§4.4 向量的正交化
向量的正交规范化
1
2 2
, ,
r 2
2
r1,r r1, r1
r 1
则 1, 2 , , r 两两正交，且与 1,2 , ,r等价.
15
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2）规范化
令
1
1
1
1,
2
1
2
2,
,
r
1
r
r ,
解 cos , 18 1
3 26 2
.
4
练习 1 1 1 1T , 1 1 1 0T , 求, .
9
三、正交向量组 1、正交
当 , 0 ，称α与β正交.
注 ① 若 0 ，则α与任何向量都正交. ② 0.
或 x1 x2 x3 0,
1 0
其基础解系为
1
0 1
,
2
11 .
19
1
1
0
令
1
11
,
2
1
0 1
,
3
2
11
.
1）正交化
1
1
令
1
四、应用举例 例1 证明：Rn 中，勾股定理 x y 2 x 2 y 2 成立
的充要条件是 x, y 正交.
解 x y 2 x y, x y x, x y, y 2 x, y x 2 y 2 2 x, y
所以 x y 2 x 2 y 2成立的充要条件是 x, y 0,
线性代数schmidt正交化方程组求解do
1 3 2 1 1 -2
1 3 2 1 1 -2
1 3 -2 4 1 7 初等行变换 0 -1 0 -4 1 11
4 11 8 0 5 3
0 0 -4 3 0 9
初等行变换 1 0 0 -19/2 4 71/2 0 1 0 4 -1 -11
0 0 1 -3/4 0 -9/4
第四章 n维向量
Ax =的一个基础解系
= k11+k22+…+kss
任意数
Ax =的一般解
例1 设矩阵A 经过一系列初等行变换可化为
110 13
0 0 1 0 -2
000 0 0
求方程组Ax = 的基础解系.
第四章 n维向量
§4.5 方程组解的结构
定理4.14. 设ARsn, 秩(A) = r.
(1) 若r = n, 则Ax = 没有基础解系; (2) 若r < n, 则Ax = 有基础解系, 且
sin cos
QT =
cos sin
sin cos
QTQ = cos2 +sin2
0
0
sin2 +cos2
= E.
Q=
cos sin
sin cos
Q y
对应的正交变换
O
x
第四章 n维向量
Q=
10 0 1
对应的正交变换
§4.4 向量的内积
y
O
x
Q
Q=
1 0
0 1
y
Q
对应的正交变换
O
x
第四章 n维向量
记 B=(b1 b2 … bt). 则 AX=B 有解 <=> A(x1 x2 … xt) = (b1 b2 … bt) 有解 <=> Axj = bj 有解， j =1,2,…,t.
向量组的正交性
解 先正交化， 取
1 1 1,1,1,1
2
2
(1,2 ) (1, 1)
1
1,1,0,4 1 1 4 1,1,1,1
1111
0,2,1,3
3
3
(1,3 ) (1, 1)
1
(2 ,3 ) (2, 2)
反例：1 (1,0,1),2 (0,0,1)
四 向量空间的正交基
若1,2 , ,r是向量空间V的一个基,且1,2 ,
,r是两两正交的非零向量组,则称1,2 , ,r是
向量空间V的正交基.
例1 已知三维向量空间中两个向量
1
1 1,
1
2
n
T 2
1
2T 2
2T n
T n
T n
1
nT 2
nTn
1 0
E
0
1
0
0
0
0
(i ,i )
1, (i , j )
0
1
(i j)
b3 a3 c3 .
b1
b2
七、正交矩阵：
1.定义4： 若n阶方阵A满足AT A E(或A1 AT )，则称A为n阶正交矩阵。
2.性质：(i) 若A为n阶正交矩阵 A 1.
(ii) 若A为n阶正交矩阵 AT与A1也是正交矩阵。
(iii) 若A, B为n阶正交矩阵 AB与BA也是正交矩阵。
第三节：向量的内积与施密特正交化过程
⇔ A =A
T
。
−1
令
α 1T T α 2 A = M T α n
= ( β , β ,L , β ) 1 2 n
由上式不难得到： 为正交矩阵 由上式不难得到：A为正交矩阵
1, i = j 1, ⇔(α ,α ) = ⇔ (βi , β j ) = 0. i ≠ j 0.
