信号与系统课件--第三章§3.3 频率抽样理论
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信号与系统-信号与系统的频域分析
§3.1 周期信号的分解与合成
1768年生于法国 1807年提出“任何周期信号都可用收敛 的正弦函数级数表示” 1829年狄里赫利第一个给出收敛条件 拉格朗日反对发表 1822年首次发表在“热的分析理论”一 书中。
§3.1 周期信号的分解与合成
一、周期信号分解为三角级数
周期信号 f t,周期为T1
F () 0 0
F () , j
F () 0 0
说明：
F() F(0) f (t)dt
0
时域积分性质多用于F(0)=0的情况，而F(0)=0表明f(t)的频谱函数中直
0
2
bn
2 T
T
2 T
2
f
(t)sin n1tdt
4 T
T
2 0
Asin
n1tdt
图1
T
4A T
co sn1t n1
2 0
4 A (n 1, 3, 5,) nπ 0 (n 2, 4, 6,)
所以f( t )的傅里叶级数为
f
(t )
4A π
(sin
1t
1 3
sin
31t
1 5
sin
51t
)
2
( n1 )
)
A Sa( n1 )
2
T
2
其中Sa( )形式如下。
抽样函数：
Sa(t) sin t t
Sa (0) 1
当 t k (k 1,2,3 时，) Sa( t ) = 0
图6
f( t ) 的双边谱
Sa( t ) ： Fn ：
图7
周期矩形脉冲信号含有无穷多条谱线，也就是说，周期矩形脉冲信号 可表示为无穷多个正弦分量之和。在信号的传输过程中，要求一个传输系 统能将这无穷多个正弦分量不失真地传输显然是不可能的。实际工作中， 应要求传输系统能将信号中的主要频率分量传输过去，以满足失真度方面 的基本要求。周期矩形脉冲信号的主要能量集中在第一个零点之内， 因而， 常常将ω=0~ 这段频率范围称为矩形脉冲信号的频带宽度。记为
信号与系统第三章
T1 t0
1
2 t0 T1
2 t0 T1
2
[ T1
t0
f (t) cos n 1tdt
j T1
t0
f (t) sin n 1tdt]
1 t0 T1
T1 t0 f (t)[cos n 1t j sin n 1t]dt
1 t0 T1 f (t)
T1 t0
2e jn 1t dt
2
1 t0
T1
f (t)e
jn 1t dt
1768年生于法国 1807年提出“任何周
期信号都可用正弦函 数级数表示”
拉格朗日，拉普拉斯 反对发表
1822年首次发表在 “热的分析理论”
一书中
一、频域分析
从本章开始由时域转入变换域分析，首先讨 论傅里叶变换。傅里叶变换是在傅里叶级数正交 函数展开的基础上发展而产生的，这方面的问题 也称为傅里叶分析（频域分析）。将信号进行正 交分解，即分解为三角函数或复指数函数的组合。
t0 T1 t0
f (t)e jn1tdt
n 0,1, 2,3 。
Fn
1 t0
T1
f (t)e
jn 1t dt
T1 t0
n 0, 1, 2, 3 。
为了积分方便，通常取积分区间为：0
~
T1或
T1 2
~
T1 2
推导完毕
f (t)
n
Fne jn 1t F0
Fne jn 1t
n1
1
Fne jn 1t
n
（形式一） f (t) a0 an cos(n1t) bn sin(n1t) n1
傅氏级数展开实质就是确定展开式中各分量系数
确定系数：
f (t) a0 an cos(n1t) bn sin(n1t) n1
