工程矩阵理论(第4章-Hermite二次型)
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线性代数下13正规变换hermite变换与hermite二次型
f
(n ,1)
j1
i 1 j 1
f (1,n )
f
(n
,n
)
称为f
的度量矩阵
取定基
{V上的双线性函数}
1:1对应
Mn(F)
2
上讲复习
结论：双线性函数 f 在不同基下的度量矩阵相合，即 B=PTAP.
对称双线性函数：f , )=f , ) 反对称双线性函数：f , )= -f , )
定义10.12 酉空间 V的线性 变换 σ，如果满足 ∗= ∗ ,
则称 σ 是正规变换.
结论 设σ 在一组SOB下的矩阵为A，则 σ为正规变换 ⇐⇒ (σ , σ ) = ( ∗ , ∗ ) ⇐⇒ AAH =AHA (称为正规矩阵)
性质(1) σ为正规变换 ⇒ 与 ∗有相同的特征向量 性质(2) 正规变换的属于不同特征值的特 征向量相互正交. 性质(3) 正规变换在某SOB下为对角阵；
Schimdt正 交化 (构造)
标准正交基
(i , j ) ij
(i, j 1, 2,, n)
UR分解 简化内积 正交补
A UR
(,
)
X
HY
V W W
SOB
酉阵
酉变换
AH A I
(,)
(,
)
4
本讲提要
正规变换 & Hermite变换 & Hermite二次型
qA
x1
x
H
Ax
xn
Hermite变换特征值均为实数 ⇒
矩阵分析
f ( X ) = X ( A + B) X ,
H
其中
X = ( x1 , x2 ,L , xn )
T
都是半正定H-矩阵 矩阵， 由于 A , B 都是半正定 矩阵，所以对于 任意一组不全为零的复数
x1 , x2 ,L , xn
我们有
f ( X ) = X ( A + B) X
H
= X AX + X BX ≥ 0
仍然为正定H-阵 另一方面注意矩阵 A 仍然为正定 阵, 而 反阵, 矩阵 B 为H-反阵 由上面的例题结论可知 反阵
−1
矩阵 A
−1
的特征值实部为零, B 的特征值实部为零 那么矩阵 −1 I+A B
的特征值中不可能有零, 的特征值中不可能有零 从而
I+A B ≠0
定理: 定理 对于给定的Hermite二次形 二次形 对于给定的
λ1 λ2 U H , 0 < λ ∈ R A =U i O λn
由于
A 又是酉矩阵, 又是酉矩阵
所以
λi = 1
这样必有
λi = 1
, 从而 A = I
是一个正定的H-阵 例 2 : 设 A 是一个正定的 阵, B 是一 个反H-阵 证明: 个反 阵, 证明 AB 与 BA 的特征值实 部为零. 部为零 证明: 设 λ 为矩阵的任意一个特征值 那 为矩阵的任意一个特征值, 证明 是一个正定H么有 λ I − AB = 0 . 由于 A是一个正定 阵, 所以存在可逆矩阵 Q 使得
2
证明: 设 λ1 , λ2 ,L , λn 为 A 的全部特征值 的全部特征值, 证明 由于 A 是半正定的, 所以 λi ≥ 0 . 于是有 是半正定的
线性代数 第四章 二次型
(一)二次型及其矩阵 定义4.1 只含有二次项的n 二次项的 定义4.1 只含有二次项的n元多项式
2 f ( x1 , x2 ,..., xn ) = a11 x1 + 2a12 x1 x2 + 2a13 x1 x3 + ... + 2a1n x1 xn 2 +a22 x2 + 2a23 x2 x3 + ... + 2a2 n x2 xn 2 +a33 x3 + ... + 2a3 n x3 xn + ............. 2 +ann xn
定义4.2 定义4.2 设两组变量 x1 , x2 ,..., xn 和 y1 , y2 ,..., yn 具有如下关系
x1= c11 y1+ c12 y2 + ... + c1n yn x2 = c21 y1+ c22 y2 + ... + c2 n yn xn = cn1 y1+ cn 2 y2 + ... + cnn yn
∽ ∽ ∽ ∽ ∽ ∽ ∽ ∽
存在可逆矩阵C,使得 存在可逆矩阵C,使得 C T AC =B 可逆矩阵C,
P −1 AP=B 存在可逆矩阵P, 可逆矩阵 存在C是正交矩阵,则 C T = C −1
B=C 既相似又合同. 此时若 B=CTAC = C −1 AC 则B与A既相似又合同.
