理改革开放以来,人们的支付方式发生了巨大转变.近年来,移动支付已成为主要支付方
北师大版七年级数学上册第六章《数据的收集与整理 》练习题含答案解析 (30)
一、选择题1.如图是某公司2018年度每月收入与支出情况折线统计图，下列说法正确的是( )A．该公司12月盈利最多B．该公司从十月起每年盈利越来越多C．该公司有4个月盈利超过200万D．该公司四月亏损了2.为了解某校学生今年五一期间参加社团活动时间的情况，随机抽查了100名学生进行统计，并绘制成如图所示的频数分布直方图，已知该校共有1000名学生．据此估计，该校五一期间参加社团活动时间在8∼10小时的学生人数大约是( )A．280B．240C．300D．2603.下列调查中，适宜采用抽样调查方式的是A．调查某市中学生每天体育锻炼的时间B．调查某班学生对“五个重庆”的知晓率C．调查一架“歼20”隐形战机各零部件的质量D．调查广州亚运会100米决赛参赛运动员兴奋剂的使用情况4.已知一个样本：27，23，25，27，29，31，27，30，32，28，31，28，26，27，29，28，24，26，27，30．若将数据分为5组，那么第3组的范围是( )A．24.5∼26.5B．26.5∼28.5C．28.5∼30.5D．30.5∼32.55.小军为了解同学们的课余生活，设计了如下的调查问卷（不完整）：调查问卷 年 月他准备在“①看课外书，②体育活动，③看电视，你平时最喜欢的一项课余活动是( )(单选)(A) (B) (C) (D)其他 ④踢足球，⑤看小说”中选取三个作为该问题的备选答案，选取合理的是( )A．①②③B．①④⑤C．②③④D．②④⑤6.改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要的支付方式之一．为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校1000名学生中随机抽取了100人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A种支付方式和仅使用B种支付方式的学生的支付金额a（元）的分布情况如下：下面有三个推断：①根据样本数据估计，全校1000名学生中，同时使用A，B两种支付方式的大约有400人；②样本中仅使用A种支付方式的同学，上个月的支付金额的中位数一定不超过1000元；③样本中仅使用B种支付方式的同学，上个月的支付金额的平均数一定不低于1000元．其中合理的是( )A．①③B．②③C．①②D．①②③7.为了解某校学生的上学方式，在全校2000名学生中随机抽取了200名学生进行调查．下列说法正确的是( )A．总体是全校2000名学生B．样本是随机抽取的200名学生的上学方式C．个体是每名学生D．样本容量是20008.王东调查了本班同学最喜欢的球类运动情况，并作出了如图所示的统计图，下面说法正确的是( )A．从图中可以直接看出全班总人数B．从图中可以直接看出喜欢足球运动的人数最多C．从图中可以直接看出喜欢各种球类运动的具体人数D．从图中可以直接看出喜欢各种球类运动的人数的百分比9.七年级（1）班有48位学生，春游前，班长把全班学生对春游地点的意向绘制成了扇形统计图，其中“想去珍珠乐园的学生数”的扇形圆心角为60∘，则下列说法正确的是( )A．想去珍珠乐园的学生占全班学生的60%B．想去珍珠乐园的学生有12人C．想去珍珠乐园的学生肯定最多D．想去珍珠乐园的学生占全班学生的1610.西安市某区三月中旬每天平均空气质量指数（AQI）分别为：118，96，60，82，56，69，86，112，108，94，为了描述这十天空气质量的变化情况，最适合用的统计图是( )A．折线统计图B．条形统计图C．频数分布直方图D．扇形统计图二、填空题11.某校为了解学生最喜欢的球类运动情况，随机选取该校部分学生进行调查，要求每名学生只写一类最喜欢的球类运动．以下是根据调查结果绘制的统计图表的一部分．类别A B C D E F类别足球羽毛球乒乓球篮球排球其他人数10462那么，其中最喜欢足球的学生数占被调查总人数的百分比为%．12. 为了估计某市空气质量情况，某同学在 30 天里做了如下记录：污染指数(w )406080100120140天数(天)3510651其中 w <50 时空气质量为优，50≤w ≤100 时空气质量为良，100<w ≤150 时空气质量为轻度污染，若 1 年按 365 天计算，请你估计该城市在一年中空气质量达到良以上（含良）的天数为 ( ) 天．13. 某校全体同学的综合素质评价的等级统计如图所示，其中评价为C 等级所在扇形的圆心角是 ．14. 空气是由多种气体混合而成的，为了直观地介绍空气各成分的百分比，最适合使用的统计图是 ．15. 某班 50 人英语考试成绩分布情况如下表所示，则该班英语考试成绩在 90∼100 分范围内的人数是 ，成绩在 70∼90 分范围内的人数占总人数的百分比是 ．英语成绩60∼7070∼8080∼9090∼100人数5103016. 为了解某学校七年级学生每周平均课外阅读时间的情况，随机抽查了 50 名学生，对其每周平均课外阅读时间进行统计，绘制了扇形统计图，根据图中提供的信息，回答下列问题： （Ⅰ）阅读 4 小时对应扇形图中的 a 的值为 ；（Ⅱ）在扇形统计图中，阅读 3 小时对应扇形图的圆心角的大小为 （度）．17. 小亮对 60 名同学进行节水方法选择的问卷调查（每人选择一项），人数统计如图，如果绘制成扇形统计图，那么表示“一水多用”的扇形圆心角的度数是 ．三、解答题18.某校学生会为了解环保知识的普及情况，从该校随机抽取部分学生，对他们进行了垃圾分类了解程度的调查．根据调查收集的数据绘制了如下的扇形统计图，其中对垃圾分类非常了解的学生有30人．(1) 本次抽取的学生有人；(2) 请补全扇形统计图；(3) 请估计该校1600名学生中对垃圾分类不了解的人数．19.某中学数学兴趣小组为了解本校学生对电视节目的喜爱情况，随机调查了部分学生最喜爱哪一类节目（被调查的学生只选一类并且没有不选择的），将调查结果制成了如下的两个统计图（不完整）．请你根据图中所提供的信息，完成下列问题：(1) 本次调查的学生人数为，娱乐节目在扇形统计图中所占圆心角的度数是度．(2) 请将条形统计图补充完整．(3) 若该中学有2000名学生，请估计该校喜爱动画节目的人数．20.小李对某班全体同学的业余兴趣爱好进行了一次调查，据采集到的数据绘制了下面的统计图表．请据图中提供的信息，解答下列问题：(1) 该班共有学生人．(2) 请将条形统计图补充完整．(3) 在扇形统计图中，“音乐”部分所对应的圆心角的度数度．(4) 求爱好“书画”的人数占该班学生数的百分数．21.某市开展了党员干部“一帮一扶贫”活动．为了解贫困群众对帮扶情况的满意程度，有关部门在该市所管辖的两个区内，分别随机抽取了若干名贫困群众进行问卷调查．根据收集的信息进行了统计，并绘制了下面尚不完整的统计图．已知在甲区所调查的贫困群众中，非常满意的人数占甲区所调查的总人数的35%．根据统计图所提供的信息解答下列问题：(1) 甲区参加问卷调查的贫困群众有人．(2) 请将统计图补充完整；(3) 小红说：“因为甲区有 30 人不满意，乙区有 40 人不满意，所以甲区的不满意率比乙区低．”你认为这种说法正确吗？为什么？22. 某校最近发布了新的学生午休方案，为了了解学生对方案的了解程度，小明和小颖一起对该学校的学生进行了抽样调查．小明将调查结果整理后绘制成条形统计图（如图）．A 代表“完全清楚”，B 代表“知道一些”，C 代表“完全不了解”．(1) 这次抽样调查共调查了 人．(2) 小颖想将调查结果绘制成扇形统计图，那么扇形统计图中C 部分对应的扇形的圆心角应是多少度？(3) 若该校一共有 1000 名学生，则根据此次调查，“完全清楚”的学生大约有多少人？23. 6 月 5 日是世界环境日，2018 年世界环境日中国的主题是“美丽中国，我是行动者”，小明积极学习与宣传，并从四个方面（A -空气污染，B -淡水资源危机，C -土地荒漠化，D -全球变暖）对全校学生进行了随机抽样调查，了解他们在这四个方面中最关注的的问题（每人限选一项），并绘制了如下不完整的统计图表： 关注的问题频数频率A 32mB a 0.2C 80.1D 24n 合计b 1请结合图表完成下列问题：(1) 表中的 b = ，n = ； (2) 将条形统计图补充完整；(3) 若小明所在的学校有 1100 名学生，那么根据小明提供的信息估计该校关注“空气污染”的学生大约有多少人？24.下面是刘佳上个月零花钱的支出情况统计图，已知她买早餐共用去30元．(1) 乘公交车的费用占总支出的%．(2) 上个月刘佳买学习用品一共花了多少元钱？25.为了解七年级学生完成课外作业所需的时间，小明访问了本班所有30名学生；小王访问了不同班级的18名男生；小芳访问了不同班级的18名女生．你认为以上三名同学的抽样方法合理吗？如果不合理，你认为应怎样设计？答案一、选择题1. 【答案】D【解析】A．该公司1月盈利最多，故A错误；B．该公司从十月起盈利越来越少，故B错误；C．盈利超过200万的有1月份、10月份、11月份共3个月，故C错误；D．四月份支出高于收入，所以亏损了，故D正确．【知识点】折线统计图2. 【答案】A【知识点】用样本估算总体、频数分布直方图3. 【答案】A【解析】被调查对象多，且分布较广，适宜采用抽样调查．【知识点】全面调查与抽样调查4. 【答案】B【知识点】频数分布表及直方图5. 【答案】A【解析】∵看课外书包含看小说，体育活动包含踢足球，∴④⑤的选项重复，故选取合理的是①②③．【知识点】数据收集的过程6. 【答案】C【知识点】统计表7. 【答案】B【解析】A．总体是全校2000名学生的上学方式的全体，故本选项错误；B．样本是随机抽取的200名学生的上学方式，故本选项正确；C．个体是每名学生的上学方式，故本选项错误；D．样本容量是200，故本选项错误．【知识点】用样本估算总体8. 【答案】D【知识点】扇形统计图9. 【答案】D【知识点】扇形统计图10. 【答案】A【解析】∵要看变化趋势，∴折线图更能反映趋势．【知识点】折线统计图二、填空题11. 【答案】24【解析】∵被调查学生的总数为10÷20%=50人，∴最喜欢篮球的有50×32%=16人，×100%=24%．则最喜欢足球的学生数占被调查总人数的百分比=50−10−4−16−6−250【知识点】扇形统计图12. 【答案】292【知识点】用样本估算总体13. 【答案】72°【解析】360∘×20%=72∘，故答案为：72∘．【知识点】扇形统计图14. 【答案】扇形统计图【知识点】扇形统计图15. 【答案】5；80%【解析】∵题表是某班50人英语考试成绩的分布情况，∴该班英语考试成绩在90∼100分范围内的人数为50−5−10−30=5，∵成绩在70∼90分范围内的人数为10+30=40，×100%=80%．∴成绩在70∼90分范围内的人数占总人数的百分比为4050【知识点】统计表16. 【答案】16；144【知识点】扇形统计图17. 【答案】240∘【知识点】扇形统计图三、解答题18. 【答案】(1) 300．(2)(3) 1600×30%=480(人)．答：对垃圾分类不了解的约有480人．【知识点】扇形统计图、用样本估算总体19. 