线性化理论
第五章 精确线性化方法
第五章精确线性化方法2012年4月12日星期四5时0非线性控制系统理论与应用本章安排SISO系统输入/输出线性化，SISO非线性系统的标准形，状态反馈精确线性化，系统零动态MIMO系统输入输出精确线性化，状态精确线性化，MIMO系统的动态扩展鲁棒输入/输出线性化问题2012年4月12日星期四非线性控制系统理论与应用本章重点精确线性化的含义精确线性化的要精确线性化的主要思想输入输出精确线性化状态反馈精确线性化2012年4月12日星期四非线性控制系统理论与应用精确线性化方法含义在线性化过程中没有忽略掉任何高阶非线性项, 因此这种线性化不仅是精确的, 而且是整体的, 即线性化对变换有定义的整个区域都适用个区域都适用。
2012年4月12日星期四非线性控制系统理论与应用精确线性化主要思想通过适当的非线性状态和反馈变换,实现状态或输入/输出的精确线性化，将复杂输出的精确线性化将复杂的非线性系统综合问题转化为线性系统的综合问题综合问题。
2012年4月12日星期四非线性控制系统理论与应用微分几何回顾切空间向量场李括号李导数李括号、李导数分布和协分布定理一个正则分布完全可积的 Frobinus定理：一个正则分布完全可积的充要条件是它是对合的。
----某些类型分布或向量场对于的偏微分方程解的存在性定理。
2012年4月12日星期四非线性控制系统理论与应用SISO 非线性系统的标准形定义()()⎪⎫==x h L x Φx h x Φ152()()()()⎪⎪⎭⎪⎬=−x h L x Φf f 12γγM 结论5.2（部分坐标变换）()()1,,2,1−=U i x d Φi γ中是线性无关的。
在导数L ()()()011 0110≠−=−=+−−−x h L L x h L L j i f g j j f g ad ifγγγ时，当()()⎤⎡⎤⎡−0001x h L x dh g ad γL ()()()()()[]()()⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎢⎢⎢⎢⎢⎣=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎢⎢⎢⎢⎢⎣−−−−****001001000102x h L L x h L L x g ad x g ad x g x h dL x h dL f g f g ad f f f f f fγγγγM M L M 非线性控制系统理论与应用2012年4月12日星期四SISO 非线性系统的标准形结论5.3则向量场定义如下非线性变换为局部微分同胚变换）。
船舶动力学
)] i
[(
[(
dt dp dr 2 2 ru pw ) y ( r p ) z ( qr ) x ( qp )] j dt dt dq dp 2 2 pv qu ) z ( p q ) x ( rq ) y ( rq )] k } dxdydz dt dt
1
cos cos cos sin sin sin cos cos sin cos sin sin
sin cos sin sin sin cos cos sin sin cos cos sin
V i ( u qz ry ) i ( v rx pz ) j ( w py qx ) k
1.2.1 作用于船舶的微元上的速度和加速度
di i ( p i q j rk ) i rj q k dt dj j ( p i q j rk ) j p k r i dt dk k ( p i q j rk ) k q i p j dt
1.1.2 船体坐标系-动坐标系
原点O取船体上任意一点，纵轴Ox平行 于船舶横摇轴并指向船首，横轴Oy平行 于纵摇轴并指向左舷，垂直轴Oz指向船 体。 O-xyz构成一个左手坐标系 常将O取在船舶重心上 Ox 横摇轴 Oy纵摇轴 Oz首摇轴 不是惯性坐标系
船舶六个自由度的运动
沿三个坐标轴的直线运动 围绕三个坐标轴的旋转运动
v
M
p
M
r
0
X H 1 X u 0 YH 1 Z H 1 Z u 0 K H1 M M u H1 N H1 0