2 f ( x1 , x2 ,..., xn ) = a11 x1 + a12 x1 x2 + a13 x1 x3 + ... + a1n x1 xn 2 +a21 x2 x1 +a22 x2 +a23 x2 x3 +... + a2 n x2 xn 2 +a31 x3 x1 +a32 x3 x2 + a33 x3 +... + a3 n x3 xn + ............. 2 +an1 xn x1 +an 2 xn x2 +an 3 xn x3 +... + ann xn
2 f ( x1 , x2 ,..., xn ) = a11 x1 + 2a12 x1 x2 + 2a13 x1 x3 + ... + 2a1n x1 xn 2 +a22 x2 + 2a23 x2 x3 + ... + 2a2 n x2 xn 2 +a33 x3 + ... + 2a3 n x3 xn + ............. 2 +ann xn
定义4.2 定义4.2 设两组变量 x1 , x2 ,..., xn 和 y1 , y2 ,..., yn 具有如下关系
x1= c11 y1+ c12 y2 + ... + c1n yn x2 = c21 y1+ c22 y2 + ... + c2 n yn xn = cn1 y1+ cn 2 y2 + ... + cnn yn
∽ ∽ ∽ ∽ ∽ ∽ ∽ ∽
存在可逆矩阵C,使得 存在可逆矩阵C,使得 C T AC =B 可逆矩阵C,
P −1 AP=B 存在可逆矩阵P, 可逆矩阵 存在C是正交矩阵,则 C T = C −1
B=C 既相似又合同. 此时若 B=CTAC = C −1 AC 则B与A既相似又合同.
2 f ( x1 , x2 ,..., xn ) = a11 x1 + a12 x1 x2 + a13 x1 x3 + ... + a1n x1 xn 2 +a21 x2 x1 +a22 x2 +a23 x2 x3 +... + a2 n x2 xn 2 +a31 x3 x1 +a32 x3 x2 + a33 x3 +... + a3 n x3 xn + ............. 2 +an1 xn x1 +an 2 xn x2 +an 3 xn x3 +... + ann xn
Hermite二次型
实对称矩阵 H矩阵必酉相似于一实对角阵
U H AU T
U H U 1
4
实对称矩阵的性质
1．实对称矩阵的特征值都是实数。
2． 实对称矩阵的属于不同特征值的 特征向量相互正交。
3． 对任意实对称矩阵 A ，存在正交矩阵 Q ， 使得 Q AQ 是对角阵。
T
5
H阵的性质
定理1:H阵的特征值均是实数。
29
定理8
设 A是n nHermite阵，则下述条件等价：
1. A是半正定的； 2. A的特征值均大于或等于 零； Ir 3. A与 共轭合同； O 4.存在矩阵P使得A P H P; 5. A的各主子式均大于或等 于零。
30
例7
证明：正定矩阵与半正 定矩阵的和一定是正定 矩阵。
18
惯性定理
若H阵A与
矩阵形式：
a1 b1 a b 2 2 1 , 2 an bn 共轭合同，则a1 , a2 , , an与b1 , b2 , , bn中正、负项 个数相同。分别称为矩阵A的正、负惯性指数。
37
定理10
假设H阵A C ，A的特征值1 2 n , 则
nn
1 min R( X )
X C n
n max R( X )
X C n
38
例8
假设A是酉矩阵，证明： | X AX | maxn 1. H X C X X
H
39
, n ，所以，
i ,1 i j r i x xi 0,i j或i j r
H j
33
奇值分解定理的证明
因此， Ax1 ,
U H AU T
U H U 1
4
实对称矩阵的性质
1．实对称矩阵的特征值都是实数。
2． 实对称矩阵的属于不同特征值的 特征向量相互正交。
3． 对任意实对称矩阵 A ，存在正交矩阵 Q ， 使得 Q AQ 是对角阵。
T
5
H阵的性质
定理1:H阵的特征值均是实数。
29
定理8
设 A是n nHermite阵，则下述条件等价：
1. A是半正定的； 2. A的特征值均大于或等于 零； Ir 3. A与 共轭合同； O 4.存在矩阵P使得A P H P; 5. A的各主子式均大于或等 于零。
30
例7
证明：正定矩阵与半正 定矩阵的和一定是正定 矩阵。
18
惯性定理
若H阵A与
矩阵形式：
a1 b1 a b 2 2 1 , 2 an bn 共轭合同，则a1 , a2 , , an与b1 , b2 , , bn中正、负项 个数相同。分别称为矩阵A的正、负惯性指数。
37
定理10
假设H阵A C ，A的特征值1 2 n , 则
nn