【答案】(1) 300；72(2) 300−69−90−36−45=60人，补全条形统计图如图所示：(3) 根据样本的量，来计算整体即可．2000×(1−23%−20%−12%−15%)=600（人）．答：该中学有2000名学生中，喜爱动画节目大约有600人．【解析】(1) 根据条形统计图和扇形统计图计算参与的学生总数以及圆心角即可．69÷23%=300人，360∘×20%=72∘．【知识点】条形统计图、用样本估算总体20. 【答案】(1) 40(2) 选择“书画”的人数为：40−(14+12+4)=10（人），补全图象如下：(3) 108×100%=25%．(4) 爱好“书画”的人数占本班学生数的百分数是：1040【解析】(1) 该班共有学生14÷35%=40（人）．=108∘．(3) “音乐”部分所对应的圆心角的度数为360∘×1240【知识点】条形统计图、扇形统计图21. 【答案】(1) 1200．(2) 略．(3) 不正确，甲区不满意率为2.5%，乙区不满意率为2%，所以甲区不满意率比乙区高．【知识点】条形统计图22. 【答案】(1) 120(2) 用360∘乘以样本中C类别人数占总人数的比例即可得．对应的扇形的圆心角是360∘×15120=45∘．(3) 用总人数乘以样本中A类别人数所占比例可得．根据此次调查，“完全清楚”的学生大约有1000×45120=375（人）．【解析】(1) 将三个类别人数相加即可得．这次抽样调查的人数为45+60+15=120（人）．【知识点】条形统计图、用样本估算总体、扇形统计图23. 【答案】(1) 80；0.3(2) a=80×0.2=16，条形图如下：(3) 1100×3280=440（人）．【解析】(1) b=8÷0.1=80，n=24÷80=0.3．【知识点】条形统计图、用样本估算总体、频数与频率24. 【答案】(1) 44.5(2) 30÷25%=120（元），120×28%=33.6（元），答：上个月刘佳买学习用品一共花了33.6元钱．【解析】(1)1−25%−28%−2.5% =75%−28%−2.5%=47%−2.5%=44.5%.故乘公交的费用占总支出的44.5%．【知识点】扇形统计图25. 【答案】不合理．可从不同班级中抽取一定数量的男、女生来调查．【知识点】简单随机抽样。
高中数学-阶段验收评价(三)统计与概率跟踪测试卷及答案
阶段验收评价（三）统计与概率一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)1．某学校共有36个班级，每班50人，现要求每班派3名代表参加会议，在这个问题中，样本容量是( )A ．30B ．50C ．108D ．150解析：选C 由样本的定义知，样本容量n ＝36×3＝108.2．小波一星期的总开支分布如图①所示，一星期的食品开支如图②所示，则小波一星期的鸡蛋开支占总开支的百分比为( )A ．1%B ．2%C ．3%D ．5%解析：选C 由题图②知，小波一星期的食品开支为300元，其中鸡蛋开支为30元，占食品开支的10%，而食品开支占总开支的30%，所以小波一星期的鸡蛋开支占总开支的百分比为3%.3．某校高三级部分为甲、乙两个级部，现用分层抽样的方法从高三级部中抽取30名老师去参加教研会．已知乙级部中每名老师被抽到的可能性都为13，则高三级部的全体老师的人数为( )A ．10B ．30C ．60D ．90解析：选D 因为乙级部中每名老师被抽到的可能性都为13，所以高三年级中每名老师被抽到的可能性都为13，由30÷13＝90(人)，可得全体老师人数．4．从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么，互斥而不对立的事件是 ( )A ．至少有一个红球；都是红球B ．至少有一个红球；都是白球C ．至少有一个红球；至少有一个白球D ．恰有一个红球；恰有两个红球解析：选D 根据互斥事件、对立事件的定义可得．5．已知一组数据8,9,10，x ，y 的平均数为9，方差为2，则x 2＋y 2＝ ( )A ．162B ．164C ．168D ．170解析：选D 由题意可知15(8＋9＋10＋x ＋y )＝9，15[(8－9)2＋(9－9)2＋(10－9)2＋(x －9)2＋(y －9)2]＝2，解得x 2＋y 2＝170.6.如图是一容量为100的样本的质量的频率分布直方图，则由图可估计样本质量的中位数为( ) A ．11 B ．11.5 C ．12D ．12.5解析：选C 由频率分布直方图得组距为5，故样本质量在[5,10)，[10,15)内的频率分别为0.3和0.5，从而中位数为10＋0.20.5×5＝12，故选C. 7．种植两株不同的花卉，若它们的成活率分别为p 和q ，则恰有一株成活的概率为( )A ．p ＋q －2pqB ．p ＋q －pqC ．p ＋qD ．pq解析：选A 恰有一株成活的概率为p (1－q )＋q (1－p )＝p ＋q －2pq .8．(2020·新高考山东卷)某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是( )A ．62%B ．56%C ．46%D ．42%解析：选C 不妨设该校学生总人数为100，既喜欢足球又喜欢游泳的学生人数为x ，则100×96%＝100×60%－x ＋100×82%，解得x ＝46，所以既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是46%.故选C. 二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 9．下列说法正确的是( )A ．一组数据不可能有两个众数B．一组数据的方差必须是正数C．将一组数据中的每一个数据都加上或减去同一常数后，方差不变D．在频率分布直方图中，每个小长方形的面积等于相应小组的频率解析：选CD A错，众数可以有多个；B错，方差可以为0.10．不透明的口袋内装有红色、绿色和蓝色卡片各2张，一次任意取出2张卡片，则与事件“2张卡片都为红色”互斥而非对立的事件是()A．2张卡片都不是红色B．2张卡片恰有一张红色C．2张卡片至少有一张红色D．2张卡片都为绿色解析：选ABD从6张卡片中一次取出2张卡片的所有情况有“2张都为红色”“2张都为绿色”“2张都为蓝色”“1张红色1张绿色”“1张红色1张蓝色”“1张绿色1张蓝色”，在选项给出的四个事件中，与“2张卡片都为红色”互斥而非对立的事件有“2张卡片都不是红色”“2张卡片恰有一张红色”“2张卡片都为绿色”，而“2张卡片至少有一张红色”包含事件“2张卡片都为红色”，二者并非互斥事件．故选A、B、D.11．在一个古典概型中，若两个不同的随机事件A，B发生的概率相等，则称A和B是“等概率事件”，如：随机抛掷一个骰子一次，事件“点数为奇数”和“点数为偶数”是“等概率事件”．关于“等概率事件”，以下判断正确的是()A．在同一个古典概型中，所有的样本点之间都是“等概率事件”B．若一个古典概型的事件总数大于2，则在这个古典概型中除样本点外没有其他“等概率事件”C．因为所有必然事件的概率都是1，所以任意两个必然事件都是“等概率事件”D．同时抛掷三枚硬币一次，则事件“仅有一个正面”和“仅有两个正面”是“等概率事件”解析：选AD对于A，由古典概型的定义知，所有样本点的概率都相等，故所有的样本点之间都是“等概率事件”，故A正确；对于B，如在1,3,5,7,9五个数中，任取两个数，所得和为8和10这两个事件发生的概率相等，故B错误；对于C，由题可知“等概率事件”是针对同一个古典概型的，故C错误；对于D，同时抛掷三枚硬币一次共有8种不同的结果，其中“仅有一个正面”包含3种结果，其概率为38，“仅有两个正面”包含3种结果，其概率为38，故这两个事件是“等概率事件”，故D正确．故选A、D.12．下列对各事件发生的概率判断正确的是 ( )A ．某学生在上学的路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是13，那么该生在上学路上到第3个路口首次遇到红灯的概率为427B ．三人独立地破译一份密码，他们能单独译出的概率分别为15，13，14，假设他们破译密码是彼此独立的，则此密码被破译的概率为25C ．从1,2,3,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是13D ．设两个独立事件A 和B 都不发生的概率为19，A 发生B 不发生的概率与B 发生A不发生的概率相同，则事件A 发生的概率是29解析：选AC 对于A ，该生在第3个路口首次遇到红灯的情况为前2个路口不是红灯，第3个路口是红灯，所以概率为 1－132×13＝427，故A 正确； 对于B ，用A ，B ，C 分别表示甲、乙、丙三人能破译出密码，则P (A )＝15，P (B )＝13，P (C )＝14，“三个人都不能破译出密码”发生的概率为45×23×34＝25，所以此密码被破译的概率为1－25＝35B 错误；对于C ，该试验的样本空间Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)}，记A 为“取出的2个数之差的绝对值为2”，则A ＝{(1,3)，(2,4)}，故所求概率为13，故C 正确；对于D ，易得P (A ∩B )＝P (B ∩A )， 即P (A )P (B )＝P (B )P (A )， 即P (A )[1－P (B )]＝P (B )[1－P (A )]， 所以P (A )＝P (B )，又P (A ∩B )＝19，所以P (A )＝P (B )＝13所以P (A )＝23，故D 错误．故选A 、C.三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．某学校三个兴趣小组的学生人数分布如下表(每名同学只参加一个小组)(单位：人)：篮球组 书画组 乐器组 高一 45 30 a 高二151020学校要对这三个小组的活动效果进行抽样调查，按小组分层抽样，从参加这三个兴趣小组的学生中抽取30人，结果篮球组被抽出12人，则a 的值为________． 解析：由题意知，1245＋15＝30120＋a，解得a ＝30.答案：3014．一个三位自然数百位、十位、个位上的数字依次为a ，b ，c ，当且仅当有两个数字的和等于第三个数字时称为“有缘数”(如213,134等)，若a ，b ，c ∈{1,2,3,4}，且a ，b ，c 互不相同，则这个三位数为“有缘数”的概率为________．解析：由1,2,3组成的三位自然数为123,132,213,231,312,321，共6个；同理，由1,2,4组成的三位自然数为6个，由1,3,4组成的三位自然数为6个，由2,3,4组成的三位自然数为6个，共有24个．由1,2,3或1,3,4组成的三位自然数为“有缘数”，共12个，所以三位数为“有缘数”的概率为1224＝12. 答案：1215．(2019·全国卷Ⅱ)我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为________． 解析：∵x ＝10×0.97＋20×0.98＋10×0.9910＋20＋10＝0.98，∴经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为0.98. 答案：0.9816．