微课：绳杆模型圆周运动最高点分析(罗新勇)
球—绳模型(学生版)--竖直面内三种圆周运动模型
竖直面内三种圆周运动模型精讲精练模型球-绳模型【知识点精讲】球-绳模型实例球与绳连接在竖直面内圆周运动球沿竖直面圆周内轨道运动图示最高点无支撑最高点无支撑最高点受力特征重力、弹力，弹力方向向下或等于零重力、弹力，弹力方向向下、等于零或向上受力示意图力学特征mg+F N=mv2r临界特征F N=0，v min=gr过最高点条件v≥gr速度和弹力关系讨论分析①恰好过最高点时，v=gr，mg=mv2r，F N=0，绳、轨道对球无弹力②能过最高点时，v≥gr，F N+mg=mv2r，绳、轨道对球产生弹力F N③不能过最高点时，v<gr，在到达最高点前小球已经脱离了圆轨道做斜抛运动【方法归纳】(1)定模型：首先判断是轻绳模型还是轻杆模型，两种模型物体过最高点的临界条件不同．(2)确定临界点：抓住球-绳模型中球恰好能过最高点时v=gR的临界条件．(3)研究状态：通常情况下竖直平面内的圆周运动只涉及最高点和最低点的运动情况．(4)受力分析：对物体在最高点或最低点时进行受力分析，根据牛顿第二定律列出方程：F合=F向．(5)过程分析：应用动能定理或机械能守恒定律将初、末两个状态联系起来列方程．【针对性训练】1(2018•高考全国卷Ⅲ)如图，在竖直平面内，一半径为R的光滑圆弧轨道ABC和水平轨道P A在A 点相切。
BC为圆弧轨道的直径。
O为圆心，OA和OB之间的夹角为α，sinα=35，一质量为m的小球沿水平轨道向右运动，经A点沿圆弧轨道通过C点，落至水平轨道；在整个过程中，除受到重力及轨道作用力外，小球还一直受到一水平恒力的作用，已知小球在C点所受合力的方向指向圆心，且此时小球对轨道的压力恰好为零。
重力加速度大小为g。
求：(1)水平恒力的大小和小球到达C点时速度的大小；(2)小球到达A点时动量的大小；(3)小球从C点落至水平轨道所用的时间。
2(12分)(2020新高考冲刺仿真模拟)某兴趣小组设计了一个玩具轨道模型如图甲所示，将一质量为m=0.5kg的玩具小车(可以视为质点)放在P点，用弹簧装置将其从静止弹出(弹性势能完全转化为小车初始动能)，使其沿着半径为r=1.0m的光滑圆形竖直轨道OAO′运动，玩具小车与水平面PB的阻力为其自身重力的0.5倍(g取10m/s2)，PB=16.0m，O为PB中点．B点右侧是一个高h=1.25m，宽L= 2.0m的壕沟．求：(1)要使小车恰好能越过圆形轨道的最高点A，小车在O点受到轨道弹力的大小；(2)要求小车能安全越过A点，并从B点平抛后越过壕沟，则弹簧的弹性势能至少为多少？(3)若在弹性限度内，弹簧的最大弹性势能E pm=40J，以O点为坐标原点，OB为x轴，从O到B方向为正方向，在图乙坐标上画出小车能进入圆形轨道且不脱离轨道情况下，弹簧弹性势能E p与小车停止位置坐标x关系图．3(2024年5月四川宜宾质检)如图所示，在距地面上方h的光滑水平台面上，质量为m=4kg的物块左侧压缩一个轻质弹簧，弹簧与物块未拴接。
圆周运动绳杆模型讲解学习
轻绳模型
轻杆模型
常见 类型
过最高 点的临 界条件
由mg＝mvr2 得v临＝ gr
由小球能运动即可得v临＝0
(1)当 v＝0 时，FN＝mg，
FN 为支持力，沿半径背
讨论 分析
(1)过最高点时， v≥ gr，FN＋mg＝ mvr2，绳、轨道对球 产生弹力 FN (2)不能过最高点 v< gr，在到达最高 点前小球已经脱离
(1)若要使盒子运动到最高点时与小球之间恰好无作用力， 则该同学拿着盒子做匀速圆周运动的周期为多少？
(2)若该同学拿着盒子以第(1)问中周期的12做匀速圆周运动， 则当盒子运动到如图所示(球心与 O 点位于同一水平面上)时，小 球对盒子的哪些面有作用力，作用力大小分别为多少？
【思维启迪】 mg＝mR(2Tπ0)2→周期 T0→T′＝T20→F′向＝ mR(T2′π )2→盒子对小球的作用力→小球对盒子的作用力