1
2 t0 T1
2 t0 T1
2
[ T1
t0
f (t) cos n 1tdt
j T1
t0
f (t) sin n 1tdt]
1 t0 T1
T1 t0 f (t)[cos n 1t j sin n 1t]dt
1 t0 T1 f (t)
T1 t0
2e jn 1t dt
2
1 t0
T1
f (t)e
jn 1t dt
1768年生于法国 1807年提出“任何周
期信号都可用正弦函 数级数表示”
拉格朗日，拉普拉斯 反对发表
1822年首次发表在 “热的分析理论”
一书中
一、频域分析
从本章开始由时域转入变换域分析，首先讨 论傅里叶变换。傅里叶变换是在傅里叶级数正交 函数展开的基础上发展而产生的，这方面的问题 也称为傅里叶分析（频域分析）。将信号进行正 交分解，即分解为三角函数或复指数函数的组合。
t0 T1 t0
f (t)e jn1tdt
n 0,1, 2,3 。
Fn
1 t0
T1
f (t)e
jn 1t dt
T1 t0
n 0, 1, 2, 3 。
为了积分方便，通常取积分区间为：0
~
T1或
T1 2
~
T1 2
推导完毕
f (t)
n
Fne jn 1t F0
Fne jn 1t
n1
1
Fne jn 1t
n
（形式一） f (t) a0 an cos(n1t) bn sin(n1t) n1
傅氏级数展开实质就是确定展开式中各分量系数
确定系数：
f (t) a0 an cos(n1t) bn sin(n1t) n1
信号与系统课件-第三章33频率抽样理论
满足抽样定理可以保证抽样后的信号能够完全还原原始信号，避免信息损失。
抽样频率的选择
理想抽样频率
根据抽样定理，选择抽样频率为原始信号最高频率 的两倍以上，以确保不发生混叠效应。
采样定理的限制
抽样频率过高会造成存储和计算开销增加，同时增 加了噪声和功耗。
理想低通滤波器
理想低通滤波器是用于去除抽样过程中产生的混叠效应的滤波器，它可以尽 可能减少高频成分的混叠。
混叠效应
混叠效应是导致原始信号频谱复制和幅度损失的现 象样频率足够高时，采样 点之间不会产生重叠。
频域解释
抽样定理的几何解释是，抽样频率足够高时，抽样 后的频谱多个副本不会重叠。
理想低通滤波器的时域和频域表示
时域表示
理想低通滤波器在时域上的响应是一个无限长的矩 形脉冲。
频域表示
理想低通滤波器在频域上的响应是一个频率为截止 频率的矩形函数。
抽样过程中的混叠效应
抽样过程中的混叠效应是指高频信号在抽样过程中被混叠到产生的低频信号 中，使得信号失真。
抽样后的频谱
频谱形状
抽样后的信号频谱包含了原始信号频谱的多个副本， 每个副本都有一定的幅度衰减。
信号与系统课件-第三章 33频率抽样理论
本章介绍信号抽样理论，包括抽样定理的定义与应用、抽样频率的选择、理 想低通滤波器，以及抽样过程中的混叠效应和频谱。
抽样定理的定义
1 什么是抽样定理？
抽样定理是指对一个连续时间信号进行抽样时，需满足抽样频率大于等于两倍信号最高 频率。
2 为什么抽样频率要满足抽样定理？
抽样频率的选择
理想抽样频率
根据抽样定理，选择抽样频率为原始信号最高频率 的两倍以上，以确保不发生混叠效应。
采样定理的限制
抽样频率过高会造成存储和计算开销增加，同时增 加了噪声和功耗。
理想低通滤波器
理想低通滤波器是用于去除抽样过程中产生的混叠效应的滤波器，它可以尽 可能减少高频成分的混叠。
混叠效应
混叠效应是导致原始信号频谱复制和幅度损失的现 象样频率足够高时，采样 点之间不会产生重叠。
频域解释