1 min R( X )
X C n
n max R( X )
X C n
38
例8
假设A是酉矩阵，证明： | X AX | maxn 1. H X C X X
H
39
, n ，所以，
i ,1 i j r i x xi 0,i j或i j r
H j
33
奇值分解定理的证明
因此， Ax1 ,
矩阵分析 课件 第四章 矩阵分解
A R U R1U1
定理2.2：设
A
C mr r
，
则
A
可以唯一的分解为
A UR
U
U
mr r
R 是r 阶正线上三角阵
推论2.2：设
PAQ
Er 0
D
0
P
C mm m
Q
C nn n
A
P1
Er 0
D 0
Q1
P1
Er 0
Er
D Q1 BC
C
B
B
C mr r
,
C
C rn r
例题1.1, 1.2
矩阵的满秩分解是不唯一的，但是它们之间满足：
定理1.2：若 A BC B1C1 均为A的满秩分解，那么
(1)存在
C rR r
第8节 Hermite变矩阵、 Hermite二次齐式
对称矩阵，二次型
AH A AT A
定理8.1： 若A是n阶复矩阵，则，
（1）A是Hermite矩阵的充要条件是对任意 x Cn ，xH Ax是实数。 （2）A是Hermite矩阵的充要条件是对任意 S Cnn ， S H AS 是 Hermite矩阵。
证明：
A
C nn n
A (1, 2 ,
, n )
主对角线元 素为正的
(1, 2 , , n ) 正交化 (1, 2 , , n ) 单位化 (v1, v2 , , vn )
1 1
2
2
(2 , 1) (1, 1)
1
3
3
(3, 1) (1, 1)
1
( 3 , (2,
2 ) 2)
2
1 1
2
(2 , 1) (1, 1)
定理2.2：设
A
C mr r
，
则
A
可以唯一的分解为
A UR
U
U
mr r
R 是r 阶正线上三角阵
推论2.2：设
PAQ
Er 0
D
0
P
C mm m
Q
C nn n
A
P1
Er 0
D 0
Q1
P1
Er 0
Er
D Q1 BC
C
B
B
C mr r
,
C
C rn r
例题1.1, 1.2
矩阵的满秩分解是不唯一的，但是它们之间满足：
定理1.2：若 A BC B1C1 均为A的满秩分解，那么
(1)存在
C rR r
第8节 Hermite变矩阵、 Hermite二次齐式
对称矩阵，二次型
AH A AT A
定理8.1： 若A是n阶复矩阵，则，
（1）A是Hermite矩阵的充要条件是对任意 x Cn ，xH Ax是实数。 （2）A是Hermite矩阵的充要条件是对任意 S Cnn ， S H AS 是 Hermite矩阵。
证明：
A
C nn n
A (1, 2 ,
, n )
主对角线元 素为正的
(1, 2 , , n ) 正交化 (1, 2 , , n ) 单位化 (v1, v2 , , vn )
1 1
2
2
(2 , 1) (1, 1)
1
3
3
(3, 1) (1, 1)
1
( 3 , (2,
2 ) 2)
2
1 1
2
(2 , 1) (1, 1)
南航戴华《矩阵论》Hermite矩阵与正定矩阵(课堂PPT)
(3) A的n 个特征值均为非负数； （ 4）存 n阶 在可逆 P使 矩 P 得 H 阵 AP I0r 0 0,其中
rran (Ak);
(5 )存在 r的 秩 Q 矩 使 为 A 阵 得 Q H Q ;
（ 6 ）n 存 阶 H在 e矩 rm S 使 阵 A i t得 S e 2 .
.
18
推论5.2.2 设A是n阶Herm非it负 e 定矩阵，为其
称形如（5.1.12）的二次型为Hermite二次型的
标准形。
.
9
定理5.1.7 对Hermite二次型 f (x) = xHAx，存在酉 线性变换x = Uy（其中U是酉矩阵）使得Hermite 二次型f (x)变成标准形
1 y 1 y 1 2 y 2 y 2 n y n y n
其 1,中 2, ,n 是 He矩 rm A 的 阵 ite 特征
A C 0 (A C 0 ).
定理5.3.2 设A,B均为n 阶Hermite矩阵，且A≥0, B>0， 则
(1)BA的充分必要条 (AB 件 1)是 1; (2)BA的充分必要条 (AB 件 1)是 1.
定理5.3.3 设A是n 阶Hermite矩阵, 则
定义5.2.2 设 A,BCnn,如果存 和 在非 复零 数
xCn使得
A x Bx (5 .2 .5 )
则称λ为广义特征值问题 AxB的x特征值，非零
向量 x 称为对应于特征值的特征向量。
定理5.2.7 设A,B 均为n 阶Hermite矩阵 ，且B>0， 则存在非奇异矩阵 P 使得
P H A d P (i 1 , a ,n ) g P ,H B I P
.
