天津市部分区2021届九年级上学期期末数学答案
天津市部分区2020～2021学年度第一学期期末练习
九年级数学参考答案
一、选择题：（每小题3分，共36分）二、填空题：（每小题3分，共18分）
13．6-；14．③；15．5-；16．144；17．100；18．33.三、解答题：（66分）
19.解：如图所示，A B C '''△即为所求.
（本题8分，每找对一个对应点给2分，完成图形给到满分）20．解：设每次下降的百分率为x ，
…………………………1分依题意，得2
2500
11600x -=（）.…………………………3分
解方程，得10.220%x ==，2 1.8x =（不合题意，舍去）.…………………7分答：每次下降的百分率为20%.
…………………8分
21.解：（Ⅰ）
4
1…………………………2分
题号123456789101112答案
A
B
B
A
D
C
A
C
D
B
B
C
（Ⅱ）树状图如下：
红红白绿……6分
共有12种结果，其中摸出一个红球和一个绿球有4种.…………………8分
∴P （一红一绿）=
41123
=………………………………10分
（列表法略）
22.解：（Ⅰ）当0h =时，25200
t t -+=………………………………2分解得：0t =或4
t =………………………………4分小球运动时间是4s 时小球回落到地面.………………………………5分（Ⅱ）圆圆的说法不对.
………………………………6分
理由：将21h =代入，则252021t t -+=，即2520210
t t -+=∵2
20452120<0
∆=--⨯⨯=-（）…………………………………8分
∴方程无解∴圆圆的说法不对.
…………………………………10分
23.解：（Ⅰ）∵AB 是⊙O 的直径，DA 切⊙O 于点A ，
∴DA ⊥AB ，即90DAB ∠=︒.………………………………………1分
∵DA ，DC 分别切⊙O 于点A ，C ，∴DA DC =.
………………………2分∵CD ∥AB ，∴180DAB ADC ∠+∠=︒.……………………………3分∴90ADC ∠=︒.∴45ACD DAC ∠=∠=︒.……………………………5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知90DAB ADC ∠=∠=︒,∵30EAD ∠=︒，∴60DEA EAB ∠=∠=︒.………………………………6分
又四边形AECB 是圆内接四边形，则有180BCE BAE ∠+∠=︒∴120BCE ∠=︒.
………………………………………7分
∵AB 是⊙O 的直径，∴90BCA ∠=︒.
………………………………8分
红白绿
红白绿
绿
红红红红白
∴30ACD ∠=︒.∴60DAC ∠=︒.……………………………………10分
24.（Ⅰ）解：成立……2分
证明：如图，延长BE 分别交AC ，AD 于点M ，H .由旋转可知ACD BCE ∠=∠，…3分
又∵AC BC =，CD CE =，∴ACD BCE ≅△△,
…4分∴AD BE =，CBE CAD ∠=∠，…6分又BMC AMH ∠=∠，
∴CBM BMC CAD AMH ∠+∠=∠+∠.∵90CBM BMC ∠+∠=︒，∴90CAD AMH ∠+∠=︒.
…7分
∴18090AHM CAD AMH ∠=︒-∠+∠=︒（）.∴AD BE ⊥.…8分
.…10分
25.解：
（Ⅰ）∵抛物线抛物线2
y x bx c =++过点P （2，3），Q （1-，6）
∴34261b c
b c =++⎧⎨=-+⎩，解得23
b c =-⎧⎨=⎩…………2分∴此时抛物线为2
23y x x =-+…………3分
∵2
2
23(1)2y x x x =-+=-+∴抛物线的顶点为（1，2）.
………4分
（Ⅱ）∵点M （m ，n ）在抛物线为2
23y x x =-+上，
∴223n m m =-+，
…………5分
①当11n =时，22311
m m -+=解得12m =-，24m =.m 的值为2-或4
…………7分
②∵点M到y轴的距离小于2，
∴m<2
则2
-<m<2…………8分∵2
=
n，
n=；2
m=-时，11
m=时，3
又抛物线对称轴是1
x=，顶点坐标（1，2），
∴n的取值范围是2≤n<11.…………10分
（说明：解答题用其他方法解，只要合理，请参照评分标准酌情给分）。
2020-2021学年天津市和平区九年级上学期数学期末试卷及答案
2020-2021学年天津市和平区九年级上学期数学期末试卷及答案一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 下列图形中，可以看作是中心对称图形的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据中心对称图形的定义，寻找对称中心，旋转180度后与原图重合，逐个进行判断即可．【详解】解：A. 不是中心对称图形，因为找不到任何这样的一点，旋转180度后它的两部分能够重合；即不满足中心对称图形的定义，故此选项错误，不符合题意；B. 是中心对称图形，故此选项正确，符合题意；C. 不是中心对称图形，因为找不到任何这样的一点，旋转180度后它的两部分能够重合；即不满足中心对称图形的定义，故此选项错误，不符合题意；D. 不是中心对称图形，因为找不到任何这样的一点，旋转180度后它的两部分能够重合；即不满足中心对称图形的定义，故此选项错误，不符合题意．故选B．【点睛】本题考查中心对称图形的识别，掌握中心对称图形的概念是本题的解题关键．2. 下列命题中，是真命题的是（）A. 直角三角形都相似B. 等腰三角形都相似C. 矩形都相似D. 正方形都相似【答案】D【解析】【分析】相似形就是形状相同的两个图形，即对应边的比相等，对应角相等的两个图形，依据定义即可判断．【详解】A. 直角三角形的直角对应相等，但两组锐角不一定对应相等，故A 错误；B. 等腰三角形的顶角和底角不一定对应相等，故B 错误；C. 矩形的各个角都相等，但边不一定成比例，所以不一定相似，故C 错误；D. 正方形各角相等，各边对应成比例，相似，故D 正确；故选：D .【点睛】本题主要考查了相似形的定义，即对应边的比相等，对应角相等，两个条件同时成立，缺一不可．3. 二次函数y ＝ax 2+bx+c 图象上部分点的坐标如下表所示，则该函数图象的顶点坐标为（ ） x… ﹣1 0 1 2 … y… 0 3 4 3 …A. （﹣1，0）B. （0，3）C. （1，4）D. （2，3） 【答案】C【解析】【分析】根据二次函数的对称性解答即可．【详解】解：∵x＝0、x ＝2时的函数值都是3，∴函数图象的对称轴为直线x ＝＝1， 022+∴顶点坐标为（1，4）．故选：C ．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟记二次函数的对称性是解题的关键．4. 如图，一个油桶靠在直立的墙边，量得，并且，则这个油桶的底0.5m WY =XY WY ⊥面半径是（ ）A. B. C. D.0.25m 0.5m 0.75m 1m【答案】B【解析】【分析】设圆心为O ，连接OX ，OW ，由切线的性质可得，，可知四边OW WY ⊥OX XY ⊥形为正方形，则可知．OXYW OX WY =【详解】如图：设圆心为O ，连接OX ，OW ，由题意可知、为圆的切线，XY YW ，，且，∴OW WY ⊥OX XY ⊥XY YW ⊥OW OX =四边形为正方形∴OXYW∴0.5OX WY m ==即油桶的底面圆的半径为0.5m 故选：B ．【点睛】本题主要考查了切线的性质，正方形的判定和性质，掌握过切点的半径与切线垂直是解题关键．5. 一个仅装有球的不透明布袋里共有4个球（只有编号不同），编号为1，2，3，5，从中任意摸出一个球，记下编号后放回，搅匀，再任意摸出一个球，则两次摸出的球的编号之和为偶数的概率是（ ） A. B. C. D. 581251214【答案】A 【解析】【分析】画树状图展示所有16种等可能的结果数，再找出两次摸出的球的编号之和为偶数的结果数，然后根据概率公式求解．【详解】解：根据题意画图如下：共有16种等情况数，其中两次摸出的球的编号之和为偶数的有10种，则两次摸出的球的编号之和为偶数的概率是 105=168故选：A 【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法和树状图法展示所有可能的结果求出n ，再从中选出符合事件A 或B 的结果数目m ，求出概率．6. 如图，Rt△ABC 中，∠C＝90°，AB ＝10，AC ＝8，E 是边AC 上一点，AE ＝5，ED⊥AB，垂足为点D ，则AD 的长是（ ）A. 16B.C. 6D. 4254【答案】D【解析】 【分析】由题意可得∠ADE＝∠C，∠A＝∠A，从而可判定△ADE∽△ACB，由相似三角形的性质得出比例式，再将相关线段的长代入计算即可得出答案．【详解】解：∵ED⊥AB，∴∠ADE＝90°，∵∠C＝90°，∴∠ADE＝∠C，又∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ACB，∴AD∶AC＝AE∶AB，∵AB＝10，AC ＝8，AE ＝5，∴AD∶8＝5∶10，∴AD＝4．故选：D ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，数形结合并熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．7. 在如图所示的网格中，以点为位似中心，四边形的位似图形是（ ）O ABCDNPMQ NPMR NHMQA. 四边形B. 四边形C. 四边形D. 四边形NHMR【答案】A【解析】【分析】以O为位似中心，作四边形ABCD的位似图形，根据图像可判断出答案．ABCD NPMQ【详解】解：如图所示，四边形的位似图形是四边形．故选：A【点睛】此题考查了位似图形的作法，画位似图形的一般步骤为：①确定位似中心；②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据相似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；顺次连接上述各点，确定位似图形．8. 如图，在▱OABC中，∠A＝60°，将▱OABC绕点O逆时针旋转得到▱OA′B'C′，且∠A'OC ＝90°，设旋转角为α（0°＜α＜90°），则α的大小为（ ）A. 30°B. 45°C. 60°D. 75°【答案】A【解析】【分析】设A′O 与AB 相交于点D ，由平行四边形的性质再结合已知条件可求出∠ODA＝90°，因为∠A＝60°，所以可求出∠A′OA 的度数，即旋转角为α的度数．【详解】解：设A′O 与AB 相交于点D ，∵四边形OABC 是平行四边形，∴AB∥OC，∴∠ODA＝∠A′OC＝90°，∵∠A＝60°，∴∠A′OA＝90°﹣60°＝30°，∴旋转角为α＝30°，故选：A ．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，旋转的性质，直角三角形的性质，熟练运用旋转的性质是本题的关键．9. 设函数y ＝a （x﹣h）2+k （a ，h ，k 是实数，a≠0），当x ＝1时，y ＝1；当x ＝8时，y ＝8，（ ）A. 若h ＝4，则a ＜0B. 若h ＝5，则a ＞0C. 若h ＝6，则a ＜0D. 若h ＝7，则a ＞0【答案】C【解析】【分析】当x ＝1时，y ＝1；当x ＝8时，y ＝8；代入函数式整理得a （9﹣2h）＝1，将h 的值分别代入即可得出结果． 【详解】解：当x ＝1时，y ＝1；当x ＝8时，y ＝8；代入函数式得：， 221(1)8(8)a h k a h k ⎧=-+⎨=-+⎩∴a（8﹣h）2﹣a（1﹣h）2＝7，整理得：a （9﹣2h）＝1，若h ＝4，则a ＝1，故A 错误；若h ＝5，则a ＝﹣1，故B 错误；若h ＝6，则a ＝﹣，故C 正确； 13若h ＝7，则a ＝﹣，故D 错误； 15故选：C ． 【点睛】此题主要考查二次函数的图像与性质，解题的关键是把坐标代入求出a,h 的关系，进而求解．10. 如图是抛物线形拱桥，当拱顶高离水面2m 时，水面宽4m ，水面下降2.5m ，水面宽度增加（ ）A. 1 mB. 2 mC. 3 mD. 6 m【答案】B【解析】 【详解】解：如图，建立平面直角坐标系，设横轴x 通过AB ，纵轴y 通过AB 中点O 且通过C 点，则O 为原点，抛物线以y 轴为对称轴，且经过A ，B 两点，OA 和OB 为AB 的一半2米，抛物线顶点C 坐标为（0，2），设顶点式y=ax 2+2，把A 点坐标（﹣2，0）代入得a=﹣0.5，∴抛物线解析式为y=﹣0.5x 2+2，当水面下降2.5米，把y=﹣2.5代入抛物线解析式得出：﹣2.5=﹣0.5x 2+2，解得：x=±3，2×3﹣4=2，所以水面下降2.5m ，水面宽度增加2米，故选B ．11. 如图，已知BC 是⊙O 的直径，半径OA⊥BC，点D 在劣弧AC 上（不与点A ，点C 重合），BD 与OA 交于点E ．设∠AED＝α，∠AOD＝β，则（ ）A. 3α+β＝180°B. 2α+β＝180°C. 3α﹣β＝90°D.2α﹣β＝90°【答案】D【解析】【分析】根据直角三角形两锐角互余性质，用α表示∠CBD，进而由圆心角与圆周角关系，用α表示∠COD，最后由角的和差关系得结果．【详解】解：∵OA⊥BC，∴∠AOB＝∠AOC＝90°，∴∠DBC＝90°﹣∠BEO＝90°﹣∠AED＝90°﹣α，∴∠COD＝2∠DBC＝180°﹣2α，∵∠AOD+∠COD＝90°，∴β+180°﹣2α＝90°，∴2α﹣β＝90°，故选：D．【点睛】本题考查了圆周角定理以及直角三角形的两个锐角互余的关系，熟练掌握圆周角定理是解决本题的关键．12. 如图，抛物线y＝ax2+bx+c的顶点坐标为（1，﹣4a），点A（4，y1）是该抛物线上一点，若点B（x2，y2）是该抛物线上任意一点，有下列结论：①4a﹣2b+c＞0；②抛物线y＝ax2+bx+c 与x轴交于点（﹣1，0），（3，0）；③若y2＞y1，则x2＞4；④若0≤x2≤4，则﹣3a≤y2≤5a．其中，正确结论的个数是（ ）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】C【解析】 【分析】利用对称轴公式和顶点坐标得出﹣4a＝a+b+c ，b ＝﹣2a，c ＝﹣3a，则可对①进行判断；抛物线解析式为y ＝ax 2﹣2ax﹣3a，配成交点式得y ＝a （x﹣3）（x+1），可对②进行判断；根据二次函数对称性和二次函数的性质可对③进行判断；计算x ＝4时，y ＝5a ，则根据二次函数的性质可对④进行判断．【详解】解：①∵二次函数y ＝ax 2+bx+c （a≠0）的顶点坐标为（1，﹣4a）， ∴x＝﹣＝1，且﹣4a＝a+b+c ， 2b a∴b＝﹣2a，c ＝﹣3a，∵抛物线开口向上，则a ＞0，∴4a﹣2b+c＝4a+4a﹣3a＝5a ＞0，故结论①正确；②∵b＝﹣2a，c ＝﹣3a，∴y＝ax 2﹣2ax﹣3a＝a （x﹣3）（x+1），∴抛物线y ＝ax 2+bx+c 与x 轴交于点（﹣1，0），（3，0），故结论②正确；③∵点A （4，y 1）关于直线x ＝1的对称点为（﹣2，y 1），∴当y 2＞y 1，则x 2＞4或x 2＜﹣2，故结论③错误；④当x ＝4时，y 1＝16a+4b+c ＝16a﹣8a﹣3c＝5a ，∴当0≤x 2≤4，则﹣4a≤y 2≤5a，故结论④错误．故选：C ．【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，掌握二次函数图象与性质的相关知识并能灵活运用所学知识求解是解题的关键．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）13. 一只昆虫在如图所示的树枝上寻觅食物，假定昆虫在每个岔路口都会随机选择一条路径，则它获取食物的概率是___．【答案】． 13【解析】 【详解】解：根据树状图，蚂蚁获取食物的概率是=．故答案为． 261313考点：列表法与树状图法．14. 已知正六边形的半径是3，则这个正六边形的边长是______．【答案】3【解析】【分析】先根据题意画出图形，再根据正六边形的性质求出∠BOC 的度数，判断出△BOC 为等边三角形即可求出答案．【详解】解：如图所示，连接OB 、OC ，∵此六边形是正六边形，∴∠BOC==60°， 3606∵OB=OC=3， ∴△BOC 是等边三角形，∴OB=OC=BC=3，故答案为：3．【点睛】此题主要考查了正多边形和圆的有关计算，等边三角形的判定和性质，根据题意画出图形，作出辅助线，由正六边形的性质判断出△BOC 的形状是解答此题的关键．15. 如图，在△ABC 中，点D ，E 在AC 边上，且AE ＝ED ＝DC ．点F ，M 在AB 边上，且，延长FD 交BC 的延长线于点N ，则的值＝_____． ////EF DM BC EF BN【答案】 14【解析】【分析】首先证明，再利用全等三角形的性质证明EF ＝CN 即可解决问题．13EF BC ＝∶∶【详解】解：，////EF DM BC AE DE CD ，＝＝∴， 13EF AE BC AC ==在与中，EFD △CND △，EDF CDN FED NCD ED DC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， EFD CND AAS ∴ ≌（），EF CN ∴＝，13CN BC ∴∶＝∶，1CN BN ∴＝∶∶4， ∴14EF BN =故答案为． 14【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，全等三角形的判定和性质，关键在于熟练掌握两个知识点的基本性质和定理，该类型题属常考题．16. 已知圆锥的底面半径为40cm ， 母线长为90cm ， 则它的侧面展开图的圆心角为_______．【答案】160︒【解析】【分析】圆锥的底面半径为40cm ，则底面圆的周长是80πcm，圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，即侧面展开图的扇形弧长是80πcm，母线长为90cm 即侧面展开图的扇形的半径长是90cm ．根据弧长公式即可计算．【详解】根据弧长的公式l=得到： 180n r π80π=， •90180n π解得n=160度．侧面展开图的圆心角为160度．故答案为160°．17. 对于一个函数，自变量x 取a 时，函数值y 也等于a ，我们称a 为这个函数的不动点．如果二次函数y ＝x 2+2x+c 有两个相异的不动点x 1，x 2，且x 1＜1＜x 2，则c 的取值范围是_____．【答案】c ＜﹣2【解析】【分析】由函数的不动点概念得出x 1、x 2是方程x 2+2x+c ＝x 的两个实数根，由x 1＜1＜x 2知△＞0且x ＝1时y ＜0，据此得，解之可得． 140110c c ->⎧⎨++<⎩【详解】解：由题意知二次函数y ＝x 2+2x+c 有两个相异的不动点x 1、x 2是方程x 2+2x+c ＝x 的两个不相等实数根，且x 1＜1＜x 2，整理，得：x 2+x+c ＝0，由x 2+x+c ＝0有两个不相等的实数根，且x 1＜1＜x 2，知△＞0，令y ＝x 2+x+c ，画出该二次函数的草图如下：则， 140110c c ->⎧⎨++<⎩解得c ＜﹣2，故答案为：c ＜﹣2．【点睛】本题主要考查二次函数图象与系数的关系，解题的关键是理解并掌握不动点的概念，并据此得出关于c 的不等式．18. 已知正方形的边长为6，是边的中点．ABCD O BC（Ⅰ）如图①，连接，则的长为______．AO AO （Ⅱ）如图②，点是正方形内一动点，，连接，将线段绕点逆时针旋E 2OE =DE DE D 转90°得．则线段长的最小值为______．DF OF【答案】 ①. ； ②. ；2-【解析】【分析】（Ⅰ）根据勾股定理可求的长；AO （Ⅱ）连接DO ，将△DOE 绕点D 逆时针旋转90°得△DGF，过点G 作DC 的垂线，垂足为M ，过点O 作BC 的垂线，交直线GM 于点N ，连接OG ，求出OG 长，再根据三角形三边关系可求OF 最小值．【详解】（Ⅰ）∵正方形的边长为6，是边的中点，ABCD O BC ∴OB=OC=3，=故答案为：；（Ⅱ）连接DO ，将△DOE 绕点D 逆时针旋转90°得△DGF，过点G 作DC 的垂线，垂足为M ，过点O 作BC 的垂线，交直线GM 于点N ，连接OG ，由旋转可知，GF=OE=2，DO=DG ，∠OEG=90°，∴∠GDM+∠ODC=90°，∵∠DOC+∠ODC=90°，∴∠DOC=∠GDM，∵∠C=∠GMD，∴△DOC≌△GDM，∴DM=OC=3，GM=DC=6,由辅助线作法可知，四边形CMNO 是矩形，∵CM=OC=3，∴矩形CMNO 是正方形，ON=MN=3，，=∵OF≥OG-GF，∴OF 的最小值为OG-GF =；2-故答案为：．2-【点睛】本题考查了勾股定理，全等三角形的判定与性质，旋转的性质和最小值问题，解题关键是构造手拉手全等模型，转化确定线段的取值范围．三、解答题（本大题共7小题，共66分.解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）19. 已知2是方程的一个根，求常数的值及该方程的另一根．20x c -=c 【答案】，方程另一个根为-24c =【解析】【分析】将x=2代入原方程，可求出c 的值，进而可通过解方程求出另一根．【详解】解：是方程的一个根，2x = 20x c -=，220c ∴-=解得，4c =∴方程为．，240x -=24x =∴，，12x =22x =-该方程的另一个根是－2.∴【点睛】本题考查一元二次方程的解和解一元二次方程，掌握一元二次方程的解和解一元二次方程的方法是解题关键．20. 已知，中，，是上的点，． O AB BC=D O OC BD ⊥（1）如图①，求证；AB CD =（2）如图②，连接，，，，若，求，的大小．AB BC CD DA 70A ∠=︒BCD ∠ADB ∠【答案】（1）见解析；（2）；110BCD ∠=︒35ADB ∠=︒【解析】【分析】（1）利用垂径定理证明，再根据即可证明； BC CD = AB BC= AB CD =（2）先利用圆的内接四边形的性质求出的大小，再根据垂径定理和同弧所对的圆周BCD ∠角相等即可求出和的大小．BCD ∠ADB ∠【详解】解：（1）中，，O OC BD ⊥． BCCD ∴=， AB BC= ．C ABD ∴=（2）四边形是圆内接四边形，ADCB ．180A BCD ∴∠+∠=︒．180********BCD A ∴︒∠=-∠=-=︒︒︒中，，O OC BD ⊥． BCCD ∴=． 1801801103522BCD CDB CBD ︒︒︒︒-∠-∴∠=∠===， AB BC = ．35ADB CDB ︒∴∠=∠=【点睛】本题主要考查垂径定理和圆的内接四边形的性质，以及圆周角和弧长的关系，属于简单题型．21. 已知⊙O 的直径AB ＝4，C 为⊙O 上一点，AC ＝2．（1）如图①，点P 是上一点，求∠APC 的大小； BC（2）如图②，过点C 作⊙O 的切线MC ，过点B 作BD⊥MC 于点D ，BD 与⊙O 交于点E ，求∠DCE 的大小及CD 的长．【答案】（1）30°；（2）∠DCE＝30°，CD【解析】【分析】（1）连接OC ，由AB 为⊙O 的直径，AB ＝2AC ，得到△AOC 是等边三角形，根据等边三角形的性质得到∠AOC＝60°，于是得到结论；（2）连接OE ，OC ，根据切线的性质得到MC⊥OC，得到△EOB 是等边三角形，根据等边三角形的性质得到∠EOB＝60°，求得∠COE＝180°﹣∠EOB﹣∠AOC＝60°，推出△OCE 是等边三角形，于是得到CE ＝OC ＝2，∠EOC＝60°，根据勾股定理于是得到结论．【详解】解：（1）连接OC ，∵AB 为⊙O 的直径，AB ＝2AC ，∴OA＝OC ＝AC ，∴△AOC 是等边三角形，∴∠AOC＝60°， ∴∠APC＝AOC ＝30°； 12（2）连接OE ，OC ，∵MC 是⊙O 的切线，∴MC⊥OC，∵BD⊥MC，∴∠MCO＝∠CDB＝90°，∴BD∥OC，∴∠B＝∠AOC＝60°，∵OB＝OE ，∴△EOB 是等边三角形，∴∠EOB＝60°，∴∠COE＝180°﹣∠EOB﹣∠AOC＝60°，∵OC＝OE ，∴△OCE 是等边三角形，∴CE＝OC ＝2，∠EOC＝60°，∴∠DCE＝90°﹣∠ECO＝30°，在Rt△COE 中，CE ＝2，∴DE＝CE ＝1，12【点睛】本题考查了切线的性质，等边三角形的性质，垂径定理，平行线的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．22. 一个直角三角形的两条直角边的和是，面积是，求两条直角边的长．7cm 26cm 【答案】，3cm 4cm 【解析】【分析】首先设一条直角边为xcm ，然后根据三角形的面积列出方程，从而求出x 的值，得出答案．【详解】解：设一条直角边为xcm ，则另一条直角边的长为，(7)cm x -根据题意得： ， 1(7)62x x -=整理得: ，27120x x -+=解得：，123,4x x ==当时，．3x =74x -=当时，．4x =73x -=答：这两条直角边的长分别为3cm 和4cm ．【点睛】本题考查一元二次方程在几何图形中运用，掌握根据面积列一元二次方程，及其解方程的方法．23. 如图，已知矩形的周长为，矩形绕它的一条边旋转形成一个圆柱．设ABCD 36cm CD 矩形的一边的长为，旋转形成的圆柱的侧面积为．AB cm(0)x x >2cm S（1）用含的式子表示：x矩形的另一边的长为______；旋转形成的圆柱的底面圆的周长为______．BC cm cm （2）求关于的函数解析式及自变量的取值范围；S x x （3）求当取何值时，矩形旋转形成的圆柱的侧面积最大；x （4）若矩形旋转形成的圆柱的侧面积等于，则矩形的长是______，宽是______218cm πcm ．cm 【答案】（1），；（2）；（3）；(18)x -2(18)x π-2=236(018)S x x x ππ-+<<9x =（4），(9+(9-【解析】【分析】（1）根据矩形的性质，圆的周长公式求解即可．（2）根据圆柱的侧面积公式求解即可．（3）利用二次函数的性质求解即可．（4）构建方程求解即可．【详解】解：（1）BC=（36-2x ）=（18-x ）cm ，12旋转形成的圆柱的底面圆的周长为2π（18-x ）cm ．故答案为：，；(18)x -2(18)x π-（2）22(18)236(018)S x x x x x πππ=-⋅=-+<<（3）222362(9)162S x x x ππππ=-+=--+∵-2π＜0，∴当时，矩形旋转形成的圆柱的侧面积最大：9x =（4）由题意：-2πx 2+36πx=18π，∴x 2-18x+9=0，解得或（舍弃），∴矩形的长是（）cm ，宽是（）cm ．故答案为：，．(9+(9-【点睛】本题考查圆柱的计算，二次函数的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．24. 在△ABC 中，∠ACB＝90°，CA ＝CB ＝2，点P 是边AB 的中点，连接CP ． （1）如图①，∠B 的大小＝ （度），AB 的长＝ ，CP 的长＝ ；（2）延长BC 至点O ，使OC ＝2BC ，将△ABC 绕点O 逆时针旋转α（0°＜α＜180°）得到△A'B'C'，点A ，B ，C ，P 的对应点分别为A'，B'，C'，P'．①图②，当α＝30°时，求点C′到直线OB 的距离及点C'到直线AB 的距离；②当C′P'与△ABC 的一条边平行时，求点P'到直线AC 的距离（直接写出结果即可）．【答案】（1）45，；（2）①点C′到直线OB 的距离为2，点C′到直线AB 的距离为或或5【解析】【分析】（1）根据三角形内角和定理以及勾股定理，直角三角形斜边中线的性质求解即可．（2）①过点C′作C′D⊥OB，垂足为点D ，过点C′作C′E⊥AB，交BA 的延长线于点E ，连接AC′，解直角三角形求出C′D，C′E 即可．②分三种情形：如图③﹣1中，当P′C′∥AC 时，延长P′C′交OB 于H ．如图③﹣2中，如图当P′C′∥AB 时，过点P′作P′H⊥OB 交BO 的延长线于H ，交A′C′于T ．如图③﹣3中，当P′C′∥BC 时，延长B′A′交BO 于H ，分别画出图形求解即可．【详解】解：（1）在△ABC 中，∠ACB＝90°，CA ＝CB ＝2，∴∠B＝∠A＝45°，∵sinB＝， CA AB∴AB＝，∵点P 是边AB 的中点，∴CP＝， 12AB故答案为45，．（2）①过点C′作C′D⊥OB，垂足为点D ，过点C′作C′E⊥AB，交BA 的延长线于点E ，连接AC′，∵将△ABC 绕点O 逆时针旋转a 得到△A′B′C′， ∴OC′＝OC ＝2BC ＝2×2＝4，在R△OC′D 中，∠O＝30°， ∴C′D＝OC′＝×4＝2，1212∴点C′到直线OB 的距离为2，OD ＝ 2D 22-∵C′D⊥OB，∠ACB＝90°，∴∠C′DB＝∠ACB＝90°，∴AC∥C′D，∵C′D＝2，AC ＝2，C′D＝AC ，∴四边形C′DCA 是平行四边形，∴C′A＝DC ∴∠EAC'＝∠B＝45°，∠EC′A＝90°﹣∠EAC′＝90°﹣45°＝45°， ∴∠EAC′＝∠EC′A∴C′E＝AE ，在Rt△AC′E 中，∵C′E 2+AE 2＝C′A 2， ∴C′E 2＝， 22C A '）＝．