复变函数论文
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复、实变函数的比较与应用作者：阮玲花学号：专业：数学与应用数学复、实变函数的比较与应用姓名：阮玲花班级：数学 132数域从实数域扩大到复数域后，便产生了复变函数论，并且深入到了微分方程、拓扑学等数学分支。
复变函数论着重讨论解析函数，而解析函数的实部与虚部是相互联系的 , 这与实函数有根本的区别。
有关实函数的一些概念，很多都是可以推广到复变函数上。
例如：函数的连续性、函数的导数、有（无）界函数、中值定理、泰勒展式、基本初等函数等等。
在中学我们主要了解学习了实变函数，与大学期间我们又更加深入的学习研究了实变函数，与此同时，也开始复变函数的学习。
由此我们看到了：“数的扩展：正数→负数→实数→” , 在实数范围内：当方程判别式小于 0 时，没有实根。
→扩大数域，引进复数，这样容易给人一种由浅入深、由简入繁、由特殊到一般的感觉，它们有很深的联系，然而事实上，他们有很大的不同，有很大的区别。
下面我们从几个方面来说明实变函数与复变函数的联系与区别。
（一）实变函数实变函数论即讨论以实数为变量的函数 , 然而实变与常微分方程等不同 , 简单地说就是恰当的改造积分定义使得更多的函数可积。
由于诸如狄利克雷这样的简单函数都不可积，所以原有的积分范围太窄了，进而便产生了Lebesgue 创立新积分的原始思路。
Lebesgue 积分：（二）复变函数复变函数是数学分析的继续，复变函数的定义：若在复数平面上存在一个点集 E ，对于 E 的每一点 z，按照一定规律，有一个或多个复数值 W 与之相对应，则称 W 为 z 的函数，记作 W f ( z) ，z∈E 邻域：以复数 z0为圆心，以任意小正实数为半径做一个圆，则圆内所有点的集合称为 z0 的邻域。
把复变函数的 f ( z) 的实部和虚部分别记作u(x,y)和v(x,y) ，f ( z) =u(x,y)+iv(x,y) ，所以，复变函数可以归结为一对二元实变函数。
（三）实变函数及与复变函数比较1．自变量的不同以实数作为自变量的函数就做实变函数；即实数→实变量→实变函数。
复变函数论论文
论文目录1．摘要 (1)2．关键词 (1)3．引言 (1)4．理论 (1)5．参考文献 (6)8．英文摘要 (6)全文共15 页2,148 字复变函数论- - 2 -复变函数论（学号：20101101926 刘艳玲）（物理与电子信息学院 物理学专业2010级，内蒙古 呼和浩特 010022）指导老师： 孙永平摘要：了解利用柯西定理来对复变函数的定分积和不定积分的分类。
运用留数定理来求解实变函数的积分。
利用达朗贝尔，泰勒，解析延拓和洛朗法对级数进行展开，在运用傅里叶变换来对特殊级数进行计算。
关键字：复数；复变函数；积分；级数；留数；傅里叶变换；1引言了解利用柯西定理来对复变函数的定分积和不定积分的分类。
运用留数定理来求解实变函数的积分。
利用达朗贝尔，泰勒，解析延拓和洛朗法对级数进行展开，在运用傅里叶变换来对特殊级数进行计算。
2复变函数2.1.1复数与复数运算 2.1.1.1复数的基本概念Z=x+iy (1.1.1)这叫作复数的代数式，x 和y 则分别叫作该复数的实部和虚部，并分别记作Res 和Imz 。
复数z 可表示为三角式和指数式，即 ()ϕϕρsin cos i z +=ϕρi e z =叫作该复数的模,叫作该复数的幅角。
2.1.2 复数的运算 复数222111,iy x z iy x z +=+=由此明显可见加法的结合律和交换律成立。
商的定义物理与电子信息学院期中论文- 3 -.e )]sin(i )[cos()i(212121212121ϕϕρρϕϕϕϕρρ-=-+-=z z n 次幂应用.e )sin i (cos i ϕρϕϕρn n n n n n z =+=n 次根号的应用.e )sin i (cos /i n n nnnn z ϕρϕϕρ=+=2.1.2复变函数2.1.2.1复变函数定义一般地，当z=x+iy 在复平面上变化时，如果对于z 的每一个值，都有一个或几个复数值ω相对应，则称ω为z 的复变函数。