14
5.2 Hermite正定（非负定）矩阵
rran (Ak);
(5 )存在 r的 秩 Q 矩 使 为 A 阵 得 Q H Q ;
（ 6 ）n 存 阶 H在 e矩 rm S 使 阵 A i t得 S e 2 .
.
18
推论5.2.2 设A是n阶Herm非it负 e 定矩阵，为其
称形如（5.1.12）的二次型为Hermite二次型的
标准形。
.
9
定理5.1.7 对Hermite二次型 f (x) = xHAx，存在酉 线性变换x = Uy（其中U是酉矩阵）使得Hermite 二次型f (x)变成标准形
1 y 1 y 1 2 y 2 y 2 n y n y n
其 1,中 2, ,n 是 He矩 rm A 的 阵 ite 特征
A C 0 (A C 0 ).
定理5.3.2 设A,B均为n 阶Hermite矩阵，且A≥0, B>0， 则
(1)BA的充分必要条 (AB 件 1)是 1; (2)BA的充分必要条 (AB 件 1)是 1.
定理5.3.3 设A是n 阶Hermite矩阵, 则
定义5.2.2 设 A,BCnn,如果存 和 在非 复零 数
xCn使得
A x Bx (5 .2 .5 )
则称λ为广义特征值问题 AxB的x特征值，非零
向量 x 称为对应于特征值的特征向量。
定理5.2.7 设A,B 均为n 阶Hermite矩阵 ，且B>0， 则存在非奇异矩阵 P 使得
P H A d P (i 1 , a ,n ) g P ,H B I P
.
14
5.2 Hermite正定（非负定）矩阵
矩阵论——Hermite二次型
第五章 Hermite 二次型§1 Hermite 阵，正规阵设函数()〉〈===∑X AX AX X x x a x x x f T j i ij n ,,,,21其中n n ij a A ⨯=)(为实对称阵，X 是实向量。
设n n C A ⨯∈，n C X ∈，则在n C （酉空间）j i ji ij H x x a AX X X AX x f ∑==〉〈=,,)( （1.1）)(x f 是实函数f f H=⇔AX X X A X H H H =⇔0)(=-⇔X A A X H H ，n C X ∈∀。
取k e X =，00=⇒=kk H m MX X ，0=⇒+=ij j i m ie e Xf fH=A A H =⇔即ji ij a a =定义1.1 设n n C A ⨯∈若A A H =则称A 为Hermite 阵。
简称为H 阵，记m H A ∈，若A 为Hermite 阵，则称共轭对称的二次齐式（1.1）为Hermite 二次型。
显然实对称阵⇔Hermite 阵（实）。
定理1.1 Hermite 阵必酉相似于一实对角阵。
证明 设A 为m H 则T 及上三角阵U ∃使T AU =H U ， 而A A H =T AU U A H ===⇒H H H U U T 所以T 是一个实对角阵。
定理1.2 Hermite 阵的特征值全为实数。
（T AU =H U ，实对角阵）定理 1.3 Hermite 阵相异特征值对应的特征向量必正交。
（0,,==〉〈=λi H j j i Ax x x x UT AU ）定义1.2 若n 阶复方阵A 满足H H AA A A =，则称A 为正规阵，如Hermite 阵是正规阵。
定理1.4 方阵A 酉相似于对角阵A ⇔是正规阵。
证明 “⇒”： 设Λ=AU H U ，（Λ为对角阵，U 为酉阵）H H H H H H H H H U U U U U U A A ΛΛ=ΛΛ=⇒ΛΛ=ΛΛ⇒ H H H AA U U =ΛΛ=“⇐”T AU =H U ，H H AA A A =⇒H H TT T T =⇒。
工程矩阵理论
精彩摘录
精彩摘录
《工程矩阵理论》是一本深入浅出，理论与实践相结合的优秀教材。它用清 晰的语言和丰富的例子，为读者揭示了矩阵理论在工程领域中的广泛应用和深远 影响。以下是本书中的一些精彩摘录，它们从不同的角度展示了矩阵理论的魅力 和重要性。
精彩摘录
“矩阵不仅是数学中的一个基本工具，也是工程师解决实际问题的重要武器。 在信号处理、控制系统、电路设计、图像处理等领域，矩阵理论都发挥着不可替 代的作用。”这段话强调了矩阵理论在工程实践中的广泛应用，提醒我们要重视 矩阵理论的学习和应用。
目录分析
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《工程矩阵理论》是一本专注于工程领域的矩阵理论教材，其目录结构精心 组织，内容深入且全面。本书旨在向工科研究生提供关于矩阵论的深入理解和应 用技能。以下是对这本书目录的详细分析。