∴点C′到直线AB 的距离为；②如图③﹣1中，当P′C′∥AC 时，延长P′C′交OB 于H ．∵P′H∥AC，∴∠OHC′＝∠ACO＝90°，∵∠OC′H＝∠B′C′P′＝45°，∴OH＝OC′•cos45°＝，．∴点P'到直线AC的距离为．如图③﹣2中，如图当P′C′∥AB时，过点P′作P′H⊥OB交BO的延长线于H，交A′C′于T．由题意四边形OHTC′是矩形，OH＝C′T＝1，∴CH＝OC+OH＝1+4＝5，∴点P'到直线AC的距离为5．如图③﹣3中，当P′C′∥BC时，延长B′A′交BO于H，可得OH＝OB′•cos45°＝，∴CH＝+4，∴点P'到直线AC 的距离为．综上所述，点P'到直线AC 的距离为或或5．【点睛】本题考查了作图-旋转变换，解直角三角形，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题．25. 如图，点A ，B ，C 都在抛物线y ＝ax 2﹣2amx+am 2+2m﹣5（其中﹣＜a ＜0）上，AB∥x 14轴，∠ABC＝135°，且AB ＝4．（1）当m ＝1时，求抛物线的顶点坐标；（2）求点C 到直线AB 的距离（用含a 的式子表示）；（3）若点C 到直线AB 的距离为1，当2m﹣5≤x≤2m﹣2时，y 的最大值为2，求m 的值．【答案】（1）（1，﹣3）；（2）点C 到直线AB 的距离为﹣；（3）m 的值为或10+241a a 72【解析】【分析】（1）由配方法可求顶点坐标；（2）设点C 到直线AB 的距离为d ，求出点C 坐标，代入解析式可求解；（3）先求出a 值，分三种情况考虑：①当m ＞2m﹣2，即m ＜2时，x ＝2m﹣2时y 取最大值，利用二次函数图象上点的坐标特征可得出关于m的一元二次方程，解之可求出m的值；②当2m﹣5≤m≤2m﹣2，即2≤m≤5时，x＝m时y取最大值，利用二次函数图象上点的坐标特征可得出关于m的一元一次方程，解之可求出m的值；③当m＜2m﹣5，即m＞5时，x＝2m﹣5时y取最大值，利用二次函数图象上点的坐标特征可得出关于m的一元一次方程，解之可求出m的值．综上即可得出结论．【详解】解：（1）当m＝1时，抛物线的解析式为y＝ax2﹣2ax+a﹣3，∵y＝ax2﹣2ax+a﹣3＝a（x﹣1）2﹣3，∴顶点坐标为（1，﹣3）；（2）如图，过点C作CD⊥AB，交AB的延长线于D，∵∠ABC＝135°，∴∠CBD＝45°，∵CD⊥AD，∴∠DBC＝∠DCB＝45°，∴BD＝CD，∵y＝ax2﹣2amx+am2+2m﹣5＝a（x﹣m）2+2m﹣5，∴顶点坐标为（m，2m﹣5），∵AB＝4，∴点B的横坐标为m+2，∵点B在抛物线y＝a（x﹣m）2+2m﹣5上，∴y＝a（m+2﹣m）2+2m﹣5＝4a+2m﹣5，∴点B（m+2，4a+2m﹣5），设点C到直线AB的距离为d，∴BD＝CD＝d，∴点C（m+2+d，4a+2m﹣5﹣d），∵点C在抛物线y＝a（x﹣m）2+2m﹣5上，∴4a+2m﹣5﹣d＝a（m+2+d﹣m）2+2m﹣5，整理得：ad 2+4ad+d ＝0，∵d≠0， ∴d＝﹣， 41a a+∴点C 到直线AB 的距离为﹣； 41a a +（3）∵点C 到直线AB 的距离为1， ∴﹣＝1， 41a a+∴a＝﹣， 15∴抛物线的解析式为y ＝﹣（x﹣m）2+2m﹣5． 15分三种情况考虑：①当m ＞2m﹣2，即m ＜2时，有﹣（2m﹣2﹣m）2+2m﹣5＝2， 15整理，得：m 2﹣14m+39＝0，解得：m 1（舍去），m 2＝（舍去）；②当2m﹣5≤m≤2m﹣2，即2≤m≤5时，有2m﹣5＝2，解得：m ＝； 72③当m ＜2m﹣5，即m ＞5时，有﹣（2m﹣5﹣m）2+2m﹣5＝2， 15整理，得：m 2﹣20m+60＝0，解得：m 3（舍去），m 4＝．综上所述：m 的值为或． 72【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形，解一元二次方程以及二次函数的最值，解题的关键是：（1）利用配方法将二次函数解析式变形为顶点式；（2）利用参数求出点C 的坐标；（3）分m ＜2、2≤m≤5及m ＞5三种情况考虑．。
2021-2022学年天津市红桥区九年级(上)期末数学试卷祥细答案与解析
2021-2022学年天津市红桥区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 两个不透明的口袋中分别装有两个完全相同的小球，将每个口袋中的小球分别标号为1和2．从这两个口袋中分别摸出一个小球，则下列事件为随机事件的是（）A.两个小球的标号之和等于3B.两个小球的标号之和等于6C.两个小球的标号之和大于0D.两个小球的标号之和等于12. 某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下：根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中9环以上”的概率约是（）A.0.75B.0.82C.0.78D.0.803. 下列图形中，可以看作是中心对称图形的是（）A. B. C. D.4. 若x m+1+6x+1＝0是关于x的一元二次方程，则m的值为（）A.−1B.0C.1D.25. 如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠BCD为120∘，则∠BOD的度数为( )A.100∘B.110∘C.120∘D.130∘6. 若x2+5x+m＝(x+n)2，则m，n的值分别为（）A.m＝，n＝B.m＝，n＝5C.m＝25，n＝5D.m＝5，n＝7. 方程x2+x−12=0的两个根为( )A.x1=−2，x2=6B.x1=−6，x2=2C.x1=−3，x2=4D.x1=−4，x2=38. 如图，AB为⊙O的切线，点A为切点，OB交⊙O于点C，点D在⊙O上，连接AD，CD，OA，若∠ADC＝28∘，则∠ABO的大小（）A.28∘B.34∘C.56∘D.62∘9. 要组织一次足球联赛，赛制为双循环形式（每两队之间都进行两场比赛），共要比赛90场．设共有x个队参加比赛，则x满足的关系式为（）A.x(x+1)＝90B.x(x−1)＝90C.x(x+1)＝90D.x(x−1)＝9010. 加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率y与加工时间x（单位：min）满足函数表达式y＝−0.2x2+1.5x−2，则最佳加工时间为（）A.3minB.3.75minC.5minD.7.5min̂上一点，CD⊥OA，CE⊥11. 如图，半径为10的扇形AOB中，∠AOB=90∘，C为ABOB，垂足分别为D、E．若∠CDE为36∘，则图中阴影部分的面积为( )A.10πB.9πC.8πD.6π12. 如图，二次函数y＝ax2+bx+c(a>0)的图象与x轴交于A，B两点，与y轴的正半轴交于点C，它的对称轴为直线x＝−1．有下列结论：①abc>0；②4ac−b2>0；③c−a>0；④当x＝−n2−2（n为实数）时，y≥c．其中，正确结论的个数是（）A.0B.1C.2D.3二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）不透明袋子中装有7个球，其中有3个红球，4个黄球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率是________．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H，若AB=10，CD=8，则OH的长度为________．若关于x的一元二次方程x2−2kx+k2−k+1＝0有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是________．已知⊙O的内接正六边形的边心距为√3，则⊙O的周长为________．当x>m时，二次函数y＝−x2+3x的函数值y随x的增大而减小，则实数m的取值范围是________≥．如图，在△ABC中，∠BAC＝108∘，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△AB′C′．若点B′恰好落在BC边上，且AB′＝CB′，则∠C′的度数为________．三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程)一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4．随机摸取一个小球然后放回，再随机摸出一个小球．（1）请用画树形图或列表的方法写出两次取出的小球所能产生的全部结果；（2）求两次取出的小球标号相同的概率；（3）求两次取出的小球标号的和等于4的概率．解下列关于x的方程．（1）x(x+1)＝3x+3；（2）5x2−3x＝x+1．已知⊙O的直径为10，点A，点B，点C在⊙O上，∠CAB的平分线交⊙O于点D．(1)如图①，若BC为⊙O的直径，AB=6，求AC，BD，CD的长；(2)如图②，若∠CAB=60∘，求BD的长．已知抛物线y＝x2−bx+c（b，c为常数）的顶点坐标为(2, −1)．（1）求该抛物线的解析式；（2）点M(t−1, y1)，N(t, y2)在该抛物线上，当t<1时，比较y1与y2的大小；（3）若点P(m, n)在该抛物线上，求m−n的最大值．如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，∠DCA＝∠B．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若DE⊥AB，垂足为E，DE交AC于点F，求证：△DCF是等腰三角形．在平面直角坐标系中，O为原点，点A(2, 0)，点B(0, 2)，把△ABO绕点B逆时针旋转，得△A′BO′，点A，O旋转后的对应点为A′，O′．记旋转角为α．（1）如图①，当点O′落在边AB上时，求点O′的坐标；（2）如图②，当α＝60∘时，求AA′的长及点A′的坐标．抛物线y＝ax2+bx+4交x轴于A(−3, 0)，B(4, 0)两点，与y轴交于点C，连接AC，BC．M为线段OB上的一个动点，过点M作PM⊥x轴，交抛物线于点P，交BC于点Q．（1）求抛物线的解析式；（2）过点P作PN⊥BC，垂足为点N，设M点的坐标为M(m, 0)，请用含m的代数式表示线段PN的长，并求出当m为何值时PN有最大值，最大值是多少？（3）试探究点M在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案与试题解析2021-2022学年天津市红桥区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.【答案】A【考点】随机事件【解析】分别利用随机事件、必然事件、不可能事件的定义分别分析得出答案．【解答】∵两个不透明的口袋中各有两个相同的小球，将每个口袋中的小球分别标号为1，2，∴从这两个口袋中分别摸出一个小球，两个小球的标号之和等于2，符合题意；两个小球的标号之和等于6，是不可能事件；两个小球的标号之和大于0，是必然事件；两个小球的标号之和等于3，是不可能事件；2.【答案】D【考点】利用频率估计概率【解析】大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．【解答】根据表格数据可知：根据频率稳定在0.8，估计这名运动员射击一次时“射中3环以上”的概率是0.80．3.【答案】B【考点】中心对称图形【解析】根据中心对称图形的性质得出图形旋转180∘，与原图形能够完全重合的图形是中心对称图形，分别判断得出即可．【解答】A．旋转180∘；故此选项不合题意；B．旋转180∘；故此选项符合题意；C．旋转180∘；故此选项不合题意；D．旋转180∘；故此选项不合题意；4.【答案】C【考点】一元二次方程的定义【解析】利用一元二次方程的定义，可得出m+1＝2，解之即可得出m的值．【解答】∵x m+1+6x+5＝0是关于x的一元二次方程，∴m+1＝3，∴m＝1．5.【答案】C【考点】圆周角定理圆内接四边形的性质【解析】根据圆内接四边形的性质求出∠A，根据圆周角定理计算，得到答案．【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠A=180∘−∠BCD=60∘，由圆周角定理得，∠BOD=2∠A=120∘.故选C.6.【答案】A【考点】因式分解-运用公式法【解析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，可得m、n的值．【解答】∵x2+5x+m＝(x+n)8＝x2+2nx+n8，∴2n＝5，m＝n2，解得m＝，n＝，7.【答案】D【考点】解一元二次方程-因式分解法【解析】将x2+x−12分解因式成(x+4)(x−3)，解x+4=0或x−3=0即可得出结论．【解答】解：x2+x−12=(x+4)(x−3)=0，则x+4=0，或x−3=0，解得：x1=−4，x2=3．故选D．8.【答案】B【考点】切线的性质圆周角定理【解析】根据切线的性质得∠OAB＝90∘，再根据圆周角定理得到∠AOC＝56∘，然后利用互余计算出∠ABO的度数．【解答】∵AB为⊙O的切线，点A为切点，∴OA⊥AB，∴∠OAB＝90∘，∵∠AOB＝2∠ADC＝2×28∘＝56∘，∴∠ABO＝90∘−∠AOB＝90∘−56∘＝34∘．9.【答案】D【考点】由实际问题抽象出一元二次方程【解析】设有x个队参赛，根据参加一次足球联赛的每两队之间都进行两场场比赛，共要比赛90场，可列出方程．【解答】设有x个队参赛，则x(x−1)＝90．10.【答案】B【考点】二次函数的应用【解析】根据二次函数的性质可得．【解答】根据题意：y＝−0.2x2+1.5x−5，当x＝-＝6.75时，则最佳加工时间为3.75min．11.【答案】A【考点】扇形面积的计算全等三角形的性质与判定【解析】连接OC，易证得四边形CDOE是矩形，则△DOE≅△CEO，得到∠COB＝∠DEO＝∠CDE＝36∘，图中阴影部分的面积＝扇形OBC的面积，利用扇形的面积公式即可求得．【解答】解：连接OC，∵∠AOB=90∘，CD⊥OA，CE⊥OB，∴四边形CDOE是矩形，∴CD // OE，∴∠DEO=∠CDE=36∘，由矩形CDOE易得到△DOE≅△CEO，∴∠COB=∠DEO=36∘，∴图中阴影部分的面积=扇形OBC的面积.=10π，∵S扇形OBC=36⋅π×102360∴图中阴影部分的面积=10π.故选A.12.【答案】C【考点】二次函数图象上点的坐标特征二次函数图象与系数的关系抛物线与x轴的交点【解析】由图象开口向上，可知a>0，与y轴的交点在x轴的上方，可知c>0，根据对称轴方程得到b>0，于是得到abc>0，故①正确；根据一次函数y＝ax2+bx+c(a>0)的图象与x轴的交点，得到b2−4ac>0，求得4ac−b2<0，故②错误；根据对称轴为直线x＝−1得到b＝2a，当x＝−1时，y＝a−b+c<0，于是得到c−a<0，故③C错误；当x＝−n2−2（n为实数）时，代入解析式得到y＝ax2+bx+c＝a(−n2−2)2+b(−n2−2)＝an2(n2+2)+c，于是得到y＝an2(n2+2)+c≥c，故④正确．【解答】由图象开口向上，可知a>0，与y轴的交点在x轴的上方，可知c>0，又对称轴为直线x＝−6，所以-，所以b>0，∴abc>6，故①正确；∵二次函数y＝ax2+bx+c(a>0)的图象与x轴交于A，B两点，∴b3−4ac>0，∴6ac−b2<0，故②错误；∵ -＝−1，∴b＝2a，∵当x＝−5时，y＝a−b+c<0，∴a−2a+c<3，∴c−a<0，故③错误；当x＝−n2−6（n为实数）时，y＝ax2+bx+c＝a(−n2−4)2+b(−n2−5)+c＝an2(n2+5)+c，∵a>0，n2≥4，n2+2>6，∴y＝an2(n2+2)+c≥c，故④正确，二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）【答案】37【考点】概率公式【解析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．【解答】∵袋子中共有7个球，其中红球有3个，∴从袋子中随机取出1个球，它是红球的概率是3，7【答案】3【考点】勾股定理垂径定理【解析】CD＝4，再根据勾股定理计算出OH＝3．根据垂径定理由CD⊥AB得到CH=12【解答】解：连接OC，∵CD⊥AB，∴CH=DH=12CD=12×8=4，∵直径AB=10，∴OC=5，在Rt△OCH中，OH=√OC2−CH2=3.故答案为：3.【答案】k>1【考点】根的判别式【解析】根据方程有两个不相等的实数根可得△＝(2k)2−4(k2−k+1)>0，求出k的取值范围．【解答】∵原方程有两个不相等的实数根，∴△＝b2−4ac＝(2k)2−4(k5−k+1)＝4k−7>0，解得k>1；【答案】4π【考点】正多边形和圆【解析】连接OA、OB，证出△AOB是等边三角形，根据锐角三角函数的定义即可求得半径，然后求得周长即可．【解答】如图所示，连接OA、OB，∵多边形ABCDEF是正六边形，∴∠AOB=60∘，∵OA=OB，∴△AOB是等边三角形，∴∠OAM=60∘，∴OM=OA⋅sin∠OAM，∴OA=OMsin60∘=√3√32=2，∴⊙O的周长为4π，【答案】m【考点】二次函数的性质【解析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以得到当x为何值时，y随x的增大而减小，从而可以得到m的取值范围．【解答】∵二次函数y＝−x2+3x＝−(x−）2+，∴当x≥时，y随x的增大而减小，∵当x>m时，二次函数y＝−x2+3x的函数值y随x的增大而减小，∴m≥，【答案】24∘【考点】旋转的性质【解析】由旋转的性质可得∠C＝∠C′，AB＝AB′，由等腰三角形的性质可得∠C＝∠CAB′，∠B＝∠AB′B，由三角形的外角性质和三角形内角和定理可求解．【解答】∵AB′＝CB′，∴∠C＝∠CAB′，∴∠AB′B＝∠C+∠CAB′＝2∠C，∵将△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到△AB′C′，∴∠C＝∠C′，AB＝AB′，∴∠B＝∠AB′B＝2∠C，∵∠B+∠C+∠CAB＝180∘，∴3∠C＝180∘−108∘，∴∠C＝24∘，∴∠C′＝∠C＝24∘，三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程) 【答案】（2）由树状图得：共有16种等可能的结果数，两次取出的小球标号相同的结果有4个，∴两次取出的小球标号相同的概率为＝（3）如图：共有16种等可能的结果数两次取出的小球标号的和等于4的有7种，∴两次取出的小球标号的和等于4的概率为．【考点】列表法与树状图法【解析】（1）先画树状图展示所有16种等可能的结果数即可；（2）两次摸出的小球标号相同的占4种，然后根据概率的概念计算即可；（2）由（1）可知有16种等可能的结果数，其中两次取出的小球标号的和等于4的有3种，进而可求出其概率．【解答】（2）由树状图得：共有16种等可能的结果数，两次取出的小球标号相同的结果有4个，∴两次取出的小球标号相同的概率为＝（3）如图：共有16种等可能的结果数两次取出的小球标号的和等于4的有7种，∴两次取出的小球标号的和等于4的概率为．【答案】∵x(x+1)＝3x+8，∴x(x+1)−3(x+4)＝0，则(x+1)(x−2)＝0，∴x+1＝5或x−3＝0，解得x5＝−1，x2＝6；整理，得：5x2−4x−1＝0，∴(x−5)(5x+1)＝2，则x−1＝0或3x+1＝0，解得x5＝1，x2＝−2.2．【考点】解一元二次方程-因式分解法【解析】（1）利用因式分解法求解即可；（2）先整理成一般式，再利用因式分解法求解即可．【解答】∵x(x+1)＝3x+8，∴x(x+1)−3(x+4)＝0，则(x+1)(x−2)＝0，∴x+1＝5或x−3＝0，解得x5＝−1，x2＝6；整理，得：5x2−4x−1＝0，∴(x−5)(5x+1)＝2，则x−1＝0或3x+1＝0，解得x5＝1，x2＝−2.2．【答案】解：(1)如图①，∵BC是⊙O的直径，∴∠CAB=∠BDC=90∘．∵在直角△CAB中，BC=10，AB=6，∴由勾股定理得到：AC=√BC2−AB2=√102−62=8．∵AD平分∠CAB，̂=BD̂，∴CD∴CD=BD．在直角△BDC中，BC=10，CD2+BD2=BC2，∴易求BD=CD=5√2；(2)如图②，连接OB，OD．∵AD平分∠CAB，且∠CAB=60∘，∠CAB=30∘，∴∠DAB=12∴∠DOB=2∠DAB=60∘．又∵OB=OD，∴△OBD是等边三角形，∴BD=OB=OD．∵⊙O的直径为10，则OB=5，∴BD=5．【考点】圆周角定理勾股定理【解析】（1）利用圆周角定理可以判定△CAB和△DCB是直角三角形，利用勾股定理可以求得AC的长度；利用圆心角、弧、弦的关系推知△DCB也是等腰三角形，所以利用勾股定理同样得到BD=CD=5√2；（2）如图②，连接OB，OD．由圆周角定理、角平分线的性质以及等边三角形的判定推知△OBD是等边三角形，则BD=OB=OD=5．【解答】解：(1)如图①，∵BC是⊙O的直径，∴∠CAB=∠BDC=90∘．∵在直角△CAB中，BC=10，AB=6，∴由勾股定理得到：AC=√BC2−AB2=√102−62=8．∵AD平分∠CAB，̂=BD̂，∴CD∴CD=BD．在直角△BDC中，BC=10，CD2+BD2=BC2，∴易求BD=CD=5√2；(2)如图②，连接OB，OD．∵AD平分∠CAB，且∠CAB=60∘，∠CAB=30∘，∴∠DAB=12∴∠DOB=2∠DAB=60∘．又∵OB=OD，∴△OBD是等边三角形，∴BD=OB=OD．∵⊙O的直径为10，则OB=5，∴BD=5．【答案】抛物线的解析式为y＝(x−2)2−5，即y＝x2−4x+8；∵抛物线的对称轴为直线x＝2，而t<1，∴点M(t−3, y1)，N(t, y2)对称轴的左侧的抛物线上，∵t−7<t，∴y1>y2；∵点P(m, n)在该抛物线上，∴n＝m4−4m+3，∴m−n＝m−(m7−4m+3)＝−m4+5m−3＝−(m−）2+，∴当m＝时，m−n有最大值【考点】二次函数图象上点的坐标特征待定系数法求二次函数解析式二次函数的性质二次函数的最值【解析】（1）利用顶点式直接写出抛物线的解析式；（2）根据二次函数的性质判断y1与y2的大小；（3）先用m表示m−n得到m−n＝−m2+5m−3，然后配成顶点式，从而得到m−n 的最大值．【解答】抛物线的解析式为y＝(x−2)2−5，即y＝x2−4x+8；∵抛物线的对称轴为直线x＝2，而t<1，∴点M(t−3, y1)，N(t, y2)对称轴的左侧的抛物线上，∵t−7<t，∴y1>y2；∵点P(m, n)在该抛物线上，∴n＝m4−4m+3，∴m−n＝m−(m7−4m+3)＝−m4+5m−3＝−(m−）2+，∴当m＝时，m−n有最大值【答案】连接OC，∵AB是⊙O的直径，∴∠BCA＝90∘，∵OC＝OB，∴∠B＝∠BCO，∵∠DCA＝∠B，∴∠BCO＝∠DCA，∴∠BCO+∠ACO＝∠DCA+∠ACO，∴∠ACB＝∠DCO＝90∘，即OC⊥CD，∵OC过O，∴CD是⊙O的切线；∵DE⊥AB，∴∠FEA＝90∘，∴∠A+∠EFA＝90∘，同理∠A+∠B＝90∘，∴∠B＝∠EFA，∵∠DCA＝∠B，∠DFC＝∠EFA，∴∠DCF＝∠DFC，∴DC＝DF，即△DCF是等腰三角形．【考点】等腰三角形的判定圆周角定理切线的判定与性质【解析】（1）根据圆周角定理得出∠BCA＝90∘，根据等腰三角形的性质得出∠B＝∠BCO，求出∠ACB＝∠DCO＝90∘，根据切线的判定推出即可；（2）求出∠B＝∠EFA，求出∠DCF＝∠DFC，根据等腰三角形的判定推出即可．【解答】连接OC，∵AB是⊙O的直径，∴∠BCA＝90∘，∵OC＝OB，∴∠B＝∠BCO，∵∠DCA＝∠B，∴∠BCO＝∠DCA，∴∠BCO+∠ACO＝∠DCA+∠ACO，∴∠ACB＝∠DCO＝90∘，即OC⊥CD，∵OC过O，∴CD是⊙O的切线；∵DE⊥AB，∴∠FEA＝90∘，∴∠A+∠EFA＝90∘，同理∠A+∠B＝90∘，∴∠B＝∠EFA，∵∠DCA＝∠B，∠DFC＝∠EFA，∴∠DCF＝∠DFC，∴DC＝DF，即△DCF是等腰三角形．【答案】如图①，∵点A(2, 0)，2)，∴OA＝OB＝2，△ABO是等腰直角三角形，∴AB＝2，当点O′落在边AB上时，α＝45∘，∴点O′的横坐标为AB＝，∴点O′的坐标为（，6−）；如图②，当α＝60∘时，∴∠ABA′＝60∘，AB＝A′B，∴△ABA′为等边三角形，∴AA′＝A′B＝AB＝2，连接OA′，在△OBA′和△OAA′中，，∴△OBA′≅△OAA′(SSS)，∴∠BOA′＝∠AOA′，∠BA′O＝∠AA′O，∴直线OA′的函数解析式为y＝x，∴OA′⊥AB，∴OA′＝+，∴点A′的坐标为(4+，1+）．【考点】坐标与图形变化-旋转【解析】（1）根据点A(2, 0)，点B(0, 2)，可得△ABO是等腰直角三角形，当点O′落在边AB上时，α＝45∘，可得点O′的横坐标为AB＝，纵坐标为2−，即可得答案；（2）根据勾股定理得AB，由旋转性质可得∠A′BA＝60∘，A′B＝AB，继而得出AA′和点A′的坐标．【解答】如图①，∵点A(2, 0)，2)，∴OA＝OB＝2，△ABO是等腰直角三角形，∴AB＝2，当点O′落在边AB上时，α＝45∘，∴点O′的横坐标为AB＝，∴点O′的坐标为（，6−）；如图②，当α＝60∘时，∴∠ABA′＝60∘，AB＝A′B，∴△ABA′为等边三角形，∴AA′＝A′B＝AB＝2，连接OA′，在△OBA′和△OAA′中，，∴△OBA′≅△OAA′(SSS)，∴∠BOA′＝∠AOA′，∠BA′O＝∠AA′O，∴直线OA′的函数解析式为y＝x，∴OA′⊥AB，∴OA′＝+，∴点A′的坐标为(4+，1+）．【答案】将点A、B的坐标代入抛物线表达式得，解得，故抛物线的表达式为：y＝-x2+x+4；由抛物线的表达式知，点C(4，由点B、C的坐标得；设点M(m, 0)，-m2+m+4)，−m+4)，∴PQ＝-m2+m+4+m−6＝-m3+m，∵OB＝OC，故∠ABC＝∠OCB＝45∘，∴∠PQN＝∠BQM＝45∘，∴PN＝PQsin45∘＝（-m2+m)＝-7+，∵ -<5，故当m＝2时，PN有最大值为；存在，理由：点A、C的坐标分别为(−3、(4，则AC＝5，①当AC＝CQ时，过点Q作QE⊥y轴于点E，则CQ2＝CE7+EQ2，即m2+[3−(−m+4)]2＝25，解得：m＝±（舍去负值），故点（，）；②当AC＝AQ时，则AQ＝AC＝5，在Rt△AMQ中，由勾股定理得：[m−(−3)]8+(−m+4)2＝25，解得：m＝7或0（舍去0），故点Q(8, 3)；③当CQ＝AQ时，则2m7＝[m−(−3)]2+(−m+7)2，解得：m＝（舍去）；综上，点Q的坐标为(7，）．【考点】二次函数综合题【解析】（1）将点A、B的坐标代入抛物线表达式，即可求解；（2）PN＝PQsin45∘＝（-m2+m)＝-(m−2)2+，即可求解；（3）分AC＝CQ、AC＝AQ、CQ＝AQ三种情况，分别求解即可．【解答】将点A、B的坐标代入抛物线表达式得，解得，故抛物线的表达式为：y＝-x2+x+4；由抛物线的表达式知，点C(4，由点B、C的坐标得；设点M(m, 0)，-m2+m+4)，−m+4)，∴PQ＝-m2+m+4+m−6＝-m3+m，∵OB＝OC，故∠ABC＝∠OCB＝45∘，∴∠PQN＝∠BQM＝45∘，∴PN＝PQsin45∘＝（-m2+m)＝-7+，∵ -<5，故当m＝2时，PN有最大值为；存在，理由：点A、C的坐标分别为(−3、(4，则AC＝5，①当AC＝CQ时，过点Q作QE⊥y轴于点E，则CQ2＝CE7+EQ2，即m2+[3−(−m+4)]2＝25，解得：m＝±（舍去负值），故点（，）；②当AC＝AQ时，则AQ＝AC＝5，在Rt△AMQ中，由勾股定理得：[m−(−3)]8+(−m+4)2＝25，解得：m＝7或0（舍去0），故点Q(8, 3)；③当CQ＝AQ时，则2m7＝[m−(−3)]2+(−m+7)2，解得：m＝（舍去）；综上，点Q的坐标为(7，）．。
2021年新人教版天津南开区九年级数学第一学期期末试卷及答案
南开区2020-2021学年度第一学期期末质量检测九年级数学试卷一 选择题:每小题3分，共36分。