【尝试解答】 (1)设盒子的运动周期为 T0.因为在最高点时 盒子与小球之间刚好无作用力，因此小球仅受重力作用，由重力
提供向心力，根据牛顿第二定律得 mg＝mR(2Tπ0)2
解之得 T0＝2π
R g
(2)设此时盒子的运动周期为 T，则小球的向心加速度为 a0 ＝4Tπ22R
由第(1)问知 T0＝2π Rg且 T＝T20
一、模型建构：竖直平面内圆周运动的绳杆模型 1．模型概述 在竖直平面内做圆周运动的物体，按运动至轨道最高点时的 受力情况可分为两类．一是无支撑(如球与绳连接，沿内轨道的 “过山车”等)，称为“绳(环)约束模型”，二是有支撑(如球与 杆连接，在弯管内的运动等)，称为“杆(管道)约束模型”．
2．临界问题分析 物体在竖直平面内做的圆周运动是一种典型的变速曲线运 动，该类运动常有临界问题，并伴有“最大”“最小”“刚好” 等词语，现就两种模型分析比较如下：
圆周运动绳杆模型
悬索桥的吊索通过绳杆模型将主梁与主缆连接，使主梁能够 悬挂在主缆上并保持平衡。
卫星轨道的设计与运行
人造卫星轨道
人造卫星的轨道通过绳杆模型与地球 连接，通过地球引力与绳杆模型的拉 力平衡，使卫星能够绕地球做圆周运 动。
月球探测器轨道
月球探测器的轨道通过绳杆模型与月 球连接，通过月球引力与绳杆模型的 拉力平衡，使探测器能够绕月球做圆 周运动。
05
绳杆模型在现实生活中的应用
游乐场的旋转设施
旋转木马
绳杆模型在旋转木马中起到支撑和传动的作用，通过绳索与木马连接，实现木马 的旋转运动。
摩天轮
摩天轮的旋转臂通过绳索与座舱连接，使座舱在旋转臂上做圆周运动，同时绳索 也起到安全保护的作用。
桥梁的拉索设计
斜拉桥
斜拉桥的拉索通过绳杆模型将主梁与桥墩连接，使主梁能够 承受载荷并保持稳定。
双摆运动
总结词
双摆运动是指两个单摆同时进行摆动，其运动轨迹为两个圆弧或椭圆弧的组合，适用于分析具有两个 固定圆心和摆长的双摆系统。
详细描述
双摆运动是两个单摆同时进行摆动的组合运动，其运动轨迹为两个圆弧或椭圆弧的组合。在双摆运动 中，两个单摆的摆线长度和初始角度都可以不同，但它们都受到重力的作用。在摆动过程中，双摆系 统的角速度、角加速度、回复力、动能和势能等物理量都随时间变化。
运动。
向心力的方向始终指向圆心，与 速度方向垂直。
绳杆模型中的离心力分析
离心力：当物体做圆周运动时， 若没有向心力作用，物体将沿 切线方向飞出。
在圆周运动绳杆模型中，离心 力与向心力大小相等、方向相 反。
离心力的大小与物体的质量、 速度和圆周半径有关。
04
圆周运动绳杆模型的实例分析
匀速圆周运动之绳杆模型
匀速圆周运动 角速度、线速度、向心加速度 Ⅰ (考纲要求)
1．匀速圆周运动
(1)定义：做圆周运动的物体，若在相等 的时间内通过的圆弧长_相__等__，就是匀 速圆周运动．
(2)特点：加速度大小_不__变__ ，方向始终 指向_圆__心__ ，是变加速运动． (3)条件：合外力大小_不__变__ 、方向始终 与_速__度__方向垂直且指向圆心．
B．人和车的速度为 grsin θ
C．桶面对车的弹力为cmosgθ
D．桶面对车的弹力为smingθ
思路导图
解析 对人和车进行受力分析如图所示．根据直角三角形的 边角关系和向心力公式可列方程：
Ncos θ＝mg， mgtan θ＝mvr2. 解得 v＝ grtan θ，N＝cmosgθ. 答案 AC
展身体，以单杠为轴做圆周运动．此过程中，
运动员到达最低点时手臂受的拉力至少约为(忽
略空气阻力，g＝10 m/s2)
( )．
A.600 N
B．2 400 N
C．3 000 N
D．3 600 N
图4－3－9
教你审题
关键点：运动员以单杠为轴做圆周运动 属于竖直面内圆周运动的杆模型
牛顿第二定律和机械能守恒定律