基于非线性系统反馈线性化理论的静止同步补偿器研究
别 为 电 网 电 压 和 注 入 的 无 功 电 流 ， 、 联接 变压 器 的漏 感 和 Ｌ Ｒ为
高文字表述能力 。
黑 龙江 垦区土地 利用状 况 （ 单位 ：万 ｈ ｍ）
黑龙 江垦 区共 建立ห้องสมุดไป่ตู้了 １０多个 大型农场 ，拥 有 走中型 拖拉机 ２万多 ０
台 ，联合 收割机 ７０ ００多 台，粮 食商 品率达 ８ ％，每 年 向国 家交售 商品 ０
基 于 非 线 性 系 统 反 馈 线 性 化 理 论 的 静 止 同步 补 偿 器 研 究
王 成 武
（ 安徽 省 电气 工 程 学 校 ， 徽 合 肥 安 摘 要 ： 文 采 用 非 线 性 变 换 和 非 线性 系统 反 馈 线性 化 本 理 论 ，建 立 了 同步 旋 转 坐标 系下 静 止 同步 补 偿 器 的 非 线 性 数 学模 型 ． 合 线 性 系 统 最 优 控 制 原 理 ， 计 了Ｓ Ａ Ｃ Ｍ的 状 结 设 Ｔ Ｔ Ｏ 态反 馈 线 性 化 解 耦 控 制 器 ，实 现 了有 功 功 率 和 无 功 功 率 的 解 耦 控 制 ． 基 于Ｐ Ｃ 并 Ｓ ＡＤ， ＭＴ Ｅ ＤＣ的 数 字 仿 真 ， 证 了 所 设 计 的 验 控 制 器具 有 良好 的 控 制 性 能 关 键 词 ： 止 同 步补 偿 器 反 馈 精 确 线性 化 非 线性 控 制 静
粮 ６ ０万 吨 。 ０
三 、 养 学 生 文 字 表 述 的 能 力 培 表 达 是 思 维 的外 在 体 现 ，学 生 对 地 理 问 题 的 思 维 状 况 和 思 维 能力 如 何 ， 终 都 要用 文 字来 表 达 。 课 程 中案 例 问题 的 最 新 呈 现 基 本 上 都 是 以简 述 题 的 形 式 ．可 见 新 课 标 对 学 生 的 文 字 表 述 能 力 的要 求 大 大 提 高 而 实 际 上 学 生 普 遍 存 在 对 文 字 表 述 能 力 不 重 视 ， 往 出 现 对 问 题 的 思 维 方 向 正 确 ， 无 法 用 文 往 但 字 准 确 、 整 、 范 地 表 达 出 来 ， １语 化 现 象 严 重 ， 表 述 缺 完 规 或 ２ １ 或 乏 层 次 性 、 辑 性 ， 点 不 突 出 ， 能 科 学 准 确 地 应 用 地 理 术 逻 要 不 语等情况 。 如 在 回答 “ 什 么 说 东 北 平 原 是 我 国 最 大 的 商 品 粮 生 产 为 基 地 ” ， 位 学 生 的 答 案 是 ：东 北 地 区 耕 地 大 ， 食 生 产 得 时 一 “ 粮 多 ， 且 人少 ， 食消 费得少 ， 以能供应 给 市场 的就 多 ， 并 粮 所 所 以成 为 最 大 的商 品 粮 基 地 ” 答 案 我 们 可 以 看 到 ． 位 学 生 从 这 给 出 的 答 案 的 优 点 表 现 在 思 路 正 确 ， 理 性 较 好 ， 足 是 严 条 不 重 口语 化 ， 能 准 确 使 用 地 理 术 语 。 在 教 学 中 ， 师 要 耐 心 、 不 教 持 之 以恒 地 督 促 学 生 注 重 基 本 原 理 的 表 述 、 文 字 的 锤 炼 、 答 题 的 层 次 等 ， 敦 促 学 生 将 “ 食 生 产 得 多 ” 为 “ 食 产 量 如 粮 改 粮 大 ” “ 少 ” 为 “ 均 耕 地 多 ” “ 供应 给 市 场 的 就 多 ” 为 ．人 改 人 ．能 改 “ 食 商 品 率 高 ” 等 等 ， 帮 助 学 生 突破 文 字 表 述 的鸿 沟 ， 粮 ， 以 提
小信号线性化模型课件
因此，研究小信号线性化模型对于提高工业过程的控制精度和稳定性具有重要意义 。
研究现状与发展
小信号线性化模型的研究起源于上世纪 九ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ年代，经过多年的研究和发展，已 经在航空航天、化工等领域得到了广泛
01
02
03
控制策略设计
稳定性分析
故障诊断
小信号线性化模型可用于控制策略设计， 实现复杂系统的精确控制。
通过小信号线性化模型，可以分析控制系 统的稳定性，确保系统的正常运行。
