关系运算

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专门的关系运算包括选择运算,投影运算和笛卡尔积运算

专门的关系运算包括选择运算,投影运算和笛卡尔积运
算
专门的关系运算包括选择运算、投影运算和连接运算，不包括笛卡尔积运算。

1. 选择运算：从关系中选出满足条件的元组，形成新的关系。

2. 投影运算：从关系中选择出需要的属性，形成新的关系。

3. 连接运算：将两个关系的相同属性上的值进行比较，生成新的关系。

笛卡尔积运算是关系代数的基本操作，它通过将两个关系的每个元组与另一个关系的每个元组进行组合，生成新的关系。

但它并不是专门的关系运算，而是一种基本的组合操作。

关系的运算

定理4.9
设R、S、T、Q 为任意的关系，满足S T，则有： 1 R◦ S R◦ T 2 S◦ Q T◦ Q
4.3.4 复合运算
定义4.11
设R为A 上的关系，n为自然数，则R的n次幂定义为：（1） R0 = {<x, x>|x A} = IA （2） Rn+1 = Rn◦ R, n 0 由该定义可以看出，A 上的任何二元关系的0次幂都相等，等于A 上的恒等关系IA ，并且有： R1 = R0◦ R = IA◦ R = R 给定A 上的关系R和自然数n，怎样计算Rn呢？若n是0或1，结果是很简单的。下面考虑n≥2的情况：（1）如果R是用集合表达式给出的，可以根据定义通过n-l次右复合计算得到Rn 。
4.3.4 复合运算
关系矩阵M R 和M S 的布尔乘法:
设集合X={x1, x2, …,xm}，Y={y1, y2, …,yn}，Z={z1, z2, …,zp}，R是从X到Y的二元关系，其关系矩阵是M R ，S是从Y到Z的二元关系，其关系矩阵是M S ，求R◦ S的关系矩阵M R ◦ S的方法如下：
4.3.1定义域与值域
定义4.8
设R是二元关系，A 为集合，
（1）R在A 上的限制记作R↾ A，其中 R↾ A = {<x, y>|xRyxA}
（2）A在R 下的像记作R[A]，其中 R[A]=ran (R↾ A)
由定义可得出，R在A 上的限制R↾ A 是R的子关系，而A 在R下的像R[A]是ranR的子集。
例2.14
设 R = {<1, 2>, <1, 3>, <2, 2>, <2, 4>, <3, 2>} R↾ {2} = {<2, 2>, <2, 4>}, R[{2}] = {2,4}

关系的性质与运算

性质：并运算具有交换律和结合律，即R∪S=S∪R且 (R∪S)∪K=R∪(S∪ K)。
运算方法：对于任意两个关系R和S，它们的并运算可以通过将R和S中的所有元组合并在一起得到。
应用：并运算是关系运算中的基本运算之一，它可以用于数据的合并、查询的扩展等场景。
关系的交运算
01
定义：设$R$和$S$是两个关系，由所有$(x, y)$组成的集合，其中 $x$属于$R$的域，$y$属于$S$的域，且$(x, y)$满足$x R y$且$x S y$。
性质：传递性是关系的基本性质之一，它反映了元素之间的顺序关系
举例：在自然数中，小于关系L具有传递性，即如果a<b且b<c，则必有a<c
应用：传递性在数学、逻辑和计算机科学等领域中有着广泛的应用，例如在排序算法、图论和数据库查询中等
Part Two
关系的运算
关系的并运算
定义：对于任意两个关系R和S，它们的并运算R∪S是一个新的关系，其中包含R和S中所有的元组。
运算规则：对于任意元组$(a, b)$，如果$(a, b) \in R - S$，则$(a, b) \in R$且$(a, b) \notin S$。
举例：设关系$R = \{(1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 5)\}$，关系$S = \{(2, 3), (3, 4)\}$，则 $R - S = \{(1, 2), (4, to unlimited possibilities
汇报人：XX
目录
01 关系的性质
02 关系的运算
Part One
关系的性质
自反性
定义：如果对于关系中的任意元素，都存在一个与自己相关的元素与之关联，则称该关系具有自反性。

关系运算符号

关系运算符号【最新版】目录1.关系运算符号的定义与分类2.关系运算符号的应用示例3.关系运算符号在数据库查询中的使用4.关系运算符号的优先级与结合性5.关系运算符号的常见问题与解答正文关系运算符号是用于表示两个数之间关系的符号，主要应用于数学、逻辑学以及计算机科学等领域。