一个口袋内装有大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出一个球，摸出红球或白球的概率为0.58，摸出红球或黑球的概率为0.62，那么摸出白球的概率为______；摸出红球的概率为________．解析：由题意知A ＝“摸出红球或白球”与B ＝“摸出黑球”是对立事件，又P (A )＝0.58，∴P (B )＝1－P (A )＝0.42，又C ＝“摸出红球或黑球”与D ＝“摸出白球”也是对立事件，∵P (C )＝0.62，∴P (D )＝0.38.设事件E ＝“摸出红球”，则P (E )＝1－P (B ∪D )＝1－P (B )－P (D )＝1－0.42－0.38＝0.2. 答案：0.38 0.2四、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)某公司为了了解一年内的用水情况，抽取了10天的用水量如下表所示：天数111221 2用水量/吨22384041445095(1)在这10天中，该公司用水量的平均数是多少？(2)在这10天中，该公司每天用水量的中位数是多少？(3)你认为应该用平均数和中位数中的哪一个数来描述该公司每天的用水量更合适？解：(1)x＝110(22＋38＋40＋2×41＋2×44＋50＋2×95)＝51(吨)．(2)中位数为41＋442＝42.5(吨)．(3)平均数受数据中的极端值(2个95)影响较大，使平均数在估计总体时可靠性降低，10天的用水量有8天都在平均值以下，故用中位数描述每天的用水量更合适．18．(12分)小王某天乘火车从重庆到上海去办事，若当天从重庆到上海的三列火车正点到达的概率分别为0.8,0.7,0.9，假设这三列火车之间是否正点到达互不影响．求：(1)这三列火车恰好有两列正点到达的概率；(2)这三列火车至少有一列正点到达的概率．解：用A，B，C分别表示这三列火车正点到达的事件，则P(A)＝0.8，P(B)＝0.7，P(C)＝0.9，所以P(A－)＝0.2，P(B－)＝0.3，P(C－)＝0.1.(1)由题意得A，B，C之间相互独立，所以恰好有两列火车正点到达的概率为P1＝P(A－BC)＋P(A B－C)＋P(AB C－)＝P(A－)P(B)P(C)＋P(A)P(B－)P(C)＋P(A)P(B)P(C－)＝0.2×0.7×0.9＋0.8×0.3×0.9＋0.8×0.7×0.1＝0.398.(2)三列火车至少有一列正点到达的概率为P2＝1－P(A－B－C－)＝1－P(A－)P(B－)P(C－)＝1－0.2×0.3×0.1＝0.994.19．(12分)两台机床同时生产一种零件，在10天中，两台机床每天的次品数如下：甲：1,0,2,0,2,3,0,4,1,2.乙：1,3,2,1,0,2,1,1,0,1.(1)哪台机床次品数的平均数较小？(2)哪台机床的生产状况比较稳定？解：(1)x甲＝(1＋0＋2＋0＋2＋3＋0＋4＋1＋2)×110 1.5，x乙＝(1＋3＋2＋1＋0＋2＋1＋1＋0＋1)×110＝1.2.∵x甲>x乙，∴乙机床次品数的平均数较小．(2)s2甲＝110×[(1－1.5)2＋(0－1.5)2＋(2－1.5)2＋(0－1.5)2＋(2－1.5)2＋(3－1.5)2＋(0－1.5)2＋(4－1.5)2＋(1－1.5)2＋(2－1.5)2]＝1.65，同理s2乙＝0.76，∵s2甲>s2乙，∴乙机床的生产状况比较稳定．20．(12分)甲、乙两人玩一种游戏，每次由甲、乙各出1到5根手指头，若和为偶数算甲赢，否则算乙赢．(1)若以A表示和为6的事件，求P(A)．(2)现连玩三次，若以B表示甲至少赢一次的事件，C表示乙至少赢两次的事件，试问B与C是否为互斥事件？为什么？(3)这种游戏规则公平吗？试说明理由．解：(1)样本空间与点集S＝{(x，y)|x∈N*，y∈N*，1≤x≤5,1≤y≤5}中的元素一一对应．因为S中点的总数为5×5＝25(个)，所以样本点总数为n＝25.事件A包含的样本点共5个，即(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)，所以P(A)＝525＝15.(2)B与C不是互斥事件，因为事件B与C可以同时发生，如甲赢一次，乙赢两次的事件即符合题意．(3)这种游戏规则不公平．结合(1)知和为偶数的样本点个数为13个，即甲赢的概率为13 25，乙赢的概率为12 25，所以这种游戏规则不公平．21.(12分)某班100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]．(1)求图中a的值；(2)根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分；(3)若这100名学生语文成绩某些分数段的人数x与数学成绩相应分数段的人数y之比如下表所示，求数学成绩在[50,90)之外的人数.分数段[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)x∶y 1∶12∶13∶44∶5 解：(1)由频率分布直方图知(2a＋0.02＋0.03＋0.04)×10＝1，解得a＝0.005.(2)由频率分布直方图知这100名学生语文成绩的平均分为55×0.005×10＋65×0.04×10＋75×0.03×10＋85×0.02×10＋95×0.005×10＝73(分)．(3)由频率分布直方图知语文成绩在[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)各分数段的人数依次为0.005×10×100＝5,0.04×10×100＝40,0.03×10×100＝30,0.02×10×100＝20.由题中给出的比例关系知数学成绩在上述各分数段的人数依次为5,40×12＝20,30×43＝40,20×54＝25.故数学成绩在[50,90)之外的人数为100－(5＋20＋40＋25)＝10.22．(12分)改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校所有的1 000名学生中随机抽取了100人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：支付方式支付金额不大于2 000元大于2 000元仅使用A27人3人仅使用B24人1人(1)估计该校学生中上个月A，B两种支付方式都使用的人数．(2)从样本仅使用B的学生中随机抽取1人，求该学生上个月支付金额大于2 000元的概率．(3)已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用B的学生中随机抽查1人，发现他本月的支付金额大于2 000元．结合(2)的结果，能否认为样本仅使用B的学生中本月支付金额大于2 000 元的人数有变化？说明理由．解：(1)由题知，样本中仅使用A的学生有27＋3＝30(人)，仅使用B的学生有24＋1＝25(人)，A，B两种支付方式都不使用的学生有5人．故样本中A，B两种支付方式都使用的学生有100－30－25－5＝40(人)．估计该校学生中上个月A，B两种支付方式都使用的人数为40100×1 000＝400.(2)记事件C为“从样本仅使用B的学生中随机抽取1人，该学生上个月的支付金额大于2 000元”，则P(C)＝125＝0.04.(3)记事件E为“从样本仅使用B的学生中随机抽查1人，该学生本月的支付金额大于2 000元”．假设样本仅使用B的学生中，本月支付金额大于2 000元的人数没有变化，则由(2)知，P(E)＝0.04.答案示例1：可以认为有变化．理由如下：P(E)比较小，概率比较小的事件一般不容易发生，一旦发生，就有理由认为本月支付金额大于2 000元的人数发生了变化．所以可以认为有变化．答案示例2：无法确定有没有变化．理由如下：事件E是随机事件，P(E)比较小，一般不容易发生，但还是有可能发生的．所以无法确定有没有变化．。
2019年北京市高考数学试卷(理科)以及答案解析
绝密★本科目考试启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）理科数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．（5分）已知复数z＝2+i，则z•＝（）A．B．C．3D．52．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的s值为（）A．1B．2C．3D．43．（5分）已知直线l的参数方程为（t为参数），则点（1，0）到直线l的距离是（）A．B．C．D．4．（5分）已知椭圆+＝1（a＞b＞0）的离心率为，则（）A．a2＝2b2B．3a2＝4b2C．a＝2b D．3a＝4b5．（5分）若x，y满足|x|≤1﹣y，且y≥﹣1，则3x+y的最大值为（）A．﹣7B．1C．5D．76．（5分）在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m2﹣m1＝lg，其中星等为m k的星的亮度为E k（k＝1，2）．已知太阳的星等是﹣26.7，天狼星的星等是﹣1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为（）A．1010.1B．10.1C．lg10.1D．10﹣10.17．（5分）设点A，B，C不共线，则“与的夹角为锐角”是“|+|＞||”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件8．（5分）数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C：x2+y2＝1+|x|y就是其中之一（如图）．给出下列三个结论：①曲线C恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；②曲线C上任意一点到原点的距离都不超过；③曲线C所围成的“心形”区域的面积小于3．其中，所有正确结论的序号是（）A．①B．②C．①②D．①②③二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
2019年北京卷 理科数学真题(解析版)
2019年北京卷 理科数学真题（解析版）一、选择题：每小题5分，共40分。