1.下列事件中是不可能事件的是( )(A)降雨时水位上升 (B)在南极点找到东西方向(C)体育运动时消耗卡路里 (D)体育运动中肌肉拉伤2.下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )3.若关于x 的一元二次x 2+2x+k=0无实数根，则k 值可以是( )A.3B.1C.0D.-54.如图，在正方形网格上有两个相似三角形△ABC 和△EDF ，则∠BAC 的度数为( )A.135°B.125°C.115°D. 105°5.如图，在⊙O 中，弦AB 的长为10，圆周角∠ACB=45°，则这个圆的直径为( ) A.52 B.102 C.152 D.2026.在平面直角坐标系中，反比例函数xa a y 222+-=图象的两个分支分别在( ) A.第一、二象限 B.第三、四象限 C.第一、三象限 D.第二、四象限7.点(-1，y 1)、(-2，y 2)、(3，y 3)均在xy 6-=的图象上，则y 1、y 2、y 3的大小关系是( ) A.y 1<y 2<y 3 B. y 2<y 3<y 1 C.y 3<y 2<y 1 D.y 3<y 1<y 28.将抛物线y=(x-1)2+3向左平移1个单位，得到的抛物线与y 轴的交点坐标是( )A.(0,2)B.(0,3)C.(0,4)D.(0,7)9.如图，AC 是⊙0的直径，∠ACB=60°，连接AB ，过A ，B 两点分别作⊙O 的切线，两切线交于点P.若已知 ⊙0半径为1，则△PAB 的周长为( ) A.33 B. 233 C. 3 D.310.如图，以点O 为位似中心，将△ABC 缩小后得到△A /B /C /,已知OB=3OB /，则△A /B /C /与△ABC 的面积 比为( )A.1:3B.1:4C.1:5D.1:911.如图，在ABCD 中，F 是BC 上的一点，直线DF 与AB 的延长线相交于点E ，BP//DF ，且与AD 相交于点P ， 则图中相似三角形的组数为( )A.3B.4C.5D.612.如图在平面直角坐标系中，抛物线y=x 2+bx+c 与x 轴只有一个交点M,与平行于x 轴的直线l 交于A,B 两点. 若AB=3,则点M 到直线l 的距离为( )A.25B.49C.2D.47第II 卷(非选择题共84分)二 填空题:每小题3分，共18分。
天津市和平区2020-2021学年九年级上学期期末数学试题(word版含答案)
天津市和平区2020-2021学年九年级上学期期末数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列图形中，可以看作是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．2．下列命题中，是真命题的是（ ） A ．直角三角形都相似 B ．等腰三角形都相似 C ．矩形都相似D ．正方形都相似3．二次函数y ＝ax 2+bx +c 图象上部分点的坐标如下表所示，则该函数图象的顶点坐标为（ ）A ．（﹣1，0）B ．（0，3）C ．（1，4）D ．（2，3）4．如图，一个油桶靠在直立的墙边，量得0.5m WY =，并且XY WY ⊥，则这个油桶的底面半径是（ ）A ．0.25mB ．0.5mC ．0.75mD ．1m5．一个仅装有球的不透明布袋里共有4个球（只有编号不同），编号为1，2，3，5，从中任意摸出一个球，记下编号后放回，搅匀，再任意摸出一个球，则两次摸出的球的编号之和为偶数的概率是（）A．58B．12C．512D．146．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，E是边AC上一点，AE＝5，ED⊥AB，垂足为点D，则AD的长是（）A．16 B．254C．6 D．47．在如图所示的网格中，以点O为位似中心，四边形ABCD的位似图形是（）A．四边形NPMQ B．四边形NPMRC．四边形NHMQ D．四边形NHMR8．如图，在▱OABC中，∠A＝60°，将▱OABC绕点O逆时针旋转得到▱OA′B'C′，且∠A'OC ＝90°，设旋转角为α（0°＜α＜90°），则α的大小为（）A．30°B．45°C．60°D．75°9．设函数y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是实数，a≠0），当x＝1时，y＝1；当x＝8时，y ＝8，（）A．若h＝4，则a＜0 B．若h＝5，则a＞0C．若h＝6，则a＜0 D．若h＝7，则a＞010．如图是抛物线形拱桥，当拱顶高离水面2m时，水面宽4m，水面下降2.5m，水面宽度增加（）A．1 m B．2 m C．3 m D．6 m11．如图，已知BC是⊙O的直径，半径OA⊥BC，点D在劣弧AC上（不与点A，点C重合），BD与OA交于点E．设∠AED＝α，∠AOD＝β，则（）A．3α+β＝180°B．2α+β＝180°C．3α﹣β＝90°D．2α﹣β＝90°12．如图，抛物线y＝ax2+bx+c的顶点坐标为（1，﹣4a），点A（4，y1）是该抛物线上一点，若点B（x2，y2）是该抛物线上任意一点，有下列结论：①4a﹣2b+c＞0；②抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点（﹣1，0），（3，0）；③若y2＞y1，则x2＞4；④若0≤x2≤4，则﹣3a≤y2≤5a．其中，正确结论的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3二、填空题13．一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在岔路口随机选择一条路径，它获得食物的概率是_____．14．已知正六边形的半径是3，则这个正六边形的边长是______．15．如图，在△ABC 中，点D ，E 在AC 边上，且AE ＝ED ＝DC ．点F ，M 在AB 边上，且////EF DM BC ，延长FD 交BC 的延长线于点N ，则EFBN的值＝_____．16．已知圆锥的底面半径为40cm ， 母线长为90cm ， 则它的侧面展开图的圆心角为_______．17．对于一个函数，自变量x 取a 时，函数值y 也等于a ，我们称a 为这个函数的不动点．如果二次函数y ＝x 2+2x +c 有两个相异的不动点x 1，x 2，且x 1＜1＜x 2，则c 的取值范围是_____．18．已知正方形ABCD 的边长为6，O 是BC 边的中点．（Ⅰ）如图①，连接AO ，则AO 的长为______．（Ⅱ）如图②，点E 是正方形内一动点，2OE =，连接DE ，将线段DE 绕点D 逆时针旋转90°得DF ．则线段OF 长的最小值为______．三、解答题19．已知2是方程20x c -=的一个根，求常数c 的值及该方程的另一根． 20．已知，O 中，AB BC =，D 是O 上的点，OC BD ⊥．（1）如图①，求证AB CD =；（2）如图②，连接AB ，BC ，CD ，DA ，若70A ∠=︒，求BCD ∠，ADB ∠的大小．21．已知⊙O 的直径AB ＝4，C 为⊙O 上一点，AC ＝2．（1）如图①，点P 是BC 上一点，求∠APC 的大小；（2）如图②，过点C 作⊙O 的切线MC ，过点B 作BD ⊥MC 于点D ，BD 与⊙O 交于点E ，求∠DCE 的大小及CD 的长．22．一个直角三角形的两条直角边的和是7cm ，面积是26cm ，求两条直角边的长． 23．如图，已知矩形ABCD 的周长为36cm ，矩形绕它的一条边CD 旋转形成一个圆柱．设矩形的一边AB 的长为cm(0)x x >，旋转形成的圆柱的侧面积为2cm S ．（1）用含x 的式子表示：矩形的另一边BC 的长为______cm ；旋转形成的圆柱的底面圆的周长为______cm ． （2）求S 关于x 的函数解析式及自变量x 的取值范围； （3）求当x 取何值时，矩形旋转形成的圆柱的侧面积最大；（4）若矩形旋转形成的圆柱的侧面积等于218cm π，则矩形的长是______cm ，宽是______cm ．24．在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CA ＝CB ＝2，点P 是边AB 的中点，连接CP ． （1）如图①，∠B 的大小＝ （度），AB 的长＝ ，CP 的长＝ ； （2）延长BC 至点O ，使OC ＝2BC ，将△ABC 绕点O 逆时针旋转α（0°＜α＜180°）得到△A'B'C'，点A ，B ，C ，P 的对应点分别为A'，B'，C'，P'．①图②，当α＝30°时，求点C′到直线OB 的距离及点C'到直线AB 的距离；②当C′P'与△ABC 的一条边平行时，求点P'到直线AC 的距离（直接写出结果即可）．25．如图，点A，B，C都在抛物线y＝ax2﹣2amx+am2+2m﹣5（其中﹣14＜a＜0）上，AB∥x轴，∠ABC＝135°，且AB＝4．（1）当m＝1时，求抛物线的顶点坐标；（2）求点C到直线AB的距离（用含a的式子表示）；（3）若点C到直线AB的距离为1，当2m﹣5≤x≤2m﹣2时，y的最大值为2，求m的值．参考答案1．B【分析】根据中心对称图形的概念求解即可．【详解】根据中心对称图形的概念求解．解：A、不是中心对称图形，因为找不到任何这样的一点，旋转180度后它的两部分能够重合；即不满足中心对称图形的定义，故此选项错误；B、是中心对称图形，故此选项正确；C、不是中心对称图形，因为找不到任何这样的一点，旋转180度后它的两部分能够重合；即不满足中心对称图形的定义，故此选项错误；D、不是中心对称图形，因为找不到任何这样的一点，旋转180度后它的两部分能够重合；即不满足中心对称图形的定义，故此选项错误．故选：B．【点睛】本题主要考查了中心对称图形的概念：中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．2．D【分析】相似形就是形状相同的两个图形，即对应边的比相等，对应角相等的两个图形，依据定义即可判断．【详解】A. 直角三角形的直角对应相等，但两组锐角不一定对应相等，故A错误；B. 等腰三角形的顶角和底角不一定对应相等，故B错误；C. 矩形的各个角都相等，但边不一定成比例，所以不一定相似，故C错误；D. 正方形各角相等，各边对应成比例，相似，故D正确；故选：D.【点睛】本题主要考查了相似形的定义，即对应边的比相等，对应角相等，两个条件同时成立，缺一不可．【分析】根据二次函数的对称性解答即可． 【详解】解：∵x ＝0、x ＝2时的函数值都是3， ∴函数图象的对称轴为直线x ＝022+＝1， ∴顶点坐标为（1，4）． 故选：C ． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟记二次函数的对称性是解题的关键． 4．B 【分析】设圆心为O ，连接OX ，OW ，由切线的性质可得OW WY ⊥，OX XY ⊥，可知四边形OXYW 为正方形，则可知OX WY =． 【详解】如图：设圆心为O ，连接OX ，OW ，由题意可知XY 、YW 为圆的切线，∴OW WY ⊥，OX XY ⊥，且XY YW ⊥，OW OX = ∴四边形OXYW 为正方形 ∴0.5OX WY m ==即油桶的底面圆的半径为0.5m 故选：B ． 【点睛】本题主要考查了切线的性质，正方形的判定和性质，掌握过切点的半径与切线垂直是解题关5．A【分析】画树状图展示所有16种等可能的结果数，再找出两次摸出的球的编号之和为偶数的结果数，然后根据概率公式求解．【详解】解：根据题意画图如下：共有16种等情况数，其中两次摸出的球的编号之和为偶数的有10种，则两次摸出的球的编号之和为偶数的概率是105= 168故选：A【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法和树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率．6．D【分析】由题意可得∠ADE＝∠C，∠A＝∠A，从而可判定△ADE∽△ACB，由相似三角形的性质得出比例式，再将相关线段的长代入计算即可得出答案．【详解】解：∵ED⊥AB，∴∠ADE＝90°，∵∠C＝90°，∴∠ADE＝∠C，又∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ACB，∴AD∶AC＝AE∶AB，∵AB＝10，AC＝8，AE＝5，∴AD∶8＝5∶10，∴AD＝4．故选：D．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，数形结合并熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．7．A【分析】以O为位似中心，作四边形ABCD的位似图形，根据图像可判断出答案．【详解】解：如图所示，四边形ABCD的位似图形是四边形NPMQ．故选：A【点睛】此题考查了位似图形的作法，画位似图形的一般步骤为：①确定位似中心；②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据相似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；顺次连接上述各点，确定位似图形．8．A【分析】设A′O与AB相交于点D，由平行四边形的性质再结合已知条件可求出∠ODA＝90°，因为∠A＝60°，所以可求出∠A′OA的度数，即旋转角为α的度数．解：设A′O与AB相交于点D，∵四边形OABC是平行四边形，∴AB∥OC，∴∠ODA＝∠A′OC＝90°，∵∠A＝60°，∴∠A′OA＝90°﹣60°＝30°，∴旋转角为α＝30°，故选：A．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，旋转的性质，直角三角形的性质，熟练运用旋转的性质是本题的关键．9．C【分析】当x＝1时，y＝1；当x＝8时，y＝8；代入函数式整理得a（9﹣2h）＝1，将h的值分别代入即可得出结果．【详解】解：当x＝1时，y＝1；当x＝8时，y＝8；代入函数式得：221(1)8(8)a h ka h k ⎧=-+⎨=-+⎩，∴a（8﹣h）2﹣a（1﹣h）2＝7，整理得：a（9﹣2h）＝1，若h＝4，则a＝1，故A错误；若h＝5，则a＝﹣1，故B错误；若h＝6，则a＝﹣13，故C正确；若h＝7，则a＝﹣15，故D错误；故选：C．此题主要考查二次函数的图像与性质，解题的关键是把坐标代入求出a,h的关系，进而求解．10．B【详解】如图，建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原点，抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，OA和OB可求出为AB的一半2米，抛物线顶点C坐标为（0，2），设顶点式y=ax2+2，把A点坐标（﹣2，0）代入得a=﹣0.5，∴抛物线解析式为y=﹣0.5x2+2，当水面下降2.5米，通过抛物线在图上的观察可转化为：当y=﹣2.5时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线y=﹣1与抛物线相交的两点之间的距离，可以通过把y=﹣2.5代入抛物线解析式得出：﹣2.5=﹣0.5x2+2，解得：x=±3，2×3﹣4=2，所以水面下降2.5m，水面宽度增加2米，故选B．11．D【分析】根据直角三角形两锐角互余性质，用α表示∠CBD，进而由圆心角与圆周角关系，用α表示∠COD，最后由角的和差关系得结果．【详解】解：∵OA⊥BC，∴∠AOB＝∠AOC＝90°，∴∠DBC＝90°﹣∠BEO＝90°﹣∠AED＝90°﹣α，∴∠COD＝2∠DBC＝180°﹣2α，∵∠AOD +∠COD ＝90°，∴β+180°﹣2α＝90°，∴2α﹣β＝90°，故选：D ．【点睛】本题考查了圆周角定理以及直角三角形的两个锐角互余的关系，熟练掌握圆周角定理是解决本题的关键．12．C【分析】利用对称轴公式和顶点坐标得出﹣4a ＝a +b +c ，b ＝﹣2a ，c ＝﹣3a ，则可对①进行判断；抛物线解析式为y ＝ax 2﹣2ax ﹣3a ，配成交点式得y ＝a （x ﹣3）（x +1），可对②进行判断；根据二次函数对称性和二次函数的性质可对③进行判断；计算x ＝4时，y ＝5a ，则根据二次函数的性质可对④进行判断．【详解】解：①∵二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的顶点坐标为（1，﹣4a ），∴x ＝﹣2b a＝1，且﹣4a ＝a +b +c ， ∴b ＝﹣2a ，c ＝﹣3a ，∵抛物线开口向上，则a ＞0，∴4a ﹣2b +c ＝4a +4a ﹣3a ＝5a ＞0，故结论①正确；②∵b ＝﹣2a ，c ＝﹣3a ，∴y ＝ax 2﹣2ax ﹣3a ＝a （x ﹣3）（x +1），∴抛物线y ＝ax 2+bx +c 与x 轴交于点（﹣1，0），（3，0），故结论②正确；③∵点A （4，y 1）关于直线x ＝1的对称点为（﹣2，y 1），∴当y 2＞y 1，则x 2＞4或x 2＜﹣2，故结论③错误；④当x ＝4时，y 1＝16a +4b +c ＝16a ﹣8a ﹣3c ＝5a ，∴当0≤x2≤4，则﹣4a≤y2≤5a，故结论④错误．故选：C．【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，掌握二次函数图象与性质的相关知识并能灵活运用所学知识求解是解题的关键．13．1 3【分析】直接利用概率公式求解．【详解】解：蚂蚁获得食物的概率＝13．故答案为：13．【点睛】本题考查了概率公式：随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．14．3【分析】先根据题意画出图形，再根据正六边形的性质求出∠BOC的度数，判断出△BOC为等边三角形即可求出答案．【详解】解：如图所示，连接OB、OC，∵此六边形是正六边形，∴∠BOC=3606=60°，∵OB=OC=3，∴△BOC是等边三角形，∴OB=OC=BC=3，故答案为：3．【点睛】此题主要考查了正多边形和圆的有关计算，等边三角形的判定和性质，根据题意画出图形，作出辅助线，由正六边形的性质判断出△BOC 的形状是解答此题的关键．15．14【分析】首先证明13EF BC ＝∶∶，再利用全等三角形的性质证明EF ＝CN 即可解决问题．【详解】解：////EF DM BC AE DE CD ，＝＝， ∴13EF AE BC AC ==， 在EFD △与CND △中，EDF CDN FED NCD ED DC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，EFD CND AAS ∴≌（）， EF CN ∴＝，13CN BC ∴∶＝∶，1CN BN ∴＝∶∶4， ∴14EF BN =， 故答案为14． 【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，全等三角形的判定和性质，关键在于熟练掌握两个知识点的基本性质和定理，该类型题属常考题．16．160︒．【分析】圆锥的底面半径为40cm ，则底面圆的周长是80πcm，圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，即侧面展开图的扇形弧长是80πcm ，母线长为90cm 即侧面展开图的扇形的半径长是90cm ．根据弧长公式即可计算．【详解】根据弧长的公式l=180n r π得到： 80π=•90180n π， 解得n=160度．侧面展开图的圆心角为160度．故答案为160°．17．c ＜﹣2【分析】由函数的不动点概念得出x 1、x 2是方程x 2+2x +c ＝x 的两个实数根，由x 1＜1＜x 2知△＞0且x ＝1时y ＜0，据此得140110c c ->⎧⎨++<⎩，解之可得． 【详解】解：由题意知二次函数y ＝x 2+2x +c 有两个相异的不动点x 1、x 2是方程x 2+2x +c ＝x 的两个不相等实数根，且x 1＜1＜x 2，整理，得：x 2+x +c ＝0，由x 2+x +c ＝0有两个不相等的实数根，且x 1＜1＜x 2，知△＞0，令y ＝x 2+x +c ，画出该二次函数的草图如下：则140110c c ->⎧⎨++<⎩，解得c＜﹣2，故答案为：c＜﹣2．【点睛】本题主要考查二次函数图象与系数的关系，解题的关键是理解并掌握不动点的概念，并据此得出关于c的不等式．18．；2；【分析】（Ⅰ）根据勾股定理可求AO的长；（Ⅱ）连接DO，将△DOE绕点D逆时针旋转90°得△DGF，过点G作DC的垂线，垂足为M，过点O作BC的垂线，交直线GM于点N，连接OG，求出OG长，再根据三角形三边关系可求OF最小值．【详解】（Ⅰ）∵正方形ABCD的边长为6，O是BC边的中点，∴OB=OC=3，=故答案为：（Ⅱ）连接DO，将△DOE绕点D逆时针旋转90°得△DGF，过点G作DC的垂线，垂足为M，过点O作BC的垂线，交直线GM于点N，连接OG，由旋转可知，GF=OE=2，DO=DG，∠OEG=90°，∴∠GDM+∠ODC=90°，∵∠DOC+∠ODC=90°，∴∠DOC=∠GDM，∵∠C=∠GMD，∴△DOC≌△GDM，∴DM=OC=3，GM=DC=6,由辅助线作法可知，四边形CMNO是矩形，∵CM=OC=3，∴矩形CMNO是正方形，ON=MN=3，=∵OF≥OG -GF ，∴OF 的最小值为OG-GF =2；故答案为：2．【点睛】本题考查了勾股定理，全等三角形的判定与性质，旋转的性质和最小值问题，解题关键是构造手拉手全等模型，转化确定线段的取值范围．19．4c =，方程另一个根为-2【分析】将x=2代入原方程，可求出c 的值，进而可通过解方程求出另一根．【详解】解：2x =是方程20x c -=的一个根，220c ∴-=，解得4c =，∴方程为240x -=．24x =，∴12x =，22x =-，∴该方程的另一个根是－2.【点睛】本题考查一元二次方程的解和解一元二次方程，掌握一元二次方程的解和解一元二次方程的方法是解题关键．20．（1）见解析；（2）110BCD ∠=︒；35ADB ∠=︒【分析】（1）利用垂径定理证明BC CD =，再根据AB BC =即可证明AB CD =；（2）先利用圆的内接四边形的性质求出BCD ∠的大小，再根据垂径定理和同弧所对的圆周角相等即可求出BCD ∠和ADB ∠的大小．【详解】解：（1）O 中，OC BD ⊥，BC CD ∴=．AB BC =，C ABD ∴=．（2）四边形ADCB 是圆内接四边形，180A BCD ∴∠+∠=︒．180********BCD A ∴︒∠=-∠=-=︒︒︒． O 中，OC BD ⊥，BC CD ∴=．1801801103522BCD CDB CBD ︒︒︒︒-∠-∴∠=∠===． AB BC =， 35ADB CDB ︒∴∠=∠=．【点睛】本题主要考查垂径定理和圆的内接四边形的性质，以及圆周角和弧长的关系，属于简单题型．21．（1）30°；（2）∠DCE ＝30°，CD 【分析】（1）连接OC ，由AB 为⊙O 的直径，AB ＝2AC ，得到△AOC 是等边三角形，根据等边三角形的性质得到∠AOC ＝60°，于是得到结论；（2）连接OE ，OC ，根据切线的性质得到MC ⊥OC ，得到△EOB 是等边三角形，根据等边三角形的性质得到∠EOB ＝60°，求得∠COE ＝180°﹣∠EOB ﹣∠AOC ＝60°，推出△OCE 是等边三角形，于是得到CE ＝OC ＝2，∠EOC ＝60°，根据勾股定理于是得到结论．【详解】解：（1）连接OC，∵AB为⊙O的直径，AB＝2AC，∴OA＝OC＝AC，∴△AOC是等边三角形，∴∠AOC＝60°，∴∠APC＝12AOC＝30°；（2）连接OE，OC，∵MC是⊙O的切线，∴MC⊥OC，∵BD⊥MC，∴∠MCO＝∠CDB＝90°，∴BD∥OC，∴∠B＝∠AOC＝60°，∵OB＝OE，∴△EOB是等边三角形，∴∠EOB＝60°，∴∠COE＝180°﹣∠EOB﹣∠AOC＝60°，∵OC＝OE，∴△OCE是等边三角形，∴CE＝OC＝2，∠EOC＝60°，∴∠DCE＝90°﹣∠ECO＝30°，在Rt△COE中，CE＝2，∴DE＝12CE＝1，∴CD【点睛】本题考查了切线的性质，等边三角形的性质，垂径定理，平行线的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．22．3cm ，4cm【分析】首先设一条直角边为xcm ，然后根据三角形的面积列出方程，从而求出x 的值，得出答案．【详解】解：设一条直角边为xcm ，则另一条直角边的长为(7)cm x -，根据题意得： 1(7)62x x -=， 整理得: 27120x x -+=，解得：123,4x x ==，当3x =时，74x -=．当4x =时，73x -=．答：这两条直角边的长分别为3cm 和4cm ．【点睛】本题考查一元二次方程在几何图形中运用，掌握根据面积列一元二次方程，及其解方程的方法．23．（1）(18)x -，2(18)x π-；（2）2=236(018)S x x x ππ-+<<；（3）9x =；（4）(9+，(9-【分析】（1）根据矩形的性质，圆的周长公式求解即可．（2）根据圆柱的侧面积公式求解即可．（3）利用二次函数的性质求解即可．（4）构建方程求解即可．【详解】解：（1）BC=12（36-2x ）=（18-x ）cm ， 旋转形成的圆柱的底面圆的周长为2π（18-x ）cm ．故答案为：(18)x -，2(18)x π-；（2）22(18)236(018)S x x x x x πππ=-⋅=-+<<（3）222362(9)162S x x x ππππ=-+=--+∵-2π＜0，∴当9x =时，矩形旋转形成的圆柱的侧面积最大：（4）由题意：-2πx 2+36πx=18π，∴x 2-18x+9=0，解得（舍弃），∴矩形的长是（cm ，宽是（）cm ．故答案为：(9+，(9-．【点睛】本题考查圆柱的计算，二次函数的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．24．（1）45，；（2）①点C′到直线OB 的距离为2，点C′到直线AB 的距离为；②4﹣或或5【分析】（1）根据三角形内角和定理以及勾股定理，直角三角形斜边中线的性质求解即可．（2）①过点C′作C′D ⊥OB ，垂足为点D ，过点C′作C′E ⊥AB ，交BA 的延长线于点E ，连接AC′，解直角三角形求出C′D ，C′E 即可．②分三种情形：如图③﹣1中，当P′C′∥AC 时，延长P′C′交OB 于H ．如图③﹣2中，如图当P′C′∥AB 时，过点P′作P′H ⊥OB 交BO 的延长线于H ，交A′C′于T ．如图③﹣3中，当P′C′∥BC 时，延长B′A′交BO 于H ，分别画出图形求解即可．【详解】解：（1）在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CA ＝CB ＝2，∴∠B ＝∠A ＝45°，∵sinB ＝CA AB ＝2，∴AB ＝，∵点P 是边AB 的中点，∴CP ＝12AB ，故答案为45，．（2）①过点C′作C′D ⊥OB ，垂足为点D ，过点C′作C′E ⊥AB ，交BA 的延长线于点E ，连接AC′，∵将△ABC 绕点O 逆时针旋转a 得到△A′B′C′，∴OC′＝OC ＝2BC ＝2×2＝4，在R △OC′D 中，∠O ＝30°，∴C′D ＝12OC′＝12×4＝2，∴点C′到直线OB 的距离为2，OD 2D 22-＝∵C′D ⊥OB ，∠ACB ＝90°，∴∠C′DB ＝∠ACB ＝90°，∴AC ∥C′D ，∵C′D ＝2，AC ＝2，C′D ＝AC ，∴四边形C′DCA 是平行四边形，∴C′A ＝DC ＝OC ﹣OD ＝4﹣，C′A ∥DC ，∴∠EAC'＝∠B ＝45°，∠EC′A ＝90°﹣∠EAC′＝90°﹣45°＝45°，∴∠EAC′＝∠EC′A∴C′E ＝AE ，在Rt △AC′E 中，∵C′E 2+AE 2＝C′A 2，∴C′E 2＝22C A ，∴C′E ＝2C′A ＝2（4﹣．∴点C′到直线AB 的距离为；②如图③﹣1中，当P′C′∥AC 时，延长P′C′交OB 于H ．∵P′H ∥AC ，∴∠OHC′＝∠ACO ＝90°，∵∠OC′H ＝∠B′C′P′＝45°，∴OH ＝OC′•cos45°＝，∴CH ＝OC ﹣OH ＝4﹣．∴点P'到直线AC 的距离为4﹣．如图③﹣2中，如图当P′C′∥AB 时，过点P′作P′H ⊥OB 交BO 的延长线于H ，交A′C′于T ．由题意四边形OHTC′是矩形，OH ＝C′T ＝1，∴CH ＝OC+OH ＝1+4＝5，∴点P'到直线AC 的距离为5．如图③﹣3中，当P′C′∥BC 时，延长B′A′交BO 于H ，可得OH ＝OB′•cos45°＝，∴CH ＝+4，∴点P'到直线AC 的距离为．综上所述，点P'到直线AC 的距离为4﹣或或5．【点睛】本题考查了作图-旋转变换，解直角三角形，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题．25．（1）（1，﹣3）；（2）点C 到直线AB 的距离为﹣41a a ；（3）m 的值为72或 【分析】（1）由配方法可求顶点坐标；（2）设点C到直线AB的距离为d，求出点C坐标，代入解析式可求解；（3）先求出a值，分三种情况考虑：①当m＞2m﹣2，即m＜2时，x＝2m﹣2时y取最大值，利用二次函数图象上点的坐标特征可得出关于m的一元二次方程，解之可求出m的值；②当2m﹣5≤m≤2m﹣2，即2≤m≤5时，x＝m时y取最大值，利用二次函数图象上点的坐标特征可得出关于m的一元一次方程，解之可求出m的值；③当m＜2m﹣5，即m＞5时，x ＝2m﹣5时y取最大值，利用二次函数图象上点的坐标特征可得出关于m的一元一次方程，解之可求出m的值．综上即可得出结论．【详解】解：（1）当m＝1时，抛物线的解析式为y＝ax2﹣2ax+a﹣3，∵y＝ax2﹣2ax+a﹣3＝a（x﹣1）2﹣3，∴顶点坐标为（1，﹣3）；（2）如图，过点C作CD⊥AB，交AB的延长线于D，∵∠ABC＝135°，∴∠CBD＝45°，∵CD⊥AD，∴∠DBC＝∠DCB＝45°，∴BD＝CD，∵y＝ax2﹣2amx+am2+2m﹣5＝a（x﹣m）2+2m﹣5，∴顶点坐标为（m，2m﹣5），∵AB＝4，∴点B的横坐标为m+2，∵点B在抛物线y＝a（x﹣m）2+2m﹣5上，∴y＝a（m+2﹣m）2+2m﹣5＝4a+2m﹣5，∴点B （m +2，4a +2m ﹣5），设点C 到直线AB 的距离为d ，∴BD ＝CD ＝d ，∴点C （m +2+d ，4a +2m ﹣5﹣d ），∵点C 在抛物线y ＝a （x ﹣m ）2+2m ﹣5上，∴4a +2m ﹣5﹣d ＝a （m +2+d ﹣m ）2+2m ﹣5，整理得：ad 2+4ad +d ＝0，∵d ≠0，∴d ＝﹣41a a+， ∴点C 到直线AB 的距离为﹣41a a +； （3）∵点C 到直线AB 的距离为1，∴﹣41a a+＝1， ∴a ＝﹣15， ∴抛物线的解析式为y ＝﹣15（x ﹣m ）2+2m ﹣5． 分三种情况考虑：①当m ＞2m ﹣2，即m ＜2时，有﹣15（2m ﹣2﹣m ）2+2m ﹣5＝2， 整理，得：m 2﹣14m +39＝0，解得：m 1＝7（舍去），m 2＝（舍去）；②当2m ﹣5≤m ≤2m ﹣2，即2≤m ≤5时，有2m ﹣5＝2，解得：m ＝72； ③当m ＜2m ﹣5，即m ＞5时，有﹣15（2m ﹣5﹣m ）2+2m ﹣5＝2， 整理，得：m 2﹣20m +60＝0，解得：m 3＝10﹣（舍去），m 4＝．综上所述：m 的值为72或． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形，解一元二次方程以及二次函数的最值，解题的关键是：（1）利用配方法将二次函数解析式变形为顶点式；（2）利用参数求出点C的坐标；（3）分m＜2、2≤m≤5及m＞5三种情况考虑．。
