2018镇海中学三位一体数学第 8讲：简单的不定方程(含答案)
宁波市镇海中学2018-2019学年下学期开学考高一数学试卷附答案解析
宁波市镇海中学2018-2019学年下学期开学考高一数学试卷一、单选题1．已知函数2,3()3,3x x f x x x ⎧≤=⎨->⎩，则()()()15f f f -的值为A ．1B ．2C ．3D ．–32．已知集合{}0lg 2lg3P x x =<<，212Q xx ⎧⎫=>⎨⎬-⎩⎭，则P Q I 为( )A ．()0,2B ．()1,9 C ．()1,4D ．()1,23．下列函数的周期不为π的是( )A ．2sin y x = B ．y =C ．()2sin cos y x x =-D ．cos cos y x x =+4．已知()4,3a =r ，()5,12b =-r 则向量a r 在b r方向上的投影为( )A ．165-B ．165C ．1613-D ．16135．下列关系正确的是( ) A ．tan 20sin1cos8<<< B ．0cos8sin1tan 2<<< C ．tan 2cos80sin1<<<D ．tan 20cos8sin1<<<6．若非零向量a b r r，满足a b b +=r r r ，则（ ）A ．22a a b >+r r rB ．22a a b <+r r rC ．22b a b >+r r rD ．22b a b <+r r r7．在ABC ∆中，5sin 13A =，3cos 5B =，则cosC =（ ） A ．5665 B ．3365- C ．5665或1665-D ．1665- 8．向量a r ，b r 满足2a b a b ==⋅=r r r r ，当实数1t ≥时，向量a r 和a tb -r r的夹角范围是( )A ．[0,)3π B ．2[,)33ππC ．[,)32ππ D ．[,)3ππ9．已知函数()sin cos ()f x x a x a R =+∈对任意x ∈R 都满足()()44f x f x ππ+=-，则函数()sin ()g x x f x =+的最大值为A ．5B ．3CD．10．定义在R 上的奇函数()f x 满足，当(0,2)x ∈时，()cos((1))2f x x π=-，且2x ≥时，有1()(2)2f x f x =-，则函数2()()F x x f x x =-在[2,5]-上的零点个数为( ) A ．9 B ．8C ．7D ．6二、填空题11．函数sin y x x =的图象可由函数cos y x x =+的图象至少向左平移________个单位长度得到. 12．函数1()(2f x =________.13．已知()0,απ∈，sin α与cos α是关于x 的一元二次方程21370x x m ++=的两根，则()1tan tan 1cos 2ααα-+⋅的值为________.14．已知2a b +=r r ，4a b -=r r ，则a b +r r的范围是________.15．在ABC ∆中，AD 为BC 上的中线，1AB =，5AD =，45ABC ∠=︒，则sin ADC ∠=________，AC =________.16．已知函数()f x 的定义域为R ，对任意12x x <，有1212()()1f x f x x x ->--，且(1)1f =，则不等式22(log 31)2log 31x x f -<--的解集为________.17．在ABC ∆中，4AB =，5AC =，3BAC π∠=，H 为ABC ∆内一点，::2:3:5HAB HCB HAC S S S ∆∆∆=，则HA HC ⋅=u u u r u u u r________.三、解答题18．已知α，β为锐角，且1tan 7α=，sin β=. （1）求sin()αβ+； （2）求2αβ+.19．已知(2sin ,1)a x =+r ，(2,2)b =-r ，(sin 3,1)c x =-r ，(1,)(,)d k x R k R =∈∈u r.（1）若[,]22x ππ∈-，且//()a b c +r r r，求x 的值；（2）是否存在实数k 和x ，使()()a d b c +⊥+r u r r r？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，请说明理由.20．在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，已知22222202b c a ca b c b c+-+=+-+. （1）求角A 的值；（2）若2a =，求三角形周长的取值范围.21．已知定义在[]22-,上的偶函数()f x 满足：当[]0,2x ∈时，()f x x =-+（1）求函数()f x 的解析式；（2）设函数()()20g x ax a a =-->，若对于任意的[]12,2,2x x ∈-，都有()()12g x f x <成立，求实数a的取值范围.22．已知向量,cos )a x x ωω=r ，(sin ,cos )b x x ωω=-r ，且函数()f x a b =⋅r r的两个对称中心之间的最小距离为2π. （1）求()3f π；（2）若函数()1()2x G x m =+-在[0,]π上恰有两个零点，求实数m 的取值范围.解析宁波市镇海中学2018-2019学年下学期开学考高一数学试卷一、单选题1．已知函数2,3()3,3x x f x x x ⎧≤=⎨->⎩，则()()()15f f f -的值为A ．1B ．2C ．3D ．–3 【答案】A【解析】根据自变量所属的取值范围代入分段函数对应的解析式求解即可. 【详解】由函数解析式可得：()1122f ==，()5532f =-=()()()()005112f f f f -===∴本题正确选项：A【点睛】本题考查分段函数的函数值的求解问题，属于基础题. 2．已知集合{}0lg 2lg3P x x =<<，212Q xx ⎧⎫=>⎨⎬-⎩⎭，则P Q I 为( )A ．()0,2B ．()1,9 C ．()1,4D ．()1,2【答案】D【解析】集合,P Q 是数集，集合P 是对数不等式解的集合，集合Q 是分式不等式解的集合，分别求出解集，再交集运算求出公共部分. 【详解】解：{}19P x x =<<，{}02Q x x =<<；()1,2P Q ∴⋂=.故选：D. 【点睛】本题考查对数函数的单调性及运算性质，及分式不等式的解法和集合交集运算，交集运算口诀：“越交越少，公共部分”.简单对数不等式问题的求解策略：(1)解决简单的对数不等式，应先利用对数的运算性质化为同底数的对数值，再利用对数函数的单调性转化为一般不等式求解．(2)对数函数的单调性和底数的值有关，在研究对数函数的单调性时，要按01a <<和1a > 进行分类讨论．分式不等式求解：先将分式化为整式；注意分式的分母不为0. 3．下列函数的周期不为π的是( )A ．2sin y x = B ．y =C ．()2sin cos y x x =- D ．cos cos y x x =+【答案】D【解析】利用三角函数的诱导公式、和差倍角公式，将三角函数化为标准式求解周期. 对选项,A C 运用二倍角公式化简再求周期，对B 化简降次求周期，对D 化简得2cos y x =直接求周期. 【详解】Q 函数21cos 2sin 2xy x -==的最小正周期为22ππ=，满足条件；函数tan y x ==的最小正周期为π，满足条件；函数()2sin cos 1sin 2y x x x =-=-最小正周期为22ππ=，满足条件； 函数cos cos 2cos y x x x =+=的最小正周期为221ππ=，不满足条件， 故选：D. 【点睛】本题考查三角函数周期. 三角函数周期的求解方法公式法 (1)三角函数= = = y sin x y cos x y tan x ，，的最小正周期分别为22πππ，，； (2)(=)y Asin x ωϕ＋和(=)y Acos x ωϕ＋的最小正周期为2||πω，()=y tan x ωϕ＋的最小正周期为||πω 图象法 利用三角函数图象的特征求周期．如：相邻两最高点(最低点)之间为一个周期，最高点与相邻的最低点之间为半个周期.4．已知()4,3a =r ，()5,12b =-r 则向量a r 在b r方向上的投影为( )A ．165-B ．165C ．1613-D ．1613【答案】C【解析】先计算出16a b r r⋅=-，再求出b r ，代入向量a r 在b r 方向上的投影a b b⋅r rr 可得【详解】()4,3a =r Q ，()5,12b =-r，4531216a b ⋅=⨯-⨯=-r r，则向量a r 在b r方向上的投影为1613a b b⋅-=r rr ，故选：C. 【点睛】本题考查平面向量的数量积投影的知识点. 若,a b r r的夹角为θ，向量a r 在b r 方向上的投影为cos a θ⋅r 或a b b⋅r rr5．下列关系正确的是( ) A ．tan 20sin1cos8<<< B ．0cos8sin1tan 2<<< C ．tan 2cos80sin1<<< D ．tan 20cos8sin1<<<【答案】C【解析】先分别判断弧度制1,2,8所在的象限，根据三角函数的定义判断函数值的符号. 【详解】1Q 是第一象限，sin10∴>，2Q 是第二象限，tan 20∴<，且tan 21<-，()cos8cos 82π=-，82π-Q 是第二象限，()cos8cos 820π∴=-<， tan 2cos80sin1∴<<<，故选：C. 【点睛】本题主要考查利用三角函数值的符号比较大小. 利用定义求三角函数值问题的常见类型及解法:(1)已知角α终边上一点P 的坐标，根据三角函数的定义求出相应的值即可．(2)若已知角α的终边所在直线的方程求三角函数值，可以先设出终边上一点的坐标，再根据定义求相应的值． (3)若角α终边上的点的坐标中含参数，要讨论参数的各种情况，以确定角α终边所在的象限，进一步正确得出各个三角函数值．此时注意不要漏解或多解．认清角的终边所在的象限，以确定三角函数值的符号，防止出现错误．6．若非零向量a b r r，满足a b b +=r r r ，则（ ）A ．22a a b >+r r rB ．22a a b <+r r rC ．22b a b >+r r rD ．22b a b <+r r r【答案】C 【解析】【详解】由已知22()a b b r r r ＋＝，即220a b a ⋅r r r ＋＝.22222||2242a b a a b b b a ⋅r r r r r r r r Q ＋－＝＋＝－符号不能确定，∴A 、B 均不对． 222||224a b b a a b ⋅r r r r r r Q ＋－＝＋22220a a a <r r r ＝－＝－.故选C.7．在ABC ∆中，5sin 13A =，3cos 5B =，则cosC =（ ） A ．5665B ．3365- C ．5665或1665-D ．1665-【答案】D【解析】根据B 的范围和同角三角函数关系求得sin B ，由大边对大角关系可知A 为锐角，从而得到cos A ；利用诱导公式和两角和差余弦公式可求得结果. 【详解】()0,B π∈Q ，3cos 5B =4sin 5B ∴= sin sin A B <Q A ∴为锐角，又5sin 13A = 12cos 13A ∴= ABC π++=Q()1235416cos cos cos cos sin sin 13513565C A B A B A B ∴=-+=-+=-⨯+⨯=- 本题正确选项：D 【点睛】本题考查三角形中三角函数值的求解，涉及到同角三角函数关系、三角形中大边对大角的关系、诱导公式和两角和差余弦公式的应用；易错点是忽略角所处的范围，造成求解三角函数值时符号发生错误.8．向量a r ，b r 满足2a b a b ==⋅=r r r r ，当实数1t ≥时，向量a r 和a tb -r r的夹角范围是( )A ．[0,)3π B ．2[,)33ππC ．[,)32ππ D ．[,)3ππ【答案】B【解析】利用2a b a b ==⋅=r r r r 求出,3a b π<>=r r ，几何法作出=CA a tb -u u u r r r ,得,=a a C b A t O r r -∠<>，当1t =时，=3,a a tb OAB r r π<>∠=-,当t →+∞时//OC AC 即23OAC π∠< 【详解】由2a b a b ==⋅=r r r r ，得a r ，b r 的夹角为3π，不妨设OA a =u u u r r ，OB b =u u u r r ，()1OC tb t =≥u u r u r ，不妨设()1OC tb t =≥u u ru r ，则点C 在OB 的延长线上运动，向量a r 和a tb -r r 的夹角可用OAC ∠表示，由图知：2[,)33OAC ππ∠∈， 故选：B.应用平面向量的加法、减法和数乘运算的法则即可．注意加法的三角形法则要求“首尾相接”，加法的平行四边形法则要求“起点相同”；减法的三角形法则要求“起点相同”且差向量指向“被减向量”；数乘运算的结果仍是一个向量，运算过程可类比实数运算．9．已知函数()sin cos ()f x x a x a R =+∈对任意x ∈R 都满足()()44f x f x ππ+=-，则函数()sin ()g x x f x =+的最大值为A ．5B ．3C D ．【答案】C 【解析】∵函数()()sin cos f x x a x a R =+∈对任意x R ∈都满足44f x f x ππ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴函数()f x 的对称轴为4x π=，且()()f x x θ=+∴422f a π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭∴1a =∴函数()()()sin 2sin cos g x x f x x x x β=+=++∴函数()g x 故选C点睛：本题考查函数的对称性及辅助角公式的应用.对于函数的对称性，若函数()y f x =满足()()f a x f a x =-+或(2)()f a x f x -=，则函数图象关于直线x a =对称；研究函数()sin cos f x A x B x ωω=+的图象和性质的关键一步是利用辅助角公式将函数的形式变成()()f x x ωϕ=+的形式.10．定义在R 上的奇函数()f x 满足，当(0,2)x ∈时，()cos((1))2f x x π=-，且2x ≥时，有1()(2)2f x f x =-，则函数2()()F x x f x x =-在[2,5]-上的零点个数为( ) A ．9B ．8C ．7D ．6【答案】B【解析】先由奇函数性质求出函数()f x 在[]2,2-上的解析式，再利用1()(2)2f x f x =-.