目录分析
目录首先引入了“线性空间与线性映射”这一章节。线性空间是矩阵理论的 基础，它定义了向量空间的性质和运算规则。线性映射则描述了线性空间之间的 变换关系，这是理解矩阵在空间中如何操作的关键。
精彩摘录
“矩阵的秩是矩阵理论中的一个核心概念，它反映了矩阵行列之间的线性关 系。在解决实际问题时，通过计算矩阵的秩，我们可以判断系统的可控性、可观 性、稳定性等关键性质。”这段话揭示了矩阵秩在工程问题中的重要应用，体现 了矩阵理论在解决实际问题中的价值。
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“特征值和特征向量是矩阵理论中的两个重要概念，它们与矩阵的对角化、 相似变换等概念紧密相关。在控制系统的稳定性分析、信号处理中的滤波器设计 等领域，特征值和特征向量的应用广泛而深入。”这段话展示了特征值和特征向 量在矩阵理论中的重要地位，以及它们在工程实践中的应用。
精彩摘录
“矩阵分解是矩阵理论中的一个重要方法，它可以将一个复杂的矩阵分解为 几个简单的矩阵的乘积。通过矩阵分解，我们可以简化计算过程，揭示矩阵的内 在结构，为解决实际问题提供便利。”这段话阐述了矩阵分解的重要性和应用， 体现了矩阵理论在解决实际问题中的灵活性和实用性。
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工程矩阵理论
主讲: 张小向
第四章 Hermite二次型
第一节 Hermite阵, 正规阵 第二节 Hermite二次型
第三节 Rayleigh商
第四章 Hermite二次型
§4.1 Hermite阵, 正规阵
§4.1 Hermite阵, 正规阵 一. Hermite阵 定义4.1.1 设A = (aij)nn为复n阶矩阵, X = (x1, x2, …, xn)T为复n维列向量. 若AH = A, 则称A为Hermite阵, 简称为H阵. 若A为Hermite阵, 则称 f(X) = XHAX =
x1 1 令 x2 = 0 x3 0
i1 63i 1 1+3i 0 1
y1 y2 , y3
则 f = | y1|2 + | y2|2 13| y3|2. 注: 若进一步令 y1 = z1, y2 = z2, y3 = 则 f = |z1|2 + |z2|2 |z3|2.
1 z , 3 13
第四章 Hermite二次型
§4.1 Hermite阵, 正规阵
定理4.1.5 设A为n阶方阵, 则 A是正规阵 X n, 有||AX|| = ||AHX||. 证明: ()若A为正规阵, 则 ||AX||2 = (AX)H(AX) = XHAHAX = XHAAHX = (AHX)H(AHX) = ||AHX||2. 因而||AX|| = ||AHX||.
(4) A为Hermite阵. 证明: (3)(4)令AH A = M = (mij)nn, 则mkk = ekHMek = 0 (k = 1, 2, …, n).
第四章 Hermite二次型
§4.1 Hermite阵, 正规阵
对于任意的1 k l n, mkl + mlk = (ek+el)HM(ek+el) = 0, i(mkl mlk) = (ek+iel)HM(ek+iel) = 0, 由此可得mkl = 0, 因而AH A = M = (mij)nn = O, 即AH = A. 注② “实Hermite阵” = “实对称阵”.
注意到齐次线性方程组
g11y1 + g12y2 + … + g1nyn = 0 = z1 … gq1y1 + gq2y2 + … + gqnyn = 0 = zq yp+1 = 0 … yn = 0
中, 方程的个数 < 未知数的个数, 故有非零解.
假设p > q
第四章 Hermite二次型
§4.2 Hermite二次型
当A为Hermite阵时, 对于任意的k = 1, 2, …, n, 令X = Cek, 则dk = ekHDek = XHAX .
第四章 Hermite二次型
§4.2 Hermite二次型
注② 根据定理4.1.1, Hermite阵A必酉相似于实对角阵, 即存在酉矩阵U使得UHAU为实对角阵. 可见Hermite阵必共轭合同于实对角阵. 定理4.2.1 对于任意的Hermite二次型 f(X) = XHAX, f 其中AH = A, X = (x1, x2, …, xn)T, 的 存在可逆线性变换X = CY使得 标 f(X) = d1|y1|2 + d2|y2|2 + … + dn|yn|2, 准 形 其中d1, d2, …, dn全为实数.