2020-2021学年天津市红桥区九年级上学期数学期末试卷及答案
2020-2021学年天津市红桥区九年级上学期数学期末试卷及答案一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 两个不透明的口袋中分别装有两个完全相同的小球，将每个口袋中的小球分别标号为1和2．从这两个口袋中分别摸出一个小球，则下列事件为随机事件的是（ ）A. 两个小球的标号之和等于3B. 两个小球的标号之和等于6C. 两个小球的标号之和大于0D. 两个小球的标号之和等于1【答案】A【解析】【分析】分别利用随机事件、必然事件、不可能事件的定义分别分析得出答案．【详解】∵两个不透明的口袋中各有两个相同的小球，将每个口袋中的小球分别标号为1，2，∴从这两个口袋中分别摸出一个小球，两个小球的标号之和等于3，是随机事件，符合题意；两个小球的标号之和等于6，是不可能事件，不符合题意；两个小球的标号之和大于0，是必然事件，不符合题意；两个小球的标号之和等于1，是不可能事件，不合题意；故选：A．【点评】本题考查了随机事件、必然事件、不可能事件，解决此类问题，要掌握三类事件的定义，学会关注身边的事物，并用数学的思想和方法去分析、看待、解决问题，提高自身的数学素养．2. 某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下：射击次数20 50 100 200 400 1000“射中9环以上”的次数15 41 78 158 320 800“射中9环以上”的频率0.75 0.82 0.78 0.79 0.80 0.80根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中9环以上”的概率约是（ ）A. 0.75B. 0.82C. 0.78D. 0.80 【答案】D【解析】【分析】大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．【详解】解：根据表格数据可知：根据频率稳定在0.8，估计这名运动员射击一次时“射中9环以上”的概率是0.80．故选：D．【点睛】本题考查了利用频率估计概率，解决本题的关键是理解当试验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率．3. 下列图形中，可以看作是中心对称图形的是（ ）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据中心对称图形的性质得出图形旋转180°，与原图形能够完全重合的图形是中心对称图形，分别判断得出即可．【详解】解：A．旋转180°，不能与原图形能够完全重合不是中心对称图形；故此选项不合题意；B．旋转180°，与原图形能够完全重合是中心对称图形；故此选项符合题意；C．旋转180°，不能与原图形能够完全重合不是中心对称图形；故此选项不合题意；D．旋转180°，不能与原图形能够完全重合不是中心对称图形；故此选项不合题意；故选：B．【点睛】此题主要考查了中心对称图形的性质，根据中心对称图形的定义判断图形是解决问题的关键．4. 若x m+1+6x+1＝0是关于x的一元二次方程，则m的值为（ ）A. ﹣1B. 0C. 1D. 2【答案】C【解析】【分析】利用一元二次方程的定义，可得出m+1＝2，解之即可得出m的值．【详解】解：∵x m+1+6x+1＝0是关于x的一元二次方程，∴m+1＝2， ∴m＝1． 故选：C ．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，牢记“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程”是解题的关键．5. 如图，四边形为的内接四边形，已知为，则的度数为ABCD O BCD ∠120︒BOD ∠（ ）A. B. C. D.100︒110︒120︒130︒【答案】C 【解析】【分析】根据圆内接四边形的性质求出∠A，根据圆周角定理计算，得到答案． 【详解】解：∵四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形， ∴∠A＝180°−∠BCD＝60°，由圆周角定理得，∠BOD＝2∠A＝120°， 故选：C ．【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．6. 若x 2+5x+m ＝（x+n ）2，则m ，n 的值分别为（ ）． A. m ＝，n ＝B. m ＝，n ＝5 C. m ＝25，n ＝5 D. m ＝5，n25452254＝52【答案】A 【解析】【分析】根据完全平方公式和整式的性质计算，得到m 和n 的关系式，通过计算即可得到答案．【详解】∵x 2+5x+m ＝（x+n ）2＝x 2+2nx+n 2 ∴2n＝5，m ＝n 2∴m＝，n ＝25452故选：A ．【点睛】本题考查了整式、乘法公式、一元一次方程、乘方的知识；解题的关键是熟练掌握整式、完全平方公式的性质，从而完成求解． 7. 方程x 2+x-12=0的两个根为（ ） A. x 1=-2，x 2=6 B. x 1=-6，x 2=2C. x 1=-3，x 2=4D. x 1=-4，x 2=3 【答案】D 【解析】【分析】将x 2+x﹣12分解因式成（x+4）（x﹣3），解x+4=0或x﹣3=0即可得出结论． 【详解】x 2+x﹣12=（x+4）（x﹣3）=0 则x+4=0，或x﹣3=0 解得：x 1=﹣4，x 2=3． 故选D ．【点睛】考点：解一元二次方程-因式分解法8. 如图，AB 为⊙O 的切线，点A 为切点，OB 交⊙O 于点C ，点D 在⊙O 上，连接AD ，CD ，OA ，若∠ADC＝28°，则∠ABO 的大小（ ）A. 28°B. 34°C. 56°D. 62°【答案】B 【解析】【分析】根据切线的性质得∠OAB＝90°，再根据圆周角定理得到∠AOC＝56°，然后利用互余计算出∠ABO 的度数．【详解】解：∵AB 为⊙O 的切线，点A 为切点， ∴OA⊥AB， ∴∠OAB＝90°，∵∠AOB＝2∠ADC＝2×28°＝56°， ∴∠ABO＝90°﹣∠AOB＝90°﹣56°＝34°．故选：B ．【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径，也考查了圆周角定理．9. 参加足球联赛的每两队之间都进行一场比赛，共要比赛90场，设共有个队参加比赛，x 则下列方程正确的是（ ） A.B. ()11902x x +=()190x x +=C.D.()11902x x -=()190x x -=【答案】C 【解析】【分析】根据每个队都要和除自己以外的球队比一场，并且要考虑到重复的情况，那么比赛场次用x 表示应该是x(x −1) ． 12【详解】解：每个球队都要和除自己以外的球队比一场，∴一共是 x(x −1) 场，但是其中有重复的，∴实际上是 x(x −1) 场，可以列式 x(x −1)=90 ． 1212故选：C ．【点睛】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意列出方程．10. 加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率y 与加工时间x （单位：min ）满足函数表达式y ＝﹣0.2x 2+1.5x﹣2，则最佳加工时间为（ ） A. 3min B. 3.75minC. 5minD. 7.5min【答案】B 【解析】【分析】根据二次函数的性质即可求解． 【详解】解：根据题意：y ＝﹣0.2x 2+1.5x﹣2，当x ＝﹣ ＝3.75时，y 取得最大值，()1.520.2⨯-则最佳加工时间为3.75min ． 故选：B ．【点睛】本题主要考查二次函数的应用，利用二次函数的性质求最值问题是解题的关键． 11. 如图，半径为的扇形中，，为上一点，，10AOB 90AOB ∠=︒C AB CD OA ⊥，垂足分别为、．若为，则图中阴影部分的面积为（ ）CE OB ⊥D E CDE ∠36︒A. B. C. D.10π9π8π6π【答案】A 【解析】【分析】本题可通过做辅助线，利用矩形性质对角线相等且平分以及等面积性，利用扇形ABC 面积减去扇形AOC 面积求解本题．【详解】连接OC 交DE 为F 点，如下图所示： 由已知得：四边形DCEO 为矩形． ∵∠CDE=36°，且FD=FO ，∴∠FOD=∠FDO=54°，△DCE 面积等于△DCO 面积．．2290105410==10360360AOB AOC S S S πππ∙∙∙∙--=阴影扇形扇形故选：A ．【点睛】本题考查几何面积求法，在扇形或圆形题目中，需要构造辅助线利用割补法，即大图形面积减去小图形面积求解题目，扇形面积公式为常用工具．12. 如图，二次函数y ＝a +bx+c （a ＞0）的图象与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴的正半轴2x 交于点C ，它的对称轴为直线x ＝﹣1．有下列结论：①abc＞0；②4ac﹣＞0；③c﹣a＞2b 0；④当x ＝﹣﹣2（n 为实数）时，y≥c．其中，正确结论的个数是（ ）2nA. 0B. 1C. 2D. 3【答案】C 【解析】【分析】根据二次函数的开口方向，对称轴的位置，二次函数的性质，二次函数的图像与x 轴的交点情况去分析判断即可．【详解】解：由图象开口向上，可知a ＞0， 与y 轴的交点在x 轴的上方，可知c ＞0， 又对称轴为直线x ＝﹣1， ∴﹣＜0， 2ba∴b＞0， ∴abc＞0， 故①正确；∵二次函数y ＝a +bx+c （a ＞0）的图象与x 轴交于A ，B 两点， 2x ∴﹣4ac＞0， 2b ∴4ac﹣＜0， 2b 故②错误； ∵﹣＝﹣1， 2ba∴b＝2a ，∵当x ＝﹣1时，y ＝a﹣b+c＜0， ∴a﹣2a+c＜0， ∴c﹣a＜0， 故③错误；当x ＝﹣﹣2（n 为实数）时，2n y ＝a +bx+c ＝a +b （﹣﹣2）+c ＝a （+2）+c ， 2x 22(2)n --2n 2n 2n ∵a＞0，≥0，+2＞0， 2n 2n ∴y＝a （+2）+c≥c，2n 2n故④正确， 故选：C ．【点睛】本题主要考查二次函数的图象和性质．熟练掌握图象与系数的关系以及二次函数与方程的关系是解题的关键．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）13. 不透明袋子中装有7个球，其中有3个红球，4个黄球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率是_____． 【答案】37【解析】【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．【详解】解：∵袋子中共有7个球，其中红球有3个， ∴从袋子中随机取出1个球，它是红球的概率是， 37故答案为． 37【点睛】本题考查概率的求法：如果一个事件有n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A 出现m 种结果，那么事件A 的概率P （A ）＝． mn14. 如图，AB 为的直径，弦于点H ，若，，则OH 的长度为O CD AB ⊥10AB =8CD =__．【答案】3 【解析】【分析】连接OC ，由垂径定理可求出CH 的长度，在Rt△OCH 中，根据CH 和⊙O 的半径，即可由勾股定理求出OH 的长． 【详解】连接OC ，Rt△OCH 中，OC=AB=5，CH=CD=4； 1212由勾股定理，得：；3==即线段OH 的长为3． 故答案为：3．【点睛】本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．15. 若关于x 的一元二次方程x 2﹣2kx+k 2﹣k+1＝0有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是_____． 【答案】k ＞1 【解析】【分析】根据方程有两个不相等的实数根可得△＝（2k ）2﹣4（k 2﹣k+1）＞0，求出k 的取值范围．【详解】解：∵原方程有两个不相等的实数根， ∴△＝b 2﹣4ac＝（2k ）2﹣4（k 2﹣k+1）＝4k﹣4＞0， 解得k ＞1； 故答案为：k ＞1．【点睛】本题考查了一元二次方程ax 2+bx+c ＝0（a≠0）的根与△＝b 2﹣4ac 有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当△＝0时，方程有两个相等的实数根；③当△＜0时，方程无实数根．16. 已知⊙O 的周长为_____． 【答案】4π 【解析】【分析】如图，连接OA 、OB ，证出△AOB 是等边三角形，根据锐角三角函数的定义即可求得半径，然后求得周长即可． 【详解】如图所示，连接OA 、OB ， ∵多边形ABCDEF 是正六边形， ∴∠AOB＝60°， ∵OA＝OB ，∴△AOB 是等边三角形， ∴∠OAM＝60°， ∴OM＝OA•sin∠OAM，∴OA＝＝2， sin 60OM︒∴⊙O 的周长为4π， 故答案为：4π．【点评】本题考查的是正六边形的性质、等边三角形的判定与性质、三角函数；熟练掌握正六边形的性质，由三角函数求出OA 是解决问题的关键．17. 当x ＞m 时，二次函数y ＝﹣x 2+3x 的函数值y 随x 的增大而减小，则实数m 的取值范围是_____． 【答案】m≥ 32【解析】【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以得到当x 为何值时，y 随x 的增大而减小，从而可以得到m 的取值范围． 【详解】解：∵二次函数y ＝﹣x 2+3x ＝﹣（x﹣）2+，3294∴当x≥时，y 随x 的增大而减小， 32∵当x ＞m 时，二次函数y ＝﹣x 2+3x 的函数值y 随x 的增大而减小， ∴m≥， 32故答案为：m≥． 32【点睛】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．18. 如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转得到ABC 108BAC ∠=︒ABC A ．若点恰好落在边上，且，则的度数为______．AB C ''△B 'BC AB CB ''=C '∠【答案】24︒【解析】【分析】根据旋转可得，由已知条件，根据等边对等角可得AB AB '=AB CB ''=，，根据三角形的外角性质可得，根据三角形B AC C '∠=∠AB B B '∠=∠2AB B C '∠=∠内角和可得，根据即可求得的度数1802BAB B '∠=︒-∠108BAC ∠=︒C '∠【详解】AB CB ''=B AC C '∴∠=∠2AB B C '∴∠=∠将绕点按逆时针方向旋转得到．ABC A AB C ''△，AB AB '∴=C C '∠=∠AB B B '∴∠=∠1802BAB B '∴∠=︒-∠1804C =︒-∠108BAC ∠=︒ 1802BAC CAB B AB C B ''∴∠=∠+∠=∠+︒-∠18041803C C C =∠+︒-∠=︒-∠24C ∴∠=︒24C '∴∠=︒故答案为：24︒【点睛】本题考查了旋转的性质，三角形内角和定理，三角形的外角性质，掌握旋转的性质是解题的关键．三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）19. 一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4．随机摸取一个小球然后放回，再随机摸出一个小球．（1）请用画树形图或列表的方法写出两次取出的小球所能产生的全部结果；（2）求两次取出的小球标号相同的概率；（3）求两次取出的小球标号的和等于4的概率．【答案】（1）见解析；（2）；（3） 14316【解析】【分析】（1）先画树状图展示所有16种等可能的结果数即可；（2）两次摸出的小球标号相同的占4种，然后根据概率的概念计算即可；（2）由（1）可知有16种等可能的结果数，其中两次取出的小球标号的和等于4的有3种，进而可求出其概率．【详解】解：画树状图如图：共有16种等可能的结果数；（2）由树状图得：共有16种等可能的结果数，两次取出的小球标号相同的结果有4个， ∴两次取出的小球标号相同的概率为 ； 41=164（3）如图：共有16种等可能的结果数两次取出的小球标号的和等于4的有3种，∴两次取出的小球标号的和等于4的概率为 ． 316【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．20. 解下列关于x 的方程．（1）x （x+1）＝3x+3；（2）5x 2﹣3x＝x+1．【答案】（1）x 1＝﹣1，x 2＝3；（2）x 1＝1，x 2＝﹣0.2【解析】【分析】（1）利用因式分解法求解即可；（2）先整理成一般式，再利用因式分解法求解即可．【详解】解：（1）∵x（x+1）＝3x+3，∴x（x+1）﹣3（x+1）＝0，则（x+1）（x﹣3）＝0，∴x+1＝0或x﹣3＝0，解得x 1＝﹣1，x 2＝3；（2）5x 2﹣3x＝x+1整理，得：5x 2﹣4x﹣1＝0，∴（x﹣1）（5x+1）＝0，则x﹣1＝0或5x+1＝0，解得x 1＝1，x 2＝﹣0.2．【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．21. 已知⊙O 的直径为10，点A ，点B ，点C 在⊙O 上，∠CAB 的平分线交⊙O 于点D ．（Ⅰ）如图①，若BC 为⊙O 的直径，AB ＝6，求AC ，BD ，CD 的长；（Ⅱ）如图②，若∠CAB＝60°，求BD 的长．【答案】（Ⅰ）求AC ＝8，BD ＝CD ＝；（Ⅱ）BD ＝5【解析】【分析】（Ⅰ）利用圆周角定理可以判定△CAB 和△DCB 是直角三角形，利用勾股定理可以求得AC 的长度；利用圆心角、弧、弦的关系推知△DCB 也是等腰三角形，所以利用勾股定理同样得到BD ＝CD ＝ ；（Ⅱ）如图②，连接OB ，OD ．由圆周角定理、角平分线的性质以及等边三角形的判定推知△OBD 是等边三角形，则BD ＝OB ＝OD ＝5．【详解】解：（Ⅰ）如图①，∵BC 是⊙O 的直径，∴∠CAB＝∠BDC＝90°．∵在直角△CAB 中，BC ＝10，AB ＝6，∴由勾股定理得到：AC8==∵AD 平分∠CAB，∴ ， CDBD =∴CD＝BD ．在直角△BDC 中，BC ＝10，CD 2+BD 2＝BC 2，∴易求BD ＝CD ＝；（Ⅱ）如图②，连接OB ，OD ．∵AD 平分∠CAB，且∠CAB＝60°，∴∠DAB＝ ∠CAB＝30°，12∴∠DOB＝2∠DAB＝60°．又∵OB＝OD ，∴△OBD 是等边三角形，∴BD＝OB ＝OD ．∵⊙O 的直径为10，则OB ＝5，∴BD＝5．【点睛】本题综合考查了圆周角定理，勾股定理以及等边三角形的判定与性质．此题利用了圆的定义、有一内角为60度的等腰三角形为等边三角形证得△OBD 是等边三角形．22. 已知抛物线y ＝x 2﹣bx+c（b ，c 为常数）的顶点坐标为（2，﹣1）．（1）求该抛物线的解析式；（2）点M （t﹣1，y 1），N （t ，y 2）在该抛物线上，当t ＜1时，比较y 1与y 2的大小；（3）若点P （m ，n ）在该抛物线上，求m﹣n 的最大值．【答案】（1）y ＝x 2﹣4x+3；（2）y 1＞y 2；（3）m ＝时，m﹣n 有最大值，最大值为 52134【解析】【分析】（1）利用顶点式直接写出抛物线的解析式；（2）根据二次函数的性质判断y 1与y 2的大小；（3）先用m 表示m﹣n 得到m﹣n＝﹣m 2+5m﹣3，然后配成顶点式，从而得到m﹣n 的最大值．【详解】解：（1）∵抛物线y ＝x 2﹣bx+c（b ，c 为常数）的顶点坐标为（2，﹣1）， ∴抛物线的解析式为y ＝（x﹣2）2﹣1，即y ＝x 2﹣4x+3；（2）∵抛物线的对称轴为直线x ＝2，而t ＜1，∴点M （t﹣1，y 1），N （t ，y 2）对称轴的左侧的抛物线上，∵抛物线开口向上，在对称轴的左侧y 随x 增大而减小，∵t﹣1＜t ，∴y 1＞y 2；（3）∵点P （m ，n ）在该抛物线上，∴n＝m 2﹣4m+3，∴m﹣n＝m﹣（m 2﹣4m+3）＝﹣m 2+5m﹣3＝﹣（m﹣）2+， 52134∴当m ＝时，m﹣n 有最大值，最大值为． 52134【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的性质．23. 如图，是的外接圆，是的直径，．O ABC AB O DCA B ∠=∠（1）求证：是的切线；CD O （2）若，垂足为交于点F ；求证：是等腰三角形．DE AB ⊥,E DE AC DCF 【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】(1)连接OC ，由AB 是圆O 的直径得到∠BCA=90°，进一步得到∠A+∠B=90°，再根据已知条件，且∠A=∠ACO 即可证明∠OCD=90°进而求解；DCA B ∠=∠(2)证明，再由DE⊥AB，得到∠A+∠AFE=90°，进而得到90∠+∠=︒A DCA ∠DCA=∠AFE=∠DFC，得到DC=DF ，进而得到△DFC 为等腰三角形．【详解】解：(1)证明：连接，OC,OC OA =Q,OCA A ∴∠=∠为圆的直径，AB O90,BCA ∠=︒∴90,A B ∴∠+∠=o 又,DCA B ∠=∠Q90,OCA DCA OCD ∴∠+∠=∠=o,OC CD ∴⊥又点在圆上，C O 是的切线．CD ∴O (2)90,OCA DCA ∠+∠=o Q,OCA A ∠=∠90,A DCA ∴∠+∠=︒,DE AB ⊥90,A EFA ∴∠+∠=︒,DCA EFA ∴∠=∠又,EFA DFC ∠=∠Q,DCA DFC ∴∠=∠是等腰三角形．DCF ∴ 【点睛】本题考查了圆的切线的判定定理，圆周角定理，等腰三角形的性质和判定等，熟练掌握性质或定理是解决此类题的关键．24. 在平面直角坐标系中，O 为原点，点A （2，0），点B （0，2），把△ABO 绕点B 逆时针旋转，得△A′BO′，点A ，O 旋转后的对应点为A′，O′．记旋转角为α．（1）如图①，当点O′落在边AB 上时，求点O′的坐标；（2）如图②，当α＝60°时，求AA′的长及点A′的坐标．【答案】（1）点O′的坐标为（）；（2）AA′＝，点A′的坐标为（，【解析】【分析】（1）根据点A （2，0），点B （0，2），可得△ABO 是等腰直角三角形，当点O′落在边AB 上时，α＝45°，可得点O′的横坐标为AB ，纵坐标为，即可得答案；12（2）根据勾股定理得AB ，由旋转性质可得∠A′BA＝60°，A′B＝AB ，继而得出AA′和点A′的坐标．【详解】解：（1）如图①，∵点A(2，0)，点B(0，2)，∴OA＝OB ＝2，△ABO 是等腰直角三角形，∴AB＝，当点O′落在边AB 上时，α＝45°，∴点，纵坐标为，∴点O′的坐标为)；（2）如图②，当α＝60°时，∴∠ABA′＝60°，AB ＝A′B，∴△ABA′为等边三角形，∴AA′＝A′B＝AB ＝，连接OA′，在△OBA′和△OAA′中，，OB OA OA OA A A A B '''=⎧='⎪⎨⎪=⎩∴△OBA′≌△OAA′（SSS ），∴∠BOA′＝∠AOA′，∠BA′O＝∠AA′O，∴直线OA′的函数解析式为y ＝x ，∴OA′⊥AB，，∴点A′的坐标为，．【点睛】本题主要考查旋转的性质及全等三角形的性质与判定、等边三角形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．25. 如图，抛物线交x 轴于，两点，与y 轴交于点C ，24y ax bx =++(3,0)A -(4,0)B AC ，BC ．M 为线段OB上的一个动点，过点M 作轴，交抛物线于点P ，交BC 于点PM x ⊥Q ．（1）求抛物线的表达式；（2）过点P 作，垂足为点N ．设M 点的坐标为，请用含m 的代数式表PN BC ⊥(,0)M m 示线段PN 的长，并求出当m 为何值时PN 有最大值，最大值是多少？（3）试探究点M 在运动过程中，是否存在这样的点Q ，使得以A ，C ，Q 为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2），当时，PN 有最大211433y x x =-++2PN =+2m =值，最大值为（3）满足条件的点Q 有两个，坐标分别为：，()1,3Q ．Q 【解析】【分析】（1）将点A 、B 的坐标代入解析式中求解即可；（2）由(1)求得点C 坐标，利用待定系数法求得直线BC 的解析式，然后用m 表示出PN ，再利用二次函数的性质即可求解；（3）分三种情况：①AC=CQ；②AC=AQ；③CQ=AQ，分别求解即可．【详解】解：（1）将，代入，得，解(3,0)A -(4,0)B 24y ax bx =++934016440a b a b -+=⎧⎨++=⎩之，得． 1313a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以，抛物线的表达式为． 211433y x x =-++（2）由，得． 211433y x x =-++(0,4)C 将点、代入，得，解之，得． (4,0)B (0,4)C y kx b =+404k b b +=⎧⎨=⎩14k b =-⎧⎨=⎩所以，直线BC 的表达式为：．4y x =-+由，得，． (,0)M m 211,433P m m m ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭4(),Q m m -+∴ 221114443333PQ m m m m m =-+++-=-+∵，∴．OB OC =45ABC OCB ∠=∠=︒∴．45PQN BQM ∠=∠=︒∴． 2214sin 4533PN PQ m m ⎫=︒=-+=+⎪⎭22)m =-∵ 0<∴当时，PN ． 2m =（3）存在，理由如下：由点，，知．(3,0)A -(0,4)C 5AC =①当时，过Q 作轴于点E ，易得AC CQ =QE y ⊥，222222[4(4)]2CQ EQ CE m m m =+=+--+=由，得（舍） 2225m =1m =2m =此时，点； Q ②当时，则．AC AQ =5AQ AC ==在中，由勾股定理，得．Rt AMQ △22[(3)](4)25m m --+-+=解之，得或（舍）1m =0m =此时，点；()1,3Q ③当时，CQ AQ =由，得（舍）． 2222[(3)](4)m m m =--+-+252m =综上知所述，可知满足条件的点Q 有两个，坐标分别为：，．()1,3Q Q 【点睛】本题是一道二次函数与几何图形的综合题，解答的关键是认真审题，找出相关条件，运用待定系数法、数形结合法等解题方法确定解题思路，对相关信息进行推理、探究、发现和计算．。