得到[2,5]-的图象，2()()F x x f x x =-的零点个数，等价于求1()f x x=的解的个数.根据两函数交点个数即可求解.当(0,2)x ∈时，()cos((1))cos()sin()2222f x x x x ππππ=-=-=，()f x Q 是奇函数，()00f ∴=，当2x ≥时，有1()(2)2f x f x =-， ()()12002f f ∴==，()()14202f f ==， 若()2,0x ∈-，则()0,2x -∈，则()sin()(in ()22)s x f x f x x ππ-=-=-=-， 即()sin()2f x x π=，()2,0x ∈-即当22x -≤≤时，()sin()2f x x π=，当24x ≤≤时，022x ≤-≤，此时1111()(2)sin[(2)]sin()sin()2222222f x f x x x x ππππ=-=-=-=-，当45x ≤≤时，223x ≤-≤，此时1111()(2)sin[(2)]sin()sin(44)24222f x f x x x x ππππ=-=--=--=， 由2()()0F x x f x x =-=，得：当0x =时，由(0)0F =，即0x =是()F x 的一个零点，当0x ≠时，由2()0f x xx -=得1()xf x =，即1()f x x=， 作出函数()f x 与1()g x x=在，[2,5]-上的图象如图： 由图象知两个函数在[2,5]-上共有7个交点，加上一个0x =， 故函数2()()F x x f x x =-在[2,5]-上的零点个数为8个， 故选：B. 【点睛】本题主要考查函数与方程的应用. 判断函数零点个数的方法:直接法:即直接求零点，令()0f x ＝，如果能求出解，则有几个不同的解就有几个零点定理法:即利用零点存在性定理，不仅要求函数的图象在区间[]a b ，上是连续不断的曲线，且()()0f a f b <g ，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点图象法:即利用图象交点的个数，画出函数()f x 的图象，函数()f x 的图象与x 轴交点的个数就是函数()f x 的零点个数；将函数()f x 拆成两个函数()h x 和()g x 的差，根据()0()()f x h x g x Û＝＝，则函数f(x)的零点个数就是函数()y h x =和()y g x ＝的图象的交点个数性质法:即利用函数性质，若能确定函数的单调性，则其零点个数不难得到；若所考查的函数是周期函数，则只需解决在一个周期内的零点的个数.二、填空题11．函数sin y x x =的图象可由函数cos y x x =+的图象至少向左平移________个单位长度得到. 【答案】32π【解析】利用辅助角公式化简函数的解析式，再根据函数()y Asin x ωϕ=+的图象变换规律，得出结论．【详解】Q 函数，cos 2sin()6y x x x π==+5sin 2sin()2sin()33y x x x x ππ==-=+，故把函数cos y x x =+的图象至少向左平移53362πππ-=个单位，可得sin y x x =的图象， 故答案为：32π. 【点睛】 本题主要考查函数y Asin x ωϕ=+（）的图象变换.三角函数图象变换主要有两种：先平移后伸缩；先伸缩后平移．对于三角函数图象的平移变换问题，其平移变换规则是“左加、右减”，并且在变换过程中只变换其自变量x ，如果x 的系数不是1，则需把x 的系数提取后再确定平移的单位长度和方向.12．函数1()(2f x =________.【答案】1[,)2++∞ 【解析】先求出函数的定义域，利用复合函数的单调性之间的关系进行求解. 【详解】Q 函数()1()2f x =，210x x ∴--≥，求得x ≤x ≥，故函数的定义域为12x x ⎧-⎪≤⎨⎪⎩或12x +≥⎪⎭，本题即求21t x x =--在定义域内的增区间，再根据二次函数的性质可得21t x x =--在定义域内的增区间为1[,)2++∞，故答案为：1[)2++∞. 【点睛】本题主要考查复合函数的单调性. 复合函数单调性的规律:若两个简单函数的单调性相同，则它们的复合函数为增函数；若两个简单函数的单调性相反，则它们的复合函数为减函数．即“同增异减”．13．已知()0,απ∈，sin α与cos α是关于x 的一元二次方程21370x x m ++=的两根，则()1tan tan 1cos 2ααα-+⋅的值为________.【答案】16949【解析】由已知结合根与系数的关系求得sin cos αα+，进一步求得sin cos αα-，联立求得sin α，cos α的值，得到tan α及cos2α的值，则问题可解． 【详解】sin αQ 与cos α是关于x 的一元二次方程21370x x m ++=的两根，7sin cos 13αα∴+=-，两边平方得：1202sin cos 169αα=-， ()0,απ∈Q ，sin 0α∴>，cos 0α<，则17sin cos 13αα-===. 联立7sin cos 1317sin cos 13αααα⎧+=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得5sin 13α=，12cos 13α=-. 5tan 12α∴=-.则()511tan 287316912525tan 1cos 283349(1)(12)12169ααα+-===+⋅-⨯-⨯. 故答案为：16949. 【点睛】本题考查同角三角函数基本关系.利用同角三角函数的基本关系求解问题的关键是熟练掌握同角三角函数的基本关系的正用、逆用、变形．同角三角函数的基本关系本身是恒等式，也可以看作是方程，对于一些题，可利用已知条件，结合同角三角函数的基本关系列方程组，通过解方程组达到解决问题的目的．14．已知2a b +=r r ，4a b -=r r ，则a b +r r的范围是________.【答案】【解析】设a m =r ，b n =u u r．对2a b +=r r ，4a b -=r r 两边平方，可得2210m n +=，再利用向基本不等式的性质即可得出． 【详解】设a m =r ，b n =r ，a b θ<>=r r ，. 2a b +=Q r r ，4a b -=r r， 222cos 4m n mn θ∴++=，222cos 16m n mn θ+-=， 2210m n ∴+=，则4a b ≤+≤=r ra b ∴+r r的范围是4,⎡⎣.故答案为：4,⎡⎣.【点睛】本题主要考查向量的模的运算.（1）向量的平方等于模的平方： 0a a a a cos r r r r g⋅=2a a a =⋅=，（2）基本不等式及其有关变形：0,0)2a ba b +>>当且仅当a b =时取等号. 15．在ABC ∆中，AD 为BC 上的中线，1AB =，5AD =，45ABC ∠=︒，则sin ADC ∠=________，AC =________.【解析】由已知在ABD ∆中，利用正弦定理可得sin ADB ∠，进而可求sin ADC ∠的值，在ABD ∆中，由余弦定理解得BD ，可求BC ，由余弦定理可得AC 的值.【详解】1AB =Q ，5AD =，45ABC ∠=︒， ∴在ABD ∆中，由正弦定理可得：1sin 2sin 5AB ABCADB AD⨯⋅∠∠===sin sin 10ADC ADB ∴∠=∠=. Q 在ABD ∆中，由余弦定理2222cos AD AB BD AB AD ABC =+-⋅⋅∠，可得：2251212BD BD =+-⨯⨯⨯，即：2240BD -=， ∴解得：BD =-2BC BD ∴==，∴由余弦定理可得：AC ===故答案为：10【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理在平面几何中的综合应用. 平面几何中解三角形问题的求解思路:(1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解； (2)寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果． 16．已知函数()f x 的定义域为R ，对任意12x x <，有1212()()1f x f x x x ->--，且(1)1f =，则不等式22(log 31)2log 31x x f -<--的解集为________.【答案】(,0)(0,1)-∞U【解析】由条件()()12121f x f x x x ->--移项变形得112212[()][()]0f x x f x x x x +-+>-， 则()()g x f x x =+在R 上为增函数，再把问题不等式转化为()g x 函数不等式，利用单调性求解. 【详解】根据题意，设()()g x f x x =+，若函数()f x 满足对任意12x x <，有()()12121f x f x x x ->--，则112212[()][()]0f x x f x x x x +-+>-，则函数()g x 在R 上为增函数，又由(1)1f =，则(1)112g =+=，2222(log 31)2log 31(log 31)log 312x x x x f f -<--⇒-+-< 22(log 31)(1)log 311x x g g ⇒-<⇒-<，则有0312x<-<，解可得：1x <且0x ≠，即不等式的解集为(,0)(0,1)-∞U ； 故答案为：(,0)(0,1)-∞U . 【点睛】(())(())f g x f h x >不等式的解法：利用函数性质得到(())y f g x = 函数的单调性利用利用单调性去掉“f ”原不等式化为()()g x h x >或()()g x h x <从而得解. 17．在ABC ∆中，4AB =，5AC =，3BAC π∠=，H 为ABC ∆内一点，::2:3:5HAB HCB HAC S S S ∆∆∆=，则HA HC ⋅=u u u r u u u r________.【答案】92-【解析】根据题意建立平面直角坐标系，利用数形结合与面积的比求出点H 的坐标，再用坐标表示出向量，从而求出平面向量的数量积． 【详解】根据题意建立平面直角坐标系，如图所示；则(0,0)A ，(4,0)B ，(5cos 60,5sin 60)C ︒︒，即5(,22C ； 又::2:3:5HAB HCB HAC S S S ∆∆∆=，15HAB ABC S S ∆∆∴=，作HE AB ⊥于E ，则H的纵坐标15y HE ===； 又12HAC ABC S S ∆∆=，作HF AC ⊥于F ，则1sin602HF AB =⨯⨯︒= 设HAE α∠=，则sin 2HA α=，…①sin(60)HA α︒-=…②sin(60)2sin αα︒-∴=，即1sin 222sin ααα-=求得sin tan s co ααα==， ∴点H的横坐标tan 52HE x AE α====，(25H ∴，5(,22HA ∴=--u u u r ，(0,HC =u u u r ， 50()322HA HC ∴⋅=-⨯+-⨯=-u u u r u u u r .故答案为： 3-【点睛】本题考查平面向量与几何综合问题 其求解方法：(1)坐标法：把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决．(2)基向量法：适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量间的关系构造关于未知量的方程来进行求解．三、解答题18．已知α，β为锐角，且1tan 7α=，sin 10β=. （1）求sin()αβ+； （2）求2αβ+.【答案】(1)(2) 4π【解析】分析：(1) 先根据同角三角函数关系得sin α=，cos α=，cos β=，再根据两角和正弦公式化简得结果，(2) 根据二倍角公式得sin2β，cos2β，再根据两角和余弦公式得()cos 2αβ+，最后根据范围求结果.详解： 由于,αβ为锐角，1tan 7α=，sin 10β=∴sin 10α=，cos 10α=，cos 10β=，sin()sin cos cos sin 101010105αβαβαβ+=+=⨯+=（2）3sin22sin cos 25βββ===，24cos212sin 5ββ=-=，∴()43cos 255αβ+=-=由于,αβ为锐角，∴3022παβ<+<，∴24παβ+= 点睛：在求角的某个三角函数值时，应注意根据条件选择恰当的函数，尽量做到所选函数在确定角的范围内为一对一函数.①已知正切函数值，选正切函数；②已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是π(0,)2，选正、余弦函数皆可；若角的范围是(0,π)，选余弦函数较好；若角的范围为ππ(,)22-，选正弦函数较好 19．已知(2sin ,1)a x =+r ，(2,2)b =-r ，(sin 3,1)c x =-r ，(1,)(,)d k x R k R =∈∈u r.（1）若[,]22x ππ∈-，且//()a b c +r r r，求x 的值；（2）是否存在实数k 和x ，使()()a d b c +⊥+r u r r r？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，请说明理由.【答案】（1）6π-；（2）存在，[5,1]--.【解析】（1）先根据2231b c sinx =-=-r r （，），（，），求出b c +r r的坐标，再根据()a b c ⋅+r r r ，找到向量坐标满足的关系式，根据x 的范围，就可求出x 的值.（2）先假设存在实数k 和x ，使()()a d b c +⊥+r u r r r ，则可得()a d b c +⋅+r u r r r()=0，再用向量数量积的坐标公式计算，若能解出k 的值，则存在，否则不存在. 【详解】（1）(2,2)b =-r Q ，(sin 3,1)c x =-r，(sin 1,1)b c x ∴+=--r r ，//()a b c +r r r Q ，(2sin )sin 1x x ∴-+=-，2sin 1x ∴=-，1sin 2x =-，[,]22x ππ∈-Q ，6x π∴=-.（2）(3sin ,1)a d x k +=++r u r ，(sin 1,1)b c x +=--r r若()()a d b c +⊥+r u r r r ，即(3sin )(sin 1)(1)0x x k +--+=，2sin 2sin 4sin [1,1]k x x x =+-=∈-，sin 1[0,2]x +∈，()2sin 15x +-，x ∈R ，2(sin 1)[0,4]x +∈，[5,1]k ∈--，存在[5,1]k ∈--使()()a d b c +⊥+r u r r r.【点睛】本题主要考查了平面向量、三角函数有关知识.