高等工程数学讲义(矩阵理论部分)

求 L(1,2,3,4) 的基与维数。
解：以1,2,3,4 为列向量构造矩阵
1 −1 2 1
A
=
2 1
1 1
−1 0
−1 3
,
0
1
1
7
对 A 施行初等行变换化为行最简形矩阵（即厄米特阶梯形矩阵）
2
1 −1 2 1 1 −1 2 1
A
=
2
1
−1
−1
行
→
0
3
−
−3
1 1 0 3 0 2 −2 2
3
在引入矩阵加法和数乘运算后， M mn (F ) 构成数域 F 上的向量空间。
的线性关系。
1.2 矩阵运算及其性质
我们用 M mn (F ) 或 F mn 表示数域 F 上 m n 矩阵的全体，即
M mn (F ) = (aij )mn | aij F .
特别地用 M n (F ) 或 F nn 表示数域 F 上 n 阶方阵的全体。
定义 1.4 设 A = (aij )mn , B = (bij )mn ， A 与 B 的和为
0
1
1
7
0
1
1
7
1 0 1 2 1 0 0 -1
行
→
0
1
0
4
行
→
0
1
0
4
=B.
0 0 1 3 0 0 1 3
0
0
0
0
0
00
0
由矩阵 B 可知，1,2,3 是 L(1,2,3,4) 的基，且生成子空间的维数为 3。
注释：在这里，需要利用以下结论
（1） 设 B = (1, 2, 3, 4), 则 1, 2, 3 是 B 的极大无关组，也是 B 的列空间的基。 （2） A 施行初等行变换化为行最简形矩阵 B ，则它们的列向量组对应具有完全相同
（3）把某一行的 k 倍加到另一行的对应元素上（第 j 行的 k 倍加到第 i 行，记为
ri + krj ）。
对应地，可以定义矩阵的初等列变换。矩阵的初等行变换和初等列变换统称为矩阵的初
等变换。
初等变换在线性代数中的应用十分广泛，概括起来包括以下几个方面：
（1）解线性方程组； （2）求矩阵的行最简形； （3）求矩阵和向量组的秩，以及生成子空间的维数； （4）求向量组的极大无关组及生成子空间的基； （5）求逆矩阵； （6）解矩阵方程。
1.1 向量与矩阵
定义 1.1 数域 F 中的 n 个数 x1, x2, , xn 组成的有序数组，称为数域 F 上的 n 维向
量，xi 称为第 i 个分量。n 维向量 通常记为 = (x1, x2, , xn ) ，或者 = (x1, x2, , xn ) ，
前者称为行向量，后者称为列向量。数域 F 上的 n 维向量全体构成集合 F n 。
矩阵理论
第一章 线性代数概述
线性代数是学习矩阵理论的基础。综观线性代数知识体系，主要涉及两大任务。一是求 解线性方程组，首先作为行列式的主要应用，可以用克莱姆规则求解方程个数与未知量个数 相同的方程组（要求系数行列式不等于零）；其次，对于一般的线性方程组，讨论了解的判 定理论，然后，针对有解的方程组，给出了解的结构及求解的具体方法。二是对讨论的对象 实施化简，具体包括化矩阵为阶梯形，化方程组为阶梯形方程组，矩阵的相似对角化，实对 称矩阵的正交相似对角化，化二次型为标准形等。线性代数的一个重要工具是矩阵的初等变 换，在解线性方程组，求矩阵的行最简形、矩阵和向量组的秩、生成子空间的维数，求向量 组的极大无关组及生成子空间的基，求逆矩阵等方面用十分重要的应用。
s
阵 C = (cij )mn , 其中 cij = ai1b1 j + ai2b2 j +
+ aisbsj = aikbkj , i = 1, 2, ,m, j = 1, 2, ,n.
k =1
定义 1.5 设 A 是 n 阶方阵， E 是 n 阶单位矩阵，若存在一个 n 阶方阵 B ，使得
AB = BA = E ，则称方阵 A 可逆，并称方阵 B 为 A 的逆矩阵，记为 A−1.
命题 1.1 设矩阵 A 由定义 1.2 所确定，则矩阵 A 的秩 R(A) = {1,2, ,m} 的秩
= {1, 2, , n} 的秩 = dim L(1,2, ,m) = dim L(1, 2, , n ).
例 1.1 在 F 4 中有
1 = (1, 2,1,0), 2 = (−1,1,1,1), 3 = (2, −1,0,1), 4 = (1, −1,3,7),
我们用 R n 表示实数域 R 上的 n 维向量全体所构成的集合，用 C n 表示复数域 C 上的 n
维向量全体所构成的集合。即
Rn = (x1, x2, , xn) | xi R, Cn = (x1, x2, , xn) | xi C. 针对 n 维向量，在引入向量加法和数乘运算后，F n = (x1, x2, , xn) | xi F构成数域
的列向量， 1, 2, , n 称为 A 的列向量组。
进一步， L(1,2, ,m) 称为 A 的行空间， L(1, 2, , n ) 称为 A 的列空间。
定义 1.3 下面 3 种变换称为矩阵的初等行变换：
（1）交换矩阵的两行（交换 i, j 两行，记为 ri rj ）；
（2）用不为 0 的数 k 乘以矩阵某一行的所有元素（第 i 行乘以 k ，记为 ri k ）；
a11 + b11
A
+
B
=
a21
+
b21
am1
+
bm1
a12 + b12 a22 + b22
am2 + bm2
a1n + b1n
a2n
+
b2n
;
amn
+
bmn
数 k 乘矩阵 A
ka11
kA
=
ka21
kam1
ka12 ka22
kam2
ka1n
ka2n
;
kamn
设 A = (aij )ms , B = (bij )sn ，则 A 与 B 可作乘法运算，A 与 B 的乘积 AB 是一个 m n 矩
F 的向量空间。 定义 1.2 给定数域 F 上的一个 m n 矩阵
a11 a12
A
=
a21
a22
am1
am2
a1n
a2n
,
amn
A 的第 i 行构成一个 n 维向量，i = (ai1, ai2, , ain ) F n (i = 1, 2, , m) 称为 A 的行向量，
1
1,2, ,m 称为 A 的行向量组。同理， j = (a1j ,a2 j , ,amj ) F m( j =1,2, ,n) 称为 A