天津市南开区2021-2022学年九年级上学期期末数学试题及参考答案
天津市南开区2021-2022学年九年级上学期期末数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列图标中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A．B．C．D．2．下列事件中，属于不可能事件的是（）A．射击运动员射击一次，命中靶心B．从一个只装有白球和红球的袋中摸球，摸出黄球C．班里的两名同学，他们的生日是同一天D．经过红绿灯路口，遇到绿灯3．下列函数中，图象经过点（2，﹣2）的反比例函数关系式是（）A．4yx=B．4yx=-C．2yx=-D．2yx=4．如图，转盘的A扇形、B扇形和C扇形的圆心角分别为90︒、120︒、150︒，让转盘自由转动1次，指针落在A区域的概率是（）A．14B．13C．12D．5125．如图，已知直线a∥b∥c，直线m、n与a、b、c分别交于点A、C、E、B、D、F，AC＝4，CE＝6，BD＝3，DF＝（）A．7B．7.5C．8D．4.56．如图AB是O切线，点A为切点，OB交O于点C，点D在O上，连接,,AD CD OA，若35ADC∠=︒，则ABO∠的度数为（）A．25︒B．20︒C．30D．35︒7．如图，把圆分成六等分，经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的图形是这个圆的外切正六边形，O的半径是R，它的外切正六边形的边长为（）A B C．D．6R8．若点（x1，y1）、（x2，y2）、（x3，y3）都是反比例函数y＝21ax--的图象上的点，并且x1＜0＜x2＜x3，则下列各式中正确的是（）A．y1＜y3＜y2B．y2＜y3＜y1C．y3＜y2＜y1D．y1＜y2＜y39．若反比例函数y＝2kx+的图象在其所在的每一象限内，y随x的增大而减小，则k的取值范围是（）A．k＜－2B．k＞－2C．k＜2D．k＞2 10．如图，在圆中半径OC∥弦AB，且弦AB＝CO＝2，则图中阴影部分面积为（）A．16πB．13πC．23πD．π11．如图，将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△ADE，点C的对应点E恰好落在BA 的延长线上，DE与BC交于点F，连接BD．下列结论不一定正确的是（）A ．AD=BDB ．AC∥BDC ．DF=EFD ．∥CBD=∥E 12．如图，抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）与x 轴交于点A (－1，0)，与y 轴的交点B 在点(0，2)与点(0，3)之间（不包括这两点），对称轴为直线x ＝2．有以下结论：∥abc ＜0；∥5a +3b +c ＞0；∥－35＜a ＜－25；∥若点M (－9a ，y 1)，N (53a ，y 2)在抛物线上，则y 1＜y 2．其中正确结论的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题 13．已知∥O 的半径为10，直线AB 与∥O 相切，则圆心O 到直线AB 的距离为______．14．在一个暗箱里放有m 个大小相同、质地均匀的白球，为了估计白球的个数，再放入3个同白球大小、质地均相同，只有颜色不同的黄球，每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色后再放回暗箱，通过大量重复试验后发现，摸到黄球的频率稳定在25%，推算m 的值大约是 ___．15．已知反比例函数1k y x=的图象与正比例函数y ＝k 2x 的图象的一个交点坐标为（﹣3，4），则另一个交点坐标为______．16．二次函数2y ax bx c =++的部分图象如图所示，对称轴为x = -1，与x 轴的一个交点为（1，0），则方程20ax bx c ++=的解为_____________．17．如图，在Rt ABC中，∥ACB＝90°，∥O是△ABC的内切圆，三个切点分别为D、E、F，若BF＝2，AF＝3，则ABC的面积是______．18．如图，已知点A(2，0)，B(0，4)，C(2，4)，若在所给的网格中存在一点D，使得CD与AB垂直且相等．（1）直接写出点D的坐标______；（2）将直线AB绕某一点旋转一定角度，使其与线段CD重合，则这个旋转中心的坐标为______．三、解答题19．电影“长津湖”的热映，让今年国庆节多了几分英雄气．现有电影票一张，明明和磊磊打算通过玩掷骰子的游戏决定谁拥有．游戏规则是：在一枚均匀的正方体骰子的每个面上分别标上数字1、2、3、4、5、6．明明和磊磊各掷一次骰子，若两次朝上的点数之和是3的倍数，则明明获胜，电影票归明明所有，否则磊磊获胜．（1）用画树状图或列表的方法表示所有可能的结果；（2）你认为这个游戏规则对明明和磊磊公平吗？请说明理由．20．如图，直线y1＝x+b交x轴于点B，交y轴于点A(0，2)，与反比例函数2kyx的图象交于C(1，m)，D(n，－1)，连接OC、OD．（1）求k的值；（2）求COD的面积；（3）根据图象直接写出y1＜y2时，x的取值范围．21．如图，AB∥CD，AC与BD的交点为E，∥ABE＝∥ACB．（1）求证：∥ABE∥∥ACB；（2）如果AB＝6，AE＝4，求AC，CD的长．22．如图，AC是∥O的直径，P A、PB是∥O的切线，切点分别是点A、B．（1）如图1，若∥BAC＝25°，求∥P的度数．（2）如图2，若M是劣弧AB上一点，∥AMB＝∥AOB，BC＝2，求AP的长．23．如图，点O为矩形ABCD内部一点，过点O作EF∥AD交AB于点E，交CD于点F，过点O作GH∥AB交AD于点G，交BC于点H，设CH＝x，BH＝8－2x，CF ＝x+2，DF＝3x－3．（1）x的取值范围是；（2）矩形BCFE 的周长等于 ；（3）若矩形ABCD 的面积为42，x 的值为 ；（4）求矩形OFCH 的面积S 的取值范围．24．如图1，在平面直角坐标系中，A （3，0），B （0，3），将Rt ∥AOB 绕点B 逆时针方向旋转α（0°＜α＜360°）得到Rt ∥DCB ．（1）求AB 的长；（2）当旋转角α＝20°时，如图1，AB 与CD 交于点F ，求∥BFC 的度数；（3）当旋转角α＝60°时，如图2，连接OD ，求OD 的长．25．如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y x bx c =-++的图象与坐标轴相交于A 、B 、C 三点，其中A 点坐标为()3,0，B 点坐标为()1,0-，连接AC 、BC ．动点P 从点A 出发，在线段AC C 做匀速运动；同时，动点Q 从点B 出发，在线段BA 上以每秒1个单位长度向点A 做匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接PQ ，设运动时间为t 秒．（1）求b 、c 的值；（2）在P 、Q 运动的过程中，当t 为何值时，四边形BCPQ 的面积最小，最小值为多少？（3）在线段AC 上方的抛物线上是否存在点M ，使MPQ 是以点P 为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案：1．B【解析】【分析】由题意直接根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得出答案．【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；B．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；C．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意．故选：B．【点睛】本题考查中心对称图形与轴对称图形的概念，注意掌握把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．2．B【解析】【分析】根据不可能事件的意义，结合具体的问题情境进行判断即可．【详解】解：A、射击运动员射击一次，命中靶心，是随机事件；故A不符合题意；B、从一个只装有白球和红球的袋中摸球，摸出黄球，是不可能事件，故B符合题意；C、班里的两名同学，他们的生日是同一天，是随机事件；故C不符合题意；D、经过红绿灯路口，遇到绿灯，是随机事件，故D不符合题意；故选：B．【点睛】本题考查随机事件，不可能事件，必然事件，理解随机事件，不可能事件，必然事件的意义是正确判断的前提．3．B【解析】根据坐标求出k的值即可．【详解】设反比例函数为kyx=，代入（2，﹣2）得k=2×（-2）=-4故反比例函数为4 yx =-故选B．【点睛】此题主要考查求反比例函数解析式，解题的关键是熟知待定系数法的应用．4．A【解析】【分析】根据几何概率直接求解即可．【详解】解：由题意，整个圆形转盘被分为圆心角分别为90︒、120︒、150︒的三部分，∥指针落在A区域的概率9013604P==，故选：A．【点睛】本题考查几何概率求解，理解几何概率的求解方法是解题关键．5．D【解析】【分析】根据平行线分线段成比例定理得到AC BDCE DF=，即436DF=，然后利用比例性质求DF的长．【详解】∥直线a∥b∥c，∥AC BDCE DF=，即436DF=，∥DF＝4.5．故选：D．本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是掌握平行线分线段成比例定理. 6．B【解析】【分析】根据同弧所对的圆心角等于所对圆周角的2倍，由35ADC ∠=︒可求出∥AOC =70︒．再由AB 为圆O 的切线，得AB ∥OA ，由直角三角形的两锐角互余，即可求出∥ABO 的度数，【详解】解：∥AC AC = ，∥223570AOC ADC ∠=∠=⨯︒=︒，∥AB 为圆O 的切线，∥AB ∥OA ，即∥OAB =90°，∥90907020ABO AOC ∠=︒-∠=︒-︒=︒，故选：B ．【点睛】此题考查了切线的性质，以及圆周角定理，熟练掌握切线的性质是解本题的关键． 7．A【解析】【分析】根据题意作图，得到∥AOB 是等边三角形，作CO ∥AB ，得到∥AOC =12∥AOB =30°，AC =12AB =12AO ，根据勾股定理得到AO 2=AC 2+CO 2即可求出AO 的长． 【详解】如图，∥∥AOB =360606︒=︒，AO =BO ∥∥AOB 是等边三角形作CO ∥AB∥CO =R∥AOC =12∥AOB =30°∥AC =12AB =12AO∥AO 2=AC 2+CO 2∥AO 2=（12AO ）2+R 2∥AO 故选A ．【点睛】此题主要考查正多边形与圆，解题的关键是根据题意作图，利用勾股定理求解． 8．B【解析】【分析】先根据20a ≥，可以得到210a --<，则可得到反比例函数21a y x --=的图象位于二、四象限，如图在每个象限内，y 随x 的增大而增大，据此求解即可．【详解】解：∥20a ≥，∥211a +≥∥210a --<，∥反比例函数21a y x--=的图象位于二、四象限，如图，在每个象限内，y 随x 的增大而增大，∥x 1＜0＜x 2＜x 3，∥y 2＜y 3＜y 1．故选B ．【点睛】本题主要考查了比较反比例函数的函数值的大小，解题的关键在于能够根据题意得到210a --<从而判断出反比例函数图像的增减性．9．B【解析】【分析】根据反比例函数的图像在不同象限的增减性，判断出2k +的正负，进而求出k 的取值范围．【详解】 解： y ＝2k x+的图象在其所在的每一象限内，y 随x 的增大而减小， 20k ∴+>，解得：2k >-，故选：B ．【点睛】本题主要是考查了反比例函数的图像与性质，熟练掌握k 值的正负与函数在其所在象限的增减性的关系，是求解该题的关键．10．C【解析】【分析】连接OA ，OB ，根据平行线的性质确定OAB CAB S S =△△，再根据AB =CO 和圆的性质确定OAB 是等边三角形，进而得出60AOB ∠=︒，最后根据扇形面积公式即可求解．【详解】解：如下图所示，连接OA ，OB ．∥OC AB ∥，∥OAB CAB S S =△△．∥S 阴=S 扇形AOB ．∥AO ，BO ，CO 都是O 的半径，∥AO =BO =CO ．∥AB =CO =2，∥AO =BO =AB =2．∥OAB 是等边三角形．∥60AOB ∠=︒．∥S 阴=S 扇形AOB =260223603ππ⨯=． 故选：C【点睛】本题考查平行线的性质，等边三角形的判定定理，扇形面积公式，综合应用这些知识点是解题关键．11．C【解析】【分析】由旋转的性质知∥BAD=∥CAE=60°、AB=AD ，△ABC∥∥ADE ，据此得出△ABD 是等边三角形、∥C=∥E ，证AC∥BD 得∥CBD=∥C ，从而得出∥CBD=∥E ．【详解】由旋转知∥BAD=∥CAE=60°、AB=AD ，△ABC∥∥ADE ，∥∥C=∥E ，△ABD 是等边三角形，∥CAD=60°，∥∥D=∥CAD=60°、AD=BD ，∥AC∥BD ，∥∥CBD=∥C ，∥∥CBD=∥E ，则A 、B 、D 均正确，故选C ．【点睛】本题主要考查旋转的性质，解题的关键是熟练掌握旋转的性质、等边三角形的判定与性质及平行线的判定与性质．12．C【解析】【分析】根据二次函数的图象与系数的关系即可求出答．【详解】解：∥由开口可知：a ﹤0，∥对称轴02b a -> ∥b ﹥0，由抛物线与y 轴的交点可知：c ﹥0，∥abc ﹤0，故∥正确；∥对称轴x =22b a -=， ∥ b =-4a ，∥5a +3b +c =5a - 12a +c =-7a +c ，∥a ﹤0，c ﹥0，∥-7a +c ﹥0，∥5a +3b +c ﹥ 0，故∥正确；∥∥x =-1，y =0，∥a -b +c =0，∥ b =-4a ，∥c =-5a ，∥2﹤c ﹤3，∥2﹤-5a ﹤3， ∥35﹤a ﹤25-，故∥正确； ∥点M (-9a ，y 1)，N (53a ，y 2) 在抛物线上， 则5911323a a a -+=-当1123a->时，y1＜y2当1123a-<-时，y1＞y2故∥错误．故选：C．【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练运用图象与系数的关系，本题属于中等题型．13．10【解析】【分析】根据直线AB和圆相切，则圆心到直线的距离等于圆的半径即可得问题答案．【详解】解：∥∥O的半径为10，直线AB与∥O相切，∥圆心到直线AB的距离等于圆的半径，∥d=10；故答案为：10；【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系；熟记直线和圆的位置关系与数量之间的联系是解决问题的关键．同时注意圆心到直线的距离应是非负数．14．9【解析】【分析】由题意可得摸到一个黄球的概率为33m+，把摸到黄球的频率作为摸到黄球的概率，即可求得m的值．【详解】由题意，摸到一个黄球的概率为33 m+则325%3m=+解得：m=9即m 的值大约是9故答案为：9【点睛】本题考查了用频率估计概率，大量重复的试验中，频率是一个比较稳定的值，它可以估计事件的概率．15．（3，﹣4）【解析】【分析】反比例函数的图象是中心对称图形，则经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称．【详解】解：∥反比例函数1k y x=的图象与正比例函数y ＝k 2x 的图象的一个交点坐标为（﹣3，4）， ∥另一个交点的坐标是（3，﹣4）．故答案为：（3，﹣4）．【点睛】本题考查反比例函数图象的中心对称性，根据已知得出反比例函数与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称是解题关键．16．121,3x x ==-【解析】【分析】由图像可得到二次函数的对称轴为1x =-，与x 轴的一个交点为（1，0）可求出另一个交点为（-3，0），即可求出方程20ax bx c ++=的解．【详解】解：由图像可得，二次函数2y ax bx c =++的对称轴为1x =-，∥与x 轴的一个交点为（1，0），∥二次函数2y ax bx c =++与x 轴的另一个交点为（-3，0），∥方程20ax bx c ++=的解为121,3x x ==-．故答案为：121,3x x ==-．此题考查了二次函数的图像和性质，解题的关键是根据图像得到二次函数的对称轴，进而求出二次函数与x轴的另一个交点．17．6【解析】【分析】根据题意利用切线的性质以及正方形的判定方法得出四边形OECD是正方形，进而利用勾股定理即可得出答案．【详解】解：连接DO，EO，∥∥O是∥ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，∥OE∥AC，OD∥BC，CD=CE，BD=BF=2，AF=AE=3又∥∥C=90°，∥四边形OECD是矩形，又∥EO=DO，∥矩形OECD是正方形，设EO=x，则EC=CD=x，在Rt∥ABC中BC2+AC2=AB2故（x+2）2+（x+3）2=52，解得：x=1，∥BC=3，AC=4，×3×4=6.∥S△ABC=12故答案为：6．本题主要考查三角形内切圆与内心，根据题意得出四边形OECF 是正方形以及运用方程思维和勾股定理进行分析是解题的关键．18． ()6,6 ()4,2或()1,5##()1,5或()4,2【解析】【分析】（1）观察坐标系即可得点D 坐标；（2）对应点连线段的垂直平分线的交点即为旋转中心．【详解】解：（1）观察图象可知，点D 的坐标为（6，6），故答案为：（6，6）；（2）当点A 与C 对应，点B 与D 对应时，如图：此时旋转中心P 的坐标为（4，2）；当点A 与D 对应，点B 与C 对应时，如图：此时旋转中心P的坐标为（1，5）；故答案为：（4，2）或（1，5）．【点睛】本题考查坐标与图形变化−旋转，解题的关键是理解对应点连线段的垂直平分线的交点即为旋转中心．19．（1）见解析；（2）不公平，理由见解析【解析】【分析】（1）列表即可得出所有等可能结果；（2）从表格中得出所有等可能结果，从中找到点数之和等于3的倍数的结果数和不是3的倍数的结果数，求出两者的概率即可判断．【详解】解：（1）列表得：则共有36种等可能的结果；（2）不公平，理由如下：由表可知共有36种等可能结果，其中两次朝上的点数之和是3的倍数有12种结果，不是3的倍数的有24种结果，∥P （明明获胜）＝1236＝13，P （磊磊获胜）＝2436＝23， ∥13≠23， ∥不公平．【点睛】此题主要考查了游戏的公平性以及概率的求法，主要是通过列举出所有的可能结果是解决问题的关键．20．（1）3k =；（2）4；（3）3x <-或01x <<【解析】【分析】（1）把A 点坐标代入1y x b =+中，即求出b 的值，即可得出一次函数的表达式．再把C (1，m )、D (n ，-1)代入一次函数表达式，即求出C 、D 的坐标，最后把C 点坐标代入2k y x=，求出k 即可； （2）直接利用1122COD AOD AOC D C S S S OA x OA x =+=⋅+⋅△△△，即可求出结果； （3）根据反比例函数图象在一次函数图象上方时，12y y <，再结合点C 、点D 的坐标和图象即可得出结果．【详解】解：（1）∥点(02)A ，在直线1y x b =+上， ∥20b =+，即2b =，∥直线的解析式为12y x =+．∥点()1C m ，和点()1D n -，在直线12y x =+上， ∥123m =+=，12n -=+，解得：3m =，3n =-，∥()13C ，，()31D --，， 又∥()13C ，在反比例函数2k y x=上， ∥31k =， 解得：3k =．（2）∥()02A ，， ∥2OA =， ∥1111232142222COD AOD AOC D C S S S OA x OA x =+=⋅+⋅=⨯⨯+⨯⨯=△△△． （3）要使12y y <，即反比例函数图象在一次函数图象上方即可，即3x <-或01x <<时．【点睛】此题考查用待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式，函数图象上点的坐标特征，函数的图象和性质的应用．利用数形结合的思想是解题的关键．21．（1）详见解析；（2）AC=9，CD=152. 【解析】【分析】（1）根据相似三角形的判定证明即可；（2）利用相似三角形的性质解答即可．【详解】证明：（1）∥∥ABE ＝∥ACB ，∥A ＝∥A ，∥∥ABE ∥∥ACB ；（2）∥∥ABE ∥∥ACB ， ∥AB AE AC AB =， ∥AB 2＝AC •AE ，∥AB ＝6，AE ＝4，∥AC ＝29AB AE=， ∥AB ∥CD ，∥∥CDE ∥∥ABE ， ∥CD CE AB AE=， ∥()••651542AB AC AE AB CE CD AE AE -⨯==== ． 【点睛】此题考查相似三角形的判定和性质，关键是根据相似三角形的判定证明△ABE ∥∥ACB ．22．（1）50︒；（2）【解析】【分析】（1）由题意先根据切线长定理得到P A =PB ，则利用等腰三角形的性质得∥P AB =∥PBA ，再根据切线的性质得90PAC ∠=︒，于是利用互余计算出∥P AB =65°，然后根据三角形内角和定理计算∥P 的度数．（2）根据题意圆的内接四边形的性质得出180∠+∠=︒AMB C ，进而判定PAB △为等边三角形利用其性质结合勾股定理即可求出AP 的长．【详解】解：（1）∥P A 、PB 是O 的切线，AC 是O 的直径，∥PA PB =，OA PA ⊥，∥PAB PBA ∠=∠，90PAC ∠=︒．∥25BAC ∠=︒，∥902565PAB PAC BAC ∠=∠-∠=︒-︒=︒，在PAB △中，180P PAB PBA ∠=-∠-∠︒180218026550PAB =︒-∠=︒-⨯︒=︒． （2）∥四边形ACBM 内接于O ，∥180∠+∠=︒AMB C ，又∥AMB AOB ∠=∠，2AOB C ∠=∠，∥2180AMB C C C ∠+∠=∠+∠=︒，∥60C ∠=°，∥AC 为O 的直径，∥90ABC ∠=︒，30BAC ∠=︒，∥903060PAB PAC BAC ∠=∠-∠=︒-︒=︒．又∥PA PB =，∥PAB △为等边三角形，∥AP AB =，在Rt ABC △中，90ABC ∠=︒，30BAC ∠=︒，2BC =，∥24AC BC ==，则AB∥AP AB ==【点睛】本题考查切线长定理和切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．23．（1）14x <<；（2）20；（3）2；（4）324S <<【解析】【分析】（1）根据每条边都大于零列不等式组求解；（2）根据矩形的周长公式列式计算；（3）根据矩形面积公式列方程解答；（4）列函数解析式，结合函数的性质及自变量的取值范围14x <<解答．【详解】解：（1）由题意得330200820x x x x ->⎧⎪+>⎪⎨>⎪⎪->⎩，解得14x <<， 故答案为：14x <<；（2）矩形BCFE 的周长2（BC+CF ）=2（8-2x +x +x +2）=20，故答案为：20；（3）矩形ABCD 的面积=(82)(233)42BC CD x x x x ⋅=-+++-=， 解得12252,4x x ==（舍去），故答案为：2；（4）由题意得()()22221111S CH CF x x x x x =⋅=⋅+=++-=+-，∥10>，∥当14x <<时，S 随x 的增大而增大，∥()()22111411S +-<<+-，∥324S <<．【点睛】此题考查了列不等式组解决实际问题，列代数式及解一元二次方程，二次函数的性质，综合掌握各知识点并应用解决问题是解题的关键．24．（1）；（2）65°；（3【解析】【分析】（1）利用勾股定理，即可求解；（2）根据旋转的性质，可得∥D =∥OAB =45°，∥ABD =20°，即可求解；（3）连接AD ，OC ，设AB 与OD 交于点M ，根据旋转的性质，可得∥ABD 是等边三角形，从而得到AD BD AB ===，然后设D （x ，y ），可得x =y ，从而得到∥AOD =45°，进而得到AB ∥OD ，从而12OM AB =，再由勾股定理，可求出DM ，即可求解． 【详解】解：（1）∥A （3，0），B （0，3），∥OA =OB =3，在Rt AOB 中，由勾股定理得：AB = ；（2）∥OA =OB ，∥AOB =90°，∥∥OAB =∥ABO =45°，∥将Rt ∥AOB 绕点B 逆时针方向旋转α得到Rt ∥DCB ，α＝20°，∥∥D =∥OAB =45°，∥ABD =20°，∥∥BFC =∥D +∥ABD =45°+20°=65°；（3）如图，过点D 作DN ∥x 轴于点N ，连接AD ，OC ，设AB 与OD 交于点M ，∥将Rt ∥AOB 绕点B 逆时针方向旋转60°得到Rt ∥DCB ，∥∥OBC =∥ABD =60°，AB =BD ，BC =OB ，∥∥ABD 是等边三角形，∥AD BD AB ===，设D （x ，y ），∥()2223AD x y =-+ ，()2223BD x y =+- ，∥()()222233x y x y +-=-+，解得：x =y ，∥D （x ，x ），∥DN ON = ，∥∥AOD =45°，∥∥OAB =45°，∥∥AMO =90°，即AB ∥OD ，∥OA =OB ，∥AM =BM =12AB =，∥1122OM AB ==⨯， 在Rt ADM △ 中，由勾股定理得：DM ==，∥OD OM DM =+== ． 【点睛】 本题主要考查了图形的变换——旋转，等边三角形的性质和判定，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握旋转的性质，等边三角形的性质和判定定理，等腰三角形的判定和性质定理是解题的关键．25．（1）b =2，c =3；（2）t =2，最小值为4；（3） 【解析】【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）过点P 作PE ∥x 轴，垂足为E ，利用S 四边形BCPQ =S △ABC -S △APQ 表示出四边形BCPQ 的面积，求出t 的范围，利用二次函数的性质求出最值即可；（3）画出图形，过点P 作x 轴的垂线，交x 轴于E ，过M 作y 轴的垂线，与EP 交于F ，证明∥PFM ∥∥QEP ，得到MF =PE =t ，PF =QE =4-2t ，得到点M 的坐标，再代入二次函数表达式，求出t 值，即可算出M 的坐标．【详解】解：（1）∥抛物线y =-x 2+bx +c 经过点A （3，0），B （-1，0）， 则09301b c b c=-++⎧⎨=--+⎩， 解得：23b c =⎧⎨=⎩； （2）由（1）得：抛物线表达式为y =-x 2+2x +3，C （0，3），A （3，0），∥∥OAC 是等腰直角三角形，由点P 的运动可知：AP，过点P 作PE ∥x 轴，垂足为E ，∥AE =PE t ，即E （3-t ，0），又Q （-1+t ，0），∥S 四边形BCPQ =S △ABC -S △APQ =()11433122t t ⨯⨯-⨯--+⎡⎤⎣⎦ =21262t t -+∥当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，AC=AB =4，∥0≤t ≤3，∥当t =2122--⨯=2时，四边形BCPQ 的面积最小，即为2122262⨯-⨯+=4；（3）∥点M 是线段AC 上方的抛物线上的点，如图，过点P 作x 轴的垂线，交x 轴于E ，过M 作y 轴的垂线，与EP 交于F ， ∥∥PMQ 是等腰直角三角形，PM =PQ ，∥MPQ =90°，∥∥MPF +∥QPE =90°，又∥MPF +∥PMF =90°，∥∥PMF =∥QPE ，在∥PFM 和∥QEP 中，F QEP PMF QPE PM PQ ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∥∥PFM ∥∥QEP （AAS ），∥MF =PE =t ，PF =QE =4-2t ，∥EF =4-2t +t =4-t ，又OE =3-t ，∥点M 的坐标为（3-2t ，4-t ），∥点M 在抛物线y =-x 2+2x +3上，∥4-t =-（3-2t ）2+2（3-2t ）+3，解得：t（舍）， ∥M．【点睛】本题考查了二次函数综合，涉及到全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，三角形面积，用方程的思想解决问题是解本题的关键．。
2021-2022学年天津市北辰区九年级(上)期末数学试卷及答案解析