抽样定理的几何解释是，抽样频率足够高时，抽样 后的频谱多个副本不会重叠。
理想低通滤波器的时域和频域表示
时域表示
理想低通滤波器在时域上的响应是一个无限长的矩 形脉冲。
频域表示
理想低通滤波器在频域上的响应是一个频率为截止 频率的矩形函数。
抽样过程中的混叠效应
抽样过程中的混叠效应是指高频信号在抽样过程中被混叠到产生的低频信号 中，使得信号失真。
抽样后的频谱
频谱形状
抽样后的信号频谱包含了原始信号频谱的多个副本， 每个副本都有一定的幅度衰减。
信号与系统课件-第三章 33频率抽样理论
本章介绍信号抽样理论，包括抽样定理的定义与应用、抽样频率的选择、理 想低通滤波器，以及抽样过程中的混叠效应和频谱。
抽样定理的定义
1 什么是抽样定理？
抽样定理是指对一个连续时间信号进行抽样时，需满足抽样频率大于等于两倍信号最高 频率。
2 为什么抽样频率要满足抽样定理？
信号与系统中抽样的概念
信号与系统中抽样的概念抽样是信号与系统中一个重要的概念。
在信号处理中，抽样是指对连续时间信号进行离散化处理，将连续时间信号转换为离散时间信号的过程。
抽样的目的是为了将连续时间信号转换为数字信号，使得信号可以通过数字方式进行存储、传输和处理。
抽样过程可以看作是在连续时间域上对信号进行定时取样。
抽样过程中，我们使用采样定理（奈奎斯特定理）来保证抽样后的信号不失真。
采样定理指出，为了避免信号采样引起的混叠现象，抽样频率必须大于等于原始信号中最高频率的两倍，也就是满足奈奎斯特频率。
在实际应用中，我们通常采用理想脉冲序列作为采样信号。
理想脉冲序列是一个周期为T的序列，每个周期内有一个脉冲，其他时间点上为零。
理想脉冲序列的傅里叶变换是一个周期序列（频率为1/T）的线性组合。
对连续时间信号x(t)进行抽样，可以通过将x(t)与理想脉冲序列进行卷积来实现。
即将x(t)乘以理想脉冲序列，然后对乘积信号进行积分。
抽样后得到的信号为离散时间信号x[n]，其中n为整数，表示采样时刻。
离散时间信号x[n]可以看作是连续时间信号x(t)在采样时刻的取样值。
为了重构x(t)，可以通过将x[n]与插值函数进行卷积来实现。
插值函数可以看作是理想脉冲序列的反变换，即将理想脉冲序列的傅里叶变换除以周期序列的傅里叶变换。
抽样引入了两个重要的参数，即采样间隔和采样频率。
采样间隔为采样时刻之间的时间间隔，采样频率为采样时刻之间的倒数，即采样频率等于1/采样间隔。
采样频率越高，采样精度越高，重构信号的失真越小。
但是，采样频率过高也会导致计算和存储的需求增加。
抽样过程中，还存在一个概念叫做抽样定理。
抽样定理指出，在有限频带B内的连续时间信号，可以通过以准确率误差小于ε的方式进行采样和重构，只需要满足采样频率f_s大于等于2B。
这是由带限信号在频域中没有重叠而导致的。
如果信号的频域存在重叠，则需要进一步提高采样频率以避免混叠现象。
在实际应用中，我们使用的信号不一定是有限频带的信号，因此在抽样过程中，可能会引入混叠现象。
精品文档-信号与系统(第四版)(陈生潭)-第3章
An cos(nt n )
Fne jnt
n 1
n
F0 2 Fn cos(nt n )
其中：
n 1
an
2 T
t0 T t0
fT (t )cosntdt
bn
2 T
t0 T t0
fT (t )sin ntdt
n0,1,2...
1
n1,2...
Fn
T
t0 T t0
fT (t)e jnt dt
fT (t)sin ntdt
A0 a0 An an2 bn2
n 1,2...