第四章 Hermite二次型
§4.1 Hermite阵, 正规阵
推论4.1.1 正规阵A的特征子空间相互正交. 证明: 根据定理4.1.4,存在酉矩阵U使得 UHAU = 为对角阵. 令U = (1, 2, …, n), = diag(1, 2, …, n), 则i为A的对应于特征值i的特征向量, 而且1, 2, …, n两两正交. 因而A的特征子空间相互正交.
第四章 Hermite二次型
§4.2 Hermite二次型
0 2+i (i2) 1 1i 2+i (1i) 1 0 1 13i 1+i 3 0 2 2i 3i1 2 2 i 0 A 1 i 1 = 0 0 1 0 I 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1
(i1)
第四章 Hermite二次型
§4.1 Hermite阵, 正规阵
同时, 由 [A(ek+iel)]H[A(ek+iel)] = ||A(ek+iel)||2 = ||AH(ek+iel)||2 = [AH(ek+iel)]H[AH(ek+iel)] 可得 iekH(AHAAAH)el ielH(AHAAAH)ek = 0. 进而有ekH(AHAAAH)el = 0. 综上可得AHAAAH = O, 即AHA = AAH.
1i,jn
aijxixj
为Hermite二次型.
第四章 Hermite二次型
§4.1 Hermite阵, 正规阵
注① 对于f(X) = XHAX, 下列条件等价: (1) f(X) (X n); (2) (XHAX)H = XHAX (X n); (3) XH(AH A)X = 0 (X n);
将一组非零解代入下面的等式 |y1|2 + … + |yp|2 |yp+1|2 … |yr|2, =
>0
f(X) =
=0
|z1|2 + … + |zq|2 |zq+1|2 … |zr|2.
=0 0
得矛盾, 故p q. 同理可证q p. 因而p = q.
第四章 Hermite二次型
t 令T = 0 T 为n阶上三角正规阵, 1
则由THT = TTH可得 |t|2 = |t|2 + H 且 T1HT1 = T1T1H. 故 = 0 且 T1为对角阵.
第四章 Hermite二次型
§4.1 Hermite阵, 正规阵
定理4.1.4 A酉相似于对角阵 A是正规阵. 证明: ()设U为酉矩阵, UHAU = 为对角阵. 则A = UUH, AHA = (UUH)H(UUH) = (UHUH)(UUH) = UHUH = UHUH = (UUH)(UHUH) = AAH. 可见A为正规阵.
注② 若A为酉矩阵, 则AHA = I = AAH. 可见酉矩阵一定是正规阵.
第四章 Hermite二次型
§4.1 Hermite阵, 正规阵
注③上三角的正规阵T必为对角阵. 证明: (1)一阶上三角阵T是对角阵. (2)当n > 1时, 设n1阶上三角的正规阵是对角阵. 下面证明n阶上三角正规阵也是.
第四章 Hermite二次型
§4.2 Hermite二次型
例1 求可逆线性变换把Hermite二次型 f(x1, x2, x3) = |x1|2 + (1i)x1x2 + (2+i)x1x3 + (1+i)x1x2 + 3|x2|2 + (2i)x1x3 + 2|x3|2 化为标准形.
1 解: f 的矩阵A = 1+i 2 i 1 i 3 0 2+i 0 . 2
定理4.1.3 Hermite阵不同特征值对应的特征 向量必正交.
第四章 Hermite二次型
§4.1 Hermite阵, 正规阵
二. 正规阵 定义4.1.2 若复矩阵A 满足AHA = AAH, 则称A为正规阵(normal matrix).
注① 若A为Hermite阵, 则AH = A, 于是AHA = A2 = AAH. 可见Hermite阵一定是正规阵.
第四章 Hermite二次型
§4.1 Hermite阵, 正规阵
()①对于任意的k = 1, 2, …, n, ekHAHAek = (Aek)H(Aek) = ||Aek||2 = ||AHek||2 = (AHek)H(AHek) = ekHAAHek. 可见AHA与AAH的主对角元对应相等. ②对于任意的1 k l n, 由 [A(ek+el)]H[A(ek+el)] = ||A(ek+el)||2 = ||AH(ek+el)||2 = [AH(ek+el)]H[AH(ek+el)] 可得 ekH(AHAAAH)el + elH(AHAAAH)ek = 0.
第四章 Hermite二次型
§4.1 Hermite阵, 正规阵
定理4.1.1 Hermite阵必酉相似于实对角阵. 证明: 设AH = A. 根据Schur引理, 存在酉矩阵U以及上三角矩阵T使得 UHAU = T. 于是有TH = UHAHU = UHAU = T. 可见T为实对角阵.
定理4.1.2 Hermite阵的特征值全为实数.