平面向量平行、垂直与三角函数综合问题求解思路：利用向量平行(共线)、垂直关系得到三角函数式，再利用三角恒等变换对三角函数式进行化简，结合三角函数的图象与性质进行求解．20．在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，已知22222202b c a ca b c b c+-+=+-+. （1）求角A 的值；（2）若2a =，求三角形周长的取值范围. 【答案】（1）23π；（2）2]+. 【解析】（1）由正弦定理，余弦定理化简已知等式可求cosA ，结合A 的范围可求A 的值. （2）由正弦定理可求33c sinC b sinB ==，，设周长为y，利用三角函数恒等变换的应用化简得()23y sin B π=++，可求范围2333B πππ<+<，利用正弦函数的性质可求取值范围.【详解】（1）22222202b c a ca b c b c+-+=+-+Q ， ∴由余弦定理可得：2cos 02cos 2bc A cab C b c +=+，∴由正弦定理可得：sin cos sin 0sin cos 2sin sin C A CA CB C+=+，整理可得：02sin cos sin cos cos sin B A C A C A =++， 02sin cos sin B A B ∴=+， sin 0B >Q ， ∴可得：1cos 2A =-，()0,A π∈Q ， 23A π∴=（2）2a =Q ，23A π=，22sin sin 3sin 3b c B C π===Q，sin 3c C ∴=，b B =， 设周长为y ，则y a c b =++2B C =+2sin()333B B π=++-22cos 3B B =++，)233B π=++， 03B π<<Q ，2333B πππ∴<+<，sin()123B π∴<+≤，)2(4,2]333y B π∴=++∈+. ∴周长的取值范围是2]+.【点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理的灵活运用. 三角形中最值范围问题的解题思路：要建立所求量(式子)与已知角或边的关系，然后把角或边作为自变量，所求量(式子)的值作为函数值，转化为函数关系，将原问题转化为求函数的值域问题．涉及求范围的问题，一定要搞清已知变量的范围，利用已知的范围进行求解，已知边的范围求角的范围时可以利用余弦定理进行转化．注意要利用条件中的范围限制，以及三角形自身范围限制，要尽量把角或边的范围(也就是函数的定义域)找完善，避免结果的范围过大． 21．已知定义在[]22-,上的偶函数()f x 满足：当[]0,2x ∈时，()f x x =-+（1）求函数()f x 的解析式；（2）设函数()()20g x ax a a =-->，若对于任意的[]12,2,2x x ∈-，都有()()12g x f x <成立，求实数a的取值范围.【答案】（1）()[)[]2,00,2x x f x x x ⎧+∈-⎪=⎨-+∈⎪⎩；（2）02a <<. 【解析】【详解】试题分析： （1）当[]2,0x ∈-时，[]0,2x -∈，从而()f x x -=+()f x 为偶函数可得()f x 在[]2,0-上的解析式，进而可得()f x 在[]22-,上的解析式．（2）将问题转化为()()max min g x f x <处理．由于()f x 为偶函数，故只可求出当[]2,0x ∈-时()f x 的最小值即可，可得()min 0f x =．又()()max 22g x g a ==-，由20a -<，得2a <，即为所求．试题解析： （1）设[]2,0x ∈-，则[]0,2x -∈，∴()f x x -=+∵()f x 定义[]2,2x ∈-在偶函数， ∴()()f x f x x =-=+∴()[)[]2,00,2x x f x x x ⎧+∈-⎪=⎨-+∈⎪⎩ ． （2）由题意得“对任意[]12,2,2x x ∈-，都有()()12g x f x <成立”等价于“()()max min g x f x <”．又因为()f x 是定义在[]22-,上的偶函数. 所以()f x 在区间[]2,0-和区间[]0,2上的值域相同.当[]2,0x ∈-时，()f x x =+设t =t ⎡∈⎣令22()23(1)4,h t t t t t ⎡=+-=+-∈⎣，则当1t =时，函数()h t 取得最小值(1)0h =，所以()min 0f x =．又()()max 22gx g a ==-由20a -<，解得2a <， 因此实数a 的取值范围为()0,2.点睛：（1）利用偶函数的性质可求函数的解析式，对于偶函数的值域根据其对称性只需求在y 轴一侧的值域即可，体现了转化的思想在解题中的应用． （2）本题中，将“对任意[]12,2,2x x ∈-，都有()()12g x f x <成立”转化为“()()max min g x f x <”来处理，是数学中常用的解题方法，这一点要好好体会和运用．（3）形如y ax b =+±22．已知向量,cos )a x x ωω=r ，(sin ,cos )b x x ωω=-r ，且函数()f x a b =⋅r r 的两个对称中心之间的最小距离为2π. （1）求()3f π；（2）若函数()1()2xG x m =+-在[0,]π上恰有两个零点，求实数m 的取值范围.【答案】（1）12；（2）[1,1)2--. 【解析】(1)根据向量数量积的定义结合辅助角公式进行化简，结合三角函数的对称性质求出的周期和ω即可.(2)求出函数()Gx 的解析式，利用参数法，结合三角函数的图象和性质进行求解即可. 【详解】（1）()21()sin cos 21cos 222f x a b x x x x x ωωωωω=⋅=-=-+r r112cos 2222ωx ωx =-- 1sin(2)62x πω=--， Q 函数()f x a b =⋅r r 的两个对称中心之间的最小距离为2π， 22T π∴=，得T π=， 即22Tππω==，得1ω=， 即()1sin(2)62f x x π=--. 则111()sin(2)1336222f πππ=⨯--=-=；（2）函数1()1()1)]0262x G x m m x π=+=+--=，得)162m x π=---，当0x π≤≤时，5666x πππ-≤-≤， 当5666x πππ≤-≤且62x ππ-≠时，sin()6y x π=-才有两个交点，此时1sin()126x π≤-<，则)26x π≤-<即0)622x π≤--<，1)11622x π-≤---<-，即112m -≤<-，即实数m 的取值范围是[1,1)2--. 【点睛】本题主要考查了三角函数图象与性质的综合问题.先将()y f x ＝化为si (n )y A x B w j ＝＋＋的形式，再借助(n )si y A x w j ＝＋的图象和性质(如定义域、值域、最值、周期性、对称性、单调性等)解决相关问题,注意活用辅助角公式准确化简；“x ωϕ＋”整体处理；数形结合，分离参数，活用函数图象．。
浙江省镇海中学2018届高三上学期期末考试数学试题Word版含解析
镇海中学2017学年第一学期期末考试高三年级数学试卷考生须知：1.本卷满分150分，考试时间120分钟；2.答题前，在答题卷指定区域填写学校、班级、姓名、试场号、座位号及准考证号并填涂相应数字。
3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效；4.考试结束后，只需上交答题卷。
参考公式：柱体的体积公式：V=Sh,其中S表示柱体的底面积，h表示柱体的高.锥体的体积公式：V= Sh,其中S表示锥体的底面积，h表示锥体的高.3球的表面积公式：S=4n R ,其中R表示球的半径•球的体积公式：V= n 口，其中R表示球的半径•3第I卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若抛物线的准线方程为，则抛物线的标准方程为（）A. ? ,、B. = >■■■..■C. .「= ：■；.：■D. /' = :【答案】D【解析】由题得抛物线的标准方程为•故选D.2 22. 若双曲线:: =1的左、右焦点分别为，点在双曲线上，且，则等于9 16（）A. 11B. 9C. 5D. 3【答案】B【解析】试题分析：由已知可得/ = 9=>a = 3^|3-|PF2|| = 6^>|PF2| =乩故选B . 考点：双曲线.3. 直线a与平面所成角的为30°，直线b在平面内，且与b异面，若直线a与直线b所成的角为吳，则（）A. 0o< <30oB. 0o< 90oC. 30o < <90oD. 30o w 180o【答案】C【解析】设直线a在平面a的射影为直线C,在平面a内作直线d丄C,由三垂线定理可得直线d丄a .因为直线a与平面a所成的角为30°,所以直线a与直线c所成的角为30°, 等于平面a内的直线与直线a所成角的最小值.直线b在平面a内，当b与直线d平行或重合时，可得a丄b,直线a与b所成的角为90° 达到最大值；当b与直线c平行或重合时，可得a、b所成的角为30°,达到最小值.因此，直线a与b所成的角为$的取值范围为30°< 0 < 90°.故选C4. 设为向量」厂’刁- ；||；”是“細:”（）A.充分不必要条件B. 必要不充分条件C.充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】先讨论充分性：由UE得|a||b||cosa| = a||b ■■- |c0sa| = 1 ■■- cosct = ±I a =0°或］爼0°a| b所以“ b- ”是“”的充分条件.再讨论必要性：因为，所以,.「長，所以“；心”是“ ”的必要条件.故选C.5. 设是两条不同的直线，匕「'是两个不同的平面，下列选项正确的是（）A. 若III I」.1 I .：,且L〔亠，则二丄B. 若HI,:,且.邙，则―"C. 若“丄:■. ，且::：一「，则■■-D. 若氏匸比口匚卩，且m血同P,,则曲P【答案】A【解析】对于选项A,可以证明，所以选项A正确；对于选项B,画图可知，直线m和n可能平行，也可能相交，也可能异面，所以选项B错误；对于选项C,可以举反例，不垂直，，：：.「［；-•=满足已知条件，但是 •不垂直；对于选项 D, •可能不平行，是相 交的关系•故选A.6.椭圆M 丄+ = 长轴上的两个顶点为 、，点P 为椭圆M 上除、外的一个动『b 2点，若；汛-.总=»且■则动点Q 在下列哪种曲线上运动 () A.圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线 【答案】B【解析】设P ( m n ), Q (x ，y ) 2 2•••椭圆M 的方程为 J .小七 y•••作出椭圆如图所示，可得长轴的端点为 A (- a , 0), B (a , 0)•••Q.Q = (x+a , y ), PA = (m+a n )— - nv T ：. . ：■. =0,「.( x+a ) (m+a +ny=O ,可得 m+a=-—— ①x 十a 一 -nv 同理根据广:= - =0,可得m- a=-②x-a22ny^②，可得m - a 2=.③•.•点P (m, n )是椭圆上的动点,a 2 trr. 2 卜 2 2 一 ，整理得 n = (a - m ), hr 『此方程对应的图形是焦点在 y 轴上的椭圆，可得动点Q 的轨迹是一个椭圆，B 项是正确答案故 选B.代入③可得: m -a 2= (a 2--------- =1化简得b 2m ■17. 如图，小于的二面角-I- -中，，汁E，，且为钝角，—是在内的射影，则下列结论错误的是（）C.二 \> 厶；■.\ -D. r?.'i ■- —八 -【答案】D如图，过点B作垂足为C,过点A作垂足为D.BC BB】在直角△BCO中, ,在直角三角形"‘空‘中，＞.：.：-二「—BO BO因为是锐角二面角，所以心二：」|-. .■- ■ - ■■ ' ' ■ ■-二I'同理.1 ■. ■::—叮,因为…汁.「二.、.\故选D.点睛：本题的关键是证明利用什么方法来判断选项，由于选项判断的是角的大小关系，所以一般要构造直角三角形，再利用三角函数分析解析2 28. 已知点P在以为左右焦点的椭圆上，椭圆内一点Q在的延长0亠b二线上，满足，若…'，则该椭圆离心率取值范围是（）•••满足QF 丄QP •••点Q 与点F 2重合时，T sin / F i PQ=,13 不妨设 |PF i |=13，则 |PF 2|=12 .•可得：e=•因此e .13+ 1255当点Q 在最下端时，/ F i QF 最大，此时F iQ! F 2Q. 可得点Q 在椭圆的内部，当 b=c , e=,因此 -.综上可得： -::-故选C. 5 2点睛：本题的关键在于找到点 Q 的临界位置，从而找到它们对应的椭圆的离心率 •所以本题利用了数形结合的思想，它是一种重要的数学思想，在解题过程中注意灵活运用第n 卷(非选择题共110分)二、 填空题：本大题共7小题，多空题每题 6分，单空题每题 4分，共36分. 2 j9. 双曲线 —-=1的焦距为 ___________ ，渐近线方程为 _________ .5 4【答案】 (1). 6 (2).【解析】由题得•： -= 所以焦距，故第一个空填6.22 石2J5 由题得渐近线方程为.故第二个空填_•—：.10. 命题“若实数的满足叱2,则a 2 <4”的逆否命题是 ____________ 命题(填“真”或者“假”) 否命题是 _________ 命题(填“真”或者“假”). 【答案】 (1). 假(2). 真 【解析】^，所以原命题是假命题，由于原命题和逆否命题的真假性是一致的，所以其逆否命题是假命题 .其否命题是“若实数 满足 ，则 ”，所以其否命题是 真命题.故填(1).假(2). 真.11. 已知是边长为1的正三角形，平面，且?£-1,贝U 与平面 所成角的【答案】【解析】正弦值为 ________ .若点A 关于直线PC 的对称点为D ,则直线AD 与BU 所成角的余弦值是/ BP0==BP 4如图，建立空间直角坐标系，易得 AD 与PC 的交点H 为PC 中点,A ( 0, 0, 0), B(上,',0), C ( 0 ,2 2 扎』=(0,, ),= (- , , 0)2 2 2 2I0+--F0斗点睛：本题的难点在第二问，直接研究比较困难，利用空间向量来研究问题就简单了很多， 所以要注意一点，如果利用几何法比较困难，可以尝试用空间向量来研究 J1112. 已知 ，直线AM BM 相交于点 M 且直线AM 的斜率与直线 BM 的斜率的差是，44£则点M 的轨迹C 的方程是 _____________ .若点F 为轨迹C 的焦点，P 是直线ly = -l 上的一点，Q 是 直线PF 与轨迹C 的一个交点，且FP = 3FQ ,则|QF| = _____ . ,斗【答案】 (1).厂土：—V (2).