利用小信号线性化模型可以诊断控制系统 中的故障，提高系统的可靠性。
图像处理中的应用
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图像增强
小信号线性化模型可用于 图像增强，通过对图像的 建模和优化，提高图像的 清晰度和质量。
将处理后的数据绘制成曲线图，以便 更直观地观察和分析。
结果比较与讨论
对比不同模型
将小信号线性化模型与其他模型 进行对比，分析其优劣和适用范
围。
分析误差原因
对实验误差进行分析，找出误差的 原因和改进方向。
总结结论
根据实验结果和分析，总结出小信 号线性化模型的特性和适用条件， 为实际应用提供参考。
05
速度更新其位置。
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基于支持向量机的优化
01
支持向量机是一种基于统计学 习理论的分类器，适用于解决
二分类问题。
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在小信号线性化模型中，支持 向量机可以用于优化模型的参 数，提高模型的预测精度和鲁
棒性。
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自动控制原理反馈线性化知识点总结
自动控制原理反馈线性化知识点总结自动控制原理中，反馈线性化是一种重要的技术手段，用于对非线性系统进行线性化处理，以便于运用线性控制理论进行分析和设计。
本文将对反馈线性化的知识点进行总结。
一、反馈控制的基本原理反馈控制是指系统通过测量输出信号并与期望信号进行比较，从而产生控制信号作用于系统，使其输出信号趋近于期望值。
反馈控制可以提高系统的稳定性、精度和鲁棒性。
二、非线性系统的线性化1. 线性化的概念线性化是指通过近似处理使非线性系统在某一工作点附近表现出线性系统的特性。
线性化可以使非线性系统的分析和设计更加简化。
2. 线性化方法（1）泰勒级数展开法：通过对非线性函数进行泰勒级数展开，并保留一阶或二阶项，得到线性化后的系统模型。
（2）局部仿射变换法：通过适当的仿射变换，将非线性系统线性化为线性系统。
（3）偏微分方程法：对非线性系统的偏微分方程进行线性化处理，得到线性系统的模型。
三、反馈线性化的基本原理1. 概念反馈线性化是指通过设计反馈控制器，将非线性系统转化为线性系统。
2. 反馈线性化的步骤（1）选择工作点：选择一个具有良好控制性能的工作点作为线性化的基准。
（2）线性化建模：使用线性化方法得到系统在工作点附近的线性模型。
（3）设计反馈控制器：设计合适的反馈控制器，使得线性化后的系统具有期望的响应特性。
（4）验证和优化：通过仿真或实验验证线性化的效果，并对控制器进行优化。
四、反馈线性化的应用1. 飞行器控制在飞行器自动控制系统中，应用反馈线性化技术可以将飞行器的动力学模型线性化，从而进行姿态控制、航迹控制等任务。
2. 汽车悬挂系统控制反馈线性化技术可以将汽车悬挂系统的非线性特性线性化，实现对车身姿态的控制，提高汽车行驶的稳定性和舒适性。
3. 机器人控制在机器人的运动控制中，通过反馈线性化技术可以实现对机器人姿态和轨迹的精确控制，提高机器人的定位和导航能力。
五、反馈线性化的优缺点1. 优点（1）能够将非线性系统转化为线性系统，利用线性控制理论进行设计和分析。
线性系统理论(郑大钟第二版)第4章
§1 稳定性基本概念
一、外部稳定性与内部稳定性 1．外部稳定性 考虑一个线性因果系统,在零初始条件下,如果对应于任意有界输 入的输出均为有界，则称该系统是外部稳定的。
u(t ) k1
y(t ) k2
系统的外部稳定性也称有界输入－有界输出（BIBO）稳定性。 对于线性定常连续系统，外部稳定的充要条件是系统传递函数 的全部极点具有负实部。
n
it
i 1
i i
2．非线性系统情况 对于非本质性的非线性系统，可以在一定条件下用它的近似 线性化模型来研究它在平衡点的稳定性。
非线性自治系统： x f ( x)
f ( x )为n维非线性向量函数，并对各状态变量连续可微。
xe 0
