2020年上海市高一(下)期中数学试卷解析版
【解析】解：f（x）=sinx-sin3x=sinx-（sinxcos2x+cosxsin2x）=sinx-（ sinxcos2x+2sinxcosxcosx） =sinx-sinx（cos2x+2cos2x） =sinx（1-cos2x-2cos2x）=sinx（-cos2x-cos2x）=-2sinxcos2x， 由 f（x）=0，得 sinx=0 或 cos2x=0， 由 sinx=0 得 x=kπ，k∈Z， ∵x∈[0，2π]，∴x=0 或 x=π 或 x=2π，
数）有解，记该方程所有解的和为 S，请求出 S．
21. 若函数 f（x）=sin（ωx+φ），ω＞0，
，f（x）+f（-x）的最大值为 1．
（1）求 φ 的值； （2）若函数 f（x）在[1，2]内没有对称轴，求 ω 的取值范围； （3）若函数 f（x）满足 f（x）=f（x+12）恒成立，且在任意两个相邻奇数所形成 的闭区间内总存在至少两个零点，求 ω 的最小值．
期中数学试卷
题号 得分
一
二
三
总分
一、选择题（本大题共 4 小题，共 12.0 分）
1. △ABC 中，“cosA＞cosB”是“sinA＜sinB”的（ ）条件
A. 充要
B. 充分不必要
C. 必要不充分
D. 既不充分也不必要
2. 已知函数 f（x）=sinx-sin3x，x∈[0，2π]，则函数 f（x）的所有零点之和等于（ ）
①若 tanA+tanB+tanC＞0，则△ABC 是锐角三角形； ②若 acosA=bcosB，则△ABC 是等腰三角形； ③若 acosB+bcosA=b，则△ABC 是等腰三角形； ④若 cosA=sinB，则△ABC 是直角三角形， 其中所有正确命题的序号是______
15. 已知函数 y=asinx+cosx，
A.
B.
C. （-∞，-1]
二、填空题（本大题共 12 小题，共 36.0 分）
D. [-1，+∞）
5. 已知 α 是第一象限角，那么 是第______象限角．
6. 半径为 1 的扇形面积也为 1，则其圆心角的弧度数是______ 7. 函数 y=sinxcosx 的最小正周期是______．
8. 已知角 α 满足
A. 0
B. 3π
C. 5π
D. 7π
3. 在△ABC 中，
，则△ABC 的形状是（ ）
A. 等腰三角形但一定不是直角三角形 B. 等腰直角三角形 C. 直角三角形但一定不是等腰三角形 D. 等腰三角形或直角三角形
4. 已知函数
，g（x）=2x，若 f[g（x）]≥0，对 x∈（
-∞，0]恒成立，则实数 a 的取值范围是（ ）
12. 将函数
的图象向右平移 个单位长度后，得到函数 g（x）的图象
，则函数 g（x）的图象的对称轴方程为 x=______ 13. △ABC 中，AB=5，BC=4，CA=3，D 为 AB 边上的中点，则△ACD 与△BCD 的外接
圆的面积之比为______ 14. 下列是有关△ABC 的几个命题：
，
．
18. 已知函数 f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜ ）的部分 图象如图所示． （1）求函数 f（x）的解析式；
（2）将函数 y=f（x）的图象向右平移 个单位得到函数 g（x）
，当
时，求函数 h（x）=f（x）+g（x）的值域．
19. 如图，已知⊙O 的半径为 1，点 C 在直径 AB 的延长 线上，BC=1，点 P 是半圆上的一个动点，以 PC 为 边作正三角形 PCD，且点 D 与圆心分别在 PC 两侧 ． （1）若∠POB=θ，试将四边形 OPDC 的面积 y 表示 成 θ 的函数并写出定义域； （2）求出四边形 OPDC 面积的最大值，并写出面积取得最大值时的 θ 的值．
综上，“cosA＞cosB”可以推出“sinA＜sinB”， 必要性：由“sinA＜sinB”， 若 B 是钝角，在△ABC 中，显然有 0＜A＜B＜π，可得，“cosA＞cosB”，
若 B 不是钝角，显然有 0＜A＜B＜ ，此时也有 cosA＞cosB，
综上，“sinA＜sinB”推出“cosA＞cosB”成立， 故，“cosA＞cosB”是“sinA＜sinB”的充要条件， 故选：A． 本题考查充分条件必要条件的判断，由“cosA＞cosB”推出“sinA＜sinB”证充分性， “sinA＜sinB”推出“cosA＞cosB”证必要性． 本题考查必要条件、充分条件与充要条件的判断，属中档题．
，其最小值为 a，则实数 a 的取值范围是______
16. 设 a1、a2∈R，且
，则|10π-a1-a2|的最小值等于______．
三、解答题（本大题共 5 小题，共 60.0 分）
第 1 页，共 13 页
17. 设 α，β∈（0，π），且
（Ⅰ）求 cosα 的值； （Ⅱ）求 cosβ 的值．
第 3 页，共 13 页
1.【答案】A
答案和解析
【解析】解：解：充分性：在△ABC 中，“cosA＞cosB”，由余弦函数在（0，π）是减 函数，故有 A＜B， 若 B 不是钝角，显然有“sinA＜sinB”成立，
若 B 是钝角，因为 A+B＜π，故有 A＜π-B＜ ，故有 sinA＜sin（π-B）=sinB，
20. 若函数 f（x）满足 ． （1）试判断
且
，则称 f（x）为“M 函数”
是否为“M 函数”，并说明理由；
（2）函数 f（x）为“M 函数”，且当
时，f（x）=sinx，求 y=f（x）的解
Байду номын сангаас
第 2 页，共 13 页
析式，并写出在
上的单调递增区间；
（3）在（2）条件下，当
（k∈N）时，关于 x 的方程 f（x）=a（a 为常
由 cos2x=0 得 2x=kπ+ = ，k∈Z，
即 x= ，
∵x∈[0，2π]，∴x= 或 x= 或 x= 或 x= ，
，其终边上有一点 P（x，y），若 y=4，则 x=______
9. 三角方程
满足 x∈[0，2π]的解构成的解集为______（用反正弦表示）
10. 在△ABC 中，若 b=2 ，a=2，且三角形有解，则 A 的取值范围是______． 11. 若 2sinα=1+cosα，则 tanα=______．
2020-2021学年上海市徐汇区南洋模范中学高一(下)期中数学试卷(解析版)
2020-2021学年上海市徐汇区南洋模范中学高一（下）期中数学试卷一、填空题（共54分）1．设是两个单位向量，它们的夹角是60°，则＝．2．已知sinθ+cosθ＝，则sin2θ＝．3．函数的最小正周期不大于4，则实数k的最小值为．4．已知函数在[0，2]上单调递减，则实数a的取值范围是．5．在三角形ABC中，有命题：在△ABC中，有命题：①﹣＝；②++＝；③若（+）•（﹣）＝0，则三角形ABC为等腰三角形；④若•＞0，则三角形ABC为锐角三角形．上述命题正确的是．6．若，则＝．7．若函数f（x）＝tan2x﹣a tan x（|x|≤）的最小值为﹣6，求实数a的值为．8．中国扇文化有着深厚的文化底蕴，文人雅士喜在扇面上写字作画．如图，是书画家唐寅（1470﹣1523）的一幅书法扇面，其尺寸如图所示，则该扇面的面积为cm2．9．已知函数在[0，π]上有两个零点，则ω的取值范围为．10．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若a2+b2＝2021c2，则的值为．11．已知函数的部分图象如图所示，若f（x0）＝（﹣＜x0＜），则cos3x0＝．12．已知函数f（x）＝，若关于x的不等式f（x）≥|ax+1|在R上恒成立，则实数a的取值范围是．二、选择题（每小题5分，共20分）13．下列说法正确的是（）A．函数y＝cos x在第一、二象限都是减函数B．第二象限角大于第一象限角C．三角形的内角必是第一或第二象限角D．若α是第二象限，则是第一或第三象限角14．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期是π，若其图象向右平移个单位后得到的函数为奇函数，则函数y＝f（x）的图象（）A．关于点（，0）对称B．关于直线x＝对称C．关于点（，0）对称D．关于直线x＝对称15．已知向量，为单位向量，且•＝﹣，向量与共线，则|+|的最小值为（）A．1B．C．D．16．若α∈[0，π]，β∈[﹣，]，λ∈R，且（α﹣）3﹣cosα﹣2λ＝0，4β3+sinβcosβ+λ＝0，则cos（+β）的值为（）A．0B．C．D．三、解答题（共76分）17．已知向量，满足||＝1，||＝2，且与不共线．（1）若向量+k与k+2为方向相反的向量，求实数k的值；（2）若向量与的夹角为60°，求2+与﹣的夹角θ．18．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且3b2+3c2﹣4．（1）求sin A；（2）若3c sin A＝a sin B，且c＝，求△ABC的周长．19．如图，某机械厂要将长6m，宽2m的长方形铁皮ABCD进行裁剪．已知点F为AD的中点，点E在边BC上，裁剪时先将四边形CDFE沿直线EF翻折到MNFE处（点C，D 分别落在直线BC下方点M，N处，FN交边BC于点P），再沿直线PE裁剪．（1）当∠EFP＝时，试判断四边形MNPE的形状，并求其面积；（2）若使裁剪得到的四边形MNPE面积最大，请给出裁剪方案，并说明理由．20．（16分）已知点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））是函数f（x）＝2sin（ωx+φ）图象上的任意两点，且角φ的终边经过点，若|f （x1）﹣f（x2）|＝4时，|x1﹣x2|的最小值为．（1）求函数f（x）的解析式；（2）求函数f（x）的单调递增区间；（3）当时，不等式mf（x）+2m≥f（x）恒成立，求实数m的取值范围．21．（18分）已知函数y＝f（x），x∈D，如果对于定义域D内的任意实数x，对于给定的非零常数P，总存在非零常数T，恒有f（x+T）＜P•f（x）成立，则称函数f（x）是D 上的P级递减周期函数，周期为T．若恒有f（x+T）＝P•f（x）成立，则称函数f（x）是D上的P级周期函数，周期为T．（1）已知函数f（x）＝x2+a是[2，+∞）上的周期为1的2级递减周期函数，求实数a 的取值范围；（2）已知T＝1，y＝f（x）是[0，+∞）上P级周期函数，且y＝f（x）是[0，+∞）上的单调递增函数，当x∈[0，1）时，f（x）＝2x，求实数P的取值范围；（3）是否存在非零实数k，使函数是R上的周期为T的T级周期函数？请证明你的结论．参考答案一、填空题（共54分）1．设是两个单位向量，它们的夹角是60°，则＝．解：∵是两个单位向量，它们的夹角是60°，∴||＝||＝1，•＝1×＝，∴﹣•＝1﹣＝．故答案为：．2．已知sinθ+cosθ＝，则sin2θ＝﹣．解：因为sinθ+cosθ＝，两边平方，可得1+2sinθcosθ＝，则sin2θ＝2sinθcosθ＝﹣．故答案为：﹣．3．函数的最小正周期不大于4，则实数k的最小值为π．解：∵函数的最小正周期不大于4，≤4，∴k≥π，则实数k的最小值为π，故答案为：π．4．已知函数在[0，2]上单调递减，则实数a的取值范围是（0，1）．解：因为函数在[0，2]上单调递减，所以＞1，所以0＜a＜1，所以a的取值范围为（0，1）．故答案为：（0，1）．5．在三角形ABC中，有命题：在△ABC中，有命题：①﹣＝；②++＝；③若（+）•（﹣）＝0，则三角形ABC为等腰三角形；④若•＞0，则三角形ABC为锐角三角形．上述命题正确的是②③．解：在三角形ABC中，由于﹣＝，故①不正确．由于++＝+＝，故②正确．由于（+）•（﹣）＝＝0，故有AB＝AC，三角形ABC为等腰三角形，故③正确．由于＝||•||cos A＞0，故A为锐角，但B和C的范围不确定，故不能推出三角形ABC为锐角三角形，故④不正确．故答案为②③．6．若，则＝．解：因为，所以4（）＝1，所以sin（x+）＝，则＝sin[π]＝sin（x+）＝，故答案为：．7．若函数f（x）＝tan2x﹣a tan x（|x|≤）的最小值为﹣6，求实数a的值为±7．