【解析】设M ( x , y ),I I•/ A ( 1, ), B (- 1 ,),直线AM BM 相交于点 M 且直线AM 的斜率与直线 BM 的斜率的差 4 4【答案】 ⑴.【解析】如图，取AC 中点0,连接BQ PQ•••△ ABC 是边长为1的正三角形, PAL 平面 ABC/- BQLAC, /• BQL 平面 APC•••则PB 与平面 1 I 1 , 0) , H( 0,,)2 2COSPAC所成角是/ BPQ 可得 2故答案为：(1).• • kAM— kBI=•! ! IX'l x I 12整理，得点 M 的轨迹C 的方程是x 2=4y （XM 土 1）. •••点F 为轨迹C 的焦点，••• F （0, 1）,P 是直线I : y= - 1上的一点，Q 是直线PF 与轨迹C 的一个交点，且F.r =3 ., 作QML y 轴于M 点，作PNL y 轴于N 点, 则 ，• MF= ,• Q ( , FN 3 3 3 过正四面体 ABCD 勺中心且与一组对棱 AB 和CD 所在直线都成60 角的直线有 ___________________条. 【答案】4【解析】由于正四面体的所有边长都相等，所有三角形的内角都是60°,除了一组对棱 AB 和CD 剩下的四条棱与 AB 和CD 所成的角都是60°,所以只要把这四条棱平移到正四面体的中 心，所以有四条•故填4.x 2 y~214.已知双曲线上一点P 到两渐近线的距离分别为，若"二• = ,"•,则a 2 IT、双曲线的离心率为 ___________ . 【答案】.或2 2 r【解析】双曲线的两条渐近线的方程为 bx — ay=0或bx+ay=0,FM 1 I），故答案为：⑴.：「：. ••：】：， ⑵.\X tV•I QF|=+（「）=亍a2 tr点P (X0, y o)到两条渐近线的距离之积为J又点P (x o, y o)满足双曲线的方程，•••b2x o2- a 2y o2=a2b2.U 卩2a2+2b2=5ab,「. b=2a 或b= a,m 5 215. 四棱锥7^中，FA丄平面ABC,时T,PA4吐知"BC/知Q是四边形ABC［内部一点，且二面角. 的平面角大小为，若动点Q的轨迹将4【解析】以A为坐标原点建立空间直角坐标系，如图：设Q的轨迹与y轴的交点坐标为b,0) (b>0).由题意可知 A ( 0, 0, 0), D (2, 0, 0) , P (0 , 0 , 1),• <?= (- 2 , 0 , 1) , = (- 2 , b , 0) . = (2 , 0 , 0).设平面APD的法向量为=(x i , y i , z i),平面PDQ的法向量为=(X2 , y2 , Z2)令y i=0 得匸i= (0 , 1, 0),令Z2=2 得=(1 , , 2).b亠亠 2 一 - 4/.n| - n2= -|n1| = ljn2| = 5 + 乙b 勺b面角Q- PD- A的平面角大小为分成面积为罚林］F 的两部分，则罚嚅尸_____________AD已ABCDQ( 0 ,:n2■ DP = 0n2■ DQ = 0【答案】■DP =■AD =(-2X2+ 勺=0 彳一2勺+ by2=故答案为(3占-4) : 4.点睛：本题的关键是找到点Q的轨迹在四边形ABCD内的部分，它就是一条线段DQ确定点Q在y轴上的位置，由于本题的背景比较适宜用坐标系和空间向量来解答三、解答题：本大题共5小题，共74分•解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16. 已知从椭圆上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点•又点A是椭a2 b-圆与X轴正半轴的交点，点B是椭圆与y轴正半轴的交点，且卅：：!：，I「时一(I)求椭圆C的方程；(H)在椭圆C中，求以点为中点的弦MN所在的直线方程.2 ?【答案】(I) ； (n) -.10 5【解析】试题分析：(1)第一问,直接由皿庁得到,化简得到一个方程,再结合厂厂定+三对应的方程,得到a,b,c的值，即得到椭圆C的方程.(2)先利用韦达定理得到斜率k的方程，再根据点斜式写出直线的方程.bT试题解析：(I)由题意知：-二；W囂丄几也a,, b b b" * 小故—-戈..-，即，解得 ,a ac a ac又丨-.解得■'■ = - .''J-1.!：•:2 1故椭圆C的方程为；10 5(n)因为点在椭圆内，且显然直线MN的斜率存在，故设直线MN勺方程为1 I > ' :--代入椭圆方程得■ ■ ■ I IX'' - 4k-X ：：：|故直线MN的方程为：7 I "；17. （本小题满分15分）如图，三棱柱居:馆二：中，侧棱平面，为等腰直角三角形，二a、，且-“ H 上分别是工的中点.（I）求证：①P3/7平面亠；;②三匸I平面;（n）求直线&I」与平面止三丁所成角.兀【答案】（I）见解析；（n）.【解析】试题分析：（1）第一问，先证明，即可证明平面；证明和「小丄■ -■,即可证明平面.（2）第二问，先证明即为直线：卡与平面所成角.再解即可得到直线与平面所成角.试题解析：（I）①连接禺E, ，故点G即为夠E与的交点,8k' + 4k2k2+ 1，解得，且G 为已E 的中点，又F 为的中点，故 ，又GF 平面d ，禺匚 匚平面故平面②因为 是等腰直角三角形 — 二斜边M ：的中点，所以 M 丄円一 因为三棱柱'■ ' |为直三棱柱，所以面.■-1 -■'-面订： ， 所以」丄面- - \ L •、；设弑淞•,则'•1nT17X-r all丄所以U •匕…：V ；：，所以丄二匚又 「2F — F所以三/ I 平面（2）由（1）知 在平面QEF 上的投影为 痔，故 在平面戸三上的投影落在 AF 上.所以 三 即为直线：孑与平面P H 所成角. 由题知：不妨设兀兀所以，即直线与平面所成角为.（n ）求二面角 ww -二,的余弦值的大小. I 答案】（I ）见解析；（n ）.【解析】试题分析：（1）第一问，证明 “丄「，即可证明I 川I 平面 .（2）第二问，先作 出二面角的平面角，再解三角形，即可得到二面角 的余弦值的大小试题解析：（I ）过点A 作，（I ）求证：•丄丄平面；所以在 1 ：I - ' ■-中,因为平行四边形ABCD丄平面CDE,平行四边形.ABCD A平面C DE=CD苗匚平面ABCD故.更丄平面CDE又DEu平面CDE故牡丄DE,又.匚丄丨「，总二「仝一总，’、：计「平面ABCD故丨川I平面乩壬二？(n)过作丄交于閱，过作宀了丄交于，连接卜门.由(I)得二三丄平面m：又•.•丨川厂平面.盘二E,・.平面.卫二F-丄平面mi .丄平面ADE ：沁丄订又V 2K垂直三，且■ .\i —.•. 丄平面.'.i-N,得角①几匚就是所求二面角的一个平面角.又V LI〕二：," ：：1,.所求二面角的余弦值为—.19.抛物线「二|'：, ,为抛物线的焦点，是抛物线上两点，线段的中垂线交轴于，，。
宁波市镇海中学2018-2019学年高三上学期第三次月考试卷数学含答案
宁波市镇海中学2018-2019学年高三上学期第三次月考试卷数学含答案 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1． 设m 是实数，若函数f （x ）=|x ﹣m|﹣|x ﹣1|是定义在R 上的奇函数，但不是偶函数，则下列关于函数f （x ）的性质叙述正确的是（ ）A ．只有减区间没有增区间B ．是f （x ）的增区间C ．m=±1D ．最小值为﹣32． 已知定义在R 上的奇函数f （x ）满足f （x ）=2x ﹣4（x ＞0），则{x|f （x ﹣1）＞0}等于（ ） A ．{x|x ＞3} B ．{x|﹣1＜x ＜1} C ．{x|﹣1＜x ＜1或x ＞3} D ．{x|x ＜﹣1}3． 已知函数f （x ）=sin 2（ωx ）﹣（ω＞0）的周期为π，若将其图象沿x 轴向右平移a 个单位（a ＞0），所得图象关于原点对称，则实数a 的最小值为（ ）A ．πB ．C ．D ．4． 与命题“若x ∈A ，则y ∉A ”等价的命题是（ ）A ．若x ∉A ，则y ∉AB ．若y ∉A ，则x ∈AC ．若x ∉A ，则y ∈AD ．若y ∈A ，则x ∉A5． 已知函数()cos (0)f x x x ωωω=+>，()y f x =的图象与直线2y =的两个相邻交点的距离等于π，则()f x 的一条对称轴是（ ）A ．12x π=-B ．12x π=C ．6x π=-D ．6x π=6． 已知P （x ，y ）为区域内的任意一点，当该区域的面积为4时，z=2x ﹣y 的最大值是（ ）A ．6B ．0C ．2D ．27． 《九章算术》是我国古代的数学巨著，其卷第五“商功”有如下的问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈。
镇海中学2018届高三上学期期末考试数学试题含答案
镇海中学2017学年第一学期期末考试高三年级数学试卷考生须知：1．本卷满分150分，考试时间120分钟；2．答题前，在答题卷指定区域填写学校、班级、姓名、试场号、座位号及准考证号并填涂相应数字。
3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效；4．考试结束后，只需上交答题卷。
参考公式：柱体的体积公式：V=Sh，其中S表示柱体的底面积，h表示柱体的高.锥体的体积公式：V=Sh，其中S表示锥体的底面积，h表示锥体的高.球的表面积公式：S=4πR2 ，其中R表示球的半径.球的体积公式：V=πR3 ，其中R表示球的半径.第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 若抛物线的准线方程为, 则抛物线的标准方程为（）A. B. C. D.【答案】D由题得抛物线的标准方程为.故选D.2. 若双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线上，且，则等于（）A. 11B. 9C. 5D. 3【答案】B考点：双曲线．3. 直线a与平面所成角的为30o，直线b在平面内，且与b异面，若直线a与直线b所成的角为，则( )A. 0º<≤30ºB. 0º<≤90ºC. 30º≤≤90ºD. 30º≤≤180º【答案】C设直线a在平面α的射影为直线c，在平面α内作直线d⊥c，由三垂线定理可得直线d⊥a．因为直线a与平面α所成的角为30°，所以直线a与直线c所成的角为30°，等于平面α内的直线与直线a所成角的最小值．直线b在平面α内，当b与直线d平行或重合时，可得a⊥b，直线a与b所成的角为90°，达到最大值；当b与直线c平行或重合时，可得a、b所成的角为30°，达到最小值．因此，直线a与b所成的角为φ的取值范围为30°≤θ≤90°．故选C4. 设为向量，则“”是“”( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C先讨论充分性：由得所以“”是“”的充分条件.再讨论必要性：因为，所以，所以“”是“”的必要条件.故选C.5. 设是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列选项正确的是（）A. 若，且，则B. 若，且，则C. 若，且，则D. 若，且，，则【答案】A对于选项A，可以证明，所以选项A正确;对于选项B，画图可知，直线m和n可能平行，也可能相交，也可能异面，所以选项B错误；对于选项C，可以举反例，不垂直，满足已知条件，但是不垂直；对于选项D，可能不平行，是相交的关系.故选A.6. 椭圆M:长轴上的两个顶点为、，点P为椭圆M上除、外的一个动点，若且，则动点Q在下列哪种曲线上运动( )A. 圆B. 椭圆C. 双曲线D. 抛物线【答案】B设P（m，n），Q（x，y）∵椭圆M的方程为，∴作出椭圆如图所示，可得长轴的端点为A（﹣a，0），B（a，0）∴=（x+a，y），=（m+a，n）∵=0，∴（x+a）（m+a）+ny=0，可得m+a=﹣①同理根据=0，可得m﹣a=﹣②②，可得m2﹣a2=．③∵点P（m，n）是椭圆上的动点，∴，整理得n2=（a2﹣m2），代入③可得：m2﹣a2=（a2﹣m2），化简得此方程对应的图形是焦点在y轴上的椭圆，可得动点Q的轨迹是一个椭圆，B项是正确答案故选B.7. 如图，小于的二面角中，，，且为钝角，是在内的射影，则下列结论错误．．的是（）A. 为钝角B.C. D.【答案】D如图,过点B作垂足为C,过点A作垂足为D.在直角△BCO中,,在直角三角形中，因为是锐角二面角，所以同理,因为故选D.：本题的关键是证明利用什么方法来判断选项，由于选项判断的是角的大小关系，所以一般要构造直角三角形，再利用三角函数.8. 已知点P在以为左右焦点的椭圆上，椭圆内一点Q在的延长线上，满足，若，则该椭圆离心率取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A∵满足QF1⊥QP，∴点Q与点F2重合时，∵sin∠F1PQ=，不妨设|PF1|=13，则|PF2|=12．∴可得：e=．因此e．当点Q在最下端时，∠F1QF2最大，此时F1Q⊥F2Q．可得点Q在椭圆的内部，当b=c，e=，因此．综上可得：．故选C．：本题的关键在于找到点Q的临界位置，从而找到它们对应的椭圆的离心率. 所以本题利用了数形结合的思想，它是一种重要的数学思想，在解题过程中注意灵活运用.第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题: 本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．9. 双曲线的焦距为__________，渐近线方程为________．【答案】 (1). 6 (2).由题得所以焦距,故第一个空填6.由题得渐近线方程为.故第二个空填.10. 命题“若实数满足，则”的逆否命题是________命题（填“真”或者“假”）；否命题是________命题（填“真”或者“假”）．【答案】 (1). 假 (2). 真，所以原命题是假命题，由于原命题和逆否命题的真假性是一致的，所以其逆否命题是假命题. 其否命题是“若实数满足，则”，所以其否命题是真命题. 故填(1). 假 (2). 真.11. 已知是边长为1的正三角形，平面，且，则与平面所成角的正弦值为________．若点关于直线的对称点为，则直线与所成角的余弦值是________．【答案】 (1). (2).如图，取AC中点O，连接BO，PO，∵△ABC是边长为1的正三角形，PA⊥平面ABC,∴BO⊥AC，∴BO⊥平面APC∴则PB与平面PAC所成角是∠BPO，可得BO=，PB=∴sin∠BPO==．如图，建立空间直角坐标系，易得AD与PC的交点H为PC中点，A（0，0，0），B（，，0），C（0，1，0），H（0，，）=（0，，），=（﹣，，0）cos，故答案为： (1). (2).