是系统的一个平衡点。
将f ( x )在平衡点xe 邻域展成泰勒级数: f ( x ) f ( xe )
(t t0 )
则称平衡状态 xe 是稳定的。 可以将下式看成为状态空间中以 xe 为球心，以 为半径的一个超 球体，球域记为 S ( ) ；把上式视为以 xe为球心，以 为半径的一个 超球体，球域记为 S ( ) 。球域 S ( )依赖于给定的实数 和初始时间t 0 。
平衡状态 xe 是稳定的几何解释： 从球域 S ( )内任一点出发的运动 x(t; x0 , t0 )对所有的 t t0 都不超越球域 S ( ) 。 x2 一个二维状态空间中零平衡 S ( ) xe 0 是稳定的几何解释 状态 如右图 。 S ( ) 如果 与 t 0 无关，称为是 一致稳定，定常系统是一致 稳定的。 上述稳定保证了系统受扰运动的有 界性，通常将它称为李雅普诺夫意义 下的稳定，以区别于工程意义的稳定 (还应该具有对于平衡状态的渐进性)。
第05讲共线条件方程线性化
dZ
y x0
dx0
y y0
dy0
y f
df
式中（x)，(y)是用初值代入共线方程式求出的。
关键在于求偏导数
04:14
5
五、共线条件方程线性化
为此，引入下列符号：
X a1( X X S ) b1(Y YS ) c1( Z ZS )
令：Y a2 ( X X S ) b2 (Y YS ) c2 ( Z ZS ) 为地面点的变换坐标
04:14
13
x (x x0 )2 sin (x x0 )(y yo )) cos f sin
f
f
x
y y0
y
(
f
(
y
yo f
)2
)b1
(x x0 )(y f
y0 ) b2
(x
x0 )b3
y (x x0 )(y yo ) sin ( y y0 )2 cos f cos
x
c16 y ,
c17 f
c18 041:1,4 c19 0 , lx x x计
c21
1 Z
( a2
f
a3 y ),
c22
1 Z
( b2
f
b3 y
)
c23 c24
1 Z
( c2
f
c3 y
(
f
y2 f
)b1
)
xy f
b2
xb3
c25
xy f
sin
y2 f
cos
f
cos
c26 x ,
f f
a1( X a3( X a2( X a3( X
XS XS
) )
b1(Y b3 (Y
常微分方程的线性化与稳定性
常微分方程的线性化与稳定性常微分方程是数学中的一个重要分支，它描述了自变量的函数对其导数的依赖关系。
许多实际问题可以通过求解常微分方程来得到数学模型，并从中获得有关系统行为的重要信息。
其中，线性化和稳定性是常微分方程研究中的两个关键概念。
本文将介绍常微分方程的线性化方法，并讨论稳定性的概念及其应用。
一、常微分方程的线性化线性化是一种将非线性常微分方程转化为线性常微分方程的方法，通过线性化，我们可以使得原方程的解与线性化方程的解近似相等，从而简化问题的求解过程。
在实际应用中，常常需要对非线性系统进行线性化，以便更好地研究其稳定性、解的性质等。
线性化的基本思想是利用泰勒展开将非线性函数在某点处进行线性近似。
设考虑的非线性方程为：$$\frac{{d^2y}}{{dt^2}} = f(y, \frac{{dy}}{{dt}})$$在某点$(y_0, \frac{{dy}}{{dt}}_0)$处，对$f(y,\frac{{dy}}{{dt}})$进行二阶泰勒展开得到：$$f(y, \frac{{dy}}{{dt}}) = f(y_0, \frac{{dy}}{{dt}}_0) +\frac{{df}}{{dy}}(y-y_0) +\frac{{df}}{{d\frac{{dy}}{{dt}}}}(\frac{{dy}}{{dt}}-\frac{{dy}}{{dt}}_0)$$其中，$\frac{{df}}{{dy}}(y-y_0)$与$\frac{{df}}{{d\frac{{dy}}{{dt}}}}(\frac{{dy}}{{dt}}-\frac{{dy}}{{dt}}_0)$为一阶的线性项。