n
arctg
bn an
说明：1.周期信号可分解表示为三角函数的线性组合。
2.物理意义：周期信号可分解为众多频率成整数倍
和正（余）弦函数或分量的线性组合。具体有：
a0 A0 直流分量cost, sin t 基波分量 22
fT (t)
Fne jnt
F e j (nt n ) n
F0
2 Fn cos(nt n )
n
n
n1
各谐波分量的角频率nΩ 是基波角频率Ω的n倍且有不同的
振幅和相位，均有傅立叶系数 Fn Fn e jn 反映出来。
为揭示各谐波振幅、初相随角频率变化情况，特画出振幅
及相位随w变化的曲线称其为频谱图。
的模
最小，（此时的C12称为最佳），当C12＝0时，Ve的
模最小，此时V1和V2正交。
2.矢量分解
在平面空间里，相互正交的矢量
V1和V2构成一个正交矢量集，而且为
完备的正交矢量集。平面空间中的任
一矢量V都可表示为V1和V2的线性组合 （如上图）。即：
V=C1V1+C2 V2。式中V1、V2为单位矢量，且V1·V2＝0。其中：
信号与系统第3章傅里叶变换
*本章要点
1.利用傅立叶级数的定义式分析周期信号的离散谱。 2.利用傅立叶积分分析非周期信号的连续谱。 3.理解信号的时域与频域间的关系。 4.用傅立叶变换的性质进行正逆变换。 5.掌握抽样信号频谱的计算及抽样定理
将信号表示为不同频率正弦分量的线性组合意义
1.从信号分析的角度 将信号表示为不同频率正弦分量的线性组合，为不同信号之 间进行比较提供了途径。
发展历史
•1822年，法国数学家傅里叶(J.Fourier,1768-1830)在研究热传导 理论时发表了“热的分析理论”，提出并证明了将周期函数展 开为正弦级数的原理，奠定了傅里叶级数的理论基础。 •泊松(Poisson)、高斯(Guass)等人把这一成果应用到电学中去， 得到广泛应用。 •19世纪末，人们制造出用于工程实际的电容器。 •进入20世纪以后，谐振电路、滤波器、正弦振荡器等一系列具 体问题的解决为正弦函数与傅里叶分析的进一步应用开辟了广 阔的前景。 •在通信与控制系统的理论研究和工程实际应用中，傅里叶变换 法具有很多的优点。 •“FFT”快速傅里叶变换为傅里叶分析法赋予了新的生命力。
一．三角函数形式的傅里叶级数
1.正交三角函数集
三角函数系1, cos x,sin x, cos 2x,sin 2x,..., cos nx,sin nx,...
在区间[-π,π]上正交，是指在三角函数系中任何不同的两个函 数的乘积在区间的积分等于零，即
cosnxdx 0(n 1,2,3,...)
傅里叶生平
1768年生于法国 1807年提出“任何周期信号
都可用正弦函数级数表示” 1829年狄里赫利第一个给出
收敛条件 拉格朗日反对发表 1822年首次发表“热的分析
理论”中
信号与系统_抽样定理
4. 信号抽样的理论推导
x(t) tk T x[k]
?
x[k]x(t) tk T
X(j)
X(ej) (T)
连续信号x(t)的频谱为X(jw)， 离散序列x[k] 频谱为 X(ejW)
4. 信号抽样的理论推导
T(t) (tkT) k
( sam ) sam (nsa)m n
sam2π/T
列车运行控制系统是轨道交通最重要的技术装备， 它是由轨道电路以钢轨为通道，将控制列车的信息传输到列车 上的。
8. 抽样定理的实际应用举例
车载主体机车系统，是其中的关键部分，功能是接收来自 钢轨的信号，经过解调、译码来控制驾驶室信号机的信号显示， 同时输出给后级的列车速度控制设备。
系统主要由接收线圈（天线）、控制主机（包含记录器及 远程监测模块）及机车信号机（信号显示器）构成。
X ( j)
sam2m 1
m 0 m
X (e jT )
X [ j( sam )]
1 X ( j)
T
X [ j( sam )]
...
...
sam m 0 m sam
4. 信号抽样的理论推导
离散序列x[k]频谱与抽样间隔T之间的关系
sam2m
X ( j)
1
m 0 m
X (e jT )
X [ j( sam )]
低通滤波器
X ( j) 1
H ( j ) 1
X1( j)
1
0
m
0 m
m
0 m
7. 抽样定理的工程应用
✓ 混叠误差与截断误差比
较
X s ( j)
...