解：∵|x|≤，∴m＝tan x∈[﹣1，1]，∴y＝tan2x﹣a tan x＝m2﹣am，m∈[﹣1，1]，由二次函数知识可知：当＜﹣1即a＜﹣2时，函数y＝m2﹣am在m∈[﹣1，1]上单调递增，故当m＝﹣1时，函数取最小值，即1+a＝﹣6，解得a＝﹣7符合题意；当＞1即a＞2时，函数y＝m2﹣am在m∈[﹣1，1]上单调递减，故当m＝1时，函数取最小值，即1﹣a＝﹣6，解得a＝7符合题意；当﹣1≤≤1即﹣2≤a≤2时，函数y＝m2﹣am在m∈[﹣1，]上单调递减，在m∈[，1]上单调递增，故当m＝时，函数取最小值，即﹣＝﹣6，解得a＝±2，均不符合题意综上可得a的值为：±7故答案为：±78．中国扇文化有着深厚的文化底蕴，文人雅士喜在扇面上写字作画．如图，是书画家唐寅（1470﹣1523）的一幅书法扇面，其尺寸如图所示，则该扇面的面积为704cm2．解：如图，设∠AOB＝θ，OA＝OB＝r，由题意可得：，解得：r＝，所以，S扇面＝S扇形OCD﹣S扇形OAB＝×64×（+16）﹣×24×＝704cm2．故答案为：704．9．已知函数在[0，π]上有两个零点，则ω的取值范围为[，）．解：f（x）＝ωx+cosωx＝2sin（ωx+），因为x∈[0，π]，所以ωx+∈[，ω]，要使f（x）在[0，π]上有两个零点，则2π≤ω≤3π，解得≤ω＜，所以ω的取值范围为[，）．故答案为：[，）．10．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若a2+b2＝2021c2，则的值为1010．解：由已知得a2+b2﹣c2＝2020c2，即2020c2＝2ab cos C，所以cos C＝，则＝＝＝＝＝1010．故答案为：1010．11．已知函数的部分图象如图所示，若f（x0）＝（﹣＜x0＜），则cos3x0＝．解：设f（x）的最小正周期为T，则有，故，所以ω＝±3，因为，所以，当ω＝3时，则，不符合题意；当ω＝﹣3时，则，又，所以，故，则，因为，所以，又因为，所以，故，所以．故答案为：．12．已知函数f（x）＝，若关于x的不等式f（x）≥|ax+1|在R上恒成立，则实数a的取值范围是[0，]．解：当x＞0时，f（x）≥|ax+1|在R上恒成立，即为|ax+1|≤x+，也即﹣x﹣≤ax+1≤x+，可得﹣1﹣﹣≤a≤1﹣+，由y＝1﹣+＝4（﹣）2+≥，可得a≤，由y＝﹣1﹣﹣＝﹣4（+）2﹣＜﹣，可得a≥﹣，则﹣≤a≤；当x＝0时，f（0）＝2＞|a•0+1|恒成立；当x＜0时，﹣（x2+2x+2）≤ax+1≤x2+2x+2，即x++2≤a≤﹣x﹣﹣2恒成立，由y＝﹣x﹣﹣2≥2﹣2＝2﹣2，当且仅当x＝﹣时，取得等号，可得a ≤2﹣2；由y＝x++2≤﹣2+2＝0，当且仅当x＝﹣1取得等号，可得a≥0，则0≤a≤2﹣2，综上可得，a的取值范围是[0，]．故答案为：[0，]．二、选择题（每小题5分，共20分）13．下列说法正确的是（）A．函数y＝cos x在第一、二象限都是减函数B．第二象限角大于第一象限角C．三角形的内角必是第一或第二象限角D．若α是第二象限，则是第一或第三象限角解：对于A，y＝cos x在[2kπ，2kπ+π]，k∈Z上是减函数，是余弦函数在每个对应区间上单调递减，第一、二象限内的角不一定在一个区间内，所以选项A错误；对于B，第二象限角不一定大于第一象限角，如α＝是第二象限角，β＝是第一象限角，所以选项B错误；对于C，三角形内角的取值范围是（0，π），内角为时不是象限角，所以选项C错误；对于D，当α是第二象限时，2kπ+≤α≤2kπ+π，k∈Z，则kπ+≤≤kπ+，k∈Z；k为偶数时，是第一象限角，k为奇数时，为第三象限角；所以选项D正确．故选：D．14．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期是π，若其图象向右平移个单位后得到的函数为奇函数，则函数y＝f（x）的图象（）A．关于点（，0）对称B．关于直线x＝对称C．关于点（，0）对称D．关于直线x＝对称解：由题意可得＝π，解得ω＝2，故函数f（x）＝sin（2x+φ），其图象向右平移个单位后得到的图象对应的函数为y＝sin[2（x﹣）+φ]＝sin（2x﹣+φ）是奇函数，又|φ|＜，故φ＝﹣，故函数f（x）＝sin（2x﹣），故当x＝时，函数f（x）＝sin＝1，故函数f（x）＝sin（2x﹣）关于直线x＝对称，故选：D．15．已知向量，为单位向量，且•＝﹣，向量与共线，则|+|的最小值为（）A．1B．C．D．解：∵向量与共线，∴存在实数λ使得．∴＝＝＝＝＝，当且仅当时取等号．故选：D．16．若α∈[0，π]，β∈[﹣，]，λ∈R，且（α﹣）3﹣cosα﹣2λ＝0，4β3+sinβcosβ+λ＝0，则cos（+β）的值为（）A．0B．C．D．解：∵4β3+sinβcosβ+λ＝0，∴（﹣2β）3﹣2sinβcosβ﹣2λ＝0，即（﹣2β）3+sin（﹣2β）﹣2λ＝0．再由（α﹣）3﹣cosα﹣2λ＝0，可得（α﹣）3+sin（α﹣）﹣2λ＝0．故﹣2β和α﹣是方程x3+sin x﹣2λ＝0 的两个实数解．再由α∈[0，π]，β∈[﹣，]，所以﹣α和2β的范围都是[﹣，]，由于函数x3+sin x在[﹣，]上单调递增，故方程x3+sin x﹣2λ＝0在[﹣，]上只有一个解，所以，﹣α＝2β，所以+β＝，所以cos（+β）＝．故选：D．三、解答题（共76分）17．已知向量，满足||＝1，||＝2，且与不共线．（1）若向量+k与k+2为方向相反的向量，求实数k的值；（2）若向量与的夹角为60°，求2+与﹣的夹角θ．解：（1）∵向量与的方向相反，∴存在实数λ＜0，使，且不共线，∴，解得或（舍去），∴；（2）∵，∴＝，＝，，∴，且θ∈[0，π]，∴．18．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且3b2+3c2﹣4．（1）求sin A；（2）若3c sin A＝a sin B，且c＝，求△ABC的周长．解：（1）因为3b2+3c2﹣4，所以b2+c2﹣a2＝bc，由余弦定理得cos A＝＝，由A为三角形内角得sin A＝；（2）因为3c sin A＝a sin B，由正弦定理得3sin C sin A＝sin A sin B，因为sin A＞0，所以3sin C＝sin B，即3c＝b，因为c＝，所以b＝3，由余弦定理得a2＝b2+c2﹣2bc cos A＝9+2﹣2×＝3，故a＝．所以△ABC的周长为．19．如图，某机械厂要将长6m，宽2m的长方形铁皮ABCD进行裁剪．已知点F为AD的中点，点E在边BC上，裁剪时先将四边形CDFE沿直线EF翻折到MNFE处（点C，D 分别落在直线BC下方点M，N处，FN交边BC于点P），再沿直线PE裁剪．（1）当∠EFP＝时，试判断四边形MNPE的形状，并求其面积；（2）若使裁剪得到的四边形MNPE面积最大，请给出裁剪方案，并说明理由．解：（1）当∠EFP＝时，由条件得∠EFP＝∠EFD＝∠FEP＝．所以∠FPE＝．所以FN⊥BC，四边形MNPE为矩形．…3分所以四边形MNPE的面积S＝PN•MN＝2m2．…5分（2）解法一：设，由条件，知∠EFP＝∠EFD＝∠FEP＝θ．所以，，．…8分由得所以四边形MNPE面积为＝＝＝＝…12分．当且仅当，即时取“＝”．…14分此时，（*）成立．答：当时，沿直线PE裁剪，四边形MNPE面积最大，最大值为m2．…16分解法二：设BE＝tm，3＜t＜6，则ME＝6﹣t．因为∠EFP＝∠EFD＝∠FEP，所以PE＝PF，即．所以，．…8分由得所以四边形MNPE面积为＝＝…12分＝．当且仅当，即时取“＝”．…14分此时，（*）成立．答：当点E距B点m时，沿直线PE裁剪，四边形MNPE面积最大，最大值为m2．…16分．20．（16分）已知点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））是函数f（x）＝2sin（ωx+φ）图象上的任意两点，且角φ的终边经过点，若|f （x1）﹣f（x2）|＝4时，|x1﹣x2|的最小值为．（1）求函数f（x）的解析式；（2）求函数f（x）的单调递增区间；（3）当时，不等式mf（x）+2m≥f（x）恒成立，求实数m的取值范围．解：（1）角φ的终边经过点，∴，…∵，∴．…由|f（x1）﹣f（x2）|＝4时，|x1﹣x2|的最小值为，得，即，∴ω＝3…..∴…（2）由，可得，…∴函数f（x）的单调递增区间为，k∈z…（3 ）当时，，…于是，2+f（x）＞0，∴mf（x）+2m≥f（x）等价于…由，得的最大值为…∴实数m的取值范围是．…21．（18分）已知函数y＝f（x），x∈D，如果对于定义域D内的任意实数x，对于给定的非零常数P，总存在非零常数T，恒有f（x+T）＜P•f（x）成立，则称函数f（x）是D 上的P级递减周期函数，周期为T．若恒有f（x+T）＝P•f（x）成立，则称函数f（x）是D上的P级周期函数，周期为T．（1）已知函数f（x）＝x2+a是[2，+∞）上的周期为1的2级递减周期函数，求实数a 的取值范围；（2）已知T＝1，y＝f（x）是[0，+∞）上P级周期函数，且y＝f（x）是[0，+∞）上的单调递增函数，当x∈[0，1）时，f（x）＝2x，求实数P的取值范围；（3）是否存在非零实数k，使函数是R上的周期为T的T级周期函数？请证明你的结论．解：（1）由题意，函数f（x）＝x2+a是[2，+∞）上的周期为1的2级递减周期函数可知：f（x+1）＜2f（x），即（x+1）2+a＜2x2+2a对x∈[2，+∞）恒成立，也即a＞﹣x2+2x+1对x∈[2，+∞）恒成立，∵y＝﹣x2+2x+1＝﹣（x﹣1）2+2在x∈[2，+∞）上单调递减，∴，∴a＞1．（2）已知T＝1，y＝f（x）是[0，+∞）上P级周期函数，且y＝f（x）是[0，+∞）上的单调递增函数，当x∈[0，1）时，f（x）＝2x，∴当x∈[1，2）时，f（x）＝Pf（x﹣1）＝P•2x﹣1，当x∈[n，n+1）时，f（x）＝Pf（x﹣1）＝P2f（x﹣2）＝…＝P n f（x﹣n）＝P n•2x﹣n，即x∈[n，n+1）时，f（x）＝P n•2x﹣n，n∈N*，∵f（x）在[0，+∞）上单调递增，∴P＞0且P n•2n﹣n≥P n﹣1•2n﹣（n﹣1），即P≥2．（3）由已知，应有f（x+T）＝Tf（x）对一切实数x恒成立，即对一切实数x恒成立，也即cos k（x+T）＝T•2T cos kx对一切实数x恒成立，当k≠0时，∵x∈R，∴kx∈R，kx+kT∈R，于是cos kx∈[﹣1，1]，cos（kx+kT）∈[﹣1，1]，故要使cos k（x+T）＝T•2T cos kx恒成立，只有T•2T＝±1，①当T•2T＝1时，即（*）时，由函数y＝2x与的图象存在交点，故方程（*）有解；此时cos（kx+kT）＝cos kx恒成立，则kT＝2mπ，m∈Z，；②当T•2T＝﹣1（**）时，类似①中分析可得，方程（**）无解；综上，存在，符合题意，其中T满足T•2T＝1．。
2020年上海市松江区高一下学期期中数学(附带详细解析)
【解析】
【分析】
由题可知 恒成立.再分情况讨论即可.
【详解】
由题可知 恒成立.当 时成立.当 时, .
当 时，不等式不恒成立.
故实数k的取值范围是 .
故答案为：
【点睛】
本题主要考查了对数的定义域以及二次函数恒成立问题.属于中等题型.
【点睛】
本题主要考查了正切函数的定义求值.属于基础题型.
6．
【解析】
【分析】
根据对数函数的单调性分析即可.
【详解】
由题, .故实数a的取值范围为 .
故答案为：
【点睛】
本题主要考查了对数函数的单调性.属于基础题型.
7．4
【解析】
【分析】
先由扇形的弧长公式 可得： ，再结合扇形的面积公式 求解即可.
【详解】
11．
【解析】
【分析】
将所给式子平方，找到 与 的关系.
【详解】
平方得
∴ .
【点睛】
与 的关系： ；
12．- .
【解析】
【分析】
根据单位圆定义及题意可求得点 的坐标.将求的式子根据诱导公式化简为 .由同三角函数定义可得 .结合二倍角公式化简即可求得 .
【详解】
因为锐角 的终边与单位圆相交于点 ,且点 的横坐标为
则纵坐标为 ,则 的坐标为
由三角函数的定义可知
由正切二倍角公式可知
化简得
解方程可得
因为 为锐角
则 ,所以
而
故答案为:
【点睛】
本题考查了三角函数的定义,正切二倍角公式的应用,诱导公式化简三角函数式,属于基础题.
