第四章《相似图形》单元测验卷

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北师大版数学九年级上册《第四章图形相似》单元测试(含答案)

北师大版数学九年级上册《第四章图形相似》单元测试一．选择题（共12小题）1．若，则的值为（）A．1 B．C．D．2．若△ABC∽△DEF，且对应中线比为2：3，则△ABC与△DEF 的面积比为（）A．3：2 B．2：3 C．4：9 D．9：163．如图，为估算某河的宽度，在河对岸边选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上．若测得BE=30m，EC=15m，CD=30m，则河的宽度AB长为（）A．90m B．60m C．45m D．30m 4．如图，已知点E（﹣4，2），F（﹣2，﹣2），以O为位似中心，按比例尺1：2，把△EFO缩小，则点E的对应点E′的坐标为（）A．（2，﹣1）或（﹣2，1）B．（8，﹣4）或（﹣8，﹣4）C．（2，﹣1）D．（8，﹣4）5．如图，已知AD为△ABC的角平分线，DE∥AB交AC于E，如果=，那么等于（）A．B．C．D．6．如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1，l2，l3于点A，B，C；直线DF分别交l1，l2，l3于点D、E、F，AC与DF相交于点H，且AH=2，HB=1，BC=5，则=（）A．B．2 C．D．7．如图▱ABCD，E是BC上一点，BE：EC=2：3，AE交BD于F，则BF：FD等于（）A．2：5 B．3：5 C．2：3 D．5：7 8．如图，在▱ABCD中，AC与BD相交于点O，E为OD的中点，连接AE并延长交DC于点F，则S△DEF：S△AOB的值为（）A．1：3 B．1：5 C．1：6 D．1：11 9．如图，在△ABC中，∠C=90°，点D是BC边上一动点，过点B 作BE⊥AD交AD的延长线于E．若AC=6，BC=8，则的最大值为（）A．B．C．D．[来源:学] 10．如图，△ABC中，D、E是BC边上的点，BD：DE：EC=3：2：1，M在AC边上，CM：MA=1：2，BM交AD，AE于H，G，则BH：HG：GM等于（）A．3：2：1 B．5：3：1 C．25：12：5 D．51：24：10 11．如图为两正方形ABCD、BEFG和矩形DGHI的位置图，其中G、F两点分别在BC、EH上．若AB=5，BG=3，则△GFH的面积为何？（）A．10 B．11 C．D．12．如图，，∠1=∠2，则对于结论：①△ABE∽△ACF；②△ABC∽△AEF；③；④．其中正确的结论的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4二．填空题（共5小题）13．如图，△ABC中，AD是中线，BC=8，∠B=∠DAC，则线段AC的长为．14．已知直线a∥b∥c，直线m，n与直线a，b，c分别交于点A，C，E，B，D，F，AC=4，CE=6，BD=3，则BF=．15．如图，在斜边长为1的等腰直角三角形OAB中，作内接正方形A1B1D1C1；在等腰直角三角形OA1B1中作内接正方形A2B2D2C2；在等腰直角三角形OA2B2中作内接正方形A3B3D3C3；…；依次做下去，则第n个正方形A n B n D n C n的边长是．16．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，Rt△MPN，∠MPN=90°，点P在AC上，PM交AB于点E，PN交BC于点F，当PE=2PF时，AP=．17．如图，四边形DEFG是△ABC的内接矩形，其中D、G分别在边AB，AC上，点E、F在边BC上，DG=2DE，AH是△ABC的高，BC=20，AH=15，那么矩形DEFG的周长是．三．解答题（共6小题）18．已知，如图，△ABC中，AB=2，BC=4，D为BC边上一点，BD=1．（1）求证：△ABD∽△CBA；（2）在原图上作DE∥AB交AC与点E，请直接写出另一个与△ABD相似的三角形，并求出DE的长．19．如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、CD上的点，AE=ED，DF=DC，连接EF并延长交BC的延长线于点G．（1）求证：△AB E∽△DEF；（2）若正方形的边长为4，求BG的长．20．如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，F是AM的中点，EF⊥AM，垂足为F，交AD的延长线于点E，交DC于点N．（1）求证：△ABM∽△EFA；（2）若AB=12，BM=5，求DE的长．21．如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE=∠B．（1）求证：△ADF∽△DEC；（2）若AB=4，AD=，AE=3，求AF的长．22．已知：△ABC在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A（0，3）、B（3，4）、C（2，2）（正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度）．（1）画出△ABC向下平移4个单位长度得到的△A1B1C1，点C1的坐标是；（2）以点B为位似中心，在网格内画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2：1，点C2的坐标是．23．如图，在矩形ABCD和矩形PEFG中，AB=8，BC=6，PE=2，PG=4．PE与AC交于点M，EF与AC交于点N，动点P从点A出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，伴随点P的运动，矩形PEFG在射线AB上滑动；动点K从点P出发沿折线PE﹣﹣EF 以每秒1个单位长的速度匀速运动．点P、K同时开始运动，当点K 到达点F时停止运动，点P也随之停止．设点P、K运动的时间是t 秒（t＞0）．（1）当t=1时，KE=，EN=；（2）当t为何值时，△APM的面积与△MNE的面积相等？（3）当点K到达点N时，求出t的值；（4）当t为何值时，△PKB是直角三角形？参考答案一．选择题1．C．2．C．3．B．4．A．5．B．6．A．7．A．8．C．9．B10．D．11．D．12．B．二．填空题13．]4．14．7.5．15.]．16．3．17．36．三．解答题18．（1）证明：∵AB=2，BC=4，BD=1，∵∠ABD=∠CBA，∴△ABD∽△CBA；（2）解：∵DE∥AB，∴△CDE∽△C BA，∴△ABD∽△CDE，∴DE=1.5．19．（1）证明：∵ABCD为正方形，∴AD=AB=DC=BC，∠A=∠D=90°，∵AE=ED，∵DF=DC，∴△ABE∽△DEF；（2）解：∵ABCD为正方形，∴ED∥BG，又∵DF=DC，正方形的边长为4，∴ED=2，CG=6，∴BG=BC+CG=10．20．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠B=90°，AD∥BC，∴∠AMB=∠EAF，又∵EF⊥AM，∴∠AFE=90°，∴∠B=∠AFE，∴△ABM∽△EFA；（2）∵∠B=90°，AB=12，BM=5，∴AM==13，AD=12，∵F是AM的中点，∴AF=AM=6.5，∵△ABM∽△EFA，∴，即，∴AE=16.9，∴DE=AE﹣AD=4.9．21．解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC，∴∠B+∠C=180°，∠ADF=∠DEC，∵∠AFD+∠AFE=180°，∠AFE=∠B，∴∠AFD=∠C，∴△ADF∽△DEC；（2）∵AE⊥BC，AD=3，AE=3，∴在Rt△DAE中，DE===6，由（1）知△ADF∽△DEC，得=，∴AF===2．22．解：（1）如图所示，画出△ABC向下平移4个单位长度得到的△A1B1C1，点C1的坐标是（2，﹣2）；（2）如图所示，以B为位似中心，画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2：1，点C2的坐标是（1，0），故答案为：（1）（2，﹣2）；（2）（1，0）23．解：（1）当t=1时，根据题意得，AP=1，PK=1，∵PE=2，∴KE=2﹣1=1，∵四边形ABCD和PEFG都是矩形，∴△APM∽△ABC，△APM∽△NEM，∴MP=，ME=，∴NE=；故答案为：1；；（2）由（1）并结合题意可得，AP=t，PM=t，ME=2﹣t，NE=﹣t，∴t×t=（2﹣t）×（﹣t），解得，t=；（3）当点K到达点N时，则PE+NE=AP，由（2）得，﹣t+2=t，解得，t=；（4）①当K在PE边上任意一点时△PKB是直角三角形，即，0＜t≤2；②当点k在EF上时，则KE=t﹣2，BP=8﹣t，∵△BPK∽△PKE，∴PK2=BP×KE，PK2=PE2+KE2，∴4+（t﹣2）2=（8﹣t）（t﹣2），解得t=3，t=4；③当点K运动6秒时，点K到点F，点P还没到点B，∴点K不可能在BC边上，．综上，当0＜t≤2或t=3或t=4时，△PKB是直角三角形．。

北师大版九年级上册数学第四章图形的相似(单元综合卷)(解析版)