复变函数小论文
复变函数小论文本学期我学习了复变函数，丰富了数学的见识。
从实数到复数的延伸，形成一个全面的知识体系。
复变函数是以复数为中心进行一系列讨论和分析，而复数的独特之处在于它的虚部，也就是虚数部分；之前对虚数域的认识，完全在于一个虚字。
复数的出现，使得基本运算中的开方运算不再存在无解情况，n此多项式也不再存在增根，这为在某些运算提供了帮助。
复数可以解决一些物理数学上的问题，解题到最后经过转化所得到的实数解，才有物理上的意义。
虚数是有很大的的现实意义的，通过引入虚数，那些没有意义根式也变得有理可寻。
复数的集合复平面是一个二维平面，实数有自己的直角坐标系，而类似的复数也有坐标。
复数有实轴和虚轴，用（x,y）表示。
复变函数的极限与连续和实函数一样提到邻域的含义。
复函数是一元实变函数概念的推广，二者表述有所不同：1.实变函数是单值函数，而复变中有了多值函数。
2.复变函数实现了不同复平面的转化，运用了曲线或图形的映射。
复变函数的导数和微分定义与实变函数一致，但是前者多了一个要求，即对极限式要求是与路径和方式无关。
复变函数的积分许多与高等数学中曲线积分相似的性质，积分可化为第二类曲线积分，也可化为参数方程直接关于t的积分。
复数列极限在定义与性质上与实数列极限相似，可以将复数列极限的计算问题转化到实数列上，这其中的级数的敛散性与和的定义形式都与实数项级数相同。
通过课程的学习，我们可以了解到，复数可以应用的现实中的数学建模，其在很多运算中都有着不可思议的性质和规律。
复数的引入为人们解决实数域和物理科学提供了许多新的途径，打开了很多原本无法畅通的道路，无论是留数，还是保角映射，都为人类在解决非复领域上的问题提供了全新的思路与方便。
王琪材料31 2130201019。
复变函数论文
复变函数论文复变函数理论推动了许多学科的发展，在解决某些实际问题中也是强有力的工具，复变函数的理论和方法在数学，自然科学和工程技术中有着广泛的应用，是解决诸如流体力学，电磁学，热学，弹性理论中的平面问题的有力工具。
而自然科学和生产技术的发展有极大的推动了复变函数的发展，丰富了它的内容。
复变函数的主要内容已成为理工科很多专业的必修课程。
复变函数在很多领域都有重要的应用，其涵盖面极广，甚至可以用来解决一些复杂的计算问题。
复变函数可以应用在地理信息系统中，因为GIS对复杂函数的计算要求以及空间函数的分析，复变函数的应用也渗透到了这个领域，它对复杂函数的计算能力使得在GIS上的应用也不可或缺。
GIS的操作对象是空间数据和属性数据，即点线，面，体这类有三维要素的地理实体。
空间数据的最根本特点是每一个数据都按统一的地理坐标进行编码，实现对其定位，定性和定量的描述，这是其技术难点之所在。
而复变函数中的黎曼曲面理论就是用来解决这种问题的。
复变函数研究多值函数，黎曼曲面理论是研究多值函数的主要工具。
由许多层面安放在一起而构成的一种曲面叫做黎曼曲面，利用这种曲面，可以使多值函数的单值枝和枝点概念在几何上有非常直观的表示和说明。
对于某一个多值函数，如果能做出它的黎曼曲面，那么，函数在黎曼曲面上就变成单值函数。
复变函数作为最丰饶的数学学科的分支，复变函数在数学领域的应用尤为可见。
特别是在解析函数的微分理论，积分理论等方面的应用，而在这些方面，它与一个实际的电路是一一对应的关系，是为我们求解响应与激励的关系服务的，这也就是它的基础应用。
针对连续系统和离散系统的时域分析，相对应的有三个变换域或傅立叶变换，拉普拉斯变换和Z变换。
变换域是信号与系统的核心内容，也是比较难的一部分，原因是变换域的分析方法涉及到工程数学的知识很多，如果没有扎实的基础，学起来就有一定的难度。