第四章 Hermite二次型
§4.2 Hermite二次型
定理4.2.2 (惯性定理) Hermite二次型的标准形中, 系数为正数的项数以及 系数为负数的项数都是唯一的.
证明: 设 f(X) = XHAX, 其中AH = A, r(A) = r, 则 f(X)的标准形中系数非零的项数为r. 而且可以进一步把标准形中正系数 化为1, 负系数化为1.
由DZ = X = CY得Z = D1CY.
g11 g21 1 设D C = … g n1 g12 … g1n g22 … g2n …… … ,则 gn2 … gnn
第四章 Hermite二次型
§4.2 Hermite二次型
z1 = g11y1 + g12y2 + … + g1nyn , z2 = g21y1 + g22y2 + … + g2nyn , 1CY Z = D …, zn = gn1y1 + gn2y2 + … + gnnyn .
主讲: 张小向
第四章 Hermite二次型
第一节 Hermite阵, 正规阵 第二节 Hermite二次型
第三节 Rayleigh商
第四章 Hermite二次型
§4.1 Hermite阵, 正规阵
§4.1 Hermite阵, 正规阵 一. Hermite阵 定义4.1.1 设A = (aij)nn为复n阶矩阵, X = (x1, x2, …, xn)T为复n维列向量. 若AH = A, 则称A为Hermite阵, 简称为H阵. 若A为Hermite阵, 则称 f(X) = XHAX =
x1 1 令 x2 = 0 x3 0
i1 63i 1 1+3i 0 1
y1 y2 , y3
则 f = | y1|2 + | y2|2 13| y3|2. 注: 若进一步令 y1 = z1, y2 = z2, y3 = 则 f = |z1|2 + |z2|2 |z3|2.
1 z , 3 13
第四章 Hermite二次型
§4.1 Hermite阵, 正规阵
定理4.1.5 设A为n阶方阵, 则 A是正规阵 X n, 有||AX|| = ||AHX||. 证明: ()若A为正规阵, 则 ||AX||2 = (AX)H(AX) = XHAHAX = XHAAHX = (AHX)H(AHX) = ||AHX||2. 因而||AX|| = ||AHX||.
(4) A为Hermite阵. 证明: (3)(4)令AH A = M = (mij)nn, 则mkk = ekHMek = 0 (k = 1, 2, …, n).
第四章 Hermite二次型
§4.1 Hermite阵, 正规阵
对于任意的1 k l n, mkl + mlk = (ek+el)HM(ek+el) = 0, i(mkl mlk) = (ek+iel)HM(ek+iel) = 0, 由此可得mkl = 0, 因而AH A = M = (mij)nn = O, 即AH = A. 注② “实Hermite阵” = “实对称阵”.
注意到齐次线性方程组
g11y1 + g12y2 + … + g1nyn = 0 = z1 … gq1y1 + gq2y2 + … + gqnyn = 0 = zq yp+1 = 0 … yn = 0
中, 方程的个数 < 未知数的个数, 故有非零解.
假设p > q
第四章 Hermite二次型
§4.2 Hermite二次型
当A为Hermite阵时, 对于任意的k = 1, 2, …, n, 令X = Cek, 则dk = ekHDek = XHAX .
第四章 Hermite二次型
§4.2 Hermite二次型
注② 根据定理4.1.1, Hermite阵A必酉相似于实对角阵, 即存在酉矩阵U使得UHAU为实对角阵. 可见Hermite阵必共轭合同于实对角阵. 定理4.2.1 对于任意的Hermite二次型 f(X) = XHAX, f 其中AH = A, X = (x1, x2, …, xn)T, 的 存在可逆线性变换X = CY使得 标 f(X) = d1|y1|2 + d2|y2|2 + … + dn|yn|2, 准 形 其中d1, d2, …, dn全为实数.
第四章 Hermite二次型
§4.1 Hermite阵, 正规阵
推论4.1.1 正规阵A的特征子空间相互正交. 证明: 根据定理4.1.4,存在酉矩阵U使得 UHAU = 为对角阵. 令U = (1, 2, …, n), = diag(1, 2, …, n), 则i为A的对应于特征值i的特征向量, 而且1, 2, …, n两两正交. 因而A的特征子空间相互正交.
第四章 Hermite二次型
§4.2 Hermite二次型
0 2+i (i2) 1 1i 2+i (1i) 1 0 1 13i 1+i 3 0 2 2i 3i1 2 2 i 0 A 1 i 1 = 0 0 1 0 I 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1
(i1)
第四章 Hermite二次型
§4.1 Hermite阵, 正规阵
同时, 由 [A(ek+iel)]H[A(ek+iel)] = ||A(ek+iel)||2 = ||AH(ek+iel)||2 = [AH(ek+iel)]H[AH(ek+iel)] 可得 iekH(AHAAAH)el ielH(AHAAAH)ek = 0. 进而有ekH(AHAAAH)el = 0. 综上可得AHAAAH = O, 即AHA = AAH.