第四章图形的相似（单元综合卷）一、单选题1．若0234a b c ==≠，则22a b c a-+= ( ) A ．45 B ．54 C ．34 D ．无法确定【答案】B【解析】【分析】设比值为k ，然后用k 表示出a 、b 、c ，再代入算式进行计算即可求解.【详解】设234a b c k ===、则2a k =、3b k =、4c k =、 ∴2223452224a b c k k k a k -+⨯-+==⨯. 故选、B .【点睛】本题考查了比例的性质，利用设“k ”法表示出a 、b 、c 是解题的关键，设“k ”法是中学阶段常用的方法之一，需熟练掌握并灵活运用.2．若、ABC、、DEF ，且、ABC 与、DEF 的面积比是94，则、ABC 与、DEF 对应中线的比为（） A ．23 B ．8116 C ．94 D ．32【解析】【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，再结合相似三角形的对应中线的比等于相似比解答即可．【详解】、、ABC、、DEF、、ABC与、DEF的面积比是9 4、、、ABC与、DEF的相似比为3 2、、、ABC与、DEF对应中线的比为3 2、故选D、【点睛】考查的是相似三角形的性质，相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方；相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比．3．如图，在ABC中，点D在BC边上，连接AD，点G在线段AD上，过点G作//GE BD，交AB边于点E，作//GF AC，交BC边于点F，则下列结论中一定正确的是（）A．AB AGAE AD=B．DF DGCF AD=C．FG EGAC BD=D．AE CFBE DF=【答案】D 【解析】由GE、BD、GF、AC利用平行线分线段成比例，可得出AE AGBE DG=，AG CFDG DF=，进而可得出AE CFBE DF=，此题得解．【详解】、GE、BD，GF、AC，、AE AGBE DG=，AG CFDG DF=，、AE CF BE DF=．故选：D．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，利用平行线分线段成比例，找出AE AGBE DG=，AG CFDG DF=是解题的关键．4．如图，平面直角坐标系中，点E（﹣4，2），F（﹣1，﹣1），以原点O为位似中心，把、EFO缩小为、E′F′O，且、E′F′O与、EFO的相似比为1：2，则点E的对应点E′的坐标为（）A．（2，﹣1）B．（8，﹣4）C．（2，﹣1）或（﹣2，1）D．（8，﹣4）或（﹣8，4）【答案】C【解析】【分析】利用位似图形的性质，即可求得点E的对应点E'的坐标．【详解】、点E（﹣4，2），以O为位似中心，按2：1的相似比把、EFO缩小为、E'F'O，、点E的对应点E'的坐标为：（2，﹣1）或（﹣2，1）．故选C．【点睛】本题考查了位似图形的性质．此题比较简单，注意熟记位似图形的性质是解答此题的关键．5．兴趣小组的同学要测量树的高度．在阳光下，一名同学测得一根长为1米的竹竿的影长为0.4米，同时另一名同学测量树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分落在教学楼的第一级台阶上，测得此影子长为0.2米，一级台阶高为0.3米，如图所示，若此时落在地面上的影长为4.4米，则树高为（、A．11.5米B．11.75米C．11.8米D．12.25米【答案】C【解析】【分析】在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似．本题中：经过树在台阶上的影子的顶端作树的垂线和经过树顶的太阳光线以及树所成三角形，与竹竿，影子光线形成的三角形相似，这样就可求出垂足到树的顶端的高度，再加上台阶的高就是树高．【详解】如图，根据题意可知EF=BC=4.4米，DE=0.2米，BE=FC=0.3米，则ED=4.6米，、同一时刻物高与影长成正比例，、AE、ED=1、0.4、即AE、4.6=1、0.4、、AE=11.5米，、AB=AE+EB=11.5+0.3=11.8米，、树的高度是11.8米、故选C.【点睛】本题考查了相似三角形的应用，把实际问题抽象到相似三角形中，根据相似三角形的相似比，列出方程进行求解是关键.6．如图所示的两个四边形相似、则α的度数是()A．60°B．75°C．87°D．120°【答案】C【解析】【分析】根据相似多边形性质：对应角相等.【详解】由已知可得：α的度数是：360〫-60〫-75〫-138〫=87〫故选C【点睛】本题考核知识点：相似多边形.解题关键点：理解相似多边形性质.7．下列条件中，能使ABC DEF ∽△△成立的是（）A ．、C ＝98°，、E ＝98°，AC DE BC DF； B ．AB ＝1，AC ＝1.5，BC ＝2，EF ＝8，DE ＝10，FD ＝6C ．、A ＝、F ＝90°，AC ＝5，BC ＝13，DF ＝10，EF ＝26；D ．、B ＝35°，BC ＝10，BC 上的高AG ＝7；、E ＝35°，EF ＝5，EF 上的高DH ＝3.5【答案】D【解析】【分析】根据相似三角形的判定定理对四个选项进行分析即可.【详解】A 、若、ABC~、DEF ，则AC DF =BC EF，故本选项错误； B 、若、ABC~、DEE ，则AB AC BC ==DE DF EF 而AB 1=DE 10≠AC 1.5=DF 6，故本选项错误； C 、若、ABC~、DEF ，、A ＝90°，则、D ＝90°，故本选项错误；D 、BC AG ==2EF DH且、AGC ＝、BHF ＝90°，因此、AGC、、BHF ，所以、C ＝、F ，而、B ＝、E ＝35°，因此可判断相似，故本选项正确；所以D 选项是正确的.【点睛】本题考查的是相似三角形的判定定理，解答此类题目时要熟知相似三角形的判定方法，即：（1）三组对应边的比相等的两个三角形相似；（2）两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；（3）有两组角对应相等的两个三角形相似8．如图，、ABC 中，点D 在AB 上，过点D 作DE、BC 交AC 于点E ，过点E 作 EF、AB 交BC 于点F ，连接CD ，交EF 于点G ，则下列说法不正确的是（、A ．BD BF FG FC =B ．DE AE BC AC = C ．AD AE AB AC = D ．BF AD BC AB= 【答案】A【解析】因为DE、BC, 所以,,DE AE AD AE BC AC AB AC== 因为EF、AB, 所以,,BF AE BD BC BC AC FK CF== 所以,BF AD BC AB = 故选A.9．如图， ABC 中， 90C ∠=︒，3,4,AC BC M ==是BC 边上的动点，过M 作//MN AB 交AC 于点,N P 是MN 的中点，当PA 平分BAC ∠时， BM =（）A ．2011B ．2013C ．1511D ．2513【答案】A【解析】【分析】根据题意作PD AC ⊥于D ，PE AB ⊥于,E MF AB ⊥于F ，利用相似三角形判定证得BMF BAC ∽，进而设3,PD PE MF x ===建立方程求解即可．【详解】解：作PD AC ⊥于D ，PE AB ⊥于,E MF AB ⊥于F ，则,PD PE MF BMF BAC ==∽．、3,4,AC BC ==、5AB =设3,PD PE MF x ===则26,5CM PD x BM x ===由65114,BC x x x =+==得420 =,1111x BM =．故选：A ．【点睛】本题考查三角形动点问题，熟练掌握相似三角形判定并运用方程结合思维进行分析是解题的关键． 10．如图，平行四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，CE 平分、DCB 交BD 于点F ，且、ABC ＝60°，AB ＝2BC ，连接OE ，下列结论：、、ACD ＝30°；、S 平行四边形ABCD ＝AC BC ⋅；、OE ：AC ＝1：4；、S 、OCF ＝2S 、OEF ．其中正确的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【解析】【分析】由四边形ABCD 是平行四边形，得到、ABC=、ADC=60°，、BAD=120°，根据角平分线的定义得到、DCE=、BCE=60°推出、CBE 是等边三角形，证得、ACB=90°，求出、ACD=、CAB=30°，故、正确；由AC、BC ，得到S、ABCD=AC•BC ，故、正确；根据直角三角形的性质得到，根据三角形的中位线的性质得到OE=12BC ，于是得到OE ：AC=6，故、错误；由三角形的中位线可得BC、OE ，可判断、OEF、、BCF ，根据相似三角形的性质得到CF BC EF OE==2，求得S 、OCF =2S 、OEF ；故、正确．【详解】解：、四边形ABCD是平行四边形，、、ABC=、ADC=60°，、BCD=120°，、CE平分、BCD交AB于点E，、、DCE=、BCE=60°、、CBE是等边三角形，、BE=BC=CE，、AB=2BC，、AE=BC=CE，、、ACB=90°，、、ACD=、CAB=30°，故、正确；、AC、BC，、S、ABCD=AC•BC，故、正确，在Rt、ACB中，、ACB=90°，、CAB=30°，，、AO=OC，AE=BE，、OE=12 BC，、OE：6；故、错误；、AO=OC，AE=BE，、OE、BC，、、OEF、、BCF ，、CF BC EF OE==2 、S 、OCF ：S 、OEF =CF EF =2，、S 、OCF =2S 、OEF ；故、正确．故选C ．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、三角形中位线、相似三角形的性质，熟练掌握并灵活运用是解题的关键．二、填空题11．如图，已知一组平行线////a b c ，被直线m 、n 所截，交点分别为A 、B 、C 和D 、E 、F ，且3AB =，4BC =， 4.8EF =，则DE 的长为__________．【答案】3.6【解析】【分析】根据平行线分线段成比例定理即可得．【详解】由平行线分线段成比例定理得：AB DE BC EF= 3AB =，4BC =， 4.8EF =34 4.8DE ∴= 解得 3.6DE =故答案为：3.6．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟记平行线分线段成比例定理是解题关键．12．已知x 是正整数，且x 是4和16的比例中项，那么x =______．【答案】8【解析】【分析】根据比例中项的性质进行求解．【详解】解：、x 是4和16的比例中项，且是正整数，、241664x =⨯=，解得8x =．故答案是：8．【点睛】本题考查比例中项的性质，解题的关键是掌握比例中项的性质．13．如图，、ABC 与、A′B′C′是位似图形，且顶点都在格点上，则位似中心的坐标是__、【答案】（9，0）【解析】【分析】【详解】根据位似图形的定义，连接A′A，B′B并延长交于(9，0)，所以位似中心的坐标为(9，0)．故答案为：(9，0)．14．如图，小明在A时测得某树的影长为2m，B时又测得该树的影长为8m，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为_____m.【答案】4【解析】【分析】根据题意，画出示意图，易得：Rt、EDC、Rt、CDF，进而可得EDDC=DCFD；即DC2=ED•FD，代入数据可得答案．【详解】如图：过点C作CD、EF，由题意得：、EFC是直角三角形,、ECF=90°，、、EDC=、CDF=90°，、、E+、ECD=、ECD+、DCF=90°，、、E=、DCF，、Rt、EDC、Rt、CDF，有EDDC=DCFD;即DC2=ED FD，代入数据可得DC2=16，DC=4；故答案为4.【点睛】本题考查了相似三角形的应用，能够将实际问题转化为相似三角形的问题是解题的关键.15．如图，E，F分别为矩形ABCD的边AD，BC的中点，且矩形ABCD与矩形EABF相似，AB＝1，则BC 的长为_____．【解析】【分析】根据相似多边形的性质列出比例式，计算即可．【详解】、矩形ABCD与矩形EABF相似，、AEAB＝ABAD，即121AD＝1AD，解得，AD，、矩形ABCD 的面积＝AB •AD ，．【点睛】本题考查了相似多边形的性质，掌握相似多边形的对应边的比相等是解题的关键.16．如图，////AB EF DC ，//AD BC ，EF 与AC 交于点G ，则是相似三角形共有__________对．【答案】6【解析】【分析】图中三角形有：、AEG ，、ADC ，、CFG ，、CBA ，因为////AB EF DC ，//AD BC ，所以、AEG、、ADC、、CFG、、CBA ，有6中组合，据此可得出答案.【详解】图中三角形有：、AEG ，、ADC ，、CFG ，、CBA ，、////AB EF DC ，//AD BC ，、、AEG、、ADC、、CFG、、CBA共有6个组合分别为：、AEG、、ADC ，、AEG、、CFG ，、AEG、、CBA ，、ADC、、CFG ，、ADC、、CBA ，、CFG、、CBA故答案为6.【点睛】本题考查的是相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键.17．如图，在三角形ABC中，AB＝24，AC＝18，D是AC上一点，AD=12，在AB上取一点E，使A、D、E三点组成的三角形与ABC相似，则AE＝__________.【答案】9或16【解析】【分析】根据相似三角形的判断，要使得、ADE与、ABC相似，已经满足、BAC＝、DAE，因此只要两边对应成比例即可，由于本题中三角形相似，对应点没有确定，因此分两种情况，画出图形，然后根据相似三角形对应边成比例，就出AE的长.【详解】第一种情况：当、ABC、、ADE时，如图、；、、ABC、、ADE，、AB AC AD AE=，、AB＝24，AC＝18，AD＝12，、2418 12AE=，、AE＝9.第二种情况：当、ABC、、AED ，如图、；、、ABC、、AED ，、AB AC AE AD=，、AB ＝24，AC ＝18，AD ＝12，、241812AE =，、AE ＝16.故填9或16.考点：相似三角形的性质.18．如图，在ABC ∆中，D 、E 分别是AB 、BC 上的点，且DE AC ，若:1:4BDE CDE S S ∆∆=，则:BDE ACD S S ∆∆=______.【答案】1:20【解析】【分析】根据、BDE和、CDE高相同得到BE:EC=1:4,再证明、BDE、、BAC,利用面积比等于相似比的平方即可解题.【详解】、、BDE和、CDE高相同,且:1:4BDE CDES S=,、BE:EC=1:4,、//DE AC、、BDE、、BAC,即BE:BC=1：5、:BDE BACS S=1:25、:BDE ACDS S=1、、25-1-4、=1:20【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质,属于简单题,熟悉相似三角形性质是解题关键.19．如图，在矩形ABCD中，BC＝4，AB＝2，Rt、BEF的顶点E在边CD上，且、BEF＝90°，EF＝12 BE，DF BE＝_____．【解析】【分析】过F作FG、CD，交CD的延长线于G，依据相似三角形的性质，即可得到FG＝12EC，GE＝2＝CD；设EC＝x，则DG＝x，FG＝12x，再根据勾股定理，即可得到CE2＝94，最后依据勾股定理进行计算，即可得出BE的长．【详解】解：如图所示，过F作FG、CD，交CD的延长线于G，则、G＝90°，、四边形ABCD是矩形，、、C＝90°，AB＝CD＝2，又、、BEF＝90°，、、FEG+、BEC＝90°＝、EBC+、BEC，、、FEG＝、EBC，又、、C＝、G＝90°，、、BCE、、EGF，、FG GE EF EC CB BE ==，即142EG CE EC ==，、FG ＝12EC ，GE ＝2＝CD ，、DG ＝EC ，设EC ＝x ，则DG ＝x ，FG ＝12x ，、Rt、FDG 中，FG 2+DG 2＝DF 2，、（12x ）2+x 22，解得x 2＝94，即CE 2＝94，、Rt、BCE 中，BE ==．【点睛】本题主要考查了相似三角形和勾股定理的结合，准确分析计算是解题的关键．20．如图，在直角坐标系中，将OAB 绕原点旋转到OCD ，其中()3,1A -、()4,3B ，点D 在x 轴正半轴上，则点C 的坐标为_______．【答案】913,55⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】【分析】连接AC 、BD ，设点C 的坐标为（a ，b ），根据平面直角坐标系中任意两点之间的距离公式即可求出OA 、OB ，由旋转的性质即可求出OC 和OD ，从而证出OAC、OBD ，列出比例式即可求出AC ，再利用平面直角坐标系中任意两点之间的距离公式列出方程即可求出结论．【详解】解：连接AC 、BD ，设点C 的坐标为（a ，b ）、()3,1A -、()4,3B ，=5由旋转的性质可得，OD=OB=5，、AOC=、BOD、点D 的坐标为（5,0）,OA OC OB OD==OAC、OBD、AC OA BDOB== 解得AC=2、()()222210314a b a b ⎧+=⎪⎨++-=⎪⎩ 解得：95135a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或31a b =-⎧⎨=-⎩ 、点C 在第二象限，、95135a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即点C 913,55⎛⎫- ⎪⎝⎭ 故答案为：913,55⎛⎫- ⎪⎝⎭．【点睛】此题考查的是坐标与图形的变化、相似三角形的判定及性质和平面直角坐标系中任意两点之间的距离公式，此题难度较大，掌握旋转的性质、相似三角形的判定及性质和平面直角坐标系中任意两点之间的距离公式是解决此题的关键．三、解答题21．化简并求值：已知2,235a c e a c e b d f===-+=，求b -2d+3f 的值．【答案】52【解析】【分析】由2a c e b d f===可知2,2,2a b c d e f ===，代入235a c e -+=易得b -2d+3f 的值．【详解】解：2a c e b d f=== 2,2,2a b c d e f ∴===232462(23)5a c e b d f b d f ∴-+=-+=-+=5232b d f ∴-+=【点睛】本题考查了比例的性质，灵活的利用比例进行等量代换是解题的关键.22．如图，已知DE、BC ，FE、CD ，AF ＝3，AD ＝5，AE ＝4．（1）求CE 的长；（2）求AB 的长．【答案】（1）CE＝83；（2）AB＝253．【解析】【分析】（1）根据平行线分线段成比例定理列出比例式求出AC即可解决问题；（2）根据平行线分线段成比例定理列出比例式，然后代入数据计算即可．【详解】解：（1）、FE、CD，、AEAC＝AFAD，即4AC＝35，解得，AC＝203，则CE＝AC﹣AE＝203﹣4＝83；（2）、DE、BC，、ADAB＝AEAC，即5AB＝4203，解得，AB＝253．【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．23．如图，在、ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，、AED=、B，射线AG分别交线段DE，BC于点F，G，且AD DF AC CG=．（1）求证：、ADF、、ACG；（2）若12ADAC=，求AFFG的值．【答案】(1)证明见解析；（2、1.【解析】（1）欲证明、ADF、、ACG，由可知，只要证明、ADF=、C即可．（2）利用相似三角形的性质得到，由此即可证明．【解答】（1）证明：、、AED=、B，、DAE=、DAE，、、ADF=、C，、，、、ADF、、ACG．（2）解：、、ADF、、ACG，、，又、，、，、1．24．已知：平行四边形ABCD，E是BA延长线上一点，CE与AD、BD交于G、F．求证：2CF GF EF=⋅．【答案】详见解析【解析】【分析】由平行四边形对边互相平行，可得平行线分线段成比例，得出比例式进行等比代换即可得证.【详解】解：、四边形ABCD 是平行四边形，、AD BC ∥，AB CD ∥．、GF DF CF BF =，CF DF EF BF= 、GF CF CF EF =，即2CF GF EF =⋅．【点睛】本题考查证明线段乘积关系，由平行线分线段成比例得到比例式是解决本题的关键.25．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点、ABC （顶点是网格线的交点），在建立的平面直角坐标系中，、ABC 绕旋转中心P 逆时针旋转90°后得到、A 1B 1C 1、、1）在图中标示出旋转中心P ，并写出它的坐标；、2）以原点O 为位似中心，将、A 1B 1C 1作位似变换且放大到原来的两倍，得到、A 2B 2C 2，在图中画出、A 2B 2C 2，并写出C 2的坐标．【答案】、1、见解析、P点坐标为（3、1、、、2、作图见解析、C2的坐标为（2、4）或（﹣2、、4、、【解析】【分析】、1）作BB1和AA1的垂直平分线，它们的交点即为P点，然后写出P点坐标；（2）把点A1、B1、C1的横纵坐标都乘以2或-2得到对应点A2、B2、C2的坐标，然后描点即可得到、A2B2C2、【详解】、、、1）如图，点P为所作，P点坐标为（3、1、、、2）如图，、A2B2C2为所作，C2的坐标为（2、4）或（﹣2、、4、、【点睛】本题考查了位似变换：先确定位似中心；再分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；接着根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；然后顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．26．如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE、BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且、AFE=、B（1）求证：、ADF、、DEC；（2）若AB=8，AE的长．【答案】（1）见解析（2）6【解析】【分析】（1）利用对应两角相等，证明两个三角形相似、ADF、、DEC.（2）利用、ADF、、DEC，可以求出线段DE的长度；然后在在Rt、ADE中，利用勾股定理求出线段AE的长度.【详解】解：（1）证明：、四边形ABCD是平行四边形，、AB、CD，AD、BC、、C+、B=180°，、ADF=、DEC、、AFD+、AFE=180°，、AFE=、B，、、AFD=、C在、ADF与、DEC中，、、AFD=、C，、ADF=、DEC，、、ADF、、DEC（2）、四边形ABCD是平行四边形，、CD=AB=8．由（1）知、ADF、、DEC，、AD AF DE CD=，、AD CDDE12AF⋅===在Rt、ADE中，由勾股定理得：AE6===27．如图，在菱形ABCD中，60C︒∠=，4AB=,点E是边BC的中点，连接DE,AE.（1）求DE的长；（2）点F为边CD上的一点，连接AF，交DE于点G，连接EF，若DAG FEG∠=∠,、求证：、AGE∽、DGF；、求DF的长.【答案】（1）DE=（2）、详见解析；、1.【解析】【分析】（1）只要证明DE 是等边、DBC 的高即可解决问题；（2）、由、AGD、、EGF ，可得AG DG EG FG=，即可推出AG EG DG FG =又、AGE=、DGF ，即可推出、AGE、、DGF ；、根据相似求出EF,再根据勾股定理求出FH 的长，再求出CF 即可解决问题.【详解】解：（1）连结BD4604122∵四边形是菱形，∵△是等边三角形∵点是边的中点ABCD CB CD AB C CDB DB DC BC E BC BE EC BC DE BCDE ︒∴===∠=∴∴===∴===∴⊥∴==（2）、DAG FEG AGD EGFAGD EGFAG DG EG FG AG EG DG FGAGE DGFAGE DGF∠=∠∠=∠∴∴=∴=∠=∠∴∵，△∽△又∵△∽△ 、,9030,901222131∵△∽△∵又∵过点作于点在△中，AGE DGF DE BCEAG GDF C AGD EGF AGE DGFGFE ADG DE EF AE E EH DC HRt ECH FH CF FH CH DF CD CF ︒︒︒⊥∴∠=∠=-∠=∠=∠∠=∠∴∠=∠==∴===⊥==∴=+=+=∴=-=【点睛】此题考查菱形的性质、相似三角形的判定和性质、直角三角形30°角性质、勾股定理等知识，解题的关键是准确寻找相似三角形解决问题，所以中考常考题型．。