复变函数中还有很多知识点都可以对应到电路中，这可以使我们在求解电路问题时，使问题变得简单化。
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复变函数论文复变函数与积分变换在自动控制原理中的应用姓名：何缘鸽学号：092410101 学院(系)：电气与电子工程系专业：自动化指导教师：秦志新评阅人：复变函数与积分变换在自动控制原理中的应用【摘要】：复变函数与积分变换的理论和方法在数学、自然科学和工程技术中有着广泛的应用，是解决诸如流体力学、电磁学、热学、弹性理论中的平面问题的有力工具。
而自然科学和生产技术的发展又极大地推动了复变函数的发展，丰富了它的内容。
我们在学习的过程中，要正确理解和掌握复变函数中的数学概念和方法，逐步培养利用这些概念和方法解决实际问题的能力。
文中简单地介绍了该门课程在自动控制理论中的应用。
【关键词】：线性系统 Z变换卷积拉普拉斯变换【正文】：提出问题：众所周知，复变函数中的许多概念、理论和方法是实变函数在复数领域内的推广和发展，因而它们之间有许多相似之处。
但由于其自身的一些特殊的性质而显得不同，特别是当它引进了taylor级数展开laplace变换和fourier变换后而使其显得更加重要了。
随着教育事业的不断发展与更新，一些新的处理数据的方法越来越多的应用于我们的日常专业学习中。
当然复变函数在自动控制原理方面的应用也更大的加快了自动化的发展，自动控制与信号处理也更加离不开一套有效的处理方法。
但是常规的Fourier变换的运算的范围还是有限的，如何去解决一些不能展开成Fourier级数的信号成了我们的首要问题。
分析问题：虽然常规的Fourier 变换的运算的范围是有限的，，但Laplace 变换、Z 变换等填补了Fourier 变换的不足之处，究竟其有什么好处呢？下面就介绍一些例子，从中就能看出。
例1： 如图1所示电路，原处于稳态，开关S 于t=0时由1端转向2端，R=10Ω，L=1H,C=0.004F,求换路后电流i(t)。
解：因换路前电路已达稳态，故可知()=-0i 0, ()V u c 20=- 换路后，电路的微分方程为()()()+++-0c u dtt di Lt Ri ⎰-td i C0)(1ττ=10)(t ε对上式进行拉普拉斯变换，得()()()[]+-+-0i s sI L s RI sCs I su c )()0(+-=s10解得 ()s I =sCsL R s u Li sc 1)0()0(10++-+--代入已知数据得()s I =ss s s25010210++-=2501082++s s =2215)5(15158++⨯s用查表法可求得上式的拉普拉斯反变换为()At t et i t)(15sin 1585ε⋅=-例2： 如图2所示为常用的二阶有源系统的电路模型，设Ω=1R 、C=1F 。
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复变函数论文《复变函数与积分变换》与《信号系统》的相互联系和运用系别：专业名称：学号：姓名：指导老师：年月日《复变函数与积分变换》与《信号系统》的相互联系和运用摘录：随着现代科学技术理论的发展，学课间的联系越来越紧密，通过相互协助，使复杂的问题能够利用较简单的方法方便，快捷的解决。
由于复变函数与积分变换的运算是实变函数运算的一种延伸，且由于其自身的一些特殊的性质而显得不同，特别是当它引进了“留数”的概念，以及Taylor级数展开，Laplace变换和Fourier变换之后而使其显得更为重要，因此学习复变函数与积分变换对学习信号与系统具有很大的促进作用。
文章主要介绍了：1，Fourier变换是怎样在信号系统的频域分析中进行运用的；2，怎样利用复变函数中的“留数定理”对Laplace反变换进行计算； 3，复变函数中的Z变换是怎样解决信号系统中离散信号与系统复频域问题分析的；4，复变函数与积分变换中的各种运算是怎样通过信号系统中的MATLAB来实现的。