2021-2022学年天津市北辰区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．（3分）下列图形中，不是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．（3分）将抛物线y＝2x2向上平移3个单位长度后，得到的新抛物线解析式为（）A．y＝2（x﹣3）2B．y＝2（x+3）2C．y＝2x2﹣3D．y＝2x2+3 3．（3分）下列事件为必然事件的是（）A．口袋中装有2个红球和1个白球，从中摸出2个球，其中必有红球B．明天会下雪C．打开电视机，CCTV第一套节目正在播放新闻D．购买一张彩票中奖一百万元4．（3分）抛物线y＝﹣5（x﹣1）2+2的顶点坐标为（）A．（﹣1，2）B．（1，﹣2）C．（1，2）D．（2，1）5．（3分）如图，A、B、C为⊙O上的三个点，∠AOB＝60°，则∠C的度数为（）A．15°B．30°C．45°D．60°6．（3分）如图，小球从A口往下落，在每个交叉口都有向左或向右两种可能，且可能性相同，则小球最终从E口落出的概率为（）A．B．C．D．7．（3分）关于x的一元二次方程kx2+2x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（）A．k＞﹣1B．k＜﹣1C．k＞﹣1且k≠0D．k≥﹣1且k≠0 8．（3分）某校九年级组织一次篮球赛，各班均组队参赛，每两班之间都进行两场比赛，共需比赛12场，则九年级班级的个数为（）A．6B．5C．4D．39．（3分）如图，平面直角坐标系xOy中有4条曲线分别标注着①，②，③，④，是双曲线y＝﹣的一个分支的为（）A．①B．②C．③D．④10．（3分）关于反比例函数的图象性质，下列说法不正确．．．的是（）A．图象经过点（1，3）B．图象分别位于第一、三象限C．图象关于原点对称D．当x＜0时，y随x的增大而增大11．（3分）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转65°得到△ADE，若∠E＝70°且AD⊥BC 于点F，则∠BAC＝（）A．80°B．85°C．90°D．95°12．（3分）已知：抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），其部分图象如图所示，下列结论：①abc＞0；②b2﹣4ac＞0；③a﹣b+c＝0；④方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根是x1＝﹣1，x2＝3；⑤8a+c＜0．其中正确的结论有（）A．4个B．3个C．2个D．1个二、填空题（本大题共6道小题，每题3分，共18分）13．（3分）已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+k﹣2＝0的一个根是﹣1，则k＝．14．（3分）一个不透明的口袋中装有7个红球，4个黄球，这些球除了颜色外无其他差别．从袋中随机摸取一个小球，它是红球的概率．15．（3分）在函数y＝的图象上有三点（﹣3，y1）、（﹣2，y2）、（1，y3），则函数值y1、y2、y3的大小关系为．16．（3分）如图，在拧开一个边长为a的正六角形螺帽时，扳手张开的开口b＝40mm，则边长a为mm．17．（3分）某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为x轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线是抛物线y＝﹣x2+4x（单位：米）的一部分．则水喷出的最大高度是米．18．（3分）如图，C为线段AB的中点，D为AB垂直平分线上一点，连接BD，将BD绕点D顺时针旋转60°得到线段DE，连接AE，若，AE＝6，则CD的长为．三、解答题（本大题共7道小题，共66分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）19．（8分）如图，反比例函数的图象经过点（﹣2，4）和点A（a，﹣2）．（Ⅰ）求该反比例函数的解析式和a的值．（Ⅱ）若点C（x，y）也在反比例函数的图象上，当2＜x＜8时，求函数y 的取值范围．20．（8分）已知如图，在⊙O中，AB为直径，AB⊥CD，∠A＝22.5°，OD＝4．（Ⅰ）求∠ODC的度数．（Ⅱ）求CD的长．21．（10分）（Ⅰ）用适当的方法解下列方程：（1）4（x﹣1）2＝9；（2）2x2﹣3x﹣1＝0．（Ⅱ）如图，在一块长13m，宽7m的矩形空地上，修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路分别与矩形的一条边平行），剩余部分栽种花草，若栽种花草的面积是72m2，则道路的宽应设计为多少m？22．（10分）已知二次函数y＝﹣x2+2x+3（Ⅰ）填写表中空格处的数值x…﹣112…y＝﹣x2+2x+3…30…（Ⅱ）根据上表，画出这个二次函数的图象；（Ⅲ）根据表格、图象，当0＜x＜4时，y的取值范围是．23．（10分）四边形ABCD内接于⊙O，AC为其中一条对角线．（Ⅰ）如图①，若∠BAD＝70°，BC＝CD，求∠CAD的度数；（Ⅱ）如图②，若AD经过圆心O，CE为⊙O的切线，B为的中点，∠DCE＝40°，求∠BCE的大小．24．（10分）在平面直角坐标系中，已知点A（2，0），点O（0，0），点B在y轴正半轴上，且∠BAO＝60°．（Ⅰ）如图1，△AOB绕着点O顺时针旋转，得△A'OB'，点A、B旋转后的对应点分别为A'、B'，记旋转角为α．A'B'恰好经过点A时；①求此时旋转角α的度数；②求出此时点B'的坐标．（Ⅱ）如图2，若0°＜α＜90°，设直线AA'和直线BB'交于点P，猜测AA'与BB'的位置关系，并说明理由．（Ⅲ）若0°＜α＜360°，求（Ⅱ）中的点P纵坐标的最小值（直接写出结果）．25．（10分）已知抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）交x轴交于A（﹣1，0）和点B（3，0），交y轴于点C．（Ⅰ）求抛物线的解析式；（Ⅱ）如图1，点D是直线BC上一点，过点D作DE∥y轴，交抛物线于点E（点E在点D的上方），再过点E作EF∥x轴，交直线BC于点F．当△DEF的面积取最大值时，求点E的坐标；（Ⅲ）如图2，点M为抛物线对称轴l上的一点，点N为抛物线上的一点，当直线BC 垂直平分MN时，求出点N的坐标．2021-2022学年天津市北辰区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，根据中心对称图形的概念求解．【解答】解：选项A不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，选项B、C、D均能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，故选：A．【点评】本题主要考查了中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．2．【分析】直接根据“上加下减”的原则进行解答．【解答】解：将抛物线y＝2x2向上平移3个单位长度后，得到的新抛物线解析式为y＝2x2+3．故选：D．【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．3．【分析】直接利用随机事件以及必然事件的定义分析得出答案．【解答】解：A．口袋中装有2个红球和1个白球，从中摸出2个球，其中必有红球，是必然事件，选项符合题意；B．明天会下雪，是随机事件，选项不符合题意；C．打开电视机，CCTV第一套节目正在播放新闻，是随机事件，选项不符合题意；D．购买一张彩票中奖一百万元，是随机事件，选项不符合题意；故选：A．【点评】此题主要考查了随机事件以及必然事件的定义，正确掌握相关定义是解题关键．4．【分析】根据二次函数顶点式的表达式，可直接写出顶点坐标．【解答】解：∵y＝﹣5（x﹣1）2+2，∴此函数的顶点坐标是（1，2）．故选：C．【点评】此题主要考查了二次函数的性质，二次函数顶点式y＝a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k），对称轴是直线x＝h．5．【分析】直接利用圆周角定理求解．【解答】解：∵∠AOB和∠C都对，∴∠C＝∠AOB＝×60°＝30°．故选：B．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．6．【分析】根据“在每个交叉口都有向左或向右两种可能，且可能性相等”可知在点B、C、D处都是等可能情况，从而得到在四个出口E、F、G、H也都是等可能情况，然后根据概率的意义列式即可得解．【解答】解：由图可知，在每个交叉口都有向左或向右两种可能，且可能性相等，小球最终落出的点共有E、F、G、H四个，所以，最终从点E落出的概率为．故选：B．【点评】本题考查了列表法与树状图法，读懂题目信息，得出所给的图形的对称性以及可能性相等是解题的关键，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．7．【分析】利用一元二次方程的定义和判别式的意义得到k≠0且Δ＝（2k﹣1）2﹣4k•（k﹣2）＞0，然后求出两个不等式的公共部分即可．【解答】解：根据题意得k≠0且Δ＝22﹣4•k×（﹣1）＞0，解得k＞﹣1且k≠0．故选：C．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac 有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．8．【分析】设九年级共有x个班，利用比赛的总场数＝九年级班级数×（九年级班级数﹣1），即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【解答】解：设九年级有x个班，依题意得：x（x﹣1）＝12，整理得：x2﹣x﹣12＝0，解得：x1＝4，x2＝﹣3（不符合题意，舍去），∴九年级共有4个班．故选：C．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．9．【分析】由k＜0排除③④，由①经过（﹣2，3），②经过（﹣1，3），即可得双曲线y＝﹣的一个分支的是①．【解答】解：∵双曲线y＝﹣中，k＜0，∴双曲线y＝﹣的分支在第二、四象限，可排除③④；由图可知，①经过（﹣2，3），②经过（﹣1，3），而3＝﹣，故为双曲线y＝﹣的一个分支的是①，故选：A．【点评】本题考查反比例函数图象，掌握反比例函数图象上点坐标特征是解题的关键．10．【分析】根据反比例函数的性质即可逐一分析找出正确选项．【解答】解：A．当x＝1时，y＝＝3，所以图象经过点（1，3），说法正确，不合题意；B．k＝3＞0，则图象位于第一、三象限，故说法正确，不合题意；C．反比例函数的图象关于原点成中心对称，故说法正确，不合题意；D．k＝3＞0，则图象在第一、三象限内，y随x的增大而减小，所以当x＜0时，y随x 的增大而减小，故说法错误，符合题意；故选：D．【点评】本题考查反比例函数的性质，准确理解反比例函数的性质是解题关键，可结合图象更易于分析．11．【分析】由旋转的性质可得∠BAD＝65°，∠E＝∠ACB＝70°，由直角三角形的性质可得∠DAC＝20°，即可求解．【解答】解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转65°得△ADE，∴∠BAD＝65°，∠E＝∠ACB＝70°，∵AD⊥BC，∴∠DAC＝20°，∴∠BAC＝∠BAD+∠DAC＝85°．故选：B．【点评】本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，掌握旋转的性质是本题的关键．12．【分析】根据抛物线开口方向，对称轴，与y轴的交点坐标即可判断a，b，c的值，即可判断①；根据抛物线与x轴的交点个数，即可判断②；把（﹣1，0）代入y＝ax2+bx+c 中，进行计算即可判断③；根据对称轴求出抛物线与x轴的另一个交点坐标，即可判断④；根据抛物线的对称轴可得b＝﹣2a，再根据当x＝﹣2时，y＜0，进行计算即可判断⑤．【解答】解：∵抛物线开口方向向下，∴a＜0，∵抛物线的对称轴在y轴的右侧，∴a，b异号，∴b＞0，∵抛物线与y轴的交点在正半轴，∴c＞0，∴abc＜0，故①不正确；∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，故②正确；把（﹣1，0）代入y＝ax2+bx+c中得：a﹣b+c＝0，故③正确；∵抛物线的对称轴为直线x＝1，∴点（﹣1，0）关于直线x＝1的对称点的坐标为（3，0），∴方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根是x1＝﹣1，x2＝3，故④正确；∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，∴b＝﹣2a，当x＝﹣2时，y＜0，即4a﹣2b+c＜0，∴4a+4a+c＜0，∴8a+c＜0，故⑤正确；所以，上列结论中正确的有4个，故选：A．【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，根与系数的关系，抛物线与x轴的交点，熟练掌握二次函数图象与系数的关系是解题的关键．二、填空题（本大题共6道小题，每题3分，共18分）13．【分析】将x＝﹣1代入题目中的方程，即可求得k的值，本题得以解决．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣3x+k﹣2＝0有一个根为﹣1，∴（﹣1）2﹣3×（﹣1）+k﹣2＝0，解得，k＝﹣2，故答案是：﹣2．【点评】本题考查一元二次方程的解，解答本题的关键是明确一元二次方程的解得含义．14．【分析】由一个不透明的口袋中装有3个红球和12个黄球，直接利用概率公式求解即可求得答案．【解答】解：∵一个不透明的口袋中装有7个红球，4个黄球，这些球除了颜色外无其他差别，∴从中随机摸出一个小球，恰好是红球的概率为：＝．故答案为：．【点评】此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．15．【分析】分别计算自变量为﹣3、﹣2、1代入的函数值，然后比较函数值的大小即可．【解答】解：当x＝﹣3时，y1＝＝﹣；当x＝﹣2时，y2＝＝﹣1；当x＝1时，y3＝＝2，所以y2＜y1＜y3．故答案为y2＜y1＜y3．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y＝（k为常数，k ≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k．16．【分析】如图，连接OC、OD，过O作OH⊥CD于H．解直角三角形求出CD即可．【解答】解：如图，连接OC、OD，过O作OH⊥CD于H．∵∠COD＝＝60°，OC＝OD，∴△COD是等边三角形，∴∠COH＝90°﹣60°＝30°，∵OH⊥CD，∴CH＝DH＝CD，OH＝b＝20（mm），∴CH＝20×tan30°＝（mm），∴a＝2CH＝（mm），故答案为：．【点评】本题考查了正多边形和圆的知识，构造一个由半径、半边、边心距组成的直角三角形是解题的关键．17．【分析】根据题意可以得到喷水的最大高度就是水在空中划出的抛物线y＝﹣x2+4x的顶点坐标的纵坐标，利用配方法或公式法求得其顶点坐标的纵坐标即为本题的答案．【解答】解：∵水在空中划出的曲线是抛物线y＝﹣x2+4x，∴喷水的最大高度就是水在空中划出的抛物线y＝﹣x2+4x的顶点坐标的纵坐标，∴y＝﹣x2+4x＝﹣（x﹣2）2+4，∴顶点坐标为：（2，4），∴喷水的最大高度为4米，故答案为：4．【点评】本题考查了二次函数的应用，解决此类问题的关键是从实际问题中整理出函数模型，利用函数的知识解决实际问题．18．【分析】连接AD，过D作DF⊥AE于F，延长BA交DF的延长线于H，根据线段垂直平分线的性质得到BD＝AD，AC＝AB＝，求得∠ADC＝∠ADB，根据旋转的性质得到DE＝AD，根据等腰三角形的性质得到∠ADF＝∠ADE，AF＝AE＝3，解直角三角形即可得到答案．【解答】解：连接AD，过D作DF⊥AE于F，延长BA交DF的延长线于H，∵D为AB垂直平分线上一点，AB＝2，∴BD＝AD，AC＝AB＝，∴∠ADC＝ADB，∵将BD绕点D顺时针旋转60°得到线段DE，∴DE＝BD，∴DE＝AD，∴∠ADF＝∠ADE，AF＝AE＝3，∴∠HDC＝∠ADF+∠ADC＝∠BDE＝30°，∵∠HCD＝∠AFH＝90°，∴∠H＝60°，∴∠CDH＝30°，AH＝2，∴CH＝AH+AC＝2+，∴CD＝CH＝9，故答案为：9．【点评】本题考查了旋转的性质，解直角三角形，等腰三角形的性质直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．三、解答题（本大题共7道小题，共66分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）19．【分析】（Ⅰ）待定系数法求反比例函数解析式，把点A的坐标代入解析式即可求出a；（Ⅱ）分别求出x＝2和x＝8时对应的y值，再利用反比例函数的增减性即可求解．【解答】解：（Ⅰ）将点（﹣2，4）代入y＝（k≠0），得：k＝﹣2×4＝﹣8，∴反比例函数解析式为：y＝﹣，把点A（a，﹣2）代入y＝﹣得﹣＝﹣2，∴a＝4，A（4，﹣2）；（Ⅱ）∵点C（x，y）也在反比例函数的图象上，∴当x＝2时，y＝﹣4；当x＝8时，y＝﹣1，∵k＝﹣8＜0，∴当x＞0 时，y随x值增大而增大，∴当2＜x＜8 时，﹣4＜y＜﹣1．【点评】本题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数的性质，反比例函数图形上点的坐标特征，由待定系数法求出反比例函数解析式是解决问题的关键．20．【分析】（Ⅰ）先利用圆周角定理得到∠BOD＝45°，然后利用互余计算出∠ODC的度数；（Ⅱ）先根据垂径定理得到CE＝DE，然后利用等腰直角三角形的性质求出DE，从而得到CD的长．【解答】解：（Ⅰ）∵AB⊥CD，∴∠OED＝90°，∵∠BOD＝2∠A＝2×22.5°＝45°，∴∠ODC＝45°；（Ⅱ）∵AB⊥CD，∴CE＝DE，∵△ODE为等腰直角三角形，∴DE＝OD＝2，∴CD＝2DE＝4．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了垂径定理和勾股定理．21．【分析】（Ⅰ）（1）利用配方方解一元二次方程，即可求出方程的解；（2）利用公式法解一元二次方程，即可求出方程的解；（Ⅱ）设道路的宽应设计为xm，则栽种花草的部分可合成长为（13﹣x）m，宽为（7﹣x）m的矩形，根据栽种花草的面积是72m2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．【解答】解：（Ⅰ）（1）∵4（x﹣1）2＝9，∴（x﹣1）2＝，∴x﹣1＝±，∴x﹣1＝﹣或x﹣1＝，∴x1＝﹣，x2＝．（2）∵2x2﹣3x﹣1＝0，∴a＝2，b＝﹣3，c＝﹣1，∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×2×（﹣1）＝17，∴x＝，∴x1＝，x2＝．（Ⅱ）设道路的宽应设计为xm，则栽种花草的部分可合成长为（13﹣x）m，宽为（7﹣x）m的矩形，依题意得：（13﹣x）（7﹣x）＝72，整理得：x2﹣20x+19＝0，解得：x1＝1，x2＝19（不符合题意，舍去）．答：道路的宽应设计为1m．【点评】本题考查了一元二次方程的应用、直接开平方法解一元二次方程以及公式法解一元二次方程，解题的关键是：（Ⅰ）熟练掌握一元二次方程的各种解法；（Ⅱ）找准等量关系，正确列出一元二次方程．22．【分析】（Ⅰ）根据所给表格填出x的值，再求y的值；（Ⅱ）描点，连线即可；（Ⅲ）根据表格、图象，即可看出y的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）x…﹣10123…y＝﹣x2+2x+3…03430…（Ⅱ）根据上表，画出这个二次函数的图象：（Ⅲ）根据表格、图象，当0＜x＜4时，y的取值范围是﹣5＜y≤4．故答案为：﹣5＜y≤4．【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握数形结合的应用．23．【分析】（Ⅰ）由BC＝CD得出∠CAD＝∠BAC，即可求出答案；（Ⅱ）先利用CE是⊙O的切线，求出∠OCD，进而求出∠AOC，再利用等弧所对的圆心角求出∠BOC，进而求出∠OBC，即可求出答案．【解答】解：（Ⅰ）∵BC＝CD，∠BAD＝70°，∴∠CAD＝∠BAC＝∠BAD＝35°；（Ⅱ）连接OC，OB，∵CE是⊙O的切线，∵∠DCE＝40°，∴∠OCD＝90°﹣∠DCE＝50°，∵OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC＝50°，∴∠AOC＝∠OCD+∠ODC＝100°，∵点B是的中点，∴∠AOB＝∠BOC＝50°，∵OB＝OC，∴∠OCB＝（180°﹣∠BOC）＝65°，∴∠BCE＝∠OCB+∠OCE＝90°+65°＝155°．【点评】此题主要考查了圆的有关性质，切线的性质，作出恰当的辅助线是解本题的关键．24．【分析】（Ⅰ）①由旋转确定△AOA'是等边三角形，即可求解；②过点B'作B'G⊥x轴交于点G，根据直角三角形的性质求出B'G＝，OG＝3，即可求B'的坐标；（Ⅱ）根据旋转的性质求出∠BAP＝30°+α，∠ABP＝60°﹣α，即可求∠PBA+∠P AB ＝90°，则AA'⊥BB'；（Ⅲ）由（Ⅱ）可知∠APB＝90°，P在以AB中点M为圆心，AB为半径的圆上，连接OM，过点M作MN⊥x轴交于点N，求出MN＝，即可求P点坐标轴的最小值为﹣2．【解答】解：（Ⅰ）①由旋转可知OA＝OA'，∵∠A'＝∠OAB＝60°，∴△AOA'是等边三角形，∴∠AOA'＝60°，∴旋转角α＝60°；②过点B'作B'G⊥x轴交于点G，∵∠B'OA'＝90°，∠AOA'＝60°，∵A（2，0），∴AO＝2，∴AB＝4，∴B'G＝，OG＝3，∴B'（3，）；（Ⅱ）∵∠AOA'＝α，AO＝A'O，∴∠OAA'＝90°﹣α，∴∠BAP＝180°﹣60°﹣（90°﹣α）＝30°+α，∵∠BOB'＝α，OB＝B'O，∴∠OBB'＝90°﹣α，∴∠ABP＝90°﹣α﹣30°＝60°﹣α，∴∠PBA+∠P AB＝30°+α+60°﹣α＝90°，∴∠APB＝90°，∴AA'⊥BB'；（Ⅲ）由（Ⅱ）可知∠APB＝90°，∴P在以AB中点M为圆心，AB为半径的圆上，连接OM，过点M作MN⊥x轴交于点N，∵AB＝4，∴OM＝2，∵OA＝2，∴ON＝1，∴MN＝，∴P点坐标轴的最小值为﹣2．【点评】本题考查坐标与图形变换，熟练掌握直角三角形的性质，旋转的性质，等边三角形的性质，圆的性质是解题的关键．25．【分析】（Ⅰ）用待定系数法求函数的解析式即可；（Ⅱ）由题意先确定△DEF是等腰直角三角形，设E（t，﹣t2+2t+3），则D（t，﹣t+3），可得DE＝﹣t2+3t＝﹣（t﹣）2+，当DE最大时，△DEF的面积就最大，又由当t＝时，DE有最大值，可求此时E（，）；（Ⅲ）设M（1，m），直线BC与对称轴的交点为H（1，2），由题意可得△GHM是等腰直角三角形，求出G（2﹣，1+），再由G点是MN的中点，可求N（3﹣m，2），将N点坐标代入抛物线解析式即可求m的值，由此可求N点坐标．【解答】解：（Ⅰ）将A（﹣1，0）、B（3，0）代入y＝ax2+bx+3，∴，解得，∴y＝﹣x2+2x+3；（Ⅱ）令x＝0，则y＝3，∴C（0，3），设直线BC的解析式为y＝kx+b，∴，解得，∴y＝﹣x+3，∵OB＝OC＝3，∴∠OBC＝45°，∵EF∥x轴，∴∠EFD＝45°，∵DE∥y轴，∴∠FED＝90°，∴△DEF是等腰直角三角形，设E（t，﹣t2+2t+3），则D（t，﹣t+3），∴DE＝﹣t2+3t＝﹣（t﹣）2+，当t＝时，DE有最大值，∵S△DEF＝×DE2＝＝，∴△DEF的面积取最大值为，此时E（，）；（Ⅲ）∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴抛物线的对称轴为直线x＝1，设M（1，m），直线BC与对称轴的交点为H（1，2），∴MH＝m﹣2，∵∠GHB＝∠OBC＝45°，∴△GHM是等腰直角三角形，∴G（2﹣，1+），∵直线BC垂直平分MN，∴G点是MN的中点，∴N（3﹣m，2），∴2＝﹣（3﹣m）2+2（3﹣m）+3，解得m＝2+或m＝2﹣，∴N（1﹣，2）或（1+，2）．【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，等腰直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质是解题的关键．。
2020—2021学年天津市和平区九年级上期末数学试卷及答案
2020—2021学年天津市和平区九年级上期末数学试卷及答案一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）1．一元二次方程x2﹣2x=0的根是（）A．x1=0，x2=﹣2 B．x1=1，x2=2 C．x1=1，x2=﹣2 D．x1=0，x2=22．在一个不透亮的布袋中，红色、黑色、白色的乒乓球共有20个，除颜色外，形状、大小、质地等完全相同．小明通过多次摸球实验后发觉其中投到红色、黑色球的频率稳固在5%和15%，则口袋中白色球的个数专门可能是（）A．3个B．4个C．10个D．16个3．下列说法错误的是（）A．二次函数y=3x2中，当x＞0时，y随x的增大而增大B．二次函数y=﹣6x2中，当x=0时，y有最大值0C．抛物线y=ax2（a≠0）中，a越大图象开口越小，a越小图象开口越大D．不论a是正数依旧负数，抛物线y=ax2（a≠0）的顶点一定是坐标原点4．下列命题中，是真命题的为（）A．锐角三角形都相似 B．直角三角形都相似C．等腰三角形都相似 D．等边三角形都相似5．某公司10月份的利润为320万元，要使12月份的利润达到500万元，则平均每月增长的百分率是（）A．30% B．25% C．20% D．15%6．在一个不透亮的袋子中装有4个除颜色外完全相同的小球，其中白球1个，黄球1个，红球2个，摸出一个球不放回，再摸出一个球，两次都摸到红球的概率是（）A．B．C．D．7．圆锥的地面半径为10cm．它的展开图扇形半径为30cm，则那个扇形圆心角的度数是（）A．60°B．90°C．120°D．150°8．在平面直角坐标系中，以点（2，3）为圆心，2为半径的圆必定（）A．与x轴相离，与y轴相切B．与x轴，y轴都相离C．与x轴相切，与y轴相离D．与x轴，y轴都相切9．若二次函数y=x2+bx的图象的对称轴是通过点（2，0）且平行于y轴的直线，则关于x 的方程x2+bx=5的解为（）A．x1=0，x2=4 B．x1=1，x2=5 C．x1=1，x2=﹣5 D．x1=﹣1，x2=510．如图，AC是矩形ABCD的对角线，E是边BC延长线上一点，AE与CD相交于F，则图中的相似三角形共有（）A．2对B．3对C．4对D．5对11．将△ACE绕点C旋转一定的角度后使点A落在点B处，点E在落在点D处，且B、C、E在同一直线上，AC、BD交于点F，CD、AE交于点G，AE、BD交于点H，连接AB、DE．则下列结论错误的是（）A．∠DHE=∠ACB B．△ABH∽△GDH C．DHG∽△ECG D．△ABC∽△DEC 12．抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）通过点（﹣1，0）和（m，0），且1＜m＜2，当x＜﹣1时，y随着x的增大而减小．下列结论①a+b＞0；②若点A（﹣3，y1），点B（﹣3，y2）都在抛物线上，则y1＜y2；③a（m﹣1）+b=0；④若c≤﹣1，则b2﹣4ac ≤4a．其中正确结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）13．二次函数y=x2+1的最小值是．14．已知正六边形的半径是2，则那个正六边形的边长是．15．如图，点D是等边△ABC内的一点，假如△ABD绕点A逆时针旋转后能与△ACE重合，那么旋转了度．16．有两把不同的锁和三把钥匙，其中两把钥匙分别能打开其中一把锁，第三把钥匙不能打开这两把锁，任意取出一把钥匙去开任意的一把锁，一次打开锁的概率为．17．如图，点M、N分别是等边三角形ABC中AB，AC边上的点，点A关于MN的对称点落在BC边上的点D处．若=，则的值．18．定义：长宽比为：1（n为正整数）的矩形称为矩形．下面，我们通过折叠的方式折出一个矩形，如图①所示操作1：将正方形ABCD沿过点B的直线折叠，使折叠后的点C落在对角线BD上的点G 处，折痕为BH．操作2：将AD沿过点G的直线折叠，使点A，点D分别落在边AB，CD上，折痕为EF．能够证明四边形BCEF为矩形．（Ⅰ）在图①中，的值为；（Ⅱ）已知四边形BCEF为矩形，仿照上述操作，得到四边形BCMN，如图②，能够证明四边形BCMN为矩形，则n的值是．三、解答题（共7小题，满分66分）19．已知y是x的反比例函数，同时当x=2时，y=6（1）求y关于x的解析式；（2）当x=4时，y的值为该函数的图象位于第象限在图象的每一支上，y随x 的增大而．20．（1）解方程：x2﹣2x+1=25（2）利用判别式判定方程3x2+10=2x2+8x的根的情形．21．已知，AG是⊙O的切线，切点为A，AB是⊙O的弦，过点B作BC∥AG交⊙O于点C，连接AO并延长交BC于点M（Ⅰ）如图1，若BC=10，求BM的长；（Ⅱ）如图2，连接AC，过点C作CD∥AB∠AG于点D，AM的延长线交过点C的直线于点P，且∠BCP=∠ACD．求证：PC是⊙O的切线．22．如图，AB是⊙O的直径，点D是⊙O上一点，点C是弧AD的中点，连接AC、BD、AD、BC交于点Q．（1）若∠DAB=40°，求∠CAD的大小；（2）若CA=10，CB=16，求CQ的长．23．如图所示，一拱桥的截面呈抛物线形状，抛物线两端点与水面的距离差不多上1m，拱桥的跨度为10m，拱桥与水面的最大距离是5m，桥洞两侧壁上各有一盏距离水面4m景观灯．（1）求抛物线的解析式；（2）求两盏景观灯之间的水平距离．24．已知，△ABC中，AB=AC，点E是边AC上一点，过点E作EF∥BC交AB于点F （1）如图①，求证：AE=AF；（2）如图②，将△AEF绕点A逆时针旋转α（0°＜α＜144°）得到△AE′F′．连接CE′BF′．①若BF′=6，求CE′的长；②若∠EBC=∠BAC=36°，在图②的旋转过程中，当CE′∥AB时，直截了当写出旋转角α的大小．25．已知抛物线y=x2+x﹣2（1）求抛物线与x轴的交点坐标；（2）将抛物线y=x2+x﹣2沿y轴向上平移，平移后与直线y=x+2的一个交点为点P，与y 轴相交于点Q，当PQ∥x轴时，求抛物线平移了几个单位；（3）将抛物线y=x2+x﹣2在x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，图象的起步部分保持不变，翻折后的图象与原图象在x轴上方的部分组成一个“W”形状的新图象，若直线y=x+b 与该新图象恰好有三个公共点，求b的值．2020-2021学年天津市和平区九年级（上）期末数学试卷参考答案一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）1．D ；2．D ；3．C ；4．D ；5．B ；6．C ；7．C ；8．A ；9．D ；10．C ；11．B ；12．B ；二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）13．1；14．2；15．60；16．；17．；18．；3；三、解答题（共7小题，满分66分）19．一；减小；20.（1）（x-1）2=25 ；开平方x-1=±5；x=6或x=-4。