坚直平面内圆周运动的绳杆模型考基自主落实考基自主落实核心考点透析核心考点透析物理建模指导物理建模指导活页限时训练活页限时训练高考快乐体验高考快乐体验轻绳模型轻杆模型常见类型过最高界条件由mgmgr由小球能运动即可得v考基自主落实考基自主落实核心考点透析核心考点透析物理建模指导物理建模指导活页限时训练活页限时训练高考快乐体验高考快乐体验轻绳模型轻杆模型讨论分析1过最高点时绳轨道对球产生弹力fgr在到达最高点前小球已经脱离了圆轨道背向圆心随v的增大而减小的增大而增大考基自主落实考基自主落实核心考点透析核心考点透析物理建模指导物理建模指导活页限时训练活页限时训练高考快乐体验高考快乐体验如图439所示质量为60kg的体操运动员做单臂大回环用一只手抓住单杠伸展身体以单杠为轴做圆周运动
竖直平面内圆周运动的绳杆模型PPT课件
2.宇宙三星或多星 (1)如右图所示，三颗质量相等的行星，一颗行星位于中心位 置不动，另外两颗行星围绕它做圆周运动．这三颗行星始终位于 同一直线上，中心行星受力平衡．运转的行星由其余两颗行星的 引力提供向心力：Grm2 2＋G2mr22＝ma向
两行星转动的方向相同，周期、角速度、线速度的大小相等．
L，由G
M1M2 L2
＝M1r1ω2＝M2r2ω2，得双黑洞的轨道半径之比r1∶r2
＝M2∶M1，选项B正确；双黑洞的线速度之比v1∶v2＝r1∶r2＝
M2∶M1，选项C错误；双黑洞的向心加速度之比为a1∶a2＝r1∶r2
＝M2∶M1，选项D错误．
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2.(多选)宇宙间存在一些离其他恒星较远的三星系统，其中 有一种三星系统如图所示，三颗质量均为m的星位于等边三角形 的三个顶点，三角形边长为R，忽略其他星体对它们的引力作 用，三星在同一平面内绕三角形中心O做匀速圆周运动，万有引 力常量为G，则( )
第19页/共19页
m2 3G a2 .
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(2)同上，B星体所受A、C星体引力大小分别为FAB＝G
mAmB r2
＝G2am2 2，
FCB＝GmCrm2 B＝Gma22，方向如图所示．
由FBx＝FABcos
60°＋FCB＝2G
m2 a2
，FBy＝FABsin
60°＝
3
Gma22，可得FB＝
F2Bx＋F2By＝
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[典例] (2015·高考安徽卷)由三颗星体构成的系统，忽略其他星 体对它们的作用，存在着一种运动形式，三颗星体在相互之间的 万有引力作用下，分别位于等边三角形的三个顶点上，绕某一共 同的圆心O在三角形所在的平面内做相同 角速度的圆周运动(图示为A、B、C三颗星 体质量不相同时的一般情况)．若A星体质 量为2m，B、C两星体的质量均为m，三角 形的边长为a，求：
高一物理必修2_竖直平面内的圆周运动的临界问题
竖直平面内的圆周运动的临界问题竖直平面内的圆周运动是典型的变速圆周运动。
一般情况下，只讨论最高点和最低点的情况，常涉及过最高点时的临界问题。
临界问题的分析方法：首先明确物理过程，正确对研究对象进行受力分析，然后确定向心力，根据向心力公式列出方程，由方程中的某个力的变化与速度变化的对应关系，从而分析找出临界值。
１．“绳模型”如图6-11-1所示，小球在竖直平面内做圆周运动过最高点情况。
（注意：绳对小球只能产生拉力）（1）小球能过最高点的临界条件：绳子和轨道对小球刚好没有力的作用mg =2v m Rv 临界（2）小球能过最高点条件：v（当v（3）不能过最高点条件：v（实际上球还没有到最高点时，就脱离了轨道）２．“杆模型”如图6-11-2所示，小球在竖直平面内做圆周运动过最高点情况 （注意：轻杆和细线不同，轻杆对小球既能产生拉力，又能产生推力。