1 T
s
m
0 m
信号与系统全套课件
解答
f (t)
f (t 5)
1
时移
1
1 O 1 t 尺度 变换
f (3t)
6 5 4
t 尺度 O 变换
f (3t 5)
1 t
1O 1
33
时移
1 t
2 4 3
1.4.2 信号的变换
平移、展缩、反折相结合举例
例 已知f (t)如图所示，画出 f(-2t-4)。 解答
右移4，得f (t–4)
反转，得f (-2t–4)
1.4.2 信号的变换
2.信号的平移
将 f (t) → f (t–t0) ，称为对信号f (t)的右移
f (t) → f
其中，t0 >0
如
(t +t0)， 称为对信号f t → t–1右移
(t)的左移
f (t-1)
1
f (t) 1
o1 2 t
o1 t
t → t+1左移
雷达接收到的目标回波信号就是平移信号。
1.2.2 信号的分类
1. 确定信号和随机信号
•确定性信号 可用确定的时间函数表示的信号。
对于指定的某一时刻t，有确定的函数值f(t)。
•随机信号
取值具有不确定性的信号。 如：电子系统中的起伏热噪声、雷电干扰信号。
•伪随机信号 貌似随机而遵循严格规律产生的信号（伪随机码）。
1.2.2 信号的分类
f (t)
2
1
4
－ 4 － 3 － 2－ 1 0 1 2 3
t
－1
－2
f (t) 2 1 － 4 － 3 － 2－ 1 0 1 2 3 4 t
(a)
(b)
图5 确定性信号与随机信号
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X 如果序列长度为M， (k ) 表示在区间[0，2π]上对 X (e ) 的N点等间隔采样.
j
则只有当 N M时，才能由X(k)恢复出X (e ) 和 x(n) ，否则产生时域混叠现象。
j
且
x(n) IDFT[ X (k )]
r
x(n rN ) RN (n)
~ 时域无混叠由N个 X (k )可以恢复得到X(z)
§3.3 频率抽样理论
一，频域采样定理
时间(频率)函数抽样 导 致 频率(时间)函数周期化
对Z变换在单位圆上等间隔抽样—即对X (e j )抽样 ，频率抽样点数为N，则：
X (k ) X (e j ) |
2 k N
X ( z) |
z e
j
2 k N
n
x ( n )e
e j
╳
0
2 (e j )
k=2
0
•
3 (e j )
小结：1. 内插函数是连续函数 例如：N=4时，图示如右
2. 相应的系数：X (k ) 即样本值 （原来的抽样点正好是插值点）
e j
0
k=3
0
╳
•
§3.4 DFT的应用举例
3.4.1 用DFT计算线性卷积
一，用DFT计算循环卷积 如果 且
四， 当输入长序列信号时，如何利用DFT求系统的输出
若 输入序列x(n)的宽度N很大， 而h(n)的宽度不太大
x (n) N点 h (n)
M点
y (n)
直接对整个长序列x(n) 作DFT的话，运算工作量很大（∵N很大） 为此，将长序列分段计算，分段处理有重叠相加法和重叠保留法两种。
假设将x(n)的宽度N均匀分成P段:
X (k )W
kn N
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
（ 其中 WN
kN
1 ）
N N 1 1 N 1 N 1 1 1 z kn n [ X (k )WN ] z X ( k ) k 0 N n 0 k 0 N 1 WN k z 1
N 1 k 0
X (k ) k ( z )
j
2 kn N
n
kn x(n)WN
k 0,1,....N 1
令xN (n) IDFT[ X (k )]
n 0,1,.... N 1
X (k )对应的xN (n)与X ( z)对应的x(n)的关系是什么？
x X 由DFT和DFS的关系知， (k ) 是x N (n) 以N为周期的周期延拓序列 ~ (n) ~ 的离散傅立叶级数 X (k ) 的主值序列，即 ~ ~ X (k ) X ((k )) N DFS[ ~(n)] x X (k ) X (k ) RN (n) ~ ~ ~(n) IDFS[ X (k )] 1 N 1 X ( k )W kn 1 N1 X (k )WN kn x N N k 0 N k 0
e j
0
j 1 0 ( e )
╳
k=0
•
0
2 N
e j ╳
0
1(e j )
k=1
0