13．
【解析】
【分析】
只要令1﹣x＝1即可，求出函数经过的定点，利用反函数的对称性求解即可．
2020年上海市高一(下)期中数学试卷解析版
期中数学试卷题号一二三总分得分一、选择题（本大题共4小题，共12.0分）1.在△ABC中，“A＞B”是“sin A＞sin B”的（ ）A. 充要条件B. 必要不充分条件C. 充分不必要条件D. 既不充分也不必要条件2.一个半径为R的扇形，它的周长是4R，则这个扇形所含弓形的面积为（ ）A. B.C. D. （1-sin1cos1）R23.已知△ABC内接于单位圆，则长为sin A、sin B、sin C的三条线段（ ）A. 能构成一个三角形，其面积大于△ABC面积的一半B. 能构成一个三角形，其面积等于△ABC面积的一半C. 能构成一个三角形，其面积小于△ABC面积的一半D. 不一定能构成一个三角形4.已知函数，，则下列说法正确的是A.与的定义域都是B. 为奇函数，为偶函数C. 的值域为的值域为D.与都不是周期函数二、填空题（本大题共12小题，共36.0分）5.已知角α的终边在射线y=-x（x≤0）上，则cosα=______．6.若，则cos2α=______．7.已知tan（π-θ）=3，则=______．8.已知，则=______．9.已知，则cosα=______．10.函数的最小正周期为______．11.函数y=cos2x+2sin x-2的值域为______．12.下图为函数的部分图象，M、N是它与x轴的两个交点，D、C分别为它的最高点和最低点，E（0，1）是线段MD的中点，且△OMB为等腰直角三角形，则f（x）的解析式为f（x）=______．13.已知方程sin x+cos x=m+1在x∈[0，π]上有两个不相等的实数解，则实数m的取值范围是______．14.如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB，小区的两个出入口设置在点及点C处，且小区里从D沿DA 有一条平行于BO的小路CD，已知某人从C沿CD走到D用了10分钟，走到A用了6分钟，若此人步行的速度为每分钟50米，则该扇形的半径OA的长约为______（精确到1米）．15.设α1，α2∈R，且，则tan（α1+α2）=______．16.已知函数f（x）=sin2ωx-2cos2ωx+1（ω＞0），x∈R，若函数f（x）在区间内没有零点，则ω的取值范围为______．三、解答题（本大题共5小题，共48.0分）17.已知（1）求tanα的值；（2）求的值．18.在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，且满足．（1）求A的大小；（2）现给出三个条件：①a=2；②B=45°；③c=b试从中选出两个可以确定△ABC的条件，写出你的选择，并以此为依据求△ABC的面积（只需写出一个选定方案即可）19.如图，某园林单位准备绿化一块直径为BC的半圆形空，△ABC外的地方种草，△ABC的内接正方形PQRS为一水池，其余的地方种花，若BC=1，∠ABC=，设△ABC的面积为S1，正方形的面积为S2．（1）用θ表示S1和S2；（2）当θ变化时，求的最小值，及此时角θ的大小．20.某种波的传播是由曲线f（x）=A sin（ωx+φ）（A＞0）来实现的，我们把解析式f（x）=A sin（ωx+φ）称为“波”，把振幅都是A的波称为“A类波”，把两个波的解析式相加称为波的叠加．（1）已如“1类波”中的两个波，与加后是一个“A类波”，求A的值；（2）已知三个不同的“A类波”，从f1（x）=A sin（x+φ1），f2（x）=A sin（x+φ2），f3（x）=A sin（x+φ3）（其中φ1、φ2、φ3互不相同），三个波叠加后是“平波”y=0，即f1（x）+f2（x）+f3（x）=0，求cos（φ1-φ2）cos（φ2-φ3）cos（φ3-φ1）的值．21.某同学用“五点法”画函数在某一周期内的图象时，列表并填入的部分数据如表：x x1x2ωx+φ0π2πsin（ωx+φ）010-10f（x）00y20（1）请写出上表的x1、x2、y2，及函数f（x）的解析式；（2）将函数f（x）的图象向右平移个单位，再所得图象上各店的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，得到函数g（x）的图象，求g（x）的解析式及的单调递增区间；（3）在（2）的条件下，若在x∈（0，2019π）上恰有奇数个零点，求实数a与零点个数n的值．答案和解析1.【答案】A【解析】解：由正弦定理知=2R，∵sin A＞sin B，∴a＞b，∴A＞B．反之，∵A＞B，∴a＞b，∵a=2R sin A，b=2R sin B，∴sin A＞sin B故选：A．由正弦定理知，由sin A＞sin B，知a＞b，所以A＞B，反之亦然，故可得结论．本题以三角形为载体，考查四种条件，解题的关键是正确运用正弦定理及变形．2.【答案】D【解析】解：l=4R-2R=2R，α===2，可得：S扇形=lR=×2R×R=R2，可得：S三角形=×2R sin1×R cos1=sin1•cos1•R2，可得：S弓形=S扇形-S三角形=R2-sin1•cos1•R2=（1-sin1cos1）R2．故选：D．通过扇形的周长，求出扇形的弧长，求出扇形的圆心角，然后求出扇形的面积，三角形的面积，即可得到这个扇形所含弓形的面积．本题是基础题，考查扇形的面积公式的应用，弓形面积的求法，考查计算能力，注意弓形面积的求法．3.【答案】C【解析】解：设△ABC的三边分别为a，b，c利用正弦定理可得，∴a=2sin A，b=2sin B，c=2sin C∵a，b，c为三角形的三边∴sin A，sin B，sin C也能构成三角形的边，面积为原来三角形面积故选：C．设△ABC的三边分别为a，b，c利用正弦定理可得，可得a=2sin A，b=2sin B，c=2sin C由a，b，c为三角形的三边判断即可本题主要考查了正弦定理的变形形式a=2R sin A，b=2R sin B，c=2R sin C（R为三角形外接圆的半径）的应用，属于中档试题．4.【答案】C【解析】解：A．f（x）与g（x）的定义域都是R，故A错误.B．f（-x）=cos（sin（-x））=cos（-sin x）=cos（sin x）=f（x），则f（x）是偶函数，故B错误.C．∵-1≤sin x≤1，-1≤cos x≤1，∴f（x）的值域为[cos1，1]，g（x）的值域[-sin1，sin1]，故C正确.D．f（x+2π）=cos（sin（x+2π））=cos（sin x）=f（x）则f（x）是周期函数，故D错误.故选：C．根据复合函数的性质结合三角函数的性质分别进行判断即可．本题主要考查命题的真假判断，结合复合函数性质之间的关系，利用三角函数的单调性，奇偶性和周期性的性质是解决本题的关键．5.【答案】【解析】解：∵角α的终边在射线y=-x（x≤0）上，在角α的终边上任意取一点（-1，1），则cosα==-，故答案为：-．由题意利用任意角的三角函数的定义，求得cosα的值．本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．6.【答案】【解析】解：因为sinα=，所以cos2α=1-2sin2α=1-2×=．故答案为：．把所求的式子利用二倍角的余弦函数公式化为关于sinα的式子，将sinα的值代入即可求出值．通常，在高考题中，三角函数多会以解答题的形式出现在第一个解答题的位置，是基础分值的题目，学生在解答三角函数问题时，往往会出现，会而不对的状况．所以，在平时练习时，既要熟练掌握相关知识点，又要在解答时考虑更为全面．这样才能熟练驾驭三角函数题．7.【答案】【解析】解：∵tan（π-θ）=-tanθ=3，∴tanθ=-3，则=．故答案为：．由已知利用诱导公式求tanθ，再由同角三角函数基本关系式化弦为切求解．本题考查三角函数的恒等变换与化简求值，考查同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．8.【答案】【解析】解：∵已知，∴cosα=-=-，则=sinαcos+cosαsin=-=，故答案为：．由题意利用同角三角函数的基本关系求得cosα的值，再利用两角和的正弦公式求得sin （α+）的值．本题主要考查同角三角函数的基本关系、两角和的正弦公式的应用，属于基础题．9.【答案】【解析】解：，所以：，解得：，所以：，整理得：，解得：（负值舍去），故=，故答案为：．直接利用三角函数关系式的变换和角的变换的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，角的变换的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．10.【答案】2π【解析】解：函数的最小正周期是函数y=sin的周期的一半，而函数y=sin的周期为=4π，故函数的最小正周期是2π，故答案为：2π．利用y=|sinωx|的周期是y=sinωx的周期的一半，而y=sinωx的周期为，得出结论．本题主要考查三角偶函数的周期性，利用了y=|sinωx|的周期是y=sinωx的周期的一半，y=sinωx的周期为，属于基础题．11.【答案】[-4，0]【解析】解：y=cos2x+2sin x-2=-sin2x+2sin x-1=-（sin x-1）2，∵x∈R，∴sin x∈[-1，1]，∴当sin x=1时，y max=0；当sin x=-1时，y min=-4，∴函数y的值域为[-4，0]．故答案为：[-4，0]．由y=cos2x+2sin x-2可得由y=-（sin x-1）2，再利用二次函数的相关性质求出最值即可．本题考查了函数的性质及其应用，考查了转化思想和整体思想，属基础题．12.【答案】2sin（x+）【解析】解：由已知点E（0，1）是线段MD的中点知A=2，根据△OMB为等腰直角三角形，可得M（-1，0），D（1，2），∴•=1-（-1），解得ω=；∴函数f（x）=2sin（x+φ），又由M（-1，0）是f（x）图象上的点，由正弦函数的图象与性质知，×（-1）+φ=0，可得φ=，∴f（x）=2sin（x+）．故答案为：2sin（x+）．由已知点E得出A的值，再根据△OMB为等腰直角三角形可得M、D的坐标，从而求得ω和φ的值．本题主要考查了正弦型函数的图象与性质应用问题，是基础题．13.【答案】【解析】【分析】本题考查三角函数的有解问题，三角函数的最值函数的图象的应用，考查分析问题解决问题的能力，属于基础题．通过两角和与差的三角函数化简左侧表达式，通过三角函数的图象与性质，分析求解m 的范围．【解答】解：m+1=sin x+cos x=2sin（x+），x∈[0，π]，x+[]，作出函数y=2sin（x+），x∈[0，π]的图象，如图：方程sin x+cos x=m+1在x∈[0，π]上有两个不相等的实数解，即函数y=2sin（x+），x∈[0，π]与直线y=m+1有两个交点，由图可得，m+1∈，可得m∈．故答案为：．14.【答案】445米【解析】解：法一：设该扇形的半径为r米，连接CO．由题意，得CD=500（米），DA=300（米），∠CDO=60°在△CDO中，CD2+OD2-2CD•OD•cos60°=OC2即，5002+（r-300）2-2×500×（r-300）×=r2解得r=≈445（米）答：该扇形的半径OA的长约为445米．法二：连接AC，作OH⊥AC，交AC于H，由题意，得CD=500（米），AD=300（米），∠CDA=120°在△CDO中，AC2=CD2+AD2-2•CD•AD•cos120°=5002+3002+2×500×300×=7002．∴AC=700（米）．cos∠CAD==．在直角△HAO中，AH=350（米），cos∠HAO=，∴OA==≈445（米）．答：该扇形的半径OA的长约为445米．故答案为：445米．法一：连接OC，由CD∥OB知∠CDO=60°，可由余弦定理得到OC的长度．法二：连接AC ，作OH⊥AC，交AC于H，由余弦定理可求AC，cos∠CAD，在直角△HAO中，利用三角函数的定义可求OA=的值．本题主要考查用余弦定理求三角形边长，考查了数形结合思想和转化思想，属于中档题．15.【答案】1【解析】解：∵α1，α2∈R，且，∴sinα1+2=1，2+sin（2α2）=1，求得sinα1=-1，sin（2α2）=-1，∴α1=2kπ-，且2α2=2nπ-，k、n∈Z，∴α2=nπ-，∴α1+α2=（2k+n）-，∴tan（α1+α2）=tan（-）=1，故答案为：1．由题意可得求得sinα1=-1，sin（2α2）=-1，求得α1和α2的值，可得tan（α1+α2）的值．本题主要考查三角函数的求值问题，属于基础题．16.【答案】【解析】解：f（x）=sin2ωx-2cos2ωx+1=sin2ωx-cos2ωx=sin（2ωx-），（ω＞0），由f（x）=0得2ωx-=kπ，即x=+，k∈Z，∵函数f（x）在区间内没有零点，∴x=+∉（，π），若+∈（，π），则＜+＜π，得ω-＜k＜2ω-，若函数f（x）在区间内没有零点，等价为在（ω-，2ω-）内没有整数，则≥=，即0＜ω≤1，若（ω-，2ω-）内有整数，则当k=0时，由ω-＜0＜2ω-，得，即＜ω＜，若当k=1时，由ω-＜1＜2ω-，得，即＜ω＜，此时＜ω≤1，当k=2时，由ω-＜2＜2ω-，得，即＜ω＜，此时ω超出范围，即若（ω-，2ω-）内有整数，则＜ω＜或＜ω≤1，则若（ω-，2ω-）内没有整数，则0＜ω≤或≤ω≤，即ω的取值范围为（0，]∪[，]，故答案为：（0，]∪[，]利用倍角公式以及辅助角公式进行化简，结合f（x）在区间内没有零点，建立不等式关系进行求解即可．本题主要考查函数零点的应用，利用辅助角公式进行化简，结合三角函数零点问题件转化是解决本题的关键．17.【答案】解：（1）由于，则有3tan2α+8tanα-3=0，解得或tanα=-3，∵，∴tanα=-3；（2）=-cos2α=-（cos2α-sin2α）====．【解析】（1）运用同角的倒数关系，解方程，即可得到；（2）运用诱导公式和二倍角的余弦公式及同角的平方关系和商数关系，计算即可得到．本题考查同角的平方关系和商数关系、倒数关系及诱导公式、二倍角的余弦公式，考查运算能力，属于基础题．18.【答案】解：（1）由2b cos A=c cos A+a cos C代入正弦定理得：2sin B cos A=sin C cos A+sin A cos C即2sin B cos A=sin（C+A）=sin B≠0∴cos A=又0＜A＜π∴A=（2）选①③由余弦定理：a2=b2+c2-2bc cos A∴b2+3b2-3b2=4∴b=2，c=2∴S=选①②由正弦定理得：又sin C=sin（A+B）=sin A cos B+cos A sin B=∴S=选②③这样的三角形不存在．