关键词：留数，Laplace变换，Z变换， Fourier变换，Taylor级数，MATLAB。
1，Fourier变换是怎样在信号系统的频域分析中进行运用的；当对一个信号系统进行分析和研究时，首先应该知道该信号系统的数学模型，即建立该信号系统的数学表达式，例如：根据Fourier 级数的理论，连续时间周期信号的频域分析的数学表达式即为无限项虚指数序列的线性叠加；而且信号的Fourier 变换建立了信号的时域与频域之间的一一对应的关系，并揭示了其在时域域频域之间的内在联系，因此为信号和系统的分析提供了一种新的方法和途径。
例1：已知描述某稳定的连续时间LTI 系统的微分方程为''''()3()2()2()3(),y t y t y t x t x t ++=+系统的输入激励3()()t x t e u t -=，求该系统的零状态响应()zs y t 。
《复变函数》可视化教学实践论文
关于《复变函数》可视化教学的实践摘要：探讨利用matlab 软件可视化复变函数的教学心得，旨在加深学生对知识的理解，提高教师课堂教学效果。
关键词：可视化复变函数教学实践随着科技的发展，计算机已经走入千家万户，高校教学手段也发生了相应地改变，越来越多的教师尝试将数学课程与计算机结合起来，通过可视化手段增强学生对抽象的数学问题的理解，锻炼学生的自我动手能力，这也是高校教学改革的一个重要方面。
复变函数是高等数学的一个重要分支，是很多专业的基础课程，该课程内容抽象，定理证明复杂，大部分教材侧重理论分析，复变函数可视化内容难得一见。
目前对于复变函数可视化教学实践主要包含理论分析、计算机编程、教育意义的思考等，不仅从理论上探讨了可视化的可行性与重要性，还从教学实践的层面上分析了可视化在教学中所存在的问题及相应的对策，有很多一线教师总结了复变函数可视化教学的实施经验，还开发了一系列有创意的可操作的课题学习案例，其中有来自于数学知识内部的，也有来自于实际生活中的，甚至还有和其它学科相关联的课题等等。
本文是作者根据自己教授《复变函数》的教学实践，总结的一些教学心得。
1 复变函数可视化有利于学生熟练掌握计算机编程语言复变函数的可视化需要借助计算机来实现，因此教师和学生本身必须熟悉计算机编程语言。
原则上，可以通过c，fortran等语言来实现，但是基于成本考虑，个人更倾向于matlab语言编程。
matlab 是美国mathworks 公司20 世纪80 年代中期推出的数学软件，优秀的数值计算能力和卓越的数据可视化能力使其很快在数学软件中脱颖而出。
由于matlab不区分实数、复数和整数之间的区别，所有数都采用双精度表示，再加上matlab中具有丰富的数学函数库使得计算更加简便，所以利用matlab 编写复变函数程序更加方便，实现复变函数的数据计算以及图形显示更加快捷。
在《复变函数》教学中matlab的应用非常广泛，可以用来可视化函数，计算残数，分析傅里叶级数，理解平面场问题，应用到傅里叶变换和拉普拉斯变换中等，有兴趣的读者可以参考文献[1]。
复变函数论文
复变函数论文复变函数论文复变函数的精确之美学习复变的感想对于理科类学科的学习而言，最重要的一点莫过于概念的清晰程度。
因为所有的推导、证明以及应用，归根结底都是在基本概念的基础上衍生而来的。
因此只有将相关概念真正理解同时牢记于心，才可以真正地走进一门学科，真正的领略一门学科的美妙与精华所在。
在我的理解看来，复变函数从某种意义上来说可以看成是大一所学的高等数学的一种延伸与拓展。
在高等数学，也就是我们通常所说的微积分学中，我们所研究讨论的对象都是实函数，也就是函数的定义域与值域所代表的集合都是实数集合。
这样的研究将许多生活中遇到的数学问题用实变函数的微分与积分表达出来，让我们能够很快地了解一些微积分中的基本概念、知识以及应用技巧。
但是同时，实变函数的应用范围十分狭窄。