T T
都正交的向量集。 都正交的向量集。 解：设与 α1,α2 都正交的向量为
T x = ( x1, x2 , x3 , x4 ) 由 α1T x = 0 α2 x = 0
T
得齐次线性方程组
x1 + x 2 + x 3 + x 4 = 0 x1 + x 3 + x 4 = 0
x = k1(−1,0,1,0)T + k2 (−1,0,0,1)T 解得
α1 = (1,0,1)T ,α2 = (1,1,0)T ,α3 = (0,1,1)T 例2 设
正交化过程将其化为标准正交组。 用Schmidt正交化过程将其化为标准正交组。 正交化过程将其化为标准正交组 解：取 β1 = α1 = (1, 0,1)T
(α2 , β1 ) 1 1 1T 1 T T β2 = α2 − β1 = (1,1,0) − (1,0,1) = ( ,1, − ) = (1,2, −1)T (β1, β1 ) 2 2 2 2
θ =
π
2
时，称两向量正交。这里显然等价于 称两向量正交。 因此可利用内积定义两向量正交。 (α, β) = 0 因此可利用内积定义两向量正交。 正交， 定义3 定义 若 (α, β ) = 0 称 α , β 正交，记 α ⊥ β 中只要有一个为零向量， α , β 中只要有一个为零向量，必有 (α , β ) = 0 又零向量与任何向量看作是正交的， 又零向量与任何向量看作是正交的，且
正交分解法知识点总结
正交分解法知识点总结一、正交分解法的基本概念1. 正交化在线性代数中，对于一个向量空间内的一组基向量，我们可以通过一定的方法将它们转化为一组正交基，这个过程就称为正交化。
正交化的目的是为了使得基向量之间互相正交，也就是说它们的内积为零。
这样一组正交基向量就可以更容易地用来表示其他向量，比如说对于一个向量，我们可以将它在这组正交基上的投影相加得到原向量，而不需要进行繁琐的计算。
2. 单位化在将一组向量正交化之后，我们通常还需要将它们单位化，也就是说将它们的模长归一化为1。
这样一来，我们得到的一组正交单位向量就可以作为线性空间的一组标准正交基。
这样的基向量在表示其他向量的时候更加方便，也符合我们对于标准正交基的要求。
所以在正交化的过程中，单位化是一个必要的步骤。
3. 正交分解正交分解是指将一个向量表示为一组正交基上的线性组合的过程。
对于一个线性空间中的一个向量，我们可以将它在一组正交基上的投影相加得到原向量。
这样的表示方法在很多情况下是非常方便的，比如说在计算内积、求解线性方程组、进行特征值分解等问题时，我们可以借助正交分解的方法来简化运算。
二、Gram-Schmidt正交化方法Gram-Schmidt正交化方法是一种常用的将线性无关向量集合正交化的算法。
它的基本思想是通过一系列的正交化和单位化操作，将原始的线性无关向量集合转化为一组正交基。
Gram-Schmidt正交化方法的具体步骤如下：1. 对于给定的一组线性无关的向量{v1,v2,…,vn}，首先取v1作为第一个正交基。
2. 对于第i个向量vi，将它在前i-1个正交基上的投影相减，得到vi的正交化向量ui。
3. 将ui进行单位化，得到第i个正交单位向量ei。
4. 重复上述过程，直到得到一组正交单位向量{e1,e2,…,en}。
Gram-Schmidt正交化方法的优点是它的思想简单，易于实现，而且对于实际应用中的大多数情况来说，它都能够得到不错的结果。
4-4向量内积及正交化
1,2,2,3T 与 3,1,5,1T 的夹角. 求向量
18 2 cos 3 26 2
解[ , ] 来自4.3 正交向量组 定义5 当[ x, y] 0时, 称向量x与y正交, 记作x y. 由定义知 若 x 0, 则 x 与任何同维向量正交 , . 定义6 若非零向量构成的向量组中的向量两两正 交,则称 该向量组为正交向量组.
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定理1 若n维向量 1 , 2 , , r 是一正交向量组, 则 1 , 2 , , r 线性无关. 证明 设1 , 2 , , r 使 11 2 2 r r 0. T T 以1 左乘上式两端, 得 1 1 1 0. 由1 0可知 2 T 1 1 1 0, 从而1 0. 同理 2 r 0. 故1 , 2 , , r 线性无关 . 注: 若单位向量组1 , 2 , , r 两两正交, 则称此 向量组为规范正交(向量)组. 例2 : １, 2 , 3为规范正交组, 求|| 4 1 4 2 7 3 || . 解 : || 41 4 2 7 3 ||2 [41 4 2 7 3 ,41 4 2 7 3 ] 16[1 , 1 ] 16[ 2 , 2 ] 49[ 3 , 3 ] 81 所以 || 41 4 2 7 3 || 9.
