工程力学 第十六章

σcr = a − bλ
a、b 是和材料有关的常数，单位是MPa 是和材料有关的常数，单位是MPa
σcr = a − bλ
经验公式也有一个适用的范围，即使用经验公式得到的临界 经验公式也有一个适用的范围， 应力不允许超过材料的极限应力，对于塑性材料， 应力不允许超过材料的极限应力，对于塑性材料，不能超过其屈 服极限，而对于脆性材料，不能超过其强度极限。 服极限，而对于脆性材料，不能超过其强度极限。当临界应力超 过极限应力后，压杆已经因为强度不足而破坏， 过极限应力后，压杆已经因为强度不足而破坏，这样经验公式计 算的结果是毫无意义的。 算的结果是毫无意义的。 对于塑性材料: 对于塑性材料: 令 σ cr = σ s 对于Q235钢 对于Q235钢:
引入记号
λ=
µl
i
π2E
则压杆的临界应力可表示为
σcr =
柔度（长细比） 柔度（长细比）
λ=
µl
i
λ2
式中λ 是一个没有量纲的量，称为柔度或长细比。它集中反应 是一个没有量纲的量，称为柔度或长细比。 了压杆的长度 l、约束条件µ 、截面尺寸和形状 i 等因素对临界 的影响。 应力σcr 的影响。
2、欧拉公式的适用范围 在欧拉公式的推导过程中，用到了挠曲线近似微分方程， 挠曲线近似微分方程， 在欧拉公式的推导过程中，用到了挠曲线近似微分方程 这就决定了材料必须符合胡克定律。 这就决定了材料必须符合胡克定律。 材料符合胡克定律 工作应力（临界应力） 工作应力（临界应力）小于比例极限σp
压杆丧失直线形式平衡状态的现象称为 丧失稳 失稳。 定，简称 失稳。 当压杆的材料、尺寸和约束情况已经确定时， 当压杆的材料、尺寸和约束情况已经确定时， 临界压力是一个确定的值。 临界压力是一个确定的值。因此可以根据杆件的实际 工作压力是否大于临界压力来判断压杆是稳定还是不 稳定。解决压杆稳定的关键问题是确定临界压力。 稳定。解决压杆稳定的关键问题是确定临界压力。
π2E
λ
取 λ = P
2
≤σP
λ≥
π2E
σP
π2 E
σP
则只有当 λ ≥ λP 欧拉公式才是有效的。 欧拉公式才是有效的。
通常将 λ ≥ λP 的杆称为大柔度杆(细长杆)。大柔度杆的临 的杆称为大柔度杆 细长杆) 大柔度杆( 界应力可以采用欧拉公式来进行计算。 界应力可以采用欧拉公式来进行计算。
3、中柔度杆的经验公式 对于λ < λp的压杆，其临界应力大于材料的比例极限，欧拉 的压杆，其临界应力大于材料的比例极限， 公式已经不适用。 公式已经不适用。 工程中这类问题一般采用经验公式。经验公式是根据试验 工程中这类问题一般采用经验公式。 数据整理后得到的， 数据整理后得到的，这里介绍工程中常用的直线公式 ，即
上式即为欧拉公式的一般形式。 上式即为欧拉公式的一般形式。
2
µl为相当长度， 相当长度， 长度因数， µ为长度因数， µ
与压杆两端的支 承情况有关。 承情况有关。其 数值为
两端铰支 一端固定一端自由 两端固定 一端固定一端铰支
µ=1 µ=2 µ = 0.5 µ = 0.7
两端铰支 µ＝1.0
一端自由， 一端铰支， 一端自由， 一端铰支， 一端固定 一端固定 µ＝2.0 µ＝0.7
3、压杆失稳的特点 压杆失稳后，压力的微小增加将引起弯曲变形的显著增大， 压杆失稳后，压力的微小增加将引起弯曲变形的显著增大， 从而使杆件丧失承载能力。但是压杆失稳时， 从而使杆件丧失承载能力。但是压杆失稳时，杆内的应力不一定 有时甚至低于材料的比例极限。可见， 高，有时甚至低于材料的比例极限。可见，压杆失稳并非强度不 由于压杆稳定是突然发生的， 足。由于压杆稳定是突然发生的，因此所造成的后果也是很严重 的。
F = cr
π 2EI
l2
两端铰支压杆的欧拉公式
2、其它支承情况下细长压杆的临界力
不同约束形式 压杆的临界力， 压杆的临界力，可 以用类似的方法求 解微分方程导出。 解微分方程导出。 但在已经导出 两端铰支压杆的临 界压力公式之后， 界压力公式之后， 便可以用比较简单 的方法， 的方法，得到其他 约束条件下的临界 力。
1、稳定平衡和不稳定平衡
2、压杆失稳与临界压力 理想压杆: 材料绝对理想；轴线绝对直；压力绝对沿轴线作用。 理想压杆: 材料绝对理想；轴线绝对直；压力绝对沿轴线作用。
F小于某个值
F大于某个值
稳定平衡
不稳定平衡
临界状态 稳 定 过 平 衡
对应的
压力
临界压力: Fcr 临界压力:
不 稳 度 定 平 衡
π 2 EI π 2 × 200 × 103 × 108 × 104 Fcr = = N = 85187N = 85.19kN 2 2 ( µl ) (2 × 2500)
1、临界应力与柔度
16.3 欧拉公式的适用范围 及经验公式
将临界压力除以压杆的横截面面积A 将临界压力除以压杆的横截面面积A，就可以得到与临界压力 对应的应力为
一端铰支另一端固定的压杆的临界压力为: 一端铰支另一端固定的压杆的临界压力为: 两端铰支为: 两端铰支为:
π2EI Fcr = 2 l
π2EI F = cr (2l)2