：本题的难点在第二问，直接研究比较困难，利用空间向量来研究问题就简单了很多，所以要注意一点，如果利用几何法比较困难，可以尝试用空间向量来研究.12. 已知，直线AM，BM相交于点M，且直线AM的斜率与直线BM的斜率的差是，则点M的轨迹C的方程是___________．若点为轨迹C的焦点，是直线上的一点，是直线与轨迹的一个交点，且，则_____．【答案】 (1). (2).设M（x，y），∵A（1，），B（﹣1，），直线AM，BM相交于点M，且直线AM的斜率与直线BM的斜率的差是，∴k AM﹣k BM=，整理，得点M的轨迹C的方程是x2=4y（x≠±1）．∵点F为轨迹C的焦点，∴F（0，1），P是直线l：y=﹣1上的一点，Q是直线PF与轨迹C的一个交点，且=3，作QM⊥y轴于M点，作PN⊥y轴于N点，则，∴MF=，∴Q（，），∴|QF|=．故答案为：(1). (2).13. 过正四面体ABCD的中心且与一组对棱AB和CD所在直线都成60角的直线有________条．【答案】4由于正四面体的所有边长都相等，所有三角形的内角都是60°，除了一组对棱AB和CD，剩下的四条棱与AB和CD所成的角都是60°，所以只要把这四条棱平移到正四面体的中心，所以有四条. 故填4.14. 已知双曲线上一点P到两渐近线的距离分别为，若，则双曲线的离心率为_________．【答案】或双曲线的两条渐近线的方程为bx﹣ay=0或bx+ay=0，点P（x0，y0）到两条渐近线的距离之积为，即，又点P（x0，y0）满足双曲线的方程，∴b2x02﹣a2y02=a2b2，∴，即2a2+2b2=5ab，∴b=2a或b=a，则e=故填或．15. 四棱锥中，平面ABCD，，，BC//AD，已知Q是四边形ABCD内部一点，且二面角的平面角大小为，若动点Q的轨迹将ABCD 分成面积为的两部分，则=_______．【答案】以A为坐标原点建立空间直角坐标系，如图：设Q的轨迹与y轴的交点坐标为Q（0，b，0）（b＞0）．由题意可知A（0，0，0），D（2，0，0），P（0，0，1），∴=（﹣2，0，1），=（﹣2，b，0）. =（2，0，0）．设平面APD的法向量为=（x1，y1，z1），平面PDQ的法向量为=（x2，y2，z2）则即，令y1=0得=（0，1，0），令z2=2得=（1，，2）．∴．∵二面角Q﹣PD﹣A的平面角大小为，∴cos＜＞=即解得b=．∴S△ADQ=．S梯形ABCD﹣S△ADQ=．∵S1＜S2，∴S1=，S2=．∴S1：S2=（3﹣4）：4．故答案为（3﹣4）：4．：本题的关键是找到点Q的轨迹在四边形ABCD内的部分，它就是一条线段DQ，确定点Q在y 轴上的位置,由于本题的背景比较适宜用坐标系和空间向量来解答.三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16. 已知从椭圆上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点．又点A是椭圆与x轴正半轴的交点，点B是椭圆与y轴正半轴的交点，且，．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）在椭圆C中，求以点为中点的弦MN所在的直线方程．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.试题: (1)第一问,直接由得到,化简得到一个方程,再结合对应的方程,得到a,b,c的值，即得到椭圆C的方程. （2）先利用韦达定理得到斜率k的方程，再根据点斜式写出直线的方程.试题：（Ⅰ）由题意知：，故，即，解得，又，解得，故椭圆C的方程为；（Ⅱ）因为点在椭圆内，且显然直线MN的斜率存在，故设直线MN的方程为，代入椭圆方程得故，解得，故直线MN的方程为17. （本小题满分15分）如图，三棱柱中，侧棱平面，为等腰直角三角形，，且，分别是的中点．（Ⅰ）求证：①平面；②平面；（Ⅱ）求直线与平面所成角．【答案】（Ⅰ）见；（Ⅱ）.试题：（1）第一问，先证明，即可证明平面；证明和，即可证明平面. (2)第二问，先证明即为直线与平面所成角．再解，即可得到直线与平面所成角．试题：（Ⅰ）①连接，，故点G即为与的交点，且G为的中点，又F为的中点，故，又GF平面，平面故平面②因为是等腰直角三角形斜边的中点，所以．因为三棱柱为直三棱柱，所以面面，所以面，．设，则．所以，所以．又，所以平面．（2）由（1）知在平面上的投影为，故在平面上的投影落在AF上．所以即为直线与平面所成角．由题知：不妨设，所以，在中，，所以，即直线与平面所成角为．18. 如图，平行四边形平面，，，（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值的大小．【答案】（Ⅰ）见；（Ⅱ）.试题：（1）第一问，证明，即可证明平面.(2)第二问，先作出二面角的平面角，再解三角形，即可得到二面角的余弦值的大小.试题：（Ⅰ）过点A作，因为平行四边形平面，平行四边形平面=CD，平面ABCD，故平面CDE，又平面CDE，故，又，，平面ABCD，故平面（Ⅱ）过作⊥交于，过作⊥交于，连接.由（Ⅰ）得⊥平面，又∵平面，∴平面⊥平面. ∴平面ADE，⊥，又∵垂直，且.∴⊥平面，得角就是所求二面角的一个平面角.又∵，，∴所求二面角的余弦值为.19. 抛物线，，为抛物线的焦点，是抛物线上两点，线段的中垂线交轴于，，。
浙江省镇海中学2017-2018学年第二学期期初考试高一数学(解析版)
浙江省镇海中学2017学年第二学期期初考试高一数学一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.已知数列，3，，，，那么9是数列的A. 第12项B. 第13项C. 第14项D. 第15项【答案】C【解析】解：由．解之得由此可知9是此数列的第14项．故选：C．令通项公式，解出n，由此即可得到么9是数列的第几项．本题考查数列的概念及简单表示法，解题时要认真审题，仔细解答，属于基础题．2.的值A. 小于0B. 大于0C. 等于0D. 不存在【答案】A【解析】解：弧度大约等于57度，2弧度等于114度，弧度小于弧度，在第二象限弧度小于弧度，大于弧度，在第三象限故选：A．根据2弧度、3弧度、4弧度所在象限分析三角函数值的正负，最后得出答案．本题主要考查三角函数值的符号问题常常根据角所在的象限来判断函数值的正负．3.在中，A：B：：1：1，则a：b：A. 4：1：1B. 2：1：1C. 3：1：1D. ：1：1【答案】D【解析】解：：B：：1：1，，解得：，，由正弦定理可得：a：b：：：：：：1：1．故选：D．由已知利用三角形内角和定理可求A，B，C的值，利用正弦定理及特殊角的三角函数值即可计算得解．本题主要考查了三角形内角和定理，正弦定理及特殊角的三角函数值在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．4.定义一种集合运算，且，设，，则表示的集合是A. B.C. D. ，【答案】B【解析】解：，，，，，且，，或，故选：B．由，，知，，由此利用，且，能求出．本题考查集合的交、并、补集的混合运算，是基础题解题时要认真审题，仔细解答，注意新定义的合理运用．5.给出四个函数，则同时具有以下两个性质：最小正周期是；图象关于点对称的函数是A. B. C. D.【答案】D【解析】解：函数最小正周期是，所以，由选项可知，，所以，排除C．图象关于点对称，所以时，函数值为0显然A，B不满足题意，的对称中心是故选：D．利用周期求出，再利用图象关于点对称，判断选项．本题考查三角函数的周期性及其求法，正切函数的奇偶性与对称性，考查推理能力，计算能力，是基础题．6.若，则的值为A. B. C. D.【答案】A【解析】解：，则：，，解得：，．故选：A．由已知可得，利用同角三角函数基本关系式可求，根据二倍角的正弦函数公式化简所求即可计算得解．本题主要考查了同角三角函数基本关系式，二倍角的正弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．7.设函数，已知，则a的取值范围是A. B.C. D.【答案】C【解析】解：时，，或，故；时，．，故；时，无解．综上，a的取值范围是，故选：C．分三种情况讨论：a小于等于时，得到大于1；a大于小于1时，得到大于1；当a大于等于1时，得到大于1，分别求出三个不等式的解集，求出三个解集的并集即为a的取值范围．本题考查一元二次不等式的解法，考查分类讨论的思想，是中档题．8.将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍纵坐标不变，再将所得的图象向左平移个单位，得到的图象对应的解析式是A. B. C. D.【答案】C【解析】解：将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍纵坐标不变，可得函数，再将所得的图象向左平移个单位，得函数，即，故选：C．根据三角函数的图象的平移法则，依据原函数横坐标伸长到原来的2倍可得到新的函数的解析式，进而通过左加右减的法则，依据图象向左平移个单位得到，整理后答案可得．本题主要考查了三角函数的图象的变换要特别注意图象平移的法则．9.已知数列满足，，则A. B. C. 3 D.【答案】C【解析】解：数列满足，，，，，，是以3为周期的周期数列，．故选：C．由数列满足，，推导出是以3为周期的周期数列，由此能求出的值．本题考查等差数列的第100项的求法，考查数列的周期、递推思想等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．10.在中，a，b，c是角A，B，C的三边，给出下列结论：若，则若，则为等边三角形若，，，则必有两解，则的最小角小于其中，正确结论的编号为A. B. C. D.【答案】C【解析】解：对于，若，即，即，即，故正确；对于，若，由正弦定理，可得，即，即为等腰直角三角形，故错误；对于，若，，，可得，又，即，则必有两解，故正确；对于，，即有，即有，即，，即有A最小，，则的最小角小于，故正确．故选：C．由三角形的边角关系和正弦定理可判断；由正弦定理和同角商数关系，可判断；由正弦定理和三角形的边角关系可判断；由向量的加减运算和余弦定理、结合余弦函数的性质可判断．本题考查命题的真假判断，主要是正弦定理和余弦定理的运用、三角形的形状和个数的判断，以及向量的加减运算，考查判断能力、运算能力和推理能力，属于中档题．二、填空题（本大题共7小题，共32.0分）11.在等差数列中，，，则通项公式______；______．【答案】【解析】解：在等差数列中，，，，解得，，通项公式，．故答案为：，．利用等差数列通项公式列出方程组，求出，，由此能求出通项公式和前n项和的值．本题考查等差数列的通项公式、前n项和公式的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．12.在扇形中，已知半径为8，弧长为12，则圆心角是______弧度，扇形面积是______．【答案】48【解析】解：圆心角，扇形面积．故答案为：，48．由弧长公式可直接得到答案．由扇形面积公式直接得到答案．本题主要考查弧长公式和扇形面积公式，属基础题．13.已知数列则______，______．【答案】【解析】解：数列则可得到，，，，，则，解得，，故答案为：，．根据数列的概念和找到其中的规律即可求出．本题考查了归纳推理和数列的概念，属于基础题．14.已知向量，若与垂直，则m的值为，若与平行，则m的值为______．【答案】【解析】解：，；若与垂直，则：；解得；若与平行，则；解得．故答案为：．可求出，，与垂直时，可得出进行数量积的坐标运算即可求出m的值；与平行时，可得出，解出m即可．考查向量垂直的充要条件，向量平行时的坐标关系，向量加法、减法、数乘和数量积的运算．15.已知，，则______．【答案】【解析】解：，，，平方可得解得，或，，，，，，；故答案为：由已知条件易得，结合角的范围和同角三角函数基本关系可得，由两角和的正弦公式可得．本题考查两角和与差的三角函数运算，涉及一元二次方程的解法和同角三角函数的基本关系，属中档题．16.设平面向量与的夹角为，且，则的取值范围是______．【答案】【解析】解：设平面向量与的夹角为，，且，，，相减可得，，，，．则的取值范围是由题意利用两个向量的数量积的定义，基本不等式可得可得，，进而得到，由此得到的取值范围是．本题主要考查两个向量的数量积的定义，基本不等式，属于中档题．17.对于实数a和b，定义运算“”：，设函数，，若函数的图象与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是______．【答案】，【解析】解：，函数或．由图可知，当，，函数与的图象有两个公共点，的取值范围是，，故答案为，．根据定义的运算法则化简函数，的解析式，并画出的图象，函数的图象与x轴恰有两个公共点转化为，图象的交点问题，结合图象求得实数c的取值范围．本题主要考查方程的根的存在性及个数判断，二次函数的图象特征、函数与方程的综合运用，及数形结合的思想，属于中档题．三、解答题（本大题共5小题，共74.0分）18.已知是方程的根，是第三象限角，且的值．【答案】解：已知是方程的根，是第三象限角，可得，，．原式．【解析】解一元二次方程的解法，求得，可得的值，再利用诱导公式得到要求式子的值．本题主要考查一元二次方程的解法，诱导公式的应用，属于基础题．19.在公差为d的等差数列中，已知，且，，成等比数列．求d，；若，求【答案】解：公差为d的等差数列中，已知，且，，成等比数列．则：，解得：或，当时，．当时，．当时，．当时，，所以：，故：．当时，，所以：，，，．故．【解析】直接利用已知条件求出数列的通项公式．利用分类讨论思想，对数列的绝对值进行求和．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，绝对值在数列的求和的应用．20.在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知．求的值若的面积为9，求a的值【答案】解：．，，，又，得，得，得．，，由正弦定理得，则，的面积为9，，即，即．【解析】由正弦定理进行化简，结合同角的三角函数关系式进行求解利用两角和差的正弦公式求出，结合正弦定理以及三角形的面积公式建立方程关系进行求解即可．本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式，两角和的正弦函数公式，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想．21.已知函数为常数，若在区间上是增函数，求的取值范围设集合，，若，求实数m的取值范围．【答案】解：在上是增函数．，即，由得：，即，当时，恒成立．又时，；【解析】化简函数，然后利用是函数增区间的子集，解答即可．先求中的m的范围表达式，，m大于的最大值，小于的最小值，即可．本题考查正弦函数的定义域和值域，子集知识，是中档题．22.已知函数，，其中．设函数若在上有零点，求k的取值范围；设函数是否存在k，对任意给定的非零实数，存在惟一的非零实数，使得？若存在，求k的值；若不存在，请说明理由．【答案】解：，，在上有零点，在上有零点．，解得，或．若在上有唯一零点，则，或，或，或．解得，解得，解得，解可得，或．当时，的零点是，不符合题意所以舍去．若在上有2个零点，则有，解得．综上所述，实数k的取值范围为．函数，即．显然，不满足条件，故．当时，．当时，．记，．当时，在上是增函数，要使，则，且，故；当时，在上是减函数，要使，则，且，故；综上可得，满足条件．故存在，对任意给定的非零实数，存在惟一的非零实数，使得【解析】由题意知在上有零点再由在上有唯一零点和在上有2个零点，进行分类讨论，由此能够求出实数k的取值范围．根据，知再由当时，在上是增函数，得到；当时，在上是减函数，得到，由此能求出k的值．本题主要考查函数的零点与方程的根的关系，函数的单调性的应用，体现了化归与转化、以及分类讨论的数学思想，属于难题．。