在数学中，关系运算符号通常用来表示集合之间的包含、相等、全异等关系。

在计算机科学中，关系运算符号主要用于数据库查询和逻辑表达式的构建。

关系运算符号主要分为以下几类：1.集合运算符号：用于表示集合之间的运算，如并集、交集、差集等。

常见的集合运算符号有：∪（并集）、∩（交集）、-（差集）等。

2.比较运算符号：用于比较两个数之间的关系，如大于、小于、等于等。

常见的比较运算符号有：>（大于）、<（小于）、=（等于）等。

3.逻辑运算符号：用于表示逻辑关系，如逻辑与、逻辑或、逻辑非等。

常见的逻辑运算符号有：∧（与）、∨（或）、（非）等。

在实际应用中，关系运算符号可以用于解决各种问题。

例如，在数据库查询中，关系运算符号可以帮助我们筛选出符合条件的数据。

假设有一个学生信息表，我们可以使用关系运算符号来查询“年龄大于 18 且成绩高于 60”的学生信息。

关系运算符号在逻辑表达式中有一定的优先级和结合性。

在组合逻辑表达式时，需要遵循一定的规则，如先乘除后加减、先与后或等。

了解关系运算符号的优先级和结合性，可以帮助我们更好地构建逻辑表达式，避免出现错误的结果。

在使用关系运算符号的过程中，可能会遇到一些常见问题，如运算符的优先级顺序、运算结果的正确性等。

针对这些问题，我们需要熟练掌握关系运算符号的性质和用法，并通过实践来不断提高自己的技能水平。

c语言关系运算例题

c语言关系运算例题关系运算是C语言中的基本运算之一，用于比较两个变量或表达式之间的关系。

C语言提供了多种关系运算符，包括等于（==）、不等于（!=）、大于（>）、小于（<）、大于等于（>=）和小于等于（<=）。

下面是一些C语言关系运算的例题，帮助理解和掌握关系运算的使用。

例题1：判断一个数是否为偶数任务要求：编写一个程序，判断一个输入的整数是否为偶数，如果是则输出"是偶数"，否则输出"不是偶数"。

解答：首先，我们需要使用scanf函数获取用户输入的整数。

然后，利用取余运算（%）来判断该整数是否可以被2整除。

如果余数为0，则说明该数是偶数，否则为奇数。

下面是代码示例：```c#include <stdio.h>int main() {int num;printf("请输入一个整数：");scanf("%d", &num);if (num % 2 == 0) {printf("是偶数\n");} else {}return 0;}```例题2：判断一个年份是否为闰年任务要求：编写一个程序，判断一个输入的年份是否为闰年，如果是则输出"是闰年"，否则输出"不是闰年"。

解答：判断一个年份是否为闰年的规则是：能够被4整除但不能被100整除的年份，或者能够被400整除的年份，都是闰年。

我们可以使用“与”（&&）和“或”（||）逻辑运算符来组合判断条件。

下面是代码示例：```c#include <stdio.h>int main() {int year;printf("请输入一个年份：");scanf("%d", &year);if ((year % 4 == 0 && year % 100 != 0) || (year % 400 == 0)) {printf("是闰年\n");} else {}return 0;}```例题3：判断一个三角形的类型任务要求：编写一个程序，根据输入的三条边长判断三角形的类型，输出对应的类型名称。

第四章关系运算

A a c
B b b
C c d
4.1.2 关系代数的四个组合操作

1、交操作(Intersection)

关系R与关系S的交记作：R∩S={ t|t∈R∧t∈S } 其结果仍为n目关系，由既属于R又属于S的元组组成。关系的交可以用差来表示，即R∩S=R-(R-S)。它是从两个关系的笛卡尔积中选取属性间满足一定条件的元组。记作：
三、关系模型的数据结构

例：职工登记表写成关系模式 U={工号, 姓名, 性别, 年龄, 工资}, D1={4021,3678,6874,2568}， D2={王一,张强,李龙,覃晓}， D3={20,30,40}， D4={男,女}， D5={1000,2000,2500,3000}， D= {D1, D2, D3, D4, D5},