1.已知复数z =2+i ，则z z ⋅=（ ） A.3B.5C. 3D. 5【答案】D 【详解】∵z 2i,z z (2i)(2i)5=+⋅=+-= 故选D.2.执行如图所示的程序框图，输出的s 值为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【详解】运行第一次， =1k ，2212312s ⨯==⨯- ，运行第二次，2k = ，2222322s ⨯==⨯- ，运行第三次，3k = ，2222322s ⨯==⨯- ，结束循环，输出=2s ，故选B .3.已知直线l 的参数方程为13,24x t y t =+⎧⎨=+⎩（t 为参数），则点（1,0）到直线l 的距离是（ ）A.15B.25C.45D.65【答案】D【详解】直线l 的普通方程为()()41320x y ---=,即4320x y -+=,点()1,0到直线l 的距离226543d ==+,故选D.4.已知椭圆2222 1x y a b+=（a ＞b ＞0）的离心率为12，则（ ）A. a 2=2b 2B. 3a 2=4b 2C. a =2bD. 3a =4b【答案】B 【详解】椭圆的离心率2221,2c e c a b a ===-,化简得2234a b =,故选B.5.若x ，y 满足|1|x y ≤-，且y ≥−1，则3x+y 的最大值为（ ） A. −7 B. 1C. 5D. 7【答案】C 【详解】由题意1,11yy x y-≤⎧⎨-≤≤-⎩作出可行域如图阴影部分所示.设3,3z x y y z x =+=-,当直线0:3l y z x =-经过点()2,1-时,z 取最大值5.故选C.6.在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足212152–lg E m m E =，其中星等为m k 的星的亮度为E k （k =1,2）.已知太阳的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为（ ） A. 1010.1 B. 10.1C. lg10.1D. 10–10.1【答案】D【详解】两颗星的星等与亮度满足12125lg 2E m m E -= , 令2 1.45m =- ，126.7m =- ，()1212221g( 1.4526.7)10.155E m m E =-=-+=，10.110.112211010E EE E -=⋅= ， 故选D.7.设点A ，B ，C 不共线，则“AB 与AC 的夹角为锐角”是“||||AB AC BC +>”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C【详解】∵A ､B ､C 三点不共线,∴|AB +AC |>|BC |⇔|AB +AC |>|AB -AC |⇔|AB +AC |2>|AB -AC |2AB ⇔•AC >0AB ⇔与AC的夹角为锐角.故“AB 与AC 的夹角为锐角”是“|AB +AC |>|BC |”的充分必要条件,故选C.8.数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C ：221||x y x y +=+就是其中之一（如图）.给出下列三个结论：①曲线C 恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）； ②曲线C 2； ③曲线C 所围成的“心形”区域的面积小于3. 其中，所有正确结论的序号是（ ） A. ① B. ②C. ①②D. ①②③【答案】C详解】由221x y x y +=+得,221y x y x -=-,2222||3341,10,2443x x x y x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭, 所以x 可为的整数有0,-1,1,从而曲线22:1C x y x y +=+恰好经过(0,1),(0,-1),(1,0),(1,1), (-1,0),(-1,1)六个整点,结论①正确.由221x y x y +=+得,222212x y x y +++,解得222x y +≤,所以曲线C 上任意一点到原点的距离都不2结论②正确.如图所示,易知()()()()0,1,1,0,1,1,,0,1A B C D -,四边形ABCD 的面积13111122ABCD S =⨯⨯+⨯=,很明显“心形”区域的面积大于2ABCD S ,即“心形”区域的面积大于3,说法③错误.故选C.二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
高考中概率问题的常考题型
高考中概率问题的常考题型作者：***来源：《广东教育（高中）》2021年第10期概率是研究随机现象规律的数学分支，它为人们从不确定性的角度认识客观世界提供了重要的思维模式和解决问题的方法，为统计学发展提供理论基础. 概率是新课程高考的重要内容，从2021年及2020年全国新高考Ⅰ卷对概率的考查，可以发现对此内容的考查有所拓展，比如对相互独立事件的考查，积事件的概率公式的应用等. 下面先分析和解答2021年全国新高考Ⅰ卷第8题，然后再全面了解必修课程中概率问题的考点和常考题型，希望对大家的复习备考有帮助.例1.（2021年全国新高考Ⅰ卷第8题）有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（）A. 甲与丙相互独立B. 甲与丁相互独立C. 乙与丙相互独立D. 丙与丁相互独立解析：判断两个事件是否相互独立的两种方法：（1）根据问题的实质，直观上看一事件的发生是否影响另一事件发生的概率来判断，若没有影响，则两个事件就是相互独立事件;（2）定义法：通过式子P（AB）=P（A）P（B）来判断两个事件是否独立，若上式成立，则事件A，B相互独立，这是定量判断.本题用方法1较难判断，所以采用方法2进行判断. 这6个相同的分别标有数字1，2，3，4，5，6的球，从中有放回的随机取两次，可能的结果可以通过下表得到.解析：P（甲）=，P（乙）=，P（丙）=，P（丁）==，P（甲丙）=0≠P（甲）P（丙）=，P（甲丁）==P（甲）P（丁），P（乙丙）=≠P（乙）P（丙）=，P（丙丁）=0≠P（丁）P（丙）=.故选B.点评：判断事件A，B是否独立，先计算对应概率，再判断P（A）P（B）=P（AB）是否成立.例2.（2020年全国新高考Ⅰ卷第5题）某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是（）A. 62%B. 56%C. 46%D. 42%解析：记“该中学学生喜欢足球”为事件A，“该中学学生喜欢游泳”为事件B，则“该中学学生喜欢足球或游泳”为事件A+B，“该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳”为事件A·B，则P（A）=0.6，P（B）=0.82，P（A+B）=0.96，所以P（A·B）=P（A）+P（B）-P（A+B）=0.6+0.82-0.96=0.46.所以该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例为46%. 故选C.点评：本题考查了积事件的概率公式，属于基础题. 本题也可以类似地通过集合中元素个数的公式得出结论（必修1第13页），即对于两个有限集合A，B，有：card（A∪B）=card（A）+card（B）-card（A∩B）.从以上两例新高考对概率的考查，我们发现，概率问题很重视慨念的考查，考查的内容符合新课程标准，符合新课程理念. 因此，我们很有必要认真学习新课程标准.一、课程标准对概率考查的内容要求在新教材中，对概率的学习分为两部分，一部分在必修课程中，另一部分在选择性必修课程中. 而目前高三学生使用的是老教材，命题却按新的课程标准进行命制，所以把新课程标准对概率的要求罗列出来，清楚新高考概率的内容要求，对于把握新高考概率的命题走向显得很有意义.1. 必修课程对概率考查的内容要求本单元的学习，可以帮助考生结合具体实例，理解样本点、有限样本空间、随机事件，会计算古典概型中简单随机事件的概率，加深对随机现象的认识和理解.内容包括：随机事件与概率、随机事件的独立性. 具体来说，内容包括：“随机事件和概率”——有限样本空间与随机事件，事件的关系和运算，古典概型，概率的基本性质;“事件的相互独立性”;“频率与概率”——频率的稳定性，随机模拟;“概率的初步应用”.（1）随机事件与概率①结合具体实例，理解样本点和有限样本空间的含义，理解随机事件与样本点的关系. 了解随机事件的并、交与互斥的含义，能结合实例进行随机事件并、交运算.②结合具体实例，理解古典概型，能计算古典概率模型中随机事件的概率.③通过实例，理解概率的性质，掌握随机事件概率的运算法则.④结合实例，會用频率估计概率.（2）随机事件的独立性结合有限样本空间，了解两个随机事件独立性的含义. 结合古典概型，利用独立性计算概率.2. 选择性必修课程对概率考查的内容要求本单元的学习，可以帮助学生了解条件概率及其独立性的关系，能进行简单计算;感悟离散随机变量及其分布列的含义，知道可以通过随机变量更好地刻画随机现象;理解伯努利试验，掌握二项分布，了解超几何分布;感悟服从正态分布的随机变量，知道连续型随机变量;基于随机变量及其分布解决简单实际问题.内容包括：随机事件的条件概率，离散型随机变量及其分布列，正态分布.（1）随机事件的条件概率①结合古典概型，了解条件概率，能计算简单随机事件的条件概率.②结合古典概型，了解条件概率与独立性的关系.③结合古典概型，会利用乘法公式计算概率.④结合古典概型，会利用全概率公式计算概率.了解贝叶新公式.（2）离散型随机变量及其分布列①通过具体实例，了解随机变量的概念，理解离散型随机变量分布列及其数字征值（均值、方差）.②通过具体实例，了解伯努利试验，掌握二项分布及其数字特征，并能解决简单实际问题.③通过具体实例，了解超几何分布及其均值，并能解决简单实际问题.（3）正态分布①通过误差模型，了解服从正态分布的随机变量. 通过具体实例，借助频率直方图的几何直观，了解正态分布的特征.②了解正态分布的均值、方差及其含义.全国新高考Ⅰ卷在必修课程中，以随机现象的数学度量——概率为主题，培养学生通过概率模型认识和分析随机现象的能力，提升数学抽象、数学建模、数学运算、逻辑推理的科学素养.二、概率问题常考题型例析下面针对必修课程对概率考查的内容要求，举例说明概率问题常考题型.1. 事件类型的判断及随机事件的关系例3. 指出下列事件是必然事件、不可能事件还是随机事件.（1）中国体操运动员将在下届奥运会上获得全能冠军.（2）出租车司机小李驾车通过几个十字路口都将遇到绿灯.（3）若x∈R，则x2+1≥1.（4）抛一枚骰子两次，朝上面的数字之和小于2.解析：由题意知（1）（2）中事件可能发生，也可能不发生，所以是随机事件;（3）中事件一定会发生，是必然事件;由于骰子朝上面的数字最小是1，两次朝上面的数字之和最小是2，不可能小于2，所以（4）中事件不可能发生，是不可能事件.点评：可能发生，也可能不发生的事件叫是随机事件;不可能发生的事件叫不可能事件;一定会发生的事件叫必然事件.例4. 把红、黄、蓝、白4张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁四人，每个人分得一张，事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”（）A. 是对立事件B. 是不可能事件C. 是互斥但不對立事件D. 不是互斥事件解析：显然两个事件不可能同时发生，但两者可能同时不发生，因为红牌可以分给丙、丁两人，综上，这两个事件为互斥不对立事件，故选C.点评：判断互斥、对立事件的2种方法：例5. 某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛，判断下列每对事件是不是互斥事件，如果是，再判别它们是不是对立事件.（1）恰有1名男生与恰有2名男生;（2）至少有1名男生与全是男生;（3）至少有1名男生与全是女生;（4）至少有1名男生与至少有1名女生.