2024-2025北师大九年级数学(上)第四章图形的相似单元测试卷(含答案)

第四章测试卷(时间:100分钟满分:120分)一、选择题(每小题3分，共30分，)题号12345678910答案B C A D B C C C A C1.下列形状分别为正方形、矩形、正三角形、圆的边框，其中不一定是相似图形的是( )2.在比例尺为1：500000的交通地图上，玉林到灵山的长度约为 23.6cm ，则它的实际长度约为( )A.0.118km B.1.18km C.118km D.1180km3.如图，以A ，B ，C 为顶点的三角形与以D ，E ，F 为顶点的三角形相似，则这两个三角形的相似比为( )A.2:1B.3:1C.4:3D.3:24.在△ABC 中,D 是AB 中点,E 是AC 中点,若△ADE 的面积是3，则△ABC 的面积是 ( )A.3 B.6 C.9 D.125.如图,在△ABC 中,点D 在AB 边上,过点 D 作DE ∥BC 交AC 于点E,DF ∥AC 交BC 于F,若AE:DF=2:3,则BF:BC 的值是 ( )A. 23 B. 35 C. 12D. 256.如图,在四边形ABCD 中,如果∠ADC=∠BAC,那么下列条件中不能判定△ADC 和△BAC 相似的是 ( )A.∠DAC=∠ABC B. AC 是∠BCD 的平分线 C.AC²=BC ⋅CD D.ADAB =DCAC7. 若△ABC 的各边都分别扩大到原来的 2 倍，得到△A ₁B ₁C ₁，下列结论正确的是 ( )A.△ABC 与△A ₁B ₁C ₁的对应角不相等 B.△ABC 与△A ₁B ₁C ₁不一定相似C.△ABC 与△A ₁B ₁C ₁的相似比为1:2 D.△ABC 与△A ₁B ₁C ₁的相似比为2:18.如图,点 E 是▱ABCD 的边 BC 延长线上的一点,AE 和CD 交于点G ，AC 是▱ABCD 的对角线，则图中相似三角形共有 ( )A.2 对B.3 对C.4 对D.5 对9.如图,已知E(-4,2),F(--2,--2),以O 为位似中心,把△EFO 缩小到原来的 12，则点E 的对应点的坐标为( )A.(2,一1)或(-2,1)B.(8,一4)或(一8,4)C.(2,-1)D.(8,-4)10.如图,在正方形 ABCD 中,点 E 、F 分别在边AD 和CD 上,AF ⊥BE,垂足为G,若 AEED =2,则 AGGF 的值为( )A. 45B. 56C.67D.78二、填空题(每小题3分，共15分)11.若△ABC ∽△A'B'C',且相似比为3:5,已知△ABC 的周长为21,则△A'B'C'的周长为 .12.如图是一架梯子的示意图，其中 AA₁‖BB₁‖CC₁‖DD₁,且AB=BC=CD.为使其更稳固，在A ，D ₁间加绑一条安全绳( 线段AD ₁),量得 AE=0.4m,则 AD₁= m13.如图，阳光通过窗口照到室内，在地上留下3m 宽的亮区.已知亮区一边到窗下的墙角的距离CE=7m ，窗口高AB=1.8m,那么窗口底边离地面的高BC 等于 m.14.如图，已知每个小方格的边长均为1，则△ABC 与△CDE 的面积比为 .15.如图,在正方形ABCD 中,E 是BC 的中点,F 是CD 上一点，且 CF =14CD,下列结论:①∠BAE=30°,②△ABE ∽△ECF,③AE ⊥EF,④△ADF ∽△ECF.其中正确的结论是 (填序号).三、解答题(本大题8个小题，共75 分)16.(8分)根据下列条件,判断△ABC 与△A'B'C'是否相似,并说明理由. AB =3,BC =4,AC =5,A 'B '=12,B 'C '=16,C 'A '=2017.(9分)如图,D 是△ABC 的边AC 上的一点,连接BD,已知∠ABD=∠C,BC=6,BD=4,如果△ABD 的面积为4,求△BC D 的面积.18.(9分)在平面直角坐标系中,△ABC 的三个顶点的坐标分别是 A(1，3)，B(4,1),C(1,1).(1)画出△ABC 关于x 轴成轴对称的△A ₁B ₁C ₁;(2)画出△ABC 以点O 为位似中心,相似比为 1:2的△A ₂B ₂C ₂.19.(9分)如图,四边形ABCD 是菱形,AF ⊥BC 交BD 于E,交 BC 于F.求证: AD 2=12DE ⋅DB.20.(10分)周末，小华和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽.测量时，他们选择了河对岸边的一颗大树，将其底部作为点 A，在他们所在的岸边选择了 B，使得AB与河岸垂直，并在B点竖起标杆BC，再在AB 的延长线上选择点 D 竖起标杆DE，使得点 E 与点C、A共线.已知:CB⊥AD,ED⊥AD,测得 BC=1m,DE=1.5m,BD=8.5m，测量示意图如图所示.请根据相关测量信息，求河宽 AB.21.(10分)如图,E是平行四边形ABCD的边 DA 延长线上一点,连结 EC 交AB 于 P.(1)写出图中的三对相似三角形(不添加辅助线)；(2)请在你所写的相似三角形中选一对，说明相似的理由.22.(10分)阅读与计算：请阅读以下材料，并完成相应的问题.角平分线分线段成比例定理：如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC,则ABAC =BDCD.下面是这个定理的部分证明过程.证明:如图2,过点C作CE∥DA,交 BA的延长线于点 E⋯任务：(1)请按照上面的证明思路，写出该证明过程的剩余部分；(2)如图3,在△ABC中,AD是角平分线,AB=5cm ,AC=4 cm,BC=7 cm.求 BD的长.23.(10分)在矩形 ABCD中,点 E 是对角线AC 上一动点,连接 DE,过点 E 作EF⊥DE 交AB 于点 F.(1)如图1,当DE=DA时,求证:AF=EF;(2)如图2，点E 在运动过程中，DEEF的值是否发生变化?请说明理由.第四章测试卷答案一、选择题1、B2、C3、A4、D5、B6、C7、C8、C9、A 10、C 二、填空题11、35 12、1.2m 13、2.4m 14、4:1 15、②③三、解答题16、解：相似，理由： ∵AB A 'B '=312=14,BC B 'C '=416=14,AC A 'C '=520=14,∴ABA 'B'=BCB 'C '=ACA 'C ',∴ABC ∽A 'B 'C '.17、解:∵∠ABD=∠C,又∠A=∠A,∴△ABD ∽△ACB,S ABD S ACB=(BD CB )2=(46)2=49,18、解：如图所示19、证明:连接AC 交 BD 于点O,∵四边形ABCD 为菱形,∴AC ⊥BD,BO=OD,∵AE ⊥AD,∴△AOD ∽△EAD, ∴AD OD=ED AD,∴A D 2=ED ⋅OD,即 A D 2=12DE ⋅DB.20、解:∵CB ⊥AD,ED ⊥AD, ∴∠CBA =∠EDA =90°.∵∠CAB=∠EAD, ∴ABCOADE,∴AB AD=BC DE,∴AB AB +8.5=11.5,∴AB =17,.∴河宽为17m.21、解:(1)△EAP ∽△CBP,△AEP ∽△DEC,△BCP ∽△DEC.(2)选. △EAPO △CBP,理由如下:在▱ABCD 中AD ∥BC,∴∠EAP=∠B.又∵∠APE=∠BPC,∴△EAP ∽△CBP.22、解:(1)证明:如图2,过点C作CE∥DA,交BA的延长线于点E, ∵CEDA,∴BDCD =BAEA,∠CAD=∠ACE,∠BAD=∠E,∵AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠CAD, ∠ACE=∠E,∴AE=AC,∴ABAC =BDCD；(2)∵AD是角平分线, ∴ABAC =BDCD,AB=5 cm,AC=4 cm,BC=7 cm, C.54=BD7−BD,解得BD=359cm.23、解:(1)证明:如图,连接 DF，在矩形ABCD 中,∠DAF=90°,又∵DE⊥EF,∴∠DEF=90°,∵AD=DE,DF=DF,∴Rt△DAF≌Rt△DEF(HL),∴AF=EF;(2)DEEF 的值不变.如图,过点E作EM⊥AD于点M,过点E 作EN⊥AB 于点 N,∵EM∥CD,EN∥BC,∴EMCD =AEAC,ENBC=AEAC,∴EMEN=CDBC,∵∠DEF=∠MEN=90°,∴∠DEM=∠FEN,又·∴∠DME=∠ENF=90°,∴△DME⊗△FNE,∴DEEF =EMEN,∴DEEF=CDBC,∵CD 与BC 的长度不变, ∴DEFF的长度不变.。

第四章图形的相似单元测试卷(解析版)