镇海中学2018学年第一学期期中考试高一年级数学试卷参考答案2018.11(1)
镇海,中学,2018,学年,第一,学期,期中,考试,镇海中学2018学年第一学期期中考试高一年级数学试卷第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．集合，，，则的子集个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4A．第一象限角 B．第一象限角或第二象限角3．下列根式与分数指数幂的互化，正确的是 ( )A． B．C． D．5．函数的大致图象是 ( )A． B． C．D．7．已知函数对于任意实数满足条件，若，则＝（）9．已知函数的定义域为，且为奇函数，当时，，则的所有根之和等于（）A.4B.5C.6D.12第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题: 本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．11．计算： = ； +．12．已知扇形的周长为6，圆心角为1，则扇形的半径为；扇形的面积为 .15．已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P(−3，4)16．已知函数是上的增函数，则实数的取值范围为__ ．17．已知函数，，若对任意的，都有，则实数的取值范围是_________________．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（本小题满分15分）若集合，（Ⅰ）当时，求；（Ⅱ）若，求实数的取值范围 .20．（本小题满分15分）已知函数,（Ⅰ）若函数在上有最大值，求实数的值;（Ⅱ）若函数在上有且只有一个零点，求实数的取值范围.（Ⅱ）求函数在上的最小值．（Ⅰ）当时，求函数的最小值；，（Ⅱ）若在上为增函数，求实数的取值范围；（Ⅲ）对于给定的负数，若存在两个不相等的实数（且）使得，求的取值范围.镇海中学2018学年第一学期期中考试高一年级数学试卷参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．序号1345678910答案DDCBAACBAD二、填空题: 本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．11、，； 12、2，2；13、； 14、；17、三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．（本小题满分14分）【解析】（I）（II）【解析】（I）令当时，（舍）当时，21．（本小题满分15分）(Ⅰ)（Ⅱ）若，则在R上为增函数，符合题意；若，不合题意；若，则，从而综上，实数的取值范围为或。
浙江省宁波市镇海中学2018-2019学年高一上学期期末考试数学试题 Word版含解析
已知点在第二象限，则角【详解】由题意，点在第二象限，对于向量，和实数，则或若，则，则或，则【答案】B；由向量的平方即，即可得到答案.，则或或，则或是正确的；，则，不能得到，所以不正确；，则，不一定得到，可能是已知向量，，若，则实数B. C. D.，即可得出，进行数量积的运算即可得出，在由向量的，所以，整理得，，解得【点睛】本题主要考查了向量的模的运算，以及向量的数量积的坐标运算，其中解答中根据向量的运算，求得推理与运算能力，属于基础题函数的图象关于直线对称，则实数B. C. D.【答案】【详解】由题意，函数又由函数的图象关于对称，所以，解得，故选D.【点睛】本题主要考查了三角函数的辅助角公式的应用，以及三角函数的图象与性质的应用，的图象上各点横坐标伸长到原来的倍，然后将图象向右平移重合，则（B. C. D.【答案】A【详解】由题意，可采用逆向思维，首先对函数向左平移的图象，进一步把图象上所有的点的横坐标缩短为原来的【点睛】本题主要考查了三角函数的图象变换的应用，其中解答中熟记三角函数的图象变换已知函数，，则是（最小正周期为最小正周期为最小正周期为最小正周期为利用三角函数的恒等变换化简函数为【详解】由函数所以函数为偶函数，且最小正周期为，故选B.【点睛】本题主要考查了三角函数的恒等变换以及三角函数的图象与性质，其中解答中熟练若向量，，且B. C. D.由题意，，求得式，化简为齐次式，即可求解【详解】由题意，，所以，解得又由向量，，【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积的运算性质，以及利用三角函数的基本关系式化已知，是方程的两个实数根，则B. C. D.，是方程，是方程的两个实数根，，【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根和系数的应用，以及三角函数关系式的恒等变换的应用，其中解答中熟记两角和的正切函数的公式，合理、准确运算是解答的关键，着重考已知单位向量的夹角为，若向量满足，则B. C. D.【答案】A，由，化简得，表示圆心为的最大值【详解】由题意，设单位向量，且，，所以，化简得，表示圆心为由图形可知，的最大值为，故选A.【点睛】本题主要考查了平面向量的模的计算，以及向量的坐标运算表示的图形，结合图象求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与计算能力，属于基础题①函数的对称中心是②若函数（，对于任意都有；③函数在上的函数（）时，成立.则其中正确的叙述有（个 B. C. 个 D.的导数判断单调性，结【详解】由题意，①中，函数的对称中心是，所以不正确；若函数对于任意都有可得函数关于对称，则③中，函数的导数为，可得函数在在有且只有一个零点，所以是正确的；④中，已知定义在上的函数时，即时，；时，即时，和，时，即当时，成立，所以是正确的，故选【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质，以及函数与方程的应用，其中解答中熟记的值为(2)..【点睛】本题主要考查了三角函数的化简求值问题，其中解答中熟记三角函数的诱导公式和已知扇形的周长为，当它的半径为(2).设扇形的半径与中心角分别为，可得，在利用扇形的面积为，利用基本不等【详解】设扇形的半径与中心角分别为，则，可得，可得扇形的面积为当且仅当是取等号.【点睛】本题主要考查了扇形的弧长和面积公式，以及基本不等式的性质的应用，其中解答已知，，若，则实数的值是；若与的夹角为锐角，则实数或 (2).，得到方程即可解答得值，和，不同向，列出不等式，即可求解，所以，解得或，和的夹角为锐角，所以，且，所以且的取值范围为且【点睛】本题主要考查了向量的共线的应用，以及向量的数量积的应用问题，其中解答中熟，是单位向量，且，的夹角为，若，；在(2).与的模【详解】由平面向量的数量积的定义，可得，，即，所以在方向上的投影为.【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积的定义，以及向量的投影的应用，其中解答中熟记平面向量的数量积的计算公式，以及向量的投影的计算是解答本题的关键，着重考查了推已知的终边上的一点，且，则实数的值为【答案】由三角函数的定义，即可求解，解得，所以.若函数则实数【答案】或由题意，，，把原函数转化为两个不同的零点，进而转化为方程在上有唯一的实根或在上有两相等的实根，利用二次函数的性质，即可求解.令，，则原函数转化为有两个不同的零点，在在(0,1)转化为函数，与函数有唯一交点或所以或【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用，其中解答中根据题意令有两个不同的零点，进而转化为方程在根或在(0,1)上有两相等的实根，利用二次函数的性质求解是解答的关键，着重考查了转化思已知的外心，，若（的取值范围是【答案】，建立平面直角坐标系，利用向量的坐标运算，得到法二，由奔弛定理和向量的运算，得，进而得，利用三角函【详解】法一：设圆的半径为，如图所示建立平面直角坐标系，则，法二，由奔弛定理由已知转化为：，所以变形为，.【点睛】与性质的应用，其中解答中熟记向量的坐标运算，把已知，（Ⅰ）求的夹角（Ⅱ）当为何值时，与（））由向量的数量积的运算，列出方程，求得，即可求解结果）由，利用向量的数量积的运算，即可求解【详解】（1）由题意，根据向量的运算，得解得：（2），..时，与垂直【点睛】本题主要考查了向量的数量积的化简、运算，其中解答中熟记平面向量的数量积的已知函数.（Ⅰ）求函数的最小正周期；在）函数的最小正周期是）利用三角函数恒等变换的公式，化简）由，根据三角函数的性质，得到）由题意，函数，即函数的最小正周期是.（2），，所以函数在的单调递增区间是【点睛】本题主要考查了三角恒等变换，以及三角函数的图象与性质的应用，其中解答中利的解析式，，且，（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求（））法一：根据两角和的正切函数的公式，化简得法二：令，求得）由三角函数的基本关系式，求得的值，进而可求解.）法一：，法二：令，则，（2），，，，，.【点睛】本题主要考查了三角恒等变换，及三角函数基本关系式和诱导公式的化简求值，其已知的夹角为，且满足.（Ⅰ）求所有满足条件的所组成的集合；，，对于集合中的任意一个，在集合中总存在着一个，使得成立，求实数的取值范围（））由向量的数量积的公式，求得，进而根据题设条件，得到）根据三角恒等变换的公式，化简，令，利用二次函数的性质，即可求解.【详解】（1）由题意，，；，得，故所求集合）由题意，根据三角恒等变换的公式，得；令，，由题意，得，.【点睛】本题主要考查了向量的数量积的运算，以及三角函数的图象与性质的应用，其中解已知实数，，，若向量满足. （Ⅰ）若；（Ⅱ）若）求实数的取值范围；）若恒成立，求的取值范围或（2）（Ⅰ）设，即可得到向量的坐标；（Ⅱ）（1，又由函数也是增函数，得到，即可求解得取值范围；）由对恒成立，进而转化为，由，，所以，即，，又，所以，故或（Ⅱ）（1）根据向量的模的公式，化简得在上为增函数，即，；，对对恒成立，解得.。
【真题】2017-2018年浙江省宁波市镇海中学高三(上)期末数学试卷与答案
2017-2018学年浙江省宁波市镇海中学高三（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）若抛物线的准线方程为x=﹣7，则抛物线的标准方程为（）A．x2=﹣28y B．x2=28y C．y2=﹣28x D．y2=28x2．（5分）若双曲线E：=1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线E 上，且|PF1|=3，则|PF2|等于（）A．11B．9C．5D．33．（5分）直线a与平面α所成角的为30o，直线b在平面α内，且与b异面，若直线a与直线b所成的角为φ，则（）A．0°＜φ≤30°B．0°＜φ≤90°C．30°≤φ≤90°D．30°≤φ≤180°4．（5分）设，为向量，则|•|=||||是“∥”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．（5分）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题正确的是（）A．m⊥α，n⊥β，且α⊥β，则m⊥nB．m∥α，n∥β，且α∥β，则m∥nC．m⊥α，n⊂β，m⊥n，则α⊥βD．m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β6．（5分）椭圆M：长轴上的两个顶点A、B，点P为椭圆M上除A、B外的一个动点，若•=0且•=0，则动点Q在下列哪种曲线上（）A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线7．（5分）如图，小于90°的二面角α﹣l﹣β中O∈l，A，B∈α，且∠AOB为钝角，∠A′OB′是∠AOB在β内的射影，则下列结论一定错误的是（）A．∠A′OB′为钝角B．∠A′OB′＞∠AOBC．∠AOB+∠AOA′＜πD．∠B′OB+∠BOA+∠AOA′＞π8．（5分）在椭圆+=1（a＞b＞0）上有一点P，椭圆内一点Q在PF2的延长线上，满足QF1⊥QP，若sin∠F1PQ=，则该椭圆离心率取值范围是（）A．（，1）B．（，1）C．（）D．（）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．9．（6分）双曲线﹣=1的焦距为，渐近线方程为．10．（6分）命题“若实数a满足a≤2，则a2＜4”的逆否命题是命题（填“真”或者“假”）；否命题是命题（填“真”或者“假”）．11．（6分）已知△ABC是边长为1的正三角形，PA⊥平面ABC，且PA=1，则PB 与平面PAC所成角的正弦值为．若点A关于直线PC的对称点为D，则直线AD与BC所成角的余弦值是．12．（6分）已知A（1，），B（﹣1，），直线AM，BM相交于点M，且直线AM的斜率与直线BM的斜率的差是，则点M的轨迹C的方程是．若点F为轨迹C的焦点，P是直线l：y=﹣1上的一点，Q是直线PF与轨迹C的一个交点，且=3F，则|QF|=．13．（4分）过正四面体ABCD的中心且与一组对棱AB和CD所在直线都成60°角的直线有条．14．（4分）已知双曲线上一点P到两渐近线的距离分别为d1，d2，若，则双曲线的离心率为．15．（4分）四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，∠BAD=90°，PA=AB=BC=AD=1，BC∥AD，已知Q为四边形ABCD内部一点，且二面角Q﹣PD﹣A的平面角大小为，若动点Q的轨迹将四边形ABCD分成面积为S1，S2（S1＜S2）的两部分，则S1：S2=．