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1
2
若 1 , , n是向量空间 V的一组规范正交基 , 那么 对任意x V x k1 1 k n n 其中 k i [ x , i ] x T i , i 1, , n. 定义 9 : 设 1 , 2 , , n是向量空间 V的一个基 , 所谓 把 1 , 2 , , n 这个基规范正交化. 就是找V的一个 规范正交基 e1 , e2 , , en , 使其与 1 , 2 , , n等价. 问题: 如何找 e1 , e2 , , en？ 解决方案: 采用所谓施密特(Schmidt)正交单位化方 法分两步进行: 先用施密特正交化将向量组转化为 正交组, 然后将该正交组中向量单位化.
向量的内积与施密特正交化过程
向量的内积与施密特正交化过程向量的内积（亦称点积、内积积）是线性代数中非常重要的运算，它是将两个向量映射成一个标量的二元运算。
在内积中，有几个重要的性质和应用。
另一方面，施密特正交化过程是将线性相关的向量组转变为线性无关的正交向量组的过程。
在施密特正交化过程中，我们通过对向量组进行逐步的处理，使新的向量与之前的向量都正交。
一、向量的内积在二维欧几里得空间中，向量的内积定义为：其中，和分别为向量和的坐标。
在三维欧几里得空间中，向量的内积定义为：1.对于任何向量，都有。
2.对于任何向量，都有。
3.对于任何向量和标量，都有。
4.若向量和满足，则称向量和正交，记作。
内积具有许多应用和重要性质，其中之一是通过内积计算向量的模长，即。
内积还可以用于计算两个向量之间的夹角。
对于向量和，，当且仅当和共线时夹角为0，在此情况下,称向量和共线。
施密特正交化过程是将线性相关的向量组转化为线性无关的正交向量组的过程。
施密特正交化过程的基本思想是，通过不断减去之前所有的向量在当前向量上的投影，得到与之前向量正交的新向量。
具体步骤如下：对于给定的向量组，我们希望将其转化为正交向量组。
施密特正交化过程的步骤如下：1.令，即第一个正交向量等于第一个向量。
2.对于向量，对其进行如下处理：a.计算向量在的投影，即。
b.令为向量减去其在上的投影，即。
c.实际得到的向量与垂直，即。
得到向量的长度。
3.对于向量，继续对其进行如上处理。
经过施密特正交化过程，我们最终可以得到单位正交向量组。
如果希望得到标准正交向量组，即长度为1的正交向量组，需要将单位正交向量组进行标准化处理。
施密特正交化过程的关键思想是不断减去之前的向量在当前向量上的投影，得到与之前的向量正交的新向量。
这样可以确保每次得到的新向量都与之前向量组成的空间正交。
施密特正交化过程广泛应用于数值计算中的线性代数问题，例如最小二乘法、特征值问题等。
它的作用是简化计算，提高计算的精度和稳定性。
向量的内积与正交
使β3 与β1，β2 彼此正交，满足
β3β1 β3, β2 0
即有
β3β1 α3, β1 k1 β1, β1 0
以及
β3β2 α3, β2 k2 β2, β2 0
得
k1
α3 , β1,
β1 β1
,k2
α3 , β2,
β2 β2
于是得
β3
α3
α3 , β1,
1 3
1 21
5 3
1
1 1
1
2 10
那么 β1β2, , βr与 就是与 α1,α2, ,αr 等价的单位正交向量组。
1
例3，a1 1 1
求一组非零向量 α2, α3, 使 α1, α2, α3
两两正交。
解 α2, α3 应满足方程 α1T x 0, 即
x1 x2 x3 0
线性代数
向量的内积与正交
1 向量的内积
2 线性无关向量 组的正交化方法
3 正交阵
内容
向量的内积与正交
定义1 设n 维向量
a1 b1
a2
,
b1
an
b1
令
α, β a1b1 a2b2 anbn
称为向量的内积。
向量的内积是一种运算。如果把向量看成列矩阵，那么向量的内积 可以表示成矩阵的乘积形式
定义2 设有n 维向量
a1
α
=
a1
a1
令
α α, α a12 a22 an2
α 称为n 维向量α 的长度(也称为模或范数)。 向量的长度具有下列性质: （1） α 0,且 α 0当且仅当α 0 （2） kα k α （3） α β α β
性质(1)，(2)是显然的，性质(3)称为三角不等式，这里不予证明。