2.3.4.5.第四章图形的相似单元测试卷.选择题〔共12小题〕&二旦,b 13〔2021淅州〕的值是〔〕C.-1如图,直线a// b// c,b, c于点D, E, F,假设BC 2DE_EF直线m交直线a, b, c于点A, B, C,直线n交直线a,C.B.D CbB〔第2题〕〔第3题〕B〔第4题〕〔2021睑华〕在四边形ABCD中, / B=90°, AC=4, AB // CD, DH 垂直平分AC ,点H为垂足.AB=x, AD=y,那么y关于x的函数关系用图象大致可以表示为〔〔2021?安徽〕C. 0 4 AD.如图, 4ABC中,AD是中线,BC=8, 那么线段AC的长为〔〕C. 6D. 4.：〔2021渐疆〕111A . DE=-BC 2如图,在△ ABC中,D、E分别是AB、AC的中点,以下说法中不正确的选项是〔B.AD AE靛=最C. △ ADEABCD. S A ADE：S AABC=1 ： 2C2〔第5题〕〔第6题〕〔第7题〕6. 〔2021?台湾〕如图的4ABC中有一正方形DEFG,其中D在AC上,E、F在AB上,直线AG分别交DE、BC 于M、N 两点.假设/B=90°, AB=4, BC=3 , EF=1 ,贝U BN 的长度为何？〔〕树的高度为〔〕C.7 .如图,在同一时刻,身高1.6米的小丽在阳光下的影长为 2.5 米,一棵大树的影长为5米,那么这棵A . 1.5 米 B. 2.3米 C. 3.2 米8. 〔2021确博〕如图是由边长相同的小正方形组成的网格,D. 7.8 米A, B, P, Q四点均在正方形网格的格)D. 29. 〔2021?东营〕如图,在平面直角坐标系中,点A 〔中央,相似比为-1,把^ABO缩小,那么点A的对应点/ 3A. 〔T, 2〕B. 〔-9, 18〕C. 〔-9, 18〕10. 如图,在直角坐标系中,有两点A 〔6, 3〕, B 〔6, 0〔第10题〕-3, 6〕 , B 〔 - 9, - 3〕,以原点O为位似'的坐标是〔〕或〔9, - 18〕 D. 〔-1, 2〕或〔1, - 2〕〕,以原点O为位似中央,相似比为士,在第一象限内把线段AB缩小后得到新的线段,那么点A的对应点坐标为〔〕A . (2, 1) B, (2, 0) C, (3, 3) D. (3, 1)11.复印纸的型号有A0、A1、A2、A3、A4等,它们之间存在着这样一种关系：将其中某一型号〔如A3〕的复印纸较长边的中点对折后,就能得到两张下一型号〔A4〕的复印纸,且得到的两个矩形都和原来的矩形相似〔如图〕,那么这些型号的复印纸的长宽之比为〔〕A. 2: 1 B, 1^/2: 1 C,遮：1 D, 3: 1点上,线段AB, PQ相交于点M,那么图中/QMB12. 〔2021?烟台〕如图,在平面直角坐标中,正方形 ABCD 与正方形BEFG 是以原点.为位似中央且相似比为 ▲,点A, B, E 在x 轴上,假设正方形 BEFG 的边长为6,那么C 点坐标为3A . 〔3, 2〕 B, 〔3, 1〕 C. 〔2, 2〕 D, 〔4, 2〕二.填空题〔共5小题〕13. 〔2021陆迁〕假设两个相似三角形的面积比为 1:4,那么这两个相似三角形的周长比是 14. 〔2021?娄底〕如图, /A=/D,要使△ABCs^DEF,还需添加一个条件,你添加的条件是.〔只需写一个条件,不添加辅助线和字母〕15. 〔2021?宾州〕如图,矩形 ABCD 中,AB 小巧,BC=R ,点E 在对角线BD 上,且BE=1.8,连接AE 并延长交DC 于点F ,那么工里=.CD ----------16. 〔2021彼海〕如图,直线 y=^x+1与x 轴交于点 A,与y 轴交于点B, 4BOC 与△ BO C 是以点A 为位似中央的位似图形,且相似比为1: 3,那么点B 的对应点B'的坐标为 .17. 〔2021跳山〕如图,在△ ABC 中,D 、E 分别是边 AB 、AC 上的点,且DE//BC,假设△ ADE 与△ ABC 的周长之比为 2: 3, AD=4,那么DB=. 三.解做题〔共5小题〕18. 〔2021?广州〕如图,在平面直角坐标系 xOy 中,直线y=-x+3与x 轴交于点C,与直线AD 交于点A 〔士口〕,点D 的坐标为〔0, 1〕 J J 〔1〕求直线AD 的解析式；〔2〕直线AD 与x 轴交于点B,假设点E 是直线AD 上一动点〔不与点 B 重合〕,当△ BOD 与4BCE 相似时,求点E 的坐标.的位似图形,〔第15题〕〔第16题〕〔第1719. (2021?临夏州)如图, EC II AB, /EDA = /ABF.(1)求证：四边形ABCD是平行四边形；2(2)求证：OA =OE?OF.20. (2021?聊城)如图,以Rt^ABC的直角边AB为直径作OO,交斜边AC于点D ,点E为OB的中点,连接CE 并延长交..于点F,点F恰好落在忘的中点,连接AF并延长与CB的延长线相交于点G,连接OF.(1)求证：OF=£BG;(2)假设AB=4,求DC的长.21. (2021泡州)如图,在4ABC中,点D, E分别在边AB, AC上,/AED=/B,射线AG分别交线段DE, BC于点F, G,且理』!).AC CG(1)求证：△ADF S^ACG；(2) 假设旭」求鲤的值.AC- 2 FG22. (2021?南京)如图,在？ABCD中,E是AD上一点,延长CE到点F,使/FBC=/DCE.(1)求证：/ D= / F ;(2)用直尺和圆规在AD上作出一点P,使△BPC S^CDP (保存作图的痕迹,不写作法)..选择题〔共12小题〕出 G a 一 b1 .—,那么一「的值是〔〕b 13 a+bA. -2B. -士C. -£D.」3. 149【分析】根据等式的性质,可用 b 表示a,根据分式的性质,可得答案.应选：D.【点评】此题考查了比例的性质,利用等式的性质得出a 〕Lb 是解题关键.134. 〔2021淅州〕如图,直线 a// b//c,直线 m 交直线a, b, c 于点A, B, C,直线n 交直线a,【分析】直接根据平行线分线段成比例定理求解. 【解答】解：a // b// c, DE AB 1 ...—=—=—.EF EC 2应选B.【点评】此题考查了平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例.5. 〔2021殓华〕在四边形 ABCD 中,ZB=90°, AC=4, AB//CD, DH 垂直平分 AC,点H 为垂足.设AB=x, AD=y,那么y 关于x 的函数关系用图象大致可以表示为〔〕试卷解析卷49'解：由月丁殳,得 b13A .亍 B. C. 9 D. 11 £Jx的取值范围即可解决问题.【解答】解：•••DH垂直平分AC,DA=DC, AH=HC=2,/DAC = /DCH , ••• CD // AB,/DCA = /BAC,ZDAN = ZBAC, ••• ZDHA = ZB=90 °, • . ADAHs △ CAB,里理AC AB. AB VAC,x< 4,图象是D .应选D.【点评】此题科学相似三角形的判定和性质、相等垂直平分线性质、反比例函数等知识,解题的关键是正确寻找相似三角形,构建函数关系,注意自变量的取值范围确实定,属于中考常考题型.6. 〔2021?安徽〕如图, 4ABC中,AD是中线,BC=8, / B=/DAC ,那么线段AC的长为〔A . 4 B. 4强C. 6 D. 4/3【分析】根据AD是中线,得出CD=4,再根据AA证出△CBA S^CAD,得出屈@,求出AC即可.BC AC【解答】解：♦••BC=8,CD=4,在4CBA和ACAD中,•. /B=/DAC, ZC=ZC,ACBA^ACAD,£=里BC AC' -2・•. AC2=CD?BC=4 X8=32,AC=4 二；应选B.【点评】此题考查了相似三角形的判断与性质, 关键是根据AA证出△CBAs^CAD,是一道根底题.7. 〔2021硝疆〕如图,在4ABC中,D、E分别是AB、AC的中点,以下说法中不正确的选项是〔C. AADE^AABCD. S AADE:S AABC=1：2【分析】根据中位线的性质定理得到DE//BC, DE」BC,再根据平行线分线段成比例定理和相似三2角形的性质即可判定.【解答】解：.「□、E分别是AB、AC的中点,DE // BC, DE—BC,蛆AC BC 2'△ ADE^A ABC,. - 一上-口△⑪E iAABC 卷 4'・•.A, B, C正确,D错误;【点评】该题主要考查了平行线分线段成比例定理和相似三角形的性质即可判定;解题的关键是正确找出对应线段,准确列出比例式求解、计算、判断或证实.8. 〔2021?台湾〕如图的GABC中有一正方形DEFG,其中D在AC上,E、F在AB上,直线AG分别交DE、BC 于M、N 两点.假设ZB=90°, AB=4 , BC=3 , EF=1 ,贝U BN 的长度为何？〔〕【分析】由DE // BC可得迎=5?求出AE的长,由GF // BN可得空支,将AE的长代人可求得AB BC AB BNBN.【解答】解：:四边形DEFG是正方形,・ .DE//BC, GF// BN,且DE=GF=EF=1 ,AADE^AACB, AAGF^ AANB,T 口①,遇理旦②,AB BC AB BN由①可得,鲤』解得：AE J,4 3 3将AE=^t入②,得:[3解得：BN=—,应选：D.【点评】此题主要考查正方形的性质及相似三角形的判定与性质,根据相似三角形的性质得出AE的长是解题的关键.7 .如图,在同一时刻,身高1.6米的小丽在阳光下的影长为 2.5米,一棵大树的影长为5米,那么这棵树的高度为〔〕A. 1.5 米B. 2.3 米C. 3.2 米D. 7.8 米【分析】在同一时刻物高和影长成正比,即在同一时刻的两个物体,影子,经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似.【解答】解：二.同一时刻的两个物体,影子,经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相BC=X5=3.2 米.2. 5【点评】此题考查了相似三角形在测量高度时的应用,解题时关键是找出相似的三角形, 然后根据对应边成比例列出方程,建立适当的数学模型来解决问题.8. 〔2021确博〕如图是由边长相同的小正方形组成的网格, 点上,线段 AB, PQ 相交于点M,那么图中ZQMB 的正切值是〔【分析】根据题意得出△PAM S ^QBM ,进而结合勾股定理得出求出答案.【解答】解：连接AP, QB, 由网格可得： ZFAB=ZQBA=90° ,应选：C. A, B, P, Q 四点均在正方形网格的格AP=3\/2, BQ =/2, AB=2/2,进而又••• /AMP = /BMQ, APAM^AQBM,,幽鲤, QB EM•, AP=3\/2, BQ=72, AB=2&,V2 2V2 "AM解得：AM = %,仅2tan ZQMB =tan/PMA=^=r £=2 .Afl[ WZ应选：D.【点评】此题主要考查了勾股定理以及相似三角形的判定与性质以及锐角三角函数关系,正确得出△ PAM S ^QBM 是解题关键.中央,相似比为工,把^ABO 缩小,那么点A 的对应点A'的坐标是〔〕3A. (-1, 2)B. (-9, 18)C. (-9, 18)或(9, — 18)【分析】利用位似变换是以原点为位似中央,相似比为 k,那么位似图形对应点的坐标的比等于k 或 -k 进行求解.【解答】解：二“〔-3, 6〕, B 〔-9, -3〕,以原点O 为位似中央,相似比为把^ABO 缩小,3或［—3X 〔一白〕,6X 〔一1〕］,即A 点的坐标为〔—1,应选D.【点评】此题考查了位似变换：在平面直角坐标系中,如果位似变换是以原点为位似中央,相似比为9. 〔2021?东营〕如图,在平面直角坐标系中,点A (- 3, 6) ,B ( - 9, - 3),以原点O 为位似D. (-1, 2)或(1, - 2)•••点A 的对应点A'的坐标为〔-3k,那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k.10 .如图,在直角坐标系中,有两点A (6, 3), B (6, 0),以原点O为位似中央,相似比为第一象限内把线段AB缩小后得到新的线段,那么点A的对应点坐标为(234567-2A . (2, 1) B. (2, 0) C. (3, 3) D, (3, 1)【分析】由以原点O为位似中央,相似比为根据位似图形的性质,即可求得答案.3【解答】解：二.以原点O为位似中央,相似比为-1, A (6, 3), 恸,在第一象限内,点A的对应点坐标为：(2, 1).应选A.【点评】此题考查了位似图形的变换. 注意在平面直角坐标系中, 如果位似变换是以原点为位似中央, 相似比为k,那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k.11 .复印纸的型号有A.、A1、A2、A3、A4等,它们之间存在着这样一种关系：将其中某一型号(如A3)的复印纸较长边的中点对折后,就能得到两张下一型号( A4)的复印纸,且得到的两个矩形都和原来的矩形相似(如图),那么这些型号的复印纸的长宽之比为( )A . 2: 1 B. V2: 1 C.立:1 D, 3: 1【分析】设这些型号的复印纸的长、宽分别为b、a,根据相似多边形的对应边的比相等列出比例式, 计算即可.【解答】解：设这些型号的复印纸的长、宽分别为b、a,•••得到的矩形都和原来的矩形相似,b---」 - ----- ,3 L那么 b 2=2a 2,/二a..这些型号的复印纸的长宽之比为 V2： 1, 应选：B.【点评】此题考查的是相似多边形的性质,相似多边形的性质为：① 对应角相等；② 对应边的比相12. 〔2021?烟台〕如图,在平面直角坐标中,正方形 ABCD 与正方形BEFG 是以原点.为位似中央AO 的长,即可得出答案.【解答】解：二,正方形ABCD 与正方形BEFG 是以原点.为位似中央的位似图形,且相似比为工3BG 3'••• BG=6, AD=BC=2, . AD // BG, AOAD^AOBG,.•.OB=3,・•.C 点坐标为：(3, 2),【点评】此题主要考查了位似变换以及相似三角形的判定与性质,正确得出 AO 的长是解题关键.的位似图形, 且相似比为 1,点A, B, E 在x 轴上,假设正方形BEFG 的边长为6,那么C 点坐标为〔A . (3, 2) B, (3, 1) C. (2, 2) D. (4,2)【分析】直接利用位似图形的性质结合相似比得出AD 的长,进而得出 △OAD S ^OBG ,进而得出二.填空题〔共5小题〕13. 〔2021?宿迁〕假设两个相似三角形的面积比为1: 4,那么这两个相似三角形的周长比是1: 2 .【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求出相似比, 根据似三角形周长的比等于相似比得到答案.【解答】解：二.两个相似三角形的面积比为1: 4,・♦.这两个相似三角形的相似比为1:2,・•.这两个相似三角形的周长比是1: 2,故答案为：1: 2.【点评】此题考查的是相似三角形的性质, 掌握相似三角形周长的比等于相似比、相似三角形面积的比等于相似比的平方是解题的关键.14. 〔2021?娄底〕如图,/ A=/D,要使△ABCs^DEF,还需添加一个条件,你添加的条件是AB // DE .〔只需写一个条件,不添加辅助线和字母〕【分析】根据有两组角对应相等的两个三角形相似进行添加条件.【解答】B：••ZA=ZD,・•・当/B=/DEF 时,△ABCs^DEF,. AB // DE 时,/ B=/DEF ,・•・添加AB// DE 时,使△ ABCs △ DEF .故答案为AB // DE.【点评】此题考查了相似三角形的判定：有两组角对应相等的两个三角形相似.15. 〔2021?宾州〕如图,矩形ABCD中,AB=/3, BC=R,点E在对角线BD上,且BE=1.8,连接CF 111AE并延长交DC于点F,那么—二;_.CD 厂【分析】根据勾股定理求出 BD,得到DE 的长,根据相似三角形的性质得到比例式,代入计算即可求出DF 的长,求出CF,计算即可. 【解答】解：二•四边形ABCD 是矩形, /BAD=90 ；又 AB=71, BC=几, •.•孙五屋十&俨3, ••• BE=1.8, DE=3 - 1.8=1.2, . AB // CD,. DF_DE DF-1.2AB =BE'即解得,DF=织&3贝U CF=CD - DF=1,3V3 ,CF 3 1而一m =密故答案为：3|【点评】此题考查的是矩形的性质、相似三角形的判定和性质,掌握矩形的性质定理和相似三角形的判定定理、性质定理是解题的关键.16. 〔2021彼海〕如图,直线 y=,x+1与x 轴交于点 A,与y 轴交于点B, 4BOC 与△ BO C 是以点A 为位似中央的位似图形, 且相似比为1:3,那么点B 的对应点B 的坐标为〔-8, -3〕或〔4, 3〕.【分析】首先解得点A 和点B 的坐标,再利用位似变换可得结果. 【解答】解：二•直线y=L+1与x 轴交于点A,与y 轴交于点B,EB令x=0可得y=1 ;令y=0可得x= - 2,.•・点A和点B的坐标分别为〔-2, 0〕; 〔0, 1〕,••• ^BOC与ABO'C是以点A为位似中央的位似图形,且相似比为1: 3,..0B =以上O' Q 3• .OB' =3AO' = 6,B的坐标为〔-8, - 3〕或〔4, 3〕.故答案为：〔-8, - 3〕或〔4, 3〕.【点评】此题主要考查了位似变换和一次函数图象上点的坐标特征,得出点A和点B的坐标是解答此题的关键.17. 〔2021跳山〕如图,在△ ABC中,D、E分别是边AB、AC上的点,且DE//BC,假设△ ADE与△ ABC【分析】由DE// BC,易证△ADE S^ABC,由相似三角形的性质即可求出的长.AB的长,进而可求出DB 【解答】解：.「DE//BC,AADE^AABC,••・ 4ADE与4ABC的周长之比为2: 3,AD: AB=2: 3,••• AD=4,AB=6,DB=AB-AD=2,故答案为：2.【点评】此题主要考查的是相似三角形的性质：相似三角形的一切对应线段〔包括对应边、对应中线、对应高、对应角平分线等〕的比等于相似比,面积比等于相似比的平方.三.解做题〔共5小题〕18. 〔2021?广州〕如图,在平面直角坐标系 xOy 中,直线y=-x+3与x 轴交于点C,与直线AD 交于点A 〔工上〕,点D 的坐标为〔0, 1〕3 3〔1〕求直线AD 的解析式；〔2〕直线AD 与x 轴交于点B,假设点E 是直线AD 上一动点〔不与点 B 重合〕,当△ BOD 与4BCE 【解答】解：〔1〕设直线AD 的解析式为y=kx+b,(2)二.直线AD 与x 轴的交点为(-2, 0), OB=2,•・•点D 的坐标为(0, 1), OD=1 ,= y= - x+3与x 轴交于点C (3, 0), .•.OC=3, BC=5•. △BOD 与ABCE 相似,.BD BO OD^OB OD BC BE CE BC CE'普盍表或看卷BE=2/5, CE=氐或 CE±【分析】〔1〕设直线AD 的解析式为y=kx+b,用待定系数法将〔2〕由直线AD 与x 轴的交点为〔- 得BC=5,根据相似三角形的性质得到2, 0〕,得到OB=2,由点D 的坐标为〔0, 1〕,得到OD=1,求BD BO EL —二—=—旦 BC BE CE要工,代入数据即可得到结论.BC CE故直线AD 的解析式为:y —x+1 ;2相似时,求点E 的坐标.A ,D 〔0, 1〕的坐标代入即将A (士上),D (0, 1)代入得:J J解得:•.E (2, 2),或(3, 3.2【点评】此题考查了相似三角形的性质,待定系数法求函数的解析式,正确的作出图形是解题的关键.19. (2021?临夏州)如图, EC//AB, /EDA=/ABF.(1)求证：四边形ABCD是平行四边形；2(2)求证：OA =OE?OF.【分析】(1)由EC // AB, ZEDA = ZABF,可证得/DAB=/ABF,即可证得AD// BC,贝U得四边形ABCD为平行四边形;(2)由EC//AB,可得空=迷,由AD // BC,可得更旦,等量代换得出空3,即OA2=OE?OFOE CD OD 0A OE OA【解答】证实：(1) .「EC//AB,ZEDA=ZDAB,••• ZEDA=ZABF,ZDAB=ZABF,AD // BC,••• DC // AB,四边形ABCD为平行四边形;(2) 「EC//AB,・.△OAB S^OED,,囱妈OE OD. AD // BC,・•.△OBF S^ODA,..再阐OD 0A.忸」阐OE 0A【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质,平行四边形的判定,平行线的性质,解题时要注意识图,灵活应用数形结合思想.20. (2021?聊城)如图,以Rt^ABC的直角边AB为直径作OO,交斜边AC于点D ,点E为OB的中点,连接CE并延长交..于点F,点F恰好落在AB的中点,连接AF并延长与CB的延长线相交于点G,连接OF.(1)求证：OF=：BG;(2)假设AB=4,求DC的长.【分析】(1)直接利用圆周角定理结合平行线的判定方法得出FO是4ABG的中位线,即可得出答案; (2)首选得出△FOE^^CBE (ASA),那么BC=FO」AB=2,进而得出AC的长,再利用相似三角形2的判定与性质得出DC的长.【解答】(1)证实：二.以Rt^ABC的直角边AB为直径作.0,点F恰好落在的中点,AF=B F,/ AOF = /BOF,••• / ABC=/ABG=90 ；/ AOF = /ABG,FO // BG,••• AO=BO,FO是^ABG的中位线,FO =—BG ;2(2)解：在AFOE 和^CBE 中,^ZF0E=ZCBE,EO=BE ,b Z0EF=ZCEBAFOE^ACBE (ASA),BC=FO=—AB=2,2A M A B2+BC~2后连接DB,.「AB为.O直径,ZADB=90 ；ZADB=ZABC,••• /BCD = /ACB,ABCD^AACB,解得：DC=织S【点评】此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质等知识,正确得出△ BCD^AACB是解题关键.21 . 〔2021泡州〕如图,在△ ABC中,点D, E分别在边AB, AC上,ZAED=ZB,射线AG分别交线段DE, BC于点F, G,且&-KZ. AC-CG(1)求证：△ADFs^ACG;〔2〕假设理〕求迎的值.AC 2 FG A【分析】〔1〕欲证实△ADFs^ACG,由理旦可知,只要证实/ADF = /C即可.AC CG〔2〕利用相似三角形的性质得到过」,由此即可证实.AG 2【解答】(1)证实：ZAED = ZB, /DAE = /DAE,/ADF = /C,..幽迹AC CGAADF^AACG.(2)解：••• AADF ^AACG,也幽AC AG'又•••迪」,AC 2.』二, 二'【点评】此题考查相似三角形的性质和判定、三角形内角和定理等知识,记住相似三角形的判定方法是解决问题的关键,属于根底题中考常考题型.22. (2021?南京)如图,在？ABCD中,E是AD上一点,延长CE到点F,使/FBC=/DCE.(1)求证：ZD = ZF;(2)用直尺和圆规在AD上作出一点P,使△BPC S^CDP (保存作图的痕迹,不写作法)【分析】〔1〕BE 交AD 于G,先利用AD // BC 得到/FBC=/FGE ,力口上/FBC=/DCE ,所以/FGE =/DCE , 然后根据三角形内角和定理易得ZD = ZF;(2)分另1J作BC和BF的垂直平分线,它们相交于点O,然后以.为圆心,OC为半径作4BCF的外接圆.0,..交AD于P,连ZBP、CP,那么根据圆周角定理得到/F=/BPC,而/F=/D,所以/D=/BPC,接着可证实/PCD=/APB=/PBC,于是可判断△BPC S^CDP.【解答】(1)证实：BE交AD于G,如图,•••四边形ABCD为平行四边形,• . AD // BC,ZFBC=ZFGE,而/FBC=/DCE,ZFGE=ZDCE,••• ZGEF = ZDEC,/D = /F;(2)解：如图,点P为所作.【点评】此题考查了作图-相似变换：两个图形相似,其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到.也考查了平行四边形的性质.解决〔2〕小题的关键是利用圆周角定理作/BPC = /F.czsx。