解析：判别两个事件是否互斥，就要考察它们是否能同时发生;判别两个互斥事件是否对立，就要考察它们是否必有一个发生.（1）因为“恰有1名男生”与“恰有2名男生”不可能同时发生，所以它们是互斥事件;当恰有2名女生时它们都不发生，所以它们不是对立事件.（2）因为恰有2名男生时“至少有1名男生”与“全是男生”同时发生，所以它们不是互斥事件.（3）因为“至少有1名男生”与“全是女生”不可能同时发生，所以它们互斥;由于它们必有一个发生，所以它们是对立事件.（4）由于选出的是1名男生1名女生时“至少有1名男生”与“至少有1名女生”同时发生，所以它们不是互斥事件.例6.（多选题）一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球（标号为 1 和2 ）， 2个绿色球（标号为3和4），从袋中不放回地依次随机摸出2个球，每次摸出一个球. 设事件R1=“第一次摸到红球”，事件R=“两次都摸到红球”，事件G=“两次都摸到绿球”，事件M=“两球颜色相同”，事件= N“两球颜色不同”，则（）A. R1？哿RB. R∩G=？覫C. R∪G=MD. M=解析：在一次实验中，“第一次摸到红球”，第二次可能摸到红球，也可能摸到绿球，所以R？哿R1，A错.在一次实验中，事件R=“两次都摸到红球”，事件G=“两次都摸到绿球”，不能同时发生，所以R∩G=？覫，B正确.“两球颜色相同”，包括“两次都摸到红球”或“两次都摸到绿球”，所以R∪G=M，C正确.在一次实验中，“两球颜色相同”与“两球颜色不同”是对立事件，所以D正确.故选BCD.2. 随机事件的频率与概率例7.（2019·北京高考）改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变.近年来，移动支付已成为主要支付方式之一.为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校所有的1000名学生中随机抽取了100人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：（1）估计该校学生中上个月A，B两种支付方式都使用的人数;（2）从样本仅使用B的学生中随机抽取1人，求该学生上个月支付金额大于2000元的概率;（3）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化.现从样本仅使用B的学生中随机抽查1人，发现他本月的支付金额大于2000元. 结合（2）的结果，能否认为样本仅使用B的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由.②结合古典概型，了解条件概率与独立性的关系.③结合古典概型，会利用乘法公式计算概率.④结合古典概型，会利用全概率公式计算概率.了解贝叶新公式.（2）离散型随机变量及其分布列①通过具体实例，了解随机变量的概念，理解离散型随机变量分布列及其数字征值（均值、方差）.②通过具体实例，了解伯努利试验，掌握二项分布及其数字特征，并能解决简单实际问题.③通过具体实例，了解超幾何分布及其均值，并能解决简单实际问题.（3）正态分布①通过误差模型，了解服从正态分布的随机变量. 通过具体实例，借助频率直方图的几何直观，了解正态分布的特征.②了解正态分布的均值、方差及其含义.全国新高考Ⅰ卷在必修课程中，以随机现象的数学度量——概率为主题，培养学生通过概率模型认识和分析随机现象的能力，提升数学抽象、数学建模、数学运算、逻辑推理的科学素养.二、概率问题常考题型例析下面针对必修课程对概率考查的内容要求，举例说明概率问题常考题型.1. 事件类型的判断及随机事件的关系例3. 指出下列事件是必然事件、不可能事件还是随机事件.（1）中国体操运动员将在下届奥运会上获得全能冠军.（2）出租车司机小李驾车通过几个十字路口都将遇到绿灯.（3）若x∈R，则x2+1≥1.（4）抛一枚骰子两次，朝上面的数字之和小于2.解析：由题意知（1）（2）中事件可能发生，也可能不发生，所以是随机事件;（3）中事件一定会发生，是必然事件;由于骰子朝上面的数字最小是1，两次朝上面的数字之和最小是2，不可能小于2，所以（4）中事件不可能发生，是不可能事件.点评：可能发生，也可能不发生的事件叫是随机事件;不可能发生的事件叫不可能事件;一定会发生的事件叫必然事件.例4. 把红、黄、蓝、白4张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁四人，每个人分得一张，事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”（）A. 是对立事件B. 是不可能事件C. 是互斥但不对立事件D. 不是互斥事件解析：显然两个事件不可能同时发生，但两者可能同时不发生，因为红牌可以分给丙、丁两人，综上，这两个事件为互斥不对立事件，故选C.点评：判断互斥、对立事件的2种方法：例5. 某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛，判断下列每对事件是不是互斥事件，如果是，再判别它们是不是对立事件.（1）恰有1名男生与恰有2名男生;（2）至少有1名男生与全是男生;（3）至少有1名男生与全是女生;（4）至少有1名男生与至少有1名女生.解析：判别两个事件是否互斥，就要考察它们是否能同时发生;判别两个互斥事件是否对立，就要考察它们是否必有一个发生.（1）因为“恰有1名男生”与“恰有2名男生”不可能同时发生，所以它们是互斥事件;当恰有2名女生时它们都不发生，所以它们不是对立事件.（2）因为恰有2名男生时“至少有1名男生”与“全是男生”同时发生，所以它们不是互斥事件.（3）因为“至少有1名男生”与“全是女生”不可能同时发生，所以它们互斥;由于它们必有一个发生，所以它们是对立事件.（4）由于选出的是1名男生1名女生时“至少有1名男生”与“至少有1名女生”同时发生，所以它们不是互斥事件.例6.（多选题）一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球（标号为 1 和2 ）， 2个绿色球（标号为3和4），从袋中不放回地依次随机摸出2个球，每次摸出一个球. 设事件R1=“第一次摸到红球”，事件R=“两次都摸到红球”，事件G=“两次都摸到绿球”，事件M=“两球颜色相同”，事件= N“两球颜色不同”，则（）A. R1？哿RB. R∩G=？覫C. R∪G=MD. M=解析：在一次实验中，“第一次摸到红球”，第二次可能摸到红球，也可能摸到绿球，所以R？哿R1，A错.在一次实验中，事件R=“两次都摸到红球”，事件G=“两次都摸到绿球”，不能同时发生，所以R∩G=？覫，B正确.“两球颜色相同”，包括“两次都摸到红球”或“两次都摸到绿球”，所以R∪G=M，C正确.在一次实验中，“两球颜色相同”与“两球颜色不同”是对立事件，所以D正确.故选BCD.2. 随机事件的频率与概率例7.（2019·北京高考）改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变.近年来，移动支付已成为主要支付方式之一.为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校所有的1000名学生中随机抽取了100人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：（1）估计该校学生中上个月A，B两种支付方式都使用的人数;（2）从样本仅使用B的学生中随机抽取1人，求该学生上个月支付金额大于2000元的概率;（3）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化.现从样本仅使用B的学生中随机抽查1人，发现他本月的支付金额大于2000元. 结合（2）的结果，能否认为样本仅使用B的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由.②结合古典概型，了解条件概率与独立性的关系.③结合古典概型，会利用乘法公式计算概率.④结合古典概型，会利用全概率公式计算概率.了解贝叶新公式.（2）离散型随机变量及其分布列①通过具体实例，了解随机变量的概念，理解离散型随机变量分布列及其数字征值（均值、方差）.②通过具体实例，了解伯努利试验，掌握二项分布及其数字特征，并能解决简单实际问题.③通过具体实例，了解超几何分布及其均值，并能解决简单实际问题.（3）正态分布①通过误差模型，了解服从正态分布的随机变量. 通过具体实例，借助频率直方图的几何直观，了解正态分布的特征.②了解正态分布的均值、方差及其含义.全国新高考Ⅰ卷在必修课程中，以随机现象的数学度量——概率为主题，培养学生通过概率模型认识和分析随机现象的能力，提升数学抽象、数学建模、数学运算、逻辑推理的科学素养.二、概率问题常考题型例析下面针对必修课程对概率考查的内容要求，举例说明概率问题常考题型.1. 事件类型的判断及随机事件的关系例3. 指出下列事件是必然事件、不可能事件还是随机事件.（1）中国体操运动员将在下届奥运会上获得全能冠军.（2）出租车司机小李驾车通过几个十字路口都将遇到绿灯.（3）若x∈R，则x2+1≥1.（4）抛一枚骰子两次，朝上面的数字之和小于2.解析：由题意知（1）（2）中事件可能发生，也可能不发生，所以是随机事件;（3）中事件一定会发生，是必然事件;由于骰子朝上面的数字最小是1，两次朝上面的数字之和最小是2，不可能小于2，所以（4）中事件不可能发生，是不可能事件.点评：可能发生，也可能不发生的事件叫是随机事件;不可能发生的事件叫不可能事件;一定会发生的事件叫必然事件.例4. 把红、黄、蓝、白4张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁四人，每个人分得一张，事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”（）A. 是对立事件B. 是不可能事件C. 是互斥但不对立事件D. 不是互斥事件解析：显然两个事件不可能同时发生，但两者可能同时不发生，因为红牌可以分给丙、丁两人，综上，这两个事件为互斥不对立事件，故选C.点评：判断互斥、对立事件的2种方法：例5. 某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛，判断下列每对事件是不是互斥事件，如果是，再判别它们是不是对立事件.（1）恰有1名男生与恰有2名男生;（2）至少有1名男生与全是男生;（3）至少有1名男生与全是女生;（4）至少有1名男生与至少有1名女生.解析：判别两个事件是否互斥，就要考察它们是否能同时发生;判别两个互斥事件是否对立，就要考察它们是否必有一个发生.（1）因为“恰有1名男生”与“恰有2名男生”不可能同时发生，所以它们是互斥事件;当恰有2名女生时它们都不发生，所以它们不是对立事件.（2）因为恰有2名男生时“至少有1名男生”与“全是男生”同时发生，所以它们不是互斥事件.（3）因为“至少有1名男生”与“全是女生”不可能同时发生，所以它们互斥;由于它们必有一个发生，所以它们是对立事件.（4）由于选出的是1名男生1名女生时“至少有1名男生”与“至少有1名女生”同时发生，所以它们不是互斥事件.