关系数据库的数据操纵语言（DML）

关系查询语言的分类

关系运算

主要内容

4.1关系代数 4.2关系演算 4.3关系代数表达式的优化
4.1关系代数
4.1.1 4.1.2 4.1.3 4.1.4

关系代数的五个基本操作关系代数的四个组合操作关系代数的应用实例关系代数的扩充操作

1、并操作

例：假定有如下关系
A a d c B b a b 关系R C c f d 关系S D b d E g a F a f

R ∪ S的结果？
a d c b b a b g c f d a
4.1.1 关系代数的五个基本操作

2、差操作

设R和S具有相同的关系模式，则 R－S={t | t∈R ∧ tS } 属于R但不属于S 例：假定有如下关系

excel关系运算

excel关系运算用于比较两个值或两个单元格的值，并返回一个逻辑值（TRUE或FALSE）。

以下是一些常见的关系运算符及其用法：
1.等于（=）：比较两个单元格是否相等，如果相等则返回TRUE，否则返回
FALSE。

2.不等于（<>或!=）：比较两个单元格是否不相等，如果不相等则返回TRUE，
否则返回FALSE。

3.大于（>）：比较第一个单元格的值是否大于第二个单元格的值，如果是
则返回TRUE，否则返回FALSE。

4.大于等于（>=）：比较第一个单元格的值是否大于或等于第二个单元格的
值，如果是则返回TRUE，否则返回FALSE。

5.小于（<）：比较第一个单元格的值是否小于第二个单元格的值，如果是
则返回TRUE，否则返回FALSE。

6.小于等于（<=）：比较第一个单元格的值是否小于或等于第二个单元格的
值，如果是则返回TRUE，否则返回FALSE。

除了单个的关系运算符之外，还可以使用多个运算符来组合多个条件。

例如，以下公式比较A1单元格的值是否大于50且小于100：
AND函数接受多个条件作为参数，并返回TRUE当且仅当所有条件都为TRUE时。

如果任一条件为FALSE，则AND函数返回FALSE。

除了AND函数之外，Excel还提供了其他逻辑函数，如OR和NOT函数，用于处理更复杂的逻辑关系运算。

第二章关系运算

第二章关系运算关系模型有三方面的内容：关系数据结构、关系完整性和关系运算2。

1关系数据结构关系数据结构非常单一：就是一张具有行列结构的二维表。

以集合论观点说：关系是一个元数为K的元组集合，每个元组有K个属性值。

1、域：（与属性值的域相比相同吗？）是具有相同特性的数据集合。

在计算机语言中，常用数据类型作为域使用，再通过条件把取值范围限定在一定的范围内。

2、笛卡儿积：（1）是定义在一组域上的集合，假定P：34（2）元组：积中的每个元素；分量：元组中的每个值；域的基数：域中所具有元素的个数。

（3）例1、例2、例3（相同的情况下也可以构成笛卡儿积）、例4：（4）n个域的笛上卡儿积是一张二维表：表中每一行是一个元组，每一列为一个域，二维表的元数等于从每个域中各取一个元素的所有可能组合。

如表2-1。

P：35练习：D1={计算机，数学，英语} D2={周华，王海，李力}，则D1与D2的笛卡儿积为：{（计算机，周华），（计算机，王海），（计算机，李力），（数学，周华），（数学，王海），（数学，李力），（英语，周华），（英语，王海），（英语，李力）}，共9个元组。

该笛卡儿积的基数为9。

3、关系：关系其实是笛卡儿积的一个子集。

在计算机中体现时，一个关系就是一张二维表，每个关系都有一个关系名。

一个关系可以存储为一个文件。

（1）例5（2）关系的六个性质：P：35 同一关系不能有相同的属性名、不能有重复的元组、属性值不可再分。

（3）例6、例7——表中不能套表！即表不嵌套！练习：职工（职工号，姓名，。

工资（基本工资，职务工资，交通补助。

）应该分成两个表，再用需要时用连接属性方法将两表联接。

4、关系模式：（1）关系模式（关系的型）：是对关系具体结构的描述，通用格式为R（U，D，DOM，F，I）；其中R为关系名，D为所有属性名集合，D为该关系的所有定义域的集合；DOM给出属性与域之间的对应关系，F为该关系的各属性间的数据依赖的集合；I为关系中所定义的完整性规则的集合。