八下第四章相似图形单元测试卷

图 2图 3图 1(A) (B) (C) (D) 八年级数学下册第四章整章水平测试（A)本试卷满分120分一、精心选一选（每小题3分，共24分）1.下列各组线段（单位：㎝）中，成比例线段的是（）（A ）1、2、3、4 （B ）1、2、2、4 （C ）3、5、9、13 （D ）1、2、2、3 2.手工制作课上，小红利用一些花布的边角料，剪裁后装饰手工画，下面四个图案是她剪裁出的空心不等边三角形、等边三角形、正方形、矩形，其中每个图案花边的宽度都相每个图案中花边的内外边缘所围成的几何图形不相似的是( )3.某校数学兴趣小组为测量学校旗杆AC 的高度，在点F 处竖立一根长为1.5米的标杆DF ，如图1所示，量出DF 的影子EF 的长度为1米，再量出旗杆AC 的影子BC 的长度为6米，那么旗杆AC 的高度为（）（A ）6米（B ）7米（C ）8.5米（D ）9米4.在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比.已知这本书的长为20cm ，则它的宽约为(A)12.36cm (B)13.6cm (C)32.36cm (D)7.64cm5.小明在一次军事夏令营活动中，进行打靶训练，在用枪瞄准目标点B 时，要使眼睛O 、准星A 、目标B 在同一条直线上，如图4所示，在射击时，小明有轻微的抖动，致使准星A 偏离到A ′，若OA=0.2米，OB=40米，AA ′=0.0015米，则小明射击到的点B ′偏离目标点B 的长度BB ′为（）(A)3米 (B)0.3米 (C)0.03米 (D)0.2米6.如图，正五边形FGHMN 是由正五边形ABCDE 经过位似变换得到的，若AB:FG=2:3，则下列结论正确的是（）(A)2DE=3MN ， (B)3DE=2MN ，(C) 3∠A=2∠F (D)2∠A=3∠F7.若△ABC ∽△DEF, △ABC 与△DEF 的相似比为1∶2，则△ABC 与△DEF 的周长比为（） (A)1∶4(B)1∶2(C)2∶1(D)１∶28.如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3和4及x ，那么x 的值（）(A)只有1个 (B)可以有2个 (C)有2个以上但有限 (D)有无数个二、耐心填一填（每小题3分，共24分）9.在比例尺为1∶200的地图上，测得A ，B 两地间的图上距离为4.5 cm ，则A ，B 两地间的实际距离为 m10.在同一时刻，身高1.6米的小强在阳光下的影长为0.8米，一棵大树的影长为4.8米.则这棵树的高度为米.11.如图4，A 、B 两处被池塘隔开，为了测量A 、B 两处的距离，在AB 外选一适当的点C ，连接AC 、BC ，并分别取线段AC 、BC 的中点E 、F ，测得EF=20m ，则AB=______m ．12如图5，已知零件的外径为25mm ，现用一个交叉卡钳（两条尺长AC 和BD 相等，OC=OD ）量零件的内孔直径AB ．若OC ∶OA=1∶2，量得CD ＝10mm ，则零件的厚度x= mm ．13.如图6，光源P 在横杆AB 的正上方，AB 在灯光下的影子为CD ，AB ∥CD ，AB ＝2m ，CD ＝6m ，点P 到CD 的距离是2.7m ，则AB 与CD 间的距离是__________m ．14.如图，已知△OAB 与△OA /B /是相似比为1：2的位似图形，点O 为位似中心，若△OAB 内一点P （x ，y ）与△OA /B /内一点P /是一对对应点，则点P /的坐标是．15.关于对位似图形的表述，下列结论正确的是．（只填序号） ①相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形；②位似图形一定有位似中心；③如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么，这两个图形是位似图形；④位似图形上任意两点与位似中心的距离之比等于位似比．16.如图8，在ABC ∆中，D 是AB 边上一点，连接CD ，要使ADC ∆与ABC ∆相似，应添加的条件是（只需写出一个条件即可）.三、用心想一想（60分） 17、（12分）已知432c b a ==，求（1）b c b a ++ （2） ca cb a +-+23的值.18、（12分）如图9，在△ABC 中,AB=4,点E 在AC 上,点D 在AB 上,若AE=2,EC=3,且ECAEDB AD =. (1)求AD 的长； (2)试问,ACECAB DB =能成立吗?请说明理由.19.（12分）、如图10，在△ABC 和△ADE 中，∠BAD=∠CAE ，∠ABC=∠ADE ．(1)写出图中两对相似三角形（不得添加辅助线）； (2)请分别说明两对三角形相似的理由．20（12分）、如图11，丁轩同学在晚上由路灯AC 走向路灯BD ，当他走到点P 时，发现身后他影子的顶部刚好接触到路灯AC 的底部，当他向前再步行20m 到达Q 点时，发现身前他影子的顶部刚好接触到路灯BD 的底部，已知丁轩同学的身高是 1.5m ，两个路灯的高度O B 'A 'B A yx 图7 图4 图5 图6 图8图10AD E B C图9都是9m ，则两路灯之间的距离是多少？21.（本题满分12分）如图12中的小方格都是边长为1的正方形，△ABC 的顶点和O 点都在正方形的顶点上．（1）以点O 为位似中心，在方格图中将△ABC 放大为原来的2倍，得到△A ′B ′C ′；（2）△A ′B ′C ′绕点B ′顺时针旋转90，画出旋转后得到的△A ″B ′C ″，并求边A ′B ′在旋转过程中扫过的图形面积．拓广探索与提升（12分） 22（12分）、学习《图形的相似》后，我们可以借助探索两个直角三角形全等的条件所获得经验，继续探索两个直角三角形相似的条件. （1）“对与两个直角三角形，满足一边一锐角对应相等，或两直角边对应相等，两个直角三角形全等”。