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例4-13 证明)0,21,21(1=α ，)0,2
1
,21(2-=α ，)1,0,0(3=α 是R 3的一组标准正交基．
分析：证明已知量是一组标准正交基，可以分两步证明： （1）证明所给向量两两正交，且为基．
方法：求所给向量的两两内积，如果内积等于零，则两向量正交； （2）每个向量的长度等于1．
方法：求每个向量的长度，判断长度是否等于1． 证明：
（1）证明所给向量两两正交． 000)2
1(21212121=⨯+-
⨯+
⨯=
∙αα
，所以，1α 与2α
正交；
01002
102131=⨯+⨯+
⨯=
∙αα
，所以，1α
与3α 正交； 0100)2
1(02132=⨯+⨯-
+⨯=
∙αα
，所以，3α 与2α
正交；
有以上证明可知，所给向量1α
、2α
、3α 两两正交．
又由于三个向量都是3维向量，所以1α 、2α
、3α 是R 3的一组正交基．
（2）证明1α 、2α
、3α 的长度都是1． 10
)2
1(
)21(2
22
1=++=
α
；
10
)2
1()2
1(
2
22
2=+-
+=
α
；
11002
2
2
3=++=
α
．
有以上证明可知，所给向量1α 、2α
、3α 是R 3的一组标准正交基．
例4-14 设)3,2,1(=α
，)3,1,4(-=β
是R 3中的向量，
试求α 在β 上的投影向量，投影长度；β 在α
上的投影向量和投影长度．
解：βα
∙=1×4+2×(-1)+3×3=11，
14321222=++=α ， 263)1(42
22=+-+=β ，
α
在β 上的投影向量为
)3,1,4(2611)3,1,4()26(112
21-=-=∙=ββ
βαγ
α
在β
上的投影纯量，或称为投影长度为
26111=∙=β
βαγ
β 在α
上的投影向量为
)3,2,1(1411)3,2,1()14(112
22==∙=αα
βαγ
β 在α
上的投影纯量或称为投影长度为
14
112
=
∙=
αβαγ
例4-15 将R 4中向量组{(3，0，0，0)，(0，1，2，1，)，
(0，-1，3，2)}标准正交化．
解：1．证明所给的三个向量是线性无关的向量．
以所给的三个向量为行的矩阵为⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛-=23
1
01210
0003A 用矩阵的第三行加第二行得
⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝
⎛-=23
1
01210
0003
A ⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛35
012100003
所以r (A )=3，所以三个向量线性无关．
2．用施密特法将向量组正交标准化 （1）正交化
构建两两正交向量组 令)0,0,0,3(11==αβ
)0,0,0,3()0003(01020130)1,2,1,0(2
222212
1
1222+++⨯+⨯+⨯+⨯-=∙-=ββ
βααβ
)1,2,1,0(=
)65,32,
613,0()
1,2,1,0(6
7)0,0,0,0()2,3,1,0()
1,2,1,0()
12
10
(2
132)1(100)0,0,0,3()
00
3(0
2030)1(30)2,3,1,0(2
22
22
2
22
2
2
2
22
2312
1
1
333-
=---=+++⨯+⨯+-⨯+⨯-
+++⨯+⨯+⨯-+⨯-
-=∙-∙-
=βββαβββααβ
（2）标准化
将正交向量组321,,βββ
中的三个向量单位化．
)0,0,0,1(0003)0,0,0,3(2
222111=+++==ββε
，
)1,2,1,0(61
1
210)1,2,1,0(2
222222=+++=
=ββε
， )5,4,13,0(210
1)6
5()32()613
(0)6
5,32,
6
13,0(222
2
3
33-=
++-
+-
=
=
ββε
．
至此完成了向量{(3，0，0，0)，(0，1，2，1，)，(0，-1，3，2)}标准正交化，得到一个标准正交
向量组
{)0,0,0,1(，)6
1,
6
2,
6
1,
0(，)210
5,
210
4,
210
13,0(
}．。