2021-2022学年天津市滨海新区九年级上学期数学期末试卷及答案
2021-2022学年天津市滨海新区九年级上学期数学期末试卷及答案第Ⅰ卷（选择题共36分）一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 一元二次方程化成一般形式后，它的二次项系数和一次项系数分别是2514x x -=（ ） A. B. 54-，45-，C. D.51-，1-4，【答案】A 【解析】【分析】先将原方程化为一般形式，进而作答即可．【详解】一元二次方程化成一般形式为：2514x x -=25410x x --=它的二次项系数和一次项系数分别是5，-4∴故选：A ．【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式，即一元二次方程的一般形式是：(a ，b ，c 是常数且a ≠ 0)特别要注意a≠ 0的条件，这是在做题过程20ax bx c ++=中容易忽视的知识点，在一般形式中 叫二次项， 叫一次项，c 是常数项，其中a ，2ax bx b ，c 分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 2. 抛物线的开口方向、对称轴分别是（ ） 213y x =A. 向上，轴B. 向上，轴 x yC. 向下，轴D. 向下，轴x y 【答案】B 【解析】【分析】利用二次函数的性质即可得到答案．()20y ax a =≠【详解】解： ， 13a =抛物线开口向上，∴对称轴为 ，对称轴为轴． ∴02bx a=-=y 故选：B ．【点睛】本题主要考查二次函数物线开口向上，，抛物线开口向下，()20y ax a =≠0a <对称轴为，掌握二次函数的性质是解题的关键． 2bx a=-3. 下列语句描述的事件为随机事件的是（ ） A. 通常加热到时，水沸腾 B. 经过有交通信号灯的路口，遇到红100C ︒灯C. 任意画一个三角形，其内角和是D. 从三张扑克牌J ，Q ，K 中取出一张360︒是A 【答案】B 【解析】【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可．【详解】解：A. 通常加热到时，水沸腾是必然事件，不符合题意； 100C ︒B. 经过有交通信号灯的路口，遇到红灯是随机事件，符合题意； C. 任意画一个三角形，其内角和是是不可能事件，不符合题意； 360︒D. 从三张扑克牌J ，Q ，K 中取出一张是A 是不可能事件，不符合题意． 故选：B ．【点睛】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，掌握必然事件、不可能事件、随机事件的概念是解题的关键．4. 下列标志既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A. B.C. D.【解析】【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【详解】解：A ．此图案是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； B ．此图案仅是中心对称图形，不符合题意；C ．此图案既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意；D ．此图案既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，不符合题意； 故选：C ．【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的知识，解题的关键是掌握轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形的关键是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．5. 抛物线y=2（x+3）2+5的顶点坐标是（ ） A. （3，5） B. （﹣3，5）C. （3，﹣5）D. （﹣3，﹣5） 【答案】B 【解析】【详解】解：抛物线y=2（x+3）2+5的顶点坐标是（﹣3，5），故选B ． 6. 下列各点中与点关于原点对称的是（ ） (2,1)A -A. B. (2,1)(2,1)-C. D.(2,1)--(1,2)-【答案】B 【解析】【分析】直接利用关于原点对称点的性质：关于原点对称的点的坐标为得(),x y (),x y --出答案．【详解】解：与点关于原点对称的点的坐标是：． (2,1)A -(2,1)-故选：B ．【点睛】本题主要考查了关于点对称点的性质，正确记忆横纵坐标的符号是解题关键． 7. 不透明袋子中装有个红球、个绿球，这些球除了颜色外无其他差别，从袋子中随机摸53出个球，摸出红球的概率是（ ） 1A.B.C.D.85833858【答案】D 【解析】【分析】用红球数量除以总球数即可得到答案． 【详解】解：红球数量为5个，总的球数量为8个， ∴从中随机摸出一球为红球的概率是． 58故选：D ．【点睛】本题考查概率公式的应用，熟练掌握概率公式是解题关键． 8. 如图，在中，，，则的度数是（ ）O =AB AC 75C ∠=︒A ∠A. B. C. D.30°40︒50︒60︒【答案】A 【解析】【分析】先根据圆周角定理得，再由三角形的内角和是180°求解即可． 75B C ∠=∠=︒【详解】在中，，O =AB AC 75C ∠=︒75B C ∴∠=∠=︒180A B C ∠+∠+∠=︒18030A B C ∴∠=︒-∠-∠=︒故选：A ．【点睛】本题考查圆周角定理及三角形内角和定理，熟练掌握知识点是解题的关键． 9. 如图，在中，，，则的度数是（ ）O OA BC ⊥50AOC ∠=︒ADB ∠A. B. 50︒30°C. D.20︒25︒【答案】D 【解析】【分析】连接OB ，由垂径定理可得，再利用圆周角定理即可得到答案． 50AOB ∠=︒【详解】连接OB，，OA BC ⊥ 50AOC ∠=︒，50AOB ∴∠=︒ ， 1252ADB AOB ∴∠=∠=︒故选：D ．【点睛】本题考查了圆周角定理和垂径定理，熟练掌握知识点是解题的关键．10. 如图，在长为33米宽为20米的矩形空地上修建同样宽的道路（阴影部分），余下的部分为草坪，要使草坪的面积为510平方米，则道路的宽为（ ）A. 1米B. 2米C. 3米D. 4米【答案】C【解析】【分析】设道路的宽为x ，利用“道路的面积”作为相等关系可列方程20x+33x-x 2=20×33-510，解方程即可求解．解题过程中要根据实际意义进行x 的值的取舍． 【详解】设道路的宽为x,根据题意得20x+33x −x 2=20×33−510 整理得x 2−53x+150=0 解得x=50(舍去)或x=3 所以道路宽为3米. 故选C.【点睛】此题考查一元二次方程的应用，解题关键在于理解题意找到等量关系.11. 如图，在△中，，，点是的内心，则ABC 60ABC ∠=︒50∠=°ACB O ABC BOC ∠的度数是（ ）A. B. C. D.125︒120︒130︒135︒【答案】A 【解析】【分析】根据内心为三角形角平分线的交点，结合三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵点是的内心， O ABC ∴BO 平分，CO 平分， ABC ∠ACB ∠∴，， 1230C CBO AB ∠=∠=︒1225B BCO AC ∠=∠=︒∴． 012518CBO BCO BOC ∠=︒-∠=∠-︒故选A ．【点睛】本题考查三角形的内心与三角形内角和定理．掌握三角形的内心就是其角平分线的交点是解题关键．12. 如图，二次函数的图象经过点，且与轴交点的横坐标20y ax bx c a =++≠（）(1,2)-x为，其中，．下列结论：①，②，③12x x ，121x --＜＜201x ＜＜420a b c -+＜20a b -＜中，正确的结论有（ ）284b a ac +＞A. 个B. 个C. 个D. 个0123【答案】D 【解析】【分析】根据题意可当x=-2时，y ＜0，可得，故①正确；再由二次函数420a b c -+＜的图象与轴交点的横坐标为，其中，20y ax bx c a =++≠（）x 12x x ，121x --＜＜．开口向下，可得，从而得到，故②正确；然后根据二次函数201x ＜＜2b a >20a b -＜的图象经过点，且对称轴在直线x=-1的右侧，可得20y ax bx c a =++≠（）(1,2)-，从而得到，故③正确，即可求解． 2424ac b a->284b a ac +＞【详解】解：根据题意得：当x=-2时，y ＜0， ∴，故①正确；420a b c -+＜∵二次函数的图象与轴交点的横坐标为，其中20y ax bx c a =++≠（）x 12x x ，，．开口向下，121x --＜＜201x ＜＜∴抛物线的对称轴，a ＜0， 12bx a=->-∴，2b a >∴，故②正确；20a b -＜∵二次函数的图象经过点，且对称轴在直线x=-1的右侧， 20y ax bx c a =++≠（）(1,2)-∴抛物线的顶点的纵坐标大于2，∴，2424ac b a->∵a＜0，∴，248ac b a -<∴，故③正确； 284b a ac +＞∴正确的有①②③，共3个． 故选：D【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．第Ⅱ卷（非选择题共84分）注意事项：用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在“答题纸”上． 二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分．13. 抛物线可以由抛物线先向左平移个单位，再向下平移()223y x =+-2y x =2___________个单位得到的． 【答案】3 【解析】【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．【详解】解：抛物线向左平移2个单位，向下平移3个单位得到的函数图象的解析2y x =式为：． ()223y x =+-故答案为：3．【点睛】本题考查的是二次函数的图象平移变换，熟知函数图象平移变换的法则是解答此题的关键．14. 在数学考试中，单项选择题（每个题目只有4个备选答案）是试卷的重要组成部分，当你遇到完全不会做的选择题时，如果你随便选择一个答案，那么你答对的概率为_________． 【答案】14【解析】【分析】根据概率公式计算，即可求解． 【详解】解：根据题意得：答对的概率为． 14故答案为：14【点睛】本题考查了概率公式：熟练掌握随机事件A 的概率P （A ）=事件A 可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数；P （必然事件）=1；P （不可能事件）=0是解题的关键． 15. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是x 22230x x k ++-=k _________． 【答案】 2k ＜【解析】【分析】由根的判别式可直接得到答案．【详解】解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴∆，()224230k =--＞解得<2． k 故答案为：k<2．【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握根的判别式是解题的关键． 16. 中，，则的内切圆的半径长是_________． ABC 13,5,12AB AC BC ===ABC 【答案】2 【解析】【分析】设△ABC 的内切圆为⊙O，内切圆的半径为r ，由勾股定理的逆定理易得△ABC 是直角三角形，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：设△ABC 的内切圆为⊙O，内切圆的半径为r ， ∵AB＝13，AC ＝5，BC ＝12， ∴AB 2＝AC 2+ BC 2，根据勾股定理的逆定理得△ABC 是直角三角形，∠C=90°， ∴， 1302ABC S AC BC =⋅= 根据三角形的面积公式可得：，1115131215222ABC AOC AOB BOC S S S S r r r r =++=⨯+⨯+⨯=∴15r=30，即r=2， 故答案为：2．【点睛】此题主要考查直角三角形内切圆半径求法，正确利用勾股定理的逆定理以及三角形的面积公式是解题关键．17. 当或（）时，代数式的值相等，则时，代数式x a =x b =a b ¹243x x -+x a b =+的值为_________．243x x -+【答案】3 【解析】【分析】先由抛物线，可得抛物线的对称轴为直线x=2，从而()224321y x x x =-+=--得到以a 、b 为横坐标的点关于直线x=2对称，进而得到a+b=4，再把x=4代入，即可求解．【详解】解：由抛物线， ()224321y x x x =-+=--∴抛物线的对称轴为直线x=2，∵当或（）时，代数式的值相等，x a =x b =a b ¹243x x -+∴当或（）时，抛物线的函数值相等，x a =x b =a b ¹243y x x =-+∴以a 、b 为横坐标的点关于直线x=2对称， ∴， 22a b+=∴a+b=4， ∵， x a b =+∴x=4，当x=4时，，244433y =-⨯+=即时，代数式的值为3． x a b =+243x x -+故答案为：3【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了二次函数的对称性和对称轴公式，是基础题，熟记性质和得出a+b=4是解题的关键．18. 如图，为边长为的等边三角形，点分别为和的中点，点为ABC 6D E ，AC BC F 内部一点，且，连接，将线段绕点按逆时针方向旋转得到ABC 2DF =BF BF B 60︒，连接．BG EG（1）当三点共线时，线段的长度为_________；B F D 、、BF （2）在旋转过程中，线段的最小值为_________．EG【答案】 ①. ②. 12-【解析】【分析】（1）在等边三角形中， 为中点，可得，由勾股定理可ABC D AC 90ADB ∠=︒得的长，又、、三点共线，即可求得；BD B F D BF （2）作线段的中点,连接,作,连接,将线段绕点按逆时针方AB H DH 2DF =BF BF B 向旋转得到,连接,此时的值最小，根据旋转性质可知,60︒BG EG EG BF BG =，可得，进而证明，即可求出的值.60FBC ∠=︒HBF EBG ∠=∠BHF BEG ∆≅∆EG 【详解】解：（1）是等边三角形,边长为，ABC ∆ 6，6AB AC ∴==为的中点，D Q AC ,, 132AD CD AC ∴===BD AC ⊥，90ADB ∴∠=︒，BD ∴===点、、三点共线，，B F D 2DF =，2BF BD DF ∴=-=-线段的长度为；∴BF 2(2)如图,作线段的中点,连接,作,连接,将线段绕点按逆时AB H DH 2DF =BF BF B 针方向旋转得到,连接,此时的值最小，60︒BG EGEG是等边三角形,边长为，ABC ∆ 6， ，6AB AC ∴==60ABC ∠=︒点为的中点，点为的中点，点为的中点，D ACE BC H AB ，，， BD AC ∴⊥132BE BC ==132BH AB ==,，90ADB ∴∠=︒BH BE =， 132DH AB ∴==，2DF = ，321HF DH DF ∴=-=-=由旋转可知: ,，BF BG =60FBC ∠=︒，60ABC FBG ∴∠=∠=︒，HBF EBG ∴∠=∠在和中，BHF ∆BEG ∆，BH BE HBF EBG BF BG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()BHF BEG SAS ∴∆≅∆，1HF EG ∴==在旋转过程中,线段的最小值为.∴EG 1【点睛】本题主要考查等边三角形的性质、勾股定理、三角形的全等，旋转的性质，正确地理解题意并且作出辅助线是解题的关键.三、解答题：本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．19. （1）因式分解法解方程：；220x x -=（2）配方法解方程：．21090x x ++=【答案】（1）；（2） 121=02x x =，12=9=1x x --，【解析】【分析】（1）根据因式分解法解方程；（2）根据配方法解方程．【详解】（1），220x x -=解：提公因式，得，2-10x x =（）于是得， 02-10x x ==或． 121=02x x =，（2），21090x x ++=解：移项，得，210=9x x +﹣配方，得，22210+5=-95x x ++，25=16x +（）由此可得，54x +=±．12=9=1x x --，【点睛】本题考查了解一元二次方程，掌握因式分解法和配方法解一元二次方程是解题的关键．20. 如图，在半径为的中，弦的长为．4O AB 4（1）求的度数；AOB ∠（2）求点到的距离．O AB 【答案】（1）60AOB ∠=︒（2）到的距离为O AB 【解析】【分析】（1）利用可得为等边三角形，进而得到的度数；OA OB AB ==OAB AOB ∠（2）过点O 作OC⊥AB 于C ，根据垂径定理求出AC ，根据勾股定理求出OC 即可．【小问1详解】解：在，，O 4OA OB ==∵，4AB =∴为等边三角形，OAB ∴；60AOB ∠=︒【小问2详解】过点 作于点，O OC AB ⊥C 在，于点，O OC AB ⊥C ∴， 12AC AB =∵ ，4AB =∴，2AC =在中，，，Rt OAC △4AO =2AC =∴，OC ==∴到的距离为．O AB【点睛】本题考查了垂径定理和勾股定理，正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．21. 甲口袋中装有个相同的小球，它们分别写有数字和，乙口袋中装有个相同的小2123球，它们分别写有数字，和．从两个口袋中各随机取一个小球．请用画树状图或列表345的方法求：（1）取出的个小球上的数字之和是奇数的概率是多少？2（2）取出的个小球上的数字全是偶数的概率是多少？2【答案】（1） 12（2） 16【解析】【分析】（1）根据题意画出树状图，得到所有可能出现的结果共有种，取出个小球上的62数字之和是奇数有种，再根据概率公式，即可求解；3（2）根据题意画出树状图，得到所有可能出现的结果共有种，取出个小球上的数字全62是偶数有种，再根据概率公式，即可求解．1【小问1详解】 解：根据题意，可以画出如下的树状图所有可能出现的结果共有种等可能结果，取出个小球上的数字之和是奇数有种， 623∴取出的个小球上的数字之和是奇数的概率是； 23162=【小问2详解】解：取出个小球上的数字全是偶数有种，21∴取出的个小球上的数字全是偶数的概率是． 216【点睛】本题主要考查了利用树状图或列表法求概率，明确题意，准确画出树状图或列出表格是解题的关键．22. 已知：内接于，．ABD △O AB AD =（1）如图①，点在上，若，求和的大小；C O 60BCD ∠=︒ABD ∠ADB ∠（2）如图②，点在外，是的直径，与⊙相切于点，若C O BD O BC O B ，求的大小．50BCD ∠=︒CDA ∠【答案】（1）30ABD ADB ∠=∠=︒（2）85CDA ∠=︒【解析】【分析】（1）根据圆内接四边形性质得到 的度数，再根据，得到，BAD ∠ =AB AD AB AD =进而可求得的度数；ABD ∠（2）根据切线的性质可得，根据可得的度数，根据直径90CBD ∠=︒50BCD ∠=︒BDC ∠所对的圆周角为直角可得，根据得出，进而可得出90BAD ∠=︒ =AB AD AB AD =的度数．CDA ∠【小问1详解】解：∵四边形内接于，，ABCD O 60BCD ∠=︒∴，180120BAD BCD ∠=︒-∠=︒∵，=AB AD ∴，AB AD =∴； 1(180)302ABD ADB BAD ∠=∠=︒-∠=︒【小问2详解】解：∵与相切于点，BC O B ∴，BD BC ⊥∴90CBD ∠=︒∵在中，，Rt BCD ∆50BCD ∠=︒∴ 9040BDC BCD ∠=︒-∠=︒∵是的直径，BD O ∴，90BAD ∠=︒∵，=AB AD ∴，AB AD = ， 190452ABD ADB ∴∠=∠=⨯︒=︒∴．454085CDA ADB BDC ∠=∠+∠=︒+︒=︒【点睛】本题主要考查了圆内接四边形的性质、同弧所对弦相等、切线的性质、圆周角定理，掌握相关概念以及性质是解题的关键．23. 某村种的水稻2018年平均每公顷产8000kg ，2020年平均每公顷产9680kg ，求该村水稻每公顷产量的年平均增长率．解题方案：设该村水稻每公顷产量的年平均增长率为x ．（1）用含的代数式表示：x ①2019年种的水稻平均每公顷的产量为_________kg ；②2020年种的水稻平均每公顷的产量为_________kg ；（2）根据题意，列出相应方程_________；（3）解这个方程，得_________；（4）检验：_________；（5）答：该村水稻每公顷产量的年平均增长率为_________%．【答案】（1）， ()80001x +()280001x +（2）()2800019680x +=（3）120.1 2.1x x ==-，（4）当x ＝－2.1时，不合题意，故舍去（5）10【解析】【分析】解此类题时，先将所求问题设为x ，根据增长后的产值=增长前的产值（1+增长率），即可用含x 的代数式表示，再求解，判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．【小问1详解】解：根据题意，①2019年种的水稻平均每公顷的产量为kg ；()80001x +②2020年种的水稻平均每公顷的产量为kg ；()280001x +故答案为：；； ()80001x +()280001x +【小问2详解】解：由题意，可列出方程：；()2800019680x +=故答案为：； ()2800019680x +=【小问3详解】解：，()2800019680x +=解得：；120.1 2.1x x ==-，故答案为：；120.1 2.1x x ==-，【小问4详解】解：检验：当x ＝－2.1时，不合题意，故舍去；故答案为：当x ＝－2.1时，不合题意，故舍去；【小问5详解】解：该村水稻每公顷产量的年平均增长率为；0.110%x ==故答案为：10；【点睛】解此类题时，先将所求问题设为x ，然后用含x 的代数式表示，再求解，判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．找到关键描述语，找到等量关系准确地列出方程是解决问题的关键．24. 四边形和四边形均为正方形，正方形绕点A 顺时针旋转． ABCD AEFG AEFG（1）正方形绕点A 顺时针旋转到如图①的位置时，且三点在同一直线上，AEFG D A E 、、则和的数量关系是_________；和的位置关系是_________；DG BE DG BE （2）正方形绕点A 顺时针旋转到如图②位置时，且点落在线段上． AEFG F DG ①求证：；②若，求的长；ABE ADG ≌10,2AB DF ==BF （3）如图③，若，，正方形绕点A 顺时针旋转过程中，取的中10AB =6AG =AEFG DG 点，连接，记的面积为S ，求S 的取值范围（直接写出结果即可）．M CM CDM V 【答案】（1），DG BE =DG BE ⊥（2）①见解析；②14BF =（3）1040S ≤≤【解析】【分析】（1）根据正方形的性质，结合全等三角形的性质，通过证明，得DAG BAE ≌，，再根据三角形内角和的性质分析，即可完成证明；DG BE =ADG ABE ∠=∠（2）①根据正方形和全等三角形的性质分析，即可得到答案；②根据正方形和全等三角形的性质，推导得点三点在一条直线上，根据勾股定理的,,B E F 性质，通过列一元二次方程并求解，即可得到答案；（3）过点G 作，交延长线于点Q ，过点M 作，根据三角形中位线GQ DA ⊥DA MP DA ⊥的性质，得；根据三角函数的性质，得，分点G 在直线AB 左侧和12DP DQ =06AQ ≤≤右侧两种情况，结合三角形面积的性质计算，即可得到答案．【小问1详解】根据题意，得：90DAB BAE ∠=∠=︒∵四边形和四边形均为正方形ABCD AEFG ∴，，AD AB =AG AE =90BAE ∠=︒和中DAG △BAE90AD AB DAB BAE AG AE =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩∴()DAG BAE SAS ≌∴，DG BE =ADG ABE ∠=∠如图，延长DG ，交BE 于点K∵90BAE ∠=︒∴90ABE AEB ∠+∠=︒∴()18090DKE ABE AEB ∠=︒-∠+∠=︒∴DG BE ⊥故答案为：，DG BE =DG BE ⊥【小问2详解】①∵四边形和均为正方形，ABCD AEFG ∴=90AB AD AE AG BAD EAG === ，，∠∠∴，即 BAD EAD EAG EAD ∠-∠=∠-∠BAE DAG ∠=∠在和中ABE △ADG=AB AD BAE DAG AE AG =⎧⎪∠∠⎨⎪=⎩∴；()ABE ADG SAS ≌②∵ABE ADG ≌∴， 90AEB AGD ∠=∠=︒∵90AEF ∠=︒∴点三点在一条直线上,,B E F 设正方形边长为，则，AEFG x 2DG BE x ==+在中，由勾股定理得，即，Rt ADG 222AD AG DG =+()22210=2x x ++整理得：，22480x x +-=解得：．()1268x x ==-，舍∴；8614BF BE EF =+=+=【小问3详解】如图，过点G 作，交延长线于点Q ，过点M 作 GQ DA ⊥DA MP DA ⊥∴//MP GQ ∵点为的中点M DG ∴为的中位线MP DQG ∴ 12DP DQ =∵，，正方形形10AB =6AG =ABCD ∴，cos 6cos AQ AG GAQ GAQ =⨯∠=⨯∠10DA CD AB ===∵0GAQ ∠≥∴0cos 1GAQ ≤∠≤∴06AQ ≤≤当点G 在直线AB 左侧时，10DQ DA AQ AQ =-=-∴410DQ ≤≤当点G 在直线AB 右侧时，10DQ DA AQ AQ =+=+∴1016DQ ≤≤综上，416DQ ≤≤∴28DP ≤≤∵ 152S CD DP DP =⨯=∴．1040S ≤≤【点睛】本题考查了正方形、勾股定理、三角形、三角函数、一元二次方程的知识；解题的关键是熟练掌握正方形、三角函数、三角形中位线的性质，从而完成求解．25. 在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与23y ax bx =++x ()3,0A ()1,0B -轴交于点，连接，点是第一象限的抛物线上一动点．y C AC D （1）求抛物线的解析式；（2）过点作于点．D DE AC ⊥E ①若，求点坐标；DE CE =D ②过点作轴于点，交于点，连接，当的周长取得最D DH x ⊥H AC F 、DC DA DEF 大值时，抛物线上是否存在一点，使，如果存在，请求出点的坐标，如P PAC ACD S S =△△P 果不存在，请说明理由．【答案】（1）2y x 2x 3=-++（2）①点D 的坐标为(2，3)；②存在，点P 的坐标为，，315,24⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）把两点代入抛物线，利用待定系数法求解；()()3,01,0A B -，23y ax bx =++（2）①连接CD ，证明△AOC 为等腰直角三角形，△CDE 为等腰直角三角形，根据角之间的关系推出CD∥OA，求出点C 和D 的纵坐标都等于3，把y ＝3代入抛物线解析式即可求出；②DF⊥x 轴，得出DH⊥OA，证明△DEF 为等腰直角三角形，因2y x 2x 3=-++为△DEF 的周长等于．有，求出直线AC 的)1DE EF DF DF ++=()()3,00,3A C ，解析式为y ＝－x ＋3，设点D 的坐标为，，则()2,23m m m -++(),3F m m -+，利用配方法研究最值．()2233DF m m m =-++--+【小问1详解】解：把两点代入抛物线()()3,01,0A B -，23y ax bx =++则， 933030a b a b ++=⎧⎨-+=⎩解得． 12a b =-⎧⎨=⎩∴抛物线的解析式为；2y x 2x 3=-++【小问2详解】解：①连接CD ，当x ＝0时，y ＝3，即OC ＝3，∵OC＝OA ＝3，∠AOC＝90°，∴△AOC 为等腰直角三角形，∠CAO＝45°．∵DE⊥AC，DE ＝CE ，∴△CDE 为等腰直角三角形，∠DCE＝45°，∴∠DCE＝∠OAC＝45°，即CD∥OA．∴点C 和D 的纵坐标都等于3．把y ＝3代入抛物线解析式得，，2y x 2x 3=-++2233x x -++=解得（舍去），，10x =22x =∴点D 的坐标为（2，3）．②∵DF⊥x 轴，∴DH⊥OA，∵∠CAO＝45°，∴∠AFH＝45°，∵DE⊥AC，∠DFE＝∠AFH＝45°，∴△DEF 为等腰直角三角形，∴ DE EF DF =则△DEF 的周长等于． )1DE EF DF DF ++=∵，()()3,00,3A C ，∴直线AC 的解析式为y ＝－x ＋3． 设点D 的坐标为，， ()2,23m m m -++(),3F m m -+则． ()22239233324DF m m m m m m ⎛⎫=-++--+=-+=--+ ⎪⎝⎭∴当时，DF 取得最大值，此时△DEF 的周长取得最大值． 32m =点D 的坐标为． 315,24⎛⎫ ⎪⎝⎭∵，PAC ACD S S =△△∴点P 和D 到直线AC 的距离相等．容易得知点P 和D 重合时符合题意，此时P 的坐标为． 315,24⎛⎫ ⎪⎝⎭作直线l 和k 都和直线AC 平行，且到直线AC 的距离都相等，则直线l 的解析式为，直线k 的解析式为． 214y x =-+34y x =-+联立直线与抛物线得，， 34y x =-+2y x 2x 3=-++23922x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭解得， 12x x ==则点P 的坐标为，．综上所述：符合题意得点P 的坐标为，，315,24⎛⎫ ⎪⎝⎭． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，一次函数、待定系数求解解析式、等腰直角形的判定及性质，解题的关键是利用属性结合的思想进行求解．。