）（1）小球能最高点的临界条件：v = 0，F = mg （F 为支持力）（2）当0< vF 随v 增大而减小，且mg > F > 0（F 为支持力） （3）当v=F =0（4）当vF 随v 增大而增大，且F >0（F 为拉力）【案例剖析】例1．长为L 的细绳，一端系一质量为m 的小球，另一端固定于某点，当绳竖直时小球静止，再给小球一水平初速度0v ，使小球在竖直平面内做圆周运动，并且刚好能过最高点，则下列说法中正确的是 （ ）A ．球过最高点时，速度为零B ．球过最高点时，绳的拉力为mg图6-11-1a b图6-11-2 bC ．开始运动时，绳的拉力为2v m LD解析：开始运动时，由小球受的重力mg 和绳的拉力F 的合力提供向心力，即20v F mg m L-=，20v F m mg L=+，可见C 不正确；小球刚好过最高点时，绳拉力为0，2v mg m L =，v 以，A 、B 、C 均不正确。
故选：D例2：如图6-11-3所示，一轻杆一端固定质量为m 的小球，以另一端 O 为圆心，使小球做半径为R 的圆周运动，以下说法正确的是 （ ）A ．球过最高点时，杆所受的弹力可以等于零 B．球过最高点时，最小速度为C ．球过最高点时，杆对球的弹力一定与球的重力方向相反D ．球过最高点时，杆对球的弹力可以与球的重力反向，此时重力一定大于杆对球的弹力 解析：小球用轻杆支持过最高点时，0v =临，故B 不正确；当v =时，F = 0故A 正确。
(完整word版)圆周运动绳杆模型
圆周运动中的临界问题一.两种模型:(1)轻绳模型：一轻绳系一小球在竖直平面内做圆周运动.小球能到达最高点(刚好做圆周运动)的条件是小球的重力恰好提供向心力，即mg ＝m rv 2，这时的速度是做圆周运动的最小速度v min ＝ . （绳只能提供拉力不能提供支持力）. 类此模型：竖直平面内的内轨道(2)轻杆模型：一轻杆系一小球在竖直平面内做圆周运动，小球能到达最高点(刚好做圆周运动)的条件是在最高点的速度 . （杆既可以提供拉力，也可提供支持力或侧向力.） ①当v ＝0 时，杆对小球的支持力 小球的重力； ②当0<v <gr 时，杆对小球的支持力于小球的重力；③当v＝gr 时，杆对小球的支持力 于零； ④当v >gr 时，杆对小球提供 力. 类此模型：竖直平面内的管轨道.1、圆周运动中绳模型的应用 【例题1】长L ＝0.5m 的细绳拴着小水桶绕固定轴在竖直平面内转动，筒中有质量m ＝0.5Kg 的水，问：（1）在最高点时，水不流出的最小速度是多少？（2）在最高点时，若速度v ＝3m/s ，水对筒底的压力多大？【训练1】游乐园里过山车原理的示意图如图所示。
设过山车的总质量为m ，由静止从高为h 的斜轨顶端A 点开始下滑，到半径为r 的圆形轨道最高点B 时恰好对轨道无压力。
求在圆形轨道最高点B 时的速度大小。
【训练2】．杂技演员在做水流星表演时，用绳系着装有水的水桶，在竖直平面内做圆周运动，若水的质量m ＝0．5 kg ，绳长l=60cm ，求：(1)最高点水不流出的最小速率。
(2)水在最高点速率v ＝3 m ／s 时，水对桶底的压力．2、圆周运动中的杆模型的应用【例题2】一根长l ＝0.625 m 的细杆，一端拴一质量m=0.4 kg 的小球，使其在竖直平面内绕绳的另一端做圆周运动，求：(1)小球通过最高点时的最小速度；(2)若小球以速度v 1=3.0m ／s 通过圆周最高点时，杆对小球的作用力拉力多大?方向如何？vR 【训练3】如图所示，长为L 的轻杆一端有一个质量为m 的小球，另一端有光滑的固定轴O ，现给球一初速度，使球和杆一起绕O 轴在竖直平面内转动，不计空气阻力，则（ ） A.小球到达最高点的速度必须大于gLB .小球到达最高点的速度可能为0 C.小球到达最高点受杆的作用力一定为拉力 D.小球到达最高点受杆的作用力一定为支持力【训练4】如图所示，在竖直平面内有一内径为d 的光滑圆管弯曲而成的环形轨道，环形轨道半径R 远远大于d ，有一质量为m 的小球，直径略小于d ，可在圆管中做圆周运动。
绳杆内外轨及临界等圆周运动模型解析课件
(2)A的速率为4 m/s.