1i,jn
aijxixj
为Hermite二次型.
第四章 Hermite二次型
§4.1 Hermite阵, 正规阵
注① 对于f(X) = XHAX, 下列条件等价: (1) f(X) (X n); (2) (XHAX)H = XHAX (X n); (3) XH(AH A)X = 0 (X n);
将一组非零解代入下面的等式 |y1|2 + … + |yp|2 |yp+1|2 … |yr|2, =
>0
f(X) =
=0
|z1|2 + … + |zq|2 |zq+1|2 … |zr|2.
=0 0
得矛盾, 故p q. 同理可证q p. 因而p = q.
第四章 Hermite二次型
t 令T = 0 T 为n阶上三角正规阵, 1
则由THT = TTH可得 |t|2 = |t|2 + H 且 T1HT1 = T1T1H. 故 = 0 且 T1为对角阵.
第四章 Hermite二次型
§4.1 Hermite阵, 正规阵
定理4.1.4 A酉相似于对角阵 A是正规阵. 证明: ()设U为酉矩阵, UHAU = 为对角阵. 则A = UUH, AHA = (UUH)H(UUH) = (UHUH)(UUH) = UHUH = UHUH = (UUH)(UHUH) = AAH. 可见A为正规阵.
注② 若A为酉矩阵, 则AHA = I = AAH. 可见酉矩阵一定是正规阵.
第四章 Hermite二次型
§4.1 Hermite阵, 正规阵
注③上三角的正规阵T必为对角阵. 证明: (1)一阶上三角阵T是对角阵. (2)当n > 1时, 设n1阶上三角的正规阵是对角阵. 下面证明n阶上三角正规阵也是.
第四章 Hermite二次型
§4.2 Hermite二次型
例1 求可逆线性变换把Hermite二次型 f(x1, x2, x3) = |x1|2 + (1i)x1x2 + (2+i)x1x3 + (1+i)x1x2 + 3|x2|2 + (2i)x1x3 + 2|x3|2 化为标准形.
1 解: f 的矩阵A = 1+i 2 i 1 i 3 0 2+i 0 . 2
定理4.1.3 Hermite阵不同特征值对应的特征 向量必正交.
第四章 Hermite二次型
§4.1 Hermite阵, 正规阵
二. 正规阵 定义4.1.2 若复矩阵A 满足AHA = AAH, 则称A为正规阵(normal matrix).
注① 若A为Hermite阵, 则AH = A, 于是AHA = A2 = AAH. 可见Hermite阵一定是正规阵.
第四章 Hermite二次型
§4.1 Hermite阵, 正规阵
()①对于任意的k = 1, 2, …, n, ekHAHAek = (Aek)H(Aek) = ||Aek||2 = ||AHek||2 = (AHek)H(AHek) = ekHAAHek. 可见AHA与AAH的主对角元对应相等. ②对于任意的1 k l n, 由 [A(ek+el)]H[A(ek+el)] = ||A(ek+el)||2 = ||AH(ek+el)||2 = [AH(ek+el)]H[AH(ek+el)] 可得 ekH(AHAAAH)el + elH(AHAAAH)ek = 0.
第四章 Hermite二次型
§4.1 Hermite阵, 正规阵
定理4.1.1 Hermite阵必酉相似于实对角阵. 证明: 设AH = A. 根据Schur引理, 存在酉矩阵U以及上三角矩阵T使得 UHAU = T. 于是有TH = UHAHU = UHAU = T. 可见T为实对角阵.
定理4.1.2 Hermite阵的特征值全为实数.
第四章 Hermite二次型
§4.2 Hermite二次型
定理4.2.2 (惯性定理) Hermite二次型的标准形中, 系数为正数的项数以及 系数为负数的项数都是唯一的.
证明: 设 f(X) = XHAX, 其中AH = A, r(A) = r, 则 f(X)的标准形中系数非零的项数为r. 而且可以进一步把标准形中正系数 化为1, 负系数化为1.
由DZ = X = CY得Z = D1CY.
g11 g21 1 设D C = … g n1 g12 … g1n g22 … g2n …… … ,则 gn2 … gnn
第四章 Hermite二次型
§4.2 Hermite二次型
z1 = g11y1 + g12y2 + … + g1nyn , z2 = g21y1 + g22y2 + … + g2nyn , 1CY Z = D …, zn = gn1y1 + gn2y2 + … + gnnyn .