【解析】（1）化简，利用正弦定理，推出关系式，然后求出A 的值．（2）选①③通过余弦定理，求出b，c，求出三角形的面积；选①②通过正弦定理求出的值，推出sin C的值，然后求出面积；选②③这样的三角形不存在．本题是基础题，考查正弦定理，余弦定理的应用，三角函数的化简求值，考查计算能力，逻辑推理能力．19.【答案】解：（1）∵BC是半圆的直径，A在半圆上，∴AB⊥AC，又BC=1，∴AB=cosθ，AC=sinθ，所以：S1=•AB•AC=sinθcosθ；设正方形的边长为x，则：BP=，AP=x cosθ，由BP+AP=AB，得：+x cosθ=cosθ，解得：x=，所以：S2=x2=（）2．（2）===+sin2θ+1，令t=sin2θ，因为0＜θ＜，所以：0＜2θ＜π，则t=sin2θ∈（0，1]，所以：=++1，令g（t）=++1（0＜t≤1），则g′（t）=-+=＜0，所以函数g（t）在（0，1]上递减，因此：当t=1时，g（t）取得最小值g（1）=1++1=，此时：sin2θ=1，解得θ=．所以：当θ=时，的值最小，最小值为．【解析】（1）据题三角形ABC为直角三角形，利用三角函数分别求出AC和AB，得出三角形ABC的面积S1，设正方形PQRS的边长为x，利用三角函数分别表示出BQ和RC ，由BQ+QR+RC=a列出方程求出x，算出S2，（2）化简比值，设t=sin2θ来化简求出S1与S2的比值，利用三角函数的增减性求出比值的最小值以及对应此时的θ．本题考查了根据实际问题选择合适的函数关系的能力，以及在实际问题中建立三角函数模型的能力，是综合题．20.【答案】解：（1）与加后是一个“A类波”，即：f1（x）+f2（x）=sin（x+）+sin（x+）=sin x cos+cos x sin+sin x cos+cos x sin=sin x+cos x=sin（x+）；由定义解析式f（x）=A sin（ωx+φ）称为“波”，把振幅都是A的波称为“A类波”，所以：A=；（2）设f1（x）=A sin（x+φ1），f2（x）=A sin（x+φ2），f3（x）=A sin（x+φ3），由f1（x）+f2（x）+f3（x）=0恒成立，同（1）化简方法利用两角和差公式及辅助角公式，可解得：（cosφ1+cosφ2+cosφ3）sin x+（sinφ1+sinφ2+sinφ3）cos x=0，易得：cosφ1+cosφ2+cosφ3=0；①sinφ1+sinφ2+sinφ3=0；②由两式变型平方可得：cosφ1+cosφ2=-cosφ3；sinφ1+sinφ2=-sinφ3；两式左右完全平方相加可得：2+2cos（φ1-φ2）=1；cos（φ1-φ2）=-；同理可得：cos（φ2-φ3）=-；cos（φ3-φ1）=-；∴cos（φ1-φ2）cos（φ2-φ3）cos（φ3-φ1）=-．【解析】（1）根据定义可求得f1（x）+f2（x）=（cosφ1+cosφ2）sin x+（sinφ1+sinφ2）cos x ，由辅助角公式可求得A的值．（2）设f1（x）=A sin（x+φ1），f2（x）=A sin（x+φ2），f3（x）=A sin（x+φ3），由f1（x）+f2（x）+f3（x）=0恒成立，可解得：cosφ1+cosφ2+cosφ3=0；sinφ1+sinφ2+sinφ3=0；由两式变型平方可得结论．本题主要考查了两角和与差的正弦函数公式的应用，辅助角公式，考查了归纳推理的常用方法，综合性较强，考查了转化思想，属于中档题21.【答案】解：（1）由表格根据五点法作图的规律，可得+=x1-=x2-x1=-x2，解得x1=，x2=，A=，y2=-，f（x）=sin（x+）．（2）将函数f（x））=sin（x+）的图象向右平移个单位，可得y=sin（x-+）=-sin x的图象；再所得图象上各店的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，得到函数g（x）=sin x的图象．函数=[sin x-]，由sin x-＞0，可得sin x＞，,要求函数的单调递增区间，即求y=sin x的减区间，而y=sin x的减区间为[，），故的单调递增区间为[，）．（3）=3sin2x+a sin x-1，令F（x）=0，则a sin x=1-3sin2x，显然当sin x=0时，F（x）不存在零点，因此只需考虑sin x≠0时，F（x）的零点情况，令t=sin x（sin x≠0且0＜x≤2π），则t∈[-1，0）∪（0，1]，a=，则函数y=在[-1，0）和（0，1]上单调递减，且t=1时y=2，当t=-1时，y=-2∴当y∈（-2，2）时，y=t与y=有两个交点，此时方程a sin x=1-3sin2x存在4个实根，当y∈（-∞，-2）∪（2，+∞）时，y=t与y=有一个交点，此时方程a sin x=1-3sin2x存在2个实根，当y=2或y=-2时，y=t与y=有两个交点，此时方程a sin x=1-3sin2x存在3个实根．∵在x∈（0，2019π）上恰有奇数个零点，∴当x∈（2018π，2019π）时，F（x）只可能存在2个零点，因此只有a=2时符合条件，∴x∈（0，2019π）时F（x）的零点为：个．【解析】（1）根据表中的数据直接求解个值即可；（2）由条件得到g（x）的图象，然后在由求出单调区间；（3）令F（x）=0，则a sin x=1-3sin2x，显然当sin x=0时，F（x）不存在零点，因此只需考虑sin x≠0时，F（x）的零点情况，根据F（x）在（0，2π]上的零点情况，得到a 的值，然后在根据a的值求出零点的个数．本题考查了函数的图象与性质，考查了数形结合思想和转化思想，属中档题．。
2020学年上海师大二附中高一(下)期中数学试卷学生版(Word版含解析)
高一（下）期中数学试卷一、填空题（本大题满分42分）1．（3分）函数f（x）=sin（2x+）的最小正周期为．2．（3分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若A=75°，B=60°，b=，则c=．3．（3分）在△ABC中，角A、B、C所对的边为a、b、c，若a2=b2+c2﹣bc，则角A=．4．（3分）若cos（π+α）=﹣，π＜α＜2π，则sinα=．5．（3分）函数y=sinx﹣cosx的最小值为．6．（3分）若tan（α﹣）=，则tanα=．7．（3分）函数y=tan（x﹣）的单调递增区间是．8．（3分）设扇形的周长为8cm，面积为4cm2，则扇形的圆心角的弧度数是．9．（3分）已知角α的顶点在坐标原点上，角α的始边与x轴的正半轴重合，并且角α的终边在射线y=﹣2x（x≤0）上，则cosα=10．（3分）函数的反函数为．11．（3分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ），（A＞0，ω＞0，0≤φ≤π）的部分图象如图所示，则y=f（x）的解析式是f（x）=．12．（3分）已知函数f（x）=cos（2x+），若函数g（x）的最小正周期是π，且当x∈[﹣，]时g（x）=f（），则关于x的方程g（x）=的解集为．13．（3分）设函数f（x）=，则函数f（x）的图象与x轴围成的图形的面积是．14．（3分）在△ABC中，内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，已知a=csinB+bcosC，，则△ABC面积的最大值为．二、选择题（本大题满分12分）15．（3分）已知点P（tanα，cosα）在第三象限，则角α的终边在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限16．（3分）已知，，则x等于（）A．B．C．D．17．（3分）“φ=π”是“函数f（x）=sin（x+φ）为奇函数”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．非充分非必要条件18．（3分）要得到函数y=2sin2x的图象，只需将函数y=2sin（2x﹣）的图象（）A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位三、解答题（本大题满分46分）本大题共有6题19．（5分）求方程：sinx+cosx=1在[0，π]上的解．20．（8分）（1）设，请运用任意角的三角比定义证明：tanα﹣cotα=（sinα+cosα）（secα﹣cscα）．（2）设α≠kπ（k∈Z），求证：．21．（6分）某船在海平面A处测得灯塔B在北偏东30°方向，与A相距6.0海里．船由A 向正北方向航行8.1海里达到C处，这时灯塔B与船相距多少海里（精确到0.1海里）？B 在船的什么方向（精确到1°）？22．（8分）已知，求的值．23．（9分）已知函数f（x）=2x，x∈R．（1）求函数f（x）单调递增区间和f（x）在区间上的值域（2）在△ABC中，内角A、B、C所对边的长分别是a、b、c，若f（A）=2，C=，c=2，求△ABC的面积S△ABC的值．24．（10分）如图，ABCD是边长为10海里的正方形海域．现有一架飞机在该海域失事，两艘海事搜救船在A处同时出发，沿直线AP、AQ向前联合搜索，且∠PAQ=（其中点P、Q分别在边BC、CD上），搜索区域为平面四边形APCQ围成的海平面．设∠PAB=θ，搜索区域的面积为S．（1）试建立S与tanθ的关系式，并指出θ的取值范围；（2）求S的最大值，并求此时θ的值．。
2020年上海市高一(下)期中数学试卷解析版
期中数学试卷题号一二三总分得分一、选择题（本大题共4小题，共12.0分）1.下列命题正确的是（ ）A. 第一象限的角都是锐角B. 小于的角是锐角C. 2019°是第三象限的角D. 2019°是第四象限的角2.“sinα=sinβ”是“α=β”的________条件（ ）A. 充分非必要B. 必要非充分C. 充要D. 既非充分又非必要3.在△ABC中，内角A、B满足sin2A=sin2B，则△ABC的形状是（ ）A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰或直角三角形4.设MP与OM分别是角的正弦线和余弦线，则（ ）A. MP＜OM＜0B. MP＜0＜OMC. OM＜MP＜0D. OM＜0＜MP二、填空题（本大题共12小题，共36.0分）5.与终边相同的角的集合是______．6.若tanθ＜0且sinθ＜0，则θ是第______象限的角．7.已知角α的终边经过点（-3，4），则sinα+cosα=______．8.已知，且α是第四象限的角，则cscα=______，9.若sin x+cos x=，则sin2x=______．10.把化成A sin（α+ϕ）（A＞0）的形式______（注：ϕ不唯一）．11.若cosα=-，α∈（，π），则sin（α+）=______．12.=______．13.化简：=______．14.若且，则sin2α=______．15.已知且，则=______．16.在△ABC中，a=4，A=30°，请给出一个b值______，使该三角形有两解．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）17.已知一个扇形的周长为20cm，当它的圆心角为多大时，该扇形的面积最大？并求面积的最大值．18.已知tanθ=a，（a＞1），求的值．19.修建铁路时要在一个大山体上开挖一隧道，需要测量隧道口D、E之间的距离，测量人员在山的一侧选取点C，因有障碍物，无法测得CE、CD的距离，现测得CA=482.80米，CB=631.50米，∠ACB=56.3°，又测得A、B两点到隧道口的距离分别是80.13米、40.24米（A、D、E、B在同一条直线上），求隧道DE的长（精确到1米）．20.已知，求x+2y的值．21.在△ABC中，已知边，角B=45°，面积．求：（1）边c；（2）角C．答案和解析1.【答案】C【解析】解：A．当α=390°时，位于第一象限，但α=390°不是锐角，故A错误，B．α=-＜，但α不是锐角，故B错误，C.2019°=5×360°+210°，∵210°是第三象限角，∴2019°是第三象限的角，故C正确，D．由C知2019°是第三象限的角，不是第四象限角，故D错误，故选：C．结合象限角的定义分别进行判断即可．本题主要考查与象限角有关的命题的真假判断，结合象限角的定义是解决本题的关键．2.【答案】B【解析】解：“sinα=sinβ”时，由正弦函数的图象和性质可知：α=β+2kπ，k∈Z，或α=π-β+2kπ，k∈Z，∴“sinα=sinβ”不能推出“α=β”所以：“sinα=sinβ”是“α=β”的非充分条件．当“α=β”时，一定推出“sinα=sinβ”，所以：“α=β”是“sinα=sinβ”的充分条件．“sinα=sinβ”是“α=β”的必要条件．综上：“sinα=sinβ”是“α=β”的必要不充分条件．故选：B．根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键．是基础题3.【答案】D【解析】解：法1：∵sin2A=sin2B，∴sin2A-sin2B=cos（A+B）sin（A-B）=0，∴cos（A+B）=0或sin（A-B）=0，∴A+B=90°或A=B，则△ABC一定是直角三角形或等腰三角形．法2：∵sin2A=sin2B，且A和B为三角形的内角，∴2A=2B或2A+2B=180°，即A=B或A+B=90°，则△ABC一定是等腰或直角三角形．故选：D．解法1：利用题设等式，根据和差化积公式整理求得cos（A+B）=0或sin（A-B）=0，推断出A+B=90°或A=B，即可判断出三角形的形状．解法2：由两角的正弦值相等及A和B为三角形的内角，得到两角2A和2B相等或互补，即A与B相等或互余，进而确定出三角形的形状．此题考查了三角形形状的判断，涉及的知识有：正弦、余弦函数的图象与性质，积化和差公式，以及等腰三角形的判定，解题的关键是挖掘题设信息，借助三角函数的基本公式和基本性质找到边与边或角与角之间的关系．4.【答案】D【解析】解：作出单位圆，以及角的正弦线和余弦线，则由图象知，OM＜0＜MP，故选：D．作出单位圆，利用正弦线和余弦线的定义判断即可．本题主要考查三角函数线的大小判断，结合三角线的定义是解决本题的关键．5.【答案】{α|α=2kπ+，k∈Z}【解析】解：与终边相同的角的集合为{α|α=2kπ+，k∈Z}，故答案为：{α|α=2kπ+，k∈Z}根据终边相同角的定义进行求解即可．