1)]([)(1112-=-+--++=-+==， 111111)(1)(1)]([)(1123+-=+-=-+==x x x x x f x f x f f x f ，x x x x x x f x f x f f x f =+--+-+=-+==111111)(1)(1)]([)(3334，x x x f f x f -+==11)]([)(45 可见，)(x f n 是以4为周期的函数，而45022008⨯=，所以，x x f x f ==)()(420088．设二次函数)(x f 满足)2()2(--=-x f x f ,且其图象在y 轴上的截距为1，在x 轴上截得的线段长为2，求)(x f 的解析式。

[解析] 17872)(2++=x x x f ；设f (x )=ax 2+bx +c ， 由f (x )满足f (x －2)=f (－x －2)，可得函数y=f (x )的对称轴为x=－2，所以22ba-=- 由y=f (x )图象在y 轴上的截距为1，可得(0)1f =，即c=1 由y=f (x ) 图象在x 轴上截得的线段长为2，可得12||x x -==所以联立方程组122c ba ==⎨⎪-⎪=-⎪⎩，可解得27871a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩所以f (x )=178722++x x . 考点4：分段函数题型1：根据分段函数的图象写解析式[例5] (07年湖北)为了预防流感，某学校对教室用药 物消毒法进行消毒。