第四章相似图形测试(4)(含答案)-

H DF E CB AG第四章相似图形测试(4)一、选择题:1.下列结论正确的是( )A.等腰三角形相似;B.腰长相等的两个等腰三角形相似C.有一个角相等的两个等腰三角形相似D.有一个角对应相等的两个等腰三角形不一定相似2.如图,在□ABCD中,E是AB延长线上一点,H是AD上一点, ED和CH相交于点G,•交BC边于点F,则图中相似的三角形有( )A.3对B.4对C.5对D.6对3.下列四组图形中,必成相似形的是( )A.有一个角是40°的两个等腰三角形;B.有三个角对应相等的两个四边形C.有一个角是105°的两个等腰三角形;D.邻边之比为1:3的两个平行四边形4.已知,a,b,c,d四条线段成比例,其中a=3,c=9,d=15,则线段b的长为( )A.5B.6C. 95D.455.两个相似多边形的面积比是4:9,那么它们的周长比是( )A.4:9B.16:81C.2:3D.9:46.下列命题不正确的是( )A.两个位似图形一定相似;B.位似图形的对应边一定平行C.两个位似图形的位似比就是相似比;D.两个相似图形一定是位似图形二、填空题1.如果23a b cx y z===,那么a b cx y z++++=__________.(其中x+y+z≠0)2.如果长为3cm,5cm,15cm和xcm的线段是成比例线段,那么x=_______.3.△ABC∽△A′B′C′,且AB:A′B′=3:2,且△ABC的周长为18cm,•则这两个三角形的周长和为_____.4.将一个矩形沿两条较长边的中点连线对折,得到的矩形与原矩形相似,则原矩形长与宽的比是_________.5.在Rt△ABC中,∠C=90°,CD⊥AB于D,下面的式子错误的是________.A.AC2=A D·ABB.AB2=A C·BC;C.BC2=B D·ABD.CD2=A D·BD6.某一时刻,一根4米长的旗杆的影长为6•米,•同时附近的一座建筑物的影长为36米,那么这座建筑物高________米.三、计算题1.已知a、b、c、d四条线段成比例,且a=4,d=16,b=c,求线段c的长.2.如图,DE∥BC,AD=5,BD=2,△ADE的面积为20,则梯形DBCE的面积是多少?AD ECB3.如图,D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点,∠A=40°,∠C=70°,∠AED=50°,那么AD·AB=AE·AC成立吗?为什么?ADEBC4.如图,小军欲测量学校旗杆AB的高度,他站在旗杆影子上前后移动,•直到他本身影子的顶端与旗杆影子的顶端重叠,此时他距离旗杆2米,已知小军的身高1.6米,•他的影长1米,求旗杆的高度.5.如图,一油桶高1.2米,桶内有油,一根木棒长1.5米,从桶盖小口斜插入桶内,•一端到底,另?一端恰与桶盖小口相齐.抽出木棒,量得棒上未浸油部分长0.5米,•则桶内油的高度是多少6.把如图所示的△ABC放大,且使放大后的△A′B′C′与△ABC相位似,•位似比为2:1,位似中心是BC的中点O.答案:一、1.D 2.B 3.C 4.A 5.C 6.D二、:1 5.B 6.24 三、1.由a 、b 、c 、d 成比例得a cb d= 所以ab=bc,因为b=c,所以c 2=ad=4×16=64,•所以c=8 2.DE ∥BC ⇒∠ADE=∠B,∠AED=∠C ⇒△ADE ∽△ABC⇒22525()()5249ADE ABCS AD SAB ===+ 即202549ABCS=得S △ABC =1965所以S 梯DBCE =S △ABC -S △ADE = 1965-20=9653.成立,理由是∠A=40°,∠C=70°⇒∠B=50° ∠AED=50°△ABC ∽△AED ∠A=∠A⇒AB ACAE AD=⇒AD ·AB=AE ·AC 4.由题意得△ECD ∽△EAB ⇒CD ED AB EB =⇒1.6111AB =+⇒ AB=4.8答:旗杆高4.8米.5.设桶内油的高度是x 米,根据题意得1.20.51.2 1.5x -=解得x=0.8 答:桶内油的高度是0.8米.6.连接OA 、OB 、OC 并延长至A ′、B ′、C ′,使OA ′=2OA,OB ′=2OB,OC ′=2OC,•顺次连接A ′、B ′、C ′,即得△A ′B ′C ′.。

北师大版2024—2025学年秋季九年级上册秋季第四章图形的相似单元测试

北师大版2024—2025学年秋季九年级上册秋季第四章图形的相似单元测试考生注意：本试卷共三道大题，25道小题，满分120分，时量120分钟注意事项:1.本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分。

笞卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答第I卷时，选出每小题答案后，把答案填写在答题卡上对应题目的位置，填空题填写在答题卡相应的位置写在本试卷上无效。

3.回答第II卷时，将答案写在第II卷答题卡上。

4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I卷一、选择题（每题只有一个正确选项，每小题3分，满分36分）1．如果两个相似三角形的相似比是1：2，那么它们的周长比是（）A．2：1B．1：4C．1：D．1：22．下列各组图形一定相似的是（）A．两个直角三角形B．两个菱形C．两个矩形D．两个等边三角形3．下列说法中，不正确的是（）A．等边三角形都相似B．等腰直角三角形都相似C．矩形都相似D．正八边形都相似4．已知，则＝（）A．B．C．D．5．如图，在△ABC中，DE∥BC，DE＝2，BC＝5，则S△ADE：S△ABC的值是（）A．B．C．D．6．如图，△ACP∽△ABC，若∠A＝100°，∠ACP＝20°，则∠PCB的度数是（）A．60°B．50°C．40°D．30°7．如图，l1∥l2∥l3，直线a，b与l1、l2、l3分别相交于A、B、C和点D、E、F．若＝，DE＝4，则EF的长是（）A．B．C．6D．108．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为，点A，B，E在x轴上．若正方形ABCD的边长为2，则点F坐标为（）A．（8，6）B．（9，6）C．D．（10，6）9．如图，在△ABC中，点D在BC上，BD：DC＝1：2，点E在AB上，AE：EB＝3：2，AD，CE相交于F，则AF：FD＝（）A．3：1B．3：2C．4：3D．9：410．如图，正方形ABCD是一块绿化带，其中阴影部分EOFB，GHMN都是正方形的花圃．已知自由飞翔的小鸟，将随机落在这块绿化带上，则小鸟在花圃上的概率为（）A．B．C．D．二．填空题（6小题，每题3分，共18分）11.已知，则的值为．12.若两个相似三角形面积之比为16：9，则它们的对应中线之比为．13．已知线段a＝2cm，线段b＝3cm，线段c是线段a和线段b的比例中项，则c＝cm．14．如图所示，在正方形ABCD中，G为CD边中点，连接AG并延长交BC边的延长线于E点，对角线BD交AG于F点．已知FG＝2，则线段AE的长度为．15.如图，AB与CD交于点O，且AC∥BD．若＝，则＝．16.如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△A1B1C1位似，原点O是位似中心，且＝3．若A（9，3），则A1点的坐标是．第II卷北师大版2024—2025学年秋季九年级上册秋季第四章图形的相似单元测试姓名：____________ 学号：____________准考证号：___________一、选择题12345678910题号答案二、填空题11、_______ 12、______13、_______ 14、______15、_______ 16、______三、解答题解答题（17、18、19题每题6分，20、21每题8分，22、23每题9分，24、25每题10分，共计72分，解答题要有必要的文字说明）17.如图，在△ABC中，∠ABC的平分线BD交AC边于点D，已知∠ADB＝2∠ABD．（1）求证：AB2＝AD•AC；（2）若DC＝2AD＝2，求∠A的度数．18.已知：如图，△ABC是等边三角形，点D、E分别在边BC、AC上，∠ADE＝60°．（1）求证：△ABD∽△DCE；（2）如果AB＝3，EC＝，求DC的长．19.如图：在∠ABC中，点D、E、F分别在AB、AC、BC边上，四边形BFED是菱形，AF与DE交于点G，已知AB＝3，BC＝6，（1）求证：；（2）求GE的长．20.如图，在△ABC中，高线CE、BD交于点O．（1）求证：△AED∽△ACB；（2）若，求S△AED：S△ABC．21.如图，△ABC和△CDE均是等腰直角三角形，EF⊥AD；（1）当AF＝DF时，求∠AED；（2）求证：△EHG∽△ADG；（3）求证：．22.如图1，在矩形ABCD中，AB＝2，四边形ABFE是正方形，若矩形DEFC与矩形ABCD是相似形．（1）求AD的长．（2）如图2，延长FE至点O，使得FO＝3EF，连接OA并延长、连接OB并延长，分别交直线BC于点G、H，求GH的长．23.如图，在平面直角坐标系中，点A（1，0），点B在y轴正半轴，点C在x轴的负半轴上，且满足．（1）求点B、C的坐标；（2）在BC上是若存在一点P，使△COP∽△CAB？若存在，请求出OP的长；若不存在，请说明理由．24.如图，在四边形ABCD中，∠C＝90°，连接BD，过点A作AE⊥CD，垂足为E，AE交BD于点F，∠1＝∠ADC．（1）求证：∠2＝∠4；（2）若∠3＝45°．①请判断线段AD，BD的数量关系，并证明你的结论；②若AD＝10，BC＝6，求EF的长．25.如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，∠ADC的平分线DE分别交AC、BC于点N、M，交AB的延长线于点E，F为EM的中点，连结AF、BF、CF，AF分别交BD、BC于点G、H．（1）求证：AE＝BC；（2）探究AF与CF的关系，并说明理由；（3）若AD＝8，CD＝6，求OG的长．。

第四章图形的相似单元测试(解析版)