本题主要考查终边相同角的求解，结合终边相同角的定义是解决本题的关键．6.【答案】四【解析】解：∵tanθ＜0，∴θ位于第二象限或第四象限，∵sinθ＜0，∴θ位于第三象限或第四象限或y轴的非正半轴，综上θ位于第四象限，故答案为：四结合三角函数值的符号和象限之间的关系进行判断即可．本题主要考查角的象限的判断，结合三角函数的符号和象限之间的关系是解决本题的关键．7.【答案】【解析】解：∵角α的终边经过点（-3，4），∴x=-3，y=4，r==5∴sinα=，cosα=-∴sinα+cosα=-=故答案为：利用三角函数的定义，求出sinα、cosα，即可得到结论．本题考查三角函数的定义，考查学生的计算能力，属于基础题．8.【答案】-【解析】解：∵，且α是第四象限的角，∴sinα=-=-，∴cscα==-．故答案为：-．由已知利用同角三角函数基本关系式即可计算得解．本题主要考查了同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．9.【答案】-【解析】解：已知等式两边平方得：（sin x+cos x）2=1+2sin x cosx=1+sin2x=，则sin2x=-．故答案为：-已知等式两边平方，利用二倍角的正弦函数公式化简即可求出sin2x的值．此题考查了二倍角的正弦，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式是解本题的关键．10.【答案】2sin（α+）【解析】解：∵=2（sinα+cosα）=2sin（α+），故答案为：2sin（α+）．由题意利用辅助角公式，求得结果．本题主要考查辅助角公式的应用，属于基础题．11.【答案】【解析】解：由α∈（，π），cosα=-，得到sinα==，则sin（α+）=sinαcos+cosαsin=×-×=．故答案为：根据α的范围，由cosα的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinα的值，然后把所求的式子利用两角和的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简后，把sinα和cosα的值代入即可求出值．此题考查学生灵活运用同角三角函数间的基本关系及两角和的正弦函数公式化简求值，是一道基础题．学生做题时应注意α的取值范围．12.【答案】1【解析】解：由于：==2，故：=log22=1．故答案为：1直接利用三角函数关系式的变换和对数的运算的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，对数的运算的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．13.【答案】1【解析】解：==1．故答案为：1．利用诱导公式，同角三角函数基本关系式即可化简求值得解．本题主要考查了诱导公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．14.【答案】【解析】解：由于且，则：cos，所以：sin2=故答案为：直接利用三角函数关系式的变换求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题．15.【答案】【解析】解：∵，可得：＜＜，可得：＞0，又∵=1-2sin2，∴解得：=．故答案为：．由已知可求＜＜，可得＞0，根据已知利用二倍角的余弦函数公式即可计算得解．本题主要考查了二倍角的余弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．16.【答案】（4，8）【解析】解：由正弦定理有：∴，∵△ABC有两解，∴B＞A，∴，即，∴4＜b＜8所以b的取值范围为：（4，8）．故答案为：（4，8）．利用正弦定理求出sin B，然后根据三角形有两解得到sin B＜1，b＞a即可．本题考查了正弦定理和三角形解得个数问题，属基础题．17.【答案】解：设扇形的半径为r，则扇形的弧长l=20-2r，∴S扇形=lr=（20-r）=-r2+10r=25-（r-5）2，∴当r=5时，扇形的面积最大值为25cm2，∴此时扇形的圆心角α===2．【解析】设扇形的半径为r，由题意可求扇形的弧长l=20-2r，利用扇形的面积公式及配方法可得S扇形=25-（r-5）2，即可得解．本题主要考查了扇形的弧长公式，面积公式的应用，考查了配方法的应用，属于基础题．18.【答案】解：原式===．即：=．【解析】利用两角和与差的正弦函数，以及二倍角的正切，化简，代入tanθ=a，求出结果即可．本题是基础题，考查弦切互化，二倍角的正切，考查计算能力，常考题型．19.【答案】解：根据题意，如图：△ABC中，CA=482.80米，CB=631.50米，∠ACB=56.3°，则AB2=CB2+CA2-2CB•CA cos∠ACB=293557.0525，则AB≈541.81，则DE=AB-AD-BE≈421米；故隧道DE的长约421米．【解析】根据题意，由余弦定理求出AB的长，又由DE=AB-AD-BE，计算即可得答案．本题考查余弦定理的应用，关键是掌握余弦定理的形式，属于基础题．20.【答案】解：∵已知，∴cos y==，∴tan y==，∴tan2y==＞0，故2y仍为锐角．∴tan（x+2y）==1，∴x+2y=，【解析】利用同角三角函数的基系求得tan y的值，利用二倍角的正切公式求得tan2y的值，可得2y为锐角，利用两角和的正切公式求得tan（x+2y）的值，可得x+2y的值．本题主要考查同角三角函数的基系，二倍角的正切公式，两角和的正切公式的应用，属于基础题．21.【答案】解：（1）根据题意，△ABC中，，B=45°，面积，则有ac sin B=3+，则c=+；（2）根据题意，b2=a2+c2-2ac cos B=（2）2+（+）2-2×2（+）cos45°=8，则b=2，则cos A==，则A=60°，C=180°-A-B=75°．【解析】（1）根据题意，由三角形面积公式可得ac sin B=3+，解可得c的值，即可得答案；（2）根据题意，由余弦定理可得b的值，进而由余弦定理求出cos A的值，即可得A的大小，由三角形内角和定理分析可得答案．本题考查三角形中的几何计算，涉及余弦定理、正弦定理的应用，属于基础题．。
2020-2021学年上海市浦东新区高一(下)期中数学试卷 (解析版)
2020-2021学年上海市浦东新区高一（下）期中数学试卷一、填空题（共12小题）.1．75°＝（弧度）．2．2021°是第象限的角．3．若角α的终边过点P（1，2），则tanα＝．4．半径为1，圆心角为的扇形面积为．5．函数y＝1﹣2sin2x（x∈R）的值域为．6．终边在x轴正半轴上所有角α的集合为．（用弧度制表示）7．已知tanα＝2，则＝．8．如果，且α是第四象限角，那么＝．9．若，x∈[0，π]，则角x＝．10．在△ABC中，若a＝2，，B＝120°，则△ABC的面积为．11．已知角α是第三象限角，则的符号为（填写“正”或“负”或“正负均可”）．12．若，α∈（0，），则sinα＝．二、选择题（共4小题）.13．cos52°cos22°+sin52°sin22°＝（）A．B．C．sin74°D．cos74°14．在△ABC中，sin2A+sin2B＝sin2C，则△ABC是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．等腰直角三角形D．直角三角形15．下列函数中，最小正周期为π的奇函数是（）A．B．C．D．y＝cos（2x+π）16．下列命题中真命题的个数是（）①若，则；②cos（2kπ+α）＝cosα（k∈Z）；③若0＜α＜，则sinα＞0且cosα＜0．A．0个B．1个C．2个D．3个三、解答题（本大题满分52分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤. 17．已知cosθ＝﹣，θ∈（，π），求tanθ﹣的值．18．在△ABC中，已知，，求sin C的值．19．求函数y＝sin x+cos x的最小正周期与单调增区间．20．如图所示，甲船在距离A港口24海里，并在南偏西20°方向的C处驻留等候进港，乙船在A港口南偏东40°方向的B处沿直线行驶入港，甲、乙两船距离为31海里．当乙船行驶20海里到达D处，接到港口指令，前往救援忽然发生火灾的甲船，此时甲、乙两船之间的距离为多少？21．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（其中ω＞0，|φ|＜）在区间[﹣，]上的图象如图所示．（1）求ω，φ的值；（2）设x∈[0，]，不等式|4f（x）﹣1|＜m恒成立，求实数m的取值范围．参考答案一、填空题（共12小题）.1．75°＝（弧度）．解：75°＝＝．故答案为：．2．2021°是第三象限的角．解：因为2021°＝360°×5+221°，221°是第三象限角，所以2021°是第三象限角．故答案是：三．3．若角α的终边过点P（1，2），则tanα＝2．解：∵角α的终边经过点P（1，2），则x＝1，y＝2，tanα＝＝2，故答案为：2．4．半径为1，圆心角为的扇形面积为．解：由扇形面积公式得：S＝×|α|×R2＝××12＝．故答案为：．5．函数y＝1﹣2sin2x（x∈R）的值域为[﹣1，1]．解：函数y＝1﹣2sin2x＝cos2x（x∈R），所以y∈[﹣1，1]．故答案为：[﹣1，1]．6．终边在x轴正半轴上所有角α的集合为{α|α＝2kπ，k∈Z}．（用弧度制表示）解：终边在x轴上的角的集合为{α|α＝k•360°，k∈Z}，或{α|α＝2kπ，k∈Z}，故答案是：{α|α＝2kπ，k∈Z}．7．已知tanα＝2，则＝．解：因为tanα＝2，所以＝＝＝．故答案为：．8．如果，且α是第四象限角，那么＝﹣．解：因为，且α是第四象限角，所以＝sinα＝﹣＝﹣＝﹣．故答案为：﹣．9．若，x∈[0，π]，则角x＝或．解：因为x∈[0，π]，sin＝，sin＝，所以x＝或．故答案为：或．10．在△ABC中，若a＝2，，B＝120°，则△ABC的面积为．解：∵＝，即＝，∴sin A＝，又B＝120°，∴A＝30°，∴C＝180°﹣120°﹣30°＝30°，∴S△ABC＝ab sin C＝•2•2•＝，故答案为：．11．已知角α是第三象限角，则的符号为正负均可（填写“正”或“负”或“正负均可”）．解：∵角α是第三象限角，则可能是第二或第四象限角，∴sin（）的符号为正负均可．故答案为：正负均可．12．若，α∈（0，），则sinα＝．解：因为，α∈（0，），所以sin（）＝，则sinα＝sin[（）﹣]＝sin（）﹣cos（）＝＝．故答案为：．二、选择题（本大题满分12分）本大题共有4题，每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，每题答对得3分，否则一律得零分.13．cos52°cos22°+sin52°sin22°＝（）A．B．C．sin74°D．cos74°解：cos52°cos22°+sin52°sin22°＝cos（52°﹣22°）＝cos30°＝．故选：B．14．在△ABC中，sin2A+sin2B＝sin2C，则△ABC是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．等腰直角三角形D．直角三角形解：在△ABC中，∵sin2A+sin2B＝sin2C，∴由正弦定理＝＝得：a2+b2＝c2，∴△ABC是直角三角形．故选：D．15．下列函数中，最小正周期为π的奇函数是（）A．B．C．D．y＝cos（2x+π）解：由于函数y＝cos（2x+）＝﹣sin2x，故它是奇函数，最小正周期为＝π，故A 满足条件；由于函数y＝sin（2x+）＝cos2x，故它是偶函数，最小正周期为＝π，故B不满足条件；由于函数y＝sin（2x+），故它是非奇非偶函数，最小正周期为＝π，故C不满足条件；由于函数y＝cos（2x+π）＝﹣cos2x，故它是偶函数，最小正周期为＝π，故D不满足条件，故选：A．16．下列命题中真命题的个数是（）①若，则；②cos（2kπ+α）＝cosα（k∈Z）；③若0＜α＜，则sinα＞0且cosα＜0．A．0个B．1个C．2个D．3个解：对于①，若，则sinα＜cosα，所以＝＝＝|sinα﹣cosα|＝cosα﹣sinα，故①正确；对于②，利用诱导公式可得cos（2kπ+α）＝cosα（k∈Z），故②正确；对于③，若0＜α＜，则sinα＞0且cosα＞0，故③错误．故真命题的个数是2．故选：C．三、解答题（本大题满分52分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤. 17．已知cosθ＝﹣，θ∈（，π），求tanθ﹣的值．解：由，，得．∴，，∴．18．在△ABC中，已知，，求sin C的值．解：由，得，由，得，又因为在△ABC中，A+B+C＝π，知C＝π﹣（A+B），所以，sin C＝sin（A+B）＝sin A cos B+cos A sin B，＝．19．求函数y＝sin x+cos x的最小正周期与单调增区间．解：由，得，所以，最小正周期T＝2π，由，解得，，因此，函数单调增区间为．20．如图所示，甲船在距离A港口24海里，并在南偏西20°方向的C处驻留等候进港，乙船在A港口南偏东40°方向的B处沿直线行驶入港，甲、乙两船距离为31海里．当乙船行驶20海里到达D处，接到港口指令，前往救援忽然发生火灾的甲船，此时甲、乙两船之间的距离为多少？【解答】根据题意，利用正弦定理求出sin∠ABC的值，再利用同角的三角函数关系和余弦定理，即可求出甲、乙两船之间的距离．21．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（其中ω＞0，|φ|＜）在区间[﹣，]上的图象如图所示．（1）求ω，φ的值；（2）设x∈[0，]，不等式|4f（x）﹣1|＜m恒成立，求实数m的取值范围．解：（1）由图象可知，，∴T＝，则ω＝2．由五点作图的第一点可知，φ＝0，得φ＝；（2）由（1）得f（x）＝sin（2x+），代入|4f（x）﹣1|＜m，得|4sin（2x+）﹣1|＜m．∵x∈[0，]，∴2x+∈，∴4sin（2x+）﹣1∈[﹣3，3]．则|4sin（2x+）﹣1|∈[0，3]．∴m＞3．故实数m的取值范围是（3，+∞）．。
上海高一数学下期中试卷及详解(20200509131252).pdf
期中考试高一数学试题
姓名
学号
成绩 2013.4.