水流星问题：
例1、绳系着装水的桶，在竖直平面内做圆 周 运 动 ， 水 的 质 量 m=1kg ， 绳 长 =40cm. 求 （1）桶在最高点水不流出的最小速率？ （2）水在最高点速率为4m/s时水对桶底的 压力？(g取10m/s2)
第六课时
【典例3】 如图2－3、4－10 所示，两轻绳的一端系一 质量为m＝0.1 kg的小球， 两绳的另一端分别固定于 轴的A、B两处，上面的绳 长l＝2 m，两绳拉直时与轴 的夹角分别为30°和45°， 问球的角速度在什么范围 内两绳始终有张力？(g＝ 10 m/s2)
图2－3、4－10
2、有一水平放置的圆盘，上面放有一劲度系数为k的轻质弹簧， 如图所示，弹簧的一端固定于轴O上，另一端挂一质量为m的 物体A，物体与圆盘间的动摩擦因素为u，开始时弹簧未发生 形变，长度为x，（1）圆盘的转速n0多大时，物体开始滑动。 （2）转速达到2n0时，弹簧的伸长量是多少？
o
时，求细绳对物体的拉力。 时，求细绳对物体的拉力。
θ 规律方法总结：关于水平面内的匀速圆周运动问题， 一般是“临界速度”与“临界力”的问题。即细绳是否 紧对应拉力是否为零；物体是否脱落接触面对应的 弹力是否为零；物体是否滑动对应摩擦力是否达到 最大静摩擦力。
二、变速圆周运动的向心力
例：一根长为1m的绳子，当受到20N的拉力时即被拉 断，若在此绳的一端拴一个质量为1kg的物体，使物体 以绳子的另一端为圆心在竖直面内做圆周运动，当物体 运动到最低点时绳子恰好断裂。求物体运动至最低点时 的角速度和线速度各是多大。（g=10m/s2）
已知在最高点处，杆对球的弹力大小为 F
＝m2g，则小球在最高点处的速度大小为 图2－3、4－11
圆周运动专题(绳球模型、杆球模型、轨道和管道模型、圆锥摆、斜面上的圆周运动、转盘上的圆周运动)解析版
圆周运动专题（绳球模型、杆球模型、轨道和管道模型、圆锥摆、斜面上的圆周运动、转盘上的圆周运动）60分钟考点序号考点 考向 题型分布考点1圆周运动专题（绳球模型、杆球模型、轨道和管道模型、圆锥摆、斜面上的圆周运动、转盘上的圆周运动）考向1：绳球模型模型考向2：杆球模型模型考向3：轨道和管道模型考向4：圆锥摆模型 考向5：斜面上的圆周运动 考向6：转盘上的圆周运动12单选+3多选+2计算圆周运动专题（绳球模型、杆球模型、轨道和管道模型、圆锥摆、斜面上的圆周运动、转盘上的圆周运动）（13单选+2多选） 1．（2024·浙江宁波·模拟预测）如图半径为L 的细圆管轨道竖直放置，管内壁光滑，管内有一个质量为m 的小球做完整的圆周运动，圆管内径远小于轨道半径，小球直径略小于圆管内径，下列说法不正确的是（ ）A．经过最低点时小球可能处于失重状态B．经过最高点Z时小球可能处于完全失重状态C．若小球能在圆管轨道做完整圆周运动，最高点Z的速度v最小值为0D．若经过最高点Z的速度v增大，小球在Z点对管壁压力可能减小A．小车在BD下方运动时处于失重状态B．小车在B点不受摩擦力作用C．小车在C点时对轨道的压力恰好为零D．小车在A点时对轨道的压力比在C点时大10N【答案】D【详解】A．小球在BD下方运动时，向心加速度指向圆心，均有竖直向上的分量，故处于超重状态，故A 错误；A．从B运动到C过程中机器人的向心加速度2a=0.5m/sB．为防止餐盘与水平托盘之间发生相对滑动，机器人在BC段运动的最大速率为4m/s C．从A点运动到B点过程中机器人的加速度20.125m/sa=且餐盘和水平托盘不会发生相对滑动t=秒D．餐盘和水平托盘不发生相对滑动的情况下，机器人从C点到D点的最短时间12A．在角速度缓慢增大的过程中两绳的拉力始终不变B．当小球运动半径为6L、4A．2gB．L【答案】A则用更长的绳做实验，得到的图线与横轴交点的位置距离原点的的距离变大，选项D 错误。