2 k) k 0 N ( N 1) 1 sin( N / 2) j 2 e 其中 ( ) N sin( / 2) X ( e j )
N 1
•
X (k ) (
y(n) yk (n)
k
2, 重叠保留法
L L
M-1
L
L
L
L
… n
M-1个 补0
x
y
x0 (n )
x1 ( n )
M-1
x2 ( n )
M-1
每个小段延长M-1, 补以下一小段起始 数据
• •• • L-1 • xk (n) • • • •• • • 3 • 1 2
N 1 1 N 1 ( mn ) k ~(n) 1 [ x(m)W km ]W kn x m x(m) N WN N N N n 0 m n 0
r
x(n rN )
1 ∵ N
W
n 0
N 1
( m n ) k N
设序列 x(n) 长度为M，在频域0～2π之间等间隔采样N点， N M
X (k ) X ( z ) |
z e
j
2 k N
k 0,1,....N 1
N 1 k 0
1 x(n) IDFT[ X (k )] N
∴ X ( z ) x ( n) z
n 0 N 1 n
下图为用DFT计算循环卷积的框图
0 k L 1
x1 (n) x2 ( n )
DFT DFT
X 1 (k )
X 2 (k )
IDFT
x1 (n) L x2 (n)
二，线性卷积和循环卷积的关系及循环卷积与线性卷积相等的条件
x(n) 和h(n) 都是有限长序列，长度分别是N1和N2， N max[ N1 , N 2 ]
•
2
•5
•3
5
n
3 4
三 ， 利用DFT求线性卷积和
x(n )
N1 点
N N1 N2 1
DFT
N点
X (k )
X (k ) H (k )
IDFT
N点
x ( n ) * h( n )
x(n )
N
h(n )
H (k )
补N－N1个零
DFT
N2 点
N点 补N－N2个零
h(n )
实际上，直接作线性卷积有时很麻烦，但用DFT计算就方便 （尤其还有DFT的快速运算法:FFT）
y0 (n)
y1 ( n )
y2 (n)
yk (n) xk (n) * h(n)
卷积长度为L+M-1
（包括交迭部分相加） 各段相加， 即为输出
重叠相加法步骤：
1 将x(n)分段，段长M与N近似：
x(n) xk (n) 0
kM n (k 1)M 1 其他
2 将各分段数据xk(n)和h(n)补零到L=N+M-1点， 即xk(n)补N-1点零，h(n)补M-1点零； 3 求各分段数据xk(n)的DFT：Xk(k)；
4 将各分段数据的DFTXk(k)与事先算好的系统脉冲 响应h(n)的DFTH(k)逐点相乘：
5 对Yk(k)用FFT求其IDFT，得到各分段数据的卷积：
yk (n) IDFT[ yk (k )] xk (n) h(n) xk (n) h(n)
6 将各个yk(n)相加，重叠部分逐点相加，即得到最终 的卷积结果序列y(n)。
1 0
m n rN m 其他
x N (n) ~(n) RN (n) x(n rN ) RN (n) x 所以 r
X 可见， (z )在单位圆上的N点等间隔采样X (k ) 的IDFT是原序列 x(n) 以N
为周期的周期延拓序列的主值序列。 频域采样定理：
一，用DFT对连续信号进行谱分析 分析过程：对 xa (t ) 进行时域采样，得到 x(n) xa (nT ) ，再对 x(n) 进行DFT， j 得到的X(k)是x(n)的傅立叶变换 X (e ) 在频率区间[0, 2π]上的N点等间隔采样。 信号时间宽度与带宽的制约关系： 若信号持续时间有限长，则其频谱无限宽；若频谱有限宽，则持续时间无限长。
0
重叠保留法
•
•
•
•
•
• •
•
重叠保留法（Overlap Save Method）
在重叠相加法中若在实现快速卷积时各分段补零的部分 不是补零，而是保存原序列中的数据，这样来求得卷积 的方法称为“重叠保留法”。 重叠保留法的处理过程为： 1 先将x(n)分解成：
x[n iL ( N 1)] xk (n) 0
若 MN
~(n) R (n) x(n) x N
~(n) R (n) x(n) 时域混叠 x 若 M>N N 故： N M 为频率抽样（不失真）条件
频率抽样
二 ， 内插函数
X (z )
X (k )
j 通过内插函数恢复出 X (z ) 或 X (e )
x(n)
内插（恢复）
x(n)
X a jf FT [ xa (t )] xa (t )e j 2ft
dt
如下图a示