一 . 填空题 （本题满分 44 分 , 每小题 4 分）
1. 化简 1 2sin2cos2 的结果是
。
2. 如果 tan sin 0,且 0 sin cos 1, 那么 的终边在第
象限。
3. 若
k 360o 30o, k Z ，则其中在 720o : 720o之间的角有
AM 2 AN 2 2AM AN cos( 1 1 ) .
方案二：①需要测量的数据有：
7
1
，则
sin 2x
1，
2
6
66
2
6
2a 2asin 2x
a，
6
3a b 1
由题意得
2a 2a b 5
a 2, b 5.
当 a 0时，有 a 2asin 2x 6
2a ，
3a b 5
由题意得
2a 2a b 1
a 2, b 1.
（ 2）当 x
时, f x 取得最大值 .
12
(3) 当 a 0 时， f x
A . 充分条件但非必要条件
B . 必要条件但非充分条件
C . 充分必要条件
D . 既非充分条件又非必要条件
三、解答题 ( 本题满分 44 分)
D. ab 2
（）
（
）
16. （本题满分 8 分）已知一扇形的圆心角是
，所在的圆的半径为 r 。
（ 1）若 60 ,r 10cm ，求扇形的弧长；
（ 2）若扇形的周长是一定值 c c 0 ，当扇形的圆心角为多少时，该扇形的面积最大。
（ 2）若 sin
5 ，求 cos 的值。
2020-2021学年上海市复旦附中高一(下)期中数学试卷 (解析版)
2020-2021学年上海市复旦附中高一（下）期中数学试卷一、填空题（共12小题）.1．函数f（x）＝3sin（2x﹣）的最小正周期为．2．α为第三象限角，且，则在第象限．3．已知扇形的周长为20cm，面积为16cm2，则扇形的圆心角α的弧度数为．4．函数f（x）＝log2（tan x﹣）的定义域为．5．若sin x＝，，则x＝．（结果用反三角函数表示）6．已知奇函数f（x）的一个周期为2，当x∈（0，1）时，，则f（7.5）＝．7．已知sin（α﹣）＝，则sin（2α+）的值为．8．函数的单调递增区间为．9．函数f（x）＝cos2x+sin x+1在上的值域是．10．已知f（x）＝4sin x+3cos x，f（x）向右平移α（0＜α＜π）个单位后为奇函数，则tanα＝．11．我们知道函数的性质中，以下两个结论是正确的：①偶函数f（x）在区间[a，b]（a＜b）上的取值范围与在区间[﹣b，﹣a]上的取值范围是相同的；②周期函数f（x）在一个周期内的取值范围也就是f（x）在定义域上的值域，由此可求函数的值域为．12．已知定义在R上的奇函数，满足f（2﹣x）+f（x）＝0，当x∈（0，1]时，f（x）＝﹣log2x，若函数F（x）＝f（x）﹣sinπx，在区间[﹣2，m]上有2021个零点，则m的取值范围是．二、选择题（每小题5分）.13．已知函数f（x）＝2sin（2x+φ），则“φ＝”是“f（x）为偶函数”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件14．在△ABC中，sin2＝（a、b、c分别为角A、B、C的对应边），则△ABC的形状为（）A．正三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形15．设函数f（x）＝|sin（x+）|（x∈R），则f（x）（）A．在区间[，]上是增函数B．在区间[﹣π，﹣]上是减函数C．在区间[﹣，]上是增函数D．在区间[，]上是减函数16．设函数f（x）＝2sin（ωx+φ）﹣1（ω＞0），若对于任意实数φ，f（x）在区间[，]上至少有2个零点，至多有3个零点，则ω的取值范围是（）A．[，）B．[4，）C．[4，）D．[，）三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17．在平面直角坐标系xOy中，角θ的始边为x轴正半轴，终边在第二象限且与单位圆交于点P．（1）若点P的横坐标为，求的值．（2）若将射线OP绕点O逆时针旋转，得到角α，若，求tanθ的值．18．已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜2π）的部分图象如图所示．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若g（x）＝f（x+t）（t∈（0，π））为偶函数，求t的值．（3）若h（x）＝f（x）•f（x﹣），x∈[0，]，求h（x）的取值范围．19．如图某公园有一块直角三角形ABC的空地，其中∠ACB＝，∠ABC＝，AC长a 千米，现要在空地上围出一块正三角形区域DEF建文化景观区，其中D、E、F分别在BC、AC、AB上．设∠DEC＝θ．（1）若θ＝，求△DEF的边长；（2）当θ多大时，△DEF的边长最小？并求出最小值．20．已知函数的相邻两对称轴间的距离为．（1）求f（x）的解析式；（2）将函数f（x）的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数y＝g（x）的图象，当时，求函数g（x）的值域．（3）对于第（2）问中的函数g（x），记方程在上的根从小到依次为x1，x2，⋯，x n，试确定n的值，并求x1+2x2+2x3+⋯+2x n﹣1+x n的值．21．在非直角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，（1）若a+c＝2b，求角B的最大值；（2）若a+c＝mb（m＞1），（i）证明：；（可能运用的公式有）（ii）是否存在函数φ（m），使得对于一切满足条件的m，代数式恒为定值？若存在，请给出一个满足条件的φ（m），并证明之；若不存在，请给出一个理由．参考答案一、填空题（共12小题）.1．函数f（x）＝3sin（2x﹣）的最小正周期为π．解：由函数f（x）＝3sin（2x﹣），则函数的最小正周期为π，故答案为：π．2．α为第三象限角，且，则在第二象限．解：因α为第三象限角，即，得，则所在象限为第二象限或第四象限，又因，故所在象限为第二象限．综上所述，在第二象限．故答案为：二．3．已知扇形的周长为20cm，面积为16cm2，则扇形的圆心角α的弧度数为．解：由扇形的周长为20cm，面积为16cm2，可设扇形圆心角为α，且α∈（0，2π），半径为r，则，解得或（不合题意，舍去），所以α＝．故答案为：．4．函数f（x）＝log2（tan x﹣）的定义域为．解：由已知得，，即由正切函数的性质可知定义域为，故答案为：．5．若sin x＝，，则x＝．（结果用反三角函数表示）解：sin x＝，，则x＝．故答案为：．6．已知奇函数f（x）的一个周期为2，当x∈（0，1）时，，则f（7.5）＝．解：根据题意，奇函数f（x）的一个周期为2，则f（7.5）＝f（﹣0.5+8）＝f（﹣0.5）＝﹣f（0.5），又由当x∈（0，1）时，，则f（0.5）＝cos＝，故f（7.5）＝﹣；故答案为：﹣．7．已知sin（α﹣）＝，则sin（2α+）的值为．解：∵sin（α﹣）＝，∴sin（2α+）＝cos[﹣（2α+）]＝cos（2α）＝cos[2（α﹣）]＝1﹣2sin2（α﹣）＝1﹣2×（）2＝．故答案为：．8．函数的单调递增区间为．解：函数，即，解得，所以单调递增区间为．故答案为：．9．函数f（x）＝cos2x+sin x+1在上的值域是．解：令，则，∴f（x）＝（cos x）2+sin x+2＝﹣（sin x）2+sin x+2，∴，∴，函数f（x）＝cos2x+sin x+1在上的值域是：．故答案为：．10．已知f（x）＝4sin x+3cos x，f（x）向右平移α（0＜α＜π）个单位后为奇函数，则tanα＝．解：由题意，函数f（x）＝4sin x+3cos x＝5sin（x+φ），其中因为f（x）向右平移α个单位后，可得g（x）＝5sin[（x﹣α）+φ]＝5sin（x﹣α+φ），又由g（x）＝5sin（x﹣α+φ）为奇函数，所以φ﹣α＝kπ，k∈Z，即α＝φ﹣kπ，k∈Z，又因为0＜α＜π，所以α＝φ，所以．故答案为：．11．我们知道函数的性质中，以下两个结论是正确的：①偶函数f（x）在区间[a，b]（a＜b）上的取值范围与在区间[﹣b，﹣a]上的取值范围是相同的；②周期函数f（x）在一个周期内的取值范围也就是f（x）在定义域上的值域，由此可求函数的值域为[1，2]．解：依题意，定义域为R，关于原点对称，又，∴g（x）为偶函数；又＝g（x），∴g（x）以π为周期；当x∈[0，π]时，g（x）＝，∴g（x）的值域为[1，2]，故答案为：[1，2]．12．已知定义在R上的奇函数，满足f（2﹣x）+f（x）＝0，当x∈（0，1]时，f（x）＝﹣log2x，若函数F（x）＝f（x）﹣sinπx，在区间[﹣2，m]上有2021个零点，则m的取值范围是[1008，）．解：由题意，函数f（x）为R上奇函数，所以f（0）＝0，且f（﹣x）＝﹣f（x），又f（2﹣x）+f（x）＝0，可得f（2﹣x）＝﹣f（x），可得函数f（x）的图像关于点（1，0）对称，联立可得f（2﹣x）＝f（﹣x），所以f（x）是以2为周期的周期函数，又由函数y＝sinπx的周期为2，且关于点（k，0）（k∈Z）对称，因为当x∈（0，1]时，f（x）＝﹣log2x，由图像可知，函数f（x）＝﹣log2x和y＝sinπx的图像在[﹣1，1）上存在四个零点，即一个周期内有4个零点，要使得函数F（x）＝f（x）﹣sinπx，在区间[﹣2，m]上有2021个零点，其中都是函数的零点，即函数F（x）＝f（x）﹣sinπx在[0，m]上有2017个零点，如果m是第2017个零点，则，如果m是第2018个零点，则，即m∈[1008，）．故答案为：[1008，）．二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项.13．已知函数f（x）＝2sin（2x+φ），则“φ＝”是“f（x）为偶函数”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件解：①当φ＝时，f（x）＝2sin（2x+）＝2cos2x，∵f（﹣x）＝2cos（﹣2x）＝2cos2x＝f（x），∴f（x）为偶函数，②当f（x）为偶函数时，φ＝+kπ，k∈Z，综上所述，φ＝是f（x）为偶函数的充分不必要条件．故选：A．14．在△ABC中，sin2＝（a、b、c分别为角A、B、C的对应边），则△ABC的形状为（）A．正三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形解：因为sin2＝＝，即，由余弦定理可得，可得a2+b2＝c2，所以三角形是直角三角形．故选：B．15．设函数f（x）＝|sin（x+）|（x∈R），则f（x）（）A．在区间[，]上是增函数B．在区间[﹣π，﹣]上是减函数C．在区间[﹣，]上是增函数D．在区间[，]上是减函数解：由函数y＝sin（x+）（x∈R），可知，当x+＝时，取得最小值为﹣1，此时x＝，当x+＝0时，图象与x的交点，此时x＝，当x+＝时，取得最大值为1，此时x＝，y＝sin（x+）（x∈R）的图象关于x轴对称翻折，可得f（x）＝|sin（x+）|，∴函数f（x）的周期为π，∴函数f（x）的单调减区间为[，+kπ]：单调增区间为[+kπ，]，k∈Z．当k＝1时，可得单调增区间为[，]，故选：A．16．设函数f（x）＝2sin（ωx+φ）﹣1（ω＞0），若对于任意实数φ，f（x）在区间[，]上至少有2个零点，至多有3个零点，则ω的取值范围是（）A．[，）B．[4，）C．[4，）D．[，）解：令函数f（x）＝2sin（ωx+φ）﹣1＝0，解得sin（ωx+φ）＝，y＝sin（ωx+φ）是由y＝sin x图象变换得到的，且最小正周期为T＝，在[0，2π]内，sin＝sin＝，所以函数y＝sin x相邻4个零点x1、x2、x3、x4满足：x2﹣x1＝x4﹣x3＝﹣＝，x3﹣x1＝x4﹣x2＝2π，x3﹣x2＝（x3﹣x1）﹣（x2﹣x1）＝2π﹣＝，所以相邻两零点最大距离d1＝2π，相邻四个零点占区间长度最短为d2＝x4﹣x1＝（x4﹣x3）+（x3﹣x1）＝+2π＝，x∈[，]时，ωx∈[ω，ω]，区间宽度为[﹣]ω＝ω，所以2π≤ω＜（ω＝d1至少有2个零点，ω＝d2至多有4个零点），解得4≤ω＜，所以ω的取值范围是[4，）．故选：B．三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17．在平面直角坐标系xOy中，角θ的始边为x轴正半轴，终边在第二象限且与单位圆交于点P．（1）若点P的横坐标为，求的值．（2）若将射线OP绕点O逆时针旋转，得到角α，若，求tanθ的值．解：（1）∵P在单位圆上，且点P在第二象限，P的横坐标为，可求得纵坐标为，所以，．（2）由题知，则，则．18．已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜2π）的部分图象如图所示．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若g（x）＝f（x+t）（t∈（0，π））为偶函数，求t的值．（3）若h（x）＝f（x）•f（x﹣），x∈[0，]，求h（x）的取值范围．解：（1）由函数f（x）＝A sin（ωx+φ）的部分图象知，A＝，＝﹣（﹣）＝，解得T＝π，所以ω＝＝π，由“五点法”画图知，（﹣，0）是第一个点，所以2×（﹣）+φ＝0，解得φ＝，所以f（x）＝sin（2x+）．（2）函数g（x）＝f（x+t）＝sin[2（x+t）+]＝sin（2x+2t+），g（x）为偶函数，2t+＝+kπ，k∈Z，t＝+，k∈Z，又t∈（0，π），所以t＝，或t＝．（3）函数h（x）＝f（x）•f（x﹣）＝sin（2x+）•sin[2（x﹣）+]＝3（sin2x cos+cos2x sin）•sin2x＝3（sin22x+sin2x cos2x），＝3（•+•sin4x）＝+（sin4x﹣cos4x）＝+sin（4x﹣），当x∈[0，]时，4x﹣∈[﹣，]，即sin（4x﹣）∈[﹣，1]，所以+sin（4x﹣）∈[0，]，所以函数h（x）的取值范围是[0，]．19．如图某公园有一块直角三角形ABC的空地，其中∠ACB＝，∠ABC＝，AC长a 千米，现要在空地上围出一块正三角形区域DEF建文化景观区，其中D、E、F分别在BC、AC、AB上．设∠DEC＝θ．（1）若θ＝，求△DEF的边长；（2）当θ多大时，△DEF的边长最小？并求出最小值．