将其代入原方程得到线性化方程：$$\frac{{d^2y}}{{dt^2}} = f(y_0, \frac{{dy}}{{dt}}_0) +\frac{{df}}{{dy}}(y-y_0) +\frac{{df}}{{d\frac{{dy}}{{dt}}}}(\frac{{dy}}{{dt}}-\frac{{dy}}{{dt}}_0)$$若将$\Delta y=y-y_0$和$\Delta \frac{{dy}}{{dt}}=\frac{{dy}}{{dt}}-\frac{{dy}}{{dt}}_0$作为新的变量，线性化的方程可以写成更简洁的形式：$$\frac{{d^2\Delta y}}{{dt^2}} = \frac{{df}}{{dy}}\Delta y +\frac{{df}}{{d\frac{{dy}}{{dt}}}}\Delta \frac{{dy}}{{dt}}$$这样，我们就将原非线性问题转化为了线性问题。
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对于非线性特征明显的对象，需要先将非线性系统进行线性化，才能应用常见的线性分析方法。
IAS 系统中，空气弹簧的作用力与所施加激励之间存在明显的非线性关系，而减振器作用力与施加激励也存在非线性关系，所以IAS 系统是典型的非线性系统。
精确线性化方法通过恰当的非线性状态反馈和非线性坐标变换（或动态补偿），将一个非线性系统变换成(部分或全部地)线性系统。
精确线性化方法基于微分几何理论，通过对系统输入输出的解耦，实现非线性系统的线性化。
在非线性系统线性化后，可引入相关的控制理论实现对减振器阻尼的切换。
在介绍精确线性化方法前，先介绍两个概念：李导数、相对阶。
设如下n 阶非线性系统
()()()
x f x g x u y h x =+⎧⎨=⎩ 其中，状态量0x X ∈，,f g 为n 维光滑向量场h 为光滑函数。
n x ∈R ，系统的输入1u ∈R ，系统的输出1y ∈R 。
(1) 李导数（Lie Derivative ）
对系统（3.25）的输出方程求导数
(()())()()f g dh
dh
y x f x g x u L h x L h x u dx dx ==+=+ (0.1)
在式（3.17）中，定义()()f dh L h x f x dx ∆
=，()()g dh L h x g x dx ∆=为李导数，f L 代表()h x 沿着
系统的轨迹的导数。
(2) 相对阶（relative degree ） 定义3.2（相对阶）： 0x X ∈，如果存在0x 的邻域V 及正整数r 使（3.16）满足以下两个条件：
① ()0k g f L L h x =,x V ∀∈,01k r ≤<-；
② 1()0r g f L L h x -≠, x V ∀∈；
则称系统（3.16）的相对阶为r 。
以单输入单输出系统（SISO ）为例，说明精确线性化原理：利用系统的输出方程得到所需要的坐标变化和状态反馈，实现系统的精确线性化【徐兴大论文，89-91】。
对输出y 求导，假如在1r -次及以前不出现u ，而在r 次时方程中出现输入量u ，即
. (0.2)
如果继续对式3-18求导，则会出现u 的高阶导数，此时r 就是系统式（3.16）的相对阶数。
由此可以发现，相对阶r 就是系统输入和输出之间的积分次数，更加直观地揭示其物理意义错误！未找到引用源。
假如r n =，此时可以选择如下的坐标变换()x φ
(1)()r y
y z x y φ-⎧⎪⎪==⎨⎪
⎪⎩ (0.3)
则原系统简化成如下形式
12231(,,)n n n z
z z z z f z z u =⎧⎪=⎪⎨
⎪⎪=⎩
(0.4)
对于其中的最后一式，再引入“虚拟输入量”v ，令
1(,,)()n f z z u v t = (0.5)
则原系统可以完全线性化为如下的一组积分器串联的最简形式
1223n z
z z z z v =⎧⎪=⎪⎨⎪
⎪=⎩ (0.6)
对于系统（3.22），可以按照线性系统理论来设计其输入()v t 。
然后由式（3.21）可以解得原系统的精确线性化控制律为
1()(,,)n u t g z z u = (0.7)
而对于相对次数r n <的系统，可以按照类似的方法进行设计。