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• 如TEACH(T, S, C)={(t1 , s1 , c1), (t1 , t2 , c1)}是错误的 – 不同的列可来自同一域，每列必须有不同的属性名。
• 如P={t1，t2 ， s1，s2 ，s3}，C= {c1，c2}，则TEACH 不能写成TEACH (P, P, C)，还应写成TEACH(T, S, C)
– dom一般直接说明为属性的类型、长度等
– 某一时刻对应某个关系模式的内容(元组的集合)称作关系
– 关系模式是型，是稳定的
– 关系是某一时刻的值，是随时间不断变化的
关系代数
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关系代数------一组建立在关系上的高级运算，每个运算都以一个或多个关系作为它的运算对象，并且生成一个关系作为运算结果
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笛卡儿积举例
– 例：设
D1为教师集合(T)= {t1，t2} D2为学生集合(S)= {s1，s2 ，s3} D3为课程集合(C)= {c1，c2} 则D1×D2×D3是个三元组集合，元组个数为 2×3×2，是所有可能的(教师，学生，课程)元组集合
– 笛卡尔积可表为二维表的形式
– 查询表：查询结果构成，只读的，不能修改
– 视图表：虚表，不存放实际数据，可通过返回基本表修改数据
扩充定义
– 关系必须是有限集合；
– 为关系的每列附加一属性名以取消关系元组的有序性
关系的性质
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五条性质
– 列是同质的
• 即每一列中的分量来自同一域，是同一类型的数据。
M mi m1 m2 3 2 6 i 1
– D1×D2有6个元组，构成一张二维表
因为R1包含于D，所以R1是关系；
8
而R2 ，R3 不包含于D，所以R2 ，R3 不是关系
关系的分类和扩充定义
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分类：
– 基本表：实际存在，数据的逻辑表示，可以读取和修改
RS
–两个关系R和S若进行并运算，则它们必须是相容的：
•关系R和S必须是同元的，即它们的属性数目必须相同
•对i，R的第i个属性的域必须和S的第i个属性的域相同
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14
并运算示例
R
AB C
3
6
7
2
5
7
7
2
3
4
4
3
R∪S
S
ABC
3
4
5
7
2
3
ABC
Hale Waihona Puke 3672
5
7
7
2
3
4
汇总：
– 传统集合运算
• 二目运算：并、交、差、广义笛卡儿积
– 专门关系运算
• 选择、投影、连接、除
– 扩展运算
• 广义投影、外连接、聚集
– 修改操作
• 插入、删除、更新
传统集合运算(二目运算)
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并运算
– 所有至少出现在两个关系中之一的元组集合 RS ={ r | rR rS }
– 行、列的顺序无关紧要
– 任意两个元组不能完全相同(集合内不能有相同的两个元素)，即候选码取值是唯一的
– 每一分量必须是不可再分的数据。满足这一条件的关系称作满足第一范式(1NF)的
关系模式
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关系模式
– 关系的描述称作关系模式，包括关系名R、关系中的属性名集合U、属性所来自的域D、属性向域的映象dom 、F属性间的数据依赖关系等，一般记为：R(U,D,dom,F)，简记为：R(U) 或R(A1 , A2 ,…, An )
– 若Di的基数为mi，则笛卡尔积的基数为i1 mi
6
形式化定义关系
目录关系
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– 笛卡尔积D1×D2×…×Dn的子集叫做在域D1 , D2 ,…, Dn上的关系，用R(D1 , D2 ,…, Dn )表示
– R是关系的名字，n是关系的度或目 – 关系是笛卡尔积中有意义的子集 – 关系也可以表示为二维表
4
5
交运算
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所有同时出现在两个关系中的元组集合 RS ={ r | rR rS }
第二章关系运算
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小结
2
本章要点
关系模型概述关系数据结构及其形式化定义关系代数关系演算*
关系模型概述
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3
关系数据库是应用数学方法处理数据，实
体和实体之间的联系都用“关系”来描述。
关系数据库系统是近年来发展最快，应用得也最广泛的数据库系统。
关系数据结构：二维表(逻辑结构)
• 如 S, 上C)例，的如笛下卡表儿所积示，其一个子集为关系TE属A性CH(T,
T
S
C
t1
s1
c1
元
t1
s1
c2
组
t1
s2
c1
7
t2
s3
c2
关系示例
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例：若属性A1,A2分别在域D1,D2中取值 D1={1,2,3}，D2={a,b}，则求D=D1×D2 如下
– 解：D1的n 基数m1=3, D2 的基数m2=2，
T
S
C
t1
s1
c1
t1
s1
c2
t1
s2
c1
…
…
…
t2
s3
c2
元组有序性和基数的计算
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元组不是di 的集合，元组中分量是按序排列的，集合中是无序的。
– 如(a,b,c)(b,c,a)(c,a,b),但 {a,b,c}={b,c,a}={c,a,b}
基数：域的可取值个数
– 如{男，女}这个域的基数是2 n
4
3
3
4
5
差运算
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所有出现在一个关系而不在另一关系中的元组集合
RS ={ r | rR rS }
RS
R和S必须是相容的
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差运算示例
R
ABC
3
6
7
2
5
7
7
2
3
4
4
3
R－S
ABC
3
6
7
2
5
7
4
4
3
S
ABC
3
4
5
7
2
3
S－R
ABC
3
– 一组域D1 , D2 ,…, Dn的笛卡尔积为:
D1×D2×…×Dn = {(d1 , d2 , … , dn) | di∈Di , i=1,…,n}
– 笛卡尔积的每个元素(d1 , d2 , … , dn)称作一个 n-元组(n-tuple)
– 元组的每一个值di叫做一个分量(component)
关系操作：集合操作，非过程化语言
关系代数
关系演算元组
完整性约束：
域
实体完整性
参照完整性
用户定义完整性
关系数据结构及形式化定义
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4
域(Domain)
– 一组值的集合，这组值具有相同的数据类型
– 如整数的集合、字符串的集合、全体学生的集合
笛卡尔积(Cartesian Product)