尤其是电气工程等方面的计算和问题中，实变函数几乎可以算是毫无用武之地。
因此为了能够更好地解决工程中遇到的问题，我们便对现有的实变函数进行了拓展延伸，创建了复变函数体系，并总结发现了一系列复变函数的定义、定理、方法以及技巧。
精确是所有理科研究学科，尤其是数学学科的一个重要特点，这一点在复变函数中也体现的尤为明显。
复变函数是将复数域之间的映射的特点和关系进行全面系统的总结和归纳。
其研究对象就是复数域之间映射的函数关系。
因此在复变函数的研究中基本都是代数运算，没有带数字之后为计算方便而出现约等的情况。
当然复变函数的精确美远远不止表现与这些方面。
为了解决问题的方便，复变函数的研究中总结归纳了许多的定理和方法。
但每一种的定理与方法都有其十分明确的适用范围和使用方法。
这是为了保证它们在被使用于求解相应问题时不出现错用、误用而最终导致结果有偏差甚至完全错误。
比如在我们在计算闭路积分时常运用的留数定理就有其很明确的适用范围。
此外，复变函数在许多相似概念的区分上也做到了精确二字。
如可导、连续以及解析之间的区别，在复变函数中就体现的尤为明显。
作为一门研究数的学科，复变函数对于结果的精确程度是有着相当高的要求的。
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期中考试复变函数的微积分理论与实变函数微积分理论的比较与应用学院：数学与计量经济学院班级：10级数学与应用数学01班姓名：***学号：***********一·复变函数微积分理论1复变函数微分 (3)2复变函数积分 (4)二·复变函数微积分与实变函数微积分的比较······永远的对手或者同伴？1复变函数微积分与实变函数微积分的联系 (5)2复变函数微积分与实变函数微积分的区别 (6)三·复变函数微积分理论在实际中的应用1复变解析函数的应用：平面向量场 (7)2应用复变积分求积分的几个例子 (8)四.附注之写在论文后头的话 (8)1·复变函数微分仿照实变函数的定义，我们对复变函数的导数给出定义，我们说的是，在某点在Z 0的某领域有定义，且Δz 以任意方式趋于0的时候，如果比值Δf/Δz 的极限z f ∆-∆+→∆)(z f lim Z Z 000z ）（存在，就说此极限为函数f （z ）在Z 0处的导数。
同样，仿照实变函数，复变函数出现了微分，就在我们以为复变函数会依照实变函数的老路子一直走下去的时候，解析函数的概念横空出世，一个函数在某点解析比起它在这点可微要严格多了，因为解析就是配合区域出现的，好的，如果你在某点可导，没有其他选择，必须有这样一个区域包含该点，然后你在这个区域类可导。
如果函数在某点z （0）处不解析，但是在它的任意一个邻域内都有f （z ）的解析点，则z （0）为函数f （z ）的奇点，对这一点来说，它应该感到很无奈，明明可以构建一个解析点的点列以它为极限，但它就是就是不解析，这也就是说解析点不能“求极限”。
这个点又是骄傲的，沿环绕它的周线积分，积分值不再是0，比如i 2a -z dz cπ=⎰，其中C 为绕点a 的周线，此时尽管周线线上每点都是解析的，但函数沿周线积分不等于01，即奇点所在区域积分与路径有关。
解析函数有着一些特殊的性质，一个复变函数可以表示成为两个二元函数的组合f （z ）=u （x ，y ）+iv （x ，y ），当复变函数可微的时候，这两个二元函数u （x ，y ），v （x ，y ）也要可微，它还要满足柯西—黎曼方程y v x u ∂∂=∂∂，xv -y u ∂∂=∂∂。
我们对初等解析函数的认识过程：借助实变函数的符号e ，我们定义了指数函数f （z ）=e z ，因为z 的i 次方我们是知道的，所以接受此概念对我们而言，自然而然就接受了。