解：（1）设△DEF的边长为x千米，由得CE＝，AE＝a﹣，△AEF中，∠FEA＝＝，，∴△AEF为等边三角形，AE＝x＝a﹣，故x＝，即△DEF的边长为；（2）设△DEF的边长为x千米，所以CE＝x cosθ，AE＝a﹣x cosθ，△AEF中，∠FEA＝，∠A＝，∠EFA＝θ，由正弦定理得，，故x＝＝，当时x取得最小值，即△DEF的边长最小值．20．已知函数的相邻两对称轴间的距离为．（1）求f（x）的解析式；（2）将函数f（x）的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数y＝g（x）的图象，当时，求函数g（x）的值域．（3）对于第（2）问中的函数g（x），记方程在上的根从小到依次为x1，x2，⋯，x n，试确定n的值，并求x1+2x2+2x3+⋯+2x n﹣1+x n的值．解：（1）由题意，函数＝＝2sinωx，因为函数f（x）图像的相邻两对称轴间的距离为，所以T＝π，可得ω＝2．f（x）＝2sin2x．（2）将函数f（x）的图像向右平移个单位长度，可得的图像，再把横坐标缩小为原来的，得到函数的图像，当时，，当时，函数g（x）取得最小值，最小值为﹣2，当时，函数g（x）取得最大值，最小值为，故函数g（x）的值域．（3）由方程，即，即，因为，可得，设，其中，即，结合正弦函数y＝sinθ的图像，可得方程在区间有5个解，即n＝5，其中θ1+θ2＝3π，θ2+θ3＝5π，θ3+θ4＝7π，θ4+θ5＝9π，即解得所以．21．在非直角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，（1）若a+c＝2b，求角B的最大值；（2）若a+c＝mb（m＞1），（i）证明：；（可能运用的公式有）（ii）是否存在函数φ（m），使得对于一切满足条件的m，代数式恒为定值？若存在，请给出一个满足条件的φ（m），并证明之；若不存在，请给出一个理由．解：（1）由a+c＝2b，所以由余弦定理可得cos B＝＝＝＝，当且仅当a＝c时cos B最小，B∈（0，π），所以B max＝；（2）（i）：证明：因为a+c＝mb（m＞1），由正弦定理可得＝＝，所以可得sin A+sin C＝m sin B，所以2sin•cos＝2m sin•cos，因为＝，所以cos＝m cos，展开整理可得（1+m）sin sin＝（m﹣1）cos cos，故tan•tan＝；（ii）由（i）可得tan•tan＝及半角公式可得tan＝＝可得（tan tan）2＝••＝＝，对其展开整理可得4m﹣2（m2+1）（cos A+cos C）＝﹣4m cos A cos C，＝﹣4m，即＝，即＝﹣1，与原三角式作比较可得φ（m）存在，且φ（m）＝﹣．。
2020年上海市金山中学高一下学期期中数学试题(附带详细解析)
……○………学校:_______……○………绝密★启用前2020年上海市金山中学高一下学期期中数学试题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题1．已知函数()22cos sin f x x x =-，下列说法错误的是（ ） A ．()cos2f x x =B ．函数()f x 的图象关于直线0x =对称C ．()f x 的最小值正周期为πD ．()f x 的对称中心为()0k k Z π∈，， 2．在ABC V 中，3,2,3a c B π===，则b =（ ） A ．19B ．7C D3．已知cos 6x m π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cos cos 3x x π⎛⎫+-= ⎪⎝⎭（ ）A ．2mB ．2m ±CD ．4．将函数()sin 2f x x =的图像向右平移(0)2πϕϕ<<个单位后得到函数()g x 的图像，若对满足12()()2f x g x -=的，，有，则ϕ=（ ）A ．512πB ．3π C ．4π D ．6π第II 卷（非选择题)请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题5．若2016α=︒，则α在第__________象限．………外…………○订…………○…※※答※※题※※………内…………○订…………○…6．已知扇形所在圆的半径为8，弧长为16，则其圆心角的弧度数为________． 7．已知tan 2α=，则sin cos sin 2cos αααα-=+____________．8．已知4(,),cos 25πθπθ∈=-，则sin 2θ=___________． 9．在△ABC 中，若cos cos a B b A =，则△ABC 的形状是_______． 10．已知函数()sin()f x A x ωϕ=+（,0,0,2x R A πωϕ∈>><）的部分图象如图所示，则()f x 的解析式是___________.11．已知函数()2sin()(0)3f x x πωω=+>的最小正周期为π，则方程()1f x =在(0,]π上的解集为___________．12．已知锐角α、β满足sin α=，cos β=，则αβ+=________.13．函数cos 2sin ,[0,]y x x x π=+∈的最大值是___________． 14．设x cos α=，且3,44⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦ππα，则arcsin x 的取值范围是______. 15．某班设计了一个“水滴状”班徽（如图），徽章由等腰三角形ABC ，及以弦BC 和劣弧BC 所围成的弓形所组成，劣弧BC 所在的圆为三角形的外接圆，若,(0,)2A παα∠=∈，外接圆半径为1，则该图形的面积为____________．16．对于函数()f x ，在使()f x M ≥成立的所有常数M 中，我们把M 的最大值称为外…………○…○…………订………○……学校:__班级：___________考号：_______内…………○…○…………订………○……___________． 三、解答题17．已知tan()22π+=，求cos()2πα+的值．18．已知函数f （x ）＝2sin xcos x cos2x ． （1）求f （x ）的最小正周期和单调递增区间； （2）当x ∈时，求函数f （x ）的最大值和最小值．19．如图，A B 、是单位圆O 上的动点，C 是圆与x 轴正半轴的交点，设COA α∠=．（1）当点A 的坐标为34(,)55时，求sin 21cos 2αα+的值；（2）若03πα≤≤且当点A B 、在圆上沿逆时针方向移动时，总有3AOB π∠=，试求BC的取值范围．20．如图，在ABC ∆中，点D 在BC 边上，7,,cos 42CAD AC ADB π∠==∠=.（1）求sin C ∠的值；（2）若5BD =，求ABD ∆的面积.21．如图，某污水处理厂要在一个矩形污水处理池ABCD 的池底水平铺设污水净化管道（Rt FHE ∆三条边，H 是直角顶点）来处理污水，管道越长，污水净化效果越好.……线…………○……线…………○AD =BHE θ∠=.(1)试将污水净化管道的总长度L （即Rt FHE ∆的周长）表示为θ的函数，并求出定义域；(2)问θ取何值时，污水净化效果最好？并求出此时管道的总长度.参考答案1．D 【解析】 【分析】根据二倍角公式可知()22cos sin cos2f x x x x =-=，由余弦型函数的图象与性质可判定选项. 【详解】因为()22cos sin cos2f x x x x =-=，故A 正确；当0x =时，(0)1f =，所以函数()f x 的图象关于直线0x =对称，故B 正确；由22T ππ==,可知()f x 的最小值正周期为π，故C 正确；当x k π=时，()cos 21f k k ππ==，所以()f x 的对称中心不是()0k k Z π∈，，，故D 错误. 故选D 【点睛】本题主要考查了余弦型函数的图象与性质，余弦的二倍角公式，属于中档题. 2．D 【解析】 【分析】根据题意，将,,a c B 的值代入余弦定理2222cos b a c ac B =+-中，可得2b 的值，进而可得b 的值，即可得答案． 【详解】解：根据题意，ABC V 中，3,2,3a c B π===， 则2222cos 9467b a c ac B =+-=+-=，即b =故选：D ． 【点睛】本题考查余弦定理的应用，熟练运用余弦定理是解题的关键．3．C 【解析】 【分析】先利用两角和公式把cos 3x π⎛⎫-⎪⎝⎭展开后加上cos x 整理，进而利用余弦的两角和公式化简，把cos 6x π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值代入即可求得答案．【详解】解：cos cos 31cos cos 2x x x x x π⎛⎫+-=+ ⎪⎝⎭1sin 226x x x π⎫⎛⎫=+=-=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭， 故选：C ． 【点睛】本题主要考查了利用两角和与差的余弦化简整理，考查了学生对三角函数基础公式的熟练应用． 4．D 【解析】试题分析：向右平移个单位后，得到，又∵，∴不妨，，∴，又∵，∴，故选D.考点：三角函数的图象和性质.【名师点睛】本题主要考查了三角函数的图象和性质，属于中档题，高考题对于三角函数的考查，多以为背景来考查其性质，解决此类问题的关键：一是会化简，熟悉三角恒等变形，对三角函数进行化简；二是会用性质，熟悉正弦函数的单调性，周期性，对称性，奇偶性等. 5．三 【解析】 【分析】将α表示为360k β⋅+o 的形式，从而确定α所在象限. 【详解】解：20165360216α=︒=⨯+o o ， 因为180216270<<o o o ， 所以216o 的终边在第三象限， 故α在第三象限， 故答案为：三. 【点睛】本题考查终边角，将已知角先转化为0︒到360︒范围内，易知其在第几象限，是基础题. 6．2 【解析】 【分析】设这个扇形的圆心角的弧度数为α，根据弧长公式，求解即可． 【详解】解：设这个扇形的圆心角的弧度数为α， 根据题意得1628α==， 即这个扇形的圆心角的弧度数为2． 故答案为：2． 【点睛】本题考查了弧长公式的应用，考查计算能力，属于基础题． 7．14【解析】 【分析】分子分母同时除以cos α，将式子转化为用tan α表示，代入tan α的值即可. 【详解】解：由已知sin cos tan 1211sin 2cos tan 2224αααααα---===+++，故答案为：14.【点睛】本题考查同角三角函数基本关系，将同角的正弦余弦齐次式转化为用正切来表示，是基础题.8【解析】 【分析】利用公式2cos 12sin 2θθ=-，列方程求解．【详解】 解：(,),(,)2242πθππθπ∈∴∈Q ， 所以sin02θ>，24cos 12sin 52θθ∴=-=-，解得s in2θ=． 【点睛】本题考查倍角公式的应用，是基础题． 9．等腰 【解析】利用正弦定理边化角得：sin cos sin cos sin (=0A B B A A B =⇒-）故A=B 所以△ABC 的形状是等腰10．()2sin 6f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭【解析】试题分析：由图可知2A =，15114632T =-=，得2T =，从而ωπ=，所以()()2sin f x x πϕ=+，然后将1,23⎛⎫ ⎪⎝⎭代入，得sin 13πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，又2πϕ<，得6πϕ=，因此，()2sin 6f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，注意最后确定ϕ的值时，一定要代入1,23⎛⎫ ⎪⎝⎭，而不是5,06⎛⎫ ⎪⎝⎭，否则会产生增根.考点：三角函数的图象与性质. 11．11,412ππ⎧⎫⎨⎬⎩⎭【解析】 【分析】由已知及周期公式可求ω，可解得：1sin()32x πω+=，由(0,]x π∈，可得72,333x πππ⎛⎤+∈ ⎥⎝⎦，从而解得()1f x =在(0,]π上的解集． 【详解】解：∵由题意可得：2ππω=，解得：2ω=，()2sin(2)13f x x π∴=+=，可解得：1sin(2)32x π+=，∵(0,]x π∈，72,333x πππ⎛⎤∴+∈ ⎥⎝⎦， 5236x ππ∴+=或136π，即：11,412x ππ⎧⎫∈⎨⎬⎩⎭．故答案为：11,412ππ⎧⎫⎨⎬⎩⎭． 【点睛】本题主要考查了正弦函数的性质的简单应用，三角函数周期性及其求法，属于基础题． 12．4π. 【解析】 试题分析：由题意cos )cos ?cos sin ?sin αβαβαβαβ==+=-=+4παβ=.考点：三角函数运算. 13．98【解析】 【分析】利用二倍角公式化简函数y ，根据正弦函数的值域与二次函数的性质即可求出函数y 的最大值． 【详解】解：2cos 2si 2sin sin 1n y x x x x =-+++=， 设sin t x =，[0,]x π∈，则01t ≤≤，原函数可转化为221212948y t t t ⎛⎫=-++=--+ ⎪⎝⎭，所以当14t =时，函数的最大值为98， 故答案为：98． 【点睛】本题考查了二倍角公式与正弦函数和二次函数的应用问题，是基础题目． 14．,42ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】通过cos α可求得x 的取值范围，接着利用反正弦函数的定义可得arcsin x 的取值范围.【详解】3cos ,,44ππαα⎡⎤=∈-⎢⎥⎣⎦Q x ，cos 1α，即1x .由反正弦函数的定义可得arcsin 42ππ-剟x ，即arcsin x 的取值范围为,42ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 故答案为： ,42ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题主要考查余弦函数的定义域和值域，反正弦函数的定义，属于基础题.15．sin αα+【解析】【分析】分别求出扇形BOC 的面积，ABC S V ，BOC S V ，进而可求出图形的面积．