对 xa (t ) 以采样间隔T采样得 x(n) xa (nT ) 其中T 1 / f s ,且满足 f s 2 f c
此时取其主值序列满足 yc (n) yl (n)
例：
x1 ( n )
• • 1 0
1
1
2• 2
3• 3
n
N1 4
x2 ( n )
x2 ( n)
0
• • •1
1 2
n n
N2 3
• •
1 • • •1 -2 -1 0 3
6•
线性卷积
x1 (n) * x2 (n)
1 • • 0 1
•
2 6•
L 1 m 0
y(n) x1 (n)
L
x2 ( n )
x1 (m)x2 ((n m)) L RL (n)
0 k L 1
X 1 (k ) DFT[ x1 (n)]
X 2 (k ) DFT[ x2 (n)]
由时域循环卷积定理有
Y (k ) DFT[ y(n)] X 1 (k ) X 2 (k )
j
则只有当 N M时，才能由X(k)恢复出X (e ) 和 x(n) ，否则产生时域混叠现象。
j
且
x(n) IDFT[ X (k )]
r
x(n rN ) RN (n)
~ 时域无混叠由N个 X (k )可以恢复得到X(z)
§3.3 频率抽样理论
一，频域采样定理
时间(频率)函数抽样 导 致 频率(时间)函数周期化
对Z变换在单位圆上等间隔抽样—即对X (e j )抽样 ，频率抽样点数为N，则：
X (k ) X (e j ) |
2 k N
X ( z) |
z e
j
2 k N
n
x ( n )e
e j
╳
0
2 (e j )
k=2
0
•
3 (e j )
小结：1. 内插函数是连续函数 例如：N=4时，图示如右
2. 相应的系数：X (k ) 即样本值 （原来的抽样点正好是插值点）
e j
0
k=3
0
╳
•
§3.4 DFT的应用举例
3.4.1 用DFT计算线性卷积
一，用DFT计算循环卷积 如果 且
四， 当输入长序列信号时，如何利用DFT求系统的输出
若 输入序列x(n)的宽度N很大， 而h(n)的宽度不太大
x (n) N点 h (n)
M点
y (n)
直接对整个长序列x(n) 作DFT的话，运算工作量很大（∵N很大） 为此，将长序列分段计算，分段处理有重叠相加法和重叠保留法两种。
假设将x(n)的宽度N均匀分成P段:
X (k )W
kn N
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
（ 其中 WN
kN
1 ）
N N 1 1 N 1 N 1 1 1 z kn n [ X (k )WN ] z X ( k ) k 0 N n 0 k 0 N 1 WN k z 1
N 1 k 0
X (k ) k ( z )
j
2 kn N
n
kn x(n)WN
k 0,1,....N 1
令xN (n) IDFT[ X (k )]
n 0,1,.... N 1
X (k )对应的xN (n)与X ( z)对应的x(n)的关系是什么？
x X 由DFT和DFS的关系知， (k ) 是x N (n) 以N为周期的周期延拓序列 ~ (n) ~ 的离散傅立叶级数 X (k ) 的主值序列，即 ~ ~ X (k ) X ((k )) N DFS[ ~(n)] x X (k ) X (k ) RN (n) ~ ~ ~(n) IDFS[ X (k )] 1 N 1 X ( k )W kn 1 N1 X (k )WN kn x N N k 0 N k 0
e j
0
j 1 0 ( e )
╳
k=0
•
0
2 N
e j ╳
0
1(e j )
k=1
0
2 k) k 0 N ( N 1) 1 sin( N / 2) j 2 e 其中 ( ) N sin( / 2) X ( e j )
N 1
•
X (k ) (
y(n) yk (n)
k
2, 重叠保留法
L L
M-1
L
L
L
L
… n
M-1个 补0
x
y
x0 (n )
x1 ( n )
M-1
x2 ( n )
M-1
每个小段延长M-1, 补以下一小段起始 数据
• •• • L-1 • xk (n) • • • •• • • 3 • 1 2
N 1 1 N 1 ( mn ) k ~(n) 1 [ x(m)W km ]W kn x m x(m) N WN N N N n 0 m n 0
r
x(n rN )
1 ∵ N
W
n 0
N 1
( m n ) k N
设序列 x(n) 长度为M，在频域0～2π之间等间隔采样N点， N M
X (k ) X ( z ) |