我们又由e 的iy （y 为实数）isiny cosy e iy +=，isiny -cosy e -iy =推出siny=i 2-ee -iy iy π这样的形式，如果将y 替换成为复数z 按照上面形式，以后人为定义复变函数sinz=i 2-e e -iziz π，这是一次推广，就像数域的扩张，实数是复数一个子集，定义域从实数推广到复数，恰似一道原本合拢的窗帘，现在将它拉开了，于是，一种静谧的美扑面而来。
正如上所言，双曲函数，正切函数，余切函数，正割函数，余割函数在定义域推广以后在复数的世界生根发芽。
至此，解析函数的家族不断扩大。
我们对复变函数的了解也由浅而深。
解析函数具有无穷可微性及其他等等奇妙的性质，而这些性质会在实变函数和复变函数的比较中一一例举出来，复变函数函数向我们展示其奇异雄伟的一面。
复变函数积分的定义与实变函数积分的定义如出一帜，我们将一条有向曲线C 切割开来，分作许多小段，在每一个小段任意取一个点ζ（k ），做成和数S （n ）=∑∆=n 1k k z k ）（ζ，我们将曲线无限细分使得弧段长度的最大值趋于0时，S （n ）会向着一个数J 不断靠近，我们称J 为f （z ）沿C 的积分。
根据积分的定义，我们得到了求复变函数积分的第一个方法，我们将复变函数积分变成了两个实变函数第二类曲线积分：⎰⎰⎰++-=C C C vdx udy i vdy udx dz z f )(，一切是如此神奇，就像造物在虚空中说：“要有光”，于是就有了光，我们获得这一方法，然后跃跃欲试。
在我们涨红了脸，运用第一种方法的时候，参数方程法不期而至：θθβαd z z f dz z ⎰⎰=C )(')()(f 。
我们初闻到春日淡淡香味，一抬头，已经来到了夏天，馥郁的气息盈满整个空间，数学往往以更简单轻便给我们以惊喜，于是我们欢喜，讴歌数学的巧妙。
复变函数积分的性质，由一些函数的线性组合组成的函数沿曲线C 的积分等于这些函数沿曲线C 的积分的线性组合，函数f(z)沿曲线C 的积分可以表示成为该函数沿数个曲线C 1,C 2,...,C n 积分的和。
积分估值，积分的模长小于等于函数值的最大模长与曲线C 长度的乘积，换成公式形式：⎰⎰⎰=≤≤C CML dz M dz z f dz z f )()(C 。
柯西积分定理，函数f （z ）在单连通区域D 解析，则f （z ）沿D 内任意周线C 的积分值为0，数学形式⎰=C 0)(dz z f 。
看上去这么简单的一句话，实际上并不证明，古莎先证明了周线为三角形的情况，又在此基础上证明了多边形（将多边形进行分割，使之成为许多正三角形）的情况，对于曲线，他采用用多变形去靠近曲线的方法。
古莎大师在不添加附加条件的情况下证明了柯西积分定理，人类的智慧在这里得到充分的展示，我想起很久以前古老中国的割圆法，古代希腊的穷举法，一时心宽神怡，这是前人如同遥遥星河中恒星闪耀的智慧。
柯西积分定理的推广，除了上述情况，如果C 是一条周线，D 为C 的内部，函数f(z)在由C+D 组成的闭区间上解析，则f （z ）沿C 的积分值为0;如果f （z ）在D 内解析，在D+C 上连续，仍有f （z ）沿C 的积分值为0，这个的证明的思想是由内部的周线靠近边界线，再根据函数的连续性。
当周线本身发生变化，比如变化成复周线时，通过将内部的周线以往复的两条线段的连接的方式，我们将这个区域分成了两个单连通区域，柯西积分由此得到推广。
解析函数中的“积分上限函数”，因为解析函数的积分值只与起点和终点有关，对于一个解析f （z ），在给出一个起点Z 0以后，再任意给出另外一个点Z ，f （z ）沿任意以Z 0为起点Z 为终点的曲线积分，所得积分值为一个确定的数，这样我们就可以确定一个以z为自变量的函数F （z ）=⎰Z Z )(0dz z f 。
其实在这里，我们已经得到一个求f(z)原函数的方法，这样就有类似于实变函数中牛顿-莱布尼茨的定理，这为我们求积分提供了便利。