天津市2020-2021学年人教版九年级期末数学上册试卷 含解析
九年级（上）期末数学试卷一．选择题（共12小题）1．已知⊙O的半径为6cm，点P到圆心O的距离为6cm，则点P和⊙O的位置关系是（）A．点P在圆内B．点P在圆上C．点P在圆外D．不能确定2．下列图形中，可以看作是中心对称图形的是（）A．B．C．D．3．半径为3的圆中，30°的圆心角所对的弧的长度为（）A．2πB．πC．πD．π4．同时掷两个质地均匀的骰子，观察向上一面的点数，两个骰子的点数相同的概率是（）A．B．C．D．5．如图，△ABC与△DEF是位似图形，相似比为2：3，已知AB＝3，则DE的长为（）A．B．C．D．6．如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上的两点，且C为的中点，若∠BAD＝20°，则∠ACO的度数为（）A．30°B．45°C．55°D．60°7．如图所示，小正方形的边长均为1，则下列选项中阴影部分的三角形与△ABC相似的是（）A．B．C．D．8．直线y＝﹣4x+1与抛物线y＝x2+2x+k只有一个交点，则k的值为（）A．0 B．2 C．6 D．109．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，则下列结论错误的是（）A．CD•AC＝AB•BC B．AC2＝AD•ABC．BC2＝BD•AB D．AC•BC＝AB•CD10．顺次连接边长为6cm的正六边形的不相邻的三边的中点，又形成一个新的正三角形，则这个新的正三角形的面积等于（）A．cm2B．36cm2C．18cm2D．cm211．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转，旋转角为α（0°＜α＜180°），得到△ADE，这时点B，C，D恰好在同一直线上，下列结论一定正确的是（）A．AB＝ED B．EA⊥BCC．∠B＝90°﹣D．∠EAC＝90°+12．如图，边长都为4的正方形ABCD和正三角形EFG如图放置，AB与EF在一条直线上，点A与点F重合．现将△EFG沿AB方向以每秒1个单位的速度匀速运动，当点F与B重合时停止．在这个运动过程中，正方形ABCD和△EFG重叠部分的面积S与运动时间t的函数图象大致是（）A．B．C．D．二．填空题（共6小题）13．从一副没有“大小王”的扑克牌中随机抽取一张，点数为“6”的概率是．14．如图所示，写出一个能判定△ABC∽△DAC的条件．15．如图，在△ABC中，DE∥BC，且DE把△ABC分成面积相等的两部分．若AD＝4，则DB 的长为．16．已知：如图，PA，PB，DC分别切⊙O于A，B，E点，若PA＝l0cm，则△PCD的周长为．17．二次函数y＝x2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表，则m的值为．x﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4y7 2 ﹣1 ﹣2 m 2 718．如图，在边长为1的正方形ABCD中，将射线AC绕点A按顺时针方向旋转α度（0＜α≤360°），得到射线AE，点M是点D关于射线AE的对称点，则线段CM长度的最小值为．三．解答题（共7小题）19．解方程：x2﹣7x﹣30＝0．20．一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4．随机摸取一个小球然后放回，再随机摸取一个小球．利用树形图或列表求下列事件的概率：（1）两次取出的小球的标号相同；（2）两次取出的小球标号的和等于4．21．在△ABC中，∠C＝90°，以边AB上一点O为圆心，OA为半径的圆与BC相切于点D，分别交AB，AC于点E，F．（1）如图①，连接AD，若∠CAD＝25°，求∠B的大小；（2）如图②，若点F为的中点，⊙O的半径为2，求AB的长．22．如图①，E是平行四边形ABCD的边AD上的一点，且＝，CE交BD于点F．（Ⅰ）若BF＝15，求DF的长；（Ⅱ）如图②，若延长BA和CE交于点P，AB＝8，能否求出AP的长？若能，求出AP的长；若不能，说明理由．23．如图，在足够大的空地上有一段长为a米的旧墙MN，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD，其中AD≤AM，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100米木栏．（1）若a＝20米，所围成的矩形菜园的面积为450平方米，求所利用旧墙AD的长；（2）若a＝70米，求矩形菜园ABCD面积的最大值．24．在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形ABC和AFG摆放在一起，A为公共顶点，∠BAC＝∠AGF＝90°，若△ABC固定不动，△AFG绕点A旋转，AF、AG与边BC的交点分别为D、E（点D不与点B重合，点E不与点C重合）．（1）求证：△ABE∽△DCA；（2）在旋转过程中，试判断等式BD2+CE2＝DE2是否始终成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由．25．在平面直角坐标系中，将二次函数y＝ax2（a＞0）的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到如图所示的抛物线，该抛物线与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），OA＝1，经过点A的一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与y轴正半轴交于点C，且与抛物线的另一个交点为D，△ABD的面积为5．（1）求抛物线和一次函数的解析式；（2）抛物线上的动点E在一次函数的图象下方，求△ACE面积的最大值，并求出此时点E的坐标；（3）若点P为x轴上任意一点，在（2）的结论下，求PE+PA的最小值．参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）1．已知⊙O的半径为6cm，点P到圆心O的距离为6cm，则点P和⊙O的位置关系是（）A．点P在圆内B．点P在圆上C．点P在圆外D．不能确定【分析】根据点与圆的位置关系进行判断．【解答】解：∵⊙O的半径为6cm，P到圆心O的距离为6cm，即OP＝6，∴点P在⊙O上．故选：B．2．下列图形中，可以看作是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，根据中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、不是中心对称图形，故本选项不合题意；B、是中心对称图形，故本选项符合题意；C、不中心对称图形，故本选项不合题意；D、不中心对称图形，故本选项不合题意．故选：B．3．半径为3的圆中，30°的圆心角所对的弧的长度为（）A．2πB．πC．πD．π【分析】根据弧长公式l＝，计算即可．【解答】解：弧长＝＝，故选：D．4．同时掷两个质地均匀的骰子，观察向上一面的点数，两个骰子的点数相同的概率是（）A．B．C．D．【分析】利用列表法展示所以36种等可能的结果数，找出向上一面的两个骰子的点数相同的占6种，然后根据概率公式进行计算．【解答】解：列表如下：共有6×6＝36种等可能的结果数，其中向上一面的两个骰子的点数相同的占6种，所以向上一面的两个骰子的点数相同的概率＝＝．故选：D．5．如图，△ABC与△DEF是位似图形，相似比为2：3，已知AB＝3，则DE的长为（）A．B．C．D．【分析】根据位似变换的定义、相似三角形的性质列式计算即可．【解答】解：∵△ABC与△DEF是位似图形，相似比为2：3，∴△ABC∽△DEF，∴＝，即＝，解得，DE＝，故选：B．6．如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上的两点，且C为的中点，若∠BAD＝20°，则∠ACO的度数为（）A．30°B．45°C．55°D．60°【分析】根据垂径定理的推论，即可求得：OC⊥AD，由∠BAD＝20°，即可求得∠AOC的度数，又由OC＝OA，即可求得∠ACO的度数【解答】解：∵AB为⊙O的直径，C为的中点，∴OC⊥AD，∵∠BAD＝20°，∴∠AOC＝90°﹣∠BAD＝70°，∵OA＝OC，∴∠ACO＝∠CAO＝＝＝55°，故选：C．7．如图所示，小正方形的边长均为1，则下列选项中阴影部分的三角形与△ABC相似的是（）A．B．C．D．【分析】根据网格中的数据求出AB，AC，BC的长，求出三边之比，利用三边对应成比例的两三角形相似判断即可．【解答】解：根据题意得：AB＝＝，AC＝2，BC＝＝，∴BC：AC：AB＝1：：，A、三边之比为1：：，图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似；B、三边之比：2：3，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似；C、三边之比为1：：2，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似；D、三边之比为2：：，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似．故选：A．8．直线y＝﹣4x+1与抛物线y＝x2+2x+k只有一个交点，则k的值为（）A．0 B．2 C．6 D．10【分析】直线y＝﹣4x+1与抛物线y＝x2+2x+k只有一个交点，则把y＝﹣4x+1代入二次函数的解析式，得到的关于x的方程中，判别式△＝0，据此即可求解．【解答】解：根据题意得：x2+2x+k＝﹣4x+1，即x2+6x+（k﹣1）＝0，则△＝36﹣4（k﹣1）＝0，解得：k＝10．故选：D．9．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，则下列结论错误的是（）A．CD•AC＝AB•BC B．AC2＝AD•ABC．BC2＝BD•AB D．AC•BC＝AB•CD【分析】根据三角形的面积公式判断A、D，根据射影定理判断B、C．【解答】解：由三角形的面积公式可知，CD•AB＝AC•BC，A错误，符合题意，D正确，不符合题意；∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴AC2＝AD•AB，BC2＝BD•AB，B、C正确，不符合题意；故选：A．10．顺次连接边长为6cm的正六边形的不相邻的三边的中点，又形成一个新的正三角形，则这个新的正三角形的面积等于（）A．cm2B．36cm2C．18cm2D．cm2【分析】作AP⊥GH于P，BQ⊥GH于Q，由正六边形和等边三角形的性质求出GH＝PG+PQ+QH ＝9cm，由等边三角形的面积公式即可得出答案．【解答】解：如图所示：作AP⊥GH于P，BQ⊥GH于Q，如图所示：∵△GHM是等边三角形，∴∠MGH＝∠GHM＝60°，∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠BAF＝∠ABC＝120°，正六边形ABCDEF是轴对称图形，∵G、H、M分别为AF、BC、DE的中点，△GHM是等边三角形，∴AG＝BH＝3cm，∠MGH＝∠GHM＝60°，∠AGH＝∠FGM＝60°，∴∠BAF+∠AGH＝180°，∴AB∥GH，∵作AP⊥GH于P，BQ⊥GH于Q，∴PQ＝AB＝6cm，∠PAG＝90°﹣60°＝30°，∴PG＝AG＝cm，同理：QH＝cm，∴GH＝PG+PQ+QH＝9cm，∴△GHM的面积＝GH2＝cm2；故选：A．11．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转，旋转角为α（0°＜α＜180°），得到△ADE，这时点B，C，D恰好在同一直线上，下列结论一定正确的是（）A．AB＝ED B．EA⊥BCC．∠B＝90°﹣D．∠EAC＝90°+【分析】由旋转的性质可得AB＝AD，∠BAD＝α，由等腰三角形的性质可求解．【解答】解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转，旋转角为α，∴AB＝AD，∠BAD＝α，∴∠B＝＝90°﹣，故选：C．12．如图，边长都为4的正方形ABCD和正三角形EFG如图放置，AB与EF在一条直线上，点A与点F重合．现将△EFG沿AB方向以每秒1个单位的速度匀速运动，当点F与B重合时停止．在这个运动过程中，正方形ABCD和△EFG重叠部分的面积S与运动时间t的函数图象大致是（）A．B．C．D．【分析】根据题意和函数图象可以写出各段对应的函数解析式，从而可以判断哪个选项中的图象符合题意，本题得以解决．【解答】解：当0≤t≤2时，S＝＝，即S与t是二次函数关系，有最小值（0，0），开口向上，当2＜t≤4时，S＝﹣＝，即S与t是二次函数关系，开口向下，由上可得，选项C符合题意，故选：C．二．填空题（共6小题）13．从一副没有“大小王”的扑克牌中随机抽取一张，点数为“6”的概率是．【分析】让点数为6的扑克牌的张数除以没有大小王的扑克牌总张数即为所求的概率．【解答】解：∵没有大小王的扑克牌共52张，其中点数为6的扑克牌4张，∴随机抽取一张点数为8的扑克，其概率是，故答案为．14．如图所示，写出一个能判定△ABC∽△DAC的条件AC2＝DC•BC（答案不唯一）．【分析】已知有公共角∠C，由相似三角形的判定方法可得出答案．【解答】解：已知△ABC和△DCA中，∠ACD＝∠BAC；如果△ABC∽△DAC，需满足的条件有：①∠DAC＝∠B或∠ADC＝∠BAC；②AC2＝DC•BC；故答案为：AC2＝DC•BC（答案不唯一）．15．如图，在△ABC中，DE∥BC，且DE把△ABC分成面积相等的两部分．若AD＝4，则DB 的长为4．【分析】由平行于BC的直线DE把△ABC分成面积相等的两部分，可知△ADE与△ABC相似，且面积比为，则相似比为，的值为，可求出AB的长，则DB的长可求出．【解答】解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∵DE把△ABC分成面积相等的两部分，∴S△ADE＝S四边形DBCE，∴＝，∴＝，∵AD＝4，∴AB＝4．∴DB＝AB﹣AD＝4﹣4．故答案为：4﹣4．16．已知：如图，PA，PB，DC分别切⊙O于A，B，E点，若PA＝l0cm，则△PCD的周长为20cm．【分析】根据切线长定理由PA、PB分别切⊙O于A、B得到PB＝PA＝10cm，由于DC与⊙O相切于E，再根据切线长定理得到CA＝CE，DE＝DB，然后三角形周长的定义得到△PDC 的周长＝PD+DC+PC＝PD+DB+CA+PC，然后用等线段代换后得到三角形PDC的周长等于PA+PB．【解答】解：∵PA、PB分别切⊙O于A、B，∴PB＝PA＝10cm，∵CA与CE为⊙的切线，∴CA＝CE，同理得到DE＝DB，∴△PDC的周长＝PD+DC+PC＝PD+DB+CA+PC∴△PDC的周长＝PA+PB＝20cm，故答案为20cm．17．二次函数y＝x2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表，则m的值为﹣1 ．x﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4y7 2 ﹣1 ﹣2 m 2 7【分析】二次函数的图象具有对称性，从函数值来看，函数值相等的点就是抛物线的对称点，由此可推出抛物线的对称轴，根据对称性求m的值．【解答】解：根据图表可以得到，点（﹣2，7）与（4，7）是对称点，点（﹣1，2）与（3，2）是对称点，∴函数的对称轴是：x＝1，∴横坐标是2的点与（0，﹣1）是对称点，∴m＝﹣1．18．如图，在边长为1的正方形ABCD中，将射线AC绕点A按顺时针方向旋转α度（0＜α≤360°），得到射线AE，点M是点D关于射线AE的对称点，则线段CM长度的最小值为﹣1 ．【分析】由轴对称的性质可知AM＝AD，故此点M在以A圆心，以AD为半径的圆上，故此当点A、M、C在一条直线上时，CM有最小值．【解答】解：如图所示：连接AM．∵四边形ABCD为正方形，∴AC＝＝＝．∵点D与点M关于AE对称，∴AM＝AD＝1．∴点M在以A为圆心，以AD长为半径的圆上．如图所示，当点A、M、C在一条直线上时，CM有最小值．∴CM的最小值＝AC﹣AM′＝﹣1，故答案为：﹣1．三．解答题（共7小题）19．解方程：x2﹣7x﹣30＝0．【分析】先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．【解答】解：x2﹣7x﹣30＝0，（x﹣10）（x+3）＝0，x﹣10＝0，x+3＝0，x1＝10，x2＝﹣3．20．一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4．随机摸取一个小球然后放回，再随机摸取一个小球．利用树形图或列表求下列事件的概率：（1）两次取出的小球的标号相同；（2）两次取出的小球标号的和等于4．【分析】（1）先画树状图展示所有16种等可能的结果数，其中两次摸出的小球标号相同的占4种，然后根据概率的概念计算即可；（2）由（1）可知有16种等可能的结果数，其中两次取出的小球标号的和等于4的有3种，进而可求出其概率．【解答】解：（1）如图，随机地摸出一个小球，然后放回，再随机地摸出一个小球，共有16种等可能的结果数，其中两次摸出的小球标号相同的有4种，所有两次摸出的小球标号相同的概率为＝；（2）因为两次取出的小球标号的和等于4的有3种，所以其概率为．21．在△ABC中，∠C＝90°，以边AB上一点O为圆心，OA为半径的圆与BC相切于点D，分别交AB，AC于点E，F．（1）如图①，连接AD，若∠CAD＝25°，求∠B的大小；（2）如图②，若点F为的中点，⊙O的半径为2，求AB的长．【分析】（1）连接OD，由在△ABC中，∠C＝90°，BC是切线，易得OD∥AC，即可求得∠CAD＝∠BAD，继而求得答案；（2）首先连接OE，OD，由（1）得：OD∥AC，由点F为的中点，易得△AOF是等边三角形，继而求得答案．【解答】解：（1）连接OD，∵OA为半径的圆与BC相切于点D，∴OD⊥BC，∴∠ODB＝90°，∵在△ABC中，∠C＝90°，∴∠ODB＝∠C，∴OD∥AC，∴∠CAD＝∠ADO＝25°，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA＝25°，∴∠BOD＝2∠OAD＝50°，∴∠B＝90°﹣∠BOD＝40°；（2）连接OF，OD，由（1）得：OD∥AC，∴∠AFO＝∠FOD，∵OA＝OF，点F为的中点，∴∠A＝∠AFO，∠AOF＝∠FOD，∴∠A＝∠AFO＝∠AOF＝60°，∴∠B＝90°﹣∠A＝30°，∵OA＝OD＝2，∴OB＝2OD＝4，∴AB＝OA+OB＝6．22．如图①，E是平行四边形ABCD的边AD上的一点，且＝，CE交BD于点F．（Ⅰ）若BF＝15，求DF的长；（Ⅱ）如图②，若延长BA和CE交于点P，AB＝8，能否求出AP的长？若能，求出AP的长；若不能，说明理由．【分析】（Ⅰ）由DE∥BC，可得，由此即可解决问题；（Ⅱ）由PB∥DC，可得，可得PA的长．【解答】解：（Ⅰ）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∵，∴，又∵BF＝15，∴，∴；（Ⅱ）解：能．∵四边形ABCD是平行四边形，∴PB∥DC，AB＝DC＝8，∴，∴，∴PA＝．23．如图，在足够大的空地上有一段长为a米的旧墙MN，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD，其中AD≤AM，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100米木栏．（1）若a＝20米，所围成的矩形菜园的面积为450平方米，求所利用旧墙AD的长；（2）若a＝70米，求矩形菜园ABCD面积的最大值．【分析】（1）设AB＝xm，则BC＝（100﹣2x）m，列方程求解即可；（2）设AB＝xm，由题意得关于x的二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题．【解答】解：（1）设AB＝xm，则BC＝（100﹣2x）m，由题意得：x（100﹣2x）＝450解得：x1＝5，x2＝45当x＝5时，100﹣2x＝90＞20，不合题意舍去；当x＝45时，100﹣2x＝10＜20答：AD的长为10m；（2）设AB＝xm，则S＝x（100﹣x）＝﹣（x﹣50）2+1250，（0＜x≤70）∴x＝50时，S的最大值是1250．答：当x＝50时，矩形菜园ABCD面积的最大值为1250．24．在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形ABC和AFG摆放在一起，A为公共顶点，∠BAC＝∠AGF＝90°，若△ABC固定不动，△AFG绕点A旋转，AF、AG与边BC的交点分别为D、E（点D不与点B重合，点E不与点C重合）．（1）求证：△ABE∽△DCA；（2）在旋转过程中，试判断等式BD2+CE2＝DE2是否始终成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由．【分析】（1）由图形得∠BAE＝∠BAD+45°，由外角定理，得∠CDA＝∠BAD+45°，可得∠BAE＝∠CDA，根据∠B＝∠C＝45°，证明两个三角形相似；（2）将△ACE绕点A顺时针旋转90°至△ABH位置，证明△EAD≌△HAD转化DE、EC，使所求线段集中在Rt△BHD中利用勾股定理解决．【解答】（1）证明：∵∠BAE＝∠BAD+45°，∠CDA＝∠BAD+45°，∴∠BAE＝∠CDA，又∠B＝∠C＝45°，∴△ABE∽△DCA；（2）解：成立．如图，将△ACE绕点A顺时针旋转90°至△ABH位置，则CE＝BH，AE＝AH，∠ABH＝∠C＝45°，旋转角∠EAH＝90°．连接HD，在△EAD和△HAD中，，∴△EAD≌△HAD（SAS）．∴DH＝DE．又∠HBD＝∠ABH+∠ABD＝90°，∴BD2+BH2＝HD2，即BD2+CE2＝DE2．25．在平面直角坐标系中，将二次函数y＝ax2（a＞0）的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到如图所示的抛物线，该抛物线与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），OA＝1，经过点A的一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与y轴正半轴交于点C，且与抛物线的另一个交点为D，△ABD的面积为5．（1）求抛物线和一次函数的解析式；（2）抛物线上的动点E在一次函数的图象下方，求△ACE面积的最大值，并求出此时点E的坐标；（3）若点P为x轴上任意一点，在（2）的结论下，求PE+PA的最小值．【分析】（1）先写出平移后的抛物线解析式，经过点A（﹣1，0），可求得a的值，由△ABD的面积为5可求出点D的纵坐标，代入抛物线解析式求出横坐标，由A、D的坐标可求出一次函数解析式；（2）作EM∥y轴交AD于M，如图，利用三角形面积公式，由S△ACE＝S△AME﹣S△CME构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题；（3）作E关于x轴的对称点F，过点F作FH⊥AE于点H，交x轴于点P，则∠BAE＝∠HAP＝∠HFE，利用锐角三角函数的定义可得出EP+AP＝FP+HP，此时FH最小，求出最小值即可．【解答】解：（1）将二次函数y＝ax2（a＞0）的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到的抛物线解析式为y＝a（x﹣1）2﹣2，∵OA＝1，∴点A的坐标为（﹣1，0），代入抛物线的解析式得，4a﹣2＝0，∴，∴抛物线的解析式为y＝，即y＝．令y＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，∴B（3，0），∴AB＝OA+OB＝4，∵△ABD的面积为5，∴＝5，∴y D＝，代入抛物线解析式得，，解得x1＝﹣2，x2＝4，∴D（4，），设直线AD的解析式为y＝kx+b，∴，解得：，∴直线AD的解析式为y＝．（2）过点E作EM∥y轴交AD于M，如图，设E（a，），则M（a，），∴＝，∴S△ACE＝S△AME﹣S△CME＝＝＝，＝，∴当a＝时，△ACE的面积有最大值，最大值是，此时E点坐标为（）．（3）作E关于x轴的对称点F，连接EF交x轴于点G，过点F作FH⊥AE于点H，交x 轴于点P，∵E（），OA＝1，∴AG＝1+＝，EG＝，∴，∵∠AGE＝∠AHP＝90°∴sin，∴，∵E、F关于x轴对称，∴PE＝PF，∴PE+AP＝FP+HP＝FH，此时FH最小，∵EF＝，∠AEG＝∠HEF，∴＝，∴．∴PE+PA的最小值是3．。