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（15分）已知从椭圆上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点F1．又点A是椭圆与x轴正半轴的交点，点B是椭圆与y轴正半轴的交点，且AB∥OP，．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）在椭圆C中，求以点D（﹣2，1）为中点的弦MN所在的直线方程．17．（15分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥平面ABC，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，且AB=AA1，E，F，G分别是CC1，BC，AB1的中点．（Ⅰ）求证：①FG∥平面ACC1A1；②B1F⊥平面AEF；（Ⅱ）求直线GF与平面AEF所成角．18．（15分）如图，平行四边形ABCD⊥平面CDE，AD=DC=DE=4，∠ADC=60°，AD⊥DE（Ⅰ）求证：DE⊥平面ABCD；（Ⅱ）求二面角C﹣AE﹣D的余弦值的大小．19．（15分）抛物线y2=2px，p＞0，F为抛物线的焦点，A，B是抛物线上两点，线段AB的中垂线交x轴于D（a，0），a＞0，m=||+||．（Ⅰ）证明：a是p，m的等差中项；（Ⅱ）若m=3p，l为平行于y轴的直线，其被以AD为直径的圆所截得的弦长为定值，求直线l的方程．20．（14分）已知椭圆E：的左、右顶点分别为A，B，M，N是椭圆E 上异于A，B的两点，直线AM，BN交于点P（4，t）．（Ⅰ）若直线MN与x轴垂直，求实数t的值；（Ⅱ）记△PMN，△PAB的面积分别是S1（t），S2（t），求的最小值．2017-2018学年浙江省宁波市镇海中学高三（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）若抛物线的准线方程为x=﹣7，则抛物线的标准方程为（）A．x2=﹣28y B．x2=28y C．y2=﹣28x D．y2=28x【解答】解：∵准线方程为x=﹣7∴﹣=﹣7p=14∴抛物线方程为y2=28x故选：D．2．（5分）若双曲线E：=1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线E 上，且|PF1|=3，则|PF2|等于（）A．11B．9C．5D．3【解答】解：由题意，双曲线E：=1中a=3．∵|PF1|=3，∴P在双曲线的左支上，∴由双曲线的定义可得|PF2|﹣|PF1|=6，∴|PF2|=9．故选：B．3．（5分）直线a与平面α所成角的为30o，直线b在平面α内，且与b异面，若直线a与直线b所成的角为φ，则（）A．0°＜φ≤30°B．0°＜φ≤90°C．30°≤φ≤90°D．30°≤φ≤180°【解答】解：如图，设a∩α=A，a在平面α内的射影为b′，在平面α内过A与b′垂直的直线为b″，b是平面α内与a异面的直线，当b∥b′时，a与b的角最小为30°，当b∥b″时，a与b的角最大为90°．∴30°≤φ≤90°．故选：C．4．（5分）设，为向量，则|•|=||||是“∥”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：∵•=，若a，b为零向量，显然成立；若⇒cosθ=±1则与的夹角为零角或平角，即，故充分性成立．而，则与的夹角为为零角或平角，有．因此是的充分必要条件．故选：C．5．（5分）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题正确的是（）A．m⊥α，n⊥β，且α⊥β，则m⊥nB．m∥α，n∥β，且α∥β，则m∥nC．m⊥α，n⊂β，m⊥n，则α⊥βD．m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β【解答】解：对于A，m⊥α，n⊥β，且α⊥β，利用面面垂直的性质定理得到作垂直于交线的直线n'与β垂直，又n⊥β，得到n∥n'，又m⊥α，得到m⊥n'，所以m⊥n；故A正确；对于B，m∥α，n∥β，且α∥β，则m与n位置关系不确定，可能相交、平行或者异面；故B错误；对于C，m⊥α，n⊂β，m⊥n，则α与β可能平行；故C错误；对于D，m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α与β可能相交；故D错误；故选：A．6．（5分）椭圆M：长轴上的两个顶点A、B，点P为椭圆M上除A、B外的一个动点，若•=0且•=0，则动点Q在下列哪种曲线上（）A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线【解答】解：设P（m，n），Q（x，y）∵椭圆M的方程为，∴作出椭圆如图所示，可得长轴的端点为A（﹣a，0），B（a，0）∴=（x+a，y），=（m+a，n）∵•=0，∴（x+a）（m+a）+ny=0，可得m+a=﹣…①同理根据•=0，可得m﹣a=﹣…②①×②，可得m2﹣a2=．…③∵点P（m，n）是椭圆上的动点，∴，整理得n2=（a2﹣m2），代入③可得：m2﹣a2=（a2﹣m2）•，化简得此方程对应的图形是焦点在y轴上的椭圆，可得动点Q的轨迹是一个椭圆，B项是正确答案故选：B．7．（5分）如图，小于90°的二面角α﹣l﹣β中O∈l，A，B∈α，且∠AOB为钝角，∠A′OB′是∠AOB在β内的射影，则下列结论一定错误的是（）A．∠A′OB′为钝角B．∠A′OB′＞∠AOBC．∠AOB+∠AOA′＜πD．∠B′OB+∠BOA+∠AOA′＞π【解答】解：如图，在α内射线OA上取点A，过A作交线l的平行线AB交射线OB于点B，过A作AA′⊥β，垂足为A′，过B作BB′垂直于β，垂足为B′，连接A′B′，则有AB ∥A′B′，且AB=A′B′，设OA=a，OB=b，AB=c，则OA′＜a，OB′＜b，∵∠AOB为钝角，∴a2+b2＜c2，则（OA′）2+（OB′）2＜a2+b2＜c2=（A′B′）2，在△A′OB′中，由余弦定理可得∠A′OB′＞∠AOB为钝角．∴∠AOB+∠AOA′＞π．∴错误的选项是C，故选：C．8．（5分）在椭圆+=1（a＞b＞0）上有一点P，椭圆内一点Q在PF2的延长线上，满足QF1⊥QP，若sin∠F1PQ=，则该椭圆离心率取值范围是（）A．（，1）B．（，1）C．（）D．（）【解答】解：∵满足QF1⊥QP，∴点Q与点F2重合时，∵sin∠F1PQ=，不妨设|PF1|=13，则|PF2|=12．∴可得：e==．因此e．当点Q在最下端时，∠F1QF2最大，此时F1Q⊥F2Q．可得点Q在椭圆的内部，当b=c，e=，因此．综上可得：．故选：C．二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．9．（6分）双曲线﹣=1的焦距为6，渐近线方程为y=±x．【解答】解：根据题意，双曲线的方程为﹣=1，其焦点在x轴上，且a=，b==2，则c==3，则双曲线的焦距2c=6，渐近线方程为y=±x；故答案为：6，y=±x．10．（6分）命题“若实数a满足a≤2，则a2＜4”的逆否命题是假命题（填“真”或者“假”）；否命题是真命题（填“真”或者“假”）．【解答】解：命题“若实数a满足a≤2，则a2＜4”的逆否命题是“若a2≥4，则a ＞2“，是假命题．命题“若实数a满足a≤2，则a2＜4”的否命题是“若实数a满足a＞2，则a2≥4，是真命题．故答案为假；真．11．（6分）已知△ABC是边长为1的正三角形，PA⊥平面ABC，且PA=1，则PB与平面PAC所成角的正弦值为．若点A关于直线PC的对称点为D，则直线AD与BC所成角的余弦值是．【解答】解：如图，取AC中点O，连接BO，PO，∵△ABC是边长为1的正三角形，PA⊥平面ABC∴BO⊥AC，∴BO⊥平面APC∴则PB与平面PAC所成角是∠BPO，可得BO=，PB=∴sin∠BPO==．如图，建立空间直角坐标系，易得AD与PC的交点H为PC中点，A（0，0，0），B（，，0），C（0，1，0），H（0，，）=（0，，），=（﹣，，0）cos=，故答案为：，．12．（6分）已知A（1，），B（﹣1，），直线AM，BM相交于点M，且直线AM的斜率与直线BM的斜率的差是，则点M的轨迹C的方程是x2=4y（x ≠±1）．若点F为轨迹C的焦点，P是直线l：y=﹣1上的一点，Q是直线PF与轨迹C的一个交点，且=3F，则|QF|=．【解答】解：设M（x，y），∵A（1，），B（﹣1，），直线AM，BM相交于点M，且直线AM的斜率与直线BM的斜率的差是，∴k AM﹣k BM=﹣=，整理，得点M的轨迹C的方程是x2=4y（x≠±1）．∵点F为轨迹C的焦点，∴F（0，1），P是直线l：y=﹣1上的一点，Q是直线PF与轨迹C的一个交点，且=3F，作QM⊥y轴于M点，作PN⊥y轴于N点，则=，∴MF=，∴Q（，），∴|QF|==．故答案为：x2=4y（x≠±1），．13．（4分）过正四面体ABCD的中心且与一组对棱AB和CD所在直线都成60°角的直线有4条．【解答】解：如图所示，设过正四面体ABCD的中心为P．则过点P且与平面ABC平行的平面EFG分别与平面ABD，平面ACD相交于直线EF，EG．则直线EG是分别与一组对棱AB和CD所在直线都成60°角的直线．因此过点P与直线EG平行的直线满足条件．同理直线FG是分别与一组对棱AB和CD所在直线都成60°角的直线．因此过点P与直线FG平行的直线满足条件．同理：通过作与ACD平面平行的平面，可得两条满足条件的直线．即符合题意的平面有4条．故答案为：4．14．（4分）已知双曲线上一点P到两渐近线的距离分别为d1，d2，若，则双曲线的离心率为或．【解答】解：双曲线的两条渐近线的方程为bx﹣ay=0或bx+ay=0，点P（x0，y0）到两条渐近线的距离之积为•=ab，即=ab，又点P（x0，y0）满足双曲线的方程，∴b2x02﹣a2y02=a2b2，∴=ab，即2a2+2b2=5ab，∴b=2a或b=a，则e===或，故答案为：或．15．（4分）四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，∠BAD=90°，PA=AB=BC=AD=1，BC∥AD，已知Q为四边形ABCD内部一点，且二面角Q﹣PD﹣A的平面角大小为，若动点Q的轨迹将四边形ABCD分成面积为S1，S2（S1＜S2）的两部分，则S1：S2=（3﹣4）：4．【解答】解：以A为坐标原点建立空间直角坐标系，如图：设Q的轨迹与y轴的交点坐标为Q（0，b，0）（b＞0）．由题意可知A（0，0，0），D（2，0，0），P（0，0，1），∴=（﹣2，0，1），=（﹣2，b，0）.=（2，0，0）．设平面APD的法向量为=（x1，y1，z1），平面PDQ的法向量为=（x2，y2，z2）则，．即，，令y1=0得=（0，1，0），令z2=2得=（1，，2）．∴=，，．∵二面角Q﹣PD﹣A的平面角大小为，∴cos＜＞==．即，解得b=．==．∴S△ADQS梯形ABCD﹣S△ADQ=﹣=．∵S1＜S2，∴S1=﹣，S2=．∴S1：S2=（3﹣4）：4．故答案为（3﹣4）：4．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（15分）已知从椭圆上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点F1．又点A是椭圆与x轴正半轴的交点，点B是椭圆与y轴正半轴的交点，且AB∥OP，．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）在椭圆C中，求以点D（﹣2，1）为中点的弦MN所在的直线方程．【解答】解：（Ⅰ）由题意知：，故，即，解得b=c，又，解得，故椭圆C的方程为；（Ⅱ）因为点D（﹣2，1）在椭圆内，且显然直线MN的斜率存在，故设直线MN的方程为y=k（x+2）+1，M（x1，y1），N（x2，y2），代入椭圆方程得（2k2+1）x2+（8k2+4k）x+8k2+8k﹣8=0，故，解得k=1，故直线MN的方程为y=x+3．17．（15分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥平面ABC，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，且AB=AA1，E，F，G分别是CC1，BC，AB1的中点．（Ⅰ）求证：①FG∥平面ACC1A1；②B1F⊥平面AEF；（Ⅱ）求直线GF与平面AEF所成角．【解答】解：（Ⅰ）证明：①如图1，连接A1B，则A1B∩AB1=G．连接A1C，∵F，G分别是BC，AB1的中点，∴GF∥A1C．且GF⊄平面ACC1A1，A1C⊂平面ACC1A1．∴FG∥平面ACC1A1；②等腰直角三角形△ABC中F为斜边的中点，∴AF⊥BC又∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1，∴面ABC⊥面BB1C1C，∴AF⊥面C1B，∴AF⊥B1F设AB=AA1=1，∴，EF=，，∴B1F2+EF2=B1E2，∴B1F⊥EF又AF∩EF=F，∴B1F⊥面AEF．解：（Ⅱ）如图以A为原点，建立空间直角坐标系，设AB=AA1=1，则A（0，0，0），E（0，1，），F（），G（）．设面AEF得法向量为，则由，可得=（1，﹣1，2）．cos==．直线GF与平面AEF所成角的正弦值为，∴直线GF与平面AEF所成角．18．（15分）如图，平行四边形ABCD⊥平面CDE，AD=DC=DE=4，∠ADC=60°，AD⊥DE（Ⅰ）求证：DE⊥平面ABCD；（Ⅱ）求二面角C﹣AE﹣D的余弦值的大小．【解答】（本题满分15分）证明：（Ⅰ）过A作AH⊥DC交DC于H．∵平行四边形ABCD⊥平面CDE∴AH⊥平面CDE又∵DE⊂平面CDE∴AH⊥DE…①由已知AD⊥DE…②，AH∩AD=A…③由①②③得，DE⊥平面ABCD；…（7分）解：（Ⅱ）过C作CM⊥AD交AD于M，过C作CN⊥AE交AE于N，连接MN．由（Ⅰ）得DE⊥平面ABCD，又∵DE⊂平面ADE，∴平面ADE⊥平面ABCD．∴CM⊥AE，又∵CN垂直AE，且CM∩CN=C．∴AE⊥平面CMN，得角CNM就是所求二面角的一个平面角．又∵，，∴所求二面角的余弦值为．…（8分）19．（15分）抛物线y2=2px，p＞0，F为抛物线的焦点，A，B是抛物线上两点，线段AB的中垂线交x轴于D（a，0），a＞0，m=||+||．（Ⅰ）证明：a是p，m的等差中项；（Ⅱ）若m=3p，l为平行于y轴的直线，其被以AD为直径的圆所截得的弦长为定值，求直线l的方程．【解答】解：（Ⅰ）设A（x1，y1），B（x2，y2），则m=||+||=x1+x2+p．又线段AB的中垂线交x轴于D（a，0），∴|DA|=|DB|，即，∵x1≠x2，∴x1+x2﹣2a=﹣2p，即x1+x2=2a﹣2p，∴，即，∴a是p，m的等差中项．