柯西积分公式，在讨论复变函数沿复曲线积分的时候，我们知道f （z ）沿周线C 的积分等于f （z ）沿C 围成的区域中某圆周线的积分，这样我们就能证明柯西积分公式)(2)(C z if dz Z f π=-⎰ξξ，柯西积分的特殊形式是解析函数平均值定理θθd R Z f Z f e i ⎰+=ππ20)(21)(。
解析函数具有无穷可微性，若f （z ）在区域D 内解析，则f （z ）在区域D 内有各阶导数即它的各阶导数都是解析，并且可以通过公式求其具体的值ζζζd f i n z C n n z ⎰-+=)(f 1)(2!)(π）（。
这是通过归纳法来做的，因为n+1阶导数是定义在第n 阶导数的基础上。
而由解析函数的无穷可微性，摩勒拉定理得到充分证明:若函数f （z ）在单连通区域D 内连续，且对于D 内任一周线C ，有⎰=C 0dz z f ）（，则f （z ）在D 内连续。
柯西不等式R n n R M n a )(!)(f )(≤，其中M(R)=max )(z f ，它的证明应用了之前的积分估值，应用了刚才的柯西不等式。
由解析函数函数有界，可以证明其在任意一点导数值为0：0)()(f (1)→≤R R M z ，我们得到刘维尔定理，从而一旦一个在整个复平面上解析的解析函数有界，那么它必然为常函数，然后就是应用反证法证明代数基本定理：多项式一定在复数域上存在解。
这上面的证明一气呵成，如河奔入海，又如水银泻地，无懈可击。
复变函数微积分与实变函数微积分······永恒的对手或者同伴？1·复变函数微积分与实变函数微积分的联系我们知道，在复变函数中，导数的定义与实变函数形式一模一样，如果单纯将z 看做一个字符，不考虑其所在区域，那么我们会觉得复变函数导数异常熟悉，在实变函数中的记忆纷至沓来，z 以任意方式趋于z （0），在区域内处处可导的概念是那么的亲切。
有了导数，微分也随之出现，可导与可微的等价，我们又仿照实变函数，如果实变函数可微，Δf=f'(x(0))+o(Δx),如果复变函数可微，Δf =f （Z 0）+o （z ∆）。
复变函数微分与实变函数微分宛如双子座，它们完美契合，数学的对称，和谐发挥得淋漓尽致。
复变函数微分的性质也与实变函数保持了高度的一致性，常函数求导等于0，多个可导函数的线性组合求导等于它们求导以后的线性组合：d(kf(z)+hg(z))=kdf(z)+hdg(z),以及df(z)g(z)=g(z)df(z)+f(z)dg(z)，(f(g(z)))`=f`(g(z))g`(z)dz 。
面对这样的一致，我们欣赏无比，当我们验算，我们会发现这一切无懈可击，巧合？这是数学无限神奇。
复变函数的积分与实变函数微分，我们仔细看复变函数积分的定义，我们会发现，咦，它怎么会和我们的实变函数第二型曲线积分那么相似。
视角拉回到复变函数的定义域，我们看到积分曲线的起点和终点静静地躺在复平面上，如同河床上安静的鹅卵石，我们沿着一条连接起点和终点的C曲线对函数积分，曲线蜿蜒如同在静默大地上奔走的河流，我们明悟了复数函数与实数函数的差别，复变函数的自变量z本身就是个二元函数呀，Z=x+iy，于是这一切瞬间变得理所当然。
而且，复变函数积分不仅是长得像实变函数第二型曲线积分而已，对于复变函数积分的求法，前面已经提到，复变函数积分可以分开成为求两个实变函数第二型曲线积分：⎰⎰⎰++-=C C C vdxudyivdyudxdzzf)(。
我们对复变函数积分的性质进行推广，尽管早有意料，尽管这种猜想过程看上去有些多余和没有必要，但是结果最终揭晓，我们还是会欢呼：这是完美的契合！复变函数积分仍然安静地陪伴在实变函数积分的身边，安静凝视，不离不弃，复变函数函数中的可积函数的线性组合积分等于复变函数函数积分的线性组合：⎰⎰⎰+=+C C Cdz zghdzzfkdzzhgzkf)()())()((，这是复变函数对实变函数的承诺。
实变函数中在求某些极限值，可以应用若比达法则，复变函数也可以应用若比达法则吗？可以，在复变函数中，对于无穷比无穷型，零比零型，零乘无穷型，若比达法则仍然是通用的，正所谓定义域已非实数域，诺毕达依旧诺毕达。