例6.（多选题）一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球（标号为 1 和2 ）， 2个绿色球（标号为3和4），从袋中不放回地依次随机摸出2个球，每次摸出一个球. 设事件R1=“第一次摸到红球”，事件R=“两次都摸到红球”，事件G=“两次都摸到绿球”，事件M=“两球颜色相同”，事件= N“两球颜色不同”，则（）A. R1？哿RB. R∩G=？覫C. R∪G=MD. M=解析：在一次实验中，“第一次摸到红球”，第二次可能摸到红球，也可能摸到绿球，所以R？哿R1，A错.在一次实验中，事件R=“两次都摸到红球”，事件G=“两次都摸到绿球”，不能同時发生，所以R∩G=？覫，B正确.“两球颜色相同”，包括“两次都摸到红球”或“两次都摸到绿球”，所以R∪G=M，C正确.在一次实验中，“两球颜色相同”与“两球颜色不同”是对立事件，所以D正确.故选BCD.2. 随机事件的频率与概率例7.（2019·北京高考）改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变.近年来，移动支付已成为主要支付方式之一.为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校所有的1000名学生中随机抽取了100人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：（1）估计该校学生中上个月A，B两种支付方式都使用的人数;（2）从样本仅使用B的学生中随机抽取1人，求该学生上个月支付金额大于2000元的概率;（3）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化.现从样本仅使用B的学生中随机抽查1人，发现他本月的支付金额大于2000元. 结合（2）的结果，能否认为样本仅使用B的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由.。
2021年高考数学(文)一轮复习讲义第11章高考专题突破六高考中的概率与统计统计案例
高考专题突破六高考中的概率与统计、统计案例统计与统计案例例1(2022·长沙市雅礼中学模拟)随着智能 的普及，使用 上网成为了人们日常生活的一局部，很多消费者对 流量的需求越来越大．某通信公司为了更好地满足消费者对流量的需求，准备推出一款流量包．该通信公司选了人口规模相当的4个城市采用不同的定价方案作为试点，经过一个月的统计，发现该流量包的定价x (单位：元/月)和购置总人数y (单位：万人)的关系如表：定价x (元/月) 20 30 50 60 年轻人(40岁以下) 10 15 7 8 中老年人(40岁以及40岁以上)20 15 3 2 购置总人数y (万人)30301010(1)计10元/月的流量包将有多少人购置(2)假设把50元/月以下(不包括50元)的流量包称为低价流量包，50元以上(包括50元)的流量包称为高价流量包，试运用独立性检验知识，填写下面列联表，并通过计算说明能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为购置人的年龄大小与流量包价格上下有关小于50元大于或等于50元总计 年轻人(40岁以下) 中老年人(40岁以及40岁以上)总计参考公式：y ^＝b ^x ＋a ^，其中b ^＝∑i ＝1nx i y i －n x y∑i ＝1nx 2i －n x2＝i ＝1n (x i －x )(y i －y )i ＝1n (x i －x )2，a ^＝y －b ^x .K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d .参考数据：P (K 2≥k 0)0.100.050.0250.0100.0050.001解(1)x ＝20＋30＋50＋604＝40，y ＝30＋30＋10＋104＝20，b ^＝i ＝1n (x i －x )(y i －y )2i ＝1n (x i －x )2＝－20×10－10×10＋10×(－10)＋20×(－10)(－20)2＋(－10)2＋102＋202＝－0.6，a ^＝y －b ^x ＝20－(－0.6)×40＝44， 所以y 关于x 的回归方程是y ^＝－0.6x ＋44，当x ＝10时，y ＝38，估计10元/月的流量包将有38万人购置． (2)K 2＝n (ad －bc )(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )＝80×(25×5－35×15)60×20×40×40≈6.667，因为6.667>6.635，所以能在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为购置人的年龄大小与流量包价格上下有关． 思维升华统计与统计案例在解答题中考查时，以频率分布直方图、线性回归方程与独立性检验为重点，充分表达了数学核心素养——数据分析．跟踪训练1(2022·湖北省荆、荆、襄、宜四地七校联考)为积极响应国家“阳光体育运动〞的号召，某学校在了解到学生的实际运动情况后，发起以“走出教室，走到操场，走到阳光〞为口号的课外活动建议．为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，从高一、高二根底年级与高三三个年级学生中按照4∶3∶3的比例分层抽样，收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据(单位：小时)，得到如下列图的频率分布直方图．(高一年级共有1200名学生)(1)据图估计该校学生每周平均体育运动时间．并估计高一年级每周平均体育运动时间缺乏4小时的人数；(2)规定每周平均体育运动时间不少于6小时记为“优秀〞，否那么为“非优秀〞，在样本数据中，有30位高三学生的每周平均体育运动时间不少于6小时，请完成以下2×2列联表，并判断是否有99%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间是否‘优秀’与年级有关．〞根底年级高三 总计 优秀 非优秀 总计300附：K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d ).参考数据：P (K 2≥k 0)0.100 0.050 0.010 0.005 k 02.7063.8416.6357.879解(1)该校学生每周平均体育运动时间为x ＝1×0.05＋3×0.2＋5×0.3＋7×0.25＋9×0.15＋11×0.05＝5.8，样本中高一年级每周平均体育运动时间缺乏4小时的人数为300×410×(0.025×2＋0.100×2)＝30.又样本中高一的人数有120，所以估计高一年级每周平均体育运动时间缺乏4小时的人数约为1200×30120＝300.(2)列联表如下：根底年级 高三 总计 优秀 105 30 135 非优秀 105 60 165 总计21090300K 2＝300×(105×60－105×30)2210×90×135×165＝70099≈7.071， 因为7.071>6.635，所以有99%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间是否优秀与年级有关〞．古典概型与统计的综合应用例2(2022·华中师大附中、实验中学、广雅中学、深圳中学四校联考) 汉字听写大会 不断创收视新高，为了防止“书写危机〞，弘扬传统文化，某市对全市10万名市民进行了汉字听写测试，现从某社区居民中随机抽取25名市民进行听写测试情况，发现被测试市民正确书写汉字的个数全部在160到184之间，将测试结果按如下方式分成六组：第一组[160,164)，第二组[164,168)，…，第六组[180,184]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图． (1)假设电视台记者要从抽取的市民中选1人进行采访，求被采访人恰好在第1组或第4组的概率；(2)第1组市民中男性有3名，组织方要从第1组中随机抽取2名市民组成弘扬传统文化宣传队，求至少有1名女性被选中的概率．解(1)被采访人恰好在第1组或第4组的频率为(0.05＋0.02)×4＝0.28， ∴估计被采访人恰好在第1组或第4组的概率为0.28. (2)第1组[160,164)的人数为0.05×4×25＝5， ∴第1组中共有5名市民，那么其中女性市民共2名，记第1组中的3名男性市民分别为A ，B ，C,2名女性市民分别为x ，y ，从第1组中随机抽取2名市民组成宣传队，共有10个根本领件，列举如下：AB ，AC ，Ax ，Ay ，BC ，Bx ，By ，Cx ，Cy ，xy ，至少有1名女性Ax ，Ay ，Bx ，By ，Cx ，Cy ，xy ，共7个根本领件，∴从第1组中随机抽取2名市民组成弘扬传统文化宣传队，至少有1名女性的概率为710.思维升华古典概型与统计的综合题一般是先给出样本数据或样本数据的分布等，解题中首先要把数据分析清楚，明确频率可近似替代概率，抽象得到古典概型，把握根本领件的构成要素．跟踪训练2(2022·汉中模拟)槟榔原产于马来西亚，在中国主要分布在云南、海南及台湾等热带地区．槟榔是重要的中药材，在南方一些少数民族还将果实作为一种咀嚼嗜好品，但其被世界卫生组织国际癌症研究机构列为致癌物清单Ⅰ类致癌物．云南某民族中学为了解A ，B 两个少数民族班的学生咀嚼槟榔的情况，分别从这两个班中随机抽取5名学生进行调查，将他们平均每周咀嚼槟榔的颗数作为样本，绘制成如下列图的茎叶图(图中的茎表示十位数字，叶表示个位数字)．(1)你能否估计哪个班的学生平均每周咀嚼槟榔的颗数较多(2)从A 班不超过19的样本数据中随机抽取一个数据记为a ，从B 班不超过21的样本数据中随机抽取一个数据记为b ，求a ≥b 的概率．解(1)A 班样本数据的平均值为15(9＋11＋14＋20＋31)＝17，由此估计A 班学生平均每周咀嚼槟榔的颗数为17； B 班样本数据的平均值为15(11＋12＋21＋25＋26)＝19，由此估计B 班学生平均每周咀嚼槟榔的颗数为19， 故估计B 班学生平均每周咀嚼槟榔的颗数较多．(2)A 班样本数据中不超过19的数据a 有3个，分别为9,11,14，B 班样本数据中不超过21的数据b 也有3个，分别为11,12,21.从A 班和B 班的样本数据中各随机抽取一个共有9种不同情况，分别为(9,11)，(9,12)，(9,21)，(11,11)，(11,12)，(11,21)，(14,11)，(14,12)，(14,21)． 其中a ≥b 的情况有(11,11)，(14,11)，(14,12)3种， 故a ≥b 的概率P ＝39＝13.古典概型与统计案例的综合应用例3(2022·河南八市重点高中联考)某县一中学的同学为了解本县成年人的交通平安意识情况，利用假期进行了一次全县成年人平安知识抽样调查．该县成年人中40%的人拥有驾驶证，先根据是否拥有驾驶证，用分层抽样的方法抽取了100名成年人，然后对这100人进行问卷调查，所得分数的频率分布直方图如下列图．规定分数在80以上(含80)的为“平安意识优秀〞．