（Ⅱ）∵m=3p，∴a=2p．设A（2pt2，2pt），D（2p，0），则圆心为O′（p+pt2，pt），设直线l的方程为x=n，设R为圆的半径，d为圆心O′到l的距离，则R2﹣d2为定值，又R2﹣d2=[（2pt2﹣2p）2+（2pt）2]﹣（p+pt2﹣n）2=p2[（t2﹣1）2+t2]﹣（p+pt2﹣n）2=﹣3p2t2+2np+2npt2﹣n2=（2np﹣3p2）t2+（2np﹣n2）∴2np﹣3p2=0，即n=，∴直线l的方程为x=．20．（14分）已知椭圆E：的左、右顶点分别为A，B，M，N是椭圆E 上异于A，B的两点，直线AM，BN交于点P（4，t）．（Ⅰ）若直线MN与x轴垂直，求实数t的值；（Ⅱ）记△PMN，△PAB的面积分别是S1（t），S2（t），求的最小值．【解答】解：（Ⅰ）设M（x 0，y0），N（x0，﹣y0），直线AM的方程为，直线BN的方程为，联立得：，由，解得：，代入直线AM可得t=±3；（Ⅱ）将直线AM的方程为，代入椭圆的方程并整理得：（t2+27）x2+4t2x+（4t2﹣108）=0，解得，直线NB的方程为，代入椭圆的方程并整理得：（t2+3）x2﹣4t2x+（4t2﹣12）=0，解得，所以==，当，即t=±3时，．赠送—高中数学知识点二次函数（1）一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容，这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用，下面结合二次函数图象的性质，系统地来分析一元二次方程实根的分布．设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两实根为12,x x ，且12x x ≤．令2()f x ax bx c =++，从以下四个方面来分析此类问题：①开口方向：a ②对称轴位置：2bx a=-③判别式：∆ ④端点函数值符号． ①k ＜x 1≤x 2 ⇔xy1x 2x 0>a O∙ab x 2-=0)(>k f k x y1x 2x O∙ab x 2-=k<a 0)(<k f②x 1≤x 2＜k ⇔③x 1＜k ＜x 2 ⇔ af (k )＜0④k 1＜x 1≤x 2＜k 2 ⇔xy1x 2x 0>a O ∙∙1k2k 0)(1>k f 0)(2>k f ab x 2-=xy1x 2x O∙<a 1k ∙2k 0)(1<k f 0)(2<k f ab x 2-=⑤有且仅有一个根x 1（或x 2）满足k 1＜x 1（或x 2）＜k 2 ⇔ f (k 1)f (k 2)<0，并同时考虑f (k 1)=0或f (k 2)=0这两种情况是否也符合xy1x 2x 0>a O ∙∙1k2k 0)(1>k f 0)(2<k fxy1x 2x O∙<a 1k∙2k 0)(1>k f 0)(2<k f⑥k 1＜x 1＜k 2≤p 1＜x 2＜p 2 ⇔ 此结论可直接由⑤推出．（5）二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠在闭区间[,]p q 上的最值 设()f x 在区间[,]p q 上的最大值为M ，最小值为m ，令01()2x p q =+． （Ⅰ）当0a >时（开口向上） ①若2b p a -<，则()m f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b m f a =- ③若2b q a->，则()m f q =①若02b x a -≤，则()M f q = ②02b x a->，则()M f p =(Ⅱ)当0a <时(开口向下) ①若2b p a -<，则()M f p = ②若2b p q a ≤-≤，则()2b M f a =- ③若2b q a->，则()M f q =①若02b x a -≤，则()m f q = ②02b x a->，则()m f p =．x>O-=f (p) f (q)()2b f a-0x x>O -=f(p) f(q)()2b f a-0x x<O-=f (p) f (q) ()2bf a-x<O-=f (p)f(q)()2b f a-x<O-=f (p)f(q)()2bf a-x x<O-=f (p)f (q)()2b f a-x<O-=f (p)f (q)()2b f a-x。
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第八讲简单的不定方程一、知识要点：我们把未知数的个数多于方程的个数、且未知数受到某些限制（整数、正整数）的方程（组）称之为不定方程（组）。
通常不定方程（组）问题有三种类型：（1）判断不定方程（组）是否有解；（2）求不定方程（组）的解；（3）计算不定方程（组）的解的个数。
本讲主要学习二元一次不定方程（组）、基本二次型不定方程的解法和处理不定方程问题的一些常用知识和方法。
二、典型例题【例1】求不定方程11x+15y=7的整数解。
分析注意到(11,15)=1，则存在惟一的一对整数u，v，使得11u+15 v=1，x=7u、y=7v就是方程的一组特解，整数u，v可以通过观察试验得到，也可以用转辗相除法求得。
若t是整数，则x=7u+15t，y=7v－11t也是方程的解。
可以证明方程11x+15y=7的每一个整数解都能化为这种形式，x=7u+15t，y=7v－11t，(t∈Z)是方程的一般解，称为通解。
【解】∵ (11,15) | 7, ∴ 方程有解。
∵15=11×1+4，11=4×2+3，4=3×1+1。
∴11×(-4)+15×3=1,即11×(-28)+15×21=7,故方程的解为：（t为任意整数）。
说明求不定方程ax+by=c的整数解，先看(a，b) | c是否成立，不成立则方程无整数解，成立则可以先求方程的一组特解，然后写出方程的通解。
链接对于二元一次不定方程ax+by=c, a，b，c∈Z，ab≠0有下述结论：(1)方程有整数解的充分必要条件是： (a，b) | c；(2)若方程组有一组正整数解x0，y0，则它的所有正整数解可表示为：(其中t∈Z)——通常可以在方程两边同时除以(a，b)，使得x，y的系数互质。
(3) 若(a，b)=1,且x0，y0为不定方程ax+by=c的一个解，则方程的一切解都可以表示成：( t∈Z)。
其中(x0，y0)是方程ax+by=c的一个特解，t是任意整数。
(4) n元一次不定方程a1x1+ a2x2+…+ a n x n=c(a1,a2,…,a n,c∈Z) 有解充分必要条件是 (a1,a2,…,a n) | c。
【例2】求不定方程2x+3y+5z=15的正整数解。
分析比例1的方程多一个未知数，可以判断方程有整数解，若求方程的整数解，可以考虑令w=2x+3y，先求不定方程w+5z=15的整数解，再把w的每一个值代入2x+3y=w求解方程。
一般情况可以参考链接。
但这里求的是方程的正整数解，x，y，z的可取值范围较小，如z只能取1、2两个值，可先考虑范围后讨论求解。
【解】因为(2,3,5)=1，所以方程有整数解。
令u=x+2z,得2u+3y+z=15, 故z=15-2u-3y,x=u-2z=5u+6y-30,其中u,y是任意整数，且x>0,z>0,即5u+6y-30>0,………① 15-2u-3y>0,………②由上述两式消去u得：-3y+15>0, 从而0<y<5,即y=1,2,3,4.当y=1时，由①，②解得＜u＜6，故u=5,从而由2u+3y+z=15，z=2，故x=1。
即有解x=1，y=1，z=2。
当y=2时，同理得u=4，x=2，z=1。
即有解x=2，y=2，z=1。
当y=3或4时，满足①，②的整数u不存在。
于是不定方程的正整数解为：(1,1,2),(2,2,1)。
说明请读者先讨论z的取值范围，分别在z取1或2时解二元不定方程。
另外建议用链接的方法先求出正整数解，而后再求正整数解。
链接解n元一次不定方程a1x1+a2x2+…+a n x n=c时，可先顺次求出(a1,a2)=d2，(d2,a3)=d3，…(d n-1, a n)=d n。
若d nc，则方程无解；若d n | c，则方程有解，作方程组a1x1+ a2x2=d2t2，d2t2+ a3x3=d3t3，……d n-2t n-2+ a n-1x n-1=d n-1t n-1，d n-1t n-1+ a n x n=c。
求出最后一个方程的一切解，然后把t n-1的每一个值代入倒数第二个方程，求出它的一切解，再把t n-2的每一个值代入倒数第三个方程，求出它的一切解，…，这样做下去即可得到方程的一切解。
【例3】解不定方程组分析两个方程可以消去未知数z，得到关于x，y的方程，解二元一次不定方程，把解代入方程组中的一个，求出z的解即可。
【解】由消去z得：13x+13y=52,即x+y=4.观察得方程x+y=4的一个特解是x0=0,y0=4. 故其通解为：(t是整数)代入5x+7y+2z=24得z=-2+t, 故原方程的通解为(t是整数)。
说明对于m个n元一次不定方程组(m<n)成的方程组，可以消去m－1个未知数，从而也消去了m－1个不定方程式，将方程组转化为一个n －m+1元的一次不定方程。
【例4】求满足方程2x2+5y2=11(xy－11)的正整数数组(x，y)。
分析二次不定方程，常考虑分解因式或配方。
把方程2x2+5y2=11(xy－11)中含有未知数的项移到等号的左边，常数移到等号右边，分解因式。
【解】移项并对方程右边进行因式分解得：(2x－y) (x－5y)=－112。
于是有：或或或或或分别求解，其中的正整数解只有一组(x，y) =(14，27)。
链接二次或高次不定方程的常见解法1．因式分解法：对方程的一边进行因式分解，另一边作质因式分解，然后对比两边，转为求解若干个方程组；2．不等式估计法：构造不等式关系，确定不定方程中某些未知数的范围，再分别处理；3．无限递降法：若关于正整数n的命题P(n)对某些正整数成立，设n0是使P(n)成立的最小正整数，可以推出：存在n1∈N*，使得n1＜n0并且P(n1)成立，适合证明不定方程无正整数解。
【例5】求不定方程14x2－24 xy+21y2+4x－12y－18=0的整数解。
分析怎样对右边的多项式分解因式？注意到242－4×14×21=24(24－49)＜0，可知右边的二次多项式不能分解因式，故尝试配方。
【解】原式变形为：2(x－3y+1)2+3(2x－y)2=20，故 3(2x－y)2≤20，即平方数(2x－y)2≤4，当 (2x－y)2=0，1时，(x－3y+1)2=10或2(x－3y+1)2=17，均不可能，故(2x－y)2=4，从而 (x－3y+1)2=4，由此得方程有唯一整数解：（1，0）。
说明配成平方和的形式可以构造不等式，估计未知数的范围。
【例6】方程x2+y=x2y－1000的正整数解为。
分析三次的不定方程，但也可以分解因式求解。
另外注意到其中y 是一次的，可以用x的分式表示y。
【解1】原方程即x2y－x2－y－1000=0，。
即 (x2－1)(y－1)=1001，所以 (x－1)(x+1)(y－1)=7×11×13，要使正整数x，y满足方程，只能取x=12，使x－1=11，x+1=13。
故原不定方程的正整数解为x=12，y=8，即（12，8）。
【解2】原方程变形为：y==1+=1+。
因为x，y是正整数，所以(x－1)与(x+1)都是1001的约数，只能取x－1=11，x+1=13即x=12。
故原不定方程的正整数解为x=12，y=8，即（12，8）。
说明处理不定方程时要根据具体的情况分析，灵活运用方法。
【例7】证明方程x2+y2－19xy－19=0无整数解。
分析方程可以变形为x2+y2=19xy+19，左边是两个整数的平方和，右边是19的倍数。
【证明】方程变形为x2+y2=19xy+19，∵x2+y2=19xy+19≡0(mod19)，而 x2≡a(mod19)，y2≡b(mod19)，其中a，b可以取0，1，4，9，16，6，17，11，7，5。
∴当a≠0或b≠0时，x2+y2≡0(mod19)不成立，∴ a = b = 0，∴x≡0(mod19)，y≡0(mod19)，设x= 19m，y= 19n，m，n∈Z，则方程变为19m2+19n2=192mn+1（*），等式的左边是19的倍数，右边被19除余1，方程（*）无整数解，则原方程也无整数解。
说明如果不定方程F(x1，x2，…,x n)=0有整数解，则对任意m∈N*，其整数解(x1，x2，…，x n)满足F(x1，x2,…,x n)=0(mod m)。
利用这一必要条件，可以探究不定方程整数解的存在性。
本题也可以考虑运用Guass定理：一个正整数n可表示为两个数平方之和的充要条件是n的4k+3型素因子（如果有的话）出现的幂次一定是偶数；引理：设p是4k+3型的素数，则x2+1≡0(mod p)没有整数解。
【例8】求方程x2+y2=z2中0<z<10的所有互质的正整数解。
分析勾股方程的正整数解是勾股数。
【解】方程x2+y2=z2适合x＞0，y＞0，z＞0，(x,y)=1，y是偶数的一切正整数解可表示为：x=a2－b2，y=2ab，z= a2+b2，这里a＞b＞0，(a，b)=1，且a，b是一奇一偶两个整数。
故a2+b2＜10，a＞b＞0，，从而a=2，b=1,故x=3，y=4，z=5。
∴ (x，y，z)= (3，4，5)或(x，y，z)= (4，3，5)。
说明对于方程x2 + y2= z2，如果(x，y)=d，则d2 | z2，从而只需要讨论(x，y)=1的情形，此时易知x，y，z两两互素。
这种两两互素的正整数组(x，y，z)称为方程的本原解。
【例9】证明不定方程x2 + y2=3(z2 + w2)没有非零整数解。
分析无穷递降法【解】注意方程x2 + y2=3(z2 + w2)的特点，若(x，y，z，w)是方程的非零解，则(|x|，|y|，|z|，|w|)也是方程的非零解，不妨设(x0，y0，z0，w0)为方程的非零解，其中x0≥0，y0≥0，z0≥0，w0≥0，x0+y0+z0+w0＞0，则x02 +y02=3(z02 + w02)≡0(mod3)，∵ x02 + y02≡0(mod3)，∴ x02≡0(mod3)， y02≡0(mod3)，∴ x0≡0(mod3)， y0≡0(mod3)，设 x0=3x1，y0=3y1，则3(x12 + y12)= z02 + w02≡0(mod3)，同理 z0≡0(mod3)， w0≡0(mod3)，设 z0=3z1，w0=3w1，则可得x12 +y12=3(z12 + w12)，说明(x1，y1，z1，w1)也是方程x2 +y2=3(z2 + w2)的非负非零解，其中x1≥0，y1≥0，z1≥0，w1≥0，且x0+y0+z0+w0＞x1+y1+z1+w1＞0；继续以上过程，可得到一系列的非负非零解，使得x0+y0+z0+w0＞x1+y1+z1+w1＞…＞x n+y n+z n+w n＞…＞0。