第四章图形的相似单元测试一、选择题：1．如图，在平行四边形ABCD中，E为DC的中点，AE交BD于点F，S△DEF =12cm2，则S△AOB的值为（）A．12cm2B．24cm2C．36cm2D．48cm2(第1题) (第2题) (第5题)2．如图，△ABC，AB=12，AC=15，D为AB上一点，且AD=AB，在AC上取一点E，使以A、D、E为顶点的三角形与ABC相似，则AE等于（）A．B．10 C．或10 D．以上答案都不对3．（3分）在直角三角形中，两直角边分别为3和4，则这个三角形的斜边与斜边上的高的比为（）A．B．C．D．4．点P是△ABC中AB边上的一点，过点P作直线（不与直线AB重合）截△ABC，使截得的三角形与原三角形相似，满足这样条件的直线最多有（）A．2条B．3条C．4条D．5条5．如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（）A．B．C．D．6．正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是BC中点，DE交AC于F，若DE=12，则EF 等于（）A．8 B．6 C．4 D．37．已知正方形ABCD，E是CD的中点，P是BC边上的一点，下列条件中不能推出△ABP与△ECP 相似的是（）A．∠APB=∠EPC B．∠APE=90°C．P是BC的中点D．BP：BC=2：3(第7题) (第8题) (第9题) (第11题)8．如图，矩形ABCD中，BE⊥AC于F，E恰是CD的中点，下列式子成立的是（）A．BF2=AF2；B．BF2=AF2C．BF2＞AF2D．BF2＜AF29．（3分）如图，正方形ABCD的面积为1，M是AB的中点，连接CM、DM、AC，则图中阴影部分的面积为（）A．B．C．D．10．在坐标系中，已知A（﹣3，0），B（0，﹣4），C（0，1），过点C作直线L交x轴于点D，使得以点D，C，O为顶点的三角形与△AOB相似，这样的直线一共可以作出（）A．6条B．3条C．4条D．5条二、填空题：11．如图，把一个矩形纸片ABCD沿AD和BC的中点连线EF对折，要使矩形AEFB与原矩形相似，则原矩形长与宽的比为．12．已知：===，2b+3d﹣5f=9，则2a+3c﹣5e=．13．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，MN⊥AB于M，AM=8cm，AC=AB，BC=15cm，则四边形BCNM的面积为．(第13题) (第14题) (第15题) (第16题)14．如图，在正方形ABCD中，点E是BC边上一点，且BE：EC=2：1，AE与BD交于点F，则△AFD 与四边形DEFC的面积之比是．15．如图，已知梯形AECF中，已知点D是AB边的中点，AF∥BC，CG=3，GA=1，若△AEG的面积为1，那么四边形BDGC的面积为．16．如图，在平行四边形ABCD中，M、N为AB的三等分点，DM、DN分别交AC于P、Q两点，则AP：PQ：QC=．三、解答题：（共36分）17．已知：平行四边形ABCD，E是BA延长线上一点，CE与AD、BD交于G、F．求证：CF2=GF•EF．18．（8分）已知：如图AD•AB=AF•AC，求证：△DEB∽△FE C．19．以长为2的线段AB为边作正方形ABCD，取AB的中点P，连接PD，在BA的延长线上取点F，使PF=PD，以AF为边作正方形AMEF，点M在AD上．（1）求AM，DM的长；（2）求证：AM2=AD•DM；（3）根据（2）的结论你能找出图中的黄金分割点吗？20．已知：如图，AD是Rt△ABC的角平分线，AD的垂直平分线EF交CB的延长线于点F，求证：FD2=FB•F C．21．已知，如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠CAB交BC于点D，过点C作CE⊥AD，垂足为E，CE的延长线交AB于点F，过点E作EG∥BC交AB于点G，AE•AD=16，．（1）求AC的长；（2）求EG的长．参考答案与试题解析一、选择题：1．如图，在平行四边形ABCD中，E为DC的中点，AE交BD于点F，S△DEF =12cm2，则S△AOB的值为（）A．12cm2B．24cm2C．36cm2D．48cm2【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．【分析】根据平行四边形的性质得出AB=DC=2DE，OD=OB，DC∥AB，求出△DFE∽△BFA，推出===，=（）2=，==，求出△AFB的面积是48cm2，△ADF 的面积是24cm2，求出△ABD的面积即可．【解答】解：∵E为DC的中点，∴DC=2DE，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=DC=2DE，OD=OB，DC∥AB，∴△DFE∽△BFA，∴===，=（）2=（）2=，==，∵S△DEF=12cm2，∴△AFB的面积是48cm2，△ADF的面积是24cm2，∴△ABD的面积是72cm2，∵DO=OB，∴△ADO和△ABO的面积相等，∴S△AOB的值为×72cm2=36cm2，故选C．【点评】本题考查了相似三角形的性质和判定，平行四边形的性质的应用，解此题的关键是求出△AFB的面积和△ADF的面积．2．如图，△ABC，AB=12，AC=15，D为AB上一点，且AD=AB，在AC上取一点E，使以A、D、E为顶点的三角形与ABC相似，则AE等于（）A．B．10C．或10 D．以上答案都不对【考点】相似三角形的性质．【专题】分类讨论．【分析】△ADE与△ABC相似，则存在两种情况，即△AED∽△ACB，也可能是△AED∽△ABC，应分类讨论，求解．【解答】解：如图（1）当∠AED=∠C时，即DE∥BC则AE=AC=10（2）当∠AED=∠B时，△AED∽△ABC∴，即AE=综合（1），（2），故选C．【点评】会利用相似三角形求解一些简单的计算问题．3．（3分）在直角三角形中，两直角边分别为3和4，则这个三角形的斜边与斜边上的高的比为（）A．B．C．D．【考点】勾股定理．【分析】本题主要利用勾股定理和面积法求高即可．【解答】解：∵在直角三角形中，两直角边分别为3和4，∴斜边为5，∴斜边上的高为=．（由直角三角形的面积可求得）∴这个三角形的斜边与斜边上的高的比为5：=．故选A．【点评】此题考查了勾股定理和利用面积法求高，此题考查了学生对直角三角形的掌握程度．4．点P是△ABC中AB边上的一点，过点P作直线（不与直线AB重合）截△ABC，使截得的三角形与原三角形相似，满足这样条件的直线最多有（）A．2条B．3条C．4条D．5条【考点】相似三角形的判定．【专题】常规题型；压轴题．【分析】根据已知及相似三角形的判定作辅助线即可求得这样的直线有几条．【解答】解：（1）作∠APD=∠C∵∠A=∠A∴△APD∽△ABC（2）作PE∥BC∴△APE∽△ABC（3）作∠BPF=∠C∵∠B=∠B∴△FBP∽△ABC（4）作PG∥AC∴△PBG∽△ABC所以共4条故选C．【点评】本题考查相似三角形的判定的运用．5．如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（）A． B．C．D．【考点】相似三角形的判定．【专题】网格型．【分析】根据网格中的数据求出AB，AC，BC的长，求出三边之比，利用三边对应成比例的两三角形相似判断即可．【解答】解：根据题意得：AB==，AC=，BC=2，∴AC：BC：AB=：2：=1：：，A、三边之比为1：：2，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似；B、三边之比为：：3，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似；C、三边之比为1：：，图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似；D、三边之比为2：：，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似．故选C．【点评】此题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解本题的关键．6．正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是BC中点，DE交AC于F，若DE=12，则EF 等于（）A．8 B．6 C．4 D．3【考点】相似三角形的判定与性质；正方形的性质．【专题】压轴题；探究型．【分析】先根据题意画出图形，因为四边形ABCD是正方形，E是BC中点，所以CE=AD，由相似三角形的判定定理得出△CEF∽△ADF，再根据相似三角形的对应边成比例可得出==，再根据DF=DE﹣EF即可得出EF的长．【解答】解：如图所示：∵四边形ABCD是正方形，E是BC中点，∴CE=AD，∵AD∥BC，∴∠ADF=∠DEC，∠AFD=∠EFC，∴△CEF∽△ADF，∴==，=，即=，解得EF=4．故选C．【点评】本题考查的是相似三角形的判定与性质及正方形的性质，先根据题意判断出△CEF∽△ADF，再根据相似三角形的对应边成比例进行解答是解答此题的关键．7．已知正方形ABCD，E是CD的中点，P是BC边上的一点，下列条件中不能推出△ABP与△ECP 相似的是（）A．∠APB=∠EPC B．∠APE=90°C．P是BC的中点D．BP：BC=2：3【考点】相似三角形的判定；正方形的性质．【专题】压轴题．【分析】利用两三角形相似的判定定理，做题即可．【解答】解：利用三角形相似的判定方法逐一进行判断．A、B可用两角对应相等的两个三角形相似；D可用两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似进行判断．只有C中P是BC的中点不可推断．故选C．【点评】考查相似三角形的判定定理：（1）两角对应相等的两个三角形相似．（2）两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．（3）三边对应成比例的两个三角形相似．（4）如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．8．如图，矩形ABCD中，BE⊥AC于F，E恰是CD的中点，下列式子成立的是（）A．BF2=AF2B．BF2=AF2C．BF2＞AF2D．BF2＜AF2【考点】相似三角形的判定与性质；矩形的性质；射影定理．【分析】此题即是探求BF2与AF2之间的关系．利用△ABF∽△CEF所得比例线段探究求解．【解答】解：根据射影定理可得BF2=AF×CF；∵△ABF∽△CEF，∴CF：AF=CE：AB=1：2∴BF2=AF×AF=AF2．故选A．【点评】本题主要考查了射影定理及三角形的相似的性质．9．（3分）如图，正方形ABCD的面积为1，M是AB的中点，连接CM、DM、AC，则图中阴影部分的面积为（）A ．B ．C ．D ．【考点】相似三角形的判定与性质；正方形的性质．【分析】根据正方形的性质可得到△AME ∽△CDE ，根据相似三角形的边对应边成比例，求得EH ，EF 的长，从而即可求得阴影部分的面积．【解答】解：如图，过点E 作HF ⊥AB∵AM ∥CD ，∴∠DCE =∠EAM ，∠CDE =∠EMA ，∴△AME ∽△CDE∴AM ：DC =EH ：EF =1：2，FH =AD =1∴EH =，EF =．∴阴影部分的面积=S 正﹣S △AME ﹣S △CDE ﹣S △MBC =1﹣﹣﹣=．故选B ．【点评】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，找出各线段之间的比例关系是本题解题的关键．10．在坐标系中，已知A （﹣3，0），B （0，﹣4），C （0，1），过点C 作直线L 交x 轴于点D ，使得以点D ，C ，O 为顶点的三角形与△AOB 相似，这样的直线一共可以作出（）A ．6条B ．3条C ．4条D ．5条【考点】相似三角形的判定；坐标与图形性质．【专题】常规题型；分类讨论．【分析】△AOB是直角三角形，所作的以点D，C，O为顶点的三角形中∠COD=90度，OC与AD 可能是对应边，这样就可以求出CD的长度，以C为圆心，以所求的长度为半径作圆，圆与x轴有两个交点，因而这样的直线就是两条．同理，当OC与BD是对应边时，又有两条满足条件的直线，共有四条．【解答】解：以点D，C，O为顶点的三角形中∠COD=90度，当OC与AO是对应边，以C为圆心，以CD的长度为半径作圆，圆与x轴有两个交点，因而这样的直线就是两条．同理，当OC与OB是对应边时，又有两条满足条件的直线，所以共有四条．故选C．【点评】本题主要考查了三角形的相似，注意到分两种情况进行讨论是解决本题的关键．二、填空题：11．如图，把一个矩形纸片ABCD沿AD和BC的中点连线EF对折，要使矩形AEFB与原矩形相似，则原矩形长与宽的比为．【考点】相似多边形的性质．【分析】根据相似多边形对应边的比相等，设出原来矩形的长与宽，就可得到一个方程，解方程即可求得．【解答】解：根据条件可知：矩形AEFB∽矩形ABC D．∴=．设AD=x，AB=y，则AE=x．则=，即：x2=y2．∴=2．∴x：y=：1．即原矩形长与宽的比为：1．故答案为：：1．【点评】本题考查了相似多边形的性质，根据相似形的对应边的比相等，把几何问题转化为方程问题，正确分清对应边，以及正确解方程是解决本题的关键．12．已知：===，2b+3d﹣5f=9，则2a+3c﹣5e=．【考点】比例的性质．【分析】根据等比性质解答即可．【解答】解：∵===，∴=，∵2b+3d﹣5f=9，∴2a+3c﹣5e=×9=6．故答案为：6．【点评】本题考查了比例的性质，熟记并理解等比性质是解题的关键．13．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，MN⊥AB于M，AM=8cm，AC=AB，BC=15cm，则四边形BCNM的面积为．【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】由△AMN∽△ACB，推出==，由AC：AB=4：5，设AC=4k，AB=5k，则BC=3k，由BC=15，推出k=5，AC=20，AB=25，根据四边形BCNM的面积=S△ABC ﹣S△AMN即可解决问题．【解答】解：∵MN⊥AB，∴∠AMN=∠C=90°，∵∠A=∠A，∴△AMN ∽△ACB ，∴==，∵AC ：AB =4：5，设AC =4k ，AB =5k ，则BC =3k ，∵BC =15，∴3k =15，∴k =5，AC =20，AB =25，∴MN =6，AN =8，∴四边形BCNM 的面积=S △ABC ﹣S △AMN =×20×15﹣×8×6=126．故答案为126．【点评】本题考查相似三角形的性质和判定、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，属于中考常考题型．14．如图，在正方形ABCD 中，点E 是BC 边上一点，且BE ：EC =2：1，AE 与BD 交于点F ，则△AFD 与四边形DEFC 的面积之比是．【考点】正方形的性质；相似三角形的判定与性质．【专题】压轴题．【分析】根据题意，先设CE =x ，S △BEF =a ，再求出S △ADF 的表达式，利用四部分的面积和等于正方形的面积，得到x 与a 的关系，那么两部分的面积比就可以求出来．【解答】解：设CE =x ，S △BEF =a ，∵CE =x ，BE ：CE =2：1，∴BE =2x ，AD =BC =CD =AD =3x ；∵BC ∥AD ∴∠EBF =∠ADF ，又∵∠BFE =∠DFA ；∴△EBF ∽△ADF∴S △BEF ：S △ADF ===，那么S △ADF =a ．∵S △BCD ﹣S △BEF =S 四边形EFDC =S 正方形ABCD ﹣S △ABE ﹣S △ADF ，∴x 2﹣a =9x 2﹣×3x •2x ﹣，化简可求出x 2=；∴S △AFD ：S 四边形DEFC =： =： =9：11，故答案为9：11．【点评】此题运用了相似三角形的判定和性质，还用到了相似三角形的面积比等于相似比的平方．15．如图，已知梯形AECF 中，已知点D 是AB 边的中点，AF ∥BC ，CG =3，GA =1，若△AEG 的面积为1，那么四边形BDGC 的面积为．【考点】相似三角形的判定与性质；梯形．【分析】先求出△AFG 的面积，然后找出S △CEG =9S △AFG =3，再求出S △AFD =2S △AFC =2×=，S △DEB =S △AFD =，最后用面积差即可．【解答】解：AF ∥BC ，CG =3，GA =1，∴，∴FG =EF ，∵AF ∥BC ，∴， ∵D 是AB 的中点，∴AD =BD ，∴ED =FD ，∴FD =EF ，∵=，∴S △AFG =S △AEG =，∵AF ∥BC ，∴△CEG ∽△AFG ，∴，∴S △CEG =9S △AFG =3，∵FG =EF ，FD =EF ，∴FD =2FG ，∴DG =FG ，∴S △AFD =2S △AFC =2×=，∵△BED ≌△AFD ，∴S △DEB =S △AFD =，∴S 四边形BDGC 的面积=S △CGE ﹣S △BED=3﹣=．【点评】此题是相似三角形的性质和判定，主要考查了相似三角形的性质，面积比等于相似比的平分，等底的两三角形面积的比等于高的比，解本题的关键是求出△AFG 的面积．16．如图，在平行四边形ABCD 中，M 、N 为AB 的三等分点，DM 、DN 分别交AC 于P 、Q 两点，则AP ：PQ ：QC = ．【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．【分析】根据题意，可得出△AMP∽△CDP和△ANQ∽△CDQ，可分别得到AP、PQ、QC的关系式，进而求出AP、PQ、QC的比值．【解答】解：由已知得：△AMP∽△CDP，∴AM：CD=AP：PC=AP：（PQ+QC）=，即：3AP=PQ+QC，①△ANQ∽△CDQ，∴AN：CD=AQ：QC=（AP+PQ）：QC=，即2QC=3（AP+PQ），②解①、②得：AQ=AC，PQ=AQ﹣AP=AC，QC=AC﹣AQ=AC，∴AP：PQ：QC=5：3：12．【点评】主要考查了三角形相似的性质和平行四边形的性质，要熟练掌握灵活运用．三、解答题：（共36分）17．已知：平行四边形ABCD，E是BA延长线上一点，CE与AD、BD交于G、F．求证：CF2=GF•EF．【考点】平行线分线段成比例；平行四边形的性质．【专题】证明题．【分析】根据平行四边形的性质得AD∥BC，AB∥CD，再根据平行线分线段成比例定理得=，=，利用等量代换得到=，然后根据比例的性质即可得到结论．【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，∴=，=，∴=，即CF2=GF•EF．【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．也考查了平行四边形的性质．18．（8分）已知：如图AD•AB=AF•AC，求证：△DEB∽△FE C．【考点】相似三角形的判定．【专题】证明题．【分析】利用两边对应比值相等，且夹角相等的两三角形相似，进而得出即可．【解答】证明：∵AD•AB=AF•AC，∴=，又∵∠A=∠A，∴△DEB∽△FE C．【点评】此题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握判定定理是解题关键．19．以长为2的线段AB为边作正方形ABCD，取AB的中点P，连接PD，在BA的延长线上取点F，使PF=PD，以AF为边作正方形AMEF，点M在AD上．（1）求AM，DM的长；（2）求证：AM2=AD•DM；（3）根据（2）的结论你能找出图中的黄金分割点吗？【考点】黄金分割；勾股定理；正方形的性质．【分析】（1）由勾股定理求PD，根据AM=AF=PF﹣PA=PD﹣PA，DM=AD﹣AM求解；（2）由（1）计算的数据进行证明；（3）根据（2）的结论得：=，根据黄金分割点的概念，则点M是AD的黄金分割点．【解答】（1）解：在Rt△APD中，PA=AB=1，AD=2，∴PD==，∴AM=AF=PF﹣PA=PD﹣PA=﹣1，DM=AD﹣AM=2﹣（﹣1）=3﹣；（2）证明：∵AM2=（﹣1）2=6﹣2，AD•DM=2（3﹣）=6﹣2，∴AM2=AD•DM；（3）点M是AD的黄金分割点．理由如下：∵AM2=AD•DM，∴═=，∴点M是AD的黄金分割点．【点评】此题综合考查了正方形的性质、勾股定理和黄金分割的概念．先求得线段AM，DM的长，然后求得线段AM和AD，DM和AM之间的比，根据黄金分割的概念进行判断．20．已知：如图，AD是Rt△ABC的角平分线，AD的垂直平分线EF交CB的延长线于点F，求证：FD2=FB•F C．【考点】相似三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】首先连接AF，可证得△AFC∽△BFA，然后由相似三角形的对应边成比例证得FA2=FB•FC，则可得FD2=FB•F C．【解答】证明：连接AF，∵EF是AD的垂直平分线，∴AF=DF，∴∠FAE=∠FDE，∵∠FAE=∠FAB+∠BAD，∠FDE=∠C+∠CAD，且∠BAD=∠CAD，∴∠FAB=∠C，∵∠AFB是公共角，∴△AFB∽△CFA，∴，∴FA2=FB•FC，即FD2=FB•F C．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质以及角平分线的定义．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．21．已知，如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠CAB交BC于点D，过点C作CE⊥AD，垂足为E，CE的延长线交AB于点F，过点E作EG∥BC交AB于点G，AE•AD=16，．（1）求AC的长；（2）求EG的长．【考点】相似三角形的判定与性质；角平分线的性质；勾股定理；三角形中位线定理．【专题】几何图形问题．【分析】（1）∠CAD是公共角，∠ACB=∠AEC=90°，所以△ACE和△ADC相似，根据相似三角形对应边成比例，列出比例式整理即可得到AC2=AE•AD，代入数据计算即可；（2）根据勾股定理求出BC的长度为8，再根据AD平分∠CAB交BC于点D，CE⊥AD证明△ACE 和△AFE全等，根据全等三角形对应边相等，CE=EF，最后根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半EG=B C．【解答】解：（1）∵CE⊥AD，21 ∴∠AEC =90°，∵∠ACB =90°，∴∠AEC =∠ACB ，又∠CAE =∠CAE ，∴△ACE ∽△ADC ，∴，即AC 2=AE •AD ，∵AE •AD =16，∴AC 2=16，∴AC =4；（2）在△ABC 中，BC ===8，∵AD 平分∠CAB 交BC 于点D ，∴∠CAE =∠FAE ，∵CE ⊥AD ，∴∠AEC =∠AEF =90°，在△ACE 和△AFE 中，，∴△ACE ≌△AFE （ASA ），∴CE =EF ，∵EG ∥BC ，∴EG =BC =×8=4．【点评】本题主要考查两角对应相等，两三角形相似，相似三角形对应边成比例，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半的性质，熟练掌握性质并灵活运用是解题的关键，难度适中．。