拥有驾驶证没有驾驶证总计 得分优秀 得分不优秀25 总计100(1)补全上面2×驶证〞有关(2)假设规定参加调查的100人中分数在70以上(含70)的为“平安意识优良〞，从参加调查的100人中根据平安意识是否优良，按分层抽样的方法抽出5人，再从5人中随机抽取3人，试求抽取的3人中恰有一人为“平安意识优良〞的概率． 附表及公式：K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d .P (K 2≥k 0)0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828解(1)列联表为K 2＝100×(15×55－25×5)240×60×20×80＝122596≈12.76>6.635， 所以有超过99%的把握认为“平安意识优秀与是否拥有驾驶证〞有关．(2)由频率分布直方图可求得70分以上(含70)的人数为100×(0.020＋0.015＋0.005)×10＝40，所以按分层抽样的方法抽出5人时，“平安意识优良〞的有2人．记“平安意识优良〞的人分别为1,2，其余的3人分别为a ，b ，c ，从中随机抽取3人，根本领件有(1,2，a )，(1,2，b )，(1,2，c )，(1，a ，b )，(1，a ，c )，(1，b ，c )，(2，a ，b )，(2，a ，c )，(2，b ，c )，(a ，b ，c )，共10个，恰有一人为“平安意识优良〞的事件有6个，所以恰有一人为“平安意识优良〞的概率P ＝610＝35.思维升华古典概型与统计案例相结合，要注意理解实际问题的意义，掌握独立性检验的计算公式及古典概型的根本领件的构成，才能有效地解决问题．跟踪训练3(2022·娄底期末)H 大学就业指导中心对该校毕业生就业情况进行跟踪调查，发现不同的学历对就业专业是否为所学专业有影响，就业指导中心从2022届的毕业生中，抽取了本科和研究生各50名，得到下表中的数据．(1)业生学历有关；(2)为了进一步分析和了解本科毕业生就业的问题，按分层抽样的原那么从本科毕业生中抽取一个容量为5的样本，要从5人中任选2人参加座谈，求被选取的2人中至少有1人就业为非所学专业的概率．附：K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，n ＝a ＋b ＋c ＋d .解(1)由题意知，K 2＝100(30×5－45×20)275×25×50×50＝12>6.635，故能在犯错概率不超过0.01的前提下认为就业专业是否为所学专业与毕业生学历有关． (2)由题意知，所取样本中本科毕业生就业为所学专业的为3人，设为A ，B ，C ，非所学专业的为2人，设为a ，b .从5人中任选2人，其结果有(A ，B )，(A ，C )，(A ，a )，(A ，b )，(B ，C )，(B ，a )，(B ，b )，(C ，a )，(C ，b )，(a ，b )，共10种．记“至少有1人就业为非所学专业〞为事件S ，共有(A ，a )，(A ，b )，(B ，a )，(B ，b )，(C ，a )，(C ，b )，(a ，b )7种情况，所以P (S )＝710，即所求概率为710.例(12分)(2022·北京)改革开放以来，人们的支付方式发生巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月A ，B 两种移动支付方式的使用情况，从全校所有的1000名学生中随机抽取了100人，发现样本中A ，B 两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A 和仅使用B 的学生的支付金额分布情况如下：(1)(2)从样本仅使用B 的学生中随机抽取1人，求该学生上个月支付金额大于2000元的概率； (3)上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用B 的学生中随机抽查1人，发现他本月的支付金额大于2000元．结合(2)的结果，能否认为样本仅使用B 的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化说明理由． 标准解答解(1)由题意知，样本中仅使用A 的学生有27＋3＝30(人)，仅使用B 的学生有24＋1＝25(人)，A ，B 两种支付方式都不使用的学生有5人，故样本中A ，B 两种支付方式都使用的学生有100－30－25－5＝40(人)．[2分] 估计该校学生中上个月A ，B 两种支付方式都使用的人数为40100×1000＝400.[4分](2)记事件C为“从样本仅使用B的学生中随机抽取1人，该学生上个月的支付金额大于2000元〞，＝0.04，[8分]那么P(C)＝125(3)记事件E为“从样本仅使用B的学生中随机抽查1人，该学生本月的支付金额大于2000元〞．假设样本仅使用B的学生中，本月支付金额大于2000元的人数没有变化，那么由(2)知，P(E)＝0.04.[10分]答案例如1：可以认为有变化．理由如下：P(E)比较小，概率比较小的事件一般不容易发生．一旦发生，就有理由认为本月的支付金额大于2000元的人数发生了变化，所以可以认为有变化．[12分]答案例如2：无法确定有没有变化，理由如下：事件E是随机事件，P(E)比较小，一般不容易发生，但还是有可能发生的，所以无法确定有没有变化．[12分]第一步：审清题意，理清条件和结论，找到关键数量关系．第二步：找数量关系，把图表语言转化为数字，将图表中的数字转化为公式中的字母．第三步：建立解决方案，找准公式，根据图表数据代入公式计算数值．第四步：作出判断得结论，依据题意，借助数表作出正确判断．第五步：反思回忆，查看关键点、易错点和答题标准性．1．(2022·南宁适应性测试)某电子商务平台的管理员随机抽取了1000位上网购物者，并对其年龄(在10岁到69岁之间)进行了调查，统计情况如表所示．[30,40)(1)求a，b的值；(2)假设将年龄在[30,50)内的上网购物者定义为“消费主力军〞，其他年龄段内的上网购物者定义为“消费潜力军〞．现采用分层抽样的方式从参与调查的1000位上网购物者中抽取5人，再从这5人中抽取2人，求这2人中至少有一人是消费潜力军的概率．解(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝500，ab ＝40000，a >b ，解得a ＝400，b ＝100.(2)由题意可知，在抽取的5人中，有3人是消费主力军，分别记为a 1，a 2，a 3，有2人是消费潜力军，分别记为b 1，b 2.记“这2人中至少有一人是消费潜力军〞为事件A .从这5人中抽取2人所有可能的情况为(a 1，a 2)，(a 1，a 3)，(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 2，a 3)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 3，b 1)，(a 3，b 2)，(b 1，b 2)，共10种．符合事件A 的有(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 2，b 1)，(a 2，b 2)，(a 3，b 1)，(a 3，b 2)，(b 1，b 2)，共7种．故所求概率为P (A )＝710.2．(2022·南阳一中模拟)某校在一次期末数学测试中，为统计学生的考试情况，从学校的2000名学生中随机抽取50名学生的考试成绩，被测学生成绩全部介于60分到140分之间(总分值150分)，将统计结果按如下方式分成八组：第一组[60,70)，第二组[70,80)，…，第八组[130,140]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一局部． (1)求第七组的频率，并完成频率分布直方图；(2)估计该校的2000名学生这次考试成绩的平均分(可用区间中点值代替各组数据平均值)； (3)假设从样本成绩属于第一组和第六组的所有学生中随机抽取2名，求他们的分差小于10分的概率．解(1)由频率分布直方图知第七组的频率f 7＝1－(0.004＋0.012＋0.016＋0.03＋0.02＋0.006＋0.004)×10＝0.08.频率分布直方图如图．(2)估计该校的2000名学生这次考试的平均成绩为(3)第六组有学生3人，分别记作A 1，A 2，A 3，第一组有学生2人，分别记作B 1，B 2，那么从中任取2人的所有根本领件为(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(A 1，A 2)，(A 1，A 3)，(A 2，A 3)，(B 1，B 2)，共10个．分差大于10分表示所选2人来自不同组，其根本领件有6个：(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，所以从中任意抽取2人，分差小于10分的概率P ＝410＝25.3．(2022·内江模拟)基于移动网络技术的共享单车被称为“新四大创造〞之一，短时间内就风行全国，给人们带来新的出行体验，某共享单车运营公司的市场研究人员为了了解公司的经营状况，对公司最近6个月的市场占有率y %进行了统计，结果如下表：出y 关于x 的线性回归方程；如果不能，请说明理由；(2)根据调研数据，公司决定再采购一批单车扩大市场，从本钱1000元/辆的A 型车和800元/辆的B 型车中选购一种，两款单车使用寿命频数如下表：假设每辆单车的使用寿命都是整数年，用频率估计每辆车使用寿命的概率，以平均每辆单车所产生的利润的估计值为决策依据，如果你是公司负责人，会选择采购哪款车型 参考数据：i ＝16(x i －x )(y i －y )＝35，i ＝16(x i －x )2＝17.5，i ＝16(y i －y )2＝76，1330≈36.5.参考公式：相关系数r ＝i ＝1n (x i －x )(y i －y )i ＝1n (x i －x )2i ＝1n (y i －y )2，b ^＝i ＝1n (x i －x )(y i －y )i ＝1n (x i －x )2，a ^＝y －b ^x .解(1)由表格中数据可得，x ＝3.5，y ＝16.∵r ＝i ＝1n (x i －x )(y i －y )i ＝1n (x i －x )2i ＝1n (y i －y )2＝3517.5×76＝351330≈0.96.∴y 与月份代码x 之间具有较强的相关关系，故可用线性回归模型拟合两变量之间的关系．b ^＝i ＝1n (x i －x )(y i －y )i ＝1n (x i －x )2＝3517.5＝2. ∴a ^＝y －b ^x ＝16－2×3.5＝9， ∴关于x 的线性回归方程为y ^＝2x ＋9. (2)这100辆A 款单车平均每辆车的利润为1100(－500×10＋0×30＋500×40＋1 000×20)＝350(元)， 这100辆B 款单车平均每辆车的利润为1100(－300×15＋200×40＋700×35＋1 200×10)＝400(元)， ∴用频率估计概率，A 款单车与B 款单车平均每辆的利润估计值分别为350元、400元，应采购B 款车型．4．