z e
j
2 k N
k 0,1,....N 1
N 1 k 0
1 x(n) IDFT[ X (k )] N
∴ X ( z ) x ( n) z
n 0 N 1 n
下图为用DFT计算循环卷积的框图
0 k L 1
x1 (n) x2 ( n )
DFT DFT
X 1 (k )
X 2 (k )
IDFT
x1 (n) L x2 (n)
二，线性卷积和循环卷积的关系及循环卷积与线性卷积相等的条件
x(n) 和h(n) 都是有限长序列，长度分别是N1和N2， N max[ N1 , N 2 ]
•
2
•5
•3
5
n
3 4
三 ， 利用DFT求线性卷积和
x(n )
N1 点
N N1 N2 1
DFT
N点
X (k )
X (k ) H (k )
IDFT
N点
x ( n ) * h( n )
x(n )
N
h(n )
H (k )
补N－N1个零
DFT
N2 点
N点 补N－N2个零
h(n )
实际上，直接作线性卷积有时很麻烦，但用DFT计算就方便 （尤其还有DFT的快速运算法:FFT）
y0 (n)
y1 ( n )
y2 (n)
yk (n) xk (n) * h(n)
卷积长度为L+M-1
（包括交迭部分相加） 各段相加， 即为输出
重叠相加法步骤：
1 将x(n)分段，段长M与N近似：
x(n) xk (n) 0
kM n (k 1)M 1 其他
2 将各分段数据xk(n)和h(n)补零到L=N+M-1点， 即xk(n)补N-1点零，h(n)补M-1点零； 3 求各分段数据xk(n)的DFT：Xk(k)；
4 将各分段数据的DFTXk(k)与事先算好的系统脉冲 响应h(n)的DFTH(k)逐点相乘：
5 对Yk(k)用FFT求其IDFT，得到各分段数据的卷积：
yk (n) IDFT[ yk (k )] xk (n) h(n) xk (n) h(n)
6 将各个yk(n)相加，重叠部分逐点相加，即得到最终 的卷积结果序列y(n)。
1 0
m n rN m 其他
x N (n) ~(n) RN (n) x(n rN ) RN (n) x 所以 r
X 可见， (z )在单位圆上的N点等间隔采样X (k ) 的IDFT是原序列 x(n) 以N
为周期的周期延拓序列的主值序列。 频域采样定理：
一，用DFT对连续信号进行谱分析 分析过程：对 xa (t ) 进行时域采样，得到 x(n) xa (nT ) ，再对 x(n) 进行DFT， j 得到的X(k)是x(n)的傅立叶变换 X (e ) 在频率区间[0, 2π]上的N点等间隔采样。 信号时间宽度与带宽的制约关系： 若信号持续时间有限长，则其频谱无限宽；若频谱有限宽，则持续时间无限长。
0
重叠保留法
•
•
•
•
•
• •
•
重叠保留法（Overlap Save Method）
在重叠相加法中若在实现快速卷积时各分段补零的部分 不是补零，而是保存原序列中的数据，这样来求得卷积 的方法称为“重叠保留法”。 重叠保留法的处理过程为： 1 先将x(n)分解成：
x[n iL ( N 1)] xk (n) 0
若 MN
~(n) R (n) x(n) x N
~(n) R (n) x(n) 时域混叠 x 若 M>N N 故： N M 为频率抽样（不失真）条件
频率抽样
二 ， 内插函数
X (z )
X (k )
j 通过内插函数恢复出 X (z ) 或 X (e )
x(n)
内插（恢复）
x(n)
X a jf FT [ xa (t )] xa (t )e j 2ft
dt
如下图a示
对 xa (t ) 以采样间隔T采样得 x(n) xa (nT ) 其中T 1 / f s ,且满足 f s 2 f c
此时取其主值序列满足 yc (n) yl (n)
例：
x1 ( n )
• • 1 0
1
1
2• 2
3• 3
n
N1 4
x2 ( n )
x2 ( n)
0
• • •1
1 2
n n
N2 3
• •
1 • • •1 -2 -1 0 3
6•
线性卷积
x1 (n) * x2 (n)
1 • • 0 1
•
2 6•
L 1 m 0
y(n) x1 (n)
L
x2 ( n )
x1 (m)x2 ((n m)) L RL (n)
0 k L 1
X 1 (k ) DFT[ x1 (n)]
X 2 (k ) DFT[ x2 (n)]
由时域循环卷积定理有
Y (k ) DFT[ y(n)] X 1 (k ) X 2 (k )