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第四章《相似图形》单元测验
一、选择题:（3分×10=30分）
1．若3
2
=
y
x
，则3x－2y=（） A．3 B．2 C．1 D．0
2．甲、乙两地相距3.5km，画在地图上的距离为7cm，则这张地图的比例尺为（）
A．2：1 B．1：50000 C．1：2 D．50000：1
3. 已知△ABC∽△DEF，且AB：DE=1：2，则△ABC的面积与△DEF的面积之比为（）
A．1：2 B．1：4 C．2：1 D．4：1
4. 下列四个三角形，与左图中的三角形相似的是（）
5. 如图, 在Rt△ABC中, ∠ACB=90°,CD⊥AB于D，若AD=1，BD=4，则CD=（）
A、2
B、4 C
、、3
6. 如图，丁轩同学在晚上由路灯A C走向路灯B D，当他走到点P时，发现身后他影
子的部刚好接触到路灯A C的底部，当他向前再步行20m到达Q点时，发现身前他影
子的顶部刚好接触到路灯B D的底部，已知丁轩同学的身高是 1.5m，两个路灯的高度
都是9m，且AP=BQ,则两路灯之间的距离是（）
A．24m B．25m C．28m D．30m
7. 如图，△DEF是由△ABC经过位似变换得到的，点O是位似中心，D，E，F分别是
OA，OB，OC的中点，则△DEF与△ABC的面积比是（）
A．1:2B．1:4C．1:5D．1:6
8. 如图,AB是斜靠在墙上的长梯,梯脚B距墙脚1.6m,梯上点D距墙1.4m,BD长0.55m
则梯子的长为( )
A.3.85m
B.4.00m
C.4.40m
D.4.50m
9．如图所示，给出下列条件：①B A C D
∠=∠；②A D C A C B
∠=∠；
③A C A B
C D B C
=；④AB
AD
AC∙
=
2．其中单独能够判定A B C A C D
△∽△
的个数有（）A．1 B．2 C．3 D．4
10.已知点C是线段AB的黄金分割点，且CB＞AC，则下列等式中成立的是（）
A．AB2=AC·CB B．CB2=AC·AB C．AC2=CB·AB D．AC2=2BC·AB
二、填空题：（4分×5=20分）
11、已知线段a、b、c、d是成比例线段，且a = 2㎝，b = 0.6㎝，c=4㎝，那么
d= ㎝.
12. 已知,
3
2
=
=
=
f
e
d
c
b
a
则
f
b
e
a
+
+
=___________.
13.三角尺在灯泡O的照射下在墙上形成影子（如图所示）.现测得
20cm50cm
O A AA'
==
，，这个三角尺的周长与它在墙上形成的影子的周长的比
是．
14. 如图，在△ABC中，AB＝4cm，AC＝2cm，在AB上取一点D，当AD＝___________ cm
时，△ACD∽△ABC.
15. 如图，D是△ABC的边AB上的一点，过点D作DE∥BC交AC于E,若AD：BD = 4：
3，则S△ADE：Ｓ四边形 BCED＝______________.
三、解答题：(共50分)
16.（9分）如图，AD＝2，AC＝4，BC＝6，∠B＝36°，∠D＝117°，ΔABC∽ΔDAC.
（第4题）A．B．C．D．
D
B
A
第14题
第13题
第15题D
C
B
A
（第5题）
（第6题）
（第7题）（第8题）
（1）求AB 的长；（2）求CD 的长；（3）求∠BAD 的大小.
17.（7分）如图，在8×8的网格中，每个小正方形的顶点叫做格点，△OAB 的顶点都在格点上，请在网格中．．．画出．．
△OAB 的一个位似图形，使两个图形以O 为位似中心，且所画图形与△OAB 的位似比为2：1．
18.（10分）如图，△ABC 是一块锐角三角形余料，边BC=120mm ，高AD=80mm ，要把它加工成矩形零件，使一边在BC 上，其余两个顶点分别在边AB 、AC 上，
若这个矩形的长PN 是宽PQ 的2倍，求长、宽各是多少？
19.（12分）已知：R t O AB △在直角坐标系中的位置如图所示，(34)P ，为O B 的中点，点C
为折线O A B 上的动点，线段PC 把R t O AB △分割成两部分．
问：点C 在什么位置时，分割得到的三角形与R t O AB △相似？
（注：在图上画出所有符合要求的线段PC ，并求出相应的点C 的坐标）．
20.（12分）如图, △ABC 是等边三角形,点D,E 分别在BC,AC 上,且BD=CE,AD 与BE 相
交于点F.（1）△AEF 与△ABE 相似吗?说说你的理由.（2）BD 2=AD ·DF 吗?请说明理由.
附加题：21.（10分）在R t ABC △中，902BAC AB AC ∠=== ，，点D 在B C 所在的直线上运动，作45ADE ∠= （A D E ，，按逆时针方向）．如图，若点D 在线段B C 上运动，D E 交A C 于E ．①求证：A B D D C E △∽△；②当AD E △是等腰三角形时，求A E
的长．
(第19题图)
45
A B D
C E
（2）设边宽为xmm，则长为2xmm，∵PNMQ为矩形，
∴PQ∥BC，PN∥AD，
根据平行线的性质可以得出：
、
，
由题意知PN=2xmm，AD=80mm，BC=120mm，AP=xmm，
即
，
，
∵AP+BP=AB，
∴
=1，
解得x=30，2x=60．
即长为60mm，宽为30mm．
解：过P作PC1⊥OA，垂足是C1，则△OC1P∽△OAB．
点C1坐标是（3，0）．（2分）
过P作PC2⊥AB，垂足是C2，
则△PC2B∽△OAB．
点C2坐标是（6，4）．（4分）
过P作PC3⊥OB，垂足是P（如图），
则△C3PB∽△OAB，∴
．（6分）
易知OB=10，BP=5，BA=8，∴
，
．（8分）
∴
．（9分）
符合要求的点C有三个，其连线段分别是PC1，PC2，PC3（如图）．（10分）解：（1）①由∠BAC=90°，AB=AC，推出∠B=∠C=45°．
由∠BAD+∠ADB=135°，∠ADB+∠EDC=135°得到∠BAD=∠EDC．
推出△ABD∽△DCE．
②分三种情况：
（ⅰ）当AD=AE时，∠ADE=∠AED=45°时，得到∠DAE=90°，点D、E分别与B、C重合，所以AE=AC=2．
（ⅱ）当AD=DE时，由①知△ABD∽△DCE，
又AD=DE，知△ABD≌△DCE．
所以AB=CD=2，故BD=CE=2$\sqrt{2}-2$，
所以AE=AC-CE=4-2$\sqrt{2}$．
（ⅲ）当AE=DE时，有∠EAD=∠ADE=45°=∠C，
故∠ADC=∠AED=90°．
所以DE=AE=$\frac{1}{2}$AC=1．。