(2022·湖南长沙雅礼中学、河南省实验中学联考)环境问题是当今世界共同关注的问题，我国环保总局根据空气污染指数PM2.5浓度，制定了空气质量标准：指数，绘制了频率分布直方图，经过分析研究，决定从2022年11月1日起在空气质量重度污染和严重污染的日子对机动车辆限号出行，即车牌尾号为单号的车辆单号出行，车牌尾号为双号的车辆双号出行(尾号是字母的，前13个视为单号，后13个视为双号)．王先生有一辆车，假设11月份被限行的概率为0.05. (1)求频率分布直方图中m 的值；(2)假设按分层抽样的方法，从空气质量良好与中度污染的天气中抽取6天，再从这6天中随机抽取2天，求至少有一天空气质量是中度污染的概率；(3)该市环保局为了调查汽车尾气排放对空气质量的影响，对限行两年来的11月份共60天的空气质量进行统计，其结果如下表：90%的把握认为空气质量的优良与汽车尾气的排放有关．参考数据：参考公式：K 2＝(a ＋b )(c ＋b )(a ＋c )(b ＋d )，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d .解(1)因为限行分单双号，王先生的车被限行的概率为0.05， 所以空气重度污染和严重污染的概率应为0.05×2＝0.1，由频率分布直方图可知(0.004＋0.006＋0.005＋m )×50＋0.1＝1，解得m ＝0.003. (2)因为空气质量良好与中度污染的天气的概率之比为0.3∶0.15＝2∶1，按分层抽样的方法从中抽取6天，那么空气质量良好的天气被抽取的有4天，记作A 1，A 2，A 3，A 4，空气中度污染的天气被抽取的有2天，记作B 1，B 2，从这6天中随机抽取2天，所包含的根本领件有(A 1，A 2)，(A 1，A 3)，(A 1，A 4)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 2，A 3)，(A 2，A 4)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 3，A 4)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(A 4，B 1)，(A 4，B 2)，(B 1，B 2)，共15个，记事件A 为“至少有一天空气质量是中度污染〞，那么事件A 所包含的事件有(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(A 4，B 1)，(A 4，B 2)，(B 1，B 2)，共9个，故P (A )＝915＝35，即至少有一天空气质量是中度污染的概率为35.(3)2×2列联表如下：由表中数据可得，K 2＝240×(90×22－90×38)2180×60×128×112≈3.214>2.706，所以有90%的把握认为空气质量的优良与汽车尾气的排放有关．5．某公司方案购置1台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购置这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件缺乏再购置，那么每个500元．现需决策在购置机器时应同时购置几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图．记x 表示1台机器在三年使用期内需要更换的易损零件数，y 表示1台机器在购置易损零件上所需要的费用(单位：元)，n 表示购机的同时购置的易损零件数． (1)假设n ＝19，求y 与x 的函数解析式；(2)假设要求“需更换的易损零件数不大于n 〞的频率不小于0.5，求n 的最小值；(3)假设这100台机器在购机的同时每台都购置19个易损零件，或每台都购置20个易损零件，分别计算这100台机器在购置易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购置1台机器的同时应购置19个还是20个易损零件 解(1)当x ≤19时，y ＝3800；当x >19时，y ＝3800＋500(x －19)＝500x －5700. 所以y 与x 的函数解析式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧3800，x ≤19，500x －5700，x >19(x ∈N )． (2)由柱状图知，需要更换的零件数不大于18的频率为0.46，不大于19的频率为0.7，故n 的最小值为19.(3)假设每台机器在购机同时都购置了19个易损零件，那么这100台机器中有70台购置易损零件的费用为3800,20台的费用为4300,10台的费用为4800，因此这100台机器在购置易损零件上所需费用的平均数为1100(3800×70＋4300×20＋4800×10)＝4000； 假设每台机器在购机同时都购置20个易损零件，那么这100台机器中有90台在购置易损零件上的费用为4000,10台的费用为4500，因此这100台机器在购置易损零件上所需费用的平均数为1100×(4000×90＋4500×10)＝4050.比较两个平均数可知，购置1台机器的同时应购置19个易损零件．。
2019年高考理科数学北京卷(附参考答案和详解)
4!数学中 有 许 多 形 状 优 美/寓 意 美 好 的 曲 线# 曲线 .,#$0&$'!0"#"& 就是 其 中 之 一$如 图 %!给 出 下 列 三 个 结 论 ,
曲线 . 恰 好 经 过 & 个 整 点 $即 横/纵 坐 标
均 为 整 数 的 点 %-
第4题图
曲线 . 上任意一点到原点的距离都不超过槡$-
三 解 答 题解答应写出文字说明证明过程或演算步骤
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第二部分
二 填 空 题本大题共&小题每 小 题 " 分共 +# 分!把 答 案
填在题中横线上
8!函数 *$#%'9/:$$# 的最小正周期是!!!!! !#!设 等 差 数 列!'-"的 前- 项 和 为,-#若'$ ' (+#," ' (!##
2019年北京市高考数学试卷(理科)以及答案解析
绝密★本科目考试启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）理科数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．（5分）已知复数z＝2+i，则z•＝（）A．B．C．3D．52．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的s值为（）A．1B．2C．3D．43．（5分）已知直线l的参数方程为（t为参数），则点（1，0）到直线l的距离是（）A．B．C．D．4．（5分）已知椭圆+＝1（a＞b＞0）的离心率为，则（）A．a2＝2b2B．3a2＝4b2C．a＝2b D．3a＝4b5．（5分）若x，y满足|x|≤1﹣y，且y≥﹣1，则3x+y的最大值为（）A．﹣7B．1C．5D．76．（5分）在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m2﹣m1＝lg，其中星等为m k的星的亮度为E k（k＝1，2）．已知太阳的星等是﹣26.7，天狼星的星等是﹣1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为（）A．1010.1B．10.1C．lg10.1D．10﹣10.17．（5分）设点A，B，C不共线，则“与的夹角为锐角”是“|+|＞||”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件8．（5分）数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C：x2+y2＝1+|x|y就是其中之一（如图）．给出下列三个结论：①曲线C恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；②曲线C上任意一点到原点的距离都不超过；③曲线C所围成的“心形”区域的面积小于3．其中，所有正确结论的序号是（）A．①B．②C．①②D．①②③二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
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改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了100人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：
（1）从全校学生中随机抽取1人，估计该学生上个月A，B两种支付方式都使用的概率；
（2）从样本仅使用A和仅使用B的学生中各随机抽取1人，以X表示这2人中上个月支付金额大于1000元的人数，求X的分布列和数学期望；
（3）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用A的学生中，随机抽查3人，发现他们本月的支付金额都大于2000元．根据抽查结果，能否认为样本仅使用A的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由．
解：（1）由题意知，样本中仅使用A 的学生有18+9+3=30人，仅使用B 的学生有10+14+1=25人，A ，B 两种支付方式都不使用的学生有5人．
故样本中A ，B 两种支付方式都使用的学生有100−30−25−5=40人．
所以从全校学生中随机抽取1人，该学生上个月A ，B 两种支付方式都使用的概率估计为400.4100
=． （2）X 的所有可能值为0，1，2．
记事件C 为“从样本仅使用A 的学生中随机抽取1人，该学生上个月的支付金额大于1000元”，事件D 为“从样本仅使用B 的学生中随机抽取1人，该学生上个月的支付金额大于1000元”．
由题设知，事件C ，D 相互独立，且93141()0.4,()0.63025
P C P D ++====． 所以(2)()()()0.24P X P CD P C P D ====，
(1)()P X P CD CD ==
()()()()P C P D P C P D =+
0.4(10.6)(10.4)0.6=⨯-+-⨯
0.52=，
(0)()()()0.24P X P CD P C P D ====．
所以X 的分布列为
故X 的数学期望()00.2410.5220.241E X =⨯+⨯+⨯=．
（3）记事件E 为“从样本仅使用A 的学生中随机抽查3人，他们本月的支付金额都大于2000元”．
假设样本仅使用A 的学生中，本月支付金额大于2000元的人数没有变化，
则由上个月的样本数据得330
11()C 4060P E =
=． 答案示例1：可以认为有变化．
理由如下：
P（E）比较小，概率比较小的事件一般不容易发生．
一旦发生，就有理由认为本月的支付金额大于2000元的人数发生了变化，所以可以认为有变化．
答案示例2：无法确定有没有变化．理由如下：
事件E是随机事件，P（E）比较小，一般不容易发生，
但还是有可能发生的，所以无法确定有没有变化．。