第3讲 专题圆周运动的临界问题
(2)小球从管口飞出做平抛运动 小球从管口飞出做平抛运动 1 2 2R＝ gt ，t＝2 ＝2 ＝ R g，
x1＝v1t＝ 2R，x2＝v2t＝ 6R. ＝ ， ＝
【答案】 答案】
(1)
gR 或 2
3 gR 2
(2) 2R 或
6R
用一根细绳，一端系住一个质量为m的小球 的小球， 用一根细绳 ， 一端系住一个质量为 的小球 ， 另一 端悬在光滑水平桌面上方h处 绳长l大于 大于h， 端悬在光滑水平桌面上方 处 ， 绳长 大于 ， 使小球在桌 面上做匀速圆周运动．求若使小球不离开桌面， 面上做匀速圆周运动．求若使小球不离开桌面，其转速最 大值是
第3讲 专题 讲
圆周运动的临界问题
竖直面内圆周运动的临界问题分析 对于物体在竖直面内做的圆周运动是一种典型的变速 曲线运动，该类运动常有临界问题，并伴有“最大”“ ”“最 曲线运动，该类运动常有临界问题，并伴有“最大”“最 小”“刚好”等词语，常分析两种模型——轻绳模型和轻杆 ”“刚好”等词语，常分析两种模型 轻绳模型和轻杆 刚好 模型，分析比较如下： 模型，分析比较如下：
A．600 N ． C．3 000 N ．
解析】 【解析】
B．2 400 N ． D．3 600 N ．
运动员到达最低点时受力满足 F－mg＝ － ＝
v2 1 2 m R ，v 最小时 F 最小，所以有 mg·2R＝ mv ，所以 F＝ 最小， ＝ ＝ 2 5mg＝3 000 N. ＝
【答案】 C 答案】
(1)当转盘的角速度 ω1＝ 当转盘的角速度 (2)当转盘的角速度 ω2＝ 当转盘的角速度
µg 时，细绳的拉力 F1. 2r 3µg 时，细绳的拉力 F2. 2r
【解析】 设物块和转盘间有最大静摩擦力时，角 解析】 设物块和转盘间有最大静摩擦力时， 速度为 ω0，则 µmg＝mω0r ＝ 所以 ω0＝ (1)当 ω1＝ 当 (2)当 ω2＝ 当 µg r µg 时，ω1<ω0，所以 F1＝0 2r 3µg ω >ω 2r 时， 2 0
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苏州园区二中
罗新勇
2014.4
a
1
模型一：绳模型
用长为L的细绳拴着质量为m的小球，使小球在竖 直平面内做圆周运动，小球在最高点的速度为v .
试分析：绳的张力与速度的关系怎样？
v
L mg
F
o
分析：小球受重力和拉力 v2
F mg m L
v2 F m mg
(1) mg m v2 时， 即：v gL
L
杆对球的作用力向下
a
5
v L mg
F
o
Ｆ
v L mg
o
mgF mv2 L
F
v2 m
mg
L
(2)
mg
m v2 L
时，
即：v
gL
重力恰好提供向心力，杆没有作用力；
v2 (3) mg m L
时， 即：v
gL
杆对球的作用力向上
mgF mv2 L
F mgmv2 L
L
绳子对小球的力只能向下，即：
F0
a
2
v
L mg
F
o
得：
v2 m mg 0
L
v gL
取 v0 gL 叫临界速度。
(1) v v0 时， F0
绳中拉力为零，重力提供向心力；
(2) v v0
时，
v2 F m mg0
L
重力和拉力的合力提供向心力；
(3) v v0 时，
物体离开圆轨道做曲线运动；
a
3
拓展： 若物体沿竖直轨道内侧运动，在
最高点的情况与绳模型一致。
v
a
4
模型二：杆模型：
用长为L的轻杆一端固定着一个质量为m的小球， 使小球在竖直平面内做圆周运动，小球在最高点速度为 v.
试分析：杆的弹力与速度的关系怎样？
v L mg
F
o
分析：小球受重力和杆对其作用力； 由于杆既可以提供向下的拉力，也 可以提供向上的支持力，故可作如 下分析：
a
6
拓展：
7