一端铰支，一端自由: 一端铰支，一端自由:
综合各种不同的约束条件，统一写成如下形式: 综合各种不同的约束条件，统一写成如下形式:
π EI F = cr (µl)2
* 参考本章关于欧拉公式适用条件的相关内容
一端固定，一端自由，长度因数 一端固定，一端自由，
µ=2
在应用欧拉公式时，截面的惯性矩应取 在应用欧拉公式时， 较小的I 较小的I值。
hb 3 90 × 403 Iy = = mm 4 = 48 × 10 4 mm 4 12 12 bh 3 40 × 90 3 Iz = = mm 4 = 243 × 10 4 mm 4 12 12
a −σ s λs s = = 61.6 1.12 之间的这一类压杆称为中柔度杆 工程中将柔度介于λs 和λp 之间的这一类压杆称为中柔度杆
3、小柔度杆 对于λ < λs的压杆，小柔度杆将因压缩引起 的压杆， 屈服或断裂破坏，属于强度问题， 屈服或断裂破坏，属于强度问题，当然也可以将 塑性材料） 屈服极限 σs（塑性材料）和强度极限 σb（脆性 材料）作为极限应力。 材料）作为极限应力。
Iy < Iz
按照 Iy计算临界压力。 计算临界压力。
按照 Iy计算临界压力。 计算临界压力。
π 2 EI π 2 × 200 ×103 × 48 ×104 N Fcr = = 2 2 (2 × 2500) ( µl )
= 37860N = 37.86kN
若
h = b = 60mm
bh 3 60 4 Iy = Iz = = mm = 108 × 10 4 mm 12 12
一端固定，一端自由， 一端固定，一端自由， 长为l 长为l 的的压杆的挠曲线 和两端铰支，长为2 和两端铰支，长为2l的 压杆的挠曲线的上半部 分相同。则临界压力: 分相同。则临界压力:
π2EI F = cr (2l)2
同样: 同样: 两端固定的压杆的临界压力为: 两端固定的压杆的临界压力为:
π 2 EI Fcr = (0.5l ) 2 π 2 EI Fcr = (0.7l ) 2
16.2 临界力的计算
1、两端铰支杆 图示坐标系， 图示坐标系，考察微弯状态下任意 一段压杆的平衡（ ），杆件横截面上 一段压杆的平衡（图b），杆件横截面上 的弯矩为: 的弯矩为:
M ( x) = F ⋅ w( x)
根据挠曲线近似微分方程，有 根据挠曲线近似微分方程，
取
d 2 w( x) M ( x) = − EI dx 2 F 2 k = EI d 2 w( x) + k 2 w( x) = 0 dx 2
F k2 = EI
d 2 w( x) + k 2 w( x) = 0 dx 2
解微分方程得到通解为
w( x) = C1 sin kx + C 2 cos kx
C1和C2为待定常数，根据压杆的约束边 为待定常数， 界条件来确定，在两端铰支的情况下， 界条件来确定，在两端铰支的情况下， 边界条件为
w(0) = w(l ) = 0
C2 = 0,
C1 ⋅ sin kl = 0
w( x) = C1 sin kx + C 2 cos kx C2 = 0, C1 ⋅ sin kl = 0
若C1=0，表明杆为直线，这与压杆处于 =0，表明杆为直线， 微弯平衡状态不符。 微弯平衡状态不符。
sin kl = 0
kl = nπ (n = 0,1,2,....)
4、压杆失稳造成的灾难 1907年 1907年8月9日,在加拿大离魁北克城14.4Km横跨圣劳伦斯河的 在加拿大离魁北克城14.4Km横跨圣劳伦斯河的 大铁桥在施工中倒塌.灾变发生在当日收工前15分钟 桥上74人坠河 分钟, 大铁桥在施工中倒塌.灾变发生在当日收工前15分钟,桥上74人坠河 遇难.原因是在施工中悬臂桁架西侧的下弦杆有二节失稳所致. 失稳所致 遇难.原因是在施工中悬臂桁架西侧的下弦杆有二节失稳所致. 杭州某研发生产中心的厂房屋顶为园弧形大面积结构, 杭州某研发生产中心的厂房屋顶为园弧形大面积结构,屋面采 用预应力密肋网架结构,密肋大梁横截面(600mm×1400mm),屋面 用预应力密肋网架结构,密肋大梁横截面(600mm×1400mm),屋面 采用现浇板,板厚120mm .2003年 18日晚 时 当施工到26～28轴 日晚19 采用现浇板,板厚120mm .2003年2月18日晚19时,当施工到26～28轴 支模架失稳坍塌,造成重大伤亡事故。 失稳坍塌 时,支模架失稳坍塌,造成重大伤亡事故。 美国哈特福特城的体育馆网架结构，平面92m×110m,突然于 美国哈特福特城的体育馆网架结构，平面92m×110m,突然于 1978年破坏而落地 破坏起因可能是压杆屈曲 以及1988年加拿 1978年破坏而落地，破坏起因可能是压杆屈曲。以及1988年加拿 年破坏而落地， 压杆屈曲。 大一停车场的屋盖结构塌落，1985年土耳其某体育场看台屋盖塌 大一停车场的屋盖结构塌落，1985年土耳其某体育场看台屋盖塌 这两次事故都和没有设置适当的支撑有关。 没有设置适当的支撑有关 落，这两次事故都和没有设置适当的支撑有关。