【详解】解：如图：因为,A α∠=所以2,BOC α∠=扇形BOC 的面积为21212αα⨯⨯=， 12sin (1cos )sin (1cos )2ABC S αααα=⨯⨯+=+V ， 111sin 2sin cos 2BOC S ααα=⨯⨯⨯=V ， 则题中图形面积为sin (1cos )sin cos sin ααααααα++-=+，故答案为：sin αα+．【点睛】本题考查扇形的面积公式的应用，是基础题．16．0【解析】【分析】化简函数的表达式，然后换元，结合题意求出函数的下确界即可．【详解】 解：222211si (n sin sin sin )sin sin csc csc x x x f x x x x x x ⎛⎫=+-+ ⎪⎝-+-⎭= 211sin sin 2sin sin x x x x ⎛⎫⎛⎫=+-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 令1sin sin t x x=+， 则 2t ≥或 2t ≤-， 由题意2 f ()2min((2),(2))0t t t f f =--≥-=，所以()f t 有下界0，且0能够取到（在sin 1x =时取到），所以下确界就是0，故答案为：0．【点睛】本题是中档题，考查新定义的理解与应用，考查换元法的应用，正确应用定义是解题的关键，考查计算能力．17．45- 【解析】【分析】 先求出tan2α，再将cos()2πα+用tan 2α表示出来，代入tan 2α的值即可． 【详解】 解：由已知tan tan 222ααπ⎛⎫+== ⎪⎝⎭，2222sin cos 2tan 224222cos sin 2415sin cos tan 1222αααααααπα⨯⎛⎫∴+=-=-=-=-=- ⎪+⎝⎭++． 【点睛】本题考查诱导公式，考查同角三角函数基本关系，重点是将正弦余弦转化为切来表示，是基础题． 18．（1）最小正周期为π，单调增区间为5,1212k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦()k ∈Z （2）()max 2f x =，()min f x =【解析】试题分析：（1）由()2sin cos 2f x x x x =，观察函数解析式，可联想二倍角公式及两角和差公式进行恒等变形，得：2sin(2)3y x π=-，可分别求出函数的周期和单调区间. （2）有x ∈时：可求出：22333x πππ-≤-≤的取值范围．利用三角函数图像可得，函数的最值. 试题解析：（1）cos2x=2sin(2x-3π) ∴ T=π由-2π+2kπ≦2x-3π≦2π+2kπ， -12π+kπ≦x ≦512π+kπ ∴ f(x)的单调增区间为：5,1212k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦()k z ∈ （2）Q 02x π≤≤∴22333x πππ-≤-≤ sin 213x π⎛⎫≤-≤ ⎪⎝⎭∴()()max min 2,f x f x == 考点：1.三角函数的恒等变形及函数性质（整体思想）；2.三角函数的性质.19．（1）43；（2）1||BC ≤≤【解析】【分析】（1）根据三角函数定义以及点A 的坐标，求出sin ,cos αα，再根据二倍角公式，分别求出sin 2,cos 2αα，代入计算即可；（2）先表示出点B 的坐标，根据点与点的距离公式，根据三角函数的图象和性质即可求出，BC 的取值范围．【详解】解：（1）因为当点A 的坐标为34(,)55， 43sin ,cos 55αα∴==， 2724cos 22cos 1,sin 22sin cos 2525ααααα∴=-=-==， 24sin 22571cos 224531αα∴==+-； （2）cos ,sin 33B ππαα⎛⎫⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭Q ，(1,0)C ， 222||cos 1sin 22cos 333BC πππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=+-++=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 03πα≤≤Q ，2333πππα∴≤+≤， 11cos 232πα⎛⎫∴-≤+≤ ⎪⎝⎭， 122cos 33πα⎛⎫∴≤-+≤ ⎪⎝⎭，1||BC ∴≤≤【点睛】本题考查了三角函数的定义，二倍角的计算，以及点与点的距离公式和三角函数的图象与性质，属于基础题．20．（1）45；（2）7. 【解析】【详解】试题分析：（1）先由cos ADB ∠=得出sin ADB ∠=，再利用两角差的正弦公式将sin sin 4C ADB π⎛⎫∠=∠- ⎪⎝⎭展开，代入求值即可；（2）由正弦定理sin sin AD AC C ADC=∠∠得到AD 的值，再利用三角形面积公式即可. 试题解析：（1）因为cos ADB ∠=，所以sin ADB ∠=. 又因为4CAD π∠=，所以4C ADB π∠=∠-.所以4sin sin sin cos cos sin 4445C ADB ADB ADB πππ⎛⎫∠=∠-=∠⋅-∠⋅== ⎪⎝⎭.（2）在ACD ∆中，由sin sin AD AC C ADC=∠∠，得74sin sin AC C AD ADC ⨯⋅∠===∠所以11sin 5722ABD S AD BD ADB ∆=⋅⋅∠=⨯=. 考点：1、两角差的正弦余弦公式；2、正弦定理及三角形面积公式.21．（1）sin θcos θ1L 10sin θcos θ++=⨯⋅，ππθ,.63⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦； （2）πθ6=或πθ3=时，L 取得最大值为)201米．. 【解析】【分析】（1）解直角三角形求得得EH 、FH 、EF 的解析式，再由 L=EH +FH +EF 得到污水净化管道的长度L 的函数解析式，并注明θ的范围．（2）设sinθ+cosθ=t ，根据函数 L=201t - 在[12]上是单调减函数，可求得L 的最大值．所以当t =πθ6= 或πθ3= 时，L 取得最大值为)201+米． 【详解】 ()1由题意可得10EH cos θ=，10FH sin θ=，10EF sin θcos θ=，由于 BE 10tan θ=≤10AF tan θ=≤tan θ≤≤ππθ,63⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 101010L cos θsin θsin θcos θ∴=++，ππθ,.63⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦即sin θcos θ1L 10sin θcos θ++=⨯⋅，ππθ,.63⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ ()2设sin θcos θt +=，则2t 1sin θcos θ2-=，由于ππθ,63⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，πsin θcos θt θ.4⎛⎫∴+==+∈ ⎪⎝⎭⎣由于20L t 1=-在⎣上是单调减函数，∴当t =时，即πθ6=或πθ3=时，L 取得最大值为)201米． 【点睛】三角函数值域得不同求法：1.利用sin x 和cos x 的值域直接求2.把所有的三角函数式变换成()sin y A x ωϕ=+ (),0A ω≠的形式求值域3.通过换元，转化成其他类型函数求值域。
2019-2020学年上海市浦东新区高一下学期期中数学试卷(含答案解析)
2019-2020学年上海市浦东新区高一下学期期中数学试卷一、单选题（本大题共4小题，共12.0分）1.如图所示，已知x轴上一点A(1,0)按逆时针方向绕原点做匀速圆周运动，1秒钟时间转过θ角(0<θ≤π)，经过2秒钟点A在第三象限，经过14秒钟，与最初位置重合，则角θ的弧度数为()A. 4π7B. 5π7C. 4π7或5π7D. 无法确定2.“x=−1”是“x2=1”的()A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件3.在△ABC中，下列结论正确的是()①若sinA>sinB，则A>B一定成立②若sinA=cosB，则△ABC一定是直角三角形③若b=1，c=√3，S△ABC=√34，则A等于30°A. ②B. ①C. ②③D. ①②③4.已知α、β都是第二象限角，且cosα>cosβ，则()A. α<βB. sinα>sinβC. tanα>tanβD. cotα<cotβ二、单空题（本大题共12小题，共36.0分）5.集合{α|k⋅180°≤α≤k⋅180°+45°,k∈Z}中角表示的范围(用阴影表示)是图中的______ (填序号)．6.已知，则．7.设函数的图象为，给出下列命题：①图象关于直线对称；②函数在区间内是增函数；③函数是奇函数；④图象关于点对称.⑤的周期为其中，正确命题的编号是.(写出所有正确命题的编号)8.已知sinα=2cosα，则sinα+cosαsinα−cosα的值是______ ．9.已知sin(π−α)=√55，且α在第二象限角，则tanα=______．10.sin670°sin20°−cos50°cos20°=______11.12.函数y=sin(π2−2x)+sin2x的最小正周期是______ ．13.函数f(x)=cosx−2sinx在x=a时取得最小值，则cosα=______．14.已知△ABC中，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，且tan A+BC=sinC，则下列结论正确的为______ ．①△ABC为直角三角形；②1tan(C−A)+1tan(C−B)的最小值为2；③若△ABC的周长为4，则面积的最大值为12−8√2；④ca +cb的范围为[2√2,+∞)．15.已知，则的值是．16.在∠BAC=θ，中，角A、B、C的对边分别是a，b，c已知b=2,c=2√2，且C=π4，则△ABC的面积为______．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）17.已知扇形的圆心角为90°，弧长为l，求此扇形内切圆的面积．18.求值：tan150°cos(−210°)sin(−420°)sin1050∘cos(−600∘)．19.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a2+b2−c2=ab．(1)求C；(2)若acosB+bsinA=c，c=√3，求a．20.已知tanα=3，tanβ=4，3(Ⅰ)求tan(α−β)；(Ⅱ)求tan2α．21.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知2ccosC=bcosA+acosB．(1)求角C的值；(2)若△ABC的内切圆半径为1，且b=2√3，求△ABC的面积．【答案与解析】1.答案：C解析：本题考查象限角的定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．根据题意，经过2秒钟后点A转过2θ角，推导出π<2θ<32π，从而π2<θ<34π.再由14θ=2kπ(k∈Z)，求出k的值，再求出θ．解：∵1秒钟时间点A转过θ角(0<θ≤π)．∴经过2秒钟后点A转过2θ角，又2秒钟后点A在第三象限．∴π<2θ<32π，∴π2<θ<34π.又经过14秒钟，点A与最初位置重合．∴14θ=2kπ(k∈Z).即7θ=kπ(k∈Z)又π2<θ<34π，，即，∴k=4或k=5，∴θ=4π7或θ=5π7．故选：C．2.答案：A解析：解：由x2=1得x=1或x=−1，故“x=−1”是“x2=1”的充分不必要条件，故选：A．根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，比较基础．3.答案：B解析：本题考查了三角形的边角关系应用问题，是基础题．①，由正弦定理和大边对大角即可判断命题正确；②，举例说明△ABC不一定是直角三角形；③，利用三角形面积公式求出A=30°或150°．解：对于①，由正弦定理得，asinA =bsinB=2R，R为△ABC外接圆的半径，∴a=2RsinA，b=2RsinB，又sinA>sinB，∴a>b，∴A>B，①正确；对于②，△ABC中，不妨令A=100°，B=10°，满足sinA=cosB，此时三角形不是直角三角形，②不正确；对于③，若b=1，c=√3，S△ABC=√34，则12bcsinA=12×1×√3×sinA=√34，∴sinA=12，∴A=30°或150°，③错误．综上，正确的结论是①．故选：B．4.答案：B解析：解：在第二象限角内通过余弦函数线cosα>cosβ找出α、β的终边位置关系，如图，不难判断，选项B正确．故选B．由题意可知0>cosα>cosβ>−1，可得0<sinα<sinβ<1，即可得到选项．本题是基础题，考查三角函数的单调性，三角函数线的特征，能够正确画出三角函数线是解决本题的关键．5.答案：②解析：解：集合{α|k⋅180°≤α≤k⋅180°+45°,k∈Z}中，当k为偶数时，此集合与{α|0°≤α≤45°}表示终边相同的角，位于第一象限；当k为奇数时，此集合与{α|180°≤α≤225°}表示终边相同的角，位于第三象限．所以集合{α|k⋅180°≤α≤k⋅180°+45°,k∈Z}中角表示的范围为图②所示．故答案为：②．当k取偶数时，确定角的终边所在的象限；当k取奇数时，确定角的终边所在的象限，再根据选项即可确定结果．本题考查象限角、轴线角的表示方法，体现了数形结合、分类讨论的数学思想．6.答案：516解析：本题考查的知识点是三角函数的诱导公式，属于基础题．利用诱导公式，我们易将sin(5π6−x)+cos2(π3−x)化为sin(x+π6)+sin2(x+π6)，由已知sin(x+π6)=14，代入计算可得结果．解：∵sin(x+π6)=14，∴sin(5π6−x)+cos2(π3−x)=sin[π−(x+π6)]+cos2[π2−(x+π6)]=sin(x+π6)+sin2(x+π6)=14+116=516．故答案为516．7.答案：①②解析：试题分析：对于①图象关于直线对称，成立。